BAB 3 PEMBAHASAN
3.1
Pengolahan Data
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, rantai markov atau proses markov akan digunakan untuk menganalisa data yang diperoleh dalam penelitian ini. Contoh kasus yang digunakan dalam tulisan skripsi ini adalah peluang penyediaan kamera dari sebuah toko, besarnya biaya yang dibutuhkan untuk memperbaiki mesin yang rusak dan peluang steady state yang diperoleh dari suatu sistem PABX yang memiliki 4 line hunting
Contoh 1: Sebuah toko kamera menyediakan model kamera yang terbaru yang dapat dipesan tiap minggu. Misalkan D 1 , D 2 ,…. mewakili permintaan dari kamera (kamerakamera akan dijual jika tidak dihabiskan) selama minggu pertama, minggu kedua, …., berturut-turut. Ini dapat diasumsikan bahwa D i adalah bebas dan variabel acak yang didistribusikan memiliki distribusi poisson dengan rata-rata 1. Misalkan X 0 mewakili jumlah kamera yang tersedia mula-mula, X 1 jumlah kamera yang tersedia pada akhir minggu 1, X 2 jumlah kamera yang tersedia pada akhir minggu 2, dan seterusnya. -
Misalkan X 0 = 3
-
Pada malam sabtu toko memasukkan pesanan dimana pesanan dikirim pada saat toko dibuka hari senin.
-
Toko mengeluarkan kebijaksanaan: Apabila tidak ada persediaan kamera, 3 kamera dipesan. Sebaliknya tidak dipesan jika persediaan ada.
-
Penjual mengalami rugi apabila permintaan melebihi barang-barang yang ada
Tentukan Peluang Steady State dari permintaan kamera tersebut! •
X t adalah jumlah kamera yang disediakan pada setiap akhir minggu t, dimana X t mewakili state dari waktu t
•
X t = i, X t+1 bergantung pada D t+1 dan X t (Sifat Markov)
Universitas Sumatera Utara
•
D t memiliki distribusi poisson dengan jumlah sama dengan 1. Artinya bahwa P(D t+1 = n) = e-11n / n untuk n = 0, 1,..
•
P(D t = 0) = e-1 = 0.368
•
P(D t = 1) = e-1 = 0.368
•
P(D t = 2) = (1/2) e-1 = 0.184
•
P(D t ≥ 3) = 1 – (0.368+0.368+0.184) = 0.08
•
X t+1 = max(3-D t+1 , 0) if X t = 0 and X t+1 = max(X t – D t+1 , 0) if X t ≥ 1, for t = 0,1,2,….
•
Matriks transisi satu langkah P 03 = P(D t+1 = 0) = 0.368
•
P 02 = P(D t+1 = 1) = 0.368
•
P 01 = P(D t+1 = 2) = 0.184
•
P 00 = P(D t+1 ≥ 3) = 0.080
P=
Matriks Transisi 1 langkah
P =
Matriks Transisi 2 langkah
Universitas Sumatera Utara
Matriks Transisi 4 langkah P(4) = P(2) P(2)
Matriks Transisi 8 langkah P(8) = P(4) P(4)
Peluang Steady State Peluang peralihan tingkat keadaan seimbang (Peluang Steady State) adalah peluang peralihan yang sudah mencapai keseimbangan, sehingga tidak akan berubah terhadap perubahan waktu yang terjadi atau perubahan tahap yang terjadi. Secara formal peluang peralihan tingkat keadaan seimbang didefinisikan sebagai berikut:
dimana: = batas distribusi peluang tingkat keadaan seimbang dalam keadaan j = Peluang perpindahan dari state i ke state j setelah n langkah Peluang Steady State memenuhi persamaan steady state dibawah ini
Universitas Sumatera Utara
Dari matriks P yang ada maka dicari Pn untuk mengetahui matriks P itu regular atau tidak.
Misalkan P2
Karena P2 merupakan matriks regular yaitu memiliki elemen-elemen yang positif, maka dapat ditentukan peluang Steady State dari matriks P
+
+ 1 = π0 + π1 + π2 + π3 Sekarang perhatikan matriks peluangnya: Baris pertama menyatakan State 1 = 0.080 State 0 + 0.184 State 1 + 0.368 State 2 + 0.368 State 3 Demikian halnya dengan seterusnya. Sehingga sistem linear F = (I – P t)
= 0 adalah
I=
Universitas Sumatera Utara
P=
(I – P) =
Maka Sistem Linear F = (I – P t)
= 0 adalah:
Jika persamaan diatas diselesaikan dengan bentuk eselon baris tereduksi untuk matriks maka diperoleh: Vektor Steady State dari sistem tersebut adalah :
1. Peluang permintaan kamera terbaru pada state 0 atau mula – mula dalam keadaan seimbang tanpa memperhitungkan keadaan awal adalah 0.286 2. Peluang permintaan kamera terbaru pada state 1 atau pada akhir minggu 1 dalam keadaan seimbang tanpa memperhitungkan keadaan awal adalah 0.285 3. Peluang permintaan kamera terbaru pada state 2 atau pada akhir minggu 2 dalam keadaan seimbang tanpa memperhitungkan keadaan awal adalah 0.264 4.
Peluang permintaan kamera terbaru pada state 3 atau pada akhir minggu 3 dalam keadaan seimbang tanpa memperhitungkan keadaan awal adalah 0.166
Universitas Sumatera Utara
Contoh 2: Seorang pengusaha mencoba memperhitungkan berapa banyaknya biaya untuk perawatan mesin Mr. Andrew. Dia memperhitungkan bahwa biaya untuk perawatan $300 setiap hari jika mesin dalam perbaikan. Mereka memperkirakan bekerjanya mesin dengan baik menurut peraturan Rantai Markov. Jika mesin itu bekerja hari ini, maka peluang untuk bekerja waktu yang akan datang 95%. Berapa akan dibayar Mr. Andrew tiap tahunnya?
0.95
0.05
Bekerja (w)
0.6
Rusak (B)
0.4 Gambar 3.1 Peluang Mesin dalam kondisi Bekerja atau Rusak
Untuk menjawab pertanyaan di atas. Diperoleh batas distribusi
=(
) untuk
rantainya. dimana P =
Maka:
Dari persamaan di atas diperoleh:
Maka diperoleh persamaan
=
,
=
Universitas Sumatera Utara
Maka mesin yang rusak diperkirakan 9 hari sekali. Maka biaya yang dibutuhkan untuk memperbaiki mesin tersebut Maka Biaya untuk tiap tahun diperkirakan $12,000
Contoh 3 Suatu sistem PABX memiliki 4 jalur sibuk (line hunting) dengan satu nomor yang sama. Rata-rata penggunaan jalur (line) dari luar / dalam diasumsikan tetap mengikuti proses Poisson dengan parameter . Lama bicara rata-rata juga tetap dan mengikuti proses eksponensial dengan parameter . Sistem ini memiliki lima status
. Diketahui
rata 15 menit (
= 6 call / jam dan lama pembicaraan rata –
pembicaraan / jam). Hitung peluang steady state sistem
tersebut! Jawab: Karena ada lima status
, E n , maka ada n jalur yang sedang
digunakan. Maka dalam keadaan steady state diperoleh: S=1+ S=1+ S = 13,1875
untuk n = 0, 1, 2, 3, 4
= 0,07583 = 0,11374
Universitas Sumatera Utara
= 0,25592 = 0,38389
Dengan melihat rata-rata peluang diatas maka dapat disimpulkan sistem akan cenderung sibuk walaupun jumlah jalur (line) ditambah. Namun apabila berkurang, misalnya jika
berturut-turut 6, 5, 4, 3 akan menghasilkan
kemungkinan ada line yang kosong yang lebih baik sebagai berikut: p 0 = 0,13061 p 1 = 0,19592 p 2 = 0,24490 p 3 = 0,24490 p 4 = 0,18367
1. Peluang steady state yang diperoleh pada Sistem PABX adalah:
0,07583 = 0,11374
= 0,25592 = 0,38389
Dengan melihat peluang steady state dapat disimpulkan bahwa sistem tersebut akan cenderung sibuk walaupun jumlah line ditambah.
Universitas Sumatera Utara
BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpulan Dari uraian bab-bab sebelumnya dapat diambil kesimpulan sebagai berikut: 2. Peluang steady state yang diperoleh pada perusahaan kamera tersebut adalah:
Dimana peluang permintaan kamera terbaru pada state 0 atau mula – mula sampai pada akhir minggu atau state 3 mengalami penurunan. Karena nilai steady statenya sudah sama dengan pn maka hasil yang diperoleh sudah benar.
3. Peluang steady state yang diperoleh pada Sistem PABX adalah:
0,07583 = 0,11374
= 0,25592 = 0,38389 Dengan melihat peluang steady state dapat disimpulkan bahwa sistem tersebut akan cenderung sibuk walaupun jumlah line ditambah.
4.2
Saran 1) Rantai Markov merupakan salah satu cara dalm pengambilan keputusan dimana aplikasinya dapat digunakan dalam berbagai bidang yaitu ekonomi, politik, kependudukan, industri, pertanian,
Universitas Sumatera Utara
kesehatan dan lain lain. Untuk penerapan rantai markov pada waktu diskrit sudah banyak diteliti. Bagi seseorang yang ingin meneliti tentang rantai markov, dapat juga menerapkan rantai markov pada waktu kontinu dalam kasus-kasus yang lain.
2) Peluang steady state pada perusahaan kamera menunjukkan bahwa permintaan kamera tiap minggunya berkurang. Oleh karena itu penyediaan kamera tidak perlu ditambah lagi.
3) Peluang steady state pada sistem PABX menunjukkan sistem akan cenderung berada dalam kondisi sibuk. Untuk menanggulanginya maka
harus semakin kecil, artinya penggunaan line atau jalur
harus menurun supaya ada line yang kosong sehingga sistem tersebut tidak terlalu sibuk.
Universitas Sumatera Utara
