BAB II KAJIAN TEORI 2.1 Hakekat Matematika Dari berbagai bidang studi yang di ajarkan di sekolah sampai perguruan tinggi matematika merupakan salah satu mata pelajaran pokok yang harus di ajarkan karena matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin ilmu dan memajukan daya pikir manusia. Menurut Bruner (Getrudis, 2013) belajar matematika merupakan suatu proses belajar tentang konsep-konsep dan struktur-struktur yang terdapat didalam materi pelajaran dan mencari hubungan-hubungan tentang konsep dan struktur-struktur matematika. Menurut Johnson dan Myklebust (dalam Abdurrahman, 2012: 202), matematika
adalah
bahasa
simbolis
yang
fungsi
praktisnya
untuk
mengekspresikan hubungan-hubungan kuantitatif dan keruangan sedangkan fungsi teoretisnya adalah untuk memudahkan berpikir. Menurut Herman Hudodo (dalam Wiyartimi dkk, 2010: 90) Matematika berkenaan dengan ide-ide strukturstruktur dan hubungannya diatur menurut urutan yang logis. Salah satu karakteristik dalam matematika adalah objek kajiannya yang abstrak. Sedangkan menurut Gegne dalam belajar matematika ada dua objek yang dapat di peroleh siswa yaitu objek langsung dan objek tidak langsung. Objek tidak langsung antara lain kemampuan menyelidiki dan memecahkan masalah, belajar mandiri, bersikap positif terhadap matematika dan lain sebagainya. Sedangkan objek langsung meliputi empat kategori yaitu: fakta, konsep, operasi dan prinsip.
6
Cockroft (dalam Abdurrahman, 2012: 204) mengemukakan bahwa matematika perlu di ajarkan kepada siswa karena (1) selalu di gunakan dalam segala segi kehidupan; (2) semua bidang studi memerlukan keterampilan matematika yang sesuai; (3) merupakan sarana komunikasi yang kuat, singkat, dan jelas; (4) dapat di gunakan untuk menyajikan informasi dalam berbagai cara; (5) meningkatkan kemampuan berpikir logis, ketelitian, dan kesadaran keruangan; dan (6) memberikan kepuasan terhadap usaha memecahkan masalah yang menantang. Berbagai alasan perlunya sekolah mengajarkan matematika kepada siswa pada hakikatnya dapat di ringkaskan karena masalah kehidupan sehari-hari. 2.2 Kesulitan Belajar Matematika Menurut Novila Rahmad (2012: 98) Dalam masalah kesulitan belajar yang di hadapai siswa, perlu di temukan dan di pastikan sumbernya dengan harapan dapat memecahkan masalahnya. Selain itu dapat di gunakan sebagai salah satu referensi penyusunan strategi pembelajaran akan dapat di gunakan dalam mengurangi atau menghilangkan kesulitan tersebut, guru juga perlu memahami beberapa alternative strategi memecahkan masalah kesulitan siswa. Ada beberapa sumber atau factor yang patut di duga sebagai penyebab utama kesulitan belajar siswa. Sumber itu dapat berasal dari dalam diri siswa sendiri maupun dari luar diri siswa. Dari dalam diri siswa dapat disebabkan oleh factor biologos maupun psikologis. Dari luar diri siswa, kesulitan belajar dapat bersumber dari keluarga (pendidikan orang tua, hubungan dengan keluarga, keteladanan keluarga, dan sebagainya), keadaan lingkungan dan masyarakat secara umum.
7
Menurut Sutisna (2010) kesulitan belajar matematika adalah suatu keadaan dimana siswa mendapatkan hambatan, gangguan, atau kendala-kendala dalam menerima dan menyerap pelajaran serta usaha mereka untuk memperoleh pengetahuan atau keterampilan dalam pelajaran matematika. Kesulitan tersebut cenderung terkait dengan objek matematika itu sendiri yang sifatnya abstrak, sehingga beberapa siswa sulit untuk memahaminya. Menurut Lerner (dalam Abdurrahman, 2012: 210) ada beberapa karakteristik anak berkesulitan belajar matematika, yaitu: (1) adanya gangguan dalam hubungan keruangan, (2) abnormalitas persepsi visual, (3) asosiasi visual-motor, (4) perseverasi, (5) kesulitan mengenal dan memahami symbol, (6) gangguan penghayatan tubuh, (7) kesulitan dalam bahasa dan membaca, (8) performance IQ jauh lebih rendah dari pada skor verbal IQ. Menurut Rachmadi (dalam Retno Dewi dkk, 2012: 54) beberapa pendekatan yang di gunakan dalam mengidentifikasi kesulitan belajar adalah sebagai berikut: (1) pendekatan prasarat pengetahuan atau kemampuan. Pendekatan ini di gunakan untuk mendeteksi kegagalan siswa dalam hal prasarat dalam satu kompotensi dasar tertentu; (2) pendekatan kesalahan konsep. Pendekatan ini di gunakan untuk mendiagnosis kegagalan siswa dalam hal kesalahan konsep. (3) pendekatan pengetahuan terstruktur. Pendekatan ini di lakukan untuk mendiagnosis ketidakmampuan siswa dalam memecahkan masalah terstruktur. Kemungkinan lain adalah tidak memahami prinsip-prinsip apa yang terlibat dalam masalah tersebut yang lebih dalam, juga tidak memahami konsep yang terkait.
8
Agar dapat membantu anak berkesulitan belajar matematika, guru perlu mengenal berbagai kesalahan umum yang dilakukan oleh anak dalam menyelesaikan tugas-tugas dalam bidang studi matematika. Beberapa kekeliruan umum tersebut menurut Lerner (dalam Abdurrahman, 2012: 213) kekurangan pemahaman tentang (1) symbol, (2) nilai tempat, (3) perhitungan, (4) penggunaan proses yang keliru, dan (5) tulisan yang tidak terbaca. 2.3 Proses Penyelesaian Soal Matematika Krulik dan Rudick (dalam Dian Septi, 2013: 99) menyatakan penyelesaian soal adalah suatu cara yang dilakukan seseorang dengan menggunakan pengetahuan, ketrampilan, dan pemahaman untuk memenuhi tuntutan dari siswa yang tidak rutin. Indikator penyelesaian soal matematika menurut Sumarno U (dalam Dian Septi, 2013: 99) yaitu : (a). mengidentifikasi unsur-unsur yang diketahui, yang ditanyakan, dan
kecukupan unsur yang diperlukan.
(b).
merumuskan penyelesaian matematika atau menyusun model matematika. (c). menerapkan strategi untuk menyelesaikan berbagai soal (sejenis dan soal baru) dalam atau luar matematika. menjelaskan atau menginterpretasikan hasil penyelesaian menggunakan matematika secara bermakna. Sedangkan menurut Polya menjelaskan langkah-langkah dalam menyelesaikan soal adalah: (a). Memahami soal. (b). Merencanakan penyelesaian soal. (c). Melaksanakan rencana penyelesaian soal. (d). Melihat kembali kebenaran penyelesaian soal yang telah dibuat.
9
2.4 Kesalahan Siswa dalam Menyalesaikan Soal Kesalahan
siswa
dalam
menyelesaikan
soal
berkaitan
dengan
ketidakmampuan belajar atau kemampuan belajar yang tidak sempurna. Menurut Woolfolk dan Mc. Cune-Nicolith (dalam Isnani Hastuti dkk, 2011: 2): “karakteristik ketidakmampuan belajar antara lain: kekacauan dalam bahasa dan pemahaman,
kekacauan dalam perhitungan
matematik,
kesulitan
dalam
pembentukan konsep, dan kekacauan dalam perhatian serta konsentrasi.” Pendapat Sleeman yang dikutip oleh Arti Sriati (dalam Isnani Hastuti dkk, 2011: 2) “Kesalahan dikelompokkan atas kesalahan tetap, kesalahan yang berkaitan dengan perhatian, kesalahan dalam aturan, kesalahan mengingat, kesalahan hitung, serta kesalahan tulis. Lebih lanjut Artti Sriati menyatakan: jenis kesalahan yang dilakukan siswa dalam menyelesaikan soal matematika antara lain: (1) kesalahan strategi, (2) kesalahan terjemahan, (3) kesalahan konsep, (4) kesalahan sistematik, (5) kesalahan hitung. Wiyartimi dkk (2010: 91) mengemukakan bahwa ada beberapa jenis kesalahan yang di lakukan siswa, yaitu: (a) Kesalahan
konsep,
yaitu
kesalahan
siswa
dalam
menafsirkan
dan
siswa
dalam
menafsirkan
dan
menggunakan konsep matematika (b) Kesalahan
prinsip,
yaitu
kesalahan
menggunakan rumus-rumus matematika (c) Kesalahan operasi, yaitu kesalahan siswa dalam menggunakan operasi dalam matematika
10
(d) Kesalahan karena kecerobohan, yaitu kesalahan siswa karena salah dalam perhitungan Menurut Newman (Clement, 1980) tipe-tipe kesalahan yang di lakukan siswa yaitu: kesalahan kerena kecerobohan atau kurang cermat dalam menyelesaikan soal matematika sering di jumpai kesalahan dalam proses penyelesaian di mana siswa tidak menguasai suatu konsep matematika dan siswa kurang menguasai tekhnik berhitung; kesalahan dalam keterampilan proses, siswa dalam menggunakan kaidah atau aturan sudah benar atau siswa sudah bisa menguasai konsep, tetapi siswa melakukan kesalahan dalam melakukan perhitungan atau komputasi; kesalahan memahami soal, tetapi belum menangkap informasi yang terkandung dalam pertanyaan, sehingga siswa tidak dapat menyelesaikan solusi dari permasalahan atau siswa tidak bisa menuliskan hasil akhir dari soal; kesalahan transformasi, siswa gagal dalam memahami soal-soal untuk di ubah ke dalam kalimat matematika yang benar; kesalahan dalam menggunakan notasi, dalam hal ini siswa melakukan kesalahan dalam menggunakan notasi yang benar, di dalam mengerjakan siswa menggunakan notasi yang salah; kesalahan membaca, siswa melakukan kesalahan dalam membaca kata-kata penting dalam pertanyaan atau siswa salah dalam membaca informasi utama, sehingga siswa tidak menggunakan informasi tersebut untuk menyelesaikan soal.
11
Table 1 indikator kesalahan menurut Newman (dalam Clement, 1980) Jenis kesalahan
Indikator
Kesalahan karena kecerobohan atau Tidak menguasai konsep, dan siswa kurang cermat
kurang menguasai tekhnik berhitung
Kesalahan keterampilan proses
Siswa sudah menguasai konsep tetapi siswa
salah
dalam
melakukan
perhitungan atau komputasi Kesalahan dalam memahami soal
Siswa belum menangkap informasi yang terkandung dalam pernyataan sehingga siswa tidak dapat memproses lebih lanjut dari permasalahan
Kesalahan mentransformasikan
Siswa gagal dalam mengubah ke kalimat matematika yang benar
Kesalahan menggunakan notasi
Siswa salah dalam menggunakan tanda notasi
Kesalahan membaca soal
Siswa salah dalam membaca kata-kata penting dalam pernyataan
Jadi, berdasarkan uraian jenis-jenis kesalahan oleh beberapa ahli, maka peneliti mengambil kesimpulan ada beberapa jenis kesalahan yang digunakan sebagai indikator, yaitu: 1. Kesalahan konsep dan tekhnik perhitungan 2. Kesalahan perhitungan 12
3. Kesalahan dalam memehami soal 4. Kesalahan menggunakan notasi 2.5 Analisis Kesalahan Siswa dalam Menyelesaikan Soal Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI), Analisis adalah penguraian suatu pokok atau berbagai bagiannya dan menelaah bagian itu sendiri serta hubungan antara bagaian untuk memperoleh pengertian yang tepat dan pemahaman arti keseluruhan. Analisis kesalahan sebagai prosedur kerja mempunyai langkah-langkah tertentu. Menurut Tarigan (Getrudis, 2013) langkahlangkah tersebut adalah: (1) mengumpulkan data kesalahan, (2) mengidentifikasi dan mengklarifikasi kesalahan, (3) menjelaskan kesalahan, (4) mengoreksi kesalahan. Kesalahan siswa dalam menyelesaikan soal perlu di analisis untuk mengetahui kesalahan apa saja yang banyak dilakukan dan mengapa kesalahan tersebut dilakukan siswa. Melalui analisis kesalahan akan diperoleh gambaran yang jelas dan rinci atas kelemahan-kelemahan siswa dalam menyelesaikan soal. Kesalahan yang dilakukan oleh siswa dapat digunakan sebagai bahan pertimbangan pengajaran dalam usaha meningkatkan kegiatan belajar dan mengajar. Adanya peningkatan kegiatan belajar dan mengajar diharapkan dapat memperbaiki hasil belajar atau prestasi belajar siswa. 2.6 Tinjau Materi Matriks SMA a. Pengertian matriks Matriks adalah kumpulan bilangan atau unsure yang di susun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan tersebut di sebut elemen-elemen atau
13
komponen-komponen matriks. Nama sebuah matriks dinyatakan dengan huruf kapital. Banyak baris X banyak kolom dari suatu matriks disebut ordo matriks atau ukuran matriks (Wilson Simangunsong, 2012: 245). Contoh:
[
baris 1 baris 2 baris 3 baris 4
]
Kolom Kolom 1 2
Matriks A terdiri dari 4 baris dan 2 kolom. Oleh karena itu matriks A dikatakan berordo 4 x 2, atau matriks A dapat di tulis dengan A(4x2) (Pesta dkk, 2008: 52). Secara umum matriks dapat di tulis dengan
A=[
]=(
)
Dan dalam hal ini aij di sebut elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j (Wilson Simangunsong, 2012: 245). b. Beberapa jenis matriks khusus 1. Matriks nol (0) Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol (Pesta dkk, 2008: 53). 2. Matriks Bujur Sangkar
14
Matriks bujur sangkar adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya. (Wilson Simangunsong, 2012: 246) 3. Matriks Diagonal Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen di luar diagonal utamanya bernilai nol. (Pesta dkk, 2008: 54). 4. Matriks Skalar Matriks skalar adalah matriks diagonal yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai sama (Wilson Simangunsong, 2012: 246). 5. Matriks Identitas Matriks identitas adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0 (Pesta dkk, 2008: 54). 6. Matriks Segitiga Atas Matriks segitiga atas adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol (Wilson Simangunsong, 2012: 247). 7. Matriks Segitiga Bawah Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya bernilai nol (Pesta dkk, 2008: 54). 8. Transpos Matriks Transpos matriks A atau (At) adalah sebuah matriks yang disusun dengan cara menuliskan baris ke-i matriks A menjadi kolom ke-i dan sebaliknya, menuliskan kolom ke-j matriks A menjadi baris ke-j (Pesta dkk, 2008: 54).
15
a. Operasi Pada Matriks 1.
Penjumlahan dan Pengurangan Dua Matriks Matriks A dan B dapat di jumlahkan dan di kurangkan jika kedua matriks
tersebut berukuran sama. Hasil penjumlahannya adalah sebuah matriks yang di peroleh dengan menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang seletak (Wilson Simangunsong, 2012: 248). A=(
)
dan B = (
)
A+B=(
)
+(
=(
A–B=(
)
(
Jika
) )
=(
maka ) )
Sifat-sifat : A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) 2. Perkalian Skalar dengan Matriks Jika scalar di kalikan dengan matriks, maka akan di peroleh sebuah matriks yang elemen-elemennya merupakan perkalian scalar tersebut dengan setiap elemen matriks. Jika A = (
)
maka k . A = (
(Wilson Simangunsong, 2012: 249). Sifat-sifat : kA = A . k k (A + B) = k . A + k . B k (A - B) = k . A - k . B
16
)
=(
)
3. Perkalian Dua Matriks Matriks A dapat di kalikan dengan matriks B, ( A x B ), jika banyak kolom A = banyak baris B. missal
dan
maka
, dengan
elemen-elemen C merupakan penjumlahan dari hasil kali elemen beris A dengan elemen kolom B yang bersesuaian (Wilson Simangunsong, 2012: 250). Jika A = (
)
dan B = (
)
maka
dengan :
∑
[
]
= [
] [
]
mxn
Sifat-sifat :
AxB≠BxA
(A x B) x C = A x (B x C)
b. Determinan Matriks Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang disebut determinan. Determinan dari matriks persegi A dinotasikan dengan | | . Untuk matriks A berordo 2 x 2, determinan matriks A didefinisikan sebagai berikut (Pesta dkk, 2008: 69). Jika A = [
] maka determinan A adalah :
17
| |
[
]
Adapun untuk matriks B berordo 3 x 3, determinan matriks B ini didefinisikan sebagai berikut menggunakan kaidah Sarrus. (-) (-) (-) Jika B = [
]
|
|
(+)(+)(+)
Determinan dari Matriks-Matriks Khusus (Wilson Simangunsong, 2012: 251):
Matriks Diagonal: |
Matriks Segi Tiga Atas: |
Matriks Segi Tiga Bawah: |
Matriks singular: |
Matriks singular: |
|
|
|
|
|
c. Invers Matriks Matriks yang tidak singular mempunyai invers. Invers matriks A di notasikan dengan A-1, dan secara umum di rumuskan dengan (Wilson Simangunsong, 2012: 252) 18
Invers matriks (3 x 3): | |
(
)
Invers matriks (2 x 2): Jika A = [
] maka invers matriks A adalah: [
]
Sifat-sifat : (
)
2.7 Penelitian yang Relevan Penelitian yang relevan dengan penelitian ini adalah penelitian yang dilakukan oleh Meylan Inggriani Otay pada tahun 2013 dengan judul “Analisis Kesalahan Siswa Dalam Menyelesaikan Soal-Soal Pada Materi Garis Singgung Lingkaran”. Pada penelitian ini, Meylan menemukan kesalahan-kesalahan
yang di
lakukan siswa dalam menyelesaikan soal-soal garis singgung lingkaran seperti: (1) Kesalahan konsep, hal ini terjadi karena siswa kurang cermat dalam menentukan teorema dan rumus. (2) Kesalahan menggunakan data, hal ini terjadi karena siswa salah dalam menggunakan data yang seharusnya di gunakan. (3) Kesalahan tekhnis, kesalahan ini terjadi karena siswa salah perhitungan dan manipulasi data. (4) Kesalahan penarikan kesimpulan terjadi karena siswa menyatakan kesimpulan yang kurang benar dan kurang logis. Faktor sumber
19
kesalahan lainnya adalah kurangnya pemahaman materi, kurang teliti, tergesagesa dalam menyelesaikan soal, dan lupa konsep. Berdasarkan hasil penelitian yang relevan ini, maka dapat ditarik kesimpulan bahwa terdapat persamaan dan perbedaan dengan penelitian ini. Persamaannya adalah kedua penelitian ini menggunakan metode deskriptif dan hanya memiliki satu variabel yang di ukur yaitu “kesalahan siswa dalam menyelesaikan soal” dan kedua hasil penelitian ini menunjukkan bahwa kesalahan yang paling banyak di lakukan siswa adalah kesalahan konsep. Sedangkan perbedaannya adalah materi yang di ujikan oleh meylan adalah garis singgung lingkaran sedangkan pada penelitian ini materi yang di ujikan adalah materi matriks, selanjutnya untuk indikator kesalahan pada penelitian yang dilakukan oleh meylan terdiri dari: Kesalahan konsep, kesalahan menggunakan data, kesalahan tekhnis (kesalahan perhitungan) , dan kesalahan penarikan kesimpulan. Sedangkan pada penelitian ini indikator kesalahannya terdiri dari: Kesalahan konsep, kesalahan perhitungan, kesalahan dalam memahami soal, dan kesalahan menggunakan notasi. Sehingga dari kedua penelitian ini terdapat dua indikator kesalahan yang berbeda.
20
