Beta faktor a ekvitní prémie z cizího trhu: přenositelnost a statistická spolehlivost Verze 15. 4. 2014 Michal Dvořák
Abstrakt Cílem textu je ilustrovat, že český burzovní trh neobsahuje dostatečný počet titulů ke korektnímu stanovení výnosnosti akciového trhu a beta faktoru pro model CAPM. Proto je třeba převzít tyto údaje z rozvinutého trhu. Jsou diskutovány podmínky kladené na trh, ze kterého data přejímáme, zejména podmínka reprezentativnosti a statistické spolehlivosti. V poslední řadě je zmíněno, jak korigovat případný nesoulad v ekvitní prémii na rozvinutém a lokálním trhu a že beta faktor lze za rozumných předpokladů přenášet mezi trhy.
1 Motivace V praxi je zdaleka převažujícím způsobem stanovení nákladů vlastního kapitálu model oceňování kapitálových aktiv (CAPM model, Sharpe, 1964). Model má tvar popsaný rovnicí [1], [1]
rA rF rM rF ,
kde
rA je (očekávaná) výnosnost oceňovaného aktiva, tj. odhad nákladů vlastního kapitálu oceňovaného podniku. V rovnici [1] představuje rA neznámou.
rF je (očekávaná) bezriziková výnosnost,
beta faktor označující expozici oceňovaného aktiva k tržnímu riziku. Obvykle je vypočten na základě dat o burzovně obchodovaných aktivech podobného typu, tj. akcií podniků působících ve shodném či podobném odvětví jako oceňovaný podnik,
rM je (očekávaná) výnosnost optimálně složeného portfolia akcií na příslušném trhu, aproximovaného akciovým indexem.1 Složený faktor rM rF označme jako prémii za ekvitní riziko. Jedná se o odměnu za nesení rizika celého akciového trhu, tj. výnosnost, kterou by investor požadoval, kdyby investoval do (dobře diverzifikovaného) akciového indexu. Model má 3 základní vstupy: rF , a rM . V tomto článku se 1
V teorii (Sharpe, 1964) je portfolio složené tak, že ze všech možných kombinací aktiv nabízí díky diverzifikaci nejpříznivější kombinaci mezi rizikem a výnosností. Vzhledem k tomu, že akciové indexy se sestavují na základě tržní kapitalizace (po určitých korekcích) nebo jako jednoduchý průměr, není důvod, aby index byl optimálním portfoliem. To jen ilustruje fakt, že praktické implementace CAPM modelu jsou vztaženy k jeho teoretické podobě pouze velmi volně.
budeme věnovat výhradně otázce, z jakého trhu tyto vstupy brát; zda z rozvinutého nebo lokálního trhu. Ostatní otázky ohledně techniky výpočtu těchto vstupů nebudou řešeny.2 Záležitost je relevantní pro oceňování na trzích s kratšími časovými řadami, kam se dá zařadit drtivá většina států (Damodaran, 2013b) a méně rozsáhlým kapitálovým trhem; tedy Českou republiku nevyjímaje. Aby článek poskytl vodítka k oceňování v prostředí českého trhu, jsou používané demonstrace vztaženy k případu České republiky. V kapitole 2 bude zmíněno čisté řešení založené na lokálních vstupech a bude ukázáno, že pro Českou republiku nelze čisté řešení. V kapitole 3 a 4 proto představí náhradní řešení, založené na přejímání zahraničních dat. Kapitola 5 obsahuje shrnutí.
2 Čisté řešení Oceňujeme-li subjekt pocházející z určitého trhu, dejme tomu českého, je teoreticky jediné zcela korektní řešení použít všechny 3 vstupy z téhož, tedy v tomto případě českého, trhu. Jinými slovy, použít:
rF : českou bezrizikovou míru: například z českých korunových swapů (jak jsem doporučoval v článku Dvořák, 2014), nebo z českých vládních dluhopisů. Ponecháme stranou, jakou splatnost mají bezrizikové instrumenty mít.3
rM : českou výnosnost akcií: ať již v minulosti realizovanou výnosnost českého akciového indexu PX (a pak doporučuji použít metodu konzistentního průměru, kterou jsem představil v článku Dvořák, 2014a) nebo implikovanou výnosnost akcií kótovaných na pražské burze cenných papírů či českých titulů obchodovaných na zahraničních burzách.4 (Damodaran, 2013b, Mařík et al., 2011).
: českou betu, tedy korelaci výnosů referenčních českých akcií s českým akciovým indexem ( rM ). Odhad bety se provádí pomocí rovnice [1], kdy rA jsou známé výnosy referenčních akcií a tržního indexu a neznámou je . K odhadování bety se dostaneme v kapitole 4.
Máme dostatečnou datovou základnu pro získání příslušných vstupů?
rF . Jak bylo ukázáno v Dvořák (2014), swapových splatností je dostatečný počet a jejich sazby se nezdají být vychýlené nižší likviditou. Stejná situace panuje na trhu s českými státními dluhopisy. V bezrizikové míře tedy problém není.
rM . Český akciový index PX obsahuje malý počet akcií. Z Tabulky 1 vyplývá, že v indexu je 14 titulů, přičemž 4 hlavní tituly mají při výpočtu indexu více než 80 % váhy. Navíc, 3 hlavní tituly zodpovídají za 84% objemu obchodů v prvním čtvrtletí
2
Pro výborný přehled s tím spojených otázek vizte Mařík et al. (2011), pro detailnější pojednání o každém z vstupů vizte Mařík et al. (2011), Damodaran (2013a), Damodaran (2013b), Damodaran (2008) a Damodaran (2003). 3 Více v Damodaran (2008) nebo Dvořák (2014). 4 Pokud je titul obchodován v cizí měně, je pouze potřeba konvertovat všechny peněžní toky do korun pomocí spotového kurzu mezi danou měnou a CZK (pro konverzi současné ceny akcie) a pomocí k danému dni známých forwardových kurzů mezi danou měnou a CZK (pro konverzi očekávaných výnosů).
roku 2014). 3 ze 4, respektive 2 ze 3 zmíněných společností spadají do finančního sektoru.
Tabulka 1: Akcie v českém akciovém indexu PX Company
Number of securities in the index
Free Flow Factor
Representation Factor
Reduced market capitalization
Share of Market Capitalization
[CZKm]
[%]
ČEZ KOMERČNÍ BANKA ERSTE GROUP BANK VIG TELEFÓNICA C.R. STOCK UNIPETROL PHILIP MORRIS ČR PEGAS NONWOVENS CETV FORTUNA TMR NWR ORCO Total
537,989,759 38,009,852 429,800,000 128,000,000 315,648,092 200,000,000 181,334,764 1,913,698
0.40 0.40 0.80 0.50 0.20 0.50 0.30 0.30
0.54 0.85 0.26 0.96 1.00 1.00 1.00 1.00
65,307.7 62,419.8 61,166.4 60,641.3 18,863.1 9,690.0 7,588.9 6,487.4
21.16 20.23 19.82 19.65 6.11 3.14 2.46 2.10
Share of turnover in 2014Q1 39.12 26.14 19.10 1.28 8.99 NA 0.43 0.91
9,229,400
1.00
1.00
5,510.0
1.79
0.79
134,489,185 52,000,000 6,707,198 264,648,002 114,507,629
0.50 0.40 0.50 0.40 0.50
1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
3,940.5 2,784.1 1,945.1 1,270.3 959.0
1.28 0.90 0.63 0.41 0.31
1.90 0.33 NA 0.78 0.24
308,573.5
100.00
100.00
Zdroj: PSE (2014), Patria (2014). Poznámka: Data k 11. 4. 2014. Free Float Factor redukuje tržní kapitalizaci o akcie držené ve velkých objemech. Representation Factor redukuje tržní kapitalizaci tak, aby několik akcií nemělo ve výsledném indexu neúměrně velkou váhu (PSE, 2014a). Podíl na objemu obchodů v 1. čtvrtletí 2014 vzat z denních dat Patria (2014); jde o podíl v rámci firem z indexu, přičemž Stock a TMR jsou vyloučeny pro chybějící data.
Kromě malého počtu podniků a dominance několika společností navíc objem obchodů na pražské burze dlouhodobě klesá. Roční objem proběhlých obchodů klesl z 1013 mld. CZK v roce 2007 na pouhých 175 mil. CZK v roce 2013 (PSE, 2013). Podstatná část, ne-li drtivá většina ekvitních transakcí tedy probíhá mimo burzu, a užívání burzovního indexu k popisu ekvitního trhu v české republice je pak značně nedokonalé.
. Vzhledem ke zmíněnému malému počtu titulů je nemožné sestavit rozumné odvětvové skupiny. Užití dalších titulů mimo index nepomůže, protože jde o minimálně obchodované akcie. Výpočet odvětvové bety na základě jednoho nebo několika (nelikvidních) akcií bude zoufale nevalidní, ať už z hlediska reprezentativnosti, tak z hlediska statistické spolehlivosti. Ke statistické spolehlivosti se vrátíme v kapitole 4.
Z výše uvedeného vyplývá, že rM a zejména kvůli nelze pro český trh použít čistý postup. Bude prosto třeba se uchýlit ke kompromisnímu řešení, které spočívá v suplování údajů z lokálního trhu údajem z trhu, na kterém je k dispozici dostatek informací.
Tím samozřejmě vzniká prostor pro chybu způsobenou odlišným charakterem trhů. Tu lze buďto ignorovat5, nebo se můžeme různými způsoby snažit o kompenzování.6 Netřeba dodávat, že tyto korekce budou velmi subjektivní. Kompromisní řešení pro rM a a s tím spojené problémy budeme diskutovat odděleně, a sice v kapitole 3 a kapitole 4.
3 Kompromisní řešení výnosnosti akciového trhu Pokud se rozhodneme sáhnout po výnosnostech ze zahraničního trhu, nabízí se 3 koncepční způsoby, jak tak můžeme učinit. 1) Přejmout rM z rozvinutého trhu, například amerického. 2) Přejmout celou ekvitní prémii (tedy rM rF ) z rozvinutého trhu, například amerického 3) Provést bayesovský odhad, kdy omezená data lokálního trhu vhodně kombinujeme s daty z rozvinutého trhu, například amerického. Opět můžeme odhad provést na úrovni výnosnosti akciového trhu nebo na úrovni celé ekvitní prémie. 3.1 Přejmout rM z rozvinutého trhu. Pokud nemáme na lokálním (českém) trhu (1) dostatek titulů, aby byl index reprezentativní, co se týče firem a (2) dostatek běžně obchodovaných titulů, aby byl index podložen dostatkem obchodů, tedy aby reprezentoval skutečný trh a (3) (používáme-li historickou výnosnost a nikoli implikovanou výnosnost) dostatečnou historii, aby byl díky většímu množství dat měly výsledky vyšší statistickou spolehlivost, poohlédneme se po trhu (indexu), který potřebnými třemi charakteristikami disponuje. Z tohoto pohledu je nevhodnější americký trh, reprezentovaný nejčastěji užívaným akciovým indexem S&P 500, který disponuje 500 likvidními blue chips tituly s datovou řadou od roku 1928 (Damodaran 2013). 7 Alternativou k americkému trhu by mohlo být užívání dat z trhu Velké Británie či geograficky bližšího Německa. Výše zmíněné podmínky 1 a 2 lze označit podmínkou reprezentativnosti (strukturální a objemové) a podmínku 3 podmínkou statistické spolehlivosti. Chceme, aby trh, ze kterého data přejímáme, tyto podmínky splňoval co nejvíce. Zmiňme se krátce, jak splnění podmínek testovat. Podmínka reprezentativnosti. K ověření dostatečné diverzity titulů a jejich likvidity je nutno použít výpis kompozice titulů indexu (chceme, aby byla zastoupena všechna hlavní odvětví minimálně Jak nezřídka činí současná praxe ohledně faktoru. Jak často činí současná praxe ohledně bezrizikové míry či ekvitní prémie z důvodu rozdílů v inflaci či kredibilitě vlády vydávající bezrizikový instrument. Korekční mechanismy popsány v Mařík et al. (2011a) či Damodaran (2003). 7 Pokud se nám z nějakého důvodu nechce používat předdefinované indexy, může z jednotlivých titulů sestavit index vlastní; to je ale extrémně pracné. U známých indexů je navíc výhoda, že mnohé subjekty sestavují portfolia podle nich (např. ETF fondy), jsou proti nim vypsány futures kontrakty, apod., tudíž tyto indexy jdou více než jen „nějak vybranou“ skupinou akcií. 5 6
několika tituly), objem obchodů s tituly (je-li malý, cena titulu může být imaginární veličinou), a váhy titulů v indexu (jak je ukázáno v Tabulce 1, ceny jsou váženy obvykle přepočtenou tržní kapitalizací a je-li index dominován několika tituly, jako by ostatní tituly vůbec nezahrnoval). Hodnocení splnění podmínky je subjektivní záležitostí; asi se shodneme, že S&P 500 ji splňuje, kdežto PX ne, ale kde vede hranice, je nejasné. Podmínka statistické spolehlivosti (u historické výnosnosti). Index musí mít dostatečnou historii, aby se dalo říci, že jeho průměrná (nebo jiná střední, například mediánová) výnosnost je dobrým popisem reality. Přestože větší počet titulů v indexu zlepšuje též jeho statistické vlastnosti (specifické vlivy se mohou vzájemně kompenzovat), i nejširší index totiž v čase podstatně kolísá. Delší historie dokáže toto kolísání vlivem náhodných faktorů vyhladit. Měření statistické spolehlivosti se obvykle (Damodaran, 2013b) provádí následovně. V prvním kroku předpokládáme rozdělení výnosů indexu; většinou se uchylujeme k normálnímu rozdělení8. Za předpokladu stejnosti rozdělení jednoletých výnosů v čase pak můžeme spočítat intervaly spolehlivosti jako: [2]
P ˆ q P ˆ q ,
kde je nepozorovaná hodnota skutečné průměrné výnosnosti, P je její bodový odhad (průměr, který nám výpočtem vyšel), q je kvantil rozdělení (například q 1,96 pro 95% spolehlivost u normálního rozdělení) a n
x i´1
[3]
ˆ
i
x
2
n 1 n
je směrodatná odchylka vztažená k celému průměru, používáme-li průměr aritmetický. K analýze můžeme mít připomínky. (1) jedná o postup založený na aritmetickém průměru, přičemž se běžně doporučuje spíše geometrický (Damodaran, 2013b, Indro a Lee, 1997), nebo ještě lépe konzistentní průměr (vizte můj článek Dvořák, 2014a), (2) rozdělení jednoleté výnosnosti se mění v čase a (3) existuje provázanost výnosností (vysoký výnos v jednom období může být následován dalším vysokým výnosem nebo naopak korekcí) a (4) rozdělení jednoletých výnosů rozhodně nemá normální rozdělení (jak je ukázáno v Dvořák, 2014a). Interval podle [2] pak nemusí mít deklarovanou spolehlivost. Proto jej nazvěme intervalem pseudospolehlivosti. Pokud je interval počítán stejným způsobem pro různé datové zdroje, s trochou opatrnosti jej můžeme použít k poměření relativní spolehlivosti odhadů získaných z různých trhů, protože užší
8
Normalita je pro malý počet pozorování (období výnoností) používána proto, že s ní praktici rádi pracují. Pro velký počet pozorování vyplývá z Lindebergovy-Lévyho verze centrálního limitního teorému, že ať je skutečné rozdělení výnosů prakticky jakékoli, jejich průměr (tedy průměrná výnosnost indexu) má normální rozdělení.
interval indikuje vyšší přesnost. Absolutní velikost intervalu poslouží k hrubému posouzení přesnosti. 9 10
Příklad. Použijeme 85 ročních dat pro S&P 500 a 12 ročních dat pro index PX. Budeme zkoumat šířku intervalu jak z rovnice [2] pro aritmetický průměr, tak šířku intervalu vypočteného pro geometrický a desetiletý konzistentní průměr. Tabulka 2: Intervalové odhady průměrného výnosu akciového indexu
Trh (počet Průměr pozorování)
Výpočet
Průměr
USA (85) ČR (12) USA (85) ČR (12) USA (85) ČR (12) USA (85) ČR (85)
Normální rozdělení
11,26 11,53 11,26 11,53 9,31 6,96 9,51 7,43
Aritmetický průměr
Bootstrap Geometrický průměr
Bootstrap
Konzistentní průměr (10 let)
Bootstrap
Standardní chyba odhadu 2,17 9,25 2,16 8,85 2,30 9,20 2,29 9,15
Dolní mez (95%) 7,01 -6,60 6,97 -5,73 4,77 -10,32 5,00 -9,81
Horní mez (95%) 15,51 29,66 15,43 28,89 13,77 25,67 13,94 25,98
Zdroj dat: Damodaran (2013), Patria (2014). Poznámka: Číslo v závorce je počet ročních pozorování. Pro USA použita roční data pro S&P500 (Damodaran, 2013). Pro ČR použita data pro index PX (Patria, 2014). Bootstrap založen na 1 000 000 simulací hodnot průměrů ze skutečných dat.
Americké intervaly jsou poměrně široké, české jsou ale široké mnohonásobně více. Závěry platí nezávisle na užitém typu průměru či způsobu výpočtu. Přejaté průměry proto nikdy nebudou tak statisticky spolehlivé, jak bychom chtěli. Konec příkladu. Ze vzorce [3] vyplývá, že zvýšení počtu pozorování má na šířku intervalů nejvyšší vliv, když je pozorování málo; jak ukazuje bordeaux interval Obrázek 1, aby byly odhady průměrů smysluplně spolehlivé, je potřeba minimálně 50 pozorování. Nabízelo by se řešení ve zvýšení frekvence pozorování, např. použít měsíční data místo ročních. V ročních datech je ale již zohledněno určité vyhlazení vzniklé delším uvažovaným úsekem, tudíž roční data samotná musí mít vyšší spolehlivost než např. měsíční. Ze statistického hlediska by užitím měsíčních dat měla vzrůst volatilita (tedy čitatel výrazu [3]) a sériová provázanost mezi výnosy, což obojí sníží příznivý efekt na šířku pozorování. Výsledná šíře intervalů by se pak sice mohla podle vzorců [2] a [3] jevit nižší, to by ale spíše detekovalo neplatnost těchto vzorců (např. v tom smyslu, že neuvažují provázanost výnosů). Skutečná šíře intervalů by měla zůstat víceméně stejná.
9
Pro lepší měření spolehlivosti lze použít bootstrapový odhad intervalů spolehlivosti (Greene, 2012, s. 651655), který překovává výtku, že je interval počítán z jiného rozdělení, než skutečně nastává. Bootstrap ale nepřekoná výtku, že nemáme dostatek dat o každém scénáři a že jsou výnosy meziročně korelované (to pro americký a český index příliš neplatí (u dat z Tabulky 1 je korelace kolem 0,001, u českých dat 0,15) a v různých letech mají různý rozptyl. 10 K porovnání přesnosti stačí směrodatné odchylky souboru dat (čitatelé vzorce [3]) pouze za podmínky, že oba soubory mají stejné rozdělení (tedy, q je stejné). Obecně se bude stávat, že dva souboru se stejnou směrodatnou odchylkou budou mít různé kvantily. Například, normální rozdělení se střední hodnotou 0 a směrodatnou odchylkou 1 bude mít 95% hodnot mezi -1,96 a 1,96, kdežto rovnoměrné rozdělení se střední hodnotou 0 a směrodatnou odchylkou 1 bude mít 95% hodnot mezi -1,73 a +1,73. Pokud tedy chceme přesné hodnoty, musíme provádět bootstrapové výpočty, vše ostatní jsou pravidla palce.
Obrázek 1: Šířka intervalů spolehlivosti v závislosti na počtu pozorování
60 50 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141 151 161 171 181 191
Výnosnost % p.a.
Počet pozorování Historická výnosnost (95%) Implikovaná výnosnost (95%) Poznámka: Historická výnosnost. Užita roční směrodatná odchylka 20%, která je konzistentní s S&P 500 v Damodaran (2013) a Tabulce 1. Kalkulace vyplývá ze vzorců [2] a [3]. Byl použit kvantil normálního rozdělení 1,96. Střed intervalu vychází z průměrné hodnoty 11,26%. Implikovaná výnosnost. Užity vzorce [2] a [3] a směrodatný odchylka 6%, odpovídající předpokladu, že implikovaná výnosnost každé z firem je 5%-25%. Průměrná hodnota je škálována na 11,26%, aby měly oba intervaly stejný střed.
Podmínka statistické spolehlivosti (u implikované výnosnosti). U odhadu implikované výnosnosti není důležitá historická řada. Zde obdržíme buďto sérii výnosů realizovaný za všechny podniky, nebo sérii odhadů implikované výnosnosti pro všechny podniky. Pokud bychom uvažovali, že každý odhad, ať již odhad budoucího výnosu nebo implikované výnosnosti je zatížen nějakou náhodnou chybou, mohli bychom se ptát, zda máme v souboru dostatek podniků pro redukci této chyby. Takové posouzení ale podstatně komplikuje fakt, že nelze přijmout zjednodušující předpoklad, že chyba je podobná u každého podniku – zejména proto, že u rizikovějších podniků je rozptyl výnosů či rozptyl odhadů výnosnosti vyšší než u méně rizikových podniků. Měření nutné velikosti souboru by toto muselo (explicitně) brát v potaz, a bylo by pak daleko složitější (a více subjektivní) než v případě statistického zkoumání historické výnosnosti). Pokud si analýzu silně ulehčíme a předpokládáme, že podniky jsou stejné a pro odhad implikované výnosnosti použijeme aritmetický průměr implikovaných výnosností jednotlivých podniků, můžeme opět použít rovnice [2] a [3]. Pokud budeme opatrní a budeme mít za to, že implikovaná výnosnost akcie každého z podniků je v intervalu 5 – 25%, přičemž každá hodnota v tomto rozmezí je stejně pravděpodobná, dospějeme ke směrodatné odchylce kolem 6%.11 Jak ukazuje modrý interval v Obrázku 1, interval spolehlivosti bude podstatně užší, než v případě historické výnosnosti. Lze obecně předpokládat, že:
11
x 25
x 5
1 2 x 15 dx 33,33 6(%) . 25 5
1. Směrodatná odchylka odhadů implikované výnosnosti jednotlivých firem bude nižší než směrodatná odchylka výnosů akciového indexu, už proto, že výnos akcie může být záporný i velmi vysoký (např. nad 30% meziročně), kdežto u implikované výnosnosti je záporná implikovaná výnosnost i extrémně vysoká výnosnost podezřelá. 12 2. V indexu (nebo souboru firem, pro které počítáme implikovanou výnosnost) bude více společností, než je počet pozorování při výpočtu historické výnosnosti; v S&P 500 máme společností, kdežto u dat Damodaran (2013) máme pouze 85 dat. Oboje zužuje interval pseudospolehlivosti. Vzhledem k tomu, že rozdíly ve směrodatných odchylkách i počtu pozorování budou velmi výrazné, lze se velmi důvodně domnívat, že implikované odhady výnosnosti budou statisticky daleko spolehlivější.13 Důsledkem je, že by mohlo stačit méně akcií v indexu; je však třeba míti na paměti, že interval v Obrázku 1 je pouze orientační a při malém počtu akcií v indexu by mohl nastat problém nedostatku reprezentativnosti, zmíněný dříve14. Tudíž pro český trh bude stále nutné výnosnost trhu počítat ze zahraničních dat, nicméně trhy Velké Británie či Německa budou z tohoto pohledu zcela vyhovující. Slučitelnost přejímání s CAPM modelem. Nyní posoudíme, jak přejatý údaj ze zahraničního trhu bude korespondovat s ostatními komponenty CAPM modelu. Přejmeme-li rM z rozvinutého trhu
rM , pak CAPM v rovnici [1] dostane tvar (například amerického) a přejatou výnosnost označíme ~
rA rF ~ rM rF .
[4]
rM se rovná nepozorovatelnému rM (to, co pozorujeme na Pokud tedy nebude platit, že přejaté ~ lokálním trhu, jsme řekli, že je jeho nepoužitelný odhad), nastane problém. Odlišnost se navíc násobí beta faktorem a může tak dosáhnout nepříjemných rozměrů. Důvody odlišnosti mohou spočívat například v tom, že
Na rozvinutém trhu je jiná inflace než na lokálním. Pokud je na rozvinutém trhu nižší
rM bude nízké, kdežto rF inflace než na lokálním (to ale není dnešní případ ČR!), pak ~
rF ), což způsobí bude poměrně vysoké (vyšší než bezriziková míra z rozvinutého trhu ~
12
nepřirozeně nízký odhad nákladů vlastního kapitálu. Místo inflace si můžeme dosadit všechny faktory, které ovlivňují podmínky na peněžních trzích, a skrze ně podmínky na kapitálových trzích. Výnosnost kapitálu je na rozvinutém trhu jiná než na lokálním. Na rozvinutém trhu obvykle bývá vyšší kvůli podinvestovanosti méně rozvinuté ekonomiky, a protože se tam předpokládá vyšší růst produktivity v důsledku efektu dohánění. To se odrazí na
Pro srovnání, výnos desetiletých řeckých dluhopisů byl v nejkritičtějším období v březnu 2012 kolem 36% (uzavírací kurz, Bloomberg (2014), a to šlo tehdy o extrémně rizikový instrument. 13 Jistotu nemáme, protože intervaly byly postaveny na základě předpokladů, které nejsou vždy splněny, jedná se tedy o intervaly pseudospolehlivosti a nikoli o intervaly spolehlivosti. 14 Například, pokud bychom spočítali implikované výnosnosti pro 14 společností z indexu PX, jejich průměr by se jevil spolehlivější než odhad založený na 85 ročních datech pro USA. To ale nutně neznamená, že by takový odhad byl vhodnější pro praktické použití.
rM a přejímání výnosnosti z cizího trhu opět povede k nepřiměřeně tom, že rM ~
nízké ekvitní prémii. Riziko je na lokálním trhu vyšší (ať již riziko spojené s kredibilitou vlády, nejistými makroekonomickými podmínkami nebo s rizikem lokálního akciového trhu), což se opět projeví na nepřiměřeně nízké ekvitní prémii.
Všechny tyto problémy je pravděpodobně jednodušší korigovat na úrovni ekvitní prémie než na úrovni výnosnosti akciového trhu. Proto bude užitečné řešení popsané v následující podkapitole. 3.2 Přejmout celou ekvitní prémii rM rF V tomto přístupu přejmeme kromě výnosnosti akciového trhu i bezrizikovou míru z rozvinutého trhu, jejíž splatnost je stejná jako splatnost lokálního instrumentu, který bychom původně použili (běžně 10 let (Damodaran, 2003, Dvořák, 2014).
rM . Kromě K uplatnění tohoto řešení musí být splněny všechny výše uvedené podmínky kladené na ~ toho musí být užitá bezriziková míra dostatečně likvidní, aby byla pro tento účel použitelná. To ale nebývá problém ani pro lokální trh, natož pro rozvinutý, protože peněžní a dluhopisový trh jsou takřka vždy rozvinutější než kapitálový trh.
rM , ale i celá ekvitní prémie. Vzhledem k tomu, že Statistickou spolehlivost pak má splňovat nejen ~ bezriziková míra je daleko méně volatilní než akciový výnos a je s ním nepříliš silně korelovaná (Dvořák 2014), jsou závěry o spolehlivosti téměř identické spolehlivosti akciové výnosnosti.15 (vzorce stejné, akorát se dosadí místo výnosnosti ekvitní prémie za každé období.16 Příklad. Šířky pásem odhadů pro ekvitní prémie pocházející z amerického trhu (S&P oproti výnosnosti desetiletých dluhopisů) a českého trhu (PX oproti desetiletým spotovým sazbám odvozeným z korunových swapů) jsou k dispozici v tabulce níže. Tabulka 3: Intervalové odhady pro ekvitní prémii
Trh (počet Průměr pozorování)
Výpočet
Průměr
USA (85) ČR (10) USA (85) ČR (10) USA (85) ČR (10)
Normální rozdělení
5,88 2,14 5,88 2,14 4,20 -1,87
15
Aritmetický průměr
Bootstrap Geometrický průměr
Bootstrap
Standadní chyba odhadu 2,78 8,99 2,32 8,69 2,45 9,23
Dolní mez (95%) 0,43 -15,48 1,29 -15,21 -0,62 -19,44
Horní mez (95%) 11,33 19,77 10,37 18,61 8,95 16,41
Pokud užíváme aritmetický průměr pro výnosnost akciového trhu a historickou výnosnost bezrizikového instrumentu, pak lze do vzorců [3] a [4] dosadit v jednotlivých obdobích pozorované ekvitní prémie. Pokud užíváme geometrický nebo konzistentní průměr, je vhodné průměrnou výnosnost akciového trhu a průměrnou bezrizikovou výnosnost spočítat zvlášť a na základě jejich rozdílu přinést odhad ekvitní prémie. Intervaly spolehlivosti pak získáme na základě kolísání tohoto rozdílu s různými vstupními daty v každé bootstrapové simulaci. 16 To by platilo při odhadu aritmetickým průměrem, v ostatních případech je správné počítat oboje zvlášť, a standardní chyby bootstrapovat.
USA (85) ČR (10)
Konzistentní průměr (10 let)
Bootstrap
4,38 -1,44
2,43 9,17
-0,41 -18,98
9,10 16,61
Zdroj dat: Damodaran (2013), Patria (2014). Poznámka: Číslo v závorce je počet ročních pozorování. Pro USA použita roční data pro S&P500 a desetileté T-Bonds (Damodaran, 2013). Pro ČR použita data pro index PX a swapové sazby (Patria, 2014). Bootstrap založen na 1 000 000 simulací hodnot průměrů ze skutečných dat.
Za zmínku stojí 3 věci. Zaprvé, dramaticky širší intervaly pro ČR oproti USA. Zadruhé, poměrně velká šířka pásma i pro samotné Spojené státy. Šířka pásma je v důsledku další náhodné veličiny větší než šířka pásma pro výnosnost akciového trhu, navíc ovšem odhad 7-15 p.b. vypadá opticky přesvědčivěji než odhad 0-8 p.b., byť obojí dává stejnou spolehlivost. Zatřetí, pro ČR vychází ekvitní prémie záporná, protože za zmíněných 10 let rostl akciový trh méně, než byla bezriziková sazba17. To se v krátkém období může stát a vzniká další argument ve prospěch používání dlouhodobých dat. Konec příkladu. Přejme-li tedy celou ekvitní prémii ze zahraničního trhu, výsledná CAPM rovnice pak bude: [5]
rA rF ~ rM ~ rF .
Pokud máme za to, že lokální a zahraniční ekvitní prémie nejsou srovnatelné (například z důvodů zmíněných v předchozí podkapitole, je možné k výrazu [5] připočíst prémii/prémie země C , a to typu [6]
rA rF ~ rM ~ rF C
[7]
rA rF ~ rM ~ rF C ,
nebo
případně obojího typu [8]
rA rF ~ rM ~ rF C1 C 2 .
Některé možnosti, jak k prémii přistoupit, jsou uvedeny v Damodaran (2003). Je však třeba poznamenat, že základní prémie za inflaci je v rovnici [5] již obsažena, protože bezriziková míra stojící mimo závorku je nominální sazba z lokálního trhu a tudíž zahrnuje lokální inflaci. Ekvitní prémie je o aditivní inflaci očištěna.18
rF by měly pocházet ze stejné třídy instrumentů. Pokud používáme ke Je třeba dodat, že rF a ~ stanovení bezrizikové míry swapové sazby, obojí by mělo být ze swapů (korunových a např. dolarových). Používáme-li státní dluhopisy, pak by měly být použity všude (například dluhopisy české vlády a americké vlády).
17
Geometrický a konzistentní průměr jsou velmi ovlivněny dramatickým poklesem trhu mezi dubnem 2008 a dubnem 2009, kdežto aritmetický průměr je jím ovlivněn méně. 18 Pokud americká reálná bezriziková sazba je 1%, prémie za (očekávanou) inflaci je 0,7% a reálná výnosnost trhu 6%, pak lze očekávat, že nominální bezriziková míra bude zhruba 1,7% a nominální výnosnost trhu zhruba 6,7%. Jejich rozdíl 5% tak (zhruba) odpovídá rozdílu v reálných výnosnostech.
3.3 Bayesovské odhady Trpíme-li nedostatkem lokálních dat, nemusíme lokální data zahodit a použít přímo zahraniční data. Můžeme si též pomoci rozšířením souboru lokálních dat o informace z rozvinutého trhu. To se jeví jako intuitivně přirozené, problém ale nastává ve dvou bodech. Zaprvé, pokud existují podstatné rozdíly mezi domácím a zahraničním trhem a nejsme schopni je dobře kvantifikovat (pokud bychom byli, můžeme rovnou užít lepší data a o tento rozdíl je korigovat19), průměrováním dat z více trhů vzniká obtížně interpretovatelné a ospravedlnitelné číslo.20 Zadruhé, vzniká otázka, jakým způsobem informace z domácího i zahraničního trhu zohlednit. Optimální řešení (Vasicek 1973, Dvořák 2014b) má podobu [9]
2 2 ~ sM sM ~ , V rM 2 rM 2 2 2 sM ~ sM sM ~ sM
kde V je výsledná výnosnost, rM a ~ rM byly definovány dříve a s M a ~ s M jsou standardní chyby spojené s těmito odhady (vzorec [3] nebo sloupce Tabulek 2 a 3 nazvané „standardní chyba odhadu“). Podobně můžeme odhadovat celou ekvitní prémii, kdy do vzorce [9] nedosazujeme výnosnosti, ale rovnou ekvitní prémie a standardní chyby pocházejí z ekvitních prémií. Tyto postupy jsou teoreticky správné. Otázkou ovšem je, jaká data jsou v nich užita; nabízí se možnost užít data nejen z nejrozvinutějšího (nebo jinak preferovaného) trhu, ale z více trhů zároveň, například z USA, Británie i Německa, vážené mechanismem [9]. Neexistuje správná odpověď, čímž se ocenění stává velmi subjektivní záležitostí. Příklad. Odhad výnosnosti českého akciového trhu pomocí lokálních dat a amerických dat z Tabulky 2, užijeme-li aritmetický průměr při normálním rozdělení, bude [10]
V 11,53
2,17 2 9,25 2 11 , 26 11,274 . 9,25 2 2,17 2 9,25 2 2,17 2
Odhad české ekvitní prémie pomocí lokálních dat a amerických dat z Tabulky 3, užijeme-li opět aritmetický průměr při normálním rozdělení, bude [11]
V 2,14
2,78 2 8,99 2 5 , 88 5,553 . 8,99 2 2,78 2 8,99 2 2,78 2
V obou situacích dostal americký odhad výrazně vyšší váhu. Konec příkladu. Bayesovský odhad má dle našeho názoru smysl zejména tehdy, potřebujeme-li ospravedlnit volbu zahraničního vstupu, přičemž existuje i vstup český. Řekneme-li, že použijeme oba tolik, nakolik jsou oba spolehlivé, může znít velmi elegantně. 19
Například víme-li, že česká výnosnost akciového trhu je o 2 p.b. vyšší než americká, pak je optimální využít americká data a připočíst k nim tento rozdíl. 20 Vysvětlení bayesovské statistiky, že tímto postupem získáme nejlepší možný odhad, by pravděpodobně nebylo pro příjemce závěrů ani srozumitelné, ani uspokojivé.
3.4 Shrnutí kompromisních řešení Byly zde nabídnuty 3 implementace kompromisních řešení. Přestože každá je v určitých aspektech odlišná, jedná se o velmi podobná řešení, která budou fungovat dobře za podobných podmínek. Pokud bychom se měli vyslovit pro jedno z nich, doporučili bychom řešení druhé, a sice přejmout celou ekvitní prémii. Pokud používáme historická data, je vhodné použít co nejdelší datovou řadu o dostatečné reprezentativnosti, což by v praxi znamenalo uchýlit se na americký trh. Pokud používáme implikovanou prémii, bude stačit dostatečně reprezentativní trh bez požadavků na historické řady, a trhy rozvinutých zemí, např. Velké Británie či Německa, budou dostatečně spolehlivé.
4 Kompromisní řešení beta faktoru Požadavky na beta faktor jsou o poznání přísnější než požadavky kladené na výnosnost akciového trhu. Chceme totiž navíc, aby byla beta relevantní pro oceňovaný podnik. To v praxi znamená, že použijeme betu podniků podobného zaměření. Oceňujeme-li například českou telekomunikační společnost, potřebovali bychom betu typickou pro české telekomunikační společnosti. Jak již bylo zmíněno, na českém akciovém trhu je málo likvidních titulů a proto nelze najít dostatečný vzorek společností stejného odvětví. Beta použitá na jejich základě by byla
Nereprezentativní, protože každý podnik může mít svá specifika, a beta vypočtená z několika málo podniků je spíše jejich individuální beta než obecný vztah v celém odvětví. Pak není důvod, aby měl oceňovaný podnik stejnou betu. Nereprezentativní, protože má být posuzována korelace s široce definovaným trhem, a nikoli s několika málo (dominantními) tituly. Nereprezentativní, protože se může stát, že bude posuzována korelace významné firmy s indexem, v něm má tato firma velkou váhu (Damodaran, 2013a). Pak zkoumáme korelaci veličiny téměř se sebou samou, což vyústí v hodnotu velmi blízko jedné. Statisticky nespolehlivá, protože směrodatná chyba odhadu bety by byla poměrně značná.21
Beta se získává z rovnice [12] nebo, zcela mimořádně, [13], [12]
rA,i rM ,i u i
[13]
rA,i rF ,i rM ,i rF ,i u i
kde rA,i je pozorovaná výnosnost akcie společnosti patřící do posuzovaného odvětví, rM ,i je výnosnost celého indexu, rF ,i je bezriziková míra (výnosnost bezrizikového aktiva), ui je náhodné kolísání a a jsou neznámé, odhadované parametry. Přičemž parametr je ryze technický a po odhadu se „zahodí“, kdežto vypočtená je beta faktor, který se dále užívá v rovnici [1]. Z rovnic [12] a [13] vyplývá, že počet pozorování při odhadu je počet firem v odvětví násobený počtem období, za které se sledují výnosnosti. Počet firem je odvislý od množství podniků kótovaných na burze. Použít kratší období není příliš dobré, protože nám jde o trvalejší vztahy a nikoli o krátkodobé fluktuace. Z tohoto důvodu Damodaran (2013a) doporučuje měsíční nebo kvartální vztahy; přičemž čím delší je časová řada, tím dlouhodobější horizont se má použít. 21
Opět se vychází z toho, že skutečná beta je nepozorovaná, a to, co ze souboru firem zjistíme, je pouze její (lepší či horší) odhad.
Měření statistické spolehlivosti odhadu beta faktoru se měří podobně jako statistická spolehlivost akciové výnosnosti nebo ekvitní prémie. Intervalový odhad faktoru pomocí nejčastěji užívané metody nejmenších čtverců je za určitých předpokladů22: [14]
ˆ ˆ q ˆ ˆ q ,
kde je nepozorovaná hodnota skutečné bety, ˆ je její bodový odhad (průměr, který nám vyšel), q je kvantil normálního23 rozdělení (například q 1,96 pro 95% spolehlivost) a n
[15]
ˆ
e
2 i
1 n2 n
i 1
1 n
x i´1
i
x
, 2
n kde n je počet pozorování (počet firem násobený počtem období sledování výnosností) a e jsou odhady u , tj. rozdíly mezi skutečnou výnosností akcií a modelem (pravou stranou rovnice [12] nebo [13]) předpovězenými výnosnostmi. x jsou buďto rM ,i z rovnice [12] nebo rM ,i rF ,i z rovnice [13]. Ze vztahu [15] vyplývá, že intervaly [14] budou nejužší, pokud (1) CAPM model dobře prokládá data ( n
e i 1
2
i
n2
je malé), (2) máme mnoho pozorování (
1 je malé) a rozptyl vysvětlující proměnné, tedy n n
x x výnosnosti nebo nadvýnosnosti indexu nad bezrizikovou míru (
i´1
2
i
n
) je velký, aby bylo
možné lépe změřit její dopad na výnosnost akcie (Verbeek, 2012, s. 18). Jediné, s čím můžeme „hnout“ je počet pozorování. Tedy volíme takový trh, na kterém je mnoho firem a dlouhá historie spolehlivých pozorování. Příklad. Ukážeme, jaký vliv má počet dat na statistickou relevanci výpočtu beta faktoru. Použijeme k tomu index S&P500 a akcii Exxon Mobil (NYSE) za období 17. 9. 2004 - 11. 4. 2014. Máme k dispozici 20 půlročních pozorování, 40 čtvrtletních pozorování, 120 měsíčních pozorování, 240 čtrnáctidenních pozorování, 480 týdenních pozorování a 2402 denních pozorování.24 Velikost pásma vypočteného pomocí rovnice [14] jako funkce frekvence pozorování je následující.
22
Jedná se o Gaussovy-Markovovy předpoklady: zejména je důležité, aby
ui byly vzájemně nekorelované (v
čase i mezi jednotkami) a měly stejný rozptyl a aby byly nekorelované se zbytkem pravé strany (Verbeek 2012, Greene 2012). Dlužno říci, že v praxi většinou předpoklady splněny nejsou, přesto jsou takové odhady beta faktoru pro svou jednoduchost běžně užívány. 23 Ve skutečnosti se používá Studentovo t-rozdělení s n 2 stupni volnosti, přičemž pro větší počet pozorování (30 a více) jsou Studentovo a normální rozdělení takřka totožná. 24 5 následujících obchodních dní je označováno jako týden, 10 jako 14 dní, apod.
Obrázek 2: Intervalový odhad beta faktoru
1 Beta faktor 0,8 0,6 0,4
Bodový odhad Dolní mez (95%)
0,2
Horní mez (95%)
0 -0,2 1
5
10
20
60
120
Frekvence pozorování (obchodní dny) 1..denní, 5..týdenní, 20..měsíční, 60..čtvrtletní, 120..pololetní Zdroj dat: Patria (2014).
Je vidět, že s vyšším počtem pozorování roste spolehlivost a pseudospolehlivnostní pásmo se zužuje, přičemž nejvyšší efekt nastává pro malý počet pozorování. Jakožto akcie ropné společnosti není překvapivé, že její beta je menší než jedničková, nelze si ale nevšimnout, že vyšší frekvence pozorování vede k dramaticky vyššímu odhadu bety: od 0,3 pro 20 půlročních období až k 0,75 u čtrnáctidenního a kratšího období. Praktickým kompromisem mezi spolehlivostí a časovou by bylo volit měsíční (tj. 20 denní) intervaly. Konec příkladu. V příkladu je ilustrováno, mimo jiné, že (nepoužíváme-li nespolehlivá data kratší než měsíc), jediná akcie zdaleka nedává dostatečně spolehlivý odhad bety. Pokud nemůžeme použít lokální betu, což bylo ukázáno, že pro český trh nelze, je nutné použít náhradní řešení. Nabízí se použít 1) Betu z rozvinutého trhu. 2) Bayesovský odhad 3) Jiný způsob měření bety – relativní volatilita nebo účetní beta (Damodaran 2013a). 4.1 Beta z rozvinutého trhu. Přejmeme-li betu z rozvinutého trhu, která splňuje požadavky reprezentativnosti a statistické spolehlivosti, dostaneme model CAPM v podobě [16]
~ rA rF rM rF .
Klíčové pak bude, aby model odpovídal českému CAPM modelu, definovaném rovnicí [1], pokud by byla-l česká beta pozorovatelná, Jinými slovy, musí koncepčně platit
~
. Ke splnění jsou
zapotřebí dvě podmínky.
Stejný vztah k indexu. Podniky stejného odvětví na rozvinutém trhu musí mít podobný vztah k tamějšímu indexu jako podniky na lokálním trhu k lokálnímu indexu. I když může být celá
řada dílčích důvodů, proč toto nemusí platit, lze těžko nalézt pádné teoretické důvody, proč by např. automobilové podniky měly být procyklické v USA a kontracyklické v České republice. Konzistentní způsob odhadování. Způsob odhadování beta faktoru musí být konzistentní s modelem používaným pro oceňování.
Protože první podmínku můžeme ověřit těžko, zaměříme se výhradně na druhou podmínku. Nejčastější způsob odhadu beta faktoru je podle rovnice [12] (Damodaran 2013a, Vasicek 1973) a vede ke známému výrazu
[17]
n n n n rA,i rM ,i rA,i rM ,i i 1 i 1 cov(rA , rM ) i n1 . var(rM ) n n 2 rM ,i rM ,i rM ,i i 1 i 1 i 1
Povšimněme si, že v rovnici [17] se nevyskytuje bezriziková míra ( rF ) ani absolutní velikost výnosů trhu a oceňovaných referenčních podniků, pouze jejich kovariance ( cov(rA , rM ) ) a variance trhu (
var(rM ) ). To znamená, že
beta je proto přenositelná do modelů s libovolnou bezrizikovou mírou, tedy i s lokální bezrizikovou mírou, než je ta, užitá k odhadu bety na rozvinutém trhu beta je přenositelná do modelů s libovolnou průměrnou výnosností akcií (a ve spojení s bezrizikovou mírou do modelů s libovolnou ekvitní prémií).
Jinými slovy, za předpokladu, že mezi akcií podniku v daném odvětví a indexem panuje stejný vztah na rozvinutém trhu i na lokálním trhu, můžeme použít beta faktor odvozený na zahraničním trhu i pro lokální podnik. Pokud bychom použili méně užívaný25, leč dle našeho názoru správnější odhad pomocí rovnice [13], který posuzuje v každém období veličiny v relaci k bezrizikové míře, dostaneme pro betu výraz [18]
cov(rA , rM ) cov(rA , rF ) cov(rM , rF ) var(rF ) . var(rM ) var(rF ) 2 cov(rM , rF )
Přestože ve výrazu [18] opět nefigurují absolutní velikosti akciových výnosů a bezrizikových měr, ale pouze vztah mezi jejich pohyby, analýza se komplikuje. Rozborem lze zjistit, že beta odhadnutá podle vzorce [18] je slučitelná s jinou než v rovnici [13] použitou bezrizikovou mírou, pouze pokud nastane alespoň jedna z následujících dvou možností.
25
Odhad je dle našeho názoru méně užívaný zejména proto, že (1) je méně známý, (2) vyžaduje další vstup: bezrizikovou míru, čímž pak mohou vznikat diskuse, jakou bezrizikovou míru použít a (3) pokud by bezriziková míra fluktuovala v čase, porušilo by to předpoklad bezrizikovosti a konstrukce CAPM modelu, jak byl vyvinut (Sharpe, 1964) by nemusela teoreticky platit. Odhad [16] je empirickým protějškem teoreticky podloženému odhadu [15], který adresuje fakt, že teorie příliš neplatí.
Bezrizikové míry (lokální i zahraniční) jsou v čase konstantní a nekorelované s posuzovanou akcií ani tržním indexem, tj. var(rF ) cov(rA , rF ) cov(rM , rF ) 0 a totéž pro zahraniční trh.
Přesah výnosnosti oceňovaného (tj. lokálního) aktiva nad lokální bezrizikovou míru rF je proporcionální k přesahu výnosnosti lokálního aktiva nad zahraniční bezrizikovou míru použitou při odhadu beta faktoru ( ~ rF ). Totéž musí platit pro výnosnosti tržního indexu. Neboli, musí existovat jediné číslo k splňující podmínku [19] pro všechna pozorování [19]
k
rA, i ~ rF , i rA, i rF , i
rM , i ~ rF , i rM , i rF , i
,
kde tilda znační údaj ze zahraničního trhu použitý při odhadu beta faktoru. Obě podmínky nikdy nebudou dokonale splněny. Lze si však z nich vzít závěr, že (1) pokud jsou bezrizikové míry dostatečně nekorelované s výnosy posuzovaných akcií a akciovými indexy a dostatečně málo kolísající, nebo (2) prémie za tržní riziko budou přibližně proporcionální při užívání lokálních i ve výpočtu beta faktoru použitých zahraničních bezrizikových instrumentů, je možné používat bety odvozené na zahraničním trhu společně s lokálními bezrizikovými měrami. Závěrem se dá říci, že beta je, byť s přivřením očí v druhém případě, přenositelná do jiných modelů. 4.2 Bayesovský odhad Podobně jako u Bayesovského odhadu akciové výnosnosti připadá v úvahu doplnit lokální nedokonalý odhad daty z vyspělého trhu. S metodou přišel Vasicek (1973). Pro optimální váhy jednotlivým odhadům by platilo (Vasicek, 1973, Mařík et al. 2011)
[20]
B
s ~
2
s s ~ 2
s
~
2
2
s s ~ 2
2
,
kde s jsou standardní chyby odhadů vypočtené podle vzorců [15]. Námitky jsou kromě výtky extrémně špatného charakteru lokálních dat podobné jako u bayesovských odhadů výnosnosti akciového trhu či ekvitní prémie, konkrétně obtížná interpretovatelnost a subjektivita ohledně užitých dat ze zahraničního trhu. Pro přenositelnost beta faktoru do modelu jiné země platí totéž, co bylo zmíněno pro přímé přijetí beta faktoru diskutované v předchozí kapitole. 4.3 Jiný způsob odhadu beta faktoru Problémům s regresními odhady beta faktoru se lze vyhnout také tím, že použijeme metodu, kde se používá jiný typ dat, nebo kde se nepoužívají historická data vůbec. Možné přístupy mohou být tyto.
Metoda bety z empirických funkcí. (Damodaran 2013a, Mařík et al 2011). Jedná se o rovnice, kdy na rozvinutém trhu jsou stanoveny koeficienty, jak jednotlivé faktory přispívají k betě, například [20]
B k1 x1 k 2 x 2 ... k n x n ,
kde k jsou koeficienty a x jsou informace pocházející z oceňovaného podniku. Pokud se koeficienty odněkud získají, lze dosazením informací pro oceňovaný podnik získat odhad jeho bety. Zádrhel spočívá v tom, že z rozvinutého trhu sice nepřenášíme betu jako takovou, ale přenášíme v podmínkách rozvinutého trhu odvozené koeficienty. Ty pak nemusí být v souladu s reáliemi lokálního trhu. Navíc koeficienty nejsou Boží pravda; vztahů typu [20] lze vymyslet a odhadnout nespočet. Hodnoty koeficientů jsou obvykle poplatné okamžiku sestavení a souboru podniků, na kterých byly odvozeny; pro jiné období a jiný soubor podniků mohou být i značně odlišné.
Účetní beta. (Damodaran 2013a). Způsobem, jak se zcela vyhnout problémům s přejímáním regresních bet je použít účetní ukazatel a sledovat korelaci ukazatele přímo pro oceňovaný podnik nebo pro skupinu podniků podobného zaměření ( i P ) s ukazatelem pro všechny podniky akciového indexu, případně, pro jinak definovaný „trh“ ( i M ). Odhad bety pak má podobu [21]
cov(i M , i P ) var(i P )
,
kde kovariance a variance jsou počítány v čase. Za indikátor je možné volit různé účetní veličiny. Doporučuji volit tržby, protože ty se dají hůře účetně zkreslovat v porovnání se ziskem (Damodaran 2013a). Navíc korespondují s běžnou představou o cykličnosti odvětví: například cyklické odvětví vnímáme jako odvětví, kdy mají hodně zakázek v konjunktuře a málo v recesi. Nákladové položky jsou pak více v režii jednotlivých firem a jsou proto hůře zobecnitelné. I když připouštíme, že prosperitu firmem neodráží pouze tržby, zdá se, že tržby jsou to nejlepší, co účetnictví nabízí. Výhoda oproti betě z kapitálového trhu pro lokální trh je, že o Mnohé podniky nejsou kótovány na kapitálovém trhu, ale údaje z jejich závěrek existují; čímž máme k dispozici širší soubor dat, jak z hlediska zastoupených odvětví, tak z hlediska počtu firem. o Lze snadno sestavovat indexy: nemusíme se bát, že výsledek zkreslí výplaty dividend, apod. o Lépe najdeme srovnatelné podniky, pokud oceňovaný podnik není kótován na burze. Nevýhody jsou, že
Máme pouze účetní data, nikoli tržní data. Jednotlivé firmy se v čase vyvíjejí, což je nutné kompenzovat (buďto dostatečně širokým počtem firem, abychom popsali celé odvětví, nebo každou firmu rozložit na trendový a cyklický vývoj).
Modfikací by bylo vzít si publikované statistické údaje pro velikost tržeb v odvětví podle činnosti (NACE) a benchmarkovat dané odvětví proti všem odvětvím dohromady (HDP).
Subjektivní metody. Existují metody (Mařík et al. 2011a), které podle subjektivního hodnocení řady faktorů oceňovaného podniku přiřadí velikost bety, využívaje při tom faktu, že průměrná beta by měla vycházet kolem jedné. Zde není problém s daty, protože v podstatě žádná nejsou vyžadována, problém je v souladu s tržností.
4.4 Shrnutí kompromisních řešení beta faktoru Zde se nabízí dvě možná řešení. Zůstaneme-li věrni klasické metodě regresního odhadu, je nutné použít data z rozvinutého trhu a kvůli podmínce relevantnosti a statistické spolehlivosti (je potřeba mít celkem kolem 1 000 pozorování), budou nejvhodnějším kandidátem Spojené státy. Fakt, že beta faktor je kovariance dělená rozptylem umožní za podmínky stejného vztahu odvětví k indexu na různých trzích beta faktor přenášet. Dosud příliš neprozkoumanou alternativou je nepoužít tržní data, ale například účetní bety, které lze na českém trhu získat z výkazů firem. Z účetních dat doporučujeme volit tržby.
5 Závěr Pro mnohé lokální trhy, český nevyjímaje, je velkým problémem naplnit údaje potřebné do CAPM modelu, zejména výnosnost akciového indexu a beta faktor. Řešením pak je přejímání údajů z rozvinutého trhu. Při rozhodování, zda použít lokální data nebo zahraniční data, a případně která zahraniční data volit, je třeba prozkoumat, nakolik splňují volená data podmínku reprezentativnosti (dostatek likvidních titulů) a statistické spolehlivosti (výsledný průměr je dostatečně přesný). Rozhodneme-li se přejmout zahraniční údaj pro výnosnost akciového indexu, máme dvě možnosti. Volíme-li historickou výnosnost, je nutné použít co nejdelší data, a volbou proto bude americký trh. Přesto výsledky nebudou příliš spolehlivé. Proto se zdá lepší použít přístup přejaté implikované prémie, kde není potřeba historická databáze a stačí pouze dostatek likvidních titulů (podmínka reprezentativnosti); proto jsou vhodné i trhy Velké Británie, Německa či dalších rozvinutých států. Výsledný odhad je pak nejen více tržně konformní než v případě historické prémie, ale i statisticky spolehlivější a kvůli možnosti volit geograficky bližší trh patrně i věcně relevantnější. Rozdíl mezi trhy lze dále uplatnit korekcí ekvitní prémie. Podmínky kladené na beta faktor jsou přísnější než z výnosnosti akciového trhu, protože je potřeba dostatečný počet firem v daném odvětví a dostatečná délka časových řad, aby byl odhad spolehlivý. Kandidátem proto budou především Spojené státy. Pozitivní je, že beta je, za běžně přijímaného předpokladu identického vztahu odvětví k celému trhu v lokální i zahraniční zemi, konceptuálně přenositelná do jiných zemí či modelů. Alternativním řešením problému přejímání beta faktoru je užívání lokálních dat (například o tržbách). To je dosud málo probádanou oblastí.
Literatura [1] Bloomberg (2014). Greece Govt Bond 10 Year. [cit 19.4.2014]. http://www.bloomberg.com/quote/GGGB10YR:IND/chart [2] Damodaran, A. (2013). Annual Returns on Stock, T.Bonds and T.Bills: 1928 - Current. [cit. 15.7.2013]. Dostupné na http://people.stern.nyu.edu/adamodar/New_Home_Page/datafile/histretSP.html. [3] Damodaran, A. (2013a). Estimating Risk Parameters. [cit. 14.12.2013]. Dostupné na http://people.stern.nyu.edu/adamodar/pdfiles/papers/beta.pdf. [4] Damodaran, A. (2013b). Equity Risk Premiums (ERP): Determinants, Estimation and Implications – The 2013 Edition. [cit. 11.1.2014]. Dostupné na http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2238064.
[5] Damodaran, A. (2008). What is the riskfree rate? A Search for the Basic Building Block. Stern School of Business, New York University. [cit. 7.7.2013] Dostupné na: http://people.stern.nyu.edu/adamodar/pdfiles/papers/riskfreerate.pdf. [6] Damodaran, A. (2003). Measuring Company Exposure to Country Risk: Theory and Practice. [cit. 11.1.2014]. Dostupné na http://people.stern.nyu.edu/adamodar/pdfiles/papers/CountryRisk.pdf. [7] Dvořák, M. (2014). Užití swapových sazeb pro stanovení diskontní míry se zřetelem na Českou republiku. Oceňování 7, 1, 3-26. [8] Dvořák, M. (2014a). Estimating Yields: Arithmetic, Geometric, and Horizon-Consistent Average. Unpublished manuscript. [9] Dvořák, M. (2014b). On Averaging-Out Errors Using Substandard Indicators. Unpublished manuscript. [10] Greene, W. H. (2012). Econometric Analysis. 7th Edition. Harlow: Pearson. [11] Indro, D. C. – Lee, W. Y. (1997): Biases in Arithmetic and Geometric Averages as Estimates of Long-Run Expected Returns and Risk Premia. Financial Management, 1997, vol. 26, no. 4, pp. 81-90. [12] Mařík, M. et al. (2011). Metody oceňování podniku pro pokročilé: Hlubší pohled na vybrané problémy. 1. vydání. Praha: Ekopress. [13] Mařík, M. et al. (2011a). Metody oceňování podniku: Proces ocenění, základní metody a postupy. 3. upravené a rozšířené vydání. Praha: Ekopress. [14] Patria Finance (2014). Akcie – Akciová databanka. [cit. 11.4.2014]. Dostupné na http://www.patria.cz. [15] PSE (2014). PX Index Base as of 4/10/2014. [cit 11.4.2014 ]. Dostupné z http://www.pse.cz/Statistika/Burzovni-Indexy/Default.aspx?bi=1 [16] PSE (2014a). Pravidla pro výpočet indexů PX a PX-TR Burzy cenných papírů Praha. Verze 1.3, březen 2014. [cit. 11.4.2014] Dostupné z http://ftp.pse.cz/Info.bas/Cz/PX_pravidla_pro_vypocet.pdf. [17] PSE (2013). Ročenka 2013/Fact Book 2013. [cit 11.4.2014]. Dostupné na http://ftp.pse.cz/Statist.dta/Year/fb2013.pdf. [18] Sharpe, W. F. (1964). Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk. Journal of Finance 19, 3, s. 425-442. [19] Vasicek, O. A. (1973). A Note on Using Cross-Sectional Information in Bayesian Estimation of Security Betas. Journal of Finance, 28, 5, s. 1233-1239. [20] Verbeek, M. (2012). A Guide to Modern Macroeconomics. 4th Edition. Chichester: John Wiley & Sons.
