1
BAB I PENDAHULUAN Pada bagian ini akan dijelaskan latar belakang dan rumusan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, serta sistematika penulisan.
1.1. Latar Belakang dan Rumusan Masalah Dewasa ini dalam banyak hal, pengambil keputusan tidak lagi hanya mempertimbangkan satu fungsi objektif saja, seperti hanya ingin memaksimalkan keuntungan, meminimumkan biaya, meminimumkan resiko, dan sebagainya. Namun, dalam beberapa situasi pengambil keputusan ingin mengoptimumkan beberapa fungsi objektif (multi objektif) secara bersamaan. Misalnya, dalam fortopolio saham, di satu sisi peluang keuntungan harus dimaksimalkan dan di sisi lain secara bersamaan resiko harus diminimumkan. Pada masalah optimisasi multi objektif, antara satu objektif dengan objektif yang lainnya terjadi konflik (saling bertentangan) sehingga sulit ditemukan solusi optimal tunggal. Namun, terdapat sekumpulan solusi yang lebih unggul dari solusi yang lain ketika semua objektif dipertimbangkan, tetapi lebih rendah dari solusi yang lain di satu atau beberapa objektif. Solusi ini dikenal sebagai solusi optimal Pareto atau solusi efisien. Image solusi optimal Pareto atau solusi efisien dalam fungsi objektif disebut Pareto front. Salah satu pendekatan untuk menentukan solusi dari masalah optimisasi multi objektif yaitu dengan memformulasikannya kembali (transformasi) ke suatu masalah optimisasi skalar yang bergantung pada suatu parameter dan dikenal juga dengan skalarisasi (scalarization). Dengan menyelesaikan masalah skalar untuk berbagai parameter, beberapa solusi dari masalah optimisasi multi objektif dibangkitkan. Dasar dari transformasi jenis ini terletak pada fakta bahwa tiap solusi 1
2
optimal Pareto dari masalah optimisasi multi objektif dapat diperoleh sebagai solusi optimal dari masalah optimisasi skalar. Dalam beberapa dekade terakhir fokus utama adalah menemukan satu solusi optimal misalnya dengan metode interaktif. Pada metode interaktif, alternatif perhitungan numerik objektif dilakukan dengan keputusan subjektif oleh pengambil keputusan. Dengan masalah skalar tidak hanya satu solusi optimal dari masalah optimisasi multi objektif yang dapat dicari tetapi pendekatan dari seluruh himpunan solusi dapat dibangkitkan dengan mengubah–ubah parameter. Dalam tesis ini, pembahasan terfokus pada skalarisasi Pascoletti-Serafini dan selanjutnya menyajikan metode numerik berdasarkan hal tersebut untuk mengonstruksi suatu pendekatan Pareto front dari masalah optimisasi multi objektif. Secara umum, solusi optimal dari masalah optimisasi vektor (multi objektif) dapat ditemukan untuk kasus masalah optimisasi yang konveks. Namun, metode numerik berdasarkan skalarisasi Pascoletti-Serafini dapat menyelesaikan masalah optimisasi multi objektif yang konveks maupun non konveks. Selanjutnya, dalam penghitungan solusi numeriknya menggunakan algoritma sequential quadratic programming (SQP). Berdasarkan latar belakang di atas, maka masalah–masalah yang akan dibahas pada penelitian ini adalah sebagai berikut: 1.
Membatasi pemilihan parameter–parameter pada masalah skalarisasi Pascoletti-Serafini.
2.
Menyelesaikan suatu masalah optimisasi multi objektif secara numerik dengan metode skalarisasi Pascoletti-Serafini menggunakan algoritma sequential quadratic programming (SQP).
3.
Menyajikan masalah optimisasi multi objektif dengan menggunakan program MATLAB.
1.2.
Tujuan dan Manfaat Penelitian Berdasarkan latar belakang dan rumusan masalah di atas, maka tujuan dari
penelitian ini adalah sebagai berikut:
3
1.
Menyajikan masalah optimisasi skalar, skalarisasi Pascoletti-Serafini beserta sifat–sifatnya.
2.
Membuat batasan parameter yang digunakan pada skalarisasi PascolettiSerafini.
3.
Memberi contoh numerik pada suatu masalah optimisasi multi objektif menggunakan program MATLAB.
Adapun pada penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat sebagai berikut: 1.
Memberikan sumbangan terhadap perkembangan ilmu pengetahuan mengenai masalah optimisasi multi objektif, khususnya tentang skalarisasi Pascoletti-Serafini.
2.
Menjadi salah satu alternatif bagi pengambil kebijakan untuk menentukan solusi optimal dari masalah optimisasi multi objektif yang sering dihadapi.
1.3. Tinjauan Pustaka Optimisasi multi objektif sudah menjadi alat yang penting untuk mendukung pengambil keputusan karena masalah–masalah yang timbul saat ini dalam penerapannya menjadi lebih kompleks. Ada beberapa tujuan yang ingin dicapai dalam waktu bersamaan yang saling konflik (Eichfelder, 2009). Dalam penyelesaian masalah optimisasi multi objektif dikenal solusi optimal lengkap dan solusi efisien (optimal Pareto). Solusi optimal lengkap yaitu suatu solusi yang secara simultan mengoptimalkan (meminimalkan) semua fungsi objektif. Pada umumnya, solusi optimal lengkap tidak selalu dapat ditemukan, terutama bila fungsi-fungsi objektif saling konflik (Widodo, 2005). Dalam kasus multi objektif, terdapat sekumpulan solusi yang lebih unggul dari solusi yang lain ketika semua objektif dipertimbangkan, tetapi lebih rendah dari solusi yang lain di satu atau beberapa objektif. Solusi ini dikenal sebagai solusi optimal Pareto atau solusi tidak terdominasi (nondominated solution) atau dikenal juga sebagai solusi efisien (Deb dan Srinivas, 1994).
4
Salah satu pendekatan untuk menyelesaikan masalah optimisasi multi objektif yaitu dengan memformulasikannya kembali ke suatu masalah optimisasi skalar yang bergantung terhadap suatu parameter. Dengan menyelesaikan masalah skalar untuk bermacam–macam parameter, beberapa solusi dari masalah optimisasi multi objektif dibangkitkan. Teknik ini dikenal juga dengan skalarisasi (Khorram dkk, 2014). Skalarisasi berarti transformasi dari masalah optimisasi multi objektif ke satu atau beberapa masalah satu objektif. Dasar transformasi seperti ini terletak pada fakta bahwa tiap solusi optimal Pareto dari masalah optimisasi multi objektif dapat diperoleh sebagai solusi optimal dari masalah optimisasi skalar (Vassilev, 2002). Masalah optimisasi skalar sering menyediakan cara yang lebih efektif dibandingkan masalah optimisasi vektor (multi objektif) untuk menemukan solusi optimal (Pascoletti dan Serafini, 1984). Penelitian yang digunakan sebagai sumber referensi utama dalan tesis ini adalah penelitian yang dilakukan oleh Khorram dkk. (2014) yang memfokuskan pada metode skalarisasi Pascoletti-Serafini. Selanjutnya, menyajikan metode numerik untuk mengonstruksi pendekatan Pareto front dari masalah optimisasi multi objektif. Keuntungan dari skalarisasi Pascoletti-Serafini adalah masalah optimisasi skalar tersebut sangat umum dalam arti bahwa pendekatan skalarisasi yang lain dapat dilihat sebagai kasus khusus dari skalarisasi Pascoletti-Serafini. Lebih lanjut, skalarisasi Pascoletti-Serafini didefinisikan untuk suatu urutan parsial yang umum daripada urutan biasa (natural ordering) (Khorram dkk, 2014). Konsep–konsep yang berkaitan dengan urutan parsial merujuk pada buku Chong dan Zak (2001) serta Boyd dan Vanderberghe (2004). Skalarisasi Pascoletti-Serafini mempunyai dua parameter yang dinamakan a dan r, sehingga skalarisasi Pascoletti-Serafini dapat ditulis juga dengan masalah skalar SP(a,r). Lebih lanjut salah satu penyelesaian masalah skalar SP(𝑎, 𝑟) yaitu dengan menggunakan algoritma SQP (sequential quadratic programming) (Khorram dkk, 2014). Sequential quadratic programming (SQP) merupakan metode Newton yang digunakan untuk menyelesaikan masalah program nonlinier
5
dengan suatu barisan dari langkah Newton. Perhitungan dari langkah Newton diformulasikan sebagai suatu quadratic programming (QP) dan dicari menggunakan solusi QP (Hansen dan Volcker, 2007).
1.4. Metode Penelitian Metode penelitian yang digunakan dalam penulisan tesis ini adalah dengan studi literatur. Penulis mempelajari teori–teori yang diperlukan untuk menyusun suatu metode numerik dalam mendekati Pareto front seperti teori optimisasi yang meliputi optimisasi vektor (optimisasi multi objektif) dan optimisasi skalar (skalarisasi Pascoletti-Serafini), teori mengenai solusi masalah optimisasi multi objektif, serta cone terurut. Penulis juga mempelajari algoritma SQP (sequential quadratic programming) yang digunakan untuk menyelesaikan masalah numerik skalarisasi Pascoletti-Serafini. Penelitian selanjutnya adalah memformulasikan masalah optimisasi multi objektif ke masalah optimisasi skalar, yaitu skalarisasi Pascoletti-Serafini. Selanjutnya, menyajikan sifat yang berkaitan dengan skalarisasi Pascoletti-Serafini. Dari sifat tersebut akan didapatkan ekuivalensi antara masalah optimisasi multi objektif dan optimisasi skalar. Dengan kata lain bahwa tiap solusi efisien dari masalah optimisasi multi objektif dapat diperoleh sebagai solusi optimal dari masalah optimisasi skalar. Penelitian selanjutnya adalah membuat batasan parameter skalarisasi Pascoletti-Serafini. Setelah didapatkan batasan parameter tersebut, penelitian selanjutnya yaitu menerapkannya ke suatu masalah optimisasi multi objektif dan kemudian menyelesaikan masalah optimisasi multi objektif dengan bantuan program MATLAB.
1.5. Sistematika Penulisan Penulisan tesis ini terdiri dari empat Bab, yaitu Bab I Pendahuluan, Bab II Landasan Teori, Bab III Metode Numerik untuk Mengonstruksi Himpunan Solusi Efisien Masalah Optimisasi Multi Objektif, Bab IV Penutup.
6
Bab I memuat latar belakang dan rumusan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, serta sistematika penulisan. Bab II memuat penjelasan masalah optimisasi multi objektif (multiobjective optimization problem (MOP)), solusi efisien dan solusi efisien lemah, cone terurut¸ metode skalarisasi Pascoletti-Serafini, serta algoritma SQP (sequential quadratic programming). Dalam Bab III berisi pembahasan untuk merumuskan batasan parameter dari metode skalarisasi Pascoletti-Serafini. Kemudian menerapan metode yang didapatkan pada suatu masalah optimisasi multi objektif serta menerapkannya juga dengan menggunakan program MATLAB. Bab IV memuat kesimpulan dan saran yang dapat diambil dari hasil penelitian ini.
