Bioelektromosság 1. Az elektromosságtan alapfogalmai Az anyagot felépítő atomok és molekulák elektromos töltéssel rendelkező részecskék. Az atommagban pozitív töltéshordozó protonok és semleges neutronok találhatók. Az atommagot körülvevő burokban negatív töltéshordozó elektronok vannak. A protonok és az elektronok azonos nagyságú ún. elemi elektromos töltéssel rendelkeznek, melynek értéke e = 1,6 ⋅10 −19 C . Az atomok elektromosan semleges részecskék, mivel az elektronburokban található negatív töltések qe=–Ze összmennyisége ugyanakkora mint a magban található qm=+Ze pozitív töltések összmennyisége. Az atom vagy molekula elektronleadással pozitív ionná, illetve elektronfelvétellel negatív ionná válik. Mindaddig amíg valamely anyagban egyenletes eloszlásban és egyenlő mennyiségben találhatóak az ellentétes elektromos töltések, a töltések egymás elektromos hatását semlegesítik és az anyag nem mutat elektromos tulajdonságokat. Az elektromos jelenségek kiváltása mindig energiabefektetést igényel. Bármely test esetében elektromos tulajdonság akkor jelentkezik, ha a töltéseloszlás nem egyenletes, vagy abban az esetben ha a test egészében egyik vagy másik elektromos töltésmennyiség fölöslegben van jelen. Beszélhetünk szabad elektromos töltéshordozókról, ha az anyag felépítésében szabadon mozgó elektromos töltéshordozókat találunk. Például, a fémekben az elektronok nem tartoznak kifejezetten egyik vagy másik atomhoz. Ez annak eredménye, hogy az atomburok gyengén kötött vegyérték-elektronjai kiszakadnak az atomkötelékből és szabad elektronok formájában rendezetlen termikus mozgást végeznek a pozitív fémionok rácsterében. Hasonló jelenséget tapasztalhatunk a savak, sók, bázisok vizes oldatai esetében (ezeket elekroliteknek nevezzük), amelyekben az elektrolitikus disszociáció eredményeként az oldott anyag ionjai szabad elektromos töltéshordozóként mozoghatnak. Az oldódó anyag molekuláinak, ionjainak szétválasztásához energia befektetés szükséges, tehát hőelvonással járó folyamat. Az oldódást követő molekuláris rendeződés hőfelszabadulást eredményez. 2. Elektrosztatikai alapfogalmak 2.1. Elektromos töltések és kölcsönhatásaik. Coulomb-erő Az elektromos kölcsönhatás forrása az elektromos töltésmennyiség, amelyet Q skalármennyiséggel jelölünk. A testek elektromozottsága alatt azt az állapotot értjük, hogy azok elektromos töltéstöbblettel vagy töltéshiánnyal rendelkeznek semleges állapotukhoz viszonyítva. A negatív előjelű töltéstöbblet elektron fölösleget, míg a pozitív töltéstöbblet elektron hiányt jelent. Az ellentétes előjelű töltések közötti elektromos kölcsönhatás vonzásban nyílvánul meg, illetve az azonos előjelű töltésekkel rendelkező testek között taszítóerő hat.
Az elektromos töltések környezetükben új fizikai tulajdonságot kölcsönöznek a geometriai térnek. Charles Coulomb (1736 - 1806) francia fizikus felismerése volt, hogy bármely pontszerű elektromos töltés egy gömbszimmetrikus elektromos mezőnek a forrása. Coulomb-törvény értelmében vákuumban valamely Q pontszerű elektromos töltés elektrosztatikai mezejének E térerősségvektorát az alábbi kifejezés írja le: 1 Q r ⋅ 2⋅ 4π ⋅ ε 0 r r A térerősségvektor nagysága E a töltéstől mért r távolság négyzetének reciprokával csökken: 1 Q ⋅ 2⋅ E= 4π ⋅ ε 0 r E=
A kifejezésben szereplő arányossági tényező
1 ≡ 9 ⋅ 10 9 tartalmazza a 4π ⋅ ε 0
C2 , amelyet N ⋅ m2 „elektromos permittivitásnak” is neveznek. Az elektromos töltésmennyiség Q egysége a nemzetközi SI rendszerben coulomb (jele C). Az elektromos térerősség SI mértékegysége V E SI = . m A kifejezésből következik, hogy a nyugvó független ponttöltés elektrosztatikus tere gömbszimmetrikus, mivel a Q töltéstől mért bármely r távolságban levő pontban az E térerősség értéke azonos. A töltések E elektromos erőtere abban nyílvánul meg, hogy erőt közvetítenek más elektromos töltéssel rendelkező testekre. Az elektromos erőtér meghatározza a szabadon elmozdítható elektromos természetű pozitív vagy negatív töltéshordozók elmozdulását. Az elektromos erőteret szemléltethetjük a térerősség vonalakkal. A térerősségvonalak képzeletbeli vonalak, amelyeknek bármely pontjában húzott érintőegyenes az adott pontban uralkodó elektromos térerősségvektor irányában mutat. Például, a ponttöltés elektromos terének jellemzésére a sugárirányú erővonalábra szolgál. Pozitív töltés esetén a térerővektorok a töltés körüli tartományban radiálisan (sugárirányban) kifelé mutatnak, illetve a negatív töltés esetén befelé (1a. és 1b. ábra). Egymásra tevődő terek (összegződő elektromos terek) esetében az erővonalábra módosulása látható, például egy elektromos dipólus (két azonos nagyságú, de ellentétes előjelű elektromos töltés rendszere) eredő elektromos tere esetében (1c. ábra) az erővonalak zárt görbéket alkotnak. vákuum dielektromos állandója nevű mennyiséget, ε 0 = 8,854 ⋅10 −12
[]
1. ábra. Erővonalak ábrája (spektruma): a). és b). független ponttöltések erőtere nyílt erővonalakkal, c). dipólus esetében az elektromos erőtér zárt erővonalakkal jellemezhető
Coulomb határozta meg (1785-ben) a nyugvó pontszerű elektromos töltések („ponttöltések”) között ható erő kifejezését is. A Coulomb-törvény az elektrosztatikus kölcsönhatás nagyságát az alábbi formában adja meg: Q ⋅Q 1 F1, 2 = ⋅ 1 2 2 , 4π ⋅ ε 0 r amelyben r mennyiség a kölcsönhatásban levő töltések közti távolságot jelöli. Ebből a kifejezésből meghatározhatjuk az elektromos töltések SI egységét: az egység neve coulomb, amelynek jele C. Egy coulomb az elektromos töltés nagysága, ha vákuumban egy méter távolságban levő két azonos azonos nagyságú töltés egymáson F=9·109 N erőt fejt ki. Az előbbi két egyenlet összehasonlítása alapján látható, hogy az elektromos erőtörvény értelmében az E elektromos tér és a q töltés kölcsönhatása erővel jellemezhető. Az elektromos mező E térerősség vektora és a tér valamely pontjában levő q töltés közötti kölcsönhatásra felírható kifejezés: F = q⋅E .
Az elektromos erőteret jellemző E térerősségvektor irányítása megegyezik az adott pontba helyezett pozitív elektromos töltésre ható erő irányával, negatív q töltés esetében az elektromos térerősség vektorának irányításával ellentétes az erő irányítása. Az elektromos tér jellemezhető az elektromos potenciálnak nevezett V skaláris fizikai mennyiséggel is. Az elektromos potenciál SI mértékegysége a volt, amelynek jele V. Valamely pontszerű, független Q töltés, elektromos potenciálját az alábbi kifejezés adja meg: Q 1 V = ⋅ , 4πε 0 r amelyben r a töltéstől mért távolságot jelenti.
A szabad elektromos töltéshordozók rendezett elmozdulásra kényszeríthetők adott közegben az elmozdításra felhasznált vegyi, mechanikai, stb. energia róvására.
A q töltésnek elektromos erőtérben való elmozdítása munkavégzést igényel az elektromo stér részéről. Az elektromos tér által végzett munka az elektromos feszültség és a töltés szorzatával egyenlő: L = q ⋅U , amelyben U skaláris mennyiség az elektromos feszültség jelenti, azaz a tér két pontja közötti potenciálkülönbséget, amely pontok közt a q pontszerű töltés elmozdulása történik. Az elektromos erőtér munkájának kifejezéséből következik, hogy a Nemzetközi Mértékrendszerben használt 1 joule energiaegység helyett a volt·coulomb mértékegységet is használhatjuk: [L]SI = 1 J = 1 C ⋅ V . A részecskefizikában energiaegységként gyakran használjuk az elektronvolt mértékegységet. Egy elektronvolt (eV) azt a mozgási energiát jelöli, amelyet egy elektron nyer 1 V gyorsítófeszültség hatására 1 eV = 1,6 ⋅10 −19 J , illetve ennek milliószorosa a megaelektronvolt (MeV), 1 MeV = 1,6 ⋅10 −13 J .
2.2. Az anyagok osztályozása elektromos tulajdonságaik szerint
Ismerjük, hogy az anyagok elektromos viselkedésük szempontjából vezetőkre, szigetelőkre és félvezetőkre oszthatók. Elektrosztatikai kísérletek azt mutatják, hogy az elektrosztatikai mező vákuumbeli tulajdonságai nagyban megváltoznak, amennyiben a vákuumot - vagy akár a levegőt - más anyaggal helyettesítjük. Helyezzünk egy homogén elektroszatikus mezőbe (például, egy kondenzátor síkpárhuzamos lemezei közé, ahol az elektromos tér erővonalai párhuzamosak és egyenletes eloszlásúak) előbb egy vezető-, majd egy szigetelő anyagot (2. ábra). Két eltérő eredményt fogunk tapasztalni! Mi ennek a fenomenológiai magyarázata? Tudjuk, hogy vezető belsejében elektrosztatikus tér nem hozható létre, mert elektromos megosztás következtében (amelyet elektromos influenciának is neveznek) az eredetileg elektromosan semleges vezetõ felületén akkora Q felületi szabad töltésmennyiség jön létre, amekkora a külsõ elektromos tér hatását a vezetõ belsejében tökéletesen leárnyékolja! Szigetelő esetében is létrejön egy Qp felületi töltésmennyiség, az úgynevezett indukált polarizációs töltés. Ez a felületi töltés azonban nem képes a külső tér tökéletes leárnyékolására, mivel a szigetelõ felületéről a polarizációs töltés nem vezethető el és így a külső elektrosztatikus tér részben behatol a szigetelő anyag belsejébe. A dielektrikum belsejében létrejövő eredő térerő a külső és belső térerők vektori összegével lesz egyenlő.
2. ábra. Az elektrosztatikus tér eltérő hatást gyakorol a vezető-, illetve szigetelő anyagra: a) vezető anyag esetén az elektrosztatikus mező nem hatolhat a vezető belsejébe, ezért ottan a térerő zérus, b) a szigetelő anyag belsejében létrejövő eredő térerő a külső és belső térerő vektori összegével egyenlő (megjegzezzük, hogy az anyagok behelyezése következtében az elektrosztatikus mezőt jelző erővonalábra kezdeti homogén eloszlása mindkét esetben inhomogénné változik, de az egyszerűség kedvéért ettől mostan eltekintettünk)
Vizsgáljuk meg részletesebben az elektromos térbe helyezett szigetelő anyagok viselkedését! Az elektromos szigetelő anyagok, vagy dielektrikumok molekuláris felépítésük tekintetében lehetnek poláros és nempoláros (apoláros) dielektrikumok. Egyes szigetelő anyagok molekuláiban a pozitív és negatív töltéshordozók középpontja nem esik egybe, másoknál viszont igen. Ennek következménye a dielektrikum molekuláinak természetes poláros és nempoláros állapota. Külső elektromos tér hiányában a poláros molekulák állandó dipólusmomentuma termikus rendezetlenséget mutat (3a. ábra) és véletlenszerű irányításuk következtében nincs kitüntetett irányú viselkedése a dielektrikumak (anizotrópia). Külső elektromos tér irányító hatására az elemi dipólusok térbeli irányítottsága tapasztalható. A molekulák dipólusmomentumai rendezettségre törekednek a külső tér erővonalainak irányában való elfordulásuk következtében (3b. ábra). Ezt a jelenséget irányítási (orientációs) polarizációnak nevezzük, amelyet a nem szimmetrikus felépítésű molekulákkal rendelkező szigetelő anyagoknál tapasztalhatjuk. Ilyen tulajdonságot mutatnak a permanens dipólussal rendelkező H2O vízmolekulák is.
3. ábra. Külső elektromos tér irányító hatására a dielektrikum poláros molekulái a tér irányába fordulnak. Ilyen tulajdonságot mutatnak a permanens dipólussal rendelkező H2O vízmolekulák.
Nempoláros molekulákból felépített dielektrikum esetén, a pozitív töltések középpontja a molekulákban egybeesik a negatív töltések középpontjával és ezért külső elektromos tér hiányában a molekulák nem rendelkeznek állandó elektromos dipólusmomentummal. Ha a dielektrikumot kellően erős elektromos térben vizsgáljuk, az alkalmazott külső elektromos mező ellentétesen hat a pozitív és negatív töltésekre. Az eredetileg egybeeső töltésközéppontokat széthúzza az elektromos tér és így a molekulák alakváltozásos polarizáció folytán dipólusokat alkotnak. A mellékelt táblázatban megtalálható néhány jellegzetes szigetelő anyag εr relatív dielektromos tényezője. Látható, hogy az erősen poláros molekulájú víz esetében a relatív dielekromos állandó értéke magas εr=80. Táblázat: Néhány szigetelő anyag dielektromos tényezője és elektromos átütési szilárdsága (szobahőmérsékleten mért értékek vannak megadva) Anyagtípus Vákuum Levegő Víz Szilikonolaj Papír Stronciumtitanát Nylon Teflon (PTFE) Polystirol Pyrex üveg Olvasztott kvarc Bakelit
Relatív dielektromos tényező, εr 1,00000 1,00059 80 2,5 3,7 233 3,4 2,1 2,56 5,6 3,78 4,9
Átütési szilárdság, E (V/m) 3⋅106 15⋅106 16⋅106 8⋅106 14⋅106 60⋅106 24⋅106 14⋅106 8⋅106 24⋅106
Az előbbiekben ismertetett dielektromos polarizáció jelenségét hasznosítják a kondenzátorok fegyverzetei közé helyezett szigetelő anyagok. Vizsgáljuk meg mit képvisel a kondenzátor egy elektromos áramkörben! 2.3. Az elektromos kondenzátor kapacitása
A kondenzátor olyan eszköz, amely elektromos töltések tárolására alkalmas. Alapvetően a kondenzátort két elektromos vezető fémelektróda (fegyverzetek) és az ezeket elválasztó szigetelő (dielektrikum) alkotja. A kondenzátor elektromos töltéstároló képessége, azaz kapacitása függ a kondenzátor geometriai jellemzőitől és a dielektrikum minőségétől. Két, egymástól elektromosan szigetelt fémvezető között létrehozott U potenciálkülönbség hatására a fegyverzetek azonos, de ellentétes előjelű Q elektromos töltéssel telítődnek. A Q töltésnagyság értéke és a fegyverzetek közti U potenciálkülönbség aránya, értelmezés szerint a kondenzátor C kapacitását jellemzi: Q C= U
A kapacitás mértékegysége a farad, jele F. A kapacitás C pozitív skaláris mennyiség, amelynek értéke jellemző egy adott kondenzátorra. A hagyományos síkkondenzátor kapacitása arányos a fegyverzetek S felületével és fordítottan arányos a fegyverzetek közti d távolsággal és függ a fegyverzetek közti dielektrikum ε permittivitásának értékétől. Vákuum dielektrikumú síkkondenzátor esetén a kapacitás nagysága: ε ⋅S C0 = 0 , d ahol ε0 a vákuum dielektromos permittivítása. Ha a kondenzátor fegyverzetei között nem vákuum, hanem egy εr relatív permittivitású szigetelőanyag van, akkor ugyanazon síkkondenzátor kapacitását az alábbi kifejezés adja meg: ε ⋅ε ⋅ S C= 0 r ≡ ε r ⋅ C0 , d amely mutatja, hogy a kondenzátor kapacitása ez esetben εr -szer nagyobb mint a vákuumszigetelésű kondenzátor esetében. A kondenzátor fegyverzetei között kialakuló elektromos tér erőssége és a tér két pontja közti potenciálkülönbség (elektromos feszültség) értéke között felírható az alábbi összefüggés: 2
U 21 = V2 − V1 = − ∫ E ⋅ dl , 1
A fegyverzetek közti potenciálkülönbség meghatározza a kondenzátor fegyverzetein tárolt elektromos töltésmennyiség nagyságát: Q = C ⋅U Az előbbi egyenletek értelmében, a Q0 töltéssel rendelkező kondenzátor kapacitásának C0 értékről C kapacitás értékre való növelése, pld. egy nagyobb permittivitású dielektrikum használatával, együttjár a potenciálkülönbség csökkenésével: C U0 εr = = ≥1 C0 U A kondenzátor elektromos erőterében elektromos energiát tárol, amelynek nagysága arányos a kapacitás C értékével, illetve az U feszültség négyzetével. We =
1 ⋅ C ⋅U 2 2
A gyakorlatban különböző kondenzátortípusokat használnak, amelyekkel a megvalósítható kapacitásértékek tág határok között változnak, néhány pikofaradtól (pF) néhény mikrofarad (μF) értékig (4. ábra). A kondenzátorok igen változatosak alakjuk valamint a használt dielektrikum természetétől függően. Lehetnek sík-, hengeres-, gömbalakú, ahol dielektrikum minőségben használatos anyagok a parafinnal átitatott papír, mylar, csillám, szigetelő folyadékok, szilikonolaj, levegő, stb.
4. ábra. A gyakorlatban használt kondenzátortípusok: a). sík-, b). gömb-, c). hengerkondenzátor
3. Az elektromos áramvezetés jelenségének alapfogalmai
Az alábbiakban állandósult (stacionárius) elektrokinetikai jelenségeket tanulmányozunk, amelyek állandósult töltésáramláshoz kapcsolódnak. Az elektromos áram a töltéshordozók irányított mozgását jelenti, amelyben a töltés-, a tömeg- és az energiamegmaradás törvényei érvényesülnek. Az elektrosztatika fejezetében már utaltunk arra, hogy a szabad töltéshordozó elektromos részecskék elektromos tér hatására elmozdulnak. Természetesen feltehetjük a kérdést, hogy milyen közeg szükséges a töltések elmozdulásához? A válasz, hogy a közeg lehet bármilyen természetű, amely lehetővé teszi a szabad töltésáramlást! Ez a közeg lehet szilárd-, folyékony- vagy gázhalmazállapotú, de az „anyagmentes”-nek nevezett vákuum bizonyul a legalkalmasabb közegnek, mivel ez biztosítja a mindenféle akadálytól mentes szabad töltésáramlás feltételeit. A közegek természete, valamint az áramlási folyamatban résztvevő elektronok és/vagy ionok határozzák meg az elektromos jelenségekhez kapcsolódó fizikai folyamatokat és hatásokat. A fémekben a vezetési elektronok, elektrolitekban a pozitív és negatív töltésű ionok, gázokban a szabad elektronok és az ionok rendezett elmozdulása elektromos áramvezetést eredményez. Az elektromos töltések irányított mozgását vezetési elektromos áramnak nevezzük. Az elektromos töltések rendezett mozgásához egy hajtóerő, az ún. ”elektromotoros erő” szükséges. Az elektromotoros erőt a feszültségforrás biztosítja az általa létrehozott potenciálkülönbség révén. Az erőtér a töltésekre F = q ⋅ E erőt gyakorol, és az elmozduló töltéseken végzett munka mozgási energiaváltozást eredményez δL = dWm . Az áramlási folyamatban bekövetkező kölcsönhatások eredményeként a töltések energiájának egy része a rácsrezgés fokozására fordítódik, amely δQ hőmennyiség
formájában disszipálódik. Egyensúlyi állapotban a folyamat energianyeresége és vesztesége kiegyenlítődik és mindez a töltések állandósult mozgását eredményezi, amelyet egy vd átlagos sodrási sebesség jellemez. 3.1. Az elektromos áram erőssége és az áramsűrűség értelmezése
Értelmezés szerint az elektromos áramerősség pillanatnyi értékét a vezető teljes keresztmetszetén áthaladó ΔQ töltésmennyiség és az áthaladási Δt idő hányadosának határértéke adja: dq ΔQ i= ≡ lim . Δ t → 0 dt Δt Ha az áramerősség értékét állandó elektromos mező határozza meg, az áram Q erőssége is állandó. Az állandósult áram erősségét nagy I betűvel jelöljük, I = , t megkülönböztetve a pillanatnyi áramtól, amelyet i(t)-vel jelölünk. Az áramerősség skaláris mennyiség, amelynek SI mértékegysége az amper (jele 1C A), [i ]SI = = 1 A . Az áramerősség mérése céljából ampermérőnek nevezett 1s áramerősség-mérőt használunk, amelyet a fogyasztóval mindig sorba kapcsolunk. Az áramtól átjárt vezetőközeg harántirányú keresztmetszetének egységnyi területű részén nem szükségszerűen azonos az átfolyó áram erőssége. Fizikai értelemben az áramsűrűség nagysága az egységnyi felületen, egységnyi idő alatt átáramló elektromos töltéshordozók mennyiségét jelenti, amelynek mértékegysége A/m2 . Ha a vezető harántirányú keresztmetszetén felvett elemi dS területű felületen átfolyó áram erőssége dI, akkor a felületelemhez hozzárendelhető az elektromos áramsűrűség j mennyisége: j=
di = lim ΔI dS ΔS →0 ΔS
,
amely az áramlás irányára merőleges ΔS felület és a rajta átfolyó ΔI áramerősség hányadosának határesete. Egyezmény alapján az áramsűrűség irányítása az elektromos tér E vektorának irányításával egyezik meg (5. ábra).
5. ábra. Az elektromos áramsűrűség j vektora és az elektromos térerő E vektora az elektronok elmozdulásával ellentétes irányítású
Válasszunk a vezető belsejében egy henger alakú dV = dS ⋅ dl = dS ⋅ v d ⋅ dt elemi térfogatot, amelyben a töltésmennyiség értéke dq = n ⋅ e ⋅ dV . Az előbbi egyenletben szereplő n az egységynyi térfogatban levő elektronok számát, vd az elektronok sodródási sebességét jelenti. Az elektronok sodrási iránya merőleges a dS vektorizált felületelemre, azaz j ⋅ dS ≡ j ⋅ dS . Az áramsűrűség értelmezési kifejezését használva meghatározható az alábbi összefüggés: i (t ) dq j= = = n ⋅ e ⋅ vd . S dt ⋅ S Az elektronok vd átlagos sodrási sebessége a térerősséggel arányos mennyiség, ezért írhatjuk: vd = μ ⋅ E . A μ arányossági tényezőt töltés-mozgékonyságnak (mobilitásnak) nevezzük. Az áramsűrűség és az elektromos térerősség közti összefüggést vektoriális formában is felírhatjuk: j =σ ⋅E, amelyben szereplő σ = n ⋅ e ⋅ μ arányossági tényezőt fajlagos vezetőképességnek nevezzük. A fajlagos vezetőképesség reciprokát fajlagos elektromos ellenállásnak nevezzük 1 ≡ ρ , amelynek mértékegysége Ω⋅m (ohm·méter).
σ
Ezzel a fenti egyenletet, amelyet Ohm-törvény differenciális (lokális) alakjának nevezünk, a következő formában is felírhatjuk: E =ρ⋅ j Amennyiben a vezetőben folyó I áramerősség a vezető keresztmetszetén egyenlőtlenül oszlik el, az áramsűrűség j vektorának fluxusára felírható az alábbi integrális összefüggés: I = ∫ j ⋅ dS , S
ahol az integrálást (az összegzést) az áramvezető teljes felületére kiterjesztjük. Megjegyezzük, hogy homogén vezetőben az áramsűrűség állandó értékű. 3.2. Egyenáramú áramkörök és törvényeik. Ohm-törvény kifejezése teljes áramkörre
Az elektromos áramköröket különböző áramköri elemek, ún. kapcsolási elemek alkotják, amelyeket elhanyagolható ellenállású vezetékek (huzalok) kötnek össze. A legegyszerűbb áramkör egy feszültségforrásból (generátor) és fogyasztóból áll. Ezen kívül az áramkör tartalmazhat mérőeszközöket is. A feszültségforrás által termelt elektromos energiát a fogyasztók másfajta energiává alakítják. Például, az elektromos energiát a motorok mechanikai energiává, az elektromos ellenállások hővé, a fényforrások fényenergiává alakítják, stb.
Az elektromos áram vezetése csak zárt áramkörben valósulhat meg. A 6. ábrán látható nyított hurokban csak akkor folyik elektromos áram, ha a K kapcsolóval zárjuk az áramkört.
6. ábra. Egyszerű egyenáramú áramkör kapcsolási sémája
Az áramerősség értékét zárt áramkörben Ohm-törvénye fejezi ki: E I= , Rk + r amelyet az Ohm-törvény integrális (teljes) alakjának is neveznek. Ohm-törvénye értelmében a teljes áramkör I áramának erőssége egyenesen arányos a feszültségforrás E elektromotoros erejével és fordítva arányos a külső fogyasztó Rk ellenállásának és az feszültségforrás r belső ellenállásának összegével. Az egyenletből következik, hogy külső ellenállás hiányában Rk = 0 az áramerősséget csak az áramforrás r belső ellenállása korlátozza. Ebben az esetben az ún. rövidzárási áramerősség maximálisan leterheli az áramforrást: E Ir = . r Az egyenlet átrendezésével felírhatjuk az áramköri elemekre jutó feszültségeket: Uk = E − I ⋅ r , vagyis zárt áramkörben a feszültségforrás Uk kapocsfeszültsége mindig kisebb az E elektromotoros feszültség értékénél (amely a forrás üresjárási kapocsfeszültsége). Az áram erősségét korlátozó Rk,, illetve r elektromos ellenállásokat milyen fizikai tényezők határozzák meg? Állandó keresztmetszetű homogén vezetőt feltételezve, Ohm törvényét az adott vezetőszakaszra alkalmazva felírhatjuk az integrális áramerősség és a vezetőszakasz ellenállása közti összefüggést: U I = ∫ j ⋅ dS ≡ . R S Az egyenletben szereplő U mennyiség az l hosszúságú és S keresztmetszetű vezetőszakaszra jutó feszültséget, R az elektromos ellenállást jelöli. Felhasználva az dU U E= ≡ helyettesítést, kapjuk a vezetőszakasz ellenállásának kifejezését: dl l U E ⋅l l R= ≡ =ρ⋅ . I j⋅S S A kifejezésben szereplő R elektromos ellenállás (rezisztencia) megadható a homogén vezetőközeg geometriai méreteit jellemző l hosszúság és az S harántirányú
keresztmetszet területe, illetve a közeg anyagi minőségére jellemző ρ fajlagos elektromos ellenállás (rezisztivitás) által. Az R ellenállás skalár fizikai mennyiség, amelynek SI mértékegysége az ohm (jele Ω). Egy ohm annak az l =1 m hosszú vezetőszakasznak az ellenállása, amelynek harántirányú keresztmetszete S =1 m2 és fajlagos ellenállása ρ= 1 Ω⋅m. Az R elektromos ellenállás reciprokát G betűvel jelöljük és elektromos vezetésnek (konduktanciának) nevezzük: 1 G= , R melynek mértékegysége a siemens, jele 1 S=1/Ω.. Az elektromos áramkörökben használt áramkorlátozó „ellenállók” (rezisztorok) általában két változatban készülnek, az ún. „vegyület-ellenállások” (amelyek szén és félvezető anyagkeverékből készülnek), illetve a huzal-ellenállások, (amelyek fémötvözetekből készülnek, például a 46 % nikkel és 54 % réz összetételű konstantán néven ismert ötvözet). Ohmikus ellenállású fémes vezetők esetében az áram-feszültség jelleggörbe (I-U karakterisztika) lineáris (7a. ábra). A nem-ohmikusnak nevezett ellenállások esetében, például a félvezető dióda I-U karakterisztikája nemlineáris jellegű (7b. ábra). Ez utóbbi jelleggörbét kis szakaszon közelítőleg lineárisnak tekinthetjük, ezért a nemlineáris dU karakterisztikájú anyagok jellemzésére az ún. differenciális ellenállás Rdiff . = dI mennyiségét használjuk.
7. ábra. Áram-feszültség jelleggörbék: a). Ohmikus ellenállás lineáris karakterisztikája, illetve b). Félvezetők nemlineáris karakterisztikája
4. Az élő szervezet és az elektromosság. A biolektromos jelenségek fizikai alapjai
Az elektrolitek vezetőképessége (ionvezetés) nagyságrendekkel kisebb mint a fémvezetőké (elektronvezetés), tekintettel az ionok alacsony mozgékonyságára. Az oldás folyamatában az oldószer molekulái behatolnak az oldott anyag molekulái, atomjai, ionjai közé és azokat szétválasztva kisebb vagy nagyobb atomcsoportokra (angol szóval cluster /klaszter/ = ”fürt”) szakítja. Jellegzetesen a vízmolekulák erős dipólusos szerkezete következtében a sóknak vízben való oldódási folyamatában a szomszédos ionok közötti elektromos kötés fellazul,
ugyanakkor a dipólus viselkedésű vízmolekulák és az ionok kölcsönhatása új struktúra kialakulását eredményezi. A víz elektrolitikus disszociációs jelenséget határoz meg. Ez abban nyilvánul meg, hogy a vízben oldható anyagok oldódása során a dipólusos vízmolekulák kölcsönhatásba kerülnek az anyag kationjaival és anionjaival, minek következtében az elektrolit oldat többé-kevésbé rendezett szerkezetűvé válik. A szétválasztott só-ionok és vízmolekulák kölcsönhatása eredményeként a a só-ionokat ún. hidrátburok veszi körül, amelyben az ionokkal közvetlen szomszédságban levő dipólusos vízmolekulák sugarasan irányított helyzetet foglanak el (8. ábra). Ennek a rendezettségnek a térbeni kiterjedését a hőmozgás mértéke korlátozza és az iontól távolodva egyre csökken a rendezettség.
8. ábra. A víz elektromos disszociációt meghatározó viselkedése: pozitív és negatív ionok hidratációja
Egy külső elektromos erőtér által kifejtett erőhatás eredményeként az elektrolit oldat ionvezetést mutat. Az elektromos töltéstranszport egyenlete kifejezi a dt időintervallum alatt, a dS dU felületelemen áthaladó dq elektromos töltésmennyiség nagyságát, amelyet a dx feszültség-gradiens (emelyet a dx egységnyi hosszúságra eső dU potenciálváltozás értéke) határoz meg: dU dq = −σ ⋅ ⋅ dS ⋅ dt dx ahol, σ az adott közeg fajlagos elektromos vezetőképességi tényezője. A növényi szervezetekben az elektrolit oldatok fajlagos vezetőképessége függ a disszociáció fokától és az ionmozgékonyságtól, amely viszont függ az elektrolit természetétől és annak hőmérsékletétől. Általában a növényi sejtek fajlagos ellenállása nagy értéket képvisel ρ ≈30…3000 Ώ·cm. A sejtek fajlagos ellenállásának mérése céljából kisfrekvenciájú váltakozó áramot használnak (elkerülendő az elektródok polarizálódása, amely az egyenfeszültségű mérésnél észlelhető). A sejt impedanciája az ohmos és kapacitív ellenállásból származik, ahol 1 1 . A sejtmembrán fajlagos kapacitása C/S ≈ 1…10 μF/cm2, ahol a XC = = ω ⋅ C 2π ⋅ν ⋅ C membrán falvastagsága d ≈ 50….250 Ǻ, a biopotenciál értéke U ≈- 90 mV.
Mivel a pozitív ionok a negatív katód irányában (kationok), a negatív ionok a pozitív anód irányában mozognak (anionok), ezért elektrolitek esetében az I elektromos áramintenzitás értéke a kation-anion kettősvezetés által meghatározott mennyiség: I = F ⋅ S ⋅ (Z kation ⋅ vkation ⋅ C kation − Z anion ⋅ vanion ⋅ C anion ) , amely kifejezésben Z jelenti az ionok vegyértékét, C az ionok koncentrációját, v az ionok mozgási sebességét, S a vezető elektrolitoszlop keresztmetszetét, illetve az egy kilogramegyenérték ionmennyiség töltését megadó Faraday-féle állandó F = 9,65 ⋅ 10 4 C / mol. A töltéshordozók mozgékonyságát az egységnyi térerősség által meghatározott mozgási sebességgel jellemezzük. Ha egy elektrolitben az ellentétes előjelű töltéshordozók eltérő koncentrációban vannak jelen és eltérő mozgékonysággal rendelkeznek, a különböző koncentrációjú tartományok között potenciálkülönbség lép fel. Ezt a potenciálkülönbséget diffúziós potenciálnak nevezzük, amely mindaddig fennáll, amíg a koncentrációk különbsége nem egyenlítődik ki. A növényi testeket víz és szárazanyag alkotja, amely szárazanyagnak nagyobb része szerves eredetű, kisebb része ásványi eredetű. A növények vízfelvétele kis részben a leveleken, többségében azonban a gyökérszőrökön keresztül valósul meg, amely során vízben oldott ásványi- és szervesanyagok formájában fedezik a szervezetük felépítéséhez szükséges tápanyagokat. A növényi test legfontosabb szerves vegyületei a szénhidrátok, fehérjék, vitaminok, növényi hormonok (pld. auxin), növényi olajok, stb., amelyek felépítésében a legfontosabb elemek a C, O, H, N, S. Az ásványi eredetű tápanyagok családjában fontos aniontípúsú elemek a N, P és a S, míg kationtípúsú elemek a K, Ca és Mg. Ugyanakkor, a nyomelemek (mikroelemek) családjába sorolható Cl és B aniontípúsú elemek, míg a Fe, Mn, Zn, Cu, Mo kationtípúsú mikroelemek biztosítják a növény optimális fejlődését. A felsorolásban nem szerepelt a Na és a Si, amelyek szinte minden növényben kimutathatók. Korszerű felfogás szerint a növények víz- és ásványisó felvétele, valamint a plazmába való jutása az anyagcserefolyamat által van szabályozva. Az élő plazmában állandó változás zajlik le: elsősorban változik az elektromos töltés, amely a fehérjék és az aminosavak oldalláncainak szabad negatív és pozitív töltésű csoportjaiból származik. Általában az élősejt plazmája a kationokat könnyebben veszi fel, mint az anionokat, ugyanis a citoplazma negatív töltéseinek koncentrációja túlsúlyban van a pozitív töltésekéhez viszonyítva. A plazma ionfelvétele alapvetően négy lépésben valósul meg: a felületi kötődés (adszorpció), a felületi elnyelődés (abszorpció), a továbbítódás (transzportáció) és a plazmában való felhalmozódás (akkumuláció) folyamatában. Az élő sejtek belsejében levő intracelluláris folyadék (a sejtplazma), illetve az extracelluláris folyadék többféle iont tartalmaz. A sejtmembrán szelektív átjárhatóságot tanúsít bizonyos ionok számára, más ionok számára viszont átjárhatatlan. Ezért a rendszer koncentrációs elemként viselkedik és a folyadéktartományokat elválasztó sejthártya két oldalán kialakuló koncentrációkülönbség sejtenként kb. 20…100 mV nagyságú nyugalmi elektromos potenciálkülönbséget (bioelektromosságot) eredményez. A sejtmembrán permeabilitási tulajdonságaitól függően az ionkoncentráció- és potenciáldifferencia eltérő értéket mutat. A membránpotenciál mérésére két mikroszondát használnak, ahol az egyik elektródot a sejten kivüli tartományba, a másikat a sejt belsejébe helyezik. A felületet zérus potenciálon levőnek tekintve, a sejt belseje negatív potenciálon van a felülethez képest. Abban az esetben amikor egy sejtre megfelelő ingert alkalmazunk, a sejtpotenciál változást mutat a nyugalmi állapothoz képest, amelyet
akciós potenciálnak nevezünk. A potenciálváltozást a membránként viselkedő sejtfelület permeabilitásában bekövetkezett változás eredményezte, ugyanis a nátriumionok számára a membrán átjárhatósága kb. 500-szoros növekedést mutat a nyugalmi értékhez viszonyítva. Ennek eredményeként a nátriumionok a sejt belseje, míg a káliumionok pedig az extracelluláris tér felé vándorolnak. A⋅ s A víz dielektromos állandója ε = 81,1 , amely igen nagy értéket képvisel V ⋅m más folyadékokkal való összehasonlításban. A tiszta víz elektromos vezetőképessége kicsi, 1 a desztillált víz fajlagos vezetőképessége (konduktanciája) σ = = 10-4 …10-6 S·m-1. Ez
ρ
azt jelenti, hogy a teljesen tiszta vízben is találhatni kisszámú disszociált vízmolekulát: 2 ⋅ H 2 O → H 3O + + OH −
A hidrónium molekulának nevezett H 3O + kation és az OH¯ anion meghatározza a vezetőképességet. A H+ koncentráció a savas, az OH- koncentráció pedig a lúgos tulajdonságot határozza meg, ezért a vizes oldatok savassági, illetve lúgossági mértékének jellemzésére a hidrogén ionkoncentráció negatív logaritmusát választjuk: pH = − log H + . Mivel a teljesen tiszta vízben a két ion koncentrációja megegyezik, + H = OH − = 10 −7 g ion/liter, ezt a disszociáltsági fokot semlegesnek tekintjük, ezért: pH=7 semleges közeg, pH=0 …7 savas közeg, pH=7…14 lúgos közeg.
[ ]
[ ] [
]
A kertészeti gyakorlatban nagy fontossága van a talaj pH -értékének, ugyanis a különböző kultúrnövények a talaj pH -értéke szerint különbözőképpen fejlődnek. Meghatározott műtrágyaféleségekkel a talaj pH-értéke befolyásolható. Az oldatok pHértéke egyszerűen jellemezhető indikátorpapírral. Ezek olyan szerves vegyületekkel átitatott papírok, amelyek meghatározott pH tartományban változtatják a színüket. 4. Váltakozó áramú áramkörök jellemzése
Természetesen felmerül az a kérdés, hogy egy váltakozó árammal táplált áramkörbe kapcsolt C kapcitású kondenzátor, illetve L önindukciós tényezőjű tekercs milyen fizikai folyamatoknak a színhelye és milyen szerepet játszanak az áramkörben? Tudjuk, hogy az I áramtól átjárt, N menetszámú, l hosszúságú légmagos ideális szolenoid (egyenes hengertekercs) esetében a tekercs belsejében kialakúló mágneses tér homogénnek tekinthető. A tekercs tengelyén a mágneses indukció B értéke az alábbi kifejezéssel adható meg: NI B = μ0 ⋅ . l Az ideális szolenoid L induktivitását a következő kifejezés adja meg:
N2 ⋅S , l amely azt mutatja, hogy az induktivitás L értéke a tekercset jellemző geometriai méretek l, S, illetve a menetek számát jelentő N mennyiségek nagyságától, valamint a tekercs belsejét kitöltő légüres tér μ 0 mágneses permeabilitási tényezőjének értékétől függ. A L = μ0 ⋅
⎛T ⋅m⎞ légüres tér μ 0 mágneses permeabilitási tényezője μ 0 = 4π ⋅ 10− 7 ⎜ ⎟. ⎝ A ⎠ Ha egy soros kapcsolású áramkörbe R tiszta ohmikus ellenállást kapcsolunk és az áramkört egyszerű szinuszosan váltakozó elektromotoros feszültséggel tápláljuk: u (t ) = U max ⋅ sin ωt , akkor az áramkörben folyó váltakozó áram pillanatnyi erőssége szintén időben váltakozó értéket mutat: i (t ) = I max ⋅ sin(ωt − ϕ ) A szinuszosan váltakozó elektromotoros feszültség értékét megadó kifejezésben Um jelenti a pillanatnyi feszültség maximumát (csúcsfeszültség értékét), amely az Ueff effektív feszültség értékénél nagyobb: U U eff = max = 0,707 ⋅ U max . 2 A 9a. ábrán követhetjük, hogy az R ellenállásra jutó szinuszosan váltakozó u(t) feszültség olyan pillanatnyi i(t) áramértékét határoz meg, amely bármely pillanatban fázisban van az alkalmazott feszültséggel. Ezért felírható az effektív feszültség és áram mennyiségének arányossága is: U = I ⋅R. Az 9.b és 9c. ábrákon rendre látható, hogy a váltakozó áramkörbe kapcsolt L fázis sietést mutat, míg a C induktivitású tekercs esetén a feszültség értéke π 2 kapacitású sorosan kapcsolt kondenzátor esetében a kapacitív terhelésnél a feszültség π fázis késést mutat az áram fázisviszonyához képest. 2
9. ábra. Fázisviszonyok szemléltetése a szinuszosan váltakozó feszültséggel táplált áramkörben, ha az áramkör egyetlen ideális áramköri tagot tartalmaz: a). R ohmikus ellenállás az áramkörben, b). L ideális tekercs az áramkörben, c). C ideális kondenzátor az áramkörben
Szinuszosan váltakozó u(t) feszültséggel táplált soros kapcsolású R-L-C áramkör esetén az áramkör aktív és passzív elemein megoszló uR(t), uL(t) és uC(t) feszültségesések pillanatnyi értékei az alábbi egyenlet szerint adhatóak meg (10. ábra): di q u + (− L ⋅ ) = + R ⋅ i , dt C amelyben a feszültség és az áram pillanatnyi értékére felírható kifejezésék: u = U max ⋅ sin ωt i(t ) = I max ⋅ sin(ωt − ϕ ) Az áram kifejezésben szereplő φ fázisszög értéke lehet φ<0, amely kapacitív jelleget, illetve φ>0 esetén az áramkörnek induktív jelleget kölcsönönöz. A fenti kifejezések behelyettesítése után írhatjuk a feszültségeloszlás analitikus összefüggését: π π I U ⋅ sin ωt = R ⋅ I ⋅ sin(ωt − ϕ ) + L ⋅ I ⋅ ω ⋅ sin(ωt − ϕ + ) + ⋅ sin(ωt − ϕ − ) 2 ω ⋅C 2 A soros kapcsolású RLC áramkör Z impedanciáját (váltakozó áramú ellenállását) az alábbi kifejezés adja: 2
1 ⎞ ⎛ Z = R2 + ⎜ L ⋅ω − ⎟ ωC ⎠ ⎝ 1 amelyben X L = ωL , illetve X C = mennyiségek jelentik a váltakozóáramú induktív ωC ellenállás (induktív reaktancia), illetve a kapacitív ellenállás (kapacitív reaktancia) kifejezését.
10. ábra. Soros kapcsolású RLC ármkörben kialakuló feszültségesések (a), illetve az áramkör Z impedanciájának és I áramerősségének frekvencia függvényében való változását mutató ábra
A 10.b. ábrán láthatjuk az áramerősség változását az alkalmazott feszültség f frekvenciája függvényében, illetve az áramkör Z impedanciájának változását a frekvencia függvényében. Fresnel-féle fázisvektor fogalmát felhasználva az egyenletben szereplő mennyiségek grafikus ábrázolással szemléltethetők (11. ábra):
11. ábra. Soros RLC tagok által meghatározott feszültségviszonyok a szinuszosan váltakozó áramkörben
1 esetén a fázisszögnek nevezett φ>0 az áramerősség ωC 1 késik a feszültséghez képest, illetve φ<0 esetén UL
az áramerősség siet ωC a feszültséghez képest.
Ha UL >UC , azaz ωL >
Abban az esetben amikor a fázisszög φ=0, UL =UC egyenlő nagyságúak de ellentétes fázisban vannak a feszzültségek a tekercs és a kondenzátor kapcsain. Ekkor az I = I rezonancia áram és az U feszültség fázisban levő mennyiségek, ezért az áramerősség értéke maximálisra nő, mivel az áramkör impedanciája Z=R minimálisra csökken: I rez =
U . R
Ezt a jelenséget a soros áramkör rezonanciájának nevezzük, amely esetben felírhatjuk az alábbi kifejezéseket: U U L = I r ⋅ X L = ( ⋅ ω ⋅ L)ω =ω 0 R U 1 UC = Ir ⋅ X C = ( ⋅ )ω =ω 0 R ω ⋅C 1 A fenti kifejezések felhasználásával írhatjuk, hogy ω 0 ⋅ L = illetve a ω0 ⋅ C Thomson-képlete néven is ismeretes periódusidő összefüggését: T0 = 2π ⋅ L ⋅ C , amely megadja az áramkör T0 saját periódusára jellemző időt.
12. ábra. Az áramerősség változása a rezonancifrekvencia környezetében. Az ábrán megjelöltük a B=f2-f1 sávszélesség néven ismert frekvenciatartományt, amely a rezonancia áramerősség maximának gyök-ketted értékét meghaladó áramerősségekhez tartozó frekvencisávot jelöli meg
Mivel a rezonancia feltétele esetén a feszültségesések maximálisra ugranak az egyes áramköri tagokon, meghaladva a tápforrás által adott feszültség értékét, feszültségrezonancia jelenségről beszélünk. Színuszosan váltakozó feszültségre kapcsolt párhuzamos RLC áramkör
Hasonló elemzést folytathatnánk a párhuzamosan kapcsolt RLC áramkör esetére is, erre itten nem térünk ki részletesen csak emlékeztetünk a fontosabb vonatkozásokra. Az áramkör elemeit parhuzamosan kapcsolva, azonos feszültség mellett az egyes tagokon áthaladó áramerősségekre felrajzolva a fázisdiagram a Fresnel-féle ábrázolási módot alkalmazva, értelmezhetjük az admittancia-háromszöget: 2
2
1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ = + ⎜⎜ − Y= +⎜ − Cω ⎟ 2 2 R ⎝ X L XC ⎠ R ⎝ Lω ⎠ Az áramerősség az R ellenálláson fázisban van a feszültséggel, míg a tekercsen π / 2 fáziskésés illetve a kondenzátoron π / 2 fázissietés jelentkezik a feszültség fázisához viszonyítva. Jelen esetben referencia értéknek a közös feszültséget tekintve, illetve az ellenálláson folyó áramot, amelynek fázisa megegyezik a feszültség fázisával, az áramerősségekre az alábbi vektordiagramot rajzolhatjuk fel (13. ábra). Az áramkör Y admittanciája (látszólagos vezetése) ϕY fáziskülönbséget mutat a feszültséghez viszonyítva (admittancia-fáziskülönbség), amelyet az alábbi kifejezés ad meg: 1 1 − R X XL ϕY = arctg C = arctg 1 X R Az admittancia-fáziskülönbség koszinuszára felírhatjuk az alábbi kifejezést:
1 Z cos ϕY = R = 1 R Z
13. ábra. Párhuzamos RLC áramkör vektordiagramja és admittancia fázisszöge
A párhuzamos kapcsolású áramkör rezonanciája estén a reaktív tényezőkön azonos áramerősség halad át, mivel X L = X C , illetve ekkor az impedancia maximális Z=R értéket vesz fel. Ebben az esetben az áramkör fő ágában az áramerősség minimális lesz (14. ábra). A párhuzamos áramkörben kialakúló rezonanciát áramrezonanciának is szokták nevezni, mivel a főágbeli áramerősség lényegesen eltérhet az egyes reaktív tagok áramától: I L ≡ I C ≠ I R ≡ I .
14. ábra. Párhuzamos áramkörben kialakuló áram-rezonancia jelensége
Hasonló módon felírhatjuk a párhuzamos kapcsolású áramkör esetén a rezonancia-frekvencia értékét megadó kifejezést: 1 , ν0 = 2π ⋅ LC illetve a periódus (rezonancia-rezgésidő) kifejezését: T0 = 2π ⋅ LC .
