Cvičení 1
Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti
Napjatost v bodě tělesa Napjatost (napěťový stav) v bodě tělesa je množinou obecných napětí ve všech řezech, které lze tímto bodem vést. Dá se dokázat, že obecné napětí v libovolném řezu vedeném jistým bodem C lze vypočítat ze známých hodnot obecných napětí ve třech vzájemně kolmých rezech, vedených tímto bodem. Pro popis je účelné použít kartézský souřadnicový systém, jehož osy leží v průsečnicích těchto rovin. Obecná napětí budeme označovat písmenem podle normály plochy, ve které působí, tedy např. v plošce v rovině yz, kolmé k ose x, působí obecné napětí fx. Každé obecné napětí, které svírá s příslušnou plochou obecný úhel, lze rozložit do směru os kartézského souřadnicového systému:
⃗⃗⃗ ⃗ 𝑓𝑥 = 𝜎𝑥 𝑖 + 𝜏𝑥𝑦 𝑗 + 𝜏𝑥𝑧 𝑘 ⃗⃗⃗ ⃗ 𝑓𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑥 𝑖 + 𝜎𝑦 𝑗 + 𝜏𝑦𝑧 𝑘 ⃗⃗⃗ ⃗ 𝑓𝑧 = 𝜏𝑧𝑥 𝑖 + 𝜏𝑧𝑦 𝑗 + 𝜎𝑧 𝑘
Napjatost v bodě C (napětí v přední a zadní stěně elementu nejsou zakreslena)
Parametry σ jsou normálová napětí, parametry τ smyková napětí (první písmeno jejich indexu značí směr normály roviny, ve které napětí působí, a druhé směr působení smykového napětí). Tato napětí lze uspořádat do čtvercové matice, která v daném kartézském souř. systému reprezentuje tenzor napětí Tσ. 𝜎𝑥 𝜏 𝑇𝜎 = ( 𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥
𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 𝜏𝑧𝑦
𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 ) 𝜎𝑧
Napjatost v bodě tělesa je jednoznačně určena tenzorem napětí Tσ. Z momentových podmínek k bodu C:
𝑑𝑥 𝑑𝑦 − [(𝜏𝑦𝑥 + 𝜏 ′ 𝑦𝑥 )𝑑𝑥𝑑𝑧] =0 2 2 → (𝜏𝑥𝑦 + 𝜏 ′ 𝑥𝑦 ) − (𝜏𝑦𝑥 + 𝜏 ′ 𝑦𝑥 ) = 0
∑ 𝑀𝐶𝑧 = 0: [(𝜏𝑥𝑦 + 𝜏′𝑥𝑦 )𝑑𝑦𝑑𝑧]
Pro napětí v protilehlých stěnách elementu platí, že jsou přibližně stejně velká, tedy: 𝜏𝑥𝑦 → 𝜏 ′ 𝑥𝑦 a 𝜏𝑦𝑥 → 𝜏 ′ 𝑦𝑥 , a proto 𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 . Analogicky pro momentové podmínky k osám y a x dostaneme: 𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦 a 𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑧𝑥 . Věta o sdruženosti smykových napětí: Smyková napětí působící ve vzájemně kolmých elementárních řezech kolmo k jejich průsečnici jsou stejně velká a orientovaná buď k průsečnici, nebo od ní. Stav napětí je tedy charakterizován právě 6 nezávislými složkami symetrického tenzoru napětí Tσ. Napjatost v bodě tělesa je popsána tenzorem napětí v tomto bode a muže být stanovena v závislosti na zatížení tělesa, jeho tvaru a materiálových vlastnostech a poloze bodu v tělese. Napjatost tělesa je množina napjatostí ve všech bodech tělesa. Je určena tenzorovým polem, tj. množinou tenzoru napětí pro všechny body tělesa. Závisí na zatížení tělesa, jeho tvaru a materiálových vlastnostech.
Hlavní souřadnicový systém Pro každý tenzor lze najít takový souřadnicový systém, ve kterém jsou mimodiagonální složky tenzoru nulové. Tento souřadnicový systém se nazývá hlavní souřadnicový systém, roviny tohoto systému jsou tzv. hlavní roviny. V hlavních rovinách tenzoru napětí tedy nepůsobí žádná smyková napětí. Normálová napětí v těchto rovinách působí, nazývají se hlavní napětí a značí se σ1, σ2, σ3. Platí konvence značení: 𝜎1 ≥ 𝜎2 ≥ 𝜎3 Hlavní napětí: Hlavní napětí je normálové napětí v takové rovině, v níž jsou smy⃗⃗⃗𝜌 = ková napětí rovna nule (tj. obecné napětí v tomto řezu je kolmé k tomuto řezu (𝑓 𝜎𝜌 )). ⃗⃗⃗⃗ Hlavní napětí lze určit řešením charakteristické rovnice tenzoru napětí: 𝜎𝑖3 − 𝐼1 𝜎𝑖2 + 𝐼2 𝜎𝑖 − 𝐼3 = 0 kde veličiny I1, I2, I3 jsou invarianty tenzoru napětí. Spočítat je lze jako: 𝐼1 = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 𝜎𝑥 𝜏 𝐼3 = | 𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥
𝜎𝑥 𝐼2 = |𝜏 𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧 | 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧
𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 𝜎𝑦 | + |𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑥 𝜎𝑧 | + |𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑥𝑧 𝜎𝑧 |
Určení napětí v obecné rovině Obecné napětí v rovině ρ, určené vektorem normály ⃗⃗⃗⃗ 𝑛𝜌 , který má v hlavním souřadnicovém systému složky α1, α2, α3 (směrové kosiny), je vektor ⃗⃗⃗ 𝑓𝜌 , který má složky
Řez elementární krychle rovinou – tzv. elementární čtyřstěn
𝑓𝜌1 = 𝜎1 𝛼1 𝑓𝜌2 = 𝜎2 𝛼2 𝑓𝜌3 = 𝜎3 𝛼3 Obecné napětí lze rozložit do normálového napětí σρ a smykového napětí τρ. Velikosti obecného napětí a normálového a smykového napětí určíme jako: 𝑓𝜌 = √𝜎12 𝛼12 + 𝜎22 𝛼22 + 𝜎32 𝛼32
𝜎𝜌 = ⃗⃗⃗ 𝑓𝜌 ⃗⃗⃗⃗ 𝑛𝜌 = 𝜎1 𝛼12 + 𝜎2 𝛼22 + 𝜎3 𝛼32
𝜏𝜌 = √𝑓𝜌2 − 𝜎𝜌2
Grafické znázornění napjatosti Tenzory napětí lze graficky znázornit v Mohrově rovině pomocí tzv. Mohrových kružnic. Více k zobrazování tenzorů napětí v Mohrově rovině a zároveň různé typy napjatostí a jejich obrazy v Mohrově rovině najdete v učebním textu online na adrese: http://beta.fme.vutbr.cz/cpp/ (kapitola 16) a ve skriptech Pružnost, pevnost 1 na str. 247.
Mezní stav pružnosti Mezní stav pružnosti tělesa je takový jeho stav, při jehož překročení vznikají v tělese plastické deformace. Mezní stav pružnosti je charakterizován výpočtovou mezí kluzu σK. Pro posouzení mezního stavu pružnosti musíme formulovat podmínku plasticity. Ta má pro jednoosou napjatost tvar 𝜎 = 𝜎𝐾 a pro obecnou trojosou napjatost musí mít podobu 𝐹(𝑇𝜎 ) = 𝜎𝐾 . Z rozsáhlých experimentů vyplývá, že mezní stav pružnosti je určen velikostí smykových napětí τρK v jistém řezu ρK. Podmínka plasticity tedy musí mít tvar |𝜏𝜌𝐾 | = 𝜏𝑀𝐾 , kde τMK je materiálová charakteristika. Podle volby řezu dostáváme různé podmínky plasticity: 1. Podmínka plasticity max τ Předpokládá, že řezem ρK je řez, ve kterém působí maximální smykové napětí τmax.
Má tedy tvar pro obecnou napjatost pro jednoosou napjatost 𝜎1 − 𝜎3 𝜎1 𝜎𝐾 𝜏𝑚𝑎𝑥 = = 𝜏𝑀𝐾 𝜏𝑚𝑎𝑥 = = = 𝜏𝑀𝐾 2 2 2 Cílem je posoudit vznik mezního stavu pružnosti při obecné napjatosti na základě zkoušek prováděných při jednoosé tahové napjatosti. Je tedy nutné obě podmínky porovnat: 𝜏𝑀𝐾 =
𝜎1 − 𝜎3 𝜎𝐾 = 2 2
→
𝜎1 − 𝜎3 = 𝜎𝐾
Redukované napětí: Redukované napětí je napětí fiktivní jednoosé tahové napjatosti přiřazené napjatosti obecné tak, že prostá bezpečnost vůči vyšetřovanému meznímu stavu je stejná. 𝜎𝑟𝑒𝑑 = 𝜎1 − 𝜎3
→
𝑘𝐾 =
𝜎𝐾 𝜎𝑟𝑒𝑑
2. Podmínka plasticity HMH Předpokládá, že řezem ρK je tzv. oktaedrická rovina (je to rovina, jejíž normála svírá se všemi osami kartézského souřadnicového systému stejný úhel). Smykové napětí v oktaedrické rovině určíme jako pro obecnou napjatost pro jednoosou napjatost 1 √2 𝜏𝑜 = √(𝜎1 − 𝜎2 )2 + (𝜎2 − 𝜎3 )2 + (𝜎1 − 𝜎3 )2 = 𝜏𝑀𝐾 𝜏𝑜 = 𝜎 = 𝜏𝑀𝐾 3 3 𝐾 Pokud opět porovnáme obě napjatosti, dostaneme podmínku ve tvaru: 1 √ [(𝜎1 − 𝜎2 )2 + (𝜎2 − 𝜎3 )2 + (𝜎1 − 𝜎3 )2 ] = 𝜎𝐾 2 a redukované napětí pro tuto podmínku je: 1 𝜎𝑟𝑒𝑑 = √ [(𝜎1 − 𝜎2 )2 + (𝜎2 − 𝜎3 )2 + (𝜎1 − 𝜎3 )2 ] 2
Grafické znázornění podmínek plasticity Pro grafické znázornění podmínek plasticity se zavádí tzv. Haighův prostor. Souřadnicové osy tohoto prostoru jsou osami hlavních napětí. Podmínka plasticity je zde znázorněna plochou plasticity a zatěžování je znázorněno křivkou, tzv. zatěžovací dráhou. Mezní stav nastane v místě, kde zatěžovací dráha protne plochu plasticity.
Schématické znázornění Haighova prostoru, zatěžovací dráhy a mezní plochy plasticity.
Graficky znázornit podmínky plasticity lze v haighově prostoru, v oktaedrické rovině a v Mohrově rovině – viz následující obrázky.
Znázornění podmínky plasticity max τ v Haighově prostoru (a), oktaedrické rovině (b) a Mohrově rovině (c)
Znázornění podmínky plasticity HMH v Haighově prostoru (a), oktaedrické rovině (b) a Mohrově rovině (c)
Vyhledejte si sami: Na tyto otázky si odpovědi vyhledejte v dostupné literatuře – především ve skriptech PP1. Odpovědi se mnou pak můžete konzultovat. 1. Odvození vztahů pro smykové napětí v oktaedrické rovině. 2. Odvození vztahů pro redukované napětí pro prutovou napjatost.
3. Proč podmínky plasticity tvoří Haighově prostoru zrovna šestiboký hranol a válec? 4. Jaký je kvantitativní rozdíl mezi podmínkami HMH a max τ? Která je konzervativnější? 5. Jak se definuje prostá bezpečnost?
Použité zdroje Toto stručné shrnutí cvičení zdaleka není úplné a má sloužit pouze jako přehled probíraného. Bylo zpracováno s použitím dostupných zdrojů uvedených níže. [1]
JANÍČEK, P., E. ONDRÁČEK, J. VRBKA a J. BURŠA. Mechanika těles: Pružnost a pevnost I. 3., přeprac. vyd. Brno: CERM, 2004, 287 s. ISBN 80214-2592-X.
[2]
HORNÍKOVÁ, J. Pružnost a pevnost: Interaktivní učební text [online]. 1. vyd. Brno: CERM, 2003 [cit. 2015-10-07]. ISBN 80-720-4268-8. Dostupné z: http://beta.fme.vutbr.cz/cpp/
