Teori elastisitas menjadi dasar pokok untuk mendiskripsikan perambatan gelombang elastik. Tensor stress σik dan tensor strain εik dihubungkan oleh persamaan keadaan untuk suatu medium. Pada material elastik ideal, hubungan antara tensor stress dan tensor strain ditunjukkan dengan bentuk umum hukum Hooke:
σ ik = C iklm ε lm Ciklm = sebagai tensor elastisitas
Jika strain dipandang sebagai stress maka persamaan:
ε lm = Diklm σ ik
Keberadaan potensial elastik dan kesimetrian dari stress dan strain menghasilkan 21 dari 81 tensor yang bebas (Helbig, 1992).
Diklm = sebagai tensor komplayen (pemenuhan), yang sering dituliskan sebagai S iklm '
Pada material isotropik hanya ada dua konstanta bebas yang menggambarkan sifat elastik secara lengkap.
σ ik = λ ϑ iklm ε lm + 2 µε
ik
Sifat elastik dari fluida dan gas ditunjukkan dengan k (modulus kompres) atau c = 1/k (kompresibilitas).
Konstanta elastik untuk material isotropik padat: padat:
kecepatan kompresi)
gelombang
longitudinal 1 2
1 2
(gelombang
E 1−σ λ + 2µ M = vp = = ⋅ d d d (1 − 2σ ) ⋅ (1 + σ ) M=
1 2
1−σ ⋅E (1 − 2σ )(1 + σ )
kecepatan gelombang transversal (shear wave) 1 2
E 1 µ v s = = ⋅ d d 2 ⋅ (1 + σ )
1 2
Ratio Poisson dan kuantitas kecepatan v
p
vs
1− σ = 2 1 − 2σ
θ −2 σ= 2(θ − 1)
1 2
vp θ = vs
2
Dalam material anisotropi elastik, kecepatan gelombang sebagai fungsi arah perambatan. Gelombang kompresi dan gelombang shear hanya berada pada arah dan keadaan khusus. Pada medium isotropik transversal dengan sumbu vertikal yang simetri disebut juga ratio anisotropi yang didefinisikan oleh gambaran sederhana berikut: vvertikal v⊥
A=
vhorizontal
=
v //
Dua observasi penting untuk menggambarkan stress-strain pada batuan: 1.Modulus elastik (komponen tensor elastik) bergantung pada stress. Oleh karena itu hubungan stress-strain adalah nonlinear. 2.Batuan bukan material elastik ideal. Reaksi batuan terhadap stress bergantung juga pada kecepatan deformasi dan sejarahnya. Penyimpangan dari hukum Hooke menghasilkan: – fenomena dari serapan energi – ketidaksesuaian penentuan modulus secara statis dan dinamik
Satuan yang digunakan untuk sifat elastik:
Satuan SI untuk modulus elastik (modulus Young, modulus shear, modulus gelombang bidang, konstanta Lame, modulus kompres) yaitu Pascal (Pa) 1 Pa = 1 Nm-2 =1 kg m-1 s-2
Paling umum digunakan Gigapascal (GPa) atau Megapascal (MPa) 1 GPa = 109 Pa
1 MPa = 106 Pa
Konversi kp cm-2, bar dan psi sebagai berikut: 1 1 1 1 1
kp cm-2 = 9,8067 x 104 Pa ≈ 0,1 MPa 1MPA = 106 Pa Pa = 1,0197 x 10-5 kp cm-2 bar = 0,1 MPa psi = 6,894 x 10-3 Pa = 6,894 kPa = 0,006894 MPa Pa = 1,45038 x 10-4 psi 1MPa=145,038 psi
Kecepatan sering digunakan sebagai km s-1 (1 km s-1 = 103 ms-1) Konversi satuan ft s-1 1 ft s-1 = 0,3048 ms-1 1 ms-1 = 3,2808 ft s-1
Sifat elastik pembentukan mineral Sifat elastik pembentukan mineral ditentukan oleh elemen kimianya dengan ikatan antara unsurunsur pokok dan sifat-sifat mineral serta dipengaruhi oleh temperatur dan tekanan. Kebergantungan kelas kristal khususnya bilangan elemen bebas tensor elastik diperlukan untuk melengkapi karakteristik dari sifat elastik.
Contoh konstanta elastik Cmn (dalam Pa) untuk mineralmineral-mineral trigonal simetri (quartz, calcite, dolomite) dan orthorombik simetri (olivine)
Pengaruh komposisi mineral pada sifat elastik dan mineral lainnya
karakteristik sifat elastik batuan, modulusnya sering digunakan pada material isotropik. Diasumsikan bahwa dalam batuan alam arah sumbu kristalografik yang terdistribusi secara statistik, ditentukan oleh medium quasi-isotropik disebut juga “effektif” atau “makroskopik”. Modulus untuk mineral (seperti modulus Young, modulus geser, modulus tekanan ratio Poisson). Modulus seperti ini ditentukan secara eksperimen atau dihitung dari set lengkap nilai kristal tunggal.
Pada d < 4 x 10-3 kg m-3, umumnya kecepatan meningkat (modulus elastic) dengan densitas yang makin besar. Unsur-unsur yang bersifat asam (quartz) secara umum memiliki densitas yang rendah sehingga kecepatannya rendah. Pada d > 4 x 103 kg m-3 cenderung sebaliknya. vp yang meningkat dengan pertambahan densitas dijelaskan oleh Dortman dan Magid (1969) dalam bentuk empiris
v p = 5.75 exp[0.5(d − 2.6 ) + 0.2(20 − m A )]
Persamaan ini merekomendasikan untuk beberapa batuan pembantuk mineral untuk densitas dibawah 4 x 103 kg m-3.
Pori, celah dan retakan dari batuan beriisi gas (udara, gas alam), fluida (air, minyak) dan campuran keduanya. Umumnya, modulus elastik fluida dan gas lebih rendah dari pada mineral. Kompresibilitas (atau modulus kompres kf) biasanya digunakan untuk mengarakteristik sifat elastik fluida dan gas.
v p , f = (k f d f ) 2 1
Perambatan gelombang elastik pada gas dapat dianggap sebagai proses adiabatik. Kecepatan gelombang kompres atau sonik:
v p , gas
1 2
k ad p = =K d d
1 2
Ebert (1976) telah mempublikasikan data untuk udara dan mencatat pengaruh tekanan relatif kecil (peningkatan tekanan 50 atm ≈ 5 Mpa menghasilkan peningkatan kecepatan dengan faktor kali 1,022).
Data kecepatan sonik pada temperatur 273 0 K, koefisien temperatur ratarata-rata dan ratio panas spesifik untuk gas yang bervariasi
Beberapa data dan nilai ratarata-rata yang sesuai setelah Gearhart (1985) dikonversi kedalam satuan SISI-yang dirangkum dalam tabel berikut: berikut:
Kecepatan gelombang Kompresi (P) dan sonic dari fluida bergantung pada komposisi kimia, temperatur dan tekanan. Tabel berikut menunjukkan nilai rata-rata untuk air, lumpur dan minyak. Sebagai hasil pengamatan eksperimental oleh Del Groso, 1952 mengembangkan rumusan empiris pada kecepatan sonic di air (m s-1)
v water = 1410 + 4.21 T − 0.037 T + 0.114 C + 0.18 p 2
Batzle dan Wang (1992) mengambil data dari Chen (1978) sebuah solusi rumusan kecepatan pada air asin (brine) vB, kecepatan air vW, temperatur T (0C), tekanan p (MPa), dan konsentrasi air laut C (fraksi berat dari sodium klorida)
vB = vw + C(1170− 9.6 T + 0.055T 2 − 8.5⋅10−5 T 3 + 2.6 p − 0.0029 pT − 0.0476 p2 ) + C1.5 (780−10 p + 0.16 p2 ) − 820C2
Pada air dan lumpur, Podio dan Gregory, 1990 menyelidiki kecepatan dan perlambatan sebagai fungsi densitas lumpur hingga 1,68 x 103 kg m-3 pada frekuensi 200 sampai 600 kHz (gambar di bawah). Hasilnya berupa rumusan kecepatan gelombang kompres (m/s)
v p = 1463.2 + 99.336 d m − 70.420 d m
2
Efek densitas lumpur pada kecepatan gelombang kompres air
Untuk minyak, Batzle dan Wang (1992) merumuskan 1 2 1.08 d0 voil = 2096 − 3.7 + 4.64 p + 0.0115 4.12 −1 −1 pT d0 2.6 1/ 2
atau dalam gravitasi minyak API voil = 15450 (77.1 + API)
1/ 2
(
)
− 3.7 T + 4.64 p + 0.0115 0.36 API1 / 2 − 1 pT
Nur (1989) (1989 menunjukkan untuk hidrokarbon murni (alkana dan alkena) berkurangnya kecepatan gelombang kompres dengan meningkatnya temperature (antara 22 dan 110 oC) dan berkurangnya jumlah karbon atau meningkanya berat molekul m. 7 .6 v p (T ) = v (T0 ) − 0.36 − (T − T0 ) m
Jika pori atau celah mengandung fluida dan gas maka efek dari medium pada sifat elastik batuan bergantung: a) sifat elastik dan densitas dua elemen atau lebih b) fraksi volume c) distribusi atau susunan pori atau fraksi ruang dan efek gaya di bidang batas Domenico (1976, 1977) mempublikasikan dua rumusan untuk “kompresibilitas efektif) dari percampuran air dan gas.
ceff = S water ⋅ c water + (1 − S water ) c gas 1 c eff
S water = c water
1 − S water + c gas
Gambar ini menunjukkan hubungan ceff dan Swater.
