Toni Tanuwijaya/ 15002030
Bab 3. Penyusunan Algoritma Algoritma merupakan penulisan permasalahan yang sedang disorot dalam bahasa matematik. Algoritma dibutuhkan karena komputer hanya dapat membaca suatu masalah secara metematis. Sebelum menyusun algoritma, terlebih dahulu masalah yang ada dijabarkan. Sebuah kolom poligon dengan tulangan akan dihitung kapasitas dan dibuat diagram interaksinya. Perhitungan kolom tersebut dilakukan dengan menggunakan rumus 2 – 6 dan 2 – 7. Parameter yang diperlukan adalah : 1. 2. 3. 4. 5.
Luas daerah beton tertekan Lengan momen dari beton tertekan Tegangan beton Regangan di tulangan Tegangan di tulangan
Serta input data yang dibutuhkan oleh program untuk melakukan perhitungan yakni : 1. 2. 3. 4. 5.
Koordinat titik sudut poligon (xp, yp) Kuat tekan beton (fc) Koordinat posisi tulangan (xst, yst) Diameter tulangan (dtul) Kuat leleh tulangan (fy)
Sebelum perhitungan dilakukan lebih dahulu dilakukan penyesuaian pada penampang beton. Penyesuaian dilakukan dengan menggeser sumbu simetri ke titik centroid. Karenanya lokasi titik centroid harus diketahui terlebih dahulu. Lokasi titik centroid diperoleh dengan membagi luas poligon dengan momen statis poligon dari sumbu yang bersangkutan. Luas total dapat dihitung dengan integrasi garis kurva tertutup. Luas beton yang mengalami tekan dapat dihitung dengan tahapan berikut ini. Perhitungan luas penampang dan lokasi centroid
19
Toni Tanuwijaya/ 15002030 y
f(x)/f(y)
(x i+1 ,yi+1)
(xi ,yi)
x
Fungsi f(x) dapat didefinisikan sebagai :
f ( x) = y i + ( x − x i )
( y i +1 − y i ) ( x i +1 − x i )
f ( y) = x i + ( y − y i )
( x i +1 − x i ) ( y i +1 − y i )
atau,
Luas bagian dibawah kurva f(x) adalah : ai =
x i +1
∫ f ( x)dx
xi
x i +1
⎧ ( y i +1 − y i ) ⎫ y + ( x − x ) ⎨ ⎬dx i i ∫ ( x i +1 − x i ) ⎭ xi ⎩ = ( x i +1 − x i ) y i + 1 2 ( x i +1 − x i )( y i +1 − y i )
=
=
1
=
1
2
( x i +1 − x i )( y i +1 + y i )
2
( x i +1 y i +1 + x i +1 y i − x i y i +1 − x i y i )
Titik-titik pembentuk kurva sebarang dapat dinyatakan sebagai :
20
Toni Tanuwijaya/ 15002030 P = {p1 , p2 , p3, ... , pn, pn+1} dimana, pi = {xi , yi} pn+1 = p1
Luas total penampang adalah : n
A = ∑ ai i =1 n
= ∑ 1 2 ( x i +1 y i − x i y i + 1 )
(3-1)
i =1
Statis momen terhadap sumbu-x : sx i =
x i +1
∫ x f ( x) dx
xi
=
x i +1
∫
xi
=
1
=
1
=
1
⎧ (y − y i ) ⎫ x ⎨y i + ( x − x i ) i +1 ⎬dx ( x i +1 − x i ) ⎭ ⎩
2
( x i2+1 − x 2i ) y i + 1 3 ( x 2i +1 + x i +1 x i + x 2i )( y i +1 − y i ) − 1 2 x i ( x i +1 + x i )( y i +1 − y i )
2
( x 2i +1 − x 2i ) y i + 1 6 (2 x 2i +1 − x i +1 x i − x 2i )( y i +1 − y i )
6
( x 2i +1 + x i +1 x i − 2 x 2i ) y i + 1 6 (2 x 2i +1 − x i +1 x i − x 2i ) y i +1
Statis momen penampang total : n
S xi = ∑ s x i =1 n
= ∑ 1 6 ( xi2+1 + xi +1 xi − 2 xi2 ) yi + 1 6 (2 xi2+1 − xi +1 xi − xi2 ) yi +1 i =1 n
= ∑ 1 6 ( xi2+1 + xi +1 xi ) yi − 1 6 ( xi +1 xi + xi2 ) yi +1
(3-2a)
i =1
21
Toni Tanuwijaya/ 15002030
Statis momen terhadap sumbu y: syi =
yi +1
∫ y f ( y) dy yi
=
yi +1
∫ yi
⎧ (x − x ) ⎫ y ⎨ xi + ( y − yi ) i +1 i ⎬dy ( yi +1 − yi ) ⎭ ⎩
= 1 2 xi ( yi2+1 − yi2 ) + 1 3 ( xi +1 − xi )( yi2+1 + yi +1 yi + yi2 ) − 1 2 ( xi +1 − xi ) yi ( yi +1 + yi ) = 1 2 xi ( yi2+1 − yi2 ) + 1 6 ( xi +1 − xi )(2 yi2+1 − yi +1 yi − yi2 ) = 1 6 xi ( yi2+1 + yi +1 yi − 2 yi2 ) + 1 6 xi +1 (2 yi2+1 − yi +1 yi − yi2 )
Statis momen penampang total : n
S yi = ∑ s y i =1 n
= ∑ 1 6 xi ( yi2+1 + yi +1 yi − 2 yi2 ) + 1 6 xi +1 (2 yi2+1 − yi +1 yi − yi2 ) i =1 n
= ∑ 1 6 xi ( yi2+1 + yi +1 yi ) − 1 6 xi +1 ( yi +1 yi + yi2 )
(3-2b)
i =1
Lokasi centroid adalah : x= y=
S xi A S yi
(3-3a)
A
(3-3b)
Persamaan-persamaan di atas ini telah diturunkan oleh Prof. Ir. Amrinsyah Nasution, MSCE,Ph.D. Penulis hanya mneggunakan dan mengembangkan rumus-rumus tersebut.
22
Toni Tanuwijaya/ 15002030
Selanjutnya perlu diketahui alur dari penentuan titik sudut poligon apakah searah dengan jarum jam ataukah berlawanan jarum jam. Poin ini penting untuk diketahui untuk perhitungan selanjutnya. Langkah –langkah untuk memperoleh alur titik sudut poligon adalah sebagai berikut. 1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik pusat poligon dan titik sudut poligon 1 2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik pusat poligon dan titik sudut poligon 2 3. Hitung selisih dari gradien persamaan garis di butir 2 dan butir 1. 4. Bila selisih gradien persamaan garis keduanya positif maka alur titik sudut poligon adalah berlawanan jarum jam, dan bila selisih gradien persamaan garis keduanya negatif maka alur titik sudut poligon adalah searah dengan jarum jam.
Translasi sumbu koordinat untuk menggeser titik pusat koordinat ke titik centroid dapat dilakukan dengan menggunakan rumus : P = P +T ⎧ x ⎫ ⎧ xp ⎫ ⎧ xcg ⎫ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬−⎨ ⎬ ⎩ y ⎭ ⎩ yp ⎭ ⎩ ycg ⎭
23
Toni Tanuwijaya/ 15002030 Y
Centroid 0
(xi,yi
X
Untuk seterusnya koordinat hasil translasi ini akan disebut koordinat asal Area beton yang tertekan dibatasi oleh suatu persamaan garis netral. Garis netral digeser – geser agar area beton tertekan berubah – ubah sehingga suatu diagram interaksi yang utuh dapat diperoleh. Penggeseran dilakukan dari 2 sisi yakni rotasi dan translasi secara paralel
Gambar 15 Rotasi
24
Toni Tanuwijaya/ 15002030
Gambar 16 Translasi
Rotasi sudut garis netral dilakukan dalam rentang 360° dengan jarak 6 derajat. Setelah garis netral di rotasikan
Rotasi sumbu koordinat dapat dilakukan dengan menggunakan rumus :
α
P T = TP ⎧⎪ x T ⎫⎪ ⎡cos(α ) − sin(α )⎤ ⎧ x ⎫ ⎨ T⎬=⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎪⎩ y ⎪⎭ ⎣ sin(α ) cos(α ) ⎦ ⎩ y ⎭
25
Toni Tanuwijaya/ 15002030 Penggeseran garis netral dilakukan dari titik sudut paling atas ke titik sudut paling bawah pada poligon tersebut. Jarak penggeseran dilakukan sebanyak 1/25 rentang penggeseran.
Garis netral dinyatakan dalam bentuk persamaan garis y = Cne Centroid
N.A
Cne merupakan variabel penggeseran paralel.
Kemudian untuk memperoleh regangan maka diperlukan mencari titik a, b dan c (lihat gambar) Mencari titik a : Pada masing-masing titik sudut transpos, tentukan titik sudut mana yang memiliki ordinat paling maksimum, titik tersebut merupakan titik a. Mencari koordinat titik b dan c 1. Cari persamaan garis yang menghubungkan titik sudut poligon yang berdekatan (garis sisi)
26
Toni Tanuwijaya/ 15002030 y = mpx+cp dimana
2. Cari titik potong garis sisi dengan garis netral Untuk i dari 1 sampai n 3. Identifikasi titik potong apabila titik potong yang diperoleh berada diantara titik sudut yang dipakai untuk menyusun persamaan garis sisi maka titik potong tersebut merupakan kandidat titik b dan c. if xi < xpt1 < xi+1; yi < ypti < yi+1 Æ xpti = xptbi , ypti = yptbi 4. Apa bila kandidat titik b dan c melebihi 2 maka titik potong b merupakan titik potong yang memenuhi syarat diatas dengan nilai x terkecil. Sedangkan titik c merupakan titik potong yang memenuhi syarat dengan nilai x dan y terbesar if min xptbi Æ xpbti = xb, yptbi = yb if max xptbi Æ xpbti = xc, yptbi = yc luas tekan ekuivalen beton Sebelum mencari luas daerah tekan ekuivalen beton, terlebih dahulu titik-titik sudut daerah tersebut harus diketahui. Selain titik poligon, titik perpotongan garis beton tekan dengan poligon juga harus dicari. 1. garis yang memotong permukaan memilki gradien yang sama dengan garis netral tetapi koefisien garis tersebut berbeda, sehingga persamaan garis beton tekan adalah : y = cbt cbt = cn + (1 - b) * (yaa – cn) Dimana β = 0.85 untuk f’c ≤ 30 Mpa β = 0.85
0.65
0.05
27
Toni Tanuwijaya/ 15002030 2. Cari titik potong garis sisi dengan garis pembatas beton ekuivalen. Untuk i dari 1 sampai n
akan tetapi titik potong ini tidak seluruhnya berada di sisi poligon karenanya perlu dilakukan identifikasi lokasi titik poligon.
Gambar 17 lokasi titik potong
3. Identifikasi titik potong apabila titik potong yang diperoleh berada diantara titik sudut yang dipakai untuk menyusun persamaan garis sisi maka titik potong tersebut terletak pada poligon. 4. Hitung luas daerah beton tekan dengan metode integrasi . Serta hitung momen statis area beton tertekan untuk memperoleh titik centroid area beton tertekan.
28
Toni Tanuwijaya/ 15002030
Gambar 18 Daerah beton tertekan
Untuk menggunakan rumus luas, yang telah diturunkan maka selain koordinat titik, urutan titik – titik yang membentuk area beton tekan juga perlu diketahui. Titik – titik sudut yang membentuk area beton tekan diketahui dengan : Apabila koefisien dari suatu persamaan garis yang paralel dengan garis netral di titik tersebut dikurangi koefisien persamaan garis beton tekan bernilai positif, maka titik tersebut merupakan pembentuk dari area beton tekan. Kemudian periksa titik poligon sesudah nya (xi+1, yi+1), apakah merupakan titik pembentuk area beton tekan (cni+1 – cbta ≥ 0). Apabila iya, maka langsung gunakan persamaan berikut untuk mencari luas dan momen statis Acc[i] = ½*(x[i+1]*y[i]-x[i]*y[i+1]) (3-4) Sxcc[i] = 1/6*(x[i+1]^2+x[i+1]*x[i])*y[i] -1/6*(x[i+1]*x[i]+x[i]^2)*yi+1 (3-5a) Sycc[i] = 1/6*x[i]*(y[i+1]^2+y[i+1]*y[i]) -1/6*x[i+1]*(y[i+1]*y[i]+y[i]^2) (3-5b) Apabila tidak langsung gunakan rumus berikut yang merupakan modifikasi dari persamaan 3-4 dan 3-5 untuk menghitung luas dan momen statis : Acc[i] = ½*(xptbti*yi-xi*yptbt[i]) (3-6)
29
Toni Tanuwijaya/ 15002030 Sxcc[i] = 1/6*(xptbt[i]^2+xptbt[i]*x[i])*y[i]1/6*(xptbt[i]*x[i]+x[i]^2)*yptbti
(3-7a)
Sycc[i] = 1/6*x[i]*(yptbt[i]^2+yptbt[i]*y[i])1/6*xptbt[i]*(yptbt[i]*y[i]+y[i]^2)
(3-7b)
Dimana dalam persamaan diatas titik x[i], y[i] diganti dengan titik potong garisbeton tekan dengan poligon pada sisi poligon i (xptbia, yptbia) , dimana i merupakan indeks titik awal pembentuk garis tersebut.
Gambar 19 garis sisi dan titik pembentuknya
Serta apabila titik yang ditinjau bukan merupakan pembentuk area beton tekan, maka titik sesudahnya (x[i+1]) juga harus diperiksa apakah merupakan titik pembentuk area beton tekan (cni+1 – cbta ≥ 0) bila titik x[i+1], y[i+1], merupakan titik pembentuk area beton tekan maka persamaan berikut digunakan untuk menghitung luas pada garis tersebut. Acc[i] = ½*(x[i+1]*yptbt[i]-xptbt[i]*y[i+1])
(3-8)
Sxcc[i] = 1/6*(x[i+1]^2+x[i+1]*xptbt[i])*yptbt[i]1/6*(x[i+1]*xptbt[i]+xptbt[i]^2)*y[i+1]
(3-9a)
Sycc[i] = 1/6*xptbt[i]*(y[i+1]^2+y[i+1]*yptbt[i])1/6*x[i+1]*(y[i+1]*yptbt[i]+yptbt[i]^2)
(3-9b)
30
Toni Tanuwijaya/ 15002030 Luas dan momen statis yang telah dihitung diatas baru merupakan luas dan momen statis pergaris sisi area beton tekan yang komponen titik pembentuknya merupakan titik poligon. Sedangkan garis beton tekan yang membentuk area beton tekan belum termasuk dalam perhitungan diatas. Sebelum komponen garis beton tekan dihitung maka terlebih dahulu akan dilakukan penomoran ulang indeks dari titik beton tekan. Penomoran indeks ini sesuai dengan posisi titik tersebut. Titik dengan nilai absis terkecil diberi indeks 0 demikian dengan titik selanjutnya yang absisnya lebih besar diberi indeks 1 dan seterusnya. Apabila alur titik sudut berlawanan arah jarum jam maka luas dan momen statis dari garis beton tekan pembentuk area beton tekan dinyatakan sebagai berikut : A[qr] = ½*(x[qr+1]*y[qr]-x[qr]*y[qr+1])
(3-10)
Sx[qr] = 1/6*(x[qr+1]^2+x[qr+1]*x[qr])*y[qr]1/6*(x[qr+1]*x[qr]+x[qr]^2)*y[qr]
(3-11a)
Sy[qr] = 1/6*x[qr]*(y[qr+1]^2+y[qr+1]*y[qr])1/6*x[qr+1]*(y[qr+1]*y[qr]+y[qr]^2)
(3-11b)
Apabila alur titik sudut searah jarum jam maka luas dan momen statis dari garis beton tekan pembentuk area beton tekan dinyatakan sebagai berikut : A[qr] = - ½*(x[qr+1]*y[qr]-x[qr]*y[qr+1])
(3-12)
Sx[qr] = - 1/6*(x[qr+1]^2+x[qr+1]*x[qr])*y[qr]1/6*(x[qr+1]*x[qr]+x[qr]^2)*y[qr]
(3-13a)
Sy[qr] = - 1/6*x[qr]*(y[qr+1]^2+y[qr+1]*y[qr])1/6*x[qr+1]*(y[qr+1]*y[qr]+y[qr]^2)
(3-13b)
Perlu diingat bahwa garis yang membentuk area beton tekan adalah garis yang titik awalnya merupakan titik dengan indeks ganjil.
31
Toni Tanuwijaya/ 15002030 Maka luas total dari area beton tekan adalah : Acc = ∑
∑
(3-14)
Sxcc = ∑
∑
(3-15a)
Sycc = ∑
∑
(3-15b)
gambar 20 garis beton tekan dan titik pembentuknya
Tahanan dari kolom beton hitung Cc = 0.85 fc* Acc Cari koordinat centroid area beton tekan dengan rumus : (3-16a)
t
(3-16b)
Selanjutnya hitung momen kopel akibat gaya axial beton tekan dengan mengalikan besarnya gaya axial(Cc) dengan lengan momen(rxbt, rybt)
32
Toni Tanuwijaya/ 15002030 Dimana rxbt dan rybt adalah jarak antara centroid beton tekan(xcbt, ycbt) pada sistem koordinat asal dengan centroid penampang (0,0) Titik xcbt,ycbt merupakan titik centroid beton tekan pada koordinat asal yang belum dirotasi. Titik xcbt, ycbt diperoleh dengan rumus P = T T PT ⎧ x cbt ⎫ ⎡ cos(α ) sin(α ) ⎤ ⎧ xcbtt ⎫ ⎬ ⎨ ⎬=⎢ ⎥⎨ ⎩ ycbt ⎭ ⎣− sin(α ) cos(α )⎦ ⎩ ycbtt ⎭
hitung nilai momen arah x dan arah y dari Cca Mxca = rybt*Cca
(3-18a)
Myca = rxbt*Cca
(3-18b)
Cari fungsi regangan untuk mengetahui regangan pada tulangan ε(x , y)= 0.0015 -
0.003 [0.5(T1T4 − T2 T3 )+ (T4 − T2 )x + (T1 − T3 )y] D
(3-19)
Dimana :
T1 = ( xa − xb ) T2 = ( y a − yb ) T3 = ( xa − xc ) T4 = ( y a − yc ) D = T1 * T4 − T2 * T3 Gunakan fungsi regangan untuk mencari regangan (εsj) pada tulangan (xj, yj) dengan cara memasukkan koordinat tulangan pada fungsi regangan hitung kapasitas tegangan tulangan dengan fungsi regangan yang telah diketahui
33
Toni Tanuwijaya/ 15002030 Y a b tulanga
Cc
0
X c
Yakni σsj= Es * εsj
N.A
(3-20)
Maka kapasitas gaya tulangan adalah : Csa = σja*As Dimana Es = 200,000 Mpa As = π*(d/2)^2
Cari lengan momen untuk tulangan (rxj dan ryj) yakni jarak dari posisi tulangan (xst, yst) pada koordinat asal ke titik centroid (0,0) hitung nilai momen arah x dan arah y dari Cca Mxsja = ryj*Cca
(3-22a)
Mysja = rxj*Cca
(3-22b)
Hitung momen total dari tulangan Mxsa = ∑ Mysa = ∑
(3-23a) (3-23b)
Jadi nilai tahanan kolom beton pada iterasi sudut s dan iterasi geser g adalah: 34
Toni Tanuwijaya/ 15002030 Pga = Cca + Csa
(3-24)
Mxga = Mxca + Mxsa
(3-25a)
Myga = Myca + Mysa
(3-25b)
Nilai Pga, Mxga dan Myga di plot pada diagram 3 dimensi untuk mendapatkan permukaan keruntuhan kolom
35
