BODE-diagram Egy lineáris tulajdonságú szabályozandó szakasz (process) dinamikus viselkedése egyértelmő kapcsolatban áll a rendszer szinuszos jelekre adott válaszával, vagyis a G(jω) frekvenciaátviteli függvénnyel egyértelmően jellemezhetı. Még jelenleg is széles körben alkalmazzák a szabályozók tervezése során a frekvencia-tartománybeli módszereket. Bár a jellemzı diagramokat manapság már szinte kizárólag számítógéppel rajzoltatják meg, mégis elengedhetetlen a diagramok szerkesztési lépéseinek ismerete. A frekvencia-átviteli függvény ábrázolására különféle módszerek terjedtek el: a) BODE-diagramok Egy komplex számot amplitúdójával és fázisszögével jellemezhetünk. Ezért kézenfekvı a komplex G ( jω) = G ( jω) e jϕ( ω) frekvencia-átviteli függvény amplitúdóját és fázisszögét külön diagramokban, a körfrekvencia függvényében ábrázolni: A(ω) = G ( jω) G ( jω) ↔ ϕ(ω) Ennek megfelelıen két diagram szolgál a G(jω) frekvencia átviteli függvény teljes információtartalmának ábrázolására: 1.
Logaritmikus léptékő amplitúdó nagyítás vs. körfrekvencia diagram: 20 log G ( jω) = f (log ω) A dB
Az amplitúdó-nagyítási függvényt (a kimenı jel és a gerjesztı jel amplitúdójának arányát) logaritmikus léptékben (decibelben) ábrázoljuk a gerjesztı jel logaritmikus léptékben mért körfrekvenciájának függvényében. Megjegyzés: az amplitúdó-arány decibelben (dB) mérve megállapodás szerint = az amplitúdó-arány logaritmusának hússzorosával: A dB = 20 log A . Szigorúan véve csak két azonos dimenziójú mennyiség arányának kifejezésére alkalmas. Például ha a kimenıjel amplitúdója 7V, a gerjesztı jel amplitúdója pedig 10V, akkor az amplitúdónagyítás A dB = 20 log 7 = −3 dB 10
2.
Fázistolás-körfrekvencia diagram: ϕ = g(log ω)
A fokokban mért fázistolást ábrázoljuk a gerjesztı jel logaritmikus léptékben mért körfrekvenciájának függvényében. Megjegyzés: a vízszintes tengelyen mért két körfrekvencia (vagy bármely más fizikai mennyiség) tízszeres arányát dekádnak nevezzük, vagyis Körfrekvencia arány dekád= log ω 2 . ω1
Például 1000 1/s és 10 1/s aránya = 2 dekád, mivel A dB = log
1000 = 2. 10
Az amplitúdó nagyítás logaritmikus ábrázolása azért elınyös, mivel α) egy összetett (több tényezıbıl álló) átviteli függvény eredı BODE-diagramja az
egyes tényezık BODE-diagramjainak egyszerő összeadásával nyerhetı. (A szorzás mővelete a logaritmus tartományban összeadássá módosul - Lásd középiskolai matematika) β) A logaritmikus lépték nagy, több nagyságrendet átfogó tartományok ábrázolását teszi lehetıvé mind a vízszintes, mind a függıleges tengelyen.
Jellegzetes tényezık és azok függvényei A G(jω) frekvencia-átviteli függvény általában több tényezı szorzataként állítható elı, melyek közül a leggyakoribb három a következı alakú: 1) K 0 ( j 2) ( j
ω n ) , n=0, ±1,±2, stb. ωt
ω + 1) ±1 ωt
ω ω 3) ( j ) 2 + 2Dj + 1 ωt ωt
±1
Nézzük az egyes típusok tulajdonságait és jellemzı diagramjait.
1. típusú tényezı G(jω)= K 0 ( jω) n Mivel „n” csak egész szám lehet, ezért a kifejezés vagy tisztán valós (n= páros), vagy tisztán képzetes (n=páratlan). Ennek megfelelıen A (ω) = K 0 ( jω) n = K 0 (ω) n
Mindkét oldal logaritmusát véve és 20-szal szorozva 20 log A = 20 log K 0 + 20n log ω A dB
Ez a kifejezés egy egyenes egyenlete az AdB-logω koordinátarendszerben: dB A log K 0 = 20 n log ω + 20 y
m
x
b
Az egyenes meredeksége (20n) dB/dekád, vagyis lehet 0 dB/dekád (vízszintes), ±20 dB/dekád, ±40 dB/dekád, stb. Az egyenes ábrázolásához célszerő elıször az egyenes egy kitüntetett pontját ábrázolni, célszerően az ω=1 rad/s abszcisszájú pontot, mivel ennek oordinátája az A dB = 20 log K 0 összefüggéssel egyszerően számítható. A fázistolást illetıen a következı megállapítást tehetjük: Ha n=0, akkor G(jω)=K0, valós szám fázistolása φ=0 Ha n=1, akkor G(jω)=jK0ω, tisztán képzetes szám, aminek fázistolása φ=90° Ha n=2, akkor G(jω)=-K0ω2, negatív valós szám (ellenfázis), fázistolása φ=180°
Ha n=3, akkor G(jω)=-jK0ω3, negatív képzetes szám, fázistolása ϕ=2700. .stb. Általánosítva: tetszıleges „n” kitevıre a fázistolás φ=n90°
Példa Legyen G ( jω) = 1000( jω) 2 . Rajzoljuk meg az amplitúdó nagyítási függvényt, valamint a fázistolást! Az egyenes egy pontja P(1 rad/s, 60 dB), ugyanis ω=1 rad/s körfrekvencián az erısítés AdB=20log1000=60 dB. A kifejezés kitevıje n=+2, ennek megfelelıen az egyenes meredeksége +2·20=+40 dB/dekád. A fázistolás φ=n*90°=2*90°=180°. Az amplitúdó nagyítási függvény a felsı ábrán látható, alatta a fázistolást ábrázoltuk a gerjesztés körfrekvenciájának függvényében.
AdB 120 m= 40 dB / dekád 40 dB
100 80 60
P(1;60)
40
dekád
20
ω
0 1
0,1
10
100
ϕ 1800
900
ω 1
0,1
2. típusú tényezı G ( jω) = ( j
10
100
ω + 1) ±1 , tárolós, elsırendő tag. ωt
ω Az amplitúdó-nagyítás A(ω) = ( ) 2 + 12 ωt
±1
A BODE-diagramok szerkesztése fáradságos munkával jár, ezért szokás azokat érintıikkel közelíteni, nem csökkentve jelentısen a diagramok információtartalmát.
a) Kis ( ω << ω t ) gerjesztı frekvenciákra a gyök alatti mennyiség elsı tagja az 1 mellett elhanyagolható, így A (ω) ≈ 1 Logaritmálás után a bal oldali (kisfrekvenciás) aszimptota egyenlete: 20 log A = 20 log 1 = 0 (Vízszintes koordinátatengely egyenlete) A dB
b) Nagy ( ω >> ω t ) gerjesztı frekvenciákra az 1 elhanyagolható a másik tag mellett, így ω A (ω) ≈ ωt
±1
Logaritmálás és 20-szal való szorzás után a jobboldali aszimptota egyenlete: 20 log A = ± 20log log ω t (±20 dB/dekád meredekségő ferde egyenes egyenlete) ω ∓ 20 m A dB
x
b
Érintık metszéspontja Az aszimptoták megrajzolását megkönnyíti azok metszéspontjának ismerete. A két aszimptota metszéspontja a következı egyenletrendszerbıl kapható: = ±20 log ω ∓ 20 log ω t
A dB = 0 A
dB
Innen ω=ωt adódik. Most már fontos jelentést tulajdoníthatunk a kifejezésben ωt-vel jelölt mennyiségnek. Az ωt jelentése: törésponti körfrekvencia. Ennél a körfrekvenciánál változik az érintık meredeksége. Amennyiben a kitevı n=1, a jobboldali aszimptota meredeksége +20 dB/dekád értékkel változik a baloldali aszimptota meredekségéhez képest (felüláteresztı jelleg). Amennyiben a kitevı n= -1, a jobboldali aszimptota meredeksége -20 dB/dekád értékkel változik a baloldali aszimptota meredekségéhez képest (aluláteresztı jelleg).
Közelítés hibája Most nézzük meg, hogy mekkora maximális hibát követünk el, ha az amplitúdó nagyítási függvényt az érintıivel helyettesítjük! Az amplitúdó nagyítás pontos értéke a törésponti körfrekvencián ω A ( ω = ω t ) = ( t ) 2 + 12 ωt
±1
=
( 2)
±1
Decibelben mérve A dB (ω = ω t ) = 20 log 2 ±0,5 = ±10 log 2 = ±3 dB
A kisfrekvenciás erısítéshez képest (0 dB) a töréspontban ténylegesen ± 3 dB erısítés van (az elıjel a kitevı elıjelével egyezik meg), ezért az érintıkkel való közelítés hibája a töréspontban ± 3 dB. A fázistolás kis frekvencián (ω<<ωt) φ=0°, mivel G(jω)≈1, valós szám.
A nagyfrekvenciás fázistolás (ω>>ωt) φ= ± 90°, mivel G(jω)≈(jω/ωt)±1, képzetes szám.
Példa Határozzuk meg a G ( jω) =
100 frekvencia-átviteli függvény (aluláteresztı 2 jω + 100
jellegő tag) aszimptotáit! Elıször hozzuk ismert alakra a kifejezést: m = −20dB / dekád
jω) =
100 2 jω ω = 100(2 jω + 100) −1 = 100[100( + 1)]−1 = ( j + 1) −1 2 jω + 100 100 50 ωt
Az átalakított formulából kiolvashatjuk a törésponti körfrekvencia értékét: ωt=50 1/s. A kifejezés kitevıje n= -1, ezért a jobboldali érintı meredeksége (-1)*20 dB/dekád, az egyenes lefelé lejt. Az ábrán jól látszik a tényleges (kék) görbe és az érintıkkel helyettesített (piros) görbe maximális eltérése a töréspontban (3 dB). Az érintık a törésponttól távol nagyon jól közelítik a görbét. A fázisgörbét érintıivel helyettesítve 90 fokos fázisugrás a törésponti frekvencián következik be. A valóságban a fázisváltozás nem élesen, hanem folyamatosan történik (kék görbe). A törésponttól távol a közelítés jó. AdB 40
ωt = 50
20 0 -20
0,1
1
10
100
dekád
m= 0 dB/ dekád
m= - 20 dB
- 3 dB
-40
ω
1000
-60
-20dB /de kád
-80 -100
ϕ 0,1
1
10
100
1000
ω
-900
±1
ω ω 3. típusú tényezı G(jω)= ( j ) 2 + 2Dj + 1 , másodrendő tag. ωt ωt
a) Kis frekvencián (ω<<ωt)az amplitúdó nagyítási függvény A(ω)≈1, vagyis AdB(ω)≈0.
ω b) Nagy frekvencián (ω>>ωt és ω>>2Dωt) az amplitúdó nagyítási függvény A(ω) ≈ ωt vagyis A dB (ω) ≈ ±40 log ω ∓ 40 log ω t . Az érintık metszéspontja most is ω = ω t .
±2
,
A legnagyobb eltérés a törésponti frekvencián van, értéke a következı: ±1
2
ω 2t ω A (ω = ω t ) = (1 − 2 ) + (2D t ) 2 ωt ωt
= 2D ±1 .
0
A fázistolás nagy frekvencián, mivel G ( jω) ≈ (−
ω 2 ±1 ) nagy negatív valós szám, a következı ω 2t
összefüggéssel számítható: ω2 − 2 ωt = n180 0 ϕ = arctg 0
Példa Rajzoljuk meg a G ( jω) =
25 frekvencia-átviteli függvény érintıkkel közelített ( jω) + 3( jω) + 25 2
BODE-diagramjait! Alakítsuk át a kifejezést a következı módon:
2D 25 = G ( jω) = 2 ( jω) + 3( jω) + 25
n
jω 2 3 jω = + + 1 jω 2 3 jω 5 5 5 25 + + 1 5 5 5
−1
25
ωt
Az átalakított kifejezésbıl az alábbi információkaz olvashatjuk ki: A törésponti körfrekvencia ωt=5 rad/s. A csillapítás D=0,3→törésponti erısítés-eltérés (2D) -1=1,66, decibelben +4,4 dB. A kitevı n=-1, a jobboldali érintı 20·2n= -40 dB/dekád meredekségő. A fázistolás a törésponti körfrekvenciánál 2n90=-180 fokkal változik.
AdB 40 4,4 dB
20 0 -20
0,1
1
10
100
1000
ω
m= 0 dB/ dekád
-40
ωt = 5
-60
m
-80
=
-100
-4 0d B/ de ká d
ϕ 0,1
1
10
100
1000
ω
-900
-1800
MATLAB programmal a NEW, m-file menü választása után írjuk be a következı utasításokat: num=[25]; den=[1 3 25]; bode(num,den)
Bode Diagram 20
Magnitude (dB)
0
-20
-40
-60 0
Phase (deg)
-45 -90 -135 -180 -1
0
10
1
10
2
10
10
Frequency (rad/sec)
Példa összetett frekvencia-átviteli függvény ábrázolására Ábrázoljuk érintıivel a G ( jω) =
100000 ( jω + 0,1) ⋅ frekvencia-átviteli függvényt! jω ( jω) 2 + 5 jω + 400
Átalakítva a kifejezést ismert típusú tényezık szorzatára: G ( jω) =
100000 ( jω + 0,1) 100000 = ⋅ ⋅ 2 jω jω ( jω) + 5 jω + 400
0,1(
jω + 1) 0,1
jω 2 jω 400 + 0,25 + 1 20 20
=
−1
jω jω jω = 25( jω) ( + 1) +1 + 0,25 + 1 0,1 20 20 1. típus 2. típus 2
−1
3. típus
Az ábrázolás során a következı sorrendet célszerő követni: 1) Ha van K0(jω)n típusú tényezı, akkor annak ábrázolásával kezdjük a szerkesztést, mivel az ilyen tényezıbıl származik a görbe bal oldali érintıje. Az érintınek célszerően azt a P pontját határozzuk meg, melynek abszcisszája ω=1 rad/s. Itt dB az erısítés A P ω=1 = 25( jω) −1 =25 ami decibelben A P (ω = 1) = 20 log 25 = 28dB
AdB -60 40 28 dB 20
P ω
0 0,1
-20
10
1
100
1000
-40
Az egyenes meredeksége annyiszor 20 dB/dekád, amennyi (jω) kitevıje. Jelen esetben n= -1, tehát az egyenes meredeksége -20 dB/dekád. AdB m= -20 dB/ dekád -60 40 28 dB 20
P
ω
0 -20
0,1
1
10
100
1000
-40
2) Azzal a tényezıvel folytatjuk a szerkesztést, melynek törésponti körfrekvenciája a jω legkisebb. Jelen esetben ez a ( + 1) +1 tényezı, melynek törésponti körfrekvenciája 0,1 ω t1 = 0,1 rad / s. Mivel ez a tényezı elsırendő és kitevıje n=+1, ezért a töréspont után az érintı meredeksége n20= +20 dB/dekád értékkel változik a töréspont elıtti értékhez képest. A töréspont elıtt a meredekség -20 dB/dekád volt, így a töréspont után -20 dB/dekád+20 db/dekád=0 dB/dekád lesz. AdB m= -20 dB/ dekád -60 m= 0 dB/ dekád 40 20
ω
0 -20
0,1
1
10
100
1000
-40
3) A következı tényezı az, melynek törésponti körfrekvenciája soron következik. A −1
jω 2 jω + 0,5 + 1 másodrendő tényezı törésponti körfrekvenciája ω t 2 = 20 rad / s , 20 20 kitevıje n=-1. Ebben a töréspontban az érintı meredeksége a töréspont elıtti 0 dB/dekád értékhez képest 2n20 dB/dekád értékkel, tehát -40 dB/dekád értékkel változik.
AdB m= -20 dB/ dekád -60 m= 0 dB/ dekád 40 m= -40 dB/ dekád
20
ω
0 0,1
-20
10 20
1
1000
100
-40
Végezetül a közelítı görbét is berajzoljuk az ábrába. Az erısítés eltérés az elsı ωt1=0,1 rad/s törésponti körfrekvencián 3 dB (elsırendő tad!), míg a második ωt2=20 rad/s töréspontban (2D)n=0,25-1=4, ami decibelben 20log4=12 dB.
AdB 12 dB
3 dB 40 20
ω
0 -20
0,1 ωt1=0,1
1
0,1
1
10
100
ωt2 =20
-40
ϕ 10
100
ω
-900 -1800
Ellenırzésül Matlab programmal is megrajzoltatjuk a BODE-diagramokat. A frekvenciaátviteli függvény számlálójának (numerator=számláló) és nevezıjének (denominator=nevezı) megadása után a bode(számláló,nevezı) utasítással megkapjuk a BODE-diagramokat. A program az alábbi m-file begépelésébıl áll:
num=[100000 10000]; % számláló jω csökkenı hatványai szerint rendezett együtthatói den=[1 5 400 0]; % nevezı jω csökkenı hatványai szerint rendezett együtthatói bode(num,den) title(‘Bode Diagram’) % a diagram címe
Bode Diagram 100
Magnitude (dB)
80 60 40 20 0 -20 0
Phase (deg)
-45 -90 -135 -180 -3
10
-2
-1
10
0
10
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
A kézzel szerkesztett, valamint a számítógéppel rajzoltatott BODE-diagramok tökéletes egyezést mutatnak.
A BODE-diagramok további tulajdonságai Erısítés változtatása Vizsgáljuk meg, hogy miként módosulnak egy G 0 ( jω) alakú frekvencia-átviteli függvény BODE-diagramjai, ha a függvényt λ skalár együtthatóval megszorozzuk a) Elıször vizsgáljuk az A (ω) = λA 0 (ω) amplitúdó nagyítást. Vegyük mindkét oldal logaritmusának hússzorosát: 20 log A (ω) = 20 log λ + 20 log A 0 (ω) A dB ( ω)
A dB 0 ( ω)
Megállapíthatjuk, hogy az új amplitúdó nagyítási függvény csupán egy 20logλ konstansban tér el az eredeti A dB 0 (ω) amplitúdó nagyítási függvénytıl. Egy λ konstanssal való szorzás az eredeti BODE-diagramot függıleges irányban tolja el 20logλ értékkel.
Ha λ>1, akkor az eredeti BODE-diagram felfelé, ha λ<1, akkor lefelé tolódik el. b) Most vizsgáljuk meg, hogy a λ konstanssal való szorzásnak van-e hatása a fázistolásra? A fázistolás a komplex G0(jω) függvény komplex N0(jω) számlálójának és komplex D0(jω) nevezıjének fázistolásával kifejezve ϕ 0 (ω) = ϕ N 0 (ω) − ϕ D 0 (ω) Tudjuk, hogy a λN 0 ( jω) mővelet az N0(jω) komplex számnak mind a valós, mind a képzetes részét ugyanolyan arányban nyújtja meg, hiszen λN 0 ( jω) = λ (Re N 0 ( jω) + Im N 0 ( jω)) Következésképpen a valós számot ábrázoló vektornak csak a hossza változik, a szöge nem.
Az elmondottakból következik, hogy
Egy λ konstanssal való szorzásnak a fázisviszonyokra nincs hatása.
Távoli töréspontokra érintıkkel való közelítés jó m1=tf([100000 10000],[1 5 400 0]); m2=tf(10*[100000 10000],[1 5 400 0]); m3=tf(100*[100000 10000],[1 5 400 0]); bode(m1,m2,m3)
Bode Diagram 150
Magnitude (dB)
100
50
0
-50 0
Phase (deg)
-45 -90 -135 -180 -3
10
-2
10
-1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
1
10
2
10
3
10
