Bolyongás a szikes tavak körül Szivattyús kisegítı vízutánpótlás tervezése sztochasztikus eszközökkel Gálai Antal Globális változások szele suhintja hazánk folyók közrefogta, napszítta vidékét, a Duna-Tisza közét. Szikes tavaink vidékén gyérülı csapadék, emelkedı párolgás veszélyét hangsúlyozó komoly szakemberek vizionálják a közeljövıre a sivatagosodás eljövetelét, melynek valljuk be, aggasztó jelei imitt-amott már most mutatkoznak. A kultúrmérnökök – tılünk sivatagosabb országok mőszaki szakembereihez hasonlóan – a problémák megfogalmazásával és megoldási javaslatok kidolgozásával segítik a felkészülést, elhárítást, no’ és a közmunkák elıbbre vitelét. A múlt és a jövı közti e röpke pillanatban bolyongjunk a bolyongási modellek kialakulása, a vándorló madarak kedvelt szikes tavaira szabása és e modellek átépítése körül. E múltba- és körültekintı bolyongást az elsı ábra mögött a szikes tavakra alkalmazott bolyongási modell szerkezetismertetése követi. Az alkalmazott matematika kialakulása a huszadik században A két háború közt oly sok matematikus vándorolt ki hazájából, hogy ez egyben azt is eredményezte, hogy sok újvilágbeli matematikai központ készen kapott új ötleteket. A matematikusok ugyancsak új kihívásként szembesültek a második világháborúban felmerült új problémákkal. Különösen fontossá vált ebben a korban a matematika alkalmazása. A számítások iparszerő automatizálásának beköszöntével a táblázatszámítások és az operációkutatás módszertana csak két példája azoknak az új tudományágaknak melyek felkeltették a sok, teljesen más területen képzett matematikus figyelmét. A mátrixszámítás és operációkutatás mellett a másik hihetetlenül erısödı alkalmazásterület az alkalmazott valószínőségszámítás és a statisztika volt. A matematika nagyot változott a két háború közt, de még sokkal nagyobbat a második világháborút követıen! E gyökeres újrakezdés egy új korszakot nyitott meg. A halmazelmélet és a mértékelmélet a huszadik század folyamán egyre kiterjedtebben hatolt be a matematika szinte minden területére, de kevés tudományágat befolyásolt annyira alapjaiban, mint a valószínőség elméletét. Az új évszázad szerencsésen kezdıdött mind a fizikában, mind a genetikában, Gibbs 1901-ben adta közre a „Statisztikus mechanika alapelveit”, s még ugyan abban az évben Pearson megalapozta a biometriát. Ekkortájt Darwin koraérett unokatestvére, Francis Galton, a született statisztikus már a regressziót tanulmányozgatta, s a Londoni Egyetemen népszerősítette Pearson chi-négyzet tesztjét. Közben a Sorbonne-on Poincaré új – „Professeur de Calcul des Probabilités” – kinevezése a valószínőségszámítás professzorává is mutatta a mindenfelé fokozódó érdeklıdést. A cári Oroszországban az egymást követı események összekapcsolt láncolatának tanulmányozását kezdeményezte – Csebisev tanítványa, késıbbi tanártársa – Markov. A gázok kinetikus elméletében, de sok más, közte társadalmi és biológiai jelenségben egy esemény valószínősége gyakran függ annak korábbi – szintén véletlentıl függı – kimenetelétıl. Ezen összekapcsolt valószínőségek „Markov láncait” a huszadik század közepe óta különösen széles körben vizsgálják. A szerteágazóan bıvülı valószínőségelmélet matematikai alapjainak kutatása közben a statisztikusok rátaláltak a megfelelıen idıtálló módszerekre, s ma a valószínőségszámításnak már nincs is olyan precíz tárgyalása, mely ne használná a mértékelméletet és az integrál modern fogalmát. Oroszországban Kolmogorov 1931-ben fontos elırelépést tett a Markov folyamatok területén és – miközben részben megoldotta Hilbert hatodik problémáját – Lebesgue mértékelméletét felhasznál-
va, lefektette a valószínőség axiomatikus alapjait. A hagyományos analízis a folytonos függvényekkel foglalkozott, míg a valószínőségi problémák általában diszkrét eseményeket takartak. A mértékelmélet és az integrálfogalom kiterjesztései ideális körülményeket alkottak az analízis és a valószínőségelmélet szorosabb kapcsolatához, különösen azt követıen, hogy a Párizsi Egyetemen a század közepén Laurent Schwartz a disztirbúciók elméletén keresztül általánosította a differenciálás fogalmát. Itt lelépve a modern matematika fejlıdését jelképezı mozgólépcsırıl, nem megyünk tovább az atomfizika lépcsıs függvényein a parciális differenciálegyenletek szinguláris megoldásait kezelı lineáris vektorterek és funkcionálok, deriválással önmagukba visszatérı disztirbúciók és a variációszámítások közé, annak ellenére, hogy a hozzáértık szerint kezdetektıl fogva azonnal hasznosuló eredményekkel szolgáltak mind a fizika, mind a valószínőség terén. E szándékosan homályos körképpel érzékelhetjük, hogy most az új évezred küszöbén is sokan csak morzsáit használjuk annak a kiterjedt tudásanyagnak, melynek szinte minden egyes eleme már régóta készen várja az alkalmazókat: mérnököket, orvosokat, biológusokat, közgazdászokat, vagyis természet- és társadalomtudósokat egyaránt. Jelen dolgozat is csak egy kis példája az elveiben majd évszázadot, eszközeiben pedig épp a felét késı, el nem feledendı kísérletnek. A bolyongási modellek kialakulása A Markov láncok egyik leggyakoribb alkalmazása a véletlen események befolyásolta korlátos kapacitások kihasználtságának vizsgálata. Ez boltra, raktárra vonatkoztatva egyben rögtön indokolja a sorbanállási elmélet elnevezést is. Egy ilyen korai, korábban ismeretlen, s azonnal jelentkezı példa, mondhatni probléma a telefonközpontok tervezése. Bár szülıvárosomban még a harmadik generációs computerek megjelenését is évekig kísérte a Puskás féle, ódon, kézi kapcsolós központ mőködése, már az elsı világháború elıtt, a már akkor piacvezetı svéd Ericsson cég „crossbar” központjainak feltőnésekor felmerült egy általános probléma. Nevezetesen az, hogy hiába tud a mérnök tökéletesen ketyegı központot, turbinát, generátort, gátat tervezni, ha már az elsı lépésben, annak „szükséges és elégséges” méretében, vagy jobb szóval „kapacitásában” teljesen bizonytalan. A telefonszolgáltatás hihetetlenül gyorsan bıvült, a véletlenszerően befutó hívások kimenı csengetései és a szeszélyesen váltakozó hosszú, egyidejő beszélgetések számának – a digitális hangcsomagok megjelenéséig – a központok kapacitása szabott gátat, a méregdrága új eszközök kihasználtsága szabatos vizsgálatot követelt! De nem csak az új technológia drága, a hagyományos építmény s gépészeti berendezés költségei is a méret magasabb hatványaival arányosak. Az ókori Mezopotámiában, az öntözés gépeit említı babiloni feliratok nem árulnak el részleteket a szerkezetrıl, de arra azért utalnak, hogy a víz erejét már hasznosították öntözési célra. Sıt, a kezdetleges víz forgatta kerekek használata a talányosan eltőnt sumérokig nyúlik vissza, írásaik hivatkoznak a „vízikerék forgató hónap”-ra, bár az nem ismert, csak valószínő, hogy ezeket a kerekeket is egy folyó áramlása pörgette.[1] A mediterrán görög-római civilizáció már kaszkádokban is használta a vízkereket, s nem csak szabadon, vagy egyre nagyobb duzzasztógáttal a vizet elzárva, hanem még barlangokban is. Nos ezek a duzzasztók láncolják össze legszemléletesebben Markovot a bolyongással. Egy tározóban ugyanis a víz szintje a tápláló vízfolyások, a párolgás s a vízigények véletlen jellege folytán láthatóan véletlenszerően bolyong. A gyakorlati hasznosság szerint szóba jöhetı jelentısebb valószínőségelméleti tározómodelleket átmenetvalószínőségi-mátrixmódszerekként tartja számon a szakirodalom.[4] A dolgozatban szereplı átmenetvalószínőségeken alapuló módszert is gyakorlati alkalmazásra szánom.
Tározásnál a cél mindig a rendelkezésre álló vízmennyiség valamint a vízigény – vagy mint esetünkben a szükséges szivattyúzott külsı vízhozam, mint negatív fogyasztás – párosítása. A víz megújuló – ám egyre szőkösebbnek számító – erıforrásunk az idıjárás véletlen folyamatainak megfelelıen ingadozik. Eképpen a szikes tavakon leszálló madarak is ki vannak téve ezeknek a bıvíző és vízhiányos idıszakok véletlen sorozatából álló sztochasztikus jelenségeknek. Mennyiségi kapcsolatokat leíró egyszerő alapegyenletek feltételezésén és köznapinak számító elméleti és numerikus alapokon nyugvó, a gyakorlati mérnökök számára hasznos eszköz illusztrálása e dolgozat célja. Ez az eszköz egy többcélú modellcsokor része, mely lehetıvé teszi speciális célt szolgáló víztározók vizsgálatát, e kitekintı „bolyongás” végén bemutatom a Moran modell alapgondolatát felhasználó módszer problémamegfogalmazását, modellépítését. Az efajta sztochasztikus tározóelméleti modellnek[3] fı feladata a tározóállapotok valószínőségi eloszlásának meghatározása. Az állapotvalószínőségeket – vagy a hosszú idı átlagában létrejövı u.n. ergodikus állapotra vagy egy induló állapot ismeretében, annak feltételezése, mint kezdeti feltétel mellett – az idı függvényében becsülhetjük. Így az utóbbi esetben egy adott vízhasználási üzemtervhez és kezdeti vízmennyiséghez a tározó különféle vízszintjeinek elıfordulási valószínőségeit számszerően becsülhetjük a következı néhány hónap vagy akár több év idıtartamára is. Ahogy az elemzési idıszak hosszabbá válik, a tározóvalószínőségek egy jövıbeni idıponttól kezdve már nem függenek a kezdeti tározóállapottól, eloszlásuk állandósul, elérik az ergodikus állapotot, mely a többcélú víztározó hosszú távú tervezését lehetıvé tevı megbízhatósági modell alapjául szolgál. A sztochasztikus tározáselméleti modellek a tározót tápláló vizek valószínőségi eloszlása vagy sztochasztikus folyamatai alapján elemzik a rendszer teljesítményét. Az érkezı és távozó vizek függetlenségét feltételezve, – a rendelkezésre álló vízrajzi idısorokból mintaillesztéssel vagy közvetlen gyakorisági leolvasással nyert adatok alapján – az általában ekvidisztans térfogatokhoz tartozó tározóvízszintek valószínőségi eloszlása a sztochasztikus folyamat Markov lánca alapján kerül meghatározásra. A tározott vízmennyiség eloszlása alapján a tározó egyfajta teljesítıképességi függvénye és bizonyos biztonsági jellemzık számíthatók. Az input folyamatok folytonos eloszlását az esetek többségében diszkrét valószínőségekkel közelítjük. Az érkezı vizek táplálta tározó elsı rendő Markov folyamattal való leírását a szakirodalomban a legtöbb szempontból kielégítı feltevésnek tekintik. A közreadott kutatások többsége az eredeti Moran és Gould modellek kiterjesztése. Moran[2] (1959) a tározóvalószínőségek meghatározására többféle eljárást mutat be. Számos szerzı közölt e Moran féle alapmodellekhez különféle megoldásokat és kiterjesztéseket. Az összes gyakorlati eljáráshoz hasonlóan a mi esetünkben is az idıt és a térfogatot, vagy vízszintet diszkrét változónak tekintjük. A tározót a vizsgálatnak megfelelı számú zónára osztjuk és kombinatorikai megfontolásokból szerkesztett átmenetvalószínőségekbıl felállított mátrixegyenlettel közelítjük a tározó lehetséges állapotainak az elıfordulási gyakoriságát. Az általánosabb érvényő megközelítés szerinti egyidejő vagy szimultán modellben a be- és kifolyások egyidejőleg történhetnek. Az instacionárius modellfeltétel szerint az éves cikluson belül az idıszakonként érkezı és távozó vizek természete alapján állíthatjuk elı az egyébiránt azonos jellegő idıszakokhoz az azonos szerkezető átmenetmátrixokat. Az adott kezdıállapotból induló elemzés hasznos lehet tározó üzemirányítás tervezésében és annak végrehajtása során is, amikor – általában gazdasági év elején, vagy vízfelhasználási szezon közeledtével – a pillanatnyi vízszint ismeretében, a kérdéses idıszak frissiben számított tározóállapoteloszlása alapján kell dönteni a vízfelhasználásról, vagy esetünkben az aszályos idıszakok során a szivattyús kisegítı vízutánpótlásról. A
valószínőségelméleti tározómodellek – a pillanatnyi vízszintbıl kiindulva hasznos információval szolgálnak a vizsgált idıszak(ok) során elıálló kiürülés mértékét illetıen. A határállapot-valószínőségek viszont már nem függenek a kezdeti tározószintektıl. Az észlelt vagy generált idısort közvetlenül felhasználó, vagy adott állapotból kiinduló, vagy ergodikus eloszlásokat számító valószínőségelméleti tározómodellek vízszolgáltatási biztonsággal paraméterezett teljesítıképességi görbeseregeik miatt a megszokott szimulációs modellek alternatívái. A vízszintbiztosítás alább ismertetésre kerülı becslése a sorbanállási elméleten vagy más néven bolyongási feladaton alapul. A legalapvetıbb vizsgálathoz az évi vagy havi független vízjárási és meteorológiai adatok, és a számításba jövı elzárási hely(ek) környékének topográfiai térképe szükséges. A tárgyalás során igyekeztem a lehetı legkevesebb valószínőségszámítási, lineáris algebrai és egyéb elıismeretre támaszkodni, a szükséges ismereteket a gyakorló mérnöktıl elvárható szinten ismertetem. Mint a valós mőszaki problémák modelljeinél, itt is sok esetben a legfontosabb a józan paraszti ész, a keletkezı modellek a vizsgált jelenséget, mennyiséget leíró független események együttes elıfordulási valószínőségeinek keresésébıl állnak, s a már ismert diszkrét, vagy diszkrétnek tekintett eloszlások valószínőség(i fügvény) értékeinek konvolúciójával állnak elı. A fizikai modell alapegyenleteinek vagy az abból fakadó algebrai egyenletek gyakran egyszerő, de nem minden esetben nyilvánvaló átalakításai új megoldások kiindulópontjaivá válnak. E kutatómunka során kapott új eredményeim egy részét foglalom össze. A szikes tavak és a bolyongás A Duna-Tisza köze szikes tavaira dr Zsuffa István szigorló hallgatója Buzetzky Gyızı, a vízgazdálkodási üzemmérnökbıl lett természetvédelmi szakember 1974-es diplomamunkájához végeztem számításokat a kissé módosított Moran-Gould féle modell feltételezései alapján konstruált Algol programokkal. A számítás célja az éppen alakulóban lévı Kiskunsági Nemzeti Park területén lévı, a vándor madarak migrációs útvonalán található, a századvégi szőkülı élettérben pihenıhelyet biztosító szikes tavak ornitológiai szempontból kedvezı vízszintjeinek vizsgálata és a természetes élıhelyekbe való lehetı legkisebb kisebb beavatkozásokkal való biztosítása volt. Alapvetıen egyenletes térfogatbeosztással számoltunk, s a vizsgált terület vízgyőjtıjére érkezı csapadék és lefolyási adataiból s a becsült párolgás, mint fogyasztás alapján végeztük a feldolgozást. Talány, hogy az akkori számítások pontosan mennyire járultak hozzá, de a madarak három évtizeden keresztül köszönik, jól vannak, vagy inkább voltak a közelmúlt talajvízsüllyedéséig. Az újonnan történt változások, pontosabb megfigyelések, s mérések, felmérések adatait felhasználva, most immár pár évtized múltával egy koránál fogva „kései” Zsuffa tanítvány, Keve Gábor e szikes tavak vizsgálatát végezte ismételten, azok környékének csapadék-párolgási adatai alapján, napjaink gyakorlatának megfelelıen táblázatkezelıvel. Ez a feladat azonban már nem egy megszokott tározási vizsgálat volt. A kor megváltozott lehetıségeinek és prioritásainak megfelelve immár a szivattyús kisegítı vízutánpótlás lehetıségét is figyelembe véve végezte a vízkészletek idısorának elemzését. Számításai demonstrálják azonban, hogy az évek során e sorbanállási feladat elvesztette sztohaszticitását, s vízmérleg számolásokra redukálódott. Okulásul – s oktatási célból is – markovi láncra fogtam e bolyongásgyanús vizsgálatot, a fél évszázaddal ezelıtt az ausztrál Moran s az orosz Szvarenszkij elindította sorbanállási módszerek sorában most a múlt elemeinek számbavétele után a csapadék, párolgás, szivattyús vízpótlás jellegét kidomborítva fogalmaztam át a feladatot. Immár figyelembe kívántam venni azt a részben ornitológiai, részben mérnöki körülményt, hogy a tóra látogató madarak szempontjából a kiürülés közeli állapotok közti vízszintbolyon-
gás a mértékadó, míg a természetes élıhely megbolygatását minimalizáló mérnöki beavatkozás, a mőtárgy – gyakran földgát – szempontjából viszont a túlfolyás, hullámzás érintette telt közeli állapotok azok. A számítások során, legalábbis az eredményeknél a perem közeli állapotok eloszlása finomabban kerül meghatározásra, mint a semmiféle veszélyt, se vízhiányt se túlfolyásos vízvesztést, vagy átcsapó hullámzást nem okozó közbensı vízszintek, állapotok. A mőszaki életben hasonló eset nagyon sok helyütt elıfordul, ennek kétdimenziós példája tavak hullámzás vizsgálata. A partok, mőtárgyak mentén finomabb beosztással, pontosabb eredményekre törekszünk, míg a távolabbi belsı tartományon immár fokozatosan nagyobb léptékkel diszkretizálva közelítjük e számításigényes feladatnál az eredményt. A bolyongási modell felépítése A szokásos tározómodell sematikus ábráján – a folytonos valóság térbeli és idıbeli ∆V és ∆t alapján való diszkretizálása után – It a t–edik idıegység alatt véletlenszerően érkezı vízmennyiség, K a tározó kapacitása, M a vízkivétel. A vizsgálat numerikus célja az idıegységenként a tározóban maradó vízmennyiség ξt eloszlásának meghatározása. ξt idısorának vizsgálatához írjuk fel elıször e pár mennyiségi változó segítségével a tározó vízmérlegét. A feltöltés, vízkivétel során a tározó megtelhet és ki is ürülhet. Emiatt a mérlegegyenlet felsı korlátja a K kiépítési kapacitás, míg alsó korlátja a kiürülés, emiatt az egyenletben „min” és „max" függvénynek kell lennie. A biztonság javára történı, vagy a valósághoz hőbb feltételezések folytán a két ellentétes elıjelő folyamatot – a feltöltést és a vízkivételt – idıben szeparálhatjuk: vagy tekinthetjük két konkurens szimultán részfolyamatnak: Utóbbi az alább illusztrált módon fenti alakra hozható, a két modell numerikus adatai tehát azonosak, láthatóan csak a K értelmezésében különböznek: Az alapegyenletben szereplı I és esetleg M értékei véletlenszerően váltakoznak, tételezzük fel, hogy (pl. évszakonkénti) idıbeni eloszlásaik ismertek: Az egymást követı, évszakonkénti események függetlenségét joggal feltételezve, ξt idısorához az elızı és a követı állapotok lehetséges értékeire az alapegyenletbıl kiokoskodott átmenetvalószínőségeket táblázatba foglalva eljutottunk az egylépéses Markov lánc A állapottranszformációs mátrixához, melyben az elızı, feltételezett állapotot oszloponként rendezzük. E feltételes valószínőségekbıl egy induló kezdeti állapotot feltételezve, a teljes valószínőség tétele alapján már meg is határozhatjuk ξt idısorának Pt eloszlásvektor-sorozatát:
Mivel a teljes valószínőség felírt tétele egyben a mátrixszorzat definíciója is, ezért tömören:
Felmerül a kérdés, e Pt eloszlásvektor-sorozatnak létezik-e határértéke, és milyen eloszlású ez az u.n. ergodikus állapot? t helyébe ∞-t helyettesítve mindkét index azonossá válik, tehát elhagyható s kielégíti az alábbi, egyetlen ismeretlent tartalmazó, rendezés után homogénné váló vektoregyenletet:
Hogy van megoldás, az biztos, hisz A átmenetmátrix, vagyis ha már a víz elızıleg volt valahol (pl. j-ben), akkor biztos, hogy valahová jut, tehát az oszlop összeg – a valahol – éppen egy. Vagyis e tulajdonság alapján az összes többibıl bármely sora elıállítható, tehát lineárisan összefüggı, ergo determinánsa zérus, vagyis az egyenletnek létezik a triviális „P=0”-tól különbözı megoldása. (Az I egységmátrix következtében az átrendezett együttható mátrix oszlopösszege is éppen zérus.) Persze P mellett annak többszöröse is megoldás, közülük a megfelelıt az alapján választjuk ki, hogy P egy diszkrét eloszlás, tehát elemei összege a biztos esemény valószínősége, tehát egységnyi:
Megnézhetnénk, mi van a többi sajátértékkel, s miért elég ez az egy feltétel, mi a mátrix rangja, továbbá azt is vizsgálhatnánk miért nem-negatív P minden eleme. Ennek mind meg van a maga matematikai háttere, de „bolyongó” ismertetınk célja nem ez, hanem a modell megoldandó feladathoz illeszkedı átszabása. A Duna-Tisza közi Homokhátság szikes tavait a természetvédelem igényelte vízszinthatárok közt üzemeltetnék, mely – a hidrológiai adatok alapján – természetes úton nem lehetséges, ez csak közeli csatornák vízét átvezetı szivattyús kisegítı vízutánpótlással érhetı el.
E sematikus ábra c csapadék, e párolgás és q szivattyúzás jelölésével az alapegyenlet a következıképp módosul:
Most a bolyongást leíró mátrixhoz a követı és elızı állapotokat „i”-vel és „j”-vel jelölve ahol a „min” és „max" függvények miatt i értékeire három esetet különböztethetünk meg: , , Az elsı a kiürülés, i=0 esete, míg az utóbbi a telt tározó, i=k esete, vagyis a ξt-1-bıl a ξtbe történı átmenet valószínőségeit tartalmazó táblázat sorai háromféleképp töltendık ki. A bolyongás során létrejövı térfogatváltozásban idıegységenként különbözı egyenletes q vízhozamot feltételezve, az α arányossági tényezı jelzi az idıegységen belüli csapadék-párolgás hatás arányát, viszonyszámát a teljes változáshoz. Írhatjuk ezt rögtön ∆V=q∆t+α∆V alakban, vagy a j-bıl i-be való állapotátmenet integrálegyenleteként – a csapadék-párolgás miatti vízszintváltozást épp dh/dt – alakban is:
A térfogatváltozással mindkét oldalt elosztva és átrendezve kapjuk az állapotváltozáshoz szükséges együttes csapadék-párolgás értéket, mely mint átmenetvalószínőség az együttes eloszlásból számítható:
Ezzel a feladatot vissza is vezettük az eredeti numerikus alapokra, s már csak a – valójában az egész régióra jellemzı – csapadék-párolgás valószínőségi változó együttes eloszlásfüggvényéhez vezetı útmutatás van hátra. Ha a két változó közt nem egy szimpla kivonás, hanem valami sokkal bonyolultabb függvénykapcsolat volna, akkor akár kockadobáshoz hasonlóan elektronikus rulettnek nevezhetı véletlenszámos kettıs idısor-generálással közelíthetnénk Monte Carlo módszerrel a kevert eloszlást. Azonban ha a további eredményeket formulák alapján számítjuk, illik e ponton is ezt az utat követnünk, akár elméleti, akár gyakorisági eloszlás van kéznél. Segítségül üssük föl a témába vágó bármely, ismeretterjesztı zsebkönyvnél vaskosabb, jól megírt matekkönyvet, én Rényi Alfréd Valószínőségszámítás[5] klasszikus tankönyvének 9.§ a 181. oldaláról veszem az ideillı passzust: ELOSZLÁSOK KONVOLÚCIÓJA Legyen ξ és η független, F(x), ill. G(y) eloszlásfüggvényő valószínőségi változó, és tekintsük a ζ=ξ+η összeget. Jelöljük ζ eloszlásfüggvényét H(z)-vel, akkor
E H(z) eloszlást F(x) és G(y) eloszlásfüggvényő eloszlások, röviden F és G konvolúciójának nevezzük. Figyelmünket ne kerülje el, de el se riasszon az integrálási változó függvény volta. Ez a – nem csak – jelölésmód is Newton-Leibnitz formuláját jó évszázad múltával, immár 160 éve szabatosan megfogalmazott Riemann féle integrálfogalmon túlmutató újra-
értelmezésekre utal. Persze ha G és F is abszolút folytonos, akkor az alábbi megszokottabb formára jutunk, mi alapján h(x) függvény, az f(x) és g(x) sőrőségfüggvények konvolúciója a
impróprius integrállal számítható. A konvolúció függvényeken értelmezett jó algebrai tulajdonságokkal rendelkezı mővelet, kommutatív, asszociatív. Evégbıl a fent vázolt modell könnyen kiegészíthetı további változókkal, pl. szivárgással, vagy szélerı hajtotta szivattyúzással, csak a konvolúcióba vont eloszlásfüggvények száma növekszik. Mivel esetünkben a két változó, a területre hulló csapadék és a párolgás összege helyett azok különbsége az „eredı”, ha c a csapadék, s e a párolgás sőrőségfüggvénye, akkor a h együttes sőrőségfüggvény esetünkben az alábbi integrálból kapható:
Már csak a címválasztás talányos kérdése marad hátra: A „Kínai negyed”-ben „A lovakat lelövik, ugye?” Összefoglaló Duna-Tiszaközi szikes tavainkat elérı globális klímaváltozás újabb kihívást s feladatokat ró természetvédıkre, s mérnökökre egyaránt. Sztochasztikus folyamatok alkalmazása a valószínőségelmélet és vízgazdálkodás találkozási pontján egyben az alkalmazott matematika és az ısi vízvisszatartási gyakorlatok ötvözıdése a tározás elméletében. Madárvándorlás vízszintigénye szerint módosított, 1959-ben Moran indította tározómodell alapegyenleteinek csapadék-párolgás és kisegítı szivattyús vízpótláshoz igazítása, valamint a régionális meteorológiai eloszlások konvolúciója alapján az átmenetvalószínőségek mátrixának bemutatott feltöltése után a Markov lánc idıfüggı és ergodikus vízszinteloszlásai meghatározhatók. A szerzı, hivatkozva 1974-ben végzett számításaira, e tározók mai újragondolásához újabb utat mutat a gyakorlati alkalmazáshoz. Kulcsszavak: víztározó, ornitológia, bolyongás, sorbanállási modell, Markov lánc Abstract
Random Walk along Salted Lakes Markov Chains in Considering Pumping Supplementary Water Supply Global climate changes affecting Danube region in Hungary challenging nature conservationists and civil engineers. Applying stochastic processes to salted lakes at the crossroad of probability theory and water management is illustrated via a retrospective historical review in applied mathematics and age old reservoir practices evolving in storage theory. To satisfy ornithological water level requirements in generalizing reservoir models – initiated by Moran in 1959 – the fitting of basics equations to precipitation, evaporation and supplementary pumping is illustrated in water balance equations and regional convoluted meteorological distributions to present transition probability matrix of Markov chain to get time dependent and ergodic water level distributions. References
to a numerical study in 1974 and present reconsideration of the same lakes bridge the model to real world applications. Keywords: water reservoir, ornithology, pumping, random walk, queueing theory, Markov chain Bibliográfia: [1] Vowles, Hugh P. (1932), “Early Evolution of Power Engineering”, Isis (University of Chicago Press) 17 (2): 412–420 [p413], doi:10.1086/346662 [2] Moran, P.A.P.: The Theory of Storage. Methuen and Co. Ltd. London, 1959. [3] Zsuffa, Gálai: Reservoir Sizing by Transition Probabilities; Water Resources Publication (WRP), Littleton, Colorado, USA, 1987. ISBN - 0918334-62-4, Library of Congress Catalog Card Number - 87-51100 [4] Comparative Evaluation of Generalized Reservoir/River System Models Prep. by Ralph A. Wurbs, Department of Civil Engineering, Texas A&M University; Technical Report No. 282, Texas Water Resources Institute (The Texas A&M University System, College Station, Texas 77843-2118,) April 2005 for Fort Worth District of the U.S. Army Corps of Engineers http://twri.tamu.edu/reports/2005/tr282.pdf [5] Rényi Alfréd: Valószínőségszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1966-1981, ISBN 963 17 5931 8 Szerzı neve: Születési hely, idı: Munkahely: Végzettség: Tudományos fokozat: Kutatási terület:
Gálai Antal Baja, 1951. EJF Mőszaki és Közgazdasági Kar, Baja, docens okl. építımérnök, okl. matematikus PhD Civ.Eng. mőszaki modellezés, hidrológia, programozás, alkalmazott matematika
