Bab 2 Teori Gelombang Elastik Metode seismik secara refleksi didasarkan pada perambatan gelombang seismik dari sumber getar ke dalam lapisan-lapisan bumi kemudian menerima kembali pantulan atau refleksi gelombang dari bidang batas menggunakan alat penerima (geophone) di permukaan bumi. Gelombang akan menjalar dari suatu sumber getar ke segala arah dengan sumber getar sebagai pusat, sehingga terbentuk muka gelombang (wave front) dengan permukaan berbentuk permukaan bola. Arah rambat gelombang digambarkan sebagai lintasan sinar yang tegak lurus terhadap muka gelombang.
Jika ditinjau penjalaran gelombang dalam tiga dimensi, maka secara umum akan dijumpai proses yang begitu kompleks, dikaitkan dengan adanya refleksi, refraksi, absorpsi, hamburan radiasi, dll. Secara sederhana penjalaran gelombang di bawah permukaan bisa digambarkan melalui dua komponen utama yaitu muka gelombang (wave front) dan berkas sinar (raypath).
Muka gelombang adalah geometri dari suatu gangguan seismik, yang digambarkan sebagai bentuk lingkaran dalam penampang 2D atau bentuk bola dalam penampang 3D dan mempunyai jarak tertentu dari suatu sumber energi. Sedangkan berkas sinar menggambarkan arah penjalaran gelombang dan mempunyai geometri yang tegak lurus terhadap muka gelombang.
Gambar 2.1 Ilustrasi Muka Gelombang dan Berkas Sinar Gelombang
2.1
Sifat dan jenis gelombang seismik
Pulsa seismik merambat melewati batuan dalam bentuk gelombang elastis yang mentransfer energi menjadi pergerakan partikel batuan. Gelombang elastik dapat dibagi dua yaitu gelombang tubuh (body wave) dan gelombang permukaan (surface wave). a. Gelombang tubuh (body wave) Gelombang tubuh merupakan gelombang yang energinya ditransfer melalui medium di dalam bumi. Berdasarkan sifat gerakan partikel mediumnya, gelombang tubuh dibagi menjadi dua, yaitu gelombang P dan gelombang S. Gelombang Pressure (P) disebut juga gelombang kompresi. Gerakan partikel pada gelombang ini searah dengan arah penjalaran gelombang. Gelombang shear dikenal juga sebagai gelombang sekunder yang kecepatannya lebih rendah dari gelombang P. Gelombang ini disebut juga gelombang S atau transversal yang memiliki gerakan partikel yang berarah tegak lurus terhadap arah penjalaran gelombang. Jika arah gerakan partikel merupakan bidang
horizontal, maka gelombang tersebut adalah gelombang S Horizontal (SH) dan jika pergerakan partikelnya vertikal, maka gelombang tersebut adalah gelombang S Vertikal (SV).
(a)
(b) Gambar 2.2 Ilustrasi trayektori gerakan partikel dari (a) gelombang pressure (gelombang longitudinal), (b) gelombang transversal. (Sheriff, 1995)
b. Gelombang permukaan (surface wave) Gelombang permukaan merupakan gelombang yang memiliki amplitudo besar dan frekuensi rendah yang menjalar pada permukaan bebas (free surface).
Berdasarkan sifat gerakan partikel mediumnya, maka gelombang permukaan di bagi menjadi 2 yaitu gelombang Rayleigh dan gelombang love.
Gambar 2.3
Ilustrasi gelombang permukaan (a) gelombang Rayleigh, (b) gelombang Love. (Sheriff, 1995)
Gelombang Rayleigh atau dikenal juga dengan nama Ground roll merupakan gelombang permukaan yang gerakan partikelnya merupakan kombinasi gerakan partikel gelombang P dan S, yaitu berbentuk ellips. Sumbu mayor elips tegak lurus dengan permukaan dan sumbu minor sejajar dengan arah penjalaran gelombang. Kecepatan gelombang Rayleigh bergantung pada konstanta elastik dekat permukaaan dan nilainya selalu lebih kecil dari gelombang S (Vs).
Gelombang love merupakan gelombang permukaan yang menjalar dalam bentuk gelombang transversal. Gerakan partikelnya mirip dengan gelombang S. Kecepatan penjalarannya bergantung pada panjang gelombangnya dan bervariasi di sepanjang permukaan.
Gambar 2.4 Ilustrasi trayektori gerakan partikel gelombang permukaan (a) gelombang Rayleigh (b) gelombang Love. (Sheriff, 1995)
2.2
Persamaan Gelombang Elastis
Gelombang yang berada pada keadaan tidak teredam dapat dinyatakan dengan persamaan berikut : 1 ∂ 2ψ v 2 ∂t 2
(2.1)
∂ ∂ ∂ ∇ = iˆ + ˆj + kˆ ∂x ∂y ∂z
(2.2)
∇ 2ψ = dengan
Persamaan rambat gelombang P dan S dapat diturunkan dari Hukum Hooke yang menyatakan hubungan stress (gaya persatuan luas) dan strain (perubahan dimensi) sebagai:
σ ii = λΔ + 2με ii
(2.3)
σ ij = με ij
(2.4)
; i≠j
dalam persamaan tersebut i,j = x,y,z sedangkan λ dan μ dikenal sebagai konstanta lame. konstanta μ didefinisikan sebagai kemampuan menahan strain geser,
sehingga μ seringkali disebut sebagai modulus geser. Δ adalah perubahan volume sebagai akibat dari tekanan : Δ=
∂u ∂v ∂w + + ∂x ∂y ∂z
Persamaan (2.3) menyatakan hubungan antara stress ( σ ii ) dan strain ( ε ii ) pada keadaan satu arah sedangkan persamaan (2.4) menyatakan hubungan stress dan strain yang saling tegak lurus.
Dalam hukum Newton, gaya (F) pada suatu benda setara dengan massa benda (M) dikali dengan percepatannya (a). Sehubungan dengan pergeseran (u) sebagai akibat dari tekanan sepanjang sumbu-x, hukum Newton tersebut diungkapkan sebagai berikut:
ρ
∂ 2u ∂Δ = (λ + μ ) + μ∇ 2 u 2 ∂x ∂t
(2.5)
dengan ρ adalah massa jenis bahan. Sehubungan dengan tekanan dalam arah sumbu-y dengan pergeseran v :
ρ
∂ 2v ∂Δ = (λ + μ ) + μ∇ 2 v 2 ∂y ∂t
(2.6)
dan dalam arah sumbu-z dengan pergeseran w :
ρ
∂2w ∂Δ = (λ + μ ) + μ∇ 2 w 2 ∂z ∂t
(2.7)
Jika persamaan (2.5) didifferensialkan terhadap x, persamaan (2.6) di differensialkan terhadap y dan persamaan (2.7) terhadap z lalu dijumlahkan, akan didapat :
ρ
∂ 2Δ = (λ + 2 μ )∇ 2 Δ ∂t 2
(2.8)
Persamaan (2.8) adalah persamaan untuk gelombang P karena beroperasi pada arah sejajar (searah) dengan komponen gaya. Jika persamaan (2.8) dibandingkan dengan persamaan gelombang umum (2.1), maka akan diperoleh perumusan kecepatan gelombang P, yaitu:
Vp =
λ + 2μ ρ
dengan λ adalah konstanta Lame dan ρ adalah densitas.
(2.9)
Selanjutnya hubungan dengan gerak puntir ditulis dalam persamaan: ∂ 2θ x ρ 2 = μ∇ 2θ x ∂t
(2.10)
r r r dengan θ = ∇xζ , yang menyatakan vektor sudut puntir. Persamaan (2.10) ini
disebut juga sebagai persamaan gelombang S karena gelombang merambat dengan gerakan memutar (curl).
Dengan membandingkan persamaan (2.10) dan persamaan gelombang umum (2.1) maka diperoleh kecepatan gelombang S, yaitu : Vs =
μ ρ
(2.11)
dengan μ adalah modulus geser dan ρ adalah massa jenis. Berdasarkan persamaan ini, gelombang S tidak dapat merambat pada medium cair maupun udara karena cairan dan udara mempunyai modulus geser bernilai nol.
2.3
Prinsip Huygens
Prinsip Huygens merupakan salah satu pendekatan yang digunakan untuk menggambarkan penjalaran gelombang yang berada di bawah permukaan. Prinsip ini menyatakan bahwa setiap titik pada muka gelombang bertindak sebagai sumber baru untuk muka gelombang berikutnya. Jadi jika diketahui terdapat suatu muka gelombang x pada waktu t yang dihasilkan dari suatu sumber S, maka untuk mendapatkan muka gelombang dengan waktu t + ∆t, dapat dilakukan dengan cara membuat lingkaran-lingkaran wavelet sekunder dengan jari-jari v∆t yang dibuat dari setiap titik pada muka gelombang x dan kemudian membuat garis-garis
singgungnya sepanjang lintasan tersebut sehingga diperoleh muka gelombang baru dengan waktu t+∆t.
Gambar 2.5 Prinsip Huygens
2.4
Hukum Snellius
Hukum snellius menunjukkan hubungan antara sudut refleksi dan sudut refraksi muka gelombang pada batas antar medium yang memiliki perbedaan kecepatan gelombang.
Gambar 2.6 Hukum Snellius Penjalaran Sinar Gelombang Melalui Medium Berbeda
Gambar di atas memperlihatkan penjalaran secara periodik gelombang bidang yang melewati permukaan datar perbatasan antara dua medium. Pada medium pertama panjang gelombangnya adalah λ1 = v1 panjang gelombangnnya adalah λ2 = v2
f
f
sedangkan untuk medium kedua
. Pada saat gelombang melewati daerah
perbatasan antara dua medium maka harus berlaku kontinuitas untuk gelombang refleksi dan gelombang transmisi. Jika kontinuitas tidak berlaku maka muka gelombang di medium 1 akan mendahului atau justru tertinggal dari muka gelombang di medium 2. Untuk menghindari hal ini dan mempertahankan kontinuitas selama melewati daerah batas dengan panjang gelombang yang berbeda maka gelombang refleksi dan gelombang transmisi haruslah memiliki besar sudut yang berbeda terhadap garis normal bidang batas.
2.5
Prinsip Fermat
Prinsip Fermat menyatakan bahwa gelombang yang menjalar dari satu titik ke titik yang lain akan memilih lintasan dengan waktu tempuh tercepat. Prinsip Fermat dapat diaplikasikan untuk menentukan lintasan sinar dari satu titik ke titik yang lainnya yaitu lintasan yang waktu tempuhnya bernilai minimum. Dengan diketahuinya lintasan dengan waktu tempuh minimum maka dapat dilakukan penelusuran jejak sinar yang telah merambat di dalam medium. Penelusuran jejak sinar seismik ini akan sangat membantu dalam menentukan posisi reflektor di bawah permukaan. Jejak sinar seismik yang tercepat ini tidaklah selalu berbentuk garis lurus.
