BAB IV TURUNAN FUNGSI
Setelah kita membahas limit dan kekontinuan fungsi pada bab sebelumnya, kita akan membahas tentang turunan yang konsepnya dikembangkan dari konsep limit. Pembahasan turunan dibagi menjadi dua bagian, bagian pertama membahas pengertian, sifat dan penghitungan turunan suatu fungsi, bagian kedua membahas penggunaan turunan. Bagian pertama akan kita bahas pada bab ini, sedangkan bagian kedua akan dibahas pada bab selanjutnya. TIK :
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan mampu menentukan turunan fungsi yang diberikan.
4.1 Pengertian dan Tafsiran Turunan Perhatikan gambar berikut.
L f(x+h) y = f(x) L 1
x+h h
x
f(x)
Gambar 4.1.
Pada gambar di atas, garis L2 menyinggung kurva y f(x) di titik (x,f(x)), sedangkan garis L1 melalui titik (x,f(x)) dan titik (x+h,f(x+h)). Jika h mendekati nol, maka garis L1 akan mendekati garis L2, sehingga gradien garis L1 akan mendekati gradien garis L2. Hal ini dapat dinyatakan dalam bentuk limit sebagai berikut: m L1 lim m L1 lim h 0
h 0
f( x h) f( x) . h
28
Bentuk lim
h 0
f (x h) f( x) dikenal sebagi turunan fungsi y = f(x), yang dinotasikan dengan h
dy df , y’ , , atau f’(x). dx dx
Dengan demikian secara geometris turunan fungsi merupakan gradien garis singgung kurva dari fungsi tersebut di titik yang diberikan. Karena turunan dedifinisikan dengan menggunakan limit sedangkan limit fungsi tidak selalu ada, maka fungsi mungkin tidak mempunyai turunan di beberapa titik tertentu. Sebagai contoh, perhatikan fungsi nilai mutlak f ( x ) x , yang grafiknya diberikan dalam gambar di bawah ini.
Gambar 4.2. Jika kita memperhatikan gambar dengan cermat, maka akan didapatkan bahwa grafik fungsi nilai mutlak di atas berupa garis lurus, yang sebelah kanan sumbu y adalah berupa garis y = x sedangkan yang sebelah kiri sumbu y berupa garis y = -x. Garis di kanan dan kiri sumbu y mempunyai gradien yang berbeda, sehingga patut dicurigai bahwa fungsi f ( x) x tidak mempunyai turunan di perpotongan kurva dengan sumbu y, yaitu titik (0,0). Karena lim
f (0 h) f (0) | h| | 0| h lim lim lim ( 1 ) 1 , h0 h 0 h h h h0
lim
f (0 h) f(0) f (0 h ) f (0) , lim h 0 h h
h0
maka h 0
sehingga f ' ( 0 ) lim
h0
f(0 h) f(0) tidak ada. h
Contoh a. Tentukan gradien garis singgung kurva y x 2 di titik (2,4) b. Tentukan apakah fungsi y x 2 mempunyai turunan di x = 0? Penyelesaian: a. Gradien garis singgung kurva y x 2 di titik (2,4) adalah m = f ' ( 2 ) lim
h0
f (2 h) f(2) ( 2 h )2 2 2 lim lim( 4 h ) 4 . h 0 h 0 h h
Oleh karena itu persamaan garis singgungnya adalah 29
y y 0 m( x x0 ) y 4 4( x 2 ) y 4 x 4
b.
f ' ( 0 ) lim h 0
f(0 h) f(0) h2 02 lim lim h 0 , h 0 h0 h h
Jadi y x 2 mempunyai turunan di x = 0.
4.2. Sifat dan Rumus Turunan Jika kita menentukan turunan secara langsung dengan menggunakan definisi turunan, maka kita akan mendapatkan banyak kesulitan dan memakan waktu yang lama. Untuk itu diperlukan cara lain di samping menggunakan definisi secara langsung, yaitu dengan menggunakan sifat dan rumus turunan. Berikut diberikan beberapa sifat penting dalam pencarian turunan suatu fungsi. Jika c konstanta dan f dan g fungsi yang dapat diturunkan, maka 1.
d cf ( x ) c d f ( x ) dx dx
2.
d f ( x ) g( x ) d f ( x ) d g( x ) dx dx dx
3.
d f ( x ) g( x ) d f ( x ) d g( x ) dx dx dx
4.
d f ( x )g( x ) f ( x ) d g( x ) g( x ) d f ( x ) dx dx dx
5.
d f ( x ) dx g ( x )
g( x )
d d f ( x ) f ( x ) g( x ) dx dx g( x )2
Aturan Rantai. Jika f dan g keduanya fungsi yang mempunyai turunan, dan h = f o g adalah fungsi komposisi yang didefinisikan oleh h(x) = f(g(x)), maka h mempunyai turunan, yaitu h’ yang dinyatakan oleh Dalam notasi Leibniz, jika mempunyai turunan, maka
h’(x) = f ’(g(x)). g’(x) y = f(u) dan u = g(x) keduanya merupakan fungsi yang dy dy du . dx du dx
Selanjutnya di bawah ini diberikan rumus- rumus dasar turunan. No. 1
Fungsi y = k, k konstanta n
2
y=x
3
y = ln x
Turunan fungsi y’ = 0 y’ = nxn-1 y’ =
1 x 30
4
y = ex
y’ = ex
5
y = a x, a 1
y’ = ax ln a
6
y = alog x, a >0, a 1
y’ =
7
y = sin x
y’ = cos x
8
y = cos x
y’ = - sin x
1 x ln a
Contoh 1. Jika h(x) = x.g(x) dan g(3) = 5 dan g’(3) = 2, carilah h’(3). 2. Carilah turunan fungsi: a.
y x 8 12 x 5 4 x 4 10 x 3 6 x 5
b. y = c.
x2 x 2 x3 6
y sin 4 ( e x ln x )
Penyelesaian: 1.
h( x ) xg ( x ) aturan perkalian h' ( x ) 1.g ( x ) xg' ( x ) h' ( 3 ) g( 3 ) 3 g' ( 3 ) 11
2. a.
y'
d 8 d 5 d 4 d 3 d d 5 x 12 x 4 x 10 x 6 x dx dx dx dx dx dx
= 8 x 7 60 x 4 16 x 3 30 x 2 6 x 2 x 2 aturan pembagian u y' ,u x 2 x 2,v x 3 6 3 v x 6 3 u' v uv' ( 2 x 1 )( x 6 ) ( x 2 x 2 ).3 x 2 y' v2 ( x 3 6 )2 y
b.
y'
x 4 2 x 3 6 x 2 12 x 6
x
3
6
2
c. y sin 4 ( e x ln x ) aturan rantai y u 4 ,u sin( e x ln x ),u sin v ,v e x ln x dv 1 du d dv 1 ex , (sin v ) v' cos v ( e x ) cos( e x ln x ) dx x dx dv dx x 4 du du 1 1 y' . 4u 3 ( e x ) cos( e x ln x ) 4( e x ) cos( e x ln x ) sin 3 ( e x ln x ) du dx x x
4.3. Turunan Tingkat Tinggi Jika f fungsi yang dapat diturunkan, maka turunannya yaitu f ’ juga berupa fungsi. Jika f‘ mempunyai turunan, maka turunan f’ kita notasikan dengan f ’’. Notasi lain untuk turunan kedua dari y = f(x) adalah 31
d dy d 2 y D2 f ( x ) . dx dx dx 2
Umumnya turunan ke-n dari y = f(x) dinyatakan dengan y( n )
dny D n f ( x ) . dx n
Contoh. 1. Carilah
d2y dari : dx 2
a. x2 + y2 = 25 b. y = ln t, x = et 2. Carilah turunan ke n dari fungsi y e kx . Penyelesaian : 1a. Dari contoh sub bab sebelumnya telah diperoleh turunan dari x2 + y2 = 25, yaitu dy x . dx y
Karena
d 2 y d dy d x dx 2 dx dx dx y
Dan mengingat y adalah fungsi dari x, dengan aturan pembagian dan aturan rantai, diperoleh y .1 x . x y . dx x . dy d x y y .2 x 2 dx dx dx y y2 y2 y3
Jadi
d2y y .2 x 2 dx 2 y3
b. y = ln t, x = et dy 1 1 dy dy dt . dt = tt = t dx dx dt dx e te dt d dy dy dx d d 2 y d dy dx dt dt . 2 dx dx dx dt dx dx dt
=
1 t t 2et 1 t et t 2 e 2t
2. y e kx y' ke kx y' ' k 2 e kx y' ' ' k 3e kx ... y ( n ) k n e kx . Soal Latihan 1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut pada titik yang diberikan. a.
y 1 2 x 3 x 2 di titik (- 2, - 7)
b. y
1 , di titik (1,1) x2
32
2. Tentukan apakah fungsi di bawah ini mempunyai turunan pada titik yang diberikan. a. y x 1 di x = 1 b. y x 2 4 di x = 2
c.
x 2 1, x 1 di x = 1 f(x) 3 x 2 , x 1
d.
x 2 1, x 2 di x = 2 f(x) 8 x x 2 9 , x 2
3. Masing-masing bentuk limit di bawah ini menyatakan turunan suatu fungsi y f (x) di titik x a . Tentukan bentuk fungsi, turunan fungsi, dan nilai a pada setiap kasus. a. lim h0
b.
1 h 1 h
x9 1 x 1 x 1
lim
4. Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut: a. g(s) = (s2 + s + 1) (s2 + 2) b. g(y) = (y2 + 1) (2y – 7) c. h( x ) d.
ax b cx d
ya
b c x x2
5. Carilah persamaan garis singgung pada kurva di titik yang diberikan.
2x , di titik (1, 1) x 1
a.
y
b.
y x x , di titik (1, 2)
c.
y
d.
y x x , di titik (1, 1)
x , di titik (4 ; 0,4) x 1
6. Carilah titik pada kurva y = x3 – x2 – x + 1 yang garis singgungnya pada titik tersebut mendatar. x1000 1 x 1 x 1
7. Tentukan nilai lim
8. Tulislah fungsi komposisi dalam bentuk f(g(x)). Tentukan fungsi sebelah dalam u = g(x) dan fungsi sebelah luar y = f(u). Kemudian carilah a.
y x 2 4x 6
dy . dx
2
33
b. y 3 1 x 3 c.
y x2 7x .
9. Carilah turunan fungsi-fungsi berikut a.
10
b. y s 2 1
4
c.
y 3 x 2 5 x 2 x 1
12
s3 1
y tan x
d. y sec x e.
y ar c tan x
11. Carilah turunan pertama dari fungsi di bawah ini : a. xy + ln y = 1 b. c. d. e.
ln x + xy + ey = 3 cos (x + y) – eyx = x sin xy + ln (x +y) = ex eyx + x ln y = sin 2x
12. Carilah nilai turunan pertama dari fungsi di bawah ini pada titik yang diberikan a. xy – ln y = x; (0,1) b. x + xy + 2y – 1 = 0; (1,0) c. x3y + y3x = 30; (1,3) d. x2y2 + 4xy = 12y; (2,1) 13. Carilah turunan pertama fungsi yang diberikan a. y = ln t, x = et b. y = et
2
t
, x = ln (et +1)
c. y = et + 2, x = e-t + 5 d. y = et + ln t, x = et + 1 e. y = te2t + t, x = et + t f. y = t3 + 2t, x = 3t2 + 5 14. Carilah turunan kedua untuk fungsi-fungsi di bawah ini a. xy + y3 = 2 b. y x 3 3 x c.
y x 3 ln( x 2 1 )
15. Carilah nilai y’’ dari fungsi di bawah ini pada titik yang diberikan a. x3 + y3 = 3xy; (0,0) b. x2 + y2 = 25; (3,4) 16. Carilah turunan ke n dari fungsi di bawah ini: a. y sin x b. y cos( px q ) 34
