BAB II LANDASAN TEORI. 1. Sistem Koordinat dalam Dimensi Dua. disebut absis. Sedangkan sumbu yang tegak adalah sumbu y dan disebut

6

BAB II LANDASAN TEORI

A. Sistem Koordinat 1. Sistem Koordinat dalam Dimensi Dua a. Sistem Koordinat Kartesius Sistem koordinat ini mempunyai sepasang sumbu yang berpotongan tegak lurus. Sumbu yang mendatar adalah sumbu x dan disebut absis. Sedangkan sumbu yang tegak adalah sumbu y dan disebut ordinat. Kedua sumbu berpotongan pada sebuah titik yang disebut titik pangkal. y

x 0

Gambar 2.1 : Sistem Koordinat Kartesius

Sumbu x dan sumbu y membagi bidang datar menjadi 4 bagian atau daerah yang dinamakan kuadran, yaitu : Kuadran I

: di atas sumbu x dan di sebelah kanan sumbu y.

Kuadran II

: di atas sumbu x dan di sebelah kiri sumbu y.

Kuadran III

: di bawah sumbu x dan di sebelah kiri sumbu y.

Kuadran IV

: di bawah sumbu x dan di sebelah kanan sumbu y.

6 Aplikasi Sistem Koordinat..., Tuti Sundari, FKIP UMP, 2011

7

Untuk lebih jelasnya bisa diamati pada gambar 2.2 di bawah ini. y Kuadran II

Kuadran I x Kuadran IV

Kuadran III

Gambar 2.2 : Kedudukan Kuadran Dengan demikian setiap titik dalam bidang ditentukan oleh sepasang bilangan, yang pertama menunjukkan absis dan yang kedua menunjukkan ordinat. Notasi titik biasanya ditulis dengan huruf kapital. Misal sebuah titik P yang berabsis xo dan berordinat yo ditulis P(xo, yo), yang dapat digambarkan sebagai berikut : y  P (xo, yo)

yo

x

xo

Gambar 2.3 : Letak Suatu Titik b. Sistem Koordinat Kutub Dalam koordinat kutub, sebuah titik ditentukan oleh sebuah jarak dan sebuah sudut. Lebih jelasnya pada gambar 2.4 berikut, 

A (r, θ)

r θ O

x

Gambar 2.4 : Sistem Koordinat Kutub

Aplikasi Sistem Koordinat..., Tuti Sundari, FKIP UMP, 2011

8

Keterangan : r : panjang ruas garis OA. |r| ≥ 0. θ : sudut yang dibentuk oleh garis OA terhadap sumbu dengan 0° ≤ α < 180°. O : titik kutub atau titik asal. Ox : poros atau sumbu kutub. (Kusdiono, 1995:105) c. Hubungan koordinat kartesius dengan koordinat kutub Misalkan sumbu kutub berimpit dengan sumbu x posisi sistem koordinat kartesius. Koordinat kutub (r, θ) sebuah titik P dan koordinat kartesius (x, y) titik itu dihubungkan oleh persamaan: x = r cos θ,

y = r sin θ

r2 = x2 + y2

tan θ =

y x

Persamaan di atas diperoleh dari gambar 2.5 berikut, y P r θ O

x x

Gambar 2.5 : Hubungan Koordinat Kartesius dengan Koordinat Kutub

d. Konsep Lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu (Siswanto, 2005: 161). Jarak yang sama disebut dengan jari-jari lingkaran dan titik tertentu disebut dengan


9

pusat lingkaran. Pada Gambar 2.6 ditampilkan tempat kedudukan titiktitik P, Q, R dan S yang membentuk lingkaran. Jari-jari lingkaran dinyatakan dengan r dan pusat lingkaran dinyatakan dengan titik O. R S

r r

Q

r O

r P

Gambar 2.6 : Lingkaran yang Berpusat di O dengan Jari – Jari r Selain jari-jari dan pusat lingkaran juga terdapat sudut. Sudut tersebut dapat diukur dengan satuan derajat dan radian. 1) Satuan Derajat Derajat disebut juga satuan sudut sexagesimal, yaitu keliling lingkaran dibagi dengan 360 bagian yang sama. Tiap bagian disebut 1 derajat. Dengan demikian satu putaran penuh yaitu 360 derajat. Simbol yang menyatakan derajat adalah ”...° ” 1 putaran penuh

= keliling lingkaran = 360°

1 putaran penuh 2

=

1 keliling lingkaran = 180° 2

Setiap derajat dibagi dalam 60 menit dan setiap menit dibagi lagi dalam 60 detik. Simbol menit adalah ” ... ' ” dan simbol detik ” ... " ”.


10

Contoh dalam penulisannya, 15 menit ditulis : 15' 20 detik ditulis : 20" 1° = 60' = 3600" (Negoro, 1982:492) 2) Satuan Radian Perhatikan gambar berikut ini,

D

F

B O•

A C

E

Gambar 2.7 : Tiga Lingkaran yang Kosentrasi di Titik O

Nilai perbandingan dari Gambar 2.7 adalah sebagai berikut: panjang busur AB panjang busur CD panjang busur EF   jari  jari OA jari  jari OC OF

Nilai perbandingan tersebut merupakan satuan radian sudut AOB atau sudut COD atau sudut EOF. Jadi, ukuran radian =

panjang busur panjang jari-jari


11

O •

r

r 1 rad r P

O •

r

P

r

1 rad 1 rad

P

R

Q

r

r

r 1 rad

S

1 rad R

Q

r ( ii )

(i)

1 rad

Q

r

r

O •

r

r

r ( iii ) r

Gambar 2.8 : Tiga Lingkaran dengan Radian yang Berbeda - beda Dari gambar 2.8 (i) menunjukkan besar sudut 1 radian, yaitu sudut pusat juring di hadapan busur yang panjangnya 1 r. Besar  POQ = 1 rad. Gambar 2.8 (ii) panjang busur PQR = 2 r, maka besar  POR = 2 rad. Gambar 2.8 (iii) besar  POS = 3 rad. Dari contoh diatas dapat dinyatakan bahwa: 1 radian =

panjang busur 1 r 1r

2 radian =


3 radian =


3) Hubungan antara Radian dengan Derajat Telah diketahui bahwa panjang busur 1 r pada keliling lingkaran membentuk sudut 1 radian di pusat lingkaran. Keliling lingkaran 2  r, berarti keliling lingkaran (2  r) membentuk sudut


12

2  radian di pusat lingkaran. Sedangkan sudut pusat lingkaran 360°, maka hubungan antara radian dan derajat adalah : 2  rad = 360°

 rad = 180° Dari  rad = 180°, didapat: 1 rad =

180





180  57,29577951  3,14

57° 17' 45"

Dari 180° =  rad, didapat:  3,14     1° =   rad  0, 017 rad  rad    180   180 

Jadi,

 rad = 180° 1 rad  57, 29577951°  57° 17' 45" 1°

= 0,017 rad

e. Luasan dan Pusat pada Bidang-Bidang Datar Sederhana Dalam hal ini titik berat adalah pusat luasan. Di bawah ini cara menentukan pusat luasan dari beberapa bangun datar 1) Bangun Persegi Persegi adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk yang sama panjang dan memiliki empat sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku (Anonim, 2010). Letak titik berat persegi adalah pada titik potong antara kedua diagonalnya (Kanginan, 2005:136), yang dapat digambarkan sebagai berikut:


13

C

B 

P”

P

yp O

xp

P’

A

Gambar 2.9 : Titik Berat Persegi Titik pusat P(xp,yp) xp = P′ =

1 1 OA = BC 2 2

yp = P″ =

1 1 OC = AB 2 2

Dengan OA = AB = BC = OC dan luas persegi OABC sama dengan (OA)2 = (AB)2 = (BC)2 = (OC)2 2) Bangun Persegi Panjang Persegi panjang adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing sama panjang dan sejajar dengan pasangannya, dan memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku (Anonim, 2009). Letak titik berat persegi panjang adalah pada titik potong antara kedua diagonalnya (Kanginan, 2005 : 135), yang dapat digambar sebagai berikut :

C

B  P

P″ yp O

xp

P′

A

Gambar 2.10 : Titik Berat Persegi Panjang


14

OA // CB dan OC // AB AB ┴ OA dan OC ┴ CB Titik pusat P(xp,yp) Jarak OP′= xp =

1 1 OA = BC 2 2

Jarak OP″= yp =

1 1 OC = AB 2 2

Luas bangun OABC = OA x AB 3) Bangun Segitiga Sama Sisi Bangun segitiga sama sisi yaitu segitiga yang ketiga sisinya sama panjang dan sudutnya sama besar yaitu 60º (Anonim, 2010). Letak titik berat adalah perpotongan garis berat, yang dapat digambarkan sebagai berikut, y B 



 P

yp



x O

xp

B′

A

Gambar 2.11 : Titik Berat Segitiga Sama Sisi Segitiga OAB sama sisi, OA = AB = OB Sudut AOB = sudut OBA = sudut BAO = 60º Pusat segitiga P (xp, yp) Jarak xp =

1 OA 2


15

Jarak yp =

1 3

BB′ =

1 3

Luas segitiga OAB =

(OA) sin 60º alas x tinggi 1 = (OA)2 sin 60º 2 2

4) Bangun Segitiga Tidak Beraturan Segitiga sembarang atau segitiga tidak beraturan adalah segitiga yang panjang ketiga sisinya berbeda dan besar masing – masing sudutnya berbeda (Anonim, 2010). Letak titik berat adalah pada perpotongan garis berat, dan untuk tinggi segitiga = BB´ = h, maka tinggi titik berat (yp) adalah

1 h (Kanginan, 2005 : 136). 3

y B 

h P

P″ yp



┘ ┘ P′ B′

O



x A



xp Gambar 2.12 : Titik Berat Segitiga Tidak Beraturan Segitiga OAB tidak beraturan, Panjang OP′ = xp Panjang OP″ = yp B’ proyeksi titik B pada sumbu x BB” tinggi segitiga OAB Luas segitiga OAB =

1 1 alas x tinggi = x OA x BB’ 2 2


16

5) Pusat Luasan Bidang Tidak Beraturan A2 y2 y1



A1



A2



An

yn



x1

x2

xn

Gambar 2.13 : Pusat Luasan Bangun Sembarang Bangun sebarang dapat diurai dalam luas-luasan kecil, misalkan A1, A2,…,An. Masing-masing dengan pusat C1(x1,y1), C2(x2,y2), …, Cn (xn,yn). Maka pusat luasan dapat dirumuskan, n

A x  A2 x 2  ...  An x n xP  1 1 A1  A2  ...  An

Ax i

i 1 n

=

i

A

i

i 1

n

A y  A2 y 2  ...  An y n yP  1 1 = A1  A2  ...  An

A y i 1 n

i

i

A i 1

i

(Kanginan, 2005:135) 2. Sistem Koordinat Dalam Dimensi Tiga a. Sistem Koordinat Kartesius Koordinat kartesius di ruang dimensi tiga mempunyai tiga sumbu yang masing-masing saling tegak lurus (Isnaini, 1985:178). Ketiga sumbu tersebut antara lain :


17

1) sumbu x yang biasa disebut absis, 2) sumbu y yang biasa disebut dengan ordinat, 3) sumbu z yang biasa disebut dengan aplikat. Ketiga sumbu tersebut bersama-sama membentuk sistem koordinat yang orthogonal xyz. Sumbu-sumbu tersebut terbagi atas sumbu x positif dan negatif. Sumbu y positif dan negatif. Sumbu z positif dan negatif. Sedangkan titik potong ketiga sumbu tersebut dinamakan titik nol, ditulis dengan 0, atau biasa disebut titik awal sistem koordinat. Lebih jelasnya pada gambar 2.14 berikut ini, z+ x-

y-

y+ 0 x+ zGambar 2.14 : Kedudukan Koordinat Kartesius Dalam sistem koordinat kartesius di ruang dimensi tiga, titik P

dinyatakan oleh rangkap tiga terurut (x, y, z), seperti Gambar 2.15 di bawah ini :

z



P (x, y, z)

y x Gambar 2.15 : Koordinat Kartesius Sebuah Titik Aplikasi Sistem Koordinat..., Tuti Sundari, FKIP UMP, 2011

18

Sistem koordinat akan membagi ruang dalam 8 bagian atau disebut oktan, hingga titik P (x, y, z) dapat berada pada salah satu bagian ruang tersebut (Isnaini, 1985 : 179). Kedelapan bagian ruang tersebut yaitu : Oktan I

: x, y, z positif

Oktan II

: x negatif, y dan z positif

Oktan III

: x dan y negatif, z positif

Oktan IV

: y negatif, x dan z positif

Oktan V

: x dan y positif, z negatif

Oktan VI

: x dan z negatif, y positif

Oktan VII

: x, y, z negatif

Oktan VIII

: y dan z negatif, x positif

b. Sistem Koordinat Bola Koordinat bola adalah perumusan koordinat kutub ke ruang berdimensi tiga (Nababan, 1991:268). Sistem koordinat bola berguna untuk masalah-masalah geometri dan fisika tertentu yang melibatkan suatu pusat simetri. Di dalam koordinat bola terdapat suatu bidang kutub dan suatu sumbu z yang tegak lurus pada bidang kutub tersebut, dengan titik asal sumbu z berimpit dengan titik kutub dari bidang kutub tersebut. Suatu titik tertentu dalam koordinat bola dinyatakan oleh rangkap tiga terurut (ρ, θ, ), dimana ρ = |OP| adalah jarak dari titik asal ke P, θ adalah ukuran sudut kutub dari proyeksi P pada bidang kutub, dan  adalah


19

sudut antara sumbu z positif dan ruas garis OP. Titik asal mempunyai representasi koordinat bola (ρ, θ, ), dimana θ dan  dapat mengambil sebarang nilai. Jika titik P(ρ, θ, ), bukan titik asal, maka ρ > 0

dan

0    π;  = 0. Jika P pada bagian positif sumbu z dan  = π , jika titik P pada bagian negatif sumbu z. Lebih jelasnya dapat diamati pada gambar 2.16 berikut, z ρ



P (ρ, θ, )



y

O θ x Gambar 2.16 : Sistem Koordinat Bola

(Nababan, 1991 : 270)

Manfaat utama sistem koordinat bola dalam soal-soal yang memuat suatu simetri terhadap sebuah titik dan titik asal ditempatkan pada titik ini. Contohnya, bola yang berpusat di titik asal dan berjari-jari c mempunyai persamaan yang sederhana ρ = c. Grafik persamaan θ = c adalah setengah bidang vertikal. Persamaan  = c menyatakan setengah kerucut dengan sumbu z sebagai sumbunya. (Stewart, 2003:272-273)


20

c. Tinggi Rata – Rata Luasan (An, hn) 

(A2, h2)

(A1, h1)





Gambar 2.17 : Tinggi Rata – Rata Luasan Dalam penentuan rumus untuk mencari tinggi rata – rata analog dengan penentuan pusat pada suatu bangun sembarang. Maka tinggi rata-rata (hrr) dirumuskan sebagai berikut, n

hrr 

Ah

i i

i 1 n

A i 1



A1 h1  A2 h2  ...  An hn A1  A2  ...  An

i

3. Transformasi Koordinat z 

z



ρ

y

O x

x

θ

P(x,y,z) (ρ, θ, ) y

r 

Q(r, θ,0)

Gambar 2.18 : Hubungan Sistem Koordinat Bola dengan Kartesius


21

Dengan menempatkan suatu sistem koordinat bola dan suatu sistem koordinat kartesius bersama-sama seperti terlihat dalam gambar 2.18 di atas, diperoleh hubungan antara koordinat bola dan koordinat kartesius sebagai berikut, x = OQ cos θ ; y = OQ sin θ ; z = QP OQ = ρ sin  dan

Karena

persamaan ini menjadi :

QP = ρ cos , x = ρ sin  cos θ y = ρ sin  sin θ z = ρ cos 

Dengan mengkuadratkan setiap persamaan dan menjumlahkannya diperoleh x2 + y2 + z2 = ρ2 sin2  cos2 θ + ρ2 sin2  sin2 θ + ρ2 cos2  x2 + y2 + z2 = ρ2 sin2 (cos2 θ + sin2 θ) + ρ2 cos2  x2 + y2 + z2 = ρ2 (sin2  + cos2 ) x2 + y2 + z2 = ρ2

(Nababan, 1991 : 272)

B. Bola Bumi 1. Fisik bumi Dalam bidang pengukuran dan pemetaan bumi, dikenal bidang geoid yang merupakan bentuk bumi dalam pengertian fisik. Geoid adalah bidang nivo (level surface) atau bidang ekuipotensial gaya berat yang terletak pada ketinggian muka air rata-rata. Arah gaya berat di setiap titik


22

pada geoid adalah tegak lurus. Karena arah-arah gaya berat menuju pusat bumi, bidang geoid merupakan permukaan tertutup yang melingkupi bumi dan bentuknya tidak teratur. Secara teoritis, permukaan geoid pada umumnya tidak berhimpit dengan muka air laut rata-rata, karena penyimpangannya relatif kecil, maka secara praktis, geoid berhimpit dengan muka air laut rata-rata. (Handoko, 2004:6)

2. Bumi sebagai bola a. Posisi tempat di muka bumi Posisi tempat di muka bumi biasanya dinyatakan dalam satuan astronomi yaitu derajat, menit, dan detik. Hubungan koordinat geografi dan jarak di bumi ditentukan oleh lokasinya di permukaan bumi. Disepanjang ekuator dan meridian, 1o adalah 111,11 km, diasumsikan bahwa keliling bumi adalah 40.000 km (Kraak, 2007:71). Bentuk bumi adalah bulat ibarat seperti bola oleh karena itu bumi sering disebut dengan bola bumi. Pada bola langit, bumi adalah sebagai titik pusatnya. Diameter rata-rata dari bulatan bumi adalah 12.742 km sehingga jari-jari rata-ratanya 6371 km (Anonim, 2010). Diameter ini adalah sebagai khatulistiwa bumi. Beberapa istilah yang terdapat pada bola bumi untuk mengetahui letak suatu titik di permukaan bumi :


23

1) Lingkaran ekuator Lingkaran ekuator yaitu lingkaran yang membagi dua sama besar bola bumi menjadi bagian utara dan selatan. U

B

T Lingkaran Ekuator

S Gambar 2.19 : Lingkaran Ekuator 2) Lingkaran lintang Lingkaran lintang yaitu lingkaran-lingkaran yang sejajar dengan lingkaran ekuator. U

B

Lingkaran Ekuator

T

S Gambar 2.20 : Lingkaran Lintang 3) Lintang tempat Lintang tempat yaitu jarak antara suatu tempat ke ekuator. Lintang biasanya dinotasikan dengan abjad Yunani  (phi). Bagi


24

tempat-tempat di sebelah utara ekuator, lintang tempat dihitung positif. Sedangkan bagi tempat-tempat yang berada di sebelah selatan ekuator dihitung negatif. Tempat-tempat yang terlalui ekuator, lintang tempatnya nol. Nilai maksimum koordinat lintang tempat adalah 90° yaitu terletak di kutub-kutub bumi. Lintang tempat titik Kutub Utara yaitu 90°, sedangkan Kutub Selatan yaitu -90°. Garis lintang di sebelah utara lingkaran

ekuator disebut

Lintang Utara (LU) dan garis lintang di sebelah selatan lingkaran ekuator disebut Lintang Selatan (LS). 4) Lingkaran bujur Lingkaran bujur yaitu lingkaran-lingkaran besar yang melalui titik-titik kutub dan memotong ekuator tegak lurus. Lingkaran bujur yang melalui Greenwich Inggris disebut bujur nol sebagai standar untuk menentukan waktu di seluruh dunia. Waktu Greenwich dikenal dengan singkatan GMT atau Greenwich Mean Time. Selisih waktu antara setiap 15° garis bujur adalah satu jam. Sehingga selisih waktu setiap, 1° =

1 x 60 menit = 4 menit 15 U

Greenwich●

B

Lingkaran Ekuator

T

kuator S Gambar 2.21: Lingkaran Bujur Aplikasi Sistem Koordinat..., Tuti Sundari, FKIP UMP, 2011

25

5) Bujur Tempat Bujur tempat yaitu jarak suatu tempat ke lingkaran bujur yang melalui kota Greenwich. Bujur biasanya dinotasikan dengan abjad Yunani lamda (λ). Bujur tempat menggambarkan lokasi sebuah tempat di timur atau barat bumi dari sebuah garis utara-selatan yang disebut Meridian Utama. Tempat-tempat yang berada di sebelah barat Greenwich, bujur tempatnya disebut Bujur Barat (BB) sedangkan bagi tempat-tempat yang berada di sebelah timur Greenwich, bujur tempatnya disebut Bujur Timur (BT). Istilah Bujur Barat dan Bujur Timur tidak dijumpai dalam bahasa Inggris, istilah tersebut hanya ditemui dalam bahasa Indonesia. 6) Ketinggian Tempat Ketinggian adalah elevasi suatu objek dari suatu tingkat yang diketahui atau datum. Datum yang biasa digunakan adalah permukaan laut. Di Amerika Serikat dan Britania Raya, ketinggian biasa diukur dalam satuan kaki, sedangkan di seluruh bagian dunia lain, ketinggian diukur dengan satuan meter. Diketahui bahwa 1 kaki sama dengan 12 inci dan 1 inci sama dengan 2,54 cm. Titik tertinggi di permukaan bumi adalah gunung Everest setinggi 8.848 meter. (Anonim, 2010) Ketinggian suatu tempat sangat mempengaruhi suhu. Semakin tinggi tempat dari permukaan laut, suhu udara semakin


26

rendah. Pada umumnya suhu udara turun 0,6° C setiap naik 100 meter dari permukaan laut. (Hadisumarno, 1987:44) b. Peta Secara etimologis, peta (Map) berasal dari bahasa Yunani mappa yang berarti tutup meja (table cloth). Peta dipandang sebagai penutup permukaan bumi, baik sebagian bumi yang terdiri dari berbagai kenampakan geografi di atasnya. Secara istilah peta adalah bola bumi yang dipaksa menjadi dataran atau representasi dua dimensi dari suatu ruang tiga dimensi (Anonim, 2010). Dengan kata lain, peta adalah gambaran permukaan bumi di atas bidang datar dalam ukuran diperkecil yang kebenarannya dapat dipertanggungjawabkan secara visual atau matematis yang menyajikan informasi tentang bumi (Mahyu, 2010). Gambar pembuatan peta dari bentuk bola (globe) ke bidang datar atau peta (Sutama, 14).

Gambar 2.22 : Pembuatan Peta dari Bentuk Bola ke Bidang Datar Syarat-syarat peta: peta harus rapi dan bersih, peta tidak boleh membingungkan, peta harus mudah dipahami, peta harus memberikan


27

gambaran yang sebenarnya (Anonim, 2010). Fungsi peta antara lain: menyeleksi data, memperlihatkan ukuran, menunjukkan lokasi relatif, memperlihatkan bentuk (Anonim, 2010). Di Indonesia lembaga yang berwenang membuat peta dasar Indonesia yaitu BAKOSURTANAL (Badan Koordinasi Survei dan Pemetaan Nasional). Menggunakan datum geodetik nasional Indonesia dalam membuat peta rupa bumi Indonesia. c. Skala Skala peta adalah merupakan perbandingan jarak antara dua titik di peta dengan jarak yang bersangkutan di permukaan bumi (jarak mendatar) (Handoko, 2004:7). Dengan kata lain, skala adalah angka yang menunjukkan perbandingan jarak sebenarnya dengan jarak pada peta (Anonim, 2002). Secara matematika dapat ditulis: Skala =

jarak sebenarnya jarak dalam peta

Cara menentukan skala pada peta yang belum berskala : 1) Membandingkan dua jarak tempat di peta dengan jarak kedua tempat di lapangan. 2) Membandingkan dengan peta lain yang luasnya sama dan telah diketahui skalanya. 3) Membandingkan kenampakan-kenampakan dalam peta yang sudah pasti ukurannya. (Anonim, 2003)


28

Terdapat beberapa cara untuk menyatakan skala peta, beberapa cara yang umum tersebut antara lain : 1) Dengan menuliskan hubungan antara jarak di peta dengan jarak di muka bumi dalam bentuk persamaan. Misalnya 1 cm = 100 m, hal ini berarti bahwa 1 cm di peta sesuai dengan 100 m di lapangan atau di permukaan bumi (jarak mendatar). Tipe skala ini disebut skala teknis (Engineer’s Scale). 2) Dengan menuliskan angka perbandingan. Misalnya 1 : 5000, hal ini mempunyai arti jika 1 cm di peta akan sama dengan 5000 cm di lapangan. Tipe skala ini disebut skala numeris (Numerical Scale). 3) Dengan menuliskan skala grafis. Suatu garis lurus dibagi ke dalam bagian-bagian yang sama, misalnya tiap bagian panjangnya 1 cm. Pada setiap ujung bagian garis dituliskan angka jarak yang sebenarnya, misal 1 km.

Gambar 2.23 : Skala Grafis

Ini berarti bahwa 1 cm di peta sesuai dengan 1 km dilapangan. Tipe skala ini di sebut skala grafis (Graphical Scale). Pada hakekatnya besar kecilnya skala suatu peta akan mencerminkan ketelitian serta banyaknya informasi yang disajikan. Misalnya kita mengukur jarak antara dua titik pada peta skala 1:5000 dan 1:20.000, kesalahannya 0,1 mm. Hal ini berarti, pada peta skala


29

1:5000 memberikan kesalahan sebesar 0,1 x 5000 mm = 500 mm = 0,5 meter sedangkan pada skala 1:20.000 memberikan kesalahan jarak 0,1 x 20.000 = 2 meter. Sedangkan informasi yang diberikan peta skala besar akan menginformasikan secara lebih lengkap dan mendetail dibandingkan dengan peta skala kecil. (Handoko, 2004:7 ; 8)

3. Kabupaten Banyumas Wilayah Kabupaten Banyumas terletak di sebelah barat daya dan merupakan bagian dari Propinsi Jawa Tengah. Terletak di antara garis bujur timur 108˚39΄17˝ sampai 109˚27΄15˝ dan di antara garis lintang selatan 7˚15΄05˝ sampai 7˚37΄10˝ yang berarti berada di belahan selatan garis khatulistiwa. Batas-batas Kabupaten Banyumas adalah : a Sebelah Utara

: Gunung Slamet, Kabupaten Tegal dan Kabupaten Pemalang.

b Sebelah Selatan

: Kabupaten Cilacap

c Sebelah Barat

: Kabupaten Cilacap dan Kabupaten Brebes

d Sebelah Timur

: Kabupaten Purbalingga, Kabupaten Kebumen dan Kabupaten Banjarnegara

Luas wilayah Kabupaten Banyumas sekitar 1.327,60 km2 atau setara dengan 132.759,56 ha, dengan keadaan wilayah antara daratan dan pegunungan dengan struktur pegunungan terdiri dari sebagian lembah Sungai Serayu untuk tanah pertanian, sebagian dataran tinggi untuk


30

pemukiman dan pekarangan, dan sebagian pegunungan untuk perkebunan dan hutan tropis terletak di lereng Gunung Slamet sebelah selatan. Bumi dan kekayaan Kabupaten Banyumas masih tergolong potensial karena terdapat pegunungan Slamet dengan ketinggian puncak dari permukaan air laut sekitar 3.400 m dan masih aktif. Keadaan cuaca dan iklim di Kabupaten Banyumas karena tergolong di belahan selatan khatulistiwa masih memiliki iklim tropis basah. Demikian Juga karena terletak di antara lereng pegunungan jauh dari garis pantai atau lautan maka pengaruh angin laut tidak begitu tampak, namun dengan adanya dataran rendah yang seimbang dengan pantai selatan angin hampir nampak bersimpangan antara pegunungan dengan lembah dengan tekanan rata-rata antara 1.001 mbs, dengan suhu udara berkisar antara 21,4˚C - 30,9˚C. (Anonim, 2010)

C. Pusat Wilayah dan Tinggi Rata – Rata 1. Pusat Pemerintahan dan Pusat Wilayah Pusat pemerintahan merupakan kompleks perkantoran pemerintah yang dilengkapi dengan hunian terbatas untuk rumah-rumah dinas pejabat (Sarwono, 2008). Contohnya Jakarta sebagai pusat pemerintahan Indonesia, kantor bupati sebagai pusat pemerintahan daerah dan kantor kecamatan sebagai pusat pemerintahan kecamatan. Sedangkan, pusat wilayah merupakan koordinat rata-rata di titik wilayah tertentu.


31

2. Penentuan

Lintang

dan

Bujur

Standar

Berdasarkan

Hasil

Pengukuran Badan Hisab dan Rukyat a. Hasil Pengukuran Badan Hisab dan Rukyat Adapun data lintang dan bujur 6 tempat hasil penelitian Badan Hisab dan Ruhyat adalah sebagai berikut: 1) Desa Cingebul Rt/ Rw : 03/ 01, Kecamatan Lumbir Desa tersebut merupakan batas paling barat Kabupaten Banyumas. Desa tersebut berada pada posisi:

 p (lintang pusat)

= 108º 53´ 29,1˝

λ p (bujur pusat)

= -7º 27´ 20,9˝

h p (tinggi pusat)

= 48 m

2) Desa Losari, Kecamatan Rawalo Desa tersebut berada pada posisi

p

= 109º 08´ 46,8˝

λp

= -7º 34´ 43,9˝

hp

= 28 m

3) Desa Kemutug Lor Rt/ Rw : 05/ 04 Kecamatan Baturraden Desa tersebut merupakan batas paling utara Kabupaten Banyumas. Desa tersebut berada pada posisi:

p

= 109º 13´ 52,2˝

λp

= -7º 18´ 47,7˝

hp

= 660 m


32

4) Masjid Agung Baitussalam Alun – Alun Purwokerto

p

=109º 13´ 41,8˝

λp

= -7º 25´ 29,2˝

hp

= 95 m

5) Grumbul Kedung Sampang desa Nusadadi Rt/ Rw : 03/ 01 Kecamatan Sumpiuh Desa tersebut merupakan batas paling selatan Kabupaten Banyumas. Desa tersebut berada pada posisi:

p

= 109º 23´ 06,1˝

λp

= -7º 39´ 31,3˝

hp

= 46 m

6) Desa Buniayu, Kecamatan Tambak Desa tersebut merupakan batas paling timur Kabupaten Banyumas. Desa tersebut berada pada posisi:

p

= 109º 26´ 42,4˝

λp

= -7º 37´ 15,4˝

hp

= 46 m

b. Penentuan Lintang dan Bujur Standar Kabupaten Banyumas Skala =

k =

t =

jarak sebenarnya jarak dalam peta

λj  λi Xj  Xi

j  i Yj  Yi


33

dengan:

k

= skala horisontal

t

= skala vertikal

λi, λj

= bujur tempat

i, j

= lintang tempat

Xi, Xj = absis tempat dalam peta Y i , Yj

= ordinat tempat dalam peta

Langkah-langkah dalam menentukan lintang dan bujur standar Kabupaten Banyumas sebagai berikut : 1) Menghitung Skala Horisontal Rata – Rata (krr) Rumus : k

=

jarak bujur tempat jarak absis peta

=

λj  λi Xj  Xi

=

Δλ ΔX k

 Δλ krr

=

n 1

n

k

 ΔX n 1

n

Tabel 2.1 Data Bujur No. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Posisi Cingebul Losari Kemutug Lor Masjid Baitussalam Purwokerto Kedung Sampang Buniayu

Bujur 108˚53΄29,1˝ 109˚08΄46,8˝ 109˚13΄52,2˝ 109˚13΄41,8˝ 109˚23΄61,2˝ 109˚26΄42,4˝

Absis 3 mm 523 mm 551 mm 570 mm 928 mm 994 m


34

Tabel 2.2 Perhitungan Jumlah Bujur dalam Derajat Kode j - i λj - λi Δ λn 2–1 109˚08΄46,8˝ - 108˚53΄29,1˝ 0˚15΄17,7˝ 3–1 109˚13΄52,2˝ - 108˚53΄29,1˝ 0˚20΄23,1˝ 4–1 109˚13΄41,8˝ - 108˚53΄29,1˝ 0˚20΄12,7˝ 5–1 109˚23΄06,1˝ - 108˚53΄29,1˝ 0˚29΄37,0˝ 6–1 109˚26΄42,4˝ - 108˚53΄29,1˝ 0˚33΄13,3˝ 3–2 109˚13΄52,2˝ - 109˚08΄46,8˝ 0˚05΄05,4˝ 4–2 109˚13΄41,8˝ - 109˚08΄46,8˝ 0˚04΄55,0˝ 5–2 109˚23΄06,1˝ - 109˚08΄46,8˝ 0˚04΄19,3˝ 6–2 109˚26΄42,4˝ - 109˚08΄46,8˝ 0˚17΄55,6˝ 4–3 109˚13΄41,8˝ - 109˚13΄52,2˝ - 0˚00΄10,6˝ 5–3 109˚23΄06,1˝ - 109˚13΄52,2˝ 0˚09΄13,9˝ 6–3 109˚26΄42,4˝ - 109˚13΄52,2˝ 0˚12΄50,2˝ 5–4 109˚23΄06,1˝ - 109˚13΄41,8˝ 0˚09΄24,3˝ 6–4 109˚26΄42,4˝ - 109˚13΄41,8˝ 0˚13΄00,6˝ 6–5 109˚26΄42,4˝ - 109˚23΄06,1˝ 0˚03΄36,3˝

No. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

15

  n 1

15

 Δλ n 1

n

n

3˚28΄54˝

 328'54' '  0 0'12534"


35

Tabel 2.3 Perhitungan Jumlah Bujur dalam Peta Kode Xj – Xi ΔXn (mm) j–i 2–1 523 – 3 520 3–1 551 – 3 548 4–1 570 – 3 567 5–1 928 – 3 925 6–1 994 – 3 991 3–2 551 – 523 28 4–2 570 – 523 47 5–2 928 – 523 405 6–2 994 – 523 471 4–3 570 – 551 19 5–3 928 – 551 377 6–3 994 – 551 443 5–4 928 – 570 358 6–4 994 – 570 424 6–5 994 – 928 66 6189

No. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 15

k rr 

  n 1 15

 x n 1



n

n

0 0'12534" = 2,025206"/mm = 2,02 "/mm 6189 mm

2) Menghitung Skala Vertikal Rata – rata (trr)

Rumus : t 

= =

Jarak l int ang tempat Jarak ordinat peta

j  i ji  Yi Δ ΔY k

 Δ trr =

n 1

n

k

 ΔY n 1

n


36

Tabel 2.4 Data Lintang No. Posisi 1. Kedung Sampang 2. Buniayu 3. Losari 4. Cingebul 5. Masjid Baitussalam Purwokerto 6. Kemutug Lor

Lintang -7˚39΄31,3˝ -7˚37΄15,4˝ -7˚34΄43,9˝ -7˚27΄20,9˝ -7˚25΄29,2˝ -7˚18΄47,7˝

Ordinat 1 mm 74 mm 109 mm 181 mm 359 mm 543 mm

Tabel 2.5 Perhitungan Jumlah Lintang dalam Derajat Kode j - i Δλn j-i 2–1 -7˚37΄15,4˝ + 7˚39΄31,3˝ 0˚02΄15,9˝ 3–1 -7˚34΄43,9˝ + 7˚39΄31,3˝ 0˚04΄47,4˝ 4–1 -7˚27΄20,9˝ + 7˚39΄31,3˝ 0˚12΄10,4˝ 5–1 -7˚25΄29,2˝ + 7˚39΄31,3˝ 0˚14΄02,1˝ 6–1 -7˚18΄47,7˝ + 7˚39΄31,3˝ 0˚20΄43,6˝ 3–2 -7˚34΄43,9˝ + 7˚37΄15,4˝ 0˚02΄31,5˝ 4–2 -7˚27΄20,9˝ + 7˚37΄15,4˝ 0˚09΄44,5˝ 5–2 -7˚25΄29,2˝ + 7˚37΄15,4˝ 0˚11΄46,2˝ 6–2 -7˚18΄47,7˝ + 7˚37΄15,4˝ 0˚18΄27,7˝ 4–3 -7˚27΄20,9˝ + 7˚34΄43,9˝ 0˚07΄23,0˝ 5–3 -7˚25΄29,2˝ + 7˚34΄43,9˝ 0˚09΄14,7˝ 6–3 -7˚18΄47,7˝ + 7˚34΄43,9˝ 0˚15΄56,2˝ 5–4 -7˚25΄29,2˝ + 7˚27΄20,9˝ 0˚01΄51,7˝ 6–4 -7˚18΄47,7˝ + 7˚27΄20,9˝ 0˚08΄33,2˝ 6–5 -7˚18΄47,7˝ + 7˚25΄29,2˝ 0˚06΄41,5˝

No. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

15

 Δ n 1

15

 Δ n 1

n

n

0˚138΄483,66˝

 0138' 483,66"  0 0' 8763, 66"


37

No. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Tabel 2.6 Perhitungan Jumlah Lintang dalam Peta Kode Y j  Yi Δ Yn j–i 2–1 74 – 1 73 3–1 109 – 1 108 4–1 181 – 1 180 5–1 359 – 1 358 6–1 543 – 1 542 3–2 109 – 74 35 4–2 181 – 74 107 5–2 359 – 74 285 6–2 543 – 74 469 4–3 181 – 109 72 5–3 359 – 109 250 6–3 543 – 109 434 5–4 359 – 181 178 6–4 543 – 181 362 6–5 543 – 359 184 15

 ΔY n 1

3637

n

15  Δ n n 1 0 0' 8763,66" = 2,4095848"/mm = 2,41 "/mm t rr   15 3637 mm  Δ Yn n 1 3) Menghitung Bujur Standar (Sumbu Y) Sumbu Y → absis X = 0 → λ0= ? k=

λj  λ0 λj  λi = Xj  Xi Xj  0

apabila k = krr, maka krr Xj = λj – λ0 λ0 = λj – krr Xj


38

Daerah yang dipergunakan dalam menghitung bujur standar yaitu Cingebul, dengan alasan bahwa Cingebul adalah daerah yang paling dekat dengan sumbu Y. Kasus Cingebul : λj

= 108° 53' 29,1"

Xj

= 3 mm

krr

= 2,02"/mm

sehingga, λ0

= 108° 53' 29,1" – (2,02"/mm x 3 mm) = 108° 53' 29,10" – 6,06"

λ0

= 108° 53' 23,04"

Jadi bujur standar (sumbu Y) adalah 108° 53' 23,04" 4) Menghitung Lintang Standar (Sumbu X) Sumbu X → ordinat Y = 0 → 0 = ? t=

j  i Yj  Yi

=

j  0 Yj  0

apabila t = trr, maka trr Yj = j – 0

0 = j – trr Yj Daerah yang dipergunakan dalam menghitung bujur standar yaitu Sampang, dengan alasan bahwa Sampang adalah daerah yang paling dekat dengan sumbu X. Kasus Sampang Nusadadi :

j

= -7° 39' 31,3"

Yj

= 1 mm

trr

= 2,41"/mm


39

sehingga, 0

0

= -7° 39' 31,3" – (2,41"/mm x 1 mm) = -7° 39' 33,71"

Jadi lintang standar (sumbu X) adalah -7° 39' 33,71" (Meita, 2008:76-84)

D. Program Matlab 1. Pengertian Matlab Matlab (matrix laboratory) merupakan program interaktif untuk melakukan perhitungan-perhitungan yang meliputi numerik ketehnikan, komputasi simbol, visualisasi, grafis, analisa data matematis, statistika, simulasi dan pemodelan. Matlab merupakan perangkat lunak (softwere) yang canggih, cukup lengkap dan bahasa pemprograman Matlab jauh lebih hebat dan lebih mudah dari bahasa pemprograman yang lain seperti Basic, Pascal, Delphi maupun C++. Matlab juga menyediakan sekelompok penyelesaian masalah untuk problem-problem khusus, yaitu yang disebut toolbox. Sebagai contoh versi mahasiswa, Matlab ini menyediakan Control System Toolbox, Signal Prosesing Toolbox, dan Simbolix Math Toolbox bahkan dapat membuat toolbox sendiri. Pemberian perintah dalam matlab, dalam pengetikan hurufnya membedakan antara huruf besar dan huruf kecil.


40

Macam-macam window dalam Matlab, antara lain : a. Command Windows Command windows muncul pada saat pertama kali membuka program Matlab. Dalam window ini dapat melaksanakan akses ke command Matlab, mengetik ekspresi Matlab, mengakses help window, dan sebagainya. Command window juga dapat mengakses barisan perintah yang telah ditulis pada baris prompt sekarang (dan di atasnya lagi) menggunakan tanda panah ke atas atau ke bawah. Untuk menyimpan perintah-perintah yang telah ditulis dan output yang telah ditampilkan di layar commad window, dapat dengan memanfaatkan command diary. Dalam command ini, perintah – perintah yang diberikan selalu disimpan antara sesi – sesi Matlab sehingga dapat memilih, mengeksekusi dan meneruskan sekelompok perintah dari pekerjaan sebelumnya. b. Windows M – File Fungsi-fungsi yang berguna dalam M-file, antara lain : disp

(ans)

menampilkan hasil tanpa menampilkan nama variabel

echo

mengatur jendela command dalam penampilakan kembali perintah yang sedang dikerjakan

input

meminta pemakai untuk memberikan input

pause

berhenti sampai pemakai menekan sembarang tombol


41

pause (n)

berhenti sampai ada penekanan tombol mouse atau tombol keyboard

clc

membersihkan jendela command

clear

menghapus variabel dan fungsi dari memori

%

memberikan

komentar

atau

keterangan

pada

perintah mMatlab , (tanda koma)

menampilkan hasil

; (titik koma)

mencegah penampilan hasil

c. Grafik Window Grafik window secara otomatis dibuka untuk menampilkan suatu grafik yang dibuat dengan Matlab. Penggambaran grafik ini dinamakan fplot. Fungsi tersebut mencari nilai-nilai fungsi yang akan digambar secara teliti dan meyakinkan dan diekspresikan dalam bentuk grafik hasil. d. Help Window dan Demo Window Pada window ini memuat petunjuk dan perintah-perintah yang dimiliki Matlab. Adapun, daftar command

yang ditampilkan

merupakan semua command Matlab standar dan semua toolbox yang di-instal dalam Matlab. Toolbox adalah suatu kumpulan M-file yang dibuat untuk analisis statistik, numerik dan lain-lain.

2. Operator Matlab Di bawah ini merupakan daftar operator dan karakter khusus pada Matlab, setiap operator mempunyai fungsi masing-masing.


42

Fungsi Plus Minus Times Mtimes Mpower Mldivide Mrdivide

Fungsi Eq Ne Lt Gt Le Ge

Tabel 2.7 Operator Aritmatik Operator Keterangan + Penjumlahan Pengurangan * Perkalian array .* mengalikan matriks elemen ke elemen ^ pemangkatan matrik \ pembagian kiri / pembagian kanan Tabel 2.8 Operator Rasional Operator Keteranagan == sama dengan ~= tidak sama dengan < kurang dari > lebih dari <= kurang dari atau sama dengan >= lebih dari atau sama dengan (Hanselman, 2001:368-369)

Variabel dengan arti khusus pada Matlab : disp

:menampilkan matrik atau teks

find

:mencari indek posisi elemen tak nol

pi

:nilai 3,1415926535897…

inf

:tak berhingga

end

:indeks terakhir

Fungsi matematika dasar : fix

:membulatkan bilangan ke bilangan bulat menuju nol.

mod

:menghitung nilai modulus (sisa pembagian bilangan bulat)

sqrt

:menghitung akar pangkat dua dari suatu bilangan (Peranginangin, 2006:23-26)


43

3. Struktur Kontrol Program Dalam matlab terdapat beberapa pernyataan pengendali untuk melakukan operasi yang menghasilkan nilai, antara lain : a. Perintah if … end, if … else … end, if … elseif … else … end Perintah if digunakan untuk mengambil keputusan instruksi yang harus dieksekusi berikutnya tergantung apakah ekspresi bernilai true atau false. Sintaksnya : Bentuk I if ekspresi instruksi1 intsruksi2 … interuksiN end

Keterangan :  ekspresi adalah pernyataan yang bernilai logika true atau false.  instruksi1, instruksi2, …, instruksiN merupakan instruksi yang akan dilaksanakan apabila bernilai true. Bentuk II if ekspresi blok statement1 else blok statement2 end

Keterangan :  ekspresi adalah pernyataan yang bernilai logika true atau false.  blok statement1 merupakan instruksi yang akan dilaksanakan apabila ekspresi bernilai true.  blok statement2 merupakan instruksi yang akan dilaksanakan apabila ekspresi bernilai false.


44

Bentuk III if ekspresi1 blok statement1 elseif ekspresi2 blok statement2 … elseif ekspresiN blok statementN else blok statement end

Keterangan :  ekspresi adalah pernyataan yang bernilai logika true atau false.  blok satement1 merupakan instruksi yang dilaksanakan apabila ekspresi1 bernilai true.  blok statement2 merupakan instruksi yang akan dilaksanakan apabila ekspresi2 bernilai true.  blok statement N merupakan instruksi yang akan dilaksanakan apabila ekspresiN bernilai true.  blok statement merupakan instruksi yang akan dilaksanakan apabila ekspresi1, ekspresi2, hingga ekspresiN bernilai false. b. Perintah for Perintah for digunakan untuk mengulang blok instruksi sebanyak jumlah tertentu. Sintaksnya : for indeks = awal : langkah : akhir blok instruksi end

Keterangan :  indeks adalah variabel yang digunakan untuk menampung jumlah perulangan yang akan dilakukan.  awal adalah nilai mulai perulangan dilakukan.  langkah adalah nilai pertambahan atau pengurangan yang dimulai dari nilai awal hingga nilai akhir. Default adalah nilai pertambahan sebesar 1.  akhir adalah nilai berhenti perulangan dilakukan.  blok instruksi adalah perintah-perintah yang akan dikerjakan selama perulangan.


BAB II LANDASAN TEORI. 1. Sistem Koordinat dalam Dimensi Dua. disebut absis. Sedangkan sumbu yang tegak adalah sumbu y dan disebut

Recommend Documents