B. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ I. MECHANICKÉ KMITÁNÍ 8.1 Kmitavý pohyb a) mechanické kmitání (kmitavý pohyb) – pohyb, při kterém kmitající těleso zůstává stále v okolí určitého bodu – tzv. rovnovážné polohy (neustále se do ní vrací) – periodický kmitavý pohyb: těleso pravidelně prochází rovnovážnou polohou (např. těleso zavěšené na pružině, struna kytarová, kyvadlo hodin, písty motoru, srdce, bungee jumping, …) b) mechanický oscilátor – zařízení, které může volně kmitat bez vnějšího působení – např.
těleso zavěšené těleso zavěšené kulička na pružině na pevném vlákně v prohlubni – příčinou kmitání: síla pružnosti pružiny, pohybová složka tíhové síly – trajektorie: přímočará i křivočará c) časový diagram – závislost okamžité výchylky kmitajícího tělesa na čase
– těleso ve stejných časových intervalech urazí různé dráhy ⇒ kmitavý pohyb je pohyb nerovnoměrný d) kmit – periodicky se opakující část kmitavého pohybu Rozlišuj!
kmit
kyv
(tam a zpět)
(tam)
– doba kmitu (perioda) 𝑻: doba, za kterou proběhne 1 kmit , tj. doba, za kterou se opakuje pohybový stav oscilátoru – frekvence (kmitočet) 𝒇: počet kmitů za časovou jednotku (převrácená hodnota periody a naopak) 𝟏 𝟏 𝒇= 𝑻= 𝑻 𝒇 𝟏 [𝒇] = = s –𝟏 = Hz (hertz) [𝑻] = s – v praxi: kHz, GHz s
f) příklady ① Určete periodu a frekvenci pružinového oscilátoru, jehož časový diagram je na obr. [2 s; 0,5 Hz] 1 1 –1 = 𝑠 = 0,5 Hz 𝑇 2
– z obr. 𝑇 = 2 s ⇒ 𝑓 =
② Mechanický oscilátor vykonal za minutu 300 kmitů. Určete periodu a frekvenci kmitání.
[0,2 s; 5 Hz] za 1 min … 300 kmitů 𝑓 = ? Hz 𝑇 =? s
1 1 1 = 300 ∙ = 5 = 5 Hz min 60 s s 1 1 𝑇 = = s = 0,2 s 𝑓 5
⇒ 𝑓 = 300
③ Nejvyšší tóny, které lze vnímat sluchem, mají frekvenci 16 kHz. Určete periodu tohoto kmitání.
[62,5·10–6 s] 𝑓 = 16 kHz = 16 ∙ 103 Hz 𝑇 =? s
𝑇=
1 1 = s = 62,5 ∙ 10–6 s 𝑓 16 ∙ 103
④ Změřte počet tepů svého srdce za minutu a určete periodu a frekvenci srdeční činnosti.
⑤ Periodické děje (nejen mechanické)
Periodický děj
Perioda
Frekvence
𝑻 (s)
𝒇 (Hz)
kmitání lidského srdce
0,8
1,25
střídavý proud v elektrické síti
0,02
50
zvuk tónu 𝒂𝟏 (tzv. komorní 𝒂)
2,27 ∙ 10–3
440
10–3
103
3 ∙ 10–5
3,3 ∙ 104
kmitání procesoru počítače (příklad)
2,5 ∙ 10–9
4 ∙ 108
frekvenční pásmo mobilních telefonů
1,1 ∙ 10–9
9 ∙ 108
10–11
1011
tón časového signálu v rozhlase kmitání křemenného krystalu v hodinkách (přibližná hodnota)
signál družicové televize (řádově) http://imagem.casadasciencias.org/online/37751085/37751085.php
8.2 Kinematika harmonického kmitavého pohybu a) harmonický kmitavý pohyb (harmonické kmitání) – kmitavý pohyb, jehož časový diagram má sinusový průběh (případně kosinusový) – pohyb periodický, nerovnoměrný, okamžitá výchylka se mění podle funkce sinus – základní kinematické veličiny: okamžitá výchylka, rychlost, zrychlení [kinematika – popisuje pohyb, aniž zkoumá příčiny] b) graf závislosti okamžité výchylky na čase – uvaž. např. pružinový oscilátor (volně kmitající těleso zavěšené na pružině)
𝑡0 = 0 s při pohybu oscilátoru rovnovážnou polohou směrem vzhůru
– okamžitá výchylka 𝒚: okamžitá poloha těžiště tělesa (určena souřadnicí 𝑦 vzhledem k rovnovážné poloze) – amplituda výchylky 𝒚m: absolutní hodnota největší (maximální) výchylky (vzhledem k rovnov. poloze) c) při odvozování vztahů využíváme srovnání s rovnoměrným pohybem po kružnici (kmitavému pohybu odpovídá průmět rovnoměrného pohybu po kružnici do svislé roviny) – v počát. čase 𝑡0 = 0 s bod 𝑀 v bodě 𝑋 – v čase 𝑡 bod 𝑀 svírá s osou 𝑥 úhel 𝜑 a pohybuje se úhlovou rychlostí 𝜔 – průmět 𝑀′ bodu 𝑀 do osy 𝑦 odpovídá okamžité výchylce 𝑦 oscilátoru v bodě 𝑀′ – z obr.
𝑦 ⇒ 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 𝑟 – protože 𝑦m = 𝑟 ⇒ 𝑦 = 𝑦m sin 𝜑 – dále 𝜑 = 𝜔𝑡 ⇒ 𝑦 = 𝑦m sin 𝜔𝑡 sin 𝜑 =
d) vztah pro okamžitou výchylku (základní rovnice harmonického kmitání) 𝒚 = 𝒚m 𝐬𝐢𝐧 𝝋 = 𝒚m 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕
(𝑠 = 𝑣𝑡)
𝝋 … fáze – určuje jednoznačně výchylku oscilátoru v čase 𝑡 (více samostatný článek – viz dále) 𝝋 = 𝝎𝒕 𝝎 … úhlová frekvence (u kmitání takto nazýváme úhlovou rychlost z rovn. poh. po kružnici) 𝝎=
𝟐π = 𝟐π𝒇 𝑻
[𝜔 ] =
1 rad ] … jako pro frekvenci = s –1 [= s 𝑠
e) příklady (více praktické cvičení) ① Rovnice harmonického kmitání má tvar {𝑦} = 5,0 ∙ 10–3 sin 4π{𝑡}. Určete a) amplitudu výchylky,
b) jeho frekvenci. [5,0 ∙ 10–3 m, 2 s –1]
② Hmotný bod kmitá harmonicky s amplitudou 1,5 cm a s periodou 0,2 s. Napište rovnici
harmonického kmitání. Dále určete výchylku v čase 1 s. [{𝑦} = 1,5 ∙ 10–2 sin 10π{𝑡}, 𝑦 = 0 m prochází rovnovážnou polohou]
③ Nejtenčí struna kytary vydává tón 𝑒 1 o frekvenci asi 330 Hz. Napište rovnici harmonického
kmitání bodu uprostřed struny, jestliže jsme střed struny vychýlili o 2 mm. Za počáteční okamžik volte průchod bodu rovnovážnou polohou. Předpokládejte, že struna kmitá delší dobu se stálou amplitudou. [{𝑦} = 2 ∙ 10–3 sin 660π{𝑡}]
④ Hmotný bod kmitá harmonicky podle rovnice 𝑦 = 0,05 sin 0,5π{𝑡} m. Za jakou nejkratší dobu se
přemístí z rovnovážné polohy do vzdálenosti a) rovné amplitudě [1 s]
1
b) rovné polovině amplitudy [3 s]
⑤ Napište rovnici kmitavého pohybu, jehož graf závislosti okamžité výchylky na čase je na obr. π
a určete okamžitou výchylku v čase 𝑡1 = 0,5 s. [{𝑦} = 2 sin 2 {𝑡} , 𝑦 = √2 m ≐1,4 m]
⑥ Za jak dlouho od počátku pohybu je výchylka z rovnovážné polohy rovna polovině amplitudy,
jestliže těleso koná harmonické kmity s dobou periody kmitu 𝑇 = 6 s. [0,5 s]
⑦ Harmonický kmitavý pohyb je určen rovnicí 𝑦 = 7 ∙ 10–2 sin 0,5π{𝑡} m. Určete nejkratší dobu
pohybu z rovnovážné polohy do polohy krajní. [1 s]
⑧ Určete dobu od počátečního okamžiku, za kterou hmotný bod dosáhne výchylky 𝑦 = – 5 mm,
pokud kmitá podle rovnice {𝑦} = 5,0 ∙ 10–3 sin 4π{𝑡}. [0,375 s]
8.3 Rychlost a zrychlení kmitavého pohybu ⃗ a) vztah pro rychlost 𝒗 – využijeme opět souvislostí s rovnoměrným pohybem po kružnici – rychlost 𝑣 odpovídá průmětu vektoru 𝑣0 do osy 𝑦 (𝑣0 rychlost rovnoměr. pohybu po kružnici, má směr tečny ke kružnici v daném bodě, 𝑣0 = 𝜔𝑟) 𝑣
cos 𝜑 = 𝑣
0
⇒ 𝑣 = 𝑣0 cos 𝜑 a protože 𝜑 = 𝜔𝑡 𝑣 = 𝑣0 cos 𝜔𝑡 a protože 𝑣0 = 𝜔𝑟 𝑣 = 𝜔𝑟 cos 𝜔𝑡 a protože 𝑟 = 𝑦m 𝑣 = 𝜔𝑦m cos 𝜔𝑡
𝒗 = 𝝎𝒚m 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕
– velikost okamžité rychlosti se mění periodicky podle funkce kosinus – největší, tzv. amplituda rychlosti 𝒗m: při průchodu rovnovážnou polohou 𝒗m = 𝝎𝒚m 𝑣 = 𝜔 𝑦m cos ⏟ 𝜔𝑡 ⇒ 𝑣m = 𝜔 𝑦m =1 ⇔ 𝜔𝑡 = 0
– nejmenší, nulová: při průchodu krajními polohami, tj. pro maximální výchylku 𝑦 = 𝑦m 𝒗 = 𝟎 ⇔ 𝒚 = ± 𝒚m 𝑣 = 𝜔𝑦m cos ⏟ 𝜔𝑡 = 0 =0 ⇔ cos 90° nebo cos 270°
⃗ b) vztah pro zrychlení 𝒂 – zrychlení 𝑎 odpovídá průmětu vektoru 𝑎0 do osy 𝑦 (𝑎0 zrychlení rovnom. pohybu po kružnici, směřuje do středu kružnice, 𝑎0 = 𝜔2 𝑟) – má opačný směr než výchylka 𝑎
sin 𝜑 = 𝑎
0
⇒ 𝑎 = −𝑎0 sin 𝜑 𝜑 = 𝜔𝑡 𝑎 = −𝑎0 sin 𝜔𝑡 a protože 𝑎0 = 𝜔2 𝑟 𝑎 = −𝜔2 𝑟 sin 𝜔𝑡 a protože 𝑟 = 𝑦m 𝑎 = −𝜔2 𝑦 ⏟m sin 𝜔𝑡 2
𝑦 = 𝑦m sin 𝜔𝑡
𝑎 = −𝜔 𝑦
𝒂 = −𝝎𝟐 𝒚m 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕
𝒂 = −𝝎𝟐 𝒚 … zrychlení je přímo úměrné výchylce 𝑦 a v každém okamžiku má opačný směr než výchylka
– velikost zrychlení se mění – největší: při amplitudě výchylky
[! u rovnom. pohybu po kružnici 𝑎 = konst. !]
𝒂m = −𝝎𝟐 𝒚m – nejmenší, nulové: při průchodu rovnovážnou polohou 𝒂=𝟎 – při pohybu z rovnovážné polohy: pohyb zpomalený do rovnovážné polohy: pohyb zrychlený
𝑎 = −𝜔2 𝑦m sin ⏟ 𝜔𝑡 = −𝜔2 𝑦m sin 𝜔𝑡 = sin 𝜑 = 1 ⇔ 𝜑 = 90° ⋁ 270°
𝑎 = −𝜔2 𝑦m sin ⏟ 𝜔𝑡 = −𝜔2 𝑦m sin 𝜔𝑡 = 0 ⇔ sin 𝜑 = 0 ⇔ 𝜑 = 0
c) časové diagramy kinematických veličin kmitavého pohybu
d) ROZŠIŘUJÍCÍ UČIVO (IV. ROČ. M) – diferenciální počet – vztahy pro derivování (pouze ty, které budeme potřebovat) 𝑦 = sin 𝑥 ⇒
d𝒚 d𝒙
= 𝒚′ = (sin 𝒙)′ = 𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝑦 = cos 𝑥 ⇒
d𝒚 d𝒙
= 𝒚′ = (cos 𝒙)′ = −𝐬𝐢𝐧 𝒙
– složené funkce d𝒚 = 𝒚′ = (sin 𝟐𝒙)′ = 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 d𝒙 d𝒚 𝑦 = cos 3𝑥 ⇒ = 𝒚′ = (cos 𝟑𝒙)′ = −𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙 d𝒙 – mocninné d𝒚 𝑦 = 𝑐𝑥 𝑛 ⇒ = 𝒚′ = ( 𝒄𝒙𝒏 )′ = 𝒄 ∙ 𝒏 ∙ 𝒙𝒏−𝟏 = 𝒄 ∙ 𝒏 ∙ 𝒙𝒏−𝟏 d𝒙 d𝒚 𝑦 = 3𝑥 2 ⇒ = 𝒚′ = ( 𝟑𝒙𝟐)′ = 𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝒙𝟐−𝟏 = 𝟔𝒙 d𝒙 d𝒚 𝑦 = 2𝑥 ⇒ = 𝒚′ = ( 𝟐𝒙)′ = 𝟐 ∙ 𝒙𝟏−𝟏 = 𝟐𝒙𝟎 = 𝟐 d𝒙 A nyní můžeme derivovat 𝑦 = sin 2𝑥 ⇒
– okamžitá výchylka
𝒚 = 𝒚m 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕
– okamžitá rychlost: derivace dráhy podle času
𝒗=
d𝒚
– okamžité zrychlení: derivace rychlosti podle času,
𝒂=
d𝒗
tj. druhá derivace dráhy podle času
d𝒕 d𝒕
= 𝒚m 𝝎 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 =
𝒅𝟐 𝒚 d𝒕𝟐
= −𝝎𝟐 𝒚m 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕
e) příklady ① Napište rovnici pro výchylku, rychlost a zrychlení harmonického kmitání (viz obr.) pro případ, že v počátečním okamžiku je 𝑦 = 0.
② Hmotný bod kmitá harmonicky podle rovnice 𝑦 = 5∙10–3 sin 4π{𝑡} m. Určete amplitudu rychlosti
a zrychlení hmotného bodu. [𝑣m = 20∙10–3 π m∙𝑠 –1, 𝑎m = 80∙10–3 π m∙𝑠 –2 ]
③ Harmonický kmit je určen tabulkou.
a) Napište rovnici výchylky a nakreslete časový diagram. b) Vypočítejte hodnoty rychlosti a zrychlení v prvních čtyřech zadaných časech. 𝑡/s 𝑦/m
0,005 1,4
0,010 2,0
0,015 1,4
0,020 0,0
0,025 -1,4
0,030 -2,0
0,035 -1,4
0,040 0,0
8.4 Fáze kmitavého pohybu a) fáze kmitavého pohybu – okamžitá 𝝋: určuje hodnotu okamžité veličiny (𝑦, 𝑣, 𝑎) harmonického kmitání v čase 𝑡 2π [𝑦 = 𝑦m sin 𝜑 = 𝑦m sin 𝜔𝑡 𝜔 = 2π𝑓 = ] 𝝋 = 𝝎𝒕 𝑇 – počáteční 𝝋𝟎 : určuje hodnotu okamžité veličiny harmonického kmitání v počátečním čase 𝑡 = 0 s [𝜑0 ] = [𝜑] = rad 𝝋𝟎 = 𝝎𝒕𝟎 𝑡0 … doba, která by uplynula od průchodu rovnovážnou polohou do začátku měření času, tj. do polohy s počáteční fází 𝜑0 – je-li kmitající těleso v 𝑡 = 0 s 1. v rovnovážné poloze
2. v jiné poloze
(𝜑0 může nabývat kladných i záporných hodnot) 𝑦 = 𝑦m sin 𝜑 = 𝑦m sin 𝜔(𝑡 + 𝑡0 ) = 𝑦m sin (𝜔𝑡 + 𝜔𝑡0 ) = 𝑦m sin ⏟ (𝜔𝑡 + 𝜑0 ) 𝜑
𝒚 = 𝒚m 𝐬𝐢𝐧 𝝋 = 𝒚m 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕 + 𝝋𝟎 )
[obdobně pro 𝑣, 𝑎 – stejná počáteční fáze]
b) fázový rozdíl ∆𝝋: slouží k posouzení vzájemných vztahů dvou harmonických veličin (jednoho nebo dvou harmonických pohybů) ∆𝜑 = 𝜑2 − 𝜑1 – pro 2 harmonické veličiny stejných frekvencí (𝑓1 = 𝑓2 = 𝑓 ⇒ 𝜔1 = 𝜔2 = 𝜔) je fázový rozdíl ∆𝜑 = 𝜑02 − 𝜑01 [∆𝜑 = 𝜑2 − 𝜑1 = (𝜔𝑡 + 𝜑02) − (𝜔𝑡 + 𝜑01 ) = 𝜑02 − 𝜑01] – veličiny mají (zvl. případy) – stejnou fázi ⇔ ∆𝜑 = 2kπ – opačnou fázi ⇔ ∆𝜑 = (2k+1)π (𝑘 ∈ 𝑍) … sudé násobky π (𝑘 ∈ 𝑍) … liché násobky π
c) fázorový diagram – graf znázorňující veličiny kmitavého pohybu pomocí tzv. fázoru (ve významu vektoru) na základě souvislostí kmitavého pohybu s rovnoměrným pohybem po kružnici – poloha fázoru určena počáteční fází 𝜑0 veličiny – průmět fázoru do svislé osy určuje okamžitou hodnotu veličiny harmonického pohybu (např. 𝑦) – velikost fázoru odpovídá amplitudě veličiny (např. 𝑦m) d) příklady 1
5π
2
6
① Určete počáteční fázi, jestliže v čase 𝑡 = 0 s je 𝑦 = 𝑦m . [ ]
② Určete fázový rozdíl
a) dvou harmonických kmitavých pohybů π
𝑦1 = 𝑦m sin (𝜔𝑡 + 6) π 𝑦2 = 𝑦m sin (𝜔𝑡 − ) 6
b) dvou harmonických veličin jednoho kmitavého pohybu 𝑦 = 𝑦m sin 𝜔𝑡 𝑦 = 𝑦m sin 𝜔𝑡 𝑣 = 𝜔𝑦m cos 𝜔𝑡 𝑎 = −𝜔2 𝑦m sin 𝜔𝑡
𝑇
③ Oscilátor byl v rovnovážné poloze v čase 𝑡 = . Určete počáteční fázi kmitání a napište rovnici pro 8
π
π
3π
4
4
4
výchylku oscilátoru. [− , 𝑦 = 𝑦m sin (𝜔𝑡 − ) , příp.
, 𝑦 = 𝑦m sin (𝜔𝑡 +
3π 4
)]
④ Hmotný bod kmitá harmonicky a za 1 min vykoná 240 kmitů s amplitudou výchylky 5 mm.
Počáteční fáze kmitání je 45°. Napište rovnici harmonického kmitání. Určete nejmenší dobu 𝑡0 π
před počátkem měření, v němž byla fáze kmitání nulová. [𝑦 = 5 ∙ 10–3 sin (8π{𝑡} + 4) m, –0,031 s]
⑤ Dva mechanické oscilátory kmitají harmonicky se stejnou frekvencí tak, že v počátečním okamžiku
mají výchylku
𝑦m
√2
, ale pohybují se opačným směrem. Určete počáteční fázi a fázový rozdíl kmitání
𝜋
oscilátorů. [ 2 ]
π
⑥ Harmonické kmitání hmotného bodu je popsáno rovnicí {𝑦} = 0,1 sin (π{𝑡} + ) . Určete π
a) amplitudu, periodu a počáteční fázi, [ 0,1 m; 2 s; 6]
6
1
b) dobu od počátku kmitání, za kterou výchylka dosáhne hodnoty amplitudy. [ 3 𝑠]
π
π
2
4
⑦ Harmonické kmitání hmotného bodu je popsáno rovnicí {𝑦} = 0,05 sin ( {𝑡} + ) . Určete π
a) amplitudu, periodu a počáteční fázi, [0,05 m; 4 s; 4] b) výchylku při 𝑡1 = 0 s, 𝑡2 = 1,5 𝑠. [3,5 cm; 0 m]
⑧ Hmotný bod kmitá harmonicky s amplitudou výchylky 10 cm, s periodou 2 s a s počáteční fází 60°. π
Napište rovnici jeho kmitání a nakreslete časový diagram kmitání. [𝑦 = 0,1 sin (π{𝑡} + 3) m] π
[Návod: kružnici o 𝑟 např. 1,5 cm ( ⇒ 𝑦m = 0,1 m ~ 1,5 cm) rozdělit na 12 dílků (úhly po 3, tj. 30°; osa 𝑡: např. 1 s ~ 3 cm, 2 s ~ 6 cm, 4 s ~ 12 cm; periodu T = 2 s rozdělit na 12 dílků, tj. po 0,5 cm]
8.5 Složené kmitání a) složené kmitání – vzniká, pokud těleso koná několik kmitajících pohybů současně – průběh závisí na směru složek kmitů, jejich počtu, amplitudách, počátečních fázích a frekvencích → průběh může být značně složitý [např. bod 𝑆 koná kmitavý pohyb složený kmitáním oscilátoru 1 a 2] b) princip superpozice – koná-li hmotný bod několik harmonických pohybů téhož směru s výchylkami 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑘 , pak okamžitá výchylka složeného kmitání je 𝒚 = 𝒚𝟏 + 𝒚 𝟐 + ⋯ + 𝒚𝒌 (výchylky mohou mít v určitém okamžiku kladnou i zápornou hodnotu, proto se při superpozici sčítají a odečítají) – graficky: sčítáme, popř. odečteme délky úseček odpovídajících výchylkám v daném čase s přihlédnutím ke znaménku výchylky
c) skládání harmonických kmitů v jedné přímce 1. izochronních – mají stejnou (úhlovou) frekvenci složek (řecky isos = stejný, chronos = čas) – výsledné složené kmitání: harmonické, stejné frekvence, ale jiná amplituda výchylky (závisí na fázovém rozdílu složek)
– zvláštní případy 𝜶) obě složky mají stejnou počáteční fázi ∆𝝋 = 𝟐𝒌𝝅 ⇒ amplituda 𝒚m = 𝒚𝒎𝟏 + 𝒚𝒎 𝟐 – počáteční fáze 𝜑0 jako u složek
𝜷) obě složky mají opačnou počáteční fázi ∆𝝋 = (𝟐𝒌 + 𝟏)𝝅 ⇒ amplituda 𝒚m = |𝒚𝒎𝟏 − 𝒚𝒎𝟐 | – počáteční fáze 𝜑0 jako u složky s větší amplitudou
2. neizochronních – mají různé (úhlové) frekvence složek – výsledné složené kmitání: neharmonické – zvláštní případy 𝜶) frekvence složek jsou v poměru celých čísel ⇒ výsledné kmitání je periodické
𝜷) frekvence složek se od sebe liší jen velmi málo (blízké frekvence) – amplituda výsledného kmitání se periodicky zvětšuje a zmenšuje → výsledné složené kmitání nazýváme rázy – amplituda rázů se mění s frekvencí 𝒇 = 𝒇𝟏 − 𝒇𝟐 (při frekvenci 𝑓1 = 𝑓2 rázy zaniknou ⇒ užití v praxi při měření frekvencí)
– např. u 2 ladiček, z nichž jedna kmitá s nepatrně odlišnou 𝑓 ⇒ sluchem vnímáme periodické zesilování a zeslabování zvuku – tzv. zázněje (pokud dosáhneme stejné frekvence → zázněje zaniknou a obě ladičky mají stejnou frekvenci)
