BENTUK - BENTUK IDEAL PADA SEMIRING (
(
)
)
Dian Winda Setyawati Jurusan Matematika FMIPA ITS Surabaya ABSTRAK. Diberikan R semiring dan I himpunan bagian dari R maka I disebut ideal pada R jika dan maka dan Pada semiring terdapat jenis-jenis ideal dimana pengertian jenisjenis ideal tersebut identik dengan jenis – jenis ideal pada ring. Pada semiring ( ) telah diperoleh bentuk – bentuk ideal substraktif, Q-ideal, Ideal semiprima dan ideal primary. Pada paper ini akan ditunjukkan bentuk – bentuk ideal substraktif, Q-ideal, Ideal semiprima dan ideal primary pada semiring ( ( ) ) dimana ( ) merupakan himpunan matriks berukuran nxn atas bilangan bulat taknegatif Kata Kunci : ideal substraktif, Q-ideal, Ideal semiprima dan ideal primary
1. PENDAHULUAN Pada saat ini banyak paper yang membahas tentang semiring serta jenis-jenis ideal pada semiring. Pada paper Gupta & Chaudhari [2] telah menunjukkan bentuk ideal prima ) Selanjutnya pada paper Setyawati [3] menunjukkan bentuk ideal pada semiring ( ( ) ). Dari hasil ini, tahun, Setyawati dkk [4] melanjutkan prima pada semiring( ) yaitu ideal substraktif, untuk menunjukkan bentuk – bentuk ideal pada semiring ( Q-ideal, Ideal semiprima dan ideal primary. Pada paper ini akan ditunjukkan bentuk – bentuk ideal yaitu ideal substraktif, Q-ideal, Ideal semiprima dan ideal primary pada ( ) ) dimana ( ) merupakan himpunan matriks berukuran nxn semiring ( ( ) merupakan generalisasi dari atas bilangan bulat taknegatif . Himpunan himpunan .. 2. TINJAUAN PUSTAKA Sebelumnya akan diberikan beberapa definisi yang akan digunakan untuk membahas ( ). Berikut ini akan diberikan definisi dari bentuk – bentuk ideal pada semiring semiring yang merupakan generalisasi dari ring dimana terhadap operasi penjumlahan elemennya tidak memiliki invers Definisi 2.1 Himpunan tak kosong jika (i) ( (ii) ( (iii) (
terhadap operasi biner + dan
ditulis (
) disebut semiring
) bersifat assosiatif, komutatif dan mempunyai elemen identitas 0 ) bersifat assosiatif ) bersifat distributive
Selanjutnya akan diberikan definisi ideal dan jenis – jenis ideal pada semiring yang identik dengan pengertian pada ring
1
Bentuk - bentuk ideal pada semiring (
(
)
)
Definisi 2.2 [1,2] Diberikan semiring dan berlaku
dan subset dari . I disebut ideal pada R jika untuk setiap dan
Berikut ini akan diberikan jenis-jenis ideal pada semiring pada artikel ini: 〈 〉 { }, utama yang dibangun oleh . (ii) Ideal I disebut ideal subtractive jika (iii) Ideal I disebut ideal prima jika , (iv) Ideal I disebut ideal semiprima jika (v) Ideal I disebut ideal primary jika
(i) Ideal
yang akan digunakan
disebut ideal utama pada , yaitu ideal , , maka . maka atau , maka , untuk semua . dan maka untuk suatu
(vi) Ideal I disebut Q-ideal jika ada himpunan
subset dari
,
sehingga
⋃ , maka (
dan jika
)
(
)
Selanjutnya akan diberikan bentuk – bentuk ideal substraktif, Q-ideal, Ideal ) yang merupakan hasil dari semiprima dan ideal primary pada semiring ( penelitian sebelumnya. Teorema 2.1 [4] Setiap ideal dengan
pada
semiring
Akibat 2.1 [4] Ideal sejati I dari semiring ( { }
(
)
berbentuk
) adalah maksimal jika dan hanya jika
〈
〉
Teorema 2.2 [4] Ideal
pada semiring (
) adalah substraktif jika dan hanya
〈 〉 untuk suatu
Sebagai gambaran 〈 〉 dan 〈 〉 merupakan ideal subtraktif dari semiring 〈 〉 ( ) tetapi 〈 〉 bukan ideal substraktif dari semiring ( ) sebab tetapi 1 〈 〉 Teorema 2.3 [4] Ideal pada semiring (
Seminar Nasional Matematika 2014
) adalah Q-ideal jika dan hanya
2
〈 〉 untuk
Prosiding
Bentuk - bentuk ideal pada semiring (
(
)
)
Teorema 2.4 [4] Ideal sejati tak nol dan hanya jika
〈 〉 untuk pada semiring ( ) adalah semiprima jika , adalah faktor prima yang berbeda dari x
Teorema 2.5 [4] 〈 〉 untuk Ideal sejati tak nol hanya jika bilangan prima
pada semiring (
) adalah primary jika dan
3. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bagian ini akan ditunjukkan bentuk – bentuk ideal substraktif, Q-ideal, Ideal ( ) semiprima dan ideal primary pada semiring Teorema 3.1 [3] Diberikan
..., (
(
) Himpunan
dimana { |
i
=
〈
1, 2, 3, 4,...n dan 〉} merupakan ideal pada
)
adalah substraktif jika dan hanya jika
)
Teorema 3.2 { | dimana
Ideal
} pada
(
Bukti : (→) Andaikan terdapat maka terdapat (
dimana dimana akibatnya
dan maka sehingga N bukan ideal substraktif pada
)
(←) Jelas Dari teorema diatas dapat digambarkan pada contoh berikut ini : Contoh 2.1 { | } merupakan ideal subtraktif pada ( ) Contoh 2.2 { | } merupakan ideal subtraktif pada ( ) Contoh 2.3 { | } bukan merupakan ideal subtraktif pada
(
Seminar Nasional Matematika 2014
) sebab
[
] ,
3
[
]
Prosiding
Bentuk - bentuk ideal pada semiring (
[
]
[
(
]
)
)
[
tetapi
]
sebab
Teorema 3.3 Ideal dimana
{ |
} pada
(
)
〈 〉
adalah Q-ideal jika dan hanya jika
dan
{
{ |
} { }
{
}
Bukti : (→) Andaikan terdapat
dimana
untuk
maka
anggota dari dapat diurutkan dari yang terkecil dan selisih dua elemen berurutan tidak konstan sehingga jika terdapat ( ) ,⋃ ( ) maka tidak berlaku dengan (←) jelas dari teorema Q-ideal pada Dari teorema diatas bisa diberikan contoh sebagai berikut : Contoh 3.4 { | { | dimana
{ } yaitu
} merupakan Q-ideal pada ( ) dengan } maka akan terbentuk 6 himpunan
{
(1)
[
]=
]|
(2)
[
]
{[
]|
}
(3)
[
]
{[
]|
}
(4)
[
]
{[
]|
}
(5)
[
]
{[
]|
}
(6)
[
]
{[
]|
}
={[
}
Terlihat bahwa ( dan jika
, maka (
Seminar Nasional Matematika 2014
)
)
⋃
(
)
4
Prosiding
Bentuk - bentuk ideal pada semiring (
(
)
)
Teorema 3.4 Ideal
{ |
〈 〉} pada atau
( ,
) adalah semiprima jika dan hanya jika untuk adalah faktor prima yang
berbeda dari Bukti : Jelas dari Teorema ideal semiprima pada semiring Contoh 3.5 { | ( ) Contoh 3.6 { | pada (
〈 〉
〈 〉
〈 〉 ) sebab
〈 〉
} merupakan ideal semiprima pada
〈 〉 〈 〉 〈 〉 sedangkan
} bukan merupakan ideal semiprima
Dari teorema ideal primary pada maka untuk membentuk ideal primary pada ( ) , elemen - elemen pada diagonal dapat berada pada himpunan dengan pembangun yang sama juga dapat berada pada himpunan dengan pembangun yang berbeda. Kasus 1 (apabila ada elemen-elemen pada diagonal yang berada pada himpunan dengan pembangun yang sama) { | 〈 〉} . Jika terdapat Diberikan himpunan ( ) dimana 〈 〉 dimana ( ) tetapi dan maka N merupakan ideal pada tidak primary Kasus 1 dapat dijelaskan sebagai berikut : Tanpa
mengurangi
⟦
⟦
keumuman ⟧ dan
⟧
dan
〈 〉
misalkan ⟦
tetapi
maka
terdapat
⟧ dimana
untuk setiap
sebab
〈 〉
Terlihat bahwa tidak primary. Kasus 2 (apabila ada elemen-elemen pada diagonal yang berada pada himpunan dengan pembangun yang berbeda) { |
Diberikan himpunan ( ) dimana 〈 〉 dimana dan , dan ( ) tetapi tidak primary Kasus 2 dapat dijelaskan sebagai berikut : Seminar Nasional Matematika 2014
5
〈 〉}. Jika terdapat 〈 〉 maka N merupakan ideal pada
Prosiding
Bentuk - bentuk ideal pada semiring (
(
⟧ dan
)
〈 〉 dan
Tanpa mengurangi keumuman misalkan ⟦
)
⟦
〈 〉 maka terdapat
⟧ dimana
⟦
⟧
〈 〉 Terlihat bahwa tidak dan tetapi untuk setiap sebab primary. Dari kasus 1, kasus 2 dan teorema dari ideal primary pada terbentuklah ideal ( ) sebagai berikut: primary pada Teorema 3.5 { | 〈 〉} pada ( ) adalah primary jika dan hanya jika Ideal 〈 〉 { | { | } atau Bukti : ( ) bukan primary jika (→) Dari kasus 1 dan kasus 2 terlihat bahwa Ideal dari elemen elemen pada diagonal berada pada himpunan dengan pembangun yang sama, demikian juga elemen pada diagonal berada pada himpunan dengan pembangun yang ( ) maka berbeda sehingga agar N merupakan ideal primary pada 〈 〉 { | { | } atau (←)
Dari
teorema
〈 〉 { | { | atau ideal primary pada
ideal
primary
pada
maka
jelas
〈 〉
Contoh 3.8 { |
〈 〉
(
)
sebab
}
bahwa }
} (
merupakan
)
Contoh 3.7 { |
}
} merupakan ideal primary pada
(
)
} bukan merupakan ideal primary pada [
tetapi
Seminar Nasional Matematika 2014
[
]
[ ]
] sebab
6
dimana
[
]
〈 〉
Prosiding
Bentuk - bentuk ideal pada semiring (
(
)
)
4. KESIMPULAN Pada paper ini telah diperoleh bentuk – bentuk ideal substraktif, Q-ideal, Ideal ( ) sebagai berikut : semiprima dan ideal primary pada semiring { | } pada (i) Ideal ( ) adalah substraktif jika dan hanya jika dimana { | } pada (ii) Ideal ( ) adalah Q-ideal jika dan hanya jika 〈 〉 dimana dan { } { } { | { } { |
〈 〉} pada
(iii)
Ideal
(iv)
atau yang berbeda dari { | 〈 〉} pada Ideal { | atau
(
) ,
adalah semiprima jika dan hanya jika untuk adalah faktor prima
(
) adalah primary jika dan hanya jika
〈 〉 { |
} } DAFTAR PUSTAKA
[1] Chaudhari, J.N. and K.J Ingale , A Note on Strongly Euclidean Semirings, International Journal of Algebra, 6, 271-275, 2012. [2] Gupta, V. & J.N. Chaudhari, Prime Ideals in Semiring, Bulletin of Malaysian Mathematical Science Society. Http: //math. usm. my /bulletin,2009. ( ) , Jurnal Matematika [3] Setyawati, D.W., Ideal Prime pada Semiring Jurusan Matematika FMIPA Universitas Diponegoro Semarang; 14: 1418,2011. [4] Setyawati DW, Soleha dan R. Rimadhany, Bentuk – Bentuk Ideal pada ), akan diterbitkan pada Jurnal Semiring ( ) dan Semiring ( Sains dan Matematika , FMIPA , Universitas Negeri Surabaya Edisi Oktober 2014
Seminar Nasional Matematika 2014
7
Prosiding
