I. OPTIMISASI FUNGSI TANPA KENDALA Untuk fungsi dua peubah z = f ( x, y ) yang terdiferensial dua kali.
Jika di titik P ( x0 , y 0 ) dipenuhi : ∂z =0 ∂x ∂z =0 ∂y
⎫ ⎪⎪ ⎬ ..... (syarat stasioner) ⎪ ⎪⎭
∂2z ∂2z . ∂x 2 ∂y 2
⎛ ∂2z ⎞ ⎟⎟ > 0 − ⎜⎜ ⎝ ∂x∂y ⎠
2
maka z mencapai ekstrim di P ( x0 , y 0 ) . Jika : ∂2z > 0 maka z mencapai ekstrim minimum ∂x 2 ∂2z ii). 2 < 0 maka z mencapai ekstrim maksimum ∂x i ).
Contoh
Produksi dua jenis sepatu A dan B memberikan fungsi keuntungan bulanan sebagai berikut : z = − x 2 − xy − 2 y 2 + 5 x + 13 y dengan z = keuntungan x = tingkat produksi A y = tingkat produksi B Tentukan nilai (x,y) yang memaksimalkan z Penyelesaian ∂z = 0 ⇔ −2 x − y + 5 = 0 x1 − 2 x − y + 5 = 0 ∂x ∂z = 0 ⇔ − x − 4 y + 13 = 0 x 2 − 2 x − 8 y + 26 = 0 ∂y diperoleh : 7 y - 21 = 0 ⇔ y = 3 ⇒ x = 1 Jadi P(1,3) adalah titik stasioner ∂2z ∂2z . ∂x 2 ∂y 2
2
⎛ ∂2z ⎞ ⎟⎟ = (−2)(−4) − (−1) 2 = 7 > 0 − ⎜⎜ ⎝ ∂x∂y ⎠
1
Jadi z mencapai ekstrim di titik P (1,3) . ∂2z = −2 < 0 berarti ekstrim z merupakan ekstrim maksimum ∂x 2
Jadi supaya keuntungan maksimum maka harus diproduksi 1 unit A dan 3 unit B perbulan. Ekstrim di titik stasioner P (1,3) disebut ekstrim stasioner.
II. OPTIMISASI FUNGSI DENGAN KENDALA Contoh
1.
Peternak ayam mempunyai kawat sepanjang 24 m yang akan digunakan untuk memagari kandang ayam berbentuk persegi panjang. Bagaimana ukuran kandang agar luasnya maksimum? Penyelesaian Misalkan p = panjang kandang q = lebar kandang maka luas kandang adalah L = p. q dan keliling adalah 2( p + q ) = 24 Akan ditentukan p dan q tak negatif yang memaksimumkan luas kandang L d engan kendala panjang kawat 2( p + q ) = 24. Permasalahan di atas adalah masalah optimisasi fungsi dua peubah dengan kendala berbentuk persamaan. Untuk menyelesaikan masalah di atas dibawa menjadi bentuk soal ekstrim fungsi satu peubah tanpa kendala ( dengan cara eliminasi). 2( p + q ) = 24 ⇒ q = 12 − p ⇒ Lmaks = p (12 − p ) = 12 p − p 2 ⇓ L' = 0 ⇔ 12 − 2 p = 0 ⇔ p = 6 ⇒ q = 6 Jadi titik P(6,6) adalah calon titik ekstrim Karena L" = −2 < 0 maka L mencapai ekstrim maksimum di titik P(6,6) Jadi Lmaks = p.q = 36
Artinya kandang dibuat dengan ukuran 6 x 6 ( bentuk persegi).
2
Tentukan semua ekstrim fungsi F ( x) = x 2 , − 1 ≤ x ≤ 2
2.
Penyelesaian Masalah
di
atas
adalah
masalah
ekstrim
dengan
kendala
berbentuk
pertidaksamaan.
F ' ( x) = 0 ⇔ 2 x = 0 ⇔ x = 0 adalah calon titik ekstrim. Karena F " ( x) = 2 > 0 maka F mencapai minimum di titik (0,0) disebut ekstrim stasioner Untuk x = −1 dan x = 2 fungsi F mencapai maksimum lokal, disebut sebagai ekstrim batas. Diberikan fungsi f ( x, y ) = 100 − x − y . Tentukan semua ekstrim fungsi f
3.
Penyelesaian ∂f ⎫ = −1 ≠ 0 ⎪ ∂x ⎪ ⎬ ...... tidak mempunyai ekstrim stasioner. ∂f = −1 ≠ 0 ⎪ ⎪⎭ ∂y
Modifikasi soal : f ( x, y ) = 100 − x − y , x ≤ 40 , y ≤ 20. Penyelesaian Fungsi f di atas mencapai minimum di titik P (40,20) dengan nilai f min = 40 disebut sebagai ekstrim batas.
Secara umum masalah ekstrim dengan kendala dapat dirumuskan sebagai berikut : a.
Ekstrim dengan kendala berbentuk persamaan Mencari x j yang mengoptimumkan fungsi f = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) Dengan kendala g i ( x1 , x 2 ,..., x n ) = 0 , i = 1,2,..., m. Salah satu penyelesaian masalah di atas dengan metode Pengganda Lagrange.
b.
Ekstrim dengan kendala berbentuk pertidaksamaan Mencari x j yang mengoptimumkan fungsi f = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) Dengan kendala g i ( x1 , x 2 ,..., x n )(≤, =, ≥)0 , i = 1,2,..., m.
3
MASALAH PROGRAM LINEAR
Jika b. memenuhi : f dan g i masing-masing fungsi linear dan x j ≥ 0 , j = 1,2,..., n ,
i = 1,2,..., m maka masalah b. disebut masalah program linear (PL). Jadi ekstrim dalam PL selalu berupa ekstrim batas. Secara umum masalah PL dirumuskan sebagai berikut : Mencari : x1 , x 2 ,..., x n yang memaksimumkan(meminimumkan) fungsi f = c1 x1 + c 2 x 2 + ... + c n x n dengan kendala : a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n (≤, =, ≥)b1 a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n (≤, =, ≥)b2 M a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n (≤, =, ≥)bm x j ≥ 0 , j = 1,2,..., n. atau Mencari : n
x j , j = 1,2,..., n yang memaksimumkan(meminimumkan) fungsi f = ∑ c j x j j =1
dengan kendala : n
∑a j =1
ij
x j (≤, =, ≥)bi , i = 1,2,..., m
xj ≥ 0
j = 1,2,..., n
(i ) (ii )
dengan f disebut fungsi sasaran, (i) disebut kendala utama, (ii) disebut kendala tak negative, x j disebut variabel keputusan, aij disebut koefisien teknis, bi disebut suku tetap, cij disebut koefisien ongkos. atau (bentuk matriks) Mencari :
X yang memaksimumkan(meminimumkan) fungsi f = CX dengan kendala :
4
AX (≤, =, ≥) B X ≥0 dengan ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ X = ⎢ 2⎥ ⎢M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn ⎦
Amxn = (X ij )
C = (c1 , c 2 ,..., c n )
⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜b ⎟ B=⎜ 2 ⎟ M ⎜ ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ m⎠
CONTOH (PRODUKSI PERTANIAN)
Sekelompok petani transmigran mendapatkan 6 ha tanah yang dapat ditanami padi, jagung dan palawija lain. Karena keterbatasan sumber daya petani harus menentukan berapa bagian yang harus ditanami padi dan berapa yang harus ditanami jagung, sedang palawija lain ternyata tidak menguntungkan. Dalam satu masa tanam tenaga yang tersedia hanya 1590 jam per orang, pupuk juga terbatas, tak lebih dari 480 kg, sedangkan air dan sumber daya lainnya dianggap cukup tersedia. Diketahui pula bahwa untuk menghasilkan 1 kuintal padi diperlukan 12 jam per orang tenaga dan 4 kg pupuk, dan untuk 1 kuintal jagung diperlukan 9 jam per orang tenaga dan 2 kg pupuk. Kondisi tanah memungkinkan menghasilkan 50 kuintal padi per ha atau 20 kuintal jagung per ha. Pendapatan petani dari 1 kuintal padi adalah Rp. 32.000 sedang dari 1 kuintal jagung Rp. 20.000 dan dianggap bahwa semua hasil tanamnya selalu habis terjual. Masalah bagi petani adalah bagaimana rencana produksi yang memaksimumkan pendapatan total? Artinya berapa hektar tanah ditanami padi dan berapa yang ditanami jagung. Penyelesaian
Lahan yang tersedia 6 ha tanah Jenis tanaman : padi dan jagung Untuk satu masa tanam
Pupuk yang tersedia ≤ 480 kg Tenaga yang tersedia : 1590 jam/ orang 1 kw padi : 12 jam/ orang dan 4 kg pupuk 1 kw jagung : 9 jam/ orang dan 2 kg pupuk Hasil yang diperoleh :
5
50 kw padi/ ha (1 kw padi : 1/50 ha) atau 20 kw jagung/ ha (1 kw jagung : 1/20 ha) Pendapatan : 1 kw padi : Rp. 32.000 dan 1 kw jagung : Rp. 20.000 Permasalahan : Memaksimumkan pendapatan petani? Misalkan : x
: Jumlah/ hasil padi dalam kuintal
y
: Jumlah/ hasil jagung dalam kuintal Tabel
Jenis Tanaman
Pupuk (kg)
Tenaga (jam/orang)
Tanah (ha) Pendapatan (ribuan)
Padi
4
12
1 = 0,02 50
32
Jagung
2
9
1 = 0,05 20
20
Batas
480
1590
6
Pemodelan Matematika:
Maksimumkan f ( x, y ) = 32 x + 20 y Dengan kendala : 4 x + 2 y ≤ 480 12 x + 9 y ≤ 1590
⇔ 2 x + y ≤ 240 ⇔ 4 x + 3 y ≤ 530
0,02 x + 0,05 y ≤ 6 x≥0 y≥0
⇔ 2 x + 5 y ≤ 600
Karena fungsi sasaran dan semua fungsi kendala berbentuk linear serta memuat kendala tak negatif maka masalah di atas termasuk MASALAH PROGRAM LINEAR.
6
KUIS Susun model matematis untuk permasalahan berikut :
Sebuah perusahaan akan membeli paling sedikit 8 buah mesin untuk perluasan pabriknya. Harga mesin yang baru 15 juta/ unit. Di luar juga dapat dibeli mesin bekas dengan umur 2 tahun, 3 tahun, dan 4 tahun yang harganya diukur dari harga baru akan susut 3 juta per tahunnya. Keempat jenis mesin di atas, mesin baru, mesin umur 2 tahun, mesin umur 3 tahun, dan mesin umur 4 tahun mempunyai ukuran yang berbeda-beda, berturut-turut membutuhkan tempat 3, 4, 5, dan 6 m2 per unit, sedangkan ongkos perawatannya berturut-turut 0, 1, 2, dan 4 juta per tahun.Bila tempat yang tersedia untuk semua mesin yang dibeli tersebut hanya 35 m2 dan biaya perawatan total yang disediakan hanya 7 juta per tahun. Berapa unit dari jenis-jenis mesin di atas sebaiknya dibeli supaya batas-batas kendala tidak dilanggar dan uang pembelian total minimum? (perhitungan hanya terbatas untuk 1 tahun saja).
Penyelesaian
Misalkan : x1 : Jumlah unit mesin baru yang dibeli x2 : Jumlah unit mesin umur 2 tahun yang dibeli x3 : Jumlah unit mesin umur 3 tahun yang dibeli x4 : Jumlah unit mesin umur 4 tahun yang dibeli Jumlah mesin yang dibeli ≥ 8 unit Harga mesin baru : 15 juta/ unit Harga mesin umur 2 tahun : 9 juta/ unit Harga mesin umur 3 tahun : 6 juta/ unit Harga mesin umur 4 tahun : 3 juta/ unit Tempat tersedia untuk mesin hanya 35 m2 Biaya perawatan total hanya 7 juta per tahun.
7
Tabel
Jenis Mesin
Luas (m2)
Ongkos Perawatan (juta/ tahun)
Harga (juta/ unit)
Mesin baru
3
0
15
Mesin umur 2 tahun
4
1
9
Mesin umur 3 tahun
5
2
6
Mesin umur 4 tahun
6
4
3
Batas
35
7
Pemodelan Matematika: Minimumkan f ( x1 , x 2 , x3 , x 4 ) = 15 x1 + 9 x 2 + 6 x3 + 3x 4 Dengan kendala : x1 + x 2 + x3 + x 4 ≥ 8 3x1 + 4 x 2 + 5 x3 + 5 x 4 ≤ 35 x 2 + 2 x3 + 4 x 4 ≤ 7 x1 , x 2 , x3 , x 4 ≥ 0 Karena fungsi sasaran dan semua fungsi kendala berbentuk linear serta memuat kendala tak negatif maka masalah di atas termasuk MASALAH PROGRAM LINEAR.
8
