BAB II LANDASAN TEORI. pembahasan pada bab-bab berikutnya, yaitu varians dan kovarians, distribusi normal,

BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini dibahas tentang materi dasar yang digunakan untuk mendukung pembahasan pada bab-bab berikutnya, yaitu varians dan kovarians, distribusi normal, matriks, investasi, portofolio, saham, Jakarta Islamic Index (JII), metode Lagrange, model Mean Variance markowitz, Capital Assets Pricing Model (CAPM), metode Diversifikasi Naive 1/N, model Minimum Variance, dan model Black Litterman. A. Varians dan Kovarians Definisi 2. 4 (Murray R. Spiegel, 2004) Varians dari variabel random 𝑋 didefinisikan dengan: Var( X )  E[( X   ) 2 ] .

(2. 1)

Notasi varians yang lain adalah  2 ,  x2 , atau 𝑉(𝑋). Standar deviasi dari 𝑋 didefinisikan sebagai akar positif dari varians yaitu

   x  Var(X ) .

Rumus varians pada (2.1) dapat dinyatakan dalam persamaan berikut: 𝜎2𝑥 = 𝑠2𝑥 =

2 ∑𝑛 𝑖−1(𝑥𝑖 −𝑥̅ )

𝑁−1 2 ∑𝑛 𝑖−1(𝑥𝑖 −𝑥̅ )

𝑛−1

(untuk suatu populasi)

(2. 2)

(untuk suatu sampel)

(2. 3)

Definisi 2. 4 (Murray R. Spiegel, dkk, 2004) Kovarians adalah suatu ukuran yang menyatakan varians bersama dari dua variabel random. Kovarians dari pasangan variabel random X dan Y didefinisikan sebagai: 𝜎𝑋𝑌 = 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑋 )(𝑌 − 𝜇𝑌 )]

7

(2. 4)

Jika X dan Y adalah variabel random dan 𝑎 dan 𝑏 konstan, maka berlaku: 1.

Cov( aX , bY )  ab Cov( X ,Y ) .

1.

Cov( X  a ,Y  b )  Cov( X ,Y ) .

2.

Cov( X , aX  b )  a Var( X ) .

3.

Cov( X ,Y )  0 , jika X dan Y independen.

B. Distribusi Normal Definisi Distribusi Normal Definisi 2. 6 (Bain & Engelhardt, 1992) Variabel random X dikatakan berdistribusi normal yang dinotasikan X~N(µ, σ2) dengan mean µ dan varians σ2 mempunyai fungsi densitas probabilitas yaitu:

f ( x;  ,  ) 

1

 2

e {( x   ) /  }

2

/2

(2. 5) untuk – ∞ < x < ∞, dengan – ∞ < µ < ∞ dan 0 < σ < ∞. Uji Normalitas Uji normalitas dapat dilakukan dengan bantuan software SPSS menggunakan pengujian Kolmogorov-Smirnov. Dalam hal investasi uji normalitas sering digunakan untuk melihat apakah return saham berdistribusi normal atau tidak. Apabila return saham berdistribusi normal, maka saham tersebut akan diperhitungkan untuk dimasukkan ke dalam portofolio. Tujuan pengujian normalitas dalam return saham adalah untuk mengantisipasi terjadinya ketidakstabilan harga, yang dikhawatirkan akan mengalami penurunan harga saham yang sangat signifikan sehingga merugikan

8

investor. Uji normalitas return saham dapat dilakukan dengan uji KolomogorovSmirnov sebagai berikut: a. Hipotesis: H0: data return saham diasumsikan berdistribusi normal. H1: data return saham tidak dapat diasumsikan berdistribusi normal. b. Tingkat signifikansi α. c. Statistik uji: Kolmogornov-Smirnov ( KS )

Sup X

F *(X )  S(X ) .

F*(X) adalah distribusi kumulatif data sampel. S(X) adalah distribusi kumulatif yang berdistribusi normal. d. Kriteria uji: H0 ditolak jika KS>KSTabel atau p-value KS < α. e. Perhitungan. f. Kesimpulan. C. Matriks Definisi 2. 8 (Anton, 2010) Sebuah matriks adalah susunan persegi dari bilangan-bilangan riil. Bilanganbilangan tersebut dinamakan entri dari matriks. Ukuran matriks dideskripsikan dengan banyaknya baris (garis horizontal) dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks. Entri yang terdapat pada baris 𝑖 dan kolom 𝑗 dari matriks A dapat dinyatakan dengan aij . Secara umum bentuk matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 yaitu:

9

 a11 a 21 A mn      a m1

a12 a 22  am2

ain   a 2 n       am n  

.

(2. 6)

Perkalian matriks Definisi 2. 9 (Anton, 2010) Jika A adalah suatu matriks dan c adalah skalar, maka hasil kali (product) cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing entri dari A oleh c. Jika A  [aij ] , maka perkalian matriks ini dinotasikan sebagai c(A) ij  (cA) ij  [caij ] .

Jika A  [ aij ] sebuah matriks berukuran m × r dan B  [bij ] sebuah matriks berukuran r × n, maka hasil kali A dengan B yaitu C = AB adalah matriks yang entrinya didefinisikan dengan C mn  lr

1

a il blj

(2. 7)

dengan matriks 𝑪 berukuran m × n. Contoh:

2 1  2  1 , B   1 A   2 4 1  1  2 1  2  1   1.2  (2).(1)  (1).1 3 1   Maka, AB   . 2     4.2  1.(1)  2.1  9 4 1  1 

10

Transpose Matriks Definisi 2. 10 (Anton, 2010) Jika A adalah sebarang matriks m × r, maka transpose A dinyatakan oleh A' yang merupakan matriks berukuran r ×m dengan mengubah baris dari A menjadi kolom pada A'. Transpose matriks A dapat dinyatakan dengan: (A) ij  (A') ji .

(2. 8)

Contoh:

 1 4 1  2  1 A  maka, A'   2 1 .  2 4 1   1 2 Minor dan Kofaktor Matriks Definisi 2. 11 (Anton, 2010) Jika A merupakan matriks berukuran n × n, maka minor dari entri aij dinotasikan dengan M ij yaitu determinan dari submatriks A yang didapat dengan menghapus baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗. Nilai (1)

i j

M ij dinotasikan dengan

cij disebut kofaktor dari

entri aij . Sehingga matriks kofaktor dari A dapat dinyatakan dengan:

 c11 c12 c  21 c 22     c n1 c n 2

 c1n   c 2 n  .      c nn 

11

(2. 9)

Contoh:

1 0   3  A   2  4 3   5 4  2 maka, minor dari entri a11 yaitu:

M 11 

4

3

4

2

 (4).(2)  3.4  8  12  4 ,

kofaktor dari entri a11 yaitu: c11  (1)11 M 11  1.(4)  4 .

Determinan Matriks Definisi 2. 12 (Anton, 2010) Determinan matriks A berukuran n × n dapat dihitung dengan mengalikan entri pada suatu baris ke-i atau kolom ke-j dengan masing-masing kofaktor dan menjumlahkan hasil perkalian tersebut. Determinan matriks A dinyatakan sebagai berikut: |A|  a1 j .c1 j  a2 j .c2 j    anj .cnj atau |A|  ai1 .ci1  ai 2 .ci 2    ain .cin . Contoh:

1 0 3   𝑨   2  4 3   5 4  2

12

maka,

3

1

0

|𝑨|   2  4 3 5 4 2 3

4

3

4

2

 (2)

1

0

4 2

5

1

0

4 3

 3.[(4).(2)  3.4]  2.[1.(2)  0.4]  5.[1.3  0.(4)]  3.(4)  2.(2)  5.3

 12  4  15

 1 . Invers Matriks Definisi 2. 13 (Anton, 2010) Jika A matriks persegi dan jika terdapat suatu matriks B dengan ukuran yang sama sedemikian sehingga AB=BA=I dengan I merupakan matriks identitas, maka A invertible (dapat dibalik) dan B adalah invers dari A. Invers dari A dinotasikan dengan A 1 , sehingga AA 1  I dan A 1 A  I Jika matriks A berukuran n × n maka invers adalah: 1

𝑨−1 = |𝑨| [adj(A)] dengan, 𝑎𝑑𝑗(A): matriks adjoin dari A yaitu transpose dari matriks kofaktor A.

13

(2. 10)

Contoh:

3 1 0  0 2 1     6  3 A  2 1 1  , 𝒂𝒅𝒋 𝑨   2  2 0 6 2 2 1  3 1 03 1 det 𝑨  2 1 1 2 1  3.1.2  1.1.6  0.2.2  6.1.0  2.1.3  2.2.1  2 6 2 26 2 maka, 1 A 

1 [adj(A)] A

 0 2 1  1  2 6  3 2  2 0 1 

1    0 1 2   3   1 3  . 2  1  1 0   2 

14

D. Analisis Multivariat Definisi 2. 14 (Johnson & Wichern, 2007) Analisis statistik multivariat merupakan metode statistik untuk menganalisis hubungan antara lebih dari dua variabel secara bersamaan. Data sampel analisis multivariat secara umum dapat digambarkan dalam bentuk matriks dengan n objek dalam p variabel sebagai berikut: Variabel 1

Variabel 2



Variabel k



Variabel p

Objek 1

x11

x12



x1k



x1 p

Objek 2

x 21

x 22



x2k



x2 p













x j1

x j2



x jk



x jp













xn1

xn 2



x nk



xnp



Objek j 

Objek n

atau dapat ditulis dalam bentuk matriks X dengan n baris dan p kolom berikut:  x11 x  21   𝑿   x j1     x n1

x12



x1k



x 22



x2k











x j2



x jk











xn2



x nk



x1 p  x 21     x jp     x np 

15

Multivariat Berdistribusi Normal Definisi 2. 15 (Johnson & Wichern, 2007) Fungsi distribusi multivariat normal merupakan perluasan dari fungsi distribusi univariat normal untuk 𝑝 ≥ 2. Jika 𝑿~𝑁𝑝 (𝝁, 𝜮) adalah p-variat multivariat normal dengan rata-rata µ dan varians-kovarians matriks 𝜮, dimana: X1  X  2 X   ,       X p 

1    2 μ   ,        p 

 11  21 Σ      p 1

 12  22

  1p    2 p        pp 



 p1

Maka fungsi densitas multivariat normal adalah: f(X )

1 ( 2 )

p/2

|Σ|

1/ 2

e ( X  μ )' 

1

( X μ ) / 2

(2. 11)

dengan    X i  ,i  1,2,..., p . Vektor random dan matriks random Definisi 2. 16 (Johnson & Wichern, 2007) Vektor random adalah vektor yang elemen-elemennya berupa variabel random. Jika suatu unit eksperimen hanya memiliki satu variabel terukur maka variabel terukur disebut variabel random, sedangkan jika terdapat lebih dari satu variabel terukur, misalkan n variabel maka variabel-variabel tersebut disebut vektor random dengan n komponen. Sedangkan matriks random adalah matriks yang mempunyai elemen variabel random.

16

Mean dan Kovarians Vektor Random Definisi 2. 17 (Johnson & Wichern, 2007) Dimisalkan X adalah variabel random dengan mean μ  E(X) dan matriks kovarians 𝜮. Mean vektor random X dengan ordo 𝑝 × 1 dapat dinyatakan dengan:  E ( X 1 )   1   E ( X )    2  2 E( X )       μ.           E ( X p )   p 

Sedangkan

kovarians

vektor

random

X

dengan

(2. 12) ordo

𝑝 × 1 adalah

  E(X  μ)(X  μ)'

  X 1  1      X 2  2   E ( X  1 X 2   2    1    X p   p   

    X p   p )   

 ( X 1  1 ) 2 ( X 1  1 )( X 2   2 )  ( X   2 )( X 1  1 ) ( X 2  2 )2  E 2     ( X p   p )( X 1  1 ) ( X p   p )( X 2   2 )  E ( X 1  1 ) 2  E ( X 2   2 )( X 1  1 )      E ( X p   p )( X 1  1 )

E ( X 1  1 )( X 2   2 )

 ( X 1  1 )( X p   p )    ( X 2   2 )( X p   p )      (X p   p )2 

E ( X 1  1 )( X p   p )   E( X 2  2 )  E ( X 2   2 )( X p   p )      E ( X p   p )( X 2   2 )  E( X p   p ) 2  . 

2

 11  12   22 Atau dapat dinyatakan   Cov(X )   21      p1  p 2

17

  1p    2 p  .       pp 

(2. 13)

Dengan  ij : kovarians dari X i dan X j ,i  1,2, p dan j  1,2, p .  s11 s Kovarians untuk sampel dinyatakan S   21     s p1



s12 s 22  s p2

 s1 p   s 2 p  .      s pp 

(2. 14)



Dengan sij : kovarians dari X i dan X j , i  1,2,  p dan j  1,2, p E. Investasi Menurut Abdul Halim (2005) Investasi pada hakikatnya merupakan penempatan sejumlah dana pada saat ini dengan harapan memperoleh keuntungan di masa mendatang. Proses investasi menunjukkan bagaimana seharusnya seorang investor membuat keputusan investasi, yaitu sekuritas apa yang akan dipilih, seberapa banyak investasi tersebut, dan kapan investasi tesebut akan dilakukan (Suad Husnan, 1998). Untuk itu diperlukan tahapan sebagai berikut: 1. Penentuan tujuan investasi Tahap pertama dalam proses keputusan investasi adalah menentukan tujuan investasi yang akan dilakukan. Tujuan investasi untuk masing-masing investor bisa berbeda tergantung pada investor yang membuat keputusan tersebut. 2. Penentuan kebijakan investasi Tahap penentuan kebijakan investasi dilakukan dengan penentuan keputusan alokasi sekuritas. Keputusan ini menyangkut pendistribusian dana yang dimiliki pada berbagai kelas sekuritas yang tersedia (saham, obligasi, bangunan maupun sekuritas luar negeri).

18

3. Pemilihan strategi portofolio Strategi portofolio yang bisa dipilih yaitu strategi portofolio aktif dan strategi portofolio pasif. Strategi portofolio aktif meliputi kegiatan penggunaan informasi yang tersedia untuk mencari kombinasi portofolio yang lebih baik. Strategi portofolio pasif meliputi aktivitas investasi pada portofolio yang seiring dengan kinerja indeks pasar. 4. Pemilihan sekuritas Pemilihan sekuritas yang dilakukan untuk membentuk suatu portofolio. Tahap ini memerlukan pengevaluasian setiap sekuritas yang ingin dimasukkan dalam portofolio untuk mencari kombinasi portofolio yang efisien oleh perusahaan. Apabila kinerja keuangan perusahaan cukup bagus dan sudah mampu membayar kewajiban keuangan lainnya. F. Portofolio Pengertian Portofolio Menurut Jogiyanto Hartono (2014) portofolio adalah suatu kumpulan sekuritas keuangan dalam suatu unit yang dipegang atau dibuat oleh seorang investor, perusahaan investasi, atau instansi keuangan. Tujuan dari pembentukan portofolio adalah untuk mendiversifikasi dana yang dimiliki investor pada beberapa sekuritas dengan harapan dapat memaksimalkan return dengan tingkat risiko yang minimal. Return Portofolio Return adalah hasil yang diperoleh dari suatu investasi. Hubungan positif antara return dan risiko portofolio dalam berinvestasi dikenal dengan high risk – high return,

19

yang artinya semakin besar risiko yang diambil, maka semakin besar pula return yang diperoleh. Hal ini dimaksudkan bahwa harus ada pertambahan return sebagai kompensasi dari pertambahan risiko yang ditanggung oleh investor. Return dapat berupa realized return yang sudah terjadi atau expected return yang belum terjadi dan diharapkan akan diperoleh pada masa mendatang (Jogiyanto Hartono, 2003). Realized return portofolio dapat dirumuskan: 𝑅𝑝 = ∑𝑛𝑖=1 𝑤𝑖 . 𝑅𝑖

(2. 15)

keterangan: Rp : realized return portofolio,

wi : bobot dana investor pada sekuritas ke-i, Ri :

realized return dari sekuritas ke-i,

𝑛 : banyaknya sekuritas. Return suatu sekuritas untuk dapat dihitung menggunakan rumus:

Rt 

Pt P P  1  t t 1 . Pt 1 Pt 1

keterangan: 𝑃𝑡 : harga sekuritas pada periode ke-t, 𝑃𝑡−1: harga sekuritas pada periode ke-(t-1)

20

(2. 16)

Expected return portofolio merupakan rata-rata tertimbang dari expected return masing-masing sekuritas dalam portofolio. Expected return portofolio dapat dirumuskan sebagai berikut: 𝐸(𝑅𝑝 ) = ∑𝑛𝑖=1 𝑤𝑖 . 𝐸(𝑅𝑖 ).

(2. 17)

keterangan: E (Rp) : expected return dari portofolio,

wi

: bobot dana investor pada sekuritas ke-i,

E ( Ri ) :

𝑛

expected return dari sekuritas ke-i,

: banyaknya sekuritas.

Nilai expected return pada persamaan (2.17) secara matematis dapat dibentuk dalam matriks adalah sebagai berikut: E ( Rp)  w1 E R1   w2 E R2     wn E Rn 

 w1 w2

 E R1   E R  2   wn   w' E R  .       E R n 

(2. 18)

keterangan:

w : matriks bobot tiap sekuritas dalam portofolio, 𝑬(𝑹): matriks expected return tiap sekuritas dalam portofolio. Risiko Portofolio Risiko dalam portofolio dapat diartikan sebagai tingkat kerugian tidak terduga yang besarnya tergantung pada portofolio yang dibentuk. Risiko portofolio dapat diukur

21

dengan besarnya varians dari nilai return saham-saham yang ada di dalam portofolio (Jogiyanto Hartono, 2003). Jika semakin besar nilai varians maka risiko yang ditanggung semakin tinggi. Banyaknya sekuritas dalam suatu portofolio dapat mempengaruhi nilai varians dari risiko. Untuk membentuk suatu portofolio diperlukan minimal dua sekuritas. Varians dengan dua sekuritas adalah sebagai berikut (Jogiyanto Hartono, 2003):

VarRp   P

2

= 𝐸[𝑅𝑝 − 𝐸(𝑅𝑝 )]

2

 Ew1R1  w2 R2   Ew1R1  w2 R2 

2

 Ew1R1  w2 R2   Ew1R1   Ew2 R2 

2

 Ew1R1  w2 R2   w1ER1   w2 ER2 

2

 Ew1R1  ER1   w2 R2  ER2 

2



 E w1 R1  ER1   2w1w2 R1  ER1 R2  ER2   w2 R2  ER2  2

2



2



2





 w1 E R1  ER1   2w1 w2 ER1  ER1 R2  ER2   w2 E R2  ER2  2

2

2

 w1  1  2w1 w2 12  w2  2 . 2

2

2

2



2

(2. 19)

Selanjutnya varians dengan n sekuritas dapat dinyatakan sebagai berikut:





 P 2  w1 2 1 2  w2 2 2 2    wn 2 n 2  2w1 w2 12  2w1 w3 13    2wn1 wn n1n   in1 wi  i  2in1 nj 1 wi w j  i j . 2

2

(2. 20)

22

Persamaan (2. 20) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks yaitu:

 p2  w1

w2



 11  12   22 wn  21      n1  n 2

  1n   w1    2 n   w2   w' Σ w (2. 21)          nn   wn 

keterangan:

Σ : matriks varians kovarians n x n, w : matriks bobot tiap sekuritas n x 1. Risiko portofolio dihitung menggunakan rumus standar deviasi yang merupakan akar positif dari varians sebagai berikut:

 p   p2

(2. 22)

Risiko portofolio dapat dihitung dengan mensubstitusikan persamaan (2.21) pada rumus standar deviasi (2.22) sebagai berikut:

 p  w' Σ w

(2. 23)

keterangan: 𝜎𝑝 : standar deviasi portofolio. G. Saham Saham adalah surat berharga yang menunjukkan kepemilikan perusahaan sehingga pemegang saham memiliki hak klaim atas dividen atau distribusi lain yang dilakukan perusahaan kepada pemegang saham lainnya. Menurut Suad Husnan (2005), Saham merupakan secarik kertas yang menunjukkan hak pemodal (yaitu pihak yang memiliki

23

kertas tersebut) untuk memperoleh bagian dari prospek atau kekayaan organisasi yang menerbitkan sekuritas tersebut dan berbagai kondisi yang memungkinkan pemodal tersebut menjalankan haknya. Saham merupakan salah satu alternatif dari beberapa instrumen lainnya yang dapat dipilih untuk berinvestasi. Pada dasarnya saham dapat digunakan untuk mencapai tiga tujuan investasi utama sebagaimana yang dikemukakan oleh Kertonegoro Senatnoe (2000) yaitu: 1. Sebagai gudang nilai, berarti investor mengutamakan keamanan prinsipal, sehingga akan dicari saham blue chips dan saham non-spekulatif lainnya. 2. Untuk pemupukan modal, berarti investor mengutamakan investasi jangka panjang, sehingga para investor akan mencari saham pertumbuhan untuk memperoleh capital gain atau saham sumber penghasilan untuk mendapat dividen. 3. Sebagai sumber penghasilan, berarti investor mengandalkan pada penerimaan dividen sehingga para investor akan mencari saham yang bermutu baik yaitu saham yang mempunyai tingkat pengembalian yang tinggi dan konsisten dalam membayar dividen. H. Jakarta Islamic Index (JII) Pada tanggal 3 juli 2000 PT Bursa Efek Indonesia (BEI) bekerjasama dengan PT Danareksa Invesment Management (DIM) meluncurkan indeks saham yang dibuat berdasarkan syariah Islam yaitu Jakarta Islamic Index (JII) . JII diharapkan dapat menjadi tolok ukur kinerja saham-saham yang berbasis syariah dan dapat

24

mengembangkan pasar modal syariah. JII diperbarui setiap 6 bulan sekali, yaitu pada awal bulan Januari dan Juli. Jakarta Islamic Index (JII) merupakan indeks yang berisi 30 saham perusahaan terdapat di lampiran 5 Halaman 96 dengan kriteria investasi yang telah dipenuhi berdasarkan syariah Islam (metode keuangan dalam Islam), dengan prosedur berikut ini: 1. Memilih kumpulan saham dengan jenis usaha utama yang tidak bertentangan dengan prinsip syariah dan sudah tercatat paling tidak 3 bulan terakhir, kecuali saham yang termasuk dalam 10 kapitalisasi terbesar. 2. Mempunyai rasio utang terhadap sekuritas tidak lebih dari 90% di laporan keuangan tahunan atau tengah tahun. 3. Dari yang masuk kriteria nomer 1 dan 2, dipilih 60 saham dengan rata-rata kapitalisasi pasar terbesar selama satu tahun terakhir. Kemudian dipilih 30 saham dengan urutan tingkat likuiditas rata-rata nilai perdagangan reguler selama satu tahun terakhir. 4. Kemudian dipilih 30 saham dengan urutan tingkat likuiditas rata-rata nilai perdagangan regular selama satu tahun terakhir. I. Pengali Lagrange (Lagrange Multiplier) Menurut Purcell dan Varberg (1987) fungsi Lagrange digunakan untuk menyelesaikan permasalahan optimasi dimana terdapat kendala-kendala (constrains)

25

tertentu. Misalkan akan dicari harga optimasi suatu fungsi tujuan 𝑓(𝑥, 𝑦) dengan kendala-kendala tertentu yang harus dipenuhi yaitu 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0. Cara yang dilakukan adalah dengan menyusun fungsi bantu yang disebut fungsi Lagrange sebagai berikut : 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝜆 𝑔(𝑥, 𝑦)

(2. 24)

Dengan syarat : 𝜕𝐹 𝜕𝑥

𝜕𝐹

= 0 dan 𝜕𝑦 = 0

(2. 25)

Dalam hal ini parameter λ yang bebas dari 𝑥 dan 𝑦 dinamakan Lagrange Multiplier atau pengali Lagrange. Jika pengali Lagrange melibatkan lebih dari satu kendala, maka penggunaan parameter yang dipilih dapat ditambahkan menjadi λ, µ atau parameter yang lain. Misalnya fungsi yang akan dicari maksimum atau minimum 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) dengan kendala 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 dan kendala ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0, maka fungsi Lagrangenya adalah: 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝜆 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝜇 ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧)

(2. 26)

Syarat adanya harga maksimum atau minimum adalah: 𝜕𝐹 𝜕𝑥

= 0,

𝜕𝐹

𝜕𝐹

= 0, dan 𝜕𝑧 = 0 𝜕𝑦

(2. 27)

Permasalahan di atas dapat diperluas untuk fungsi yang memiliki n variabel 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) dengan k kendala. Misal fungsi yang akan dicari maksimum atau minimum adalah: 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) Sedangkan fungsi kendalanya adalah sebagai berikut:

26

𝜙1 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = 0, 𝜙2 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = 0 , … , 𝜙𝑘 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = 0 Maka fungsi Lagrangenya adalah: 𝐹(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝑓 + 𝜆1 𝜙1 + 𝜆2 𝜙2 + ⋯ + 𝜆𝑘 𝜙𝑘

(2. 28)

Dengan syarat: 𝜕𝐹 𝜕𝑥1

= 0,

𝜕𝐹 𝜕𝑥2

𝜕𝐹

= 0, … , 𝜕𝑥 = 0 𝑛

Dalam hal ini parameter 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑘 adalah pengali Lagrange. J. Model Mean Variance Markowitz Harry Markowitz memperkenalkan model tentang pemilihan portofolio optimal pada tahun 1952 yang dikenal dengan model mean variance Markowitz (Markowitz, 1952). Menurut Eduardus Tandelilin (2001) Model mean variance Markowitz didasari oleh tiga asumsi yaitu: 1. Waktu yang digunakan hanya satu periode 2. Tidak ada biaya transaksi 3. Preferensi investor hanya berdasarkan pada return yang diharapkan dan risiko dari portofolio. Berdasarkan asumsi ketiga, maka portofolio optimal menggunakan model mean variance Markowitz dapat dilakukan dengan mengoptimalkan portofolio efisien dengan preferensi investor yang dirumuskan dalam bentuk sebagai berikut: a. Meminimumkan risiko untuk tingkat return tertentu: 𝑀𝑖𝑛 𝑉𝑎𝑟(𝑅𝑝 ) = 𝒘′𝜮𝒘 dengan 𝐸(𝑅𝑝 ) = 𝒘′𝝁 b. Memaksimumkan return dengan tingkat risiko tertentu

27

(2. 29)

𝑀𝑎𝑘𝑠 𝐸(𝑅𝑝 ) = 𝒘′ 𝝁 dengan 𝑉𝑎𝑟(𝑅𝑝 ) = 𝒘′ 𝜮𝒘

(2. 30)

Bobot untuk masing-masing sekuritas dapat dinyatakan dengan 𝒘′ = [𝑤1 … 𝑤𝑛 ] dan 𝝁 merupakan matriks expected return masing-masing sekuritas 𝑛 × 1. Optimasi untuk memaksimumkan return dengan tingkat risiko tertentu dapat diselesaikan dengan menggunakan fungsi Lagrange L dan faktor pengali Lagrange λ sebagai berikut:

L  w' μ  λ( w' Σw )

(2. 31)

Turunan parsial 𝐿 terhadap 𝒘 adalah sebagai berikut: L ( w' μ  λ( w' Σw )  w w  μ  2 λΣw

Optimasi harus memenuhi syarat

(2. 32) L  0 sehingga: w

μ  2Σw  0 μ  2Σw  0 , karena  

 2

𝝁 = 𝛿Ʃ𝒘

(2. 33)

Dengan 𝛿 merupakan koefisien risk aversion (He & Litterman, 1999). Rumus bobot portofolio model mean variance Markowitz untuk masing-masing sekuritas dalam pasar berdasarkan rumus (2.33) adalah sebagai berikut : 𝒘𝒎 = (𝜹Ʃ)−1 𝝁

(2. 34)

dengan 𝒘𝒎 yaitu matriks bobot masing-masing sekuritas.

28

K. Capital Assets Pricing Model (CAPM) Capital Assets Pricing Model (CAPM) diperkenalkan pertama kali oleh William Sharpe, John Lintner, dan Jan Mossin antara tahun (1964-1966). CAPM merupakan suatu model yang bertujuan untuk memprediksi hubungan antar risiko dengan return yang diharapkan dari suatu sekuritas. Untuk memahami model CAPM, maka harus memahami asumsi-asumsi yang melandasi model ini walaupun dianggap tidak realistis. Oleh karena itu ada beberapa penyederhanaan asumsi supaya model CAPM lebih realistis. Berikut adalah hasil penyederhanaan asumsi-asumsi CAPM menurut Eduardus Tandelilin (2001) : 1. Semua investor mempunyai distribusi probabilitas tingkat return di masa depan yang sama, karena mereka mempunyai harapan yang hampir sama. Ini berarti para investor sepakat tentang expected return, standar deviasi, dan koefisien korelasi antar tingkat keuntungan. 2. Semua investor mempunyai satu periode waktu yang sama, misalnya satu tahun. 3. Semua investor dapat meminjamkan sejumlah dananya atau meminjam sejumlah dana dengan jumlah yang tidak terbatas pada tingkat return bebas risiko. 4. Tidak ada biaya transaksi. 5. Tidak terjadi inflasi. 6. Tidak ada pajak penghasilan bagi para investor. 7. Investor adalah penerima harga (price-takers). 8. Pasar modal dalam kondisi ekuilibrium.

29

Jika semua asumsi tersebut dipenuhi, maka akan terbentuk kondisi pasar yang ekuilibrium. Hubungan expected return dan risiko dalam keadaan ekuilibrium pasar dapat digambarkan pada Gambar 2.1.

E (Rp)

M

Rf

Garis Pasar Modal



Gambar 2. 1 Capital Market Line

Slope dalam Capital Market Line (CML) disimbolkan 𝜃 merupakan harga pasar dari risiko untuk portofolio. Besarnya slope CML mengindikasikan tambahan return yang disyaratkan pasar untuk setiap 1% kenaikan risiko portofolio. Slope CML dapat dihitung dengan menggunakan rumus:



E RM   r f

M

. (2. 35)

Perubahan 𝜃 yang semakin kecil mengakibatkan risiko portofolio semakin besar dan sebaliknya. Capital Market Line (CML) menunjukan semua kemungkinan kombinasi portofolio efisien yang terdiri sekuritas-sekuritas berisiko dan sekuritas

30

bebas risiko (Jogiyanto Hartono, 2003). Capital Market Line (CML) terbentuk sepanjang titik expected return sekuritas bebas risiko 𝑟𝑓 sampai titik M. Expected return sekuritas bebas risiko didekati dengan tingkat return suku bunga Bank sentral, di Indonesia umumnya diambil dari tingkat return suku bunga Bank Indonesia. Portofolio CAPM diharapkan memberikan keuntungan lebih besar dibandingkan sekuritas yang di investasikan pada Bank (Jogiyanto Hartono, 2003). Expected return dalam portofolio CAPM berdasarkan Gambar 2. 1 dapat dirumuskan dengan: E R p   r f 

E RM   r f

M

p. (2. 36)

keterangan: 𝐸(𝑅𝑝 )

: expected return portofolio

rf

: return sekuritas bebas risiko

E  RM



: expected return portofolio pasar

M

: standar deviasi dari return portofolio pasar

𝜎𝑝

: standar deviasi dari return portofolio efisien yang ditentukan.

Persamaan (2.36) menggambarkan hubungan antara risiko dan return pada pasar yang seimbang untuk portofolio-portofolio yang efisien, sedangkan untuk menggambarkan hubungan risiko dan return dari sekuritas-sekuritas individual dapat dilihat dari kontribusi masing-masing sekuritas terhadap risiko portofolio pasar. Kontribusi masing-masing sekuritas terhadap risiko portofolio pasar tergantung dari

31

besarnya kovarians return sekuritas tersebut terhadap portofolio pasar. Besarnya kontribusi risiko sekuritas terhadap risiko portofolio pasar yaitu:

 i,M M dimana 𝜎𝑖,𝑀 adalah kovarians dari sekuritas ke-𝑖 dengan portofolio pasar. Dengan mensubstitusikan kontribusi sekuritas ke-𝑖 terhadap risiko portofolio pasar pada persamaan (2.36), maka dapat dihitung expected return CAPM untuk sekuritas ke-i adalah sebagai berikut: E ri   r f 

E R M   r f  i , M .

 rf 

M

M

E RM   r f



M2

. i , M

 r f   i E R M   r f

dengan  i 

 i ,M M

2





(2. 37)

CovRi , RM  sebagai pengukur tingkat risiko dari suatu sekuritas VarRM 

terhadap risiko portofolio pasar dan 𝐸(𝑟𝑖 ) sebagai expected return CAPM masingmasing sekuritas. Expected return CAPM untuk suatu sekuritas dapat dinyatakan dengan persamaan sebagai berikut:





E( ri )  r f   i E( RM )  r f .

(2. 38)

Pasar dalam model ini yaitu Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) yang merupakan penggambaran secara keseluruhan keadaan harga-harga saham. Indeks harga saham gabungan (IHSG) disebut juga Jakarta Composite Index (JCI) yang

32

merupakan salah satu indeks pasar saham yang digunakan oleh Bursa Efek Indonesia (BEI). L. Diversifikasi Naive 1/N Investor perlu melakukan diversifikasi ke beberapa sekuritas untuk menurunkan risiko portofolio, dengan demikian konsep diversifikasi berhubungan dengan jumlah sekuritas yang ada di dalam portofolio. Semakin banyak sekuritasnya, semakin tersebar risikonya. Dengan bertambahnya sekuritas di dalam portofolio, maka risiko akan didistribusikan ke sekuritas-sekuritas tersebut. Secara naluri manusia juga melakukan diversifikasi, misalnya tidak menyimpan semua uangnya di satu Bank, tetapi disebarkan ke beberapa Bank, tidak menyimpan file di komputernya dalam satu USB, tetapi dua atau lebih USB, dan lainnya. (Jogiyanto Hartono, 2014). Menurut Jogiyanto Hartono (2014) diversifikasi Naive 1/N adalah strategi diversifikasi dengan bobot yang sama untuk masing-masing sekuritasnya. Diversifikasi untuk 𝑛 sekuritas di dalam portfolio, berarti bobot masing-masing 1

sekuritas di dalam portofolio adalah 𝑤𝑖 = 𝑛. Untuk menghitung risiko portofolio yang terdiri dari 𝑛 sekuritas digunakan rumus (2.20) sebagai berikut:

 p2  in1 wi 2 i 2  2in11nj 1 wi w j  i j j i

1

Untuk 𝑛 sekuritas, setiap sekuritas memiliki bobot yang sama yaitu 𝑤𝑖 = 𝑛, sehingga persamaan (2.20) menjadi: 1 2

1

1

𝜎𝑝2 = ∑𝑛𝑖=1 [(𝑛) 𝜎𝑖 ] = 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑛 𝜎𝑖2

(2. 39)

33

Jika sekuritas 𝑖 ≠ 𝑗, maka rumus (2.39) menjadi: 1

𝜎𝑝2 = ∑𝑛𝑖=1 ∑𝑛𝑗=1 𝑛2 𝜎𝑖𝑗

(2. 40)

Persamaan (2.39) dan (2.40) digunakan untuk menghitung varians maupun kovarians portofolio, jika 𝑖 = 𝑗 maka rumus (2.39) dapat digunakan untuk menghitung varians, jika 𝑖 ≠ 𝑗 maka rumus (2.40) dapat digunakan untuk menghitung kovarians portofolio. M. Minimum Variance Portofolio (MVP) Metode optimasi Minimum Variance Portofolio (MVP) disebut juga dengan portofolio optimal risiko terkecil yang dibentuk dengan meminimumkan fungsi tujuan. Fungsi tujuan yang digunakan adalah fungsi risiko berdasarkan metode Markowitz yaitu meminimumkan risiko untuk tingkat return tertentu. Fungsi tujuan ini kemudian diminimalkan dengan beberapa kendala. Kendala yang pertama adalah total bobot yang diinvestasikan di masing-masing sekuritas untuk seluruh 𝑛 sekuritas adalah sama dengan 1 atau dana yang diinvestasikan seluruhnya berjumlah 100%. Misalnya 𝑤𝑖 adalah bobot sekuritas ke-𝑖 yang diinvestasikan di dalam portofolio yang terdiri dari 𝑛 sekuritas, maka kendala pertama ini dapat dituliskan sebagai: n

w i 1

i

1

Kendala yang kedua adalah bobot dari masing-masing sekuritas tidak boleh bernilai negatif, artinya tidak diijinkan adanya short sale, sehingga dapat dituliskan sebagai berikut:

34

𝑤𝑖 ≥ 0 untuk 𝑖 = 1 sampai dengan 𝑛. Kendala yang ketiga adalah jumlah expected return 𝐸(𝑅𝑖 ) masing-masing sekuritas dengan masing-masing bobot saham 𝑤𝑖 dibatasi oleh return minimal yang diinginkan oleh investor (𝑅) atau dapat ditulis sebagai berikut: n

 E( Ri )wi  R

i 1

Dengan demikian, model penyelesaian optimasi ini dapat ditulis sebagai berikut ini: Fungsi Tujuan: Meminimumkan n

n

n

 wi  i    wi w j  ij 2

2

i 1

(2. 41)

i 1 j 1

dengan kendala: n

1.  wi  1 i 1

2. 𝑤𝑖 ≥ 0 untuk i=1 sampai dengan n. n

3.  E( Ri )wi  R i 1

N. Model Black Litterman Pengertian Model Black Litterman Model Black Litterman diperkenalkan oleh Fischer Black dan Robert Litterman di Goldman Sachs pada tahun 1990. Model ini menggabungkan dua jenis informasi yaitu return ekuilibrium dari CAPM dan expected return views investor yang merupakan titik acuan dari model Black Litterman (He & Litterman, 1999). Satchell & Scowcroft

35

(2000) menjelaskan mengenai pendekatan Bayes untuk menyelesaikan kombinasi distribusi probabilitas model Black Litterman. Model Black Litterman dengan pendekatan Bayes menggunakan views investor (views) sebagai informasi prior dan informasi pasar sebagai data sampel yang kemudian dikombinasikan untuk membentuk data baru (data posterior). Views model Black Litterman digunakan untuk menyesuaikan expected return ekuilibrium dalam memprediksi return di masa yang akan datang. Manajer investasi dapat menyatakan opininya yang berbeda dengan kondisi ekuilibrium, informasi yang berbeda ini mungkin karena berkaitan dengan expected return suatu sekuritas apakah akan meningkat atau turun berdasarkan views investor terhadap keadaan pasar, perekonomian ataupun isu-isu politik dan kenegaraan yang mungkin mempengaruhi pergerakan sekuritas di pasar. Views Investor Seorang investor dapat memiliki views hanya untuk sejumlah 𝑘 saham dari 𝑑 saham yang terdapat dalam portofolio, dengan kata lain investor tidak perlu menyatakan pandangannya pada setiap saham yang dimasukkan ke portofolio namun cukup pada sejumlah saham yang menjadi perhatian investor. Investor dapat menyatakan prediksinya mengenai return yang akan diperoleh untuk masing-masing saham pada masa mendatang dengan melihat plot pergerakan data harga dan data return masingmasing saham pada beberapa periode sebelumnya. Investor dapat menyatakan

36

pandangannya dengan views relatif (relative views) maupun views pasti (absolute views). a. Views pasti (absolute views) Views pasti terbentuk apabila seorang investor memberikan prediksinya terhadap dua buah saham, maka investor tersebut akan mengungkapkan views dengan yakin terhadap besarnya return yang akan diberikan oleh masing-masing saham. Contoh: Views 1 : “Saya prediksikan return saham A akan meningkat sebesar 2%”. Views 2 : “Saya prediksikan return saham B akan meningkat sebesar 3%”. a. Views relatif (relative views) Ketika seorang investor diminta untuk memberikan views tentang dua buah saham, kemudian investor tersebut melakukan perbandingan antara return yang akan diberikan kedua saham tersebut, maka terbentuklah views relatif atau relative views. Contoh: “Saya prediksikan bahwa return saham A akan melebihi return saham B sebesar 2%”. Contoh : Suatu portofolio terbentuk dari 4 saham, yaitu saham A, B, C dan D. Investor dapat menyatakan views terhadap keempat saham tersebut maupun hanya pada beberapa saham yang menjadi perhatian investor. Pada contoh ini, investor hanya menyatakan keempat saham tersebut dalam 3 views sebagai berikut: Views 1: “Saya yakin saham B akan memberikan return 2% melampaui saham A”.

37

Views 2: “Saya yakin saham C akan memberikan return 4%”. Views 3: “Saya yakin saham D akan memberikan return 0,5%”. Jika E (r ) adalah estimasi return investor dengan 4 saham, yaitu A , B , C dan D, maka ketiga views investor tersebut dapat dinyatakan dengan: E( rB )  E( rA )  0,02 ;

E( rC )  0,04; ; E( rD )  0 ,005 .

Estimasi return investor tersebut jika dibentuk dalam matriks, maka: 𝐸(𝑟𝐴 )   1 1 0 0 0,02 𝐸(𝑟𝐵 )  0 0 1 0 ,  P   𝑬(𝒓) = 𝐸(𝑟𝐶 ) , 𝒒 = [ 0,04 ] 0,005  0 0 0 1 [𝐸(𝑟𝐷 )] Baris dalam matriks P menjelaskan tentang views dan kolom matriks P menjelaskan tentang saham. Saham yang akan memberikan return lebih dari saham yang lain (outperforming) akan dinyatakan dalam nilai positif, sedangkan saham yang underperforming akan diberikan nilai negatif. Sehingga, jumlah dari bobot views absolut yang diberikan dalam matriks P adalah 1 dan views relatif berjumlah 0. Matriks 𝒒 adalah matriks berukuran 𝑘 × 1 yang elemen-elemennya berisi nilai expected return yang diperoleh dari views investor. Tingkat Keyakinan Investor Tingkat keyakinan merupakan vektor error yang menandakan views yang dimiliki investor masih belum pasti dan diasumsikan berdistribusi normal. Tingkat keyakinan

38

ini dinyatakan dalam matriks diagonal 𝜴 (kovarians dari views) sebagai berikut (Idzorek, 2005) : 𝜴 = P( τΣ)P'

(2. 42)

dengan, 𝑷 = matriks views dari return 𝜏

= skala tingkat keyakinan dalam views (range 0-1)

Σ = matriks varians-kovarians dari return saham Jika elemen 𝜴 adalah nol maka investor dianggap sangat yakin terhadap pandangannya, sedangkan ketika informasi prior yang dimiliki investor memiliki tingkat views yang tidak pasti, maka hal ini diindikasikan dengan nilai matriks kovarians views 𝞨 adalah tidak nol. Asumsi Model Aturan Bayes menyatakan bahwa distribusi probabilitas dari suatu kejadian B terjadi apabila kejadian A diketahui, maka:

Pr( B | A) 

Pr( A | B) Pr( B) . Pr( A)

(2. 43)

Aturan Bayes di atas lebih sering diungkapkan dalam bentuk berikut: Pr( B | A) Pr( A | B) Pr( B) .

(2. 44)

dengan notasi ∞ menyatakan “proposional terhadap” Pr( B | A) : probabilitas dari kejadian B dengan syarat kejadian A diketahui . Disebut

juga dengan distribusi posterior.

39

Pr( A | B) : probabilitas dari kejadian A, dengan syarat kejadian B diketahui. Disebut

juga dengan distribusi bersyarat. Pr(B) : probabilitas B, disebut juga informasi prior. Pr(A) : probabilitas A, disebut juga normalisasi konstan.

Untuk membentuk model Black Litterman dibutuhkan dua jenis informasi yaitu expected return ekuilibrium CAPM dan views investor. Kedua informasi tersebut kemudian dikombinasikan dengan menggunakan aturan Bayes, dengan mengganti kejadian A adalah return ekuilibrium CAPM dan kejadian B adalah expected return investor, menggunakan persamaan Bayes dapat diperoleh:

Pr( E(r) | π ) 

Pr( π | E(r) ) Pr( E(r )) Pr( π )

(2. 45)

dengan, : E(r): vektor expected return investor ukuran 𝑛 × 1 𝝅: return ekuilibrium CAPM dengan asumsi-asumsi sebagai berikut (Retno Subekti, 2008) : a. Asumsi Pertama Diasumikan bahwa keyakinan prior E(r) dinyatakan sebagai PE(r), yang mempunyai bentuk 𝑘 kendala linear dari vektor expected return E(r) dan ditulis dengan matriks 𝑷 berukuran 𝑘 × 𝑛 sehingga: 𝑷𝑬(𝒓) = 𝒒 + 𝝂

40

(2. 46)

Notasi q adalah vektor k x 1 dari views return yang diberikan investor, sedangkan 𝝂 adalah vektor error k x 1 yang menandakan adanya views yang masih belum pasti. Persamaan (2.46) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut: 𝑃11 𝑃21 [ ⋮ 𝑃𝑘1

𝑃12 𝑃22 ⋮ 𝑃𝑘2

𝑣11 … 𝑃1𝑛 𝐸(𝑟1 ) 𝑞11 𝑣21 … 𝑃2𝑛 𝐸(𝑟2 ) 𝑞21 ][ ]=[ ⋮ ] + [ ⋮ ] ⋱ ⋮ ⋮ 𝑣𝑘1 … 𝑃𝑘𝑛 𝐸(𝑟𝑛 ) 𝑞𝑘1

Diasumsikan v berdistribusi normal dengan mean nol dan variansi 𝜴, dinotasikan v~N(0, 𝜴), 𝜴 adalah matriks kovarians 𝑘 × 𝑘, sehingga : P E(r) ~ N ( q , Ω )

(2. 47)

b. Asumsi Kedua Data return ekuilibrium 𝝅 dengan syarat informasi prior diasumsikan berdistribusi normal multivariat dengan mean 𝑬(𝒓) dan varians 𝜏 Σ , sehingga dapat dinyatakan: π | E(r) ~ N ( E(r),Σ )

(2. 48)

dengan E(π)=E(r), artinya terdapat asumsi bahwa mean return ekuilibrium sama dengan mean return pasar yang diperoleh melalui CAPM. Sedangkan nilai 𝜏 adalah suatu angka yang diberikan investor untuk menyatakan keyakinan dalam pandangannya. Kebanyakan peneliti menggunakan nilai 𝜏 yang berbeda. Stachell & Scowcroft (2000) menentukan nilai 𝜏 sama dengan 1, sedangkan He & Litterman (1999) menggunakan nilai 𝜏 yaitu 0,025. Nilai 𝜏 tergantung dari tingkat keyakinan investor terhadap views, sehingga nilai untuk 𝜏 berkisar antara 0 sampai 1.

41

Kombinasi Return Ekuilibrium dan Views Investor Teorema Model Black Litterman (Salomons, 2007): ( E(r) | π )

berdistribusi

multivariat

normal

dengan

mean

E(r)=

[( Σ )1  P' Ω 1 P ] 1 [( Σ )1 π  P' Ω 1 P ] dan variansnya adalah [( Σ ) 1  P' Ω 1 P ] 1 Bukti: Asumsi 1: PE(r) berdistribusi normal multivariat dengan mean 𝒒 dan varians 𝜴 dinotasikan PE(r) ~ N ( q , Ω ) , sehingga fungsi probabilitasnya adalah:

f(P E(r) ) 

 1  exp  ( P E(r)  q )' Ω 1 ( PE(r)  q )  2  ( 2π ) det( Ω ) 1

(2. 49)

k

Asumsi 2: π | E(r) berdistribusi normal multivariat dengan mean π dan varians-kovarians matriks

 dinotasikan π | E(r) ~ N ( E( r ),Σ ) , sehingga fungsi probabilitasnya: f(π | E(r) ) 

 1  exp  ( π - E(r) )' ( Σ ) 1 ( π - E(r) )  2  ( 2π ) det( Σ ) 1

n

Teorema Bayes dalam konteks ini dapat dinyatakan sebagai:

Pr( E(r) | π ) 

Pr( π | E(r) ) Pr( E(r )) Pr( π )

atau dapat dinyatakan sesuai dengan persamaan (2.44) sebagai berikut: Pr( E(r) | π ) ∞ 𝑃𝑟(𝝅|𝑬(𝒓)) 𝑃𝑟(𝑬(𝒓))

42

(2. 50)

Fungsi probabilitas (2.49) dan (2.50) disubstitusikan pada rumus (2.44) sehingga diperoleh:

 1  exp  ( π  E(r) )' ( Σ) 1 ( π  E(r) )  2  ( 2π ) det( Σ ) 1

Pr( E(r) | π )

n

 1  exp  ( PE(r)  q )' ( Ω ) 1 ( PE(r)  q )  2  ( 2π ) det( Ω ) 1

.

Dengan

k

menghilangkan

semua

konstanta,

maka

yang

tersisa

adalah:

1  1  Pr(E(r) | π ) exp  ( π  E(r) )' ( Σ ) 1 ( π  E(r ))  ( PE(r)  q )' Ω 1 ( PE(r)  q ) 2  2   1  Pr(E(r) | π ) exp     2  Sehingga, 𝜑

= (𝝅 − 𝑬(𝒓))′(𝜏Ʃ)−𝟏 (𝝅 − 𝑬(𝒓)) + (𝑷𝑬(𝒓) − 𝒒)′ 𝞨−𝟏 (𝑷𝑬(𝒓) − 𝒒) = 𝝅′ (𝝉Ʃ)−𝟏 𝝅 − 𝑬(𝒓)′(𝝉Ʃ)−𝟏 𝝅 − 𝝅′(𝝉Ʃ)−𝟏 𝑬(𝒓) + 𝑬(𝒓)′(𝝉Ʃ)−𝟏 𝑬(𝒓) + ′

(𝑷𝑬(𝒓)) 𝞨−𝟏 𝑷𝑬(𝒓) − 𝒒′𝞨−𝟏 𝑷𝑬(𝒓) − (𝑷𝑬(𝒓))′𝞨−𝟏 𝒒 + 𝒒′𝞨−𝟏 𝒒 = 𝝅′ (𝝉Ʃ)−𝟏 𝝅 − 𝑬(𝒓)′(𝝉Ʃ)−𝟏 𝝅 − 𝝅′(𝝉Ʃ)−𝟏 𝑬(𝒓) + 𝑬(𝒓)′(𝝉Ʃ)−𝟏 𝑬(𝒓) + 𝑬(𝒓)′ 𝑷′𝞨−𝟏 𝑷𝑬(𝒓) − 𝒒′𝞨−𝟏 𝑷𝑬(𝒓) − 𝑬(𝒓)′𝑷′𝞨−𝟏 𝒒 + 𝒒′𝞨−𝟏 𝒒 = 𝑬(𝒓)′ [(𝝉Ʃ)−𝟏 + 𝑷′ 𝞨−𝟏 𝑷]𝑬(𝒓) + 𝝅′ (𝝉Ʃ)−𝟏 𝝅 − 𝑬(𝒓)′ (𝝉Ʃ)−𝟏 𝝅 − 𝝅′(𝝉Ʃ)−𝟏 𝑬(𝒓) − 𝒒′𝞨−𝟏 𝑷𝑬(𝒓) − 𝑬(𝒓)′𝑷′𝞨−𝟏 𝒒 + 𝒒′𝞨−𝟏 𝒒 = 𝑬(𝒓)′ [(𝝉Ʃ)−𝟏 + 𝑷′ 𝞨−𝟏 𝑷]𝑬(𝒓) − 𝟐[(𝝉Ʃ)−𝟏 𝝅′ + 𝑷𝞨−𝟏 𝒒′]𝑬(𝒓) + 𝝅′ (𝝉Ʃ)−𝟏 𝝅 + 𝒒′𝞨−𝟏 𝒒

43

untuk, 1

1

C = ( Σ ) π  P' Ω q , H = ( Σ )  P' Ω P , dimana H simetris dengan H = H', 1

1

A = π' ( Σ ) π  q' Ω q. 1

1

Menggunakan notasi di atas, maka dapat ditulis kembali mejadi:

  E(r)' HE(r)  2C' E(r)  A = E(r)' H'H H 1 E(r)  2C' H - 1 H E(r )  A  A  C' H 1C  ( H(E(r)  C )' H 1 ( HE(r)  C)

Dengan demikian A  C' H 1C akan menjadi konstanta dan selanjutnya

( HE(r)  C )' H 1 ( HE(r)  C) = (𝑯𝑬(𝒓) − 𝑪)′ 𝑯−𝟏 (𝑯𝑬(𝒓) − 𝑪) = (𝑯−𝟏 𝑯𝑬(𝒓) − 𝑯−𝟏 𝑪)′ 𝑯𝑯−𝟏 𝑯(𝑯−𝟏 𝑯𝑬(𝒓) − 𝑯−𝟏 𝑪) = (𝑬(𝒓) − 𝑯−𝟏 𝑪)′𝑯(𝑬(𝒓) − 𝑯−𝟏 𝑪) Sehingga diperoleh: Pr( E(r) | π ) exp[ 

1 (E(r)  H 1C )' H ( E(r)  H 1C )] 2

Maka mean posteriornya 𝑯−𝟏 𝑪 adalah

H 1C  [( Σ ) 1  P' Ω 1 P ] 1 [( Σ ) 1 π  P' Ω 1 q ] dan variansnya 𝑯−𝟏 yaitu H 1  [( Σ ) 1  P' Ω 1 P ] 1

44

Jadi distribusi return kombinasi yang baru (𝑬(𝒓)|𝝅) sebagai distribusi posterior berdistribusi normal

( E(r) | π ) ~ N ([( Σ )1  P' Ω1P ] 1 [( Σ )1 π  P' Ω1q ], [( Σ )1  P' Ω1P ] 1 ) Selanjutnya, μ BL  [( Σ ) 1  P' Ω 1 P ] 1 [( Σ ) 1 π  P' Ω 1 q ]  [( Σ ) 1  P' Ω 1 P ] 1 ( Σ ) 1 ( Σ )[( Σ ) 1 π  P' Ω 1 q ]  [ I  ΣP' Ω 1 P ] 1 [ π  ΣP' Ω 1 q ]  [ I  ΣP' Ω 1 P ] 1 [( I  ΣP' Ω 1 P )π  ΣP ' Ω 1 ( q  Pπ )]  π  ( I  ΣP' Ω 1 P ) 1 ( ΣP ' Ω 1 ( q  Pπ ))  π  ( I  ΣP' Ω 1 P ) 1 ( ΣP' Ω 1 {( q  P' ΣP )( Ω  P' ΣP ) 1 }( q  Pπ )  π  ( I  ΣP' Ω 1 P ) 1 ( ΣP'   P' Ω 1 P' ΣP )( Ω  P' ΣP ) 1 ( q  Pπ )  π  [( I  ΣP' Ω 1 P ) 1 ( I  ΣP' Ω 1 P )]ΣP' ( Ω  P' ΣP ) 1 ( q  Pπ )  π  ΣP' ( Ω  ΣP' ) 1 ( q  Pπ ).

Sehingga, expected return Black Litterman dapat dirumuskan sebagai berikut:

μ BL  E(rBL )  π  ΣP' ( Ω  PΣP' ) 1 ( q  Pπ ) dengan, E(r BL )

: expected return model Black Litterman

π

: vektor k x 1 untuk return ekuilibrium CAPM

𝜏

: skala tingkat keyakinan dalam views (range 0-1)

Ʃ

: matriks varians kovarians return

Ω

: matriks diagonal kovarians dari views

P

: matriks k x n untuk views yang berkaitan dengan return

q

: vektor k x 1 untuk views return yang diberikan investor.

45

(2. 51)

Pembobotan portofolio model Black Litterman dihitung menggunakan rumus (2.34) pada model mean variance Markowitz sehingga diperoleh sebagai berikut:

w BL  ( Σ ) 1 μ BL

(2. 52)

dengan, w BL : bobot sekuritas pada model Black Litterman

δ : koefisien risk aversion Ʃ : matriks varians kovarians return μ BL : expected return Black Litterman.

O. Sharpe Ratio Sharpe ratio dikembangkan oleh William Sharpe dan sering disebut juga dengan reward-to-variability ratio (RVAR). Sharpe Ratio membandingkan selisih antara return sekuritas dan risk free rate dengan standar deviasi dari sekuritas tersebut, artinya Sharpe mengukur besarnya perbedaan (𝑅𝑝 − 𝑟𝑓 ) atau risk premium yang dihasilkan untuk tiap unit risiko yang diambil. Semakin tinggi nilai Sharpe ratio, maka semakin baik kinerja yang dihasilkan. Perhitungan Sharpe ratio dengan menggunakan risk free rate adalah sebagai berikut: Sp 

R p  rf

(2. 53)

p

Untuk portofolio yang tidak menggunakan risk free rate, maka perhitungan kinerja portofolio Sharpe ratio menjadi:

46

Sp  *

Rp

(2. 54)

p

Keterangan: 𝑆𝑝

= Sharpe ratio

𝑅𝑝

= Return portofolio dalam suatu periode

𝑟𝑓

= Suku bunga bebas risiko dalam suatu periode

𝜎𝑝

=Standar deviasi dari return portofolio suatu periode

47