BAB 3. FUNGSI
Jurusan Teknik Informatika Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Jember
1st November 2016
Ilham Saifudin (TI)
BAB 3. FUNGSI
1st November 2016
1 / 23
Outline
1
Fungsi Definisi Fungsi Bentuk fungsi Macam-macam Fungsi Komposisi fungsi Fungsi Karakteristik
Ilham Saifudin (TI)
BAB 3. FUNGSI
1st November 2016
2 / 23
Fungsi
Definisi Fungsi
BAB 3. FUNGSI
1
Fungsi Definisi Fungsi Bentuk fungsi Macam-macam Fungsi Komposisi fungsi Fungsi Karakteristik
Ilham Saifudin (TI)
BAB 3. FUNGSI
1st November 2016
3 / 23
Fungsi
Definisi Fungsi
Definisi
Fungsi adalah sebuah relasi binary dimana masing-masing anggota dalam himpunan A (domain) hanya mempunyai satu bayangan pada himpunan B (kodomain).
Ilham Saifudin (TI)
BAB 3. FUNGSI
1st November 2016
4 / 23
Fungsi
Definisi Fungsi
Definisi Notasi Fungsi : f :A→B dibaca f adalah fungsi dari A ke B atau f memetakan A ke B A disebut daerah asal(domain) dari f dan B disebut daerah hasil (kodomain) dari f . Nama lain untuk fungsi adalah pemetaanatau transformasi Kita menuliskan f (a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen bdi dalam B. Jika f (a) = b, maka b dinamakan bayangan(image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan(pre-image) dari b. Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f . Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B.
Ilham Saifudin (TI)
BAB 3. FUNGSI
1st November 2016
5 / 23
Fungsi
Definisi Bentuk fungsi
BAB 3. FUNGSI
1
Fungsi Definisi Fungsi Bentuk fungsi Macam-macam Fungsi Komposisi fungsi Fungsi Karakteristik
Ilham Saifudin (TI)
BAB 3. FUNGSI
1st November 2016
6 / 23
Fungsi
Definisi Bentuk fungsi
Definisi Bentuk fungsi diantaranya: 1
Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi.
2
Formula pengisian nilai (assignment). Contoh: f (x) = x 2 + 10
3
Kata-kata. Contoh: f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu string biner.
4
Kode program (source code) Contoh: Fungsi menghitung |x| fungction abs (x:integer):integer; begin if x < 0 then abs:=−x else abs:=x; end;
Ilham Saifudin (TI)
BAB 3. FUNGSI
1st November 2016
7 / 23
Fungsi
Definisi Bentuk fungsi
Definisi Bentuk fungsi diantaranya: 1
Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi.
2
Formula pengisian nilai (assignment). Contoh: f (x) = x 2 + 10
3
Kata-kata. Contoh: f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu string biner.
4
Kode program (source code) Contoh: Fungsi menghitung |x| fungction abs (x:integer):integer; begin if x < 0 then abs:=−x else abs:=x; end;
Ilham Saifudin (TI)
BAB 3. FUNGSI
1st November 2016
7 / 23
Fungsi
Definisi Bentuk fungsi
Definisi Bentuk fungsi diantaranya: 1
Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi.
2
Formula pengisian nilai (assignment). Contoh: f (x) = x 2 + 10
3
Kata-kata. Contoh: f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu string biner.
4
Kode program (source code) Contoh: Fungsi menghitung |x| fungction abs (x:integer):integer; begin if x < 0 then abs:=−x else abs:=x; end;
Ilham Saifudin (TI)
BAB 3. FUNGSI
1st November 2016
7 / 23
Fungsi
Definisi Bentuk fungsi
Definisi Bentuk fungsi diantaranya: 1
Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi.
2
Formula pengisian nilai (assignment). Contoh: f (x) = x 2 + 10
3
Kata-kata. Contoh: f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu string biner.
4
Kode program (source code) Contoh: Fungsi menghitung |x| fungction abs (x:integer):integer; begin if x < 0 then abs:=−x else abs:=x; end;
Ilham Saifudin (TI)
BAB 3. FUNGSI
1st November 2016
7 / 23
Fungsi
Macam-macam Fungsi
BAB 3. FUNGSI
1
Fungsi Definisi Fungsi Bentuk fungsi Macam-macam Fungsi Komposisi fungsi Fungsi Karakteristik
Ilham Saifudin (TI)
BAB 3. FUNGSI
1st November 2016
8 / 23
Fungsi
Macam-macam Fungsi
1. Fungsi satu-satu (Injektif) Sebuah fungsi f : A → B dikatakan fungsi satu-satu jika dan hanya jika setiap elemen pada himpunan A mempunyai bayangan yang tidak sama pada elemen B. Contoh: A=himpunan sistem operasi = {MacOS, OS/2} B=himpunan komputer = {IBM, Macitosh}
Ilham Saifudin (TI)
BAB 3. FUNGSI
1st November 2016
9 / 23
Fungsi
Macam-macam Fungsi
2. Fungsi Pada (Surjektif) Sebuah fungsi f : A → B dikatakan fungsi pada jika dan hanya jika setiap elemen pada himpunan B muncul sebagai bayangan dari sekurang-kurangnya satu elemen himpunan A. Contoh: A=himpunan software aplikasi B=himpunan sistem operasi
Ilham Saifudin (TI)
BAB 3. FUNGSI
1st November 2016
10 / 23
Fungsi
Macam-macam Fungsi
3. Fungsi konstan Sebuah fungsi f : A → B dikatakan fungsi konstan jika dan hanya jika setiap elemen pada himpunan B yang menjadi bayangan dari seluruh elemen himpunan A. Contoh: A=himpunan software aplikasi B=himpunan sistem operasi
Ilham Saifudin (TI)
BAB 3. FUNGSI
1st November 2016
11 / 23
Fungsi
Macam-macam Fungsi
4. bijeksi
Fungsi f dikatakan berkoresponden satu-ke-satu atau bijeksi(bijection) jika ia fungsi satu ke satu dan juga fungsi pada. Contoh: f = {(1, u), (2, w ), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w } adalah fungsi yang berkoresponden satu ke satu,karena f adalah fungsi satu ke satu maupun fungsi pada.
Ilham Saifudin (TI)
BAB 3. FUNGSI
1st November 2016
12 / 23
Fungsi
Macam-macam Fungsi
5. Fungsi invers Fungsi invers f −1 : B → A adalah fungsi dimana untuk setiap b ∈ B mempunyai bayangan tunggal dalam himpunan A. Dengan demikian hanya fungsi satu-satu yang memiliki invers.Contoh 1:
Ilham Saifudin (TI)
BAB 3. FUNGSI
1st November 2016
13 / 23
Fungsi
Macam-macam Fungsi
5. Fungsi invers
Contoh 2: Misalkan f (x) =3 log(x − 2), maka f −1 (x) adalah y =3 log(x − 2) 3y = (x − 2) x = 3y + 2 y = 3x + 2 sehingga f −1 = 3x + 2
Ilham Saifudin (TI)
BAB 3. FUNGSI
1st November 2016
14 / 23
Fungsi
Komposisi fungsi
BAB 3. FUNGSI
1
Fungsi Definisi Fungsi Bentuk fungsi Macam-macam Fungsi Komposisi fungsi Fungsi Karakteristik
Ilham Saifudin (TI)
BAB 3. FUNGSI
1st November 2016
15 / 23
Fungsi
Komposisi fungsi
Komposisi fungsi Komposisi fungsi dinyatakan oleh (g ◦ f ) atau (gf ). jika f : A → B dan g : B → C, maka: (g ◦ f ) : A → C (g ◦ f )(a) ≡ g(f (a))
maka: (g ◦ f )(1) = g(f (1)) = g(b) = z (g ◦ f )(2) = g(f (2)) = g(c) = x (g ◦ f )(3) = g(f (3)) = g(b) = z Ilham Saifudin (TI)
BAB 3. FUNGSI
1st November 2016
16 / 23
Fungsi
Komposisi fungsi
Contoh Komposisi fungsi
1. Misalkan f (x) = x 2 − 1 dan g(x) = x + 3 maka: (f ◦ g)(2) = f (g(2)) = f (5) = 24 (g ◦ f )(2) = g(f (2)) = g(3) = 6
Ilham Saifudin (TI)
BAB 3. FUNGSI
1st November 2016
17 / 23
Fungsi
Fungsi Karakteristik
BAB 3. FUNGSI
1
Fungsi Definisi Fungsi Bentuk fungsi Macam-macam Fungsi Komposisi fungsi Fungsi Karakteristik
Ilham Saifudin (TI)
BAB 3. FUNGSI
1st November 2016
18 / 23
Fungsi
Fungsi Karakteristik
Fungsi Karakteristik
Fungsi karakteristik adalah sebuah fungsi yang memetakan semesta pembicaraan ke dalam himpunan (1, 0), dinotasikan: KA : U → (0, 1) dimana 1; jika x ∈ A KA (x) = 0; jika x 6∈ A
Ilham Saifudin (TI)
BAB 3. FUNGSI
1st November 2016
19 / 23
Fungsi
Fungsi Karakteristik
Contoh Fungsi Karakteristik 1. Misalkan U = {a, b, c, d , e, f } dan A = {a, c, e} maka KA : U → (0, 1) dapat didefinisikan melalui diagram berikut:
Ilham Saifudin (TI)
BAB 3. FUNGSI
1st November 2016
20 / 23
Fungsi
Fungsi Karakteristik
Contoh Fungsi Karakteristik
2. Misalkan U = {a, e, i, o, u}, A = {a, e, i} dan B = {e, i, o} buktikan KA∩B = KA KB jawab : e ∈ (A ∩ B) maka e ∈ A dan e ∈ B jadi KA∩B (e) = 1, KA (e) = 1, dan KB (e) = 1 maka KA∩B (e) = (KA KB )(e) = 1.1 = 1 jadi KA∩B = KA · KB
Ilham Saifudin (TI)
BAB 3. FUNGSI
1st November 2016
21 / 23
Fungsi
Fungsi Karakteristik
Latihan Soal 1
2
Diberikan dua fungsi f (x) = 2x 2 + 5x + 1 dan g(x) = 3x. Tentukan (f ◦ g)(x) dan (g ◦ f )(2) ! Diketahui f (x) = x 2 + 1 dan g(x) = 2x − 3, maka tentukan (f ◦ g)(x) !
3
Diberikan dua buah fungsi yaitu f (x) = 2x − 3 dan g(x) = x 2 + 2x + 3. Jika (f ◦ g)(a) = 33, tentukan nilai 2a − 1 !
4
Diketahui (f ◦ g)(x) = 5x − 3 dengan f (x) = x + 2. Tentukan rumus dari g(x) !
5
Diketahui g(x) = x − 3 dengan (f ◦ g)(x) = 2x + 2. Tentukan rumus dari f (x) !
6
Carilah fungsi invers dari f (x) =
Ilham Saifudin (TI)
2x+5 3
BAB 3. FUNGSI
!
1st November 2016
22 / 23
Fungsi
Fungsi Karakteristik
Latihan Soal 1
2
Diberikan dua fungsi f (x) = 2x 2 + 5x + 1 dan g(x) = 3x. Tentukan (f ◦ g)(x) dan (g ◦ f )(2) ! Diketahui f (x) = x 2 + 1 dan g(x) = 2x − 3, maka tentukan (f ◦ g)(x) !
3
Diberikan dua buah fungsi yaitu f (x) = 2x − 3 dan g(x) = x 2 + 2x + 3. Jika (f ◦ g)(a) = 33, tentukan nilai 2a − 1 !
4
Diketahui (f ◦ g)(x) = 5x − 3 dengan f (x) = x + 2. Tentukan rumus dari g(x) !
5
Diketahui g(x) = x − 3 dengan (f ◦ g)(x) = 2x + 2. Tentukan rumus dari f (x) !
6
Carilah fungsi invers dari f (x) =
Ilham Saifudin (TI)
2x+5 3
BAB 3. FUNGSI
!
1st November 2016
22 / 23
Fungsi
Fungsi Karakteristik
Latihan Soal 1
2
Diberikan dua fungsi f (x) = 2x 2 + 5x + 1 dan g(x) = 3x. Tentukan (f ◦ g)(x) dan (g ◦ f )(2) ! Diketahui f (x) = x 2 + 1 dan g(x) = 2x − 3, maka tentukan (f ◦ g)(x) !
3
Diberikan dua buah fungsi yaitu f (x) = 2x − 3 dan g(x) = x 2 + 2x + 3. Jika (f ◦ g)(a) = 33, tentukan nilai 2a − 1 !
4
Diketahui (f ◦ g)(x) = 5x − 3 dengan f (x) = x + 2. Tentukan rumus dari g(x) !
5
Diketahui g(x) = x − 3 dengan (f ◦ g)(x) = 2x + 2. Tentukan rumus dari f (x) !
6
Carilah fungsi invers dari f (x) =
Ilham Saifudin (TI)
2x+5 3
BAB 3. FUNGSI
!
1st November 2016
22 / 23
Fungsi
Fungsi Karakteristik
Latihan Soal 1
2
Diberikan dua fungsi f (x) = 2x 2 + 5x + 1 dan g(x) = 3x. Tentukan (f ◦ g)(x) dan (g ◦ f )(2) ! Diketahui f (x) = x 2 + 1 dan g(x) = 2x − 3, maka tentukan (f ◦ g)(x) !
3
Diberikan dua buah fungsi yaitu f (x) = 2x − 3 dan g(x) = x 2 + 2x + 3. Jika (f ◦ g)(a) = 33, tentukan nilai 2a − 1 !
4
Diketahui (f ◦ g)(x) = 5x − 3 dengan f (x) = x + 2. Tentukan rumus dari g(x) !
5
Diketahui g(x) = x − 3 dengan (f ◦ g)(x) = 2x + 2. Tentukan rumus dari f (x) !
6
Carilah fungsi invers dari f (x) =
Ilham Saifudin (TI)
2x+5 3
BAB 3. FUNGSI
!
1st November 2016
22 / 23
Fungsi
Fungsi Karakteristik
Latihan Soal 1
2
Diberikan dua fungsi f (x) = 2x 2 + 5x + 1 dan g(x) = 3x. Tentukan (f ◦ g)(x) dan (g ◦ f )(2) ! Diketahui f (x) = x 2 + 1 dan g(x) = 2x − 3, maka tentukan (f ◦ g)(x) !
3
Diberikan dua buah fungsi yaitu f (x) = 2x − 3 dan g(x) = x 2 + 2x + 3. Jika (f ◦ g)(a) = 33, tentukan nilai 2a − 1 !
4
Diketahui (f ◦ g)(x) = 5x − 3 dengan f (x) = x + 2. Tentukan rumus dari g(x) !
5
Diketahui g(x) = x − 3 dengan (f ◦ g)(x) = 2x + 2. Tentukan rumus dari f (x) !
6
Carilah fungsi invers dari f (x) =
Ilham Saifudin (TI)
2x+5 3
BAB 3. FUNGSI
!
1st November 2016
22 / 23
Fungsi
Fungsi Karakteristik
Latihan Soal 1
2
Diberikan dua fungsi f (x) = 2x 2 + 5x + 1 dan g(x) = 3x. Tentukan (f ◦ g)(x) dan (g ◦ f )(2) ! Diketahui f (x) = x 2 + 1 dan g(x) = 2x − 3, maka tentukan (f ◦ g)(x) !
3
Diberikan dua buah fungsi yaitu f (x) = 2x − 3 dan g(x) = x 2 + 2x + 3. Jika (f ◦ g)(a) = 33, tentukan nilai 2a − 1 !
4
Diketahui (f ◦ g)(x) = 5x − 3 dengan f (x) = x + 2. Tentukan rumus dari g(x) !
5
Diketahui g(x) = x − 3 dengan (f ◦ g)(x) = 2x + 2. Tentukan rumus dari f (x) !
6
Carilah fungsi invers dari f (x) =
Ilham Saifudin (TI)
2x+5 3
BAB 3. FUNGSI
!
1st November 2016
22 / 23
Fungsi
Fungsi Karakteristik
Thank You
Ilham Saifudin (TI)
BAB 3. FUNGSI
1st November 2016
23 / 23
