Matematika
AZ ELFELEJTETT PANTOGRÁF FORGOTTEN PANTOGRAPH Baranyai Klára Berzsenyi Dániel Gimnázium, Budapest az ELTE Fizika Tanítása doktori program hallgatója
ÖSSZEFOGLALÁS A pantográf csuklósan illeszkedő merev rudakból álló egyszerű eszköz, amelyet régebben vonalas ábrák kicsinyítésére és nagyítására használtak. Ma, a fénymásoló gépek korában ezt a funkcióját elvesztette, mégis érdemes az iskolában tanulmányozni a működését. Segítségével kézzelfogható tapasztalatokat szerezhetnek a gyerekek a párhuzamos szelők tétele, valamint a középpontos hasonlóság területén. Ez az eszköz is segíthet abban, hogy a gyerekek elhiggyék: az elvont matematika is szólhat valóságos dolgokról. BEVEZETÉS A pantográf egymáshoz csuklósan illeszkedő merev lécekből összeállított szerkezet, amellyel ábrákat lehet középpontosan nagyítani vagy kicsinyíteni (1. ábra) [1]. A kicsinyítésre és nagyításra is alkalmas másológépek elterjedésével szerepe csökkent, de még mindig használják például a gravírozó- és marógépek esetében.
1. ábra A tanításban Magyarországon nem divatos, mégis érdemes foglalkozni vele, mert a használata közben gyakorlati tapasztalatokat szerezhetnek a gyerekek a középpontos hasonlóságról. A PANTOGRÁF ELKÉSZÍTÉSE Az eszköznek többféle változata van. Mi az iskolában egy interneten talált angol nyelvű leírás [2] alapján készítettük el a pantográfjainkat. Alapanyagként 3 mm vastag, 15 mm széles alumíniumléceket használtunk. A megfelelő hosszúságú lécekre a 2. ábra szerint lyukakat fúrtunk, majd a léceket a 3. ábra szerint összecsavaroztuk a B, C, F és D pontokban. Az A
673
Matematika ponton egy farostlemezből kiálló hosszú csavarra, mint tengelyre rögzítettük a szerkezetet. Az E pontba egy filctollat helyeztünk, illetve a C pontbeli csavar alsó felére rajzszöget erősítettünk, amelynek hegyes vége alkalmas a másolandó ábra vonalainak végigkövetésére.
2. ábra F
B
A
C
3. ábra A PANTOGRÁF MŰKÖDÉSE A pantográf működése igen egyszerű, aki a geometriában jártas, rögtön átlátja, hogy a párhuzamos szelők tételére épül. A BCDF parallelogramma biztosítja, hogy a lécek párhuzamosak legyenek, a lyukak pedig úgy helyezkednek el, hogy az ABC illetve a CDE háromszögek egymáshoz hasonló, egyenlőszárú háromszögek legyenek. Így az A, C és E pontok biztosan egy egyenesre esnek. Az AC és AE szakaszok hosszának aránya állandó, így az E pontba helyezett ceruza a C ponttal végigkövetett ábra A pontból középpontosan nagyított képét rajzolja le. A nagyítás aránya változtatható, attól függ, hogy milyen a BCDF parallelogramma oldalainak aránya. Az ábrán látható pantográfon a lyukak helyzete arra ad lehetőséget, hogy kétszeres, háromszoros, négyszeres vagy ötszörös nagyítású ábrát készítsünk. A PANTOGRÁF A MATEMATIKAÓRÁN A pantográfot először a gimnázium tehetséggondozó táborában, a hetedikes-nyolcadikos csoportban próbáltuk ki. A hetedikes-nyolcadikos gyerekek nem ismerik a párhuzamos szelők tételét, de már ismerik a parallelogramma tulajdonságait. Esetükben a cél a tapasztalatszerzés, a pantográf működésének megértése volt, amely előkészítheti a párhuzamos szelők tételének
674
Matematika mélyebb megértését is. A hetedikes-nyolcadikos gyerekek szívesen kísérleteznek, és nagyon szeretik a konkrét kérdéseket tartalmazó feladatlapokat. A számukra összeállított feladatlap megfigyelési, mérési feladatokat tartalmazott. A matematikából tehetséges gyerekekben megvan a bizonyítás igénye is, ezért megpróbálták megérteni és bebizonyítani, hogy hogyan is működik a pantográf. A középpontos hasonlóság tanításakor tizedik osztályban is elővettük a pantográfot egy nyelvi tagozatos csoportban. Egy duplaórát szántunk az eszköz felfedezésére. A csoportban voltak gyerekek, akik megértették, és láthatóan élvezték a pantográf geometriáját, és voltak, akik inkább csak az ábrákban gyönyörködtek. Minthogy a pantográfok rendelkezésünkre állnak, az iskolában több kolléga is elhatározta, hogy beilleszti a tanmenetébe. FELADATOK A PANTOGRÁFFAL 1. feladat
4. ábra Kövessétek végig a C ponttal (a rajzszöggel) a házikó rajzát! (4. ábra) Mi történt? Hányszor nagyobb a kép, mint az eredeti?
2. feladat: Hogyan működik a pantográf?
Mérd meg az AB, BC, BF, CD, FD, DE szakaszok hosszát! Írd rá az ábrára (3. ábra)! Milyen síkidomokat határoznak meg ezek a szakaszok? Mekkora az AC, a CE és az AE szakasz? Állítsd be az AC szakasz hosszát, és mérd meg, hogy milyen hosszú a CE és az AE! Töltsd ki a táblázatot (1. táblázat)! 1. táblázat
AC CE AE
3 cm
5 cm
8 cm
675
10 cm
12 cm
Matematika
Mit tapasztaltál?
Igaz-e, hogy az A, C és az E pont mindig egy egyenesbe esik? Miért?
Igaz-e, hogy a pantográf egy 5 cm hosszú XY szakaszról mindig 15 cm-es X’Y’ szakaszt rajzol, akárhogyan is állt az XY szakasz?
Igaz-e, hogy az XY és az X’Y’ mindig párhuzamosak lesznek?
Igaz-e, hogy a pantográf egy PQR háromszögről mindig ugyanolyan, csak háromszor akkora P’Q’R’ háromszöget rajzol, akárhogyan adtuk is meg az eredeti PQR háromszöget? Hogyan helyezkednek el egymáshoz képest a háromszögek? (A háromszögek egybevágóságának egyik esete, amikor az oldalak páronként azonos hosszúságúak. Ezt a gyerekek már ismerték. Ezzel párhuzamba állították azt a tényt, hogy itt minden oldal ugyanannyiszorosára nőtt, tehát az új háromszög „ugyanolyan lett, csak nagyobb”. Minthogy a hasonlóság még nem ismert számukra, ez megnyugtató válasz volt, igazolva látták az állítást.)
Elhisszük-e, hogy ha egy tetszőleges háromszögről ugyanolyat, csak háromszor akkorát rajzol a pantográf, akkor mindenféle rajzot a háromszorosára nagyít? (Az előző feladatok megválaszolása után talán el is fáradtak annyira a gyerekek, hogy egyöntetűen elhitték az állítást, nem igényeltek precíz bizonyítást.)
3. feladat: Alakítsuk át a pantográfot! Át tudjuk-e alakítani a szerkezetet úgy, hogy kétszeresre nagyítson? Rajzoljátok le az autót kétszeres nagyításban (5. ábra)!
5. ábra
Át tudjuk-e alakítani a pantográfot úgy, hogy o négyszerezzen o ötszörözzön? Nagyítsd fel az egeret!
Le tudjuk-e a cicát a felére kicsinyíteni (6. ábra)?
676
Matematika
6. ábra Át tudjuk-e alakítani úgy a szerkezetet, hogy egy ugyanekkora, csak felfelé szálló repülőt rajzoljon?
7. ábra
Le tudjuk-e rajzolni a kacsát fejre állítva kétszer ekkorában?
Át tudjuk-e úgy alakítani a pantográfot, hogy a vízilovat ugyanakkorában, csak vele szemben álló víziló képében rajzolja meg?
Megjegyzés: Az utolsó feladat az egyedüli, ami nem végrehajtható, mert a pantográffal középpontosan ugyan tudunk tükrözni, de tengelyesen nem. TAPASZTALATOK A gyerekek szívesen, lelkesen dolgoztak a pantográffal. A feladatsort a tehetséges hetedikes-nyolcadikos gyerekekkel végig tudtuk csinálni két óra alatt. A nagyobb gyerekek érdeklődését is felkeltette a pantográf, meglepődtek, szívesen „játszottak” vele. Azok a csoportok, ahol műszaki érdeklődésű gyerekek vannak, hajlandóak voltak erőfeszítést tenni annak érdekében, hogy megértsék a működését. A kifejezetten humán érdeklődésű csoportokban inkább annak az élménye erősödött, hogy vannak, akik a matematikát a hétköznapi életben is tudják használni valamire. KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS Köszönet illeti Gál Györgyöt, aki a pantográfok elkészítésében nyújtott segítséget. IRODALOMJEGYZÉK 1. http://hu.metapedia.org/wiki/F%C3%A1jl:49961.gif 2. http://www.peter.com.au/articles/pantograph.html
677
