BAB II LANDASAN TEORI
2.1
Perangkat Lunak Perangkat lunak adalah: 1. Instruksi–instruksi (program komputer) yang jika dijalankan akan menyediakan fungsi yang diperlukan. 2. Struktur data yang memungkinkan program untuk memanipulasi informasi. 3. Dokumen yang menyatakan operasi dan kegunaan program.
2.1.1
Dasar Perancangan Perangkat Lunak Perancangan merupakan proses penerapan bermacam-macam teknik dan prinsip dengan tujuan untuk mendefinisikan peralatan, proses atau sistem secara rinci. Perancangan dilakukan pada tahap awal pengembangan. Tujuan perancangan adalah menghasilkan model yang akan dibuat. Perancangan perangkat lunak mengalami perubahan jika didapatkan metode yang baru, analisis yang lebih baik dan penyusunan pengertian yang lebih luas.
10
2.1.2
Fase Pengembangan Perangkat Lunak
Definisi
Kebutuhan
Merancang Perangkat Lunak dan Sistem
Implementasi dan Testing Unit
Integrasi dan Testing Sistem
Penggunaan dan Perawatan
Gambar 2.1 Waterfall Model Sumber : Sommerville, 1995, p18 Model fase pengembangan perangkat lunak yang digunakan adalah Waterfall Model. Adapun fase-fase yang ada pada Waterfall Model ini antara lain: 1. Analisis Kebutuhan dan Definisi Masalah Pada fase ini, dianalisis apa yang menjadi kebutuhan dan yang menjadi tujuan dari pembuatan perangkat lunak ini.
11
2. Perancangan Sistem dan Perangkat Lunak Perancangan sistem adalah distribusi kebutuhan tersebut dalam perangkat keras dan perangkat lunak, sehingga keduanya saling bersinkronisasi. 3. Implementasi dan Unit Testing Pada fase ini, rancangan perangkat lunak direalisasikan menjadi sekumpulan unit atau modul program. Unit testing berguna untuk mengecek apakah suatu unit atau modul tersebut sesuai dengan spesifikasi dan kegunaan yang diharapkan. 4. Integrasi dan Uji Sistem Unit atau modul program kemudian diintegrasikan satu sama lain menjadi satu kesatuan sistem yang utuh. Kemudian mengecek sistem tersebut apakah sesuai dengan kebutuhan yang diinginkan. Setelah selesai dengan testing program, sistem tersebut dapat dilepas kepada user. 5. Penggunaan dan Perawatan Biasanya fase ini adalah yang paling lama. Perawatan perangkat lunak meliputi memperbaiki kesalahan yang tidak muncul pada tahap-tahap sebelumnya dalam pembuatan perangkat lunak dan mengembangkan perangkat lunak yang sudah ada ketika ada kebutuhan yang baru.
12
2.2
Bond (Obligasi) Bond atau yang disebut juga obligasi adalah suatu perangkat keuangan berupa surat hutang, yang mewajibkan penerbitnya (peminjam uang atau debitor) untuk membayar hutang kepada investor (pemberi utang atau kreditor) sebesar jumlah yang dipinjamkan serta bunganya untuk periode waktu tertentu. Obligasi dipandang sebagai sebuah bentuk investasi yang aman, karena para kreditor pasti akan mendapatkan uangnya kembali pada saat jatuh tempo, ditambah dengan bunga yang dijanjikan oleh para debitor sebagai keuntungan bagi kreditor. Harga obligasi tidak sama dengan pokok pinjaman (face value) dari suatu obligasi. Tidak seperti saham, penentuan harga obligasi lebih kompleks. Sebagai contoh pada saat Indonesia akan menerbitkan obligasi internasional pada beberapa bulan yang lalu, penentuan harga obligasi dilakukan di kota New York, Amerika Serikat. Suku bunga yang selalu berubah, kondisi penerbit obligasi dan kondisi ekonomi makro merupakan hal-hal yang perlu diperhatikan dalam penentuan harga obligasi di pasar finansial.
2.2.1
Identitas Penerbit Obligasi Dilihat dari identitas penerbit obligasi, obligasi dapat terbagi menjadi beberapa jenis, yaitu obligasi perusahaan, obligasi kota, obligasi pemerintah
13
dan obligasi internasional. Identitas penerbit obligasi adalah sebuah faktor yang penting untuk dipertimbangkan. Kestabilan penerbitnya adalah jaminan bagi pemegang obligasi untuk mendapatkan uangnya kembali. Sebuah sistem rating diterbitkan untuk membantu investor melihat kredibilitas suatu obligasi dilihat dari penerbitnya. Anggap saja rating obligasi ini sebagai rapot bagi si penerbit obligasi. Berikut tabel 2.1 menggambarkan skala rating obligasi dari dua agen pemberian rating di Amerika Serikat: Moody’s dan Standard and Poor’s and Fitch Ratings.
Tabel 2.1 Tabel Skala Rating Obligasi Sumber: www.investopedia.com Bond Rating Moody's S&P/Fitch Aaa AAA Aa AA A A Baa BBB Ba, B BB, B Caa / Ca / C CCC / CC / C C D
Grade
Risk
Investment Investment Investment Investment Junk Junk Junk
Highest Quality High Quality Strong Medium Grade Speculative High Speculative In Default
Dengan keterangan yang ada pada tabel di atas, dapat dilihat apakah obligasi yang diterbitkan cukup aman untuk dimasukkan ke dalam portfolio investasi, atau merupakan obligasi yang tergolong sebagai junk. Obligasiobligasi yang tergolong dalam kategori obligasi junk adalah obligasi dengan tingkat resiko yang sangat tinggi, biasanya disebabkan oleh keadaan
14
penerbitnya yang sedang dalam kesulitan finansial. Biasanya jenis obligasi ini menawarkan keuntungan yang lebih tinggi, jauh di atas obligasi-obligasi yang lain. Perlu diketahui, bahwa rating si penerbit obligasi dapat berubah, baik turun atau naik. Sebagai contoh, pada awal Maret 2006, pemerintah Indonesia menerbitkan obligasi internasional dengan denominasi US Dollar (USD). Untuk obligasi ini, S&P memberikan rating B+ dengan outlook credit rating yang semula “stable” menjadi “positive”. Sedangkan Moody’s memberikan rating B2. Kedua rating tersebut berada pada empat level di bawah investment grade, dengan kata lain obligasi yang diterbitkan oleh pemerintah Indonesia, masih dianggap sebagai obligasi junk. Ketidakstabilan keadaan ekonomi dan keamanan, serta situasi politik yang dialami oleh Indonesia mempengaruhi rating obligasi yang Indonesia terbitkan.
2.2.2
Face Value Face value adalah jumlah uang yang akan dikembalikan pada saat suatu obligasi jatuh tempo, suatu nilai nominal dari suatu obligasi, biasanya juga disebut sebagai principal. Biasanya nilai face value suatu obligasi yang diterbitkan oleh pemerintah lebih besar dibandingkan dengan obligasi perusahaan. Face value bukan harga suatu obligasi. Harga dari sebuah obligasi berfluktuasi sepanjang waktu hidupnya sebagai respon terhadap beberapa
15
faktor. Bila sebuah obligasi diperdagangkan pada harga yang sama dengan face valuenya, maka obligasi tersebut dikatakan dijual pada par. Bila obligasi diperdagangkan di atas face value, maka obligasi tersebut dijual pada premium. Sedangkan bila obligasi dijual di bawah face value, maka disebut dijual pada discount.
2.2.3
Term of Maturity Term of maturity atau waktu hidup obligasi adalah jangka waktu dari tanggal peminjaman sampai tanggal jatuh tempo (maturity date). Pada tanggal jatuh tempo penerbit obligasi akan mengembalikan seluruh pinjaman. Waktu hidup obligasi dapat berkisar dari waktu yang sangat singkat, seperti 1 hari, hingga waktu yang sangat lama, seperti 30 tahun. Namun obligasi dengan jangka waktu hidup 100 tahun juga pernah diterbitkan. Tiga alasan mengapa waktu hidup dari suatu obligasi penting: 1. Waktu hidup menunjukkan periode waktu di mana pemegang obligasi dapat memperoleh pembayaran coupon dan jumlah tahun sebelum pokok pinjaman (face value) dibayar seluruhnya. 2. Benefit obligasi tergantung pada waktu hidup obligasi. Semakin lama waktu hidup obligasi, semakin besar benefit yang ditawarkan oleh obligasi tersebut.
16
3. Harga obligasi akan berfluktuasi bila benefit di pasar berubah hingga pada saat waktu hidup obligasi berakhir, yaitu pada tanggal jatuh tempo.
2.2.4
Coupon Rate Coupon rate adalah jumlah yang harus dibayarkan secara periodik selama masa hidup obligasi oleh penerbit obligasi sebagai kompensasi atau bunga atas uang yang telah dipinjam. Dikatakan kupon karena pada waktu dulu fisiknya berbentuk kupon yang disobek kemudian ditukarkan dengan uang. Namun pada saat ini sudah jarang yang berbentuk kupon dan sudah dilakukan dalam transaksi-transaksi elektronik. Kupon yang harus dibayar adalah coupon rate dikalikan dengan face value. Kupon dapat dibayarkan secara tahunan atau tiap semester atau tiap kuartal, tergantung kesepakatan antara debitor dan kreditor. Khusus untuk obligasi tanpa kupon (zero coupon bond), pembayaran kupon hanya dilakukan sekali saja, yaitu pada saat tanggal jatuh tempo, bersamaan dengan pengembalian pokok pinjaman.
2.2.5
Penentuan Harga Obligasi Para investor yang berminat untuk membeli obligasi harus mengetahui bagaimana harga obligasi ditentukan, karena dengan itu dapat diindikasi keuntungan atau benefit yang didapat dari obligasi tersebut.
17
Obligasi dapat dijual pada harga premium, discount, atau par. Jika obligasi dijual pada harga premium, harga obligasi lebih tinggi dari face valuenya, karena bunga yang ditawarkan lebih tinggi dari tingkat suku bunga yang berlaku saat itu. Obligasi yang dijual pada harga discount, harga obligasi lebih rendah dari face valuenya, karena bunga yang ditawarkan lebih rendah dari tingkat suku bunga yang berlaku saat itu. Ketika menentukan harga sebuah obligasi, harga yang dihitung adalah harga maksimum yang dibayar investor untuk obligasi tersebut, dengan memberikan coupon rate yang bersaing pada tingkat suku bunga rata-rata yang diterima pada saat itu oleh investor-investor di pasar obligasi. Keuntungan yang diperlukan adalah bunga yang ditawarkan obligasi untuk menarik para investor agar membeli obligasi tersebut. Biasanya keuntungan yang diperlukan pada sebuah obligasi sama atau lebih besar dari tingkat suku bunga yang berlaku saat itu. Pada dasarnya harga obligasi adalah jumlah dari semua pembayaran kupon yang diharapkan, ditambah dengan face value pada saat tanggal jatuh tempo. Dengan menggunakan persamaan yang menerapkan pengertian dasar present value of annuity berikut ini, dapat dihitung harga obligasi yang menerima pembayaran kupon.
18
Harga obligasi =
C C C M + + ... + + 2 n (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i )n
(2.1)
di mana,
2.2.6
C
= kupon
n
= jumlah pembayaran kupon
i
= bunga atau keuntungan yang diperlukan
M
= face value
Zero Coupon Bond Zero coupon bond atau obligasi tanpa kupon merupakan suatu
perjanjian di mana pihak penerbit obligasi akan membayar sejumlah uang sebagai bunga beserta pokok pinjaman pada saat tanggal jatuh tempo, tanpa pembayaran kupon. Biasa disebut juga discount bond, karena jenis obligasi ini dijual pada harga yang lebih rendah dari face valuenya, sehingga bunga yang dibayarkan pada saat tanggal jatuh tempo adalah selisih dari face value dan harga obligasi pada saat dibeli oleh si pemegang obligasi. Suku bunga yang diperoleh dari suatu obligasi tanpa kupon disebut zero rates. Pemberian harga zero coupon bond agak berbeda dengan jenis obligasi yang menerima pembayaran kupon. Dengan persamaan dasar berikut, dapat dihitung harga obligasi tanpa kupon.
19
Harga obligasi tanpa kupon =
M (1 + i )n
(2.2)
di mana, i
= bunga atau keuntungan yang diperlukan
n
= masa hidup obligasi
M
= face value
Karena untuk zero coupon bond tidak ada pembayaran hingga pada tanggal jatuh tempo, maka persamaan di atas tidak menerapkan prinsip dasar present value of annuity seperti pada persamaan (2.1), sehingga cukup dihitung present value dari pokok pinjaman pada saat tanggal jatuh tempo.
2.3
Option
Pengertian option adalah suatu kontrak yang memberikan hak (bukan kewajiban) kepada pemegang kontrak itu untuk membeli (call option) atau menjual (put option) aset tertentu dengan harga tertentu (harga tebus) dalam jangka waktu tertentu. Biasanya penggunaan hak menjual atau membeli yang dimiliki oleh pemegang option disebut exercise. Kerugian yang diderita terbatas sebesar premi dari option, yaitu harga yang dibayarkan pada saat membeli option. Namun bila harga naik, potensi laba yang akan diperoleh menjadi tidak terbatas.
20
Pada dasarnya, ada dua tipe option, yaitu call options dan put option. Call option adalah kontrak yang memberikan hak kepada pemiliknya untuk
membeli sejumlah aset dasar dengan patokan tertentu sebelum atau pun saat kontrak jatuh tempo. Sedangkan put option adalah kontrak yang memberikan hak untuk menjual. Aset dasarnya dapat berupa saham, kurs, indeks, ataupun obligasi. Dilihat dari penggunaan hak, ada dua tipe option, yaitu european option dan american option. European option adalah option yang hanya memberikan kesempatan kepada pemegangnya untuk menggunakan hak yang dimilikinya
pada
waktu
jatuh
tempo.
Sedangkan
american
option
memperbolehkan pemegangnya menggunakan hak yang dimilikinya selama masa hidup yang dimiliki oleh option tersebut.
2.4
Interest Rate Derivative Interest rate derivatives adalah perangkat finansial yang hasilnya
tergantung pada tingkat suku bunga. Pada tahun 1980an dan 1990an, volume perdagangan interest rate derivatives berkembang sangat pesat, sehingga banyak produk-produk baru yang dikembangkan untuk memenuhi kebutuhan end user. Yang menjadi tantangan bagi para pedagang interest rate derivative
adalah menemukan prosedur yang baik dan kuat untuk menentukan batasan dan harga untuk produk-produk ini. Ada tiga produk interest rate derivative
21
yang paling populer, yaitu bond options, interest rate caps/floors dan swap options. Interest rate derivatives lebih sulit ditentukan harganya dibandingkan
dengan derivative pada saham atau nilai tukar mata uang asing. Hal ini disebabkan oleh faktor-faktor sebagai berikut: 1. Perilaku sebuah suku bunga lebih rumit daripada harga saham atau nilai tukar mata uang asing. 2. Dalam penentuan harga, sangat penting untuk mengembangkan sebuah model yang menggambarkan secara persis perilaku dari seluruh kurva benefit dari sebuah obligasi tanpa kupon. 3. Volatilitas setiap titik pada kurva benefit berbeda-beda. 4. Suku bunga digunakan untuk mendefinisikan hasil dari sebuah derivative dan menentukan diskon.
2.4.1
Bond Options Bond option adalah option untuk membeli atau menjual sebuah
obligasi tertentu pada waktu atau tanggal tertentu dengan harga tertentu. Seringkali bond option disertakan dalam obligasi pada saat obligasi diterbitkan agar lebih menarik, baik bagi para investor maupun untuk penerbit obligasi itu sendiri. Obligasi dan bond option diperdagangkan bersama-sama, tidak dijual terpisah seperti halnya option pada saham.
22
Salah satu obligasi yang menyertakan bond option adalah callable bond. Jenis obligasi ini memiliki ketentuan yang memperbolehkan si penerbit
obligasi untuk membeli kembali obligasi pada harga yang sudah ditentukan sebelumnya pada waktu tertentu pada masa yang akan datang. Call price dari option ini adalah harga yang telah ditentukan pada saat obligasi ini
diterbitkan, yang harus dibayar oleh si penerbit obligasi kepada si pemegang obligasi. Callable bond biasanya tidak boleh dibeli kembali oleh penerbit obligasi selama beberapa tahun pertama dalam masa hidupnya. Waktu ini biasanya disebut periode lock-out. Setelah periode lock-out, biasanya call price akan berkurang seiring dengan waktu. Sebagai contoh, pada sebuah callable bond dengan masa hidup 10 tahun, pada 2 tahun pertama merupakan
periode lock-out. Setelah itu, si penerbit obligasi dapat membeli kembali obligasi tersebut dengan call price pada tahun ketiga dan keempat sebesar 110, pada tahun kelima dan keenam 107 dan pada tahun ketujuh dan kedelapan sebesar 106, dan pada tahun kesembilan dan kesepuluh pada harga 103. Nilai dari call options dicerminkan dalam perhitungan yield atau keuntungan pada obligasi tersebut. Obligasi yang memiliki ketentuan ini menawarkan keuntungan atau benefit yang lebih tinggi dibandingkan dengan obligasi biasa. Tipe lainnya yang disebut puttable bond, adalah kebalikan dari callable bond. Obligasi ini memiliki ketentuan yang memperbolehkan si
23
pemegang obligasi meminta obligasi yang dimilikinya ditebus lebih awal dari waktu jatuh temponya, dengan harga yang telah ditentukan sebelumnya. Karena put option membuat nilai obligasi tersebut bertambah bagi si pemegang obligasi, obligasi dengan keistimewaan ini menawarkan yield yang lebih rendah daripada obligasi biasa. Sebagai contoh sederhana dari puttable bond adalah sebuah obligasi dengan waktu jatuh tempo 10 tahun, dimana si
pemegang mempunyai hak agar uangnya dibayarkan kembali pada akhir tahun kelima. Biasanya obligasi yang menambahkan bond option di dalamnya termasuk dalam jenis european option. Hal ini berarti si pemegangnya hanya dapat menggunakan hak satu kali saja dan hanya dapat dilakukan pada saat option tersebut waktu jatuh tempo.
2.5
Interest Rate (Suku Bunga)
Suku bunga, dalam situasi tertentu adalah jumlah uang yang dijanjikan seorang peminjam kepada si pemberi pinjaman. Ada sejumlah tipe suku bunga yang biasa digunakan, misalnya suku bunga pegadaian, suku bunga deposito, suku bunga peminjaman, dan sebagainya. Penerapan suku bunga pada suatu situasi tertentu tergantung pada resiko yang diderita oleh pemberi pinjaman bila si peminjam tidak bisa membayar pokok pinjaman dan bunga
24
sesuai dengan yang telah disepakati. Semakin tinggi resiko yang diderita, semakin tinggi pula bunga yang dijanjikan oleh si peminjam.
2.5.1
Pengukuran Suku Bunga
Jika suatu bank mengeluarkan pernyataan bahwa suatu interest rate 10% annual compounding, maka itu berarti jika uang disimpan di bank sebesar 1000, maka pada akhir tahun uang akan berbunga sebesar 0.1 x 1000 = 100 Dengan kata lain, setelah 1 tahun uang di bank menjadi 1100. Ketika suku bunga dikatakan semi annual compounding berarti diperoleh bunga dari uang di bank sebesar 5 % setiap 6 bulan, maka uang pada akhir tahun pertama menjadi 1.05 x 1.05 x 1000 = 1102.5 Sama halnya bila dikatakan quarterly compounding, akan diperoleh bunga dari uang di bank sebesar 2.5 % setiap 3 bulan. Secara umum, misalkan disimpan uang sebesar A selama n tahun dengan interest rate R per tahun, maka pada akhir tahun ke-n uang menjadi
A × (1 + R )
n
(2.3)
Tetapi bila interest rate dihitung sebanyak m kali dalam 1 tahun, maka pada akhir tahun ke-n, uang kita menjadi
25
⎛ R⎞ A × ⎜1 + ⎟ ⎝ m⎠
m×n
(2.4)
Penjelasan perhitungan suku bunga di atas adalah perhitungan yang dilakukan secara diskrit. Jika diambil limit m menuju ∞, maka akan diperoleh interest rate continuous compounding. Jadi jika dinvestasikan uang sebesar A dengan interest rate R continuous compounding selama n tahun, maka pada akhir tahun ke-n uang menjadi
A × e ( R× n )
(2.5)
dengan, e
= 2.718281828...
Pada prakteknya, interest rate continuous compounding ekuivalen dengan interest rate daily compounding atau suku bunga yang dihitung harian. Berikut akan dilihat hubungan dari suku bunga yang dihitung m kali setahun (Rm) dengan interest rate continuous compounding (Rc) menggunakan persamaan (2.4) dan (2.5). ⎛ R ⎞ A × ⎜1 + m ⎟ m⎠ ⎝ ⎛ Rm ⎞ ⎟ ⎜1 + m⎠ ⎝
m× n
= A × e Rc × n , atau
m×n
= e Rc × n
Jadi,
⎛ R ⎞ Rc = m × ln⎜1 + m ⎟ m⎠ ⎝
(2.6), dan
26
⎛ Rmc ⎞ Rm = m × ⎜⎜ e − 1⎟⎟ ⎝ ⎠
(2.7)
Persamaan-persamaan ini dapat digunakan untuk mengkonversi suku bunga dihitung m kali setahun menjadi interest rate continuous compounding, atau sebaliknya.
2.5.2
Zero Rates
Suku bunga untuk obligasi tanpa kupon dengan masa hidup n tahun adalah suku bunga yang didapat pada sebuah investasi yang mulai pada hari ini dan berakhir pada tahun ke n. Suku bunga ini biasanya disebut n-year spot rate atau n-year zero rate. Misalnya jika dibeli zero coupon bond dengan masa hidup 5 tahun seharga 100 dengan zero rate 5% per tahun, maka face value obligasi tersebut pada waktu jatuh tempo, yaitu pada akhir tahun kelima adalah
100 × e 0.05 × 5 = 128.40 Persamaan yang digunakan dalam perhitungan ini adalah persamaan (2.5), karena dihitung secara continuous compounding.
27
2.5.3
Bond Pricing dan Bond Yield
Kebanyakan obligasi menyediakan kupon secara periodik. Pokok pinjaman obligasi akan dibayarkan pada tanggal jatuh tempo. Secara teoritis, harga obligasi dapat dihitung sebagai present value dari semua aliran dana yang akan diterima oleh si pemegang obligasi. Untuk menentukan harga suatu obligasi atau bond pricing, para penjual obligasi seringkali menggunakan suku bunga yang sama untuk setiap aliran dana yang ada pada obligasi, tetapi sebagai pendekatan yang lebih akurat, digunakan zero rates yang berbeda untuk setiap aliran dana.
Tabel 2.2 Tabel Zero Rates Sumber: Hull, 2006, p81 Maturity (years) 0.5 1.0 1.5 2.0
Zero Rates (%) (continuous compounded) 5.0 5.8 6.4 6.8
Sebagai ilustrasi, akan dihitung harga obligasi dengan menggunakan zero rates yang dihitung secara continuous compounding yang ada pada tabel 2.2. Misalkan dibeli obligasi dengan masa hidup 2 tahun dan pokok pinjaman 100 dengan pemberian kupon sebesar 6% per 6 bulan. Untuk menghitung present value kupon pertama seharga 3, diskonnya sebesar 5% untuk 6 bulan, sedangkan untuk menghitung present value kupon kedua seharga 3, berlaku
28
diskon sebesar 5.8% untuk 1 tahun, begitu seterusnya. Untuk pada tahun kedua, pokok pinjaman diikutsertakan dalam perhitungan, sehingga diperoleh harga secara teoritis dari obligasi tersebut adalah
3 × e −0.05×0.5 + 3 × e −0.058×1 + 3 × e −0.064×1.5 + 103 × e −0.068×2 = 98.39 Sedangkan benefit obligasi sebagai keuntungan yang didapat dari obligasi tersebut atau bond yield adalah suku bunga yang diterapkan pada semua aliran uang, yang menentukan harga sebuah obligasi, sehingga sesuai dengan harga pasarnya. Dengan menggunakan contoh yang sama seperti di atas, bila kita mengetahui harga teoritis suatu obligasi adalah 98.39 sebagai harga pasar, maka untuk mendapatkan yield untuk obligasi tersebut, kita dapat menggunakan
3 × e − y ×0.5 + 3 × e − y ×1 + 3 × e − y ×1.5 + 103 × e − y ×2 = 98.39 , dengan, y
= bond yield
Untuk menyelesaikan persamaan di atas, digunakan prosedur iterasi “trial and error”, atau dapat juga menggunakan penyelesaian persamaan non linier, seperti metode Newton-Raphson. Penyelesaian persamaan di atas akan menghasilkan y = 6.76%.
29
2.5.4
Forward Rates
Forward rates adalah suku bunga untuk suatu periode waktu tertentu di masa yang akan datang, yang dipengaruhi oleh zero rates pada waktu sekarang. Sebagai ilustrasi bagaimana forward rates dihitung, digunakan data zero rates yang ada pada kolom kedua pada tabel 2.3, yang diasumsikan continuous compounding.
Tabel 2.3 Tabel Perhitungan Zero Rates dan Forward Rates Sumber: Hull, 2006, p85 Year (n) 1 2 3 4 5
Zero Rate for an n-year investment (% per annum) 3.0 4.0 4.6 5.0 5.3
Forward Rates for n-th year (% per annum) 5.0 5.8 6.2 6.5
Sebagai contoh, bila seorang investor menginvestasikan uang sebesar 100, maka pada akhir tahun pertama, sesuai dengan zero rates untuk 1 tahun pada tabel 2.3, akan didapatkan uang sebesar 100 × e 0.03×1 = 103.05 . Jika ia menginvestasikan uangnya selama 2 tahun, maka menggunakan zero rates untuk 2 tahun, uang yang akan didapatkan 100 × e 0.04× 2 = 108.33 .
30
Begitu pula untuk tahun-tahun selanjutnya, dengan menerapkan persamaan (2.5) dalam perhitungan yang sama dengan di atas. Forward rates yang ada di pada kolom ke-3 pada tabel 2.3 menunjukkan 5% untuk tahun kedua. Angka ini dipengaruhi oleh zero rates untuk periode waktu antara akhir tahun pertama dan akhir tahun kedua. Ini dapat dihitung dari zero rate untuk 1 tahun dan zero rate untuk 2 tahun. Untuk membuktikan bahwa 5% adalah jawaban yang benar, dihitung dengan menggunakan contoh yang sama, bila investasi sebesar 100, dengan menggunakan zero rate 1 tahun sebesar 3% untuk tahun pertama dan menggunakan forward rate untuk tahun yang kedua sebesar 5%, maka uang yang akan diperoleh pada akhir tahun kedua adalah 100 × e (0.03×1) × e (0.05×1) = 108.33 . Hasilnya sama dengan menggunakan zero rate yang telah dihitung sebelumnya. Contoh ini mengilustrasikan hasil secara umum bila suku bunga dihitung secara kontinu dan suku bunga dalam periode waktu yang berurutan disatukan. Suku bunga yang mempunyai nilai ekuivalen ini adalah rata-rata suku bunga selama seluruh periode. Secara matematis, bila R 1 dan R 2 adalah zero rates dengan waktu jatuh tempo T1 dan T2 berurutan dan R F adalah forward interest rate untuk periode waktu T1 dan T2 , maka
31
RF =
R 2 T2 − R 1T1 T2 − T1
(2.8)
Untuk mengilustrasikan persamaan di atas, perhitungan untuk forward rate tahun keempat dari data pada tabel 2.3 adalah T1 = 3 dan T2 = 4, R 1 = 0.046 dan R 2 = 0.05, maka didapat R F = 0.062. Persamaan (2.8) dapat juga ditulis sebagai berikut. R F = R 2 + (R 2 − R 1 )
T1 T2 − T1
(2.9)
Hali ini menunjukkan bahwa jika kurva zero rates cenderung naik antara T1 dan T2 , jadi R 2 > R 1 , lalu R F > R 2 . Begitu pula sebaliknya jika kurva zero rates cenderung turun, R 2 < R 1 dan R F < R 2 . Jika diambil limit dimana T2 mendekati T1 , maka persamaan (2.9) menjadi RF = R + T
∂R ∂T
dengan R adalah zero rate dengan waktu jatuh tempo T. Nilai R F yang didapat melalui persamaan di atas dikenal sebagai
instantaneous forward rate untuk waktu jatuh tempo T. Nilai ini adalah forward rate yang dapat diaplikasikan pada periode waktu yang sangat pendek pada masa waktu yang akan datang, yang dimulai pada waktu T.
32
2.5.5
Term Structure of Interest Rate
Term structrure of interest rate, yang sering dikenal juga sebagai yield curve, adalah metode yang paling sering digunakan untuk menentukan harga suatu obligasi. Dikonstruksikan dengan menggambar yield atau benefit yang akan didapat oleh investor selama masa hidup obligasi dan pada tanggal jatuh tempo yang dimiliki oleh obligasi tersebut, sebagai standar dari perangkat keuangan dengan penghasilan yang tetap. Yield curve adalah suatu ukuran dari harapan pasar terhadap tingkat suku bunga pada masa yang akan datang, yang diberikan oleh kondisi pasar pada saat sekarang. Term structure of
interest digambarkan dengan menganalisis zero coupon bond yang seolaholah menerima pembayaran kupon pada setiap tanggal pembayaran kupon, seperti yang ada pada obligasi lainnya. Bentuk dari kurva ini dapat saja berubah pada setiap waktu. Jadi bila yield curve normal berubah bentuk, hal itu memberikan tanda kepada para pelaku pasar finansial untuk mengubah pandangan mereka pada situasi ekonomi. Ada tiga bentuk utama yang diciptakan oleh term structure of interest
rate: 1. Normal Yield Curve Sesuai dengan namanya, bentuk kurva ini menunjukkan keadaan pasar yang normal, dimana para investor secara umum berpendapat bahwa tidak ada perubahan yang signifikan dalam perekonomian, seperti
33
tingkat inflasi, dan perekonomian bertumbuh pada tingkat yang normal. Pada kondisi seperti ini, para investor mengharapkan benefit yang lebih tinggi dari obligasi yang mempunyai waktu jatuh tempo yang panjang daripada obligasi dengan jangka waktu pendek.
Gambar 2.2 Normal Yield Curve Sumber: www.investopedia.com 2. Flat Yield Curve
Gambar 2.3 Flat Yield Curve Sumber: www.investopedia.com
34
Kurva
ini
mengindikasikan
mengirimkan
signal
yang
bahwa
lingkungan
pasar
beragam
kepada
investor,
sedang yang
menginterpretasikan pergerakan tingkat suku bunga dengan berbagai cara. Selama keadaan pasar seperti ini, sulit untuk menentukan bagaimana tingkat suku bunga akan bergerak ke tiap arah secara signifikan lebih lanjut pada masa yang akan datang. Kurva ini biasanya terjadi ketika pasar sedang mengalami masa transisi. Secara bersamaan memberikan indikasi apakah yang akan terjadi dengan tingkat suku bunga, baik tanda bahwa tingkat suku bunga akan naik maupun turun. 3. Inverted Yield Curve
Gambar 2.4 Inverted Yield Curve Sumber: www.investopedia.com
35
Kurva benefit yang berbalik seperti ini jarang dan hanya terjadi pada saat harapan para investor berbanding terbalik dengan yang terjadi di pasar, kebalikan dari normal yield curve. Dalam keadaan yang tidak normal ini, obligasi diharapkan menawarkan benefit yang lebih rendah dengan masa waktu jatuh tempo yang lebih singkat.
2.6
Stochastic Process
Setiap variabel yang perubahan harganya mengikuti waktu dalam cara yang tidak tentu disebut mengikuti proses stokastik. Proses stokastik dapat diklasifikasikan menjadi dua, yaitu diskrit dan kontinu. Proses stokastik diskrit adalah proses dimana nilai dari variable dapat berubah hanya pada titik tertentu dalam waktu, sedangkan proses stokastik kontinu adalah proses dimana perubahan nilai variabel dapat terjadi di setiap waktu. Proses stokastik juga dapat diklasifikasikan menjadi proses stokastik dengan variabel kontinu dan proses stokastik dengan variabel diskrit. Dalam proses stokastik dengan variabel kontinu, variabel yang mendasari proses tersebut dapat mengambil nilai dalam suatu interval tertentu, sedangkan proses stokastik dengan variabel diskrit, variabel yang mendasari proses hanya dapat mengambil nilai-nilai tertentu saja.
36
2.6.1
Markov Property
Proses Markov adalah tipe khusus dari proses stokastik di mana hanya nilai variabel pada saat sekarang yang relevan untuk memprediksi masa depan. Sejarah tentang variabel di masa lampau dan bagaimana masa sekarang timbul disebabkan oleh masa lalu menjadi tidak relevan. Biasanya harga-harga produk finansial diasumsikan mengikuti proses Markov. Prediksi untuk masa depan merupakan hal yang tidak pasti, dan harus diekspresikan dalam distribusi probabilitas. Secara tidak langsung, proses ini menyatakan bahwa distribusi probabilitas suatu harga pada waktu tertentu di masa yang akan datang tidak tergantung pada pola tertentu yang dibentuk oleh harga tersebut di masa lampau.
2.6.2
Weiner Process
Misalkan suatu variabel dikatakan mengikuti proses stokastik Markov. Jika nilai pada saat ini 10 dan perubahannya dalam waktu 1 tahun adalah
φ (0,1) , dimana φ ( μ , σ ) merupakan distribusi probabilitas yang berdistribusi normal dengan mean (rata-rata) μ dan standar deviasi σ. Setelah 2 tahun distribusi perubahannya berubah menjadi φ (0, 2 ) . Hal ini diperoleh dari penjumlahan antara dua distribusi normal, yang masing-masing memliki mean 0 dan standar deviasi 1. Karena variabel ini Markov, maka dua distribusi probabilitas tersebut tidak terikat satu sama lain. Ketika dua distribusi
37
probabilitas tersebut dijumlahkan, maka hasilnya adalah distribusi normal dengan jumlah kedua mean sebagai mean yang baru dan jumlah kedua variansi sebagai variansi yang baru. Proses Weiner adalah proses yang diikuti oleh variabel yang telah dijelaskan sebelumnya. Proses ini termasuk tipe khusus dari proses stokastik Markov dengan mean perubahan 0 dan tingkat variansi 1 per tahun. Ini telah digunakan dalam ilmu fisika untuk menjelaskan pergerakan partikel yang menjadi subjek bagi goncangan jutaan molekul kecil, sering juga disebut
Brownian Motion. Secara formal, sebuah variabel z dikatakan mengikuti proses Weiner jika memenihi syarat: 1. Perubahan Δz selama periode waktu yang sangat kecil adalah Δz =∈ Δt
di mana Є mempunyai distribusi normal yang mempunyai standar
φ (0,1) 2. Nilai-nilai Δz untuk setiap dua interval waktu singkat yang berbeda, Δt adalah saling bebas. Perubahan mean setiap unit waktu untuk proses stokastik dikenal sebagai parameter arah dan perubahan variansi setiap unit waktu disebut sebagai parameter variansi. Dasar proses Weiner, dz, sejauh ini telah dikembangkan dengan parameter arah 0 dan parameter variansi 1. Parameter
38
arah 0 ini berarti nilai z yang diharapkan pada setiap waktu di masa yang akan datang sama dengan nilainya pada saat ini, sedangkan parameter variansi 1 berarti perubahan variansi pada z dalam interval waktu T sama dengan T. Secara umum, proses Weiner dengan variabel x dapat didefinisikan dalam dz sebagai berikut dx = a dt + b dz
(2.10)
di mana a dan b konstan.
2.6.3
Ito’s Lemma
Secara umum, dapat dikatakan bahwa harga obligasi dan option pada obligasi tersebut adalah fungsi variabel stokastik obligasi dan option tersebut dan waktu. Perlu diketahui sifat dari fungsi-fungsi variabel stokastik, yang ditemukan oleh seorang matematikawan, K. Ito pada tahun 1951, dan dikenal dengan Ito’s Lemma. Jika nilai dari sebuah variabel x mengikuti proses Ito dx = a ( x , t ) dt + b( x, t ) dz
(2.11)
di mana dz adalah proses Weiner serta a dan b adalah fungsi dari x dan t. Variabel x mempunya parameter arah a dan parameter variansi b². Ito’s
Lemma menunjukkan bahwa fungsi G dari x dan t mengikuti proses ⎛ ∂G ∂G ∂G 1 ∂ 2 G 2 ⎞ a+ b ⎟⎟ dt + b dz dG = ⎜⎜ + 2 ∂x ∂t 2 ∂x ⎠ ⎝ ∂x
(2.12)
39
di mana dz adalah proses weiner yang sama dengan persamaan (2.11). Jadi, G juga mengikuti proses Ito, dengan parameter arah ⎛ ∂G ∂G 1 ∂ 2 G 2 ⎞ ⎜⎜ a+ b ⎟⎟ + ∂t 2 ∂x 2 ⎠ ⎝ ∂x
dan parameter variansi 2
⎛ ∂G ⎞ 2 ⎜ ⎟ b . ⎝ ∂x ⎠
Sebelumnya, diketahui bahwa dS = μ S dt + σ S dz dengan μ dan σ konstan, adalah model yang dapat digunakan untuk mengikuti pergerakan harga produk finansial. Dari Lemma Ito’s, dapat dilihat bahwa proses yang diikuti oleh fungsi G terhadap S dan t adalah ⎛ ∂G ∂G ∂G 1 ∂ 2 G 2 2 ⎞ dG = ⎜⎜ μ S+ σ S ⎟⎟ dt + σ S dz (2.13) + 2 ∂S ∂t 2 ∂S ⎠ ⎝ ∂S
dengan catatan, S dan G dipengaruhi oleh sumber ketidakpastian mendasar yang sama, dz.
2.7
Interest Rate Tree
Interest rate tree atau pohon suku bunga adalah representasi diskrit proses stokastik untuk short rate yang hampir mirip dengan pohon harga saham yang merupakan representasi diskrit proses yang megikuti harga saham. Jika langkah waktu pada interest rate tree adalah Δt, maka tingkat suku bunga pada tree tersebut dihitung secara kontinu dengan periode suku
40
bunga Δt. Asumsi dasar ketika interest rate tree dikonstruksikan adalah periode suku bunga Δt, suku bunga R mengikuti proses stokastik yang sama dengan instantaneous rate r, dalam model waktu kontinu yang sesuai. Perbedaan utama interest rate tree dengan stock price tree (pohon harga saham) adalah interest rate tree menggunakan discount rate berbeda pada setiap titik dalam pohon. Untuk perancangan ini, digunakan trinomial tree seperti yang terlihat pada gambar 2.5, karena trinomial tree menyediakan derajat kebebasan ekstra, yang memudahkan representasi proses dalam menghitung suku bunga.
E
B
A
F
C G D H
I
Gambar 2.5 Trinomial Interest Rate Tree Sumber: Hull, 2006, p660
41
Setiap percabangan dari setiap node mempunyai tiga alternatif bentuk seperti ditunjukkan dalam gambar 2.6a, 2.6b, 2.6c, sesuai dengan probabilitas yang dibentuk oleh masing-masing node.
(b)
(a)
(c)
Gambar 2.6 Alternatif percabangan trinomial interest rate tree Sumber: Hull, 2006, p661 Bentuk normal dari percabangan pada trinomial tree dapat dilihat pada gambar 2.6a, dimana terdiri dari satu garis ke atas, satu garis lurus, dan satu garis ke bawah. Probabilitas bentuk percabangan ini mengikuti rumus berikut.
(
)
pu =
1 1 2 2 2 + a j Δt − a j Δt 6 2
pm =
2 − a 2 j 2 Δt 2 3
(2.15)
pd =
1 1 2 2 2 + (a j Δt + a j Δt ) 6 2
(2.16)
(2.14)
42
Untuk bentuk percabangan yang ditunjukkan pada gambar 2.6b, dimana terdiri dari dua garis ke atas dan satu garis lurus. Bentuk ini mengandung mean reversion jika suku bunga terlalu rendah. Probabilitas bentuk percabangan ini mengikuti rumus berikut.
1 1 2 2 2 + (a j Δt + a j Δt ) 6 2
(2.17)
1 pm = − − a 2 j 2 Δt 2 − 2a jΔt 3
(2.18)
pu =
pd =
7 1 2 2 2 + (a j Δt + 3a j Δt ) 6 2
(2.19)
Selanjutnya bentuk percabangan yang ditunjukkan pada gambar (2.6c), mengandung mean reversion bila suku bunga terlalu tinggi, terdiri dari satu garis lurus dan 2 garis ke bawah. Probabilitas bentuk percabangan ini mengikuti rumus
pu =
7 1 2 2 2 + (a j Δt − 3a j Δt ) 6 2
1 pm = − − a 2 j 2 Δt 2 + 2a jΔt 3 pd =
1 1 2 2 2 + (a j Δt − a j Δt ) 6 2
(2.20)
(2.21)
(2.22)
43
di mana,
2.8
pu
= probabilitas untuk cabang yang berada paling atas
pm
= probabilitas untuk cabang yang berada di tengah
pd
= probabilitas untuk cabang yang berada paling bawah
Model Suku Bunga
Menentukan harga untuk produk-produk finansial yang dipengaruhi oleh suku bunga lebih rumit dibandingkan menentukan harga saham atau nilai tukar mata uang asing. Alasan utamanya adalah sangat diperlukannya model yang dapat menggambarkan perilaku seluruh term structure of interest rate yang berlaku pada saat ini. Sebagai solusinya, model no-arbitrage diciptakan. Model ini memastikan bahwa nilai yang dibangkitkan oleh term structure of interest rate pasti konsisten dengan harga obligasi di pasar finansial, yang
dinyatakan dalam kurva yield dari zero coupon bond. Secara umum, ada dua pendekatan untuk membangun model kurva yield no-arbitrage, yaitu dengan mendeskripsikan evolusi forward rate dan mendeskripsikan evolusi tingkat suku bunga dalam waktu singkat (short rate). Pendekatan pertama mendeskripsikan evolusi instantaneous forward rate dan pertama kali dikembangkan oleh Heath, Jarrow dan Morton. Model
Heath-Jarrow-Morton (HJM) berpendapat term structure of interest rate yang berlaku saat ini, bila dengan spesifikasi volatilitas forward rate tertentu, dapat
44
digunakan untuk membangun tree untuk memodelkan perilaku instantaneous forward rate. Tree forward rate yang dibangun dengan model HJM adalah
suatu unit yang penting mempresentasikan evolusi suku bunga dalam suatu periode waktu yang ditentukan. Pada tahun 1997, Brace, Gatarek dan Musiella melanjutkan dan mengembangkan model ini menjadi LIBOR Market Model (LMM) yang memperbolehkan seseorang mengaplikasi model pada non-instantaneous forward rate yang dapat diobservasi. Pendekatan kedua
model ini menghasilkan implementasi tree yang mudah dimengerti, yang mengizinkan stuktur volatilitas sekompleks apapun yang diinginkan. Model HJM-LMM menyediakan pendekatan yang memberikan kebebasan yang penuh kepada user dalam memilih volatilitas. Kelemahan pendekatan ini adalah perhitungannya berdasarkan proses statistik, karena itu model HJMLMM sangat sulit untuk diimplementasikan bila tidak menggunakan simulasi monte-carlo. Hal ini membuat penentuan harga tidak efisien, baik secara waktu maupun secara komputasi. Pendekatan kedua untuk memodelkan kurva yield adalah mengambil term structure awal yang diberikan dan menggambarkan bagaimana suku
bunga dalam jangka waktu singkat, yaitu suatu tingkat suku bunga yang diaplikasikan
pada
jangka
waktu
singkat
berikutnya,
yang
dapat
dikembangkan. Model dari suku bunga dalam jangka waktu singkat diimplementasikan dalam bentuk tree gabungan, yang mirip dengan tree
45
harga saham, yang pertama kali dikembangkan oleh Cox, Ross dan Rubinstein pada tahun 1979 dan tidak memerlukan perhitungan secara statistik. Suku bunga jangka pendek r, pada waktu t adalah suku bunga yang digunakan pada periode waktu singkat pada waktu t, yang seringkali dihubungkan sebagai instantaneous short rate. Harga obligasi, harga option, dan derivative lainnya tergantung pada proses yang diikuti oleh r. Misalkan P(t,T) adalah harga sebuah obligasi tanpa kupon pada waktu t, yang memberikan hasil 1 pada waktu T, maka ∧ P( t , T) = E ⎡⎢e − r ( T − t ) ⎤⎥ . ⎣ ⎦ −
(2.23)
Jika R(t,T) adalah suku bunga yang berlipatganda secara kontinu pada waktu t untuk sebuah jangka waktu T-t, maka P( t , T) = e − R ( t ,T )( T − t ) ,
(2.24)
sehingga R (t, T) =
1 ln P( t , T) . T−t
(2.25)
Persamaan ini memungkinkan term structure of interest rate pada waktu yang diketahui untuk menghasilkan nilai r. Hal ini ni menunjukkan bahwa sekali proses untuk r didefinisikan dengan baik, maka semua zero curve awal dan semua evolusinya terhadap waktu telah didefinisikan. Maka selanjutnya, tree suku bunga yang diimplementasi menggunakan pendekatan ini kuat dan cepat secara komputasi. Model yang kebanyakan
46
digunakan dalam penentuan harga untuk produk-produk finansial yang sangat dipengaruhi oleh suku bunga adalah model dengan pendekatan ini. Contoh model dengan pendekatan ini adalah model Hull-White.
2.8.1
Model Hull-White
Model no-arbitrage, Hull-White dengan faktor tunggal, adalah sebuah model dimana fungsi instantaneous interest rate atau suku bunga waktu singkat r, mengikuti persamaan diferensial stokastik berikut.
dx = [θ (t ) − ax ] dt + σ dz
(2.26)
di mana, dx = perubahan short rate dalam waktu singkat x
= short rate
θ(t) = fungsi dari waktu yang dipilih agar model menghasilkan kurva yield zero-coupon pada saat ini yang tepat dan cocok
a
= tingkat mean reversion, yaitu 0.1
dt
= perubahan waktu dalam periode singkat
σ
= standar deviasi tahunan untuk short rate, yaitu 0.01
dz
= proses weiner
47
Model suku bunga ini hanya memperhitungkan 1 faktor ketidakpastian atau 1 faktor stokastik, yang ditulis sebagai dz. Parameter a dan σ menyusun parameter volatilitas yang ditentukan oleh user untuk menjadi standar bagi model untuk harga pasar suatu set produk finansial yang secara aktif diperjualbelikan. Dalam model ini, short rate diasumsikan berdistribusi normal, dan subjektif terhadap mean reversion, yaitu fenomena yang didokumentasikan dengan baik di mana suku bunga cenderung mengarah ke tingkat bunga rata-rata secara bertahap. Dengan kata lain, bila suku bunga bergerak terlalu tinggi, maka kecenderungan suku bunga akan kembali turun ke tingkat rata-rata pada waktu yang lama (long-run), begitu pula sebaliknya, bila suku bunga bergerak terlalu rendah. Dalam model ini juga diasumsikan bahwa tidak ada pergeseran pasar, pajak dan biaya transaksi. Asumsi ini berarti bahwa aset-aset ini dapat dibagi secara sempurna dan perdagangannya terjadi pada langkah waktu diskrit. Untuk perancangan yang dilakukan, diidentifikasi short rate dengan kondisi variabel, x = r. Sebuah masalah untuk mengatur kondisi variabel agar menjadi sama dengan short rate adalah kemungkinan munculnya nilai negatif dalam suku bunga.
Namun, kemungkinan tersebut sangat kecil. Ketika x = r, maka model akan menjadi model yang baik secara analitik,
48
dr = a[
θ (t ) a
− r ] dt + σ dz
(2.27)
seperti yang telah dibuktikan oleh Hull dan White pada tahun 1990. Model ini dikatakan baik secara analitik karena memungkinkan untuk penentuan harga pada waktu t, suatu obligasi tanpa kupon yang mempunyai waktu jatuh tempo T dalam kondisi sesuai dengan term structure awal dan nilai r pada waktu t. Secara spesifik, Hull-White membuktikan bahwa P (t , T ) = A(t , T )e − B ( t ,T )× r ( t )
(2.28)
di mana, P(0, T ) + B(t , T )F (0, t ) P(0, t ) 1 − 3 σ 2 (e − aT − e − at )(e 2 at − 1) 4a
ln A(t , T ) = ln
1 − e − a (T − t ) B (t , T ) = a
(2.29)
(2.30)
Dalam kenyataan, harga obligasi selalu dikomputasi dalam kondisi R(t), yaitu periode θt diskrit pada waktu t. Hull-White mengubah persamaan di atas menjadi ^
^
P(t , T ) = A(t , T )e − B (t ,T )× R ( t )
di mana,
(2.31)
49
^
ln A(t, T) = ln
P(0, T) B(t, T) P(0, t + Δt) − ln − P(0, t) B(t, t + Δt) P(0, t)
σ2 4a ^
B( t , T) =
2.9
(2.32)
(1 − e−2at )B(t, T)[B(t, T) − B(t, t + Δt)]
B( t , T) Δt . B( t , t + Δt )
(2.33)
Prosedur Umum Pembentukan Trinomial Tree Model Hull-White
Hull dan White telah mengajukan sebuah prosedur yang kuat untuk membentuk trinomial tree yang dapat merepresentasikan model Hull-White pada persamaan (2.27). Prosedur ini terdiri dari dua tahap berikut. 1. Tahap Pertama Model Hull-White untuk instantaneous short rate r adalah
dr = [θ (t ) − ar ] dt + σ dz Diasumsikan bahwa langkah waktu pada trinomial tree adalah konstan dan sama dengan ∆t. Diasumsikan juga bahwa tingkat suku bunga R pada waktu ∆t, mengikuti proses yang sama dengan proses untuk instantaneous short rate r, dR = [θ (t ) − aR] dt + σ dz
50
Tujuan tahap pertama ini adalah untuk membangun sebuah trinomial tree yang sama dengan gambar 2.7, dengan variabel R * , yang bernilai
awalnya nol dan mengikuti proses dR * = −aR * dt + σ dz . Didefinisikan ∆R sebagai spasi antar suku bunga pada tree dan diatur mengikuti rumus berikut. ΔR = σ 3 × Δt Untuk mendapatkan tree yang serupa dengan gambar 2.7 harus ditentukan metode percabangan yang sesuai pada setiap node. Jenisjenis metode percabangan dapat dilihat pada gambar 2.6. Hal ini untuk menentukan geometri dari tree keseluruhan. Probabilitas percabangan juga harus dikalkulasi. Didefinisikan (i,j) sebagai node pada tree, di mana t = i × Δt dan R * = j × ΔR . Variabel i merupakan sebuah bilangan bulat positif.
Sedangkan variabel j merupakan sebuah bilangan bulat positif atau bilangan bulat negatif. Kebanyakan, jenis percabangan yang ditunjukkan pada gambar 2.6a adalah jenis yang sesuai. Ketika a > 0, perlu untuk mengubah percabangan dalam gambar 2.6a menjadi percabangan dalam gambar 2.6c untuk sebuah nilai j yang
besar
secara efektif. Hal yang sama dilakukan pengubahan dari percabangan dalam gambar 2.6a menjadi percabangan dalam gambar 2.6b ketika nilai j adalah negatif. Didefinisikan jMax sebagai nilai j di mana
51
percabangan pada gambar 2.6a harus diubah menjadi gambar pada 2.6c dan jMin sebagai nilai j di mana percabangan gambar 2.6a harus diubah menjadi gambar 2.6b. Hull dan White menunjukkan bahwa probabilitas tiap percabangan akan selalu positif bila jMax diatur sebagai nilai bilangan bulat terkecil, yang lebih besar dari
0.184 dan a × Δt
jMin sama dengan –jMax atau nilai negatif dari jMax. Probabilitas
untuk percabangan dalam gambar 2.6a mengikuti persamaan (2.14), (2.15) dan (2.16). Probabilitas untuk percabangan gambar 2.6b mengikuti persamaan (2.17), (2.18) dan (2.19). Probabilitas untuk percabangan gambar 2.6c mengikuti persamaan (2.20), (2.21) dan (2.22).
Gambar 2.7 Tree dengan variabel R * dalam model Hull-White Sumber: Li, 2002, p8
52
2. Tahap Kedua Tahap kedua dalam pembentukan trinomial tree adalah mengubah tree dengan R * menjadi R. Hal ini diselesaikan dengan mengganti nodenode pada R * - tree, sehingga sesuai dengan term structure of interest rate awal.
Didefinisikan
α (t ) = R(t ) − R * (t ) α i adalah α (i Δt ) , nilai R pada waktu i Δt pada R-tree dikurang dengan nilai R * pada waktu i Δt pada R * -tree. Untuk menyatakan pendekatan ini, diasumsikan bahwa Qi , j ditentukan untuk i ≤ m ( m ≥ 0 ). Qi , j adalah present value perangkat keuangan yang menghasilkan $1 jika mencapai node (i,j) dan menghasilkan $0 bila sebaliknya. Langkah selanjutnya adalah menentukan α m sehingga
tree menghasilkan harga zero coupon bond yang tepat dengan waktu jatuh tempo pada
(m + 1)Δt .
Suku bunga pada node (m,j) adalah
α m + jΔR , sehingga harga zero coupon bond yang memiliki waktu jatuh tempo (m + 1)Δt mengikuti persamaan berikut.
Pm +1 =
nm
∑Q
j = − nm
m, j
exp[− (α m + j ΔR )Δt ]
(2.34)
53
di mana nm adalah jumlah node di tiap sisi node tengah pada waktu
m Δt . Solusi untuk persamaan di atas adalah ln ∑ jm= − n Qm , j e − jΔRΔt − ln Pm +1 n
αm =
m
Δt
Sekali α m telah dihitung, maka Qi , j dengan i = m+1 dapat ditentukan dengan
Qm+1, j = ∑Qm,k q(k, j ) exp[− (α m + k ΔR)Δt ] k
di mana q(k , j ) adalah probabilitas cabang dari node (m,j) ke node (m+1,j) dan penjumlahan hanya berlaku untuk semua nilai k yang tidak nol.
