BAB II DASAR TEORI. Kinematika adalah ilmu yang mempelajari gerak relatif yang meliputi

Tugas Akhir - Konstruksi Mesin Teknik Mesin – FT - UMB

BAB II DASAR TEORI 2.1 Tinjauan Umum. Kinematika adalah ilmu yang mempelajari gerak relatif yang meliputi penentuan lintasan, kecepatan dan percepatan tanpa memperhitungkan besaran gaya yang menimbulkan gerak tersebut. Benda-benda bebas yang bersama-sama membentuk suatu mekanisme dikatakan menjadi penghubung- penghubung (links). Kombinasi dari dua link yang berhubungan merupakan suatu pasangan kinematika (kinematic pair) atau joint. Suatu himpunan link yang saling berhubungan disebut rangkaian kinematika (chain). Suatu mekanisme dibentuk jika, minimal ada satu link dari rangkaian kinematika bertahan tetap / tidak bergerak, dan beberapa link lainnya pada rangkaian kinematika tersebut dapat bergerak terhadap link yang tetap (fixed link) disebut ground atau frame. Jika suatu link dari suatu mekanisme bergerak pada suatu bidang atau bidang-bidang yang sejajar maka mekanisme tersebut disebut planar mechanism dan jika beberapa link mengalami gerakan pada ruang 3D maka disebut sebagai spatial mechanism.

__________________________________________________________________ 5


2.2 Vektor. 2.2.1 Notasi Geometri Vektor. Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah, secara diagram besaran vektor digambar dengan anak panah (→). Untuk vektor dengan arah dari titik A ke titik B maka penulisan vektor tersebut adalah AB (dengan anak panah diatas huruf) atau dengan huruf tebal. Panjang anak panah merupakan besaran vektor, sedangkan arah anak panah merupakan arah vektor.

AB

r a

B

a

A Gambar 2.1 Notasi geometri vektor. 2.2.2 Notasi Analitis Vektor. Notasi analitis adalah notasi vektor tanpa menggambarnya, dalam koordinat kartesian vektor arah /vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu dan arahnya sesuai dengan yang didefinisikan. Misalnya dalam koordinat kartesian i, j, k, yang masing masing menyatakan vektor dengan arah sejajar sumbu x, sumbu y dan sumbu z. y

z k y j x

ay

i

r a ax

x

(b)

(a) Gambar 2.2 Notasi analitis vektor.

__________________________________________________________________ 6


r Sehingga vektor a pada gambar 2.2 (a) dapat dituliskan sebagai berikut r r r a = axi + ayj, dan besaran vector a adalah sebagai berikut a = a x2 + a y2 , ax merupakan besar komponen vektor a dalam arah sumbu x, sedangkan ay merupakan besar komponen vektor a dalam arah sumbu y. 2.2.3 Operasi Vektor. Seperti halnya besaran maka vektor juga mempunyai operasi matematika seperti penjumlahan, pengurangan dan perkalian yang mempunyai aturan-aturan tertentu. 2.2.3.1 Penjumlahan dan Pengurangan Vektor. Penjumlahan dan pengurangan vektor dapat dilakukan dengan aturan segitiga atau aturan jajaran genjang serti pada gambar 2.3 atau dapat juga dengan menjumlahkan/mengurangi komponen vektor pada sumbu yang sama.

r r a ±b P

r a

R r b

Q

Gambar 2.3 Operasi penjumlahan dan pengurangan vektor. Sebagai contoh pada gambar 2.3 maka notasinya dituliskan sebagai berikut

r r a + b = PQ + QR = PR , sedangkan contoh penjumlahan untuk vektor notasi r r analitis adalah sebagai berikut vektor a dengan notasi a = a x j + a y k + a z k , r r vektor b dengan notasi b = bx j + b y k + bz k , maka penjumlahanya adalah sebagai r r berikut a ± b = (a x ± b x )i + (a y ± b y ) j + (a y + b y )k . Pada penjumlahan vektor

r r r r berlaku hukum komutatif ( a + b = b + a ) dan juga berlaku hukum asosiatif r r r r r r ( a + b ) + c = a + (b + c ) .

__________________________________________________________________ 7


2.2.3.2 Perkalian Vektor. Perkalian vektor dapat dilakukan antara besaran vektor dengan besaran vektor dan antara besaran skalar dengan besaran vektor, untuk besaran vektor dengan besaran vektor dapat dilihat sebagai berikut :

 a1  b  r  1 r r r   Jika a =  a 2  dan b =  b2  maka a ⋅ b = a1b1 + a 2 b2 + a3b3 a  b   3  3

r a

α

r b

Gambar 2.4 Sudut antara dua vektor. Sedangkan pada gambar 2.4 maka besaran sudut (α) dapat dihitung dengan rumus

r r r r sebagai berikut a ⋅ b = a b cos α . Sedangkan untuk perkalian besaran skalar

dengan besaran vektor dapat dilihat sebagai berikut :  a1   a1   ka1      r   r Jika k adalah besaran skalar dan vektor a =  a 2  maka k ⋅ a = k  a 2  =  ka 2  a   a   ka   3  3  3 2.2.3.3 Besaran Panjang Vektor.

Besaran panjang vektor dapat dinotasikan sebagai berikut :  a1  r r   jika a =  a 2  maka panjang vektor sebagai berikut a = a12 + a 22 + a32 atau a   3 a  b  r  1 r  1 jika P =  a 2  dan Q =  b2  maka panjang PQ = (b1 − a1 ) + (b2 − a 2 ) + (b3 − a3 ) a  b   3  3

__________________________________________________________________ 8


2.2.3.4 Besaran Sudut Antara Dua Vektor.

Besaran sudut antara dua vektor dapat dirumuskan, misalkan α adalah

r r sudut diantara dua vektor a dan b maka besaran sudut antara dua vektor dapat dirumuskan sebagai berikut :

  α = cos    −1

r r a ⋅b r r a ⋅b

  a1b1 + a 2 b2 + a3 b3  −1  atau α = cos   a2 + a2 + a2 ⋅ b2 + b2 + b2 2 3 1 2 3  1 

   

2.3. Lintasan dan Kecepatan Linier.

Suatu partikel yang bergerak mempunyai arah dan besar lintasan, lintasan suatu partikel dapat didefinisikan sebagai perubahan posisi partikel tersebut, sedangkan besarnya lintasan merupakan perbedaan jarak antara posisi awal dan posisi akhir partikel tersebut. Sebagai ilustrasi paga gambar 4.5 terlihat titik Q bergerak dari A ke B.

Gambar 2.5 Lintasan titik Q dari A ke B. Vektor dan besaran lintasan linier dinyatakan dalam fungsi x dan y. __________________________________________________________________ 9


∆s = ∆x + → ∆y

∆s =

(∆x )2 + (∆y )2

Arah lintasan dinyatakan sebagai berikut :  ∆x    ∆y 

α = tan −1 

Kecepatan linier suatu titik yang bergerak pada lintasannya adalah perubahan posisi dibagi dengan perubahan waktu, secara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut : V = lim

∆x →0

∆s ds = ∆t dt

Dimana jarak lintasaan s adalah fungsi dari waktu t dan kecepatan adalah gradient dari lintasan AB atau garis singgung pada tititk A.

2.4 Perpindahan Sudut dan Kecepatan Sudut. Perpindahan sudut suatu titik didefinisikan sebagai perubahan posisi titik dengan jarak yang tetap terhadap suatu titik lain atau disebut rotasi. Sebagai ilustrasi pada gambar 2.6 dapat dilihat suatu titik Q pada roda yang berputar terhadap sumbu O.

Gambar 2.6 Lintasan Gerak Rotasi

__________________________________________________________________ 10


Titik Q adalah posisi awal dan bergerak ke posisi Q’ dengan lintasan sudut OQ sebesar ∆θ dengan selang waktu ∆t , sehingga kecepatan sudut dari roda dapat dinyatakan dengan persamaan sebagai berikut :

ω = lim

∆t → 0

∆θ dθ = ∆t dt

Dengan jari-jari roda R sama dengan panjang OQ sehingga panjang lintasan dari Q ke Q’ sebesar R ∆θ , dengan θ adalah besar sudut yang dinyatakan dalam satuan radian, sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut ; V = lim

∆t → 0

∆s R∆θ dθ = lim =R 0 ∆ t → ∆t ∆t ∆t

Sehingga didapat hubungan antara kecepatan linier dengan kecepatan sudut sebagai berikut : V = ωR

Dimana ω adalah kecepatan sudut dengan satuan rad/detik, mengingat bahwa satu putaran adalah 2 π radian maka untuk kecepatan sudut dengan satuan dalam putaran per menit (rpm) seperti pada umumnya dinyatakan dengan persamaan sebagai berikut :

ω=

2π n 60

Dikarenakan kecepatan sudut semua titik pada suatu benda adalah sama dan keceptan linier suatu titik adalah berbanding linier terhadap jari-jarinya maka didapat perbandingan sebagai berikut : VA RA = VB RB

__________________________________________________________________ 11


2.5 Percepatan Linier dan Percepatan Sudut. Sebuah titik atau partikel yang bergerak lurus dapat mempunyai percepatan. Percepatan linier adalah perubahan kecepatan ∆V dalam selang waktu ∆t , atau dalam persamaan sebagai berikut :

∆V dV = ∆t → 0 ∆t ∆t

A = lim

Dengan demikian dapat disimpulkan hubungan antara lintasan dan percepatan linier adalah sebagai berikut : A=

d 2s dt 2

Sedangkan untuk banda yang berputar dengan kecepatan sudut α berlaku hubungan sebagai berikut :

ω=

dθ dt

Untuk hubungan antara sudut θ dengan percepatan sudut α adalah sebagai berikut :

α=

d 2θ dt 2

2.6 Gerakan Absolut dan Gerakan Relatif. Gerakan relatif suatu benda terhadap benda lain adalah gerak benda terhadap benda lain yang dianggap diam, jika kedua benda tersebut masingmasing bergerak maka mereka mempunyai berbedaan dalam gerak absolutnya. Sebagai ilustrasi lihat gambar di bawah ini.

__________________________________________________________________ 12


Gambar 2.7 Kecepatan relative dan absolut Dari gambar 2.7 didapat kecepatan absolut benda b adalah 40 Km/ jam kearah kanan, sedangkan kecepatan relatif benda b terhadap benda a adalah 10 Km/jam kearah kiri.

2.7 Derajat Kebebasan. Derajat kebebasan menunjukan jumlah kemungkinan pegerakan secara bersamaan, pada gambar 2.8 ditunjukan gerakan yang terjadi adalah gerakan translasi arah x dan –x, gerakan rotasi θ x dan - θ x pada sumbu x, sedangkan pada sumbu y gerakan translasi arah y dan –y, gerakan rotasi θ y dan - θ y, untuk sumbu z gerakan terjadi adalah translasi arah z dan –z, gerakan rotasi θ z dan - θ z.

Gambar 2.8 Derajat kebebasan __________________________________________________________________ 13


Suatu rangkaian mekanisme juga mempunyai derajat kebebasan, dan jumlah derajat kebebasan suatu mekanisme dapat ditentukan dengan persamaan berikut :

x = (3n − 1) − 2 j − h Dimana : x

= Jumlah derajat kebebasan

n

= Jumlah batang hubung

j

= Jumlah sambungan

h

= jumlah pasangan tinggi

2.8 Cam. 2.8.1 Jenis-Jenis Cam. Cam adalah elemen mesin yang bentuknya tidak umum, yang berkerja sebagai penggerak yang menggerakkan sebuah elemen mesin yang disebut

follower, yang dapat menggelinding atau meluncur di atasnya. Pada gambar 2.9 ditunjukan berbagai macam jenis cam.

Gambar 2.9 Tipe-tipe dari Cam

__________________________________________________________________ 14


Dari gambar di atas Cam dapaat diklasifikasikan menurut arah perpindahan dari

follower sehubungan dengan sumbu atau osilasi dari cam dapat dibagi menjadi dua yaitu disc atau radial cam merupakan cam yang permukaan kerjanya berbentuk osilasi dari follower merupakan bidang yang tegak lurus sumbu cam (seperti pada gambar 2.9 a, b, c, d, e, f), sedangkan yang ke dua yaitu silindrical Cam merupakan cam yang permukaan kerja cam berbentuk osilasi dari follower merupakan bidang yang sejajar sumbu cam (seperti pada gambar 2.9 g, h)

2.8.2 Diagram Perpindahan Gerak Cam. Diagram perpindahan gerak adalah grafik yang menunjukan perpindahan gerak dari follower yang digambarkan sebagai fungsi waktu. Pada gambar 2.10 ditunjukan contoh dari diagram perpindahan gerak, sudut-sudut putaran cam digambarkan sepanjang garis sumbu mendatar, dan panjang diagram dinyatakan

Gerak (lintasan)

satu putaran cam.

Kecepatan

Putaran cam θ atau waktu (a)

Percepatan

(b)

(c)

Gambar 2.10 Contoh diagram perpindahan gerak __________________________________________________________________ 15


Empat macam gerakan dari follower yang umum adalah sebagai berikut : a. Percepatan yang konstan b. kecepatan yang dimodifikasi c. Harmonis sederhana d. Sikloidal

2.9 Trigonometri dan Turunannya. 2.9.1 Teorema Pitagoras Sebuah segitiga siku-siku seperti pada gambar 2.11 mempunyai sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku (yaitu sisi c) disebut sisi miring, sedangkan sisi (b) sebagai sisi yang berhadapan, dan sisi (a) merupakan sisi yang mengapit.

Gambar 2.11 Segitiga siku-siku Teorema Pythagoras menyatakan pada setiap segitiga siku-siku, kuadrat dari sisi miring sama dengan jumlah dari kuadrat kedua sisi lainnya. Sehingga c2 = a 2 + b2 .

2.9.2 Perbandingan dasar Trigonometri Berdasarkan pada gambar 2.11 dapat dinyatakan :

sin θ =

sisi yang berhadapan b = sisi miring c

__________________________________________________________________ 16


cos θ =

sisi yang mengapit a = sisi miring c

tan θ =

sisi yang berhadapan b = sisi yang mengapit a

cos ecan θ =

sisi miring c 1 = = sisi yang berhadapan b sin θ

sec ant θ =

sisi miring c 1 = = sisi yang mengapit a cos θ

cot an θ =

sisi yang mengapit a 1 = = sisi yang berhadapan b tan θ

2.9.3 Rumus-Rumus Trigonometri Identitas.

Didalam trigonometri terdapat rumus-rumus identitas yaitu : Identitas quotient sin θ = tan θ cosθ

,

cosθ = cot θ sin θ

Identitas pitagoras 2

2

sin θ + cos θ = 1 ,

2

2

1 + cot θ = csc θ ,

2

2

tan θ + 1 = sec θ

Identitas sudut negatif cos(−θ ) = cosθ , csc(−θ ) = -cscθ sin( −θ ) = -sinθ , sec( −θ ) = secθ tan(−θ ) = -tanθ , cot(−θ ) = -cotθ

Identitas setengah sudut θ 1 - cosθ sin = ± 2 2 θ 1 + cosθ cos = ± 2 2 1 - cosθ θ tan = ± (catatan : cosθ ≠ -1) 2 1 + cosθ θ sin θ tan = (catatan : cosθ ≠ -1) 2 1 + cosθ __________________________________________________________________ 17


tan

θ 2

=

1 - cosθ sin θ

(note : sinθ ≠ 0)

Identitas sudut rangkap sin(2θ ) = 2sinθ cosθ 2 tanθ tan(2θ ) = (catatan : tanθ ≠ ± 1) 1 - tan2θ 2 cos(2θ ) = cos θ - sin2θ cos(2θ ) = 2cos2θ − 1 cos(2θ ) = 1 - 2sin2θ

Identitas jumlah dan selisih sudut sin(α ± β ) = sin α cosβ ± cosα sinβ cos(α ± β ) = cos α cosβ m sinα sinβ tan α ± tan β tan (α ± β ) = 1 m tan α tan β 1 sin α sinβ = cos(α - β ) - cos(α + β ) 2 1 cos α cosβ = cos(α - β ) + cos(α + β ) 2 α ±β α mβ sin α ± sinβ = 2sin cos 2 2 α +β α −β cos α + cosβ = 2cos cos 2 2 α +β α −β cos α − cosβ = -2sin sin 2 2

Identitas lainnya π  sin θ = cos − θ  2  π  cos θ = sin  − θ  2 

sin2θ =

sin2

θ 2

=

1- cos2θ 2 1- cosθ 2

π  tan θ = cot − θ  2  π  cscθ = sec − θ  2 

cos2θ =

cos2

θ 2

=

1+ cos2θ 2 1+ cosθ 2

π  sec θ = csc − θ  2 

tan2θ =

tan2

θ 2

=

1- cos2θ 1+ cos2θ 1- cosθ 1+ cosθ

__________________________________________________________________ 18


2.9.4 Turunan Fungsi Trigonometri.

Turunan dari sebuah fungsi f dengan variabel x atau f(x) adalah fungsi lain yang dinotasikan dengan f ’(x). Jika kita menuliskan y = f(x),

dy adalah dx

koefisien turunan (diferensial) untuk fungsi f(x). Untuk turunan trigonometri dapat dirumuskan sebagai berikut : sin(x + ∆x) - sin x ∆x → 0 ∆x x + ∆x - x x + ∆x + x 2 sin cos 2 2 = lim ∆x → 0 ∆x ∆x    sin  2 . cos  x + ∆x  = lim  ∆x → 0  ∆x  2     2   = 1. cos(x + 0) = cos x

y = sin x ⇒ y′ = lim

Analog y = cos x ⇒ y′ = −sin x. u u ′v − uv′ sin x dengan mengingat ( )′ = cos x v v2 cos x.cos x - sin x(-sin x) ⇒ y′ = (cos x) 2

y = tan x ⇒ y =

=

cos 2 x + sin 2 x 2

=

1 2

= sec 2 x

cos x cos x Analog y = cot x ⇒ y′ = −csc2x 1 y = sec x ⇒ y = cos x 0. cos x - 1 . (-sin x) sin x 1 y′ = = . 2 cos x cos x cos x = tan x . sec x Analog y = csc x ⇒ y′ = −cot x csc x

Dapat disimpulkan turunan dari fungsi trigonometri adalah sebagai berikut : y = sin x ⇒ y′ = cos x y = cos x ⇒ y′ = −sin x y = tan x ⇒ y′ = sec2x

y = cot x ⇒ y′ = −csc2x y = sec x ⇒ y′ = sec x tan x y = csc x ⇒ y′ = - csc x cot x.

__________________________________________________________________ 19


2.10 Bilangan Komplek. 2.10.1 Pengertian Bilangan Komplek Kartesian. Bilangan komplek terdiri dari sumbu x dan sumbu y, sistem koordinat bilangan komplek terdiri dari sumbu riil dan sumbu imajiner, dimana sumbu riil terletak pada sumbu horizontal (sumbu x), dan sumbu imajener terletak pada sumbu vertical (sumbu y). secara umum bilangan komplek dinyatakan dalam bentuk z = a + ib

Gambar 2.12 Sumbu riil dan sumbu imajiner dimana a dan b adalah bilangan riil dan j adalah unit bilangan imajiner yang dipenuhi oleh persamaan : j = −1

Secara umum, komponen riil bilangan komplek z dinyatakan sebagai Re(z) dan komponen imajiner dinyatakan Im(z). Adapun panjang vektor z adalah harga absolut bilangan komplek yang dinyatakan dalam bentuk z .

r = z = a2 + b2 Atau

__________________________________________________________________ 20


r = z = Re( z ) 2 + Im( z ) 2

Arah vektor bilangan komplek z dinyatakan dengan menggunakan persamaan sebagai berikut :  Im( z )  b  = tan −1   a  Re( z ) 

θ = tan −1 

2.10.2 Pengertian Bilangan Komplek Polar.

Bilangan komplek bila dinyatakan dalam bentuk polar dapat dituliskan dengan persemaan sebagai berikut :

Gambar 2.13 Bilangan komplek dalam bentuk polar z = r (cos θ + i sin θ )

Dengan : b x = cos θ , y = sin θ , θ = tan −1   , a 2 + b 2 = r 2 a

2.10.3 Sifat dan Operasi Aljabar Bilangan Komplek.

Bilangan komplek mempunyai operasi aljabar sebagai berikut : Misalkan z1 = x1 + iy1 dan z 2 = x 2 + iy 2 . Penjumlahan :

__________________________________________________________________ 21


z1 + z 2 = ( x1 + x 2 ) + i ( y1 + y 2 ) Pengurangan :

z1 − z 2 = (x1 − x 2 ) + i ( y1 − y 2 ) Perkalian :

z1 z 2 = ( x1 + iy1 ) ( x 2 + iy 2 ) = ( x1 x 2 − y1 y 2 ) + i ( x1 y 2 + x 2 y1 )

Pembagian :

z1 x x + y1 y 2 x y −x y = z1 z 2−1 = 1 22 + i 2 21 1 2 2 , z 2 ≠ 0 2 z2 x2 + y 2 x2 + y2 Bilangan komplek mempunyai sifat aljabar sebagai berikut : Hukum komutatif

z1 + z 2 = z 2 + z1 z1 z 2 = z 2 z1 Hukum asosiatif

(z1 + z 2 ) + z 3 = z1 + (z 2 + z 3 ) ( z1 z 2 ) z 3 = z1 ( z 2 z 3 ) Hukum distributif

z1 ( z 2 + z 3 ) = z1 z 2 + z1 z 3 Elemen netral dalam penjumlahan ( 0 = 0 + 0 i )

z+0=0+ z = z

Elemen netral dalam perkalian ( 1 = 1 + 0 i ) z . 1 = 1. z = z

2.11. Identitas Euler.

Rumus Euler adalah rumus matematika dalam analisis kompleks yang menunjukkan hubungan mendalam antara fungsi trigonometri dan fungsi eksponensial. __________________________________________________________________ 22


Gambar 2.14 Ilustrasi Identitas Euler

Identitas Euler dapat dituliskan sebagai berikut : e ± iθ = cos θ ± i sin θ

Dimana : e = Bilangan natural i = Satuan imajiner

θ = Sudut

__________________________________________________________________ 23

BAB II DASAR TEORI. Kinematika adalah ilmu yang mempelajari gerak relatif yang meliputi

Recommend Documents