BAB IV FUNGSI REGULAR
KONSTRUKSI FUNGSI
REGULAR
Proposisi IV.1 Hal. 55
Misalkan u fungsi panharmonik bernilai real pada . Maka secara lokal, f ( z ) u ( z ) iv ( z ) Regular pada . Dimana v( x, y )
y
u x ( x, t ) a
dan ( x)
e
x
e x u y ( x, a )dx c
u ( x, t ) dt
( x)
Akibat IV.1 Hal. 56
Misalkan u panharmonik bernilai real. f1
u iv1
regular
f2
u iv2
regular
v1 v2
ke
x
, k
Akibat IV.2 Hal. 56
Misalkan f dan g fungsi f
u iv
g
u iw
f ( z)
regular.
g ( z ) ike
x
, k
.
Proposisi IV.2 Hal. 56 Misalkan v fungsi panharmonik bernilai real pada . Maka secara lokal, f ( z ) u ( z ) iv ( z ) Regular pada . Dimana u ( x, y )
y
v x ( x, t ) a
dan ( x)
e
x
e x v y ( x, a )dx c
v( x, t ) dt
( x)
Akibat IV.3 Hal. 57
Misalkan v panharmonik bernilai real. f1
u1 iv
regular
f2
u2 iv
regular
u1 u2
ke x , k
Akibat IV.4 Hal. 57
Misalkan f dan g fungsi f
u iv
g
w iv
f ( z)
regular.
g ( z ) ke x , k
Proposisi IV.3 Hal. 58 Fungsi
regular konstan adalah fungsi nol
Proposisi IV.4,5,6 Hal. 58-59 Misalkan f fungsi f bernilai real
regular pada .
f z
f bernilai imaginer f ( z)
regular
f(z)
ke x , k
.
f ( z ) ike
x
, k
x
x
, A, B
Ae
iBe
Pendefinisian Sekawan Panharmonik Hal. 59 Fungsi v disebut sekawan panharmonik dengan u jika u dan v memenuhi persamaan Cauchy-Riemann yang diperumum (C-R-P), yaitu
ux = v y + u uy = -vx - v
Akibat IV.5 Hal 59 v sekawan panharmonik dengan u -v sekawan panharmonik dengan -u
Proposisi IV.7 Hal. 59
Misalkan f
u iv fungsi
Regular.
Fungsi u dan v saling sekawan panharmonik i f (z ) fungsi
regular
Akibat IV.6 Hal. 60 Misalkan f(z)
u(z) iv(z) fungsi
i f ( z ) fungsi f ( z)
A(1 i )e
y
regular.
regular
B (1 i )e y , A, B
R
Akibat IV.7 Hal. 60 Misalkan f
u iv fungsi
regular.
u dan v saling sekawan panharmonik f ( z)
A(1 i )e
y
B (1 i )e y , A, B
R
Akibat IV.8 Hal. 60
Misalkan f regular. Jika if(z) regular f fungsi nol
PENYAJIAN INTEGRAL FUNGSI Lihat [10]
Misalkan
REGULAR
sembarang lintasan tertutup sederhana pada .
dan f ( z ) fungsi
regular pada . Jika r
z a maka
1 f ( z) 1 f (a) rK 0 ' ( r )dz f ( z ) K 0 ( r )dz 2 i a z 2 i asalkan a di dalam . Jika a di luar maka ruas kanan nol.
Lema IV.1 Hal. 61 (lihat [10])
Misalkan h( z ) C 1 Re L(h( z ))
0
. Im h( z )dz
0.
Lema IV.2 Hal. 61
Misalkan h( z ) Im L(h( z ))
C 0
1
.
Re h( z )dz
0.
Proposisi IV.8 Hal. 61
f dan g masing - masing fungsi Re f(z)g(z)dz
regular pada 0
Akibat IV.9,11 Hal. 62
f
regular pada
Re f 2(z)dz f 2(z)dz
0 f 2(z)dz
0
Akibat IV.10 Hal. 62
f dan g masing - masing fungsi
f(z)g(z)dz
regular pada
f(z)g(z)dz
0
Akibat IV.12 Hal. 62
f ( z ) u ( z ) iv1 ( z ) fungsi
regular
g ( z ) u ( z ) iv 2 ( z ) fungsi
regular
Im ( f
g )( z ) dz
0
Akibat IV.13 Hal. 62
f ( z ) u1 ( z ) iv ( z ) fungsi
regular
g ( z ) u 2 ( z ) iv ( z ) fungsi
regular
Re ( f
g )( z )dz 0
Lema IV.3,4,5 Hal. 63
Misalkan u panharmoni k
f
u
Lu
regular (Duffin)
f
u
Lu
regular
f
i Lu
u
regular
Proposisi IV.9 Hal.63
u panharmoni k pada f regular pada
f ( z ) Ludz
u ( z ) Lf ( z )d z
0
untuk sembarang lintasan t ertutup sederhana dalam
Lema IV.6,7 Hal.65
Misalkan h( z ) C 1 ( ). Re L h( z )
0
Im h( z )d z
0
Im L h( z )
0
Re h( z )d z
0
Proposisi IV.11 Hal. 66
f dan g masing - masing fungsi Re f(z)g(z)dz
0
regular
Akibat IV.14 Hal.66
f
regular
2
Re f ( z )d z
0
Akibat IV.15-18 Hal.66
Misalkan f
regular .
Im L f
0
fd z
f dz
0
Im Lf
0
fdz
fdz
0
u iv
fdz
fdz
2
fd z
f dz
0
f
Re L f
0
vdA
Akibat IV.19 Hal. 67
f
regular
2
f ( z )dz
2
f ( z )d z
0
Akibat IV.20,21 Hal. 67
f
u iv1
regular
g
u iv 2
regular
Im
f
g ( z )dz
Im (f-g)(z)d z Γ
0 0
Akibat IV.22,23 Hal. 67
f
u1 iv
regular
g
u2
regular
iv
Re
f
Im ( f Γ
g ( z )dz g )( z )d z
0 0
Proposisi IV.12 Hal. 70
Misalkan f
regular pada cakram z - z 0 i 1 ( R)
f ( z0 )
f ( z) D ( z0 , R )
z
z0
2
dz
dan z
f ( z0 )
2
i 1 ( R)
f ( z) D ( z0 , R )
z
z0
2
dz
R, maka
Proposisi IV.13, 14 Hal. 71
Misalkan f g ( z )dz
regular pada , maka i
g ( z )dxdy
D
g ( z0 )
1 g ( z) dz 2 i z z0 2
g ( z) dxdy, z 0 z z0
PRINSIP REFLEKSI FUNGSI REGULAR NOTASI D adalah domain pada bidang yang simetri terhadap sumbu real. D
D Im z
D
z, z
I
DR
D
0
Proposisi IV.15 Hal. 72
Misalkan u fungsi kontinu pada suatu domain Jika untuk masing - masing x 0 demikain sehingga untuk 0 u ( x)
terdapat bilangan r
2 1 u ( x re i )d 2 I0 ( r) 0
maka u panharmonik pada .
.
berlaku
Proposisi IV.16 Hal. 73
Misalkan u ( z ) fungsi panharmonik bernilai real pada D sehingga u ( z )
0 untuk z
D dan z
I.
Maka u ( z ) panharmonik pada D, dan perluasannya memenuhi u( z)
u ( z ), z
D.
Proposisi IV.17 (Ketunggalan) Hal. 74
Misalkan f dan g dua buah fungsi regular pada . Maka f
g jika dan hanya jika himpunan infinit
z Ω:f(z) g(z) punya titik limit di .
Proposisi IV. 18 Hal. 74 Misalkan f fungsi regular pada D+ dan bernilai real pada sumbu real, maka f dapat diperluas atas daerah D. Pendefinisian fungsi yang digunakan
F ( z)
f ( z) , z
D
f ( z) , z
D
Proposisi IV.19 Hal. 74
Misalkan f fungsi f ( z)
f ( z ), z
D
regular pada D. f bernilai real pada I .
Proposisi IV.20 Hal. 75 Misalkan f fungsi regular pada D+ dan bernilai imaginer pada sumbu real, maka f dapat diperluas atas daerah D. Pendefinisian fungsi yang digunakan F ( z)
f ( z)
,z
D
- f ( z) , z
D
Proposisi IV.21 Hal. 75
Misalkan f fungsi f ( z)
f ( z ), z
regular pada D. D
f bernilai imaginer pada I .
Prinsip Maksimum Modulus Fungsi Proposisi IV. 22, Hal. 76
Jika f fungsi
regular pada
nilai maksimum di
Regular
, maka f mencapai
pada batasnya.
S
{ f ( z) n 0
f ( 0)
a n z n : f analitik univalen pada D(0,1)
0, f ' (0) 1}
Konjektur Bieberbach 1916
an n Bukti Louis de Branges 1984
J.L. Schiff & Walker 1990 F : S f Ff ( z)
n 0
F f fungsi
an z n
S
Ff , f
( r) n
S
an
2(n 1) regular pada D(0,1). n 0
zn
Selanjutnya kita pandang, f ( z) n 0
an z n
dengan a
n 1
( r) n 2(n 1)
n 1
a n zn
an , n
n
( r ).
0,1,2,3,...
1 n 1
( r ).
Kelas fungsi Analitik Bieberbach - Eilenberg B { f ( z) n 1
a n z n : f ( z ) f ( ) 1 untuk tiap pasang titik z dan di D(0,1)}
Roginski (1939) : Konjektur an
1, n
Bukti oleh Lebedev dan Milin (1951). Aharonov dan Nehari (1970) menunjukkan n 1
an
2
1.
Fungsi Regular Dibangun dari Kelas Fungsi Bieberbach-Eilenberg
an
a a
n 1
n
2 n
1 1 6
2n
,n 2
2
1,2,3,...
Komposisi Dua Fungsi Hal. 79
Misalkan f dan g di C 1 ( ), dan f g terdefinisi pada . Maka berlaku, z z
f g f g
(z)
(z)
f z f z
g(z)
g ( z) z
f g ( z) z g(z) z
g(z)
g ( z) z
f g ( z) z g(z) z
Akibat IV.30 Hal. 79
Misalkan f analitik dan g Maka berlaku, z z
f g f g
(z)
(z)
regular dan f g terdefinisi pada . f z f z
g(z)
g ( z) z
g(z)
g ( z) z
Proposisi IV.23 Hal. 80
Misalkan f fungsi regular disetiap titik pada suatu daerah yang memiliki batas sejumlah hingga kontur - kontur tutup sederhana . Misalkan pula Φ(w) fungsi analitik di w Re Γ
( f ) fx
f ( z ), maka Im( ( f ) f dz
0.
Proposisi IV.24 Hal. 80
Misalkan f fungsi regular di dalam dan pada kontur tutup tutup sederhana Γ dan f ( z ) 0 untuk setiap titik pada Γ . Maka jumlah total bilangan nol dari f ( z ) di dalam Γ adalah N
Re
1 2 i
fx f
f 2 f
f dz . 2 f
TERIMAKASIH
