BAB II V E K T O R. Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. FISIKA KELAS X Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 52

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. FISIKA KELAS X Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

BAB II VEKTOR Pernahkah Kamu naik pesawat terbang? Antara penumpang dan pilot dan copilot di ruang kemudi dipisah dengan sekat. Tujuannya agar pilot dapat berkonsentrasi mengemudikan pesawat. Pernahkah Kamu bayangkan pesawat terbang di malam hari? Bagaimana pilot mengemudikan pesawat terbang di malam hari. Dengan sistem vektor yang dikalibrasikan dengan komputer navigasi pesawat pilot dapat memantau arah tujuan pendaratan pesawat. Jadi tidak pernah sebuah pesawat nyasar ke lain tempat. Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Kecepatan, percepatan, gaya, tekanan, momentum dan sebagainya adalah contoh-contoh besaran vektor. Penulisan vektor dengan vektor satuan mempermudah pengertian tentang arah vektor itu. Beberapa vektor dapat dijumlahkan maupun dikalikan. Pada bab ini Kamu akan memperdalam tentang vektor sebagai besaran yang memiliki nilai dan arah. Meliputi vektor dua dimensi dan vektor tiga dimensi.

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

52


Tentunya Kamu pernah mempelajari jurusan tiga angka di SMP. Gambar di atas menggambarkan arah tiga kota yang menjadi rute penerbangan pesawat terbang. Kota 2 berarah 215 dari kota 1, kota 3 berarah 300 dari kota 2, dan kota 1 berarah 079 dari kota 3. Jurusan tiga angka merupakan pelajaran vektor yang menyatakan arah dan besar perpindahan. Vektor menyatakan arah dan besar suatu besaran. Jurusan tiga angka, Analisi ruang, Navigasi penerbangan dan pelayaran selalu menggunakan vektor untuk keperluan itu. Peralatan navigasi membutuhkan perhitungan vektoris yang sudah dikalibrasikan dengan alat ukur sehingga menghasilkan keluaran manual atau digital. Keluaran itu dapat dibaca pada pada alat ukur yang menera besar dan arah secara bersamaan, sehingga bermanfaat bagi orang yang memantaunya.


53

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. Tujuan Pembelajaran   

Menjumlahkan dua vektor atau lebih dengan cara grafis maupun analitis Menghitung jumlah dan selisih vektor-vektor dua dimensi Menjumlahkan vektor-vektor tiga dimensi menggunakan vektor satuan

Peta Konsep Bab 2 Penjumlahan

Cara Grafis

Vektor Analitis Poligon

2 dimensi

Perkalian

Segitiga

3 dimensi

Perkalian Dot

Perkalian Cross

Jajaran Genjang

Standar Kompetensi  Menerapkan konsep besaran fisika dan pengukurannya Kompetensi Dasar  Melakukan penjumlahan vektor


54


Kata Kunci (Key-words) 

Cara Analitis



Cara Grafis



Cara Jajaran Genjang



Cara Poligon



Cara Segitiga



Perkalian Silang (cross product)



Perkalian Titik (dot product)



Resultan vektor



Skalar



Titik Tangkap



Vektor



Vektor Satuan

Daftar Konstanta Cepat rambat cahaya

c

3,00 x 108 m/s

Konstanta Coulomb

k

8,99 x 109 N.m2/C2

Konstanta gas umum

R

8,314 J/K.mol

Konstanta gravitasi umum

G

6,67 x 10-11 N.m/kg2

Muatan elektron

e

1,60 x 10-19 C


55

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. BAB II VEKTOR

A. Pengertian Vektor Penggolongan besaran-besaran dalam kehidupan sehari-hari telah diketahui menjadi dua, yaitu besaran pokok dan besaran turunan. Namun ada juga pengelompokan lain berdasarkan nilai dan arah besaran. Penggolongan semacam ini membedakan besaran-besaran menjadi dua kelompok, yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar diartikan sebagai besaran yang hanya memiliki nilai saja, sedangkan besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan memiliki arah. Jarak termasuk besaran skalar, sedangkan perpindahan dikatakan sebagai besaran vektor. Orang mengukur jarak adalah menghitung seluruh lintasan gerak yang ditempuh, sedangkan mengukur perpindahan berarti mengukur panjang dari titik awal ke arah titik akhir lintasan. Jadi kalau seorang siswa berlari dari suatu sudut mengelilingi lapangan sepak bola satu kali putaran, berarti Ia menempuh jarak keliling lapangan sepak bola itu, tetapi dikatakan perpindahannya nol. Contoh besaran skalar lainnya adalah panjang, massa, waktu, suhu, kelajuan. perlajuan, usaha, daya sedangkan contoh besaran vektor diantaranya perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, momentum dan sebagainya. Gambar berikut ini merupakan besaran vektor diantaranya kecepatan angin, kecepatan arus air laut yang menggerakkan kapal laut, kecepatan pesawat tempur. Tentu saja kecepatan–kecepatan tersebut memiliki besar dan arah.

Gambar 1. Kecepatan angin


Gambar 2. Kecepatan pesawat

56

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. Menurut Alonso dan Finn, sebuah vektor dapat digambarkan berupa anak panah atau ruas garis berarah. Panjang anak panah atau ruas garis menyatakan nilai atau besar vektor, sedangkan arah anak, panah menyatakan arah vektor. Notasi besaran vektor dapat dinyatakan dengan huruf besar atau huruf kecil yang diberi tanda panah di atasnya. Misalnya: vektor ab atau |AB| B

A

B. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor Dua buah vektor atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangi. Ada beberapa cara penjumlahan dan pengurangan vektor.

1. Cara Grafis Cara ini menekankan pada cara menggambarnya. Yang termasuk dalam cara grafis adalah cara poligon, cara segitiga dan cara jajaran genjang. a. Cara Poligon

    Berikut ini adalah langkah-langkah penjumlah vektor r  a  b  c dengan cara poligon. c

c

b

r b

a

a

 gambarkan salah satu vektor yang kita pilih, misalnya vektor a a  Berikut menggambarkan vektor b dengan cara pangkal vektor b

b

berada diujung vektor a c


57

a

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.  Kemudian gambarkan vektor c dengan cara yang sama

b

 Gambarkan resultan vektor r yang merupakan jumlah dari vektor a, b dan c a ujung vektor dengan cara menggambarkan vektor dari pangkal vektor a ke c, vektor resultan dinyatakan dengan besarnya atau penjang vektor resultan dan arahnya sesuai dengan hasil dari gambar yang didapat, seperti vektor berikut ini

c r

b. Cara Segitiga

b Untuk cara segitiga, berlaku untuk tiap-tiap dua vektor. Semua pangkal vektor-vektor yang akan dijumlahkan digabung menjadi satu titik tangkap. Kemudian gambarkan vektor resultan dengan menghubungkan kedua ujung vektor tersebut.

 b

r

b

r=a+b a

 a c. Cara Jajaran Genjang Untuk cara jajaran genjang, semua pangkal vektor-vektor yang akan dijumlahkan digabung menjadi satu titik tangkap. Kemudian gambarkan vektor bayangan masing-masing vektor. Selanjutnya gambarlah vektor resultan dari titik tangkap ke perpotongan vektor bayangan. Perhatikan contoh penjumlahan vektor secara jajaran genjang berikut ini.

 b

r

b

r=a+b a

 a Untuk vektor yang lebih dari dua; pertama kali tentukan a + b terlebih dahulu,


58

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. kemudian ( a + b ) + c, perhatikan contoh berikut ini. c

c b

a

b a ( a + b )+ c

c

a+b

b

c

a

b a

2. Cara analitis. Masing-masing vektor diuraikan menjadi komponen-komponen vektor searah sumbu x dan sumbu y dari sistem koordinat Cartesius.

Vektor



v x = v cos 

v y = v sin 

v1 v2 v3

1

v1 x = v cos 1

v1 y = v sin 1

2

v2 x = v cos 2

v2 y = v sin 2

3

v3 x = v cos 3

v3 y = v sin 3

v x = ................

v y = ................

Menurut Bresnick besar Resultan vektor dan arah ditentukan dengan : VR =

( vX )2  ( vY )2


Arah resultan :

59

tg  =

 vY vX


C. Vektor dalam Bidang Datar Dengan mendefinisikan vektor satuan i dan j yang masing-masing searah sumbu X dan Y, untuk vektor dua dimensi akan berlaku r = x i + y j . Misalnya posisi titik A pada gambar 3 berikut ini. Hal yang sama ditunjukkan pada gambar 4 dengan mendefinisikan tiga vektor i, j, k,    yang masing-masing sejajar dengan sumbu X. Y dan Z diperoleh r = x i + y j + z k.    Koordinat titik P(x, y, z) sebagai vektor tiga dimensi.

y

z

 ik i  0 i i i

A (x, y)

 j



y

 i

0

x

x

x

Gambar 3. Vektor Dua dimensi

P (x, y, z)

 i z

y

Gambar 4. Vektor Tiga Dimensi

1. Resultan Vektor-vektor dalam Bidang Datar 2 Dimensi (x,y) a. Segaris

 F1

 F2

   r  F1  F2  F1

 F1

 - F2


x

 F2

   r  F1  ( F2 )  - F2

 F1

60

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. b.Vektor yang membentuk sudut Besar resultan vektor a dan b dirumuskan:  r = a2 + b2 + 2ab.cos 

 = sudut apit antara vektor a dan b Batas besar resultan yang mungkin antara vektor a dan b adalah: a-b
Arah vektor terhadap vektor maupun vektor dapat ditentukan dengan rumus sinus sebagai berikut:

r a b = = sin α sin 1 sin  2

c. Pengurangan Vektor Selisih antara vektor a dan b, besarnya dirumuskan: r = a2 + b2 – 2ab.cos   = sudut apit antara vektor a dan b

2. Menguraikan vektor menjadi komponen-komponen menurut sb. X dan sb. Y dalam satu bidang

   Suatu vektor v dapat diuraikan menjadi vektor v x dan v y dimana masing-masing menyatakan vektor komponen dalam arah sb. X dan sb. Y. Besarnya vektor komponen   v x dan v y adalah : v x = v cos  dan v y = v sin  Y

v = v2x  v2 y

V

Vy 

 = sudut apit antara v dan sumbu X positif

X Vx


61


Apabila yang membentuk sudut terhadap sumbu X lebih dari satu vektor maka:  v2 x   v2 y

v =

Contoh soal: 1. Dua buah vektor F1 = 5 N, F2 = 12 N membentuk sudut  = 600, maka tentukan resultan dari F1 + F2 Jawab : R=

F12 + F22 + 2F1F2.cos 

R=

52  132  2.5.12. cos 60

R =

25  169  2.5.12.0,5 =

2.

254 = 15,94 Y

Tentukan besar komponen gaya sumbu X dan Y

F=60N

Jawab Fy

Fx = F cos  = 60 cos 60° = 60 x 0,5 = 30 N

600

Fy = F sin  = 60 sin 60° = 60 x 0,5 3 = 30 3 N

Fx 3. Tentukan besar dan arah vektor yang memiliki komponen-komponen sebagai berikut : a. Ax = 3 cm, Ay = 4 cm b. Fx = -3 N, Fy = 3 N

Jawab: a.

A

=

tg 

b.

F =

3  42

Ax2 + Ay2 = =

Ay Ax

tg 

=

Fy Fx


=

…

4 (kuadran I) 3

=

 3 2

Fx2 + Fy2 =

= 5



 3

2

3 (kuadrat II) 3

62



=

 = 530

12 

 = 1500

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 4. Hitunglah resultan gaya pada gambar di samping secara analitis! F2 Mengetahui: F1 = 40 N F2 = 60 N F3 = 30 N Jawab:

F1 = F1 cos ° + F2 cos (120°) + F3 cos (240°)

Rx

600

F3

= 40 . 1 + 60 . - 0,5 + 30 . – 0,5

300

= 40 - 30 – 15 = - 5 = F1 sin ° + F2 sin (120°) + F3 sin (240°)

Ry

= 40 . 0 + 60 . 0,5 + 30 . – 0,5 = 0 + 30 – 15 = 15 R=

Rx2 – Ry2

=

 52  152 =

250 = 15,81

Tugas Kerjakan jawabannya di buku tugasmu! 1. Dua buah gaya searah dan satu garis kerja bekerja pada sebuah benda. Masingmasing gaya besarnya 50 N dan 20 N. Tentukan besar resultan gaya yang bekerja pada benda itu ! 2. Bagaimanakah menggambarkan gaya 8 N ke arah barat diteruskan gaya 6 N ke arah selatan secara vektor? Berapakah resultannya ? 3. Tentukan resultan gaya-gaya yang saling tegak lurus seperti ditunjukkan gambar di bawah ini. Masing-masing gaya besarnya 20 N dan 50 N.

4. Dua buah vektor F1 dan F2 saling membentuk sudut 120o. F1 = 50 N dan membentuk sudut 30o dengan Resultan kedua vektor, Hitunglah besar F2 dan R.


63

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 3.Ve ktor Pada Siste m Koor dinat Ruang ( x, y, z ) Telah kamu lihat bagaimana suatu vektor diuraikan atas komponen-komponen pada sumbu x dan sumbu y. Untuk vektor yang terletak dalam ruang (3 dimensi), maka vektor dapat diuraikan atas komponen-komponen pada sumbu x, y dan z. , ,  = masing-masing sudut antara vektor A dengan sumbu-sumbu x, y dan z A = Ax+ Ay+ Az atau A = Ax i + Ay j + Az k Ax = A cos  Ay = A cos  Az = A cos  Besaran vektor A

A  / AX / 2  / AY / 2  / AZ / 2 dan i , j , k masing-masing vektor satuan pada sumbu x, y dan z

4. Vektor Satuan Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu. a. Penjumlahan Vektor Satuan    i  j  k 1   Untuk bidang dimensi 2 v = vx i  v y j    Untuk bidang dimensi 3 v = vx i  v y j  v z k

y



j i

 z

Contoh:

   a = 4 i +2 j - k    b = i - j + 2k

a + b = ( 4i +2 j - k ) + ( i - j +2 k ) = (4 + 1)i + (2 -1)j + (-1 + 2)k    =5 i + j + k

b. Perkalian Vektor Satuan  Perkalian titik (dot product)  Arah sumbu x = i


k

y j i

64 z

k

x

x

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.  Arah sumbu y = j  Arah sumbu z = k    besar i  j  k  1 satuan

Perkalian titik 2 vektor satuan sejenis   = i . i cos  i .i = 1 . 1 cos 0 = 1 . 1 . 1 = 1 satuan   j . j =1   k . k =1

Perkalian titik 2 vektor satuan lain jenis   i . j = i . j cos  = 1 . 1 cos 90 = 1 . 1 . 0 = 0 satuan   j . k =0   i . k =0 Y

Jika vektor a diuraikan menjadi vektor proyeksinya 

Vektor satuan Besar 

    a = a xi + a yj + a zk

 a

=

2

2

ax + a y + a z

0

2

a

ayj  axi

X

ay ax   Perkalian dot vektor a dengan vektor b Arah 

tg 

    a . b = a xi + b yj

=

 [a ]





[b ]

  a .b

=

cos

=

=

ax 2 + a y 2 + a z 2

=

bx 2 + by 2 + bz 2

  [ a ][ b ]cos  a.b [ a ][ b ]

Contoh 1:

    a = i + 2 j - 3k     b = -3 i + 2 j – k

       a . b = ( i + 2 j - 3k ) . ( -2 i + 5 j - k )

= ( 1 )( -2) + ( 2)(5) + ( -3 )( -1) = ( -2 ) + ( 10 ) + (3 ) = 11

Contoh 2:     Dua vektor p = 3 i - 4 j dan q = 4 i -3 j Hitung: a. p . q b. sudut apit antara p dan q


65

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. Jawab: a. p.q b.

    = (3 i - 4 j ) . ( 4 i -3 j ) = ( 3 )( 4 ) + ( -4 )( -3 ) = ( 12 ) + ( 12 ) = 24

p=

32   42 = 5

q=

42   32 = 5

bila sudut apit antara p dan q adalah , maka p . q = p q cos 

cos 

=

 p.q p.q

=

24 24 = = 0,96 25 5x5

 = 16,26° 

Perkalian silang (cross product)

- Perkalian silang 2 vektor satuan sejenis - Perkalian silang 2 vektor satuan lain jenis c

a 

-c   i x i = 1 x 1 sin  = 1 x 1 sin 0

(-) i

(+ j) b   jx j =0   k x k =0

= 1 x 1 x 0 = 0 satuan

k

   j x j = -k    i x k =-j    k x j = -i

   ix j = k    j xk =i    k xi = j

Memakai Determinan Contoh:         a = 2 i + 3 j + -4 k dan b = 3 i -4 j + 2 k      axb = i j k a x b = i (3)(2) + j (-4)(3) + k (2)(4) 2 3 -4    3 -4 2 - k (3)(3) - i (-4)(-4) - j (2)(2)       = 6 i + (-12) j + 8 k - 9 k + 8 i - 4 j - 9k 16i 4j


66

i j 2 3 3 -4 6i

-12j 8k

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.    = 14 i - 16 j - k   Besar a x b =  a x b 

=

14 2 16 2 12 =

59

Memakai Cara Praktis

    a = x i + y j + zk axb =

i x p

j y q

Contoh:     a = i + 2 j -3 k

    b = pi + q j + r k j y q

i x p

k z r

dan

   = (y.r – q.z) i + (z.p –x.r) j + (x.q – y.p) k

    b = -3 i + 2 j + k

i j i j k 2 1 -3 1 2 -3 2 1 -3 2   = (2.1 – 2. -3) i +(-3.-3 - 1.1) j + (1.2 – 2. -3) k    =8 i +8 j +8 k

Jawab: a x b =

Tugas Kerjakan penyelesaian soal-soal berikut di buku tugasmu! 1. Dua vektor

A =3i+4j B=-i+j

a. Tentukan besar dan arah resultannya! b. Tentukan besar dan arah c. Sudut antara

A-B

A dan B

2. Diketahui vektor- vektor: A

= 3 i + 4 j -5 k dan

B

=-i+j+2k

Tentukan : a. Besar resultannya. b. Hal yang sama bagi selisih A - B, dan c. Sudut antara 3. Diketahui:

A dan B

A =2i +3j B=- i+j


67

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. Hitunglah : a.

A – B

b.

A x B

c. Sudut antara A dan B

Kegiatan Percobaan

A. Judul Percobaan B. Petunjuk Belajar

Tanggal/Jam : Kelas/ Smt : X/I Kelompok : 1. ......................... 5 ............................ 2. ......................... 6. ............................ 3. ......................... 7. : Penjumlahan Vektor ............................ : 1. Baca literatur yang berkaitan dengan 4……………….. 8 vektor …………………. 2. Baca teori sebelum melakukan percobaan 3. Baca petunjuk percobaan sesuai dengan urutan langkah yang disajikan 4. Buatlah laporan hasil pekerjaan (tugas individual) dan kumpulkan kepada guru.

C. Alat-alat dan Bahan :

1. pegas Newton 2. mikrometer sekrup 3. neraca

4. bensin 5. kertas HVS 8. katrol dan beban

D. Informasi 1. Vektor adalah besaran fisika yang memiliki nilai dan arah 2. Contoh-contoh besaran vektor adalah gaya, kecepatan, arus listrik, percepatan, dan lain-lain. 3. Nilai vektor ditentukan oleh panjang garis dan arah vektor ditentukan oleh arah panah. 4. Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan 5. Hasil penjumlahan dapat bernilai lebih besar atau lebih kecil dari komponen vektornya. E. Langkah- langkah Kerja : 1. Sudut antara F1 dan F2 = 0 = 90° dan 60°


68

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. a. Susun alat bahan seperti gambar b. Catat besarnya F1, F2 dan F3 yang ditunjukkan ketiga neraca ke dalam tabel c. Lakukan beberapa kali dengan F1 dan F2 yang berbeda-beda 0 = 90 0 No.

F1

0 = 60 0 F2

F3

F3

No.

F1

F2

F3

F3

F. Kesimpulan : ........................................................................................................ ................................................................................................................................ ................................................................................................................................

Analisa Lakukan analisa setiap persoalan berikut, dan

buatlah penyelesaiannya, bila

dipandang perlu lakukan dengan perhitungan. Buatlah di buku tugasmu!

1. Siswa kelas XA kebingungan mendapatkan lima macam contoh besaran skalar dan lima contoh besaran vektor. Coba, bantulah siswa tersebut mengatasi kebingungannya 2. Pada alat speedometer seorang sopir dapat membaca besaran yang diinginkan. Besaran apakah yang dimaksud ? 3. Tentukan resultan vektor berikut secara grafis dengan

A

a. Metode Poligon : A + B + C + D dan A - B b. Metode Jajaran Genjang : A + B + C c. Metode analitis A + B + C + D B 4.

C

Sebuah Perahu motor akan menyeberang sungai yang lebarnya 35 3 dengan kecepatan arus air sungai 3 m/s . Jika kecepatan perahu untuk menyeberang 5 m/s.dengan arah 60° terhadap arah arus sungai. Maka tentukan : a. Kecepataran resultan perahu motor ketika menyeberang sungai. b. Lamanya perahu menyeberang.


69

D

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 5. Pada gambar disamping, Tentukan komponen vektor gaya F = 10 N menurut sumbu x dan y

y F 30°

x 6. Jika masing-masing kotak berukuran ( 1x1) cm Tentukan besar resultan vektor A + B

A B

 7. Usaha W didefinisikan sebagai perkalian titik dari vektor gaya F dengan vektor    perpindahan r . W = F . r Tentukan besarnya usaha W, jika     F = i + 2 j + 3 k N,     r = 3 i + 2 j + k m.     8. Suatu vektor gaya F = i + 2 j + 3 k N bekerja pada suatu poros dengan     lengan momen r = 3 i + 2 j + k m, sehingga menghasilkan momen gaya  .

Momen gaya didefinisikan sebagai perkalian silang vektor gaya dengan vektor lengan momen.

 atau momen gaya  = F x r . Tentukan besarnya momen gaya  tersebut. 9. Dua buah vektor F1 dan F2 saling membentuk sudut 120o. F1 = 50 N dan membentuk sudut 30o dengan resultan kedua vektor, hitunglah besar F2 dan R. 10. Sebuah benda ditarik oleh dua buah gaya masing-masing besarnya 10 newton. Kedua gaya itu membentuk sudut 600. Berapakah besar resultan kedua gaya tersebut ?


70

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. Rangkuman 1. Besaran Skalar adalah besaran yang hanya ditentukan oleh besarnya atau nilainya saja. Contoh : panjang, massa, waktu, kelajuan, dan sebagainya. 2. Besaran Vektor adalah besaran yang selain ditentukan oleh besarnya atau nilainya, juga ditentukan oleh arahnya. Contoh : kecepatan, percepatan, gaya dan sebagainya. 3. Sifat-sifat vektor. 







a.

A + B = B + A Sifat komutatif.

b.

A + ( B + C ) = ( A + B ) + C Sifat assosiatif.





















c. a ( A + B ) = a A + a B 







d. / A / + / B /  / A + B / 4. Resultan Dua Vektor a. Cara Jajaran genjang

α = sudut antara A dan B 









2 2 / R / = / A/  / B / 2 / A/ / B / cos arahnya :







/ R/ / A/ / B/   sin  sin  1 sin  2

b. Cara Poligon


71


v R adalah resultan dari A , B dan C

c. Cara Analitis

Vektor V1 V2 V3

sudut 1

2

vy = v sin  vy = v sin  1

vx = v cos  3 vx  .......

vy = v sin  3 vy  .......

vx = v cos  2

3

Resultan / v R / =

vx = v cos  vx = v cos  1

vy = v sin  2

(  v X ) 2  (  vY ) 2

 vY Arah resultan : tg =  v X 5. Vektor Pada Sistem Koordinat Ruang ( x, y, z )

 ,  ,  = masing-masing sudut antara vektor A

dengan sumbu-sumbu x, y dan z


72

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. A = Ax+ Ay+ Az

atau

A = / A x / i + / A y / j + / A z / k / A x / = A cos  / A y / = A cos  / A z / = A cos 

Besar vektor A

A  / AX / 2  / AY / 2  / AZ / 2

 dan i , j , k masing-masing vektor satuan pada sumbu x, y dan z

6. Perkalian Vektor a. Perkalian vektor dengan skalar. Suatu vektor jika dikalikan dengan suatu besaran skalar maka hasilnya adalah suatu vektor. b. Perkalian vektor dengan vektor. Dalam perkalian vektor dengan vektor, kita mengenal dua bentuk perkalian , yaitu : 1) Perkalian titik (Dot Product) 2) Perkalian silang (Cross Product )

7. Dalam Perkalian Titik antara vektor A dengan vektor B akan diperoleh besaran skalar. Contoh : A  B = C C besaran skalar yang besarnya C = / A /  / B / cos  dengan  adalah sudut antara A dengan B 8. Dalam Perkalian Silang antara vektor A dengan vektor B akan diperoleh besaranvektor. Contoh : A x B = C

C besaran skalar yang besarnya C = / A / x / B / sin  dengan  adalah sudut antara A dengan B


73


Tugas Akhir Bab 2 Kerjakan penyelesaian permasalahan berikut di buku tugasmu! 1. Sebuah bola tenis dikenai tiga buah gaya seperti ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Buatlah pemisalan sendiri besar ketiga gaya yang bekerja pada bola tenis. Menurut datamu, kemana arah resultan gayanya ? Kemana arah gerak bola tenis tersebut ?

2. Carilah resultan gaya gambar di bawah ini dengan cara analitis !

3. Hitunglah resultan gaya dari gambar di samping ini !


74

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 4. Berapakah kecepatan resultan perahu boat dan berapa sudut simpangnya dari arah sumbu +y ?


75


Info Tambahan Sebuah program komputer yaitu Aplikasi Vektor telah diciptakan untuk mempermudah pekerjaan manusia. Dengan program ini orang dapat bekerja menggunakan berbagai kaidah vektor. Bahkan dapat pula digunakan untuk membuat ilustrasi gedung misalnya. Hasilnya seperti pada gambar di bawah ini

Soal Latihan Akhir Bab 2 Soal Pilihan Ganda Pilihlah salah satu jawaban yang benar 1. Jika vektor F1 = 8 N, vektor F2 = 6 N mempunyai titik tangkap sama membentuk sudut 60o, besarnya resulatan kedua vektor tesebut adalah …N a3

37

b. 2

37

c. 2 74

d. 4

37

e. 3 74

2. Berapa sudut yang dibentuk oleh dua buah vektor gaya masing-masing 12 N dan 10 N yang tertitik tangkap sama. Jika besar resultannya 2 31 adalah … a 30o 3.

b. 450

c. 600

d. 1200

e. 1500

Dua buah vektor F1 = 9 N dan F2 = 24 N yang bertitik tangkap sama dan membentuk sudut 600 . Berapakah besar selisih kedua vektor tersebut. a 15 N

b. 20 N

c. 21 N


d. 31 N 76

e. 41 N

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 4. Perhatikan gambar percobaan vektor gaya resultan R = F1 + F2 dengan menggunakan 3 neraca pegas berikut ini. 1. .



5N

2. 4N

5N





3N

3. 8N



8N



5N 5N

tg

 = 3/4

tg  = 3/4

8N

yang sesuai dengan rumus vektor gaya resultan secara analitis adalah gambar… a. 1, 2 dan 3

b. 1

c.1 dan 2

d. 1 dan 3

e. 2

5. Perhatikan diagram-diagram vektor berikut ini C

A

A (1)

B

A

C

B

B (3)

(2)

C

C

B

A

A

(5)

(4) B

C

Diagram vektor di atas yang menunjukkan C = A – B adalah … a. (1 )

b. (2)

c. (3)

d. (4)

e. (5)

6. Dari tiga buah vektor gaya berikut ini, besarnya resultan gaya adalah ….N a. 20 3 b. 25 3 c. 30 3 d. 45 e. 60

F2=20 N 30o

F1 = 30 N 60

o

60o F3 = 10 N

7. Sebuah gaya F = (2i + 3j) N melakukan usaha dengan titik tangkapnya berpindah menurut r = (4 i + a j) m dan vektor i dan j berturut-turut adalah vektor satuan yang


77

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. searah dengan sumbu x dan sumbu y pada koordinat Cartesian. Bila usaha itu bernilai 26 J maka nilai a sama dengan … a.

5

b. 6

c. 7

d. 8

e. 12

8. Dua buah vektor F1 dan F2 bertitik tangkap sama saling mengapit sudut A. Ternyata dipenuhi [ F1 + F2] = [F1 – F2], maka besarnya sudut A adalah ….. a. 1800

b. 1200

c.900

d. 600

e. 00

9. Besar resultan gaya pada gambar di bawah ini adalah … y

F1 = 10 N

x F2 = 3 N F3 = 5 3 N a. 8 N

b. 6 N

c. 5 N

d. 3 N

e. 2 N

10. Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 meter dan kecepatan arus airnya 4 m/s. bila perahu di arahkan menyilang tegak lurus sungai dengan kecepatan 3 m/s, maka setelah sampai diseberang perahu telah menempuh lintasan sejauh …. meter a. 100 b. 240 c. 300 d. 320 e. 360 11. Vektor F1 = 20 N berimpit sumbu x positif, Vektor F2 = 20 N bersudut 120O terhadap F1 dan F3 = 24 N bersudut 240 derajat terhadap F1. Resultan ketiga gaya pada pernyataan di atas adalah : a. 4 N searah F3 b. 4 N berlawan arah dengan F3 c. 10 N searah F3 d. 16 N searah F3 e. 16 N berlawanan arah dengan F3 12. Dua buah gaya bernilai 4 N dan 6 N. Resultan gaya tersebut tidak mungkin bernilai ….N


78

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. a. 1 b. 2 c. 4 d. 6 e. 10 13. Jika sebuah vektor dari 12 diuraikan menjadi dua buah vektor yang saling tegak lurus dan yang sebuah dari padanya membentuk sudut 30o dengan vektor itu, maka besar masingmasing adalah : a. 3 N dan 3 3 N b. 3 N dan 3 2 N c. 6 N dan 3 2 N d. 6 N dan 6 2 N e. 6 N dan 6 3 N 14. Dari hasil pengukuran di bawah ini yang termasuk vektor adalah … a. Gaya, daya dan usaha b. Gaya, berat dan massa c. Perpindahan, laju dan kcepatan d. Kecepatan, momentum dan berat e. Percepatan, kecepatan dan daya 15. Dua buah vektor gaya masing-masing F1 = 10 N dan F2 = 10 N, Resultannya 10 N, maka sudut apit kedua vektor tersebut adalah …. a. 1200

b. 900

c. 600

d. 450

e. 300

Soal Uraian Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar!

1. Dua vektor gaya A dan B saling mengapit sudut 1200. Resultan yang terbentuk membentuk sudut 600 terhadap vektor A. Tentukan besarnya vektor A dan B, bila resultan kedua vektor tersebut 20 N !


79

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 2. Dua vektor setitik tangkap F1 mendatar yang besarnya 10 N. Sudut antara resultan R dengan F2 = 30°. Jika besar resultan vektor tersebut 10 3 newton, maka tentukan: a. sudut antara F1 dan F2 b. sudut antara F1 dan R c. besarnya F2 3. Lima gaya pada bidang datar setitik tangkap masing-masing besarnya sama dengan 10 N. Vektor – vektor tesebut terhadap sumbu X positif membentuk sudut 30 °, 60°, 210°, 240°, dan 330°. Tentukan besar resultan dan arahnya terhadap sumbu X positif! 4. Lima buah gaya tersusun seperti pada gambar. Tentukan: a. Harga resultan dari gaya-gaya itu b. Arah resultan terhadap sumbu X positif c. Memakai cara apakah menurutmu yang paling kamu sukai ? 5. Isilah titik-titik berikut ini untuk :

A a. 8 satuan

B 4 3 satuan

30

b. 6 satuan c. 5 satuan d. 3 satuan

2 2 satuan 10 satuan 4 satuan

450 600 900

0

R ............... ............... ............... ...............

6. Dua vektor dari 4 satuan dan 3 satuan yang bertitik tangkap di suatu titik, menghasilkan vektor resultan sebesar

37 satuan. Hitunglah sudut yang di bentuk oleh kedua

vektor tersebut. 7. Sebuah perahu bergerak arah utara dengan kecepatan 12 km/jam mendapat dorongan dari angin arahnya ke barat dengan kecepatan 5 km/jam. Tentukan kecepatan perahu dan arahnya 8. Dari titik A, Badu berjalan menuju arah Timur sejauh 5 km sampai di titik B dan melanjutkan perjalanannya dengan arah Utara sejauh 10 km sampai di titik C. Berapakah jarak AC ?


80

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 9. Dua buah vektor v1 = 2 21

satuan dan v2 = a satuan bertitik tangkap pada suatu titik.

Jika jumlah kedua vektor itu 6 21 satuan, dan membentuk sudut 600. Berapa nilai a? 10. Tiga buah vektor bertitik tangkap sama dan sebidang. v1 = 16 satuan; v2 = 8 satuan. Sudut antara v1 dan v2 adalah 1200. Jika resultan ketiga vektor tersebut adalah nol. Berapakah besarnya v3 dan berapa besar sudut yang dibentuk oleh v1 dan v3 ? 11. Gambarkan : a. A + B - 3 C b. 2 C - 21 ( 2 B - A )

12. Empat buah vektor bertitik tangkap di titik 0 pada susunan salib sumbu Cartesius. v 1 berimpit dengan sumbu x+ besarnya 3 satuan v2 membentuk sudut 450 dengan sumbu x+ besarnya 4 satuan, v3 besarnya 5 satuan dan membentuk sudut 1500 dengan sumbu x+ dan v4 besarnya 6 satuan, membentuk sudut 2400 dengan sumbu x+. Gambarkan resultan keempat gaya tersebut dan hitung besarnya. (v6 = 2,45 ; v3 = 1,73 ; v2 = 1,41) 13. Lima buah vektor bertitik tangkap di 0 pada koordonat kartesius. Sudut yang dibentuk oleh masing-masing vektor dengan sumbu x+ serta besar vektor tersebut adalah sebagai berikut : v1 450

14 satuan

v2 600

20 satuan

v3 1800

18 satuan

v4 2100

30 satuan

0

16 satuan

v5 300

Tentukan resultan dari kelima vektor tersebut.

14. Dua buah gaya F1 dan F2 saling membentuk sudut 600. Resultan kedua gaya tersebut 28 N. Jika F1 : F2 = 5 : 3 maka berapa besar masing-masing F1 dan F2 tersebut? 15. Dua buah vektor gaya F1 dan F2 bertitik tangkap sama masing-masing sebesar 8 N dan 3 N saling mengapit sudut 600, tentukan selisih kedua vektor gaya tersebut !


81

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 16. Dua buah vektor gaya F1 dan F2 saling membentuk sudut 1200 akan memberikan resultan = 25 N. Jika sudut antara F1 dengan resultan gaya adalah 600. Tentukan besar vektor gaya

F1 dan F2 !

17. Sebuah titik A ( 0,4 ) dan sebuah titik B ( 3,4 ) pada sisitem koordinat cartesius. Jika a = OA dan b = OB, maka carilah : a. Besar vektor a b. Besar vektor b c. Besar penjumlahan vektor a dan b d. Besar pengurangan vektor a dan b 18. Tiga gaya K1, K2 dan K3 bekerja pada sebuah titik dan besar K1 = 10 N, K2 = 5N dan K3 = 5V3. Jika sudut K1 = 00 terhadap sumbu x ; K2 = 1200 terhadap K1 ; K3 = 900 terhadap K2. Berapa besar resultan ketiga gaya tersebut. 19. Dua buah vektor A = 2 i + 3 j + 4 k dan B = i - 2 j + 3 k a. Tentukan besar tiap vektor. b. Tulis pernyataan untuk jumlah vektor A+B dengan menggunakan vektor satuan. c. Tentukan besar dan arah jumlah vektor A+B d. Tulis pernyataan untuk selisih vektor A-B dengan menggunakan vektor-vektor satuan. e. Tentukan besar dan arah selisih vektor A-B f. Tentukan A  B g. Tentukan A x B 20. Tentukan sudut apit antara vektor a = 2 i + 3 j + 4 k dan B = - i - 2 j + 2 k !


82


Glosarium 

Cara Analitis = cara menjumlahkan vektor-vektor dengan menyatukan semua vektor dalam satu titik tangkap di pangkal koordinat dan menguraikannya menjadi komponen mendatar dan vertikal. Kemudian menghitung resultannya dengan teorema pithagoras.



Cara Grafis = cara menjumlahkan vektor-vektor dengan menggambarkan kemudian mengukur atau menghitung resultannya.



Cara Jajaran Genjang = salah satu cara grafis dengan mempertemukan vektorvektor pada satu titik tangkap dan membuat vektor-bayangannya. Kemudian menghubungkan titik tangkap dengan perpotongan bayangan itu.



Cara Poligon = salah satu cara grafis denganmempertemukan ujung dan pangkal tiap-tiap vektor. Kemudian menghubungkan pangkal mula-mula dengan ujung vektor akhir .



Cara Segitiga = salah satu cara grafis dengan mempertemukan vektor-vektor pada satu titik tangkap, dan menghubungkan ujung-ujung kedua vektor.



Perkalian Silang (cross product) = cara perkalian vektor-vektor yang menghasilkan bentuk vektor.



Perkalian Titik (dot product) = cara perkalian vektor-vektor yang menghasilkan bentuk skalar.



Resultan vektor = penjumlahan vektor-vektor.



Skalar = besaran yang hanya memiliki arah.



Titik Tangkap = titik pertemuan pangkal vektor-vektor.



Vektor = besaran yang memiliki besar dan arah.



Vektor Satuan = vektor yang besarnya satu meliputi i, j, k.

Indeks Subjeks 

Halaman

Analitis


59 83

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 

Determinan

66



Grafis

57



Jajaran Genjang

58



Perkalian Cross

66



Perkalian Titik

64



Poligon

57



Resultan

58



Segitiga

58



Vektor

56



Vektor Satuan

64

Indeks Author

Halaman



Alonso & Finn

57



Bresnick

59

Daftar Pustaka Alonso, Marcelo & Edward J. Finn (1992), Dasar-dasar Fisika Universitas, Edisi Kedua, Jakarta, Penerbit Erlangga. Bresnick, Stephen D. (2002), Intisari Fisika, Jakarta, Hipokrates.


84

BAB II V E K T O R. Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. FISIKA KELAS X Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 52

Recommend Documents