BAB III PERBANDINGAN ANALISIS REGRESI MODEL LOG - LOG DAN MODEL LOG - LIN
A. Regresi Model Log-Log Pada prinsipnya model ini merupakan hasil transformasi dari suatu model tidak linier dengan membuat model dalam bentuk logaritma. Untuk memudahkan pemahaman akan digunakan pendekatan empiris dengan memanfaatkan model regresi eksponensial, yang mempunyai model umum yaitu : =
3.1
dengan : variabel terikat : variabel bebas ,
: parameter-parameter : error
Dari persamaan di atas baik variabel maupun parameternya tidak linier, sehingga model tersebut bukan merupakan model regresi linier. Akan tetapi model tersebut bisa ditransformasikan menjadi bentuk linier. Dengan mengambil logaritma natural dari persamaan sisinya, maka diperoleh : ln
=
41
3.1
pada kedua
42
ln
=
+
ln
=
+
ln
=
+ ln
+
ln
+ +
3.2
dengan menganggap = maka persamaan 3.2 dapat ditulis menjadi ln
=
+
ln
+
3.3
Model ini merupakan model regresi linear, karena parameter
dan
dalam
model ini berbentuk linear. Menariknya, model ini juga linear karena variabel Y dan X dinyatakan dalam bentuk logaritma. Karena bentuk linearitaas yang demikian ini, maka model seperti persamaan 3.3 disebut model log ganda (kedua variabelnya berbentuk logaritma linear).
1.
Estimasi Parameter Satu Variabel Bebas Dengan menerapkan metode kuadrat terkecil pada model 3.3 akan ditaksir
nilai-nilai , β1. Secara matematis, meminimalkan nilai error dapat dilakukan melalui langkah-langkah berikut : = ln
– ln Y
= ln
−
" + # ln
sehingga $
%
= $ ln
−
# − # ln
%
3.4
43
Penaksir-penaksir kuadrat terkecil %
turunan pertama (secara parsial) dari∑
, β1 diperoleh dengan menghitung
terhadap βˆ0 , βˆ1 dan kemudian disamakan
dengan nol : (∑ (
%
#
(∑ (#
=0→ %
−2 $ ln #
# − # ln
−
= 0 → −2 $ ln
−
ln
=0
# − # ln
3.5 =0
3.6
dari (3.5) diperoleh persamaan normal: ln # + # $ ln
= $ ln
3.7
dari (3.6) diperoleh persamaan normal: # $ ln
+ # $ ln
%
= $ ln
ln
3.8
Dari (3.7) diperoleh # : # = /=
∑ ln
− # ∑ ln
3.9
dengan mensubstitusikan persamaan
3.9
ke dalam persamaan
3.8 , maka
diperoleh # :
# =
∑ ln ∑
ln
%
− ∑ ln − ∑ ln
ln %
3.10
44
2.
Estimasi Parameter Dua Variabel Bebas Dengan menerapkan metode kuadrat terkecil pada model tiga variabel yaitu ln
=
+
ln
akan ditaksir nilai-nilai
+
, dan
,
% ln %.
+
3.11
Secara matematis, meminimalkan nilai error
dapat dilakukan melalui langkah-langkah berikut : =
–
=
−
2
# + # ln
+ #%
sehingga $
%
=$
−
# − #
%
− #%
Penaksir-penaksir kuadrat terkecil , turunan pertama (secara parsial) dari ∑
, dan %
%
3.12
diperoleh dengan menghitung
terhadap # , " , dan #% kemudian
disamakan dengan nol : (∑ (# (∑ (#
%
%
= 0 → −2 $
−
= 0 → −2 $ ln
(∑ % = 0 → −2 $ ln ( #%
%
# − # ln
− #%
=0
−
# − # ln
− #%
−
# − # ln
− #%
3.13 =0
%
3.14
= 0 3.15
dari (3.13) diperoleh persamaan normal: ln # + # $ ln
+ #% $ ln
= $ ln
3.16
45
dari (3.14) diperoleh persamaan normal: # $ ln
+ # $ ln
%
+ #% $ ln
ln
%
= $ ln
ln
3.17
dari (3.15) diperoleh persamaan normal: # $ ln
%
− # $ ln
ln
%
− #% $ ln
%
%
= $ ln
%
ln
3.18
dari (3.16) diperoleh /=
∑
− #
∑
− #%
∑
%
3.19
Dengan mensubstitusi (3.19) ke 3.14 diperoleh : # =
∑
%
∑ ln ln ∑ % ∑
− ∑ ln ln % % − ∑ ln
%
%
ln
∑ ln ln %
%
%
3.20
Dengan mensubstitusi 3.19 dan 3.20 ke 3.15 diperoleh : #% =
∑
%
∑ ln ln ∑ % ∑
%
− ∑ ln ln % % − ∑ ln
%
ln
∑ ln ln %
%
3.21
B. Regresi Model Log-Lin Model log-lin adalah suatu model dimana variabel terikat dalam bentuk logaritma, sedangkan variabel bebas berbentuk linier. Model ini berfungsi pada
46
fenomena ekonomi dimana model-model regresi yang parameter ataupun variabelnya linier mungkin kurang cocok atau kurang memadai. Untuk memudahkan pemahaman, proses transformasi tidak dijabarkan dengan pendekatan teoti statistik matematik, tetapi akan digunakan pendekatan empiris dengan memanfaatkan salah satu model yang ada dalam teori ekonomi, yaitu model laju pertumbuhan. Bentuk umum model laju pertumbuhan sebagai berikut : =
1+3
4
3.22
dimana : nilai Y mula-mula atau awal : nilai Y pada waktu t 3 : laju pertumbuhan majemuk (dalam hal ini, dari waktu ke waktu) dari Y
Dengan mengambil logaritma natural dari persamaan 3.22 pada kedua sisinya, maka diperoleh : ln
=
1+3
ln
=
+
ln
=
+
5
1+3
5
1+3
3.23
dengan menganggap = =
3.24 1+3
3.25
47
maka persamaan dapat ditulis menjadi ln
=
+
3.26
Dengan menambahkan faktor gangguan ke dalam persamaan 3.26 , maka dapat diperoleh : ln
=
+
+
3.27
Model ini seperti model regresi linear lainnya, di mana parameter
dan
dalam model ini berbentuk linear. Perbedaannya hanya terletak pada variabel terikatnya yang merupakan logaritma dari Y.
1.
Estimasi Parameter Satu Variabel Bebas Estimasi parameter regresi linier berganda bertujuan untuk menjelaskan
pengaruh satu atau lebih variabel bebas
terhadap variabel terikat
. Dalam hal ini
akan digunakan metode Ordinary Least Squares (OLS) untuk menaksir parameterparameternya. Nilai-nilai β0, β1 pada model 3.36 ditaksir dengan menerapkan metode kuadrat terkecil, menggunakan sampel sebanyak n. Secara matematis, meminimalkan nilai error dapat dilakukan melalui langkah-langkah berikut : = ln
– ln Y
= ln
− # + #
sehingga ∑
%
= ∑ ln
− # − #
%
3.28
48
Penaksir-penaksir kuadrat terkecil β0, β1 diperoleh dengan menghitung turunan pertama (secara parsial) dari ∑
%
terhadap βˆ0 , βˆ1 dan kemudian disamakan
dengan nol : ∂ ∑ ui 2 = 0 → −2∑ ln ( Υ i ) − βˆ0 − βˆ1Χ i = 0 ˆ ∂β
(3.29)
∂ ∑ ui 2 = 0 → −2∑ Χ i ln ( Υ i ) − βˆ0 − βˆ1 Χ i = 0 ∂βˆ
(3.30)
(
)
0
(
)
1
dari (3.29) diperoleh persamaan normal:
∑ ln (Υ ) = nβˆ i
0
+ βˆ1 ∑ Χ i
(3.31)
dari (3.30) diperoleh persamaan normal:
∑ Χ ln (Υ ) = βˆ ∑ Χ i
i
0
i
+ βˆ1 ∑ Χ i2
(3.32)
Dari (3.31) diperoleh βˆ0 :
βˆ 0 =
∑ ln (Υ ) − βˆ ∑ Χ i
1
i
n
= ln (Υ i ) − βˆ1 Χ
(3.33)
Dengan mensubtitusi (3.33) ke dalam (3.32) diperoleh:
βˆ1 =
ln ( Υ i )∑ Χi − ∑ Χi ln ( Υ i )
( Χ∑ Χ − ∑ Χ ) i
2 i
3.34
49
2.
Estimasi Parameter Dua Variabel Bebas Menaksir nilai-nilai
β0, β1, β2 pada model : ln Υ = β0 + β1Χ1 + β2 Χ2 + u
dengan menerapkan metode kuadrat terkecil, menggunakan sampel sebanyak n. ∧
galat: ui = ln Υ − ln Υ atau:
= ln Υ − βˆ0 − βˆ1 Χ1 − βˆ 2 Χ 2 sehingga:
∑u
2
i
(
= ∑ ln Υ − βˆ0 − βˆ1Χ1 − βˆ2 Χ 2
)
2
Penaksir-penaksir kuadrat terkecil β0, β1, β2 diperoleh dengan menghitung turunan pertama (secara parsial) dari
∑u
terhadap βˆ 0 , βˆ1 , βˆ 2 dan kemudian
2 i
disamakan dengan nol: ∂ ∑ ui 2 = 0 → −2∑ ln Υ − βˆ0 − βˆ1Χ1 − βˆ2 Χ 2 = 0 ˆ ∂β
(3.35)
∂ ∑ ui 2 = 0 → −2∑ Χ1 ln Υ − βˆ0 − βˆ1Χ1 − βˆ2 Χ 2 = 0 ∂βˆ
(3.36)
∂ ∑ ui 2 = 0 → −2∑ Χ 2 ln Υ − βˆ0 − βˆ1Χ1 − βˆ2 Χ 2 = 0 ˆ ∂β
(3.37)
(
)
0
(
)
1
(
)
2
dari (3.35) diperoleh persamaan normal:
∑ ln Υ = nβˆ
0
+ βˆ1 ∑ Χ1 + βˆ2 ∑ Χ 2
(3.38)
50
dari (3.36) diperoleh persamaan normal:
∑Χ
1
ln Υ = βˆ0 ∑ Χ1 + βˆ1 ∑ Χ12 + βˆ2 ∑ Χ1 Χ 2
(3.39)
dari (3.37) diperoleh persamaan normal:
∑Χ
2
lnΥ = βˆ0 ∑ Χ 2 + βˆ1 ∑ Χ1 Χ 2 + β 2 Χ 22
(3.40)
Dari (3.38) diperoleh βˆ0 :
# = ∑ 67 8
9 " ∑ 5 9 ": ∑ 5: ;
<<<<<<2 − # <<<<2 − #% <<<< = ln %2
3.41
Dengan mensubtitusi (3.41) ke dalam (3.39) diperoleh:
# =
∑
%
%
∑
∑
%
ln
∑
− ∑ %
%
− ∑
%
∑ %
% ln %
3.42
Dengan mensubtitusi (3.41) dan (3.42) ke dalam (3.40) diperoleh:
#% =
∑
%
%
∑
∑
% ln %
∑
− ∑ %
%
− ∑
%
∑ %
%
ln
3.43
C. Interpreatasi Model Log-Log dan Model Log-Lin Pada umumnya penginterpretasian model log-log dan log-lin sama. Untuk slope merupakan rasio antara perubahan relatif variabel terikat (Y) terhadap perubahan absolut variabel bebas (X).
51
Bila slope bernila negatif maka untuk setiap kenaikan satu satuan variabel bebas mengakibatkan penurunan nilai Y sebesar nilai slope tersebut. Namun bila slope bernilai positif, maka untuk setiap kenaikan satu satuan variabel bebas akan mengakibatkan peningkatan nilai Y sebesar nilai slope tersebut.
