BAB I PENDAHULUAN
1.1.
Latar Belakang Pada beberapa permasalahan uji hipotesa dalam statistik dapat diselesaikan
dengan bermacam-macam uji. Salah satunya adalah dengan menggunakan uji likelihood rasio. Uji likelihood rasio adalah suatu metode yang berbentuk suatu uji dari hipotesa majemuk yang menentang hipotesa alternatif majemuk atau yang berbentuk uji dari hipotesa sederhana yang menentang hipotesa majemuk. Uji likelihood rasio dapat digunakan dalam berbagai bidang. Salah satu aplikasinya
dapat
ditemukan
dalamklinisjalurdesainuntuk
mengujikeunggulanterapi kombinasi(Laska danMeisner, 1989 dan Sarka dkk., 1995). Lebih banyak contoh ditemukan dalam kasus perlakuan mean terurut atau pengujian dimana suatu perlakuan lebih baik daripada kontrol ketika tanggapannya ordinal.Literaturyang luastentangmasalah ini telahmunculantara lainBarlow
dkk.(1972),Robertsondkk.(1988)
danSilvapulledanSen(2005).Referensi
terakhirmencakupbeberapa
contohyang
dapat dipakaiserta beberapametode baruyang dipertimbangkan oleh mereka. Misal X v1 , X v 2 ,..., X vnv adalah variabel acak dari distribusi normal p-variat dengan vektor mean μv dan matriks kovarians non singular Σv , N p μ v , Σ v ,
v 1, 2,..., k , dimana matriks kovarians Σv diketahui. Dengan menggunakan uji likelihood rasio pada masalah pengujian H1 : μ1 μ 2 ... μ k terhadap semua alternatif H 2 H1 , dimana μ v μ j yang berarti bahwa semua unsur-unsur dari μ j μ v tidak
negatif.
Dan
dimisalkan
H2
adalahhipotesis
yang
tidak
menempatkanbatasan pada μ . Proses estimasidilakukan dengan menggunakan aplikasiregresi isotonik dari beberapanormalp-variat terhadapsemua hipotesis alternatif.Misal g adalah
1
fungsi dalam X dan w adalah suatu fungsi positif yang diberikan dalam X. Suatu fungsi isotonik g * dalam X adalah regresi isotonik dari g dengan bobot w dengan urutan x1 x2 ... xk , jika kelompok fungsifminimum dalam X dengan jumlah 2
g ( x) f ( x) w( x). Dimana μˆ , μˆ ,, μˆ adalah regresi isotonik multivariat 1
2
k
xX
atau regresi isotonik
-variat dari X1 , X2 ,, Xk dengan bobot
Σ11 , , Σ k 1 dan
dapat dihitung dengan menggunakan algoritma iterasi yang telah diberikan oleh Sasabuchi dkk. (1983). Dengan menggunakan metode likelihood rasio, akan ditemukan statistik likelihood rasio T,nilai-nilai kritisT, estimasi kekuatan uji pada tingkat signifikansi yang berbeda dan p-value dalam kasus matriks kovarians diketahui. Dimana matriks kovarians yang digunakan di sini berbentuk diagonal dengan elemen-elemennya 11 , 22 ,..., pp . Selain itu juga akan dipelajari distribusi hipotesis nol dari statistik T ketika matriks kovarians diketahui. Yang selanjutnya akan ditemukan nilai probabilitas dari statistik likelihood rasio yang berdistribusi chi-kuadratdengan derajat kebebasan k. Dalam melakukan metode simulasi berdasarkan data berdistribusi normal bivariatdengan menggunakan Software R. Hipotesis yang digunakan adalah berbentuk multivariat yang diberikan oleh Robertson dan Wegman (1978) denganmemperoleh uji likelihood rasio statistik untuk menguji isotonik dari beberapa mean normal univariat terhadap semua alternatif hipotesis.Sehingga penulis tertarik dengan ekstensi multivariat ini, kekuatan uji dari statistik T serta p-valuedengan kasus matriks kovarians diketahui.
1.2.
Rumusan Masalah Dalam penelitian ini, permasalahannya adalah :
1.
Bagaimana mendapatkan statistik likelihood rasioTpada pengujian H1 lawan H 2 H1 jika matriks kovariansi diketahui.
2
2.
Bagaimana mempelajaridan memahami distribusi nol T jika matriks kovariansi diketahui.
3.
Bagaimana mendapatkan nilai kritis, estimasi kekuatan uji dan p-valuedari statistik ujiT untuk kasus normal bivariatmelalui studi simulasi.
1.3.
Tujuan Penelitian Tujuan dalam penelitian ini adalah untuk:
1.
Menentukan statistik likelihood rasioTpada pengujian H1 lawan H 2 H1 jika matriks kovariansi diketahui.
2.
Mempelajari dan memahami distribusi nol Tjika matriks kovariansi diketahui.
3.
Melakukan studi simulasi untuk mencari nilai kritis, estimasi kekuatan uji dan p-valuedari statistik uji Tuntuk kasus normal bivariat.
1.4.
Manfaat Penelitian Manfaat dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1.
Secara umum dengan adanya penelitian ini diharapkan dapat memperluas wawasan pengetahuan, memberikan sumbangan terhadap perkembangan ilmu,dan memperkaya literatur dalam bidang matematika terutama bidang statistika mengenaidistribusi normal multivariat dan uji likelihood rasio.
2.
Secara khusus dapat memberikan gambaran tentang uji distribusi normal multivariat dengan kendala mean terurut khususnya jika matriks kovariansi diketahui.
1.5.
Tinjuauan Pustaka Uji likelihood rasio memiliki beberapa sifat optimal yang layak untuk
sampel besar, dan terutama sekali perumusan hipotesis dalam pernyataan parameter normal multivariat. Uji tersebutdimulai olehBartolomeus(1959a,b) mengenai uji rasio likelihood untukhomogenitasmean normal univariatkterhadap alternatif
terurut.Chacko(1963),Shorack(1967)
danBarlowdkk.(1972)mengikutimasalah
denganparameter 3
terurut.Kudo(1963)
mempertimbangkandistribusi
normal
berdimensi-pdengan
mean
μ 1 , 2 , , P dan matriks kovarians Σ diketahui. Masalahpengujianadalah H 0 : μ 0 terhadapalternatifterbatas H1 : i 0 i 1,..., p ,dimanaketidaksamaanadalahsetidaknya
ada
i.Diamemperolehstatistikberdasarkan dibahaseksistensinya,
kriteria
sifatgeometrisnya
tepat likelihood
satunilai rasio
dan
danjugamemberikanskemauntuk
perhitungantersebut. Perlman(1969)mempelajarimasalah inidengan asumsi bahwa Σ sama sekali tidak diketahui, Kudodan Choi(1975)memperluas kasus inidi manahipotesis alternatif
yaitu
vektor
mean
terletak
padakerucutpolyhedralcembung.Sasabuchi(1980)mengganggap
sebagaimasalah
bahwa
vektormeanterletak
padabataskerucutpolyhedralcembungterhadapvektormean sesuaidi dalamnya.Ini merupakan generalisasilengkapdariInada(1978)yang mempelajari halituuntuk kasusbivariat (lihat juga Sasabuchi, 1988a,b). Masalah menguji homogenitas beberapa mean multivariat terhadap hipotesis alternatif yang tidak terbatas diberikan oleh Anderson (1984). Sasabuchi dkk. (1983) diperpanjang Bartholomeus (1959a) masalah vektor mean normal multivariat dengan matriks kovarians diketahui. Mereka memperoleh uji rasio likelihood statistik dan menawarkan algoritma iterasi untuk menghitung regresi isotonik bivariat. Kulatunga dan Sasabuchi (1984) mempelajari distribusi nolnya hanya pada beberapa kondisi khusus. Kulatunga dkk. (1990) mengemukakan bebeberapa prosedur pengujian ketika matriks kovarians tidak diagonal, dan mempelajarinya dengan simulasi. Sasabuchi dkk. (1992) memperluas algoritma iterasi untuk regresi isotonik multivariat. Sasabuchi dkk. (2003) menganggap masalah pengujian pada kasus matriks kovarians yang umum tapi tidak diketahui. Dia mengusulkan uji statistik, mempelajari probabilitas dua sisi dibawah hipotesis nol dan estimasi nilai kritisnya. Sasabuchi (2007) kemudian memberikan beberapa uji yang lebih kuat daripada Sasabuchi dkk. (2003).
4
1.6.
Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Dalam
mempelajari uji distribusi normal multivariat dengan kendala mean terurut khususnya jika matriks kovariansi diketahui digunakan referensi dari jurnal Likelihood Ratio Test for Order Restrictions against all Alternative in Multivariate Normal Distribution ( Abousar Bazyari, Rahim Chinipardaz, and Ali Akbar Rasekhi,International Journal of Statistics and Systems, 2011). Langkah awal dalam penelitian ini adalah menentukan uji likelihood rasio untuk H 1 lawan H 2 H1 , dan mencari statistik likelihood rasioT serta mempelajari distribusi
nolnya jika matriks kovarians diketahui danberbentuk diagonal. Kemudian melakukan metode simulasi untuk mencari nilai kritis, estimasi kekuatan uji pada tingkat signifikansi yang berbeda dan p-value dari uji statistikTuntuk distribusi normal bivariat.
1.7.
Sistematika Penulisan Tesis ini akan disajikan dalam sistematika sebagai berikut.
BABI
PENDAHULUAN Bab ini memberikan penjelasan yang berisi tentang latar belakang, perumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian dan sistematika penulisan.
BAB II
LANDASAN TEORI Bab ini akan menyajikan teori-teori dasar yang menunjang pembahasan ujidistribusi normal multivariat dengan kendala mean terurut.
BAB III PEMBAHASAN Bab ini membahas penjelasan mengenaistatistik uji Tmenggunakan metode likelihood rasio dan penerapan regresi isotonik jika matriks kovariansi diketahuidanmempelajari distribusi nolnya.
5
BAB IV SIMULASI DATA Bab ini membahas mengenaisimulasi data dari distribusi normal bivariatdengan kendala mean terurut terhadap semua alternatif untuk mencari nilai kritis, kekuatan uji dan p-value dari statistik uji T. BAB V
PENUTUP Bab ini memuat kesimpulanyang diperoleh dari hasil pembahasan dan simulasi serta saran sebagai akibat dari kekurangan atau kelebihan yang muncul dari hasil simulasi yang dilakukan.
6
