BAB II TEORI DASAR IMPLEMENTASI METODE DEKOMPOSISI GROOM-BAILEY PADA TENSOR IMPEDANSI MAGNETOTELLURIK
2.1 Konsep Awal Metode Magnetotelurik Metode magnetotellurik merupakan teknik sounding induktif pasif dengan cara mengukur variasi medan magnet dan medan listrik alami di permukaan untuk mendapatkan
informasi
distribusi konduktivitas
bawah
permukaan.
Medan
elektromagnetik (medan EM) yang berdifusi ke bawah permukaan bumi berasal dari sumber alami yaitu aktivitas elektromagnetik di ionosfer maupun di atmosfer. Respon bumi atau benda anomali di bawah permukaan akan berbeda berdasarkan konduktivitas anomali tersebut. Medan elektromagnetik yang berasal dari ionosfer memiliki frekuensi yang rendah, yaitu bernilai lebih kecil dari 1 Hz. Frekuensi rendah ini sangat bermanfaat untuk melakukan pemetaan struktur bawah permukaan yang sangat dalam. Sedangkan medan elektromagnetik yang berasal dari atmosfer memiliki frekuensi yang tinggi, yaitu bernilai lebih besar dari 1 Hz. Frekuensi tinggi ini sangat bermanfaat untuk melakukan pemetaan struktur yang dangkal. Ionosfer merupakan suatu lapisan yang berjarak 75 km sampai 550 km di atas permukaan bumi. Lapisan ini terdiri dari beberapa lapisan ionisasi dan gas konduktif. Medan EM yang berada di lapisan ini berasal dari interaksi medan magnet bumi dan
solar wind yang menghasilkan arus yang besar berdasarkan hukum Lorentz: = × . Solar wind terdiri dari partikel bermuatan q yang diemisi oleh matahari ke bumi dengan suatu kecepatan v.
5
6
Atmosfer merupakan suatu lapisan yang berjarak 75 km di atas permukaan bumi. Atmosfer terdiri dari beberapa lapisan yang resistif elektrik. Medan EM yang berasal dari lapisan ini berasal dari badai petir dan transmisi gelombang radio. Ionosfer juga berperilaku sebagai pandu gelombang sehingga frekuensi yang dihasilkan tidak hanya mengalami interferensi konstruktif atau beresonansi tetapi juga mengalami interferensi destruktif atau anti resonansi. Spektrum frekuensi dari interferensi destruktif menghasilkan band energi rendah yang disebut dead-band. Frekuensi dead-band berada di 0.5 Hz sampai 5 Hz dan daya spektrum terrendah berada di frekuensi 1 Hz. 2.2 Persoalan Studi Metode Elektromagnetik Resistivitas merupakan parameter yang penting dalam studi metode elektromagnetik. Resistivitas batuan akan memberikan respon yang berbeda dari medan EM primer yang diberikan sehingga hal tersebut akan menggambarkan struktur anomali yang ingin diketahui. Resistivitas suatu batuan dipengaruhi oleh litologi, porositas, temperatur dan fluid content. Perbedaan parameter-parameter tersebut menyebabkan variasi resistivitas pada struktur geologi sehingga kita dapat mengamati anomalinya. Resistivitas batuan dapat juga diamati dari sifat listrik batuan. Aliran atau transmisi arus listrik oleh pembawa muatan bebas digolongkan menjadi tiga macam yaitu konduksi secara elektronik, konduksi elektrolitik dan konduksi dielektrik. Konduksi elektronik terjadi di batuan atau mineral yang mempunyai banyak elektron bebas sehingga arus listrik dialirkan oleh batuan atau mineral tersebut oleh elektronelektron bebas itu. Kondisi elektrolitik terjadi jika batuan atau mineral bersifat porus dan pori-pori tersebut terisi cairan-cairan elektrolitik. Pada kondisi ini arus listrik dibawa oleh ion-ion elektrolit. Sedangkan konduksi dielektrik terjadi jika batuan atau mineral bersifat dielektrik terhadap arus listrik yaitu terjadi polarisasi saat bahan dialiri listrik.
7
2.3 Asumsi-asumsi Untuk Metode Magnetotellurik Asumsi-asumsi yang perlu diperhatikan untuk induksi elektromagnetik di permukaan bumi, disederhanakan oleh (Cagniard, 1953; Keller dan Frischknecht, 1966) a. Memenuhi Persamaan Maxwell. b. Bumi tidak membangkitkan medan elektromagnetik tetapi hanya mendisipasi atau menyerap. c. Semua medan diperlakukan secara konservatif dan analitik dari sumbernya. d. Sumber medan yang digunakan dibangkitkan oleh sistem arus ionosfer skala besar yang relatif jauh dari permukaan bumi, sehingga dapat diperlakukan sebagai gelombang bidang elektromagnetik uniform saat datang pada permukaan bumi. e. Muatan bebas dijaga tidak terakumulasi di suatu lapisan bumi. Pada suatu bumi multi dimensi, muatan dapat terakumulasi di sepanjang diskontinuitas. Hal ini membangkitkan fenomena non-induktif yang dikenal static shift. f. Muatan terkonservasi dan bumi berlaku sebagai konduktor ohmic, yang memenuhi Persamaan = J adalah rapat arus listrik total (A/m2), σ adalah konduktivitas medium (sm-1) dan E adalah medan listrik (Vm-1). g. Medan listrik displacement adalah quasi-statik untuk sounding periode MT. Oleh karena itu dalam proses induksi elektromagnetik (proses difusi) di bumi, arus displacement fungsi waktu (dibangkitkan dari efek polarisasi) tidak diperlukan dibandingkan arus konduksi fungsi waktu.
8
h. Beberapa variasi permitivitas elektrik dan permeabelitas dari batuan diasumsikan tidak diperlukan dibandingkan variasi konduktivitas bulk batuan. 2.4 Konsep Gelombang MT dan Fungsi Transfer Persamaan Maxwell terdiri dari empat Persamaan yaitu: a. Hukum Faraday : di sekitar medan magnet yang berosilasi terhadap waktu terdapat medan listrik yang berotasi
× =−
(2.1)
b. Hukum Ampere atau hukum Biot Savart : Arus listrik atau muatan yang mengalir dapat menghasilkan medan magnetik yang berrotasi di sekitarnya.
× = μ + μ ε
(2.2)
c. Hukum Coulomb : Muatan listrik dapat menghasilkan medan listrik di sekitarnya.
. =
ρ=
;
d. Magnet tidak pernah monopol
. = 0
(2.3)
(2.4)
Asumsi dasar : a. Medium linier, isotropis homogen; sifat-sifat listrik bukan merupakan fungsi waktu, temperatur dan tekanan. b.
Permeabelitas medium sama dengan permeabelitas dalam vakum (µ = µ 0).
c. Memenuhi hubungan =
!; # = $ ; =
E = intensitas medan listrik (V/m); B= induksi magnet (Wb/m2 (tesla)); D= perpindahan dielektrik (C/m2); H= intensitas medan magnet (A/m); µ= permeabelitas
relatif magnetik medium; µ 0 = permebelitas vakum (4π.10-7 H/m); $= permitivitas
9
dielektrik relatif, permitivitas pada vakum (8,85 .10-12F/m); Q= muatan listrik (C); = konduktifitas (S/m).
Persamaan Faraday untuk domain frekuensi eiωt
hubungan =
dengan menerapkan
!; # = $ ; = , dengan Persamaan medan = % &'( ,
dan ! = ! % &'( , maka Persamaan (2.1) dan (2.2) menjadi
× = −iµω-
× - = .σ + iεω/
× + i- = 0 ⟹ i = iµω → impedivitas
× - − j = 0 ⟹ j = σ + iεω → admitivitas
Curl dari Persamaan (2.1) dan (2.2)
× . × / +
. × / = 0
× . × !/ − ×
:# :(
(2.5)
= ×
(2.6)
atau
× . × / + µ
× . × !/ − $
. × -/ = 0
:
:(
(2.7)
. × / = ×
(2.8)
Substitusi Persamaan (2.1) dan (2.2) ke (2.7) dan (2.8)
× . × / + $
× . × !/ +
:;
$
:(
+
:; ! :( ;
: :(
+ µ
=0
=0
(2.9) (2.10)
10
Identitas vektor
× . ×
Untuk daerah non-konduktif atau bebas muatan . = 0 dan sifat dipol magnet
. ! = 0 maka Persamaan (2.9) dan (2.10) menjadi
= −
$
= ! − $
:; :( ;
:; ! :( ;
−
− µ
: :(
=0
=0
(2.11) (2.12)
Jika kita pilih variasi waktu sinusoidal ( biasa dipakai di MT ) .>/ = ? % &'( ;
!.>/ = C % &'( ;
B = frekuensi sudut = 2 π f
@ = AB @>
@! = AB! @>
Maka Persamaan (2.11) dan (2.12) menjadi
= + . $B= − i B/ = 0
(2.13)
= - + . $B= − i B/! = 0
(2.14)
= + D = = 0
(2.15)
Atau
= - + k =! = 0
(2.16)
Ini adalah persamaan gelombang elektromagnetik untuk propagasi vektor medan magnet dan medan listrik pada medium homogen isotropis yang memiliki
11
konduktivitas σ, permeabelitas µ, dan permitivitas relatif dielektrik ε dalam domain frekuensi dan disebut juga persamaan Helmholtz E dan H.
Prospek EM dalam geofisika • • •
Material bumi .10GH I/K ≤ ≤ 10H I/K/ Frekuensi < 105 Hz
Arus perpindahan lebih kecil dari arus konduksi
$B= ≪ B.
Sehingga
= −
= ! − µ
: :(
=0
=0
∇= − i B = 0
∇= - − i B! = 0
(2.17) (2.18) (2.19) (2.20)
Persamaan (2.17) dan (2.18) adalah persamaan difusi gelombang elektromagnetik dalam material bumi. Solusi dari persamaan difusi :; :O;
− i B = 0
@=− i B! = 0 @P = Solusi = ER % G&.STG'(/ + EG % &.STR'(/
(2.21)
12
- = HR % G&.STG'(/ + HG % &.STR'(/ k = α + iβ
∝= B W
[\ =
$ Y1 + = = Z 2 $ B =
+ 1]
$ = ^ = B _ Y1 + = = Z − 1` 2 $ B
(2.22)
[\ =
[\ =
Dalam material bumi ∝= ^ = a D=a
'cd =
B [\= b 2
b
[\ =
+Aa
'cd =
b
[\ =
(2.23)
= ER % G&eT eGβO efω
(2.24)
- = HR % G&eT eGβO efω
(2.25)
Sehingga E dan H meluruh dalam arah z positif.` Konsekuensi : a. ^ real sehingga eGβO akan semakin kecil untuk z semakin besar. Amplitudo gelombang teratenuasi sebesar e-1 (37%) pada suatu jarak δ dalam medium maka diperoleh skin depth (g). Dengan g = h'cdi =
[\ =
=
= 503 a1\l b
[\ =
.
maka diperoleh (2.26)
b. % G&eT = cos.oP/ − ApAq.oP/; gelombang teratenuasi terhadap kedalaman.
c. efω = cos.ωt/ − ApAq.ωt/; gelombang bervariasi sinusoidal terhadap waktu.
13
d. Karena
:
:r
=
:
:s
= 0 ; maka Ex dan Hy memiliki amplitudo bervariasi pada
bidang yang tegak lurus sumbu z. Gelombang bidang, walaupun amplitudo berubah tetapi perambatan selalu ke sumbu z. Gelombang magnetotellurik terpolarisasi dalam bidang xy dan menjalar dalam arah z. Persamaan medan H dengan amplitudo H xo = H 0 cos θ dan H yo = H o sin θ dapat ditulis menjadi : Cr = .C cos t /% GeT cos.B> − oP/
Cs = .C sin t /% GeT cos.B> − oP/
(2.27)
Dari Persamaan ∇ × ! = + $ @ ⁄@> ?r =
@Cs 1 1 .komponen x dari ∇ × ! / = _− ` @P
1 = − .C sin t /% GeT v−o cos.B> − oP/ + o pAq .B> − oP/w
= √2 .C sin t /% GeT cos aB> − oP + b e
y
d
z
(2.28a)
Dengan cara yang sama diperoleh ?s = √2 .C sin t /% GeT cos aB> − oP + b e
y
d
z
(2.28b)
Dari Persamaan (2.28a) dan Persamaan (2.28b) : =
=
e =
} { { = = 2 a b = B
|
~
|
~}
d
(2.29)
14
Jika kita asumsikan σ menjadi konduktivitas efektif dalam sebuah kedalaman penetrasi D , maka bisa diperoleh aproksimasi dari D dan σ , dengan mengganti [
dengan dan ω =
∂ ∂z
2π , Persamaan (2.27), (2.28) dan ( 2.29) memberikan : T
≈ { {≈ [ ~}
≈
d |
[
d.'c
/⁄;
=
=
[
|
=yc ~}
[
=yc
=
.'cd/⁄;
||=
'c
=
[
|
=yc ~}
(2.30a)
(2.30b)
Secara umum dapat ditulis menjadi : =
{ {=
[
=yc ℵ
=
[
=yc
||
= =yc {ℵ{ = =yc ||= [
[
(2.31a)
(2.31b)
dengan adalah E x / H y atau E y / H x ℵ Jika kita ambil µ = µ o = 4πx10 −7 dan kemudian dengan satuan : miliVolt per km untuk ε , gamma(nT) untuk ℵ dan kilometer untuk D, maka diperoleh : =
= resistivitas.
=
[
=y [
.5 /[⁄= km =
{ { =
ℵ
[
||= ΩK
(2.32a)
(2.32b)
Pada kenyataannya medium bumi non homogeny maka resistivitas yang ditinjau merupakan resistivitas semu.
15
2.5 Konsep Polarisasi Medan Listrik dan Medan Magnet Konsep
fisika
yang
menjelaskan
induksi
gelombang
pada
sebuah
diskontinuitas adalah konservasi arus. Menunjukkan model 2-D sederhana dengan kontak vertikal antara 2 daerah yang berbeda konduktivitas, σ1 dan σ2. Rapat arus di daerah batas adalah s = ?s
(2.33)
Akibat perbedaan konduktivitas arus terkonservasi di sepanjang batas sehingga menyebabkan medan listrik, Ey, diskontinu. Sedangkan komponen elektromagnetik lain kontinu di daerah batas.
Gambar 2.1 Ilustrasi polarisasi E dan B. (F. Simpson dan K. Bahr, 2005).
Variasi medan di sepanjang strike tidak berubah a
:| :r
= 0,
:~ :r
= 0b karena
konduktivitas sepanjang strike konstan. Dari Persamaan (2.1) dan (2.2) maka diperoleh
ı̂ a
−
O
b + ̂ a
O
× = −μ
−
∂∂t
b + k a − b = −iωμı̂ H + ̂ H + k HO
(2.34a)
16
ı̂ a −
O
× ! =
b + ̂ a O −
b + k a − b = σı̂ E + ̂ E + k EO
(2.34b)
Medan magnet dan medan listrik saling orthogonal yaitu suatu medan listrik yang sejajar dengan strike akan menginduksi medan magnet yang tegak lurus strike dan di bidang vertikal, sedangkan suatu medan magnet yang sejajar strike akan menginduksi medan listrik yang tegak lurus strike dan bidang vertikal. Oleh karena itu Persamaan (2.34a) dan (2.34b) dapat dipasangkan ke dua mode bebas, yaitu medan listrik yang sejajar strike (polarisasi E) dan medan magnet yang sejajar strike (polarisasi B). Polarisasi E atau disebut juga mode Transverse Elektrik (TE mode) menggambarkan aliran arus yang sejajar dengan strike dengan komponen medan elektromagnetik Ex, Hy, dan Hz :
¡ = = iωμHO
Polarisasi E = −μ = −iωμH ¢
O
− = σE
(2.35a)
O
Polarisasi B atau disebut juga mode Transverse Magnetik (TM mode) menggambarkan aliran arus yang tegak lurus dengan strike dengan komponen medan elektromagnetik Bx, Ey, dan Ez :
Polarisasi B
¡
= −σEO
¢ = σE
O − = −iωμH
O
(2.35b)
17
Ketika Ey diskontinu di sepanjang kontak vertikal maka impedansi Zyx (rasio
?s ⁄Cr ) dan Zyy (rasio ?s ⁄Cs ) yang diasosiasi Ey juga menjadi diskontinu. Untuk
menyederhanakan persoalan kasus 2-D maka Zyy sama dengan nol sehingga hanya komponen Zyx yang diamati. Dari Persamaan (2.33) medan Ey terjadi diskontinuitas
akibat Zyx adalah σ2/σ1. Dengan demikian, berdasarkan Persamaan (2.31b) maka resistivitas semu yang tegak lurus strike ρyx dengan besarnya (σ2/σ1)2 juga diskontinu. Sebagai konsekuensi diskontinuitas yang ditunjukkan ρyx, resistivitas yang diperoleh dari polarisasi B lebih baik dibandingkan resistivitas polarisasi E, karena polarisasi E diasosiasi medan magnet vertikal. Medan magnet vertikal dibangkitkan oleh gradient konduktivitas lateral dan dan daerah batas, dan variasi spasial dari rasio Hz/Hy dapat digunakan untuk memperoleh kontras konduktivitas lateral dari polarisasi E.
18
Gambar 2.2 (a) Perbandingan resistivitas semu dari polarisasi E dan B dan fasa sebagai fungsi jarak dari kontak vertikal untuk periode 0.1 s dan 10 s. (b) resistivitas semu dan fasa impedansi sebagai fungsi dari periode pada jarak-0.3, -1.3, -5.3 dan -19.3 (sepanjang qurter-space 10 Ωm) dari kontak vertikal. (c) resistivitas semu dan fasa impedansi sebagai fungsi dari periode pada jarak-0.3, -1.3, -5.3 dan -19.3 (sepanjang quarter-space 1000 Ωm) dari kontak vertikal. (F. Simpson dan K. Bahr, 2005).
2.6 Arah Induksi Arah induksi adalah representasi rasio kompleks (real dan imajiner) dari komponen medan magnet vertikal dan horisontal. Ketika medan magnet vertikal dibangkitkan oleh gradient konduktivitas lateral, arah induksi dapat digunakan untuk menarik kesimpulan keberadaan atau ketidakberadaan variasi konduktivitas lateral.
19
Parkinson convention adalah titik vektor menuju konsentrasi arus internal, sedangkan wiese convention adalah titik vektor keluar dari konsentrasi arus internal. Vektor tersebut seringkali dikenal dengan vektor tipper, karena transformasi medan magnet horisontal ke bidang vertikal memenuhi hubungan: CT .B/ = .r .B/
C .B/ s .B// £ r ¤ Cs .B/
(2.36)
Dalam kasus 2-D, arah induksi diasosiasi dengan polarisasi E (bandingkan Persamaan 2.35a dan 2.35b). Kemudian batas insulator dan konduktor memperluas sebuah arah induksi yang bangkit di mode bumi 2-D di mana orientasinya tegak lurus batas tersebut, dan besarnya sebanding dengan intensitas konsentrasi anomali arus (Jones dan Prices, 1970), yang dapat ditentukan kembali oleh besar gradient konduktivitas atau diskontinuitas.
Gambar 2.3 (a) model 2-D dengan anomali konduktif 5 Ωm dan half-space 100 Ωm. (b) Medan magnet vertikal melintang pada anomali konduktif 2-D. (c) Arah induksi Parkinson. (F. Simpson dan K. Bahr, 2005).
2.7 Tensor Impedansi dan Tinjauan Dimensionalitas. Metode MT adalah suatu metode pasif yang terdiri dari pengukuran fluktuasi medan listrik (E) dan magnetik (H) pada arah orthogonal di permukaan bumi.
20
Komponen orthogonal dari medan listrik dan magnet horisontal dihubungkan dengan tensor impedansi
Prr ?r £? ¤ = aP sr s
Prs Cr Pss b £Cs ¤
(2.37)
adalah fungsi transfer dan merupakan bilangan kompleks. Setiap komponen,zij dari memiliki besaran dan fasa
¥ .B/ =
[
c¦ '
§P&¨ .B/§
Ѳ.B/ = >ªq G[ £
=
«¬ T®¯ .'/° ±²T®¯ .'/°
(2.38) ¤
(2.39)
Z berisi informasi tentang dimensionalitas dan arah. Untuk kasus 1-D di mana konduktivitas berubah terhadap kedalaman, elemen diagonal dari tensor impedansi, zxx dan zyy bernilai nol, untuk komponen non-diagonal besarnya sama tetapi tandanya berlawanan.
P = Pss = 0¢ Kasus 1-D ³ rr Prs = −Psr
(2.40)
Untuk kasus 2-D, konduktivitas berubah sepanjang arah horisontal dan kedalaman. Prr = −Pss P Kasus 2-D ´ rs ≠ −Psr ¢ Prr = Pss = 0
(2.41)
Prr = Pss = 0 jika x atau y sejajar strike
Untuk kasus 3-D Prr ≠ Pss ≠ 0; Prs ≠ −Psr ≠ 0 ?r = Prr Cr + Prs Cs
?s = Psr Cr + Pss Cs
(2.42)
21
2.8 Pendahuluan Dekomposisi Groom-Bailey Tensor impedansi terukur sering sekali tidak sesuai dengan tensor impedansi 2-D yang ideal. Di mana tidak ada rotasi sumbu koordinat sedemikian elemen tensor diagonal keduanya bernilai nol. Hal ini terjadi karena (i) data error akibat induksi 1D atau 2-D, (ii) karena induksi 3-D, atau (iii) karena induksi 1-D atau 2-D terpadukan dengan pengaruh distorsi galvanik telurik (bebas frekuensi). Pada penulisan ini dibahas mengenai pengaruh anomali 3-D yang menghasilkan distorsi galvanik terhadap regional 2-D. Pada saat ini pengaruh induksi 1-D atau 2-D yang terpadukan dengan distorsi telurik 3-D, perlu dipertimbangkan untuk meningkakan kualitas data. Keberadaan distorsi menyebabkan ketidak-sesuaian tensor impedansi terukur dengan tensor impedansi 2-D sebenarnya, dan metode rotasi atau dekomposisi belum ada yang sesuai untuk kasus ini. Sejumlah alternatif metode dekomposisi (yaitu Eggers, 1982; Spitz, 1985; La torraca et al, 1986; Yee and Paulson, 1987) tidak dapat menyederhanakan asumsi mengenai model fisis dan sangat banyak parameter yang digunakan untuk menunjukkan data tensor. Dalam kasus induksi 1-D atau 2-D terpadukan dengan hamburan galvanik 3-D, maka dekomposisi umum tidak optimal untuk penyederhanaan model dasar. Penentuan strike elektromagnetik regional dipengaruhi oleh distorsi galvanik (Swift, 1967). Dimensionalitas dari suatu anomali konduktif bergantung pada skala observasi. Respon induktif elektromagnetik menjadi lemah dan dilanjutkan dengan respon non-induktif (galvanik) saat skin-depth gelombang melebihi dimensi anomali. Data elektromagnetik yang mengandung efek galvanik digambarkan dengan model superimposisi dan dekomposisi di mana data dipisahkan dari suatu respon noninduktif akibat dari heterogenitas multidimensi dengan dimensi lebih lecil dari skala induktif (daerah lokal), dan respon yang disebabkan struktur oleh 1-D atau 2-D (daerah regional). Dalam beberapa kasus, menentukan strike elektromagnetik
22
melibatkan
pemisahan
tensor
impedansi
terukur
ke
dalam
matrik
yang
merepresentasikan bagian induktif dan non-induktif. Bagian induktif berisi suatu tensor terdiri dari komponen kompleks yaitu magnitude dan fasa, sedangkan bagian non-induktif menunjukkan perilaku DC, dan digambarkan oleh suatu tensor distorsi, dengan komponen-komponennya harus real dan tidak bergantung frekuensi.
Gambar 2.4 Persoalan dimensionalitas (F. Simpson dan K. Bahr, 2005)
Superposisi dari regional 1-D model bumi berlapis dengan suatu struktur anomali konduktif berskala kecil di permukaan (Larsen, 1975). Jika ukuran anomali lebih kecil dibandingkan kedalaman penetrasi, p, dari medan elektromagnetik, maka tensor impedansi diasosiasi dengan model umum Larsen yaitu ?r 0 £? ¤ = ¶ a −P s ·[[ = a·
=[
P Cr b£ ¤ 0 Cs
·[= 0 ·== b a−P
P Cr b£ ¤ 0 Cs
(2.43)
23
Dengan Z adalah impedansi regional dari model 1-D Cagniard dan ¶ adalah suatu
tensor distorsi real, yang menggambarkan aksi galvanik (daripada induktif) dari penghambur lokal pada medan listrik. Persamaan (2.43) berisi enam derajat kebebasan-empat parameter distorsi real dan suatu impedansi kompleks, di mana data terukur dapat dijelaskan oleh model yang menyediakan hanya lima derajat kebebasan-empat amplitudo dan satu fasa. Oleh karena itu, amplitudo absolut impedansi tidak dapat dipisahkan dari parameter distorsi. Hal ini ekuivalen dengan keadaan faktor pergeseran statis yang secara matematis tidak dapat ditentukan dari impedansi terukur.
Gambar 2.5 (a) model superimposisi Larsen (1975) (Persamaan 2.42) dengan anomali kecil di permukaan mendistorsi regional model 1-D berlapis. (b) model superimposisi Bahr (1988) (Persamaan 2.46) dengan anomali sekal kecil dekat permukaan mendistorsi model regional 2-D. (F. Simpson dan K. Bahr, 2005)
Jika suatu data dapat dijelaskan dengan model (Larsen, 1975), maka seluruh elemen dari impedansi terukur seharusnya memiliki fasa yang sama. Perbedaan fasa antar dua bilangan kompleks dapat ditentukan menggunakan komutator: ¸¹, º» = Im.º ¹ ∗ /
24
= Re ¹ Im º − Re º Im ¹
(2.44)
Karena itu pengukuran misfit invariant rotasional untuk model Larsen adalah = .|[ , I= | + |I[ , = |/[⁄= ⁄|= |
(2.46)
I[ = Prr + Pss ; I= = Prs + Psr ; [ = Prr − Pss ; = = Prs − Psr Pada kasus tertentu dua model komplemen dari Swift dan Larsen (Persamaan 2.46) cukup menjelaskan impedansi terukur. Suatu sistem koordinat seharusnya memiliki, (i) komponen off diagonal (zxy dan zyx) dari tensor impedansi yang berbeda fasa (disebabkan oleh perbedaan struktur konduktivitas sepanjang dan tegak lurus strike), dan komponen diagonal (zxx dan zyy) diabaikan; atau (ii) seluruh elemen dari tensor impedansi menunjukkan fasa yang sama, tetapi komponen diagonal tidak nol. Seperti yang ditunjukkan oleh (Ranganayaki, 1984), fasa MT bergantung kuat pada arah di mana medan listrik terukur, dan keberadaan impedansi terukur memiliki komponen diagonal dan berbeda fasa, hal itu tidak berlaku dalam model Swift ataupun model Larsen. Bahr (1988) mengajukan suatu model superimposisi (dekomposi) yang lebih lengkap. Dalam model ini, heterogenitas multidimensi dengan dimensi lebih kecil dari panjang skala induktif data pada suatu struktur regional 2-D, dan data dipisahkan ke suatu ‘lokal’, respon non-induktif (galvanik), dan suatu ‘regional’, respon induktif. Sehingga tensor impedansi diperluas menjadi: 0 ?r £? ¤ = ¶ £ P½,s′r′ s
P½,r′s′ Cr ¤ £C ¤ 0 s
−·[= P½,s′r′ = a−· P
== ½,s′r′
·[[ P½,r′s′ Cr ·=[ P½,r′s′ b £Cs ¤
(2.46)
Di dalam setiap kolom hanya terjadi satu fasa, karena asumsi distorsi galvanik memerlukan elemen dari tensor distorsi, ¶ harus real dan tidak bergantung frekuensi.
25
Pada suatu sistem koordinat tertentu, fasa dari dua impedansi regional zn,xy dan zn,yx akan dipadukan, karena dalam kasus ini tensor elemen adalah kombinasi linier dari zn,xy dan zn,yx. Dalam suatu koordinat tertentu diperoleh: = ^e ¶ = ^e¾
(2.47)
Distorsi galvanik dapat memberikan informasi mengenai proses induksi 2-D dan informasi itu dapat dicapai dengan menerapkan suatu keadaan medan (Bahr, 1988). Suatu sistem regional tensor impedansi terukur dipengaruhi oleh distorsi galvanik dari struktur 3-D yang tidak teratur dan arus elektrik terinduksi berskala besar dalam struktur regional 1-D atau 2-D. Meskipun model ini tidak sesuai untuk seluruh frekuensi set data, tapi sesuai untuk rentang frekuensi tertentu ketika definisi suatu skala regional dapat berbeda terhadap rentang frekuensi yang berbeda. Berdasarkan pendekatan dekomposisi fisis yang dilakukan (Bahr, 1988), Groom-Bailey (1989) melakukan faktorisasi parameter distorsi menjadi empat parameter yang mempengaruhi suatu medan regional. Dekomposisi ini untuk memisahkan parameter lokal dan regional, dengan asumsi di mana struktur regional 2-D dan struktur lokal hanya menyebabkan hamburan galvanik terhadap medan listrik, dan dikerjakan dalam bentuk suatu hasil faktorisasi. Dekomposisi GroomBailey ini yang dibahas lebih rinci dalam penulisan ini. 2.9 Hamburan Elektromagnetik 3-D Skala Kecil Prinsip dasar hamburan medan listrik dan medan magnet yang disebabkan oleh anomali kecil, dijelaskan oleh (Chave dan Smith, 1994), dengan suatu Persamaan medan, yaitu
26
.¿/ = .¿/ − AB +∇
À Ä′
ÁÂ ′ Ã.¿, ¿ ′ /g .¿ ′ / .¿ ′ /
1 ∇. À ÁÂ ′ Ã.¿, ¿ ′ / g.¿ ′ / .¿ ′ / Ä′
(2.48)
Dengan ? .¿/ adalah medan listrik regional, g adalah anomali konduktivitas dalam
volume V’, Ã.¿, ¿ ′ / adalah fungsi green.
Suku kedua dari Persamaan di atas menunjukkan medan listrik yang disebabkan oleh induksi pada suatu anomali, sedangkan suku ke tiga merupakan medan listrik yang dipengaruhi muatan galvanik di suatu anomali permukaan. Jika anomali berskala kecil maka suku kedua diabaikan karena kurang berpengaruh dibandingkan suku ketiga. Kemudian suku ketiga dapat dinyatakan dalam o?
dengan menganggap .¿ ′ / sama dengan .¿/ dan o merupakan tensor real dengan
orde 2x2 dan tidak bergantung frekuensi. Dengan demikian medan listrik total merupakan hasil dari suatu tensor distorsi real 2x2 yang tidak bergantung frekuensi dan medan listrik regional. = + o = ¶
(2.49)
Persamaan medan magnet yang dipengaruhi distorsi dapat diperoleh dengan melakukan operasi curl pada Persamaan (2.48), sehingga diperoleh !.¿/ = ! + ∇ × ÅÄ′ ÁÂ′Ã.¿, ¿′/g .¿′/ .¿′/
(2.50)
H= ! + #
(2.51)
Dengan asumsi yang sama di mana .¿ ′ / sama dengan .¿/ maka Persamaan medan H menjadi
Dan D adalah tensor real 2x2 yang tidak bergantung pada frekuensi.
27
Dengan memperhatikan pengaruh distorsi pada gelombang elektromagnetik maka diperoleh suatu Persamaan baru yang berhubungan dengan impedansi di mana impedansi regional Z0 dengan impedansi distorsi Z, dapat dinyatakan dengan Æ = ÇÆ .È + #Æ /G[
(2.52)
Dengan E0 = Z0H0 dan E = ZH. Untuk saat ini pengaruh distorsi medan magnetik diabaikan sehingga D = 0 dan untuk selanjutnya pembahasan mengenai dekomposisi Groom-Bailey meninjau pengaruh distorsi telurik yang dominan. 2.10
Model Distorsi Hubungan medan listrik regional rata-rata er dan medan magnet regional rata-
rata hr dengan struktur konduktivitas regional 2-D memenuhi hubungan ÉÊ = Æ= ËÊ = a
0 −Ì
ª bË 0 Ê
(2.53)
Dengan a dan b adalah elemen impedansi untuk struktur 2-D regional rata-rata. Dengan adanya tinjauan keberadaan anomali 3-D yang menyebabkan distorsi galvanik maka medan e dan h terukur pada beberapa titik terganggu oleh variasi lokal dari nilai regionalnya. Medan listrik e sangat terpengaruh oleh muatan lokal yang terakumulasi pada gradient konduktivitas atau daerah batas. Sedangkan medan magnet h tidak terpengaruh karena tidak berhubungan dengan rata-rata spasial dari rapat arus telurik. Jadi penyederhanaan asumsi dapat dilakukan dengan h = hr. Oleh sebab itu e harus dihubungkan dengan er oleh suatu tensor distorsi C (Bahr, 1988)
·[ É = ÇÉÍ = a· H
·= ·z b ÉÊ
(2.54)
28
Struktur distorsi diasumsikan berinduktif lemah dan seluruh elemen dari C dapat diasumsikan real. Maka diperlukan empat parameter real untuk menunjukkan keberadaan distorsi. Model fisis untuk suatu permukaan 3-D inhomogen sesuai dengan model II (Berdichevsky dan Dmitriev, 1976), dengan C didefinisikan sebagai Ïr Ç = Î .r/ Ïs .r/
Ïr
.s/
.s/ Ð
Ïs
(2.55)
Empat parameter bebas diperlukan untuk menunjukkan tensor distorsi umum. Gambar 2.8 menunjukkan suatu model regional dan distorsi. Suatu daerah konduktif pertengahan (ditandai dengan titik-titik) terletak pada suatu lapisan bawah terisolasi (putih). Di dalam daerah pusat lingkaran terdapat suatu daerah permukaan konduktif tinggi yaitu swamp (hitam). Pengukuran dilakukan pada pusat swamp. Arus telurik regional terputarkan (twist) dengan suatu sudut Ѳt. Pemanjangan suatu swamp menyebabkan anisotropi sejajar sumbu utama dan tegak lurus arah a. Penerapan transformasi pada setiap operasi distorsi tersebut terhadap medan listrik regional menghasilkan suatu hubungan akhir dari medan listrik terukur dengan regional, yang ditunjukkan dengan
cos t¥ Ç=£ sin t¥
É = ÇÉÍ = ÑΛÒÓ ÔÉÊ
−sin t¥ Õ[ ¤£ cos t¥ 0
0 cos t¥ ¤£ −sin t¥ Õ=
sin t¥ cos t( ¤£ cos t¥ sin t(
(2.56)
−sin t( ¤ cos t(
(2.57)
Matrik T adalah twist, Q dan transposenya QT merotasi sumbu utama dari swamp dan Λ merupakan suatu anisotropi yang disebabkan oleh pemanjangan dan kontras
konduktivitas dari swamp. Dengan demikian terdapat empat parameter real t¥ , t( , λ1 dan λ2 yang perlu diketahui.
29
Faktorisasi (Persamaan 2.57) sangat menjelaskan model distorsi namun sulit untuk direpresentasikan karena keempat parameter tersebut tidak diperoleh dari tensor impedansi terukur. Solusi eksak dari C yang tidak dapat ditentukan pada kasus distorsi
galvanik
2-D
dapat
diperoleh
dengan
melakukan
dekomposisi
(parameterisasi) dari tensor impedansi yaitu dengan memisahkan bagian elemen tensor yang dapat ditentukan dan yang tidak dapat ditentukan (Zhang et al., 1987).
Gambar 2.6 Model distorsi dan regional (Groom dan Bailey, 1989)
Dengan hubungan É = Ƭ Ë
(2.58)
dan Zm adalah tensor impedansi terukur. Dalam sistem regional atau sumbu utama, kita dapat tunjukkan tensor impedansi terukur dengan Persamaan (3.11) dan (3.12) Ƭ = ÇÆ=
(2.59)
Atau dalam sistem sumbu pengukuran Ƭ = ÖÇÆ= Ö¾
(2.60)
30
Dengan C merupakan tensor distorsi dalam sistem sumbu utama induktif regional, dan R adalah matrik rotasi yang merotasi vektor-vektor dengan sudut t terhadap
sistem sumbu terukur dari sistem sumbu pengukuran regional.
Meskipun faktorisasi tensor impedansi terukur mendasari suatu model fisis, parameter dari faktorisasi ini tidak dapat ditentukan secara unik dari data terukur. Hal ini disebabkan terdapat sembilan parameter yang diperlukan: satu sudut rotasi pada R, empat elemen tensor distorsi, dan dua impedansi kompleks. Andaikan suatu transformasi,
Ø Æ′= = ×= = £ [ 0 Ç′ = ÇÙ G[
0 ¤Æ Ø= =
(2.61) (2.62)
Dengan w1 dan w2 adalah bilangan real tidak nol. Faktorisasi baru menjadi Ƭ = ÖÇ′Æ′Ú ÖÛ
(2.63)
Hal ini ekuivalen dengan Zm (Persamaan 2.60), ketika C’ real dan Z’2 dalam bentuk 2-D ideal.
Pada kenyataannya
dapat ditunjukkan bahwa matrik diagonal W
menghasilkan bentuk umum yang tidak unik. 2.11
Faktorisasi Tensor Distorsi Representasi matrik yang sesuai ini mengikuti contoh (Spitz, 1985) dan
diperkenalkan suatu modifikasi matrik spin pauli, yaitu Ü=a
1 0 b 0 1
0 1 b 1 0 0 −1 Ý= = a b 1 0 Ý[ = a
(2.64a) (2.64b) (2.64c)
31
1 ÝH = a 0
0 b −1
(2.64d)
Suatu tensor M orde 2 dapat dinyatakan dalam penjumlahan matrik (Persamaan 2.64) yaitu Þ = α ß + α[ Ýà + α= ÝÚ + αH ÝH
(2.65)
Sedangkan faktorisasi dari C menghasilkan Ç = ÃÛá<
(2.66)
g adalah suatu skalar dan faktor tensor T, S, A didefinisikan dengan Û = âÚ .Ü + >ÝÚ /
á = âà .Ü + %Ýà /
< = âã .Ü + pÝH /
(2.67a) (2.67b) (2.67c)
Faktor normalisasi Ni ditetapkan agar T, S, dan A secara individual dapat bertahan ketika diterapkan ke suatu medan listrik acak terpolarisasi secara isotropis, yaitu â[ = 1⁄√1 + % = â= = 1⁄√1 + > =
âH = 1⁄√1 + p =
(2.68a) (2.68b) (2.68c)
Adapun tujuan normalisasi untuk memastikan setiap elemen T, S, dan A tetap terbatasi selama proses komputasi. Beberapa pengertian fisis dalam faktorisasi ini dapat ditentukan dengan menguji pengaruh dari setiap faktor pada medan listrik regional (yaitu medan listrik regional pada sistem koordinat alami dari struktur regional 2-D). Tensor anisotropi atau tensor pemisahan
32
< = âã .Ü + pÝH / = âã a
1+p 0
0 b 1−p
(2.69)
merentangkan dua komponen medan dengan faktor berbeda, membangkitkan suatu anisotropi yang berhubungan dengan distorsi dan keberadaan anisotropi tensor impedansi induksi regional Z2 sepanjang sumbu yang sama. Distorsi anisotropi ini tidak dapat terbedakan dari anisotropi induktif kecuali dalam keadaan ketika anisotropi Z2 diketahui. Gambar (2.7b) menunjukkan pengaruh A pada suatu keseluruhan vektor-vektor satuan untuk s positif. Tensor shear (dinamakan sesuai dengan analogi teori deformasi) á = âà .Ü + %Ýà / = âà a
1 % b % 1
(2.70)
mengembangkan anisotropi pada sumbu di mana sumbu utama induktif regional terbagi dua. Pengaruh S pada keseluruhan vektor satuan ditunjukkan oleh gambar 2.7b untuk shear e positif. Perubahan sudut maksimum terjadi untuk vektor-vektor sejajar dengan sumbu utama. Suatu vektor pada sumbu x dalam gambar dibelokkan searah jarum jam dengan sudut shear tan-1e, dan suatu vektor sepanjang sumbu y dibelokkan berlawanan arah jarum jam dengan besar sudut yang sama. Pengaruh dari tensor twist Û = âÚ .Ü + >ÝÚ / = âÚ a
1 >
−> b 1
(2.71)
secara sederhana untuk merotasi vektor medan listrik searah jarum jam dengan sudut twist tan-1t. Twist t dikarakterisasi dengan sudut twist фs= tan-1t. Terakhir, g menunjukkan suatu keseluruhan penskalaan medan listrik. Hal ini diperlukan karena hasil A, S, dan T ternormalisasi akan berbeda dari tensor distorsi C sesungguhnya. g lebih merupakan suatu ‘site gain’.
33
Gambar 2.7 (a) susunan data MT yang diambil pada pusat konduktif swamp (hitam) yang dilingkupi
oleh regional konduktif pertengahan (abu-abu) dan suatu isolator (putih). t( menunjukkan arah strike dari suatu swamp dengan ‘twist’ arus telurik. Anomali juga ditentukan oleh efek shear dan anisotropis
dari data. (b) pengaruh dari operator twist, shear, anisotropis terhadap medan regional . (Groom dan Bailey, 1989)
Baik g ataupun A dapat ditentukan secara terpisah dari Z2, dengan Z’2= g A Z2 dipandang seperti tensor impedansi 2-D ideal (yaitu memiliki elemen diagonal nol). Dua impedansi utama ditentukan dalam Z’2 akan secara terpisah terskalakan dengan sesuatu yang tidak diketahui tetapi merupakan faktor bebas frekuensi. Keuntungan faktorisasi ini adalah bagian C yang tidak diketahui diserap ke tensor impedansi yang ditentukan tanpa merusak bentuk tensor 2-D ideal. Jika distorsi telurik tidak bergantung frekuensi, penyerapan g, A ke dalam Z2 tidak akan mengubah bentuk kurva resistivitas semu ataupun fasa, dengan demikian kita dapat menentukan secara tepat kecuali terdapat pergesaran statis. Dalam metode
34
konvensional, tidak hanya penyerapan g, A ke dalam Z2 tetapi juga T dan S, dengan demikian mengubah dari tensor ideal 2-D. Faktorisasi C menggunakan nilai real g, t, e, s dan ketidak-unikkan untuk C yang berubah-ubah. Sebagai contoh dekomposisi klasik nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matrik persegi tidak akan menghasilkan nilai real dari nilai eigen dan vektor eigen jika matrik tidak memiliki properti yang pasti. Hal yang sama, tidak ada jaminan di mana hasil faktorisasi dalam (Persamaan 3.24) tetap ada jika s, t, e dan g yang diperlukan menjadi real. Ç=
ä
å.[R² ; /.[R; /.[Ræ; /
×£
.1 + p/.1 − >%/ .1 + p/.% + >/
.1 − p/.% − >/ ¤ .1 − p/.1 + >%/
(2.72)
Untuk kasus distorsi lemah (t, e dan s kurang dari satu), maka faktorisasi dapat diaproksimasi dengan mudah. Jika seluruh bentuk kedua dan ketiga e, s, dan t diabaikan, maka diperoleh
·[ Ç = a·
H
·= 1+p ·z b ≈ Ã a % + >
%−> b 1−p
(2.73)
Dengan demikian diperoleh Ã≈
%≈ p≈
>≈
ç Rçè
(2.74a)
ç; Rçé
(2.74b)
ç Gçè
(2.74c)
çé Gç;
(2.74d)
=
ç Rçè çRçè
ç Rçè
Ini merupakan bentuk operator yang digunakan oleh (Larsen, 1975). Pada keadaan distorsi lemah, model regional 1-D (Larsen, 1975,1977) dapat sangat sederhana
35
menghitung twist, shear, anisotropi dan kemungkinan menggeser impedansi 1-D tetapi bukan site gain. Untuk distorsi umum, Persamaan (2.72) harus disesuaikan. Hal tersebut ditunjukkan di mana keberdaaan dua solusi secara umum dari Persamaan ini dan hanya satu yang memiliki arti secara fisis. Persamaan (2.72)
.1 + p/.1 − >%/ Ç = Ã′ £ .1 + p/.% + >/
.1 − p/.% − >/ ¤ .1 − p/.1 + >%/
(2.75a)
dengan g’ sudah termasuk faktor normalisasi. Asumsikan C dengan bentuk
atau
· Ç=£ [ ·H
0 ¤ 0
0 Ç=£ 0
·= ¤ ·z
Untuk kasus khusus ini di mana Persamaan (3.30) s ≠ ±1 Jika c4 ≠ 0, ê = ç; = [R(² ç
è
²G(
(2.75b)
²R(
(2.75c)
Dan jika c1 ≠ 0, ^=
çé ç
=
[G(²
Kasus khusus untuk c1 = 0 atau c4 = 0 memiliki dua solusi yang secara jelas tidak dibahas di sini. Jika γ = β, maka terdapat satu solusi: t= 0 dan %=ê=^
Ã=
ç Rçè =
p=
ç Gçè =ë
(2.76a)
36
Jika γ = -β, solusi hanya e= 0, dan > = −ê = ^
Ã=
ç Rçè =
p=
ç Gçè =ë
(2.76b)
Jika γ ≠ β dan γ ≠ -β, maka Persamaan (2.75) dapat diperoleh dengan Persamaan kuadrat dari e dan t .ê + ^/% = + 2%.1 − ê^/ − .^ + ê/ = 0
(2.77a)
.ê − ^ /> = + 2> .1 + ê^ / − .ê − ^ / = 0
(2.77b)
>=
.ìíR[/±å.[Rì; /.[Rí; /
(2.78a)
.ìíG[/±å.[Rì; /.[Rí; /
(2.78b)
Solusi real,
%=
ìGí
ìRí
solusi untuk t dengan akar kuadrat positif sebagai t+, sedangkan solusi lain t-, dan berlaku juga untuk e. > R > G = −1
% R % G = −1
dan dua set solusi (e1, t1) = (e+, t-) dan (e2, t2) = (e-, t+). Dengan demikian dapat ditunjukkan di mana γβ = -1 saat t = ±1 dan γβ = 1
saat e = ±1. Perkecualian untuk solusi pasangan, di salah satu solusi, |%| > 1, dan
yang lain |%| < 1. Berlaku juga untuk solusi di mana |>| > 1, dan yang lain |>| < 1.
Secara lebih spesifik, dapat ditunjukkan (g, t, e, s) adalah suatu solusi, maka (-g, -t-1, e-1, s-1) merupakan solusi juga.
Kedua solusi tidak dapat selalu terbagi menjadi solusi distorsi ‘kecil’ |>, %| < 1 dan
‘besar’ |>, %| > 1. Namun, jika
0 ≤ |ê^| ≤ 1
37
maka |>= | < |>[ |
|%= | < |%[ |
dan solusi di atas merupakan solusi distorsi kecil yang berbeda dengan solusi distorsi besar. Namun, jika |ê^| > 1, maka solusi merupakan jenis distorsi perpaduan. Di
mana satu solusi memiliki shear kecil dan twist yang besar sedangkan yang lain twist kecil dan shear besar. Pada saat |%| ≤ 1, pengaruh dari operator shear (2.70)
menyebabkan suatu sudut shear yang lebih besar dari 45° menjadi tidak berarti. Pembatasan ini agar diperoleh suatu solusi unik dari faktorisasi ketika shear memiliki magnitude kurang dari satu. Penyelesaian dari keunikkan memerlukan shear dan site gain yang ditentukan secara unik dari tensor distorsi. Untuk menentukan faktor anisotropi suatu tensor distorsi yang diketahui, (20’) menghasilkan [Rñ
[Gñ
=a
b
[R(² ç [G(² çè
(2.79)
Jika te ≠ 1 dan c4 ≠ 0 (kasus khusus di mana te = 1 dan c4 = 0 dapat ditentukan dengan mudah). Persamaan (3.37) memberikan solusi p[ = .ç
.ç Gçè /R² ( .ç Rçè /
(2.80a)
p= =
[
(2.80b)
Rçè /R² ( .ç Gçè /
dan ñ
Terakhir, parameter g ditentukan dengan mengalikan C dengan S-1 T-1. T inverse diperoleh saat determinannya 1+t2 dan t real. S inverse diperoleh jika e ≠±1.
38
(Kasus ini dipandang secara terpisah) Menghasilkan suatu matrik diagonal g A dan penjumlahan dari setiap elemen menghasilkan 2Ã&′ = [G² ; [R( ; ¸·[ .1 + %& >& / − ·= .%& + >& / − · .%& − >& / + ·z .1 − >& %& /» ®
[
®
(2.81)
dengan i=1,2. Hanya satu dari dua solusi untuk dekomposisi tensor distorsi yang dapat diterima secara fisis. Pembahasan ini sangat diperlukan untuk menetapkan parameter yang digunakan (g, e, t, s) yang pada kenyataannya terdefinisi dengan baik melalui faktorisasi yang diajukan ini. 2.12
Dekomposisi Tensor Impedansi Jika persamaan dekomposisi (2.66) suatu tensor distorsi disubstitusikan ke
Persamaan (2.59) menghasilkan: Ƭ = Ã Ö Û á < Æ= Ö¾
(2.82)
Jika Z’2= g A Z2, maka Ƭ = Ö Û á Æ′= ÖÛ
(2.83)
Persamaan (2.83) terdiri dari 7 parameter real, yaitu (1 dan 2) bagian real dan imajiner dari impedansi utama mayor a (atau ekuivalen dengan resistivitas semu mayor dan fasa), (3 dan 4) bagian real dan imajiner impedansi utama minor b (atau ekuivalen dengan resistivitas semu minor dan fasa), (5) asimut t resistivitas semu
mayor, (6) sudut shear фe = tan-1e, dan (7) sudut twist фt = tan-1t.
Untuk menghitung parameter-parameter dari suatu tensor impedansi terukur, secara eksplisit harus berhubungan dengan data dari perkalian dekomposisi. Datum Zm merupakan penjumlahan koefisien dekomposisi αi, yaitu
39
Ƭ = = .o Ü + o[ Ý[ + o= Ý= + oH ÝH /
(2.84)
o = rr + ss
(2.85a)
[
dan
o[ = rs + sr
o= = sr − rs oH = rr − ss
(2.85b) (2.85c) (2.85d)
Hasil dekomposisi Persamaan (2.83) akan membentuk Persamaan-Persamaan sistem non linier, yaitu: o = > + %g
o[ = .g − %> / cos 2t − .>g + %/ sin 2t o= = − + %>g
(2.86a) (2.86b) (2.86c)
oH = −.>g + % / cos 2t − .g − %>/ sin 2t
(2.86d)
= ª + Ì dan g = ª − Ì
(2.87)
dengan definisi
yang merupakan penjumlahan dan pengurangan impedansi utama. Ambiguitas sudut 90° dapat diselesaikan dengan menggunakan ketentuan |ª| > |Ì|, dengan a adalah
resistivitas semu utama mayor dan t adalah asimut medan listrik yang berasosiasi antara 0° dan 90°.
Suatu dekomposisi tensor (Persamaan 2.86) yang unik diperoleh jika model fisis tensor impedansi tepat dan tidak terdapat noise (setelah ambiguitas untuk ketentuan regional azimuth diselesaikan dan pembatasan shear rendah dibuat untuk
40
solusi faktorisasi C). Pada prakteknya, data eksperimen mengandung noise atau deviasi dari model fisis tidak akan tepat sesuai dengan dekomposisi. Dalam kasus ini, suatu solusi dari delapan Persamaan real (2.86) untuk tujuh parameter dekomposisi harus dicapai dengan prosedur penyesuaian least-square. 2.13 Tinjauan Tensor Impedansi Bersifat Isotropi atau Anisotropi (Swift, 1967) mendefinisikan suatu indikator 3-D, skew, yaitu |Γ| = {−
e¦ e;
{
(2.88)
Γ bernilai Γ = dG²(ò (dR²ò
(2.89)
Saat induksi 2-D, Persamaan (2.89) dengan skew bernilai nol dan merupakan fungsi dari frekuensi jika terdapat distorsi. Terdapat dua kasus ekstrem yaitu jika tensor impedansi Z2 diperoleh dari dekomposisi baru bersifat isotropis (yaitu tidak ada pengaruh dari anisotropi distorsi dan anisotropi induktif). Maka δ = 0 dan Γ = > = tan ó(
(2.90)
Γ = [G²( = tan.ó( + ó² /
(2.91)
Kasus kedua jika Z2 sangat anisotropi, sehingga |ª| ≫ |Ì| dan g ≈ , maka (R²
Sehingga definisi sudut skew γ menjadi tan-1 Γ (catatan, hal ini berbeda dengan sudut skew yang didefinisikan oleh LaTorraca et al., 1986 dan Eggers, 1982). Sudut skew merupakan suatu aproksimasi dari estimasi sudut twist dan shear. Sehingga data MT tidak diterima pada basis skew besar jika induksi 2-D alami. Dekomposisi baru yang diajukan di atas akan mengidentifikasi situasi tersebut dan boleh atau tidaknya menggunakan data tersebut.
41
Metode konvesional mencakup impedansi dan strike induktif dengan meminimumkan ′ ′ §rr § + §ss § =
=
sebagai suatu fungsi dari sudut rotasi koordinat t’ (Swift, 1967; Sims dan Bostick,
1969). Hal ini ekuivalen dengan meminimumkan |oH .t′/|= (Spitz, 1985, Sims dan Bostick, 1969). Sebagai suatu fungsi dari sudut rotasi koordinat terpilih t’ oH .t′/ = −.>g + %/ cos 2.t − t′/ − .g − %>/ sin 2.t − t′/
(2.92)
Meminimumkan |oH |= yang ditunjukkan oleh Persamaan (2.92) dengan fungsi dari t’
tidak akan menghasilkan strike induktif (t) sebenarnya jika terdapat distorsi. Dengan Z2 anisotropi tinggi .g ≈ /, α3 dapat dibuat nol, sehingga t′ = t +
>+% 1 1 tanG[ £ ¤=t+ ê 1 − %> 2 2
= t + = .ó( + ó² / [
(2.93a)
Kemudian diperoleh asimut berbeda dari strike induktif dengan setengah sudut skew. Implikasi umum dari kasus ini yaitu kesalahan asimut dari metode konvensional berorde sama dengan sudut skew. Untuk kasus isotropi .g ≈ 0/, α3 menjadi nol, sehingga t′ = t +
[ =
tanG[ a b = t ± + ó( [ (
y z
[ =
(2.93b)
jika t tidak bernilai nol. Untuk kasus khusus anisotropi tinggi, impedansi utama diperoleh sesuai dengan perkalian skalar dari impedansi 2-D sesungguhnya, a(ω) dan b(ω), di mana
Ì.B/ ≪ ª.B/. Gunakan suatu tensor impedansi dari Persamaan (2.83) dalam proses
42
dekomposisi konvensional (Swift)
dengan sedikit manipulasi aljabar di mana
impedansi a’ dan b’ diperoleh dengan metode konvensional yaitu ª′.B/ ≈ ª.B/ h
.[G²(/.[Rçõñ ì/R.²R(/ñ&½ ì
Ì′.B/ ≈ ª.B/ h
=
.[G²(/.[Gçõñ ì/G.²R(/ñ&½ ì =
i
i
(2.94a) (2.94b)
Dengan demikian diperoleh impedansi mayor secara tepat dengan suatu faktor penskalaan yang tidak bergantung frekuensi jika model benar. Impedansi utama minor tidak diperoleh secara tepat seluruhnya namun nilainya ditentukan oleh impedansi utama mayor dikalikan dengan faktor penskalaan. Instruksi lain kasus khusus yaitu distorsi lemah (e, t dan s seluruhnya kurang dari satu-satuan) pada suatu regional bumi isotropi. Pada kasus ini , bentuk kedua dan ketiga dari e, t dan δ/σ dapat diabaikan, sehingga aproksimasi Persamaan (3.44) menjadi o ≈ >
o[ ≈ g cos 2t − % sin 2t o= ≈ −
oH ≈ −% cos 2t − g sin 2t
(2.95a) (2.95b) (2.95c) (2.95d)
Jika shear e nol, |oH .t′/|= diminimisasi dengan t ′ = t, dan metode
konvensional akan memperoleh strike induktif yang benar. Metode konvensional memperoleh impedansi utama yang benar dalam kasus ini (kecuali pergeseran statis). Skew (α0/α2) bergantung pada twist dan sebagian pada shear, sedangkan shear merupakan parameter penting dalam penentuan validitas metode konvensional. Metode konvensional memberikan hasil yang tepat ketika skew tidak nol, dan tidak tepat saat skew nol (t=0) jika shear tidak nol.
43
2.14
Distorsi 2-D atau Distorsi Kuat (Zhang et al., 1987) telah menerapkan ide fisis yang sama seperi (Bahr, 1988)
untuk kasus khusus di mana struktur distorsi 2-D alami. Untuk perbandingan, kita menguji kasus distorsi kuat (bukan 2-D) dengan dekomposisi yang diajukan disini. Dengan menganggap pengaruh tensor T S pada medan listrik regional dihasilkan oleh Z2 h. Jika distorsi kuat (|%| mendekati satu), S sangat mempolarisasi medan listrik sepanjang asimut π/4 terhadap sistem koordinat induktif utama (atau –π/4 jika shear negatif). Tensor twist T kemudian merotasi polarisasi sumbu ini dengan sudut twist. Arah polarisasi medan listrik kuat dari koordinat pengukuran azimut akhir adalah tö = t + ó( ±
y z
(2.96)
dengan tanda dipilih sesuai dengan shear. tö didefinisikan sebagai arah distorsi atau
strike lokal; arah tersebut akan tegak lurus struktur distorsi kuat. Distorsi strike dapat
digunakan sebagai parameter dekomposisi pada twist, yang berisi seluruh informasi mengenai twist dan menggambarkan secara langsung struktur distorsi. Hasil di atas (Persamaan 2.96) dapat diturunkan untuk distorsi 2-D menggunakan hasil dari (Zhang et al., 1987) untuk bentuk tensor distorsi 2-D (memiliki 3 parameter bebas
dan simetris) dan suatu kondisi distorsi kuat .|%| ≈ 1/.
2.15
Indikator Induksi 3-D Asumsi distorsi 3-D yang bekerja pada induksi 2-D tidak dapat diterapkan
pada seluruh kasus, tetapi hanya berlaku pada kasus ini. Terdapat dua cara di mana deviasi dari model distorsi ideal dapat dideteksi. Model distorsi menuntun ke suatu dekomposisi hanya dengan tujuh parameter real, oleh karena itu tidak sesuai dengan tensor impedansi yang mungkin, di mana diperlukan delapan parameter untuk
44
menggambarkannya. Akar rata-rata kesalahan relatif penyesuaian ÷ dekomposisi
yaitu
÷ = =
∑;®ú ∑;¯ú§ù®¯ Gù®¯ § ∑;®ú ∑;¯ú§ù®¯ §
;
;
(2.97)
Dengan Zij dan û&¨ merupakan elemen tensor terukur dan termodelkan. Parameter
error harus lebih kecil dari satu. Parameter tersebut dapat dihitung pada setiap
frekuensi dan kemudian dapat digunakan untuk menetapkan rentang frekuensi di mana model distorsi ideal secara signifikan terdapat error. Nilai estimasi ÷ tidak nol
jika data error diperhitungkan. Suatu uji chi-square konvensional dengan satu derajat
kebebasan digunakan untuk menilai signifikansi jika error Z diasumsikan terdistribusi normal. Hal ini tidak hanya digunakan untuk menilai validitas model, (Bahr, 1988) telah menetapkan perbedaan pengukuran deviasi dari model ini. Cara kedua untuk memperkirakan deviasi dari model ideal dengan menguji kebergantungan frekuensi dari parameter distorsi. Jika model distorsi ideal merupakan model yang realistik pada suatu rentang frekuensi, parameter ini akan teraproksimasi tidak bergantung frekuensi. Suatu struktur yang berperilaku sebagai bagian struktur regional induktif pada frekuensi tinggi mungkin berperilaku sebagai suatu struktur distorsi tidak bergantung frekuensi pada banyak frekuensi rendah.
