Byl vypracován programový systém v prostedí MATLAB pro automatický návrh a simulaci uvedených metodik

ABSTRAKT Diplomová práce se zabývá ízením lineárních spojitých dynamických systém s dopravním zpožd ním. Byly popsány, ov eny a srovnány dv r zné skupiny metod ízení. První skupina zobec uje aproximaci dopravního zpožd ní. Návrh regulátor algebraické metod , která spo ívá v

je založen na

ešení polynomiálních diofantických rovnic.

V diplomové práci jsou uvedeny obecné postupy pro návrh regulátoru v 2DOF konfiguraci systému ízení a vztahy pro výpo et parametr regulátor . Druhou skupinou jsou návrhy regulátor

založené na principu Smithova prediktoru. Jedná se o modifikace Smithova

prediktoru a model IMC ( ízení s vnit ním modelem). Byl vypracován programový systém v prost edí MATLAB pro automatický návrh a simulaci uvedených metodik.

Klí ová slova: dopravní zpožd ní, aproximace dopravního zpožd ní, Smith v prediktor a jeho modifikace, polynomiální metoda.

ABSTRACT This Master Thesis deals with linear joint dynamic system management with time delay. I have described, verified and compared two different groups of management methods. The first group generalizes the approximation of time delay. Regulator scheme is based on algebraic method that results from polynomial diofantic quadratics solution. There are also stated basic procedures of regulator scheme in 2DOF configuration of management system and relations used for regulator parameters calculation. The second group consists of regulator schemes that are based on the principle of the Smith predictor. Said in details, these are modifications of the Smith predictor and IMC model (internal model controller). There has also been worked out the programming system in MATLAB environment dedicated to automatic schemes and simulation of stated procedures.

Keywords: time delay, time delay approximation, Smith predictor and its modification, polynomial method.

D kuji vedoucímu diplomové práce panu Ing. Martinu Tomaštíkovi, za odborné vedení, rady a p ipomínky, které mi poskytoval p i ešení diplomové práce. D kuji tímto i všem mým blízkým a rodin za podporu b hem studia.

Motto

„ Nem žeme moudrost stále jenom sbírat, musíme ji také uplat ovat. „ MARCUS TULLIUS CICERO (* 106 p .n.l. - † 43 p .n.l.)

Prohlašuji, že jsem na celé diplomové práci pracoval samostatn a použitou literaturu jsem citoval.

Ve Zlín , 25. 06. 2006

................................................... Bc. Josef Martuška

OBSAH ÚVOD...............................................................................................................................8 I

TEORETICKÁ ÁST............................................................................................9

1

ÍZENÍ SYSTÉM S DOPRAVNÍM ZPOŽD NÍM .........................................10 1.1

SYSTÉMY S DOPRAVNÍM ZPOŽD

NÍM .................................................................10

1.2 PRAKTICKÉ P ÍKLADY DOPRAVNÍHO ZPOŽD NÍ ..................................................11 1.2.1 Pásový dopravník ......................................................................................11 1.2.2 Dávkování chemikálií do užitkové vody.....................................................12 1.3 VLIV DOPRAVNÍHO ZPOŽD NÍ NA CHOVÁNÍ SYSTÉMU.........................................13 1.3.1 Vliv dopravního zpožd ní na p echodovou charakteristiku.........................13 1.3.2 Vliv dopravního zpožd ní na frekven ní charakteristiku .............................14 2 METODY ELIMINACE DOPRAVNÍHO ZPOŽD NÍ......................................16 2.1 APROXIMACE P ENOS DOPRAVNÍHO ZPOŽD NÍ ................................................16 2.1.1 Zanedbání dopravního zpožd ní.................................................................17 2.1.2 Taylor v rozvoj.........................................................................................18 2.1.3 Padého aproximace....................................................................................20 2.1.4 Limitní aproximace....................................................................................21 2.2 SMITH V PREDIKTOR ........................................................................................22 2.3 MODIFIKACE SMITHOVA PREDIKTORU ...............................................................23 2.3.1 Majhiho modifikace Smithova prediktoru...................................................24 2.3.2 Modifikace Smithova prediktoru podle Liu + Cai + Gu + Zhang ................25 2.3.3 Zjednodušená Majhiho modifikace.............................................................26 2.4 VYUŽITÍ METODY VNIT NÍHO MODELU (IMC) ...................................................27 3

SYNTÉZA ÍZENÍ POMOCÍ POLYNOMIÁLNÍ METODY ...........................30

3.1 STRUKTURA OBVOD ........................................................................................30 3.1.1 1DOF konfigurace systému ízení ..............................................................30 3.1.2 2DOF konfigurace systému ízení ..............................................................36 4 VOLBA PÓL UZAV ENÉHO REGULA NÍHO OBVODU .........................41 II

PRAKTICKÁ ÁST ............................................................................................44

5

NÁVRH REGULÁTOR PRO JEDNOTLIVÉ METODY ...............................45 5.1 SOUSTAVA .1 STABILNÍ S MINIMÁLNÍ FÁZÍ .......................................................46 5.1.1 Limitní aproximace....................................................................................46 5.1.2 Padého aproximace....................................................................................49 5.1.3 Smith v prediktor......................................................................................51 5.2 SOUSTAVA .2 STABILNÍ S NEMINIMÁLNÍ FÁZÍ ...................................................53 5.2.1 Limitní aproximace....................................................................................54 5.2.2 Padého aproximace....................................................................................56 5.2.3 Smith v prediktor......................................................................................59

5.3 SOUSTAVA .3 NESTABILNÍ ...............................................................................61 5.3.1 Limitní aproximace....................................................................................61 5.3.2 Padého aproximace....................................................................................63 5.3.3 Smith v prediktor......................................................................................65 5.3.4 Majhiho modifikace Smithova prediktoru...................................................67 5.3.5 Návrh podle Liu + Cai + Gu + Zhang ........................................................69 5.3.6 Zjednodušená Majhiho modifikace.............................................................72 5.3.7 IMC ..........................................................................................................73 5.4 SOUSTAVA .4 INTEGRA NÍ ..............................................................................74 5.4.1 Majhiho modifikace Smithova prediktoru...................................................74 5.4.2 Návrh podle Liu + Cai + Gu + Zhang ........................................................75 5.4.3 Zjednodušená Majhiho modifikace.............................................................77 5.4.4 IMC ..........................................................................................................78 6 PROGRAMOVÉ PROST EDÍ ...........................................................................80 6.1

PROST

EDÍ MATLAB + SIMULINK ......................................................................80

6.2 PROGRAMOVÁ IMPLEMENTACE .........................................................................81 6.2.1 Popis programu .........................................................................................82 7 SIMULA NÍ EXPERIMENTY V PROST EDÍ MATLAB ..............................88 7.1 PRVNÍ SKUPINA.................................................................................................89 7.1.1 Soustava 1. stabilní systém 2. ádu s minimální fází....................................89 7.1.2 Soustava 2. stabilní systém 2. ádu s neminimální fází ................................93 7.1.3 Soustava 3. nestabilní systém 1. ádu .........................................................97 7.2 DRUHÁ SKUPINA .............................................................................................100 7.2.1 Soustava 4. integra ní systém ..................................................................100 7.2.2 Soustava 5. nestabilní systém 1. ádu .......................................................101 7.3 T ETÍ SKUPINA ...............................................................................................103 7.3.1 Soustava 6. nestabilní systém 1. ádu .......................................................103 7.3.2 Soustava 7. nestabilní systém 1. ádu .......................................................104 7.3.3 Soustava 8. nestabilní systém 1. ádu .......................................................104 7.3.4 Soustava 9. nestabilní systém 1. ádu .......................................................104 ZÁV R.........................................................................................................................107 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY .........................................................................108 SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOL A ZKRATEK .................................................109 SEZNAM OBRÁZK .................................................................................................111 SEZNAM TABULEK ..................................................................................................114 SEZNAM P ÍLOH......................................................................................................115

UTB ve Zlín , Fakulta aplikované informatiky

8

ÚVOD ízení systém s dopravním zpožd ním je mnoho let ožehavým problémem teorie ízení a mnoho klasických metod syntézy p i návrhu regulátoru pro takový proces havaruje. Dopravní zpožd ní je však typickou a velmi astou vlastností technologických proces . Projevuje se zpožd ním výstupního signálu vzhledem k

asovému p sobení vstupního

signálu a to práv o asovou hodnotu dopravního zpožd ní Td . Dopravní zpožd ní nej ast ji vzniká jako d sledek transportních jev

jež probíhají

v ízených objektech (nap . prodlevou díky doprav materiálu nebo média, prodlevou v m ení a dobou pot ebnou k p estupu tepla). Dá se tedy íci, že dopravní zpožd ní p sobí negativn na vlastnosti

ízeného systému. Zjednodušen m žeme íct, že p i standardním

zp tnovazebním ízení žene dopravní zpožd ní systém do nestability. Mezi velikostí dopravního zpožd ní a nestabilitou systému platí p ímá úm ra ( ím vyšší hodnota dopravního zpožd ní, tím v tší sklon k nestabilit ). Proto je kompenzace dopravního zpožd ní nutná. Tato práce je zam ena na srovnání n kolika r zných metod a návrh

ízení lineárních

spojitých dynamických systém s dopravním zpožd ním. V podstat se práce zabývá 2 principy kompenzace vlivu dopravního zpožd ní. A to bu

využitím rozv tveného

regula ního obvodu (nap . Smith v prediktor) nebo aproximací dopravního zpožd ní linearizovaným tvarem a použitím algebraického návrhu ízení s výpo tem diofantických rovnic. Cílem práce je popis, ov ení a srovnání r zných konkrétních metod ízení systém s dopravním zpožd ním. Pro lepší p ehlednost jsem rozd lil návrhy do dvou skupin. První skupinu tvo í návrhy Smith v prediktor, limitní a Padého aproximace.

ízenými systémy

pro první skupinu jsou nestabilní systém 1. ádu a stabilní systém 2. ádu s dopravním zpožd ním. Druhou skupinou jsou tzv. modifikace Smithova prediktoru a jedná se o návrhy Majhi a Atherton[8], Liu, Cai, Gu a Zhang[9], Majhi a Atherton zjednodušený[10] a IMC (internal model controller)[7]. ízenými systémy pro modifikace Smithova prediktoru jsou integrátor 1. ádu a nestabilní systém 1. ádu s dopravním zpožd ním. Sou ástí práce je také vytvo ený jednoduchý programový systém pro návrh a simulaci jednotlivých metod. Program je vytvo en v prost edí MATLAB 6.5 Release 13 od spole nosti The Math Works Inc.


I. TEORETICKÁ ÁST

9


1

ÍZENÍ SYSTÉM

10

S DOPRAVNÍM ZPOŽD NÍM

1.1 Systémy s dopravním zpožd ním ízení systému s dopravním zpožd ním je mnoho let ožehavým problémem teorie ízení a mnoho klasických metod syntézy p i návrhu regulátoru pro takový proces havaruje. Dopravní zpožd ní je však typickou a velmi astou vlastností technologických proces . Projevuje se zpožd ním výstupního signálu vzhledem k asovému p sobení vstupního signálu a to práv

o

asovou hodnotu dopravního zpožd ní Td . Dopravní zpožd ní

v technologickém procesu bývá zp sobeno:

prodlevou díky doprav materiálu nebo media prodlevou v m ení dobou pot ebnou k p estupu tepla dobou pot ebnou k výpo t m dobou pot ebnou k prob hnutí chemické reakce

Již od 40. let se ustálila zjednodušující p edstava, že veškerý ú inek r zných zpožd ní lze shrnout do jednoho bloku dopravního zpožd ní (DZ), který je sériov spojen s modelem soustavy, tak jak je znázorn no na Obr. 1.

len G ( s) v tomto p ípad p edstavuje p enos

soustavy bez DZ a len GTd ( s ) p enos samotného DZ.

Obr. 1. Systém s DZ

Chování systému s DZ, tedy systému, ve kterém je výstupní signál zpožd n vzhledem k asovému p sobení vstupního signálu, lze popsat diferenciální rovnicí:

UTB ve Zlín , Fakulta aplikované informatiky n

ai y ( i ) (t )

i 0

m

11

b j u ( j ) (t Td )

(1)

j 0

kde ai , b j jsou konstantní koeficienty, Td je dopravní zpožd ní, u (t Td ) je vstupní veli ina a y (t ) výstupní veli ina systému, a kde platí nerovnost m n . P enosová funkce systému s DZ má tvar: Gs ( s )

Y ( s) U (s )

Gs ( s )GTd ( s )

b( s ) e a( s)

Td s

sn

bm s m ... b1s b0 e an 1 s n 1 ... a1s a0

Td s

(1.1)

Kde a( s) je polynom nomický (normovaný na jednotkový koeficient u nejvyšší mocniny) a oba polynomy a( s), b( s) op t spl ují podmínku deg b( s) deg a ( s) .[4] P ítomnost dopravního zpožd ní má negativní vliv na stabilitu a kvalitu

ízení

technologických proces . Klasickým ešením pro kompenzaci dopravního zpožd ní byl Smith v prediktor, který byl r zn vylepšován a modifikován. Viz. další kapitola.

1.2 Praktické p íklady dopravního zpožd ní 1.2.1 Pásový dopravník P íkladem je pec na Obr. 2, jejíž sou ástí je palivový pásový dopravník, což m že být p ímo i posuvný rošt cementá ské pece. Ak ní veli inou u je otev ení násypky, odkud palivo padá na pásový dopravník, který je dopravuje do pece. Jestliže regulátor zm ní (p edstavme si nap .skokovou zm nu) hodnotu ak ní veli iny u (to je vstupní veli ina regulované soustavy, u níž se dopravní zpožd ní projevuje), bude se výstupní veli ina regulované soustavy, což je regulovaná veli ina y (teplota v peci), m nit až po ur ité dob . Tato doba je práv doba pr chodu paliva pásovým dopravníkem a nazýváme ji dopravním zpožd ním a ozna ujeme Td .


12

Obr. 2. Pec s pásovým dopravníkem

1.2.2 Dávkování chemikálií do užitkové vody Další typický p íklad regulované soustavy s dopravním zpožd ním máme na Obr. 3. Jedná se o dávkování chemikálie do užitkové vody. Ak ní veli inou u (vstupní veli ina soustavy) je otev ení dávkovacího ventilu. Když dojde ke zm n

ak ní veli iny u, nebude se

regulovaná veli ina y (koncentrace chemikálie v míst m ení) m nit hned, ale až za dobu, kdy voda prote e vzdálenost L ke sníma i a to je op t doba dopravního zpožd ní Td .

Obr. 3. Dávkova chemikálie do užitkové vody


13

1.3 Vliv dopravního zpožd ní na chování systému 1.3.1 Vliv dopravního zpožd ní na p echodovou charakteristiku Z vlastností DZ je z ejmé, že se u p echodové charakteristiky systému projeví pouze jako asové posunutí zp sobené prodlevou Td. Na Obr. 4 je znázorn no srovnání p echodové charakteristiky pro soustavu prvního ádu popsanou p enosem:

Gs ( s ) kde b0

0,5; a0

0, 2 , kde Td

b0 e s a0

Td s

0 pro soustavu bez DZ a Td

(1.2) 10 pro soustavu s DZ.

Obr. 4. Vliv DZ na p echodovou charakteristiku


14

1.3.2 Vliv dopravního zpožd ní na frekven ní charakteristiku Frekven ní p enos samotného lenu DZ je: GTd ( jw) e

jTdw

ej

Td

cos(Td w)

j sin(Td w)

(1.3)

Kde w je úhlová rychlost a Td fázový úhel. Jeho frekven ní charakteristika je jednotková kružnice, kterou koncový bod jednotkového vektoru prob hne nekone n krát p i

w (0; ) . Frekven ní p enos systému s DZ je:

GS ( jw)

Y ( jw) U ( jw)

G ( jw)GTd ( jw)

(1.4)

a po p evedení do exponenciálního tvaru vypadá následovn :

GS ( jw)

G ( jw) e j

( w)

GTd ( jw) e j Td ( w)

G ( jw) e

j

( w)

Td

( w)

(1.5)

Podle (1.5) lze íci, že výsledný modul p enosu soustavy s DZ je stejný, jako modul p enosu soustavy bez DZ a jeho p vodní fázový úhel fázový úhel (

Td

se nato í o

Td

. S rostoucím w roste i

Td w) , takže frekven ní charakteristika soustavy s DZ se za íná

„otá et“ kolem st edu [0;0]. P íkladem je Obr. 5, kde je znázorn na frekven ní charakteristika pro soustavu popsanou p enosem (1.2) s p íslušnými parametry , bez DZ i s DZ.[4]


15

Obr. 5. Vliv DZ na frekven ní charakteristiku

Obr. 5 je ilustrací zajímavého a d ležitého faktu. DZ totiž zm nilo vztah frekven ní charakteristiky soustavy ke kritickému bodu [-1;0] ve smyslu Nyquistova kritéria. Systém s DZ i bez DZ má stejný po et i polohu pól (jediný, stabilní). P esto je zp tnovazební stabilita obou systém zásadn odlišná. [4]


2

16

METODY ELIMINACE DOPRAVNÍHO ZPOŽD NÍ

Dopravní zpožd ní regulované soustavy se projeví zpožd ním výstupního signálu vzhledem k asovému p sobení vstupního signálu a to práv o hodnotu Td . P enos dopravního zpožd ní v systému je definován pomocí vztahu (2).

E ( s) e

Kde je:

Td – dopravní zpožd ní [s], Td

Td s

(2)

0

s - komplexní prom nná v L-transformaci s

1

Dopravní zpožd ní posunuje p echodovou charakteristiku (výstupní signál) o hodnotu Td a tvar p echodové charakteristiky systému z stává stejný jako v p ípad bez dopravního zpožd ní. Pro ešení regulátoru pro soustavu s dopravním zpožd ním je t eba kv li stabilit uzav eného regula ního obvodu (URO) nejd íve eliminovat vliv tohoto dopravního zpožd ní. Tato eliminace se provádí n kolika zp soby. Mezi n pat í nap íklad využití metody aproximace p enos dopravního zpožd ní, i konven ního Smithova prediktoru a jeho modifikací, nebo využití metody vnit ního modelu (Internal Model Control, IMC). Tyto metody budou rozvedeny dále.

2.1 Aproximace p enos dopravního zpožd ní Obsahuje-li nominální p enos nelineární len dopravního zpožd ní, je nutné tento len linearizovat, tedy v

asové oblasti

ešení p evést na lineární diferenciální rovnice.

Aproximaci lze vykonat n kolika zp soby, níže budou popsány a uvedeny jejich výhody a nevýhody. Uvažujme model soustavy 1. ádu s dopravním zpožd ním:

UTB ve Zlín , Fakulta aplikované informatiky k

G( s) kde zm nou konstanty

e

s

Td s

(2.1)

se m ní základní vlastnost soustavy, tedy stabilita, a to

následujícím zp sobem. Je-li nestabilní, pro

17

0 soustava je s stabilní,

0 soustava se stává

0 získává soustava integra ní chování. Pro další konstanty z rovnice

p enosu (2.1) p edpokládejme k

0 , velikost dopravního zpožd ní Td

0.

Všechny uvád né modely lze po aproximaci zapsat v linearizovaném tvaru:

G( s)

k s

e

b1 s b0 s a1 s a0

Td s

2

(2.2)

2.1.1 Zanedbání dopravního zpožd ní Jako nejjednodušší aproximace se nabízí prosté zanedbání dopravního zpožd ní. Tento zp sob zjednodušuje celý dále popisovaný postup návrhu regulátoru, avšak na úkor kvality regula ního procesu pro malé hodnoty Td , a až na úkor stability uzav ené regula ní smy ky pro v tší hodnoty zpožd ní. P enosová funkce soustavy se m ní na: G( s)

k

(2.3)

s

Následující graf ukazuje p echodovou odezvu na jednotkový skok Obr. 6 pro p vodní p enos (2.1) a aproximovaný p enos (2.4). Uvažujeme nominální soustavu:

G( s)

0,5 e s 0, 4

10 s

(2.4)


18

Obr. 6. Srovnání p echodové odezvy nominální soustavy a soustavy se zanedbáním DZ

2.1.2 Taylor v rozvoj Z matematické analýzy známý Taylor v rozvoj lze s úsp chem aplikovat i na aproximaci lenu e

Td s

. Obecný tvar Taylorova rozvoje v okolí bodu u0 je:

y

f (u u0 ) 2 u2 2

f (u0 )

Rozvoj exponenciální funkce e

Td s

...

f (u u0 )n u ( n) n!

(n)

(2.5)

pro první len získá tvar: e

Td s

1 Td s

(2.6)

Taylorova aproximace v itateli Zásadní nevýhodou Taylorovy aproximace v itateli (2.6) je tvar rozvoje, který poskytuje z hlediska teorie p enos s nestabilním itatelem (neminimáln fázový), dále zvyšuje ád


19

itatele a obecn není možno jej použít libovolného stupn nebo dochází k potížím s ryzostí (fyzikální realizovatelností) p enosových funkcí.

Obr. 7. Srovnání p echodové odezvy nominální soustavy a aproximované soustavy v itateli

Aproximace Taylorovým lenem v itateli je následující:

G( s)

provedená substituce: b1

k s

e

Td s

kTd ; b

0

k (1 Td s) (s )

kTd s k s

b1s b0 a1s a0

(2.7)

k ; a1 1; a0

Taylorova aproximace ve jmenovateli Jednoduchou úpravou lze vztah e

Td s

p evést na

1 . Takto upravená hodnota dopravního eTd s

zpožd ní vede k rozvoji dopravního zpožd ní ve jmenovateli, což se z hlediska ryzosti p enosových funkcí jeví jako mnohem výhodn jší.

eTd s

1 Td s

(2.8)


20

Obr. 8. Srovnání p echodové odezvy nominální soustavy a aproximované soustavy ve jmenovateli

Nazna íme-li nahrazeni Taylorovým lenem ve jmenovateli, potom:

G( s)

(s

k )(1 Td s )

po substituci platí: b0

Td s

k ; a2 Td

2

k / Td

k s ( Td 1)

1; a1

1 Td

s2

; a0

s

1 Td

s

2

b0 (2.9) a1 s a0

Td

Td

2.1.3 Padého aproximace Pro náhradu p enosu dopravního zpožd ní (2) lze použít Padého aproximaci, která je Taylorovým rozvojem polynomu jak ve jmenovateli, tak i v itateli. Rozvoj polynomu je znázorn n ve (2.10).


e

e

Td s

e

Td s 2

k 0

Td s 2 k

i k!

21 k

Td s 2

1 Td s 2 0 k!

k

k

(2.10)

Pokud budeme uvažovat jen lineární leny tohoto rozvoje, dostaneme Padého aproximaci dopravního zpožd ní 1. ádu

e

Td s

2 Td s 2 Td s

(2.11)

Pokud budeme uvažovat i kvadratické leny tohoto rozvoje, dostaneme Padého aproximaci dopravního zpožd ní 2. ádu e

Td s

12 6Td s Td2 s 2 12 6Td s Td2 s 2

(2.12)

Padého aproximace p enosu p edstavuje tzv. fázovací len s neminimální fází obsahující nestabilní nulu. Nevýhodou Padého aproximace je zvýšení ádu systému a zavedení nestabilní nuly do itatele aproximovaného p enosu. Výhody Padého aproximace vyniknou zejména p i návrhu regulátor pro nestabilní soustavy.

2.1.4 Limitní aproximace Pro náhradu p enosu dopravního zpožd ní (2) lze rovn ž použít limitní aproximaci, která je taktéž Taylorovým rozvojem polynomu, ale pouze ve jmenovateli. Rozvoj polynomu je znázorn n ve (2.13).

e

Td s

e

1

1

Td s

1 Td s 0 k!

k

(2.13) k


22

P i uvažování pouze lineárních len dostaneme vztah pro limitní aproximaci 1. ádu

e

Td s

1 1 Td s

(2.14)

Pokud budeme uvažovat i kvadratický len tohoto rozvoje, dostaneme limitní aproximaci dopravního zpožd ní 2. ádu e

1

Td s

1 Td s

(2.15)

Td s 2 2

Limitní aproximace p enosu p edstavuje p enos proporcionální soustavy se setrva ností 1. nebo 2. ádu s jednotkovým zesílením.

2.2 Smith v prediktor V podstat se jedná o rozv tvený jednorozm rový regula ní obvod pro kompenzaci vlivu dopravního zpožd ní. Regulátor se v tomto p ípad neskládá pouze z regula ního lenu, ale obsahuje i model regulované soustavy, který zajiš uje kompenzaci dopravního zpožd ní. Blokové schéma Smithova prediktoru je znázorn no na Obr. 9.

w

e

ízený systém

Q

G

e

Td s

G

e

Td s

model

Obr. 9. Obecný tvar Smithova prediktoru

y


23

Signály a p enosy: w – žádaná hodnota (referen ní signál) e – regula ní odchylka y – ízený výstup Q – p enos regulátoru G – p enos regulované soustavy P enos ízení tohoto rozv tveného regula ního obvodu bude

Gw ( s )

Y ( s) W ( s)

Q ( s )G ( s )e Tds 1 Q ( s )G ( s )e Tds Q ( s )G ( s )e

Tds

Q ( s )G ( s )

Q ( s )G ( s )e Tds (2.16) 1 Q ( s )G ( s )

Jak je z ejmé z p enosu ízení, charakteristická rovnice uzav eného regula ního obvodu je

1 Q ( s )G ( s )

0

(2.17)

Tato rovnice už neobsahuje len s dopravním zpožd ním a je stejná jako u obvodu bez dopravního zpožd ní. Z tohoto poznatku pak m žeme pro návrh regulátoru takto zapojeného uzav eného regula ního obvodu zcela vylou it dopravní zpožd ní z p enosu systému a pro výpo et regulátoru vycházet z p enosové funkce systému bez tohoto dopravního zpožd ní.

2.3 Modifikace Smithova prediktoru Jelikož klasický Smith v prediktor lze dob e použít pro

ízení stabilních systém

s dopravním zpožd ním, ale u nestabilních nebo integra ních systém jej lze použít jen p i zanedbatelných nebo velmi malých hodnotách dopravního zpožd ní, byly vyvinuty mnohé jeho modifikace pro ízení takovýchto systém s vyššími hodnotami dopravního zpožd ní. V této kapitole bude popsáno n kolik asto používaných modifikací.


24

2.3.1 Majhiho modifikace Smithova prediktoru Jak je patrno z Obr. 10, struktura rozv tveného obvodu byla dopln na o další dva regulátory GC1 a GC2. V p ípad , že GC1 = GC2 =0, jedná se o klasický Smith v prediktor. Regulátor GC zajiš uje požadovanou odezvu na zm nu referen ního signálu, GC1 je použit pro stabilizaci nestabilního nebo integra ního systému G0 bez prvku dopravního zpožd ní a regulátor GC2 má za úkol eliminaci poruchy na vstupu do systému.

v W(s)

GC(s)

G(s)

U(s)

Y(s)

GS(s) E(s)

GC2(s) GC1(s) GSM(s)

e

TdM s

Obr. 10. Majhiho modifikace Smithova prediktoru

kde GC ,GC1 ,GC2 jsou regulátory, G0 je ízený systém a G0 je model ízeného systému. P enos referen ního signálu na výstup je Gr ( s )

Y ( s) R( s )

GC G0 e Ls 1 G0 (GC GC 1 )

(2.18)

a p enos poruchy na výstup je Gd ( s )

Y (s) D( s )

G0 e Ls 1 G0 (GC GC1 ) GC G0 e 1 G0 (GC GC1 ) 1 G0GC 2 e Ls

Ls

(2.19)

Jak je z ejmé z p enosu Gr ( s ) , charakteristická rovnice systému neobsahuje prvek s dopravním zpožd ním a tím pádem tento p enos zajiš uje hladkou odezvu na zm nu


25

referen ního signálu. Avšak p enos Gd ( s ) je pom rn komplikovaný a navíc obsahuje p enosy všech t í regulátor . Z toho plyne, že pro úplnou kompenzaci vložené poruchy musíme ladit p enosy všech t í regulátor , ímž zasahujeme i do nastavení regulátoru Gc ( s ) zajiš ujícího požadovanou odezvu na zm nu referen ního signálu. Z tohoto d vodu byla navržena následující modifikace Majhiho struktury regula ního obvodu.

2.3.2 Modifikace Smithova prediktoru podle Liu + Cai + Gu + Zhang K eliminaci výše popsaných problém odstranili Liu a kol. (2005) zp tnou vazbu p enášející regula ní odchylku e na vstup regulátoru Gc(s). Tím pádem do p enos odchylek

G p ( s)

Gdi ( s )

Ydi ( s ) Di ( s )

1 F ( s )G p ( s )

Gdo ( s )

Ydo ( s ) Do ( s )

1 1 F ( s )G p ( s )

(2.20)

a (2.21)

vstupuje pouze p enos regulátoru F(s) a jeho lad ní neovlivní nastavení ostatních regulátor . Popsané zm ny jsou patrné z Obr. 11.

G(s)

v W(s)

GC(s)

U(s)

Y(s)

GS(s) E(s)

F(s) K(s) GSM(s)

e

TdM s

Obr. 11. Modifikace Smithova prediktoru podle Liu + Cai + Gu + Zhang


26

Jelikož obvykle sta í volit regulátor K ( s ) jako proporcionální ve tvaru K ( s )

kc , p enos

referen ního signálu na výstup bude ve tvaru

Gr ( s )

Y ( s) R( s )

GC G p 1 k cGmo

(2.22)

z ehož je patrno, že charakteristická rovnice regula ního obvodu je prostá prvk s dopravním zpožd ním.

2.3.3 Zjednodušená Majhiho modifikace Tato struktura byla navržena pro regulaci nestabilních proces s dopravním zpožd ním a vychází z Majhiho modifikovaného Smithova prediktoru. Byl p idán tvrtý regulátor pro zlepšení odezvy na vstupující poruchu. Regulátory jsou umíst ny tak, aby bylo možno odd len

ladit

itatele a jmenovatele p enos

žádané hodnoty a poruchy. Tímto byl

umožn n jednoduchý návrh každého z regulátor a zlepšení odezvy na zm nu referen ního signálu i vstupující poruchy. Obzvlášt

odezva na vstupující poruchu je ve srovnání

s Majhiho metodou výrazn lepší.

Obr. 12. Zjednodušená Majhiho modifikace Smithova prediktoru


27

V Obr. 12 mají regulátory následující funkce: K1 slouží ke stabilizaci modelu ízeného systému bez prvku dopravního zpožd ní G0 K2 zajiš uje minimalizaci vlivu vstupující poruchy K3 stabilizuje ízený systém G0e-Ls K4 zajiš uje sledování zm n referen ního signálu

P enos referen ního signálu na výstup pro popisovaný model má tvar

Gr ( s)

G0 K 4 e 1 G 0 K1

Ls

(2.23)

a p enos vstupující poruchy je Gd ( s )

G0 e Ls 1 G0 K1 K 2 G0 e 1 G0 K1 1 G0 e Ls K 3

Ls

(2.24)

2.4 Využití metody vnit ního modelu (IMC) Nový p ístup v pojetí funkce regulátoru vnesli v polovin 80. let do návrhu ízení Morari, Rivera a Zafiriou (1989) využitím tzv. vnit ního modelu (Internal Model Control, IMC). Regulátor p i využití této metody obsahuje krom regula ního lenu i model regulované soustavy obsahující dopravní zpožd ní.V metod vnit ního modelu se pracuje s inverzí p enosu procesu, a proto v p ípad , že je v p enosu procesu n která jeho ást (tj. zejména zpožd ní vstupu) zásadn neinvertovatelné, je nutné ji uvažovat odd len . Proto p enos procesu, resp. jeho modelu, je t eba rozložit na sou in

G ( s ) G D ( s )G0 ( s )

(2.25)

kde do GD(s) jsou vy len na zpožd ní vstupu, pop . i ko enové initele p íslušné nulám G(s) s kladnou reálnou ástí. Princip metody je znázorn n blokovým schématem na Obr. 13.


w -

Q

u

28

y

P G

-

Obr. 13. Blokové schéma ízení s vnit ním modelem

Obvyklý zp tnovazební regulátor ekvivalentní zapojení na Obr. 13 s regula ním lenem Q(s) má p enos:

R( s)

Q( s ) 1 Q (s )G ( s )

(2.26)

S použitím rozkladu (2.25) se regula ní len v IMC zapojení navrhuje ve tvaru:

Q (s)

1 F ( s) G0 (s )

(2.27)

kde F(s) je vhodný dolnopropustný filtr, mimo jiné zajiš ující realizovatelnost Q(s).

Protože objekt P se vyskytuje i v regulátoru, je pot eba rozlišit n kolik základních p ípad . Zvláš se eší návrh IMC pro stabilní a nestabilní nuly, tedy MP (minimální fáze) nebo p ípad NMP (neminimální fáze). Snahou návrhu je v prvé ad zajistit stabilitu regula ního obvodu a pak jeho p ijatelné chovaní. Vzhledem ke stabilit budeme rozlišovat nominální stabilitu, kdy regulátor zajistí stabilitu obvodu pro nominální objekt. Robustní stabilita se pak rozumí, že vypo ítaný regulátor zajistí stabilitu nejen pro nominální p ípad, ale také pro jisté okolí. Pod chováním obvodu (z anglického performance, jak uvád jí auto i Morari,


29

Zafiriou v [7]) se rozumí další podmínky kladené na regula ní obvod, nap . asymptotické sledování (tedy nulová ustálená odchylka).

IMC návrh postupu se skládá ze dvou krok a) Nominální p ípad Regulovaná soustava se chová p esn

podle našeho modelu. Pak q je vybraný aby

poskytoval „dobrou“ systémovou odezvu.

b) Robustní stabilita a chování

q je rozší ený dolnopropustním filtrem f q chování.

qf

a tím dosahuje robustní stability a


3

30

SYNTÉZA ÍZENÍ POMOCÍ POLYNOMIÁLNÍ METODY

Aplikace polynomiální metody p i návrhu systém

ízení vede k ešení polynomiálních

diofantických rovnic. Tvar t chto rovnic závisí na zvolené konfiguraci systému ízení, jejíž volbou lze zajistit požadovaný pr b h ízení a ovlivnit velikost ak ních zásah . V této kapitole se budu v novat popisu t ech vybraných konfigurací ízení a odvození rovnic pot ebných pro návrh regulátor

s námi požadovanými vlastnostmi. Nejd ležit jší

požadavky na vlastnosti regula ního obvodu jsou: stabilita systému ízení fyzikální realizovatelnost (vnit ní ryzost) asymptotické sledování referen ního signálu úplná kompenzace poruchy

Polynomiální metoda nám narozdíl od metod klasických ur í jak strukturu regulátor , tak i vztahy pro výpo et jejich parametr .

3.1 Struktura obvod V této ásti se budeme zabývat dv ma nejb žn jšími zapojeními regula ního obvodu a to obvodu se zp tnovazební smy kou, asto ozna ované také jako FeedBack (FB) nebo také obvod s jedním stupn m volnosti (1DOF), je na Obr. 14, a druhou uvažovanou alternativou je zp tno-p ímo vazební zapojení asto ozna ované také jako FeedBack-FeedforWard (FBFW), nebo také jako zapojení se dv ma stupni volnosti (2DOF), je na Obr. 15.

3.1.1 1DOF konfigurace systému ízení Tato konfigurace používá jeden zp tnovazební regulátor. 1DOF znamená one degree of freedom, tedy systém s jedním stupn m volnosti. Struktura regula ního obvodu v této konfiguraci je zobrazena na Obr. 14.


31

Obr. 14. Schéma 1DOF konfigurace regula ního obvodu

Blok s p enosem:

B( s) A( s )

regulovaná soustava

Q (s) zp tnovazební regulátor P( s)

Signály: y

regulovaná veli ina

n

porucha na ak ní zásah

w žádaná hodnota v

porucha na výstupu soustavy

u

ak ní zásah

e

regula ní odchylka

P enosové funkce: a) p enos ízeného systému

G( s)

b( s ) a( s)

(3)

kde a(s) a b(s) jsou nesoud lné polynomy v komplexní prom nné s a platí deg b deg a


32

b) p enos regulátoru

Q( s)

q( s ) p(s)

(3.1)

kde q(s) a p(s) jsou nesoud lné polynomy v komplexní prom nné s a platí deg q deg p

Obrazy vstupních signál : a) obraz referen ního signálu

a platí deg hw

W (s)

hw ( s ) f w (s)

(3.2)

V ( s)

hv ( s ) f v ( s)

(3.3)

deg f w

b) obraz poruchové veli iny

a platí deg hv

deg f v

Poruchových veli in m že být v systému více, nap . porucha vložená na výstup nebo porucha vstupující do ízeného systému. Pat í-li poruchové veli iny do stejné t ídy funkcí, nap . skok, sinus, rampa apod., pak regulátor kompenzující vliv jedné poruchy bude kompenzovat i ostatní poruchy.

Y ( s ) G ( s ).U ( s ) U ( s ) Q ( s ).E ( s ) V ( s )

q( s ) W ( s) Y ( s) p(s)

Dosazením (3) a (3.5) do (3.4) a následnou úpravou dostaneme:

(3.4)

V ( s)

(3.5)


Y (s)

b( s ) % q( s ) W (s) Y (s) $ a ( s ) # p( s )

b( s ).q( s ) '1 a ( s ). p( s ) &Y ( s )

Y (s)

33 " V (s)!

b( s ).q( s ) b( s ) W (s) V (s) a ( s ). p ( s ) a( s)

b( s ). p( s ) b( s ).q( s ) V ( s) W ( s) a ( s ). p ( s ) b( s ).q( s ) a ( s ). p( s ) b( s ).q( s )

(3.6)

Dosadíme (3.6) do vztahu E ( s ) W ( s ) Y ( s ) a dostaneme:

E (s)

b( s ). p ( s ) a ( s ). p( s ) V ( s) W (s) a ( s ). p( s ) b( s ).q( s ) a ( s ). p( s ) b( s ).q( s )

(3.7)

Dosazením (3.7) do (3.5) dostaneme obraz ak ní veli iny:

U (s)

a ( s ). p( s ) a ( s ).q( s ) V (s) W (s) a ( s ). p ( s ) b( s ).q( s ) a ( s ). p( s ) b( s ). p( s )

(3.8)

Ozna íme

a ( s ). p ( s ) b( s ).q( s )

d ( s)

(3.9)

Potom dostaneme:

1 b( s ).q( s ).W ( s ) b( s ). p ( s ).V ( s ) d (s)

(3.10)

E (s)

p( s ) a ( s ).W ( s ) b( s ).V ( s ) d ( s)

(3.11)

U (s)

a(s) q( s ).W ( s ) d (s)

(3.12)

Y (s)

Polynom d(s) je charakteristický polynom systému.

p( s ).V ( s )


34

Podmínka stability systému ízení bude spln na, jestliže polynomy p(s) a q(s) budou dány ešením polynomiální diofantické rovnice (3.9) - a ( s ). p ( s ) b( s ).q( s )

d ( s ) - se stabilním

polynomem d(s) na pravé stran .

Podmínka asymptotického sledování referen ního signálu v asové oblasti, resp. v komplexní rovin : lim t ( e(t ) 0 , resp. lim s(0 s. E ( s ) 0

(3.13)

Pokud dosadíme do (3.11) za W(s) a V(s) vztahy (3.2) a (3.3), dostaneme následující rovnici: E (s)

p( s ) h ( s) h ( s) a(s) w b( s ) v & ' d ( s) f w (s) f v (s)

(3.14)

Asymptotické sledování referen ního signálu a kompenzaci poruchy zajistíme sou asn tak, že polynom p(s) budeme hledat ve tvaru:

p(s)

f ( s ). ~ p( s)

(3.15)

kde f(s) je polynom d litelný sou asn jmenovateli referen ního signálu fw(s) a poruchy fv(s). Potom podmínková rovnice stability bude:

a ( s ). f ( s ). ~ p ( s ) b( s ).q( s )

d (s)

(3.16)

a p enos regulátoru:

Q(s)

q( s ) f ( s ). ~ p(s)

(3.17)

Budeme-li tedy ídit skokovou zm nu referen ního signálu i poruchy, bude f(s)=s a regulátor tudíž bude obsahovat integra ní složku. len F

1 m že být také kreslen za regulátor jako samostatný blok a nazývá se f ( s)

kompenzátor.


35

Systém ízení bude vnit n ryzí, jestliže p enosy všech prvk v systému budou ryzí, tj. platí:

deg q deg( f~ p ) deg f

deg ~ p

(3.18)

deg b deg a

(3.19)

deg ... stupe polynomu

deg(af~ p)

deg d

deg ~ p

deg a deg f

(3.20)

Plyne to z podmínek fyzikální realizovatelnosti (3.18) a (3.19). P i ešení porovnáním koeficient u jednotlivých mocnin máme k dispozici po et rovnic

deg d 1 deg a deg f

deg ~ p 1

(3.21)

a z nich hledáme po et neznámých

deg q deg ~ p 2

(3.22)

Musí platit, že po et rovnic = po et neznámých, z ehož plyne:

deg a deg f

deg ~ p 1 deg q deg ~ p 2

) deg q deg a deg f

1

(3.23) (3.24)

Dosazením (3.24) do (3.18) dostaneme stupe polynomu ~ p ( s) :

deg ~ p deg a 1

(3.25)

Pokud zvolíme deg ~ p * deg a 1 , získáme striktn ryzí p enos regulátoru, což ale není vždy nutné, v tšinou sta í volit deg ~ p deg a 1 . Potom

deg d

deg( af~ p)

2 deg a deg f

1

(3.26)

Jestliže známe stupn všech polynom , m žeme ešit polynomiální podmínkovou rovnici stability (3.16).


36

3.1.2 2DOF konfigurace systému ízení Tato konfigurace používá krom zp tnovazebního regulátoru i regulátor p ímovazební. 2DOF znamená two degrees of freedom, tedy systém se dv ma stupni volnosti. Struktura regula ního obvodu v této konfiguraci je zobrazena na Obr. 15.

Obr. 15. Schéma 2DOF konfigurace regula ního obvodu

Blok s p enosem:

R( s) p enos p ímovazebního regulátoru P( s) Ostatní zna ení je stejné jako u 1DOF konfigurace.

P enosové funkce: P enos ízeného systému je ve tvaru (3).

a) p enos zp tnovazebního regulátoru

Q( s)

q( s ) p(s)

(3.27)

kde q(s) a p(s) jsou nesoud lné polynomy v komplexní prom nné s a platí deg q deg p

b) p enos p ímovazebního regulátoru


37

r( s) p( s )

R( s )

(3.28)

kde r(s) a p(s) jsou nesoud lné polynomy v komplexní prom nné s a platí deg r

deg p

Obrazy vstupních signál jsou ve tvaru (3.2) a (3.3).

Y ( s ) G ( s ).U ( s ) U (s)

R( s ).W ( s ) Q ( s ).Y ( s ) V ( s )

(3.29)

r(s) W ( s) p( s )

q( s ) Y ( s) V ( s ) p( s )

(3.30)

Dosazením (3) a (3.30) do (3.29) a následnou úpravou dostaneme: Y (s)

b( s ) r ( s ) W (s) a( s) ' p( s )

b( s ).q( s ) '1 a ( s ). p( s ) &Y ( s )

Y (s)

q( s ) Y ( s) V ( s)& p(s)

b( s ).r ( s ) b( s ) W (s) V (s) a ( s ). p ( s ) a( s)

b( s ). p( s ) b( s ).r ( s ) V ( s) W ( s) a ( s ). p ( s ) b( s ).q( s ) a ( s ). p( s ) b( s ).q( s )

(3.31)

Dosadíme (3.31) do vztahu E ( s ) W ( s ) Y ( s ) a dostaneme: E (s)

b( s ).r ( s ) b( s ). p ( s ) '1 a ( s ). p ( s ) b( s ).q( s ) &W ( s ) a ( s ). p( s ) b( s ).q( s ) V ( s )

(3.32)

Ozna íme

a ( s ). p ( s ) b( s ).q( s )

d ( s)

(3.33)

Polynom d(s) je charakteristický polynom systému. Dosazením (3.33) do (3.31) a (3.32) dostaneme:

Y (s)

1 b( s ).r ( s ).W ( s ) b( s ). p( s ).V ( s ) d (s)

(3.34)


E (s)

38

b( s ). p ( s ) d ( s ) b( s ).r ( s ) V ( s) W ( s) d ( s) d (s)

(3.35)

Stabilitu systému ízení zajiš uje zp tnovazební regulátor, jehož polynomy p enosu jsou dány ešením 1. polynomiální diofantické rovnice (3.33) - a ( s ). p ( s ) b( s ).q( s )

d ( s ) - se

stabilním polynomem d(s) na pravé stran .

Pokud dosadíme do (3.35) W(s) a V(s) vztahy (3.2) a (3.3), dostaneme následující rovnici:

E (s)

d ( s ) b( s ).r ( s ) hw ( s ) d (s) f w ( s)

b( s ). p( s ) hv ( s ) d (s) f v ( s)

(3.36)

Z (3.36) plyne, že pro zajišt ní úplné kompenzace poruchy musí být polynom p(s) d litelný jmenovatelem p enosu poruchy fv(s). Potom bude mít p(s) tvar p(s)

f v ( s ). ~ p( s)

(3.37)

a 1. polynomiální diofantická rovnice bude ve tvaru: a ( s ). f v ( s ). ~ p ( s ) b( s ).q( s )

d (s)

(3.38)

r(s) f v ( s ). ~ p( s)

(3.39)

P enosy regulátor pak budou mít tvar:

Q ( s)

q( s ) , R( s ) f v ( s ). ~ p(s)

Z (3.36) dále plyne, že jmenovatel referen ního signálu fw(s) musí d lit polynom

d ( s ) b( s ).r ( s ) , tj. d ( s ) b( s ).r ( s ) t ( s ). f w ( s )

(3.40a)

Asymptotické sledování referen ního signálu je zajišt no p ímovazební ástí regulátoru, ve kterém itatel p enosu r(s) je dán ešením 2. polynomiální diofantické rovnice ve tvaru t ( s ). f w ( s ) b( s ).r ( s )

d ( s)

(3.40b)


39

Polynom t(s) je neznámý pomocný polynom, který používáme p i výpo tu, avšak do p enosu regulátoru nevstupuje.

Systém ízení bude vnit n ryzí, jestliže p enosy všech prvk v systému budou ryzí, tj. platí: deg q deg( f v ~ p ) deg f v

deg ~ p

deg b deg a

(3.42)

deg( f v ~ p ) deg f v

deg r

(3.41)

deg ~ p

(3.43)

deg ... stupe polynomu deg d

deg( af v ~ p ) deg a deg f v

deg ~ p

(3.44)

Plyne to z podmínek fyzikální realizovatelnosti (3.41) a (3.42). P i ešení porovnáním koeficient u jednotlivých mocnin máme k dispozici po et rovnic deg d 1 deg a deg f v

deg ~ p 1

(3.45)

a z nich hledáme po et neznámých

deg q deg ~ p 2

(3.46)

Musí platit, že po et rovnic = po et neznámých, z ehož plyne: deg a deg f v

deg ~ p 1 deg q deg ~ p 2

) deg q

deg a deg f v 1

(3.47) (3.48)

Dosazením (3.48) do (3.41) dostaneme stupe polynomu ~ p ( s) :

deg ~ p deg a 1

(3.49)

V n kterých p ípadech je však t eba (jak bude ukázáno pozd ji), aby deg ~ p * deg a 1 . To lze ošet it následovn :

deg ~ p deg a 1 k , kde k

0.

(3.50)


40

Potom p) deg(af v ~

deg d P i stanovení stup

2 deg a deg f v 1 k

(3.51)

polynom r(s) a t(s) vyjdeme z 2. polynomiální diofantické rovnice

(3.40b). P i ešení porovnáním koeficient u jednotlivých mocnin máme k dispozici po et rovnic deg d 1 deg t deg f w 1 ,

(3.52)

z nichž hledáme po et neznámých

deg t deg r 2

(3.53)

Musí platit, že po et rovnic=po et neznámých, z ehož plyne: deg t deg f w 1 deg t deg r 2 ) deg r

Stupe

(3.54)

deg f w 1

(3.55)

polynomu t(s) ur íme ze stupn charakteristického polynomu d(s) porovnáním

(3.52) a (3.51). deg d

2 deg a

) deg t

a musí platit deg t

deg f v

2 deg a

deg f v

1 k

deg t

deg f w

deg f w

(3.56)

1 k

0 . Zde je patrný význam konstanty k. Protože stupe polynomu t(s)

nem že být záporný, musíme volit konstantu k tak, abychom dostali alespo

deg t

0.

Nap . v p ípad , že máme soustavu 1. ádu ( deg a 1 ), referen ní signál je sinusový nebo rampa ( deg f w

2 ) a porucha má charakter bílého šumu ( deg f v

polynomu t(s) pro k=0 deg t

0 ), byl by stupe

1 , což není možné. Musíme tedy volit k * 0 , což se projeví

zvýšením stupn polynomu ~ p ( s ) , resp. polynomu p(s). Z toho nám plyne i podmínka pro volbu konstanty k: k

Pokud

deg f w 1 2 deg a deg f v .

deg f w 1 2 deg a deg f v

deg f w 1 2 deg a deg f v * 0 , volíme k

0,

pak

volíme

(3.57)

k=0.

deg f w 1 2 deg a deg f v .

V p ípad ,

že


4

41

VOLBA PÓL UZAV ENÉHO REGULA NÍHO OBVODU

Úloha p i azení pól

eší volbu pravé strany charakteristické rovnice, tedy volbu polynomu

d(s). V každém p ípad to musí být stabilní polynom, který má obecn tvar:

d ( s)

deg d

+ (s

si )

(4)

i 1

kde s i

i

j, i a

i

* 0 pro všechna i. Pokud , i

0 pro všechna i (tj. volíme jen reálné

póly), získáme aperiodický (nekmitavý) charakter regula ního pochodu. V p ípad volby komplexn

sdružených pól

obdržíme kmitavý regula ní pochod. Volbou reálné a

imaginární ásti pól zajistíme požadovaný pr b h regula ního pochodu, tj. dobu regulace a p ekmit. P ístup k volb pól je známých mnoho, liší se p edevším podle typu soustavy, kterou chceme ídit. Odlišná je tedy volba pól pro stabilní a nestabilní soustavy, stejn jako pro soustavy s minimální i neminimální fází. Dalším problémem je, zda zvolit jeden násobný ko en, i n kolik r zných reálných i imaginárních ko en a jak stanovit vztah mezi t mito ko eny. Další z možností je zvolit jako

ást polynomu d(s) p ímo prvek z p enosu

regulované soustavy, nap . polynom a(s)

i jeho

ást. V této kapitole uvedu n kolik

možností volby charakteristického polynomu, a to z hlediska typu soustavy.

Násobné póly Tento typ charakteristického polynomu má tvar: d (s) (s kde n

deg d a platí

)n

(4.1)

*0 .

Volba jednoho n kolikanásobného pólu je použitelná jen u stabilních soustav a i p esto neposkytuje nejlepší výsledky. Volba pólu

je problematická a volí se na základ

zkušeností a simula ního ov ení chování obvodu. P íliš velké

vede na velké parametry

polynomu q(s), což má za následek nep im ené ak ní zásahy, tzv. wind-up efekt. Protože se parametry regulované soustavy mohou p i adaptivním ízení m nit, je vhodné adaptovat i -.. .


42

Zlepšení kvality regulace lze dosáhnou volbou dvou n kolikanásobných pól . Polynom d(s) pak bude vypadat takto: d (s) ( s

1

) k .( s

2

)n k ,

i

*0

(4.2)

Neexistuje ovšem žádná metoda, jak explicitn vypo ítat vztah mezi

/

.a

0

, takže jejich

volba musí být ov ena simula n . Samoz ejm by bylo možno zvolit si ješt více násobných pól , ale protože neexistuje žádná metoda, která by stanovila jejich vzájemný pom r, jejich volba je spíše otázkou št stí a zkušenosti. Nalezení takových hodnot

i

, které by významn zlepšily kvalitu regulace, m že

být navíc velmi zdlouhavé a pracné a nakonec se ani nemusí poda it. Z t chto d vod se obvykle více než 2 r zné póly nevolí.

Polynom a(s) v kombinaci s násobným pólem Tato volba je možná pouze u stabilních soustav, tj. u soustav se stabilním polynomem a(s) ve jmenovateli p enosu. Polynom d(s) je pak složen ze dvou ástí a má tvar: d ( s) kde j

a ( s )( s

)j

deg d deg a . Pro násobný pól op t platí podmínka

(4.3)

* 0 , jinak by polynom d(s)

nebyl stabilní.

Polynom n(s) v kombinaci s násobným pólem Polynom d(s) v tomto tvaru lze použít u nestabilních soustav a vypadá následovn : d ( s) kde j

deg d deg a a

n( s )( s

)j

(4.4)

* 0 . Polynom n(s) je stabilní polynom získaný spektrální faktorizací n 1 ( s)n ( s ) a 1 ( s)a ( s)

(4.5)

kde hv zdi ka p edstavuje konjugovaný polynom, tzn. n 1 ( s) a platí deg n

deg a .

n( s ) a a 1 ( s )

a( s)

(4.6)


43

Takováto volba polynomu d(s) stabilizuje i nestabilní soustavy a p i výpo tu vede ke stabilnímu regulátoru. Obecn

platí, že stabilizovat ko eny polynomu a(s) m žeme

spektrální faktorizací dle rovnice (4.6).


II. PRAKTICKÁ ÁST

44


5

45

NÁVRH REGULÁTOR PRO JEDNOTLIVÉ METODY

V této kapitole budou odvozeny regulátory pro jednotlivé metody. Pro limitní aproximaci, Padého aproximaci a Smith v prediktor jsem zvolil t i soustavy a to stabilní s minimální a neminimální fází druhého ádu a nestabilní prvního ádu. A to ve tvaru: G s

k 1 2 3s e 2 1s 1 2 2 s 1

Gs

k 1 2 3s e 2 1s 1 2 2 s 1

G s

k e 2 1s 1

Td s

Td s

Td s

(5)

Pro stabilní soustavy je jako charakteristický polynom použit polynom d ( s )

a ( s )( s

)2 .

Pro nestabilní soustavy je použit charakteristický polynom ve tvaru d ( s )

n( s )( s

) a

polynom n(s) získáme spektrální faktorizací n 1 ( s )n ( s ) a 1 ( s )a ( s ) , kde hv zdi ka p edstavuje konjugovaný polynom. Polynom n(s) je stejného stupn jako polynom a(s), v tomto p ípad tedy degn=2. a( s ) a1 ( s )

a12 s 2 (a1a0 a1a0 ) a02

(a1 s a0 )( a1 s a0 )

n( s )n1 ( s ) (n1 s n0 )( n1 s n0 ) n( s ) n 1 ( s ) n12

n0

n02

a02

n1 s 2 (n1n0 n1n0 ) n02

a ( s ) a1 ( s ) a12 a02

n1

a12

(5.1)

Pro modifikace Smithova prediktoru (Majhiho modifikace Smithova prediktoru, zjednodušená Majhiho modifikace a modifikace Smithova prediktoru podle Liu + Cai + Gu + Zhang) jsem zvolil soustavu integra ní a nestabilní prvního ádu. A to ve tvaru: G s

k e s

G s

k e 2 1s 1

Td s

Td s

(5.2)


46

5.1 Soustava .1 stabilní s minimální fází Lineární spojitý dynamický systém je minimáln fázový práv tehdy, když má stabilního itatele. Tedy ko eny itatele mají záporné reálné ásti a nacházejí se v levé ásti komplexní roviny. Minimální fáze systému pak znamená, že p echodová charakteristika systému za íná ve sm ru vstupu. P enos systému s minimální fází m žeme obecn zapsat:

Gs

k 1 2 3s e 2 1s 1 2 2 s 1

Td s

(5.3)

5.1.1 Limitní aproximace ešíme regulátor systému s dopravním zpožd ním (5.3) pro 2DOF konfiguraci pomocí polynomiální metody. Abychom mohli provést pot ebné výpo ty je t eba nejprve nahradit dopravní zpožd ní v systému (5.3) limitní aproximací (2.14).

Gs

k 1 2 3s 1 2 1 s 1 2 2 s 1 1 Td s

(5.4)

Dále vztah (5.4) roznásobíme a po následných úpravách provádíme substituci vzniklých prom nných kde dostáváme polynomy:

b1

a3

1 ; a2

k2 3 ; b0 2 12 2Td

2 12 2 2 1Td 2 2Td ; a1 2 12 2Td

k

2 12 2Td 2 1 2 2 Td ; a0 2 12 2Td

1

2 12 2Td

(5.5)

Pak p enos systému nabývá tvaru:

Gs

a3 s

3

b1 s b0 a 2 s 2 a1 s a 0

(5.6)

UTB ve Zlín , Fakulta aplikované informatiky Dále uvažujeme, že do systému b hem

47

ízení vstupuje porucha s charakteristikou

jednotkového skoku: 1 s

V ( s) Pak provedeme výpo et stup polynomu d(s) podle vztah

(5.7)

regulátoru q(s), ~ ps

polynom

a charakteristického

(3.44) (3.48) (3.49), kde jejich p esné užití je popsáno

v kapitole 2 Polynom d(s) navíc rozvedeme podle vztahu (4.3). Nakonec dosadíme do rovnice (3.38) pat i né polynomy.Tím dostáváme vztah:

s3

a2 s 2

a1 s a0 s p 2 s 2 s3

p2 s 6

s6

a2 p2

a2

p1 s a2 s 2

p1 s 5

a1 p 2

a 2 p1

a0 p1

a1 p 0

b0 q 2

3a 2

3

3 s5

a1

p0

s

b1q3 s 4

a0 p 2

b1 q1 s 2

a0 p0

b0 q1

s4

3a1

3a 2

a0

2

3a 0

3

a1

s

q3 s 3

q2 s 2

a1 p1

a2 p0

q1 s q 0

3

a1 s a0

p0

2

b1 s b0

b0 q 3

b1 q0 s b0 q 0 2

3

s3

3a0

3a1

3

a0

b1 q 2 s 3

2

(5.8)

Porovnáním koeficient p íslušných mocnin dostaneme:

s 6 : p2 s 5 : a2 p2 s 4 : a1 p 2 s 3 : a0 p2

a1 p1

s 2 : a0 p1

p1

a 2 p1 a2 p0

3 ) p1

a2

p0

1

b1q 3

b0 q3

b1 q 2

a1

b0 q 2

b1 q1

3a 0

s1 : a0 p0

b0 q1

b1q 0

3a 0

s 0 : b0 q0

a0

3

) q0

3a 2

a0

a1 p 0

3 3

3a1 3a1

2

a1

3

2

a0 b0

2

3a 2

2

a2

3

3

3

(5.9)

a2

3

s2


48

ešením ty rovnic o ty ech neznámých získáme chyb jící parametry: p0

(t 5 s 5

t4 s 4

t3 s 3

b1 3 ; q1 b0

2

3

t2 s 2

a1 3 ; q2 b0

a2 b0

t ( s ). f w ( s ) b( s ).r ( s )

d ( s)

t1 s t 0 ) s (b1 s b0 ) r0

3

(s3

3

; q3

a2 s 2

b0

)3

a1 s a 0 )( s

(5.10)


s 0 : b0 r0

2

3

a 0 ) r0

a0

(5.11)

b0

Výsledné regulátory pak budou :

3

Q(s)

b0

s 3 a2 s 2 a1s a0

s s2 3 s 3

2

b1 b0

3

k

s s

2

k 3 s

2

s2

2 1 2 2 Td k

s

1 k

3 23

2

a0

3 s 3

Podmínka stability regulátor :

212 2 21Td 2 2Td ss

b0 2

s3

3

2

R( s)

212 2

2

b1 b0

0

3

s s2

3

23

k

3 s

2

3 23

(5.12)


49

5.1.2 Padého aproximace Pro další metodu ešení regulátoru systému s dopravním zpožd ním (5.3) pro 2DOF konfiguraci pomocí polynomiální metody je t eba nejprve nahradit dopravní zpožd ní v systému (5.3) Padého aproximací (2.11).

Gs

Td s k 1 2 3s 2 T 2 1s 1 2 2 s 1 1 d s 2

1

(5.13)


b2

a3

1 ; a2

k2 3

2 12 2

; b1

k 22 3 Td ; b0 2 12 2Td

2 1Td 2 2Td 22 12 2 ; a1 2 12 2Td

22 1

2k 2 12 2Td

22 2 Td ; a0 2 12 2Td

2 2 12 2Td

(5.14)


Gs

b2 s 2 b1 s b0 a3 s 3 a 2 s 2 a1 s a 0

(5.15)

Dále uvažujeme že do systému b hem ízení rovn ž vstupuje porucha s charakteristikou jednotkového skoku (5.7). Pak provedeme op t výpo et stup polynom regulátoru q(s) ~ p s a charakteristického polynomu d(s) uvedeným postupem v kapitole 5.1.1. Tím dostaneme: s3

a2 s 2

a1 s a 0 s p 2 s 2 s3

p1 s a2 s 2

p0

b2 s 2

a1 s a0

b1 s b0 s

3

q3 s 3

q2 s 2

q1 s q0


a0 p 2

p2 s 6

a2 p2

p1

b2 q 3 s 5

a1 p1

a2 p0

b0 q3

b1 q 2 a0 p 0

s6

3 s5

a2

a1

3a 2

3

2

a1 p 2

a 2 p1

p0

b2 q1 s 3

a 0 p1

a1 p0

b0 q1 s4

b2 q 2 s 4

b1 q3

b0 q 2

b1 q1

b2 q0 s 2

3a0

3a1

b1q 0 s b0 q 0

3a1

a0

2

3a 0

50

3

a1

2

3a 2

3

s3

3

s a0

2

a2

(5.16)


s 6 : p2

s 4 : a1 p 2 s 3 : a0 p 2

a1 p1

s 2 : a0 p1

s 5 : a2 p2

p1

a 2 p1

b1q3

a2 p0 a1 p 0

p0 b0 q 3

b0 q 2

s1 : a0 p0 s 0 : b0 q0

1

b2 q 3 b2 q 2

b1 q 2 b1 q1

b0 q1 a0

3a 0

3a 0

3a1

2

a0 b0

3

3a1

a0

b2 q 0

) q0

3a 2

a1

b2 q1

b1q 0 3

3

a2

a1

2

3a 2

2

a2

3

2

3

3

3

(5.17)

ešením p ti rovnic o p ti neznámých získáme chyb jící parametry regulátoru:

p0

3

2

b1 3 ; p1 b0

3

b2 3 ; q1 b0

a1 3 ; q2 b0

t ( s ). f w ( s ) b( s ).r ( s )

(t 5 s 5

t4 s 4

t3 s 3

t2 s 2

t 1 s t 0 ) s ( b2 s 2

a2 b0

3

; q3

3

b0

d ( s)

b1 s b0 )r0

( s3

a2 s 2

a1 s a0 )(s

)3 (5.18)

3

s2


51

Porovnáním koeficient p íslušných mocnin dostaneme: s 0 : b0 r0

2

3

a 0 ) r0

a0

a2 s 2

a1 s a 0

(5.19)

b0

Výsledné regulátory pak budou : 3

b0

Q (s) s s2

3

2 12 2Td 2k

s3

s s2 2

b0

R( s ) s s2

3

s3

b2 3 s 3 b0

3

22 12 2 2 1Td 2k

2 3Td

3

2 2Td

3

2

22 1

s2 2

s

b1 3 b0

2

23

3

22 2 2k

s

1 k

Td 2 2

a0

b2 3 s 3 b0

Td

k 2

b1 3 b0

s s2

3

2 3Td 2

3

s

2

3

23

Td 2

(5.20)

3

0


23

Td 2

5.1.3 Smith v prediktor Poslední metodou ešení spojitého regulátoru pro 2DOF konfiguraci, kterou se zde budu zabývat, je ešení pomocí Smithova prediktoru, jehož princip a užití je popsán v kapitole 2.2. Dojde tedy k vylou ení dopravního zpožd ní a pro Smith v prediktor zapojený v 2DOF konfiguraci dostaneme obecnou rovnici p enosu systému bez dopravního zpožd ní:

Gs

k 1 2 3s 2 1s 1 2 2 s 1

(5.21)


52

Roznásobíme ko eny této rovnice a provedeme substituci vzniklých polynom :

k2 3

b1

a2

; b0

2 12 2

k

2 12 2

21 2 2 ; a0 2 12 2

1 ; a1

1

(5.22)

2 12 2


b1 s b0 a 2 s a1 s a 0

Gs

(5.23)

2

Za p edpokladu poruchy s charakteristikou jednotkového skoku (5.7), provedeme op t výpo et stup polynom regulátoru q(s) ~ p s a charakteristického polynomu d(s) uvedeným postupem v kapitole 5.1.1. Tak dostaneme:

a( s) f ( s ) ~ p ( s ) b( s ) q( s ) (s 2 p1s 4

a1 s

(a1 p1

p0 ) (b1s b0 )( q2 s 2

a0 ) s ( p1s p0 s4

b1q2 ) s 3

(2

(a 0 p1

a1 ) s 3

(

a1 p0 2

q0 )

q1s

b1q1

2 a1

d (s)

b0 q2 ) s 2

a0 ) s 2

(

2

(s2

a1 s a 0 )( s

(a 0 p0

a1

2 a0 )s

b0 q1 )s

b1q0 2

a0

)2 b0 q0

(5.24)

Porovnáním koeficient p íslušných mocnin dostaneme: s 4 : p1 1 s 3 : a1 p1 s 2 : a0 p1

a1 p0

s 1 : a 0 p0 s 0 : b0 q0

p0

b1q2

b1q1

b0 q2

b1q0

b0 q1 2

a 0 ) q0

2

2

a1 2

2 a1

a1

2 a0

a0

a0

2

b0

ešením t í rovnic o t ech neznámých získáme chyb jící parametry:

(5.25)


p0

2

2

b1

2

, q2

b0

53

b0

, q1

t ( s ). f w ( s ) b( s ).r ( s )

(t 3 s 3

t2 s 2

a1

b0

d ( s)

(s2

t1 s t0 ) s (b1s b0 )r0

2

)2

a0 )( s

a1s

(5.26)


0

2

s : b0 r0

a 0 ) r0

a0

2

(5.27)

b0


Q(s)

b0 s s

s2

2

a1s b1


21 2 2

s2

s

k

23

2

2

1 k

)

b0

b0 s s 2

2 12 2 k s( s 2

2

2

R( s)

2

a0

2

a0 b1

0

2

ss

2

k

23

2

(5.28)

b0

2

23

5.2 Soustava .2 stabilní s neminimální fází Lineární spojitý dynamický systém je neminimáln fázový práv tehdy, když má nestabilního itatele. Tedy ko eny itatele mají kladné reálné ásti a nacházejí se v pravé ásti komplexní roviny. Neminimální fáze systému pak znamená, že p echodová charakteristika systému za íná proti sm ru vstupu. P enos systému s neminimální fází m žeme obecn zapsat:


Gs

54

k 1 2 3s e 2 1s 1 2 2 s 1

Td s

(5.29)


Gs

k 1 2 3s 1 2 1 s 1 2 2 s 1 1 Td s

(5.30)


b1

a3

1 ; a2

k2 3 ; b0 2 12 2Td

2 12 2 2 1Td 2 2Td ; a1 2 12 2Td

k

2 12 2Td 2 1 2 2 Td ; a0 2 12 2Td

1

2 12 2Td

(5.31)


Gs

a3 s

3

b1 s b0 a 2 s 2 a1 s a 0

(5.32)

Dále uvažujeme že do systému b hem ízení vstupuje porucha (5.7). Pak provedeme výpo et stup polynom regulátoru q(s) ~ p s a charakteristického polynomu d(s) podle vztah (3.44) (3.48) (3.49), kde jejich p esné užití je popsáno v kapitole 2 Polynom d(s) navíc rozvedeme podle vztahu (4.3). Nakonec dosadíme do rovnice (3.38) pat i né polynomy.Tím dostáváme vztah: s3

a2 s 2

a1 s a0 s p 2 s 2 s3

p1 s a2 s 2

p0 a1 s a0

q3 s 3

b1 s b0 s

3

q2 s 2

q1 s q 0

UTB ve Zlín , Fakulta aplikované informatiky p2 s 6

s6

a2 p2

a2

p1 s 5

a1 p 2

a 2 p1

a0 p1

a1 p 0

b0 q 2

3a 2

3

3 s5

a1

b1q3 s 4

p0

2

55 a0 p 2

b1 q1 s 2

a0 p0

b0 q1

s4

3a1

3a 2

a0

2

3a 0

3

a1

a1 p1

a2 p0

b0 q 3

b1 q0 s b0 q 0 2

3

s3

3a0

3a1

3

s a0

b1 q 2 s 3

2

(5.33)


s 6 : p2 s 5 : a2 p2 s 4 : a1 p 2 s 3 : a0 p2

a1 p1

s 2 : a0 p1

p1

a 2 p1 a2 p0

3 ) p1

a2

p0

1

b1q 3

b0 q3 b0 q 2

b1 q1

3a 0

s1 : a0 p0

b0 q1

b1q 0

3a 0

a0

3

) q0

3

3a1

a0

a1 p 0

s 0 : b0 q0

3a 2

a1

b1 q 2

3

3a1

2

a1

3

2

2

3a 2

2

a2

3

3

3

a0 b0

(5.34)

ešením ty rovnic o ty ech neznámých získáme chyb jící parametry: p0

3

2

b1 3 ; q1 b0

a1 3 ; q2 b0

t ( s ). f w ( s ) b( s ).r ( s )

(t 5 s 5

t4 s 4

t3 s 3

t2 s 2

a2 b0

3

; q3

3

b0

d ( s)

t1 s t 0 ) s (b1 s b0 )r0

(s3

a2 s 2

a1 s a 0 )(s

)3 (5.35)

Porovnáním koeficient p íslušných mocnin dostaneme: 0

s : b0 r0

2

a 0 ) r0

a0

3

b0

(5.36)

a2

3

s2


56


3

Q (s)

b0 s s2

s3

a2 s 2

3

a1 s a 0 b1 b0

2

3 s 3

k

ss

b0 s s

2

2 12 2 2 1Td 2 2Td

s3

3

2

R( s)

2 12 2

k 3 s

2

2 1 2 2 Td k

s

1 k

3 23

2

a0

3 s 3

2

s2

2

b1 b0

3


ss

k

2

3 s

2

(5.37)

3 23

0

5.2.2 Padého aproximace Pro další metodu ešení regulátoru systému s dopravním zpožd ním (5.29) pro 2DOF konfiguraci pomocí polynomiální metody je t eba nejprve nahradit dopravní zpožd ní v systému (5.29) Padého aproximací (2.11). k 1 2 3s 2 1s 1 2 2 s 1

Gs

Td s 2 T 1 d s 2

1

(5.38)


b2

a3

1 ; a2

k2 3

2 12 2

; b1

k 22 3 Td 2 12 2Td

2 1Td 2 2Td 22 12 2 ; a1 2 12 2Td


22 1

; b0

2k 2 12 2Td

22 2 Td ; a0 2 12 2Td

2 2 12 2Td

(5.39)


57

b2 s 2 b1 s b0 a3 s 3 a 2 s 2 a1 s a 0

Gs

(5.40)

Dále uvažujeme že do systému b hem ízení rovn ž vstupuje porucha s charakteristikou jednotkového skoku (5.8). Pak provedeme op t výpo et stup polynom regulátoru q(s) ~ p s a charakteristického polynomu d(s) uvedeným postupem v kapitole 5.1.1. Tím dostaneme: s3

a2 s 2

a1 s a 0 s p 2 s 2

p1 s

s3

a0 p 2

a2 s 2

p2 s 6

a2 p2

p1

b2 q 3 s 5

a1 p1

a2 p0

b0 q3

b1 q 2

a0 p 0 s6

a2

3 s5

a1

3a 2

3

b2 s 2

p0

a1 s a0

a 2 p1

p0

b2 q1 s 3

a 0 p1

a1 p0

s4

q1 s q0

b2 q 2 s 4

b1 q3

b0 q 2

b1 q1

b2 q0 s 2

3a0

3a1

b1q 0 s b0 q 0

3a1

a0

2

3a 0

q2 s 2

3

s

a1 p 2

b0 q1 2

q3 s 3

b1 s b0

3

a1

3a 2

2

3

s3

3

s a0

2

(5.41)


s 6 : p2

s 4 : a1 p 2 s 3 : a0 p 2

a1 p1

s 2 : a0 p1

s 5 : a2 p2

p1

a 2 p1

b1q3

a2 p0 a1 p 0

p0 b0 q 3

b0 q 2

s1 : a0 p0 s 0 : b0 q0

1

b2 q 3 b2 q 2

b1 q 2 b1 q1

b0 q1 a0

3

a1

b2 q1

a0

) q0

3a 2

3a 0

3a1

2

a0 b0

3

3a1

3a 0

b2 q 0

b1q 0

3

a2

a1

2

2

3a 2

2

a2

3

3

3

3

(5.42)

a2

3

s2


58

ešením p ti rovnic o p ti neznámých získáme chyb jící parametry regulátoru: p0

3

2

b1 3 ; p1 b0

b2 3 ; q1 b0

3

a1 3 ; q2 b0

t ( s ). f w ( s ) b( s ).r ( s )

(t 5 s 5

t4 s 4

t3 s 3

t2 s 2

t 1 s t 0 ) s ( b2 s 2

a2 b0

3

3

; q3

b0

d ( s)

b1 s b0 )r0

a2 s 2

( s3

)3

a1 s a0 )(s

(5.43) Porovnáním koeficient p íslušných mocnin dostaneme: 0

2

s : b0 r0

3

a 0 ) r0

a0

a2 s 2

a1 s a 0

(5.44)

b0


b0

Q (s) s s2

3

2 12 2Td 2k

s3

s s2

2

b0

R( s ) s s2

3

b2 b0

s3

b2 3 s 3 b0

3

22 12 2 2 1Td 2k 3

2 3Td

3

2 2Td

2

22 1

s2 2

s

b1 3 b0

2

3

23

22 2 2k

1 k

s

Td 2

2

a0

k

3

s

Td

3

2

b1 b0

3

s s2

3

2 3 Td 2

3

s

2

3

23

Td 2

(5.45)


0

6 2 3Td


59

5.2.3 Smith v prediktor eším obdobn jako v kapitole 5.1.3.

k 1 2 3s 2 1s 1 2 2 s 1

Gs

(5.46)

Roznásobíme ko eny této rovnice a provedeme substituci vzniklých polynom :

k2 3

b1

a2

; b0

2 12 2

1 ; a1

k

2 12 2

21 2 2 ; a0 2 12 2

1

(5.47)

2 12 2


Gs

b1 s b0 a 2 s a1 s a 0

(5.48)

2

Za p edpokladu poruchy s charakteristikou jednotkového skoku (5.8), provedeme výpo et stup polynom regulátoru q(s) ~ p s a charakteristického polynomu d(s) uvedeným postupem v kapitole 5.1.1. Tak dostaneme:

a( s) f ( s ) ~ p ( s ) b( s ) q( s ) (s 2 p1s 4

a1 s

(a1 p1

p0 ) (b1s b0 )( q2 s 2

a0 ) s ( p1s p0 s4

b1q2 ) s 3

(2

(a 0 p1

a1 ) s 3

(

a1 p0 2

2 a1

b1q1

d (s) q0 )

q1s

b0 q2 ) s 2

a0 ) s 2

(


2

a1

(s2

a1 s a 0 )( s

(a 0 p0 2 a0 )s

b0 q1 )s

b1q0 2

a0

)2 b0 q0

(5.49)


60

s 4 : p1 1 s 3 : a1 p1 s 2 : a0 p1

a1 p0

s 1 : a 0 p0

2

p0

b1q2

b1q1

b0 q2

b1q0

s 0 : b0 q0

2

b0 q1 2

a1 2

2 a1

a1

2 a0

a 0 ) q0

a0

a0

2

(5.50)

b0

ešením t í rovnic o t ech neznámých získáme chyb jící parametry: p0

2

2

b1

b0

2

, q2

b0

, q1

t ( s ). f w ( s ) b( s ).r ( s )

(t 3 s 3

t2 s 2

b0

d ( s)

(s2

t1 s t0 ) s (b1s b0 )r0

2

a1

)2

a0 )( s

a1s

(5.51)

Porovnáním koeficient p íslušných mocnin dostaneme: s 0 : b0 r0

2

a 0 ) r0

a0

2

(5.52)

b0


2

Q (s)

b0

s2

s s 2

b1


21 2 2

s2

s

k

23

2

2

1 k

)

b0

b0 s s 2

2 12 2 k s( s 2

2

2

R( s)

2

a1 s a 0

2

a0 b1

k ss 2

2

b0

0

23

2

(5.53)


61

5.3 Soustava .3 nestabilní

k e 21s 1

G s

Td s

(5.54)


G s

k 1 2 1 s 1 1 Td s

(5.55)


k 2 1Td

b0

a2

1 ; a1

2 1 Td ; a0 2 1Td

1 2 1Td

(5.56)


G s

s

2

b0 a1 s a0

(5.57)

Dále uvažujeme že do systému b hem ízení vstupuje porucha (5.7). Pak provedeme výpo et stup polynom regulátoru q(s) ~ p s a charakteristického polynomu d(s) podle vztah (3.44) (3.48) (3.49), kde jejich p esné užití je popsáno v kapitole 2. Polynom d(s) navíc rozvedeme podle vztahu (4.4). Nakonec dosadíme do rovnice (3.38) pat i né polynomy. Tím dostáváme vztah: (s 2

a1 s a 0 ) s ( p1s

p0 ) b0 ( q2 s 2

q1s

q0 )

(s 2

n1s

n0 )( s

)2

UTB ve Zlín , Fakulta aplikované informatiky p1 s 4

a1 p1 s 3 s4

p1s 4

a0 p1 s 2

2 s3 (a1 p1

s4

p0 s 3

2 2

s

n1 s 3

p0 ) s 3

(a 0 p1

n1 ) s 3

(2

2

(

a1 p0 s 2

62

a0 p0 s b0 q2 s 2

2 n1s 2

2

n1 s n0 s 2

a1 p0

b0 q2 ) s 2

2 n1

n0 ) s 2

2

2

2 n0 s

( a0 p0 (

b0 q1 s b0 q0

b0 q1 ) s b0 q0 2

2 n0 ) s

n1

n0

n0

(5.58)

Porovnáním koeficient p íslušných mocnin dostaneme: s 4 : p1 1

s 3 : a1 p1 s 2 : a 0 p1

a1 p0 s 1 : a 0 p0

n1 ) p0

2

p0 2

b0 q2

2 n1 2

b0 q1

2

n0 ) q2

s 0 : b0 q0

2

n 0 ) q0

t ( s ). f w ( s ) b( s ).r ( s )

(t 3 s 3

t2 s 2

(s2

t1 s t0 ) s b0 r0

a1

1 b0 1 b0

2 n0 ) q1

n1

n1 2

2

n0

n1

2

2

21

2 n1

n0

a1 p0

2 n0

a 0 p0

a0

2

b0

d ( s) n0 )( s

n1 s

)2

(5.59)


s : b0 r0

2

n0 ) r0

n0

2

b0

(5.60)

Výsledné regulátory pak budou : Q(s)

R( s)


q2 s 2 q1s q0 s s p0

r0 ss

p0

1

(5.61)


63

5.3.2 Padého aproximace Pro další metodu ešení regulátoru systému s dopravním zpožd ním (5.54) pro 2DOF konfiguraci pomocí polynomiální metody je t eba nejprve nahradit dopravní zpožd ní v systému (5.54) Padého aproximací (2.11).

G s

T 1 ds k 2 T 21s 1 1 d s 2

(5.62)


b1

a2

1 ; a1

k

21

; b0

2k 2 1Td

22 1 Td ; a0 2 1Td

2 2 1Td

(5.63)


G s

b1s b0 a2 s a1s a0

(5.64)

2

Dále uvažujeme že do systému b hem ízení rovn ž vstupuje porucha s charakteristikou jednotkového skoku (5.7). Pak provedeme op t výpo et stup polynom regulátoru q(s) ~ p s a charakteristického polynomu d(s) uvedeným postupem v kapitole 5.3.1. Tím dostaneme:

a( s) f ( s ) ~ p ( s ) b( s ) q( s ) (s 2 p1 s 4

a1 s a0 )s ( p1s

a1 p1 s 3

a0 p1 s 2 s4

2 s3

p0 ) (b1s b0 )( q2 s 2 p0 s 3 2 2

s

a1 p0 s 2

q1 s q0 ) ( s 2

a 0 p0 s b1 q2 s 3

n1 s 3 2 n1 s 2

d (s)

2

b1q1 s 2

n1s n0 s 2

n1 s n0 )( s b1 q0 s b0 q2 s 2

2 n0 s

2

n0

)2 b0 q1 s b0 q0

UTB ve Zlín , Fakulta aplikované informatiky p1s 4

(a1 p1

p0

b1q2 ) s 3

s4

(2

(a 0 p1

n1 ) s 3 (

a1 p0 2

b1q1

64 b0 q2 ) s 2

2 n1 n0 ) s 2

(

2

(a 0 p0

b0 q1 )s

b1q0 2

n1 2 n0 ) s

n0

b0 q0

(5.65)

Porovnáním koeficient p íslušných mocnin dostaneme: s 4 : p1 1 s 3 : a1 p1 s 2 : a0 p1 a1 p0 s 1 : a 0 p0

p0

b1q2

2 2

b1q1 b0 q2 b1q0

0

b0 q1 2

s : b0 q0

n1

2

2 n1 n0 2 n0

n1

n 0 ) q0

2

n0

(5.66)

b0

ešením t í rovnic o t ech neznámých získáme chyb jící parametry:

q2

p0

a1

1 b1a 0 b0

1 (2 b1 b0 b1

[

n1

2

a1 p1

p0 ) , q1

2 n1 n0

1 ( b0

t2 s 2

n1

b1 (b1 q0 b0

a 0 p1

t ( s ). f w ( s ) b( s ).r ( s )

(t 3 s 3

2

t1 s t0 ) s (b1s b0 )r0

2 n0

2

a0 p0

n1 2 n0 )

b1q0 )

b0 (a1 p1 2 b1

n1 )]

d ( s)

(s2

n1 s n0 )( s

)2

(5.67)


s : b0 r0


2

n0 ) r0

n0

2

b0

(5.68)

UTB ve Zlín , Fakulta aplikované informatiky q2 s 2 q1s q0 s s p0

Q(s)

r0

R( s)


65

ss

(5.69)

p0

12 2 1Td

0

5.3.3 Smith v prediktor Roznásobíme ko eny rovnice (5.54) a provedeme substituci vzniklých polynom : b0

k

a1 2 1 ; a0

1

(5.70)


b0 a1 s a0

G s

(5.71)

Pro nestabilní soustavy je použit charakteristický polynom ve tvaru d ( s )

n( s )( s

) a

polynom n(s) získáme spektrální faktorizací n 1 ( s )n ( s ) a 1 ( s )a ( s ) , kde hv zdi ka p edstavuje konjugovaný polynom. Polynom n(s) je stejného stupn jako polynom a(s), v tomto p ípad tedy degn=2. a( s )a1 (s )

a12 s 2 (a1a0 a1a0 ) a02

(a1 s a0 )( a1 s a0 )

n( s )n1 ( s ) (n1 s n0 )( n1 s n0 ) n( s ) n 1 ( s ) n12

n0

n02

n1 s 2 (n1n0 n1n0 ) n02

a ( s )a1 ( s ) a12 a02

a02 n1

a12

(5.72)


66

Za p edpokladu poruchy s charakteristikou jednotkového skoku (5.7), provedeme výpo et stup polynom regulátoru q(s) ~ p s a charakteristického polynomu d(s) uvedeným postupem v kapitole 5.3.1. Tak dostaneme:

a( s) f ( s ) ~ p ( s ) b( s ) q( s ) (a1s a0 ) s ( p0 ) (b0 )(q1 s q0 ) a1 p0 s 2 a0 p0 s b0 q1s b0 q0 b0 q0

d (s)

(n1s n0 )( s n1s 2

)

n0 s n1 s n0

(5.73)


s 2 : a1 p0 s1 : a0 p0 b0 q1

n1 ) p0

n1

n0 ) q1

s 0 : b0 q0

n0 ) q0

n1 a1 n1

n0 a0 p0 b0

n0

(5.74)

b0


p0

n1 , q1 a1

n1

n0 a0 p0 , q0 b0

t ( s ). f w ( s ) b( s ).r ( s )

(t1s t0 ) s (b0 )r0

n0

b0

d ( s)

(n1s n0 )( s

)

(5.75)


s 0 : b0 r0

n0 ) r0

n0

b0

(5.76)


67


q1 s q0 s p0

Q (s )

r0 s ( p0 )

R( s)


(5.77)

0

5.3.4 Majhiho modifikace Smithova prediktoru Odvození vztah pro výpo et parametr regulátor Gc , Gc1 , Gc 2

Pro lepší pochopení konkrétního postupu p i návrhu parametr regulátor je provedena hlubší analýza pro jednotlivé druhy ízených soustav (nestabilní soustava prvního ádu s dopravním zpožd ním, integra ní soustava s dopravním zpožd ním).

Pro odvození parametr regulátoru je uvažován systém o p enosu (5.54) P enosy regulátor pro systém (5.54) jsou zvoleny ve tvaru: GC ( s )

K P (Ti s 1) Ti s

GC 1

Kf

GC 2

Kd

(5.78)

Dosazením (5.54) a (5.78) do (2.18) se p enos žádané veli iny na výstup GW/Y(s), neobsahující dopravní zpožd ní ve jmenovateli, zm ní v GW / Y (s )

a p i zavedení

kK p (Ti s 1) Ti Ts

2

Ti (kK p

kK f

1) s kK p

(5.79)


68

kK p

(5.80)

Ti T lze rovnici (5.79) p epsat do normalizovaného tvaru

GW / Y ( s )

c1 s n 1 s d1sn 1

(5.81)

2 n

kde c1

(5.82)

Ti

a

d1

kK p

kK f

1 T

1

(5.83)

Položením Kp=1 a zvolením menší hodnoty Ti, je získána v tší hodnota , která má pak za následek zrychlení odezvy na žádanou veli inu. Hodnota d1 je obdržena pro hodnotu c1 v souladu s ISTE kritériem. Kf

je získáno z rovnice (5.83) Tím jsou tedy navrženy

parametry pro regulátory GC a GC1.

Charakteristická rovnice, vyplívající z p enosové funkce poruchy (2.19), pro systém (5.54) vypadá takto:

1 GGC 2e

Td s

1

kK d e Td s Ts 1

0

(5.84)

Optimální hodnota Kd, což je parametr GC2, je dána Nyquistovým kritériem stability De Paor okrajovým fázovým kritériem jako Kd

s omezením Td/T<1.

T Td k 2

(5.85)


69

5.3.5 Návrh podle Liu + Cai + Gu + Zhang Vztahy pro výpo et parametr regulátor

Jelikož obvykle sta í volit regulátor K(s) jako proporcionální ve tvaru K(s)=kc, p enos žádané veli iny na výstup bude ve tvaru

GW / Y ( s )

Y ( s) W (s )

GGS e Td s 1 FGSM e TdM s . 1 kcGSM 1 FGS e Td s

P edpokládá se shodnost dynamiky soustavy a modelu, tedy G ( s ) GSM e

(5.86)

TdM s

. S využitím

tohoto p edpokladu m že být p enos GW/Y(s) redukován do tvaru

GW / Y ( s )

Y ( s) W ( s)

GGS e Td s 1 kcGSM

(5.87)

Z ehož je patrné, že charakteristická rovnice regula ního obvodu už neobsahuje p enos elementu dopravního zpožd ní. Odvození vztah pro výpo et parametr

regulátor pro nestabilní systém prvního ádu

s dopravním zpožd ním ke Td s G( s) 3 GS ( s ) 21 s 1

k . Ts 1

(5.88)

Regulátor K(s)

Jak již bylo e eno, posta uje volit regulátor K(s) pouze jako proporcionální, tedy K(s)=kc. Charakteristickou rovnici regula ního obvodu pro soustavy (5.88) lze získat z p enosu žádané veli iny (5.87) a to ve tvaru: Ts kc k 1 0

Stabilita charakteristické rovnice (5.89) bude zajišt na položením kc>1/k. Zjednodušen mohu íci, že k zajišt ní stability posta í, položíme-li kc=1.

(5.89)


70

Regulátor GC(s) Pro regulátor GC(s) platí:

Gc ( s )

Ts kc k 1 k (4c s 1)

(5.90)

Pro 4c se volí takto: (0,8 3) TD

Regulátor F ( s ) Regulátor F ( s ) je ve tvaru:

F ( s)

kf

1 TD s TI s

P i emž pro jednotlivé parametry (k f , TI , TD ) platí vztahy dle Tab. 1.

(5.91)


71

Tab. 1. Vztahy pro výpo et parametr PID regulátoru F(s)

Parametry Regulátor F(s) 2 2 3A A2 T 4

4A 2A 1 T43f

2 A2 44f

2k A 1 T 2

kf

44 f A 1 2

2T 3 Td

A42f

T Td

T 2 Td2

2 1 7 A 6A2 42f

2

2 A 14f

Td

kde A e T k A 1T 2 T

TI

1 A4 2f

T Td

1 2 A 14f

Td

kde A e T

2 7 3 7 3 6 2 5 2 (12T7 36AT7 36AT 12AT 12Td AT6 24Td A2T612Td AT 18T5Td2 30AT5Td 2 12AT Td 8T4Td3 3

6k A 1 T2 A4f T Td 2A4f 24f 2 AT 4Td 3 T 3Td 4 48T 64 f 168 AT 64 f 192 A2T 64 f 6k

A 1 T2

72 A3T 64 f

A4 f T Td 2 A4 f

48 AT 5Td 4 f 120 A2T 5Td 4 f 3

24 f

72A3T 5Td 4f 36T 4Td 24f 84AT 4Td 24f 48A2T 4Td 24f 4T3Td 34f 4AT3Td 34f 72T 54f 312AT 5T3Td34f 2 3

6k A 1 T 2 A4f T Td 2A4f 24f

2 5 2 3 5 2 2 2 3 4 2 3 2 2 420AT 4f 180AT 4f 72AT4Td4f 2 240AT 180AT Td4f 2 12T3Td24f 2 78AT3Td24f 2 72AT Td 4f d4f

TD

6k A 1 T2 A4f T Td 2A4f 24f

3

3 4 3 3 3 A2T2Td34f 2 48T44f 3 288AT44f 3 480A2T44f 3 240AT 4f 48A2T3Td4f 3 240AT Td4f 3 24AT2Td24f 3


3

2 2 2 3 2 3 4 3 3 4 2 2 2 4 3 2 48AT Td 4f 12T34f 4 132AT34f 4 300AT 4f 180AT 4f 12AT2Td4f 4 120AT Td 4f 180AT Td4f 4


3

2 2 4 2 2 5 3 2 5 2 5 3 5 2 3 3 6 12ATT 24AT24f 5 96AT 4f 72AT 4f 24ATT 72ATT 12ATT 4f 6 12AT 4f 6 12AT d 4f d d4f d4f

6k A 1 T2 A4f T Td 2A4f 24f Td

kde A e T

3


72

Kde 4 f je ladící parametr PID regulátoru a zajiš uje rychlost odezvy systému na zm nu referen ního signálu.

5.3.6 Zjednodušená Majhiho modifikace Vztahy pro výpo et parametr regulátor K1 slouží ke stabilizaci modelu ízeného systému bez prvku dopravního zpožd ní G0 K2 zajiš uje minimalizaci vlivu vstupující poruchy K3 stabilizuje ízený systém G0 ( s ) e

Td s

K4 zajiš uje sledování zm n referen ního signálu Odvození vztah pro výpo et parametr

regulátor

pro nestabilní systém prvního ádu

s dopravním zpožd ním G ( s)

k e Ts 1

Td s

G0 ( s )e

TD s

.

(5.92)

Pro ( K1 , K 2 , K 3 , K 4 ) platí:

K1 K2 K3 K4

T

1

4

k K2P

K2D s

T TD k 2

(5.93)

T k4

P i emž pro ( K 2 P , K 2 D ) platí: K 2P

T k4

Pro K 2 D lze použít Padého aproximaci 1. ádu (5.95) nebo 2. ádu (5.96)

(5.94)


4 (T

K2D

K2D

TTD

TTD )(T

4

)

T TTD ) kTD ( TD

4 k (T 1 ' 2 TTD

73

2

4 (T

1 TD 2

1 TTD ) & (T 2

1 k ' TTD 2

4 (T

1 TD 2

TTD

4

1 TTD ) & 2

)

(5.95) 1)

1 T TTD 2 ( 4 TD

1 T kTD 2 ( 4 TD

1)

1) (5.96)

5.3.7 IMC Metoda návrhu regulátoru IMC pracuje s inverzí dynamiky regulované soustavy. V p ípad , že soustava obsahuje nestabilní ásti i dopravní zpožd ní, je t eba její p enos rozd lit na invertovatelnou a neinvertovatelnou

ást. P enos regulátoru potom tvo í p evrácená

hodnota invertovatelné ásti p enosu soustavy, pop ípad dopln ná o dolnopropustný filtr.

P enos regulované soustavy (5.54) rozd lený na invertovatelnou a neinvertovatelnou ást má tvar:

G( s)

k e 2 1s 1

G ( s) G ( s)

Td s

(5.97)

P enos regulátoru potom bude ve tvaru: G R ( s)

2 1s 1

(5.98)

k

Z výše uvedeného je z ejmé, že regulátor v tomhle tvaru je fyzikáln nerealizovatelný a je t eba ho doplnit o dolnopropustný filtr:

G f ( s)

1

(5.99)

1 2fs

Výsledný regulátor potom bude ve tvaru:

G IMC ( s )

2 1s 1 k (1 2 f s )

asová konstanta dolnopropustného filtru 2 f se volí obvykle 2 f

(5.100) 0, 5 2 1 .


74

5.4 Soustava .4 integra ní k e s

G s

Td s

(5.101)

5.4.1 Majhiho modifikace Smithova prediktoru eším obdobn jako v kapitole 5.3.4. Odvození vztah pro výpo et parametr regulátor Gc , Gc1 , Gc 2 Pro odvození parametr regulátoru je uvažován systém o p enosu (5.101) P enosy regulátor pro systém (5.101) jsou zvoleny ve tvaru: K P (Ti s 1) Ti s

GC ( s )

GC1

Kf

GC 2

Kd

(5.102)

Dosazením (5.101) a (5.102) do (2.18) se p enos žádané veli iny na výstup GW/Y(s), neobsahující dopravní zpožd ní ve jmenovateli, zm ní v GW / Y (s )

kK p (Ti s 1) Ti Ts

2

Ti (kK p

1) s kK p

kK f

(5.103)

a p i zavedení

kK p

(5.104)

Ti T lze rovnici (5.103) p epsat do normalizovaného tvaru

GW / Y ( s )

c1 s n 1 s n2 d 1 s n 1

(5.105)

Kde c1

Ti

(5.106)

a

d1

k Kp

Kf

1

(5.107)


75

Položením Kp=1 a zvolením menší hodnoty Ti, je získána v tší hodnota , která má pak za následek zrychlení odezvy na žádanou veli inu. Hodnota d1 je obdržena pro hodnotu c1 v souladu s ISTE kritériem. Kf je získáno z rovnice (5.107) Tím jsou tedy navrženy parametry pro regulátory GC a GC1.

Charakteristická rovnice, vyplývající z p enosové funkce poruchy (2.19), pro systém (5.101) vypadá takto:

1 GGC 2e

Td s

1

kK d e s

Td s

0

(5.108)

Podle Nyquistova kritéria stability se blíží k (5.108) výrazu pro získání K D . Pro K D platí:

Kd

5 2 om

(5.109)

2kTd

Kde om je okrajový fázový úhel.

5.4.2 Návrh podle Liu + Cai + Gu + Zhang eším obdobn jako v kapitole 5.3.5.

Vztahy pro výpo et parametr regulátor Jelikož obvykle sta í volit regulátor K(s) jako proporcionální ve tvaru K(s)=kc, p enos žádané veli iny na výstup bude ve tvaru (5.86) Op t se p edpokládá shodnost dynamiky soustavy a modelu, tedy G ( s )

GSM e

TdM s

.

S využitím tohoto p edpokladu m že být p enos GW/Y(s) redukován do tvaru (5.87). Z ehož je patrné, že charakteristická rovnice regula ního obvodu už neobsahuje p enos elementu dopravního zpožd ní. Odvození vztah zpožd ním.

pro výpo et parametr

regulátor

pro integra ní systém s dopravním


G( s)

Td s

ke

s

3 GS ( s )

76

k s

(5.110)

Regulátor K(s) Jak již bylo e eno, posta uje volit regulátor K(s) pouze jako proporcionální, tedy K(s)=kc. Charakteristickou rovnici regula ního obvodu pro soustavy (5.110) lze získat z p enosu žádané veli iny (5.87) a to ve tvaru:

s kc k

0

(5.111)

Aplikací Routh-Hurwitzova kritéria na (5.111) a spln ním nerovnosti kc>0, zajistíme stabilitu tohoto charakteristického polynom . Zjednodušen mohu íci, že k zajišt ní stability posta í, položíme-li kc=1.

Regulátor GC(s) Pro regulátor GC(s) platí:

s kc k k (4c s 1)

Gc ( s )

(5.112)

Pro 4c se volí takto: (0,5 3) TD

Regulátor F ( s ) Regulátor F ( s ) je ve tvaru:

F ( s)

kf

1 TD s TI s

P i emž pro jednotlivé parametry ( k f , TI , TD ) platí vztahy dle Tab. 2.

(5.113)


77

Tab. 2. Vztahy pro výpo et parametr PID regulátoru F(s)

Parametry Regulátor F(s) 2 5 T d3

24 T d2 4 3 k T d2

kf

30 T d 4 2f

f

f

2 4 2f

4T d 4 f

24 2f

4T d 4

k T d2

12 4 3f 2

2

TI T d2 31T d4

252 T d3 4 f

702T d2 4 2f

18 k T d2

TD

768T d 4 3f 24 2f

4T d 4 f

288 4 4f

3

Kde 4 f je ladící parametr PID regulátoru a zajiš uje rychlost odezvy systému na zm nu referen ního signálu.

5.4.3 Zjednodušená Majhiho modifikace eším obdobn jako v kapitole 5.3.6.

Vztahy pro výpo et parametr regulátor K1 slouží ke stabilizaci modelu ízeného systému bez prvku dopravního zpožd ní G0 K2 zajiš uje minimalizaci vlivu vstupující poruchy K3 stabilizuje ízený systém G0 ( s ) e

Td s

K4 zajiš uje sledování zm n referen ního signálu Odvození vztah pro výpo et parametr

regulátor

pro integra ní systém prvního ádu

s dopravním zpožd ním

G ( s ) G0 ( s )e

Td s

k e s

TD s

.

(5.114)


78

Pro ( K1 , K 2 , K 3 , K 4 ) platí:

1 k4 K2P

K1 K2

K2 D s

5

K3

(5.115)

6TD k 1 k4

K4 P i emž pro ( K 2 P , K 2 D ) platí:

K2P

1 k4

(5.116)

Pro K 2 D lze použít Padého aproximaci 1. ádu (5.117) nebo 2. ádu (5.118)

(6 5 )(4 TD ) 4 k (6 5 ) kTD5

K2D

K2D

1 ( TD 4 2 1 k ( TD 2

(5.117)

1 T 1 4 kK 3TD )(1 D ) kK 3TD 2 2 4 4 1 1 2 k K 3TD 2 4 4 kK 3TD ) 2 4

(5.118)

5.4.4 IMC eším obdobn jako v kapitole 5.3.7. P enos regulované soustavy (5.101) rozd lený na invertovatelnou a neinvertovatelnou ást má tvar:

G( s) G ( s) G ( s)

k

2

e

Td s

(5.119)

P enos regulátoru potom bude ve tvaru:

GR ( s )

2 k

(5.120)

Z výše uvedeného je z ejmé, že regulátor v tomhle tvaru je fyzikáln nerealizovatelný a je t eba ho doplnit o dolnopropustný filtr:


G f ( s)

79

1

(5.121)

1 2fs

Výsledný regulátor potom bude ve tvaru:

GIMC ( s )

2

(5.122)

k (1 2 f s )

asová konstanta dolnopropustného filtru 2 f se volí obvykle 2 f

0, 5 2 1 .


6

80

PROGRAMOVÉ PROST EDÍ

6.1 Prost edí Matlab + Simulink MATLAB® je velmi výkonný programátorský prost edek pro technické výpo ty. V uživatelsky

jednoduchém

prost edí

spojuje

výpo tovou

ást,

vizualiza ní

a

programátorskou. Typické použití je možné vid t v následujících oblastech: Matematika a numerické výpo ty Vývoj algoritm Modelování a simulace Analýza dat, trendy a vizualizace V decká a inženýrská grafika Vývoj aplikací v etn tvorby grafického interface Matlab je interaktivní systém, jehož data nepot ebují statickou definici typu a rozm ru. Tím je umožn no ešit širokou škálu technických problém , zvlášt t ch, které po ítají s vektory a maticemi. Struktura je podobná jazyku C. Pojmenování Matlab vzniklo z názv Matrix laboratory. P vodn byl Matlab ur en pro maticové výpo ty, stále se vyvíjí a je p izp sobován požadavk m uživatel . Stal se standardním nástrojem pro matematiku, inženýrství a v du. Je vysoce efektivním nástrojem k výzkumu, vývoji a analýze v r zných pr myslových odv tví. Matlab podporuje cílen zam ené aplika ní nástroje, nazývané toolboxy. Velmi d ležitým faktem je skute nost, že tyto toolboxy umož ují uživateli je použít na jeho ešený problém. Toolbox je obsáhlý prost edek skládající se z matlabovských funkcí, tzv. M-file. Dostupnými toolboxy jsou nap . zpracování signál , fuzzy logika a pro ú ely teorie ízení nejd ležit jší Simulink, simula ní nástroj regulací. Matlab se skládá z p ti nejd ležit jších ástí:

vývojové prost edí – sada nástroj které zjednoduší použití Matlabovských funkcí a soubor . Mnoho z nich má grafické a uživatelské rozhraní. Je zde obsaženo p íkazové okno, historie použitých p íkaz , prohlíže soubor , pracovní prostor.


81

2. knihovna matematických funkcí – rozsáhlá knihovna matematických funkcí od funkcí jako suma, sinus až k mnohem složit jším funkcím typu inverzních matic, vlastních hodnot matic atd..

3. jazyk Matlab – kvalitní maticový (vektorový) jazyk kontrolující funkce, struktury dat apod. podporují orientované programování. Také umož uje vytvá et malé aplikace tak jako velké programy.

4. hadle Graphics – grafický systém Matlabu obsahující vysoce výkonné p íkazy pro dvou a t í rozm rnou vizualizaci dat, zpracování obrázk

a animace. Nedílnou

sou ástí jsou i jednodušší p íkazy pln podporující uživatelské p izp sobení vzhledu grafických výstup , stejn

jako p ípravu kompletního grafického rozhraní pro

aplikace v Matlabu.

5. Simulink – je softwarovým nástrojem pro modelování, simulování a analýzu dynamických systém . Podporuje lineární i nelineární systémy, modelované ve spojitém, stejn jako diskrétní soustavy nebo jejich kombinace. Jednotlivé sou ásti systému mohou být vzorkovány i s r znou periodou. Pro modelování Simulink poskytuje grafické uživatelské prost edí (GUI – Graphic User Interface) pro sestavování model jako blokových diagram . Simulink obsahuje velkou knihovnu zdrojových signál , lineárních a nelineárních len

a spojení. Uživatel si m že

libovoln upravovat nebo dokonce tvo it své nové bloky. Po vytvo ení modelu je možné spustit simulaci zvolenou numerickou metodou p ímo ze Simulinku nebo p íkazem z Matlabu.

6.2 Programová implementace K jednoduchému získání parametr

regulátor

a ov ování funk nosti navrhovaných

regulátor pro systémy s dopravním zpožd ním, byl vytvo en program v prost edí Matlab + Simulink (verze 6.5). Program využívá GUI (Graphic User Interface) rozhraní pro jednoduché zadání p enosu soustavy. Program umož uje navrhnout regulátory pro stabilní, integra ní a nestabilní soustavy. Pro stabilní soustavy jsou odvozeny vztahy pro 2. ád a pro nestabilní soustavy jsou odvozeny vztahy pro 1. ád viz kapitola 5.


82

6.2.1 Popis programu Program se spouští zadáním p íkazu start v p íkazovém ádku MATLAB Command Windows. Po spušt ní programu se zobrazí hlavní okno programu viz. Obr. 16. V hlavním okn si m žeme vybrat metodu, kterou chceme použít, informace o programu viz Obr. 17 anebo m žeme program ukon it. Po kliknutí na zvolenou metodu se otev e okno pro výb r ízeného systému, pro jednotlivé metody se výb r liší. Pro návrhy Smith v prediktor, limitní a padého aproximace si m žeme vybrat viz Obr. 18 z nestabilního systému 1. ádu a stabilního systému 2. ádu, a to jak s minimální nebo neminimální fázovostí viz Obr. 19. Pro zbývající metody si m žeme vybrat z integra ního systému a nestabilního systému viz Obr. 20. Po výb ru ízeného systému se nám otev e okno viz Obr. 21,Obr. 22,Obr. 23 , kde m žeme zadat p enos systému. Pro ladící parametry regulátor

jsem umístnil rad ji

nápov du pro snadn jší odhad hodnot viz Obr. 24Obr. 25Obr. 26Obr. 27Obr. 28. Kliknutím myší na tla ítko „OK“

prob hne výpo et parametr

regulátoru a hodnoty se zobrazí

v ádku MATLAB Command Windows. Tla ítko „Simulace“ otev e simula ní schéma pro danou metodu. Simulaci viz. Obr. 29 spustíme pomocí play nebo pomocí klávesové zkratky

CTRL+T. Pokud prob hne simulace, použijeme poslední tla ítko „grafy“ , které nám vykreslí do jednoho okna pr b hy ízeného výstupu a do druhého okna pr b hy ak ních zásah .

UTB ve Zlín , Fakulta aplikované informatiky Obr. 16. Hlavní okno programu

Obr. 17. O programu

Obr. 18. Volba typu ízeného systému

83

UTB ve Zlín , Fakulta aplikované informatiky Obr. 19. Volba fázovosti systému

Obr. 20. Volba typu ízeného systému

Obr. 21. Zadání nestabilního systému 1. ádu

84

UTB ve Zlín , Fakulta aplikované informatiky Obr. 22. Zadání integra ního systému

Obr. 23. Zadání stabilního systému 2. ádu

Obr. 24. Nápov da pro alfa pro metody Smith v prediktor, Padého a Limitni aproximace

85

UTB ve Zlín , Fakulta aplikované informatiky Obr. 25. Nápov da pro Tf pro metodu IMC

Obr. 26. Nápov da pro Kp a Ti pro metodu Majhi + Atherton

Obr. 27. Nápov da pro alfa pro metodu Majhi + Atherton zjednodušeny

86

UTB ve Zlín , Fakulta aplikované informatiky Obr. 28. Nápov da pro Lf a Lc pro metodu Liu

Obr. 29. Simula ní okno

87


7

88

SIMULA NÍ EXPERIMENTY V PROST EDÍ MATLAB

V této kapitole jsou srovnány jednotlivé metody ízení LSDS s dopravním zpožd ním popsané v této práci. Metody jsou rozd lené do t í skupin. První srovnávací skupinu tvo í tzv. „klasické“ metody popsané v kapitole 2.1 a 2.2, p i emž pro simula ní srovnání je zvolen obvod typu 2DOF (FBFW), nebo

obecn zajiš uje lepší chovaní regula ního

obvodu než 1DOF (FB). Druhou srovnávací skupinu tvo í tzv. „modifikace Smithova prediktoru“ popsané v kapitole 2.3 a metoda s vnit ním modelem (IMC) viz kapitola 2.4. Nejlepší metody z obou skupin tvo í t etí srovnávací skupinu.

P enosy systém pro první skupinu jsou ve tvaru: 1) G s

1.3 1 6s e 5 s 1 3s 1

2) G s

1.3 1 6 s e 5 s 1 3s 1

3) G s

1.2 e 5s 1

Do systému vstupuje porucha v

Td s

Td s

, pro Td =2,5,8

Td s

, pro Td =2,5,8

, pro Td =2,5,8

0.1 a to v ase t = 120s.

P enosy systém pro druhou skupinu jsou ve tvaru: 4) G s

5) G s

1.2 e s

Td s

, pro Td =2,5,8

1.2 e 10 s 1


Td s

, pro Td =2,5,8

0.1 a to v ase t = 75s.


89

P enosy systém pro t etí skupinu jsou ve tvaru: 6) G s

1 e 5s 1

7) G s

3 e 7s 1

8) G s

5 e 10 s 1

9) G s

2 e 8s 1


2s

5s

8s

25 s

0.1 a to v ase t = 75s

7.1 První skupina 7.1.1 Soustava 1. stabilní systém 2. ádu s minimální fází 1 0.9 0.8 0.7

S.prediktor Limitní Ap. Pádeho Ap. w

y

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160

Obr. 30. Pr b hy y(t) ve 2DOF konfiguraci Td = 2,

180

= 0,1

200


90

1 0.9 0.8

S.predik tor Limitní Ap. Pádeho Ap. w

0.7

y

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160


180

200

= 0,2

1 0.9 0.8


0.7

y

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160


180

200

= 0,3

1 0.9 0.8 S.prediktor Limitní Ap. Pádeho Ap. w

0.7

y

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160


180

= 0,1

200


91

1 0.9 0.8 0.7 S.prediktor Limitní Ap. Pádeho Ap. w

y

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160


180

200

= 0,2

1.4 1.2 1

y

0.8 0.6 S.prediktor Limitní Ap. Pádeho Ap. w

0.4 0.2 0 0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160


180

200

= 0,3

1 0.9 0.8 0.7


y

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160


180

= 0,1

200


92

1

0.8


y

0.6

0.4

0.2

0 0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160


180

200

= 0,2

1 0.9 0.8 S.predik tor Pádeho Ap. w

0.7

y

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160


180

200

= 0,3

Vyhodnocení: Odezva systému ízení jednotlivých náhrad a hodnot Td na skokovou zm nu referen ního signálu je zobrazena na obrázcích Obr. 30 - Obr. 38. Jak je z obrázk parametru

má zna ný vliv na rychlost regulace.

patrné, volba

ím vyšší volíme parametr

, tím

rychleji se nám systém ustálí, a to i po vstupu poruchy do systému. Jelikož ale ídíme systémy s dopravním zpožd ním, ne vždy je tato rychlost regulátoru výhodou. M že se nám tak p i rychlé regulaci snadno stát, jak je vid t nap . na Obr. 35, že se regulovaná soustava snadno rozkmitá. Další vliv na charakteristiku ízené soustavy má velikost dopravního zpožd ní. Z poznatk

simulací a po vzájemném porovnání m žu nadále tvrdit, že

s rostoucím Td pro dané

roste i nestabilita regulované soustavy. Z toho m žu odvodit


93

poznatek, že pro systémy s velkým dopravním zpožd ní Td nevyhovuje regulátor s rychlou ak ní veli inou. Názornou ukázku pak m žeme vid t na Obr. 37, kde se regulovaná soustava navržená pomocí limitní aproximace rozkmitala natolik, že v Obr. 38 již není kv li p ehlednosti uvedena. Dále se na Obr. 38 za íná rozkmitávat i regulovaná soustava navržená pomocí Padého aproximace. P i dalším zvyšování

by se již stala nestabilní.

Posledním faktorem pro sledování stability regulované soustavy je zp sob náhrady dopravního zpožd ní. Limitní a Padého aproximace se tak ka prolínají, p i emž Padého aproximace z stává p i zvyšování parametru

déle stabilní. Nejdéle stabilní však z stává

Smith v prediktor.

7.1.2 Soustava 2. stabilní systém 2. ádu s neminimální fází

1

0.8 S.prediktor Limitní Ap. Pádeho Ap. w

y

0.6

0.4

0.2

0 0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160


180

200

= 0,1

1


y

0.6

0.4

0.2

0

0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160


180

= 0,2

200


94

1

0.8


y

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160


180

200

= 0,3

1


y

0.6

0.4

0.2

0 0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160


180

200

= 0,1

1

0.8

S.predik tor Limitní Ap. Pádeho Ap. w

y

0.6

0.4

0.2

0

0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160


180

= 0,2

200


95

1


y

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160


180

200

= 0,3

1


y

0.6

0.4

0.2

0 0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160


180

200

= 0,1

1


y

0.6

0.4

0.2

0

0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160


180

= 0,2

200


96

1

0.8 S.prediktor w

y

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160

180

Obr. 47. Pr b hy y(t) ve 2DOF konfiguraci pro Smith v prediktor, Td = 8,

200

= 0,3

7 6


5 4

y

3 2 1 0 -1 -2

0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160


180

200

= 0,3

Vyhodnocení: Odezva systému ízení na skokovou zm nu referen ního signálu p i použití r zných metod návrhu regulátor a pro r zné hodnoty Td je zobrazena na obrázcích Obr. 39 - Obr. 48. Jak je z obrázk patrné, volba parametru

má zna ný vliv na rychlost regulace i u soustav

s neminimální fází.. ím vyšší volíme parametr

, tím rychleji se nám systém op t ustaluje, a

to i po vstupu poruchy do systému. Tyto soustavy mají v tšinu aspekt podobných jako soustavy s minimální fází, ale liší se zp sobem náb hu. Jak je patrné, jejich p enosová charakteristika za íná nejprve proti vstupu. Tento jev si nazveme podkmit. Potom m žeme sledovat, že na velikost podkmitu má vliv velikost zvoleného parametru

. S rostoucím

roste i výška podkmitu. To rovn ž platí i p i vstupu poruchy do systému. Vliv dopravního


97

zpožd ní Td na regulovanou soustavu je podobný jako tomu bylo v kapitole 7.1.1 s tím rozdílem, že soustava dokáže být déle stabilní i pro vyšší

. Toho si m žeme povšimnut p i

porovnání obrázku Obr. 35 a Obr. 44. Na Obr. 47 už není kv li nestabilit systému jak limitní aproximace, tak i Padého aproximace. Zp sob náhrady dopravního zpožd ní má op t podobný charakter jako tomu bylo v kapitole 7.1.1. Z ehož nejrychlejší a nejstabiln jší je op t Smith v prediktor.

7.1.3 Soustava 3. nestabilní systém 1. ádu 1 0.9 0.8 0.7

y

0.6

S.prediktor Limitní Ap. Pádeho AP. w

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160


180

200

= 0,1

1 0.9 0.8 0.7

S.prediktor Limitní Ap. Pádeho AP. w

y

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160


180

= 0,2

200


98

1 0.9 0.8

S.predik tor Limitní Ap. Pádeho AP. w

0.7

y

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160


180

200

= 0,3

1 0.9 0.8 0.7

y

0.6 0.5 0.4 0.3 S.prediktor Pádeho AP. w

0.2 0.1 0 0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160


180

200

= 0,1

1

0.8

y

0.6

0.4

S.predik tor Pádeho AP. w

0.2

0 0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160


180

= 0,2

200


99

1

y

0.8

0.6 S.predik tor Pádeho AP. w

0.4

0.2

0 0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160


180

200

= 0,3

1 0.9 0.8

=0.3 =0.2 =0.1

0.7 w

y

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160

180

200

Obr. 55. Pr b hy y(t) ve 2DOF konfiguraci pro Smith v prediktor Td = 8

Vyhodnocení: Odezva systému ízení na skokovou zm nu referen ního signálu p i použití r zných metod návrhu regulátor a pro r zné hodnoty Td je zobrazena na obrázcích Obr. 49 - Obr. 55. Jak je z obrázk

patrné, volba parametru

nestabilních soustav.

má op t zna ný vliv na rychlost regulace i u

ím vyšší volíme parametr

, tím rychleji se nám systém op t

ustaluje, a to i po vstupu poruchy do systému viz Obr. 55. Vliv dopravního zpožd ní Td na regulovanou soustavu je mnohem v tší než u stabilních systém popsaných v kapitole 7.1.1. a 7.1.2. Toho si m žeme povšimnut p i porovnání obrázku Obr. 35Obr. 44,Obr. 55. Na


100

Obr. 52,Obr. 53,Obr. 54,Obr. 55 již není kv li nestabilit zobrazena limitní aproximace. Také kv li nestabilit pro Td = 8 na Obr. 55. není vyobrazena Padého aproximace. Zp sob náhrady dopravního zpožd ní má op t podobný charakter jako tomu bylo v kapitole 7.1.1. Z ehož nejrychlejší a nejstabiln jší je op t Smith v prediktor.

7.2

Druhá skupina

7.2.1 Soustava 4. integra ní systém

1

0.8

IMC Liu+Cai+Gu+Zhang Majhi+Atherton Majhi+Atherton zjednoduš ený w

y

0.6

0.4

0.2

0 0

50

100

150

Cas (s)

Obr. 56. Pr b hy y(t) pro vybrané metody, Td = 2

1

0.8

IMC Liu+Cai+Gu+Zhang Majhi+Atherton Majhi+Atherton zjednodušený w

y

0.6

0.4

0.2

0 0

50

100 Cas (s)


150


101

1

0.8 IMC Liu+Cai+Gu+Zhang Majhi+Atherton Majhi+Atherton z jednodušený w

y

0.6

0.4

0.2

0 0

50

100

150

Cas (s)

Obr. 58. Pr b hy y(t) pro vybrané metody, Td = 8 Vyhodnocení: Odezva systému ízení na skokovou zm nu referen ního signálu p i použití r zných metod návrhu regulátor a pro r zné hodnoty Td je zobrazena na obrázcích Obr. 56 - Obr. 58. Na regulovanou soustavu má vliv dopravního zpožd ní Td . Toho si m žeme povšimnut p i porovnání obrázku Obr. 56,Obr. 57Obr. 58. Metoda Majhi + Atherton má p i náb hu na žádanou hodnotu p ekmit, který se projevuje i p i vstupu poruchy. Tento p ekmit se p i vstupu poruchy projevuje i u metody Majhi + Atherton zjednodušeny a Liu + Cai + Gu + Zhang. Je nutné zmínit, že každá metoda má jiné ladicí parametry a podrobn jším lad ním t chto parametr bychom ur it dosáhli lepších hodnot. Ob metody Majhi + Atherton mají tém

shodný pr b h. Velmi dob e se jeví metoda Liu + Cai + Gu + Zhang, která ovšem p i

v tším dopravním zpožd ním se rozkmitá. Jako nejrychlejší a nejstabiln jší je metoda IMC.

7.2.2 Soustava 5. nestabilní systém 1. ádu


102

1

0.8 IMC Liu+Cai+Gu+Zhang Majhi+Atherton Majhi+Atherton z jednodušený w

y

0.6

0.4

0.2

0 0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160

180

200


1

y

0.8 IMC Liu+Cai+Gu+Zhang Majhi+Atherton Majhi+Atherton zjednodušený w

0.6

0.4

0.2

0 0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160

180

200


1.2

1

y

0.8 IMC Liu+Cai+Gu+Zhang Majhi+Atherton Majhi+Atherton zjednodušený w

0.6

0.4

0.2

0 0

20

40

60

80

100 Cas (s)

120

140

160


180

200


103

Vyhodnocení: Odezva systému ízení na skokovou zm nu referen ního signálu p i použití r zných metod návrhu regulátor a pro r zné hodnoty Td je zobrazena na obrázcích Obr. 59 - Obr. 61. Na regulovanou soustavu má vliv dopravního zpožd ní Td . Toho si m žeme povšimnut p i porovnání obrázku Obr. 59,Obr. 60,Obr. 61. Metoda Majhi + Atherton má p i náb hu na žádanou hodnotu p ekmit, který se projevuje i p i vstupu poruchy. Tento p ekmit se p i vstupu poruchy projevuje i u metody Majhi + Atherton zjednodušeny a Liu + Cai + Gu + Zhang. Je nutné zmínit, že každá metoda má jiné ladicí parametry a podrobn jším lad ním t chto parametr bychom ur it dosáhli lepších hodnot. Metody Majhi + Atherton se p i nestabilní soustav již liší a to zejména p i vstupu poruchové veli iny. Zjednodušená verze dosahuje lepších výsledk . Metoda Liu + Cai + Gu + Zhang se op t p i v tším dopravním zpožd ním rozkmitá. Nejrychlejší a nejstabiln jší je metoda IMC.

7.3

T etí skupina


1

0.8 IMC S.prediktor Majhi + Atherton zjednodušený w

y

0.6

0.4

0.2

0 0

50

100 Cas (s)

Obr. 62. Pr b hy y(t) pro vybrané metody

150


104


1

y


0.6

0.4

0.2

0 0

50

100

150

Cas (s)



1

y


0.6

0.4

0.2

0 0

50

100 Cas (s)



150


105

1 0.9 0.8 0.7 IMC S.predik tor w

y

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

50

100

150

Cas (s)


= 0,1

1 0.9 0.8 0.7

y

0.6 0.5 IMC S.predik tor w

0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

50

100

150

Cas (s)


= 0,3

1 0.9 0.8 0.7

IMC S.prediktor w

y

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

50

100

150

Cas (s)


= 0,8


106

Vyhodnocení: V poslední skupin

jsem porovnal t i vybrané metody a to z první skupiny Smith v

prediktor a z druhé skupiny metody Majhi + Atherton zjednodušeny a IMC. Odezva systému ízení na skokovou zm nu referen ního signálu p i použití daných metod návrhu regulátor a pro r zné hodnoty Td je zobrazena na obrázcích Obr. 62 - Obr. 67. Jako jediná má metoda Majhi + Atherton zjednodušená p i vstupu poruchové veli iny p ekmit. Pro velmi malé dopravní zpožd ní drží tato metoda s ostatními dv mi krok a je i nejrychlejší a nejstabiln jší. Ovšem p i v tším dopravním zpožd ní viz Obr. 64, kdy je Td = 8 se soustava již rozkmitá. V poslední soustav již metoda není brána v úvahu kv li nestabilit . Je ale nutné zmínit, že každá metoda má jiné ladicí parametry a podrobn jším lad ním t chto parametr bychom ur it dosáhli lepších hodnot. Pro ukázku jsem zvolil poslední soustavu, kde si m žeme porovnat vliv volíme parametr

na metodu Smith v prediktor v i metod IMC.

ím vyšší

, tím rychleji se nám systém ustaluje, a to i po vstupu poruchy do

systému. Jako nejrychlejší a nejstabiln jší z výše popsaných metod je metoda IMC.


107

ZÁV R Cílem práce je srovnání r zných návrh

ízení stabilních a nestabilních systém s dopravním

zpožd ním. Ov eny a srovnány jsou jak metody založené na Smithov prediktoru, tak i metoda využívající vnit ní model ízeného systému (IMC). Zkoumán je také algebraický návrh s použitím aproximací dopravního zpožd ní (založených na linearizaci dopravního zpožd ní pomocí Taylorova rozvoje) a následným ešením polynomiálních diofantických rovnic. U této algebraické metody jsou odvozeny vztahy pro výpo et parametr regulátor ve 2DOF konfiguraci systému ízení. Metody jsou navzájem porovnány p i ízení stabilního, nestabilního a integra ního systému s r znými hodnotami dopravního zpožd ní. Dosažené výsledky jsou vykresleny v Obr. 30 Obr. 67, aby bylo možno jednotlivé návrhy dostate n srovnat a p ípadn odlišit výrazn nedosta ující metody. V prost edí MATLAB 6.5 Release 13 od spole nosti The Math Works Inc. je vytvo eno uživatelské prost edí pro snadné zadávání p enosu ízeného systému, výpo et parametr regulátor a následné spušt ní simulace a vykreslení graf . Zadávat lze p enos ízeného systému a p ípadné volitelné parametry pro výpo et regulátor . Analýzou uvedených metod nelze jednozna n ur it výrazn nejlepší metodu. I když se jako nejlepší metoda jeví Smith v prediktor, musíme brát v potaz, že p i praktickém použití jsme málokdy schopni zajistit totožnost ízené soustavy a jejího modelu, ímž jsou výsledky této metody áste n znehodnoceny. Dle autorova mín ní se jako velmi spolehlivá jeví metoda IMC, kde lze regulátor navrhnout také jako robustní pomocí dolnopropustního filtru. Použité modifikace Smithova prediktoru sice poskytly o n co lepší výsledky p i ízení nestabilní soustavy s dopravním zpožd ním než p i použití aproximace tohoto DZ a polynomiální metody, ovšem návrh regulátor pro tyto modifikace je natolik složitý, že z stává otázkou, zda mírné zlepšení pr b hu výstupní veli iny vyváží komplikovaný výpo et.


108

SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY [1]

Dostál, P., Bobál, V., Gazdoš, F.: Design of controllers for unstable time delay systems using polynomial method. In: 11th IEEE Mediterranean Conference on Control and Automation MED 2003, Rhodes, Greece, CD-ROM, 2003

[2]

Bobál, V., Böhm, J., Prokop, R., Fessl, J.: Praktické aspekty samo inn

se

nastavujících regulátor : algoritmy a implementace. VUTIUM, Brno, 1999 [3]

Balát , J.: Automatické ízení. BEN, Praha, 2003

[4]

Balát , J.: Vybrané stat z automatického ízení. U ební texty vysokých škol, VUT Brno, Fakulta technologická ve Zlín . ISBN 80-214-0793, 1996

[5]

Morávka, J.: Bodové aproximace p enosu dopravního zpožd ní. In: XXI. Seminá AS ’98, Ostrava, eská Republika, na Internetu, 1998

[6]

Dostál, P., Bobál, V., Sysel, M.: Design of controllers for integrating and unstable time delay systems using polynomial method. In: American Control Conference ECC ’01, Anchorage, Alaska, USA, pp. 2773-2778, 2002

[7]

Morari, M., Zafiriou, E.: ‚Robust Process Control‘ , Prentice Hall, Englewood Cliffs, NY, 1989

[8]

Majhi, S., Atherton, D.P.: ‚A new Smith Predictor and Controller for Unstable and Integrating Processes with Time Delay‘, IEEE Conf. on Decision and Control, 1341-1345, 1998

[9]

Liu, T., Cai, Y.Z., Gu, D.Y., Zhang, W.D.: ‚New modified Smith predictor schneme for integrating and unstable processes with time delay‘, IEEE Proc. Control Theory

Appl., 152(2), 238-246, 2005 [10]

Liu,X., Yang, Y.S., Wang, Q.G., Zheng, W.X.: ‚A double two-degree-of-freedom control scheme for improved control of unstable delay processes‘, Journal of

Process Control, 15(5), 605-614, 2005 [11]

Ku era, V.: Diophantine equations in kontrol – A survey, Automatica, Vol. 29, No.6,pp. 1361-75, 1993


SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOL A ZKRATEK a(s), b(s)

polynomy jmenovatele a itatele p enosu systému ko en charakteristického polynomu d(s)

deg

stupe polynomu

d(s)

stabilní polynom pravých stran polynomiálních diofantických rovnic

f(s)

polynom d litelný jmenovateli referen ního signálu fw(s) a poruchy fv(s)

fw(s), hw(s)

jmenovatel a itatel p enosu referen ního signálu

fv(s), hv(s)

jmenovatel a itatel p enosu poruchy

G(s)

p enos regulovatelné soustavy

n(s)

polynom obsažený v charakteristickém polynomu d(s)

p(s)

jmenovatel p enos regulátor

Q(s)

p enos regulátoru

q(s) R(s) r(s)

Td

itatel p enosu regulátoru Q(s) zp tnovazební regulátor itatel p enosu regulátoru R(s) fázový úhel.

s

komplexní prom nná

k

zesílení systému

e

regula ní odchylka

u

ak ní zásah

v

porucha na vstupu do systému

w

referen ní signál (žádaná hodnota)

y

ízený výstup (regulovaná veli ina)

r0 , K , TI , TD

parametry PID regulátoru

DZ, Td

dopravní zpožd ní

109

UTB ve Zlín , Fakulta aplikované informatiky PID

2 1 ,2 2 ,2 3 G

R

GIMC(s)

proporciáln -intega ní-deriva ní regulátor asová konstanta p enos referen ního signálu p enos regulátoru

G C , G C1 , G C2 p enos regulátoru

G (s)

p enos dopravního zpožd ní

FB

FeedBack

FDFW

FeedBack-FeedforWard

1DOF

obvod s jedním stupn m volnosti

2DOF

obvod se dv ma stupni volnosti

Td

110


111

SEZNAM OBRÁZK Obr. 1. Systém s DZ......................................................................................................... 10 Obr. 2. Pec s pásovým dopravníkem................................................................................. 12 Obr. 3. Dávkova chemikálie do užitkové vody ................................................................ 12 Obr. 4. Vliv DZ na p echodovou charakteristiku .............................................................. 13 Obr. 5. Vliv DZ na frekven ní charakteristiku................................................................... 15 Obr. 6. Srovnání p echodové odezvy nominální................................................................ 18 Obr. 7. Srovnání p echodové odezvy nominální soustavy.................................................. 19 Obr. 8. Srovnání p echodové odezvy nominální soustavy.................................................. 20 Obr. 9. Obecný tvar Smithova prediktoru ......................................................................... 22 Obr. 10. Majhiho modifikace Smithova prediktoru ........................................................... 24 Obr. 11. Modifikace Smithova prediktoru podle Liu + Cai + Gu + Zhang ......................... 25 Obr. 12. Zjednodušená Majhiho modifikace Smithova prediktoru ..................................... 26 Obr. 13. Blokové schéma ízení s vnit ním modelem......................................................... 28 Obr. 14. Schéma 1DOF konfigurace regula ního obvodu.................................................. 31 Obr. 15. Schéma 2DOF konfigurace regula ního obvodu.................................................. 36 Obr. 16. Hlavní okno programu........................................................................................ 83 Obr. 17. O programu........................................................................................................ 83 Obr. 18. Volba typu ízeného systému .............................................................................. 83 Obr. 19. Volba fázovosti systému ..................................................................................... 84 Obr. 20. Volba typu ízeného systému .............................................................................. 84 Obr. 21. Zadání nestabilního systému 1. ádu..................................................................... 84 Obr. 22. Zadání integra ního systému............................................................................... 85 Obr. 23. Zadání stabilního systému 2. ádu ....................................................................... 85 Obr. 24. Nápov da pro alfa pro metody............................................................................ 85 Obr. 25. Nápov da pro Tf pro metodu IMC .................................................................... 86 Obr. 26. Nápov da pro Kp a Ti pro.................................................................................. 86 Obr. 27. Nápov da pro alfa pro metodu ........................................................................... 86 Obr. 28. Nápov da pro Lf a Lc pro metodu Liu............................................................... 87 Obr. 29. Simula ní okno................................................................................................... 87 Obr. 30. Pr b hy y(t) ve 2DOF konfiguraci Td = 2,

= 0,1............................................... 89


= 0,2............................................... 90


112


= 0,3............................................... 90


= 0,1............................................... 90


= 0,2............................................... 91


= 0,3............................................... 91


= 0,1............................................... 91


= 0,2............................................... 92


= 0,3............................................... 92


= 0,1............................................... 93


= 0,2............................................... 93


= 0,3............................................... 94


= 0,1............................................... 94


= 0,2............................................... 94


= 0,3............................................... 95


= 0,1............................................... 95


= 0,2............................................... 95

Obr. 47. Pr b hy y(t) ve 2DOF konfiguraci pro Smith v prediktor, Td = 8,

= 0,3.......... 96


= 0,3............................................... 96


= 0,1.............................................. 97


= 0,2............................................... 97


= 0,3............................................... 98


= 0,1............................................... 98


= 0,2............................................... 98


= 0,3............................................... 99

Obr. 55. Pr b hy y(t) ve 2DOF konfiguraci pro Smith v prediktor Td = 8......................... 99 Obr. 56. Pr b hy y(t) pro vybrané metody, Td = 2 ......................................................... 100 Obr. 57. Pr b hy y(t) pro vybrané metody, Td = 5 ......................................................... 100 Obr. 58. Pr b hy y(t) pro vybrané metody, Td = 8 ......................................................... 101


113

Obr. 59. Pr b hy y(t) pro vybrané metody, Td = 2 ......................................................... 102 Obr. 60. Pr b hy y(t) pro vybrané metody, Td = 5 ......................................................... 102 Obr. 61. Pr b hy y(t) pro vybrané metody, Td = 8 ......................................................... 102 Obr. 62. Pr b hy y(t) pro vybrané metody...................................................................... 103 Obr. 63. Pr b hy y(t) pro vybrané metody...................................................................... 104 Obr. 64. Pr b hy y(t) pro vybrané metody...................................................................... 104 Obr. 65. Pr b hy y(t) pro vybrané metody = 0,1.......................................................... 105 Obr. 66. Pr b hy y(t) pro vybrané metody = 0,3.......................................................... 105 Obr. 67. Pr b hy y(t) pro vybrané metody = 0,8.......................................................... 105


114

SEZNAM TABULEK Tab. 1. Vztahy pro výpo et parametr PID regulátoru F(s) .............................................. 71 Tab. 2. Vztahy pro výpo et parametr PID regulátoru F(s) .............................................. 77


SEZNAM P ÍLOH P I: CD-ROM

115

P ÍLOHA P I: CD-ROM CD-ROM obsahuje: Diplomovou práci ve formátu PDF Program „Systémy s dopravním zpožd ním“

Byl vypracován programový systém v prostedí MATLAB pro automatický návrh a simulaci uvedených metodik

Recommend Documents