Hoofdstuk 3
Convectiecoëfficiënten en ladingsverliezen bij éénfasige stroming 3.1 Inleiding Eén-fasige stroming is de meest voorkomende stroming in een warmtewisselaar. Zelfs bij een condensor of een verdamper treedt aan de ene zijde nog steeds een één-fase-stroming op. Dit hoofdstuk bevat een overzicht van de belangrijkste correlaties voor de bepaling van de convectiecoëfficiënt voor stromingen zoals die vaak optreden in warmtewisselaars. Voor de theoretische afleiding van de correlaties wordt verwezen naar de cursus Warmteoverdracht 1. Het is duidelijk dat in deze cursus slechts een beperkt overzicht kan worden gegeven. Voor meer details en specifieke gevallen wordt verwezen naar de literatuur [3][4][5][6]. In een tweede deel worden de belangrijkste correlaties behandeld voor de bepaling van het ladingsverlies in het geval van een één-fase-stroming. Hierbij wordt zowel de stroming in een buis als in bochten, kleppen, ... behandeld. Voor de gedetailleerde bespreking wordt verwezen naar de cursus Stromingsleer 1 en naar [3][5].
3.2 Kengetallen voor warmtewisselaars
stromingen
en
warmteoverdracht
in
Bij warmtewisselaars zijn de meeste stromingen op een of andere wijze verwant met een stroming in een pijp. De belangrijkste correlaties voor warmtewisselaars zijn dan ook deze voor laminaire en turbulente gedwongen convectie in en rond buizen. Als een viskeuze vloeistof in een buis binnenstroomt, zal een grenslaag gevormd worden langsheen de wand. De grenslaag zal geleidelijk de volledige doorsnede van de buis vullen, waarbij men dan spreekt over volledig ontwikkelde stroming. De afstand waar het snelheidsprofiel volledig ontwikkeld is, noemt men de hydrodynamische instroomlengte. Als een wand wordt verwarmd of gekoeld zal er ook een thermische grenslaag ontstaan langsheen de wand. Men kan eveneens spreken van een thermische instroomlengte, waar het temperatuursprofiel volledig is ontwikkeld. Als verwarming of koeling van bij de intrede in buis begint, zullen de hydrodynamische en de thermische grenslaag zich tegelijkertijd ontwikkelen. Er kunnen dan ook 4 verschillende regimes worden onderscheiden die bepalend zijn voor de warmteoverdracht. Deze regimes zijn samengevat in tabel 3.1.
38
hydrodynamisch niet ontwikkeld thermisch niet ontwikkeld hydrodynamisch niet ontwikkeld thermisch volledig ontwikkeld
hydrodynamisch volledig ontwikkeld thermisch niet ontwikkeld hydrodynamisch volledig ontwikkeld thermisch volledig ontwikkeld
Tabel 3.1. De stromingsregimes in en buis
De ontwikkeling van de grenslagen en karakteristieken van de stroming hangen samen met een aantal kengetallen: Het Reynolds-getal:
Re =
vd ν
met v de snelheid van de stroming, d de diameter van de buis en ν de kinematische viscositeit. Het Prandtl-getal:
Pr =
µcp λ
met µ de dynamische viscositeit, cp de warmtecapaciteit en λ de warmtegeleidbaarheid van het fluïdum. Het Nusselt-getal:
Nu =
hd λ
met h de convectiecoëfficiënt. Als Pr hoog is (zoals bij oliën), wordt het snelheidsprofiel sneller ingesteld dan het temperatuurprofiel. Bij een laag Prandtl-getal, zoals bij vloeibare metalen, wordt het temperatuurprofiel het eerst gerealiseerd. Bij Pr = 1 (zoals bij gassen) stellen beide profielen zich tegelijk in. Het Reynolds-getal bepaalt het laminair of turbulent zijn van de stroming. Als Re ≤ 2300 spreekt men van laminaire stroming. Eens het Reynoldsgetal groter dan 2300 is, ontstaan er wervels in de stroming. Naarmate de snelheid toeneemt, neemt het aantal wervels toe. Als Re ≥ 104 is de stroming volledig turbulent. Tenslotte kan de warmteflux tussen de wand en het fluïdum worden uitgedrukt op ieder punt als
& δQ = h x (Tw − Tb ) x dA met hx de lokale warmteoverdrachtscoëfficiënt, gedefinieerd aan de binnenzijde van de buis, gebruik makend van de convectieve randvoorwaarde als:
∂T )x ∂y hx = (Tw − Tb ) x −λ (
39
met T de temperatuursverdeling volgens de richting y loodrecht op de wand, Tw de wandtemperatuur en Tb de temperatuur in de hoofdstroming (E: bulk). Voor een onsamendrukbaar fluïdum is Tb gedefinieerd als
Tb =
1 uTdA c A c u m ∫A c
Wat betekent dat Tb de gemiddelde temperatuur is over de sectie gewogen met de snelheid u en de gemiddelde snelheid um op positie x.
3.3 Laminaire, gedwongen convectie in buizen Voor laminaire stroming in buizen (Red < 2300) gelden volgende correlaties: Voor volledig ontwikkelde stroming (hydrodynamisch en thermisch) (L > 0.0575 Redd): 1/ 3
3 ⎡ Re Pr di 1/ 3 ⎡ ⎤ ⎤ Nu L = ⎢3.663 + 0.73 + ⎢1.615( d ) − 0.7 ⎥ ⎥ L ⎣ ⎦ ⎥⎦ ⎢⎣
(3.1)
Voor korte buizen, kan een niet-ontwikkelde stroming ontstaan. De vergelijking wordt dan voor 0.5 < Pr < 500:
Nu L = 0.664 Pr1/ 3 (
Red Pr di 1/ 2 ) L
(3.2)
3.4 Turbulente, gedwongen convectie in buizen Voor turbulente stroming (ontwikkeld en niet-ontwikkeld) (Red > 2300 en 0.5 < Pr < 2000) geldt de vergelijking van Gnielinski [7]:
f (Red − 1000) Pr di 2 / 3 ⎤ ⎡ 2 Nu T = ⎢1 + ( L ) ⎥ f 1/ 2 2 / 3 ⎦ 1 + 12.7( ) (Pr − 1) ⎣ 2
(3.3)
f = (1.58ln(Red ) − 3.28)−2
(3.4_
3.5 Gedwongen convectie over bundels Een van de meest ingewikkelde en tegelijk meest voorkomende warmtewisselende oppervlakken is de buizenbundel. De schikking van de buizen in een bundel kan parallel zijn of in een zigzagpatroon. Bundels worden gekenmerkt door de buisdiameter du, de buissteek Xt in transversale richting en de buissteek in de longitudinale richting Xl of de diagonale richting Xd. In figuur 3.1 worden de verschillende schikkingen gegeven.
40
Figuur 3.1. Verschillend schikkingen van de pijpen in de bundel
Een goed overzicht wordt gegeven door Zukauskas [8]. Algemeen kan de warmteoverdracht over een bundel van gladde buizen worden bepaald met een vergelijking van de vorm:
Nu = c Reb Prb (
Prb p ) Prw
Waarbij de index b staat voor de hoofdstroming en w voor de eigenschappen op de wand (zie ook 3.7). De gaseigenschappen worden bepaald respectievelijk in de hoofdstroming of op de wand en voor het Reynolds-getal wordt de uitwendige diameter van de buizen du gebruikt. De snelheid waarbij Re wordt bepaald is de maximale gemiddelde snelheid die optreedt in de bundel, of met andere woorden de snelheid in de smalste sectie van de bundel. Voor bundels met parallelle schikking gelden volgende vergelijkingen
Prb 0.25 ) voor Reb = 1 − 102 Prw
(3.6)
Prb 0.25 ) voor Reb = 102 − 103 Prw
(3.7)
Prb 0.25 ) voor Reb = 103 − 2 105 Prw
(3.8)
Prb 0.25 ) voor Reb = 2 105 − 2 106 Prw
(3.9)
0.36 Nu = 0.9cn Re0.4 ( b Prb
0.36 Nu = 0.52cn Re0.5 b Prb (
0.36 Nu = 0.27cn Re0.63 ( b Prb
0.4 Nu = 0.033cn Re0.8 b Prb (
De correctiefactor cn is nodig bij korte bundels. Voor het aantal rijen n >16 is het effect van het aantal buizen verwaarloosbaar, zoals getoond in figuur 3.2. Deze figuur geeft ook de waarde voor cn.
41
Figuur 3.2. Correctiefactor voor bundels
Voor bundels met zigzagschikking gelden volgende vergelijkingen
Prb 0.25 ) voor Reb = 1 − 500 Prw
(3.10)
Prb 0.25 ) voor Reb = 500 − 103 Prw
(3.11)
Prb 0.25 x t 0,2 ) ( ) voor Reb = 103 − 2 105 Prw xl
(3.12)
Prb 0.25 x t 0,2 ) ( ) voor Reb = 2 105 − 2 106 Prw xl
(3.13)
0.36 Nu = 1.04cn Re0.4 ( b Prb
0.36 Nu = 0.71cn Re0.5 ( b Prb
0.36 Nu = 0.35cn Re0.6 ( b Prb
0.4 Nu = 0.031cn Re0.8 b Prb (
3.6 Ladingsverlies 3.6.1 Stroming in buizen Voor een volontwikkelde stroming in een buis kan voor het ladingsverlies (∆p) de volgende relatie voor zowel laminaire en turbulente stroming worden geschreven:
∆p = φ(u m , di , ρ, µ, e) L
(3.14)
waarbij L de lengte en di de inwendige diameter van de buis voorstellen en e een maat voor de oppervlakteruwheid van de buiswand uitgedrukt in meter.
42
Op basis van de gelijkvormigheidstheorie kan een Fanning-wrijvingscoëfficiënt worden afgeleid:
f=
∆p
L ρu 2 4( )( m ) di
= φ(Re,
e ) di
(3.15)
2
In figuur 3.3 wordt de laatste relatie grafisch weergegeven, zoals die door Moody werd afgeleid uit verschillende experimentele gegevens.
Figuur 3.3. Diagram van Moody
Voor laminaire stroming in buizen geldt dat
f=
16 Re
(3.16)
Voor turbulente stromingen staan een aantal correlaties in tabel 3.2. In de hierboven vermelde correlatie van Gnielinski voor turbulente warmteoverdracht, geeft de f eveneens de wrijvingsfactor. Bron Blasius Drew, Koo en McAdams Karman-Nikuradse Filionenko
Correlatie
f = 0.079 Re
−0.25
f = 0.0014 + 0.125 Re−0.32 1 − 1.737 ln(Re f ) − 0.4 f
f = (3.64 log10 Re− 3.28)−2
Tabel 3.2. Fanning-factoren voor turbulente stroming
43
Beperkingen
4 103 < Re < 105 4 103 < Re < 5105 4 103 < Re < 3105 103 < Re < 105
3.6.2 Stroming over buizen en buizenbundels Bundels zijn veel voorkomende geometrieën in warmtewisselaars. De schikking van de buizen in een bundel kan parallel zijn of in een zigzagpatroon. Bundels worden gekenmerkt door de buisdiameter du en de verhouding van de buissteek en de buisdiameter in de transversale (X*t =
(X*d =
Xt X ) , de longitudinale richting (X*l = l ) of de diagonale richting du du
Xd ) . Het ladingsverlies over een bundel kan worden uitgedrukt door du Eu 1 ∆p = ( )χ ρu 02 n χ 2
met het Euler-getal Eu =
2∆p ρu 02 n
(3.17)
gedefinieerd per rij, u0 de gemiddelde snelheid in de
minimale sectie tussen de buizen en n het aantal rijen buizen in de stromingsrichting.
u d ρ In figuren 3.4 en 3.5 wordt het Euler-getal gegeven als functie van Re = 0 u en µ
(X*l
= X*t ) [8]. Voor het geval dat
(X*l
≠ X*t ) , wordt er een correctiefactor χ bepaald via de
inzet in figuren 3.4 en 3.5.
Figuur 3.4. Ladingsverlies in een bundel
44
Figuur 3.5. Ladingsverlies in een bundel
3.6.3 Ladingsverlies in bochten en toebehoren Voor het bepalen van het pompvermogen vereist om fluïda doorheen de warmtewisselaar te pompen is het nodig om ook de ladingsverliezen in de toevoer- en afvoerleidingen te begroten. Voor meer details wordt verwezen naar de cursus Stromingsleer 1. De eenvoudigste wijze om het ladingsverlies te beschrijven, is het bepalen van een equivalente lengte Le. Vergelijkingen (3.14) en (3.15) kunnen worden toegepast, waarbij bij de lengte L van de leidingen, de lengte Le voor iedere bocht of toebehoren wordt bijgeteld. Voor veel voorkomende stukken worden in figuur 3.6 de nodige waarden gegeven.
45
Figuur 3.6. Ladingsverlies in een bundel
46
3.7 Fysische eigenschappen De bepaling van de fysische eigenschappen van de fluïda die door de warmtewisselaar stromen dient met zorg te gebeuren. Meestal worden constante eigenschappen aangenomen doorheen de warmtewisselaar. Dit wil zeggen dat de variatie met de temperatuur van de stofeigenschappen wordt verwaarloosd. Een goede keuze van de temperatuur waarbij de stofeigenschappen worden bepaald is van groot belang. Er wordt steeds gewerkt met de eigenschappen bij de bulktemperatuur. Een goede benadering van de bulktemperatuur is het gemiddelde nemen van de ingangs- en uitgangstemperatuur van het fluïdum [3]. Indien de uitgangstemperatuur aanvankelijk niet gekend is, is iteratie noodzakelijk. Indien er grote temperatuurverschillen zijn tussen het ene en het andere fluïdum, zal de grote temperatuursgradiënt over de wand ervoor zorgen dat de veronderstelling van constante stofeigenschappen niet opgaat. Om hiervoor te corrigeren wordt een correctieterm toegevoegd aan de correlaties met constante stofeigenschappen. Voor vloeistoffen is vooral de verandering met de temperatuur van de viscositeit van de hoofdstroming naar de wand van belang. Voor het Nusselt-getal en de wrijvingscoëfficiënten worden de volgende correcties gebruikt
µ Nu = ( b )n Nu c µw
(3.18)
µ f = ( b )m fc µw
(3.19)
Hierin staat de index c voor het het resultaat met constante stofeigenschappen, b voor de hoofdstroming en w voor de wand. Voor gassen varieert de viscositeit met de absolute temperatuur (K). De correcties worden dan ook:
T Nu = ( w )n Nu c Tw
(3.20)
De machten n en m hangen af van het stromingstype en de condities waaronder wordt gewerkt. In tabel 3.3 staan de condities en waarden vermeld. Voor stromingen door bundels kan gecorrigeerd worden voor variabele gaseigenschappen door [8]:
µ Eu c = Eu( w )p µb
(3.22)
p ≈ 0 voor Re > 103
(3.23)
p = −0.0018 Re + 0.28 voor vloeistoffen bij Re ≤ 103
(3.24)
p = −0.0026 Re + 0.43 voor gassen bij Re ≤ 103
(3.25)
47
Tabel 3.3. De exponenten n en m voor vergelijkingen (3.18), (3.19), (3.20) en (3.21)
48
