BARCZA SZABOLCS. Egyetemi jegyzet. BUDAPEST, 1997 AZ ELTE Eötvös Kiadónál megjelent 1997-es kiadás revideált változata

1

BARCZA SZABOLCS

´ ¨ OK ¨ FIZIKAJA ´ CSILLAGLEGK OR

´ ´ EKEL ´ ´ ENEK ´ CSILLAGSZÍNKEPEK KIERT ES ASZTROFIZIKAI ALAPJAI Egyetemi jegyzet

BUDAPEST, 1997 AZ ELTE E¨ otvös Kiad´ onál megjelent 1997-es kiadás revideált változata

2

Az 1997-es kiadást lektor´ alta Kolláth Zoltán A kiad´ ast t´ amogatta a Magyar Tudományos Akadémia Csillag´ aszati Kutat´ ointézete

ELTE E¨ otvös Kiad´ o Felel˝ os vezet˝o: H. Nagy Anna

3 ´ (a r´ egi) TARTALOMJEGYZEK ´ 1. BEVEZETES 2. ALAPFOGALMAK 2.1. Monokromatikus elektrom´ agneses s´ıkhull´ am terjedése, elnyel˝ odése homogén közegben 2.2. Monokromatikus intenzit´ as 2.3. Monokromatikus fluxus 2.4. Monokromatikus sug´ arz´ asi energias˝ ur˝ uség ¨ 2.5. Osszintenzit´ as, fluxus, energias˝ ur˝ uség 2.6. Monokromatikus emissziós koefficiens 2.7. Monokromatikus abszorpciós koefficiens, optikai mélység 2.8. Termikus egyens´ uly, sug´ arnyom´ as 2.9. Négy alkalmazás 2.10. Néhány fizikai ´ alland´ o és az egységek közötti atszám´ıt´ ´ as ´ A MEGFIGYELESEK ´ 3. AZ ALAPFOGALMAK ES KAPCSOLATA ´ ´ ´ ´ EGYENLETE 4. A MONOKROMATIKUS SUGARZAS ARAMLASI 4.1. A monokromatikus ´ aramlási egyenlet fel´ır´ asa, forrásf¨ uggvény, sug´ arz´ asi egyens´ uly 4.2. A monokromatikus ´ aramlási egyenlet formális megoldása 4.3. A megoldás értelmezése ¨ 5. SZURKE MODELLEK 5.1. Az Eddington-k¨ ozel´ıtés 5.2. Csillagok peremsötétedése 5.3. A sz¨ urke modell h˝ omérséklet-rétegz˝odése 5.4. A Rosseland-féle opacit´ as 5.5. A sz¨ urke modellek h˝ omérséklet-eloszl´ asának korrekciója, konstans fluxus´ u légkörmodellek ´ ´ ¨ EBEN ´ 6. EGYENSULYOK A CSILLAGOK LEGK OR 6.1. Termikus egyens´ uly 6.2. LTE (Lok´ alis termodinamikai egyens´ uly) 6.3. NLTE 6.4. A sug´ arz´ asi egyens´ uly kialakul´ asa 6.5. Hidrodinamikai kérdések: hidrosztatikus egyens´ uly, Eddington-határ, diff´ uzi´ o, lökéshull´ amok, keveredési hossz, mikro- és makroturbulencia 6.6. Hidrosztatikus egyens´ ulyban lév˝ o leegyszer˝ us´ıtett légkörmodell 6.7. Konvekci´ o

5 8 8 10 11 12 12 13 13 14 16 19 20 23 23 25 27 30 30 32 32 33 34 36 36 40 40 41

42 47 48

4 ´ UGGV ¨ ´ 7. A FORRASF ENY 7.1. Az ´ atmenetek t´ıpusai 7.2. Koherens, inkoherens szórás, valódi abszorpció, extinkció 7.3. A Schwarzschild-féle integrodifferenciálegyenlet ´ KOEFFICIENS 8. A MONOKROMATIKUS ABSZORPCIOS ´ ÍTASA ´ KISZAM 8.1. Az Einstein-féle ´ atmeneti valósz´ın˝ us´gek 8.2. Egy rezg˝o t¨ oltés sug´ arz´ asa a klasszikus elektrodinamika keretei között, Lorentz-profil, Thomson-sz´ orás, Rayleigh-szórás 8.3. Oszcill´ atorer˝osség ´ 8.4. Atmeneti val´ osz´ın˝ uségek id˝ot˝ol f¨ ugg˝o perturb´ aci´ o esetén 8.5. Elektrom´ agneses hull´ am mint az átmenetet indukáló perturb´ aci´ o 8.6. Az oszcillátorer˝osség és az átmeneti mátrixelem ´ 8.7. Atmeneti val´ osz´ın˝ uségek a folytonos sz´ınképben ´ ´ ´ 9. A SZÍNKEPVONALAK KISZELESED ESE 9.1. A sz´ınképvonalak profilja 9.2. Véges hossz´ uság´ u rezgések spektruma 9.3. Természetes vonalkiszélesedés 9.4. Doppler-kiszélesedés 9.5. Nyom´ asi vonalkiszélesedés 9.6. Voigt-f¨ uggvény 9.7. Rot´ aci´ os vonalkiszélesedés ´ ´ EKEL ´ ´ 10. A CSILLAGSZÍNKEPEK KIERT ESE 10.1. Csillagsz´ınképek néhány sajátoss´ aga 10.2. Az ATLAS légkörmodellek 10.3. N¨ ovekedési g¨ orbék, sz´ınképek finom anal´ızise 10.4. Kozmikus elemgyakoris´ agok 10.5. A Baade–Wesselink-módszer

53 53 55 56 58 59 61 65 66 68 71 76 79 79 80 82 83 84 89 90 91 91 96 96 100 102

1. fejezet

´ BEVEZETES A klasszikus csillagászat a XIX. sz. elejéig csak az égitestekb˝ol származó fény ir´ anyával foglalkozott. F. W. Bessel (1784–1846) kijelentette egy nem kifejezetten csillagászoknak tartott el˝ oad´ as´ aban, hogy ”mindig is világos volt az, amit a csillag´ aszatnak ny´ ujtania kell: elj´ ar´ asokat kell megadnia, amelyekkel az égitestek mozg´ asát ki lehet sz´ am´ıtani, u ´gy, ahogy az a Földr˝ol látszik. Minden egyéb, amit az égitestekr˝ ol meg lehet tudni: péld´ aul a fel¨ ulet¨ uk kinézete és létrejötte ugyan nem érdektelen, de nem képezi a csillagászati érdekl˝odés t´ argy´ at”. C. F. Gauss (1777–1855), aki G¨ ottingen egyetemén a csillagászat professzora és az egyetemi csillagvizsg´ al´ o igazgat´ oja volt, és élete végéig rendszeresen végzett saját maga is megfigyeléseket, egyszer azt mondta, hogy a fizikai csillagászat ugyan érdekes, de ˝o mégsem tartja sokra azt, mert ebben a tudományágban a matematika alkalmazása nem sok eredménnyel kecsegtet. E kijelentésen ugyan ma mosolygunk, de nyugodtan mondhatjuk, hogy az asztrofizika (a ”fizikai csilagászat”) a csillagászatban csak a XIX. sz. második felében nyert polg´ arjogot, s ez a jegyzet bizonyára arról is megy˝ ozi majd az olvas´ ot, hogy az alkalmazott matematika nélk¨ ul nagyon szegény volna az asztrofizika. A jegyzet t´ argya az asztrofizikának egy ága, a csillaglégkörök fizikája. Miel˝ott ennek t´ argyal´ as´ aba bocs´ atkozunk, tegy¨ unk még egy tiszteletkört a poz´ıciós csillag´ aszat kör¨ ul, amelyet m˝ uvel˝ oi nem kis b¨ uszkeséggel ”preciziós csillagászatnak” neveztek 60-70 éve, ezzel is kifejezve rosszall´ asukat a ”nagyságrendi csillagászattal” szemben, ami alatt az asztrofizikát értették akkoriban. Az eur´ opai csillagászat fénykora a XVIII–XIX. sz. fordul´ oj´ ara esett, s mai szóval élve a f˝o kutat´ asi tém´ ak az égi mechanika és a poz´ıciós csillagászat köré csoportosultak. Az égitestek poz´ıciój´ anak tized ´ıvm´ asodperces pontoss´ aggal való megmérése lehet˝ové tette a Naprendszer és közvetlen környéke feltérképezését. A csillagszámlálásokkal és a stellárstatisztikai módszerekkel siker¨ ult ezt a feltérképezést kiterjeszteni, igaz itt már a pontosság nem volt olyan leny˝ ugöz˝o, de ezt teljesen elfogadhat´ ov´ a tették a fölt´ art ”irdatlan” méretek: t¨ obb t´ızezer fényévnyire t´ agult ki a horizont! A stellárstatisztika 5

´ FEJEZET 1. BEVEZETES

6

m˝ uvel˝ oi el˝ ott ugyanaz a cél lebegett, mint közvetlen környék¨ unk kif¨ urkész˝ oi el˝ott: apr´ olékos munk´ aval felép´ıteni csillagv´ arosunk (=a Tej´ utrendszer) modelljét, s ezzel teljessé tenni a ”Vil´ agegyetem” le´ır´ asát, amely a korabeli elképzelések szerint nem ny´ ult t´ ul egy t˝ ol¨ unk p´ ar t´ızezer fényévnyire lev˝o g¨ ombfel¨ uleten. Spekulat´ıv alapon ugyan sokan – igaz inkább filozófusok, mintsem a tanult csillagászok – nemigen fogadt´ ak el azt, hogy a ”Vil´ agegyetem” nem t¨ obb, mint az eml´ıtett kis csillagv´ aros. A kétked˝oknek azonban a pozitivizmusra hajló akkori kor csillagászai azt mondták, hogy csak a tényekr˝ol beszélj¨ unk, arról és csak arról, amit meg tudunk figyelni, meg tudunk mérni. Ez pedig nem más, minthogy Napunk egy csillagvárosnak a közepe t´ aj´ an van, és ahogy haladunk a csillagv´ aros széle felé, még a csillags˝ ur˝ uség is fokozatosan cs¨ okken, ami azt sejteti, hogy csillagv´ arosunk szépen belesimul a környez˝o u ¨res térbe. Az imént vázolt na´ıv vil´ agképet az asztrofizika d¨ ont¨ otte meg, s hozott a helyére egy j´ oval bonyolultabbat, amely az évtizedek során b˝ ov¨ ult t¨ obbször is lényeges elemekkel. Ebben a folyamatban az asztrofizikán bel¨ ul kulcsszerepet játszott a csillaglégkör¨ ok megértése, mert ezáltal vált lehet˝ové a csillagsz´ınképek kvantitat´ıv kiértékelése. A megfigyelt sz´ınképek szaporod´ asával és azok elemzésével számos csillag fizikai paramétereit meg lehetett határozni. Innen pedig egyenes volt az u ´t a csillagászat központi kérdése, a t´ avolságok megállap´ıtása felé olyan térbeli mélységekig, amelyek a poz´ıciós csillagászat szám´ ara elképzelhetetlenek voltak. Miel˝ott t´ argyunk s˝ ur˝ ujébe vágunk, megeml´ıtj¨ uk, hogy az asztrofizika két g¨ orög szóból tev˝odik ¨ ossze, sz´ o szerint leford´ıtva égitestek fizikáj´ at jelenti. Az asztrofizikán bel¨ ul beszél¨ unk • napfizikár´ ol, ide tartozik a Nap belseje és légköre, valamint aktivitása, • a Naprendszer fizik´ aj´ ar´ ol: bolyg´ ok, holdak, u ¨st¨ ok¨ osök, bolyg´ ok¨ ozi anyag és plazma, kozmog´ onia a f˝ obb altém´ ak, • a csillagok fizik´ aj´ ar´ ol: csillagok belseje és légköre a két nagyobb vonulat ebben az alfejezetben, amihez szorosan kapcsolódnak a csillagok keletkezésének és fejl˝ odésének problém´ ai, • a k¨ ulönleges csillagok, égitestek fizikáj´ aról, ahová péld´ aul a kett˝ os, t¨ obbszörös csillagrendszerek, szupern´ ov´ ak, pulz´ arok, neutroncsillagok, fekete lyukak, galaxismagok, kvazárok tartoznak • a csillagk¨ ozi anyag fizik´ aj´ ar´ ol, • a galaxisok fizik´ aj´ ar´ ol, szerkezetér˝ol • és ide vehetnénk éppenséggel a kozmológi´ at is, noha ez nemigen szok´ asos, mert a modern kozmológia t´ argya nemcsak az égitestek fizikája, hanem a térid˝o és benne olyan anyag és sug´ arz´ asok természetrajza, t¨ orténete, amelyek égitesteknek nem nevezhet˝ok.

7 Sz˝ ukebb t´ argyunk a csillaglégkörök fizikája lesz, kés˝obb még pontosabban is definiáljuk egy égitest légkörét, egyel˝ore annyi elég lesz, hogy g´ aznem˝ u égitesteknél a légkör az a rész, amelyet látunk. Vizsg´ alódásunk módszere szerint t´ argyunkhoz lehet a megfigyelések és az elmélet oldal´ aról közel´ıteni, az elméleti munka célja, hogy modellek alkotás´ aval visszadjuk a megfigyelések minél t¨ obb részletét. A modellek paraméterei, amelyekr˝ol a kés˝obbiekben még sok szó lesz, adják vég¨ ul meg, hogy milyen a kémiai ¨ osszetétel, és milyen fizikai viszonyok uralkodnak a megfigyelt égitest légkörében, a látott részében. Matematikailag, fizikailag egy nagy inverz feladattal ´ allunk szemben, a megfigyelések olykor szegényes volta miatt gyakran kölcs¨ onös és egyértelm˝ u megfeleltetésr˝ol szó sem lehet, t¨ omérdek számol´ as árán kapunk modellcsaládokat, amelyek bizonyos feltevéseken alapulnak, s amelyeknek néhány paramétere is van, mindezeket addig kell változtatni, am´ıg az egyezés a megfigyelésekkel j´ o nem lesz. Jegyzet¨ unk t´ argya nem olyan alapvet˝o diszcipl´ına, mint a mechanika, elektrodinamika, kvantummechanika, hanem egyfajta alkalmazott tudomány a csillagászaton bel¨ ul. Arról sz´ ol, ahogyan az elméleti fizika t¨ obb ágát felhasználva a csillaglégkörök modelljét meg lehet szerkeszteni, s a modell birtokában hogyan lehet kisz´ am´ıtani az égitestet elhagyó sz´ınképet. Az ezut´ an következ˝o lépés, hogy a szám´ıtott és megfigyelt sz´ınkép ¨ osszehasonl´ıt´ asával mit lehet mondani a megfigyelt csillagra vonatkozóan. Ezért el˝ osz¨ or röviden áttekintj¨ uk azokat az alapfogalmakat, amelyek a csillaglégkör¨ ok fizikai le´ır´ as´ ahoz sz¨ ukségesek, majd a megfigyelési módszereket, amelyek a csillagsz´ınképek rögz´ıtésére szolg´ alnak, s matematikailag vázoljuk a modellszám´ıt´ asi és megfigyelési eredmények kapcsolatát. Ezut´ an következik a csillaglégkör¨ ok modellezése, és a modellhez tartozó sz´ınkép kisz´ am´ıtása. Vég¨ ul egyszer˝ us´ıtett péld´ akkal ´ızel´ıt˝ ot adunk az alkalmazásokb´ ol. A csillaglégkör¨ ok modellezése, a sz´ınképek kisz´ am´ıtása, valamint a t´ argyunkhoz tartozó megfigyelések manapság szinte nagyiparr´ a váltak. Jóllehet spektrográffal felszerelt t´ avcs˝ o és nagy sz´ am´ıtógépek, vagyis megfelel˝o h´ attér nélk¨ ul nemigen lehet érdemben hozz´ asz´ olni t´ argyunkon bel¨ ul a divatos aktuális kutat´ asi tém´ akhoz, egyáltal´ an nem f¨ ol¨ osleges azon módszerek megismerése, amelyek a sz´ınképelemzéssel, az asztrofizikai módszerek alkalmazásával a csillagászatnak ezt az ágát kvantitat´ıv tudom´ annyá tették. Jegyzet¨ unk anyagának áttanulmányozása megértetheti azokat az alapfogalmakat, amelyeket az asztrofizikának ebben az ágában dolgoz´ o kutat´ ok széltében-hossz´ aban használnak, s amelyek ismerete belép˝o a ter¨ uletre, s megsejtetheti azt is, ami tém´ ankban zajlik a kutat´ as élvonalában. Ezenk´ıv¨ ul asztrofizikai h´ atteret k´ıv´ an ny´ ujtani olyan modern csillagászati tém´ ak megértéséhez, amelyekben a csillaglégkör jelenségei fontos szerepet játszanak. A teljesség igénye nélk¨ ul megeml´ıthetj¨ uk péld´ aul a csillagok fizikai jellemz˝ oinek (tömeg, luminozit´ as) és kémiai ¨ osszetételének kérdését, a változ´ ocsillagok változ´ o paramétereinek meghatároz´ asát vagy éppen a csillaghalmazok, galaxisok integrált sz´ınképének kisz´ am´ıtását. T´ argyal´ asunkban ugyan k¨ ulön nem hangs´ ulyozzuk, de a jegyzet egy lényeges h´ anyada foglalkozik az al´ abbi problém´ aval: adva van egy bizonyos geometriáj´ u, h˝ omérséklet-, s¨ ur˝ uség- stb. eloszl´ as´ u közeg, egy plazmatartomány, amelynek a sz´ın-

8

´ FEJEZET 1. BEVEZETES

képét akarjuk kisz´ am´ıtani. A probléma elvileg ugyanaz, ha egy g´ azkis¨ ulés, ´ıvkis¨ ulés vagy éppen egy csillag légköre ez a vizsgálandó tartomány. A jegyzet formalizmusa olyan ´ altal´ anos lesz, hogy ezek mind beleférjenek, noha konkrét alkalmazás laborat´ oriumi spektroszk´ opi´ ara nem lesz. Plazma-diagnosztikának is szok´ as nevezni a laboratóriumi alkalmazásokat, mert a megfigyelt sz´ınképb˝ol a plazma fizikai jellemz˝ oire, kémiai ¨ osszetételére lehet ezen keretek között következtetni. A jegyzet tém´ aj´ aban elmély¨ uléshez h´ arom monográfiát eml´ıt¨ unk még meg: A. Uns¨ old: Physik der Sternatmosphären, Springer, Berlin, 1968, D. Mihalas: Stellar Atmospheres, Freeman, San Francisco, 1978, D. és B. W. Mihalas: Foundations of Radiation Hydrodynamics, Oxford Univ. Press, New York, 1984. Nem monográfiai mélység˝ u m˝ uvek, amelyek seg´ıhetik a témak¨ or megértését: E. Böhm-Vitense: Introduction to Stellar Astrophysics, Cambridge Univ. Press, 1989, A. Uns¨ old, B. Baschek: The new Cosmos: an Inroduction to Astronomy and Astrophysics, 5. kiad´ as, Springer, Berlin, 2001

2. fejezet

ALAPFOGALMAK Az égitestek légkörében olyan h´ıg elektrom´ agneses sug´ arz´ as áramlik, amely ugyan kölcs¨ onhatásba lép az ottani plazm´ aval, de annak tulajdons´ agait számottev˝oen nem változtatja meg. Kicsit elegánsabban ezt u ´gy is mondhatjuk, hogy közeg¨ unk és a rajta ´ athaladó fény kölcs¨ onhatása a lineáris optika keretei között t´ argyalható. Egy elektrom´ agneses hull´ amban energia terjed, az E, H térer˝osségek és a terjedési ir´ any jobbsodrás´ u koordin´ ata-rendszert alkotnak. Egy tetsz˝ oleges fel¨ uleten áthaladó sug´ arz´ asi energia mennyiségét a k¨ ulönb¨ oz˝o frekvenciáj´ u és a k¨ ulönb¨ oz˝o ir´ anyokba haladó elektrom´ agneses hull´ amok Poynting-vektorainak — sug´ arvektorainak — ¨ osszegzésével hat´ arozhatnánk meg, ennek következetes kivitelezése igen kör¨ ulményes volna. Mindazonáltal fejezet¨ unk elején a Maxwell-egyenletek alapján nagyon röviden visszaidézz¨ uk elektrom´ agneses hull´ amok terjedését és elnyel˝odését plazm´ aban avégett, hogy megalapozzuk a kés˝obb részletesen t´ argyalt fenomenologikus sug´ arz´ aselméletet, amelyben az áramlás kvantitat´ıv tárgyalásához el˝osz¨ or a sug´ arz´ as intenzit´ as´ at definiáljuk, majd ebb˝ol származtatunk le k¨ ulönb¨ oz˝o menynyiségeket.

2.1.

Monokromatikus elektrom´ agneses s´ıkhull´ am terjed´ ese, elnyel˝ od´ ese homog´ en k¨ ozegben

Legyen csak elektrom´ agneses sug´ arz´ as az ǫ dielektromos álland´ oj´ u, µ mágneses permeabilt´ as´ u és σ ¯ elektromos vezet˝oképesség˝ u homogén térrészben, amelyben kompenz´ alatlan elektromos t¨ oltés nincs, ezért a négy Maxwell-egyenletb˝ ol és az Ohmt¨ orvényb˝ ol, rot H rot E

ǫ ∂E 4π + i, c ∂t c µ ∂H , = − c ∂t

=

9

(2.1) (2.2)

10

FEJEZET 2. ALAPFOGALMAK div ǫE div µH i

= 0,

(2.3)

= 0, = σ ¯ E,

(2.4) (2.5)

(2.1) és (2.2) rot´ aci´ oj´ anak képezésével leszármaztathatjuk a telegráf egyenletet, ha figyelembe vessz¨ uk, hogy rot rot=grad div-∆ : ∆H

=

∆E

=

σ µ ∂H ǫµ ∂ 2 H 4π¯ + 2 , c2 ∂t2 c ∂t ǫµ ∂ 2 E 4π¯ σ µ ∂E + 2 . 2 2 c ∂t c ∂t

(2.6) (2.7)

(2.6) qés (2.7) megoldása elektrodinamikából ismeretes, péld´ aul a térben is periodikus ν frekvenciáj´ u s´ıkhull´ am megoldás komplex ´ır´ asmódban az alábbi: E = H =

E0 exp{i(2πνt − ks)} H0 exp{i(2πνt − ks)}.

(2.8) (2.9)

(Az egyszer˝ uség kedvéért az elektrom´ agneses hull´ amunk z ir´ anyba halad, s e tengelyen mérj¨ uk a t´ avolságot s-sel.) Behelyettes´ıtve (2.8,2.9)-t (2.6,2.7)-be, rendezés után kapjuk az elektrodinamikából jól ismert csillapod´ o s´ıkhull´ amot: k = 2πνµ1/2 (ǫ − 2i¯ σ /ν)1/2 /c ≡ 2πνµ1/2 n ¯ (1 − i¯ κ)/c.

(2.10)

Ha σ ¯ = 0, akkor κ ¯ = 0, tehát csillap´ıtatlan elektrom´ agneses hull´ amot ´ır le (2.8,2.9), amelyben µH2 = ǫE2 , (2.11) amint err˝ol (2.1,2.2-be val´ o behelyettes´ıtéssel meggy˝oz˝odhet¨ unk. A sug´ arir´ anyra mer˝oleges dσ fel¨ uletelemen id˝oegységenként átáramló sug´ arz´ asi energiamennyiséget pedig a sug´ arvektor (Poynting-vektor) adja meg. Ha elhelyez¨ unk a sug´ arnyaláb u ´tjaba egy θ sz¨ oggel haj´ o n normális´ u dσ egységnyi nagys´ asg´ u fel¨ uletelemet, az azon ´ athaladó sug´ arz´ asi teljes´ıtményt az (nS) = |S|cosθ =

c cǫE2 cosθ = vuν cosθ, |E × H|cosθ = 4π 4π(ǫµ)1/2

(2.12)

skal´ arszorzat adja meg, ahol v az elektrom´ agneses hull´ amunk terjedési sebessége az adott közegben (≈ c, mivel a közeg majdnem vákuum), uν = (ǫE2 + µH2 )/8π pedig a ν frekvenciáj´ u s´ıkhull´ am energias˝ ur˝ usége. Mivel a fotonok hν/c impulzust hordoznak, (2.12)-b˝ ol a dσ fel¨ uletelemen id˝oegységenként átáramló impulzust cvel val´ o osztással kapjuk meg. Ezért ha sug´ arz´ asunk vákuumban van, a haladási ir´ anyára mer˝oleges elnyel˝ o falra P = |S|/c = uν

(2.13)

´ 2.2. MONOKROMATIKUS INTENZITAS

11

nyom´ ast gyakorol. Ha σ ¯ 6= 0, elektrom´ agneses hull´ amunk csillapodni fog, ekkor c |E0 × H0 |exp{(4πνi(t − µ1/2 ns/c) − 4πνµ1/2 n¯ κs/c}. |S| = 4π

(2.14)

(2.14) utalást tartalmaz arra is, ahogyan kisz´ am´ıthatjuk az ǫ, µ, σ ¯ anyagi álland´ okkal b´ır´ o közeg¨ unk κ ¯ (monokromatikus) abszorpciós koefficiensét. Az alkalmazott közel´ıtés miatt (klasszikus elektrodinamika, a kvant´ alt atomi elnyelési és fénykibocs´ atási folyamatok figyelmen k´ıv¨ ul hagyása) azonban nem kapnánk t´ ul jó egyezést az ´ıgy sz´ am´ıtott és a megmért abszorpciós koefficiensek között. Mindazonáltal az asztrofizika korai szakasz´ aban, a XX. sz. elején ezek a közel´ıtések használatban voltak, s ha pontos választ nem is adtak, péld´ aul a csillagok légkörének kvantitat´ıv le´ır´ as´ ara használatosak voltak, s nem is vezettek t´ ul rossz eredményekre. Ebben a t´ argyal´ asmódban a nemlináris optika u ´gy jelentkezne, hogy az anyagi álland´ ok (ǫ, µ, σ ¯ ) megv´ altoznak az áthaladó elektrom´ agneses sug´ arz´ as hatására, vagyis E, H-t´ ol val´ o f¨ uggés¨ uk nem hanyagolható el. Példa erre az id˝ot˝ol is f¨ ugg˝o olyan intenz´ıv sug´ arz´ as, amely ioniz´ aci´ o u ´tján megv´ altoztatja σ ¯ -t, ezzel persze ǫ megv´ altoz´ asa is egy¨ utt j´ ar. A csillagok légköre nagyon h´ıg plazm´ aból áll, elektrodinamikai szempontból nagy vezet˝oképesség˝ u ”v´ akuumnak” tekinthet˝ o ezért ǫ = 1, µ = 1-t vehet¨ unk mindig, és a továbbiakban más jel¨ olésére használjuk ezeket szimb´ olumokat. A következ˝o szakaszokban ´ attér¨ unk a fenomenologikus sug´ arz´ aselméletre, s csak alkalmanként utalunk vissza az itt felvillantott klasszikus elektrodinamikai t´ argyalásmódra.

2.2.

Monokromatikus intenzit´ as

Az xyz deréksz¨ og˝ u koordin´ ata-rendszerben helyezz¨ uk az n normális´ u dσ fel¨ uletelemet a z ir´ any´ u sug´ arnyal´ abba, n polárszögei legyenek θ, φ. Az Iν (θ, φ) monokromatikus intenzit´ ast definiálja az a dEν (θ, φ) energiamennyiség, amelyet fel¨ uletelem¨ unk az n ir´ anyba mutat´ o dΩ térsz¨ ogtartományba id˝oegységenként kisugároz az adott ν frekvencián a dν frekvenciaintervallumba, vagyis dEν (θ, φ) = Iν (θ, φ)dνdtdΩcosθdσ, ahol dΩ = sinθdφdθ az elemi térszög. z 6 dΩpppppppp

ppp

pppppp

ppppppppppppppp pppppp pppp p ppppppppdσ x

n

-

y

(2.15)

12

FEJEZET 2. ALAPFOGALMAK

z 6 dΩppppppppp

pp

pppppp

ppppppppppppppp pppppp pppp p ppppppppdσ x

n

- y

2.1. ábra. 2.1. ábra 2.1. ´ abra Mindezekb˝ ol következik, hogy Iν dimenzi´ oja teljes´ıtmény/(fel¨ ulet×frekvencia×térszög). Ugyan a ν frekvencia argumentuma a monokromatikus intenzit´ asank, a rövidség kedvéért indexbe ´ırjuk, ezzel régi hagyom´ anyt követ¨ unk. Használatos még a hull´ amhosszegységre vonatkoztatott monokromatikus intenzit´ as is: Iλ , az átszám´ıt´ as c dν = − 2 dλ (2.16) λ seg´ıtségével könnyen elvégezhet˝o. (Polarizált fény esetén is fel´ırhat´ o (2.15), ilyenkor azonban a polariz´ aci´ os ir´ anyokra is tekintettel kell lenn¨ unk, és Iν ez esetben két egym´ asra mer˝oleges s´ıkban rezg˝o intenzit´ askomponens összege.) Az intenzit´ as matematikailag nézve skaláris mennyiség; bevezetésével azt ért¨ uk el, hogy nem sok-sok monokromatikus elektrom´ agneses hull´ amra vonatkozó vektorvektor f¨ uggvények ¨ osszegével kell dolgoznunk. A Poynting-vektor egy darab ν frekvenciáj´ u E, H térer˝ osség˝ u elektrom´ agneses hull´ am teljes´ıtményét adja meg, amely átáramlik egy fel¨ uleten. (2.15) alapj´ an nyilvánvaló, hogy egy z tengely ir´ anyába terjed˝o s´ıkhull´ amhoz, vagyis sug´ arnyal´ abhoz képest θ szögben hajló σ fel¨ uleten áthaladó teljes´ıtmény c c 2 |S|cosθ = |E × H|cosθ = E cosθ, (2.17) 4π 4π itt kihaszn´ altuk (2.11)-t és azt, hogy E, H és a s´ıkhull´ am terjedési ir´ anya egy jobbsodrás´ u deréksz¨ og˝ u koordin´ atarendszert alkotnak. Ebb˝ol az összef¨ uggésb˝ ol látszik Iν és S kapcsolata. A k¨ ozepes monokromatikus intenzit´ ast az alábbi módon definiáljuk: Z π Z 2π 1 Iν (θ, φ)dΩ. (2.18) Jν = 4π 0 0

13

2.3. MONOKROMATIKUS FLUXUS

Dimenziója teljes´ıtmény/(fel¨ ulet×frekvenciaegység). Izotrop sug´ arz´ as esetén, vagyis amikor Iν nem f¨ ugg θ-t´ ol, nyilvánvalóan Jν = Iν .

2.3.

Monokromatikus fluxus

A monokromatikus fluxust a monokromatikus intenzit´ as cosθ s´ ulyf¨ uggvénnyel való átlagol´ as´ aval kapjuk: Z π Z 2π Iν cosθdΩ (2.19) πFν = 0

0

dimenzi´ oja ennek is teljes´ıtmény/(fel¨ ulet×frekvenciaegység). (A (2.19) definicióban szerepl˝ o π régi hagyom´ any ok´ an szerepel.) Fν elnevezése asztrofizikai fluxus, szokR π R 2π tunk még beszélni fizikai fluxusrol, ennek definiciója Fν = πFν = 0 0 Iν cosθdΩ, valamint el˝ ofordul a szakirodalomban az Eddington-féle fluxus is, amelynek definiciója Hν = Fν /4π = Fν /4. Izotrop sug´ arz´ as esetén Fν = 0 lesz, amint az (2.19) alapján könnyen belátható. A monokromatikus fluxust célszer˝ u két részre osztani: Fν = Fν+ − Fν− ahol πFν+

=

Z

0

π/2

Z

(2.20)

2π

Iν cosθdΩ

(2.21)

0

a kifelé (a koordin´ ata-rendszer¨ unk z tengelye ir´ anyában) haladó sug´ arz´ asi fluxus, vagyis Iν középértéke a cosθ s´ ulyf¨ uggvénnyel, mert Z π/2 Z 2π .Z π/2 Z 2π Fν+ = Iν cosθdΩ cosθdΩ. (2.22) 0

0

0

0

(A nevez˝oben lév˝ o integrál ugyanis π, ez k¨ ulönben az eredete a (2.19) defin´ıcióban hagyom´ anyosan szerepl˝ o π-nek.) Hasonló módon belátható, hogy Fν− a befelé (−z ir´ anyba, π/2 < θ < π) haladó sug´ arz´ asi fluxus, cosθ < 0 ilyenkor, ezért a (2.22) analógi´ aj´ ara definiált Fν− pozit´ıv lesz, ha a − el˝ojel áll (2.20)-ben. Természetesen Fν+ = Fν− izotrop sug´ arz´ asi térben. 2 2 Iν , Jν , Fν SI és cgs egységei W/(m · Hz), erg/(s · cm · Hz), rádi´ ocsillagászatban, 2 t´ avoli infravör¨ os megfigyelésekben használatos egysége a Jansky, 1Jy = 10−26 W/(m · 2 Hz) = 10−23 erg/(s · cm Hz).

2.4.

Monokromatikus sug´ arz´ asi energias˝ ur˝ us´ eg

Az uν monokromatikus sug´ arz´ asi energias˝ ur˝ uség egy dV térfogatelemben lev˝o sug´ arz´ asi energia mennyisége, vákuumban Z cuν = Iν dΩ, (2.23) Ω

14


dimenzi´ oja energia/(térfogat×frekvencia), definiálásához felhasználtuk a sug´ arvektorra vonatkozó (2.12) ¨ osszef¨ uggét. Izotrop sug´ arz´ as esetén uν =

4π Iν . c

Egy s´ıkhull´ am t′ periódusidejére átlagoljuk uν (t)-t: Z t′ E2 u ν = t′ [ǫE 2 (t) + µH 2 (t)]dt = 0 8π 0

(2.24)

(2.25)

lesz az eredmény, másrészr˝ ol (2.17) átlagol´ asával, (2.12) felhasználásával kapjuk, hogy uν = Iν /c, (2.26) amib˝ ol teh´ at s´ıkhull´ amra Iν = cE02 /8π.

2.5.

(2.27)

¨ Osszintenzit´ as, fluxus, energias˝ ur˝ us´ eg

Az ¨ osszintenzit´ ast Iν frekvenciára való integrálásával kapjuk: Z ∞ I= Iν dν,

(2.28)

0

ennek dimenzi´ oja teljes´ıtmény/(fel¨ ulet×térszög). Hasonló módon definiálhat´ o a sug´ arz´ asi fluxus, amit sokszor rövid´ıtve csak fluxusnak nevez¨ unk, Z ∞

F =

Fν dν,

(2.29)

0

ennek dimenzi´ oja teljes´ıtmény/fel¨ ulet és a sug´ arz´ asi energias˝ ur˝ uség: Z ∞ u= uν dν,

(2.30)

0

amelynek dimenzi´ oja energia/térfogat.

2.6.

Monokromatikus emisszi´ os koefficiens

Az ǫν monokromatikus emisszi´ os koefficienst azzal a dEν energiamennyiséggel definiáljuk, amelyet egy dV térfogatelem id˝oegységenként és frekvenciaegységenként kisugároz a dΩ térsz¨ ogbe: dEν (θ, φ) = ǫν (θ, φ)dνdtdΩdV, (2.31) dimenzi´ oja energias˝ ur˝ uség/(térszög×id˝o×frekvencia). ǫ(θ, φ) rendszerint izotrop, ellenpélda az izotropiára péld´ aul a poláros fény kisugárz´ asa, ami er˝os mágneses térrel b´ır´ o égitestekben lehet fontos.

´ KOEFFICIENS, OPTIKAI MELYS ´ ´ 2.7. MONOKROMATIKUS ABSZORPCIOS EG15

2.7.

Monokromatikus abszorpci´ os koefficiens, optikai m´ elys´ eg

A κν monokromatikus abszorpci´ os koefficienst azzal a dIν intenzit´ asváltoz´ asssal definiáljuk, amelyet egy Iν intenzit´ as´ u sug´ arnyaláb szenved el ds u ´thosszon: dIν = −κν Iν ds.

(2.32)

Nyilv´ anval´ o, hogy κν dimenzi´ oja reciprok hossz´ uság. Használatos még a t¨ omegegységre és az atomsz´ amra vonatkoztatott monokromatikus abszorpciós koefficiens: κν,M = κν /ρ,

(2.33)

κν,at = κν /n,

(2.34)

ahol ρ az abszorbe´ al´ o anyag t¨ omegs˝ ur˝ usége, illetve n a száms˝ ur˝ usége. κν,at dimenzi´ oja fel¨ ulet, ez nem véletlen, hanem annak következménye, hogy az egy atomra jutó abszorpci´ os folyamatokat,amelyeket le´ırni k´ıv´ anunk vele, éppen a ´ eke hatáskeresztmetszettel jellemezhetj¨ uk, ami fel¨ ulet dimenzi´ oj´ u mennyiség. Ert´ nagyon t´ ag hat´ arok között lehet és a hull´ amhossztól is er˝osen f¨ ugg. Jellemz˝o számszer˝ u értékként ´ alljon itt, hogy szabad elektronokon a fény Thomson-sz´ oródásának a hat´ askeresztmetszete 6.65 × 10−25 cm2 , csillagok légkörében κν,at = 10−19 de ak´ ar 10−25 cm2 is lehet, és az abszorpciós k¨ usz¨ oböknél κν,at 1-2 nagys´ agrendet is változhat. (2.32) fel´ır´ as´ aval ismét rögz´ıthetj¨ uk azt, hogy mit ért¨ unk lineáris optika alatt: κν nem f¨ ugg Iν t˝ ol. Ez nyilván közel´ıtés, ami a nem változ´ o csillagok légkörében, belsejében el˝ ofordul´ o intenzit´ asokon mindig jól teljes¨ ul, de esetleg egyáltal´ an nem 2 teljes¨ ul a lézerfényben el˝ ofordul´ o Iν ≈ 3 × 109 kW/m -es (k¨ ozel monokromatikus) ¨ intenzit´ asokon. (Osszehasonl´ ıt´ asul annyit, hogy a Nap légkörének k¨ uls˝ o részében az 2 4 összintenzit´ as I ≈ 5 × 10 kW/m .) V´ altoz´ o csillagok légkörében péld´ aul elképzelhet˝o, hogy Iν id˝ot˝ol val´ o f¨ uggése miatt tekintettel kell lenni κν Iν -t˝ol való f¨ uggésére. Ez elvi nehézséget sosem okoz, de a numerikus megoldást igen megnehez´ıtheti. (2.32) felfogható u ´gy is, mint egy differenciálegyenlet. Megold´ asát nem nehéz fel´ırni: o n Z s (2.35) κν (s′ )ds′ = Iν (0)e−τν , Iν = Iν (0)exp − 0

ezzel tulajdonképpen kisz´ am´ıtottuk a monokromatikus intenzit´ as változ´ asát a közeg¨ unkben s hossz´ uság´ u u ´t megtétele után. (2.35)-ben rögt¨ on definiáltuk a τν monokromatikus optikai mélységet, ami dimenzi´ otlan szám. Optikailag vékonynak, illetve vastagnak nevez¨ unk egy közeget aszerint, hogy τν ≪ 1 avagy τν > 1. Az optikai mélység az asztrofizika igen fontos fogalma, a geometriai mélység, t´ avolság helyett használjuk. Nyilv´ an azért hasznos fogalom, mert egy csillag légkörében, belsejében nem tudunk péld´ aul méterrudakkal használható t´ avolságsk´ alát definiálni, τν pedig kiv´ al´ oan alkalmas erre, mert az anyag sug´ arz´ assal szembeni

16


fizikai tulajdons´ agait j´ ol egyes´ıti a geometriai t´ avolságsk´ alával. Mivel κν nagyon er˝osen változhat ν f¨ uggvényében, ugyanahhoz a geometriai mélységhez igen k¨ ulönb¨ oz˝o optikai mélységek tartozhatnak ν értékét˝ol f¨ ugg˝oen. (2.14)-gyel val´ o¨ osszehasonl´ıt´ as alapján nyilvánvaló, hogy az e szakaszban t´ argyaltak teljes ¨ osszhangban vannak a klasszikus elektrodinamikával, s hogy (2.32) nem empirikus ¨ osszef¨ uggés.

2.8.

Termikus egyens´ uly, sug´ arnyom´ as

Termikus egyens´ ulyról akkor beszél¨ unk, ha a dV = dσds elemi térfogatban az elnyelt és kisugárzott sug´ arz´ asi enegia azonos, vagyis κν Iν dνdΩdσdsdt = ǫν dνdΩdV dt,

(2.36)

Iν csak a T h˝ omérséklet és a ν frekvencia f¨ uggvénye; ez a Kirchhoff-t¨ orvény. Max Planck 1900-ben j¨ ott rá arra, hogy ǫν 1 2hν 3 = Jν (T ), = 2 hν/kT , κν c e −1

(2.37)

illetve hull´ amhossz egységekre vonatkoztatott monokromatikus intenzit´ as használata esetén ν = c/λ és dν = −cdλ/λ2 miatt Jλ =

1 2hc2 . 5 hc/kλT λ e −1

(2.38)

(Mivel termikus egyens´ ulyban Iν izotrop, ezért (2.37)-ban Iν (= Jν ). Igen gyakran szokták jel¨ olni a Planck-f¨ uggvényt Bν (T )-vel, s szokták Kirchhoff–Planck-f¨ uggvény¨ nek is nevezni.) Uregsug´ arz´ asnak, feketetest sug´ arz´ asnak, illetve h˝ omérsékleti sug´ arz´ asnak is szokták nevezni a (2.37,2.38) által le´ırt sug´ arz´ ast. A legk¨ onnyebben u ´gy ´ all´ıthat´ o el˝ o, hogy egy u ¨reget egyenletesen hev´ıt¨ unk, s egy kicsi lyukon kereszt¨ ul tanulmányozzuk benne az intenzit´ aseloszlást, innen származik az u ¨regsugárz´ as elnevezés. A feketetest sug´ arz´ as elnevezés eredete az, hogy termikus egyens´ uly akkor tud kialakulni a sug´ arz´ asi tér és az edény között, ha az edény fala minden sug´ arz´ ast elnyel, majd maradéktalanul visszasugároz, ez pedig éppen az abszol´ ut fekete test tulajdons´ aga. A h˝ omérsékleti sug´ arz´ as elnevezés arra utal, hogy minden T > 0 h˝ omérséklet˝ u test sug´ aroz, mert termikus egyens´ uly fennállásakor rendszer¨ unk a maxim´ alis entr´ opia ´ allapotában van, s ilyenkor a rendszer energiája egyenletesen oszlik el a lehetséges szabadsági fokok között, a h˝ omozgás kinetikus energiája és az elektrom´ agneses hull´ amok formáj´ aban jelenlév˝ o energia között. (Az itt mondottak egyik trivi´ alis következménye, hogy ha egy felhev´ıtett u ¨regbe behelyez¨ unk egy testet, s a termikus egyens´ uly be´ allás´ at megv´ arjuk, akkor a test elt˝ unik szem¨ unk el˝ol, mert a kont´ urjai mentén ugyan´ ugy csak Iν -t látjuk, mint az u ¨reg más pontjaiban.) Mivel

´ ´ ´ 2.8. TERMIKUS EGYENSULY, SUGARNYOM AS

17

(2.37) anyagi min˝oségt˝ ol f¨ uggetlen, s a csillagok legk¨ uls˝ o rétegeiig igen jó közel´ıtés, asztrofizikában nagyon széles körben alkalmazzuk. Ha hν/kT ≪ 1 sorfejtéssel kapjuk a Rayleigh–Jeans-közel´ıtést: Jν Jλ

= =

2ν 2 kT /c2 , 4

2kT c/λ ,

(2.39) (2.40)

m´ıg nagy fotonenergi´ akon (hν/kT ≫ 1) a Wien-közel´ıtés érvényes: Jν =

2hν 3 − hν e kT . c2

(2.41)

(2.37)-b˝ ol a Wien-féle eltol´ odási t¨ orvényt deriválással kapjuk: ∂Jλ = 0, ∂λ

(2.42)

bevezetve az x = hc/kλT változ´ ot kapjuk ebb˝ol, hogy ex (5 − x) − 5 = 0.

(2.43)

Ez transzcendens egyenlet, melynek két gy¨ oke van: x1 = 0 nem fizikai megoldás, és x2 = 4, 965..., amib˝ ol λmax T = hc/kx2 = 2, 897 × 106 nm × fok

(2.44)

(2.37) ν szerinti integrál´ as´ aval pedig a Stefan–Boltzmann-t¨ orvény adódik: a dσ fel¨ uletelem ´ altal az egyik hemiszférába kisugárzott fluxus Z ∞ Z π/2 Z 2π 1 2hν 3 + dν πF = cosθdΩ (2.45) 2 ehν/kT − 1 c 0 0 0 =

2π 5 k 4 4 W T = aT 4 = 5, 672 × 10−8 T 4 2 4 , 2 3 15c h m fok

(2.46)

ahol a a Stefan–Boltzmann konstans, cgs egységekben 5.672 × 10−5 erg/(scm2 fok4 ). Megjegyezz¨ uk még, hogy fizika tankönyvekben az energias˝ us´ k levReπgre szokt´ Ra2π R ∞ ur˝ ezetni a Stefan–Boltzmann-t¨ orvényt (vagyis u = (4π/c) 0 dνuν 0 dθsinθ 0 dφ), ilyenkor az a konstans értéke kicsit más. Asztrofizikában azért kedvelik inkább a (2.46) formát, mert az egységnyi fel¨ ulet által a féltérbe kisugárzott fluxus közvetlen¨ ul kapcsol´ odik egy csillag Te effekt´ıv h˝ omérsékletéhez: L = 4πR2 πF + = 4πR2 aTe4 ,

(2.47)

ahol L a csillag luminozit´ asa, R pedig a sugara. (2.47) az effekt´ıv h˝ omérséklet definici´ oja, a légkörmodell nagyon fontos paramétere, de nem tényleges h˝ omérséklet a csillag légörében. Az optikai mélységt˝ ol f¨ ugg˝o

18


tényleges h˝ omérséklettel rendszerint megegyezik a légkör egy helyén. Ez a hely a modellt˝ ol f¨ ugg. Az u ¨regsugárz´ as izotrop, az u ¨reg fala által elnyelt fotonok vissza is sug´ arz´ odnak a termikus egyens´ uly miatt, ezért az u ¨reg falát reflektálónak tekinthetj¨ uk. Az u ¨ reg falára teh´ at a sug´ arz´ as nyom´ ast gyakorol, amelynek értékét vagy a Maxwell-féle fesz¨ ultségtenzorb´ ol sz´ armaztathatjuk le, vagy az alábbi szemléletes megfontol´ assal. Az u ¨regbe z´ art elektrom´ agneses (s´ık)hull´ amok essenek be valamilyen θ szög alatt a fal dσ fel¨ uletelemére a dΩ térsz¨ ogintervallumon bel¨ ul amelyen ´ıgy id˝oegységenként |S|cosθ/c impulzus nyel˝ odik el, majd visszasugárz´ as miatt még egyszer ennyit kap a fal. A fel¨ uletre mer˝oleges komponens ennek cosθ-szorosa, a fel¨ ulettel p´ arhuzamos komponensei az impulzusnak pedig kiejtik egym´ ast 2|S|cos2 θ/c térszögre való integrál´ asa során, teh´ at a ν frekvenciáj´ u elektrom´ agneses hull´ amok által az u ¨ reg falára gyakorolt nyom´ as (2.17) felhasználásával Z Z 2 π/2 2π uν 4π Iν (ν) P = = . (2.48) Iν cos2 θsinθdφdθ = c 0 c 3 3 0 Az össznyom´ as pedig (2.37,2.46) felhasználásával Z ∞ 4aT 4 8πhν 3 dν = = 2, 521 × 10−14 T 4 Pa. P = 3c 3c3 ehν/kT − 1 0 2

(2.49)

2

(Az SI és a cgs egységek: Pa = N/m , dyn/cm = 0.1Pa. Használatos még: 1atm = 2 105 Pa = 106 dyn/cm .) Mint eml´ıtett¨ uk, az u ¨regsugárz´ as a maxim´ alis entrópia állapotának felel meg. A termodinamika szellemének megfelel˝oen csup´ an tényként megállap´ıthatjuk, de nem kérdezhetj¨ uk meg, hogy milyen mikrofolyamatok: milyen elemi u ¨tk¨ ozési, sug´ arz´ asi és fényelnyelési folyamatok alak´ıtott´ ak ki ezt az egyens´ ulyt. Részletekbe bocsátkoz´ as nélk¨ ul szeretnénk itt el˝ orebocsátani, hogy az asztrofizika jelenleg teljesen lez´ aratlan fejezete az, hogy mekkora s˝ ur˝ uség˝ u és h˝ omérséklet˝ u plazma tekinthet˝ o már termikus egyens´ ulyban lév˝ onek. Kvalitat´ıv meggondolásokb´ ol nyilvánvaló, hogy csekély s˝ ur˝ uségeken, tetézve esetleg alacsony h˝ omérséklettel, nem t¨ orténik elegend˝o u ¨tk¨ ozés a plazma elemei — atomok, ionok, elektronok, fotonok — között. Ebben a tartom´ anyban az ekvipartició, a Kirchhoff–Planck-f¨ uggvénnyel azonos Iν nem tud kialakulni. Kvantitat´ıv t´ argyal´ as itt csak az elemi kölcsönhatások egyenkénti figyelembevételével lehetséges, ha a plazma sug´ arz´ asát akarjuk le´ırni. E kör¨ ulmények között a (2.37,...) ¨ osszef¨ uggések nem érvényesek.

2.9. 2.9.1.

N´ egy alkalmaz´ as El˝ osz¨ or defini´ aljuk tant´ argyunk t´ argy´ at, az ´ egitest l´ egk¨ or´ et.

Ha optikailag vékony a légkör, mint péld´ aul a Földé bizonyos (látható) hull´ amhosszakon, a légkör természetesen a szil´ ard kéreg és a világ˝ ur közti rész. Ha optikailag vastag

´ ´ 2.9. NEGY ALKALMAZAS

19

egy légkör, és nincs szil´ ard kéreg vagy óce´ an egy g´ aznem˝ u légkör alatt, tehát nincs egy olyan f´ azis´ atmenet a n¨ ovekv˝o optikai mélységgel, amely természetes határt szab, akkor a legkézenfekv˝ obb légkörnek nevezni azt a tartományt, amelyen bel¨ ul 0 ≤ τν ≤ 3 egy bizonyos jellemz˝ o ν frekvenciára. (2.35) értelmében ugyanis ezt a tartom´ anyt látjuk, az adott frekvencián az ez alatti rétegekb˝ol (τν > 3) felemelked˝o sug´ arz´ asnak már t¨ obb, mint 95 százaléka nem érkezik meg az égitest fel¨ uletére, hanem elnyel˝ odik, és természetesen nem marad ott, hanem u ´jra kisugárz´ odik a légkör 0 < τν < 3 tartom´ anyában, s ennek a sug´ arz´ asnak már számottev˝o h´ anyada hagyja el az égitest légkörét. Végezet¨ ul meg kell még állapodnunk abban a frekvenciában, amelyen defin´ıciónkat értj¨ uk, mert τν igen er˝osen f¨ ugghet a frekvenciától. A legésszer˝ ubb egy olyan frekvenciát választani, amely közel esik a csillag Fν+ -ának maximumához (ezt a Wien-t¨ orvény alapj´ an nem nehéz megtalálni), s ahol nincs sz´ınképvonal. A Naphoz hasonl´ o sárga csillagokn´ al péld´ aul λmax ≈ 2, 897 × 106 nm × K/5400K ≈ 540nm, ez a látható fényb˝ ol nagyjából a sárga hull´ amhossza, ez a Johnson féle fotometri´ aban a V sávba esik. Itt eml´ıtj¨ uk még meg, hogy pusztán empirikus alapon a Nap légkörét h´ arom részre osztjuk fel: fotoszféra, kromoszféra, korona. (Ez a felosztás más csillagok légkörében is nagyjából ´ıgy helyes.) Az abszorpciós sz´ınkép a fotoszférából származik, ennek vastagsága péld´ aul a Napon mintegy 400 km, vagyis látható fényben a vonalakon k´ıv¨ uli frekvenciákon kör¨ ulbel¨ ul ekkora t´ avolságon válik optikailag vastaggá a fotoszféra anyaga. A fotoszfér´ aban gyakorlatilag termikus egyens´ uly uralkodik, nagy kiterjedés˝ u termikus plazma van a fotoszférában. Ez alatt azt értj¨ uk, hogy a h˝ omérséklet gradiense igen kicsi, 1000 K/100 km a nagys´ agrendje, m´ıg egy ´ıvkis˝ ulés aligha nevezhet˝o termikus plazm´ anak, mert ebben 1000 K/cm a h˝omérséklet gradiensének a nagys´ agrendje. A fotoszféra fölött van a kromoszféra, amelyb˝ ol emiszszióban j¨ onnek a fotoszféra vonalai, vastagsága kör¨ ulbel¨ ul 12000 km. A koronában igen magas a h˝ omérséklet, 106 K nagys´ agrendj´ abe esik, mérete 106 kilométerekkel jellemezhet˝o, s bel˝ ole t¨ obbek között sokszorosan ioniz´ alt elemek sz´ınképvonalai is jönnek. A korona folytonosan megy át az interplanetáris plazm´ aba, amelyet már nem tekint¨ unk a naplégkör részének, noha a Napb´ ol származó plazmaáramok alkotják. A kromoszféra és a korona a folytonos optikai sz´ınkép frekvenciáin, valamint még egyes er˝ os sz´ınképvonalak hull´ amhosszain is optikailag vékony. A fotoszfér´ atól kifelé már jelent˝ os eltérések vannak a termikus egyens´ ulytól. Ezek az adatok tipikusnak tekinthet˝ ok egy f˝osorozati sárga t¨ orpecsillagra. A forróbb f˝ osorozati csillagoknál (pl. Sirius, Te ≈ 104 K) a légkör mérete (0 < τ < 3) kör¨ ulbel¨ ul 3000 km, ´ oriás és szuperóriás csillagokra ez O104 , illetve O106 kilométerig n˝ o, és egyre kevésbé tekinthet˝ o stabil, hidrosztatikus rétegz˝odésnek. Az interplanetáris plazma szuperszónikus részecske´ aramokkal indul, majd valahol messze a Pluto p´ alyán t´ ul szubsz´ onikuss´ a alakul, s tal´ alkozik vég¨ ul az intesztelláris anyaggal. Ennek sz´ınhelyét heliopauz´ anak nevezz¨ uk. Az interplanetáris plazma kapcs´ an szoktunk beszélni u ˝r-id˝ oj´ arásról, lévén hogy a plazmaáramok olyasféle helyzetet teremtenek az interplanetáris térben, mint a szelek a földi légkörben.

20


2.9.2.

A Planck-f¨ uggv´ eny alkalmazhat´ os´ aga a csillagok l´ egk¨ or´ eben

A Planck-f¨ uggvény – (2.37) – igen j´ o k¨ ozel´ıtés a csillagok légk¨ orében, τν = 0, tehát kifelé haladva egészen kis optikai mélységekig. Ennek ok´ at (2.35) alapján érthetj¨ uk meg: ahol a légkör optikailag vastag, az abszorpciót okozó rétegek ugyan´ ugy, mint az u ¨regbe a fed˝o, bezárj´ ak a sug´ arz´ ast, a h˝ omérséklet gradiense igen kicsi, ezért a termikus egyens´ uly gyorsan kialakul. Ezért a csillaglégkör aljáig feltétlen¨ ul jó közel´ıtés (2.37). A csillaglégkörben azt´ an a sug´ arz´ as nagymértékben izotrop, F + és F − csak csekély mértékben térnek el egym´ ast´ ol az egészen kis optikai mélységekig, ezért az er˝ os sz´ınképvonalak frekvenciatartományától eltér˝o frekvenciákon (2.37) szintén igen j´ o lesz. Kés˝ obb pedig be fogjuk látni, hogy (2.37) feltevésével még a vonalas sz´ınképet is meglehet˝osen jól lehet visszaadni, noha (2.37) semmiféle anyagi min˝oségt˝ ol f¨ ugg˝ o dologra, péld´ aul sz´ınképvonalra utalást defin´ıció szerint nem tartalmaz.

2.9.3.

L´ egk¨ ori extinkci´ o

Az s vastag f¨ oldi légk¨ or¨ on θ zenitt´ avols´ agban ´ athalad´ o monokromatikus sug´ arnyal´ ab intenzit´ asa (2.35) szerint gyeng¨ ul: Iν (θ) = Iν(s=0) e−κν sX ,

(2.50)

(s=0)

ahol Iν zérus leveg˝otömegnél (vagyis τν = κν s = 0 optikai mélységnél) megfigyelhet˝ o intenzit´ as (fluxus). zenit 6

s ssecθ = sX θ 2.2.´ abra Feltételezt¨ uk, hogy a légkör homogén, vagyis κν azonos a légkör b´ armely pontj´ an. (s=0) (2.50)-t elosztjuk Iν -val, majd −2, 5-szeres logaritmusának kisz´ am´ıtásával megkapjuk a csillag látszó monokromatikus magnit´ ud´ oj´ anak változ´ asát θ f¨ uggvényében: , mν (θ) = kX + m(s=0) ν

(2.51)

ahol 1 < X = secθ < ∞ a magnit´ ud´ omérések reduk´ alásából ismert leveg˝otömeg, X = 1 a zenitben, X = 2 60 fokos zenitt´ avolságban stb, és X = ∞ a horizont felé, k = 2, 5sκν lge. (2.50), illetve (2.51) az extinkció egyszer˝ us´ıtett modellje. Amikor egy égitestet a f¨ oldi légkör aljáról figyel¨ unk meg, de nem érj¨ uk be (s=0) magnit´ ud´ okkal, (2.50) szerint kell kisz´ am´ıtani Iν -t, azt az intenzit´ ast, illetve fluxust, amely égitest¨ unkb˝ ol megérkezik a földi atmoszféra fels˝o határához, ezt

´ ANY ´ ´ ´ ES ´ EGYSEG ´ 2.10. NEH FIZIKAI ALLAND O

21

ugyanis a t´ avolsággal val´ o gyeng¨ ulésen k´ıv¨ ul már csak a csillagk¨ ozi fényabszorpció módos´ıtotta, ha van ilyen az égitest¨ unk ir´ anyában. A földi légkör fölé l˝ott u ˝ reszközök (s=0) m˝ uszerei természetesen lehet˝ oséget adnak Iν közvetlen mérésére is.

2.9.4.

Egy csillag fluxusa

Egy csillagr´ ol ´ altal´ aban csak Fν+ -t mérhetj¨ uk meg, mert a csillag felénk forduló hemiszfér´ aj´ ara éppen a cosθ s´ ulyf¨ uggvénnyel kell integrálnunk Iν (θ, φ)-t, amint err˝ol a 2.3. ´ abra alapj´ an könnyen meggy˝oz˝odhet¨ unk. (2.47)-ben ezt már föl is használtuk az effekt´ıv h˝ omérséklet definiál´ asakor. $ Iν cosθ θ látóirány Iν % 2.3.´ abra

A Nap esetében Iν (θ, φ)-t közvetlen¨ ul is tanulmányozhatjuk, mert annak légkörébe k¨ ulönb¨ oz˝o sz¨ ogek alatt tudunk belátni. Fedési kett˝ osök tanulmányozása átmenetet képez ebb˝ol a szempontból, mert a fedés során Fν változ´ asának megfigyelése lehet˝ oséget ny´ ujt Iν (θ, φ) rekonstru´ alására, lévén, hogy (2.22)-ben az integrálás határait a fedési geometria szabja meg. Ha a csillag alakja torzult – péld´ aul gyors tengelyforgás miatt – Iν (θ, φ) jelent˝ osen f¨ ugghet a θ, φ szögekt˝ ol, m´ıg g¨ ombszimmetrikus, polariz´ alatlan fényt kibocsátó foltmentes csillagnál Iν (θ, φ) izotropnak vehet˝ o a 0 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ φ ≤ 2π) tartományban. Vég¨ ul megjegyezz¨ uk, hogy (2.50,2.51) természetesen érvényes akkor is, ha Fν -t ´ırunk Iν helyére.

2.10.

N´ eh´ any fizikai ´ alland´ o´ es egys´ eg

Mivel a cgs egységrendszer j´ oval az SI rendszer el˝ott kialakult, és fizikailag teljesen következetes egységrendszert képez, mi is fogjuk használni jegyzet¨ unkben. Az átszám´ıt´ as k¨ ulönösebb nehézséget nem jelent. Megjegyezz¨ uk, hogy az asztrofizikai szakirodalomban nemcsak a cgs egységrendszert használják széles körben, hanem az olyan k¨ ulöleges egységeket is, mint az ˚ A = 0, 1nm a hull´ amhosszra vagy a hull´ amsz´ am: cm−1 = 1, 2395×10−4eV = 1, 9856×10−16erg az energiára. Ez utóbbit spektroszk´ opusok használj´ ak, definiáló egyenlete E = hν = hc×hull´ amsz´ am= hc/λ, dimenzi´ oja nyilván reciprok hossz´ uság. Megadjuk még néhány fontosabb fizikai álland´ o értékét. (Planck-´ alland´ o, fénysebesség, az elektron t¨ oltése, t¨ omege, a proton t¨ omege, Boltzmann-álland´ o, univerz´ alis g´ azálland´ o, gravitáci´ os ´ alland´ o, parszek)

22


h = 6, 626 × 10−27 erg s = 6, 626 × 10−34 J s c = 2, 9979 × 1010 cms−1 e = 4, 803 × 10−10 g1/2 cm3/2 s−1 me = 9, 108 × 10−28 g mp = 1, 67 × 10−24 g k = 1, 3806 × 10−16 erg/fok = 1, 3806 × 10−23 J/fok = 8, 64 × 10−5 eV/fok R = 8, 31 × 107 erg/(m´ ol×fok) =8,31 J/(m´ ol×fok) G = 6, 67 × 10−8 g−1 cm3 s−2 1pc = 3.08 × 1013 km

3. fejezet

´ AZ ALAPFOGALMAK ES ´ A MEGFIGYELESEK KAPCSOLATA 3.1.

Disztorzi´ o

Ak´ ar Iν (θ, φ)-t, ak´ ar Fν+ -t figyelj¨ uk meg, eszk¨ oz¨ unk eltorz´ıtja azokat. A D(ν − ν ′ ) disztorzi´ os f¨ uggvénnyel jellemezz¨ uk a torz´ıtást: a megfigyelt wν monokromatikus teljes´ıtmény az S fel¨ ulet˝ u t¨ uk¨ orrel felszerelt t´ avcsöv¨ unk fókuszpontj´ aban wν = S

Z

∞

0

Fν+′ D(ν − ν ′ )dν ′ R∗2 /d2 ,

(3.1)

és D(ν − ν ′ )-t természetesen egyre kell normálni: Z

∞

D(ν − ν ′ )dν ′ = 1,

(3.2)

0

R∗ a csillag sugara, d a t´ avolsága, az esetleges intersztell´ aris abszorpciót elhanyagoltuk. Ideális esetben D(ν−ν ′ ) a Dirac-féle deltaf¨ uggvény volna, a gyakorlatban azonban be kell érn¨ unk azzal, hogy a t´ avcsöv¨ unk, s a hozz´ a csatolt diszperziós elemek — rács, prizma, sz˝ ur˝o — valamint az wν rögz´ıtésére szolg´ aló fotolemez, fotokatód vagy elektronikus rögz´ıt˝ o (pl. t¨ oltéscsatolt eszk¨ oz, azaz CCD matrix) kissé eltorz´ıtják a beérkez˝o Iν -t, Fν+ -t. Ezt a torz´ıt´ ast els˝o közel´ıtésben D(ν − ν ′ ) ∆ν félszélességével jellemezhetj¨ uk az adott ν frekvencián a 3.1 ábra szerint, ∆ν/ν ≈ 10−3 − 10−6 szokott lenni. (Angol nyelv˝ u szakirodalomban ∆ν-t, illetve az annak megfelel˝o ∆λt gyakran FWHM-nek rövid´ıtik — full width of half magnitude.) 23

24

´ A MEGFIGYELESEK ´ FEJEZET 3. AZ ALAPFOGALMAK ES

Figyelj¨ uk meg, hogy a disztorzi´ o egy ν frekvenciához (λ hull´ amhosszhoz) ”hozzákeveri” az egyéb frekvenciákról (hull´ amhosszakr´ ol) származó monokromatikus intenzit´ ast, illetve fluxust. ppp pp pp p p ∆ν pp -p p p p p p p p ppp ppp ppp p pppp ν 3.1. ´ abra

D(ν − ν ′ ) 6

3.2.

-

ν′

Fotometria, spektroszk´ opia

A tant´ argyunk szempontj´ aból fontos megfigyelések fotometriára és spektroszk´ opi´ ara oszthatók f¨ ol. A fotometri´ akat az egyre normált Sx (λ) sz˝ ur˝of¨ uggvényeikkel jellemezz¨ uk, ahol x helyén a sáv megjel¨ olése ´ all, péld´ aul a Johnson-féle U BV RI fotometria esetén U , stb., és a frekvencia helyett ´ altal´ aban hull´ amhosszak használatosak Sx (λ) megad´ asakor. Az adott sávban az égitest látszó fényessége magnit´ ud´ oban kifejezve U = −2, 5log

Z

∞

SU (λ)wλ dλ + U0 ,

(3.3)

0

ahol U0 a magnit´ ud´ oskála nullpontj´ at rögz´ıti és (3.3) alapján nem u ¨ tk¨ ozik semmi nehézségbe a t¨ obbi sz´ın és a sz´ınindexek — U −B, B −V stb — szabatos definiálása. El˝ofordulhat, hogy k¨ ulön sz˝ ur˝ot nem tesz¨ unk be, ilyenkor a szem vagy a fényérzékel˝onk, valamint a f¨ oldi légkör és a t´ avcs˝o áteresztési f¨ uggvénye szabja meg az észlelt magnit´ ud´ okat. Nem ´ art hangs´ ulyozni, hogy Sx (λ) a sz˝ ur˝o és az egyéb elemek, fotokatód vagy t¨ oltéscsatolt eszk¨ oz – CCD, t¨ ukrök stb, tehát fény´ utban minden elem egy¨ uttes sz˝ ur˝o hat´ as´ at foglalja magában. Ezért Sx (λ)-t péld´ aul a változ´ o légköri extinkció sz´ınf¨ uggése id˝ot˝ol f¨ ugg˝ oen torz´ıthatja, k¨ ulönösen er˝osen péld´ aul a Johnson-féle U sávban, de a t¨ obbi sávban is hozhat be szisztematikus hibát százalékos szinten. A fotokatód hat´ as´ ara pedig példa a galliumarzenid fotokatód: ennek érzékenységi f¨ uggvénye 1000nm kör¨ ul gyakorlatilag null´ ara csökken, a CCD csipeké viszont kör¨ ulbel¨ ul 1300nm-ig terjed, ezért az IC infravörös sávban a fotometriai rendszer jó létrehozása nem egyszer˝ u feladat, mert a kereskedelemben kapható olcsóbb infravörös sz˝ ur˝ok átengedik a fényt 1000 és 1300nm között.

´ 3.2. FOTOMETRIA, SPEKTROSZKOPIA

25

0 5000

3.2. ´ abra. K¨ or¨ ok: a Vega megfigyelt Fλ fizikai fluxusa X = 0 leveg˝ ot¨ omegnél. (Forr´ as: Astronomy and Astrophysics, 61, 679,1977.) Keresztek: A Kurucz-féle Te = 9650 K, logg = 3.95 (vagyis g = 89, 13ms−2 ) légk¨ ormodell (forr´ as: http://www.cfaku5.cfa.harvard.edu) sz´ am´ıtott fizikai fluxusa ×6, 33×10−17 interpol´ alva a megfigyelési hull´ amhosszakra. Szaggatott vonal: a sz´ am´ıtott Fλ a kon(c) tinuumban, vagyis Fλ . Kih´ uzott vonal a teljes fluxus, vagyis a folytonos és a von(l+c) alas sz´ınkép egy¨ uttesen: Fλ . Szaggatott vonal pontokkal: Planck-g¨ orbe × 6.33 × 10−17 π, vagyis (2.38)-b˝ ol sz´ am´ıtott Fλ+ fizikai fluxus T = 9650 K h˝ omérsékletre. A nullpontok tényleges definiálása összetett feladat. Péld´ aul az U BV (RI)C rendszerben a rendszer definiál´ asakor, majd kes˝obbi módos´ıtása után a megállapod´ as az lett, hogy a Vega (α Lyrae) vizuális magnitud´ oja legyen3.2. V = 0.030, sz´ınindexei pedig legyenek U − B = −0.005, B − V = −0.003, V − RC = −0.009, V − IC = −.005. (A C index a Kron-Cousins rendszerre utal.) Abszolut spektrofotometriával megmérték a Vega Fλ fluxusát a földi légkör fölött, majd kisz´ am´ıtott´ ak 2 a (3.3) t´ıpus´ u integrálokat mindegyik sávra, FU = 2.16 × 10−7 erg/scm FB = 2 2 2 3.17 × 10−7 erg/scm FV = 1.82 × 10−7 erg/scm FRC = 1.04 × 10−7 erg/scm 2 aul ebb˝ol V0 = 0.030 + 2, 5 log FV FIC = 5.87 × 10−8 erg/scm adódott, majd péld´ adja a V sáv nullpontj´ at. A 3.2. ´ abra mutatja a Vega megfigyelt fizikai fluxusát, valamint a Te = 9650 K, logg[cms−2 ] = 3.95 ATLAS légkörmodell Földnél megfigyelhet˝o fizikai fluxusát. (Ez

26


utóbbi u ´gy adódik, hogy a Vega t´ avolságához tartozó ϑ2 = (R/d)2 = 6, 33 × 10−17 es gyeng´ıtéssel kell megszorozni a modell Fλ (R) fluxusát, mert az intersztell´ aris abszorpci´ o 8 pc t´ avolságon elhanyagolható, ezért a Vega luminozit´ asa a Földnél d sugar´ u g¨ omb¨ on oszlik el. A Vega teljes´ıtménye 4πR2 F (R), ez a teljes´ıtmény d t´ avolságban 4πd2 F (d), a kett˝ o egyenl˝ oségéb˝ol adódik a ϑ2 = (R/d)2 -es gyeng´ıt˝o 1 faktor. ) Figyelj¨ uk meg a j´ o egyezést, a keresztek a körök¨ on bel¨ ul vannak. Az összehasonl´ıt´ as kedvéért egy T = 9650K-es Planck-görbét is berajzoltunk, szintén megszorozva R/d2 -es gyeng´ıtéssel. Infravörösben jó az egyezés a megfigyelt fluxussal, de a Balmer- és Lyman-ugr´ asn´ al, illetve az egész λ < 6000˚ A tartományban igen jelent˝ os az eltérés. A 3.3. ´ abra az U BV (RI)C rendszer Sλ sz˝ ur˝of¨ uggvényeit mutatja, az ezekkel képzett wλ = FX , X = U, B, ... fizikai fluxusokat és a nullpontokat a (3.3) definició szerint sz´ amoltuk ebben a bekezdésben. Jó fotometria az, amelyet az Sx (λ) sz˝ ur˝of¨ uggvényekkel definiáltak, péld´ aul ilyen a Str¨ omgren-féle uvby fotometria. Sz˝ ur˝of¨ uggvényeinek elhelyezése is olyan, hogy k¨ ulönb¨ oz˝o sz´ınindexek képzésével a lehet˝o legtöbb asztrofizikai informáci´ ot kapjuk. Az igen széles körben elterjedt Johnson-féle U BV fotometria nem ilyen, mert azt a standardcsillagaival definiált´ ak: bizonyos csillagok sz´ınindexeit megmérték igen sokszor ugyanazzal a m˝ uszerrel ugyanazon helyr˝ol, utalásokat ugyan adtak arra vonatkozóan, hogy milyen fotokatóddal és sz˝ ur˝okombináci´ okkal lehet jól megvalós´ıtani az U BV rendszert, de az alapállás az, hogy a standard sz´ınrendszert kell létrehozni olyan eszk¨ ozökkel, amilyenekkel lehet, s eredetileg a sz˝ ur˝of¨ uggvényeket meg sem mérték. Ez az ´ alláspont az elméleti asztrofizika szempontjaira nem sok tekintettel van: célunk ugyanis az, hogy a sz˝ ur˝of¨ uggvények felhasználásával kisz´ am´ıthassuk péld´ aul egy modell sz´ınindexeit, de ez az Sx (λ)-k ismerete nélk¨ ul nem megy. Az U BV rendszert definiáló fotométer kiselejtezése után évekkel, hosszadalmas munka ´ ar´ an tudt´ ak csak megállap´ıtani mégis a rendszer sz˝ ur˝of¨ uggvényeit. E munk´ ak során azt´ an kider¨ ult, hogy az U sávot a rövidhull´ am´ u oldalon nem a sz˝ ur˝of¨ uggvény, hanem a f¨ oldi légkör vágja le, ezért helyr˝ol helyre kicsit más lesz az U sz´ın, f˝ oleg az obszervatórium tengerszint feletti magass´ agától f¨ ugg˝oen! El˝onye viszont ennek a fotometriai rendszernek, hogy megvalós´ıtása egyszer˝ u, és sok csillagot lehet vele elérni. Széles kör˝ u elterjedtsége miatt asztrofizikai szempontokat is figyelembe vev˝ o megreform´ al´ as´ ar´ ol nemigen lehet álmodni.

1 A Vega t´ avols´ aga d = 8.28 pc= 2.56×1014 km, sz¨ ogsugara ϑ = R/d = 7.95×10−9 . Egy´ ebk´ ent a Vega sugar´ ara R = 2.03 × 106 km = 2, 9R⊙ ad´ odik ´ıgy.


27

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 4000

6000

8000

3.3. ´ abra: Az U BV (RI)C fotometriai rendszer norm´ alatlan sz˝ ur˝ of¨ uggvényei, balr´ ol jobbra U , B, V , forr´ as: Astronomy and Astrophysics 70, 555, 1978, RC , IC , forr´ as: Publ. Astr. Soc. Pacific, 95, 480, 1983 Beszélni szoktunk keskenys´ av´ u, közepes sávszélesség˝ u, szélessáv´ u fotometriákról aszerint, hogy (3.3)-ban Sx (λ) ∆λ félszélessége 1, 10, 100 nm nagys´ agrendjébe esik. A Str¨ omgren-féle uvby fotometria közepes sávszélesség˝ u: λ2 − λ1 ≈ 20 nm, m´ıg az U BV RI, vagy az RGU fotometria szélessáv´ u kör¨ ulbel¨ ul 100 nm széles sávokkal. Az ebbe a kategóriába tartozó fotometriai rendszereket sz˝ ur˝okkel jól meg lehet valós´ıtani. A keskenys´ av´ u fotometriák hatékony megvalós´ıtásához már diszperziós elem (r´ acs vagy prizma) kell, és a sávok kiv´ alasztása mechanikus u ´ ton t¨ orténik: kapukkal vagy u ´jabban CCD matrixok megfelel˝o elhelyezésével. Számos fotometriai rendszer létezik, eml´ıtésre mélt´ o, hogy az RGU rendszert fotografikus rögz´ıtéshez dolgozták ki, ezért ma már elt˝ unt a használatból, m´ıg péld´ aul az SDSS-hez (Alfred Sloan Digital Sky Survey) egy k¨ ulön sz˝ ur˝orendszert konstru´ altak. Ez az u′ g ′ r′ i′ z ′ rendszer, amihez az abszolut kalibr´ aci´ ot szintén megcsin´ alt´ ak2 , teh´ at a magnitud´ o–fizikai fluxus konverzió nem jelent problém´ at. Az asztrofizika szempontj´ aból fontos informáci´ okat a sz´ınkép hordozza. A spektrogr´ afok szolg´ alnak ennek, vagyis wλ -nak rögz´ıtésére. A sz´ınképen bel¨ ul beszél¨ unk kontinuumról és vonalakr´ ol, ez utóbbiak lehetnek abszorpciósak, vagy emissziósak, és természetesen spektrográfunk felbont´ oképességét˝ol f¨ ugg˝oen esetleg bizonyos gyenge vonalak beleolvadhatnak a kontinuumba, vagy összeolvadhatnak egym´ assal: ez utóbbit az angol elnevezés után blend-nek nevezz¨ uk. A vonalakat a hull´ amhosszuk2 AJ

123, 2121, 2002


28

kal és profiljukkal jellemezz¨ uk. A vonalprofil helyett közel´ıt˝o jellemzésre használhatjuk a Wλ ekvivalens szélességet, amit a 10.2. alfejezetben matematikailag is definiálunk majd. Mértékegysége a m˚ A, szemléletes definiciója a 3.4. ábr´ aról olvasható le. ´ eke annak az egységnyi magass´ Ert´ ag´ u téglalapnak a szélessége, amelynek ter¨ ulete abszorpciós vonal esetén a vonal a´ltal a kontinuumb´ ol kitakart ter¨ ulettel, emissziós vonal esetében pedig a vonal ´ altal a kontinuumhoz hozz´ adott ter¨ ulettel egyezik meg. (c)

(l+c)

(c)

|Fλ − Fλ |/Fλ (b) a a a a a a a a a 6 6 a p p p p aaaaaap apapa 1 pp p p pp p p ppp p pp ppp aapapappa a a a a pp pp a a a a aaaa p p p pp p p papapap p p p p p apapp p pp ppp p p pp p pp appaaaaa aaaaa p p p a p p p p a a p p pp p pp pp pp p pa pp pp pp p - λ λ Wλ (c) (l+c) 3.4. ´ abra. (a): Pontozott vonal: a megfigyelt Fλ . (Fλ a kontinuumban, Fλ a vonalakban.) K¨ or¨ ok: az extrapol´ alt kontinuum. (b): Az (a)-ban szerepl˝ o abszorpci´ os vonal Wλ ekvivalens szélességének szemléltetése. Fλ

(a)

A disztorzi´ o hat´ asa a a nagydiszperziós spektroszk´ opi´ an bel¨ ul lehet számottev˝o, mert módos´ıthatja a vonalprofilt. Mind a fotometri´ anak, mind a spektroszk´ opi´ anak négy nagyobb korszaka volt: kezd˝ odtek a vizu´ alis észleléssel, folytatódtak a fotografikus, majd fotoelektromos rögz´ıtési módszerekkel, ma pedig ezek egyre komolyabb vetélyt´ arsa az elektronikus rögz´ıtés. A vizu´ alis megfigyelések hibáj´ aról nehéz nyilatkozni. A fotografikus u ´ton wλ mintegy 10% pontosan mérhet˝o meg, a legnagyobb gond és hibaforrás a fotografikus denzit´ as ´ atszám´ıt´ asa monokromatikus intenzitásba, fluxusba. A fotoelektromos megfigyelésekkel a sz´ azalékos pontosságot nem nehéz elérni, jó asztrokl´ım´ aj´ u helyeken j´ o fotométerrel az ezrelékes pontosság sem lehetetlen. A jelenleg is fejl˝od˝o elektronikus rögz´ıtési technikákban a százalékos pontosság elérése nem okoz k¨ ulön¨ osebb gondot, s az ezrelék elérése sem lehetetlen. Magnitudóba átszámolva ezek a számok 0, 1−0, 01−0, 001 pontoss´ agot jelentenek. Mindezekb˝ ol következik, hogy Fλ+ vagy Iλ (θ, φ) kisz´ am´ıt´ as´ ara ir´ anyuló t¨ orekvéseinkben a százalékosn´ al, ezrelékesnél nagyobb pontoss´ agra nincs sz¨ ukség. P´ ar sz´ ot még arról, hogy az asztrofizika kezdetét onnan szám´ıthatjuk, amikor Joseph von Fraunhofer (1787-1826) áttanulmányozta a Nap sz´ınképében föllelhet˝o sz´ınképvonalakat, ma Fraunhofer-vonalaknak nevezz¨ uk ezeket. Ekkoriban a csillag´ aszok égi mechanik´ aval és poz´ıciós csillagászattal foglalkoztak és érdekl˝odés¨ uk f˝oleg arra terjedt ki, hogy hol van az égitest, és mi kormányozza a mozgását. Ez utóbbi kérdésre szinte teljes választ tudunk ma adni, és a csillagászok érdekl˝odése a XX. sz´ azadban egyre inkább az asztrofizika felé fordult: mit lehet kihámozni a megfigyelt wλ -ból az egyes égitestek természetrajz´ ara. A XX. század utols´ o ne-


29

gyedében szorult h´ attérbe az egyes égitestek asztrofizikája a világegyetem egészét érint˝ o kérdésekkel szemben. Ebben a kérdéskörben az asztrofizika, s f˝oleg az égitestek azon részének fizik´ aja, amelyet látunk, alkalmazott tudományként jelent˝ os s´ ulylyal van jelen. Emellett tudásunkban egyel˝ore számottev˝o hiányosságok is vannak: egy kvazár vagy egy akt´ıv galaxismag sz´ınképének keletkezését egyáltal´ an nem értj¨ uk olyan j´ ol, mint egy csillag sz´ınképét.

30


4. fejezet

A MONOKROMATIKUS ´ ´ ARAML ´ ´ SUGARZ AS ASI EGYENLETE Az ebben a fejezetben követett t´ argyalási mód áttekintést ad, és mennyiségileg helyes eredményekre vezet a sug´ arz´ as áramlásának problém´ aj´ aban nem t´ ul bonyolult geometri´ aj´ u és nem t´ ul inhomogén plazm´ ak esetén. Példaként megnevezhetj¨ uk szinte valamennyi csillag légkörét, a k¨ ulönféle kis¨ ulési csöveket vagy az ´ıvkis¨ uléseket. Ellenpéldaként felhozhatjuk az akkréci´ os korongokat, esetleges forró foltjaikkal egy¨ utt, amelyek a korong éle fel˝ ol optikailag vastagok, m´ıg fel¨ ulr˝ ol nézve vékonyak. A térben egydimenzióssá tehet˝o problém´ ak manapság numerikusan szinte korlátlanul t´ argyalhat´ ok. Nem ´ıgy a térben két- és h´ aromdimenzi´ os modellek, amelyekben nem matematikai, elvi nehézségekkel a´llunk szemben, hanem a jelenlegi szuperszám´ıtógépek t´ arkapacit´ asa és sebessége nem elégséges. Térben egydimenziós, id˝of¨ ugg˝o (teh´ at matematikailag kétdimenziós) problém´ ak — péld´ aul radiálisan pulz´ aló csillagok légkörének modelljei — éppen a szám´ıtástechnikai kezelhet˝oség határán vannak. Miut´ an ´ıgy elhelyezt¨ uk a fejezet anyagát a t´ agabb problémak¨ orben, hozz´ alátunk a legegyszer˝ ubb, az id˝ot˝ol f¨ uggetlen, térben egydimenziós probléma t´ argyalásához. Az itt megismert fogalmak képezik az alapot a bonyolultabb problém´ ak t´ argyal´ as´ ahoz is. A csillagok légköre igen j´ o közel´ıtéssel planparalelnek tekinthet˝ o, ami egy kicsit megk¨ onny´ıti a sug´ arz´ as ´ aramlás´ anak t´ argyalását. Péld´ aul a Nap fotoszféráj´ anak 400 km-es vastagsága elt¨ orp¨ ul a Nap 700000 km-es g¨ orb¨ uleti sugara mellett. Szférikus geometria esetén sincs k¨ ulönösebb nehézség, csup´ an kicsit t¨ obbet kell számolni, hogy a fluxus (∝ r−2 ) h´ıgulás´ at a n¨ ovekv˝o sug´ arral figyelembe vegy¨ uk, mivel a csillag teljes´ıtménye a légkörében a geometriai mélység f¨ uggvényében már álland´ o. 31

32

´ AS ´ ARAML ´ ´ EGYENLETE FEJEZET 4. A SUGARZ ASI

Szuper´ oriás csillagokn´ al lehet péld´ aul sz¨ ukség a szférikus geometria alkalmazására.

4.1.

A monokromatikus ´ araml´ asi egyenlet fel´ır´ asa, forr´ asf¨ uggv´ eny, sug´ arz´ asi egyens´ uly

Legyen x egy geometriai mélység a planparalel rétegz˝odés fels˝o határoló rétegét˝ol 0 θ x ? 4.1.´ abra lefelé sz´ am´ıtva, a ds elemi u ´thossz legyen a dσ fel¨ uleletelem normálisa felé ir´ any´ıtva, amely θ sz¨ oget z´ ar be −x ir´ anyával. Ekkor ds = −dxsecθ,

(4.1)

és (2.15), (2.31) (2.32) alkalmazásával föl tudjuk ´ırni a monokromatikus energiamérleget: dIν (θ) = −κν Iν (θ)ds + ǫν (θ)ds. (4.2) Ez mindössze annyit jelent, hogy a monokromatikus intenzit´ as megv´ altoz´ asa az elnyelt és a kisugárzott monokromatikus energia k¨ ulönbsége. (4.2) fel´ır´ asakor rögt¨ on egyszer˝ us´ıtett¨ unk dνdtdσdΩ-val. (4.1), a (2.35)-b˝ ol következ˝o dτν = κν dx,

(4.3)

és a Kirchhoff-t¨ orvény analógi´ aj´ ara definiált ǫ ν = κ ν Sν ,

(4.4)

Sν forr´ asf¨ uggvény felhasznál´ as´ aval kapjuk, hogy cosθ

dIν (θ, τν ) = Iν (θ, τν ) − Sν (θ, τν ), dτν

(4.5)

ami teljes nevén a monokromatikus sug´ arz´ as áramlási egyenlete. (Angol nyelv˝ u irodalomban ”transfer equation”.) (4.5) bonyolultságát az adja, hogy τν -n kereszt¨ ul a k¨ ulönb¨ oz˝o mélységekben lev˝o (k¨ ulönb¨ oz˝o h˝ omérséklet˝ u) rétegek sug´ arz´ asa kapcsolódik össze, és ezenk´ıv¨ ul Sν -n kereszt¨ ul a más ν ′ frekvenciákon elnyelt sug´ arz´ as is megjelenik. Er˝osen inhomogén közegekben — akkréci´ os korongokban, nagy mágneses térrel b´ır´ o égitestekben — még tovább fokozza ezt a bonyolult helyzetet az, hogy κν , tehát τν f¨ ugg θ-tól.

´ ´ EGYENLET FELÍRASA ´ 4.1. A MONOKROMATIKUS ARAML ASI

4.1.1.

33

A forr´ asf¨ uggv´ eny

A forrásf¨ uggvény dimenzi´ oja ugyanaz, mint Iν -é, termikus egyens´ ulyban pedig azonos a (2.37) Kirchhoff–Planck-f¨ uggvénnyel. Elnevezését ´ıgy érthetj¨ uk meg: Sν -vel adjuk meg azt, ahogy az égitest¨ unk légkörét alkotó plazma sug´ aroz. Pontosabb megad´ as´ ara kés˝ obb még visszatér¨ unk, (4.4) alapján azonban már világos, hogy egy csillag légkörében a plazma elemi sug´ arz´ asi folyamatainak számbavételével adható meg, m´ıg egy csillag belsejében a Planck-f¨ uggvény lesz, mert ott termikus egyens´ uly ´ all fenn. (4.5) teh´ at arról ad számot, ahogyan a csillag mélyében keletkez˝o h˝ omérsékleti sug´ arz´ as azz´ a a vonalas sz´ınképpé alakul, amit megfigyel¨ unk. Sν által´ aban nem f¨ ugg θ-t´ ol, φ-t˝ ol, m´ıg Iν θ-tól való f¨ uggésére már feltétlen¨ ul tekintettel kell lenn¨ unk.

4.1.2.

Sug´ arz´ asi egyens´ uly

(4.5) a monokromatikus energiamérleget fejezi ki: csak annyit mond, hogy a monokromatikus intenzit´ as megv´ altoz´ asa a dτν optikai mélység intervallumban az elnyelés és a kisugárz´ as ered˝oje. Az égitestek légkörében energia (teljes´ıtmény) nem szabadul föl, ezért (4.5)-h¨ oz még egy integrális mellékfeltétel is tartozik, amely ezt kifejezi. Péld´ aul plánparalel geometria és sug´ arz´ asi egyens´ uly esetén a (2.29)-ben definiált sug´ arz´ asi fluxus konstans az x geometriai mélység f¨ uggvényében: Z ∞ Z ∞ Z ∞ 1 dFν (x) 1 dF = dν = κν Jν (x)dν − κν Sν (x)dν = 0, (4.6) 4 dx 4 0 dx 0 0 amint ez (4.5) Ω térsz¨ ogre val´ o integrálásából megkapható, a lépések voltak: szorz´ as κν dΩ/4π-vel, integrál´ as a teljes térszögre és frekvenciatartományra, (2.19), (2.18) definiciók és Sν izotropiáj´ anak felhasználása. Az egy adott ν frekvencián elnyel˝odött sug´ arz´ asnak valamilyen más formában jelentkeznie kell. A folyamatok modellezése viszonylag egyszer˝ u addig, am´ıg az elnyelt sug´ arz´ as más ν ′ frekvenciáj´ u sug´ arz´ asként jelenik meg ugyanabban az x geometriai mélységben Sν ′ részeként, ekkor ugyanis (4.6) szerint Z ∞ Z ∞ κν Jν (x)dν = κν Sν (x)dν. (4.7) 0

0

Ha (4.7) teljes¨ ul egy bizonyos [x1 , x2 ] intervallumban, akkor ott sug´ arz´ asi egyens´ ulyról beszél¨ unk. Az integrál dimenzi´ oja (4.7)-ben teljes´ıtménys˝ ur˝ uség. Amikor sug´ arz´ asi energia (teljes´ıtmény) valamilyen endoterm folyamat energiasz¨ ukségletét fedezi — péld´ aul mozg´ as indul meg, ioniz´ aci´ o t¨ orténik stb., tehát (4.7) bal oldal´ anak egy része elt˝ unik, — vagy valamilyen exoterm folyamat zajlik — péld´ aul kinetikus energia disszip´ al égitest¨ unk légkörében, ioniz´ alt anyag rekombinálódik, molekulák képz˝ odnek stb., akkor p´ otl´ olagos Sν jelenik meg (4.7) jobb oldal´ an, — a természeténél fogva nem monokromatikus energiah´ aztartás fel´ırása nem mindig tartozik a könny˝ u feladatok közé. Konvekció, pulz´ aci´ o esetén vannak olyan tartományok a


34

csillag k¨ uls˝ o részeiben, amelyekben a sug´ arz´ asi egyens´ ulytól számottev˝o eltérések tapasztalhatók. Ezt az eltérést jellemzi péld´ aul a kinetikus és sug´ arz´ asi energia s˝ ur˝ uségének h´ anyadosa az adott tartományban.

4.2.

A monokormatikus ´ araml´ asi egyenlet form´ alis megold´ asa

(4.5) els˝orend˝ u lineáris differenci´ alegyenlet, form´ alis megoldása nem nehéz feladat, mivel a τν → τν′ helyettes´ıtéssel és exp −τν′ secθ-val szorz´ as után át´ırhat´ o a következ˝o alakra: ′ d −τν′ secθ (4.8) e Iν = −Sν e−τν secθ , secθdτν′ amib˝ ol τ1 és τν között τν′ szerinti integrálással és eτν secθ -val szorz´ asb´ ol következik, hogy Z τν ′ Sν (τν′ )e−(τν −τν )secθ dτν′ secθ, (4.9) Iν (τν , θ) − Iν (τ1 , θ)e−(τ1 −τν )secθ = − τ1

és τ1 is természetesen a ν frekvencián veend˝ o. 0 ≤ θ ≤ π/2 esetén (4.9) a kifelé haladó sug´ arz´ as monokromatikus intenzit´ asát ´ırja le, m´ıg π/2 ≤ θ ≤ π a befelé haladó sug´ arz´ asra vonatkozik. Ebb˝ol tudjuk megadni a (4.5) els˝orend˝ u differenciálegyenlethez sz¨ ukséges kezdeti feltételt: Iν (τ1 , θ) értékét. Ha a k´ıv¨ ulr˝ ol befelé haladó sug´ arz´ as monokromatikus intenzit´ asára vagyunk kiv´ ancsiak τν optikai mélységben, (4.9)-ben a kiindul´ o optikai mélység¨ unk τ1 = 0 lesz, ami a csillag k¨ uls˝ o hat´ ar´ anak értelemszer˝ u defin´ıciója. A kezdeti feltétel pedig Iν (0, θ) = 0 lesz π/2 ≤ θ ≤ π mellett, vagyis Z 0 ′ Sν (τν′ )e−(τν −τν )secθ dτν′ secθ (4.10) Iν (τν , θ) = τν

vonatkozik π/2 ≤ θ ≤ π-re. Itt jegyezz¨ uk meg, hogy az Iν (0, θ) = 0 zérus határfeltétel matematikai idealiz´ aci´ o, amit a t´ argyalás kedvéért vezett¨ unk be, a valós´ agot Iν (0, θ) ≪ Iν (τ ≈ 0.1, θ) = 0 jobban ´ırn´ a le. Ha a csillag közepéb˝ol kifelé j¨ ov˝ o monokromatikus intenzitására vagyunk kiv´ ancsiak τν optikai mélységben (0 ≤ θ ≤ π/2), nem követ¨ unk el hibát, ha a véges, de igen nagy τ1 -t τ1 = ∞-nel helyettes´ıtj¨ uk, amivel (4.9) Z ∞ ′ Sν (τν′ )e−(τν −τν )secθ dτν′ secθ. (4.11) Iν (τν , θ) = τν

(4.11) alapj´ an a csillag fel¨ uletén ki´ aramló sug´ arz´ as monokromatikus intenzit´ asa: Z ∞ ′ Sν (τν′ )e−τν secθ dτν′ secθ, Iν (0, θ) = (4.12) 0

´ ´ EGYENLET FORMALIS ´ ´ 4.2. A MONOKORMATIKUS ARAML ASI MEGOLDASA35 ez izotrop Sν esetén is er˝ osen ir´ anyf¨ ugg˝o. A monokromatikus fluxus a csillag fel¨ uletén (2.19) és (4.12) felhasználásával (beszorzás cosθ-val, integrálás φ szerint 0 és 2π között, egyszer˝ us´ıtés π-vel a lépések): Fν+ (0)

Fν (τν = 0) =

=2

π/2

Z

Z

0

∞ ′

Sν (τν′ )e−τν secθ dτν′ sinθdθ,

0

(4.13)

mert a (4.10) kapcs´ an t´ argyaltak szerint Iν (0, θ) = 0 ha π/2 ≤ θ ≤ π, tehát Fν− (0) = 0. A w = secθ, dw = dθsinθ/cos2 θ (4.14) változ´ ok bevezetésével definiáljuk az n-edik integrál exponenci´ alis f¨ uggvényt: Kn (τν ) =

Z

∞

e−wτν dw/wn .

(4.15)

1

Ennek felhasznál´ as´ aval integrálni tudunk (4.10-4.12)-ben θ szerint ha Sν izotrop az integrál´ as τν tartom´ anyában: péld´ aul a közepes monokromatikus intenzit´ as a csillag fel¨ uletén Jν (0) =

1 4π

Z

∞ 0

Z

0

π

Z

2π

Sν (τν )e−τν secθ sinθsecθdφdθdτν =

0

1 2

Z

∞

Sν (τν )K1 (τν )dτν .

0

(4.16)

Ha pedig cosθ-val szorzunk, kapjuk a megfelel˝o fluxusokat: Fν+ (τν ) Z

π

=2

∞

Z

Sν (τν′ )K2 (τν′ − τν )dτν′ ,

τν

′

e−(τν −τν )secθ secθcosθsinθdθ =

π/2

−1

Z

′

e−(τν −τν )w dw/w2 =

(4.17)

Z

∞ ′

e−(τν −τν )w dw/w2

1

∞

(4.18) miatt Fν− (τν )

=2

Z

0

τν

Sν (τν′ )K2 (τν − τν′ )dτν′ ,

(4.19)

a csillag fel¨ uletén pedig Fν (0) = Fν+ (0) = 2

Z

∞

Sν (τν )K2 (τν )dτν .

(4.20)

0

Ebb˝ol az ¨ osszef¨ uggésb˝ ol nyilvánvaló, hogy a luminozit´ as (2.47) definiciój´ aban szerepl˝ o R sug´ ar a τ = 0 optikai mélységhez tartozó sug´ ar.

36

4.3. 4.3.1.


A megold´ as ´ ertelmez´ ese Homog´ en, izoterm plazmanyal´ ab sug´ arz´ asa

Írjuk f¨ ol egy T h˝ omérséklet˝ u izoterm és x vastagság´ u homogén közegb˝ol jöv˝ o sug´ arz´ as intenzit´ as´ at. θ = π ir´ anyb´ ol nézz¨ uk a közeget. A homogenitás azt jelenti, hogy κν ugyanakkora mindenhol, Sν csak T f¨ uggvénye és nem f¨ ugg a τν = κν x optikai mélységt˝ ol. A τ1 = 0-n´ al bees˝ o sug´ arz´ as Iν (0, 0) = 0 legyen, ekkor (4.10) közvetlen¨ ul alkalmazható: Z τν ′ (4.21) Sν (T )eτν −τν dτν′ = Sν (T ) 1 − e−τν . Iν (τν , π) = 0

Ha optikailag vékony a közeg (4.21) értéke Sν (T )τν (τν ≪ 1 miatt sorbafejtett¨ uk az exponenci´ alist, és megálltunk a 2. tagn´ al), m´ıg ha optikailag vastag Sν (T ). uggésb˝ ol megOptikailag vékony esetben teh´ at az Iν1 /Iν2 = Sν1 κν1 /(Sν2 κν2 ) összef¨ mérhetj¨ uk a monokromatikus abszorpciós koefficiensek h´ anyadosát a k¨ ulönb¨ oz˝o frekvenciákon. Laboratóriumi spektroszk´ opia szám´ ara fontos ez az egyszer˝ u összef¨ uggés, ak´ ar asztrofizikai alkalmazási célokra mérj¨ uk egy-egy sz´ınképvonal er˝osségét, profilj´ at, ak´ ar ipari vagy egyéb alkalmazás lebeg a szem¨ unk el˝ott. Ezenk´ıv¨ ul optikailag vékony égitestek — péld´ aul csillagk¨ ozi felh˝ ok tanulmányozásánál is kiindulópontot jelent. Optikailag vastag esetben ilyen mérés nem lehetséges, mert Iν1 /Iν2 ≈ Sν1 /(Sν2 ), κν nem szerepel a h´ anyadosban, a monokromatikus intenzit´ as tart a forrásf¨ uggvényhez. Ebb˝ol a megfontol´ asb´ ol az is világos, hogy izoterm atmoszféra esetén csak a forrásf¨ uggvényt látn´ ank, s ha az a Planck g¨ orbe, akkor vonalas sz´ınkép nem keletkezne.

4.3.2.

A sz´ınk´ epvonalak keletkez´ esi m´ elys´ ege

A 4.2. ´ abr´ ara f¨ olrajzoltuk ¨ onkényes egységekben K2 (τν ), Sν (τν ) és szorzatuk menetét. Megjegyezz¨ uk még, hogy az Sν (τν )e−τν secθ , szorzat menete is hasonl´ o, és az itt elmondand´ o tulajdons´ agok minden fizikailag plauzibilis forrásf¨ uggvényre ugyanazok.

6 ``` ` ` ` qqqqqqqqqqqqqqqqqqq aaaaaa S (τ ) ν ν qqqqaqaqaa aaaaa aaaaa qq q` ` ` ` ` ` ` q a ` ` ` àaaaaa aaaaa qqqqqqqqqqqq qqq qqqqq a aa ` ` ` ` Sν (τν )K2 (τν ) qq aa aaaaa ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `````````` q aa `````` aa a -K2 (τν ) aq τν τν ≈ 0.3 4.2. ´ abra

´ ERTELMEZ ´ ´ 4.3. A MEGOLDAS ESE

37

L´ atnival´ o, hogy (4.12) és (4.20) integrandusainak maximuma van egy bizonyos τν optikai mélységben. Ez a maximum igen k¨ ulönb¨ oz˝o forrásf¨ uggvények feltevése mellett is τν ≈ 0, 3-n´ al van, ezért ezt az optikai mélységet a ν frekvenciáj´ u sug´ arz´ as keletkezési mélységének tekinthetj¨ uk, mert ennél nagyobb mélységekb˝ ol sug´ arz´ as már alig j¨ on ki. Az egyszer˝ uség kedvéért tegy¨ uk fel, hogy κν (x) = κν , vagyis a csillagunk légkörében a monokromatikus abszorpci´ os koefficiens nem f¨ ugg az x geometriai mélységt˝ ol. Ekkor a τν ≈ 0, 3 optikai mélységnek x = 0, 3/κν geometriai mélység felel meg. Mivel az er˝ os sz´ınképvonalak frekvenciáj´ an κν t¨ obb nagys´ agrenddel meghaladhatja κν értékét a környez˝o kontinuumban, az er˝os sz´ınképvonalak frekveni´ aj´ an kis geometriai mélységbe látunk csak be. Ha a csillag légkörében a h˝ omérséklet kifelé haladva cs¨ okken, abszorpci´ os sz´ınképvonalat kapunk, mert Sν a h˝ omérséklettel gyorsan cs¨ okken, s a vonal közepében ezt látjuk átlagolva a vonal keletkezési mélységére. Ha kifelé haladva n˝ o a h˝ omérséklet, emissziós sz´ınképvonalat kapunk, mert ez´ uttal a kisebb geometriai mélységhez nagyobb átlagh˝ omérséklet tartozik. Ez alapján rögt¨ on megértj¨ uk, hogy az emissziós sz´ınkép h˝ omérsékleti inverzióról árulkodik egy csillag légkörében, s mivel az ilyesmi kromoszférák sajátoss´ aga, csillagsz´ınképekben az emisszi´ os vonalak a kromoszferikus aktivitást sejtetik. Mivel egy csillag légköre egyáltal´ an nem izoterm (4.12), illetve (4.20) integrandus´ anak a 4.2. ´ abr´ an bemutatott menete vonalas sz´ınkép keletkezéséhez vezet már akkor is, ha Sν (τν ) helyére a Planck-f¨ uggvényt ´ırjuk, amely ugyan csup´ an folytonos sz´ınképet ´ır le, hiszen az u ¨regsugárz´ asban szó sincs sz´ınképvonalakr´ ol. A csillagok légköre optikailag vastag, a forrásf¨ uggvény jó közel´ıtése a Planck f¨ uggvény, a vonalas sz´ınkép keletkezésének feltétele tehát a h˝ omérsélet zérust´ ol eltér˝o gradiense.

Megjegyz´ es (4.12), illetve (4.16-4.20) tényleges kisz´ am´ıtásakor X

ci Sν (τνi )

(4.22)

i

t´ıpus´ u¨ osszeget szok´ as venni, amely 5–6 tag esetén már a k´ıv´ anatos egy százalékn´ al lényegesen pontosabb, ci -k pedig k¨ ulönösebb nehézség nélk¨ ul meghatározhatók. Ezt az összeget, illetve (4.10-4.12)-öt szok´ as Λ(Sν )-vel is jelölni, ami t¨ om¨ oren azt fejezi ki, hogy (4.10-4.12,4.16-4.20) kisz´ am´ıtásakor Sν (τν )-k milyen kombináci´ oj´ at kell venni a k¨ ulönb¨ oz˝o frekvenciákon és oprikai mélységeken. Szokt´ ak Λ-operátor módszernek is nevezni ezt a fel´ır´ ast, amely már kifejezetten a numerikus megoldást tarja szem el˝ ott.


38

4.3.3.

Perems¨ ot´ eted´ es

Egy csillag peremsötétedését — Iν (0, θ) változ´ asát a θ szög f¨ uggvényében — (4.12) alapj´ an érthetj¨ uk meg. Ha megrajzoljuk a 4.2. ábr´ at k¨ ulönb¨ oz˝o 0 ≤ θ ≤ π/2 szögekre, az j¨ on ki, hogy a perem felé haladva (az egyre nagyobb szög˝ u rálátáskor, tehát θ → π/2, secθ → ∞), (4.12) d¨ ont˝ o járuléka egy adott ν frekvencián egyre kisebb τν értékekb˝ ol, vagyis a kisebb x geometriai mélységekb˝ ol jön, ami kisebb fényességet is jelent, ha nincs h˝ omérsékleti inverzió a ν frekvenciáj´ u sug´ arz´ as keletkezési mélységében. (H˝omérsékleti inverzió esetén — ha ez az inverziós réteg még optikailag vastag is — a perem felé haladva n¨ ovekv˝o Iν (θ)-t észlelnénk, ami peremfényesedéssel egyenérték˝ u!) A Nap peremsötétedését megfigyelték már a XIX. század végén, a fenomenol´ ogikus sug´ arz´ asi elmélet egyik nagy sikere volt, hogy siker¨ ult ezt a jelenséget megérteni.

4.3.4.

Az Eddington-Barbier k¨ ozel´ıt´ es

Feltételezz¨ uk, hogy a forrásf¨ uggvény Taylor-sorba fejthet˝o a csillaglégkörön bel¨ ul, vagyis egy τ ∗ < 1 optikai mélység környezetében: Sν (τ ) = Sν (τ ∗ ) +

dSν (τ − τ ∗ ) + · · · . dτ

(4.23)

Be´ırjuk ezt az ´ aramlási egyenlet (4.12) formális megoldásába és x = τ ′ secθ helyettes´ıtéssel elvégezz¨ uk az integrál´ ast: Iν (0, θ) = Sν (τ ∗ )Γ(1) +

i dSν h Γ(2)cosθ − Γ(1)τ ∗ + · · · . dτ

(4.24)

Nulláv´ a tessz¨ uk a második tagot, elhanyagoljuk a magasabb rend˝ u tagokat, figyelembe vessz¨ uk, hogy Γ(2) = Γ(1) = 1, ´ıgy kapjuk azt, hogy a csillag felsz´ınén Iν (0, θ) ≈ Sν (τ ∗ = cosθ).

(4.25)

Ezt az Eddington-Barbier közel´ıtés. A (4.25) szögf¨ uggés tulajdonképpen a csillag peremsötétedésére, az Iν (0, θ)/Iν (0, 0) ∝ cosθ h´ anyadosra jó közel´ıtés. Be´ırjuk (4.23)-t a csillag felsz´ınén a fluxusra kapott (4.13) kifejezésbe, integrálás után kapjuk, hogy Fν (τν = 0) = Sν (τν∗ )Γ(1) +

i dSν h 2Γ(2) − Γ(1)τ ∗ + · · · ≈ Sν (τν∗ = 32 ). dτ 3

(4.26)

A második tagot itt is null´ av´ a tehetj¨ uk τ ∗ megfelel˝o választásával, a t¨ obbit pedig elhanyagoljuk, ezáltal a ν frekvenciáj´ u fluxus tehát jó közel´ıtéssel megkapható, ha a forrásf¨ uggvény értékét vessz¨ uk ν frekvencián a τν∗ = 23 optikai mélységben. Figyelj¨ uk meg a viszonylag j´ o egyezést a 4.3.2. alfejezetben eml´ıtett τν = 13 dal. Mint ott is eml´ıtett¨ uk, a k¨ ulönb¨ oz˝o frekvenciákhoz (hull´ amhosszakhoz) tartozó

´ ERTELMEZ ´ ´ 4.3. A MEGOLDAS ESE

39

τν∗ = 32 avagy 13 nagyon k¨ ulönb¨ oz˝o geometriai mélységekhez tartozik. Mivel Sν exponenci´ alisban tartalmazza a h˝ omérsékletet rögt¨ on érthet˝ ové válik az, hogy a vonalas sz´ınképben a hull´ amhossz igen csekély k¨ ulönbségéhez igencsak k¨ ulönb¨ oz˝o monokromatikus fluxusok tartoznak. A (4.13) kifejezés itt eml´ıtett tulajdons´ agai adják az alapot a ma már inkább csak t¨ orténeti érdekességként sz´ amontartott megford´ıtó-réteg közel´ıtésnek. ”Megford´ıtó réteg”-nek nevezték a XX. sz´ azad elején a csillaglégkört, illetve egész pontosan annak azt a részét, amelyeben ´ atalakul a vonalakat nem tartalmaz´ o h˝ omérsékleti sug´ arz´ as a vonalas sz´ınképpé. Ha ez a tartomány izoterm volna, akkor a 4.3.1. alfejezet szerint csak az S(T ) forrásf¨ uggvényt láthatnánk, csillaglégkör esetén ez a T h˝ omérséklet˝ u Kirchhoff-Planck f¨ uggvény volna.

4.3.5. A sz´ınkép, vagyis (4.12), illetve (4.20) kisz´ am´ıtása a végs˝ o célunk. Ez meg is szabja a további programunkat. Mivel Sν , κν f¨ ugg a plazma paramétereit˝ ol, péld´ aul a h˝ omérsékletét˝ol, s˝ ur˝ uségét˝ol, mozgásállapotától, a benne lév˝ o mágneses tért˝ ol és még sok egyébt˝ ol, ezek eloszl´ as´ at az x geometriai mélység f¨ uggvényében ki kell szám´ıtanunk, illetve meg kell adnunk csillagunk légkörében. Fizikai intuici´ onk sejteti, hogy a h˝ omérséklet eloszl´ asa a csillaglégkör energiah´ aztartásával van szoros kapcsolatban: péld´ aul kisugárz´ as, mozgások kialakul´ asa h˝ utik a légkört, sug´ arz´ as elnyelése, mechanikai energia disszip´ aci´ oja f˝ utenek. A s˝ ur˝ uség eloszlása és a mozgásállapot azt´ an a csillaglégkör hidrodinamikai sajátoss´ agait´ ol, vagyis impulzusháztartásától is f¨ ugg. Az itt vázolt teljes problémak¨ ort h´ arom nagyobb egységben t´ argyaljuk. Az 5. fejezet nagy vonalakban vázolja a h˝ omérséklet-rétegz˝odés kisz´ am´ıtását. A 7. fejezetben foglalkozunk a csillag légkörének egyens´ ulyával, hogy a légkör globális tulajdons´ agair´ ol és a légkört alkotó plazma mikroszkopikus tulajdons´ agair´ ol számot tudjunk adni. A 6. és ??. fejezetben foglalkozunk azokkal az atomfizikai, plazmafizikai folyamatokkal, amelyek sug´ arz´ as elnyeléséhez és keletkezéséhez vezetnek.

40


5. fejezet

¨ SZURKE MODELLEK A monokromatikus abszorpci´ os koefficiens nagyon er˝osen változik a frekvencia f¨ uggvényében, ez f¨ ol¨ ottébb megnehez´ıti a sug´ arz´ as áramlásának le´ır´ asát még a legegyszer˝ ubb, a stacion´ arius, térben egydimenziós esetben is. Ha κν helyére egy alkalmasan választott κ ´ atlagolt abszorpci´ os koefficienst vezet¨ unk be, a (4.5) monokromatikus áramlási egyenlet ´ alland´ o egy¨ utthatós els˝orend˝ u közönséges differenciálegyenletté egyszer˝ usödik, amely könnyen, analitikusan megoldható. Ez lehet˝ové teszi, hogy az I összintenzit´ as k¨ ulönb¨ oz˝o s´ ulyf¨ uggvényekkel képzett átlagai (momentumai) között viszonylag egyszer˝ u kapcsolatokat tal´ aljunk, amelyek fizikai értelmezése nem t´ ul nehéz. Ezek felhasznál´ as´ aval azt´ an egy csillag légkörében megbecs¨ ulhetj¨ uk ak´ ar a h˝ omérséklet eloszl´ as´ at is, ha csak sug´ arz´ asi folyamatok száll´ıtják ott az energiát. Mivel a frekvenciára valamilyen módon átlagolt abszorpciós koefficienst fogunk ebben a fejezetben használni, amely a frekvenciától tehát már f¨ uggetlen, innen jön az itt t´ argyalt modellek gy˝ ujt˝oneve: sz¨ urke modellek. Jelent˝oség¨ uk mind a mai napig nem veszett el, mert viszonylag egyszer˝ u u ´ton kiindul´ o értéket adnak csillagunk légkörének egy fontos paraméterére, a h˝ omérséklet változ´ asára az optikai mélység f¨ uggvényében. Ezt a kiindul´ o eloszlást azt´ an természetesen finom´ıtani kell nem kevés numerikus munk´ aval, ha mennyiségileg is helyes légkörmodellt akarunk. További érv még a sz¨ urke modellek t´ argyalása mellett, hogy κ jó megv´ alasztása esetén a sz¨ urke modellek egész j´ o közel´ıtést jelentenek, és áttekinthet˝ oség¨ uk bepillant´ ast enged egy igen bonyolult problém´ aba. Vég¨ ul megeml´ıtj¨ uk, hogy κ-t opacit´ asnak is szokták nevezni. 41

¨ FEJEZET 5. SZURKE MODELLEK

42

5.1.

Az Eddington-k¨ ozel´ıt´ es

A dτ = κdx ´ atlagos optikai mélység bevezetésével a monokromatikus áramlási egyenlet — (4.5) —- a következ˝o formát ölti: cosθ

dIν = Iν − Sν , dτ

(5.1)

amelyet frekvenciára integrálva kapjuk, hogy cosθ

dI = I − S. dτ

(5.2)

(5.2)-t ´ atlagoljuk a térsz¨ ogre (beszorzunk dΩ/4π-vel és integrálunk), S izotropiája miatt 1 dF = J − S = 0, (5.3) 4 dτ mert (2.18) analógi´ aj´ ara Z π Z 2π IdΩ/4π, (5.4) J= 0

0

és sug´ arz´ asi egyens´ uly esetén (4.7) szerint J = S,

(5.5)

tehát modell¨ unk F fluxusa konstans. Integráljuk (5.2) cosθ/4π-szeresét a térszögre, S izotropiája miatt az eredmény: F (0) dK = , dτ 4 ahol K=

Z

0

π

Z

2π

Icos2 θdΩ/4π →

0

(5.6) I J = . 3 3

(5.7)

A csillag belsejében ugyanis I egyre inkább izotropp´ a válik, ezért (5.7)-ban kivihet˝o az integráljel elé, a maradék pedig már könnyen integrálható, értéke 1/3. Az izotropia miatt egyben I = J lesz. (Eddington közel´ıtésnek nevezz¨ uk ezt A. S. Eddington (1882-1944) emlékére, aki a sug´ arz´ as áramlásának t´ argyalásában is maradand´ ot alkotott az asztrofizikában.) Mindezekb˝ ol következik, hogy τ → ∞ esetén (5.6) megoldása 3 (5.8) J(τ ) = F (0)τ + konstans, 4 és a konstans értékét u ´gy választjuk meg, hogy a csillag fel¨ uletén (τ = 0) legyen J(0) =

1 F (0). 2

(5.9)

¨ ETED ´ ´ 5.2. CSILLAGOK PEREMSOT ESE

43

F (0) ´ır´ as´ aval (5.6)-tal kezd˝ od˝oen azt hangs´ ulyozzuk, hogy ez egy konstans számérték, (2.47) szerint aTe4 . Az (5.9) választás okai a következ˝ok: itt a befelé haladó sug´ arz´ as (π/2 ≤ θ ≤ π) ¨ osszintenzit´ asa I(0, θ) = 0, a kifelé haladó sug´ arz´ as összintenzit´ asa izotropnak vehet˝ o, vagyis az Eddington-k¨ ozel´ıtést érvényesnek vessz¨ uk a csillag fel¨ uletén a 0 ≤ θ ≤ π/2 tartom´ anyban is: ekkor Z π/2 Z 2π 1 1 π/2 J(0) = (5.10) I(0, θ)sinθdφdθ = − cosθ|0 I(0) = I(0)/2 4π 0 2 0 és hasonl´ oan adódik, hogy Z π/2 Z + πF (0) = πF (0) =

2π

sin2 θ π/2 | I(0) = πI(0), 2 0 0 0 (5.11) amib˝ ol éppen (5.9)-t kapjuk. (5.8) és (5.9) összevetésével kapjuk, hogy 2 3 , (5.12) J(τ ) = F (0) τ + 4 3 I(0, θ)cosθsinθdφdθ = 2π

továbbá sug´ arz´ asi egyens´ uly esetén (5.5) miatt 3 2 S(τ ) = F (0) τ + , 4 3

(5.13)

és természetesen a konstans fluxust vehett¨ uk a csillag fel¨ uletén. Ebb˝ol még látszik az is, hogy az Eddington-Barbier közel´ıtés kapcsán a (4.23) sor els˝o két tagjára szor´ıtkozás igen j´ o közel´ıtés. ¨ Osszefoglalva: • sz¨ urke modell¨ unk fluxusa konstans, • az Eddington-k¨ ozel´ıtés érvényes benne minden¨ utt, • de a csillag fel¨ uletén ennek ellentmondó határfeltételt adtunk meg, amit˝ ol F + = F 6= 0 lett. • ´ıgy elkövetett hiba kör¨ ulbel¨ ul F/J, ami null´ ahoz tart, ha τ → ∞.

5.2.

Csillagok perems¨ ot´ eted´ ese

A meglehet˝osen bonyolult probléma t´ argyalásában alkalmazott nagyfok´ u egyszer˝ us´ıtések ellenére (5.12) igen j´ o közel´ıtés. Err˝ol meggy˝oz˝odhet¨ unk t¨ obbek között azzal, hogy kisz´ am´ıtjuk egy csillag peremsötétedését. Be´ırjuk (5.12)-et (4.12)-be, (5.1.4) szerint a forrásf¨ uggvény azonos J-vel, az izotropiája miatt az integrálás nem nehéz feladat, kapjuk, hogy Z ∞ 2 −τ secθ 2 3 3 τ¯ + e dτ secθ = F (0) cosθ + . (5.14) I(0, θ) = F (0) 4 3 4 3 0


44

Ebb˝ol csillagunk korongj´ anak peremsötétedésére az igen egyszer˝ u 3 2 I(0, θ) 1 + cosθ = I(0, 0) 5 2

(5.15)

o¨sszef¨ uggés adódik, amelynek ¨ osszevetését a Napon megfigyelt peremsötétedéssel az 5.1. ´ abra ´ abr´ azolja. I(0,θ) I(0,0)

1 6 PpPp p p PP p pmegfigyelt ?p PP Pp p p .4 (5.2.2)6 P p p 1 0 cosθ 5.1. ´ abra. A perems¨ otétedés a Napon.

5.3.

A sz¨ urke modell h˝ om´ ers´ eklet-r´ etegz˝ od´ ese

Ha (5.12)-ben F (0) helyére be´ırunk (2.46) alapján aTe4 -t, és figyelembe vessz¨ uk, hogy J = aT 4 , mert a (2.18) definició (2.8.2a)-vel éppen ezt adja J-re, s ez τ → ∞ esetén biztosan j´ o közel´ıtés, kapjuk hogy modell¨ unk h˝ omérsékleteloszlása T 4 (τ ) =

3 4 2 . Te τ + 4 3

(5.16)

Ily módon a Te effekt´ıv h˝ omérséklet (2.47) definiciój´ anak megfelelel˝oen jártunk el: modell¨ unk fluxusa pont annyi, mint amennyit a Te h˝ omérséklet˝ u fekete test bocsát ki az egyik hemiszfér´ aba. A modellben T = Te a τ = 2/3 optikai mélységben következik be. Ezért van az, hogy a csillagbels˝ok modellezésében τ = 2/3 a szok´ asos k¨ uls˝ o hat´ ar. Nyilv´ anval´ o, hogy a csillag belseje felé haladva (5.16) egyre jobb közel´ıtés. A modell hat´ arh˝ omérséklete T (0) = 2−1/4 Te . Tájékoztatásul annyit, hogy a Napon Te = 5780 K, m´ıg a hat´ arh˝ omérséklet 4860 K. Az empirikus légkörmodellek szerint kevesebb a hat´ arh˝ omérséklet, az eltérés oka nyilván az, hogy (2.37) τ = 0-n´ al nem t´ ul j´ o, s az Eddington-k¨ ozel´ıtés is egyre kevésbé közel´ıti a valóságot.

5.4.

A Rosseland-f´ ele opacit´ as

A sz¨ urke modellek lényeges paramétere κ, amelyet t¨ obbféleképpen szám´ıthatunk ki. Ezzel tulajdonképpen azt mondjuk, hogy a sz¨ urke és a nem sz¨ urke modelleket (vagyis a val´ os´ agos légkört) t¨ obbféleképpen lehet kapcsolatba hozni, s a k¨ ulönb¨ oz˝o

´ ´ 5.4. A ROSSELAND-FELE OPACITAS

45

alkalmazásokban meg kell fontolnunk, hogy melyik középérték használatával kaphatjuk a val´ os´ agos sug´ arz´ o tartományt, légkört, csillagk¨ ozi g´ azfelh˝ot vagy éppen egy laboratóriumi kis¨ ulést legjobban közel´ıt˝o sz¨ urke modellt. Sz¨ urke modell¨ unk filozófiáj´ anak a κR Rosseland-féle középérték felel meg a legjobban. Ennek képezésekor azt akarjuk, hogy (5.6) és az Eddington-k¨ ozel´ıtés — K = J/3, Kν = Jν /3 — teljes¨ uljön, és még legyen Z ∞ Z ∞ Z ∞ Fν 1 1 dK F dKν dKν dν = dν = dν = = . (5.17) 4 κ dx κ dx κ dx 4 ν R 0 R 0 0 Mivel az Eddington-k¨ ozel´ıtés teljes¨ ulésekor Jν helyére a (2.37) Planck-f¨ uggvény ´ırhat´ o, J helyére pedig a Stefan–Boltzmann-t¨ orvény (J = aT 4 ), és ezekben csak T f¨ ugg az x geometriai mélységt˝ ol, ezen f¨ uggvények x szerinti deriválásával kapjuk, hogy 2h2 ν 4 eα dKν 1 dT 2hν 3 d = = (5.18) 2 2 2 α 2 hν/kT dx 3c dx e 3kT c (e − 1) dx −1 és

d 8π 4 k 4 T 3 dT dK = aT 4 /3 = . dx dx 45c2 h3 dx (5.4.1)-be val´ o helyettes´ıtés után adódik, hogy Z ∞ 1 α4 eα 1 15 = dα, κR κν 4π 4 eα − 1 2 0

(5.19)

(5.20)

ahol α = hν/kT . Nyilv´ anval´ o, hogy κR a plazma kémiai összetételét˝ol κν -n kereszt¨ ul f¨ ugg, és ugyanazon kémiai ¨ osszetétel˝ u plazm´ ara is más-m´ as lesz T változ´ asával. Az 5.1. ´ abra mutatja a monokromatikus abszorpciós koefficiens értékét a hull´ amhossz f¨ uggvényében, és a Rosseland-féle középértéket.

5.1. ´ abra. logκλ és logκR cm−1 egységekben. Bizonyos kör¨ ulmények között van értelme a Planck-féle középérték használatának: Z ∞ .Z ∞ κPl = κν Jν dν Jν dν, (5.21) 0

0

amelyben Jν a (2.37)s Planck-f¨ uggvény. Ha Jν helyére valamilyen más monokromatikus közepes intenzit´ ast ´ırunk, akkor az (5.21) által definiált középértéket κabsz. abszorpci´ os középértéknek nevezz¨ uk. Ennek használata azonban nagy optikai mélységeken kifejezett hiba, igen h´ıg plazm´ ak (péld´ aul csillagk¨ ozi g´ azfelh˝ok) t´ argyalásakor viszont hasznos lehet. Egy csillag közepében, illetve a légkör már nem is t´ ul nagy optikai mélységeiben a Rosseland-féle középérték jó lesz, mert a levezetésekor kik¨ otött feltételek (Eddington-közel´ıtés, Jν a Planck-f¨ uggvény) gyorsan teljes¨ ulnek τ n¨ ovekedésével.


46

Az abszorpci´ os középérték kisz´ am´ıtásakor a plazma egyes komponenseihez tartoz´ o κν -k addit´ıv módon j´ arulnak κabsz. -hoz, ami a kisz´ am´ıtást megk¨ onny´ıti k¨ ulönb¨ oz˝o g´ azkeverékekre. A Rosseland-féle középértéknek nincs meg ez a kényelmes tulajdons´ aga. A κR -rel képezett τ optikai mélységet szokták használni a leggyakrabban a szakirodalomban t´ abl´ azatosan megadott csillaglégkör-modellekben az x geometriai mélységsk´ ala helyett. Nyilv´ anvaló ennek a választásnak az értelme: τ a sz¨ urke modellek keretein bel¨ ul egy mérésekkel is megfoghat´ o fizikai mér˝osz´ am.

5.5.

A h˝ om´ ers´ eklet eloszl´ as´ anak korrekci´ oja sz¨ urke modellekben, konstans fluxus´ u l´ egk¨ ormodellek

A Rosseland-féle opacit´ assal vett sz¨ urke modellek F fluxusa csak akkor volna álland´ o τ f¨ uggvényében, ha teljes¨ ulnének a levezetéskor eml´ıtett feltételek: vagyis hogy a monokromatikus abszorpci´ os koefficiens helyettes´ıthet˝o a bármely frekvencián ugyanakkora κ ´ atlagos (Rosseland) abszorpciós koefficienssel (opacitással) és jó az Eddington-k¨ ozel´ıtés. Mivel a csillag légkörében ezek egyre kevésbé teljes¨ ulnek, ezért a jó kiindul´ asnak sz´ am´ıt´ o T (τ )-t még iterat´ıv h˝ omérséklet-korrekciónak kell alávetni ha konstans fluxus´ u légkörmodellt akarunk. A h˝ omérséklet korrekciój´ ara t¨ obb numerikus algoritmus is létezik, ezeket nem ismertetj¨ uk most itt, csup´ an az eddig megtanultak felhasznál´ as´ aval érzékeltetj¨ uk a fizikai lényeget. Az elérend˝o cél az, hogy a korrigált T (τ )-val teljes¨ uljön Z ∞ Fν (τν )dν = aTe4 /π, F (τ ) = F + (τ ) − F − (τ ) = (5.22) 0

ahol F + (τ ) és F − (τ ) a 4.2 alfejezetben megadottak szerint szám´ıtható ki: a forrásf¨ uggvényt izotropnak tételezve fel Z ∞ Z ∞ + dτν′ Sν (τν′ )K2 [τν′ − τν (τ )], dν F (τ ) = 2 (5.23) τν (τ )

0

m´ıg −

F (τ ) = 2

Z

0

∞

dν

Z

0

τν (τ )

dτν′ Sν (τν′ )K2 [τν (τ ) − τν′ ].

(5.24)

Elvi nehézség itt nincs, a numerikus nehézségek érzékeltetésére felsoroljuk azokat a részleteket, melyek F + (τ ) és F − (τ ) kisz´ am´ıtását megnehez´ıtik a 0 ≤ τ ≪ 1 tartom´ anyban. Tekintettel kell lenn¨ unk arra, hogy egy τ optikai (geometriai) mélységhez k¨ ulönb¨ oz˝o monokromatikus optikai mélységek tartoznak. (5.23) kevésbé érzékeny rá, (5.24)-ban azonban izotrop Sν feltételezése τν ≈ 0 környékén (péld´ aul Sν = Bν ) bizonyos hib´ at hozhat be. Ha figyelembe vessz¨ uk Sν eltérését Bν -t˝ol és ha (4.10) Iν (τν , θ)-j´ at közvetlen¨ ul átlagoljuk a cosθ s´ ulyf¨ uggvénnyel, ez a hiba

˝ ERS ´ EKLET ´ ´ ANAK ´ ´ 5.5. A HOM ELOSZLAS KORREKCIOJA

47

tetemes mennyiség˝ u numerikus munk´ aval kissebb´ıthet˝o. Ezek miatt a h˝ omérséklet rétegz˝ odésének kisz´ am´ıt´ asa a légkör k¨ uls˝ o részében nem tartozik a könny˝ u feladatok közé. Foglalkozni azért kell ezzel a tartománnyal, mert az er˝os rezonanciavonalak — péld´ aul a Na I D1 és D2 vonalai a Napon — ebben a tartományban keletkeznek. A korrekci´ o menete az, hogy T (τ ), s ezen kereszt¨ ul F (τ < 1) értékét addig kell változtatni, am´ıg |πF (τ ) − aTe4 | szórása a légkör teljes τ tartományában egy adott bizonyos érték (péld´ aul 1%) alá nem csökken, ehhez a pontossághoz T (τ )-t nyilván kör¨ ulbel¨ ul 0,25% pontosan kell meghatározni. A sz¨ ukséges iteráci´ ok száma természetesen u ¨gyesség¨ unk¨ on k´ıv¨ ul a kiindul´ o T (τ ) jóságától is f¨ ugg. Tapasztalati tényként kell tudom´ asul venn¨ unk, hogy a sz¨ urke modellek értékesek ma is, mert minim´ alis munk´ aval egészen j´ o kiindul´ o h˝ omérséklet-rétegz˝odést adnak. Eleinte csak a folytonos sz´ınképr˝ ol sz´ amot adó κν -vel végezték a h˝ omérséklet korrigálását, kés˝obb az er˝ os sz´ınképvonalakat is belevették κν -be (f˝ oleg a Balmer-vonalakat a látható sz´ınképtartományban), az 1980-as évek vége felé pedig már megjelentek azok a légkörmodellek, amelyekben a fluxus álland´ oságának kisz´ am´ıtásakor t¨ obbmilli´ o gyenge fémvonal hat´ as´ ara is tekintettel voltak. (Angol szakirodalomban ”line-blanketed” modellekr˝ol szok´ as beszélni.) A sz´ınképvonalak hatása egyfajta visszameleg´ıtés (”back-warming”) a csak folytonos abszorpciós koefficinesre tekintettel lév˝ o modellekhez képest: az egyes frekvenciatartományokban jelent˝ osen megnövekv˝ o κν hat´ asa az, hogy meredekebbé teszi a h˝ omérséklet eloszlását, vagis egy adott τ -hoz tartozó T nagyobb lesz. Végezet¨ ul megjegyezz¨ uk, hogy a T (τ )-ra itt vázolt korrekciós eljárás csak sug´ arz´ asi egyens´ ulyban lév˝ o csillaglégkörre vonatkozik. A korrekció után még meg kell vizsgálni, hogy a légkör τ tartományában van-e konvekt´ıv instabilitás, s ha igen, ott a konvekci´ o hat´ as´ at is be kell szám´ıtani a h˝ omérséklet-rétegz˝odésbe. Így kell eljárni akkor is, ha a csillag légkörében a h˝ ovezetés számottev˝o.

48


6. fejezet

´ UGGV ¨ ´ A FORRASF ENY A Kirchhoff-t¨ orvény analógáj´ ara definált forrásf¨ uggvény termikus egyens´ ulyban a Planck-f¨ uggvény, amely csak a frekvenciától és a h˝ omérséklett˝ol f¨ ugg. A csillagok légköre azonban nincs termikus egyens´ ulyban, ezért a forrásf¨ uggvény u ´ gy volna megadhat´ o, hogy sz´ ambavessz¨ uk az összes elemi folyamatot, amelyek sug´ arz´ as kibocs´ atás´ ara vezetnek. Ha ´ atgondoljuk, ´ıgy reménytelen a feladat, mert egy-egy kémiai elemnek ak´ ar t¨ obbmilli´ o energiaszintje is lehet a 0 < E ≈ kT energiaintervallumban, s ezek között sz´ amtalan megengedett átmenet van. Az itt mondottak miatt megpr´ obáljuk a f˝ obb elemi sug´ arz´ asi folyamatokat t´ıpusuk szerint rendezni, majd f¨ ol´ırni rájuk a forrásf¨ uggvényt, és ezzel a sugárz´ as áramlásának problém´ aj´ at jegyzet¨ unk formalizmusának keretei között a lehet˝o leg´ altal´ anosabban föl´ırni.

6.1.

Az ´ atmenetek t´ıpusai

Ebben a fejezetben a ν index nélk¨ uli abszorpciós vagy szórási koefficiens folytonos, tehát nem vonalas sz´ınképben lezajló átmenetre utal. A folytonos sz´ınképet alak´ıtó mikroszk´ opos folyamatok f˝ o t´ıpusa a szabad-szabad (sz-sz) átmenet, amelynek során a plazma egy részecskéjén sz´ or´ odik egy foton. A vonalas sz´ınképet a kötött-kötött (k-k) t´ıpus´ u´ atmenetek alak´ıtj´ ak. Ezek mellett vannak még a kötött-szabad t´ıpus´ u átmenetek, amelyeknek a két lényegesen k¨ ulönb¨ oz˝o t´ıpusa létezik. A radiat´ıv ioniz´ aci´ o során foton elnyelése árán kapunk egy szabad elektront, a folyamat inverze pedig a rekombin´ aci´ o. A folyamat sém´ aja AQ + hν ⇀ ↽ A∗Q+1 + e− ,

(6.1)

Q az atom vagy ion ¨ osszt¨ oltése. Ezek a folyamatok a sz´ınkép folytonos részét formálj´ ak az abszorpci´ os k¨ usz¨ obhöz tartozó frekvenciák fölött. Ilyen abszorpciós k¨ usz¨ oböket az Z 2 me4 En = − 2 2 (6.2) 2¯ h n 49

50

´ UGGV ¨ ´ FEJEZET 6. A FORRASF ENY

Balmer-képlet kapcs´ an a hidrogén spektrum´ aból ismer¨ unk: n = 1, 2, 3, 4-hez rendre a Lyman-, Balmer-, Paschen- és a Pfund-k¨ usz¨ obök tartoznak, amelyeknek frekvenciája ν = |En |/h, λ = c/ν ≈ 91, 2, 365 stb nm. A k¨ usz¨ oböket szok´ as ugr´ asnak is nevezni, mert a k¨ usz¨ obnél nagyobb energiákon belép egy u ´jabb fajta átmenet, amely kisebb energiákon nem lehetséges. Ez nyilvánvalóan a k¨ usz¨ obnél hirtelen ugr´ assal jár a monokromatikus abszorpci´ os koefficiens értékében. A Balmer-ugr´ as péld´ aul az A csillagok sz´ınképében egy nagyon szembe¨ otl˝ o sajátoss´ ag. Az egyelektron spektrumok aszimptotikusan mind hidrogénszer˝ uek, ezért a hidrogénnél nehezebb elemek sz´ınképében is jelentkeznek abszorpciós k¨ usz¨ obök, péld´ aul a semleges He abszorpci´ os k¨ usz¨ obei szembet˝ un˝ oek a B t´ıpus´ u csillagok sz´ınképében. Az autoioniz´ aci´ o (kételektronos ioniz´ aci´ o) során egy foton a Q t¨ oltés˝ u A iont (atomot, ha Q = 0) el˝ osz¨ or oly magasra gerjeszti, hogy egy Bohr-féle atommodellben gondolkozva két elektron ker¨ ul az alapállapot fölé, vagyis u ´ gynevezett kétszeresen gerjesztett ´ allapot j¨ on létre, amely igen gyorsan szabad elektronná és fotonná bomlik el akkor, ha a kétszeresen gerjesztett állapot energiája AQ ioniz´ aci´ os k¨ usz¨ obe fölött, tehát a kontinuum´ aban van. Ezut´ an a Q+1 t¨ oltés˝ u ion egyszeresen gerjesztett vagy alapállapotban marad viszza. Nem fizikai sz¨ ukségszer˝ uség, de a tapasztalat szerint péld´ aul a semleges héliumnál az A∗∗ k´ e tszeresen gerjesztett állapotok egyt˝ol egyig az Q AQ+1 (Z = 2 magt¨ oltés˝ u) hidrogénszer˝ u ion kontinuum´ aban helyezkednek el. Ez a két lépcs˝ oben lezaj´ o k-sz t´ıpus´ u´ atmenet (el˝ osz¨ or egy k-k t´ıpus´ u folyamat, amit egy k-sz t´ıpus´ u követ) igen er˝ os és széles vonalakat hoz létre bizonyos ν értékek kör¨ ul, amelyek rezonanciacs´ ucsok a radiat´ıv ioniz´ aci´ o egyébként ν szerint meglehet˝osen egyenletesen változ´ o κν -jén. Természetesen a folyamat inverze is létezik, amelyet kételektronos rekombin´ aci´ onak nevez¨ unk. A folyamat sém´ aja: − ⇀ ∗ AQ + hν ⇀ ↽ A∗∗ Q ↽ AQ+1 + e .

(6.3)

Megjegyezz¨ uk még, hogy a héliumnál bonyolultabb elektronkonfiguráci´ oj´ u atomok körében sz´ amos olyan kétszeresen gerjesztett állapot van, amelynek energiája az atom ioniz´ aci´ os k¨ usz¨ obe alatt helyezkedik el. Az autoionizáci´ o és a kételektronos rekombináci´ o járuléka jelent˝ os h´ıg plazm´ akban, olyanokban, amilyenek csillagok kromoszféráj´ aban vagy koronáj´ aban fordulnak el˝o. Bár asztrofizikai szempontból is fontos volna pontosan, mennyiségileg érteni a kételektronos folyamatokat, amelyek jelent˝ oségér˝ol már a negyvenes évek óta tudunk, be kell vallani, hogy t´ avol állunk ett˝ ol. E folyamatok ma is folyó kutat´ asok t´ argy´ av´ a váltak az utóbbi években, mert siker¨ ult el˝oa´ll´ıtani olyan laboratóriumi plazm´ akat, melyekben fontos szerepet játszanak. Hogy csak egy fontos péld´ at eml´ıts¨ unk: gyors´ıt´ okban el˝ oa´ll´ıtott ionsugarakat u ´gy lehet h˝ uteni, hogy hideg elektronsugarat vezet¨ unk be az ionsug´ arba. H˝ utés akkor jön létre, ha az ionok random mozg´ asait az elektronsug´ ar lefékezi, ennek a h˝ utésnek az el˝ofeltétele, hogy ne tudjanak az ionok rekombin´ alni. A radiat´ıv egyelektronos rekombináci´ o valószin˝ usége kicsi, nem ´ıgy a kételektronos rekombináci´ oé, ha a h˝ utend˝ o ionoknak legal´ abb egy t¨ orzselektronjuk van, és a h˝ ut˝o elektronok energiája szerencsétlen¨ ul, egy kontinuumban fekv˝ o kételektronos gerjesztett állapot közelébe esik. (Ilyenkor a h˝ ut˝o elektront

´ AS, ´ VALODI ´ ABSZORPCIO, ´ EXTINKCIO51 ´ 6.2. KOHERENS, INKOHERENS SZOR elnyelik a h˝ utend˝ o ionok, amelyeknek ett˝ ol megv´ altozik a Q-ja, s ezért kirep¨ ulnek a mágneses csapd´ aban tartott nyalábból.) Kés˝ obb még gyakran fog szerepelni a rezonanciavonal fogalma, a lehetséges átmenetek osztályozása j´ o alkalom annak pontos definiálására, hogy mit nevez¨ unk rezonanciavonalnak. Ha egy ion vagy atom alapállapota és els˝o gerjesztett állapota között ´ atmenet j¨ on létre, az alapállapotba visszaker¨ ulés valósz´ın˝ usége igen nagy, mivel máshová nincs spont´ an u ´t. Az els˝o gerjesztett állapot élettartama ráadásul által´ aban igen rövid, mert nagy az átfedés a két állapot hullámf¨ uggvénye között. E két dolog ered˝ojeként ez a vonal által´ aban sokkal er˝osebb az ion t¨ obbi vonalánál. Ilyen vonal péld´ aul a CaII H és K vonala, a NaI D1 és D2 vonala, hogy csak néhány ismertebb Fraunhofer-vonalat eml´ıts¨ unk a Nap sz´ınképéb˝ol. (A római II helyesen u ´gy olvasandó, hogy a kalcium m´ asodik sz´ınképének H stb vonala. E régi spektroszkópiai megjelel¨ olés onnan ered, hogy az elg˝ ozölögtetett elem sz´ınképvonalai a h˝ omérséklet fokozódás´ aval egym´ as után jelentek meg a római számok által megadott sorrendben, I felel meg a semleges elemnek, II az egyszeresen ioniz´ altnak és ´ıgy tovább.) Csak annyi közös a rezonanciavonalakban és a folytonos sz´ınképben megjelen˝o abszorpci´ os rezonanciákban, amilyenekr˝ ol az el˝oz˝o bekezdésben szóltunk a kételektronos ioniz´ aci´ o, illetve rekombináci´ o során, hogy mindkett˝ o nagy szélességét a gerjesztett ´ allapot rövid élettartama okozza. (A vonalkiszélesedésr˝ol szóló fejezetben még visszatér¨ unk a kérdésre, és belátjuk, hogy miért vezet széles vonalakra a gerjesztett ´ allapot rövid élettartama.) E bevezet˝o megjegyzések után számba vessz¨ uk a forrásf¨ uggvénybe járulékot adó folyamatok t´ıpusait, s ezekkel vég¨ ul fel´ırjuk a monokromatikus áramlási egyenletet. (4.21) kapcs´ an bel´ attuk, hogy izoterm, optikailag vastag plazmában Sν → Iν τν n¨ ovekedésével. A csillag légkörében τν < 3 és a h˝ omérséklet gradiense sem nulla, ezért Sν jelent˝ osen eltérhet Iν -t˝ ol, de a kett˝ o között még mindig szoros és viszonylag könnyen ´ attekinthet˝ o kapcsolat ´ all fenn.

6.2.

Koherens, inkoherens sz´ or´ as, val´ odi abszorpci´ o, extinkci´ o

Koherens sz´ or´ asról akkor beszél¨ unk, ha az elnyelt és a kibocsátott foton hull´ amhossza azonos. A σ és σν sz´ or´ asi koefficiensekkel jellemezz¨ uk (ez is t´ avolság−1 dimenzi´ oj´ u), amelynek ir´ anyt´ ol való f¨ uggetlensége esetén a koherens szórás járuléka a forrásf¨ uggvényhez Z dΩ = (σ + σν )Jν , (6.4) (σ + σν )Iν 4π Ω (6.4) szavakban kifejezve azt mondja, hogy a szórási folyamatban elnyelt fotonok azonos frekvencián hiánytalanul megjelennek és térbeli eloszlásuk g¨ ombszimmetrikus. Gömbszimmetri´ atól val´ o eltérés esetén az integráljel után be kell iktatni a szórás szögf¨ uggését, és természtesen már nem fejezhet˝ o ki a forr´sf¨ uggvénybe kapott járulék

52


a sz¨ ogt˝ ol f¨ uggetlen Jν -vel. Mivel a csillag légkörében sem σ, sem Iν nem ir´ anyt´ ol f¨ uggetlen, gondoljunk péld´ aul a Rayleigh- és a Thomson-sz´ orás indikatrixára (σ ∝ 1 + cos2 θ), és a peremsötétedés t´ argyal´ asakor levezetetett Iν ∝ 1 + (3/2)cosθ-ra, (6.4) bizonyos közel´ıtést jelent természetesen, amely azonban nem is nagyon rossz, mert (6.4)-ben a σν Iν szorzat szerepel. A koherens sz´ orás inkább a szabad-szabad t´ıpus´ u átmenetekre jellemz˝ o: fotonok rugalmas sz´ oródásáról van itt szó, valamint a rezonanciavonalaknak f˝ oleg a közepére, mivel ez a rész olyan átmenetekb˝ol származik, amelyekben a gerjesztett ´ allapot élettartama igen rövid, s szemléletesen szólva nincs id˝o a gerjesztés rövid ideje alatt arra, hogy számottev˝oen megv´ altozzék az atom mozg´ as´ allapota a foton elnyelése és kibocsátása között. Ezért az elnyelt, majd kibocs´ atott foton frekvenciája azonos lesz. Inkoherens sz´ or´ asról akkor beszél¨ unk, ha egy elnyelt ν frekvenciáj´ u fotont egy ν ′ ′ frekveci´ an ad vissza egy atom, és |ν − ν |/ν ≪ 1. A kis frekvenciaváltoz´ as péld´ aul a Doppler-effektus miatt következhet be, mert a gerjesztés rövid, de véges id˝otartama alatt az atomunk mozg´ as´ allapota megv´ altozott. A rezonanciavonalak közepét˝ol t´ avol már az inkoherens sz´ or´ as határozza meg a vonal profilját. A folyamatot az ιν szór´ asi koefficiens seg´ıtségével jellemezz¨ uk: (6.4) analógi´ aj´ ara az inkoherens szórás járuléka a forrásf¨ uggvényhez Z Z ι dΩ R ν ιν Iν dν . (6.5) 4π ιν dν Ω (Az atomi reemisszi´ o az atomok rendezetlensége miatt teljesen izotrop, ezértitt ιν izotropnak tekinthet˝ o. Kivétel képezhet péld´ aul az, ha er˝os mágneses tér rendezi az atomokat.) Természetesen ιν csak a t´ argyalt vonalon bel¨ ul tér el számottev˝oen a null´ atól. (6.5) szavakban elmondva azt jelenti, hogy a sz´ınképvonalban Iν teljesen átrendez˝odik, de ez az ´ atrendez˝ odés csak a sz´ınképvonal frekvenciatartományára vonatkozik. Ezért teljes redisztribuci´ onak is szoktuk nevezni ezt a folyamatot. Val´ odi abszorpci´ oról akkor beszél¨ unk, ha az elnyelt ν frekvenciáj´ u foton egy teljesen más ν ′ frekvencián jelenik meg, az abszorpció és az emisszió frekvenciái csak egész laz´ an kapcsol´ odnak egym´ ashoz. Els˝o pillanatra ez ugyan ijeszt˝ onek t˝ unhet, hiszen sokmilli´ o ν ′ frekvenciára kellene tekintettel lenn¨ unk, de ez mégsincs ´ıgy. Ha ugyanis sokmilli´ o lehetséges energiaszintje van a vizsgált atomnak a 0 < E ≈ kT energiaintervallumban, akkor ezek elegend˝o szám´ u u ¨tk¨ ozés esetén a Boltzmannstatisztika szerint lesznek betöltve, s ilyenkor igen igen jó közel´ıtés Sν -re a Planckf¨ uggvény, mert a rendszer¨ unk a maxim´ alis entrópia állapotához van közel. A Boltzmann-statisztika érvényességét csillagunk légkörében éppen a valódi abszorpcióból sz´ armazó vonalak seg´ıtségével tanulmányozhatjuk emp´ırikusan. Az ilyen vizsgálatok során siker¨ ult megbizonyosodni arról, hogy a csillagok fotoszféráj´ aban az Boltzmann-statisztika igen j´ o közel´ıtés, s az att´ ol való számottev˝o eltérés csak a csillagok kromoszfér´ aj´ aban és koronáj´ aban jelentkezik.

´ ´ 6.3. A SCHWARZSCHILD-FELE INTEGRODIFFERENCIALEGYENLET

53

Beszélni fogunk még extinkci´ oról, amit δ jellemez oly módon, hogy a forrásf¨ uggvény a val´ odi abszorpci´ ohoz képest kicsit módosul Sν = (1 − δ)Bν (T ).

(6.6)

Egy frekvenciától f¨ ugg˝ o δ seg´ıtségével formálisan tudunk jellemezni olyan sug´ arz´ asi folyamatokat, amelyekben a kezd˝o (esetleg a vég-) állapot betöltési számai között összef¨ uggés nem ´ırhat´ o le a Boltzmann-statisztika´ aval. H´ıg plazában fordulnak el˝o ´ ilyen sug´ arz´ asi folyamatok. Eppens´ eggel δ < 0 is lehet, ami annak felel meg, hogy megjelennek az adott frekvencián fotonok. δ = 1 a tot´ alis kioltást, extinkciót jelenti, az autoionizáci´ o, vagyis a (6.3) séma szerint lezajló folyamatok éppen az itt t´ argyalt kategóriába tartoznak: egy foton elt˝ unt, s megjelent helyette egy elektron.

6.3.

A Schwarzschild-f´ ele integrodifferenci´ alegyenlet

Az eddig megt´ argyalt folyamatokra fel´ırjuk most a (4.5) monokromatikus áramlási egyenletet, az x geometriai mélységben R n ιν Iν dν o dIν (t, θ) =κ ˜ ν Iν − κ+ κν (1 − δ) Bν (T )+ (σ + σν )Jν (t)+ ιν R cosθ , (6.7) dx ιν dν ahol κ ˜ ν = κ + κν + σ + σν + ιν , tehát az összes (k-k, k-sz, sz-sz t´ıpus´ u) folyamatb´ ol származó abszorpci´ os koefficiens ¨ osszege. A forrásf¨ uggvény R n ιν Jν dν o −1 . (6.8) κ + κν (1 − δ) Bν (T ) + (σ + σν )Jν (t) + ιν R Sν = κ ˜ν ιν dν

(6.7) a Schwarzschild-féle integrodifferenciálegyenlet, ezt kell megoldani a vonalakon bel¨ ul a sug´ arz´ as ´ aramlás´ anak t´ argyalásához. A vonalakon k´ıv¨ ul κν = σν = ιν = 0. A megoldásb´ ol azt´ an (4.20) alkalmazásával a csillagot elhagyó fluxus, vagyis egy vonalprofil vagy a vonalakon k´ıv¨ ul a kontinuum közvetlen¨ ul megkapható. A megoldás numerikus integrál´ assal és iteráci´ oval nem t´ ul nehéz feladat, jóllehet a jobb oldalon Sν és az ismeretlen Iν f¨ uggvény frekvencia és térszög szerinti integrálj´ at tartalmazza. Koherens szórásra ak´ ar egzakt, anal´ıtikus megoldások is ismertek. A (4.22) kapcs´ an bevezetett Λ operátor tal´ an trivialitásnak t˝ unt, hiszen egy ¨ osszeg értékét hat´ arozta csak meg. Ha azonban (7.3.2)-re alkalmazzuk Λ-t, s figyelembe vessz¨ uk, hogy azzal az ismeretlen f¨ uggvény k¨ ulönb¨ oz˝o mélységekben és frekvenciákon vett megfelel˝o kombináci´ oj´ at áll´ıtjuk el˝o, akkor érezz¨ uk, hogy könnyebb numerikus algoritmust ´ırni ´ıgy (6.7) megoldására, ami tulajdonképpen a Λ-val rögz´ıtett x, ν rácson t¨ orténik. Bizonyos egyszer˝ us´ıt˝o feltételek fennállása esetén pedig Λ ak´ ar lineáris oper´ atorr´ a egyszer˝ usödik. Ha olyan légkörmodelleket akarunk szerkeszteni, amelyek a sug´ arz´ as áramlásában nem csak a kontinuumra vannak tekintettel (”line-blanketed model atmospheres” az angol szakkifejezés rájuk), akkor szintén (6.7)-hez kell visszany´ ulnunk.

54


Az 1970-es évek eleje ´ ota indult fejl˝odésnek ez a ter¨ ulet, s ma már vannak olyan modellek, amelyek t¨ obbmilli´ o gyenge sz´ınképvonal hatását is figyelembe veszik sug´ arz´ as áramlás´ anak kvantit´ıv t´ argyal´ as´ aban. Az eljárás lépései a következ˝ok: kisz´ am´ıtjuk κ ˜ ν -t, ezzel specifik´ altuk, hogy a sug´ arz´ as áramlásában milyen folyamatokat akarunk figyelembe venni, vesz¨ unk egy sz¨ urke modellt kiindul´ asul, s addig változtatjuk T (τ )t, m´ıg az F fluxus a megk´ıv´ ant pontosságon bel¨ ul konstans nem lesz. Ek¨ ozben a sug´ arz´ as ´ aramlás´ anak problém´ aj´ at (rövidebben szólva a transzfer problém´ at) sokezerszer kell numerikusan megoldanunk. Ezért fontos, ma is él˝o kutat´ asi ter¨ ulet az asztrofizikában (6.7) minél hatékonyabb numerikus megoldási módozatainak keresése.

7. fejezet

´ EGYENSULYOK A CSILLAGOK ´ ¨ EBEN ´ LEGK OR A csillag légkörét alkotó forró plazma és a légkörön átáramló sug´ arz´ as nagyon bonyolult egyens´ ulyi helyzetet hoz létre. Ennek bizonyos vonatkozásait k´ıv´ anjuk most szem¨ ugyre venni. Tulajdonképpen transzport-folyamatokat kell t´ argyalnunk: egyfel˝ol van a sug´ arz´ as ´ aramlása, amellyel már valamelyest megismerkedt¨ unk, másfel˝ol vannak a makroszkopikus mozgások (konvekció, pulz´ aci´ o, esetleg lökéshull´ amok), amelyek szintén h˝ ot sz´ all´ıtanak. Ide tartozik még a h˝ovezetés is, amely azonban csak a fehér t¨ orpe csillagoknál játszik valami szerepet. A sug´ arz´ asi és az egyéb folyamatok egym´ ashoz vannak csatolva, szemléletesen szólva lehet péld´ aul egy csillag légkörét (és ilyenkor persze nem elfelejtkezve a légkör alatti burokról sem) egy h˝ oer˝ ogépnek tekinteni, amely a mélyb˝ol radiat´ıv u ´ton jöv˝ o energiát bizonyos arányban mozg´ assá és sug´ arz´ assá konvert´ alja: ilyenkor konvekcióról, pulz´ aci´ oról, esetleg egyéb nagylépték˝ u (turbulens) mozgásokról van szó. Ha a csillagunk légköre stabil e mozg´ asokkal szemben, akkor pedig sug´ arz´ asi egyens´ ulyr´ ol beszél¨ unk, amelylyel bizonyos fokig már megismerkedt¨ unk az el˝oz˝o fejezetekben. Az egész problémak¨ or t´ argyal´ as´ at bonyol´ıtja még, hogy a plazm´ at le´ır´ o anyagi álland´ ok (péld´ aul κν ) f¨ uggenek a h˝ omérséklett˝ ol, aminek az egyens´ ulyi értékét viszont a transzportfolyamatok ´ all´ıtj´ ak be a mélység f¨ uggvényében.

7.1.

Termikus egyens´ uly

A termikus egyens´ ulyról már beszélt¨ unk (nevezik gyakran termodinamikai egyens´ ulynak is), el˝ osz¨ or erre kell visszatérn¨ unk még egy kicsit. Fennállása esetén Iν = 55

´ ¨ EGYENSULYA ´ FEJEZET 7. A CSILLAGLEGK OR

56

Jν = Bν (T ), teh´ at a (k¨ ozepes) monokromatikus intenzit´ as a Planck-f¨ uggvény, nemhogy vonalas sz´ınképr˝ ol, de még t´ argyak kont´ urjáról sincs szó. A csillagok belsejében termikus egyens´ uly uralkodik, mert ott a fotonok szabad u ´thossza rövid, a h˝ omérséklet gradiense olyan kicsi, hogy a fotonokat gyakorlatilag ugyanolyan h˝ omérséklet˝ u plazma nyeli el, mint amilyen kibocsátotta, ez pedig éppen az u ¨ regsugárz´ as keletkezésének feltétele. A rendszer a maxim´ alis entrópia állapotában van, ez azt is jelenti, hogy a plazm´ at alkotó részecskéket a Maxwell–Boltzmann-statisztikával lehet le´ırni: a sebesség Maxwell-eloszl´ ast k¨ ovet, m´ıg az atomi energiaszintek és ioniz´ aci´ os fokok bet¨ oltési sz´ amait (popul´ aci´ oj´ at) a Boltzmann-statisztika ´ırja le, továbbá a sug´ arz´ asi térben lév˝ o fotonok energiaeloszl´ as´ at a Bose–Einstein-statisztika adja meg. Ez utóbbi folyom´ anyát, a h˝ omérsékleti sug´ arz´ ast a 2. fejezetben már megt´ argyaltuk, itt most még ´ atismételj¨ uk a Boltzmann-statisztikának az asztrofizikus sz´ am´ ara fontos vonatkozásait.

7.1.1.

Az atomi r´ eszecsk´ ek sebess´ eg´ enek eloszl´ asa

A statisztikus mechanik´ aból megismert Maxwell–Boltzmann-energiaeloszlást alkalmazhatjuk egy ide´ alis g´ azban a sebesség látóirány´ u komponense és a sebesség abszol´ ut értéke eloszl´ as´ anak a meghatározására. Az i állapothoz tartozzék Ei = (p2x + p2y + p2z )/2m kinetikus energia, ahol px , stb az impulzus komponensei egy olyan deréksz¨ og˝ u koordin´ ata-rendszerben, amelynek x tengelye a látóirányunkba esik. Ennek az i ´ allapotnak a valósz´ın˝ usége, vagyis az, hogy a V térfogatban lév˝ o N sz´ am´ u részecskénk köz¨ ul h´ any ∆N szám´ u energiája éppen Ei , az alábbi: ∆N 1 = W (i) = e−Ei /kT ∆x∆y∆z∆px ∆py ∆pz N Sˆ

(7.1)

ahol ˆ ) = S(T =

X

Zi Z V

=

e−Ei /kT ∆x∆y∆z∆px ∆py ∆pz 2

2

2

e−(px +py +pz )/2mkT dxdydzdpx dpy dpz

p

V (2πmkT )3/2 ,

(7.2)

Sˆ a f´ azis¨ osszeg, illetve a f´ azisintegrál, az összegzést, illetve az integrálást a g´ azt tartalmaz´ o V térfogatra és a pR impulzus összes lehetséges értékére kell kiterjeszteni, fel2 ∞ használtuk továbbá, hogy −∞ e−ax dx = (π/a)1/2 . Mivel nem kvantumstatisztikáról van sz´ o, a ∆x · · · ∆pz f´ azistérbeli elemi térfogatot tetsz˝ olegesen kicsivé választhattuk, ˆ s ezért lehetett integrálni a szummázás helyett S-ben. Ha a sebesség v abszol´ ut értékének eloszlására vagyunk kiv´ ancsiak, vagyis a v és a v + dv intervallumba es˝ o részecskék szám´ ara, be kell vezetn¨ unk (7.1)-ben az impulzus p = mv = (p2x + p2y + p2z )1/2 abszol´ ut értékét, s az impulzustérben a p-hez tartozó 0 ≤ θp ≤ π, 0 ≤ φp ≤ 2π polárszögeket. A polárszögek szerinti

´ 7.1. TERMIKUS EGYENSULY

57

sebességeloszlásra nem vagyunk kiv´ ancsiak, ezért ezekre és a V térfogatra integrálni kell, figyelembe véve, hogy dpx dpy dpz = p2 dpsinθp dθp dφp , vagyis Z Z Z 2 2 1 dxdydze−p /2mkT 4πp2 ∆p = 4v 2 e−(v/v0 ) ∆v/v03 π 1/2 (7.3) W (v) = ˆ S V lesz, ahol a sebesség legval´ osz´ın˝ ubb értéke v0 = (2kT /m)1/2 = 0, 129(T /m)1/2km/sec,

(7.4)

amint err˝ol (7.3) derivál´ as´ aval meggy˝oz˝odhet¨ unk, m pedig protont¨ omegnyi egységekben értend˝ o. (Mivel N/V = n a részecskék száms˝ ur˝ usége, W = ∆N/N = ∆n/n). Az x látóirányunkba es˝ o u sebességkomponens eloszlására vagyunk még kiv´ ancsiak, amit (7.1) V térfogatra és py , pz szerinti integrálásával kapunk meg. Ez az eloszl´ as adja majd meg azt, hogy egy sz´ınképvonal λ hull´ amhossza (ν frekvenciája) kör¨ ul milyen lesz az eloszl´ asa a h u i2 ∆λ ∆ν u = = +O λ ν c c

(7.5)

hull´ amhossz-eltol´ odásnak a Doppler-effektus miatt. Tehát Z ∞ Z ∞ 2 2 2 V W (u) = e−py /2mkT dpy e−pz /2mkT dpz e−px /2mkT ∆px Sˆ −∞ −∞ =

2

(πv0 )−1/2 e−(u/v0 ) ∆u,

(7.6)

haranggörbe lesz, T = 104 K, m = 1 esetén ∆λ/λ ≈ 4, 3 × 10−5 , ´ıgy péld´ aul a Hβ vonal kiszélesedése a Doppler effektus miatt kör¨ ulbel¨ ul 0, 02nm.) Szuperóriás, óriás csillagok sz´ınképében fordul el˝ o, hogy a Balmer vonalak profilja haranggörbe, mert e csillagok h´ıg légkörében a Doppler-effektus a f˝o kiszéles´ıt˝o mechanizmus. Itt je2 gyezz¨ uk meg, hogy W ∝ e−u > 0 miatt a csillaglégkör csekély szám´ u részecskéjének mindig nagyobb a sug´ arir´ any´ u sebességkomponense, mint a szökési sebesség; ezért minden csillag ”párolog” egy kis mértékben.

7.1.2.

Az atomi enegriaszintek bet¨ olt´ esi sz´ amai

A Boltzmann-statisztika egy g´ azban a k¨ ulönb¨ oz˝o i, j energiaszintek betöltésér˝ol ad számot, a szintekhez tartozó n betöltési számok h´ anyadosa n E o gi ni ij , = exp − nj gj kT

(7.7)

ahol g az adott szint statisztikus s´ ulya, egész szám, amely azt adja meg, hogy h´ anyszorosan degenerált az adott szint, Eij pedig az energiak¨ ulönbség az i-edik és


58

j-edik szint között. A leggyakrabban arra lesz sz¨ ukség¨ unk, hogy az összes atom (N ) köz¨ ul h´ any van az i-edik szinten, ezt n −E o ni gi i = exp N kT Sˆ

(7.8)

adja meg, ahol Sˆ =

X j

n E o j gj exp − kT

(7.9)

a fázis¨ osszeg. Itt érdemes egy rövid kitér˝ ot tenn¨ unk a fázisösszeg kör¨ ul, amely nyilvánvalóan divergens, ha (7.9)-be behelyettes´ıtj¨ uk péld´ aul a (6.2) Balmer-képletet, (a statisztikus s´ uly gn = 2n2 ), n a f˝ okvantumsz´ am, Z a magtöltés, m és e az elektron t¨ omege és t¨ oltése. A divergencia oka az, hogy torlódnak az energiaszintek E = 0 alatt. Ezekhez a szintekhez azonban rn = ¯h2 n2 /Zme2 → ∞ Bohr-sugár tartozik, az összes szintet nyilván csak akkor volna szabad figyelembe venn¨ unk, ha a hidrogénatomunk egyed¨ ul volna a teljes térben. (Egy szem atomunk részére persze statisztik´ at csinálni t¨ okéletes értelmetlenség volna.) Mivel csak véges térrész áll egy atom rendelkezésére, amelyben a mag Coulomb-potenci´ alja közel zavartalanul érvényes¨ ulhet, azon k´ıv¨ ul pedig már más a potenci´ al, érezz¨ uk, hogy a probléma megoldása az lesz, ha err˝ol a térrészr˝ ol a val´ os´ agosnak megfelel˝o modellt alkotunk. Ezt t¨ obbféleképpen lehet megtenni. * A legdurv´ abban u ´gy, hogy az atomok átlagos t´ avolságának felénél elhelyez¨ unk egy végtelen magas poteci´ alfalat, tehát merev fal´ u dobozba z´ arjuk az atomot. * Realisztikusabb modellekben az ioniz´ aci´ os potenci´ al ∆E csökkenésér˝ol szoktunk beszélni, ez a ∆E kiveszi (7.9)-ból a divergenciát okozó részt, mert u ´gymond az E(n = ∞) − ∆E energiatartományban már nem olyan állapotok vannak, amelyek a h´ abor´ıtatlan Coulomb-potenci´ alhoz tartoznak. Az egyszer˝ ubb modellek ∆E kisz´ am´ıt´ as´ ara valamilyen módon (k¨ ozel) periodikus potenci´ alt vesznek. Ez utóbbi megoldás fizikailag azért fogadhat´ o el, mert az elektronok a plazm´ aban sokszor gyorsabban mozognak, mint az ionok, ezért nem minden alapot nélk¨ ulöz az a feltevés, hogy az ionok mintegy álló kristályr´ acs´ aban sz´ aguldoznak az elektronok, a rácspontok pedig meglehet˝osen egyenletesen t¨ oltik ki a rendelkezésre ´ alló teret. * Vannak olyan modellek, amelyek a mag Debye-leárnyékolását veszik alapul: a magt´ ol t´ avol a Coulomb-potenci´ al helyett Ze2 exp{−Dr}/r , szerint alakul a P kötött elektron potenci´ alis energiája, D = 2e(π i ni Zi2 /T )1/2 a leárnyékolási paraméter, Zi az atomot kör¨ ulvev˝ o i t´ıpus´ u ion t¨ oltése, ni ezek száms¨ ur˝ usége, e az elektron t¨ oltése, T a plazma h˝ omérséklete. Mivel a Debye-potenci´ alban csak véges sok kötött ´ allapot létezik, a problém´ at ez automatikusan megoldja.

´ 7.1. TERMIKUS EGYENSULY

59

* A legagyaf´ urtabb modellek a plazmabeli kölcsönhatásokat nem ennyire leegyszer˝ us´ıtve veszik figyelembe, hanem jóval kör¨ ultekint˝obben. A jegyzet ´ır´ asakor a cs´ ucsot a Mihalas–Hummer-féle modell jelenti, amelyben a Balmerképlet érvényes n = ∞-ig, de bevezetnek egy wn valósz´ın˝ uséget, amely arról ad sz´ amot, hogy az n energiaállapot mekkora valósz´ın˝ uséggel kötött állapot. (7.8) és (7.9)-ban teh´ at gn helyére gn wn lép, és nyilván 1 − wn valósz´ın˝ uséggel szabad ´ allapot az n n´ıv´ o, amelyre már nem (6.2) érvényes. Mivel wn → 0 gyorsan teljes¨ ul, ett˝ ol véges lesz S. Az ´ ovatoss´ ag azonban b´ armelyik modellnél helyénvaló, mert egy végtelen Sˆ feltétlen¨ b˝ ol csináltunk végeset! Vég¨ ul még rámutatunk arra, hogy S-t ul végessé kell tenni, de ennek módjától szerencsére viszonylag kevés f¨ ugg a csillaglégkör modelljében: a (7.9)-ban szerepl˝ o −Ej /kT a csillagok légkörében el˝ofordul´ o O(104 ) K h˝ omérsékleteken már az els˝o gerjesztett állapotra (j = 1) is elég nagy, emiatt az atomok t´ ulnyom´ o t¨ obbsége alapállapotban van. A valóságban is létrejöv˝ o kötött ˆ állapotok sz´ ama mindenképpen véges és ha kevés van bel˝ol¨ uk, ezek járuléka S-hez ˆ az exponenci´ alis miatt csekély. Ezért a gyakorlati szám´ıtásokban S-t egy véges összeggel szok´ as helyettes´ıteni, amelynek az alapállapototnak megfelel˝o els˝o tagja jelent˝ os exp{0} = 1 miatt, a t¨ obbi pedig kicsi korrekciót ad. A teljes szumma h˝ omérséklett˝ ol f¨ ugg˝ o értékét az atomi sz´ınképek tudorainál lehet megszerezni. A divegrens f´ azis¨ osszeg a hidrogénnél nehezebb elemek kapcsán is fellép, mert a magasan gerjesztett ´ allapotai minden atomnak, ionnak hidrogénszer˝ uek.

7.1.3.

A Saha egyenlet

Ha t¨ obb k¨ ulönb¨ oz˝o ioniz´ aci´ os fok van egym´ as mellett jelen, természetesen arra is kiterjeszthet˝o a (7.7) Boltzmann-eloszlás, az eredmény a Saha-egyenlet lesz. Legyen egy kémiai elem i-edik ´ allapota egy szabad állapot, jelölje ezt i = 1, amely tehát összetev˝ odik egy v sebesség˝ u szabad elektronb´ ol ésegy ionb´ ol, a j = 0-adik állapot pedig legyen az ioniz´ alatlan alapállapot. Az ioniz´ aci´ os energia legyen E1 . Ekkor n o n1 ge g1 = exp − (E1 + mv 2 /2)/kT . (7.10) n0 g0 A kvantumstatisztikák szerint egy elektron a fázistér dxdydzdpx dpy dpz térfogatát h3 elemi cellanagysággal t¨ olti ki, ´ıgy a szabad elektron statisztikus s´ ulya (a spin miatt a 2-es faktor) ge = 2dxdydzdpx dpy dpz /h3 = dxdydz8πp2 dp/h3 = 8πm3 v 2 dv/(ne h3 ),

(7.11)

mert ne = (dxdydz)−1 a sz´ ams˝ ur˝ usége az elektronoknak. (7.11)-t be´ırjuk (7.10)-be, integrálunk az elektronok lehetséges v sebességeire, az eredmény Z 2πmkT 3/2 8πm3 g1 −E1 /kT ∞ 2 n1 ne g1 −mv 2 /2kT = e e−E1 /kT . (7.12) v dve = 2 2 n0 h3 g 0 h g 0 0


60

(g0 , illetve g1 az ioniz´ alatlan alapállapot és az ioniz´ alt alapállapot statisztikus s´ ulyai.) (7.12)-b˝ ol leolvashat´ o, hogy rögz´ıtett h˝ omérsékleten az ne elektronnyom´ as fokozódása az ioniz´ aci´ o ellen dolgozik, amint az kvalitat´ıv meggondolásokb´ ol is várható. Mivel E1 exponenci´ alisban van és E1 > kT , t¨ obb ioniz´ aci´ os fok egym´ as mellett nem fordul el˝o sz´ amottev˝o koncentr´ aci´ oban, mert ha a következ˝o ioniz´ aci´ ohoz E2 energia kell, annak koncentr´ aci´ oja már e−(E1 +E2 )/kT -szerese (≪ e−E1 /kT ) lesz az alapállapoti n0 koncentr´ aci´ onak. Az atomi sz´ınképekben E2 > E1 nagyon jól szokott teljes¨ ulni.

7.2.

Lok´ alis termodinamikai egyens´ uly

Lok´ alis termodinamikai egyens´ ulyról (LTE) akkor beszél¨ unk, ha egy plazm´ aban a forrásf¨ uggvény a lokális T h˝ omérséklethez tartozó a Planck-f¨ uggvény (Sν = Bν (T )), és a Boltzmann-eloszlás, valamint a Saha-egyenlet is érvényes az adott T -vel, vagyis a rendszer a maxim´ alis entr´ opia ´ allapotában van. A kibocsátott fotonok azonban, ha egyáltal´ an elnyel˝ odnek, már nem a kibocsátási hely T h˝ omérséklet˝ u plazm´ aj´ aban nyel˝ odnek el. Ily módon Iν (τ, θ) számottev˝oen eltérhet a Planck-f¨ uggvényt˝ ol. A Napon péld´ aul τRosseland ≥ 0, 01 esetén már LTE uralkodik.

7.3.

NLTE

Az eddigiekb˝ol nyilvánval´ o, hogy ha egy sug´ arz´ o plazm´ aban oly ritk´ ak az u ¨ tk¨ ozések, vagyis a plazma oly h´ıg, hogy a rendszer nem tud a maxim´ alis entrópia állapotába ker¨ ulni, nem fog kialakulni LTE, tehát NLTE lesz. Ennek t¨ obb oldala van. Lehetnek az eltérések az LTE-t˝ ol a k¨ ulönb¨ oz˝o ioniz´ aci´ os fokok koncentráci´ oi között, vagyis a Saha-egyenlet nem érvényes. Lehetnek az eltérések egy adott ioniz´ aci´ os fokon bel¨ ul a Boltzmann-képlett˝ ol, valamilyen szint lehet jelent˝ osen t´ ulpopul´ alt, péld´ aul lézer- vagy mézerhatás miatt; ez utóbbira számos péld´ at ismer¨ unk a csillagk¨ ozi g´ az rádi´ osugárz´ as´ aból, megfigyel¨ unk bizonyos rádi´ ovonalakat, amelyek olyan molekulaszintek közötti ´ atmenetekb˝ ol származnak, melyeknek Boltzmanneloszl´ as szerinti betötéséhez sz¨ ukséges h˝ omérséklet a molekulát atomjaira bontaná. A NLTE egy bizonyos formája az is, hogy a magasan gerjesztett szintek, amelyek S divergenci´ aj´ at okozz´ ak, nem (7.8) szerint vannak betöltve, itt azonban nem a statisztika a ludas, hanem a sug´ arz´ o atomról alkotott rossz modell¨ unk, a ténylegesen létrejöv˝ o szintek popul´ aci´ oj´ at ugyanis (7.8) jól ´ırja le. Lehet NLTE amiatt is, hogy Sν a h˝ omérsékleten k´ıv¨ ul egyéb paraméterekt˝ ol is f¨ ugg, a legegyszer˝ ubb péld´ at erre is a lézerek vagy éppen az intersztell´ aris mézerek adják. Bizonyos kromoszferikus vonalakban is látszik NLTE hatása a Nap sz´ınképében, ezek olyan er˝ os vonalak, amelyeknek a centrumában sem lesz optikailag vastag a sug´ arz´ o közeg. NLTE esetén egyenként sz´ amba kell venn¨ unk a mikroszkópos folyamatokat, amelyek Iν -t kormányozz´ ak, illetve a rendszer lehetséges energiállapotainak betöltéséhez

´ ASI ´ EGYENSULY ´ ´ 7.4. A SUGARZ KIALAKULASA

61

vezetnek. Ha a sug´ arz´ as intenzit´ aseloszlása tér el a Planck-f¨ uggvényt˝ ol, az elemi sug´ arz´ asi folyamatokkal kell foglalkoznunk. Ha a Boltzmann-statisztika betöltési számaitól van jelent˝ os eltérés, az atomi u ¨tk¨ ozési folyamatokkal kell foglakoznunk. Ha a k¨ ulönb¨ oz˝o ioniz´ aci´ os fokok ni , i = 0, 1, ... száms˝ ur˝ usége tér el a Saha-egyenlet által megadott értékekt˝ol, az ioniz´ aci´ ora és rekombináci´ ora vezet˝o mikroszkópos folyamatokkal kell foglalkoznunk. Az itt megeml´ıtett folyamatok kvantitat´ıv t´ argyal´ asa sok tekintetben az asztrofizika ma is lez´ aratlan ter¨ ulete. Tárgyalásukra még a 9. fejelzetben röviden kitér¨ unk, mivel a sz´ınképvonalak kiszélesedésének t´ argyal´ as´ ara használt apparátus itt is használható. A NLTE k¨ ulönb¨ oz˝o aspektusai kapcsolatban állnak egym´ assal, de ez a kapcsolat lehet egészen laza is. A NLTE kvantitat´ıv t´ argyalására nem tér¨ unk ki, csup´ an annyit mondunk el, hogy az ¨ osszes i atomi állapot ni betöltési szám´ ara egy ∂ni X ··· + ··· = ∂t j

(7.13)

alak´ u els˝orend˝ u differenci´ alegyenletet kell föl´ırnunk, amelyben a két · · · az i állapotba vezet˝o u ¨tk¨ ozési és sug´ arz´ asi folyamatokat jelképezi, s vég¨ ul az ´ıgy adódó csatolt differenci´ alegyenlet-rendszert meg kell oldanunk, amely nj -kre vonatkozó algebrai egyenletrendszerre reduk´ al´ odik stacionárius esetben, amikoris ∂ni /∂t = 0.

7.4.

A sug´ arz´ asi egyens´ uly kialakul´ asa

A sug´ arz´ asi egyens´ uly — (4.7) — kialakul´ asához bizonyos id˝o sz¨ ukséges. Ezt nagys´ agrendileg u ´gy becs¨ ulhetj¨ uk meg, hogy képezz¨ uk az álland´ o térfogaton vett cV fajh˝ ovel egy térfogatelem h˝ oenergiáj´ at, és elosztjuk ezt a térfogatelem sug´ arz´ asi teljest´ıtményével, amit u ´gy kapunk meg, hogy a (2.36) Kirchhoff-t¨ orvénybe egy jól megv´ alasztott κ opacit´ ast ´ırunk, majd Iν = Bν -t tételez¨ unk fel, integrálunk a frekvenciára ´ atlagolunk a térsz¨ ogre, vagyis a Stefan–Boltzmann-t¨ orvényt ´ırhatjuk a nevez˝obe: 2πcV T ∝ T −3 . (7.14) κ ˆ aT 4 Id˝ o dimenzi´ oj´ u mennyiséget kapunk ´ıgy, s minél nagyobb a h˝omérséklet, annál gyorsabban ´ all be a sug´ arz´ asi egyens´ uly, amint azt kvalitat´ıv meggondolásokb´ ol is vártuk. Ha re´ alis csillaglégkör-modellekb˝ ol vett cV -ket és κ-kat helyettes´ıt¨ unk be (7.14)-be 10 és 1000 s közé es˝ o id˝otartamokat kapunk. E becslés olyan csillagokn´ al fontos, amelyeknek légkörében ilyen vagy ennél rövidebb karakterisztikus idej˝ u folyamatok zajlanak le. Gyors pulz´ aci´ o, konvekció, lökéshull´ amok jelenléte esetén kell megvizsg´ alni, hogy van-e id˝o a sug´ arz´ asi egyens´ uly be´ allás´ ara. Ha nincs, a csillagunk légkörének energiah´ aztartását egy fokkal nehezebb t´ argyalni, mert a sug´ arz´ asi folyamatokkal elt´ avozni nem tudó energia természetesen felhev´ıti a plazm´ at. Ilyenkor nincs szó stacionárius sug´ arz´ asi energia´ aramlásról, az id˝obeli változ´ asok nem elhanyagolhatók.


62

7.5.

Hidrodinamikai k´ erd´ esek

K¨ ulönös hangs´ ullyal kell foglalkoznunk a csillag légkörének hidrodinamikáj´ aval, mivel ezen a ter¨ uleten ma is sok kutat´ o dolgozik, lévén ez egyel˝ore lez´ aratlan ter¨ ulet, ahol még jelent˝ os felismerések várhatók. El˝osz¨ or p´ ar szót a hidrodinamikai le´ır´ as jogosultságár´ ol. A hidrodinamikában a folyadékot, g´ azt, vagy plazm´ at az r helyvektornál a t id˝opontban a ρ(r, t) s˝ ur˝ uséggel és a v(r, t) sebességvektorral jellemezz¨ uk, továbbá a P (r, t) nyom´ assal, ami ρ, az ¨ osszetétel és a lokális h˝ omérséklet f¨ uggvénye. E le´ır´ as akkor alkalmazható, * ha v, ρ, P egy akkora ls sk´ alaméret˝ u térfogaton vett átlag, amely sokkal nagyobb, mint az ´ atlagos t´ avolság a részecskék között, és amelyen bel¨ ul a folyadék (gáz, plazma) tulajdons´ agai változatlannak tekinthet˝ ok, * valamint ha a részecsék l szabad u ´thossza és az ls sk´ alaméret sokkal kisebb, mint a rendszer L karakterisztikus mérete. Tehát L ≫ ls ≫ l

(7.15)

esetén jogosult a hidrodinamikai le´ır´ as, ellenkez˝o esetben a részecskék tér- és id˝obeli eloszl´ asi f¨ uggvényeivel ´ırhatjuk le közeg¨ unket, amivel itt nem foglalkozunk. A Kn = l/L

(7.16)

Knudsen sz´ am t´ ajékoztat a hidrodinamikai le´ır´ as alkamazhatóságáról: Kn ≈ 1 a határ, ami alatt jogos hidrodinamikai tulajdons´ agokkal rendelkez˝o folytonos közegnek tekineteni egy folyadékot (gázt, plazm´ at). l megbecs¨ ulhet˝o u ´gy, hogy vessz¨ uk a plazm´ at alkotó σ keresztmetszet˝ u, v0 sebesszég˝ u részecskék két u ¨tk¨ ozés közötti t′ id˝otartam´ anak a szorzat´ at, s ezt egyenl˝ ové tessz¨ uk az n száms˝ ur˝ uség˝ u folyadékban az egy részcskére jutó ´ atlagos térfogattal: 1 = σv0 t′ = σl, vagyis l = 1/nσ. n

(7.17)

P´ ar sz´ amszer˝ u adat. Alapállapotban lev˝o hidrogén atom mérete σ = r02 π = −17 2 8.79 × 10 cm , r0 = (5, 29 × 10−9 ) cm az els˝o Bohr sug´ ar, a Nap légkörében n ≈ 1017 cm−3 , teh´ at l ≈ 10 cm, m´ıg L ≈ 400 km, tehát Kn ≪ 1 miatt a hidrodinamkai le´ır´ as teljesen j´ o. A Földnél a napszél s˝ ur˝ usége n ≈ 103 cm−3 , h˝ omérséklete T ≈ 5 10 K, semleges hidrogén ilyen kör¨ ulmények között elhanygolhat´ o mennyiségben van, ugyhogy a de Broglie hull´ amhosszat kell venn¨ unk egy részecske méretének. Ez (7.4) szerint sz´ am´ıtott v0 ≈ 1.29 × 106,5 cm/s sebesség˝ u protonra pp = 2.16 × −18 10 gcm/s impulzust, σ = (h/p)2 π = 2.97 × 10−17 cm2 fel¨ uletet jelent, amivel l = 3.38 × 1013 cm ≈ 2Nap-Föld t´ avolság = 2L, Kn ≈ 2 miatt itt már a hidrodinamikai le´ır´ as nem j´ o.

´ ´ 7.5. HIDRODINAMIKAI KERD ESEK

63

Hidrodinamikai kérdésekben a kiindul´ as gyanánt fel´ırjuk a Navier–Stokes-egyenletet: i ∂v 1h + v, grad v = F − grad P + η∆v + η + η ′ grad div v , ∂t ρ

(7.18)

ahol a szimb´ olumok jelentése a szok´ asos: t az id˝o, v(r, t) a sebesség, F(r, t) a t¨ omeger˝ o (azaz az egységnyi t¨ omegre ható er˝o, vagyis egy t¨ omegegységnyi anyag gyorsul´ asa r helyen t id˝opontban), ρ(r, t) a s˝ ur˝ uség, P (r, t) a nyom´ as, az η dinamikai, η/ρ kinematikai viszkozitás viszonylag jól ismert, ugyanez nem mondható el az η ′ -r´ ol, ami kompresszibilis folyadékokn´ al jut szerephez. (7.18)-hez tartozik még a kontinuit´ asi egyenlet: ∂ρ + div (ρv) = 0, ∂t

(7.19)

egy transzportegyenlet, amely a sug´ arz´ as áramlását ´ırja le, amit˝ ol a h˝ omérséklet rétegz˝ odése f¨ ugg, és a P = P (ρ, T ) állapotegyenlet. Mindez matematikailag nemlineáris differenci´ alegyenletek kezdetiérték-feladata, az egyenletek természetesen csatoltak, v(r, t) vektor-vektor f¨ uggvény. Inkompresszibilis folyadékokban ∂ρ/∂t = 0, a fehér t¨ orpe csillagok légkörében, burkában lehet ez j´ o els˝o közel´ıtés. Az η, η ′ viszkozitások arról adnak számot, hogy a közegben a nagyobb impulzus´ u helyek mennyi impulzust adnak át a kisebb impulzus´ u helyeknek, péld´ aul határrétegek környezetében. A dimenzi´ otlan Re =

ρv 2 . ηv ρvL = L L2 η

(7.20)

Reynolds-sz´ am a ρv 2 /L t¨ omeger˝ o és a ηv/L2 viszk´ ozus er˝ok h´ anyadosa, ennek kis értékeinél fordulhat el˝ o lamináris (¨ orvénymentes) áramlás. Az asztrofizikai szempontból érdekes áramlásokban azonban mindig nagy a Reynolds szám, mert a csillagok és a csillaglégkörök nagy kiterjedés˝ u forró plazm´ aból állanak, amelynek a viszkozitása eleve csekély, ezért a (7.18) Navier-Stokes egyenlet helyett csup´ an a 1 ∂v + v, grad v = F − grad P, (7.21) ∂t ρ Euler-egyenlettel kell foglalkoznunk. Vektoranalitikai azonoss´ ag (v, grad)v = 12 gradv2 − v×rotv),

(7.22)

amib˝ ol következik, hogy turbulens (¨ orvényes) áramlás alakul ki (vagyis rotv) 6= 0) minden olyan esetben, amikor a (7.22) nemline´ aris tag már nem elhanyagolható az Euler, illetve a Navier-Stokes egyenletben. Ehhez legal´ abb kétdimenziósnak kell lennie az ´ aramlásnak.

64


Ha megszorozzuk a Navier-Stokes egyenletet ρ-val látjuk, hogy a turbulenciát okozó t¨ omeger˝ o (egységnyi térfogatra jutó gyorsul´ as) s˝ ur˝ uségét, ρ(v, grad)v ∝ ρv 2 /Ltu ´gy kapjuk meg, hogy a gradiens-operátor hatását a rendszer L karakterisztikus méretével val´ o osztással becs¨ ulj¨ uk meg. Hasonlóképpen a viszk´ ozitás (a Laplaceoper´ atoros tag) hat´ as´ at a Navier-Stokes egyenlet jobb oldal´ an a |v|/L2 h´ anyadossal becs¨ ulj¨ uk meg. A kétféle er˝ o h´ anyadosát képezve ´ıgy jutottunk a dimenzi´ otlan Reynolds-sz´ amhoz, ami arról t´ ajékoztat, hogy mennyire turbulens az áramlás. A XIX. sz´ azad második felében sok kiv´ aló fizikus és matematikus munk´ assága nyom´ an az ´ aramlásokról igen sokat siker¨ ult megtudni, általános megoldások keresése azonban reménytelen feladatnak bizonyult. K¨ ulönösen igaz ez, ha még radiat´ıv csatolás is van a k¨ ulönb¨ oz˝o r helyvektor´ u tartományok között, amint az a csillagok légkörében péld´ aul a helyzet. Emiatt nagy a jelent˝ osége azoknak a közel´ıtéseknek, amelyekkel egyszer˝ us´ıtett megoldásokat lehet kapni, néhányat ezek köz¨ ul itt sorra is vesz¨ unk.

7.5.1.

Leegyszer˝ us´ıtett hidrosztatikus l´ egk¨ ormodell

A legegyszer˝ ubb a hidrosztatikus eset, amikoris a (7.18-7.21)-ben legtöbbször el˝ofordul´ o tagot, v-t vessz¨ uk null´ anak. Ekkor a s˝ ur˝ uség stacionárius ∂ρ/∂r = 0, g¨ ombszimmetrikus, rétegz˝ odését dP dP dρ = = −geff ρ (7.23) dr dρ dr integrál´ asa adja meg, ahol geff = g + · · · = GM/r2 + · · · az ”effekt´ıv” nehézségi gyorsul´ as (M a csillag t¨ omege). A szuperóriás csillagokat kivéve g = GM/R2 álland´ onak tekinthet˝ o a csillag teljes légkörén bel¨ ul. A pontok szimbolizálják azokat a gyorsul´ asokat, amelyek a csillaglégkörön bel¨ ul álland´ onak vehet˝ o hatások, innen ered az effekt´ıv elnevezés. Ezek köz¨ ul most a rot´ aci´ ot el˝ore vessz¨ uk, geff t¨ obbi tagját majd kés˝ obb vessz¨ uk sz´ amba. A csillag forg´ astengelyét˝ol mért polárszöget jelölje θ, szögsebességét ω, a csillaglégkörben grot = −ω 2 Rcosθ (7.24) t¨ obbletgyorsul´ as fog fellépni, vagyis geff = g + grot . geff ≈ 0 esetén jelent˝ os lehet a csillag lapults´ aga. A XXI. sz´ azad elején technikai szempontból is lehet˝ové vált optikai interferometriával siker¨ ult kimutatni, hogy t¨ obb csillag is olyan gyorsan a forog, hogy a szétszakadás hat´ arán van. (Az optikai interferometria el˝ott csak a vonalas sz´ınképe alapj´ an a Vegáról sejtett¨ uk, hogy ilyen.) Most ¨ osszekapcsoljuk (7.23)-t a sz¨ urke modellekkel, hogy elkész´ıts¨ unk egy hidrosztatikus egyens´ ulyban lév˝ o sz¨ urke modellt. Az állapotegyenlet legyen az ide´ alis g´ azé: Pg = ρRT /µ (7.25) ahol µ az ´ atlagos molekulatömeg hidrogénatomnyi egységekben (péld´ aul µ = 2 semleges hidrogéng´ azban, µ = 1 atomos hidrogéngázban, µ = 1/2 teljesen ioniz´ alt


65

hidrogén-plazmában), és egyel˝ ore tekints¨ unk el a sug´ arnyom´ ast´ ol. (Megjegyezz¨ uk, hogy péld´ aul Pg = konst × ρ4/3 j¨ onne (7.25) helyére, ha ide´ alis g´ az helyett t¨ obbatomos g´ az adiabatikus ´ allapotegyenletét vennénk, ennek alkalmazása akkor jöhet szóba, ha gyorsan változik P , de v még emellett is null´ anak tekinthet˝ o. Teljesen konvekt´ıv légkör esetén lehet ez els˝o közel´ıtés.) dτ = −κR dr, (7.23), (7.25) és (5.16) felhasznál´ as´ aval kapjuk, hogy 4 1/4 dρ gµρ gµρ = = , dτ κR RT 3 κR RTe (τ + 2/3)1/4

(7.26)

ahol κR monokromatikus abszorpciós koefficiens Rosseland-féle középértéke. Kis τ tartom´ anyokon bel¨ ul a ρ ∝ exp{−r} menet nyilvánvaló (7.26) alapján, de valamelyest pontos légkörmodellekhez (7.26)-t mindenképpen numerikusan kell integrálni, κR T -t˝ ol és ρ-t´ ol val´ o f¨ uggése miatt, az integrálás természetesen nem nehéz feladat. Tulajdonképpen egy¨ utt van minden lényeges eleme egy csillaglégkör modelljének: (7.26)-b˝ ol kisz´ am´ıthatjuk a s˝ ur˝ uség rétegz˝odését, (7.25) és (5.16) pedig a g´ aznyomás és a h˝ omérséklet eloszl´ as´ at adja meg. Az itt bemutatott és a hasonl´ o módon elkész´ıthet˝ o egyéb leegyszer˝ us´ıtett modellek egyrészt jó kiindul´ asi rétegz˝odéseket adnak a konstans fluxus´ u modellek iterat´ıv numerikus elkész´ıtéséhez, másrészt bemutatj´ ak, hogy melyek az alapvet˝o paraméterek a csillagok légkörének modellezésében: • a felsz´ıni nehézségi gyorsul´ as, g, cm/s2 egységekben vett értékének logaritmusát szokták megadni, ez 0–1 a szuperóriás csillagokban, 4 kör¨ ul van a f˝ osorozati csillagokban, 8–9 pedig a fehér t¨ orpéken, • az effekt´ıv h˝ omérséklet, Te , • és a kémiai ¨ osszetétel, ami κν -n és µ-n kereszt¨ ul képviselteti magát egyenleteinkben, nem t´ ul könnyen áttekinthet˝ o módon, mert κν a h˝ omérséklett˝ol is f¨ ugg. Barometrikus sk´ alamagass´ ag A csillag (légkörének) anyagát izoterm ide´ alis g´ aznak tételezve fel (7.23) a dρ gµ =− ρ dr RT

(7.27)

alakot ¨ olti, amit integrálva kapjuk, hogy ρ(r) = ρ(r0 )e−H0 (r−r0 ) , ahol H0 =

gµ RT

(7.28)

(7.29)


66

reciproka a barometrikus sk´ alamagasság, szokták lokális barometrikus sk´ alamagasságnak is nevezni, mert P (r) = P (r0 )exp[−H0 (r0 − r)] is érvényes, r ≤ r0 , r0 < R, és R az a sug´ arérték, amelynél Kn már akkorára n˝ o, hogy a hidrosztatikus le´ır´ as nem jogos. A (4.20) kapcs´ an mondott τ (R) = 0 határ nyilván jó közel´ıtése a légkör itt definiált hat´ ar´ anak. Ez tulajdonképpen a zérus határfeltétel problém´ aja, amit természetesen figyelembe kell venni (7.23), (7.26) integrálásánál. Tehát hidrosztatikus, hidrodinamikai szempontból ugyan´ ugy nincs éles határa egy csillagnak, mint ahogy ezt a sug´ arir´ any´ u sebesség (7.6) eloszlása kapcsán jelezt¨ uk. H0−1 hozz´ avet˝oleges értéke a földi légkörre 8,8km (µ = 29-et véve), a Nap légkörére 616 km (T = 5000K-t és µ = 1-t véve). Mivel a csillagban befelé haladva T n˝ o, g cs¨ okken, H0−1 n˝ o. Turbulens nyom´ as, sug´ arnyom´ as a csillagl´ egk¨ orben (7.23) annyira egyszer˝ u, hogy az asztrofizika szám´ıtógépek el˝otti korszak´ aban ez sokakat megk´ısértett arra, hogy P -be beép´ıtsenek kifejezetten nem sztatikus, és természet¨ uknél fogva nem izotrop jelenségeket, ´ıgy péld´ aul ”turbulens” nyom´ ast a sug´ arnyom´ as mellé. Becslésekre manapság is lehet használni ezeket a leegyszer˝ us´ıtett modelleket, természetesen valamilyen 3 dimenzi´ os (3D) szimuláci´ oból kell venni a turbulenciár´ ol sz´ amot adó nyom´ askorrekciót. (7.23) kapcs´ an még egyszer szem¨ ugyre vessz¨ uk a sug´ arnyom´ ast, amelyet a 2.8. alfejezetben már t´ argyaltunk, ott az abszol´ ut fekete test falára gyakorolt sug´ arnyomást sz´ am´ıtottuk ki. Most a csillaglégkör legk¨ uls˝ o részében szeretnénk megbecs¨ ulni a κν,ρ abszorpci´ os koefficiens˝ u anyagra a sug´ arnyom´ as kifelé gyors´ıtó (szelekt´ıv) hatás´ at, oly módon, hogy (7.23)-ban g mellé még betesz¨ unk egy grad tagot (pozit´ıv el˝ojellel, mert kifelé gyors´ıt) és elfeledkez¨ unk arról, hogy ez a tag r-t˝ol er˝osen f¨ ugg. Kiszám´ıt´ asa a kor´ abbi eredményeink alkalmazásával a következ˝o módon lehetséges. A kifelé haladó Iν intenzit´ as´ u sug´ arnyalábból τ optikai mélységben θ ir´ anyban a ρdσds t¨ omegelem elnyel ρdσdsκν,ρ Iν (θ, τ )dνdΩcosθ

(7.30)

monokromatikus teljes´ıtményt. Mivel a fotonok cosθhν/c falra mer˝oleges (= −x geometriai mélység ir´ any´ u) impulzust hordoznak, (7.30)-et cosθ/c-vel szorozva és a térsz¨ ogre integrálva kapjuk meg a t¨ omegelem által a sug´ arnyalábunkból id˝oegységenként elnyelt kifelé ir´ anyuló impulzust (az m = ρdσds t¨ omegelem p˙ impulzusv´ altoz´ as´ at), ami Z Z π/2 Z ∞ ρdσds 2π p˙ = grad ρdσds = dφ sinθdθ dνκν,ρ Iν cos2 θ, (7.31) c 0 0 0 amib˝ ol grad

1 = c

Z Z Ω

κν,ρ Iν cos2 θdνdΩ ≈

cm 2πκM aTe4 = 3.95 × 10−15 κM T 4 2 3c s

(7.32)


67

ahol κM (a cgs egységekben vett) κν,ρ egy megfelel˝oen választott átlaga, els˝o közel´ıtésben az (5.21)-ban definiált Planck-k¨ ozépérték. Nyilv´ an a θ = 0 (−x) ir´ any felé t¨ orténik a gyorsul´ as, és értéke csak akkor nem 0, ha Iν (τ, θ) anizotrop, mivel (7.31)-ben π/2 és π között integrálva θ szerint éppen −p-t ˙ kapnánk izotrop Iν esetén. Az 5.1. alfejezetben megbeszéltek szerint az anizotropia teljes¨ ul is a csillag fel¨ uletének közelében: nem követt¨ unk el nagy hibát (7.32)-ban, amikor Iν (0, θ) = 0-t vett¨ unk a π/2 ≤ θ ≤ π tartom´ anyra, m´ıg a másik hemiszférába a kisugárzott monokromatikus intenzit´ ast a Te h˝ omérséklet˝ u Planck-f¨ uggvénnyel közel´ıtett¨ uk. Vég¨ ul megjegyezz¨ uk, hogy az m t¨ omegelem¨ unk által elnyelt impulzus izotrop módon sug´ arz´ odik ki, visszal¨ ok˝ odési korrekci´ o tehát nincs, ezért áll csak 2 (7.32) utols´ o tagjának számlál´ oj´ aban, szemben (2.49) 4-ével. Eddington-hat´ ar, diff´ uzi´ o Ha −g + grad = 0, a csillaglégkör anyaga lebegni fog, Eddington-határnak is szokták nevezni ezt az esetet. Szemléletesen szólva az Eddington-határn´ al a sztatikus g´ aznyom´ as ugyanakkora, mint a sug´ arnyom´ as, az össznyom´ as gradiense pedig természetesen nulla, a légkör anyaga teh´ at folyamatosan p´ arolog el, er˝os, stacionárius csillagszél 2 alakul ki. Ez a p´ arolg´ as sokkal er˝osebb, mint a (7.18) W (u) ∝ exp{−u } miatti .

p´ arolg´ as. Napunk légköre péld´ aul elég messze van ett˝ol, κM ≈ 2

1 400km

10−6 gcm−3 =

0, 025 cm etelezve kapjuk, hogy grad ≈ 0, 12cms−2, ez g , amivel Te = 6000K-t felt´ jóval elmarad a Nap felsz´ınének g ≈ 270ms−2 -es nehézségi gyorsul´ asától. Ha κM -t reális modellekb˝ ol vessz¨ uk, az ´ıgy kapott grad kör¨ ulbel¨ ul 10-20%-a az el˝obbi, igen elnagyolt becslésb˝ ol kapott értéknek. A napszél ugyan van, de ez részben a napkitörésekb˝ ol sz´ armazik, és kis mértékben a Nap is p´ arolog, mint minden csillag, mert a Maxwell-Boltzmann eloszl´ as (exponenci´ alisan csökken˝o) nagysebesség˝ u részében vr meghaladja a sz¨ okési sebességet. Az itteni becslést a sug´ arnyom´ asra azért is csináltuk, hogy elhagyjuk az integrál´ ast a frekvenciára (7.31,7.32)-ban, amelyek monokromatikusan is igazak, és ez megadja a lehet˝ oséget arra, hogy kisz´ am´ıtsuk azt a szelekt´ıv gyors´ıtást, amelyet a kifelé ´ aramló sug´ arz´ as gyakorol légkör¨ unknek arra az összetev˝ojére, atomfajt´ aj´ ara, amelynek ν frekvencián van egy átmenete. Ha egy elemnek t´ ul sok átmenete van, vagyis κν -je nagy lesz azon frekvenciatartományban amelyben Iν nagy, ez az elem elkezd kifelé diffund´ alni. Ilyen mechanizmussal a kémiai elemek diffuz´ıv u ´ton elk¨ ulön¨ ulhetnek egy csillag légkörében, ha a csillag légköre nagyon nyugodt, vagyis szigor´ uan sug´ arz´ asi egyens´ ulyban van. Ekkor ugyanis a diff´ uzi´ o O(cm/s) nagys´ agrend˝ u makroszkopikus sebességével néhányszor 108 s alatt felép¨ ulhet egy kémiailag inhomogén rétegz˝ odés a csillaglégkörök O(1000) km-es sk´ aláj´ an. Nincs kizárva, hogy ez a mechanizmus Ap , Am csillagokban m˝ uködik annyira, hogy egészen furcsa kémiai ¨ osszetételeket kever ki szinte azonos összetétel˝ u anyagból. Egy másik figyelemre mélt´ o kvalitat´ıv következtetés a szelekt´ıv radiat´ıv gyors´ıtásb´ ol az, hogy kis g-j˝ u, teh´ at az Eddington-határhoz közel álló atmoszférával b´ır´ o (péld´ aul szu-

68


peróriás vagy ´ oriás) csillagokban a csillagszél kémiai összetételét ak´ ar befoly´ asolhatja is a sug´ arnyom´ as.

7.5.2.

Egydimenzi´ os ´ araml´ asok

A Euler-egyenlet és a hozz´ a csatolt egyenletek megoldásában a bonyolultság következ˝o lépcs˝ ofoka az, amelynél a mozg´ as egydimenziós, péld´ aul g¨ ombszimmetrikus, ekkor a meghatározandó f¨ uggvények v(r, t), ρ(r, t), a T (r, t) h˝ omérséklet rétegz˝odését pedig a sug´ arz´ as ´ aramlása ´ all´ıtja be. Hidrodinamikai egyenleteink ekkor a ∂v 1 ∂P M ∂v +v + +G 2 =0 ∂t ∂r ρ ∂r r ∂v ∂ρ 2vρ ∂ρ +ρ +v + =0 ∂t ∂r ∂r r

(7.33) (7.34)

alakra egyszer˝ usödnek. Bár (v, gradv) = v(∂v/∂r) 6= 0, látnivaló, hogy (7.22) jobb oldal´ anak második tagja nulla, tehát egy ilyen áramlásban a nemline´ aris tag már föllép, de az ´ aramlás mégsem lesz turbulens. (7.34)-t be´ırhatjuk (7.33)-ba: 2 1 ∂ρ ∂v M 1 ∂P v ∂ρ (7.35) = −G 2 − + + v2 + ∂t r ρ ∂r ρ ∂t r ρ ∂r Pulzáci´ os instabilitás – pulz´ aci´ o lehet˝osége – akkor lép fel, ha ∂v/∂t periódikusan el˝ojelet vált, ez sz¨ ukséges feltétel. v = 0 esetén (7.33) (7.23) egyenletté egyszer˝ usödik. Pulzáci´ os instabilitás vizsgálatakor ezért jogos egy sztatikus Pˆ (r), ρˆ(r), Tˆ(r) rétegz˝odésb˝ ol kiindulni, és azt kell vizsgálni, hogy léteznek-e olyan P (r, t) = Pˆ (r) + · · ·, ρ(r, t) = ρˆ(r) + · · ·, T (r, t) = Tˆ(r) + · · · perturb´ aci´ ok, amelyekkel ∂v(r, t)/∂t, v(r, t) alternáló f¨ uggvénnyé válnak egy nagyobb r intervallumban. Megfigyelhet˝o pulz´ aci´ o feltétele az, hogy a pulz´ aci´ os instabilitás felny´ uljon légkör r ≈ R tartományába. ∂P/∂ρ = RT (r, t)/µ(r, t) haszálatával a h˝ omérséklet régz˝ odése és az átlagos molekulatömeg vátozása ép´ıthet˝ o be egyszer˝ us´ıtett modell¨ unkbe. A s˝ ur˝ uség és a h˝ omérséklet (illetve nyom´ as) változ´ asa a t id˝o f¨ uggvényében egy adott r helyen fogja megszabni, hogy ki tud-e alakulni valamilyen makroszkópikus mozgása a csillaglégkörnek, péld´ aul periódikus v(r, t) egy kiterjedtebb r ≈ R, r ≤ R tartományban, vagyis g¨ ombszimmetrikus pulz´ aci´ o, amit radiális módusok gerjedésének is szoktunk nevezni. ρ(r, t), P (r, t) értékét a plazma termikus tulajdons´ agai szabják meg, id˝obeli változ´ asukat az alulr´ ol jöv˝ o besugárz´ as és a kisugárz´ as erded˝ojéb˝ol kapjuk meg. (7.35) csak g¨ ombszimmetrikus mozgásokról tud számot adni, pulz´ aci´ o esetén az egyens´ ulyi helyzetbe visszakényszer´ıt˝o hatás hidrodinamikai szempontból a P nyom´ as változ´ asa ezért szoktuk p-módusnak is nevezni az ilyen pulz´ aci´ ot. (7.33), (7.35) nemline´ aris egyenlet v-re, ezért a kialakul´ o pulz´ acós amplitud´ okról is sz´ amot adnak. Ha egy pulz´ aci´ onál az egyens´ ulyi helyzetbe visszakényszer´ıt˝o hatás a nehézségi er˝o, g-módusr´ ol beszél¨ unk, ilyen ”pulzáci´ o” péld´ aul az óce´ anok hull´ amzása, péld´ aul


69

inkompresszibilis közegek (∂ρ/∂t = 0, ∂ρ/∂r = 0) tudnak ´ıgy ”rezegni”. Fontos megjegyezni, hogy a g-módus´ u pulz´ aci´ o nem tud g¨ ombszimmetrikus lenni. Nemradiális módusokr´ ol beszél¨ unk ilyenkor, péld´ aul fehér t¨ orpe, δScu csillagok tudnak gmódusban pulz´ alni, noha légkör¨ uk, burkuk csak közel´ıt˝oleg inkompresszibilis plazm´ aból áll. Természetesen lehet p-módus´ u pulz´ aci´ o is nemradi´ alis, ha mindhárom dimenzi´ oban lehetséges az elmozdulás. Ak´ ar p-, ak´ ar g-módus´ u nemradi´ alis pulz´ aci´ o amplitud´ oja sokkal kisebb szokott lenni, mit a radiális módusoké. A pulz´ aci´ o felfogható u ´gy, mint egy perturb´ aci´ o terjedése, ami a cs hangsebességgel t¨ orténik, ezt kör¨ ulbel¨ ul (7.4) adja meg. Vertikális ir´ anyban a Nap fotoszféráj´ an ≈ 400 km/cs < 1 percen bel¨ ul kereszt¨ ulhalad egy hanghull´ am, de óriáscsillagoknál ez az id˝o már 10 perc nagys´ agrendjébe esik, szuperóriásokn´ al pedig a napot is elérheti. Ha a csillaglégkör elég gyorsan tud alkalmazkodni a sug´ arz´ asi folyamatok által létrehozott változ´ ashoz, vagyis a sug´ arz´ asi egyens´ uly be´ allásához sz¨ ukséges (7.14) id˝o elegend˝oen rövid a hidrodinamikai állapot megv´ altozásához sz¨ ukséges L/cs id˝ohöz képes, akkor jogos a kv´ azisztatikus atmoszféra k¨ ozel´ıtés, vagyis hogy a változ´ o csillaglégkört sztatikus légkörmodellek sorozatával közel´ıtj¨ uk a k¨ ulönb¨ oz˝o t id˝opontokban. Ebben az esetben jó közel´ıtés (7.23) alapján −

1 ∂P = geff (t), ρ ∂r

(7.36)

vagyis id˝ot˝ol igen, de helyt˝ ol nem f¨ ugg˝o effekt´ıv nehézségi gyorsul´ ast tételezhet¨ unk fel a pulz´ aci´ o hajt´ omotorj´ anak, mert ρ−1 (∂P/∂r) a csillaglégkörön bel¨ ul nem változik ´ 2-3 sz´ azalékn´ al t¨ obbet. Ugy kell elképzelni ezt, hogy a csillag pulz´ aló légköre be ¨ ¨ nehézségi van z´ arva egy R gyorsul´ assal mozgó liftbe, amelyben geff = GMr−2 + R gyorsul´ ast mérne egy észlel˝ o. (Tehát (7.36) szerint kombinált denzitométernek és barométernek használjuk a sztatikus légkörmodelleket.) A mozgásegyenlet pedig a ∂v M ∂v +v = −G 2 + geff (t) + a(dyn) (r, t) ∂t ∂r r

(7.37)

alakot ¨ olti, ahol fizikai intuici´ onkra hallgatva a jobb oldalra be´ırtuk az a(dyn) dinamikus korrekci´ ot, ami arról ad számot, hogy mennyi a gyorsul´ as k¨ ulönbsége egy kvázisztatikus és egy dinamikus légkörmodellben. Radi´ alis pulz´ aci´ ot végz˝ o csillagok t´ argyalásánál fontos a (7.33-7.35) közel´ıtés. Ilyen matematikailag kétdimenzi´ os problém´ ak megoldására hatékony numerikus algoritmusok léteznek ak´ ar Euler, ak´ ar Lagrange formalizmusban, ezek bemutat´ asa azonban meghaladja jegyzet¨ unk kereteit. Az itt bemutatott Euler-formalizmusban az egyenleteket egy rögz´ıtett koordináta-rendszerben ´ırjuk fel. Lagrange-formalizmusban a t¨ omegelemhez rögz´ıtj¨ uk a vonatkoztatási rendszer¨ unket, ezzel azonban itt nem foglalkozunk, noha ebben (7.18) egyszer˝ ubb alakot ölt, mert elt˝ unik a nemline´ aris tag. Arról viszont k¨ ulön kell gondoskodni, hogy a t¨ omegelemek ne tudjanak egym´ ason kereszt¨ ulmenni.


70 L¨ ok´ eshull´ amok

Megeml´ıtj¨ uk még, hogy a térben egydimenziós t´ argyalások gyakori velej´ arója a lökéshull´ amok fellépése, mivel ebben a t´ argylásmódban az anyag torlódásra hajlamosabb, mint a természetben, ahol a torlódások el˝oli kitérésre van még két dimenzi´ o. L¨ okéshull´ am alatt azt értj¨ uk, hogy egy hidrodinamikai mennyiség határértéke egy fel¨ ulet két oldal´ an eltér˝ o. Ha péld´ aul ρ ez a mennyiség, és a fel¨ ulet mozog, amint az szokott lenni, akkor ez olyasmi jelenség, mintha egy fal mozogna a közegben, innen az elnevezés, amely a 70–80 évvel ezel˝otti magyar nyelv˝ u szakirodalomban még a szemléletesebb l¨ ok˝ ohull´ am volt, el˝ofordul a szakadási fel¨ ulet elnevezés is. A szakadási fel¨ uletek mentén a meghatározandó f¨ uggvények (pédául ρ(r), v(r),... nem differenci´ alhat´ ok, ezért ezek r tartományában (7.33-7.35) helyett integrál formában fel´ırt ¨ osszef¨ uggésekkel kell dolgoznunk — energiaintegrált, stb. kell fel´ırnunk. A kvantitat´ıv megértést nehez´ıt˝ o tényez˝ok vázlatosan: a hull´ am két oldala között er˝os radiat´ıv csatolás van, ami kiegyenl´ıt˝o hatás´ u, valamint az, hogy er˝os idealiz´ alás a hidrodinamikai mennyiségek ugr´ asszer˝ u változ´ asa a hull´ am két oldal´ an. Egy konkrét példa: RR Lyrae csillagok légkörében a sz´ınkép egyértelm˝ uen utal lökéshull´ amok jelenlétére a fényg¨ orbe felszálló ágában. Elméleti modellezés is kiadta ezek létét, két egym´ as felé mozgó réteg alakul ki abból, hogy az el˝oz˝o pulz´ aci´ os hull´ am ´ altal kil¨ ok¨ ott, majd szabadeséssel visszahull´ o légköri anyag összetorl´ odik a következ˝o pulz´ aci´ os hull´ am kifelé terjed˝o anyagával. A lökéshull´ am vastagságára azonban legf¨ oljebb p´ ar sz´ az méter adódott, mindez olyan gáznem˝ u légkörben, amelyben a méretek O(104 ) kilométerrel mérhet˝ok. Egy ilyen pap´ırvékony szakadási fel¨ ulet igen instabil, s helyette inkább valami turbulens módon kevered˝o nagy h˝ omérsékletgradiens˝ u tartom´ any kialakul´ asát sugallja fizikai intuici´ onkon k´ıv¨ ul a Rayleigh–Taylor-instabilitás ismerete is. Ez utóbbi laboratóriumi kör¨ ulmények között u ´gy alakul ki, hogy gravitáci´ os er˝otérben egy s˝ ur˝ ubb folyadékot rétegz¨ unk egy ritk´ abbra, a k´ısérletek szerint mindig elkeveredés az eredmény. Ilyen t´ıpus´ u keveredés van nyilván a lökéshull´ am két oldala között is, aminek következtében a szakadási fel¨ ulet helyén egy turbulensen kevered˝o z´ ona kialakul´ asa várható.

7.5.3.

3D ´ araml´ asok

Manaps´ ag nagysebesség˝ u sz´ am´ıtógépekkel lehet numerikus megoldásokat tal´ alni (7.18-7.21)-höz a leg´ altal´ anosabb, a 3 dimenzi´ os esetben is: az egyenletekben el˝oforduló deriváltakat a lehet˝ o legegyszer˝ ubb véges differenciákkal helyettes´ıtik, s az ´ıgy kapott algebrai egyenleteket megoldják egy véges rácsra. Ezen algebrai egyenletek ismeretlenei a keresend˝o f¨ uggvény értékei a rácspontokban. Sokszor a rácsot nem lehet el˝ ore rögz´ıteni, hanem a megoldáshoz kell illeszteni: ott, ahol a meghatározand´ o f¨ uggvények er˝ osen változnak, s˝ ur˝ u rács kell, m´ıg másutt ritk´ıthatók a rácspontok. (T¨ obb t´ızezer egyenletb˝ ol ´ alló egyenletrendszer ≈ t¨ obb t´ızezer rácspont jelenti a 90-es években a cs´ ucsot.) A részleteknek könyvtárnyi irodalma van, amelyre itt nincs hely kitérni. Matematikailag nézve partikuláris megoldások kaphatók ´ıgy,


71

amelyek között asztrofizikai célokra is alkalmas jónéhány: péld´ aul léteznek olyan programok, amelyek a Nap konvekciós z´ onáj´ anak áramlásait már 3 dimenzi´ oban tudják szimulálni, t´ ajékoztat´ asul annyit, hogy hosszuk mintegy 20 000 FORTRAN utas´ıt´ as. Csak c´ımjegyzékszer˝ uen megeml´ıtj¨ uk, hogy numerikus integrálásokb´ ol turbulenci´ ak keletkezését péld´ aul haj´ ok u ´sz´ asakor numerikusan is egész jól értj¨ uk — ez k¨ ulönben egyszer˝ u problém´ anak szám´ıt az asztrofizikai problém´ akhoz képest. Kicsit hasonl´ o, b´ ar bonyolultabb probléma egy rendezett mozgás felapr´ ozódása: amikor péld´ aul elindul f¨ olfelé egy konvekt´ıv elem egy csillag konvekciós z´ onáj´ anak aljár´ ol, de természetesen a rendezett mozgás kinetikus energiája folyamatosan diszszipál a torl´ odás és a turbulenciák kialakul´ asa miatt, valamint az elem melegebb lévén a környezeténél, h˝ ul is. Emiatt a konvekt´ıv elem egy lk hossz megtétele után elkeveredik a környezetével, ezt a fenomenologikus le´ırásb´ ol származó lk -t keveredési hossznak nevezik, s értékét az imént eml´ıtett numerikus integrálásokkal is lehet becs¨ ulni. (A keveredési hossz fogalma L. Prandtl (1875-1953) német fizikust´ ol származik, aki azt eredetileg inkompresszibilis és közel izoterm folyadékok áramlásaiban fellép˝o turbulens elkeveredés t´ argyalására vezette be. Az asztrofizikába f˝oként E. Böhm-Vitense szintén német fizikus, asztrofizikus vezette be.) Pontosabb meghatározása a következ˝o: ha megindul egy áramlás, egy rendezett mozgás egy ¯ (r) sebesség átlagértéke null´ tértartom´ anyban, az itteni v atól k¨ ulönb¨ ozik, dt id˝o ¯ dt pont kör¨ m´ ult´ an u ´jra ´ atlagoljuk a sebességet az r′ = r + v uli tértartományra, s ´ıgy megy¨ unk lépésr˝ol lépésre. Keveredési hossznak azt az lk = |r − r′ | t´ avolságot nevezz¨ uk, amelynél a sebesség ´ atlagértéke null´ ara vagy az eredetinek egy h´ anyadára csökken. Ennek a definic´ onak a szemléletes tartalma nyilvánvaló: megsz˝ unt az eredetileg rendezett mozg´ as, vagyis elkeveredett a környezetével a konvekt´ıv elem. Eredeti kinetikus energiája h˝ ové, turbulens mozgás kinetikus energiáj´ av´ a disszip´ alt, impulzusát pedig ´ atadta környezetének. Az ´ıgy definiált lk a keveredés kinematikai, hidrodinamikai aspektus´ at emeli ki. Természetesen lk f¨ ugg az induló elem méretét˝ol, dimenzi´ otlan sz´ amot kapunk, ha ezzel normáljuk, ez már jobban kifejezi a keveredési folyamat fizik´ aj´ at, f¨ uggeni fog az induló elem sebességét˝ol, a környezet kompresszibilit´ as´ atól és viszkozitás´ atól, mindezek részletezésére azonban nem tér¨ unk ki. A csillagburkok és csillagbels˝ok szerkezetének szám´ıtásához sz¨ ukséges konvekt´ıv fluxusról e szemléletes kép nem ad sz´ amot, mivel itt csup´ an az elkeveredés jelenségét ´ırtuk le. Itt kell még megeml´ıten¨ unk, hogy (7.21,7.19) és a hozz´ a csatolt radiat´ıv egyenletek közvetlen megoldás´ aval val´ o k´ısérletezés helyett sokszor jól jön, hogy bizonyos egyszer˝ us´ıtésekkel jelent˝ osen cs¨ okkentj¨ uk a probléma dimenzi´ oinak szám´ at, a megmarad´ o kevés változ´ ora a t¨ omeg, az energia, az impulzus megmaradási tételéb˝ol könnyebben megoldható egyenleteket nyerhet¨ unk, amelyeknek a száma is nyilván kevesebb.


72

Mikro- ´ es makroturbulencia A turbulenciák kapcs´ an sz´ olnunk kell még arról, hogy kimondottan a csillagok légkörében beszél¨ unk mikro- és makroturbulenciáról aszerint, hogy a turbulens elemek karakterisztikus mérete mekkora. Ha ezek olyan kicsik, hogy az általuk létrehozott sebességmez˝ o figyelembe vehet˝ ou ´gy, mint egy ξt korrekció a (7.4) által definiált legval´ osz´ın˝ ubb sebességhez, vagyis v02 = 2kT /m + ξt2 ,

(7.38)

akkor beszél¨ unk mikroturbulenciáról. A makroturbulencia definiciója pedig az, hogy az ´ altala létrehozott sebességmez˝ o (ha nem a Napon nézz¨ uk, a felénk es˝o hemiszfér´ ara ´ atlagolt sebességmez˝ o) már nem követi a Maxwell-sebességeloszlást, s˝ot esetleg nem is p´ otl´ olagos vonalkiszélesedést hoz létre, hanem péld´ aul hull´ am´ sejtj¨ hossz-eltol´ odást vagy aszimmetrikus vonalprofilt a sz´ınképben. Ugy uk, hogy a kritikus karakterisztikus méret kör¨ ulbel¨ ul a τ ≈ .1 optikai mélységet elér˝o tartomány mérete, egy ekkora tartom´ any még gyakorlatilag átl´ atszó, s ha benne nagy sebesség˝ u turbulens mozg´ asok vannak, az azok által létrehozott W (ξt ) sebességeloszlás gyan´ıthatólag j´ ol közel´ıthet˝ o a (7.6) haranggörbével. A bizonytalan fogalmaz´ as magyarázata a fogalom t¨ orténetében van. A mikroturbulencia ξt sebessége eredetileg (az 1930-as években t¨ ortént bevezetésekor) egy emp´ırikus illeszt˝o faktor volt: ha a (7.4) által definiált v0 helyére a megfelel˝oen választott ξt -vel kiegész´ıtett v0 -t tettek (7.38) szerint (7.6)-be, a vonalak Dopplerszélessége egységesen megn˝ott, s ´ıgy a k¨ ulönb¨ oz˝o vonalakból meghatározott légköri gyakoris´ aga a kémiai elemeknek megv´ altozott. Bevezetésével siker¨ ult elérni azt, hogy a csillagsz´ınképeknek az akkoriban egyre gyakrabban elvégzett kvantitat´ıv anal´ıziséb˝ol elt˝ unt egy szisztematikus hiba: az egyes kémiai elemek légkörbeli gyakorisága ´ıgy csak random sz´ or´ ast mutatott, ha azt az elemek k¨ ulönb¨ oz˝o er˝osség˝ u sz´ınképvonalaiból hat´ arozt´ ak meg. ξt egységes volt t¨ obb kémiai elem vonalaiból meghatározva! Csak j´ o 30 év m´ ult´ an f˝ uzték azt´ an magyarázatként ehhez a tényleges, makroszkópos, turbulens mozg´ ast, amelynek léptéke az imént jelzett méret. E feltételezett mozg´ as nagyobb lépték˝ u, mint a h˝ omozg´ as, csak szubsz´ onikusnak képzelhet˝o el, ami a ξt2 < 2kT /m korlátot rója ki rá, mivel v0 kör¨ ulbel¨ ul a hangsebességgel egyenl˝ o a légkör plazm´ aj´ aban.

7.5.4.

Konvekci´ o

Konvekci´ onak nevezz¨ uk a csillag anyagának szimult´ an föl-le mozgását, keveredését. Konvekt´ıv instabilit´ asról akkor beszél¨ unk, ha a csillag (légkörének) anyaga nem stabil a f¨ ugg˝ oleges elmozdulásokkal szemben, de ezek az elmozdulások nem rendez˝odnek ¨ ossze olyan globális rezgéssé, mint a pulz´ aci´ o. Akkor következik be ilyen instabilitás, ha a konvekci´ oval való energiatranszport hatékonyabb a sug´ arz´ asinál.


73

A konvekt´ıv instabilitás kritériumát K. Scharzschild (1874-1916) fogalmazta meg: dT dT (7.39) < . dr ad dr rad

´ Ugy kell ezt érten¨ unk, hogy vesz¨ unk egy sug´ arz´ asi egyens´ ulyban lév˝ o modellt, abban kisz´ am´ıtjuk a h˝ omérséklet gradiensét, vagyis (7.39) jobb oldal´ at. (A modell éppenséggel lehet az 5. fejezetben megismert sz¨ urke modell¨ unk is.) A következ˝o lépés, hogy adiabatikus folyamatokat: konvekt´ıv cellák fel- és leszállását feltételezve kisz´ am´ıtjuk ugyanezen modell h˝ omérséklet-rétegz˝odését. (Feltessz¨ uk, hogy cellák olyan gyorsan mozognak, hogy a létezés¨ uk ideje alatt sem keveredéssel, sem radiat´ıv u ´ton sz´ amottev˝o h˝ ot nem tudnak cserélni a környezet¨ ukkel, ezért tekinthet˝ o adiabatikusnak a folyamat.) Amelyik r (τ ) intervallumban azt´ an teljes¨ ul az egyenl˝ otlenség, a konvekci´ o megindul, s abban ez fogja kisz´ all´ıtani az energiát, k¨ ulönben pedig a sug´ arz´ as. A konvekt´ıv és a radiat´ıv fluxus aránya fontos paramétere légkörmodell¨ unknek, de a csillagok mélyér˝ ol alkotott modelljeinknek is, megb´ızható szám´ıtása nem tartozik a könny˝ u feladatok közé. A konvekció szerepe kett˝ os: egyfel˝ol homogeniz´ alja a közeget a mozg´ asok miatti turbulens keveredés által, másfel˝ol a konvekt´ıv fluxus sz´ amottev˝oen hozz´ aj´ arul az energia száll´ıtásához a csillag belsejében, burkában. A csillaglégkör 0 ≤ τ ≤ 3 tartományában azonban a konvekt´ıv fluxus már elhanyagolható, gyakorlatilag null´ anak vehet˝ o a közeg csekély s˝ ur˝ usége miatt. Ink´ abb csup´ an a fizikai lényeg bemutat´ asára szám´ıtsuk ki egy sz¨ urke modell radiat´ıv h˝ omérsékleti gradiensét péld´ aul τ = κr feltevésével: dT 2 i−3/4 31/4 h κ ≈ Te κ1/4 r−3/4 . (7.40) = 5/4 Te κr + dr rad 4 3 Nyilv´ anval´ oan a konvekt´ıv instabilitás javára fog dolgozni, ha kifelé haladva a csillagban κ valahol megnövekszik. Péld´ aul a csillagok k¨ uls˝ o részében (nemritk´ an közvetlen¨ ul a légkör alatt) a kifelé csökken˝o h˝ omérséklet miatt egy kémiai elem (hidrogén vagy kicsit mélyebben a hélium) megsz˝ unik ioniz´ alt lenni, s mivel egy H(He-)atom sokkal nagyobb, mint egy proton (α részecske), a fényelnyelési hatáskeresztmetszete (κ-ja) is sokkal nagyobb lesz, ezért a rekombináci´ o (7.39) teljes¨ ulése felé mozd´ıtja el az egyens´ ulyt, s ezt tetézi még az ioniz´ aci´ os energia felszabadulása, mert ez p´ otl´ olagos energia, aminek el kell t´ avoznia, de ezt akadályozza a fölötte lév˝ o rétegek nagy opacit´ asa. κ-mechanizmusnak is h´ıvj´ ak ezt a fajt´ aj´ at a konvekt´ıv instabilitásnak. Ilyen konvekt´ıv instabilitás rendszerint felny´ ulik a légkörbe is, f˝oként annak mélyebb rétegibe, F5-nél késeibb sz´ınképosztály´ u csillagok légkörében biztosan jelen van. Ugyanakkor a legk¨ or legk¨ uls˝ o tartományában κ csökkenése miatt mindig a radiat´ıv fluxus ker¨ ul tuls´ ulyba. Megjegyezz¨ uk még, hogy a csillagok magja igen gyakran konvekt´ıv, s a magreakci´ ok miatt a kémiai ¨ osszetétel ugr´ asszer˝ uen változik a mag és a burok határán. Ez rendszerint κ ugr´ asszer˝ u cs¨ okkenésére vezet, s ezért a konvekt´ıv instabilitás megsz˝ unik, s a konvekt´ıv energiatranszport helyére a radiat´ıv lép. A kémiai összetétel éles hat´ arvonalának fennmarad´ asa azonban nemigen képzelhet˝o el egy O(107 )K

74


h˝ omérséklet˝ u plazm´ aban, valamiféle elkeveredést várunk. Tárgyunkhoz ez az instabilit´ as nem tartozik, de megeml´ıtj¨ uk, hogy a szakirodalomban szemikonvekci´ onak nevezik azt a jelenséget, amikor ez az éles határ a kémiai összetételben nem marad meg, hanem diff´ uzi´ oval elmosódik, s ez a konvekt´ıv instabilitás határát kifelé tolja, mivel a nagy κ-t okozó kémiai ¨ osszetétel kifelé tol´ odik. A probléma igen nehezen kezelhet˝o numerikusan, amelyben a diff´ uzi´ o által valamiféle makroszkópos mozgás nélk¨ uli elkeveredés van (innen ered a szemikonvekció elnevezés), de a konvekt´ıv energiafluxus gyakorlatilag nulla. Megint inkább csak a fizikai lényeg bemutat´ asára felvázoljuk egy adiabatikus modell h˝ omérséklet-rétegz˝ odését. Ezt sokkal nehezebb megkapni, mert nem egy egykomponens˝ u g´ az adiabatikus t´ agulása zajlik le (mint péld´ aul egy g˝ ozgépben), hanem f¨ ol- és lesz´ alló elemek (adiabatikusan) t´ agulnak, h´ uzódnak össze, s ezen k´ıv¨ ul keverednek a környezet¨ ukkel, ezért v = 0, amit (7.23) levezetésekor feltételezt¨ unk, teljesen illuzorikus. Ezért csak becslés céljára engedhet˝o meg, hogy (7.23)-t integráljuk a P = konst × ργ (7.41) adiabatikus ´ allapotegyenlettel, γ = cP /cV az álland´ o nyom´ ason és h˝ omérsékleten vett fajh˝ ok h´ anyadosa. Helyettes´ıts¨ uk (6.7.3)-t (7.23)-ba: konst × γργ−1

dρ = −gρ, dr

(7.42)

amit a változ´ ok szétválasztás´ aval nem nehéz integrálni, az eredmény: konst × ργ−1 = −

γ−1 gr. γ

(7.43)

Behelyettes´ıtj¨ uk ide az adiabatikus t´ agulásra vonatkozó T = konst × ργ−1 -t, amib˝ol γ−1 gr, (7.44) T (r) = γ ad

mely ¨ osszef¨ uggés r szerinti deriváltja szerepel (7.39) bal oldal´ an. Eszerint a nagy g stabilizál a konvekci´ oval szemben, s γ megv´ altoz´ asa (péld´ aul ioniz´ aci´ o miatt) szintén kihat a konvekt´ıv egyens´ ulyra. E leegyszer˝ us´ıtett meggondolás alapján sejtj¨ uk, hogy a fehér t¨ orpék légköre miért van radiat´ıv egyens´ ulyban, s hogy a szuperóriások kiterjedt légköre miért instabil. Mindez roppant egyszer˝ u, a konvekció részletes kvantitat´ıv modellezése, ami végs˝ o soron egy adiabatikus T (r) megad´ asával egyenérték˝ u, még ma is lez´ aratlan ter¨ ulete az asztrofizikának, mert egy kompresszibilis, turbulens közeg 3 dimenzi´ os mozg´ asait kell modellezn¨ unk. Ha semmi lényegbev´ agó egyszer˝ us´ıtéssel nem él¨ unk, erre ugyan megvan az Euler, illetve a Navier–Stokes-egyenlet a tartozékaival egy¨ utt — állapotegyenlet, kontinuit´ asi egyenlet, de a k¨ ulönb¨ oz˝o h˝omérséklet˝ u tartományok között még a radiat´ıv csatolás is fennáll. Elvi nehézség nincs, de a valamennyire


75

már megb´ızhat´ o numerikus megoldások a jelenlegi szuperszám´ıtógépek szám´ ara is kemény diót jelentenek. Ha azonban nem ragaszkodunk a teljes kör˝ u le´ır´ ashoz, az energia és az impulzus megmaradásának fel´ır´ asa is ad már két egyenletet, s ez sokat elárulhat a konvekci´ or´ ol. A konvekci´ ot modellez˝o asztrofizikus hasonl´ o helyzetben van, mint egy gépészmérn¨ ok: hev´ıtéssel — DQ energiát közölve a közeggel — n¨ ovekszik egy közeg bels˝o energiája és a termodinamika els˝o f˝otétele szerint még P dV munk´ at szeretnénk végeztetni azzal: DQ = dE + P dV. (7.45) Erre akkor van lehet˝ oség, ha a rendszer bels˝o szabadsági fokai (péld´ aul h˝ omozg´ as, ioniz´ aci´ o) már nem tudják elnyelni a DQ h˝ omennyiséget, és ezért a közeg ”rákényszer¨ ul” a térfogati munka végzésére. Azt´ an a leh˝ ulésnél pedig DQ < 0, tehát h˝ o t´ avozik el, és a közeg ¨ osszeh´ uzódik. DQ lehet a csillag mélyéb˝ol radiat´ıv u ´ton jött energia, h˝ ulésnél pedig a kisugárz´ as miatti veszteség. Hev¨ ulésnél kulcsszerepl˝o az a h˝ omennyiség, amit közeg¨ unk az r helyen elnyel (ez a κ abszorpciós koefficienst˝ol f¨ ugg), vagy valami helyben felszabadult energia: péld´ aul bek¨ ovetkezik egy kémiai elem rekombináci´ oja a kifelé csökken˝o h˝ omérséklet miatt. A közeg hidrodinamikai sajátoss´ agait´ ol f¨ ugg, hogy az elnyelt vagy a helyben felszabadult energia mozgásba hozza-e a közeget, s ha igen, milyenbe: a viszonylag rendezetlen mozgásállapotot megtestes´ıt˝o konvekció alakule ki, vagypedig globális rezgések jönnek létre, vagyis elkezd a csillag pulz´ alni. A konvekt´ıv és a pulz´ aci´ os instabilitás között tehát nem h´ uzható éles határvonal, amit kifejez az is, hogy szakirodalomban szok´ as beszélni konvekt´ıv pulz´ aci´ oról is, amikor olyasfajta pulz´ aci´ o j¨ on létre, amely során az r sug´ arn´ al lév˝ o dr vastag héjban a θ, φ pol´ arsz¨ ogek f¨ uggvényében olyan sok n´ odusa van a vr (r, θ, φ) sug´ arir´ any´ u sebességkomponensnek, hogy ez nem sokban k¨ ulönb¨ ozik már egy konvekt´ıv közegben a v(r) sebességmez˝ ot˝ol. E megk¨ ozel´ıtése a konvekciónak azért szimpatikus, mert ennek során lemondtunk arról a nagyfok´ u egyszer˝ us´ıtésr˝ol, amit a v = 0 jelentett az Euler-egyenletben, de ennek ellenére mégsem kell a közeg bonyolult hidrodinamikáj´ aval, a konvekt´ıv tartomány impulzusviszonyaival foglalkoznunk, hanem csak energiatétellel van dolgunk. Felsorolunk futólag két kérdést, amelyekre a válasz a konvekció részletes, hidrodinamikai modellezésével lesz majd megkapható, tal´ an a nem t´ ul t´ avoli jöv˝ oben. (a) A csillag légkörének viszkozitása ugyan csekély, arra nem elég, hogy lefékezze a megindul´ o anyagot, de arra igen, hogy egy¨ utt m˝ uködve a nemlináris taggal a Navier-Stokes egyenletben turbulenssé tegyen egy áramlást. Ezek a turbulenci´ ak azt´ an vég¨ ul egy elinduló konvekt´ıv elemet, elemi cellát felapr´ oznak, elkevernek a környezetével, s a radiat´ıv folyamatok is a cella környezetbe val´ o beolvadása felé hatnak, a melegebb, tehát felszálló elemek h˝ ulnek, a hidegebb, teh´ at lesz´ alló elemek pedig melegszenek. A környezetben való felold´ odás, vagyis az azzal való elkeveredés nyilván egy átlagos t´ avolságon bel¨ ul következik be, amelyet lk keveredési hossznak nevez¨ unk. Ha (7.39) lk

76

´ ¨ EGYENSULYA ´ FEJEZET 7. A CSILLAGLEGK OR magass´ aggal f¨ oljebb is teljes¨ ul, a konvekt´ıv elemek az elkeveredett anyagból természetesen u ´jra kialakulnak.

(b) A konvekt´ıv elemek melegebbek a környezet¨ uknél, ezért s˝ ur˝ uség¨ uk kisebb, felhajt´ oer˝ o hat rájuk, am´ıg le nem h˝ ulnek. A folyamat részletes kisz´ am´ıtása azonban ismét igen nehéz numerikus feladat. Ha jól modellez¨ unk, megtudhatjuk, hogyan indul el egy konvekt´ıv elem, hol és hogyan áll meg, amikor megérkezett egy stabil, radiat´ıv rétegz˝ odés aljára, vagy hogyan keveredik el a környezetével, majd a leh˝ ult anyag hogyan áramlik vissza a fölfelé áramló konvekt´ıv elemi cell´ ak között. A (b) ponttal kapcsolatos a konvekció Ledoux-féle feltétele, amellyel nem foglalkozunk, mert a csillag légkörének k¨ uls˝ o részében, ahol a vonalas sz´ınkép kialakul, az általa le´ırt jelenség nem j´ atszik szerepet, a energia áramlása szinte kizárólag radiat´ıv. Kevered´ esi hossz ´ es barometrikus sk´ alamagass´ ag Visszatér¨ unk még egy kicsit a keveredési hosszhoz, ami nagyon hasznos paramétere a konvekt´ıv tartom´ anyok modellezésének, és jól ragadja meg a fizikai lényeget. A konvekci´ o részleteinek hiányos ismerete ellenére is lehet˝ové teszi péld´ aul a csillagok belsejében, légkörében az energia áramlásának modellezését, s ha majd a részletek megismerésében jelent˝ osen siker¨ ul el˝orelépni, nem kell mindent el˝olr˝ol u ´ jra számolni, hanem csak a keveredési hossz megfelel˝o érték˝ u modelljeit kell el˝ovenni. Ezek a modellek azt´ an legal´ abbis j´ o alapot fognak adni a kiindul´ ashoz, ha finom´ıtásra lesz sz¨ ukség. M´ asrészt, esetleg j´ ol megv´ alasztott megfigyelésekkel péld´ aul a keveredési hossz tényleges értékér˝ ol tudhatunk meg t¨ obbet. A Nap k¨ uls˝ o konvekt´ıv z´ onája kör¨ ulbel¨ ul 200000 km mély, tehát a konvekt´ıv instabilitás t¨ obbszáz H0−1 vastagság´ u, a Nap fotoszférája viszont csak kör¨ ulbel¨ ul 400 km vastag, ami alig t¨ obb, mint H0−1 . Itt km/s nagys´ agrendjébe es˝o sebességeket látunk, amib˝ ol tiszt´ an emp´ırikusan arra gondolhatunk, hogy a konvekció szubsz´ onikus áramlásokat hoz létre, f˝ o hat´ asa a h˝ omérséklet gradiensének csökkentése, ha azt egy radiat´ıv modell gradienséhez hasonl´ıtjuk. A csillagban (légkörében) a barometrikus sk´ alamagasság az egyetlen kit¨ untetett t´ avolságsk´ ala. Ezért (fizikai intu´ıcióra hallgatva) a lokális T (r) h˝ omérséklethez tartozó α = l k H0 (7.46) dimenzi´ otlan paraméterrel szokták jellemezni a konvekciót. Nyilv´ an nemigen lehet konvekci´ or´ ol beszélni α < 0.1−0.5 esetén, mert ez kör¨ ulbel¨ ul azt jelenti, hogy a konvekci´ o nem változtatja meg a rétegz˝odést: ilyenkor azonban jogos némi turbulens nyom´ ast is belevenni (7.23)-ba. Mindazonáltal α értéke kör¨ ul teljes a bizonytalanság, numerikus becslések és a konvekcióval kapcsolatos intu´ıciók szerint szok´ as kiv´ alasztani a legelfogadhatóbbnak tartott értékét. (Ez α = 1−2 a XX., XXI. század fordul´ oj´ an.) α bevezetése azért volt mégis hasznos, mert a csillag légkörének szerkezete szempontj´ aból fontos konvekt´ıv energiatranszportot parametrikusan le´ırja. A


77

szakirodalomban publikált nagy csillaglégkör modellcsaládokban az α paramétert meg szokták adni. (Csak utalunk itt arra, hogy α értékét gyakran szabad paraméternek tekintik, s u ´gy ´ all´ıtják be, hogy a csillag szám´ıtott mérete a megfigyelt nagys´ ag´ u legyen. Ez az elj´ arás α értékét tulajdonképpen a csillagbels˝ok modellezéséb˝ol hat´ arozza meg, ezért némi habozás mindenképpen jogos, amikor ezt átvissz¨ uk egy fizikailag meglehet˝osen más t´ıpus´ u tartományra, a légkörre.) Ha lk nagy a konvekt´ıv z´ ona méretéhez képest, a sokáig ható felhajt´ o er˝o miatt a lassan elkevered˝o konvekt´ıv cellák egész jelent˝ os kinetikus energiával érkezhetnek a konvekt´ıv z´ ona fels˝o hat´ ar´ ahoz, oda, ahol az egyenl˝ otlenség fordul (7.39)-ben, és tehetetlenség¨ uk miatt nyilván nem állanak meg azonnal. Konvekt´ıv t´ ull¨ ovésr˝ol, penetráci´ or´ ol szoktunk ilyenkor beszélni. Ez inkább a csillagok burkában, belsejében fontos, hat´ asa a radiat´ıv h˝ omérsékletrétegz˝odés megzavarásában nyilvánul meg: a lassan lefékez˝od˝o, elkevered˝o kovekt´ıv cellák még számottev˝o ”konvekt´ıv” fluxust hoznak be a sug´ arz´ asi egyens´ ulyban lév˝ o tartományba. Ennek a kérdéskörnek a kvantitat´ıv t´ argyal´ asa a konvekció Ledoux-féle feltételével lehetséges, de erre nem tér¨ unk ki, mert a jelenség csak a szubfotoszferikus rétegekben jelent˝ os. Léteznek ugyan olyan légkörmodellek, amelyek a penetráci´ ot is figyelembe veszik, de a légkör τ tartom´ anyában a fizikai mennyiségek eltérése igen csekély a penetráci´ o nélk¨ uli modellekhez képest A konvekci´ o megállása mellett legal´ abb annyira kérdéses a megindul´ asának mikéntje is: mekkora fel és lesz´ alló elemek, mekkora sebességgel alakulnak ki abban a tartom´ anyban, amelyben (7.39) teljes¨ ul. Ezekr˝ol a kérdésekr˝ol azonban csak numerikus szimuláci´ ok elvégzése után lehet nyilatkozni, amelyek során a Navier-Stokes egyenletet és a hozz´ a tartozó egyenleteket kell megoldani viszk´ ozus, kompresszibilis és turbulens közegekre. A mi leegyszer˝ us´ıtett formalizmusunk a konvekció ezen részleteir˝ ol nem t´ ajékoztat, a szakirodalomban jelenleg föllelhet˝o, lényegesen nagyobb elméleti fizikai apparátust használó numerikus megoldások alapján sem rajzolhat´ o meg egységes kép a konvekció részleteir˝ ol.

78


8. fejezet

A MONOKROMATIKUS ´ ABSZORPCIOS KOEFFICIENS ´ ÍTASA ´ KISZAM A monokromatikus abszorpci´ os koefficens egy kisz´ am´ıtási módjával megimerkedt¨ unk a 2. fejezetben a telegráf egyenlet megoldása kapcsán. A plazm´ at ott a dielektromos ´ alland´ oval, a mágneses permeabilitással és az elektromos vezet˝oképességgel jellemezt¨ uk, ezekb˝ ol megkaptuk, hogyan nyel˝odik el a monokromatikus elektrom´ agneses hull´ am a plazm´ aban. A probléma ilyetén t´ argyalása teljesen kielég´ıt˝o volt a XX. sz´ azad elején, amióta azonban tudjuk, hogy a plazm´ at alkotó atomok, ionok bizonyos frekvenciákon nagyon er˝osen nyelik el a sug´ arz´ ast, m´ıg másutt egyáltal´ an nem, érezz¨ uk, hogy a val´ os´ agos folyamatokhoz közelebb álló modell kereteiben adhatunk csak sz´ amot a sz´ınképvonalak keletkezésr˝ol, s f˝oleg azok profiljáról, azaz Fν (0) pontos alakj´ ar´ ol a vonalon bel¨ ul. Egy-egy atomfajta elektrom´ agneses átmeneteinek mai tudásunk szerinti teljes le´ır´ as´ at a kvantumelektrodinamika keretei között végezhetj¨ uk el. A témak¨ or a sug´ arz´ as és az anyag kölcs¨ onhatása c´ımsz´ o alatt szerepel az elméleti fizikai könyvekben, és legal´ abbis hidrogénszer˝ u ionokra teljes a t´ argyalás, és még a héliumszer˝ u ionok néhány ´ atmenetére léteznek szám´ıtások numerikus eredményekig bezárólag. Szerencsére azonban az Fν (0) kisz´ am´ıtásához sz¨ ukséges 1–2 százalékos pontoss´ agot egyszer˝ ubb elméleti keretek között is megkaphatjuk, és ezek k¨ ulön által´ anos´ıtás nélk¨ ul alkalmazhatók bonyolultabb elektronhéj´ u atomokra is. κν kisz´ am´ıtására a fejezet¨ unkben követett u ´t nagyjából megfelel a t¨ orténeti fejl˝odésnek, ezért is érdekes 79

´ KOEFFICIENS FEJEZET 8. A MONOKROMATIKUS ABSZORPCIOS

80

végigmenni rajta. Az imént eml´ıtett anyagi álland´ okkal jellemzett, folytonosan elnyel˝ o plazma helyére u ´gy ép´ıthet¨ unk fel a valóságnak jobban megfelel˝o modellt, ha elemi oszcillátorokkal dolgozunk. A klaszszikus fizikából ismeretesek ilyenek, és nyilván a sug´ arz´ o atomok is tekinthet˝ ok bizonyos fokig elemi oszcillátoroknak, mert rendelkeznek a klasszikus oszcillátorok attributumaival. Ezek köz¨ ul számunkra azok fontosak, hogy j´ ol meghatározott sajátfrekvenciáikon (és annak sz˝ uk környezetében) nyelik el vagy sug´ arozz´ ak ki az elektrom´ agneses sug´ arz´ ast, és gyorsan változ´ o k¨ uls˝ o elektrom´ agneses mez˝o kényszerrezgésbe hozhatja ˝oket, amikoris sug´ aroznak a klasszikus fizika t¨ orvényei szerint, mert benn¨ uk t¨ oltések gyorsulva mozognak. A kényszerrezgés az oszcillátorban ω0 saj´ atfrekvenciával rezegni tudó t¨ oltés és az oszcillátor helyénél az ω frekvenciával rezg˝o (k¨ uls˝ o) elektrom´ agneses mez˝o kölcsönhatásából jön létre. Ha be´ allt a stacion´ arius ´ allapot, ennek a folyamatnak a kvantummechanikai analógja a fényelnyelés és az induk´ alt emisszió, amelyeken kereszt¨ ul tehát a kvantummechanikai és klasszikus fizikai t´ argyal´ asmódot összek¨ othetj¨ uk. Megjegyezz¨ uk még, hogy a klasszikus sug´ arz´ aselmélettel ugyan´ ugy vannak nyitott problém´ ak, mint a kvantumelektrodinamikai t´ argyal´ assal, ezeket azonban jegyzet¨ unkben nem t´ argyaljuk. Fejezet¨ unk programja: el˝ osz¨ or be fogjuk vezetni az Einstein-féle átmeneti valósz´ın˝ uségeket, utána elektrom´ agneses sug´ arz´ as szóródását fogjuk tanulmányozni klasszikus oszcillátorokon, ez a Lorentz-féle elmélet, s vég¨ ul kvantummechanika felhasználásával azt fogjuk kisz´ am´ıtani, hogy egy sug´ arz´ o atom h´ any darab klasszikus oszcillátornak felel meg. Az atomi energiaszintek kvant´ altságát tehát figyelembe vessz¨ uk, de az elektrom´ agneses mez˝oét nem: ez utóbbit végig klasszikusan t´ argyaljuk.

8.1.

Az Einstein-f´ ele ´ atmeneti val´ osz´ın˝ us´ egek

Legyen egy atomunk két energiaszintje Ej , Em , legyen Ej < Em , a szintekhez tartozó statisztikus s´ uly gj , gm , nj és nm jelölje a szintek betöltési szám´ at (dimenzi´ ojuk sz´ am, illetve sz´ ams˝ ur˝ uség: atomszám/térfogat), Em − Ej = hνmj . (A továbbiakban ν mj indexét el fogjuk hagyni.) A lehetséges átmenetek a következ˝ok: spont´ an és induk´ alt emisszi´ o (m → j), abszorpció (j → m). Ez utóbbi két folyamat akkor lehetséges, ha jelen van az atomunk helyén egy uν energias˝ ur˝ uség˝ u elektrom´ agneses mez˝o. A h´ arom folyamatot (sorrendben) jellemezz¨ uk az Amj , Bmj , Bjm Einstein-féle ´ atmeneti val´ osz´ın˝ uségekkel u ´gy, hogy legyen Amj nm a spont´ an emisszi´ ok, Bmj nm uν és Bjm nj uν pedig az indukált emissziók és az abszorpciók száma id˝oegységenként. Innen leolvasható hogy Amj dimenzi´ oja id˝o−1 , Bmj , −1 Bjm -é pedig (id˝ o × energias˝ ur˝ uség) , és hogy Amj , Bmj , Bjm egy atomot jellemz˝ o mennyiségek, teh´ at a (2.34) alatt definiált κν,at felel meg nekik a fenomenol´ ogikus sug´ arz´ aselméletben.

´ ´ ´ ÍNUS ˝ EGEK ´ 8.1. AZ EINSTEIN-FELE ATMENETI VALOSZ

81

Nyilv´ anval´ o, hogy a spont´ an emisszió következtében atomjaink teljes´ıtménye Amj nm hν, az induk´ alt emisszi´ o Bmj nj hν teljes´ıtménnyel járul az mérleghez, az uν sug´ arz´ asb´ ol elnyelt teljes´ıtmény pedig Bjm nj hν. Ez utóbbi összef¨ uggés alapján meg is kapható κν,at és Bjm kapcsolata a következ˝oképpen. Atomunk monokromatikusan nyel el sug´ arz´ asi teljes´ıtményt, ezért dν-vel és dt-vel nem kell t¨ or˝odn¨ unk, a térfogatot egységnek választva dσds = 1, ezzel (2.32) és (2.34) alapján az elnyelt monokromatikus teljes´ıtmény kéféleképpen kifejezve 4πκν Iν = Bjm nj uν hν

(8.1)

lesz, mert Iν izotrop. uν = 4πc−1 Iν miatt a kapcsolat κν,at =

Bjm hν . c

(8.2)

Termikus egyens´ ulyban az m → j és a j → m átmenetek száma megegyezik, tehát (Amj + Bmj uν )nm = Bjm uν nj , (8.3) ´ırja le a sug´ arz´ as és az anyag kölcsönhatását, érvényes a Boltzmann-statisztika, vagyis nm gm − hν (8.4) = e kT , nj gj és

4π 1 8πhν 3 . Iν = hν c c3 e kT −1 (8.3)-et elosztjuk nm -mel, behelyettes´ıtj¨ uk (8.4) reciprokát, kapjuk, hogy uν =

Amj + Bmj uν =

gj hν/kT e Bjm uν , gm

(8.5)

(8.6)

ebbe rendezés után behelyettes´ıtj¨ uk uν -t (8.5)-ból: i 8πhν 3 .h i h gj hν/kT hν/kT e − 1 . e − Bmj Amj = Bjm gm c3

(8.7)

Ez az egyenlet akkor lesz azonosság, ha a benne szerepl˝ o átmeneti valósz´ın˝ uségek között az al´ abbi ¨ osszef¨ uggések ´ allnak fenn: Bjm = gm Bmj /gj és

(8.8)

8πhν 3 Bmj . (8.9) c3 (8.9) jelent˝ osége az, hogy a spont´ an emisszió átmeneti valósz´ın˝ uségét megadja a kvantummechanika keretében t´ argyalható fényabszorpció, illetve indukált emiszszió ´ atmeneti val´ osz´ın˝ uségével. Ha ugyanis szigor´ uan a kvantummechanika keretei Amj =

82


között maradunk, akkor a stacionárius állapotok közötti spont´ an emisszióról nem tudunk sz´ amot adni, mert ez csak a kvantumelektrodinamika keretei között t´ argyalható. Ez utóbbi f´ arads´ agos alkalmazásának sz¨ ukségességét takar´ıtottuk meg (8.9) levezetésével, ami során feltételezt¨ uk a termikus egyens´ ulyt.

8.1.1.

Egy gerjesztett ´ allapot ´ elettartama

Kiszám´ıtjuk az m szint Tm élettartamát. A t id˝o f¨ uggvényében a szint betöltési szám´ ara X dnm Amj nm (8.10) =− dt j áll, ahol az ¨ osszes lehetséges j végállapotra összegezni kell, amelybe lehetséges spont´ an emisszi´ o. (8.10) megoldása nm (t) = nm (0)e−t/Tm , ahol Tm =

X j

8.1.2.

Amj

−1

.

(8.11)

(8.12)

Amj , Bmj megm´ er´ ese, l´ ezer, m´ ezer

Felhasználva (8.3) ¨ osszef¨ uggésben a (8.8,8.9) eredményeinket és szorozva az átmenet hν energiáj´ aval kapjuk, hogy 1 8πhν 3 1 + Bmj nm hν = Bjm uν nj hν. c3 ehν/kT − 1

(8.13)

A bal oldal egy emisszi´ os sz´ınképvonal frekvenciatartományában megjelen˝o teljes´ıtményt adja, teh´ at közvetlen¨ ul mérhet˝o fizikai mennyiséget, monokromatikus intenzit´ ast. Laboratóriumi kör¨ ulmények között (8.13), (8.9) alkalmazásával megmérhetj¨ uk az egyes sz´ınképvonalakhoz tartozó Einstein-féle átmeneti valósz´ın˝ uségeket, ha ismerj¨ uk uν -t, amire egyébként (8.5) Planck-f¨ uggvény igen jó közel´ıtés lehet jól megv´ alasztott k´ısérleti kör¨ ulmények között. Ez azért fontos, mert bonyolult elektronkonfigur´ aci´ oval rendelkez˝o atomok, molekulák átmeneti valósz´ın˝ uségeit sokszor szinte lehetetlen kisz´ am´ıtani, illetve lényegesen kevesebb er˝ofesz´ıtést igényel a mérés, mint a sz´ am´ıt´ as. (A sz´ am´ıtások egzakt végrehajt´ asához ugyanis a kvantummechanikai soktestprobléma megoldására volna sz¨ ukség. Mivel ez egyel˝ore csak igen er˝ os elhanyagolásokkal lehetséges, ha vannak, az asztrofizikai célokra inkább a laboratóriumi méréseket kell el˝ onyben részes´ıteni, a sz¨ ukséges 1–2 százalékos pontoss´ agot azokb´ ol könnyebb megkapni.) Ha (8.13) bal oldal´ aból azt is látjuk, hogyan aránylik egym´ ashoz az indukált és a spont´ an emisszi´ o ´ altal kisugárzott teljes´ıtmény. Nyilv´ anvaló, hogy termikus egyens´ ulyban is hν/kT ≪ 1 esetén az indukált emisszió sokkal valósz´ın˝ ubb, ez

´ ´ ´ ÍNUS ˝ EGEK ´ 8.1. AZ EINSTEIN-FELE ATMENETI VALOSZ

83

a lézerjelenség fizikai alapja. N¨ ovekv˝o hν/kT -vel azt´ an a spont´ an emisszió ker¨ ul t´ uls´ ulyba. Az induk´ alt emisszi´ o t´ uls´ ulya ak´ ar mézerjelenség kialakul´ asához is vezethet hideg, h´ıg atmoszfér´ aj´ u csillagokban, péld´ aul vörös óriásokban, ahol az alacsony légköri h˝ omérséklet megengedi olyan molekulák létezését, amelyeknek a termrendszerében léteznek olyan egym´ ashoz közeli szintek (hν/kT ≪ 1), amelyek között nagy a Bmj ´ atmeneti val´ osz´ın˝ uség.

8.1.3.

´ Atmeneti val´ osz´ın˝ us´ egek a folytonos sz´ınk´ epben

Két kötött szint között ´ırtuk f¨ ol (8.3)-t, azonban semmi akadálya annak, hogy által´ anos´ıtsuk k-sz t´ıpus´ u´ atmenetekre is, Einstein–Milne-reláci´ onak h´ıvjuk ilyenkor. Részletekbe bocs´ atkozás nélk¨ ul csak annyit eml´ıt¨ unk itt meg, hogy radiat´ıv ioniz´ aci´ oról, spont´ an és induk´ alt rekombin´ aci´ oról adnak ilyenkor számot a megfelel˝o átmeneti valósz´ın˝ uségek, és a sz´ am´ıt´ asok során a folyamatok szerepl˝ oje még egy elektron is, amelyre az energiamérlegben tekintettel kell lenni. Most pedig ´ attér¨ unk a k-sz ´ atmenetek szok´ asos t´ argyalásához a 8.1. szakaszban foglaltak ´ altal´ anos´ıt´ as´ aval: bevezetj¨ uk az Einstein–Milne-reláci´ okat. Legyen j egy diszkrét ´ allapot, sz´ ams˝ ur˝ usége legyen nj , a vizsgált elem ioniz´ aci´ os energiája a j állapotb´ ol legyen Ej , a v sebesség˝ u elektronok s˝ ur˝ usége és az ionok száms˝ ur˝ usége ne (v) és n1 . Miként a 8.1. szakaszban, most is feltessz¨ uk a termikus egyes´ ulyt, vagyis az ioniz´ aci´ ok és a spont´ an + induk´ alt rekombináci´ ok száma azonos, ehhez jön még az, hogy a szabad elektronok sebességeloszlása a (7.3) Maxwell-eloszl´ as. Az ioniz´ aló foton energiája fedezi a szabad elektron kinetikus energiáj´ at is, tehát hν = Ej + me v 2 /2,

(8.14)

és hdν = me vdv. A ν, ν + dν frekvencia intervallumba es˝o foton által egy atom v, v + dv közötti sebesség˝ u elektronra vezet˝o ioniz´ aci´ oj´ anak id˝oegységenkénti száma legyen Bj,v Iν dν. Egy v sebesség˝ u elektron által okozott spont´ an és az indukált rekombin´ aci´ ok sz´ ama legyen [Av,j + Bv,j Iν ]vdv. A v faktort azért tett¨ uk be, mert az u ¨tk¨ ozések sz´ am´ atól ´ıgy lesz f¨ uggetlen Aj,v , Bj,v , hordozva kizárólag az atomi tujadons´ agokat. Az ioniz´ aci´ ok és rekombin´ aci´ ok száma egyenl˝ o, tehát nj Bj,v Iν dν = n1 ne (v)(Av,j + Bv,j Iν )vdv.

(8.15)

(8.14) felhasznál´ as´ aval kapjuk, hogy nj Bj,v Iν = n1 ne (v)(Av,j + Bv,j Iν )h/me ,

(8.16)

amib˝ ol kifejezz¨ uk Iν -t, ami termikus egyens´ ulyban éppen Bν : Av,j 2hν 3 . = c2 [exp(hν/kT ) − 1] Bj,v me nj /hn1 ne (v) − Bv,j

(8.17)

84


Behelyettes´ıtj¨ uk a (7.3) Maxwell-eloszl´ ast: −me v ne (v)dv = Ne W (v)dv = 4Ne v 2 m3/2 e e

2

/2kT

dv/π 1/2 (2kT )3/2 ,

(8.18)

a (7.12) Saha-egyenletet: n1 N e g1 2πme kT 3/2 −Ej /kT =2 e . nj gj h2

(8.19)

Mivel me n j g j N e h 3 me g j h2 π 1/2 (2kT )3/2 me v2 /2kT ehν/kT , = e = eEj /kT 3/2 3/2 hn1 ne (v) 8g1 πm2e v 2 2hg1 (2πme kT ) 4Ne v 2 me (8.20) azonoss´ agg´ a akkor válik (8.17), ha Av,j = 2hν 3 Bv,j /c2 és Bj,v =

8πm2e v 2 g1 4πc2 m2e v 2 g1 B = Av,j . v,j h2 g j h3 g j ν 3

(8.21)

(8.22)

Ezek felelnek meg a (8.8,8.9) egyenleteknek. Bj,v megmérhet˝o, vagy egyszer˝ u elektronkonfigur´ aci´ oj´ u atomokra, molekulákra szám´ıtható: a j diszkrét állapotból egy v sebesség˝ u szabad elektron keletkezésének a valósz´ın˝ uségét kell kisz´ am´ıtani. A folyamat neve fotoioniz´ aci´ o, s ennek megb´ızható elméleti t´ argyalása, az eredmények összevetése laboratóriumi k´ısérletekkel részben ma is folyó atomfizikai kutat´ asok tém´ aja. Ezek ismertetése meghaladja jegyzet¨ unk kereteit, az elméleti kérdésekhez kit˝ un˝ o bevezetés H. A. Bethe és E. E. Salpeter Quantum Mechanics of One- and Two-Electron Systems c. munk´ aja (Handbuch der Physik XXXVI., Springer, Berlin, 1957).

8.2.

Rezg˝ o t¨ olt´ es sug´ arz´ asa a klasszikus elektrodinamika keretei k¨ oz¨ ott

Figyelj¨ uk meg, hogy atomunk monokromatikusan sug´ aroz, ha a sug´ arz´ as le´ır´ asára az Amj , Bmj , Bjm ´ atmeneti val´ osz´ın˝ uségeket használjuk. Ezen egyszer˝ us´ıtésen t´ ul kell lépn¨ unk, az els˝o lépcs˝ ofok al´ abb következik. Vegy¨ unk egy e t¨ oltés˝ u, v˙ gyorsul´ as´ u (és me t¨ omeg˝ u) t¨ oltést, amely oszcillátorunkban rezeg, v˙ és v p´ arhuzamos. Az oszcillátort´ ol nagy r t´ avolságban a t id˝opontban keltett (retard´ alt) elektromos és mágneses térer˝osség E(r, t) =

ev(t ˙ − r/c) sinθi, c2 r

(8.23)

˝ TOLT ¨ ES ´ SUGARZ ´ ASA ´ 8.2. REZGO

85

ev(t ˙ − r/c) sinθj, (8.24) c2 r i, j és k egységvektorok egy jobbsodrás´ u koordinátarendszert fesz´ıtenek ki, a k egységvektor r ir´ anyába mutat, θ a k és v˙ közötti szög — amint mindez a Liénard– Wiechert-potenci´ alokb´ ol sorfejtésekkel és megfelel˝o elhanyagolásokkal megkapható. Mint ezt a 2. fejezetben eml´ıtett¨ uk, E és H mer˝olegesek egym´ asra, a Poyntingvektor pedig mindkett˝ ore, ezért ennek egy r sugar´ u g¨ omb fel¨ uletére vett integrálja H(r, t) =

w(t) =

Z

c E × HdA = 4π

Z

π 0

Z

2π

0

2e2 v˙ 2 e2 v˙ 2 3 2 sin θr dφdθ = 4πr2 c3 3c3

(8.25)

lesz, ami oszcillátorunk sug´ arz´ asi teljes´ıtménye. (Az integrálás sin3 θ = sinθ(1 − 2 ´ cos θ) helyettes´ıtéssel végezhet˝o el.) Erdemes felh´ıvni figyelm¨ unket két dologra. • A gyorsul´ as v˙ ir´ anyához képest θ = 0, π felé a sug´ arz´ as intenzit´ asa nulla, tehát a kisugárzott intenzit´ as nem izotrop • továbbá w(t) ≥ 0, teh´ at a kisugárzott teljes´ıtmény sosem negat´ıv. Ha péld´ aul ω0 saj´ atfrekvenciáj´ u harmonikus oszcillátor a rezg˝o t¨ oltés x(t) = x0 cosω0 t,

a = v˙ = −ω02 x0 cosω0 t,

(8.26)

a teljes´ıtményének ´ atlagértéke a [0, t′ = ν −1 ] rezgési ciklusra w(ω0 ) =

1 t′

Z

t′

0

e2 ω04 x20 2e2 ω04 x20 2 cos (ω t)dt = . 0 3c3 3c3

(8.27)

(Ebben a fejezetben ω = 2πν-t a körfrekvencia jelölésére fogjuk haszn´ Ralni. A kapcsolódást (8.26)-hez az jelenti, hogy ω0 = 2πνmj . (8.27) kisz´ am´ıtásához cos2 axdx = x/2 + (sin2ax)/4a-t kell felhasználni.)

8.2.1.

Sug´ arz´ asi csillapod´ as

Oszcill´ atorunk gyorsul´ o t¨ oltése sug´ arozni fog, az emiatt elvesz´ıtett (8.25) teljes´ıtménye formálisan felfogható u ´gy is, mint egy Frad fékez˝o er˝o teljes´ıtménye: Frad v +

2e2 a2 = 0. 3c3

(8.28)

Egydimenziós mozg´ asról lévén szó, v, F, v˙ p´ arhuzamosak, ezért a továbbiakban a v, F, v˙ jel¨ olést alkalmazzuk rájuk. Parciálisan integráljuk (8.28)-t egy teljes rezgési ciklusra: Z t′ Z t′ ′ i 2e2 h t Frad vdt + 3 va − avdt ˙ = 0. (8.29) 3c 0 0 0

86


A középs˝ o tag harm´ onikus oszcillátorra (8.26) szerint 0, a fékez˝o er˝ore marad tehát Frad =

2e2 a˙ = −me γv. 3c3

(8.30)

(8.30) jobb oldal´ aval pedig definiáltuk a γ klasszikus csillapod´ asi tényez˝ot, amelynek dimenzi´ oja nyilvánval´ oan id˝o−1 . A (8.26) szerint rezg˝o harmónikus oszcillátorra γ=

2e2 ω02 = 6, 25 × 10−24 ω02 . 3me c3

(8.31)

Fizikailag ez azt jelenti, hogy az e t¨ oltés˝ u me t¨ omeg sug´ arz´ asi veszteségét mint egy közönséges surl´ odási diszszipáci´ ot fogjuk fel. Tárgyalásmódunkban a sug´ arz´ asb´ ol ered˝o fékez˝o er˝ o pontos értéke Frad = −2e2 a2 /3c3 v volna. A mozgásegyenlet linariz´ al´ asa kedvéért a (8.29) integrálással leegyszer˝ us´ıtett¨ uk a problém´ at, a sug´ arz´ asi fékez˝o er˝ onek azt a részét elhanyagoltuk, amely ugyan nem nulla a rezgés során, de 3 átlagértéke nulla. (A sug´ arz´ asi fékez˝o er˝o 2e2 a/3c ˙ értéke megegyezik a jóval bonyolultabb, elméleti fizikai szempontból kifog´ astalan t´ argyalásb´ ol kapható értékkel.) Az e index me -ben utal arra, hogy oszcillátorunkban elektron rezeg a Lorentzféle klasszikus elektronelmélet szerint. Péld´ aul 500nm-es fényre ω0 ≈ 3, 8 × 1014s−1 , tehát γ = 8, 9 × 105 s−1 , vagyis a csillapod´ as igencsak lass´ u, amint azt mindjárt belátjuk. Oszcill´ atorunk mozg´ asegyenlete me

d2 x dt2

+γ

dx + ω02 x = 0, dt

(8.32)

ez homogén, másodrend˝ u, ´ alland´ o egy¨ utthatós közönséges differenciálegyenlet. Karakterisztikus egyenlete eΛt behelyettes´ıtésével kapható meg: Λ2 + γΛ + ω02 = 0,

(8.33)

ennek gy¨ okei Λ1,2 = −

γ ± i(ω02 − γ 2 /4)1/2 , 2

(8.34)

amib˝ ol x(t) = x0 k1 eΛ1 t + k2 eΛ2 t = x0 e−γt/2 cos (ω02 − γ 2 /4)1/2 t

(8.35)

van ¨ osszhangban (8.26)-gyel ( k1 = k2 = 1/2). L´ atnivaló, hogy kör¨ ulbel¨ ul 4 × 108 rezgés után cs¨ okken oszcillátorunk amplitud´ oja e-ed részére, és hogy a frekvencia ′ is az (ω02 − γ 2 /4)1/2 értékre módosult. A mozgásegyeletet lineárissá tev˝o va|t0 = 0 helyettes´ıtés jogoss´ agát al´ atámasztja az, hogy az átlagol´ as id˝otartama csekély a mozg´ as lecsengésének id˝otartam´ ahoz képest.


87 ′

Megjegyz´ es.. A (8.29) integrálással és va|t0 = 0 feltevésével linearizáltuk a (8.32) mozg´ asegyenletet. Az 2e2 2 2 ¨x˙ − x ¨ + ω xx ˙ = 0, me x 0 3me c3

(8.36)

nemline´ aris differenci´ alegyenletet kapnánk, ha a (8.32) mozgásegyenletbe a fékez˝o er˝o (8.30) közel´ıt˝ o értéke (´ atlagértéke) helyére az egzakt Frad = −2e2 x¨2 /3c3 x˙ er˝ot tennénk. Noha (8.36) nemline´ aris, az oszcillátorunk x0 amplitud´ oja mégis lehet tetsz˝ oleges, x = x0 f (t) (8.37) alak´ u, amint err˝ol behelyettes´ıtéssel könny˝ u meggy˝oz˝odni. Itt rávil´ ag´ıtunk t´ argyal´ asmódunk korlátaira. Töltés¨ unk a harmonikus rezg˝omozg´ ast 2 létrehozó Fk¨ o hatására gyorsulva mozog, tehát a (8.32) mozgásegyenlet uls˝ o =2 −me3ω0 x er˝ mv˙ = Fk¨ uls˝ o er˝oteret a t′ id˝opontban kikapcsoljuk (vagyis uls˝ o + 2e v¨/3c . Ha a k¨ elvágjuk a direkci´ os er˝ ot adó ”rugót”, amit˝ ol Fk¨ uls˝ o = 0 lesz), a mozgásegyenletnek két megoldása létezik: a trivi´ alis v˙ = 0, vagyis v = konstans következik az egyen3 let homogenitás´ aból, de ezenk´ıv¨ ul a v˙ = v(0)exp[(3c ˙ /2e2 )t] gyorsul´ o mozgás is megoldás, teh´ at a fékez˝o er˝ o exponenci´ alisan gyors´ıtani tudja az er˝omentes tartományba lépett t¨ oltést. (A probléma b˝ ovebb kifejtése és megoldása megtalálható a Landau-Lifsic Klasszikus er˝ oterek c´ım˝ u könyv 75. paragrafusában. Az itt vázolt formalizmuson bel¨ ul nincs megoldás erre az abszurditásra.)

8.2.2.

K´ enyszerrezg´ est v´ egz˝ o oszcill´ ator, Lorentz-profil

Tárgyal´ asmódunban a következ˝o lépcs˝ofok az, hogy hozza kényszerrezgésbe a klasszikus oszcillátorunkat egy az oszcillátor 2x0 rezgési tartományán bel¨ ul homogén elektrom´ agneses mez˝o E0 cosωt elektromos komponense. A mozgásegyenlet me

d2 x dt2

+γ

dx + ω02 x = eE0 cosωt, dt

(8.38)

ami (8.32)-t˝ol csak annyiban tér el, hogy inhomogén egyenlet. Megold´ asa a homogén egyenlet ´ altal´ anos megoldása — tehát (8.35) — plussz az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása. Ez utóbbit kereshetj¨ uk az x(t) = k3 cosωt + k4 sinωt

(8.39)

alakban, amelyet (8.38)-be helyettes´ıtve kapjuk sin ωt és cos ωt egy¨ utthatój´ aból, hogy k4 (ω02 − ω 2 ) − k3 γω = 0, (8.40) k4 γω + k3 (ω02 − ω 2 ) = eE0 /m.

(8.41)

88


Ezek megoldása után (8.39) partikuláris megoldás az alábbi alakot ölti: x(t) =

(ω02 − ω 2 )cosωt + γωsinωt e E0 . (ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2 me

(8.42)

Ez azonban (8.38) sz´ amunkra érdekes megoldása is egyben, mivel a homogén egyenlet (8.35) ´ altal´ anos megoldása gyorsan lecseng, az el˝obbi számpéld´ ankban péld´ aul O(10−6 )s alatt, s marad egyed¨ ul a (8.42) által le´ırt kényszerrezgés. Megjegyezz¨ uk, hogy elektrom´ agneses hull´ amok hatását egy oszcillátorra addig helyes ily módon t´ argyalni, am´ıg a létrejöv˝ o kényszerrezgés nemrelativisztikus sebességekkel zajlik. Mihelyt a mozg´ as x˙ sebessége megk¨ ozel´ıti c-t, a Lorentz-er˝ o (exH ˙ 0 cosωt/c) számottev˝ové válik, s ekkor megjelenik a kényszerrezgésben egy E-re és H-ra mer˝oleges mozgás, ami az itteni leegyszer˝ us´ıtett t´ argyalásmódunkat lehetetlenné teszi. Kétszer differenci´ alva (8.42)-et megkapjuk v-t, ˙ ezt behelyettes´ıtj¨ uk (8.25)-ba és átlagolunk a t′ = 2π/ω kényszerrezgési periódusra, (8.27) analógáj´ ara kapjuk, hogy kényszerrezgést végz˝ o oszcillátorunk átlagolt sugárz´ asi teljes´ıtménye az ω körfrekvencia értéknél: Z ′ 2e4 ω 4 E02 t (ω02 − ω 2 )cosωt + γωsinωt 2 w1 (ω) = dt 3m2e c3 t′ 0 (ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2 e4 ω 4 E02 2 . = (8.43) 2 3 3me c (ω0 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2 A (8.43)-ban fel´ırt ´ atlagolt teljes´ıtmény az Iν monokromatikus intenzit´ asban jelenlév˝ o E0 cos 2πνt kényszerrezgést kiv´ alt´ o elektrom´ agnenes s´ıkhull´ amb´ ol származik. Legyen σ(ω) az oszcillátorunk szórási keresztmetszete (dimenziója fel¨ ulet, κν,at megfelel˝oje, l. (2.34)). Az Iν monokromatikus sug´ arz´ asi intenzit´ asb´ ol az oszcill´ atorunk ´ altal elnyelt teljes´ıtmény Z 1 w(t) = σ(ω)Iν dΩ = σ(ω)Iν , (8.44) 4π

mert az ω körfrekvencián az izotropnak feltételezett Iν intenzit´ asb´ ol b´ armelyik ir´ anyb´ ol j¨ ohet a kényszerrezgést kiv´ alt´ o E0 cos ωt s´ıkhull´ am. (8.44)-ban Iν -t még átlagolnunk kell egy rezgési ciklusra, hogy w1 -gyel összehasonl´ıtható mennyiséget kapjunk. Vessz¨ uk (8.38) szerint |E| = E0 cosωt-t, a Poynting-vektor (2.17) kifejezése és (2.11) — |E| = |H| — miatt Z t′ c cE02 2 2 . (8.45) E cos ωtdt = σ(ω) w2 (ω) = σ(ω)Iν = σ(ω) 0 4πt′ 0 8π A két w(ω) teljes´ıtmény egyenl˝ o, ´ıgy (8.43,8.45) összehasonl´ıtásából következik, hogy oszcillátorunk sz´ or´ asi keresztmetszete σ(ω) =

8πe4 ω4 . 2 3m2e c4 (ω0 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2

(8.46)


89

Ez atomsz´ amra vonatkoztatott monokromatikus abszorpciós koefficiens, olyan mennyiség, amilyet (2.34) alatt definiáltunk, az eltérés mindössze annyi, hogy körfrekvenciára vonatkozik. Lorentz-profilnak nevezz¨ uk (8.46)-t. Megjegyezz¨ uk, hogy az itt modellezett folyamat koherens szórás: az elnyelt ω körfrekvenciáj´ u sug´ arz´ ast ugyanazon frekvencián kaptuk vissza, de a (8.25)-ba a (8.23,8.24)-b˝ol ´ atker¨ ult sin2 θ miatt nem g¨ ombszimmetrikus lesz egy-egy oszcillátor sug´ arz´ asa. Ha az elnyelt sug´ arz´ as péld´ aul s´ıkban polarizált, vagyis az E0 vektoroknak van kit¨ untetett térbeli ir´ anya, a kij¨ ov˝ o sug´ arz´ as is polarizált lesz. Mivel a csillagok légkörében Iν kifelé ir´ anyul, az itt vázolt hatás miatt csekély mérték˝ u polariz´ alt fény is elhagyja a csillagot. Ezt a Nap sz´ınképében már siker¨ ult is megfigyelni, a polariz´ alatlan sug´ arz´ as kizárásával. A Nap második sz´ınképének nevezik ezt a polariz´ alt komponenst, ennek aránya a polarizálatlan intenzit´ ashoz képest 10−5 nagys´ agrendjébe esik. (8.46) igen éles rezonanciát ad ω = ω0 -nál, mert (8.31,8.46) szerint σ(ω0 )/σ(2ω0 ) = ω04 γ −2 ω0−2 /(8ω04 /9ω04 ) ≈ ω02 /γ 2 , ami látható fényre 1018 nagys´ agrendjébe esik.

8.2.3.

Thomson-sz´ or´ as, Rayleigh-sz´ or´ as

A Thomson-sz´ or´ ast kapjuk, ha fény szabad elektronokon szóródik, ekkor ω0 = γ = 0. Hat´ askeresztmetszete a frekvenciától f¨ uggetlen¨ ul σ(ω) =

8πe4 = 6, 65 × 10−29 m2 . 3m2e c4

(8.47)

Ez a sz´ or´ asi folyamat korai csillagok légkörében számottev˝o, mert az elektronkoncentr´ aci´ o nagy benn¨ uk a magas h˝ omérséklet miatt. Mivel a csillagok légkörében az elektronkoncentr´ aci´ o a ne = 1012 − 1016 cm−3 között szokott lenni (az els˝o adat szuper´ oriásokra, a második fehér t¨ orpékre vonatkozó tipikus érték), kapjuk, hogy csup´ an a Thomson-sz´ or´ as miatt egy csillag légköre egyenletes elektrons˝ ur˝ uséget feltételezve s = κ−1 = (ne σ)−1 ≈ 1013 −109 cm t´ avolságon válna optikailag vastaggá, ami kör¨ ulbel¨ ul 3 nagys´ agrenddel t¨ obb, mint a csillagokon ténylegesen megfigyelt légkörvastagság. Megjegyezz¨ uk még, hogy (8.47)-et nyugodtan lehet alkalmazni néhány keV energiáig, ef¨ ol¨ ott a Compton-szórás lépne föl, amikoris a kisugárz´ as más frekvencián t¨ orténik, teh´ at rugalmatlan szórásról van szó. Ennek azonban a csillagok légkörében nincs jelent˝ osége, mert a részecskék, fotonok átlagos energiája az eV nagys´ agrendjébe esik. A Rayleigh-sz´ or´ asn´ al a fény olyan anyagon szóródik, amelynek ω0 sajátfrekvenciái sokkal nagyobbak, mint a fény¨ unk ω körfrekvenciája (péld´ aul vörös fény szóródása olyan molekulákon, amelyeket gerjeszteni nem tud). Ekkor (8.46) nevez˝ojében csup´ an az els˝o ω04 sz´ amottev˝o, ezért σ(ω) =

8πe4 ω4 3m2e c4 ω04

(8.48)

90


lesz. Ez a sz´ or´ asi folyamat a vörös sz´ınképtartományban fontos, hideg csillagok légkörében j´ ol ´ırja le a fotonok sz´ oródását a molekulákon, de még az alapállapotban lev˝o hidrogén atomokon is. (Ez a szórási folyamat felel˝os az intersztell´ aris vörösödésért, a Nap vör¨ os sz´ınéért napnyugtakor és az égbolt kék sz´ınéért nappal.) Oszcill´ atorunk valamennyit elnyel a bees˝ o elektrom´ agneses sug´ arz´ as teljes 0 ≤ ω ≤ ∞ spektrum´ aból. Ezért (8.46) frekvenciára vett integráljával definiáljuk oszcill´ atorunk σtot teljes sz´ or´ asi hat´ askeresztmetszetét, σtot az 5. fejezetben definiált κR , κPl analogja, kisz´ am´ıt´ as´ ahoz bevezetj¨ uk ∆ω = ω − ω0 változ´ ot és figyelembe vessz¨ uk, hogy ω ≈ ω0 környezetében ω02 − ω 2 = (ω0 + ω)∆ω ≈ 2ω0 ∆ω,

(8.49)

és hogy (8.46)-at az imént megtárgyalt rezonancia jellege miatt elegend˝o csak a ∆ω ≪ ω sz˝ uk frekvenciatartom´ anyban pontosan venni, az ´ıgy elkövetett hiba jelentéktelen, a megtakar´ıtott f´ arads´ ag az integrál kisz´ am´ıtásában azonban jelent˝ os. Felhasználjuk még γ = 2e2 ω02 /3me c3 -t, továbbá azt, hogy (8.46) nevez˝oje ∆ω = 0 környezetében változik jelent˝ osen, ezért ω helyére minden¨ utt ω0 -t ´ırhatunk, ´ıgy σ(ω) = ≈

ω4 8πe4 2 3m2e c4 4ω0 ∆ω 2 + 4e4 ω04 ω 2 /(9m2e c6 ) 4πγe2 γ ω04 πe2 = , me cω02 4ω02 ∆ω 2 + γ 2 ω02 me c ∆ω 2 + (γ/2)2

(8.50)

(8.50)-t is nevezz¨ uk Lorentz-profilnak, miként az eredeti (8.46)-at. Vég¨ ul integrálunk a frekvenciára, hogy megkapjuk a teljes szórási keresztmetszetet: Z ∞ Z πe2 πe2 ∞ 4dν σtot = σ(ω)dν = = . (8.51) 2 me c 0 γ[(2∆ω/γ) + 1] me c 0 ((8.51) második uk az x = 2∆ω/γ integrálási változ´ ot, dx = R ∞felében bevezett¨ 4πdν/γ, ezzel −∞ dx/[π(1 + x2 )] = 1 lett, −ω0 ≤ ∆ω ≤ ∞ volt ugyan, de az el˝obb eml´ıtett er˝ os rezonancia jelleg miatt nem követt¨ unk el hibát azzal, hogy −ω0 helyére −∞-t ´ırtunk az integrál kisz´ am´ıthatósága végett.) Mint ezt (8.1), (8.2) kapcs´ an már eml´ıtett¨ uk, azért sz¨ ukséges σtot bevezetése, hogy ¨ ossze tudjuk kapcsolni az ω szerinti diszperziót nem tartalmaz´ o Bjm -t az ω-tól f¨ ugg˝ o σ(ωjm )-mel.

8.2.4.

A plazmarezg´ es frekvenci´ aja

Még egy bekezdés erejéig megeml´ıtj¨ uk, hogy a sz-sz átmenetek két, asztrofizikában fontos fajt´ aja a Thomson- és a Rayleigh-szórás. A csillag légkörét alkotó plazma neutrális. Ezért a Thomson-sz´ or´ as, vagyis a szabad elektronokon való fotonsz´ orás bizonyos fokig idealiz´ aci´ o, mert az elektronok gyakorlatilag a hozz´ ajuk legk¨ ozelebb es˝o ion terében mozognak, és ez a mozgás kollekt´ıv rezgéssé tud össze´ allni. Az


91

el˝osz¨ or elméletileg megj´ osolt, majd kés˝obb laboratóriumban k´ısérletileg is létrehozott jelenség neve plazmarezgés. Az ebb˝ol fakadó korrekció kis energiákon jelent˝ os is lehet, amikor a bees˝ o fény körfrekvenciája az ωp =

4πN e2 1/2 e = 5.64 × 104 Ne1/2 me

(8.52)

plazmafrekvencia, a kollekt´ıv rezés frekvenciáj´ anak a közelébe esik. A csillaglégkörökre jellemz˝ o Ne = 1010 − 1016 cm−3 érték behelyettes´ıtésével azt kapjuk, hogy a t´ avoli infravör¨ osben esik nagyjából egybe a fény körfrekvenciája ωp -vel.

8.2.5.

Oszcill´ atorer˝ oss´ eg

Bjm -t és σtot -t kell ¨ osszekapcsolnunk, ez a következ˝oképpen tehet˝o meg: Iν konstansnak tekinthet˝ o abban a sz˝ uk frekvenciatartományban, amelyben (8.46) nagy, feltessz¨ uk most is, hogy Iν σ(ω) izotrop is, ezért az nj darab oszcillátorunk által elnyelt teljes´ıtmény Z ∞

4πnj

Iν σ(ω)dν = 4πnj Iν σtot ,

(8.53)

0

m´ıg ez a teljes´ıtmény a fotonkibocsátások id˝oegységenkénti száma × a fotonok energiája, vagyis Bjm (4π/c)Iν nj hνjm = 4πnj Iν σtot .. (8.54) Ebb˝ol következik a már (8.2) alatt megkapott összef¨ uggés: σtot =

πe2 Bjm hνjm = fjm . c me c

(8.55)

Az egyenl˝ oség második felével definiáljuk az fjm oszcill´ atorer˝ osséget, ami szemléletesen azt mondja meg, hogy atomunk vagy ionunk j → m átmenete h´ any darab ω0 = 2πνjm (k¨ or)frekvencián nyel˝ o (sugárz´ o) klasszikus oszcillátornak felel meg, vagyis fjm =

me hνjm Bjm . πe2

(8.56)

A leger˝ osebb vonalakra közel´ıti meg fjm az egységnyi értéket. Feltéve, hogy a val´ odi atom is Lorentz-profil szerint sug´ aroz, az oszcillátorer˝osséggel szorozva (8.46)-at (illetve (8.50)-t) megkapjuk atomunk vagy ionunk atomszámra vonatkoztatott monokromatikus abszorpciós koefficiensét, ami fárads´ agos munk´ ank végcélja. Ha még a Bolztmann-statisztikát is figyelembe vessz¨ uk, .X Ej Ei κν = nj σ(ωjm )fjm = gj n0 e− kT fjm σ(2πνjm ) gi e− kT (8.57) i

lesz az n0 sz´ ams˝ ur˝ uség˝ u atomfajta monokromatikus abszorpciós koefficiense T h˝ omérsékleten az j → m ´ atmenet következtében. Kés˝obb még majd belátjuk, hogy a


92

sz´ınképvonalak kiszélesedését a sug´ arz´ o atomok és a környez˝o plazma kölcsönhatása miatt a Lorentz-profil ´ırja le akkor is, ha a sug´ arz´ o atomot a klasszikus oszcillátor helyett valami komolyabb modellel t´ argyaljuk, ezért (8.50) és (8.57) nemcsak iskolapélda, hanem az asztrofizikai sz´ am´ıtásokban sz¨ ukséges 1-2% pontosság elérésének fontos eszk¨ oze is. L´ atnival´ o továbbá (8.57)-b˝ ol, hogy n0 , gj , fjm , valamint Ej /kT azok a lényeges paraméterek, amelyekt˝ol f¨ ugg, hogy egy kémiai elemnek számottev˝oe a monokromatikus abszorpci´ os koefficiense egy adott frekvencián, vagyis lesz-e ott vonala egy sz´ınképben.

8.2.6.

´ Atmeneti val´ osz´ın˝ us´ egek id˝ ot˝ ol f¨ ugg˝ o perturb´ aci´ o eset´ en

Utols´ o feladatunk Bjm kisz´ am´ıt´ asa a kvantummechanika keretei között (a kvantumelektrodinamika kiker¨ ulésével): ebb˝ol fogjuk megkapni a(8.56) oszcillátor er˝osséget. A továbbiak kedvéért kicsit ´ altal´ anosabb problém´ aval foglalkozunk: a sug´ arz´ o atomot kétféle id˝ot˝ol f¨ ugg˝ o perturb´ aci´ o éri. • Az atomot elektrom´ agneses sug´ arz´ as éri, amelynek frekvenciája ν ≈ E/h, ahol E az atomi szintek energiáj´ anak tartományába esik. Id˝ of¨ ugg˝o energiaperturb´ aci´ o éri teh´ at az atomt¨ orzs Coulomb-potenci´ aljában mozgó elektront, a sug´ arz´ ast azonban kvant´ alatlan, klasszikus elektrom´ agneses mez˝oként kezelj¨ uk, céljainknak ez t¨ okéletesen megfelel. • A sug´ arz´ o atomt´ ol, iont´ ol viszonylag nagy t´ avolságban perturb´ aló részecskék mozognak, amelyek szintén tekinthet˝ ok id˝ot˝ol f¨ ugg˝o perturb´ aci´ onak. Mindezekb˝ ol következik, hogy az id˝of¨ ugg˝o perturb´ aci´ ok kvantummechanikai t´ argyalására van sz¨ ukség¨ unk. P. A. M. Dirac (1902-1984) nyom´ an haladva foglalkozzunk az alábbi problém´ aval. Legyenek ismertek egy atom perturb´ alatlan H0 Hamilton oper´ atorának Ej energia saj´ atértékei és a hozz´ a tartozó ψj sajátf¨ uggvényei: H0 (r)ψj (r) = Ej ψj (r),

(8.58)

ahol r az atom ¨ osszes elektronjának helykoordinátáit jelenti, és H0 természetesen ezek szerinti derivál´ asokat is tartalmaz. (A j index itt nemcsak a kötött állapotokat szimboliz´ alja, hanem a folytonos energiaspektrumba tartozókat is. Ha erre való szummázás szerepel a kés˝ obbiekben, azt u ´gy kell érteni, hogy a folytonos tartományban integrálni kell.) Legyen az id˝ot˝ol f¨ ugg˝o H ′ (t) energiaperturb´ aci´ o kicsi H0 -hoz képest. Ekkor a ¯ ∂Ψ(r, t) h + H0 + H ′ (r, t) Ψ(r, t) = 0 i ∂t

(8.59)

id˝ot˝ol f¨ ugg˝ o Schrödinger-egyenlet megoldható perturbáci´ osz´ am´ıtással. Rendszer¨ unk állapotának id˝obeli fejl˝ odését az e−iEj t/¯h ψj perturb´ alatlan stacionárius sajátf¨ uggvények (ortonorm´ alt teljes rendszer) által kifesz´ıtett Hilbert-tér id˝oben változ´ o


93

(´ allapot)vektorának fogjuk fel. Matematikailag ez azt jelenti, hogy (8.59) megoldását az al´ abbi formában keress¨ uk: X aj (t)e−iEj t/¯h ψj , (8.60) Ψ= j

ezzel (8.59) Xh ¯ h j

i

i a˙ j ψj − aj Ej ψj + aj H0 + H ′ ψj e−iEj t/¯h = 0

(8.61)

∗ lesz, amelyb˝ ol (8.58) felhasznál´ asával, eiEm t/¯h ψm -gal balról szorz´ assal és r-re integrál´ assal ψj és ψm ortogonalitása miatt kapjuk, hogy Z X i X i ′ ∗ aj e−iEj t/¯h ψm aj Hjm eiωmj t , (8.62) H ′ ψj dr = − a˙ m = − eiEm t/¯h h ¯ h ¯ j j

ahol ωmj = (Em − Ej )/¯h

(8.63)

′ és a Hjm -t ´ atmeneti mátrixelemnek nevezik. (8.62) még semmilyen elhanyagolást nem tartalmaz, matematikailag nézve lineáris els˝orend˝ u csatolt differenciálegyenletrendszer. Megold´ asa csak numerikusan képzelhet˝o el, vég¨ ul

a2m (t)

1 hX = 2 h ¯ j

Z

t

t0

′ dtaj (t)Hjm (t)eiωmj t

i2

(8.64)

adja meg t f¨ uggvényében az m ´ allapot valósz´ın˝ uségét a t0 id˝opontban kezd˝odött H ′ perturb´ aci´ o következtében. Az id˝oegységenkénti átmenetek valósz´ın˝ usége az m állapotba 1 w= a2 (t) (8.65) t − t0 m lesz, ez nyilván egy ´ atlag a [t0 , t] intervallumra. A megoldásnak a Z X Ψ∗ Ψdr = a2m (t) = 1

(8.66)

m

norm´ al´ asi feltételt kell kielég´ıtenie. (8.62) céljainkhoz megfelel˝o megoldására a következ˝o iteráci´ o teljesen kielég´ıt˝o. Abból indulunk ki, hogy a H0 -lal le´ırt atom vagy ion a H ′ perturb´ aci´ o megjelenése el˝ott egy j saj´ atállapotában volt, vagyis a nulladik közel´ıtés (0)

aj ′ (t) = δjj ′ .

(8.67)


94

ulönben 0, ez a matematikából jól ismert Kroenecker(δjj ′ = 1 ha j = j ′ , k¨ szimb´ olum.) Ha H ′ (t < t0 ) = 0, vagyis az átmenetet okozó perturb´ aci´ o még nincs, akkor (8.62) szerint az ¨ osszes a˙ m = 0, ezzel (8.66) teljes összhangban van. (8.67) behelyettes´ıtése után (8.62) szummája egy tagra reduk´ alódik, integrálással adódik a(1) m (t) = −

i ¯h

Z

t

t0

′

′ Hjm (t′ )eiωjm t dt′ ,

(8.68)

ami tulajdonképpen az els˝o közel´ıtés (8.62) megoldásában, és mi meg is állunk itt. Megeml´ıtj¨ uk még, hogy (8.68) burkoltan azt is tartalmazza, hogy a j állapot nem u ¨r¨ ul ki, vagyis (8.67) igaz marad az id˝ot˝ol f¨ uggetlen¨ ul, tehát a (8.66) normálási feltételt megsértj¨ uk. Ez mindaddig jó közel´ıtés, am´ıg az atomoknak csak csekély h´ anyada ker¨ ul az m 6= j gerjesztett állapot(ok)ba. A további közel´ıtések kisz´ am´ıtása már nem t´ ul egyszer˝ u: (8.68)-et érvényesnek (1) kell tekinteni egy t = t1 id˝opontig, s az ´ıgy kapott am (t), t0 < t < t1 koefficienseket kell helyettes´ıteni (8.62)-be, s most ezt kell integrálni, ez´ uttal már a t1 < t < t2 intervallumban. Ezek a magasabb közel´ıtések azonban az átmeneti mátrixelem négyzetét (s u ´jabb iter´ aci´ os lépések után egyre magasabb hatványait) fogják tar′ talmazni, ezért akkor elhanyagolhatók, ha kicsi a perturb´ ació: 0 < |Hjm | ≪ |Ej |. A magasabb közel´ıtések akkor jutnak szerephez, ha péld´ aul egy j → m átmenet ′ els˝o közel´ıtésben tiltott, vagyis egy foton nem tudja létrehozni Hjm = 0 miatt, ′ ′ ′ ′ de a j → m , majd a m → m átmenetekhez tartozó Hjm′ , Hm atmeneti ′m ´ mátrixelemek nem null´ ak, ilyenkor a m′ ”k¨ ozb¨ uls˝ o állapoton” kereszt¨ ul zajlik le az átmenet, a folyamat két elektrom´ agneses hull´ am = két foton elnyelésével illetve kibocs´ atás´ aval megy végbe. A magasabb közel´ıtések esetleges konvergenciája vagy divergenci´ aja nem asztrofizikai kérdés, valamint az sem, hogy mikort´ ol egyszer˝ ubb (8.62) közvetlen numerikus megoldása szemben az iteráci´ oval.

8.2.7.

Elektrom´ agneses s´ıkhull´ am mint az ´ atmenetet induk´ al´ o perturb´ aci´ o

A következ˝o lépés, hogy H ′ konkrét formáj´ at elektrom´ agneses hull´ amra megadjuk. Hidrogénszer˝ u ionra szor´ıtkozva Hamilton-operátorunk H

i2 1 h e p − A(r, t) + eφ(r) + eΦ(r, t) 2me c h i 2 e e2 p + eφ(r) − A2 + eΦ(r, t) p·A+A·p + 2me 2me c 2me c2 p2 e ie¯h e2 + eφ(r) − A2 + eΦ(r, t) (8.69) A·p+ divA + 2me me c 2mc 2me c2

= H0 + H ′ (t) = = =

ahol φ a Coulomb-potenci´ al, Φ és A pedig az elektrom´ agneses sug´ arz´ as skaláris és vektorpotenci´ alja. Ha N elektronos atomra vagy ionra csináln´ ank az eljárást, (8.69)


95

alak´ u tagokat kellene ¨ osszegezn¨ unk, és φ(r) már az elektronok közti kölcsönhatást is tartalmazná. Felhasználtuk (8.69)-ben az impulzus p=

¯ h ∇ = −i¯h∇ i

(8.70)

alakj´ at, valamint azt, hogy (∇A)ψ + (A∇)ψ = ψdivA + 2(A, gradψ).

(8.71)

M´ ert´ ektranszform´ aci´ o (8.69) k´ et tagj´ anak kik¨ usz¨ ob¨ ol´ es´ ere.. Legyen a perturb´ aci´ o egy Φ′ (r, t) skal´ ar és A′ (r, t) vektorpotenci´ al´ u elektrom´ agneses hull´ am. Hullámunkban a térer˝ osségek E=−

1 ∂A′ − gradΦ′ c ∂t

H = rotA′ .

(8.72) (8.73)

Ha ezeket a vákuumra fel´ırt (2.1-2.4) Maxwell-egyenletekbe helyettes´ıtj¨ uk (teh´ at ǫ = µ = 1, σ ¯ = 0), (2.2) és (2.4) azonosság lesz, mert rot gradΦ = 0 és div rotA = 0 tetsz˝ oleges Φ, A f¨ uggvényekkel. Marad rot rotA′ = grad divA′ − ∆A′ = − és

h 1 ∂A′

1 ∂ 2 A′ 1 ∂Φ′ − grad , c2 ∂t2 c ∂t

(8.74)

i + gradΦ′ = 0.

(8.75) c ∂t Az ´ atmeneti mátrixelem kisz´ am´ıtásához kedvez˝o formát akkor kapunk, ha a χ(r, t) mértékf¨ uggvénnyel a következ˝o mértéktranszformáci´ ot hajtjuk végre: div

A = A′ + gradχ

(8.76)

és

1 ∂χ , (8.77) c ∂t a transzform´ aci´ o a térer˝ osség értékét nem változtatta meg, amint arról könnyen meggy˝oz˝odhet¨ unk (8.76,8.77) (8.72,8.73)-ba helyettes´ıtésével. A (8.74,8.75)-be helyettes´ıtéssel pedig kapjuk, hogy Φ = Φ′ −

∆A −

h 1 ∂Φ′ i 1 ∂2χ 1 ∂ 2A = grad ∆χ − 2 2 + divA′ + 2 2 c ∂t c ∂t c ∂t

és div

h 1 ∂A c ∂t

i + gradΦ = 0.

(8.78)

(8.79)

96


A mértékf¨ uggvényt a ∆χ −

h 1 ∂2χ 1 ∂Φ′ i ′ = − divA + c2 ∂t2 c ∂t

(8.80)

egyenlet megoldás´ aból nyerhetj¨ uk. Ennek egy megoldása ∆χ + divA′ = 0

(8.81)

és

1 ∂ h ′ 1 ∂χ i Φ − = 0. c ∂t c ∂t Vessz¨ uk (8.76) divergenci´ aj´ at, ebb˝ol (8.81) alapján kapjuk, hogy divA(r, t) = 0,

(8.82)

(8.83)

m´ıg (8.82)-t egyszer integrálva, és az integráci´ os álland´ ot null´ anak választva kapjuk (ref8.5.7)-b˝ ol, hogy Φ(r, t) = 0. (8.84) A perturb´ aci´ osz´ am´ıt´ ast teh´ at a. H ′ (r, t) =

ie¯h e2 A2 (A(r, t), grad) + me c 2me c2

(8.85)

Hamilton-oper´ atorral kell végigcsinálni, amelyben a második tag ráadásul sokkal kisebb, mint az els˝o, a mi feladatainkban el is hanyagolható.1 A mértéktranszformáci´ ot azért csináltuk, mert ´ıgy két tag nulla lett (8.69)-ben, továbbá A-val számolva az elektrom´ agneses hull´ am E és H komponensét ily módon automatikusan figyelembe vessz¨ uk. V´ akuumbeli elektrom´ agneses hull´ amunk egyébként kielég´ıti a Lorentz-feltételt: divA +

1 ∂Φ =0 c ∂t

(8.86)

és A-ra az al´ abbi hull´ amegyelet vonatkozik: ∆A −

1 ∂2A = 0. c2 ∂t2

(8.87)

A legegyszer˝ ubb eset az, amikor a perturb´ aci´ o egy x k k ir´ anyban terjed˝o lineárisan pol´ aros elektrom´ agneses s´ıkhull´ am. Ez a választás nem jelent k¨ ulönösebb megszor´ıt´ ast, mivel az atom helyén lév˝ o perturb´ aló elektrom´ agneses mez˝o s´ıkhull´ amok 1 Ha id˝ ot˝ ol f¨ uggetlen, teh´ at A vektorpotenci´ al´ u´ alland´ o m´ agneses mez˝ obe helyezz¨ uk atomunkat, ´ eppen (8.85) els˝ o tagja a line´ aris, a m´ asodik pegig a kvadratikus Zeeman-effektust ´ırja le. Ha H 1 r × H lesz. t´ erer˝ oss´ eg˝ u sztatikus homog´ en m´ agneses mez˝ o a perturb´ aci´ oA= 2


97

szuperpoz´ıciójaként felfogható. A hull´ amban A mer˝oleges k-ra, ´ıgy (8.83) automatikusan teljes¨ ul, a hull´ amegyenlet megoldása (8.88) A(x, t) = 2A0 cos(kx − ωt + α) = A0 ei(kx−ωt+α) + e−i(kx−ωt+α) , ahol α egy f´ aziseltol´ odás. Visszahelyettes´ıtéssel meggy˝oz˝odhet¨ unk róla, hogy |k| =

ω . c

(8.89)

A térer˝ osségek zérust´ ol k¨ ulönb¨ oz˝o komponensei (8.72,8.73,8.89) szerint E = −2A0 |k|sin(kx − ωt)

(8.90)

H = −2k × A0 sin(kx − ωt),

(8.91)

és a Poyinting-vektor x ir´ anyba mutat, x = 0 mentén (teh´ at atomunk helyén) az egy rezgési periódusra ´ atlagolt abszol´ ut értékéb˝ol pedig (2.12) és (2.24) szerint kapjuk (8.90,8.91)-b˝ol az intenzit´ ast Z 2π/ω c ω A2 ω 3 1 2π/ω ω 2 A20 Iν = 4A20 k 2 t , (8.92) = sin2 ωtdt = 0 2 4π 2π 0 2π c 2 0 2πc

ahol burkoltan feltételezt¨ uk, hogy a most már izotropnak feltételezett Iν intenzit´ ast összetev˝ o egyes hull´ amok között nincs fáziseltol´ odás, vagyis (8.90,8.91) argumentum´ aban az α f´ azis minden egyes hull´ amra (fotonra) azonos, ezért volt null´ anak vehet˝ o (8.92)-ben.

8.2.8.

Az oszcill´ atorer˝ oss´ eg ´ es az ´ atmeneti m´ atrixelem

Behelyettes´ıtj¨ uk (8.85) els˝o tagját (8.68)-be, és mivel am (t) négyzetét˝ol f¨ ugg a benn¨ unket érdekl˝ o ´ atmeneti val´ osz´ın˝ uség, nyugodtan használhatjuk a perturb´ aló elektrom´ agneses hull´ amra a (8.88) komplex alakot, ami a szám´ıtásokat meg fogja könny´ıteni. A [t0 = 0, t] intervallumra integrálva kapjuk, hogy a(1) m (t) = −

′′ ′ Hjm ei(ωmj +ω)t − 1 Hjm ei(ωmj −ω)t − 1 − , h ¯ ωmj + ω ¯h ωmj − ω

(8.93)

ahol ′′ Hjm

=

′ Hjm

=

Z ie¯h ∗ ikx drψm e (A0 , gradψj ), mc Z ie¯h ∗ −ikx drψm e (A0 , gradψj ). mc

(8.94) (8.95)

(8.93) nyilván csak Em ≈ Ej ± ¯ hω esetén lesz nagy, a + el˝ojel az abszorpciónak felel meg, a − pedig a induk´ alt emisszi´ onak, ha az egyik nagy, a másik elhanyagolható. N

98


elektront tartalmaz´ o atom esetén értelemszer˝ uen mind az N elektron koordinátája szerinti gradiens ¨ osszege ´ all a formuláinkban. Az egyszer˝ uség kedvéért vegy¨ uk most az abszorpciót, amikor (8.93)-b˝ ol csak a második tag sz´ amottev˝o. Atomunk m gerjesztett állapotban való megtalálásának valósz´ın˝ uségét a t id˝opontban (8.93) második tagjának négyzete adja: 2

2 a(1) m (t)

2

′ ′ 2Hjm 4Hjm 1 − cos(ωjm − ω)t sin2 (ωmj − ω)t/2 = = (ωjm − ω)2 (ωmj − ω)2 h2 ¯ ¯h2

(8.96)

lesz. ((eix − 1)2 = (cosx − 1 + isinx)(cosx − 1 − isinx) = 2(1 − cosx) = 4sin2 x/2 miatt.) Mivel atomunkat (8.96) szerint tetsz˝ oleges ω frekvenciáj´ u fény viheti m állapotba, de (8.96) jobb oldala csak az ω ≈ ωmj rezonancia kör¨ ul számottev˝o, (1)2

′ Hjm -t konstansnak vessz¨ uk ebben a sz˝ uk intervallumban és integráljuk am (t)-t ν szerint, hogy σtot analógj´ at megkapjuk. Z ∞ ′2 Z ∞ ′2 4Hjm Hjm 2 sin2 [(ωjm − ω)t/2] dω a(1) (t)dν = t. (8.97) = m (ωjm − ω)2 2π h2 ¯ ¯h2 0 0

(Bevezett¨ uk az x = ωmj − ω, −∞ ≤ x ≤ ωmj integrálási változ´ ot, nem követt¨ unk el azzal nagy hib´ at, hogy az x szerinti integrálásban ωmj helyett ∞-t˝ol integráltunk, mert ´ıgy felhasználhattuk, hogy Z ∞ Z ∞ −2 2 x sin axdx = 2 x−2 sin2 axdx = |a|π. (8.98) 0

−∞

(8.67) következménye (8.97)-ben a t, mert aszerint nem u ¨r¨ ul ki a kezdeti j a´llapot, a perturb´ aci´ o pedig minden ω frekvencián egyenletesen, az id˝oben szakadatlanul m˝ uk¨ odik t0 = 0 ´ ota, és az indukált emissziót pedig kizártuk most azzal, hogy csak az abszorpci´ ora szor´ıtkoztunk. Számunkra azonban az id˝oegységenkénti abszorpci´ os ´ atmenetek sz´ ama fontos csup´ an, ez pedig a formalizmusunkban (8.65) analógi´ aj´ ara Z 1 ∞ (1)2 am (t)dν (8.99) w= t 0 lesz, ami már véges. A H ′ (t) perturb´ aci´ o miatt az nj darab atomunk által elnyelt sug´ arz´ asi teljes´ıtmény kifejezhet˝o Bjm -mel, és megkapható (8.99) alapján is: 2

Bjm uνmj nj hνmj =

′ Hjm

nj hνmj , (8.100) ¯2 h amit (8.56)-ben felhasználva megkapjuk az oszcillátor er˝osséget az átmeneti mátrixelemmel kifejezve: 2

fjm

= =

2

′ ′ 4πme νmj Hmj me hνmj Hmj = πe2 ¯h2 uνmj he2 uνmj Z i2 me c2 h ∗ −ikx drψ e (A , gradψ ) . 0 j m 2 e2 hωmj A0

(8.101)


99

agneses energias˝ ur˝ uség u ´gy t˝ unt el, hogy A nevez˝oben el˝ ofordul´ o uνmj elektrom´ 2 A20 /2πc2 -t behelyettes´ıtett¨ uk (8.92)-b˝ ol. Legyen θ az atomhoz uν = 4πIνmj /c = ωmj rögz´ıtett koordin´ ata-rendszerben kisz´ am´ıtott gradψj és az A0 vektor közötti szög, erre a sz¨ ogre ´ atlagolnunk kell, mert az atomok egyforma valósz´ın˝ uséggel állnak b´ armelyik θ ir´ anyba A0 -hoz képest. Z 1 cos2 θdΩ/4π = (8.102) 3 Ω miatt (8.57) κν = nj σ(ωjm )fjm /3 végleges kifejezésébe fjm 1/3 s´ ullyal jött. Vegy¨ uk még egy kicsit szem¨ ugyre a hull´ amot, mivel A = A0 e−ikx = A0 (1 − ikx − (kx)2 /2 + · · ·),

(8.103)

a sorfejtés els˝o tagja A0 nagys´ ag´ u, x-re mer˝oleges homogén mez˝o, a második pedig x mentén A0 kx értéket felvev˝ o mez˝o, amely már nem homogén. Az inhomogenitás azonban csekély, mert |k|−1 sokkal nagyobb, mint az atomunk mérete: (8.90) szerint k −1 = c/ω ≈ 8 × 10−3 cm ≫ a0 ,

(8.104)

ahol a0 = h ¯ 2 /Zme2 = 5, 29 × 10−9 cm az els˝o Bohr sug´ ar, (8.88)-be 500nm-es fény körfrekvenciáj´ at helyettes´ıtett¨ uk, látnivaló, hogy |kx| ≈ 6, 9 × 10−5 nagys´ agrendje 10−4 marad még akkor is, ha figyelembe vesz¨ uk azt, hogy ψm és ψj köz¨ ul a kisebbik, ′ amelyik megszabja az integrál értékét Hjm -ben, néhány a0 értékig terjed ki. Emiatt az exponenci´ alis sorfejtéséb˝ol elég az els˝o tagra szor´ıtkozni. Péld´ aul Rydberg atomokn´ al lehetnek a további tagok számottev˝oek, de ilyenek a csillagok légkörében nem fordulnak el˝ o. A (8.101)-ben el˝ ofordul´ o integrál ak´ ar közvetlen¨ ul is kiszám´ıtható, de érdemes megadni egy alternat´ıv formáj´ at a gradiensoperátorok elt¨ untetésével. A X p2 ι + V (r1 , ..., rN ) (8.105) H0 = 2m e ι P ator felcserélési reláci´ oja az ι, µ index˝ u Hamilton-oper´ ator és az r = ι rι oper´ részecskék [xι , px,µ ] = i¯hδιµ , [yι , py,µ ] = i¯hδιµ , [zι , pz,µ ] = i¯hδιµ (8.106) stb. felcserélési reláci´ oib´ ol levezethet˝o: X i¯h X [r, H0 ] = pι = i¯h gradι , me ι ι

(8.107)

mert p = me v. Ezzel és H0 hermitikus volt´ at kihaszn´ alva, továbbá az exponenci´ alis (8.103) sorfejtésének els˝o tagj´ ara szor´ıtkozva Z Z Z i 1h ′(dip´ ol) ∗ ∗ ∗ = drψm [rH0 − H0 r]ψj = Hjm drψm rH0 ψj − drH0 ψm rψj i¯h Z iωmj dmj (Ej − Em ) ∗ , (8.108) drψm rψj , = = i¯h e

100


PN (z) ˆ (y) (x) a dipól átmeneti mátrixelem, mivel d = i eri ahol djm = djmî + djmˆj + djm k éppen a dip´ olmomentum oper´ atora. (Meg kell azonban jegyezni, hogy az integrál (8.101) és (8.108) formája csak egzakt ψ-vel ekvivalens. Ha csak közel´ıt˝o hull´ amf¨ uggvény¨ unk van, igen jelent˝ os, ak´ ar nagys´ agrendi eltérés is lehet a gradienses és a dipólmomentumos érték között. Mivel csillagok sz´ınképében nem ritk´ ak az olyan vonalak, amelyekre az oszcillátor er˝osséget laboratóriumb´ ol nem ismerj¨ uk, tehát ki kell sz´ am´ıtanunk, nem ritk´ an okoz gondot az, hogy melyik formulának is higgy¨ unk (8.101) és (8.108) köz¨ ul.) Jegyzet¨ unk kereteit meghalad´ o mennyiség˝ u szám´ıtással ki lehet mutatni, hogy (8.103)-b˝ol ikx figyelembevételéb˝ol származó tag atomunk elektromos kvadrupólmomentum´ aval f¨ ugg ¨ ossze, s a sor folytatható, az elektromos oktupólmomentum stb. következnek a továbbiakban. Az átmenetek elnevezése: elektromos dipól, kvadrupól, oktup´ ol stb. ´ atmenet. Ha dmj = 0,

(8.109)

akkor tiltott ´ atmenetr˝ol beszél¨ unk, ez a vektori´ alis formában fel´ırt egyenl˝ oség természetesen u ´gy értend˝ o, hogy djm mindhárom komponense 0. Ha mégis lehetséges aj →m´ atmenet, annak oka az, hogy valamelyik magasabbrend˝ u átmeneti mátrixelem k¨ ulönb¨ ozik null´ atól. Mivel a kvadrupól átmeneti valósz´ın˝ uség (kx)2 -tel arányos, az ilyen ´ atmenetek val´ osz´ın˝ usége 8–9 nagys´ agrenddel kisebb, mint a dipól átmeneteké. Fotoszferikus sz´ınképben emiatt nem is látunk tiltott vonalakat, mert a fotoszféra s˝ ur˝ uségén az optikai ´ atmenet létrejötte el˝ott u ¨tk¨ ozések ki¨ ur´ıtik azokat az energiaszinteket, amelyek közötti átmentekb˝ol származhatnának a tiltott vonalak. A korona ritka plazm´ aj´ aban vagy csillagk¨ ozi g´ azban azt´ an már elég ideig (legalább 1–2 s-ig) maradhat az atom zavartalanul, ezért az ottani kör¨ ulmények között már létrejöhetnek a tiltott vonalak, er˝osség¨ uk azonban jóval elmarad a megengedett vonalaké mögött. Megeml´ıtj¨ uk még, hogy a hélium szinglet és triplet sorozata között minden rendben nulla (8.101), ezért ezek között optikai átmenet nincs. Fotoszferikus sz´ınképekben ´ altal´ aban csak megengedett vonalakkal szokott lenni dolgunk, kromoszfér´ akb´ ol, koronákb´ ol, csillagk¨ ozi g´ azfelh˝okb˝ ol azonban gyakran jönnek tiltott vonalak is. A hidrogén 21 cm-es sug´ arz´ asa pedig hiperfinom mágneses dipól´ atmenetb˝ ol sz´ armazik, ami csak relativisztikus közel´ıtésben t´ argyalható a Breit-egyenlet felhasznál´ as´ aval. Most már a (8.57) monokromatikus abszorpciós koefficiens minden egyes összetev˝oje megvan. Végezet¨ ul egy megjegyzés: a folytonos spektrumba es˝o állapotok sajátf¨ uggvénye nem norm´ alhat´ o, az itteni levezetés formálisan nem érvényes rájuk. A legegyszer˝ ubben u ´gy ker¨ ulhet˝o ki a probléma, hogy választunk egy az atomi méretekhez képest igen nagy térfogatot, akkorát, hogy ebben már kvázi-folytonos lesz az E > 0 állapotok energiaspektruma, s ebbe normáljuk ψ-t. Mint eml´ıtett¨ uk, az ´ atmeneti mátrixelem hidrogénszer˝ u sz´ınképre z´ art formában


101

kisz´ am´ıthat´ o, djm =

Z

0

∞

r12 dr1

Z

0

π

dθ1 sinθ1

Z

2π

dφ1 ψm (r1 , θ1 , φ1 )r1 ψj (r1 , θ1 , φ1 ),

(8.110)

0

ahol ψ a hidrogénatom egyre normált sajátf¨ uggvénye, ˆ r1 = r1 (sinθ1 cosφ1î + sinθ1 sinφ1ˆj + cosθ1 k).

(8.111)

A sz¨ ogek szerinti integrálok z´ art alakban kisz´ am´ıthatók, a kiv´ alasztási szabályokat kapjuk meg bel˝ ol¨ uk: ∆n3 = 0, ±1, ∆l = ±1, ∆n tetsz˝ oleges, n, l, n3 a f˝o, a mellék és a mágneses kvantumsz´ am, sz´ am´ıtásainkban ezek egy hármasát szimbolizálja j és m. A radiális integrál kisz´ am´ıt´ asa kicsit hosszadalmas, de k¨ ulönösebb nehézség itt már nincs: z´ art alakba ´ırhat´ o formulák vannak a Lyman-, Balmer-, stb. sorozatok tagjaira. Ezek közös aszimptotikus sajátoss´ aga, hogy fjm ∝ n−3 n ≫ 1 esetén. Héliumszer˝ u atomok (N = 2) néhány djm -je szintén jól szám´ıtható, noha ezekre már nincs z´ art formula. N ≥ 2 esetén bizonyos vonalak átmeneti mátrixeleme laboratóriumi mérésb˝ ol meghatározható, de az asztrofizikában fontos vonalaknak csak egy t¨ oredékére. Az itteni körön k´ıv¨ ul es˝o vonalak átmeneti mátrixelemeinek meghatározás´ ara két u ´t k´ınálkozik: olyan csillagok sz´ınképéb˝ol kihámozható, amelyek fotoszfér´ aj´ anak szerkezetét j´ ol ismerj¨ uk, vagypedig vannak a k¨ ulönb¨ oz˝o atomfizikai közel´ıtések, amelyek lényege, hogy az atomt¨ orzset potenci´ alis energiával modellezz¨ uk a valenciaelektron sz´ am´ ara, s ily módon már csak egyelektron problém´ at kell megoldanunk. Mivel ez utóbbi megk¨ ozel´ıtés az asztrofizikában igen fontos, és nemritkán az egyetlen forrás az ´ atmeneti mátrixelemek szám´ıtására, felvázoljuk a f˝obb megk¨ ozel´ıtési módokat. • Lehet az atomt¨ orzset Hartree–Fok-közel´ıtéssel t´ argyalni: N egyelektron hullámf¨ uggvény antiszimmetrizált szorzat´ aból indulunk ki és addig módos´ıtjuk ezeket (iter´ alunk), am´ıg az m, j állapotok (valahonnan ismert) energiasajátértékét j´ ol nem adja. • A Thomas–Fermi-modellben az atomt¨ orzset zérus h˝ omérséklet˝ u elfajult elektrongáznak tekintj¨ uk, ebben a potenci´ alban mozog a valenciaelektron. • Lehet nem t´ ul bonyolult konfiguráci´ ok (2–3 valenciaelektront tartalmaz´ o atomok, ionok) hull´ amf¨ uggvényét variáci´ osz´ am´ıtással is meghatározni. Mindezen módszerek közös problém´ aja, hogy az eredmény¨ ul kapott ψj hull´ amf¨ uggvény j´ ol adhatja péld´ aul egy számunkra fontos állapot k´ısérletileg megmért vagy csillagsz´ınképekb˝ ol meghatározott Ej energiáj´ at (10−4 de ak´ ar 10−12 pontosan is), vagyis ψj H0 ψj , (8.112) Ej ≈ ψj , ψj

102


(s ugyanez ´ all m-re is,) de ez semmiféle biztos´ıtékot nem jelent arra, hogy djm értéke is j´ o lesz, mert az energiasajátérték jó meghatározására ir´ anyuló eljárásaink ψ-t csak ott adják pontosan, ahol H0 nagy s´ ulyt ad ψ-nek (8.112) számlálój´ aban, ez pedig inkább a 0 ≤ r ≤ 1 tartom´ any a H0 (r)-ben lév˝ o Coulomb szingularitás miatt. Ez a hull´ amf¨ uggvény lehet egészen rossz az r ≫ 1 régi´ oban, amelyben (8.112) ad nagy s´ ulyt a hull´ amf¨ uggvénynek. Ezért van az a furcsaság, hogy nemritkán egy n∗j nem egész effekt´ıv kvantumsz´ amhoz tartozó r = 0-ban egyébként szinguláris hidrogénszer˝ u egyelektron hull´ amf¨ uggvény jobb átmeneti mátrixelemet száll´ıt, mint az itt eml´ıtett raffin´ alt elj´ ar´ asok, ha az effekt´ıv kvantumszámot a Balmer-képlettel definiáljuk: me e 4 Ej = − 2 ∗2 , (8.113) 2¯ h nj ahol Ej ismét a sz´ınképvonal helyéb˝ol ismert kötési energia. Ha tiszt´ an atomfizikai szempontból nézz¨ uk, a k-k és a k-sz, sz-sz átmentek között nincs lényeges k¨ ulönbség, a 8.2.6-8.2.8 szakaszokban le´ırtak átvihet˝ ok minden k¨ ulönösebb nehézség nélk¨ ul olyan állapotok közötti átmenetekre is, amelyekben a végállapot vagy a kezd˝ o- és a végállapot egyaránt a kontinuumban tal´ alható. Két problém´ at kell csak kiker¨ ulni, ami az ottani megfontol´ asokat módos´ıtja: figyelembe kell venni, hogy a folytonos sz´ınképben az Em , de esetleg az Ej sajátértékek is tetsz˝ oleges értéket vehetnek f¨ ol, és hogy a kontinuumba tartozó sajátf¨ uggvények norm´ aja nem véges. A saj´ atértékek folytonos eloszlása miatt a 8.4. szakaszban a szummázások helyére integrál´ asok lépnek, térben végtelen norma kiker¨ ulése azonban nem ilyen egyszer˝ u. Ezeket a gondokat, meg a nemrelativisztikus kvantummechanika néhány más gondj´ at is meg lehet oldani azzal, hogy a szabad elektron hull´ amf¨ uggvényét egy hatalmas, de mégis véges térrészbe normáljuk, amelyet egy végtelen magas potenci´ alfallal jel¨ ol¨ unk ki. (L. I. Schiff, Quantum Mechanics, McGraw-Hill, 1968). Mivel nem asztrofizikai kérdés, e megoldási mód következményeit nem t´ argyaljuk, csup´ an annyit jegyz¨ unk meg, hogy ily módon azokat az er˝osen kötött állapotokat kapjuk meg, amelyeknek hull´ amf¨ uggvénye sokkal kisebb kiterjedés˝ u, mint a véges térrész, a diszkrét szabad ´ allapotok pedig bizonyos s˝ ur˝ uséggel helyezkednek el az E-tengelyen. Az E ≈ 0 tartom´ anyba es˝o kötött és szabad állapotokat pedig nem kapjuk meg. Nyilv´ anval´ o, hogy minél nagyobb a véges térrész, annál közelebb járnak az eredmények a teljesérték˝ u megoldáshoz, a valódi kontinuummal kapotthoz.

9. fejezet

´ A SZÍNKEPVONALAK ´ ´ KISZELESED ESE Az el˝ oz˝o fejezetben láttuk, hogy oszcillátorunk nemcsak a meghatározott ω0 = ωmj frekvencián, hanem annak a (8.46) által megadott környezetében is sug´ arzott. A kvantummechanikai sz´ am´ıt´ assal kapott (8.96) (egy bizonyos t ≫ ω −1 id˝ointervallumra átlagolva) felfogható u ´gy is mint egy vonalprofil, vagyis a diszkrét, stacionárius Ej , Em energiaszintekkel rendelkez˝o atom, ion nemcsak a ν = (Em −Ej )/h frekvencián, hanem annak környezetében is sug´ aroz. A sug´ arz´ as maximuma az oszcillátor, illetve az atom saj´ atfrekvenciáj´ anál van, s igen gyorsan lecseng annak egy sz˝ uk környezetében. A keletkez˝o sz´ınképvonalnak tehát nem éles, hanem mindig valamilyen kiszélesedett profilja lesz a frekvencia szerint.

9.1.

A sz´ınk´ epvonalak profilja

A sz´ınképvonalak kiszélesedése alatt azt értj¨ uk, hogy egy optikailag vékony plazm´ an bel¨ ul atomjaink (ionjaink) ´ altal kibocsátott fény (az atomfajt´ ahoz tartozó monokromatikus emisszi´ os koefficiens, ǫν ) Fourier-spektruma valamilyen folytonos eloszlás lesz az ωmj saj´ atfrekvenciák környékén, nem pedig vonal. Ezzel egyenérték˝ u megfogalmaz´ as, hogy a sz´ınképvonal helyén a monokromatikus abszorpciós koefficiens valamilyen folytonos eloszl´ as lesz. (Gondoljunk itt vissza a Kirchhoff-t¨ orvényre, s az annak alapj´ an definiált forrásf¨ uggvényre: ǫν = κν Sν — (4.4), Sν a vonal profilj´ an bel¨ ul t¨ obbnyire ´ alland´ onak tekinthet˝ o a fotoszferikus vonalakban, ilyenkor elég csup´ an κν frekvenciától val´ o f¨ uggésével foglalkozni.) A második megfogalmazás mellett maradunk a kvantitat´ıv t´ argyalásban, a (8.57) monokromatikus abszorpciós koefficiensben vessz¨ uk σtot = πe2 /mc-t és ezut´ an beszorzunk egy egyre normált 103

104

´ ´ ´ FEJEZET 9. A SZÍNKEPVONALAK KISZELESED ESE

P (ω) profillal: κν = nj κν,at = nj fjm

πe2 P (ω), mc

(9.1)

ahol Z

∞

P (ω)dν = 1.

(9.2)

0

Péld´ aul P (ω) lehet a (8.46,8.50)-ban megismert Lorentz-profil. Ha megvan a vonalprofil optikailag vékony esetre, akkor még figyelembe kell venn¨ unk azt is, hogy a csillag fel¨ uletén a fluxus Fν (0) egy (4.20) alak´ u integrálb´ ol jön, és P (ω) változik (4.20) τν integrál´ asi változ´ oj´ anak f¨ uggvényében. A sz´ınképvonalak kiszélesedésének oka részben a sug´ arz´ o atomban magában van, részben sug´ arz´ o atomnak a környezetével való kölcsönhatásában, részben pedig az atomok h˝ omozg´ asa felel˝ os. Ennek megfelel˝oen a jelenség fizikailag t´ argyalása során h´ arom j´ ol elk¨ ulön¨ ul˝o csoportba oszthatók a sz´ınképvonal kiszélesedését okozó hatások: beszél¨ unk • természetes, • nyom´ asi és • Doppler-vonalkiszélesedésr˝ol. Ha az imént felsoroltak ´ altal létrehozott folytonos eloszlás maximuma nem egyezik meg az ωmj frekvenciával, akkor nemcsak vonalkiszélesedésr˝ol beszél¨ unk, hanem vonaleltol´ odásról is. Egy sz´ınképvonal hull´ amhossz´ anak eltol´ odását lehet u ´ gy is felfogni, hogy val´ oj´ aban aszimmetrikus vonalkiszélesedésr˝ol van szó: tehát P (ωmj + ∆ω) 6= P (ωmj − ∆ω). R¨ ovidesen belátjuk, hogy optikailag vékony esetben magyarázatul csak a nyom´ asi vonalkiszélesedés jön szóba. A sz´ınképvonalak kiszélesedése és a hull´ amhosszuk esetleges eltol´ odása a plazmaspektroszk´ opia t´ argyk¨ orébe tartozik, és számos laboratóriumban folynak e témakörben intenz´ıv k´ısérleti és elméleti munk´ ak, amelyeknek célja a plazma diagnosztik´ aja, vagyis a plazm´ aban uralkod´ o viszonyok (h˝omérséklet, nyom´ as, elektronkoncentr´ aci´ o) megállap´ıt´ asa. Atomfizikai szinten a laboratóriumi és az asztrofizikai plazmaspektroszk´ opia között nincs elvi k¨ ulönbség, a laboratóriumi plazm´ akb´ ol és a csillagokb´ ol sz´ armazó sz´ınképek k¨ ulönb¨ oz˝oségéért f˝oleg az felel, hogy laborat´ oriumban kis¨ ulésekb˝ ol vagy rádi´ ofrekvenciás plazmából, nem ritk´ an optikailag vékony plazm´ aból, a csillagokban pedig nagy kiterjedés˝ u, forró, optikailag vastag termikus plazm´ aból sz´ armazik a sz´ınkép. A sz´ınképvonalak kiszélesedésér˝ol és eltol´ odásáról csak az alapfogalmakat és a fizikai lényeget ismertetj¨ uk, mert a témak¨ or valamelyest is teljes t´ argyalása nem képzelhet˝ o el jegyzet¨ unk egyetlen fejezetében.

´ 9.1. A SZÍNKEPVONALAK PROFILJA

9.1.1.

105

V´ eges hossz´ us´ ag´ u rezg´ esek spektruma

Egy f (t) id˝of¨ uggés˝ u rezgés esetén az amplit´ ud´ o frekvencia szerinti eloszlását az Z ∞ ′ 1 A(ω) = f (t′ )e−iωt dt′ (9.3) 2π −∞ Fourier-integrál adja meg. Vegy¨ unk egy klasszikus oszcillátort ω0 sajátfrekvenciával, amely a [−t/2, t/2] id˝ointervallumban sug´ aroz (t ≫ ω0−1 ), ezen k´ıv¨ ul pedig nem sug´ aroz. Az intenzit´ as eloszl´ asa a körfrekvencia f¨ uggvényében az amplit´ ud´ o négyzetével lesz ar´ anyos, amint ezt már (2.25) kapcsán láttuk, vagyis ǫω (t0 ) ∝

hZ

t/2

′

ei(ω−ω0 )t dt′ −t/2

i2

=

h ei(ω−ω0 )t′ t/2 i2 sin2 [(ω − ω0 )t/2] = , i(ω − ω0 ) −t/2 [(ω − ω0 )/2]2

(9.4)

(1) 2

ami az m ´ allapotban val´ o (8.96) am (t) megtalálási valósz´ın˝ uséggel mutat szoros rokons´ agot. Ez a hasonl´ os´ ag is mutatja, hogy nem járunk messze a valóságt´ ol, ha egy atom (ion) sug´ arz´ as´ at u ´gy képzelj¨ uk el, mint egy bizonyos id˝ointervallumban zavartalanul sug´ arz´ o harmonikus oszcillátort. Ez az intervallum péld´ aul egy gerjesztett ´ allapot véges élettartama, amint azt a természetes vonalkiszélesedésnél látni fogjuk, vagy perturb´ al´ o részecskékkel való két u ¨tk¨ ozés közötti id˝o, amint azt a nyom´ asi vonalkiszélesedésnél fogjuk látni. Meg kell teh´ at becs¨ uln¨ unk annak a W (t) valósz´ın˝ uségét, hogy egy kiszemelt atom t ideig nem u ¨tk¨ ozik. Ezzel a f¨ uggvénnyel t-re átlagolva (9.4)-t megkapjuk a P (ω) vonalprofilt, ami (9.1) frekvenciától f¨ ugg˝o része. Ha a plazm´ ankban t0 (sugárz´ o) atomunk két u ¨tk¨ ozése közötti átlagos id˝otartam, atomunk ∆t ≫ t0 id˝o elteltével nyilván ∆t/t0 egész része szám´ u u ¨tk¨ ozést fog elszenvedni. Ha most megfontol´ asunkat kiterjesztj¨ uk plazm´ ank N (t) darab olyan elemére (atomj´ ara vagy ionj´ ara), amelyek eddig még nem u ¨tk¨ oztek, ∆t id˝o alatt N ∆t/t0 sz´ am´ uu ´jabb u ¨tk¨ ozés várható. A t + ∆t id˝opontban a még nem u ¨ tk¨ ozött atomok sz´ ama ∆t (9.5) N (t + ∆t) = N (t) − N t0 lesz. Taylor-sorba fejtj¨ uk a bal oldalt, N (t + ∆t) = N (t) + amib˝ ol

dN ∆t + · · · , dt

dN N =− , dt t0

(9.6)

(9.7)

amely egyenlet könnyen integrálható, az eredmény N (t) = N (0)e−t/t0 .

(9.8)


106

A keresett val´ osz´ın˝ uség W (t) =

N (t) = e−t/t0 . N (0)

(9.9)

A vonalprofil ǫω

∝

Z

∞

sin2 [(ω − ω0 )t/2]e

− tt

0

dt

0

− e−i(ω−ω0 )t/2 i2 − tt e 0 dt i 0 ∞ e[i(ω−ω0 )− t10 ]t ∞ e−[i(ω−ω0 )+ t10 ]t ∞ − tt = −2t0 e 0 − + 0 i(ω − ω0 ) − t10 0 i(ω − ω0 ) + t10 0 1 , ≈ (ω − ω0 )2 + t012

=

Z

∞ h i(ω−ω0 )t/2

e

(9.10)

ami viszont egy konstans faktort´ ol eltekintve a (8.50) alatt megismert Lorentz-profil γ/2 = t0 −1 -gyel, mert az utols´ o el˝ott sorban az els˝o tag −2t0 értéke elhanyagolhato a második és a harmadik tag ¨ osszegéhez képest. Mint azt (8.51) kapcs´ an láttuk, a normálás ∆ω = ω − ω0 , −ω0 ≤ ω ≤ ∞ és x = ∆ωt0 , dx = 2πt0 dν bevezetésével Z ∞ Z ∞ Z ∞ 1 t0 dx t0 dν dx = ≈ = , (9.11) 2 2 + t−2 2 + t−2 2πt 1 + x 2 (ω − ω ) ∆ω 0 0 −∞ 0 −ω0 0 0 tehát P (ω) =

1 γ 2 . = 2 + (γ/2)2 t0 ∆ω 2 + t−2 ∆ω 0

(9.12)

P (ω) maximuma nyilván ∆ω = 0-n´ al van, P (ω0 ) = 4/γ, félértéke pedig 2 γ = γ ∆ω 2 + γ 2 /4 megoldás´ aból ∆ω = ±

1 . t0

(9.13)

(9.14)

Ha t0 → ∞, a Lorentz-profil ∆ω félszélessége u ´gy tart null´ ahoz, hogy a (9.2) ´ norm´ al´ as teljes¨ ul, vagyis P (ω) egy vonall´ a fajul el. Eles, matematikai értelemben vett vonalat teh´ at csak akkor kapnánk, ha atomjaink végtelen hossz´ u ideig zavartalanul sug´ arozhatn´ anak. Ez azonban lehetetlen, mivel (8.10)-(8.12) kapcsán beláttuk, hogy a gerjesztett ´ allapotok élettartama véges, ezért ha a sug´ arz´ o atomok kölcs¨ onhatása elhanyagolható is a környezet¨ ukkel, a kisugárzott vonal profilja akkor is egy véges félszélesség˝ u P (ω) lesz.


107

Ha ∆ω ≫ t−2 arnyáról beszél¨ unk, sorfejtéssel kapható, hogy itt 0 , a vonal sz´ P (∆ω) ≈ γ∆ω −2 . A ∆ω ≈ 0 tartományt a vonal magjának nevezz¨ uk, itt P (∆ω) ≈ (4/γ)[1 − 4(∆ω/γ)2], ez egy exp{−4(∆ω/γ)2 } haranggörbe sorfejtésének els˝o tagja. Vég¨ ul megbecs¨ ulj¨ uk a két u ¨tk¨ ozés közötti t0 id˝otartamot. Kiszemelt atomunk l = v0 t0

(9.15)

átlagos t´ avolságot fog megtenni két u ¨tk¨ ozés között, l-t szabad u ´thossznak nevezz¨ uk, v0 vehet˝ o a Maxwell-sebességeloszlásb´ ol, vagyis (7.4)-b˝ol. A két u ¨ tk¨ ozés között egyenesnek és egyenletesnek tételezz¨ uk fel atomunk mozgását, a σ keresztmetszet˝ u atom az lσ térfogatot fogja lefedni. Ha ez a térfogat eléri az adott n s˝ ur˝ uség˝ u plazm´ aban az egy részecskére jutó n−1 térfogatot, bek¨ ovetkezik az u ¨ tk¨ ozés, tehát t0 =

1 . nv0 σ

(9.16)

A hidrogénatomok sugara alapállapotban kör¨ ulbel¨ ul a0 = 5, 29 × 10−9 cm, σ ≈ a20 π, 4 T = 10 K h˝ omérséklet˝ u hidrogénplazmában (7.4) szerint v0 = 1, 29 × 106 cm/s, 9 t0 = 8, 9 × 10 /n s. Az els˝o gerjesztett állapotban a sug´ ar 4a0 , σ tizenhatszorosára n˝ o, amivel t0 = 5, 5 × 108 /n s. Mivel egy elektrom´ agneses megengedett átmenet kör¨ ulbel¨ ul 10−9 s alatt zajlik le, a szuperóriás csillagok légkörében n ≈ 1012 , fehér t¨ orpékében n ≈ 1018 , ezekkel az értékekkel O(t0 ) = 10−3 − 10−9 s. A szuperóriások sz´ınképében teh´ at nem az u ¨tk¨ ozési kiszélesedés domin´ al, m´ıg a fehér t¨ orpékben már sz´ amottev˝o. Ha ránéz¨ unk egy sz´ınképre, e sajátoss´ ag következményei els˝o pillant´ asra szembesz¨ ok˝ oek: szuper´ oriások sz´ınképében a Balmer-sorozatban is Doppler-profilt látunk, m´ıg egy fehér t¨ orpénél vagy egy f˝osorozat´ u csillagnál szembe¨ otl˝ o a Balmer-vonalakban a Lorentz-profil szerinti széles vonalszárny ∆λ−2 szerinti lecsengése.

9.1.2.

Term´ eszetes vonalkisz´ elesed´ es

A természetes vonalkiszélesedés a gerjesztett atomi állapot véges Tm (= t0 ) (!) élettartamából fakad, és az adott szint jellemz˝ oje: egy plazm´ an valamennyi Tm élettartam´ u szintre azonos, f¨ uggetlen¨ ul att´ ol, hogy milyen atomról, ionról van szó. Ezzel azt akarjuk mondani, hogy ez az atom (ion) sajátoss´ agaiból következik, nem a mozg´ as´ aból vagy a környezetével való kölcsönhatásb´ ol. Számszer˝ uen a Heisenbergféle hat´ arozatlans´ agi reláci´ oból becs¨ ulhet˝o meg: ∆Em ≈ ¯h/Tm ,

(9.17)

∆ω ≈ (Tm )−1 ,

(9.18)

illetve ahol ∆Em az m szint energiáj´ anak bizonytalans´ aga. A látható fényre ω ≈ 1015 s−1 , m´ıg egy átlagos megengedett vonal olyan szintekb˝ol szokott sz´ armazni, amelyeknek élettartama Tm = 10−9 s nagys´ agrendjébe


108

esik, ebb˝ol következik, hogy a sz´ınképvonal szélessége, ∆ω/ω = ∆λ/λ ≈ 10−6 , a csillagászatban fontos sz´ınképvonalakra ez elhanyagolhatóan kicsiny. Két konkrét −1 számpélda: a Ca II H és K vonala 396,847 és 393,366 nm-nél van, ezekre Tm = 8 8 −1 Amj = 1, 50 × 10 és 1, 46 × 10 s , a j végállapotokra a (8.12) szerinti szummázás itt egy tagra reduk´ al´ odott. A Na I D1 és D2 vonala 588,995 és 589,592 nm-nél van, mindkett˝ ore Tm = 1, 59 × 10−8 s. Ezek rezonancia vonalak, s ennél lényegesen rövidebb élettartam´ u szintek nemigen ismertek. Ugyanakkor gyan´ıtjuk, hogy a 6.1. fejezetben eml´ıtett kételektronos folyamatokban a gerjesztett állapot élettartama sokkal kisebb a 10−9 s-n´ al. A fotoszférákban nem keletkeznek ilyen vonalak, de a Nap koronáj´ aban, esetleg a csillagk¨ ozi g´ azban azonban valósz´ın˝ uleg igen: e ter¨ uleten az asztrofizika még nagyon gyermekcip˝ oben jár, s ezért legfeljebb sejtéseink vannak róla, hogy mely vonalak tartoznak ide. A gerjesztett szint véges élettartama szemléletesen azt is jelenti, hogy az atomunk ´ altal kibocs´ atott elektrom´ agneses hull´ amvonulat b´ ar monokromatikus, de véges hossz´ uság´ u. A véges t hossz´ uság´ u vonulat valósz´ın˝ uségét (8.11) szerint az as adja meg. Ezért a természetes vonalkiszélesedés Lorentz-profilra e−t/Tm eloszl´ −1 vezet Tm félszélességgel. A Lorentz-féle klasszikus elektronelméletben a magárahagyott oszcillátor — E0 = 0 (8.38)-ben — csillapodni fog, ha kisz´ am´ıtjuk ennek a csillapod´ o rezgésnek a Fourier-spektrum´ at, akkor megkapjuk a természetes vonalkiszélesedés klasszikus analógj´ at. Ezen keretek között azonban arról nem tudunk számot adni, hogy miért más-m´ as a k¨ ulönb¨ oz˝o atomok, ionok rezonanciavonalainak a szélessége, mert a klasszikus elektronelméletben a csillapod´ ast egységesen (8.31) ´ırja le, ez pedig csak az ω0 saj´ atfrekvenciát tartalmazza, ami ωmj -nek felel P meg, a (8.62)-ben definiált ugg, azonban nincs átmeneti mátrixelemnek, amit˝ ol vég¨ ulis Tm = 1/ j Amj f¨ analógja a klasszikus elektronelméletben.

9.1.3.

Doppler-kisz´ elesed´ es

A Doppler-effektus miatti vonalkiszélesedést u ´gy kapjuk meg, hogy a Maxwell– Boltzmann-statisztikából a látóirány´ u u sebességkomponens eloszlását használjuk fel (7.6) szerint. Bevezetj¨ uk a ∆ω u = (9.19) ∆ωD v0 jelölést, ahol ∆ωD =

ω(2kT /m)1/2 c

(9.20)

a (7.4)-ben adott v0 sebességhez tartozó körfrekvencia eltol´ odás. Ezt (7.6)-ben felhasználva norm´ al´ as után kapjuk, hogy P (∆ω) =

n ∆ω 2 o 1 . exp − ∆ωD π 1/2 ∆ωD

(9.21)


109

Az intenzit´ as eloszl´ asa teh´ at a Doppler-effektus következtében haranggörbe lesz, amelynek maximuma ωmj -nél van. Vég¨ ul csak röviden megeml´ıtj¨ uk azt a lehet˝oséget, hogy ha a plazm´ aban nem Maxwell-eloszl´ ast követ a sebesség, péld´ aul rendezett mozgások vagy nagy sebesség˝ u örvénylések miatt, amelyeknek méretsk´ alája kisebb, mint az optikai vastagság eléréséhez sz¨ ukséges t´ avolság, a Doppler-effektus természetesen (9.4.3)-t´ ol eltér˝o P (ω)-t is okozhat. A (7.38) kapcs´ an eml´ıtett mikroturbulencia ugyan változatlanul hagyja a haranggörbét, de a ∆ωD félszélesség megn˝o: ωξt -t ugyanis hozz´ a kell még adni (9.4.2) sz´ amlál´ oj´ ahoz.

9.1.4.

Nyom´ asi vonalkisz´ elesed´ es

A csillaglégkört alkotó plazm´ aban ≈ 1015 cm−3 , vagy még t¨ obb szabad részecske (atom, ion, elektron) van. Az atomok, ionok nehezebbek lévén nagyjából állónak tekinthet˝ ok a mozgékony elektronokhoz képest, ezért a fémek sávos spektrum´ ahoz hasonl´ o sz´ınképet várunk. A bonyolultság miatt azonban kvantummechanikai soktestproblémaként nem tudjuk t´ argyalni a rendszer kialakuló (kvázi)stacionárius állapotait, amelyek közötti ´ atmenetekb˝ ol lesz azt´ an a sz´ınkép. Az el˝ obbi megk¨ ozel´ıtés helyett kiszemel¨ unk egy darab sugárz´ o atomot, vagy iont, és megr´ obáljuk a sug´ arz´ o atom, ion kölcsönhatását le´ırni a környezetével, majd a környezet lehetséges konfigur´ aci´ oira átlagolunk. A környezet kicsit perturb´ alja a j és m szinteket, amelyek között az átmenet lezajlik. Még ez a kölcsönhatás is igen bonyolult kvantummechanikai soktestproblémaként t´ argyalható, amelynek csup´ an közel´ıt˝ o megoldás´ aban reménykedhet¨ unk, mivel a környezetben lév˝ o elektronok, ionok mozognak is, teh´ at id˝ot˝ol f¨ ugg˝o potenci´ alis energiát jelentenek a sug´ arz´ o atom sz´ am´ ara. Kvantitat´ıv t´ argyaláshoz lehetne kiindul´ opont a (8.59) Schrödingeregyenlet, amelynek H ′ (r, t) tagj´ aban ez´ uttal az elektrom´ agneses sug´ arz´ ason k´ıv¨ ul van még egy P (r, t) potenci´ alis energia is, amely a sug´ arz´ o atom (ion) környezetében ny¨ uzsg˝o t¨ olt¨ ott és semleges részecskék hatásának ered˝oje. A probléma ilyetén t´ argyal´ asa el˝ ott is tornyosul a következ˝o nehézség. Ha kvantummechanikai t´ argyaláshoz ny´ ulunk, a perturb´ aló részecskék nem tekinthet˝ ok klasszikus p´ alyán mozgó részecskéknek, legal´ abbis akkor, amikor a sug´ arz´ o atomot olyannyira megk¨ ozel´ıtik, hogy a λ = h/p de Broglie-hull´ amhosszuk és a t´ avolságuk az atomt´ ol azonos nagys´ agrendbe esik. Ez asztrofizikai plazm´ akban nem is t´ ul ritka: (7.4) felhasznál´ asával a protonokra és elektronokra λp λe−

= h(2mp kT )−1/2 = 3.808 × 10−7 T −1/2 cm = 58.2T −1/2a0 3

= λp = 2.49 × 10 a0 T

−1/2

(9.22) (9.23)

T = 104 K esetén λe− ≈ 25a0 , a0 = 5.29−9 cm az els˝o Bohr sug´ ar. (A fehér t¨ orpék légköre a legs˝ ur˝ ubb, benne az atomok átlagos t´ avolsága 10λe− nagys´ agrendjébe esik.) Ilyenkor val´ oj´ aban egy kvantummechanikai soktestproblém´ aval állunk szemben, amelyet megoldva stacion´ arius állapotok sokaságát kapnánk, s az ezek közötti

110


a´tmenetek adnák a sz´ınképet. Ezen stacionárius állapotok a zavaratlan atom (ion) sz´ınképvonalai környékén igencsak megs˝ ur˝ usödnének, szinte helyesebb volna vonalak helyett egy véges félszélesség˝ u folytonos eloszlásról beszélni, ami tulajdonképpen a vonalprofil. Ez a fizikushoz ill˝o megk¨ ozel´ıtési mód b´ armennyire vonzó is, sajnos gyakorlatilag megoldhatatlan. Ezért egyszer˝ us´ıtett modellekhez kell folyamodnunk, amelyek köz¨ ul a leegyszer˝ us´ıtés két lehetséges p´ olusát most bemutatjuk. Kv´ azisztatikus vonalkisz´ elesed´ esi elm´ elet A kvázisztatikus, vagy tal´ an helyesebben a statisztikus vonalkiszélesedési elméletekben a sug´ arz´ o atom helyén a k¨ ulönb¨ oz˝o t´ avolságokban lév˝ o t¨ olt¨ ott perturb´ aló részecskék ´ altal keltett térer˝ osség eloszlását határozzuk meg. Nyilv´ anvaló, hogy csak az E elektromos térer˝ osséggel kell t¨ or˝odn¨ unk, mert alig mozognak a perturb´ al´ o részecskék ebben a képben, valamint a nemrelativisztikus sebességek miatt a (e/c)v × H Lorentz-er˝ o sokkal kisebb, mint a eE. Az elmélet nehézségi fokozatait az jelenti, hogy csak a legk¨ ozelebbi szomszéd hatásával foglalkozunk-e, vagy t´ avolabbi perturb´ al´ o részecskék hat´ as´ at is ¨ osszegezz¨ uk. A sug´ arz´ o atom helyén lev˝o elektromos tér az atomunk sz´ınképét módos´ıtja a (line´ aris, esetleg kvadratikus stb.) Stark-effektus által, a térer˝osség eloszlása adja meg a ∆Ej , ∆Em energiaperturb´ aci´ ok eloszlását, amib˝ol a ∆Em − ∆Ej = ¯h∆ω seg´ıtségével frekvenciaeltol´ odás eloszlása lesz. (A sug´ arz´ as pillanatszer˝ u, és az erre a pillanatra érvényes energiaperturb´ aci´ onak megfelel˝o frekvenciaeltol´ odással t¨ orténik — Frank–Condon-elvnek is nevezik ezt a kijelentést, érvényességi körének t´ argyalása jegyzet¨ unk kereteit meghaladja.) A kulcskérdések teh´ at a következ˝ok: • meg kell hat´ arozni azt a valósz´ın˝ uséget, amellyel az adott térer˝osség el˝ofordul (ez nyilván a t¨ olt¨ ott részecskék száms˝ ur˝ uségét˝ol f¨ ugg), • a térer˝ osség f¨ uggvényében az energiaperturb´ aci´ ot kell meghatároznunk, • majd képezni kell az ¨ osszes lehetséges térer˝osségre átlagolt vonalkiszélesedést, vonaleltol´ odást. Ezt az utat el˝osz¨ or J. Holtsmark vázolta 1919-ben. Azóta természetesen jelent˝ os fejl˝ odésen ment át ez az elméleti megk¨ ozel´ıtés, amelyet nem feladatunk vázolni. Az alapgondolat azonban ma is az itt vázolttal egyezik meg. ¨ oz´ Utk¨ esi vonalkisz´ elesed´ es elm´ elet Az u ¨tk¨ ozési vonalkiszélesedés elméletének alapjait H. A. Lorentz rakta le, majd kör¨ ulbel¨ ul 1940-re lett teljes az elmélet f˝oleg V. Weisskopf és E. Lindholm munk´ ai nyom´ an. Véges hossz´ uság´ u monokromatikus rezgésnek fogja fel az elmélet az atomok, ionok sug´ arz´ as´ at, és a kulcskérdés e rezgés hossz´ uságának megállap´ıtása. A lépések a következ˝o h´ arom mondatban foglalhat´ ok össze.


111

• A sug´ arz´ o atom egy R(t) t´ avolságban lév˝ o klasszikus p´ alyán haladó perturb´ aló részecske miatt ∆ω = C/Rp (9.24) körfrekvencia eltol´ odást szenved, p egy egész szám. • Ha képezz¨ uk az η=

Z

t2

∆ωdt

(9.25)

t1

f´ aziseltol´ odást, η = 2π-t felfoghatjuk u ´gy, mintha az atom egy teljesen u ´j rezgési ciklusba kezdett volna, tehát az atom sug´ arz´ asa t2 − t1 hossz´ uság´ u zavaratlan monokromatikus szinuszhull´ amokból áll. ´ • Atlagolunk a plazm´ an bel¨ uli összes lehetséges részecsketrajektóriára, vagyis k¨ ulönb¨ oz˝o hossz´ uság´ u vonulatok sokaságára, némi számol´ assal megmutathat´ o, hogy ez a vonalkiszélesedési mechanizmus Lorentz-profilra vezet, amint ezt sejtj¨ uk a 9.1.1. alfejezetben kapott eredmény alapján. Egyes´ıtett vonalkisz´ elesed´ esi elm´ elet Az eml´ıtett két lehetséges p´ olus között helyezkedik el az, amit az 1990-es évek óta a legmodernebb vonalkiszélesedési elméletnek tart a tudományos közvélemény: egyes´ıtett vonalkiszélesedési elmélet c´ımsz´ o alatt tal´ alhatók meg a k¨ ulönb¨ oz˝o változatai. A lényeges alapfeltevés, a továbblépés az el˝oz˝o két pont alatt tal´ alhatókhoz képest az, hogy az egy sug´ arz´ o atomra jutó átlagos térfogaton bel¨ ul tal´ alható perturb´ aló részecskék (elektronok, ionok, semleges atomok) hatását Monte Carlo szimuláci´ oval veszik figyelembe, s ezek a részecskék már mozoghatnak is, igaz, klasszikus p´ alyán.1 Eredménye az egyes´ıtett vonalkiszélesedési elméleteknek, hogy az ionok lehetséges mozg´ asa miatt a vonalprofil elmosódottabb, kevesebb részletet tartalmaz, mint a statisztikus és az u ¨tk¨ ozési elméletek alkalmazása, ha a statisztikus elméletet az ionokra, az u ¨tk¨ ozésit pedig az elektronokra alkalmazzuk. Ezek a viszonylag u ´jkelet˝ u eredmények sokkal jobb ¨ osszhangban vannak a laboratóriumi plazmaspektroszkópi´ aból és a csillagászati spektroszk´ opi´ aból származó k´ısérleti és megfigyelési eredményekkel: péld´ aul a Hβ vonal k´ısérletileg megmért, vagy csillagsz´ınképekben megfigyelt profilja sokkal sim´ abb, kevesebb szerkezetet tartalmaz, mint azt a statisztikus és az u ¨tk¨ ozési elmélet adja. Az egyes´ıtett elmélet keretei között siker¨ ult 1 Mint ismeretes, Monte Carlo egy j´ at´ ekbarlang sz´ ekhelye, ahol nagysz´ am´ u k´ıs´ erlet zajlik le a bank kifoszt´ as´ ara, minden egyes k´ıs´ erlet ugyan m´ as-m´ as, de ez mit sem v´ altoztat a statisztikusan megj´ osolhat´ o v´ egeredm´ enyen, nevezetesen, hogy a bank nem lesz kifosztva. A Monte Carlo szimul´ aci´ o azt´ an u ´gy j¨ on itt az asztrofizik´ aba, hogy a lehets´ eges r´ eszecskeeloszl´ asokat ´ es trajekt´ ori´ akat nagyon sok egyedi esetre kisz´ am´ıtj´ ak, s ebb˝ ol jobban lehet k¨ ovetkezteni a sug´ arz´ o atomot ´ er˝ o perturb´ aci´ ok ∆Ej , ∆Em eloszl´ as´ ara, mintha csak az elektronok mozg´ as´ at vessz¨ uk figyelembe az u ¨tk¨ oz´ esi vonalkisz´ elesed´ esi elm´ elet keretei k¨ oz¨ ott. Egy konkr´ et r´ eszecskeeloszl´ as, egy konkr´ et r´ eszecsketrajekt´ oria felel meg a bank egy kifoszt´ asi k´ıs´ erlet´ enek.

112


el˝osz¨ or olyan Hβ vonalprofilokat számolni, amelyek egész jól emlékeztetnek a megfigyelt profilokra. (A f˝ o diszkrepancia az volt, hogy az el˝obb eml´ıtett feltevésekkel számolva a Hβ profilnak kett˝ os cs´ ucsa volt, ezt siker¨ ult elt¨ untetni az egyes´ıtett elmélettel.)

9.1.5.

K¨ olcs¨ onhat´ asok a plazm´ an bel¨ ul

Központi kérdés minden vonalkiszélesedési elméletben ∆ω kisz´ am´ıtása, ami a plazm´ an bel¨ uli kölcs¨ onhatások mikroszkopikus tanulmányozásával végezhet˝o el, illetve alapozható meg kvantummechanika alkalmazásával. A részletekbe nem bocs´ atkozunk, csup´ an a következ˝o sorfejtéssel vázoljuk a kiindul´ opontot. Egy R t´ avolságban lev˝o Ze t¨ oltés˝ u részecske által keltett Coulombtérben az atommagt´ ol r ≪ R t´ avolságban lév˝ o elektron szám´ ara a potenci´ alis energia perturb´ aci´ oja ∞ r l Ze2 Ze2 X , P (cosθ) = l R R (R2 + r2 − 2rRcosθ)1/2

(9.26)

l=0

ahol θ az R és r közötti sz¨ og, Pl pedig az l-edik Legendre-polinom.2 Mivel P0 (cosθ) = 1 nyilvánval´ o, hogy a részecske által keltett energiaperturb´ aci´ o els˝o közel´ıtésben r ≪ R miatt egy Ze2 /R homogén tag. Ez minden energiaszintet egységesen tol el, ezért a megfigyelt sz´ınképre semmilyen hatást nem gyakorol. A második tag egy R ir´ any´ u Ze/R2 er˝ osség˝ u homogén elektromos mez˝obe helyezett elektron Ze2 z/R2 potenci´ alis energiája, ahol z = rcosθ. Ha a sug´ arz´ o atom koordináta-rendszerének z tengelyét R felé ir´ any´ıtjuk, megkapjuk a Stark-effektus tankönyvekb˝ ol is jól ismert t´ argyal´ asmódját F = Ze/R2 (9.27) térer˝ osséggel. A szakirodalomban alig tal´ alhatók olyan elméletek, amelyek (9.26)ben a másodikon t´ uli tagokat próbáln´ ak figyelembe venni. Ezek a tagok a sug´ arz´ o atomn´ al keltett perturb´ al´ o elektromos mikromez˝o g¨ orb¨ uletét ´ırj´ ak le: a vonalkiszélesedéshez nem sokat tennének hozz´ a, a vonaleltolódáshoz azonban lehetnek számottev˝ok is. Ha a perturb´ al´ o részecske semleges, (9.26)-hoz hasonl´ o egyszer˝ u formula nem ´ırhat´ o fel a kölcs¨ onhatásra. Ilyenkor a sug´ arz´ o atom és a perturb´ aló részecske polarizálja egym´ ast, s ez az R t´ avolságuk igen magas hatványával, legal´ abb R−6 szerint lecseng˝ o van der Waals-t´ıpus´ u kölcsönhatási energiára vezet. Bár voltak k´ısérletek a szakirodalomban az ilyen kölcs¨ onhatások kvantitat´ıv t´ argyalására molekulafizikai analógi´ ak, sz´ am´ıt´ asi módszerek felhasználával, a k´ısérletek mind megbuktak azon, hogy a vonalkiszélesedési elméletekhez a kölcsönhatási energiák R f¨ uggvényében 10−6 pontosan sz¨ ukségesek, s ez már igen egyszer˝ u elektronkonfiguráci´ oj´ u atomok esetén is szinte lehetetlen. 2 (9.26)

bal oldala a Legendre-polinomok gener´ atorf¨ uggv´ enye.


113

Most visszatér¨ unk (9.24)-h¨ oz, amelyben p = 2, 3, 4, 6 fontos asztrofizikai szempontból. Hangs´ ulyozni kell, hogy (9.24) a statisztikus vonalkiszélesedési elméletben is érvényes, legf¨ oljebb az itt id˝ot˝ol f¨ uggetlen R−p -t át kell szám´ıtani péld´ aul (9.26) alapj´ an térer˝ osségekbe. Az u ¨tk¨ ozési elmélet specifikuma a (9.25) fáziseltol´ odás bevezetésével kezd˝ odik. • p = 2 a lineáris Stark-effektus. Ha a Z1 t¨ olés˝ u mag Coulomb-potenci´ aljához (9.27)-t hozz´ aadjuk, a parabolikus koordinátákban fel´ırt Schrödinger-egyenlet, 1 Z1 ∆ + En1 n2 n3 + − F z ψ = 0, (9.28) 2 r hidrogénszer˝ u ionokra perturb´ aci´ osz´ am´ıtással megoldható. (Atomi egységekben – ¯h = 1, e = 1, me = 1 – ´ırtuk fel (9.28)-t.) Az energiasajátérték En1 n2 n3 = −

Z12 me e4 + ···, + ∆En(2) + ∆En(1) 1 n2 n3 1 n2 2¯ h2 n2

ahol = ∆En(1) 1 n2

3F n (n1 − n2 ), 2Z1

(9.29)

(9.30)

n1 , n2 az elektromos kvantumsz´ am. (A kapcsolat a jobban ismert kvantumsz´ amokhoz: a f˝ okvantumsz´ am n = n1 + n2 + |n3 | + 1, a mellékvantumsz´ am l = n2 + |n3 |, n3 a mágneses kvantumsz´ am.) (1)

u korrekció azért k¨ ulönb¨ ozik null´ atól, mert mag Z1 /r tiszta A ∆En1 n2 els˝orend˝ Coulomb-terében a szintek l szerint degeneráltak. Ebb˝ol következik, hogy csak a hidrogénszer˝ u ionok érzékenyek a lineáris Stark-effektusra, amely péld´ aul csillagok sz´ınképében a Balmer-vonalak kiszélesedéséért felel˝os. Mivel ∆En1 n2 = −∆En2 n1 a lineáris Stark effektus mindig szimmetrikus vonalprofilt hoz létre. F atomunk helyén az elektromos térer˝osség, (9.24)-ben (9.30) közvetlen¨ ul felhasználhat´ o: 3Ze ′ ′ [n (n1 − n′2 ) − n′′ (n′′1 − n′′2 )] (9.31) C= 2¯ hZ1 ahol a vonal a ′ és ′′ -vel megjelölt kvantumsz´ am´ u állapotok közötti átmenetb˝ ol sz´ armazik. Mivel sokféle ilyen átmenetb˝ ol tev˝odik össze egy Balmer-vonal, az n′ = 2-h¨ oz és n′′ -khöz tartozó állapotokat az átmeneti valósz´ın˝ uségek szerint s´ ulyozva mind figyelembe kell venni. • p = 3 azonos részecskék kölcsönhatásából származik, de (9.26) harmadik tagja is nyilvánval´ oan ilyen frekvenciaeltol´ odást hoz. Ez szimmetrikus vonalkiszélesedést okoz, ha a + és a − t¨ oltés˝ u részecskék ered˝o hatása a sug´ arz´ o atomra azonos. Vonaleltol´ odáshoz, aszimmetrikus vonalkiszélesedéshez akkor vezet, ha a + és a − t¨ oltés˝ u részecskék ered˝o hatása a sug´ arz´ o atomra nem azonos.


114

• p = 4 a kvadratikus Stark-effektust jelenti, ami hidrogénre a p = 2 kapcsán eml´ıtett perturb´ aci´ osz´ am´ıt´ as második közel´ıtése = −F 2 ∆En(2) 1 n2 n3 (1)

n 4 [17n2 − 3(n1 − n2 )2 − 9n23 + 19]. 2Z1

(9.32)

(2)

Szemben ∆En1 n2 -gyel ∆En1 n2 n3 nyilvánvalóan szimmetrikus n1 , n2 felcserélésére, u ´gyhogy ahol a kvadratikus Stark-effektus a hidrogén sz´ınképében sz´ ohoz jut, ott már feltétlen¨ ul fellép vonaleltolódás is. Ha ezt kirészletezz¨ uk, n1 , n2 , n3 < n miatt (9.32) alapján be lehet látni, hogy ez mindig vöröseltol´ odást eredményez, mert n¨ ovekv˝o n-nel (a Balmer-sorozat egyre magasabb (2) tagjai felé) a ∆En1 n2 n3 korrekció egyre negat´ıvabb. Fehér t¨ orpék légkörében akkora az elektronkoncentr´ aci´ o (az elektromos mikromez˝o átlagértéke az atom helyén), hogy ott ilyen plazmafizikai eredet˝ u vöröseltol´ odásra szám´ıtani kell, nagys´ agrendje 0, 01 nm, ami k¨ ulönben éppen megegyezik az e csillagok légkörében a nagy g miatti gravitáci´ os eredet˝ u vöröseltol´ odással, ezért a két hatás szétválasztása nem könny˝ u feladat. Mivel atomi egységekben F ≪ 1 a csillaglégkör plazm´ aj´ aban, a ∝ F 2 kvadratikus Stark-effektus kisebb vonalkiszélesedést okoz, mint a lineáris. Ezért van az, hogy a csillagsz´ınképeket a vizuális tartományban a Balmer-vonalak uralják, ha a h˝ omérséklet sem t´ ul kicsi, sem t´ ul nagy (T ≈ O(104 ) K), mert a hidrogén még nincs ioniz´ alva, de a gerjesztett állapotai már popul´ altak. A lineáris Stark-effektusra nem érzékeny atomokn´ al (péld´ aul a fémeknél, mert azok spektrum´ aban nincs degeneráci´ o l szerint) a kvadratikus Stark-effektus vezet a vonalak kiszélesedésére, ez azonban szerényebb. Nem hidrogénszer˝ u ionok Stark-effektus´ ara olyan formulák nem léteznek, mint (9.30) és (9.32), mindazon´ altal ha a valenciaelektron t´ avol van az atomt¨ orzst˝ol, (9.32) közel´ıtésre mindenképpen használhat´ o. Megjegyezz¨ uk még, hogy (9.26) negyedik tagja és (9.32) egyar´ ant ∝ R4 , de (9.26) negyedik tagja lineáris Z-ben, m´ıg (9.32) kvadratikus. Mint p = 3 kapcsán mondottuk már, a Z-ben lineáris tag vonaleltol´ odást, valamint aszimmetrikus vonalkiszélesedést akkor okoz, ha az ionok és az elektronok hat´ asa a sug´ arz´ o atomokra nem azonos. Egyel˝ore nincs olyan kvantitativ elméleti modell, ami err˝ol és a vonalkiszélesedésr˝ol számot adna, amely már nem volna feltétlen¨ ul szimmetrikus. • p = 6 a van der Waals-t´ıpus´ u kölcsönhatást jelenti, tehát semleges atomok közötti polariz´ aci´ os t´ıpus´ u kölcsönhatás. Hideg csillagok semleges atomoktól sz´ armazó gyenge vonalainak a kiszélesedéséért felel˝os ez. Olyan perturbat´ıv t´ argyal´ asa nincs a van der Waals-k¨ olcsönhatásnak, mint a Stark-effektusnak, ezért itt C ´ altal´ aban félemp´ırikus képletekkel határozható meg.


9.1.6.

115

A Voigt-f¨ uggv´ eny

A természetes és a nyom´ asi vonalkiszélesedés egyaránt Lorentz-profilra vezet, szokták ezt még diszperzi´ os profilnak is nevezni. Ha mindkét kiszéles´ıt˝o mechanizmus számottev˝o, profiljaik konvol´ uci´ oja adja az ered˝o profilt: Z ∞ Z ∞ γ1 γ2 dx L(x0 ) = L1 (x)L2 (x − x0 )dx = 2 2 2 2 −∞ −∞ (x + γ1 /4)[(x − x0 ) + γ2 /4] γ1 + γ2 = , (9.33) x20 + (γ1 + γ2 )2 /4 amint az a reziduumtétel alkalmazásával kisz´ am´ıtható. A k¨ ulönb¨ oz˝o vonalkiszélesedési mechanizmusokb´ ol sz´ armazó γ félszélességeket tehát össze kell adni. Az ´ıgy kapott profil konvol´ uci´ oj´ at kell azt´ an még képezni a h˝ omozg´ asb´ ol származó harangg¨ orbéb˝ol, hogy a tényleges vonalprofilokat kapjuk meg, amelyek már mind a h˝ omozg´ asról, mind az egyéb kiszéles´ıt˝o mechanizmusokról számot adnak. Ez utóbbi konvol´ uci´ oval kapjuk a Voigt-f¨ uggvényt: n o ∆ω 2 Z ∞ exp − ∆ω 2γ D . (9.34) d(∆ω) P (∆ω ′ ) = 3/2 (∆ω − ∆ω ′ )2 + (γ/2)2 π ∆ωD −∞ Kiszám´ıt´ asa numerikusan lehetséges, mivel egyre van normálva, az eredemény behelyettes´ıthet˝ o közvetlen¨ ul (8.57)-be, s ily módon megkaptuk a κν,at monokromatikus abszorpci´ os koefficienst egy sz´ınképvonalban. Nyilv´ anval´ o, hogy κν,at f¨ ugg T -t˝ol, a perturb´ aló részecskék száms˝ ur˝ uségét˝ol, tehát olyan fizikai mennyiségekt˝ ol, amelyek a csillag légkörében a τ optikai mélység f¨ uggvényei. Ezért a csillag fel¨ uletén az Fν (0) vonalprofil sok k¨ ulönb¨ oz˝o (9.34) t´ıpus´ u P (ω) szuperpoz´ıciója lesz (4.20) szerint.

9.1.7.

Rot´ aci´ os vonalkisz´ elesed´ es

A csillagászati sz´ınképek vonalkiszélesedésével kapcsolatban meg kell eml´ıteni a csillag rot´ aci´ oj´ anak hat´ as´ at, ami már Fν (0)-t átlagolja valamilyen kék-vörös eltol´ odással a csillag felénk fordul´ o hemiszféráj´ ara. Legyen a csillag középpontj´ aban az xyz deréksz¨ og˝ u koordináta-rendszer origója, z tengelye pedig ir´ anyuljon felénk, m´ıg az x′ y ′ z ′ koordináta-rendszer z ′ tengelye mutasson a csillag rot´ aci´ os tengelye felé, y ′ tengelye pedig legyen az xy s´ıkban, és essék egybe y-nal. Legyen a zz ′ szög i. Az R∗ sugar´ u, g¨ ombszimmetrikusnak feltételezett csillag egy pontj´ anak sebesssége ϕ˙ szögsebesség esetén x˙ ′ = R∗ ϕsinθsinϕ, ˙ y˙ ′ = R∗ ϕsinθcosϕ, ˙ z˙ ′ = 0.

(9.35)

Mivel csak x˙ ′ -nak van z ir´ any´ u komponense, csak ezzel kell t¨ or˝odn¨ unk az x′ y ′ z ′ koordin´ atarendszerbeli sebesség radiális sebességgé (z ir´ any´ u sebességgé) transzformál´ asa során: z˙ = x˙ ′ sini + z˙ ′ cosi = R∗ ϕsinθsinϕsini ˙ = veq sinisinθsinϕ.

(9.36)

116


Ebb˝ol nyilvánval´ o, hogy a rot´ aci´ o által módos´ıtott sz´ınképb˝ol csak veq sini határozható meg, u ´gy hogy a csillag felénk forduló hemiszféráj´ ara vessz¨ uk azokat a (θ, ϕ) tartom´ anyokat, amelyekben z˙ konstansnak tekinthet˝ o, s ∆ν/ν = z/c-vel ˙ eltoljuk Fν (0)-t, majd ´ atlagolunk a tartományokra. Az u ´j profil is szimmetrikus marad, ha Fν (0) az volt: veq sini 6= 0 a vonalakat kiszéles´ıti, a vonal magját laposabbá teszi, ezért könny˝ u felismerni. A rot´ aci´ o hatásának kvantitat´ıv részletezése meghaladja jegyzet¨ unk kereteit. Az itteni megfontol´ as csak nem t´ ul gyors rot´ aci´ o esetén érvényes. A nagyon gyors rot´ aci´ o ugyanis torz´ıtja Fν (0)-t olyanform´ an, hogy a csillag egyenl´ıt˝oje felé haladva a légkör h˝ omérséklete sz´ amottev˝oen csökken, amihez természetesen a ϑ polárszögt˝ ol f¨ ugg˝ oen nagyon k¨ ulönb¨ oz˝o Fν (0) tartozhat. Te -t (2.47) alapj´ a n az eg´ e sz csillagra R∞ lehet csak definiálni, ezért pontos fogalmaz´ as az, hogy az 0 Fν (0, ϑ)dν = aT 4 (ϑ) összef¨ uggésben az effekt´ıv h˝ omérsékletnek megfelel˝o T (ϑ) változik. Péld´ aul a Vega poláris és egyenl´ıt˝ oi ter¨ uletei között T (ϑ = 0) ≈ 104 → T (ϑ = π/2) ≈ 8 × 103 K a csökkenés. Ugyanakkor figyelemre mélt´ o, hogy a Te ≈ 9650 K, log g ≈ 3.95 ATLAS modell meglep˝oen j´ ol adja vissza Fλ (0)-t, amint ez a 3.2. ábr´ an jól látszik. A XXI. sz´ azad eleje ´ ota interferometrikus u ´ton siker¨ ult felbontani néhány csillagot korongg´ a. Az Achernar (α Eri) volt az els˝o, azóta t¨ obb korai sz´ınképt´ıpus´ u csillagot is siker¨ ult tal´ alni, amelyek olyan gyorsan forognak, hogy a szétszakadási határon vannak, teh´ at veq ≈ 200 km s−1 , vagy még t¨ obb, amiért alakjuk korong helyett forg´ asi ellipszoid.3

3 Sz´ amp´ elda: a centrifug´ alis gyorsul´ as cgs egys´ egekben 106 km sugar´ u csillagra v2 /R = 4 × 1014 /1011 , teh´ at loggcentrifugális ≈ 3.6. Ez az ´ ert´ ek egy f˝ osorozati, vagy szub´ ori´ as csillag log GM/R2 ≈ 3.5 − 4.5 l´ egk¨ ori sztatikus neh´ ezs´ egi gyorsul´ as´ aval azonos nagys´ agrendbe esik.

10. fejezet

´ CSILLAGSZÍNKEPEK ´ ´ ´ KIERT EKEL ESE A monokromatikus sug´ arz´ asi egyens´ uly feltevésével kiszám´ıtottuk a csillagunk légkörét elhagyó monokromatikus fluxust – l. (4.20), – majd megismerkedt¨ unk azzal, hogy mi mindenre van sz¨ ukség (4.20) kisz´ am´ıtásához. Ez a fluxus jelenik meg t´ avcsöv¨ unk fókuszs´ıkj´ aban (r¨ ogz´ıthet˝ o t¨ obbféle módon), s ebb˝ol kell kihámoznunk a (4.20) értékét befoly´ asol´ o mennyiségeket, csillaglégkör¨ unk modelljének paramétereit. A munka hatékony elvégzésére vannak k¨ ulönb¨ oz˝o gyakorlati eljárások, ezeket röviden vázoljuk ebben a fejezetben, s p´ ar szót szólunk vég¨ ul az alkalmazásukkal kapott eredményekr˝ol is. Az elj´ ar´ asok, gyakorlati receptek h´ arom lépcs˝oje a következ˝o. • El˝ osz¨ or foglalkozni kell a kontinuummal, vagyis Fλ (0) által´ anos menetével, ebb˝ol meg kell becs¨ ulni a légkörmodell f˝o paramétereit – Te , g, fémesség. • A f˝ o paraméterek birtok´ aban következhet a durva anal´ızis, amely már a vonalakkal foglalkozik, azoknak f˝oleg az ekvivalens szélességét használja. A légkörmodell f˝ o paramétereinek pontos´ıtása is része ennek a lépcs˝ofoknak. Az ´ atlagos fémesség helyett itt már közel´ıt˝o informáci´ ot lehet kapni az egyes kémiai elemek légköri gyakoris´ agáról. • A finom anal´ızis a vonalprofilok reproduk´ alásával finom´ıtja a durva anal´ızisb˝ ol kapott modellparamétereket, elemgyakoris´ agokat. Lehet˝ové teszi egyéb fizikai mennyiségek meghatározás´ at, mint péld´ aul oszcillátor er˝osségek, vonalkiszélesedéshez kapcsol´ odó paraméterek, valamint rot´ aci´ o, foltosság, mágnesesség stb. meghatározását. ¨ Osszefoglal´ oan spektrum szintézisnek is nevezik néha a szakirodalomban az itt vázolt elj´ ar´ ast, mert az elmélet bemen˝o paramétereinek variálásával mintegy szintetiz´ ajuk a megfigyelésekkel ¨ osszevethet˝o sz´ınképet. 117

118

10.1.

´ ´ EKEL ´ ´ FEJEZET 10. CSILLAGSZÍNKEPEK KIERT ESE

Az ATLAS l´ egk¨ ormodellek

A csillaglégkör¨ ok modellezése gépi nagyiparr´ a vált, ahogy ennek t¨ orténetét átfutjuk megértj¨ uk azt is, ami ma a ter¨ uleten a cs´ ucs, a non plus ultra: az ATLAS modellcsaládot.

A kiindul´ as a sz¨ urke modell, amelynek a h˝ omérsékletét addig kell korrigálni, m´ıg a modell a k´ıv´ ant mértékben konstans fluxus´ u nem lesz. A XX. század hatvanas éveiben a k-sz, sz-sz ´ atmeneteket tudt´ ak csak bevonni a szám´ıtásokba, tehát a hidrogén, a H− , He, esetleg a fémek kontinuum´ at. A hetvenes években a szám´ıtástechnika rohamos fejl˝ odése lehet˝ ové tette a Balmer-vonalak bevonását is, amit˝ ol a korrigált T (τ ) meredekebb lett. Az 1980-as évek fejl˝odése pedig már a sokmillió gyenge vonal figyelembevételét is lehet˝ ové tette. R. L. Kurucz ATLAS modellcsaládja futotta végig ezt az utat, az ezredfordul´ ora a 9. generáci´ o is meglett az ATLAS modellekb˝ ol, illetve a kiterjesztések, a NEXTGEN modellcsalád. Nemcsak a sugárz´ as áramlását t´ argyalj´ ak e modellcsaládok, hanem természetesen a konvekt´ıv fluxust is figyelembe veszik, ami a mélyebb rétegekben lehet számottev˝o. Egy modell végs˝ o soron olyan rétegz˝ odések megad´ as´ at jelenti, amilyeneket a 10.1. ábrán látunk, valamint az egyes modellekb˝ ol felj¨ ov˝ o spektrumot, Fλ -t.

´ ¨ 10.1. AZ ATLAS LEGK ORMODELLEK

119

T [K]

log X [cm] 9.5

-22

9 -23

8.5 8

-24

7.5 7

-25 -4

-2

0

2

-4

-2

0

2

1

5

0

4

-1

3

-2

2

-10

-3

1

-12

-4

-2

0

2

-4

-2

0

2

-4

-2

0

2

-4

-2

0

2

-6 -8

-4

-2

0

2

5 -8

1

4

-9

3

-10

2

0 -1

1 -11 -4

-2

0

2

-4

-2

0

2

10.1.´ abra. A Vega légk¨ ormodelljének fizikai jellemz˝ oi. (Te = 9650K, logg = 3.95.) X: geometriai mélység, m: oszlops˝ ur˝ uség, Prad a sug´ arnyom´ as. Az ilyen és a hasonl´ o diagramokr´ ol leolvasható, hogy n¨ ovekv˝o Te -vel n˝ o a légkör vastagsága, a Napé kb. 107,7 cm ≈ 400km mélységben válik optikailag vastaggá, m´ıg a kb. A0V sz´ınképosztálynak megfelel˝o modell pedig 108,5 cm ≈ 3000km mélységben. L´ atnival´ o, hogy a Rosseland-féle κ n¨ ovekszik τ -val. A föls˝o sor középs˝ o diagramj´ an a szaggatott vonal egy sz¨ urke modell h˝ omérséklet rétegz˝odése (5.16) szerint. L´ atnival´ o, hogy a konstans fluxus´ u és a sz¨ urke modell közötti korrekció, amit az 5.5. szakaszban vázoltunk, csup´ an a 0 ≤ τ ≈ 0, 01 tartományban jelent˝ os. A log m − τ diagramb´ ol látszik, hogy a modell ott válik optikailag vastaggá, ahol az oszlops˝ ur˝ uség kb. 0, 3gcm−2 lesz. Ez az érték nagyjából ennyi más modellekre is. A sug´ arnyom´ as a legk¨ uls˝ o tartományban meghaladja a g´ aznyom´ ast. 2 ρ ≈ 12.56 × (6.95 × 1010)2 × Fontos megjegyz´ es. A Nap légkörének t¨ omege 4πR⊙

120


0.3g = 1.82 × 1022 g, ami ≈ 10−11 -ed része a Nap t¨ omegének. M´ as csillagokra is hasonló ar´ anyok ´ allnak fenn, teh´ at a légkör elenyész˝ oen csekély h´ anyadát adja egy csillag t¨ omegének. Ezt sosem szabad elfelejteni, amikor a csillagok, vagy éppen az Univerzum kémiai ¨ osszetételér˝ ol beszél¨ unk a csillagászati spektroszk´ opia eredményeib˝ ol kiindulva. Modellezést elméleti szempontból összegezve mondhatjuk, hogy a radiat´ıv és a konvekt´ıv energiatranszport kérdése nagyjából le van z´ arva, tudjuk azt, ami egy csillag légkörében a h˝ omérséklet stb. rétegz˝odésének kisz´ am´ıtásához kell. A keveredési hosszal pedig siker¨ ult egy olyan paramétert tal´ alni, amelynek megfelel˝o értékre ´ all´ıt´ as´ aval a konvekci´ o jobb megismerése esetén is az u ´j tudás a modellekbe beép´ıthet˝ o lhesz.

10.1.1.

A vonalas sz´ınk´ ep

A vonalas sz´ınkép értelmezéséhez az oszcillátorer˝osségek és f˝oleg a vonalkiszélesedési elméletek ter¨ uletén még vannak fehér foltok. El kell d¨ onten¨ unk, hogy milyen vonalkiszélesedési elméletet akarunk használni, meg kell tudnunk az irodalomb´ ol a kisz´ am´ıtandó vonalakhoz tartozó gj fjm értékeket, s ezut´ an lehet szó a Schwarzschildféle integrodiffereci´ al-egyenlet megoldásáról, ami a vonalon bel¨ uli Fλ -t fogja megadni, ha Sν izotrop (4.20) szerint. A vonalas sz´ınkép kisz´ am´ıt´ asa, legal´ abbis els˝o közel´ıtésben u ´gy t¨ orténik, hogy a (konstans fluxus´ u) légkörmodell T (τRoss ), ̺(τRoss ) rétegz˝odésének birtokában ismerj¨ uk a κλ (τRoss ) értékét minden τRoss optikai mélységben, amib˝ol dτλ = κλ dx és dτRoss = κRoss dx h´ anyadosából integrálással adódik, hogy Z κλ τλ = dτRoss . (10.1) κRoss A forrásf¨ uggvénynek vessz¨ uk a Planck-f¨ uggvényt a megfelel˝o λ hull´ amhosszon, és az integrál´ as hat´ arainak megfelel˝o be´ all´ıtásával (10.1)-ben máris megvannak a (4.22) szumma tagjai, teh´ at Fλ (0) 1-2% pontosan. Ez a lépés elvégezhet˝o b´ armilyen, tehát nem csak ATLAS modellekb˝ ol sz´ armazó T (τRoss ), ̺(τRoss ) rétegz˝odésekkel. A XXI. sz´ azad elején már elérhet˝ok olyan programok, f˝oleg az ATLAS légkörmodellekhez kapcsol´ odóan, amelyek ezt a legutolsó lépést is automatizálják, de a felhasznál´ onak akkor is illik tudnia a bemen˝o elméleti h´ atteret, hogy meg tudja majd válaszolni a program kérdéseit. Példa gyanánt csak egy fontos kérdést eml´ıt¨ unk: a 9. fejezetben vázolt vonalkiszélesedési elméletek köz¨ ul melyiket is használja a program, mert ezek igen k¨ ulönb¨ oz˝o eredményekre, vonalon bel¨ uli Fλ -ra vezethetnek. (Péld´ aul a Balmer vonalak ekvivalens szélességében ak´ ar kettes faktor is lehet a k¨ ulönbség.) A vonalas sz´ınképben az eligazod´ as a Walter Grotrian német fizikusr´ ol elnevezett Grotrian-diagram ad seg´ıtséget. V´ızszintes tengelyén az elem egy spektrum´ an (egy ioniz´ aci´ os fok´ an) bel¨ ul az impulzusmomentum lehetséges értékei vannak, a f¨ ugg˝ olegesen pedig energiaszintek. A lehetséges megengedett és tiltott átmeneteket

´ ´ ANY ´ ´ ´ 10.2. CSILLAGSZÍNKEPEK NEH SAJATOSS AGA

121

k¨ ulönb¨ oz˝o nyilak jelzik. Az ¨ osszimpulzusmomentum 0, 1, 2, 3, 4,... értékét a spektroszk´ opi´ aból ismert S, P, D, F, G,... bet˝ uk jelzik.1 Egy-egy kémiai elem jelenlétét a légkörben akkor vehetj¨ uk bizonyosnak, ha a Grotrian-diagram alapján várhat´ o¨ osszes vonala megvan a sz´ınképben. A vonalak azonos´ıtását megk¨ onny´ıti a Charlotte E. Moore ´ altal szerkesztett A Multiplet Table of Astrophysical Interest2 t´ abl´ azat, amely tartalmazza a kémiai elem vegyjelét, római számmal azt, hogy h´ anyadik spektrum´ aból ered a vonal, a Moore-féle multipletsz´ amot és egy emp´ırikus intenzit´ ast. A jelent˝ osen kib˝ov´ıtett t´ abl´ azat manapság is használatos, f˝oleg sz´ am´ıt´ ogépre vitt formában. Szemléltetés¨ ul a ... ´ abra a hidrogén és a hélium Grotrian-diagramja.

10.2.

Csillagsz´ınk´ epek n´ eh´ any saj´ atoss´ aga

Néhány ´ abra seg´ıtségével bemutatunk p´ ar jellegzetességet a csillagok sz´ınképér˝ol. Fotometri´ aval a csillagot elhagyó monokromatikus fluxust integráljuk a hull´ amhossz egy nagyobb tartom´ anyára, ezért a csillaglégkör globális paramétereinek tanulmányz´ asára alkalmas eszk¨ ozt a fotometria. A vonalas sz´ınkép a légkör finom szerkezetér˝ol, kémiai ¨ osszetételr˝ ol ad részletes informáci´ ot.

10.2.1.

Fotometri´ ab´ ol nyerhet˝ o inform´ aci´ ok

A fotometri´ aból nyerhet˝ o informáci´ okat a Johnson-Kron-Cousins U BV (RI)C fotometria kapcs´ an vil´ ag´ıtjuk meg, de az itt megfogalmazott áll´ıtások átvihet˝ ok más fotometriai rendszerekre is, amelyekben a magnitud´ o és sz´ınsk´ ala zéruspontjai ismeretesek. Miel˝ott elhelyezz¨ uk csillagunk sz´ınindexeit a kétsz´ındiagramokon az intersztell´ aris vörös¨ odést ki kell reduk´ alni, mert a csillag valódi sz´ıneit torz´ıtja a vösösödés, ha van. Erre az U BV (RI)C rendszerben a legkézenfekv˝ obb els˝o közel´ıtés a Tej´ utrendszeren bel¨ ul megfigyelt t¨ orvényeket használni3 : 3.1E(B − V )

(10.2)

E(U − B) = E(V − RC ) =

0.75E(B − V ) 0.57E(B − V )

(10.3) (10.4)

E(V − IC ) =

1.24E(B − V ),

(10.5)

AV

=

ahol E(B − V ) = (B − V ) − (B − V )0 definiálja a sz´ınexcesszust, vagyis B − V ben a (B − V )0 sz´ınindexet figyelnénk meg, ha nem volna vörösödés csillagunk felé. A (10.2-10.5) formulákat a Rayleigh-szórás (8.48) szórási keresztmetszetéb˝ol 1 A bet˝ uk a ’sharp, scharf’, ’principal, prinzipal’, ’diffuse diffus’ angol, n´ emet szavak spektroszk´ opi´ aban szok´ asos r¨ ovid´ıt´ esei. 2 Contributions from the Princeton University Observatory No. 20, 1945 3 forr´ as: ApJ 354, 273, 1991


122

elméletileg is meg lehet alapozni. A formulák egyben megadj´ ak azt is, hogyan tol´ odnak el egy csillag sz´ınindexei egy olyan kétsz´ındiagramon, amilyen a 10.2. ábr´ an látható. A (10.2)-)10.5) ¨ osszef¨ uggések˝ ol elimin´ alva E(B − V )-t vörösödést˝ ol f¨ uggetlen hibrid sz´ınindexek is képezhet˝ok, péld´ aul 0.75 0.57 (V − RC ) 0.75 (U − B) − 1.24 (V − IC ) 1 (V − RC ) (B − V ) − 0.57

(U − B) −

= (U − B)0 − = (U − B)0 − = (B − V )0 −

0.75 0.57 (V 0.75 1.24 (V 1 0.57 (V

− RC )0

(10.6)

− IC )0

(10.7)

− RC )0 .

(10.8)

Ezek a sz´ınindexek a Wesenheit-f¨ uggvény4 által´ anos´ıtásai. Természetesen más galaxisokban lehetnek (10.2-10.5) egy¨ utthatói kicsit k¨ ulönb¨ oz˝oek, amint erre megfigyelések utalnak. Ezért a Tej´ utrendszeren bel¨ uli és egy másik galaxisbeli látóirány´ u vör¨ oseltol´ odás hatását összegezni kell, hogy vég¨ ul megkapjuk egy extragalaktikus csillag val´ odi szineit. Kicsit nagyobb pontossággal pedig u ´ gy vehet˝ o figyelembe a vör¨ os¨ odés, ha az intersztell´ aris anyag monokromatikus abszorpciós koefficiensével reduk´ aljuk a megfigyelt sz´ıneket, de erre a (10.2-10.5)-hez képest csekély korrekci´ ora ´ altal´ aban nincs sz¨ ukség.

10.2.2.

Te , log g ´ es az [M] l´ egk¨ ori f´ emtartalom

A Balmer-vonalak ¨ osszeolvadás´ anak környéke és a Balmer-ugr´ as a Johnson-féle U sávba esik. Az U − B sz´ınindex méri ezt az ugr´ ast is: minél negat´ıvabb, annál kisebb a Balmer-ugr´ as. Ez a (3.3)-ban eml´ıtett U0 zéruspont megv´ alasztása és a magnitud´ oskála − el˝ ojele miatt van. A reláci´ o azonban nem egyérték˝ u f¨ uggvény a Balmer-ugr´ as nagys´ aga és az U − B között, mert a csillag légkörében jelenlév˝ o fémek vonalai is nagy sz´ amban vannak jelen az U sávon bel¨ ul. Sok f˝ osorozati csillag sz´ınképének analizálásával lesz˝ urhet˝o az, hogy minél negat´ıvabb az U − B, annál nagyobb a csillag légkörében a fémhiány — a hiányzó fémvonalak miatt mélyebbre látunk a csillag légkörébe, tehát a forróbb tartományokat is látjuk, ami ultraibolya excesszusra vezet. Hasonló korreláci´ o, hogy n¨ ovekv˝o log g-vel U − B egyre negat´ıvabb lesz, mert nagyobb g nagyobb elektronnyom´ assal jár, ez pedig az ioniz´ aci´ o ellen dolgozik, teh´ at κν -t csökkenti 3646 ˚ A-ön t´ ul az ultraibolya tartományban. Mivel 20000 K f¨ ol¨ ott alig van már ioniz´ alatlan hidrogén csillagunk légkörében, Te n¨ ovekedésével is csökken a Balmer-ugr´ as nagys´ aga, tehát n˝ o az ultraibolya fényesség, U − B egyre negat´ıvabb lesz. Szélesszáv´ u fotometriába a Balmervonalak sem adnak sz´ azad magnit´ ud´ onál sokkal t¨ obbet, ezért a Balmer-vonalak er˝ossége a B sz´ınt, az U − B sz´ınindexet alig befoly´ asolja. ˚ ˚ A Paschen-kontinuum (3646A < λ < 8203A) a Johnson-féle B, V és kisebb mértékben a Kron-Cousins-féle RC , IC sz´ınekbe esik bele, ezért a B −V, V −RC , V − 4 A Wesenheit-f¨ ugv´ enyt B. F. Madore vezette be (Royal Greenwich Obs. Bulletin No. 182, 153. o., 1976) δ Cep csillagok intersztell´ aris v¨ or¨ os¨ od´ est˝ ol f¨ uggetlen f´ enyess´ eg´ enek a meghat´ aroz´ as´ ara.


123

IC sz´ınindexek alapj´ an a 6000-10000 K fokos tartományban Te viszonylag jól megbecs¨ ulhet˝o, mert a log g értékét˝ol csak kissé f¨ ugg. Valamelyest ez már sejthet˝o volt a Wien-féle eltol´ odási t¨ orvényb˝ ol is, mert e sávokba abszorpciós k¨ usz¨ ob nem esik, s csup´ an a kontinuum hull´ amhossz f¨ uggvényében lassan változ´ o κν -je módos´ıtja Sν ≈ Bν -t, ami csak a h˝ omérséklett˝ol f¨ ugg. Ha légkörmodell¨ unk figyelembe veszi a héliumnál nehezebb elemek számos gyenge vonalát azok nyilván módos´ıthatják kontinuum frekvenciaf¨ uggését az [M ] légköri fémtartalomról f¨ ugg˝ oen. Err˝ol a légköri paraméterr˝ ol kés˝obb még szólunk. Az itt röviden vázolt saj´ atoss´ agok alapján lehet tal´ alni bizonyos fotometriai sz´ınindexekben is megnyilvánuló o¨sszef¨ uggéseket, amelyek a tém´ aval foglalkozó számára természetes dolgok. Ezek köz¨ ul felvázolunk most néhányat, de ne feledj¨ uk el, hogy a szabályszer˝ uségek természetesen módosulnak, ha péld´ aul a csillag légköri elemgyakoris´ agai k¨ ulönlegesek, vagy akkor is, ha a légkör nagyon k¨ ulönleges. Egyáltal´ an nem alkalmazhatók, ha péld´ aul egy kvazárt összetéveszt¨ unk egy csillaggal. Ugyanakkor ha meggondoljuk, hogy egy galaxis olyan csillagokból áll, amelyek Fλ fluxusait összegezni kell, egy t´ avoli galaxis sz´ınindexei is mondanak valamit csillagair´ ol, ha a vöröseltol´ odást figyelembe vessz¨ uk. A 10.2 ´ abra vil´ ag´ıtja meg az U BV (RI)C fotometria használatát Te , log g és egyéb paraméterek meghatározására a Kurucz-féle légkörmodellek alapján. A bal alsó ´ abr´ an láthatjuk, hogy a szaggatott vonalak – a Te (log g) – f¨ uggvények a B − V, B − RC , B − IC , V − RC , V − IC , R − IC sz´ınindexekb˝ ol nagyjából egy¨ utt futnak, de log g értékét˝ol f¨ ugg˝ oen Te = 6100, de 6400 K is lehet. A jobb oldali ábr´ an a hibás fémesség miatt a Te (log g) f¨ uggvények eltérése elfogadhatatlanul nagy. Fontos megjegyezni azt, ami az ábr´ aból is egyértelm˝ u, hogy sz´ınindex p´ arost kell használnunk egy (Te , log g) p´ aros meghatározásához, tehát által´ anosan megfogalmazva egy [(U − B), (B − V )] ↔[M],E(B−V ) (Te , log g) (10.9) t´ıpus´ u megfeleltetést használunk, rögz´ıtett [M ] és E(B−V ) mellett. U BV (RI)C fotometriában 4 egym´ ol f¨ uggetlen sz´ınindexet tudunk képezni, ezek másodosztály´ u ast´ kombin´ aci´ oj´ aból 42 = 6 f¨ uggetlen (Te , log g) értékhez juthatunk ´ıgy, amelyek szórása fontos indik´ atora fotometriai eredményeink megb´ızhatóságának, illetve annak, hogy a csillag légköre val´ oban le´ırhat´ o-e a vásztott modellcsaláddal. A konvencion´ alis [(U −B), (B −V )] stb. p´ aros mellett más alkalmasan választott sz´ınindex p´ arosokat is használhatunk, csak egy példaként álljon itt az [(U − 2B + V ), (B − V )] p´ aros, amelynek els˝o tagját a Str¨ omgren uvby fotometria u − 2v + b gravitáci´ os indexe alapj´ an definiáltuk. A (10.9) megfeleltetés konkrét alakja természetesen más-m´ as lesz, ha a Kurucz-légkormodellek k¨ ulönb¨ oz˝o verzióit használjuk, ha a vör¨ os¨ odött sz´ınindexeket használjuk, vagypedig egy más modellcsaládot. Megjegyezz¨ uk, hogy az ´ altal´ aban kivételes eset, amikor egyetlen (j´ ol megv´ asztott) sz´ınindex jó értéket ad a csillaglégkör egy paraméterére, péld´ aul Te -re. A Wesenheit-f¨ uggvények(10.6)-(10.8) által´ anos´ıtásával (illetve további hasonl´ o reláci´ ok konstru´ al´ as´ aval) a fémesség és E(B − V ) fotometriai meghatározása elvileg


124

szétvásztható két lépcs˝ ofokra: el˝ osz¨ or meg lehet kapni a fémességet az intersztell´ aris vörös¨ odést˝ ol f¨ uggetlen¨ ul, és utána jöhet a vörösödés. -0.4

-0.4

-0.2

-0.2

0

0

0.2

0.2

0.4

0.4

-0.2 U-I 9000

0

0.2

U-V

U-B

0.4 U-R

0.6

0.8

-0.2

U-2B+V

U-I 9000

8000

8000

7000

7000

6000

6000

5000

5000 2

4

6

0

0.2

U-V

2

U-B

0.4 U-R

0.6

0.8

U-2B+V

4

6

10.2. ´ abra. A v¨ or¨ os¨ odés nélk¨ uli, teh´ at E(B − V ) = 0-hoz tartoz´ o [(U − B)-(B − V )] kétsz´ın diagram a szol´ aris kémiai ¨ osszetételre -(a)- és a szol´ arishoz képest 100szoros fémhi´ anyra -(b). Az (a), (b) ´ abr´ akban a sz´ınindexek E(B − V ) = 0.1 magnitud´ onak megfelel˝ o eltol´ od´ as´ at jelzi a ny´ıl a bal als´ o sarokban. Szaggatott vonalak az (a) és (b) ´ abr´ an jobbr´ ol balra: a Te = 6000, 8000, 10000K, vonalak alulr´ ol f¨ olfelé: g = 102 , 103 , 104 , 105 cms−2 . Négyzet és k¨ or: a Vega és a SAO 073957 csillag helye a kétsz´ındiagramon. Az als´ o két ´ abra az U BV (RI)C rendszerben lehetséges Te (log g) f¨ uggvényeket ´ abr´ azolja a SAO 073957 U − B, ..., R − IC sz´ınindexeihez. A kih´ uzott vonalak az U -t is tartalmaz´ o sz´ınindexekhez tartoz´ o Te (log g) f¨ uggvények, a szaggatottak pedig a BV (RI)C magnitud´ ok kombin´ aci´ oib´ ol képezhet˝ o sz´ınindexek. 10.2. alsó két ´ abr´ aj´ at u ´gy kaptuk, hogy a 10.2.a,b ábr´ akban áll´ıtottunk egy


125

v´ızszintes, illetve f¨ ugg˝ oleges egyenest a körön kereszt¨ ul a SAO 073957 sz´ınindexeihez, és az ezek mentén lev˝o log g, Te értékeket ´ırtuk a v´ızszintes és f¨ ugg˝oleges tengelyre. Tett¨ uk ezt nemcsak az (U − B)-(B − V ), hanem az összes lehetséges egyéb kétsz´ındiagramb´ ol (teh´ at az [(U −V )-(V −RC )], stb diagramokból) származó Te (log g) f¨ uggvényekkel. Ilym´ odon kaptuk meg valamennyi sz´ınindexhez tartozó lehetséges Te , illetve log g értékeket, a Te (log g) f¨ uggvényeket. A bal oldali a helyes, a jobb oldali egy helytelen fémességhez tartozó Te (log g) f¨ uggvényeket ábr´ azolja. Nyilvánval´ o, hogy ezekb˝ ol a légköri fémesség becs¨ ulhet˝o meg els˝o közel´ıtésben: ha ugyanis rossz [M ]-t tett¨ unk fel a k¨ ulönb¨ oz˝o sz´ınindex p´ arosokb´ ol kapott (log g, Te ) p´ arosok nem fognak egyezni. M´ asik fontos következtetés, hogy log g-t csak akkor tudunk meghatározni az a´br´ ak 6000 < Te < 10000 K, 2 < log g < 5 tartományában, ha U -t is tartalmazó sz´ınindexet használunk. Csupán BV (RI)C sz´ınekb˝ ol képezett sz´ınindexek nem tartalmaznak elegend˝o informáci´ ot log g meghatározásához, mert nagyjából egy¨ utt futnak a Te (log g) f¨ uggvények, és metszéspontjuk, ha egyáltal´ an van, ak´ ar logg = 2-h¨ oz vagy éppen 5-h¨ oz esik a sz´ınindexek néhány ezrelékes változ´ asától. Az ´ abr´ aban szerepl˝ o SAO 073957 csillag fotometriai adatai: V = 8.909 U − B = 0.116, B − V = 0.561 V − RC = 0.328, V − IC = 0.629, valamint az ezekb˝ ol leszármaztatott légköri paraméterei: Te = 6465 ± 10K, log g = 4.80 ± .10 [M] = 0.4, E(B − V ) = 0.02. Te és log g kicsi szórása mutatja, hogy a feltételezett [M] = 0.4, E(B − V ) = 0.02 helyes. Ha nem siker¨ ul egy csillag megfigyelt sz´ınindexeib˝ ol elegend˝oen kicsi hib´ aval megkapni log g-t és Te -t az azt jelentheti, hogy a Kuruczmodellek sz´ amos feltevése köz¨ ul egy vagy t¨ obb nem teljes¨ ul csillagunk légkörében, de azt is jelentheti ak´ ar, hogy a bemen˝o sz´ınindexek köz¨ ul egy vagy t¨ obb hibás. A közepes sávszélesség˝ u fotometriák seg´ıtségével Te mellett log g és az [M ] fémgyakoris´ ag viszonylag j´ ol megbecs¨ ulhet˝o a már eml´ıtett korreláci´ ok alapján. Példaként ´ alljon itt a Str¨ omgren-féle uvby fotometria gravitáci´ os és fémességi indexe: u − v − (v − b) = u − 2v + b, b − 2v + y. Ez utóbbi azt használja ki, hogy a fémek vonalai a v, b sávba esnek, egyfajta globális fémtartalomra utal ez az index. A fémesség vonatkozás´ aban másik jó példa a K vonalra és a Hβ vonalra sz˝ uk´ıtett keskenys´ av´ u fotometria, szintén a Str¨ omgren-fotometria keretei között: a Ca gyakorisága megbecs¨ ulhet˝o egy csillag légkörében. Mint a 10.3,5. ábr´ akb´ ol látszik, a H és K vonal az A sz´ınképosztályban igen er˝os. Mivel a fémek gyakoris´ aga, mint azt a 10.4. szakaszban részletezni fogjuk, nem f¨ uggetlen egym´ ast´ ol, ez az adat arra is utalást ad, hogy kör¨ ulbel¨ ul mennyi a t¨ obbi fém gyakoris´ aga, vagyis a globális fémtartalom. A fotometriával kapott k¨ ulönleges elemgyakoris´ agokat azonban mindig al´ a kell vetni spektroszk´ opiai ellen˝ orzésnek, mert nincs kölcsönös és egyértelm˝ u kapcsolat a fotometriai eredmények és péld´ aul az elemgyakoris´ agok között. A légkör szerkezete, a mikroturbulencia mértéke, és sok egyéb tényez˝o egyar´ ant hat´ assal lehet a sz´ınindexekre az elemgyakoris´ ag mellett.

126

10.2.3.


A csillagok fotometriai sz¨ og´ atm´ er˝ oje

Egy csillag luminozit´ asa (2.47) szerint Lx = 4πR2 Fx

(10.10)

ahol R a τ = 0 optikai mélységhez tartozó sug´ ar, mivel (4.20)-ban τ = 0 az integrálás alsó hat´ ara. Ha (10.10)-ba be´ırjuk, hogy Fx (τ = 0) = πFx (τ = 0) = aTe4 a csillag teljes (bolometrikus) luminozit´ asát kapjuk. Ha ismert a csillag fluxusa egy x(= péld´ aul V stb) fotometriai sávban, ebben is kisz´ am´ıthatjuk csillagunk sug´ arz´ asi teljes´ıtményét. A csillagt´ ol d t´ avolságban lev˝o Földnél, X = 0 leveg˝otömegnél a (10.10) luminozit´ as Lx = 4πd2 Fxmegf 10Ax /2.5 (10.11) lesz, ahol Ax (≥ 0) magnitud´ oban mérve az intersztell´ aris extinkció, Fxmegf pedig a csillag megfigyelt fizikai fluxusa az x által szimbolizált hull´ amhossz intervallumban. (10.10) és 10.11) egyenl˝ oségéb˝ol a csillag ϑ szögsugara adódik, ami természetesen a τ = 0 optikai mélységhez tartozik: ϑ=

R h Fxmegf 10A/2.5 i1/2 = d Fx (τ = 0)

(10.12)

lesz, 2ϑ-t fotometriai sz¨ ogátmér˝ onek is nevezz¨ uk. (10.12) radián egységekben adja meg ϑ-t, a szok´ asosabb mas (milli´ıvm´ asodperc) egységekbe az átszám´ıtás nyilvánvaló, 1mas = 2π/1.296 × 109 = 4.85 × 10−9 radián. A bolometrikus fluxus kisz´ am´ıtása Te birtokában könny˝ u, megfigyelése azonban nehéz, ezért gyakorlati szempontból hasznos áttérni egy, vagy t¨ obb x fotometriai sávra (10.12) alkalmazásakor. Péld´ aul az U BV (RI)C rendszerben a Vega 3. fejezetben ismertetett abszol´ ut kalibr´ aci´ oja alapján a megfigyelt és X = 0-ra reduk´ alt magnitud´ oib´ ol egy csillag Fxmegf , (péld´ aul x = V, R) fluxusai megkaphatók, az Ax extinkci´ o ismeretében pedig ϑ is. Ha ismerj¨ uk csillagunk parallaxis´ at, vagyis d-t, az R sugar´ at megkapjuk fizikai egységekben. Ezt behelyettes´ıtve g = GM/R2 -be adódik csillagunk t¨ omege is. Példa gyanánt megeml´ıtj¨ uk, hogy t¨ obbszáz fehér t¨ orpe t¨ omegét siker¨ ult ´ıgy megtudni, mivel ezek közeli csillagok, parallaxisuk jól ismert, és az extinkció is elhanyo´ golhat´ o feléj¨ uk. Erdekes eredmény az, hogy M = (0.58 ± .10)M⊙ a mint´ ara, és ez két ma is megv´ alaszolatlan kérdést vet föl. • A fehér t¨ orpék a csillagfejl˝odés végállapotai ≈ 8M⊙ -nél kisebb csilalgokra. Vajon milyen mecahnizmus tudja ilyen pontosan be´ all´ıtani a fejl˝odés végtermékének a t¨ omegét? • A Sirius B, Procyon B, 40 Eri B közeli kett˝ os rendszer tagjai, a Keplert¨ orvények alapj´ an t¨ omeg¨ uk pontosan ismert, ≈ 1M⊙ . Vajon mi okozza az egyed¨ ulálló és a kett˝ os rendszer tagja fehér t¨ orpék tömegének szignifikáns k¨ ulönbségét?


10.2.4.

127

A vonalas sz´ınk´ ep

P´ ar sz´ ot sz´ olunk el˝ osz¨ or a vonalas sz´ınképekr˝ol által´ anoss´ agban. Mivel a csillagok t´ ulnyom´ o t¨ obbségének f˝o légköri összetev˝oje a hidrogén, a látható tartom´ anyt a Balmer-vonalak és a Paschen-kontinuum uralják.5 A 3.2. ábr´ an láthatjuk a Vega, egy A sz´ınképosztályba tartozó csillag fluxusát infravöröst˝ ol az ultraibolyáig, ≈ 10˚ A felold´ assal. A csekély diszperzió ellenére is szembesz¨ ok˝ oek a Balmer vonalak: λ(Hα ) = 6562.82˚ A, λ(Hβ ) = 4861.33˚ A, λ(Hγ ) = 4340.47˚ A, λ(Hδ ) = 4101.74˚ A, valamint a λ(Hǫ ) = 3970.07˚ A és a Ca II H vonalának (λ = 3968.47˚ A blendje. Szembesz¨ ok˝ o továbbá a Balmer-ugr´ as λ = 3646˚ A-nél, és a Paschen-ugrás is kivehet˝ o λ ≈ 8200˚ A-nél, valamint néhány Paschen-vonal a Paschenugr´ as infravör¨ os oldal´ an. A 10.3. ´ abra mutatja egy A csillag sz´ınképét a Balmer-ugr´ as közelében. Hasonló ugr´ asok vannak az extrém ultraibolyában és az infravörösben is: Lyman-ugr´ as, ileltve Bracket- és Pfund-ugrás, stb. Továbbá az itt mondottaknak megfelel˝oen az extrém ultraibolyában a Lyman-vonalak és a Balmer-kontinuum mellett a Lymankontinuum alak´ıtja a sz´ınképet, m´ıg az infravörösben a Paschen-kontinuum és a Paschen-vonalak. Hidegebb csillagokban pedig igen jelent˝ os a H− ion kontinuuma. Ennek az ionnak vonala nincs, mert jelenlegi tudomásunk szerint csak a szinglet és a triplet alapállapota kötött, de ezek között az optikai átmenet minden rendben tiltott. A szinglet alapállapot kötési energiája 0,75eV, ezért a Balmerugr´ ashoz hasonl´ o abszorpci´ os k¨ usz¨ ob kör¨ ulbel¨ ul 16500 ˚ A-nél van. Ennél nagyobb hull´ amhosszakon, teh´ at a t´ avoli infravörösben fontos ez a kontinuum.6 K¨ or¨ ulbel¨ ul 6000 K a hat´ ar, ami fölött a semleges és ioniz´ alt fémek vonalai adják az egyéb vonalakat, alatta megjelennek a molekulasávok is. Te > 104 K fölött pedig már megjelennek a He vonalai, ami k¨ ulönben a csillaglégkörök második leggyakoribb összetev˝ oje. A 10.3-6. ´ abr´ ak egy kis ´ızel´ıt˝ot adnak a fémvonalak és a He vonalainak kinézetér˝ ol A, B csillagok sz´ınképében. A vonalak azonos´ıtása a Charlotte E. Moore ´ altal szerkesztett A Multiplet Table of Astrophysical Interest (Contributions from the Princeton University Observatory No. 20, 1945) t´ abl´ azattal t¨ ortént. Ez a norm´ al¨ osszetétel˝ u csillagok látható sz´ınképében el˝ofordul´ o vonalak összességét tartalmazza. A vonalak jel¨ olése az ábr´ akon: el˝osz¨ or a kémiai elem vegyjele, utána római sz´ ammal az, hogy h´ anyadik spektrum´ aból ered a vonal, majd a Moore-féle multipletsz´ am. A 10.5. ´ abr´ an a hull´ amhossz is szerepel ˚ A egységekben, valamint a vonal intenzit´ asa a Moore-t´ abl´ azat emp´ırikus intenzit´ asskáláj´ an.

5 A kontinuumok k-sz ´ es sz-sz ´ atmentekb˝ ol keletkeznek. A k-sz kontinuumok mindig egy hat´ arozott hull´ amhosszn´ al kezd˝ odnek, κν ∝ ν −3 cs¨ okken´ es jellemz˝ o a hidrog´ enszer˝ u ionokra. 6 Ezt az iont eredetileg kvantummechanikai sz´ am´ıt´ assal fedezte fel 1938-ban R. Wildt, majd siker¨ ult a Nap sz´ınk´ ep´ eben is megtal´ alni a hat´ as´ at. Laborat´ oriumban csak j´ oval k´ as˝ obb siker¨ ult el˝ o´ all´ıtani.

128


10.3.´ abra. A Balmer-ugr´ as (BJ) k¨ ornyéke. A f¨ ugg˝ oleges tengelyen Fλ van ¨ onkényes egységekben. A v´ızszintes tengelyen jobbra cs¨ okken a hull´ amhossz, a Balmer-sorozat tagjai ¨ osszeolvadnak még 3646 ˚ A, — l BJ-t˝ ol balra, — a (6.2) alapj´ an v´ arhat´ o k¨ usz¨ ob el˝ ott. H17 -ig — n = 17 (6.2)-ben — vehet˝ o ki a Balmer-vonalak magja, H8 (= Hζ , λ = 3889.05˚ A) és l k¨ oz¨ ott tulajdonképpen egy pszeudo-kontinuum van, ami a Paschen-kontinuum és az egym´ asra torl´ odott Balmer-vonalak sz´ arny´ anak ered˝ oje. A H17 -en t´ uli tagjai a Balmer-sorozatnak azért nem tudnak kialakulni, mert r17 ≈ 1, 53 × 10−6 cm = 172 a0 t´ avols´ agban m´ ar nem a proton tiszta Coulomb-potenci´ alja érvényes¨ ul, hanem ehelyett valami bonyolult elektromos mikrotér van, amint azt a 6.1.2. szakaszban eml´ıtett¨ uk. A 3646 ˚ A-nél r¨ ovidebb hull´ amhosszakon a monokromatikus abszorpci´ os koefficiensbe belépnek m´ ar az n = 2 f˝ okvantumsz´ am´ u ´ allapotokb´ ol sz´ armaz´ o k-sz ´ atmenetek is, a Balmer-kontinuum. Mivel κν megn¨ ovekedett, a légk¨ or kisebb x geometriai mélységeibe l´ atunk bele e hull´ amhosszakon. A plazma ´ atlagh˝ omérséklete itt kevesebb, ezért a kisebb fluxus. Szok´ as a Balmer-ugr´ ast magnit´ ud´ oban is megadni, az extan; ∆m = rapol´ alt Paschen-kontinuum — fels˝ o vonal, F ext ˚ — és F ˚ alapj´ 3646A

3646A

. A0 csillagokban 1,5 magnit´ ud´ o is lehet. Forr´ obb csillagokban 2, 5logF ext ˚/F 3646˚ A 3646A azért kevesebb, mert az n = 2 n´ıv´ o depopul´ al´ odik, hidegebbekben pedig azért, mert kevés az ioniz´ al´ o ultraibolya foton. Fehér t¨ orpe csillagokban is ∆m ≥ 0m k¨ or¨ ul sz´ or a Balmer-ugr´ as nagys´ aga, amit˝ ol e csillagok U fényessége nagy, az U −B sz´ınindexe pedig −1m k¨ or¨ ul van. Szembesz¨ ok˝ o tov´ abb´ a a Ca II K (λ = 3933.66 ˚ A) vonal´ anak keskeny volta a Balmervonalakkal szemben. E k¨ ul¨ onbség oka az, hogy a K vonal a kvadratikus Starkeffektusra érzékeny, m´ıg a Balmer-vonalak a line´ aris Stark-effektusra.


129

, 10.4.´ abra. A Balmer-sorozat ¨ osszeolvad´ as´ anak k¨ ornyéke néh´ any A csillagban. A f¨ ugg˝ oleges tengelyen Fλ van ¨ onkényes egységekben, a v´ızszintes tengelyen λ ˚ A egységekben. Mindegyik felvételen l´ atszanak blend-ek, teh´ at amikor t¨ obb, az adott spektr´ alis felold´ as mellett nem elk¨ ul¨ on´ıthet˝ o elem vonala egy¨ utt hoz létre egy ¨ osszetett vonalat. Néh´ any szembesz¨ ok˝ o jellegzetesség még e sz´ınképekr˝ ol. • A θ2 Tau szub´ ori´ as, teh´ at a HRD f˝ osorozata f¨ ol¨ ott helyezkedik el. Az ilyen csillagok égk¨ ore h´ıgabb, mint a f˝ osorozati csillagoké, ezért l´ atunk rajta t¨ obb Balmer-vonalat; a H23 még hat´ arozottan kivehet˝ o, m´ıg a norm´ al f˝ osorozati Siriusban ez alig l´ atszik. • A λGem nagy rot´ aci´ os sebessége miatt — veq sini ≈ 150km/s — a vonalprofilok szélesek és laposak, a gyenge vonalak pedig szinte egybeolvadnak egy pszeudokontinuumm´ a, mint péld´ aul a 3 darab Cr II 12 vonal. • A Sirius mérsékelten fémgazdag a Vegahoz képest, ezért fémvonalai er˝ osebbek is. • A Vega veq sini értéke mind¨ ossze néh´ any km/s, de ez azért van, mert majdnem a p´ olus´ ara l´ atunk r´ a, teh´ at i kicsi, de a veq egyenl´ıt˝ oi sebessége igen nagy, tal´ an meghaladja a 200 km/s-ot is, ezért a csillag forg´ asi lapults´ aga jelent˝ os. Emiatt a Ti II 14, a Cr II 12 vonalak, s persze a t¨ obbi fémvonala is a vonal centrum´ aban lapos, nem olyan hegyes, mint a Sirius fémvonalai.

130


10.5.´ abra. A bal oldali ´ abra a Sirius sz´ınképében a Hǫ és a Ca II H vonal blendje, egész pontosan a Hǫ k¨ ozponti része l´ atszik. A H vonalt´ ol jobbra a hull´ amhossz méréséhez sz¨ ukséges kalibr´ al´ o spektrum egy vonala, majd még tov´ abb jobbra pedig a semleges alum´ınium egy vonala l´ athat´ o. A jobb oldali ´ abr´ an a Ca II K vonala l´ atszik és még néh´ any egyéb fémvonal. A K vonalnak a vas és az alum´ınium vonalaihoz képesti nagy er˝ ossége nem azért van, mert a Ca t´ ul gyakori volna a Sirius légk¨ orében, hanem azért, mert a H és a K vonal rezonanciavonal. Azért van kett˝ o rezonanciavonal, teh´ at dublet, mert a Ca II. spektruma egyelektron spektrum, és a spin–p´ alya k¨ olcs¨ onhat´ as miatt felhasad a vonal dubletté.

10.6.´ abra. A HeI 4026 ˚ A-¨ os vonala a γPeg nev˝ u B csillagban. A vonal line´ aris Stark-effektusra nem érzékeny, ezért j´ oval keskenyebb, mint a Balmer-vonalak. Eredetét tekintve triplet P–D ´ atmenetb˝ ol sz´ armazik.

¨ ´ GORB ¨ ´ SZÍNKEPEK ´ 10.3. NOVEKED ESI EK, FINOM ANALÍZISE

10.3.

131

N¨ oveked´ esi g¨ orb´ ek, sz´ınk´ epek finom anal´ızise

Mint már eml´ıtett¨ uk, a szakirodalomban szoktak beszélni sz´ınképek finom anal´ızisér˝ol, illetve spektrumszintézisr˝ol, a csillagsz´ınképek értelmezésében ma ez jelenti a cs´ ucsot. Mindkét kifejezés alatt azt értj¨ uk, hogy a légkörmodellnek a 7. fejezetben megismert paramétereit addig változtatjuk, m´ıg a modellhez tartozó szám´ıtott Fν (0) fluxus és a megfigyelt sz´ınkép j´ o egyezésbe nem ker¨ ul egy bizonyos frekvenciatartományon bel¨ ul. T¨ obb lépcs˝ oben lehet elvégezni ezt a bonyolult munk´ at, tehát tulajdonképpen szukszcessz´ıv approxim´ aci´ oról van szó. El˝osz¨ or a folytonos sz´ınképet vessz¨ uk szem¨ ugyre: szélessáv´ u fotometriával megbecs¨ ulj¨ uk Te , logg közel´ıt˝o értékét, majd ha van ilyen, közepes sávszélesség˝ u (rendszerint Str¨ omgren-) fotometriával finom´ıtjuk ezeket az értékeket, s megbecs¨ ulj¨ uk az [M ] ”fémességet”, ami alatt asztrofizikai sz´ ohaszn´ alatban a héliumnál nehezebb kémiai elemek koncentráci´ oj´ at értj¨ uk. A következ˝o lépés a vonalak azonos´ıtása és ekvivalens szélesség¨ uk meghatározása. Egy multiplett (=vonalcsalád) összes vonalát meg kell tal´ alni ahhoz, hogy megnyugtatóan kijelenthess¨ uk, a vonalak tényleg a kérdéses elemhez tartoznak. (Természetesen tekintettel kell lenni a multiplett tagjainak rendszerint t´ abl´ azatosan megadott relat´ıv intenzit´ as´ ara is!) Mivel a (8.57) monokromatikus abszorpciós koefficiens egy Boltzmann-faktort is tartalmaz, egy vonal vagy multiplett hiánya nem feltétlen¨ ul jelenti a hozz´ a tartozó kémiai elem hiányát is a vizsgált csillag légkörében, a vonalak hiányozhatnak a keletkezés¨ ukh¨ oz kedvez˝otlen h˝omérsékleti viszonyok miatt is. Az abszorpci´ os és esetleges emissziós vonalak azonos´ıtása után meghatározzuk a vonal mennyiségi jellemz˝ oit: az ekvivalens szélességet és a vonalprofilt. Egy vonal (c) ekvivalens szélessége alatt a következ˝ot értj¨ uk: kisz´ am´ıtjuk Fλ (0)-t (4.20) szerint u ´gy, hogy κλ -ba csak a sz-sz, k-sz átmenetek monokromatikus abszorpciós koefficiensét vessz¨ uk be, majd megtessz¨ uk ugyanezt a vonal bevonásával is, az eredmény (c+l) legyen Fλ (0). Képezz¨ uk ezut´ an a Z λ2 (c) (c+l) Fλ (0) − Fλ (0) Wλ = dλ (10.13) (c) λ1 Fλ (0) hossz dimenzi´ oj´ u integrált a vonal (λ1 , λ2 ) tartományára, ez abszorpciós vonal esetén éppen a vonal ´ altal a kontinuumb´ ol kitakart fel¨ ulet, amint azt a 3.6. ábra (c) mutatja. Egy spektrográfból sz´ armazó intenzitogrammon természetesen Fλ (0)-t a (c+l) környez˝o kontinuumb´ ol kell extrapolálnunk, Fλ (0) pedig közvetlen¨ ul leolvasható. Eddigi ismereteink alapj´ an szemlélet¨ unk rögt¨ on s´ ugja, hogy Wλ a sug´ arz´ o atomok nj sz´ am´ atól f¨ ugg, ami a h˝ omérsékleten és az elektronnyom´ ason k´ıv¨ ul a vonalat adó kémiai elem n0 légköri koncentr´ aci´ oj´ atól f¨ ugg. Wλ széles körben elterjed egysége a m˚ A, a leggyengébb optikai vonalak ekvivalens szélessége 10 m˚ A nagys´ agrendjébe esik, m´ıg a leger˝ osebb vonalaké 10˚ A is lehet. Meg lehet szerkeszteni egy-egy modellre (egy-egy rögz´ıtett Te -hez, logg-hez, kémiai ¨ osszetételhez, a (7.38)-ben szerepl˝ o ξt -hez, s esetleg egyéb fontosnak látszó

132


paraméterhez) a Wλ −n0 gj fjm diagramot, amelyben a k¨ ulönb¨ oz˝o elemek n0 -ja a légkör egy azonos (de egyébként tetsz˝ oleges) mélységében értend˝ o. Az ´ıgy kapott g¨ orbét n¨ ovekedési g¨ orbének h´ıvjuk, által´ anos alakja a 10.6. ábr´ an látható. H´ arom világosan elk¨ ulön¨ ul˝o szakasza van: • el˝ osz¨ or van a lineáris szakasz, ide esnek a gyenge sz´ınképvonalak, ha ezt használjuk n0 meghatározására, a hiba f˝o forrása gj fjm pontatlan ismerete, • utána következik a Doppler-szakasz, amelyben a f˝o kiszéles´ıt˝o mechanizmus a Doppler-effektus, n0 meghatározására nézve itt a hibaforrást a nem termikus mozg´ asok jelentik, amit mikroturbulenciának (ξt ) is szoktak nevezni, amint azt (7.30) kapcs´ an t´ argyaltuk. A mikroturbulencia bevezetésével a k¨ ulönb¨ oz˝o kémiai elemek vonalaiból meghatározott n0 értékének szórását siker¨ ult csökkenteni, illetve n0 szisztematikus menetét Wλ n¨ ovekedésével elt´ avol´ıtani. • Vég¨ ul következik a csillapod´ asi szakasz, amelyet a nyom´ asi vonalkiszélesedés ural. Innen meghatározott n0 -k f˝o hibaforrása a vonalkiszélesedés pontatlan ismerete, olyan effektusok fellépése, amilyeneket a 9. fejezetben nem t´ argyaltunk. Csak egy péld´ at ragadunk ki: a sug´ arz´ o atomot leginkább megk¨ ozel´ıt˝ o perturb´ al´ o részecskék az elektronok a nagy mozgékonys´ aguk miatt. Amikor egy ilyen közeli elrep¨ ulés létrejön, egy rövid id˝ore a ”legközelebbi szomszéd” hat´ asa okozza szinte teljes mértékben ωjm eltol´ odását, s (9.26)-ben sem lehet az els˝o tagra szor´ıtkozni. Jegyzet¨ unk kereteit meghalad´ o munk´ aval ki lehet mutatni, hogy ilyenkor a Lorentz-profiltól eltér˝o profilt lehet kapni, de az effektus kvantitat´ıv t´ argyalása mind a mai napig nem tekinthet˝ o az elméleti asztrofizika lez´ art kérdésének. p pp pp p p csillapod´ asi 6 pp ppp p p p pp p p pppp ppppp pppppp Doppler ppp pppppp pp p pp ppp p p lineáris p pp p logn0 gf

logWλ

10.6. ´ abra. A n¨ ovekedési g¨ orbe k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o szakaszai. A n¨ ovekedési g¨ orbék használatával a k¨ ulönb¨ oz˝o sz´ınképvonalakból meg lehet határozni a csillagunk légkörének kémiai összetételét. Minden egyes sz´ınképvonalból származik egy n0 . Mivel n0 egy barometrikus formula szeint változik a légkörön bel¨ ul bevezetj¨ uk ǫ-t, amit asztrofizikában használnak széles körben, mert ez az elemgyakoris´ agot a légkörbeli mélységt˝ ol f¨ uggetlen¨ ul jellemzi. Definiciója a következ˝o: vegy¨ unk egy ¨ onkényes térfogategységet u ´gy, hogy abban 1012 darab hidrogénatom van, e térfogategység nyilván k¨ ulönb¨ oz˝o nagys´ ag´ u lesz τ f¨ uggvényében. E térfogategységben


133

lev˝o atomfajt´ ak sz´ am´ anak logaritmusát nevezz¨ uk ǫ-nak, tehát defin´ıció szerint ǫ(H) = 12. A szakirodalomban látható n¨ ovekedési g¨ orbék v´ızszintes tengelyén ǫ szokott inkább szerepelni. Természetesen a k¨ ulönb¨ oz˝o elemek n¨ ovekedési g¨ orbékb˝ ol származó ǫ-jai szórást fognak mutatni, amit a továbbiakban minimalizálni szeretnénk. Erre szolg´ al a vonalprofilok analizál´ asa (sz´ am´ıt´ asa és összevetése a megfigyeltekkel). Ehhez már igen pontos P (ω) vonalprofilokra van sz¨ ukség¨ unk, vagyis részletes monokromatikus szór´ asi hat´ askeresztmetszetekre ωjm környezetében, amelyek természetesen τ -tól is f¨ uggenek. E ter¨ uleten a sz´ amos létez˝o problém´ aba nem megy¨ unk bele, azt azonban meg kell jegyezn¨ unk, hogy a leggondosabb anal´ızisek Te -t 1–2% pontosan tudják meghatározni, lgg-t 0,05, ǫ-t pedig 0,3 pontosan - ez n0 -ban kettes faktor! (Mindazon´ altal e kettes faktor egyáltal´ an nem elkeser´ıt˝o, hiszen ez olyan elemekre vonatkozik, amelyek egym´ ashoz képesti koncentráci´ oja ak´ ar 10 nagys´ agrendet is eltér.) Ha már megvan egy elem gyakoris´ aga, a n¨ ovekedési g¨ orbék használhatók az elemnek a sz´ınképben f¨ ollelhet˝o egyéb vonalaihoz tartozó gj fjm értékek meghatározására vagy ellen˝ orzésére. Csak érdekességként eml´ıtj¨ uk meg, hogy a¡ 1960-as években a Nap sz´ınképének analizál´ as´ aval siker¨ ult kimutatni, hogy a semleges vas számos vonalához tartozó fjm érték, amit laboratóriumban mértek meg, átlagosan 1 nagys´ agrenddel nagyobb volt annál az értéknél, ami a szoláris vonalakból adódott. A hiba felfedezése után siker¨ ult kinyomozni, hogy a laboratóriumi mérések során a plazma h˝ omérsékletét hib´ asan hat´ arozt´ ak meg, s ez okozta a diszkrepanci´ at! A n¨ ovekedési g¨ orbékkel elvégezhet˝o anal´ızis után következhet a finom anal´ızis, amikor egyes vonalak sz´ am´ıtott és mért Fλ (0) profilját hasonl´ıtjuk össze, itt a cél nem mindig az elemgyakoris´ ag finom´ıtása, hanem péld´ aul vonalkiszélesedési elméletek tesztelése is lehet. M´ ar a n¨ ovekedési g¨ orbékhez is, de a finom anal´ızishez k¨ ulönösen a (6.7) Schwarzschild-féle integrodifferenciál-egyenletet kell megoldani a vonal hull´ amhossz-tartom´ anyában. El˝ofordul a szakirodalomban, hogy a k¨ ulönféle paraméterek f¨ uggvényében a vonalprofil változ´ asát is n¨ ovekedési g¨ orbének nevezik, péld´ aul azt, ahogy mély¨ ul egy vonal centruma, terebélyesedik a szárnya a n¨ ovekv˝o ǫ vagy fjm f¨ uggvényében. Megeml´ıtett¨ uk, hogy Fν (0) addit´ıv mennyiség, ez akkor fontos, ha péld´ aul spektrogr´ afunk t¨ obb csillag sz´ınképét képezi le egy helyre. Ily módon t´ avoli g¨ ombhalmazok vagy galaxisok sz´ınképét is ki tudjuk szám´ıtani egyszer˝ u összegzéssel a benn¨ uk lév˝ o csillagok stb. sz´ınképéb˝ol, és ´ıgy vizsgálhatóv´ a válik péld´ aul olyan kérdés, hogy e t´ avoli, csillagokra fel nem oldhat´ o égitestek mutatnak-e péld´ aul olyasmi fejl˝odési effektusokat, hogy a t´ avoli m´ ultban a galaxisokban tényleg csak fiatal csillagok vannak, vagy net´ an a t´ avoli galaxisok csillagainak légköre más kémiai összetétel˝ u anyagb´ ol ´ all. Néhány péld´ an bemutatunk finom anal´ızissel nyerhet˝o informáci´ okat.

134

10.3.1.


Rot´ aci´ o hat´ asa a vonalprofilra

A Sirius sz´ınképének egy szelete, j´ ol l´ atszik, hogy veq sini = 16kms−1 .7

10.3.2.

A C12 /C13 ar´ any az Arcturus l´ egk¨ or´ eben

Az Arcturus sz´ınképének egy szelete. A szaggatott vonal a megfigyelt sz´ınkép, a kih´ uzott vonal a sz´ am´ıtott C12 /C13 ≈ 10 ar´ any feltevésével. A CNO ciklus ezt az ar´ anyt ≈ 4-re ´ all´ıtan´ a be, teh´ at az Arcturus légk¨ orének anyaga nem ment ´ at CNO cikluson. 8 7 Forr´ as: 8 Forr´ as:

ApJ 217, 771, 1977 ApJ 217, 771, 1977


10.3.3.

135

Kromoszferikus vonalak a Toliman ultraibolya sz´ınk´ ep´ eben

A Mg II h és k vonala az α Cen A és B sz´ınképében. Ez a két vonal a Ca II H és K vonal megfelel˝ oje.9

Az α Cen A és B ultraibolya sz´ınképe, ¨ osszehasonl´ıt´ asul alul a Napé. Az ultraibolya emisszi´ os vonalak kromoszferikus aktivit´ as jelei.10

9 Forr´ as: 10 Forr´ as:

ApJ 235, 76, 1980 ApJ 235, 76, 1980

136

10.4.


Kozmikus elemgyakoris´ agok

Ahogy elkezdtek szaporodni a kvantitat´ıv spektr´ alanal´ızisek az 1940-es évek után, meglep˝o szabályosság der¨ ult ki a Tej´ utrendszer csillagaira: szinte az összes analizált csillagra, amelyekben Te akkora volt, hogy a hélium vonalai láthatók voltak, ǫ(He) ≈ 11 adódott. A fémességre (=minden héliumnál nehezebb elem gyakoris´ agára) pedig az adódott, hogy egym´ ashoz képesti gyakoris´ agaik a meghatározás hibahat´ arán bel¨ ul azonos volt, péld´ aul ǫ(C) ≈ 8, 5, ǫ(N) ≈ 8, 5, ǫ(O) ≈ 9, ǫ(Ne) ≈ 8, ǫ(Na) ≈ 6, ǫ(Fe) ≈ 7, 6 és ´ıgy tovább. Ezt az összetételt el is nevezték normál összetételnek, mert — mint kés˝ obb kider¨ ult — ez a tipikus összetétel I. populáci´ os csillagok légkörében, de ha lesz´ am´ıtjuk a könnyen illó elemeket, a földkéreg összetételében is hasonl´ o ar´ anyokat tal´ alunk. Etalonja péld´ aul a Nap légkörének kémiai összetétele, ezt a 10.1. t´ abl´ azatban láthatjuk. A II. popul´ aci´ os csillagok egyre nagyobb szám´ u anal´ızisével a következ˝oképpen módosult a kép. A hidrogén és a hélium aránya mindegyik populáci´ oban azonos, atomsz´ am szerint 10:1, teh´ at ǫ(He) ≈ 11 itt is, de a fémesség egységesen kevesebb, néha t¨ obb, u ´gy hogy nehezebb elemek egym´ ashoz képesti gyakoris´ aga azonban azonos. Mintha két t¨ oml˝oben lett volna a csillagok ˝osanyaga, az egyikben a H és a He atomsz´ am szerint 10:1 arányban némi D, T, Li B, Be t´ arsaságában, m´ıg a másikban a C, N, O stb. lett volna. Mintha valahogy a nehezebb elemeket tartalmaz´ o t¨ oml˝ob˝ol egységesen t¨ obb vagy kevesebb keveredett volna az I. és a II. popul´ aci´ os csillagokhoz. Kémiai összetétel szerint tehát nem válik szét olyan jól az I. és a II. popul´ aci´ o, mint kinematikailag, vannak olyan II. popul´ aci´ os csillagok, amelyeknek légkörében az elemgyakoris´ agok megegyeznek a szoláris értékekkel. Az univerz´ alisnak mondott H/He arány, továbbá az, hogy ennyi hélium az Univerzum O(1010 ) éves kora alatt a csillagok belsejében magreakciókkal nem keletkezhetett komoly érv volt az ˝ osrobban´ asos világkeletkezési modell mellett. Magreakciókkal azért nem j¨ ohetett létre ennyi He, mert ez azzal járt volna, hogy a m´ ultban a galaxisok sokkal fényesebbek lettek volna, ami ellentmond a megfigyelési eredményeknek. Ugyanakkor ne felejts¨ uk el, hogy az ”univerz´ alis” arány a csillagok összanyagának kevesebb, mint 10−11 -ed része. M´ asik magfizikai vonatkozása az ˝osrobbanásos modelleknek, hogy az ˝ osrobban´ asban b´ orn´ al nehezebb elemek nem keletkeznek. Viszont azt a hipotetikus III. (csillag)popul´ aci´ ot, amely az ˝osrobbanás utáni, csup´ an hidrogént, héliumot, némi deutériumot, b´ ort, berilliumot, l´ıthiumot tartalmaz´ o anyagb´ ol el˝ osz¨ or alakult volna ki, t¨ obb évtizedre kiterjed˝ o intenz´ıv kutat´ omunk´ aval sem siker¨ ult megtal´ alni. Ha volt ilyen ˝osi csillaggeneráci´ o, annak kis t¨ omeg˝ u tagjai ma is megvoln´ anak, légkör¨ uk pedig meg˝orizte volna a primordiális anyagot, amelyb˝ ol a csillagok e gener´ aci´ oja kialakult. Gyakran szoktak a szakirodalomban összevontan fémességr˝ ol beszélni, s ezt [M ]mel, illetve [Fe/H]-val szokták jel¨ olni. Ez alatt azt értik, hogy a normál ”fémesség” a Nap légkörének ¨ osszetétele, erre [M ] = [Fe/H] = 0, ha ez a szám negat´ıv, fémhi´ anyr´ ol beszélnek, ez nem ritka, ha pozit´ıv, fémt¨ obbletr˝ol beszélhetnénk, de [M ] > 0, 5 alig ismert. Ez a sz´ am is logaritmikus sk´ alán értend˝ o, [Fe/H] = −2 azt je-

´ 10.4. KOZMIKUS ELEMGYAKORISAGOK

H 12.0 Li 3.36 Na 6.36 K 6.36 Rb 2.36 Cs 1.17 Fr ∗ Sc 3.07 ∗∗ Y 2.26 ∗∗∗ La 1.14

Be 1.66 Mg 7.61 Ca 7.61 Sr 2.93 Ba 2.26 Ra Ti 4.96 Zr 2.65 Ce 1.65

Hf 0.81

137

10.1. t´ abl´ azat. A Nap légkörének kémiai összetétele He 10.84 B C N O F Ne 2.53 8.63 7.94 8.84 4.47 7.99 Al Si P S Cl Ar 6.51 7.58 5.39 7.28 5.26 6.61 ∗ Ga Ge As Se Br Kr 3.15 3.64 2.37 3.40 2.54 3.19 ∗∗ In Sn Sb Te J Xe 0.85 2.14 1.07 2.39 1.68 2.34 ∗∗∗ Tl Pb Bi Po As Rn 0.85 1.99 0.72 ∗∗∗∗

V 3.98 Nb 1.53 Pr 0.83

Cr 5.68 Mo 2.18 Nd 1.87

Mn 5.55 Tc Pr -

Fe 7.53 Ru 1.85 Sm 0.96 Ho 0.54 Os 1.41

Co 4.92 Rh 1.18 Eu 0.55 Er 0.94 Ir 1.43

Ni 6.26 Pa 1.69 Ga 1.20 Tm 0.12 Pt 1.72

Cu 4.31 Ag 1.s4 Tb 0.46 Yb 0.88 Au 0.90

Zn 4.68 Cd 1.77 Dy 1.14 Lu 0.12 Hg 0.90

Ta W Re -0.12 1.05 0.28 ∗∗∗∗ Th U 0.23 0.01 Forrás: Essays in Nuclear Physics, 1982, Cambridge Univ. Press, New York


138

lenti, hogy az adott ¨ osszetétel a Nap légköréhez képest százszoros fémhiányt mutat, tehát bele a ”fémeket” tartalmaz´ o t¨ oml˝ob˝ol csak századannyi anyag jutott, mint a Nap anyagába. Ugyan s´ıkos a ter¨ ulet, de sok k´ısérlet t¨ orténik arra, hogy az [Fe/H]t nem sz´ınképelemzésb˝ ol, hanem a jóval egyszer˝ ubb fotometriai sajátoss´ agokb´ ol határozz´ ak meg nagyszám´ u csillagra. Ilyen módszerekkel a gond az, hogy a fotometriai saj´ atoss´ agok és a kémiai elemgyakoris´ agok, esetleg egyéb légköri paraméterek között nem kölcs¨ onös és egyértelm˝ u a kapcsolat. Végezet¨ ul megjegyezz¨ uk, hogy a [Fe/H] sz´ am nagyjábóli t´ ajékozódásra használható, akár fotometriai kalibr´ aci´ ok alapj´ an is, s az 1990-es években a rekordot a fémhiányban [Fe/H] ≈ −4, 5 jelentette, teh´ at a legfémszegényebb és leg˝ osibb csillagokban is el˝ofordulnak olyan nehéz elemek, amelyek az ˝ osrobban´ asban nem keletkezhettek. (Az´ ota ≈ −6-ig tol´ odott ez az érték, vagyis nehéz elemek igenis minden csillag légl¨ orében vannak.)

10.4.1.

Anom´ alis l´ egk¨ ori elemgyakoris´ agok

Az anal´ızisek során tal´ altak olyan összetételeket is, amelyek gy¨ okeresen eltérnek az el˝ obb vázolttól. Bizonyos esetekben értj¨ uk az eltérések ok´ at, de van, amikor egyáltal´ an nem. Feh´ er t¨ orp´ ek Légkör¨ uk k¨ ulönleges elemgyakoris´ agaival t˝ unnek ki a fehér t¨ orpék, t´ ulnyom´ o t¨ obbség¨ uk a DA osztályba tartozik: sz´ınkép¨ ukben csak a Balmer-vonalak látszanak. Mivel a fehér t¨ orpék a csillagfej˝ odés végállapotai sokáig rejtélyesnek t˝ unt, hogy miért csak a csillagfejl˝odés nyersanyagának, a hidrogénnek vonalait látjuk sz´ınkép¨ ukben. A válasz: a nagy felsz´ıni nehézségi gyorsul´ as – O(g) ≈ 108 cms−2 – miatt a nehezebb elemek gravitáci´ os differenciáci´ oval le¨ ulepszenek, konvekció nincs, a légkör sug´ arz´ asi egyens´ ulyban van, ezért marad legf¨ ol¨ ul a legk¨ onnyebb elem, a hidrogén. Ez a tiszt´ an hidrogénb˝ ol álló héj ugyan t¨ oredéke (< 10−15 -ed része) a csillag ¨ osszt¨ omegének, de optikailag már vastag, és ezért nem látjuk alatta a nehezebb elemeket, amelyek k¨ ulönben szintén s˝ ur˝ uség szerint héjakba rendez˝ odnek. Kisebb ar´ anyban ugyan, de vannak DB, DC fehér t¨ orpék, amelyekre az jellemz˝ o, hogy a He, C vonalai látszanak. Ezek magyarázatát szintén a gravitáci´ os differenciáci´ oban kell keresni. A DB csillagok el˝odei valósz´ın˝ uleg ledobt´ ak a fejl˝odés¨ uk során a hidrogént is tartalmaz´ o k¨ uls˝ o burkukat, s most magreakciókon átment anyagot látunk a légkör¨ ukben. A DC csillagok pedig a héliumot tartalmaz´ o burkukat is levetették, maradt teh´ at a szén a légkör¨ uk anyagának. Hogy ne legyen teljesen tiszta ez az egyszer˝ u magyarázat meg kell eml´ıteni, hogy vannak DAB fehér t¨ orpék is, amelyek sz´ınképe a H és He vonalaiból áll. Ismert továbbá néhány DZ fehér t¨ orpe is, amelyeknek légköre nehezebb elemekb˝ol áll, ak´ ar a norm´ al (szol´ aris) ¨ osszetételhez hasonl´ o. Ez utóbbiakra a legvalósz´ın˝ ubb magyarázatnak az akkréci´ ot tartják a kör¨ ulött¨ uk feltételezett, tal´ an planatezim´ alisokat is rejt˝ o korongb´ ol.


139

Fehér t¨ orpe csillagok sz´ınképe. A Hβ -Hǫ vonalak j´ ol kivehet˝ ok, t˝ ol¨ uk balra, az ultraibolya felé a Balmer-pszedudokontinuum l´ athat´ o, és a Balmer-ugr´ as szinte nem is l´ athat´ o11

A RE 1659+440 és RE 1440+750 Fehér t¨ orpe csillagok sz´ınképe a Hβ -Hγ vonalak k¨ ornyékén. J´ ol l´ athat´ ok a Zeeman-effektus k¨ ovetkeztében t¨ obb komponensre felhasadt vonalak. A légk¨ ori m´ agneses térer˝ osség H = 3.5 × 106 G, illetve H = 8 × 106 G.12

11 Forr´ as: 12 Forr´ as:

ApJ 235, 76, 1980 ApJ 235, 76, 1980


140 Cp csillagok

A ”chemically peculiar” angol gy˝ ujt˝ofogalom nyom´ an u ´jabban gyakori a Cp elnevezés azokra a k¨ ulönleges elemgyakoris´ ag´ u csillagokra amelyek légkörének összetétele jelent˝ osen eltér a norm´ alis (szol´ aris) összetételt˝ ol. Eleinte csak az Ap , Am csillagokat sorolt´ ak ide, közös jellemz˝ oj¨ uk, hogy bizonyos fémvonalaik igen er˝osek. Attól f¨ ugg˝ oen, hogy melyek, t¨ obb csoportba oszthatók. Ritka földfémek (akár péld´ aul holmium, eur´ opium stb.), de ak´ ar foszfor stb. gyakoris´ aga t¨ obb nagys´ agrenddel nagyobb, mint a szol´ aris érték A gravitáci´ os differenci´ aci´ o, a teljesen blokkolt konvekció mellett a diff´ uzi´ o jön komolyan sz´ amba az anomáliák magyarázatára. Ezeknek a csillagoknak a légköre feltehet˝oleg nagyon szigor´ u sug´ arz´ asi egyens´ ulyban van, semmi mozgás nincs benne a h˝ omozg´ ason k´ıv¨ ul. Ezeket a magyarázatokat megkérd˝ ojelezte az, hogy t¨ obb Cp csillagnál nemradi´ alis pulz´ aci´ ot siker¨ ult kimutatni, ami a légkört nyilván átkeveri. ´ Erdemes megeml´ıteni, hogy bizonyos csillagok sz´ınképében rövid felezési idej˝ u radioaktiv elemek (Tc, Pm) vonalait siker¨ ult azonos´ıtani. A légköri s˝ ur˝ uségeken és h˝ omérsékleteken magreakci´ ok ki vannak z´ arva, valahogy a radioakt´ıv elemeknek a mélyb˝ ol kellene j¨ onni¨ uk. Olyan mechanizmus egyel˝ore nem ismert, ami ezt meg tudn´ a tenni. He ´ es C csillagok A He és C csillagok esetében val´ osz´ın˝ uleg elvesz´ıtette a csillag a k¨ uls˝ o burkát, ezért légkör¨ uket magreakci´ okon ´ atment anyag alkotja. Tc az S csillagok l´ egk¨ or´ eben Az S csillagok sz´ınképében az instabil Tc sz´ınképének jelenléte magreakciókra utal, de meg kell jegyezn¨ unk, hogy a mai csillagmodellek alapján nem értj¨ uk, hogyan ker¨ ulhet a csillag légkörébe instabil radioakt´ıv elem, s ez miért éppen csak az S csillagokn´ al következik be.

10.4.2.

Kvaz´ arok sz´ınk´ epe

A kvazárok sz´ınképének létrejöttére csak nagyon közel´ıt˝o modellek, elképzelések vannak. K¨ ozös benn¨ uk, hogy a Doppler kiszélesedés bizonyosan nagy szerepet játszik, és er˝ osen NLTE kör¨ ulményeket kell feltételezni nagyon h´ıg plazm´ aban. Er˝ os emisszi´ os vonalak uralják a sz´ınképet, amelyek kör¨ ul ”abszorpciós erd˝ ok” tal´ alhat´ ok, utalva arra, hogy a k¨ ulönb¨ oz˝o sötét felh˝ ok¨ on is átmegy a forrás sug´ arz´ asa. Szemléltetés¨ ul ´ alljon itt a 3C 48 és 3C 191 felfedezéskori sz´ınképe. A 10.2 t´ abl´ azatból látszik, hogy a C ´ as a Si II. és IV. sz´ınképéb˝ol egyara´ ant vannak vonalak, ez azt mutatja, hogy a sz´ınképek NLTE kör¨ ulmények között keletkeztek, vagyis az ioniz´ aci´ os fokok betöltési sz´ amait (sz´ ams˝ ur˝ uségét) a Saha-egyenlet nem adja meg.


10.2. t´ abl´ azat. λ ion λ0 emisszi´ os vonalak 3591.6 Lyα 1215.7 4583.3 C IV 1549.1 abszorpci´ os vonalak 3506.2 Si II 1190.4 3519.1 Si II 1194.2 3932.1 C II 1335.3 4106.2 Si IV 1393.7 4132.9 Si IV 1402.7 4559.6 C IV 1548.2 4569.1 C IV 1550.8

A 3C 191 néhány sz´ınképvonalának adatai z 1.9543 1.9587 1.9454 1.9468 1.9447 1.9463 1.9464 1.9451 1.9463

A 3C 191 sz´ınképe a fels˝ o g¨ orbe, az als´ o pedig az égi h´ attéré.13

13 Forr´ as:

ApJ 149, L12, 1967

141

142


A 3C 48 sz´ınképe. NS=night sky jelzi az égi h´ attérb˝ ol sz´ armaz´ o vonalakat. A Hβ ,Hγ , Hδ vonal j´ ol kivehet˝ o, z = 0.367.14

10.5.

Pulz´ al´ o csillagok t´ avols´ aga

10.5.1.

A Baade–Wesselink-m´ odszer

Gömbszimmetrikusan pulz´ al´ o csillagok megfigyelt vrad (t) radiális sebességéb˝ol a pulz´ aci´ o vR (t) sebességét u ´gy h´ amozhatjuk ki, ha vR (t) ”peremsötétedését” is figyelembe vessz¨ uk. A problém´ at az alábbi leegyszer˝ us´ıtett modell világ´ıtja meg.

2πR2 sinθcosθdθ/πR2 vR '$ 7$ ? R vR cosθ Rθ látóirány &% % 10.7. ´ abra

Ha a csillag légkörének vastagsága elhanyagolható, s egyenletesen mozog minden optikai mélységben (vagyis pulz´ aló légg¨ ombnek tekinthet˝ o), akkor az R(t) sugar´ u vR (t) sebességgel g¨ ombszimmetrikusan pulz´ aló csillag pulz´ aci´ os mozgásb´ ol származó radiális sebessége vR (t)cosθ lesz, amelynek s´ ulya 2πRsinθd(Rsinθ)/πR2 . (A φ azimutszögre rögt¨ on integráltunk, innen a 2π a számlálóban.) Ezut´ an in14 Forr´ as:

ApJ 140, 1, 1964

´ O ´ CSILLAGOK TAVOLS ´ ´ 10.5. PULZAL AGA

143

tegrálva a pol´ arsz¨ ogre kapjuk, hogy a megfigyelt radiális sebesség vrad (t) = vγ −

Z

0

π/2

2 2vR (t)cosθsinθcosθdθ = vγ − vR (t), 3

(10.14)

ahol vγ a csillag s´ ulypontj´ anak (vagyis a 10.7. ábra origój´ anak) a radiális sebessége. (Az integrál azért szerepel − el˝ ojellel, mert konvenció szerint a radiális sebeség akkor negat´ıv, ha közeledik felénk a mozgó test, és ugyanez a konvenció vγ el˝ojelére is, m´ıg vR (t) = R˙ akkor negat´ıv, ha összeh´ uzódik a csillag, vagyis fel¨ ulete t´ avolodik t˝ ol¨ unk.) Ezen az alapon a vR (t) = p[vγ − vrad (t)]

(10.15)

összef¨ uggést jogosan tételezhetj¨ uk fel, p a projekciós faktor, ebben a modellben p = R π/2 −1 2 2 0 cos θ sin θdθ = 3/2 lett. Ha a sz¨ urke modell¨ unkben vR minden τ optikai mélységben azonos az iménti ´ atlagol´ as p = 24/17-re vezet, reálisabb modellekben pedig p ennél is kevesebb egy kicsit, 1,3–1,35 közé esik. A csillag változó sugara Z t h i vrad (t′ )dt′ R(t) = R(t0 ) + ∆R(t) = R(t0 ) + p vγ (t − t0 ) − (10.16) t0

lesz. Itt f¨ ol kell h´ıvni a figyelmet arra, hogy a (10.16) a valóság nagyon er˝os egyszer˝ us´ıtését jelenti a következ˝o két okb´ ol. • Az egyetlen R paraméter jellemzi a légkör méretét, ennek id˝o szerinti differenciálh´ anyadosa pedig a sebességét, holott a légkör RR Lyrae csillagoknál O(104 ), δ Cep csillagon´ al O(106 ) km karakterisztikus méret˝ u kompresszibilis plazmahéj. • Ezenk´ıv¨ ul a konverzi´ ohoz nagyon pontosan kell ismerni vγ -t: a ∆vγ (t − t0 ) ≪ Rt | t0 vrad (t′ )dt′ | feltételnek kell fennállni, ahol ∆vγ a csillag s´ ulypontja radiális sebességének észlelési hib´ aja. A kapott (10.16) sug´ arváltoz´ ast tudjuk használni pulz´ aló csillagok t´ avolságának meghatározás´ ara, ha megfigyelésekb˝ ol kisz´ am´ıtottuk az Fxmegf (t) fluxust, és vannak olyan légkörmodelljeink, amelyek megadj´ ak Fx (t)-t. Ezeket és a (10.16) sug´ arváltoz´ ast behelyettes´ıtve (10.12)-ba megkapjuk a ϑ(t) szögsugár id˝obeli változ´ asát. Mivel R(t) abszol´ ut egységekben szerepel (10.16)-ben a d t´ avolságot is megkapjuk szintén abszol´ ut egységekben ha legal´ abb két t id˝opontra fel tudtuk ´ırni (10.12)-t és (10.16)t. A módszer alkalmazás´ anak részleteiben nem egységes a szakirodalom, de itt feladatunk csak a módszer bemutat´ asa volt. A komplik´ aci´ ot okozó faktorok vázlatosan. • Bizonyos f´ azisokban bonyolult légköri mozgások vannak, ezekben dinamikus légkörmodellekb˝ ol kellene kisz´ am´ıtani a fluxust, ilyenek azonban alig léteznek.


144

Ezt a nehézséget u ´gy lehet kiker¨ ulni, hogy csak azokat a fázisokat használjuk, amelyekben a 7.5.2. fejezetben eml´ıtett kvázisztatikus atmoszféra közel´ıtés alkalmazható. • Figyelembe kellene venni azt, hogy a v(r, t)(6= vR (t)!) sebesség a τ optikai mélység f¨ uggvénye, amit a megfigyelések sugallnak. A pulz´ aci´ os ciklusban látunk ugyanis nemcsak aszimmetrikus vonalprofilokat, hanem akár vonalkett˝ oz˝odéseket is. Mivel ezek a faktorok a fényg¨ orbe egy-egy szakasz´ aban k¨ ulönösen markánsak, ezért sokan ezeket a szakaszokat kihagyj´ ak az anal´ızisb˝ ol. A (10.12) szögsugár τ = 0-ra vonatkozik, ennek asztrofizikailag megfelel˝o p´ arja vR (t). • A vγ sebesség 1kms−1 hib´ aja d 10 százalékos hibáj´ at idézi el˝o. Az 1kms−1 pontoss´ ag elérése szinte illuz´ orikus, mert csak vrad -t tudjuk mérni, ami egyetlen adattal jellemzi egy kompresszibilis, olykor szuperszónikusan mozgó, lökéshull´ amokat tartalmaz´ o g¨ ombhéj mozg´ asát egy vγ sebességgel mozgó koordinatarendszerben.

10.5.2.

Dinamikai m´ odszer

A (7.35) dinamikai egyenlet fel´ırva az r ≈ R tartományra k´ınál egy dinamikai módszert nemcsak d, hanem a pulz´ aló csillag t¨ omegének a meghatározására is. A pulz´ al´ as ”nyugodt” f´ azisaiban, amikor a gyorsul´ asok nem nagyok, és lökéshull´ amok nincsnek a csillag légkörében egy-egy t id˝opontban sztatikus légkörmodellek sorozat´ aval közel´ıthetj¨ uk a P (r, t), ρ(r, t), r ≤ R rétegz˝odéseket, amelyekkel a (7.34) kontinuit´ asi egyenlet megoldható, vagyis a t¨ omeg megmaradását kifejez˝o v(r, t), r ≤ R sebességprofilt kapunk a légkörre. Amikor a légkör jól le´ırhat´ o sztatikus modellekkel k¨ ulönösen j´ o és egyszer˝ u közel´ıtés az r-t˝ol f¨ uggetlen ge (t) = −

1 ∂P , ρ ∂ρ

(10.17)

ahol ge (t) az id˝oben változ´ o effekt´ıv nehézségi gyorsul´ as, amihez egy (7.29) rétegz˝odés ¨ gyorsul´ tartozik. E lépés szemléltethet˝ ou ´gy, hogy a sztatikus légkörmodell R assal mozg´ o liftbe van bezárva, a lift teteje R-nél van, és annak környezetében kialakul a (7.29) rétegz˝ odés, amihez azt´ an P (r, t) = RT (τ ≈ 0)ρ(r, t)/µ nyom´ as tartozik. Ha a v(r, t) sebességprofilt és (10.17)-t behelyettes´ıtj¨ uk leg´ alább két t id˝opontra (7.35)-be és felhasználjuk (10.12)-t vég¨ ul megkapható (7.35) két ismeretlenje: M és d. ¨ E módszer alkalmazás´ anak is vannak nehézségei, els˝osorban az, hogy ∂v/∂t ≈ R csak numerikus differenci´ al´ assal kapható meg ϑ(t)-b˝ ol, továbbá ge (t) meghatározásának pontoss´ agát nem könny˝ u a k´ıv´ ant szintre fokozni, amint ezt a 10.2. ábra sejteti. De a nehézségek lek¨ uzdéséért cserébe itt nemcsak d-t, hanem egy´ uttal az M t¨ omeget is megkaptuk, és valamelyest tekintettel voltunk arra, hogy a csillag légköre nem infinitézim´ alis vastagság´ u, vagy azonos sebességgel mozgó g¨ ombhéj, hanem egy kompresszibilis g¨ ombhéj t¨ omegmegmaradást is figyelembe vev˝ o áramlással.

BARCZA SZABOLCS. Egyetemi jegyzet. BUDAPEST, 1997 AZ ELTE Eötvös Kiadónál megjelent 1997-es kiadás revideált változata

Recommend Documents