D ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU 1. D Algebraická vyjádření tvarové amplitudy mnohostěnu [1]

D

D

ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU

1

Algebraická vyjádření tvarové amplitudy mnohostěnu [1]

Tvarovou amplitudu mnohostěnu 17(7) trojrozměrného tělesa V ZZZ 3 ~ ~ · ~x) d3 ~x , S(X) = A exp(−ik X

(1)

V

lze Abbeovou transformací 11.1(6) vyjádřit plošným integrálem přes povrch S tělesa: ZZ ~ · ~x) X ~ ·N ~ dS. ~ = A3 i exp(−ik X S(X) kX 2

(2)

S

~ značí jednotkovou vnější normálu k povrchu S. N

x3 M x x

x1

xf (Of )

Of x2

0 Obrázek 1: Ilustrace vztahu (3).

~ Je-li tělesem mnohostěn, je účelné vyjádřit tvarovou amplitudu (2) ve tvaru součtu příspěvků Sf (X) jeho stěn. Za tím účelem rozložíme průvodič obecného bodu M f -té stěny Pf povrchu ~x = ~x (Of ) + ~xf ,

(3)

kde ~x (Of ) je průvodič nějakého zvoleného bodu Of ležícího v rovině stěny Pf (viz obr. 1). Označíme-li ~f jednotkovou vnější normálu f -té stěny a má-li mnohostěn F stěn, je tvarová amplituda (2) součtem N ~ = S(X)

F X

~ , Sf (X)

(4)

f =1

kde

~ ~ ~ = A i X · Nf exp(−ik X ~ · ~x (Of ) )If (X) ~ Sf (X) k X2

(5)

a integrál ~ = A2 If (X)

ZZ

~ · ~xf ) d2 xf exp(−ik X

(6)

Pf

je dvojrozměrnou tvarovou amplitudou f -té stěny mnohostěnu. Lze jej tedy vyjádřit stejně jako v odst. 11.2. Chceme-li k tomu použít výrazu 11.2(7), je však třeba mít na zřeteli, že platí ~ · ~xf = X ~f · ~xf , X

(7)

~f značí složku vektoru X ~ rovnoběžnou se stěnou Pf . Splňuje tedy integrand integrálu (6) Helmholkde X tzovu rovnici 11.1(1) s h i ~ 2 − (X ~ · Nf )2 . κ2 = (kXf )2 = k 2 X (8)

2

D

ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU

Dále je třeba symboly ve 11.2(7) doplnit indexem f označujícím stěnu, takže ~tf e značí jednotkový vektor ve směru e-té hrany f -té stěny, Lf e a Cf e délku a střed této hrany, ~nf e jednotkovou vnější normálu k e-té hraně ležící v rovině f -té stěny a Ef počet hran f -té stěny. Výraz 11.2(7) aplikovaný na (6) má pak tvar Ef   X ~ ~ i ~ = A2 h ~ · ~nf e sin(k X · tf e Lf e /2) exp −ik X ~ · ~x (Cf e ) . i If (X) Lf e X f ~ · ~tf e Lf e /2 ~ ·N ~f )2 e=1 kX k X 2 − (X

(9)

Použijeme-li k vyjádření integrálu (6) výrazu 11.2(11), dostaneme Vf   1 X sin(~tf,v−1 , ~tf v ) ~ = 1 ~ · ~x (Vf v ) . If (X) exp −ik X f ~ · ~tf,v−1 )(X ~ · ~tf v ) B 2 (2π)2 v=1 (X

(10)

Přitom jsme použili indexu v místo e, abychom naznačili, že se sčítá přes vrcholy. Značí tedy Vf v v-tý vrchol f -té stěny, Vf počet vrcholů v f -té stěně a (Vf,v+1 ) − ~x (Vf v ) ~tf v = ~x . |~x (Vf,v+1 ) − ~x (Vf v ) |

(11)

Dále je třeba mít na paměti, že okraj stěny (tj. růst indexu v) i kladný směr úhlů je orientován proti ~f . Pak také platí směru hodinových ručiček, když se pozoruje proti směru stěnové normály N ~f = N

~tf,v−1 × ~tf v
sin ~tf,v−1 , ~tf v

(12)

Použijeme-li výrazů (6) až (12) k úpravě výrazu (5), dostaneme dvě různá vyjádření příspěvku stěn (viz odst. D.1), jež jsou východiskem k různým algebraickým výrazům tvarové amplitudy mnohostěnu (viz odst. D.2 až D.6).

D.1

Příspěvek stěny k tvarové amplitudě

Dosazením D(9) do D(5) se s použitím D(3) dostane příspěvek f -té stěny k tvarové amplitudě ve tvaru Ef   X ~ ·N ~f ~ ~ X ~ = A3 −1 ~ · ~nf e sin(k X · tf e Lf e /2) exp −ik X ~ · ~x (Cf e ) , Sf (X) L X f e ~ ·N ~f )2 ~ · ~tf e Lf e /2 k 2 X 2 X 2 − (X kX e=1

(1)

~ 6= ±X N ~f . když X ~ Dosazením D(12) do D(5) a s použitím D(3) se dostane jiný tvar příspěvku Sf (X): Vf   X ~ · ~tf,v−1 × ~tf v 1 1 X ~ ~ · ~x (Vf v ) , Sf (X) = 3 exp −ik X f ~ · ~tf,v−1 )(X ~ · ~tf v ) B (2π)3 X 2 v=1 (X

(2)

~ · ~tf v 6= 0 , v = 1, 2, ..., Vf . když X ~ kolmý na stěnu Pf , tj. když X ~ = ±X N ~f , je X ~ · ~xf = 0, takže integrál D(6) je roven Je-li vektor X 2 (O ) ~ · ~x f = ±Xdf , kde df je vzdálenost roviny Pf od počátku O, k němuž If = A Pf . Kromě toho je X ~ příspěvek Sf (X) ~ tvaru vztahujeme průvodič ~x. Je tedy pro tento speciální směr proměnné X ~ ~ ~ ·N ~f df ) = A3 ±i Pf exp(±ikXdf ) , ~ = A3 i X · Nf Pf exp(−ik X Sf (X) k X2 kX

(3)

~ = ±X N ~f . když X

D.2

Sčítání podle stěn a hran

Sečtením příspěvků ve tvaru D.1(1) dostaneme tvarovou amplitudu mnohostěnu vyjádřenou součtem přes stěny a hrany: Ef F   X X ~ ·N ~f ~ ~ X 3 −1 ~ ~ · ~nf e sin(k X · tf e Lf e /2) exp −ik X ~ · ~x (Ce ) , S(X) = A 2 2 Lf e X 2 ~ ~ 2 ~ · ~tf e Lf e /2 k X kX f =1 X − (X · Nf ) e=1

(1)

D

ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU

3

~ 6= ±X N ~f . Jednotliví sčítanci tohoto výrazu nezávisejí na orientaci hran ~tf e . Jestliže přesto když X specifikujeme orientaci hran, dovolí nám to vyjádřit jednotkové vektory ~tf e a ~nf e prostřednictvím stě~f . Zvolíme tedy orientaci okraje stěny tak, že při pohledu proti směru vnější stěnové nových normál N ~f směřují vektory ~tf e proti směru oběhu hodinových ručiček (srov. obr.2). (Při této úmluvě normály N ~f e jednotlivé vnější normály má hrana mnohostěnu v sousedních stěnách opačnou orientaci.) Označme N stěn sousedících s f -tou stěnou. Pak platí ~ ~ ~tf e = Nf × Nf e , ~f × N ~ f e| |N

(2)

~ ~ ~ ~ ~f = Nf e − (Nf · Nf e )Nf . ~nf e = ~tf e × N ~f × N ~ f e| |N

(3)

Obrázek 2: Orientace vektorů v mnohostěnu. ~ které nejsou kolmé ke stěně mnohostěnu, lze tedy počítat tvarovou amplitudu podle Ve směrech X, ~ f , ~x (Cf e ) , Lf e a N ~f e . vztahu (1). Přitom stačí specifikovat mnohostěn veličinami N Má-li mnohostěn střed symetrie, stačí počítat přes polovinu stěn: Označíme-li Pf +F/2 stěnu středově ~ f +F/2 = −N ~ f . Označíme-li týmž indexem e středově symetrickou se stěnou Pf (srov. obr. 2), platí N ~ f +F/2,e = −N ~ f,e , takže podle (2) a (3) je ~tf +F/2,e = ~tf e , ~nf +F/2,e = −~nf e . symetrické hrany, je také N Konečně, vztahujeme-li průvodič ~x ke středu souměrnosti O mnohostěnu, platí ~x (Cf +F /2,e ) = −~x (Cf e ) . V (1) sečteme příspěvky Sf a Sf +F/2 a dostaneme ~ = A3 S(X)

Ef F   X ~ ~ ~ ·N ~f −2 X X ~ · ~nf e sin(k X · tf e Lf e /2) cos k X ~ · ~x (Cf e ) , Lf e X 2 2 2 ~ ~ 2 ~ · ~tf e Lf e /2 k X kX f =1 X − (X · Nf ) e=1

(4)

~ 6= ±X N ~f . Tvarová amplituda (4) mnohostěnu se středovou symetrií je reálnou funkcí. Musí když X tomu tak být, neboť jde o Fourierovu transformaci reálné středově symetrické funkce. ~ 0 rovnoběžný s normálou N ~f ke stěně Pf je sčítanec vztahující se v (1) nebo (4) k této Pro směr X 0 0 2 2 ~ ~ straně singulární, neboť X0 −(X0 · Nf0 ) = 0. Musíme jej tedy nahradit výrazem D.1(3). Má-li mnohostěn dokonce F0 takových (navzájem rovnoběžných) stěn, můžeme počítat tvarovou amplitudu podle vztahu  F0 F X ~0 · N ~f i X X ~0 ) = A3  ~0 · N ~f Pf exp(−ik X ~0 · N ~f df ) − 1 S(X X ×  0 0 0 0 2 2 2 2 ~0 · N ~f )2 kX0 k X0 f =1 X0 − (X f0 =1 f 6=f0  Ef   X ~ ~ ~0 · ~nf e sin(k X0 · tf e Lf e /2) exp −ik X ~0 · ~x (Cf e )  × Lf e X (5) , ~ ~ k X0 · tf e Lf e /2 e=1

4

D

ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU

~0 = ±X0 N ~f . když X 0 V případě, že mnohostěn má střed symetrie, je tvarová amplituda reálná:  F0 /2 F/2 ~f · N ~f 1 X 1 X N 0 ~0 ) = A3 2  × S(X P sin(kX d ) −  f0 0 f0 2 2 ~f · N ~f )2 kX0 k X0 f =1 1 − (N 0 f0 =1

f 6=f0



Ef

×

~ ~ ~f · ~nf e sin(kX0 Nf0 · tf e Lf e /2) cos kX0 N ~f · ~x (Cf e )  Lf e N , 0 0 ~ ~ kX N · t L /2 0 f f e f e e=1 0 

X



(6)

~0 = ±X0 N ~f . když X 0 ~ je kolmý k některé Výhodou výrazů (1) až (4) je, že mají singularity pouze v případě, když vektor X stěně a že je lze pro tyto singulární směry nahradit vzorci (5) a (6), které se počítají podle téhož schématu.

D.3

Sčítání podle hran

Vyjádříme nyní tvarovou amplitudu jako součet příspěvků jednotlivých hran. Na jednotlivé sčítance ve ~ můžeme pohlížet jako na příspěvky hran k příspěvku f -té stěny k tvarové výrazu D.1(1) pro Sf (X) amplitudě. Každá hrana ovšem přispívá k tvarové amplitudě prostřednictvím obou sousedních stěn. Ve výrazu D.2(1) zaměníme pořadí sčítání, tj. budeme nejdříve sčítat podle hran. Orientaci ~te zvolíme libovolně. (Nyní je ovšem orientace hrany v obou stěnách táž.) Bez ohledu na pořadí tedy označíme ~e1 , N ~e2 nechť značí jednotkové vnější normály těchto stěn. Dále indexy 1 a 2 stěny tvořící e-tou hranu a N nechť ~ne1 a ~ne2 jsou jednotkové normály k e-té hraně ležící v rovině 1, resp. 2 a směřující ven z polygonu tvořícího první, resp. druhou stěnu, Le délka e-té hrany, ~x (Ce ) polohový vektor jejího středu Ce a E počet hran mnohostěnu. Záměnou pořadí sčítání v D.2(1) dostaneme tvarovou amplitudu vyjádřenou jako součet příspěvků hran: ~ S(X)

E   ~ ~ −1 X ~ · ~x (Ce ) sin(k X · te Le /2) × L exp −ik X e ~ · ~te Le /2 k 2 X 2 e=1 kX " # ~ · ~ne1 )(X ~ ·N ~e1 ) (X ~ · ~ne2 )(X ~ ·N ~e2 ) (X × + , ~ ·N ~e1 )2 ~ ·N ~e2 )2 X 2 − (X X 2 − (X

= A3

(1)

~ 6= ±X N ~ei , i = 1, 2. Jednotkové vektory ~te , ~ne1 a ~ne2 můžeme vyjádřit prostřednictvím normál když X ~e1 a N ~e2 : N ~ ~ ~te = Ne1 × Ne2 , (2) ~ ~ |Ne1 × Ne2 | ~ne1 ~ne2

~ ~ ~ ~ ~e1 = Ne2 − (Ne1 · Ne2 )Ne1 , = ~te × N ~e1 × N ~e2 | |N ~ ~ ~ ~ ~e2 = Ne1 − (Ne1 · Ne2 )Ne2 . = −~te × N ~e1 × N ~e2 | |N

(3)

~e a N ~e1 , N ~e2 . K vyjádření tvarové amplitudy (1) tedy stačí veličiny ~x (Ce ) , L Má-li mnohostěn středovou symetrii, označíme hranu středově symetrickou s e-tou hranou indexem e + E/2. Průvodič ~x vztáhneme ke středu symetrie, takže ~x (Ce+e/2 ) = −~x (Ce ) a sečteme e-tý sčítanec s (e + E/2)-tým. Tím dostaneme reálný výraz pro tvarovou amplitudu symetrického mnohostěnu: ~ S(X)

~ = ~ei , i = 1, 2. když X 6 ±X N

E/2   ~ ~ 2 X ~ · ~x (Ce ) sin(k X · te Le ) × = A 2 2 Le cos k X ~ · ~te Le k X e=1 kX " # ~ · ~ne1 )(X ~ ·N ~e1 ) (X ~ · ~ne2 )(X ~ ·N ~e2 ) (X + , × ~ ·N ~e1 )2 ~ ·N ~e2 )2 X 2 − (X X 2 − (X 3

(4)

D

ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU

5

Také vzorce (1) a (4) - spolu s (2), (3) - jsou poměrně vhodné pro numerické počítání, neboť mají ~ = ±X N ~ei kolmých na některou stěnu. Výpočet v těchto singulárních jediný typ singularity ve směrech X směrech však vyžaduje změnit systém výpočtu a přejít k vzorcům D.1(5), resp. D.1(6).

D.4

Sčítání podle stěn a vrcholů

~ stěn ve tvaru D.1(2), dostaneme pro tvarovou amplitudu výraz Sečteme-li příspěvky Sf (X) Vf F X   X ~ · ~tf,v−1 × ~tf v i X 1 ~ · ~x (Vf v ) , ~ exp −ik X S(X) = 3 ~ ~ ~ ~ B (2π)3 X 2 v=1 (X · tf,v−1 )(X · tf v )

(1)

f =1

~ · ~tf v 6= 0. když X ~f v značí jednotkovou vnější Přímými charakteristikami stěn jsou však stěnové normály. Nechť tedy N normálu stěny, jež má s f -tou stěnou společnou hranu s jednotkovým vektorem ~tf v . Pak platí ~ ~ ~tf v = Nf × Nf v . ~f × N ~f v | |N

(2)

Dosadíme-li (2) do (1) a použijeme-li vektorové identity ~f × N ~f,v−1 ) × (N ~f × N ~f v ) = N ~f [N ~f v · N ~f × N ~f,v−1 ], (N

~f,0 = N ~f,V ), (N f

dostaneme Vf F   X X ~f v · N ~f × N ~f,v−1 ] [N i 1 ~ ~ ~ · ~x (Vf v ) , ~ X · N exp −ik X S(X) = 3 f ~ ~ ~ ~ ~ ~ B (2π)3 X 2 v=1 [X · Nf × Nf,v−1 ][X · Nf × Nf v ] f =1

(3)

~ 6= αN ~f + β N ~f v . když X Má-li mnohostěn střed symetrie, označíme opět Pf +F/2 středově symetrickou stěnu ke stěně Pf , průvodič ~x vztáhneme ke středu souměrnosti a týmiž indexy v označíme středově symetrické vrcholy, takže platí ~f +F/2 = −N ~f , ~x (Vf +F /2,v ) = −~x (Vf v ) , N ~f +F/2,v−1 = −N ~f,v−1 , N

~f +F/2,v = −N ~f v . N

Sečtením příspěvků od symetrických stěn se z (3) dostane reálný výraz pro tvarovou amplitudu středově symetrického mnohostěnu: ~ = S(X)

Vf F/2   X X ~f v · N ~f × N ~f,v−1 ] 1 [N 1 ~ ·N ~f ~ · ~x (Vf v ) , X sin k X ~ ~ ~ ~ ~ ~ B 3 4π 3 X 2 v=1 [X · Nf × Nf,v−1 ][X · Nf × Nf v ] f =1

(4)

~ = ~f + β N ~f v . pro X 6 αN ~ leží v rovině kolmé Výrazy (3) a (4) mají nevýhodu v tom, že jsou singulární, kdykoli proměnná X k některé hraně mnohostěnu. Jsou však jednoduchou kombinací fázorů, resp. sinů vztahujících se k vrcholům mnohostěnu, a mohou proto být užitečné.

D.5

Sčítání podle vrcholů a stěn

Kombinace fázorů nabude ještě jednoduššího tvaru, zaměníme-li v D.4(3) pořadí sčítání, tj. budeme-li sčítat nejprve podle vrcholů Vv a pak podle stěn, které mají vrchol Vv společný. Index f charakterizující stěny nechť vzrůstá proti směru chodu hodinových ručiček, pohlížíme-li na vrchol Vv z vnějšku mnohostěnu (přeindexování se děje podle schématu Nf,v−1 → Nv,f +1 , Nf → Nvf , Nf v → Nv,f −1 ). Přeskupením sčítanců v D.4(3) dostaneme: ~ = S(X)

Fv V  X X ~ ·N ~vf )[N ~v,f −1 · N ~vf × N ~v,f +1 ] 1 −i (X ~ · ~x (Vv ) exp −ik X , ~ ~ ~ ~ ~ ~ B 3 (2π)3 X 2 v=1 f =1 [X · Nv,f −1 × Nv,f ][X · Nvf × Nv,f +1 ]

(1)

6

D

ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU

~ 6= αN ~vf + β N ~v,f +1 . Zde V je počet vrcholů mnohostěnu, Fv počet stěn procházejících vrcholem když X ~ ~ ~ ~v,1 . Vv a Nv,0 = Nv,Fv , Nv,Fv+1 = N V případě mnohostěnu se středovou symetrií lze opět vyjádřit tvarovou amplitudu polovičním počtem sčítanců: V /2 Fv  X ~ ·N ~vf )[N ~v,f −1 · N ~vf × N ~v,f +1 ] −1 X (X 1 ~ · ~x (Vv ) ~ sin k X S(X) = 3 , ~ ~ ~ ~ ~ ~ B 4π 3 X 2 v=1 f =1 [X · Nv,f −1 × Nv,f ][X · Nvf × Nv,f +1 ]

(2)

~ 6= αN ~vf + β N ~v,f +1 . když X Pro strojové počítání mají formule (1) a (2) tytéž nevýhody jako výrazy D.4(3) a D.4(4). Představují však jednoduchou kombinaci fázorů, resp. sinusových funkcí, jejichž argumenty obsahují souřadnice vrcholů Vv mnohostěnu a jsou proto vhodným východiskem, když hledáme výstižná vyjádření tvarových amplitud pravidelných mnohostěnů. Přitom stačí charakterizovat mnohostěn souřadnicemi vrcholů Vv ~vf . a stěnovými normálami N

D.6

Sčítání podle vrcholů a hran

Nejjednodušší algebraické vyjádření tvarové amplitudy mnohostěnu se dostane, sčítáme-li přes vrcholy a hrany. Dospějeme k němu záměnou sčítání ve výrazu D.4(1). Nechť tedy ~tve označuje jednotkové vektory ve směru hran majících společný vrchol Vv a index e nechť roste ve směru proti chodu hodinových ručiček, pozorujeme-li vrchol Vv z vnějšku mnohostěnu. Vektory ~tve nechť směřují buď vesměs k vrcholu Vv (např. přeindexováním ~tf v → ~tve , ~tf,v−1 → −~tv,e+1 v D.4(1)) nebo vesměs od vrcholu Vv (např. přeindexováním ~tf v → −~tve , ~tf,v−1 → ~tv,e+1 ). Záměnou pořadí sčítání v D.4(1) se dostane ~ = S(X)

Ev V  X X ~ · ~tve × ~tv,e+1 X −i 1 ~ · ~x (Vv ) , exp −ik X 3 3 2 ~ ~ ~ ~ B (2π) X v=1 e=1 (X · tve )(X · tv,e+1 )

(1)

~ · ~tve 6= 0. Zde je V opět počet vrcholů mnohostěnu, Ev počet hran majících společný vrchol Vv když X ~ a tv,Ev +1 = ~tv,1 . Má-li mnohostěn střed symetrie, vztáhneme k němu opět průvodič ~x (takže je ~x (Vv+V /2 ) = −~x (Vv ) ) a označíme týmiž indexy e symetrické hrany. Pak ovšem index e vzrůstá ve směru oběhu hodinových ručiček, pozorujeme-li vrchol Vv+V /2 z vnějšku mnohostěnu. Je proto třeba při sčítání v-tého a (v + V /2)-tého sčítance v (1) vzít (v + V /2)-tý sčítanec s opačným znaménkem. Výsledkem pak je ~ = S(X)

V /2 Ev  X ~ · ~tve × ~tv,e+1 X 1 −1 X ~ · ~x (Vv ) sin k X , 3 3 2 ~ ~ ~ ~ B 4π X v=1 e=1 (X · tve )(X · tv,e+1 )

(2)

~ · ~tve 6= 0. když X Výrazy (1) a (2) jsou podobně jako výrazy D.5(1) a D.5(2) velmi výhodné pro výpočet tvarových amplitud pravidelných mnohostěnů. Přitom stačí charakterizovat mnohostěn souřadnicemi vrcholů Vv a směry hran ~tve .

D.7

Obecné vlastnosti tvarových amplitud mnohostěnů. Abbeova věta.

Tvarová amplituda je zvláštním případem Fourierovy transformace reálné a nezáporné funkce. Odvozené algebraické výrazy musejí tedy mít všechny vlastnosti z toho vyplývající. Pro aplikace v difraktografii jsou důležité zejména tyto: ~ = S(0) = V. (i) max |S(X)| ~ = S ∗ (−X) ~ , (ii) S(X) (1) kde hvězdička označuje komplexně sdruženou funkci. Z (1) plyne ~ 2 = |S(−X)| ~ 2. |S(X)|

(2)

~ má všechny elementy symetrie tvarové funkce s(~x). Z toho a z (1) vyplývá, (iii) Tvarová amplituda S(X) že tělesa středově symetrická mají reálnou tvarovou amplitudu, což jsme již vícekrát zmínili.

D

ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU

(iv) Abbeova věta (viz odst. 11.3) se týká asymptotických vlastností tvarové amplitudy:
~ je kolmé k některé stěně, ~ = O 1 , když X S(X) X
1 ~ je kolmé k některé hraně, ale nikoli ke stěně, ~ S(X) = O X 2 , když X
~ = O 13 v obecném směru. S(X) X

7

(3) (4) (5)

~ (srv. diskusi dvojToto není zcela precizní formulace asymptotických vlastností tvarové amplitudy S(X) rozměrného případu v odst. 11.3). Zpřesnění však vyžadují jen případy, kdy mnohostěn obsahuje dvě ~ mají opačnou orientaci. Takovými případy rovnoploché stěny ležící v téže rovině, jejichž vnější normály N se zde nebudeme zabývat. ~ mají vlastnosti (i) a (iii). Kdykoli Je dosti obtížné dokázat, že odvozené algebraické výrazy pro S(X) však tyto výrazy aplikujeme, vykazují tyto vlastnosti (viz příklady v odst. D.8). Vlastnost (1) je naproti tomu zřejmá z každého algebraického vyjádření tvarové amplitudy. Asymptotická vlastnost (3) je zřejmá z výrazů D.1(3), D.2(5) a D.2(6), vlastnost (4) např. z výrazů D.2(1), D.2(4), D.3(1), D.3(4). Rovněž vlastnost (5) je zřejmá z každého algebraického vyjádření tvarové amplitudy mnohostěnu.

D.8

Příklad. Rombický dvanáctistěn.

Obrázek 3: Rombický dvanáctistěn Rombický dvanáctistěn je středově symetrické těleso, které lze orientovat vzhledem ke kartézské soustavě souřadnic 0, x1 , x2 , x3 tak, že každá z jeho stěn je rovnoběžná s jednou souřadnicovou osou a zbývající dvě osy protíná ve vzdálenosti a od počátku O (viz obr. 3). Z toho zřejmé, že stěny jsou tvořeny (v krystalografické symbolice) rovinami [011], že a je délka hrany vepsané krychle a že objem rombického dvanáctistěnu je V = 2a3 . ~ = 13 S(X) ~ (srov. 17(8)) vyjádříme prostřednictvím výrazu D.5(2). Tvarovou amplitudu S1 (X) A V ~ ~v,f −1 · N ~vf × N ~v,f +1 = √1 . Souřadnice vrcholů Vv a normál Nvf jsou uvedeny v tab. 1. Je z ní vidět, že N 2

8

D

ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU

~ = kaX, ~ dostaneme z D.5(2) Zavedeme-li proměnnou Y Fv 7 X  X ~ ·N ~vf Y ~ · ~x (Vv ) /a ~ ) = √−1 sin Y S1 (Y , ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2Y 2 v=1 f =1 [Y · Nv,f −1 × Nvf ][Y · Nvf × Nv,f +1 ]

(1)

~vf z tab. 1, sečtením zlomků Fv = 4 pro v = 1, 2, 3, Fv = 3 pro v = 4 až 7. Dosazením za normály N vnitřního součtu a trigonometrickými úpravami se dostane ~) S1 (Y

=

16 × Y 4 − 4(Y12 Y22 + Y22 Y32 + Y32 Y12 )    Y1 Y2 Y3 Y1 × Y1 sin cos cos − cos + 2 2 2 2   Y2 Y3 Y1 Y2 + Y2 sin cos cos − cos + 2 2 2 2   Y3 Y1 Y2 Y3 + Y3 sin cos cos − cos . 2 2 2 2

(2)

Tento výraz je shodný s výrazem, který udává Patterson ([2], Table I). Dobře vystihuje symetrii rombického dvanáctistěnu vzhledem k souřadnicovým osám. √

√

~v1 2N

√

~v2 2N

~v3 2N

√

~v4 2N

v

2 (Vv ) x a~

1

2, 0, 0

1, 1, 0

1, 0, 1

1, -1, 0

1, 0, -1

2

0, 2, 0

0, 1, 1

1, 1, 0

0, 1, -1

-1, 1, 0

3

0, 0, 2

1, 0, 1

0, 1, 1

-1, 0, 1

0, -1, 1

4

1, 1, 1

1, 1, 0

0, 1, 1

1, 0, 1

-

5

-1, 1, 1

-1, 1, 0

-1, 0, 1

0, 1, 1

-

6

-1, -1, 1

-1, -1, 0

0, -1, 1

-1, 0, 1

-

7

1, -1, 1

1, -1, 0

1, 0, 1

0, -1, 1

-

Tabulka 1: Údaje pro výpočet tvarové amplitudy rombického dvanáctistěnu. Souřadnice vektorů. Abychom si vytvořili představu o tvarové amplitudě rombického dvanáctistěnu, najdeme, jak se tvarová amplituda chová podél os symetrie dvanáctistěnu a v rovinách procházejících kolmo k osám symetrie. Ze (2) se získají závislosti tvarové amplitudy na vzdálenosti od počátku podél čtyřčetné (např. Y2 = Y3 = 0), trojčetné (např. Y1 = Y2 = Y3 ) a dvojčetné (např. Y1 = Y2 , Y3 = 0) osy symetrie: S1 (Y, 0, 0)  S1

Y Y Y √ ,√ ,√ 3 3 3 

S1

=



 Y Y √ , √ ,0 2 2

=

=

sin Y4

!3

Y , 4 !2 Y

cos

Y 4

sin √Y3

sin 4√3

Y √ 3

Y √ 4 3

 Y 1  sin √2 + Y √ 2 2

(3)

,

Y sin 2√ 2 Y √ 2 2

(4) !2  ,

(5)

(srov. [2], Table II). Centrální řezy tvarovou amplitudou rovinami kolmými ke čtyřčetné, trojčetné a dvojčetné ose charakterizují výrazy:   32 Y1 + Y2 Y1 − Y2 Y1 Y2 sin sin Y sin − Y sin , (6) S1 (Y1 , Y2 , 0) = 1 2 (Y12 − Y12 )2 4 4 2 2 " !  Z1 sin √ 3 Z1 Z2 Z1 6 √ √ √ S1 (Z1 , Z2 , 0) = + cos cos − cos + Z1 √ Z12 − 3Z22 6 2 2 6

D

ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU

 S1

U U √ , √ , Y3 2 2



9

# Z1  sin √ Z1 Z1 Z2 Z2 6 √ sin √ − √ sin √ + , (7) Z1 √ 6 6 2 2 6   !2  Y3  Y3 √ sin sin 1 U Y3 U 4  2U sin √ + 8 Y3 2 cos = − cos2 √  . (8) Y3 2U 2 − Y32 2 2 2 2 4 2

Ve vztahu (7) značí Z1 , Z2 kartézské souřadnice v rovině kolmé k trojčetné ose symetrie Y1 = Y2 = Y3 . Se souřadnicemi Y1 , Y2 , Y3 souvisejí vztahy

Y1 = Y2 = Y3 =

q

2 3 Z1 ,

− √16 Z1 − √16 Z1

+ −

√1 Z2 , 2

Z1 =

√1 (2Y1 6

Z2 =

√1 (Y2 2

− Y2 − Y3 ),

(9)

tj. − Y3 ).

√1 Z2 , 2

Grafy funkcí (6) až (8) jsou uvedeny na obr. 4(b), (d), (f). Na obr. 4 (a), (c), (e) jsou uvedeny průměty rombického dvanáctistěnu do rovin kolmých k čtyřčetné, trojčetné a dvojčetné osy symetrie. (Plné čáry značí místa stejné tloušťky dvanáctistěnu, tečkovaně jsou vyznačeny průměty hran.) Dvojice funkcí ve stejném řádku spolu souvisejí až na konstantní faktory Fourierovou transformací. Např. průmět 1 P (x1 , x2 ) = a

Z∞ s(x1 , x2 , x3 ) dx3

(10)

−∞

zobrazený na obr. 4 (a) souvisí s řezem (6) vztahem F T {P (x1 , x2 )} = A2 2a2 S1



 Y1 Y2 , ,0 ka ka

(11)

a podobně pro ostatní dvojice. Všimněme si nyní asymptotického chování tvarové amplitudy rombického dvanáctistěnu. Dvojčetné osy symetrie jsou kolmé na stěny rombického dvanáctistěnu. Proto výraz (5) má asymptotickou vlastnost D.7(3). (O průběhu funkce (5) si lze utvořit představu z obr. 4(f) podél osy U (tj. Y3 = 0) nebo z obr. 4(b) podél čar Y1 = ±Y2 .) Trojčetné osy rombického dvanáctistěnu jsou rovnoběžné s šesti hranami. Proto řez (7) tvarovou amplitudou rovinou kolmou k trojčetné ose má asymptotickou vlastnost D.7(4). (S tím souvisí také fakt, že výraz (7) nelze získat pouhým dosazením (9) do (2), nýbrž výpočtem limity.) V obecném směru má tvarová amplituda (2) zřejmě vlastnost D.7(5). Obdobným způsobem, jímž jsme analyzovali tvarovou amplitudu rombického dvanáctistěnu, byly prostudovány tvarové amplitudy všech pěti platonských těles [3], [4].

Reference [1] Komrska J.: Algebraic expressions of shape amplitudes of polygons and polyhedra. Optik 80 (1988), 171–183. [2] Patterson A. L.: The Diffraction of X-Rays by Small Crystalline Particles. Phys. Rev. 56 (1939), 972–977. [3] Komrska J., Neumann W.: Crystal Shape Amplitudes of Platonic Polyhedra. I. General Aspects and the Shape Amplitudes of the Tetrahedron, Cube and Octahedron. phys. stat. sol. (a) 150 (1995), 89–111. [4] Neumann W., Komrska J.: Crystal Shape Amplitudes of Platonic Polyhedra. II. The Regular Pentagonal Dodecahedron and the Icosahedron. phys. stat. sol. (a) 150 (1995), 113–126.

10

D

ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU

Obrázek 4: Projekce rombického dvanáctistěnu do rovin kolmých ke čtyřčetné (a), trojčetné (c) a dvojčetné (e) ose symetrie a odpovídající centrální řezy tvarovou amplitudou ((b), (d), (f)).