Fa Cz cu ec lty h T © of ec Fa Če El hn ku sk ec ic lta é v al t r y el s ic U al n ek ok En ive tro é te uč gi rsi ne ty ch en ni í t er in ck ec in P g ra á hn gu ic ké e v Pr az e
Rezonance Nejprve několik fyzikálních analogií úvodem…
Rezonance je fyzikálním jevem, kdy má systém tendenci kmitat s velkou amplitudou na určité frekvenci, kdy malá budící síla může vyvolat vibrace s velkou amplitudou. Důvodem je akumulace energie, kdy zdroj postupně dodává další a další energii a tlumení systému je malé; ke vzniku kmitů musí být v systému dva různé druhy energie, např. potenciální a kinetická (kyvadlo, houpačka), nebo elektrická a magnetická – v elektrických obvodech. Rezonance je podstatou většiny hudebních nástrojů.
Někdy může mít rezonance destruktivní účinky – známé je rozbití sklenice zvukem určité frekvence. Zásadním pojmem je rezonance v architektuře. Nesprávně navržené stavby se mohou zhroutit. Příkladem může být např. Angerský most, který se zhroutil v roce 1850, kdy ho rozkmitali pochodující francouzští vojáci. Jiným příkladem je zhroucení amerického Tacoma Narrows Bridge (1940), kde byl most rozkmitán větrem vanoucím konstantní rychlostí (!!!) – iniciátorem kmitů byly větrné víry (aeroelastický flutter).
©
V elektrických obvodech se s rezonancí setkáme např. ve filtrech, nebo u kompenzace účiníku (účiník 100%)
Autentický záběr z filmu „The Tacoma Narrows Bridge Collapse“ 1/11
Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011
V následujícím budeme studovat sériový RLC obvod, kde R = 10 Ω, L = 1 H, C = 1 µF, pokud nebude uvedeno jinak.
Fa Cz cu ec lty h T © of ec Fa Če El hn ku sk ec ic lta é v al t r y el s ic U al n ek ok En ive tro é te uč gi rsi ne ty ch en ni í t er in ck ec in P g ra á hn gu ic ké e v Pr az e
R
Impedance obvodu je:
U1
Amplituda impedance je:
Amplituda impedance je frekvenčně závislá (stejně, jako fáze), s ostrým minimem na frekvenci 1000 s-1. 5
10
4
Z [Ω]
10
3
10
2
10
1
©
10 1 10
2
10
3
10 ω [rad s-1]
4
5
10
10
Pro toto minimum platí podmínka:
Impedance je na této frekvenci reálná
2/11
Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011
L
C
Z této podmínky (a nebo derivací impedance podle frekvence) můžeme určit podmínku:
Fa Cz cu ec lty h T © of ec Fa Če El hn ku sk ec ic lta é v al t r y el s ic U al n ek ok En ive tro é te uč gi rsi ne ty ch en ni í t er in ck ec in P g ra á hn gu ic ké e v Pr az e
Thomsonův vzorec:
Tento vzorec určuje rezonanční frekvenci sériového RLC obvodu (pozor, není univerzální pro libovolný obvod!) Porovnejme frekvenční závislost amplitudy proudu, a napětí: -1
10
-2
-3
10
-4
10
-5
10
1
2
10
10
©
I [A]
10
3
10 ω [rad s-1]
4
10
5
10
Zeleně je napětí na kapacitoru. Červeně napětí na induktoru. Modře napětí na rezistoru.
Obě osy jsou logaritmické, jednotky na vertikální ose jsou dB, tedy
Je-li U1 = 1 V, pak 40 dB ≈ 100 V.
3/11
Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011
Fa Cz cu ec lty h T © of ec Fa Če El hn ku sk ec ic lta é v al t r y el s ic U al n ek ok En ive tro é te uč gi rsi ne ty ch en ni í t er in ck ec in P g ra á hn gu ic ké e v Pr az e
Jak je možné, že napětí na kapacitoru a induktoru je větší, nežli napětí zdroje?
Napětí na kapacitoru a na induktoru kmitá v protifázi, takže se vzájemně odečtou – napětí na rezistoru je tak stejné, jako napětí zdroje Tento typ rezonance se nazývá napěťová rezonance
Amplituda napětí na kapacitoru a induktoru může být mnohonásobně větší, nežli amplituda napětí zdroje Podmínka napěťové rezonance:
Aby obvod rezonoval, musí obsahovat alespoň dva reaktanční prvky – ale ne 2 kapacitory, nebo 2 induktory; k vzájemné výměně energie to musí být L i C Fázorové diagramy:
©
ÛL
ÛL Û C
Î
ÛR Û
4/11
ÛL Û C
Û
ÛC
Î
ÛR =Û
ÛR
Î
Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011
Fa Cz cu ec lty h T © of ec Fa Če El hn ku sk ec ic lta é v al t r y el s ic U al n ek ok En ive tro é te uč gi rsi ne ty ch en ni í t er in ck ec in P g ra á hn gu ic ké e v Pr az e
Obvod ale není v ustáleném stavu okamžitě – amplituda roste postupně, doba ustálení je nepřímo úměrná Čím menší je odpor, tím déle trvá ustálení obvodu. Vzpomeňte na první přednášku – pokud ideální induktor připojíme k ideálnímu zdroji napětí, měl by jím (v ustáleném stavu!) protékat nekonečně velký proud. Proud induktorem, podle indukčního zákona, roste lineárně. Proud (a tedy i napětí) nemohou proto dosáhnout své maximální hodnoty (kterou určuje odpor) okamžitě.
©
Protože je impedance sériového RLC obvodu v rezonanci reálná, rovna odporu R, odpor je prvkem, který omezuje proud, tekoucí obvodem – napětí na kapacitoru a induktoru jsou dány jejich reaktancí ⇒ menší R znamená větší napětí na C a L.
5/11
Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011
Činitel jakosti
Fa Cz cu ec lty h T © of ec Fa Če El hn ku sk ec ic lta é v al t r y el s ic U al n ek ok En ive tro é te uč gi rsi ne ty ch en ni í t er in ck ec in P g ra á hn gu ic ké e v Pr az e
Ne každý sériový RLC obvod je rezonanční. Kromě přítomnosti reaktančních prvků obou typů je druhou nutnou podmínkou vzniku rezonančních kmitů „dostatečně“ malé tlumení – tedy elektrický odpor. Rezonanční RLC obvod poznáme také tak, že po připojení stejnosměrného zdroje kmitá kvaziperiodickými (exponenciálně tlumenými) kmity – je opět ovlivněno velikostí tlumení – elektrického odporu.
Mezi nejdůležitější aplikace rezonančních obvodů patří frekvenční filtry. Například v ladících jednotkách rozhlasových přijímačů a TV musí být filtr – pásmová propust, která propustí pouze frekvenci naladěné stanice a ostatní zadrží. Takový filtr musí mít co nejužší a nejstrmější frekvenční charakteristiku, aby dále nepronikaly frekvence ostatních stanic. V případě rezonančního LC filtru tedy co největší napětí UL, UC. Čím vyšší je toto napětí, tím je filtr „kvalitnější“. Tak je definován činitel jakosti pro napěťovou rezonanci jako:
©
Protože napětí v rezonanci můžeme vyjádřit:
Můžeme činitel jakosti definovat jedním ze vzorců:
6/11
Maximální (kritický) odpor, se kterým se obvod ještě chová jako rezonanční:
Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011
Rezonanční křivka
Fa Cz cu ec lty h T © of ec Fa Če El hn ku sk ec ic lta é v al t r y el s ic U al n ek ok En ive tro é te uč gi rsi ne ty ch en ni í t er in ck ec in P g ra á hn gu ic ké e v Pr az e
Pokud normalizujeme proud, tekoucí obvodem, bude:
Vzhledem k tomu, že frekvence v rovnici může být libovolná, nejenom rezonanční, zavedeme relativní frekvenci
Pokles o 3 dB
0
©
-20
-40 0.1
7/11
s1 1 s 2
s
10
Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011
Fa Cz cu ec lty h T © of ec Fa Če El hn ku sk ec ic lta é v al t r y el s ic U al n ek ok En ive tro é te uč gi rsi ne ty ch en ni í t er in ck ec in P g ra á hn gu ic ké e v Pr az e
Rezonanční křivka je tím užší (a vyšší), čím je větší činitel jakosti. Matematicky můžeme šířku rezonanční křivky vyjádřit: Na následujícím obrázku jsou zobrazeny rezonanční křivky pro Q = 10, Q = 50 a Q = 100 0
Q=10
-20
Q=50
-40
Q=100
1
s
10
©
-60 0.1
8/11
Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011
Paralelní rezonanční obvod – proudová rezonance
Fa Cz cu ec lty h T © of ec Fa Če El hn ku sk ec ic lta é v al t r y el s ic U al n ek ok En ive tro é te uč gi rsi ne ty ch en ni í t er in ck ec in P g ra á hn gu ic ké e v Pr az e
V sériovém RLC obvodu jsme studovali tzv. napěťovou rezonanci. Proudová rezonance se nejlépe vysvětluje na ideálním (bohužel ale fyzikálně nerealizovatelném) paralelním RLC obvodu, viz obrázek:
I1
Napětí na všech obvodových prvcích je stejné; proudy, tekoucí jednotlivými prvku se ale mohou lišit. Pokud jsou v obvodu přítomny reaktanční prvky obou druhů (elektrické i magnetické pole – C i L), mohou si opět vzájemně vyměňovat energii – poroste elektrický proud, který jimi teče (a akumulovaná energie). Vztah mezi jednotlivými proudy popisují fázorové diagramy:
ÎL
ÎL
ÎR
Û
Platí tedy: Jelikož:
ÎC
ÎL
ÎC
Î
ÎR =Î
©
Î
ÎC
Û
ÎR
Û
, oba proudy jsou ale vzájemně posunuty o 180º, takže se vzájemně odečtou.
…a rezonanční frekvence ideálního paralelního RLC obvodu bude: 9/11
Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011
Fa Cz cu ec lty h T © of ec Fa Če El hn ku sk ec ic lta é v al t r y el s ic U al n ek ok En ive tro é te uč gi rsi ne ty ch en ni í t er in ck ec in P g ra á hn gu ic ké e v Pr az e
V rezonanci tedy platí pro admitanci:
Činitel jakosti je v tomto případě definován poměrem proudů:
K proudové rezonanci dochází v obvodu, který je napájený z proudového zdroje
Na rozdíl od napěťové rezonance, činitel jakosti je tím vyšší, čím větší je odpor rezistoru
©
Při napájení ze zdroje napětí k žádnému efektu akumulace energie nedochází (zdroj napětí to nedovolí):
Napájení ze zdroje napětí
10/11
Napájení ze zdroje proudu
Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011
Fa Cz cu ec lty h T © of ec Fa Če El hn ku sk ec ic lta é v al t r y el s ic U al n ek ok En ive tro é te uč gi rsi ne ty ch en ni í t er in ck ec in P g ra á hn gu ic ké e v Pr az e
Ve skutečnosti je ale takový ideální obvod nerealizovatelný. Skutečný paralelní rezonanční obvod je na obrázku: Fázový posun mezi proudy, které tečou induktorem a kapacitorem je menší, nežli 180º. Admitance (a tedy impedance) je reálná (podmínka rezonance)
Rezonanční frekvence již není určena Thomsonovým vztahem:
Odpor rezistoru by na rozdíl od ideálního paralelního RLC rezonančního obvodu měl být co možná nejmenší Thomsonův vztah je pouze specielní případ, u složitějších obvodů je potřeba rezonanční frekvence odvodit z podmínky rezonance
Obvod, který má více reaktančních prvků může mít více různých rezonančních frekvencí
©
Definice činitele jakosti jako poměru napětí nebo proudů u složitějších obvodů selhává (již u reálného paralelního RLC obvodu nejsou proudy, tekoucí kapacitorem a induktorem stejné), univerzální je energetická definice:
11/11
Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011
