Analisa Numerik
Bahan Matrikulasi
Bab 4 ANALISIS REGRESI dan INTERPOLASI
4.1. Pendahuluan Pada kuliah ini akan dipelajari beberapa metode untuk memprediksi dan mengestimasi data diskret. Dari suatu penelitian sering dilakukan pengolahan data untuk mengetahui pola data atau bentuk kurva yang dianggap dapat mewakili data diskret yang ada. Metode yang biasa dilakukan untuk melakukan pendekatan tersebut adalah sebagai berikut,
A. Metode Regresi Kuadrat Terkecil Dengan menggunakan metode regresi kuadrat terkecil, kurva yang terbentuk dianggap mewakili titik data yang diplot, dan tidak harus melalui titik-titik data. Persamaan kurva tersebut dapat dipergunakan untuk memprediksi variabel terikat f(x) untuk nilai variabel bebas x diluar range. Contohnya adalah seperti gambar berikut,
f (x)
+ +
+
+ +
+ + + range
x
Analisis Regresi dan Interpolasi
1
Ahmad Zakaria
Analisa Numerik
Bahan Matrikulasi
B. Metode Iterpolasi Dengan
menggunakan
metode
Iterpolasi,
kurva
yang
terbentuk
menghubungkan titik-titik data yang diplot. Persamaan kurva tersebut hanya dapat dipergunakan untuk mengestimasi variabel terikat f(x) untuk nilai variabel bebas x didalam range. Contohnya adalah seperti gambar berikut,
f (x) +
+
+
+ +
+
+
+ +
range
x A.1 Linierisasi untuk kurva tidak linier Bentuk yang paling sederhana dari regresi kuadrat terkecil adalah kurva linier atau kurva yang berbentuk garis lurus. Persamaan garis linier dapat ditulis sebagai berikut,
f ( x ) = b.x + a
(4.1)
Fungsi Exponensial dan persamaan berpangkat pun dapat dianggap sebagai kurva linier atau garis lurus. Untuk fungsi exponensial lihat persamaan berikut,
y = a.e b. x
(4.2)
Persamaan (4.2) dapat ditulis menjadi,
Analisis Regresi dan Interpolasi
2
Ahmad Zakaria
Analisa Numerik
Bahan Matrikulasi
ln y = ln a + b.x. ln e
(4.3)
Selanjutnya persamaan (4.3) dapat ditulis sebagai berikut, y ′ = b.x + a ′
(4.4)
Persamaan (4.4) serupa dengan persamaan (4.1), dan ini juga merupakan persamaan garis lurus atau kurva linier. Untuk persamaan fungsi berpangkat dapat dicontohkan seperti persamaan berikut, y = a.x b
(4.5)
Persamaan (4.5) dapat ditulis seperti persamaan, log y = b. log x + log a
(4.6)
Selanjutnya persamaan (4.6) dapat ditulis menjadi, y ′ = b.x ′ + a ′
(4.7)
Persamaan (4.7) pun sebenarnya serupa dengan persamaan (4.1), yang merupakan persamaan garis lurus.
Analisis Regresi dan Interpolasi
3
Ahmad Zakaria
Analisa Numerik
Bahan Matrikulasi
A.2. Analisis Regresi Polinomial Persamaan Polinomial dengan orde atau derajat n dapat ditulis sebagai berikut,
yˆ = a o + a1 .x + a 2 .x 2 + a3 .x 3 + ... + a n −1 .x n −1 + a n .x n
(4.8)
Bila y merupakan data hasil pengukuran dan yˆ merupakan model persamaan polinomialnya maka kesalahan antara data dan model dapat digambarkan sebagai jumlah kuadrat dari selisih antara y dan yˆ untuk setiap variabel x. Jumlah kuadrat dari kesalahan tersebut dapat ditulis seperti persamaan berikut,
i =n
E 2 = ∑ ( y i − yˆ i )
(4.9)
2
i =1
i =n
(
E 2 = ∑ y i − ao − a1 .xi − a 2 .xi − a3 .xi − ... − a n −1 .xi i =1
2
3
n −1
− a n .xi
)
n 2
(4.10)
Jumlah Kuadrat kesalahan atau E2 akan minimum hanya bila dipenuhi persamaan sebagai berikut,
∂E 2 ∂E 2 ∂E 2 ∂E 2 ∂E 2 ∂E 2 = = = ... = = =0 ∂a o ∂a1 ∂a 2 ∂a3 ∂a n −1 ∂a n
(4.11)
Dimana turunan E2 terhadap masing-masing konstanta dapat dilihat seperti berikut,
(
i =n ∂E 2 n −1 n 2 3 = −2.∑ yi − a o − a1 .xi − a 2 .xi − a3 .xi − ... − a n−1 .xi − a n .xi ∂ao i =1
(
)
i =n ∂E 2 n −1 n 2 3 = −2.∑ xi . yi − ao − a1 .xi − a 2 .xi − a3 .xi − ... − a n −1 .xi − a n .xi ∂a1 i =1
Analisis Regresi dan Interpolasi
4
(4.12)
)
(4.13)
Ahmad Zakaria
Analisa Numerik
Bahan Matrikulasi
(
)
(4.14)
(
)
(4.15)
)
(4.16)
)
(4.17)
i =n ∂E 2 n −1 n 2 2 3 = −2.∑ xi . y i − ao − a1 .xi − a 2 .xi − a3 .xi − ... − a n −1 .xi − a n .xi ∂a 2 i =1 i =n ∂E 2 n −1 n 3 2 3 = −2.∑ xi . yi − a o − a1 .xi − a 2 .xi − a3 .xi − ... − a n −1 .xi − a n .xi ∂a3 i =1
(
i =n ∂E 2 n −1 n −1 n 2 3 = −2.∑ xi . yi − ao − a1 .xi − a2 .xi − a3 .xi − ... − an−1 .xi − an .xi ∂an−1 i =1
(
i =n ∂E 2 n n −1 n 2 3 = −2.∑ xi . y i − ao − a1 .xi − a 2 .xi − a3 .xi − ... − a n −1 .xi − a n .xi ∂a n i =1
Bila persamaan di atas disusun, maka didapat satu sistem persaman sebagai berikut,
⎡ n ⎢ ⎢ ∑xi ⎢ ∑x 2 i ⎢ 3 ⎢ ∑xi ⎢ ... ⎢ n−1 ⎢∑xi ⎢ xn ⎣∑ i
∑x ∑x ∑x ∑x
∑x ∑x ∑x ∑x
i 2 i 3 i 4 i
3
... ... ...
4
i
4
5
i
5
i
i n+1
i
3
i
n
∑x ∑x ∑x ∑x
i
i
...
∑x ∑x
2
i
...
∑x ∑x
∑x ∑x
i
... ... ... ...
i
... n+1
6
n+2
i
n+2
i
n+3
i
∑x ∑x ∑x ∑x
n−1
i
n
i n+1
i
n+2
i
...
∑x ∑x
n+n−2
i n+n−1
i
⎤ ⎡ a0 ⎤ ⎡ ∑yi ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ i ⎥ ⎢ a1 ⎥ ⎢ ∑xi .yi ⎥ n+2 ⎥ ⎢ a2 ⎥ ⎢ ∑xi 2 .yi ⎥ i ⎥ ⎥ ⎢ 3 n+3 ⎥ ⎢ ⎥.⎢ a3 ⎥ = ⎢ ∑xi .yi ⎥ i ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ n−1 ∑xi n+n−1 ⎥ ⎢an−1 ⎥ ⎢∑xi n .yi ⎥ ∑xi n+n ⎥⎦ ⎢⎣ an ⎥⎦ ⎢⎣ ∑xi .yi ⎥⎦
∑x ∑x ∑x ∑x
n i n+1
(4.18)
Untuk mendapatkan koefisien a0 , a1 , a2 , a3 ,..., an−1 , dan a n persamaan di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan metode yang biasa dipergunakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linier. Untuk mengetahui derajat kedekatan antara data dengan model dari persamaan polinomial, dapat dihitung dengan menghitung koefisien korelasi berikut, Koefisien Korelasi = R = Dimana:
i=n
D 2 = ∑ ( yi − y )
D2 − E 2 D2
(4.19) (4.20)
2
i =1
Analisis Regresi dan Interpolasi
5
Ahmad Zakaria
Analisa Numerik
Bahan Matrikulasi i =n
E 2 = ∑ ( y i − yˆ i )
(4.21)
2
i =1
B.1. Interpolasi Linier Bentuk paling sederhana dari interpolasi adalah menghubungkan dua buah titik data seperti gambar berikut,
f (x )
f ( x1 )
E
f (x )
f ( x ) − f ( x0 )
D
f ( x0 )
A
B
x
x0
f (x1 ) − f (x0 )
C
x1
x
x − x0 x1 − x0
Karena segitiga ABD dan ACE adalah sebangun maka didapat,
BD CE = AB AC f ( x ) − f ( x0 ) f ( x1 ) − f ( x0 ) = ( x − x0 ) (x1 − x0 ) f ( x ) = f ( x0 ) +
f ( x1 ) − f ( x0 ) ( x − x0 ) (x1 − x0 )
(4.22)
Persamaan (4.22) merupakan persamaan interpolasi linier.
Analisis Regresi dan Interpolasi
6
Ahmad Zakaria
Analisa Numerik
Bahan Matrikulasi
B.2. Interpolasi Polinomial Bentuk umum persamaan polinomial derajat n adalah sebagai berikut,
f n (x) = b0 + b1.(x − x0 ) + b2 .(x − x0 )(x − x1 ) + ... + bn .(x − x0 )(x − x1 )...(x − xn−1 )
(4.23)
Dengan memasukkan nilai x0 , x1 , x2 , x3 , ..., xn −1 dan mensubstitusikan untuk setiap persamaan maka didapat konstanta b0 , b1 , b2 , b3 , ..., bn . Untuk mendapatkan persamaan polinomial orde n dibutuhkan n+1 titik data, sehingga solusi dari konstanta ini dapat disusun seperti,
b0 = f ( x0 )
(4.24)
b1 = f [x1 , x0 ]
(4.25)
b2 = f [x2 , x1 , x0 ]
(4.26)
b3 = f [x3 , x2 , x1 , x0 ]
(4.27)
...
bn = f [xn , xn−1 ,..., x3 , x2 , x1 , x0 ]
(4.28)
Cara yang paling mudah untuk mendapatkan konstanta tersebut di atas adalah dengan menggunakan metode beda hingga seperti berikut,
[
]
b1 = f x j , xi =
[
f (x j ) − f (xi )
[
] [
f x k , x j − f x j , xi
]
b2 = f xk , x j , xi =
[
(4.29)
x j − xi
]
(4.30)
x k − xi
]
b3 = f xl , xk , x j , xi =
Analisis Regresi dan Interpolasi
[
] [
f xl , x k , x j − f x k , x j , xi xl − xi
7
]
(4.31)
Ahmad Zakaria
Analisa Numerik bn = f [xn , xn−1,...,x3 , x2 , x1, x0 ] =
Bahan Matrikulasi f [xn , xn−1,...,x3 , x2 , x1 ] − f [xn−1,...,x3 , x2 , x1, x0 ] xn − x0
(4.32)
Bila persamaan (4.23) disusun kembali maka akan didapat persamaan sebagai berikut,
f n (x) = f (x0 ) + f [x1 , x0 ].(x − x0 ) + f [x2 , x1 , x0 ].(x − x0 )(x − x1 ) + ... + f [xn , xn−1 ,..., x3 , x2 , x1 , x0 ].(x − x0 )(x − x1 )...(x − xn−1 )
(4.33)
Persamaan (4.33) merupakan persamaan interpolasi poliomial orde n.
Analisis Regresi dan Interpolasi
8
Ahmad Zakaria
