Csesznák Anita1 ELŐREJELZÉSI MÓDSZEREK ÉS PÉNZÜGYI ALKALMAZÁSUK
A jövő megismerése mindig célja volt az embernek. Az ember cselekvéseiben mindig ott volt a jövő alakítása, saját életének illetve környezetének formálása. A tudományos jövőkutatás tárgya a várható fejlődési tendenciák, jövőképek feltárása, hatásainak, következményeinek elemzése, alternatív jövők kimunkálása. A jövőkutatást, előrejelzést el kell különítenünk a jóslástól, hiszen az előbbi mindig tudományos megalapozottsággal készül. Az üzleti előrejelzés első példáit már az ókorban megtalálhatjuk. Az első előrejelzők között volt Solon, aki i.e. 600 körül termés-előrejelzést készített. Megelégelve azokat a véleményeket, hogy a tudósok elvont elméleti dolgokkal foglalkoznak, melynek gyakorlati haszna nem sok van, megfigyelte a narancs- és fügeültetvények termésciklusait, felfedezte az azokban meglévő statisztikai törvényszerűségeket. Ezt felhasználva azt tette, ami a mai üzleti életben is megállja a helyét. Olcsón vásárolt, a rossz termésű években, amikor mindenki szabadulni akart a hasznot nem hozó, csak ráfordítást igénylő ültetvényektől. Drágán adott el, kivárva a ciklus emelkedő szakaszát, a gazdag termést hozó időszakot. Ezzel azt bizonyította, hogy az üzleti jövő jól becsülhető, ha szakmailag, tudományosan alá van támasztva. 1. A KVANTITATÍV ELŐREJELZÉSI MÓDSZEREK A kvantitatív előrejelzések a feltételezéseik, illetve kiindulási pontjaik, szemléletük szerint különböző csoportokba sorolhatók. 1.1. Matematikai-statisztikai módszerek Az első csoportba soroljuk a matematikai-statisztikai eljárásokon alapuló előrejelzési módszereket. Ezek azok a módszerek, amelyek a leginkább építenek a matematikai, legfőképpen valószínűségszámítási alapokra. A módszereket tovább csoportosíthatjuk, mely szerint megkülönböztethetjük az idősoron alapuló módszereket, illetve a sztochasztikus kapcsolat alapján történő előrejelzéseket. A. Az idősorokat felhasználó módszerek azon a feltételezésen nyugszanak, hogy a jövőben is ugyanolyan irányú és mértékű változások következnek be, mint amilyenek a vizsgált időszakban is jellemzőek voltak. Ezek közül a legegyszerűbb módszerek egyszerűen azt feltételezik, hogy a múltból induló folyamatok a jövőben is folytatódnak. Ilyenek lehetnek a trendszámítás vagy a mozgóátlagolás, mely módszereket az általános Statisztika tárgy keretein belül oktatunk. Ebbe a csoportba tartoznak azok a módszerek is, melyek már tartalmaznak a múltra vonatkozó kritikákat is. Abból indulnak ki, hogy a jelenből visszafelé haladva az adatok információértéke egyre csökken. (Ilyenek az exponenciális kiegyenlítés, Markov-lánc.)
1
BGF Pénzügyi és Számvitei Főiskolai Kar Matematika-Statisztika Tanszék, főiskolai tanársegéd.
12
CSESZNÁK ANITA: ELŐREJELZÉSI MÓDSZEREK… B. Sztochasztikus kapcsolat alapján történő előrejelzés esetében arra keresünk választ, hogy egy vagy néhány jelenség változása milyen hatást vált ki a vizsgálat tárgyát alkotó jelenségben. Ezek közül a módszerek közül szintén tanítjuk a korreláció- és regresszió-számítást. 1.2. Modellezési eljárások A második csoportba a modellezési eljárások tartoznak. Ezek igen sokfélék lehetnek. Azon az alapgondolaton nyugszik az eljárások alkalmazása, hogy az olyan modellek működtetése révén, melyek jól leírják a jelent, következtetések vonhatók le az események és folyamatok jövőbeni alakulására vonatkozóan. Ezek az eljárások általában komplex, makroszintű rendszerek elemzését teszik lehetővé. Ezek két nagy csoportja a szimulációs eljárások és a reflexiós döntési modellek. A. Szimulációs eljárások: megkérdőjelezik a jövő állandóságát, illetve, hogy a tendenciák folytatódnak. Az új hatásokat is valószínűsítik, amelyek a piaci környezetben várhatók. Ilyenkor az eredmény nem egy konkrét számérték, hanem különböző bekövetkezési valószínűségekkel jellemezhető eloszlás (Monte Carlo-módszercsalád). B. Reflexiós döntési modellek különböző jövőbeni állapotokat írnak le, illetve a legkedvezőbb állapot eléréséhez vezető döntéseket valószínűsítik. (Döntési fa, játékelméleti modellek) A fontossági fa módszer komplex rendszerek elemzéséhez nyújt módszertani eszközt. A módszerrel felvázolhatók a jövőbeni célok eléréséhez vezető alternatív utak, s kiválasztható ezek közül a legmegfelelőbbnek tűnő alternatíva. A módszer családfának nevezi valamely jövőbeni folyamat különböző tényezőinek hierarchikusan egymás alá- és fölérendelt szintekre történő besorolását, illetve mellérendelését. Ha a családfát a végcélból kiindulva, az odavezető alternatív utak számbavétele és összehasonlítása érdekében építik fel, akkor ez a probléma megoldásának, a végcélhoz való eljutásának a célfáját eredményezi. Megmutatja, hogy adott cél eléréséhez milyen részcélokat kell teljesíteni. • • • •
A döntési fára épülő módszer előnyei: segít a döntési probléma teljes körű átgondolásában; kiszámítjuk minden egyes kimenetel értékét; megkapjuk az egyes döntési alternatívák várható hozamát; alternatív kutatási projektek megvalósíthatóságát tudjuk becsülni.
A módszer jelentős korlátja, hogy a megfelelő objektivitás elérése nehézkes és sokoldalú elemzést kíván. Vagyis rendkívül költség- és munkaigényes. A módszer két formában terjedt el, bár ezekre építve további eljárásokat is kidolgoztak. 1.3. Kollektív szakértői megkérdezés A kollektív szakértői megkérdezésen alapuló előrejelzési módszerek tartoznak a harmadik csoportba. A módszer lényege, hogy az adott témában jártas szakértők becsléseire, szakértői előrejelzéseire támaszkodva vonhatók le következtetések a jövőre. Az előrejelzések mögött ilyenkor a szakértők hosszú évek alatt felhalmozódott tapasztalata, tudása áll. Ezek nem tudománytalan jóslások, hanem a már megismert törvényszerűségek gyakorlati alkalmazása. A szakértői válaszok értékelésének viszonylag jól bevált módjai vannak. A mi szempontunkból érdekes lehet az, hogy a csoport átlagos véleményének szinte mindig a számtani közepet, illetve a mediánt tekintik. Az átlagképzéssel elvész a kisebbség véleménye, de általában az átlagtól jelentősen eltérő becsléseket külön is elemzik. A kollektív szakértői megkérdezésen alapuló eljárásoknak is vannak hiányosságai, melyek nehezen küszöbölhetők ki. A módszer talán két legfontosabb fogyatékossága: • a szakértők általában nem azonos aktivitással vesznek részt az intuitív gondolkodás folyamatában, • a szakértők becsléseit és állásfoglalását a tudományos érveken kívül más –szubjektív – érvek is befolyásolják.
13
KÜLKERESKEDELMI FŐISKOLAI FÜZETEK, 11. 2. AZ IDŐSOROKAT FELHASZNÁLÓ MÓDSZEREK Az idősorokat felhasználó módszerek alkalmazására szeretnék a későbbiekben példákat bemutatni. Ehhez nézzük meg ezeket a módszereket kicsit részletesebben. • Egyszerű extrapoláció a múltból rendelkezésre álló adatok alapján számítható tendenciát gépiesen kivetíti a jövőbe (trendszámítás, mozgóátlagolás). • Módosított extrapoláció során abból indulnak ki, hogy a jelenből visszafelé haladva az adatok információértéke egyre csökken (exponenciális kiegyenlítés). 2.1. Mozgóátlagolás A módszer alapjait az „Általános statisztika” tárgy keretein belül oktatjuk a másodéveseknek. Azt tanítjuk, hogy az idősor t-edik eleméhez úgy rendelünk trendértéket, hogy átlagoljuk az idősor t-edik elemének bizonyos környezetében lévő elemeket. Mindig fontos döntés, hogy hány elemet átlagolunk a t-edik érték körül. A mozgóátlagolás gyakorlati alkalmazásaként a részvények árfolyamának elemzését szeretném bemutatni. Ebben az esetben fontos, hogy a trendértéket, azaz a mozgóátlag értékét mindig az utolsó megfigyeléshez rendelik hozzá. Ha a részvények árfolyamát naponként figyeljük meg, akkor egy adott nap mozgóátlaga az utolsó m nap átlagát jelöli. Én az OTP részvények árfolyamát vizsgáltam 2001. július 23-tól 2001. október 1-ig. A vizsgálat során öttagú mozgó átlagot számítottam. Az öttagú választását igazolja, hogy egy héten a leggyakrabban 5 nap van tőzsde, így általában ennyi a heti megfigyelések száma. Több megfigyelés esetén képezhetünk több tagú mozgóátlagot is, a hosszabb távú tényleges elemzéskor akár 13-15 tagú átlagolást is végezhetünk.
1. ábra Az OTP törzsrészvény árfolyamának alakulása
A módszer kisimítja a rövidebb távú árfolyam-ingadozásokat, és csak a fő trendet hagyja meg. Mivel azonban egy időben később lévő naphoz rendeli az átlagolt értéket, ezzel az ingadozásokat is később jelzi, azaz időben elcsúsztatja az árfolyam mozgásait. Ha az árfolyam folyamatosan csökken, akkor az időben korábbi, magasabb értékek az aktuális érték fölé emelik a mozgóátlag értékét. Vagyis a mozgóátlag grafikonja az aktuális szint fölött van, ezzel jelezve a részvény értékének esését. Ha a trend megfordul, akkor a mozgóátlag az aktuális értékek alatt van, ami a hosszú távú emelkedést jelzi.
14
CSESZNÁK ANITA: ELŐREJELZÉSI MÓDSZEREK… Jelen példánkban (1. ábra) az öttagú mozgóátlag ábráját elemezve azt tapasztaljuk, hogy a mozgóátlag értéke augusztus 8-ig az aktuális érték alatt maradt. Ezzel jelzi azt, hogy a részvény értéke folyamatosan nő. Ezután az átlag értéke a valós adatok fölött helyezkedik el, ezzel azt jelzi, hogy a részvények értéke csökkenő. Amikor a trend és a tényleges megfigyelések értéke egybeesik, annak a pontnak kitüntetett szerepe van. Amikor a mozgóátlag alulról metszi a tényleges értékek grafikonját, azt eladási jelzésnek nevezzük. Ez azt jelenti, hogy a mozgóátlag jelzi, hogy a tendencia megfordult, azaz a részvény értéke várhatóan csökken. Ezért nevezik ezt a pontot eladási jelzésnek. Ezt követően (1-2 kivételtől eltekintve) szeptember 10-ig az átlag értéke a tényleges értékek fölött volt, ami azt jelzi, hogy csökkent a részvények árfolyama. Szeptember 10-én egybeesett a két grafikon, de most az átlag felülről metszi a tényleges árfolyamok grafikonját. Ezt a pontot eladási jelzésnek nevezzük. A többi érték is hasonlóan értelmezhető. Azt az elemzések során mindenképpen szem előtt kell tartani, hogy egyáltalán nem biztos, hogy egy elkezdődött tendencia folytatódni fog. Ezt a mozgóátlag nem jelzi, nem is jelezheti. A komolyabb elemzések több, különböző tagszámú mozgóátlag összevetésével készülnek. 2.2. Az exponenciális kiegyenlítés (exponenciális simítás) A módszer alapelve az, hogy a megfigyelt folyamatban, a múltban „távolabb” lévő adatok szerepe (súlya) kisebb, mint az időben „közelebb” lévő adatoké. Ezt az elvet úgy veszi figyelembe, hogy a megfigyelt és becsült adatokhoz súlyszámokat rendel, és ez a súly a múltban visszafelé haladva monoton csökken. A simító eljárásoknak sajátos helyük van az idősor-modellek között. Elvetik a determinisztikus idősor-elemzés előre elrendelt, hosszú távú pályájának koncepcióját is. Alapvető filozófiájuk az igazodás, a negatív visszacsatolás, azaz az előrejelzések hibáiból való szisztematikus tanulás. A simító eljárásokat kiegyenlítő módszereknek is nevezik. Alkalmazott módszereiket illetően a megismert eljárások közül a mozgóátlagolással mutatnak rokonságot. 2.2.1. Egyszeres exponenciális kiegyenlítés A módszer alapváltozata az egyszeres exponenciális simítás. Feltételezi, hogy az idősorban csak véletlen komponens lép fel, vagyis a megfigyelt értékek egy állandó körül ingadoznak. A simítási konstanst α-val jelöljük, ahol 0 ≤ α ≤ 1 (0–1). Az alfa paraméter fejezi ki a simítást, az igazodás mértékét, amely azt mondja meg, hogy milyen mértékben vesszük figyelembe az elkövetett hibát. Ha ugyanis alfa kicsi (0 körüli), akkor a hibát gyakorlatilag elhanyagoljuk, előrebecslésünk szinte megegyezik az előző előrebecsléssel. Ha viszont alfa nagy (1 körüli érték), akkor az előrejelzés erősen átveszi a hibákat, ugyanakkor nem szűri ki a véletlen ingadozásokat, nem rajzolja ki a tendenciát. Ezért az alfa helyes megválasztása kulcsfontosságú. Vagyis felmerül a kérdés, milyen alfa választása az optimális. Több alternatív kritérium alkalmazásával kísérleteznek, de a leggyakoribb talán mégis az, amikor számítógépes keresőeljárással meghatározzák azt az alfát, amely mellett a simított és az eredeti sor eltérésének négyzetösszege a legkisebb. Az egyszeres exponenciális simítás egyenlete a következő:
ˆ ˆ ˆ ˆ yt +1 = yt + α ( yt − yt ) = (1 − α ) yt + αyt
0≤α≤1
ahol: ˆ yi
yi
az i. időszakra vonatkozó trend szerinti érték az i. időszakra vonatkozó tényleges megfigyelés Az egyszeres exponenciális simítás csak egy időszakra ad érdemi előrejelzést.
15
KÜLKERESKEDELMI FŐISKOLAI FÜZETEK, 11. Az egyszeres exponenciális simításra példaként nézzük meg a dollár márkához viszonyított keresztárfolyamának alakulását. Az alapadatok 1991 januárjától 2001 szeptemberéig álltak rendelkezésre.
2. ábra A dollár márka keresztárfolyam
Az egyszeres simítás alkalmazásának feltétele az, hogy az idősorban ne legyen jelen tartós tendencia. Mivel az idősor végén tartós növekedés figyelhető meg, ezért a simítást csak 1999. januárig végeztem el. A kisimítást két alfa érték mellett is elvégeztem, hogy látható legyen az eltérés a különböző simító paraméterek esetén. Nagyobb alfa esetén az exponenciális simítás jobban követi a tényleges megfigyeléseket. Kisebb alfa jobban simítja az idősort, vagyis már csak a hosszabb távú ingadozásokat hagyja meg.
3. ábra Alapadatok és a simítás
16
CSESZNÁK ANITA: ELŐREJELZÉSI MÓDSZEREK… 2.2.2. Kettős exponenciális simítás Amikor az idősor vélhetően lineáris trendet követ, ekkor az egyszeres simítást nem célszerű használni. Ezért dolgoztak ki olyan, összetettebb simító eljárásokat, amelyek az alapgondolat megtartásával előrebecslések készítése során figyelembe tudják venni a trend jelenlétét. Ezek legegyszerűbbike a Brown-féle kettős simítás, amely azon a felismerésen nyugszik, hogy a kétszeres simítás bevezetésével, alkalmas (nagy) alfa esetén a trendhatást továbbvivő előrejelzések készíthetők. A kétszeres simítás nem más, mint az egyszeresen simított sor ismételt egyszeres simítása. Némi jelölésbeli módosítással írjuk fel a már ismert simító egyenletet. Az eddig tárgyalt alapesetben ugyanis az előrejelzett és a simított értékek megegyeztek, de ez általában nincs így. Ezért most a simított értéket St(1) -gyel jelöljük, ahol az (1) index az egyszeres simításra utal, a t pedig azt az időszakot jelöli, amelyre a simítás vonatkozik. Ennek megfelelően az egyszeres simítás egyenlete: S t(1 ) = αyt + (1 − α )S t(1−1) ahol yt a t. időszakra vonatkozó tényleges megfigyelés. A kétszeres simítás egyenlete pedig: S t( 2 ) = αS t(1 ) + (1 − α )S t2−1
Ezúttal is problémát jelent a kezdeti érték választása, most is a korábbi elvek alapján választjuk meg az induló értéket, tehát a folyamat első elemét tekintjük. Ekkor a kettős exponenciális simítás legegyszerűbb esete az előrejelzést az ˆ yt +1 = 2S t(1 ) − S t(−21)
egyenlettel adja meg. Látható, hogy az előrejelzés egyenlete felhasználja az egyszeresen kiigazított idősort és a kétszeresen simított idősor adatait is. Kimutatható, hogy nagy alfák esetén a torzítás elenyésző lehet, α=1 esetben a torzítás teljesen eltűnik. Kis alfák esetén ezúttal is erős, nagyobbak esetén gyengébb a simítás. A kettős simítás, jóllehet már alkalmas előrejelzésre, nem mentes problémáktól. Ezek közül megemlítjük azt, hogy kisebb alfák esetén az előrejelzés torzítása számottevő lehet, továbbá azt is, hogy az eljárás, (főként kis alfák esetén) érzékeny az induló értékekre. Nagyobb simítás esetén az eljárás hajlamos a követésre. Kidolgoztak olyan módszereket, melyek megpróbálják ezeket a hibákat kiküszöbölni. A Brown-féle korrigált kettős exponenciális simítás az előbb említett módszer továbbfejlesztése. Erre példaként a dollár forinthoz viszonyított árfolyamát vizsgáltam meg. Az adatok szintén 1991től 2001. szeptemberig álltak rendelkezésemre. Mivel a módszer alkalmazásának az előfeltételeihez hozzátartozik az, hogy az idősorban lineáris tendencia legyen, ezért megvizsgáltam, hogy ez teljesül-e. A következő ábrára felraktam a lineáris trendet leíró egyenletet, valamint az illeszkedést jelző R2 értékét. Látható (4. ábra), hogy a lineáris trend jó közelítésnek tekinthető, hiszen az R2 (a determinációs együttható) azt jelzi, hogy az idő mint változó, a dollár-árfolyam varianciájának 96,21%-át magyarázza.
17
KÜLKERESKEDELMI FŐISKOLAI FÜZETEK, 11.
4. ábra Az USD árfolyamának alakulása
Megjegyzendő, hogy az idősor végén (a 2000. év közepétől) a trendtől való eltérés jelentősnek tekinthető. Ez az eltérés a későbbiekben is befolyásolja majd az eredményeinket. A kétszeres simítás már az előzőekben megismert egyenlete alapján elvégeztem a kiegyenlítést. Az α értékének 0,1-et választottam. Mivel az alfának kis értéket választottam ezért azt várjuk, hogy viszonylag jelentős torzítást figyelhetünk majd meg. Az ábrán látszik az, hogy a simítás valóban torzított a teljes idősoron. A kisimított értékek folyamatosan a tényleges értékek alatt vannak. Ennek oka az, hogy az idősorban a megfigyelésünk tárgya, a dollár árfolyama folyamatosan növekszik. Az exponenciális kiegyenlítésben azonban a régebbi megfigyelések is szerepelnek bizonyos súllyal.
5. ábra Az alapadatok és a kétszeres simítás
18
CSESZNÁK ANITA: ELŐREJELZÉSI MÓDSZEREK… Sokkal jobb illeszkedést kapunk akkor, ha egy ábrára helyezzük a tényleges megfigyeléseinket és az előrejelzési egyenlettel megkapott értékeket. Ekkor látjuk igazán, hogy az előrejelzések mennyire pontosak. Látszik, hogy csak ott jelentős az eltérés a tényleges megfigyelések és az előrejelzés között, ahol amúgy is nagy volt a lineáris trendtől való eltérés. Vagyis csak az idősor végére nem tudtunk pontos becslést adni. Ezzel a módszerrel tetszőleges számú időszakra tudunk előrejelzést készíteni.
6. ábra Az előrejelzés és az alapadatok
Összehasonlíthatjuk egymással a lineáris trend és az exponenciális kiegyenlítéssel adott előrejelzés illeszkedését. Kiszámítottam mindkét esetben a reziduális eltérés-négyzetösszegeket, azaz a ˆ
∑ yt − yt
2
kifejezés értékét. Azt kaptam, hogy az eltérések négyzetösszege a lineáris trend esetében 27362,32, míg az exponenciális kiegyenlítéssel készített trend esetében 6005,89. Vagyis az eltérés sokkal kisebb akkor, ha a kiegyenlítéssel készítjük a trendet. Ezzel együtt az előrejelzéseink is sokkal pontosabbak ezzel a módszerrel, mintha egyszerűen a lineáris trendet „húznánk tovább”. Előrejelzések készítésére, mint látható, nagyon sok módszer felhasználható. A becsléseket végző szakértők egyik fontos feladata, hogy az adott feltételek alapján kiválasszák azt az eljárást, amely a probléma megoldására felhasználható. Remélem, hogy ehhez támpontokat tudtam adni.
19
