BEBERAPA NASKAH KUNO MATEMATIKA Sumardyono, M.Pd.
Plimpton 322
Bangsa-bangsa yang menetap di Mesopotamia (sekarang daerah Iraq dan sekitarnya) antara lain Sumeria, Assiria, dan Babilonia. Tetapi yang memiliki pengetahuan matematika yang tinggi adalah Babilonia, terutama masa Nebukadnezar. Tidak kurang dari 50.000 naskah-naskah kuno (kebanyakan di batu) yang tersimpan di Yale, Columbia, dan Paris berasal dari jaman Babilonia. Sebanyak 300-an di antaranya tentang matematika, yang meliputi 200 naskah berisi tabel matematika. Di Universitas Columbia, terdapat katalog hasil olahan naskah-naskah kuno Mesopotamia oleh G. A. Plimpton yang berisi masalah matematika. Katalog itu bernomor 322 sehingga dikenal sebagai Plimpton 322. Naskah tersebut berisi tabel matematika dari jaman antara 1900 SM hingga 1600 SM. Naskah Plimpton 322 disusun kembali oleh Neugebauer dan Sache tahun 1945, dan ternyata memiliki tabel yang menakjubkan. Tabel pada naskah itu terdiri atas tiga kolom bilangan, yang ternyata bersesuaian dengan tripel Pythagoras, yaitu a2 – b 2 dan c2 = a 2 + b2 , di mana bilangan-bilangan a dan b yang bersesuaian merupakan bilangan-bilangan prima relatif dan membentuk tripel Pythagoras bersama harga c. Dengan cara lain, triple yang bersesuaian dengan tabel Plimpton ini adalah (2uv)2 + (u – v)2 = (u + v)2, yang oleh Anglin disebut Tripel Babilonia. Sifat menarik lainnya, tabel ini ternyata menunjukkan harga yang sangat dekat dengan nilai sec2 A, dengan A menurun dari 45 o hingga 31o .
Selain Plimpton 322, terdapat pula prasasti yang dikenal dengan naskah Yale (200 SM), yang berisi tabel n 3 + n2 untuk menyelesaikan persamaan, termasuk persamaan kubik bahkan persamaan simultan yang menuju ke persamaan kuartik. Juga ada prasasti Susa yang menampilkan perbandingan luas dari segibanyak bersisi 3, 4, 5, 6, dan 7. Dari sini pula kita temukan perbandingan segitujuh beraturan dengan lingkaran, yang menunjukkan bilangan 31/8 sebagai hampiran untuk harga π.
Papirus Ahmes atau Papirus Rhind
Kebanyakan peninggalan naskah matematika Mesir Kuno berupa papirus. Ada banyak papirus matematika, beberapa yang terpenting berkenaan dengan matematika adalah Papirus Ahmes dan Papirus Moskow. Ahmes adalah nama penulis sebuah papirus Mesir Kuno yang terkenal. Papirus Ahmes yang berasal dari 1650 SM, juga dikenal dengan nama Papirus Rhind. Alexander Rhind memperolehnya di Mesir tahun 1858 dan disimpan Museum Britis tahun 1865. Papirus ini berisi 85 soal matematika. Kebanyakan pecahan dari naskah Mesir memiliki pembilang satu, sehingga pecahan yang berbentuk resiprokal, 1 kini disebut dengan Pecahan Mesir atau Pecahan Unit (Unit n
Fractions). Pecahan-pecahan lain dinyatakan sebagai jumlah pecahan-pecahan berpembilang satu. Pada Papirus Ahmes terdapat tabel bilangan berbentuk 2 , untuk n = 5 hingga 101. n
Diperkirakan penguraian diperoleh dengan menggunakan rumus: 2 pq
1
= p.
p+q 2
1
+ q.
2 n
=
1 n +1 2
+
1
atau
n ( n +1) 2
. Disinyalir Bangsa Mesir Kuno juga telah mengenal bilangan negatif.
p+q 2
Positif dengan lambang kaki melangkah ke kiri, sedang negatif dengan kaki melangkah ke kanan. Soal-soal Papirus Ahmes menunjukkan pengetahuan bangsa Mesir Kuno akan penggunaan “the rule of three” (Aturan Tiga), yaitu penggunaan perbandingan senilai. Dengan notasi kita, a/b= x/c maka x = a/b. c . Soal-soal Papirus Ahmes juga memuat penggunaan “the rule of false position” (metode posisi salah). Suatu soal menyatakan: Terdapat sekumpulan benda. Jumlah setengah bagian, sepertiga bagian, dan seperempat bagiannya sama dengan 26. Berapa banyak kumpulan benda itu? Soal ini diselesaikan penulis dengan metode posisi salah. Sebut saja dulu banyak benda 12. Tetapi ini berakibat jumlah setengah bagian, sepertiga bagian, dan seperempat bagiannya sama dengan 13. Karena 26 = 2 × 13, maka jumlah benda yang benar adalah 2 × 12 yaitu 24. Papirus Ahmes, terutama pada soal nomor 56, juga menunjukkan perhatian pada dasar-dasar trigonometri serta teori similaritas segitiga. Pada kebanyakan papirus, perkalian dilakukan dengan cara penjumlahan kelipatan dua. Metode ini dengan bentuk yang lebih baik kini dikenal sebagai Metode Perkalian Petani Rusia. Contohnya untuk perkalian 70 × 13 dikerjakan seperti di bawah ini. Bilangan kolom pertama dikali dua, bilangan kolom kedua dibagi dua dengan mengabaikan sisa 1. 70 140 280 560
13 6 3 1
/ / /
Maka jumlah bilangan kolom pertama yang bersesuaian dengan bilangan ganjil di kolom kedua menunjukkan hasil perkalian: 70 × 13 = 70 + 280 + 560 = 910. Pembagian juga dilakukan dengan cara melipatduakan seperti itu. Bangsa Mesir Kuno, juga mengenal masalah persamaan kuadrat, dan penyelesaiannya menggunakan Metode Posisi Salah. Dari soal-soal geometri pada Ahmes (dan Moskow) disimpulkan bahwa bangsa Mesir Kuno telah mengenal rumus-rumus menentukan luas dan volum, walaupun ada rumus yang kurang tepat. Luas lingkaran mereka nyatakan sebagai kuadrat dari 8 kali diameter lingkaran. 9
Kebanyakan informasi matematika berasal dari Papirus Ahmes (atau Rhind) dan Moskow. Selain itu ada beberapa sumber lain yang sering dikutip, seperti Papirus Kahun (1950 SM), Papirus Berlin (berusia sama dengan Kahun), dua Tabel dari Akhmim (Kairo) berusia 2000 tahun SM, Gulungan kulit berisi pecahan unit, dan sebuah penanggalan dari periode Hyksos.
Sulvasutra Bangsa Vedic memasuki India sekitar 1500 SM dari daerah yang kini dikenal sebagai Iran. Nama Vedic diambil dari nama kumpulan catatan suci mereka yang dikenal sebagai Vedas yang berasal dari tahun 15 hingga 5 tahun SM. Naskah Sulvasutra merupakan salah satu lampiran Vedas. Sulvasutra ditulis oleh seorang ahli tulis pada jamannya, tetapi kita tak dapat mengetahui siapa penulisnya bahkan kapan penulisnya itu hidup. Kebanyakan naskahnaskah lain menggunakan nama yang sama, yaitu Baudhayana Sulvasutra yang ditulis sekitar 800 SM, Apastamba Sulvasutra yang ditulis sekiar 600 SM, Manava Sulvasutra (750 SM), dan Katyayana Sulvasutra (200 SM). Soal-soal dalam Sulvasutra ada yang tepat dan ada yang hanya pendekatan, tetapi sayang tidak ada bukti yang mereka berikan.
Pada Baudhayana terdapat kasus khusus Teorema Pythagoas: Tali yang dihubungkan sepanjang diagonal sebuah bujursangkar menghasilkan bujursangkar yang luasnya dua kali bujursangkar semula. Sementara dalam Katyayana terdapat ilustrasi yang lebih umum yaitu pada persegipanjang. Di dalam Sulvasutra banyak digunakan Tripel Pythagoras, seperti: (5, 12, 13), (12, 16, 20), (8, 15, 17), (15, 20, 25), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (5/2, 6, 13/2), dan (15/2, 10, 25/2). Di dalam Sulvasutra juga terdapat banyak soal tentang konstruksi bangun geometri yang memiliki luas sama dengan bangun geometri yang lain. Salah satunya adalah diberikan dua bujursangkar berbeda, lalu diminta sebuah bujursangkar lain yang memiliki luas sama dengan jumlah luas kedua bujursangkar tadi. Soal ini terdapat pada semua Sulvasutras yang dikerjakan dengan menggunakan Teorema Pythagoras.
Masalah konstruksi lain adalah membuat bujursangkar yang luasnya sama dengan persegipanjang yang diberikan. Berikut ini versi dari Baudhayana. Diberikan persegipanjang ABCD. Tentukan L sehingga AL = AB. Lalu buat bujursangkar ABML. Kemudian tentukan X dan Y yang membagi dua LMCD. Selanjutnya, pindahkan XYCD ke posisi MBQN. Lengkapi bujursangkar AQPX. Masih ada yang perlu dikerjakan, yaitu rotasikan PQ dengan pusat Q hingga memotong di titik R. Nah, buatlah bujursangkar dengan panjang BR, yaitu QEFG. Bujursangkar inilah yang dicari. Semua Sulvasutra memuat metode membujursangkarkan lingkaran (menentukan bujursangkar yang luasnya sama dengan lingkaran yang diberikan). Tetapi metode Sulvasutra hanya pendekatan saja, di mana ia membentuk bujursangkar dengan panjang sisi 13/15 kali diameter lingkaran yang diberikan. Ini memberikan pendekatan π sebesar 3,004444 yang jauh dari nilai sebenarnya, bahkan lebih tepat pendekatan yang diberikan orang Babilonia. Sebenarnya terdapat berbagai pendekatan nilai π dalam Sulvasutra bahkan dalam tulisan yang sama. Penulisnya berpikir tentang konstruksi pendekatan, bukan pada penentuan nilai π yang tepat, sehingga kita mendapatkan berbagai pendekatan nilai π yang berbeda-beda. Contohnya, dalam Baudhayana Sulvasutra menggunakan nilai 676/225, juga ada 900/289 dan 1156 /361. Sedang pada sulvastra yang lain, terdapat nilai pendekatan 2,99; 3,00; 3,004; 3,029; 3,047; 3,088; 3,1141; 3,16049; dan 3,2022. Dalam Manava sulvasutra terdapat pendekatan 25 /8 = 3,125. Apastamba maupun Katyayana menyuguhkan pendekatan akar 2, berikut ini: Tambahkan satuan panjang dengan sepertiganya dan seperempat dari sepertiga tsb lalu dikurangi sepertiga puluh empat dari seperempat tsb. Bila ditulis: 2 = 1 + 1/3 + 1/(3 × 4) – 1/(3 577 /408 = 1,414215686 (untuk 9 tempat desimal). Nilai ini tepat hingga 5 tempat × 4 × 34) = desimal. Kita tidak mengetahui bagaimana penulis sulvasutra mendapatkan pendekatan
2
ini.
Dalam sulvasutra, terdapat pula cara membuat lingkaran yang mendekati luas sebuah bujursangkar. Pandang bujursangkar ANCD. Titik O perpotongan diagonal-diagonal bujursangkar. OE sejajar AD dan OE = OD. Buat titik Q di PE sehingga PQ = 1/3 PE. Maka OQ adalah jari-jari lingkaran yang diminta.
Jiuzhang suanshu
Salah satu halaman Jiuzhang suanshu Jiuzhang suanshu (atau Chu Chang Suansu Shu), , juga dikenal dengan terjemahan “Nine Chapter On the Mathematical Art” merupakan buku yang terkenal dan bertahan lama (sekitar 1500 tahun) dalam sejarah matematika Cina. Tak diketahui dengan pasti kapan dan oleh siap buku ini dibuat, tetapi kuat dugaan dibuat pada masa Dinasti Han (abad pertama masehi). Selain itu, ada buku Suan shushu (180 SM), dan Zhoubi suanshu (antara 100 SM hingga 100 M) tetapi yang terkenal dan banyak dikomentari adalah Jiuzhang suanshu. Banyak pengembangan yang muncul sebagai komentar terhadap buku ini. Termasuk yang pertama adalah komentar dari Xu Yue (kira-kira 160-227 M) namun telah hilang. Komentar yang terkenal dan penting adalah dari Liu Hui (220-280) pada tahun 263. Komentar penting berikutnya oleh Li Chunfeng sekitar tahun 640 ketika mengepalai tim untuk mengumpulkan 10 buku matematika klasik Cina. Buku ini memuat 246 soal yang dibagi ke dalam 9 bab. Untuk tiap soal terdapat kunci penyelesaiannya, tanpa disertai metode penyelesaian. Soal-soal matematika itu berkaitan dengan kehidupan praktis sehari-hari.
Berikut ini deskripsi singkat mengenai isi setiap bab dari Jiuzhang suanshu. Bab I (Fang tian) • Berisi 38 soal • Metode menghitung luas
tanah • Berhubungan dengan
komputasi bilangan pecahan • Terdapat algoritma Euclid untuk mendapatkan faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan • Soal 32 berisi pendekatan nilai π yang akurat Bab IV (Shao guang)
Bab II (Su mi) • Berisi 46 soal • Berkaitan dengan
perbandingan (untuk penukaran gandum/beras, buncis, dan bibit)
Bab V (Shang gong)
• Berisi 24 soal • Berisi 28 soal • Soal menemukan panjang • Tentang perhitungan
sisi bila diketahui luas untuk membangun atau volum (soal 1 hingga terusan, parit, dan lainlain. 11) • Soal menemukan akar • Membahas perhitungan kuadrat (soal 12 hingga volum sejumlah bangun 18) dan menemukan akar ruang: prisma, kubik dari suatu bilangan tetrahedron, tabung, (soal 19 hingga 24) kerucut terpancung. • Terdapat ide mengenai limit dan ketakhinggaan Bab VII (Ying bu zu) • Berisi 20 soal • Penggunaan metode
Bab VIII (Fang cheng) • Berisi 18 soal • Soal-soal sistem
posisi salah (method of persamaan linier false position) untuk • Penyelesaian menyelesaikan soal yang menggunakan matriks sulit koefisien yang diperluas, dengan cara mirip Eliminasi Gauss • Pengenalan konsep bilangan positif dan negatif • Penjumlahan dan pengurangan bilangan positif dan negatif
Bab III (Cui fen) • Berisi 20 soal • Soal-soal mengenai distribusi
proporsi • Juga ada penggunaan barisan
aritmetika dan barisan geometri
Bab VI (Jun shu) • Berisi 28 soal • Mengenai perbandingan • Kalkulasi tentang barang, pajak,
perjalanan, tenaga kerja, dan berbagai masalah lain
Bab IX ('Gongu') • Berisi 24 soal • Mendiskusikan Teorema Gougu
(yaitu teorema Pythagoras) dan sifat-sifat segitiga siku-siku • Soal 1 hingga 13 diselesaikan menggunakan Teorema Pythagoras • Dua soal menggunakan Tripel Pythagoras dan soal-soal yang lainnya berkaitan dengan penggunaan segitiga-segitiga sebangun • Terdapat soal mengenai persamaan kuadrat yang diselesaikan dengan algoritma penarikan akar yang dikenal Cina
Daftar Pustaka dan Bahan Bacaan Anglin, W. S. 1994. Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York: SpringerVerlag. Boyer, Carl B. 1968. A History of Mathematics. New York: John Wiley & Sons, Inc. Cooke, R. 1997. The History of Mathematics. A Brief Cource. New York: John Wiley & Sons, Inc. Dali S. Naga. 1980. Berhitung, Sejarah dan Perkembangannya. Jakarta: Gramedia Eves, Howard. 1964. An Introduction to The History of Mathematics. New York: Holt, Rinehart, & Winston, Inc. O`Connor, J. J. & Robertson, E. F. 1999. kumpulan esai dalam http://www-history.mcs.standrew.ac.uk/history/HistTopic/ & dalam http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/history/Mathematics/ Sitorus, J. 1990. Pengantar Sejarah Matematika dan Pembaharuan Pengajaran Matematika di Sekolah. Bandung: Tarsito.
