Az Einstein egyenletek alapvet megoldásai

Az Einstein egyenletek alapvet® megoldásai Friedmann- és Schwarzschild-megoldás Seller Károly Eötvös Loránd Tudományegyetem

Klasszikus Térelméletek Elemei Szeminárium, 2016. 11. 30.

Vázlat Einstein egyenletek Robertson-Walker metrika és a tökéletes folyadékok energia-impulzus tenzora Friedmann megoldás Einstein egyenletek vákuumban Schwarzschild metrika Schwarzschild megoldás

Seller Károly Az Einstein egyenletek alapvet® megoldásai

Eötvös Loránd Tudományegyetem

Einstein egyenletek Összefüggés a térid® metrikája és az anyag eloszlása között:




Gab ≡ Rab − 12 Rgab − Λgab =


8πG c4

Tab



Gab ≡ Rab − 12 Rgab − Λgab = Ahol:

8πG c4

Tab

Gab : Einstein-tenzor Rab : Ricci-tenzor R : Ricci-skalár Λ: Kozmológiai konstans Tab : Energia-impulzus tenzor




Gab ≡ Rab − 12 Rgab − Λgab = Ahol:

8πG c4

Tab

Gab : Einstein-tenzor Rab : Ricci-tenzor R : Ricci-skalár Λ: Kozmológiai konstans Tab : Energia-impulzus tenzor

A megjelen® tenzorok szimmetrikusak → 10 darab csatolt parciális dierenciálegyenlet a metrikára Probléma: Tab általában maga is függ a metrikától



Tökéletes folyadék energia-impulzus tenzora I. Deníció: Együtt-mozgó koordináta-rendszerb®l (˜.) nézve izotrop anyageloszlás.



Tökéletes folyadék energia-impulzus tenzora I. Deníció: Együtt-mozgó koordináta-rendszerb®l (˜.) nézve izotrop anyageloszlás. Ez matematikailag: T˜ 00 = % T˜ ij = δ ij p T˜ 0i = T˜ i 0 = 0




Általános koordináta-rendszerre áttérés a Lorentz transzformációval:




Általános koordináta-rendszerre áttérés a Lorentz transzformációval: T αβ = Λα γ (v )Λβ δ (v )T˜ γδ 2

T 00 = %+pv 1−v 2 i T i 0 = 1%+p −v 2 v T ij = δ ij p + v i v j 1%+p −v 2 Seller Károly Az Einstein egyenletek alapvet® megoldásai


Tökéletes folyadék energia-impulzus tenzora II. El®bbiek röviden összefoglalhatóak:




T ab = pg ab + (p + %)u a u b = %u a u b + p(g ab + u a u b )




T ab = pg ab + (p + %)u a u b = %u a u b + p(g ab + u a u b ) Ahol:

g ab : metrikus tenzor u a : négyes-sebesség



Robertson-Walker metrika I. Feltételezések:




Izotrop térid® = Nincs kitüntetett irány Homogén térid® = Nincs kitüntetett pont





→ Konstans görbület¶ térid®!





→ Konstans görbület¶ térid®! A metrika ilyen esetben: ds 2 = −dt 2 + a2 (t)


dr 2 1−kr 2

+ r 2 dϑ2 + r 2 sin2 ϑdϕ2




→ Konstans görbület¶ térid®! A metrika ilyen esetben: ds 2 = −dt 2 + a2 (t)

dr 2 1−kr 2


Ahol:

a(t): ismeretlen pozitív függvény k : ismeretlen konstans, ami meghatározza a tér alakját:





→ Konstans görbület¶ térid®! A metrika ilyen esetben: dr 2 1−kr 2

ds 2 = −dt 2 + a2 (t)


Ahol:

a(t): ismeretlen pozitív függvény k : ismeretlen konstans, ami meghatározza a tér alakját: k = 1:

A tér adott

t -hez

tartozó

Σt

felületei 3 dimenziós

gömbfelületek

k = 0: Σt

sík, Euklideszi tér

→

Newton, Speciális

Relativitáselmélet

k = −1: Σt Seller Károly Az Einstein egyenletek alapvet® megoldásai

hiperboloid alakú


Robertson-Walker metrika II. Az izotrop és homogén megkötés több lehetséges modellt is megenged



Robertson-Walker metrika II. Az izotrop és homogén megkötés több lehetséges modellt is megenged k = 0, −1 által meghatározott térid®k nyílt térid®k (végtelenek) k = 1 által meghatározott térid®k zártak (végesek), azaz kompakt sokaságot írnak le (bár határa nincs) A metrika összefoglalva:

 2 2 2 2 2  dΨ + sin Ψ (dϑ + sin ϑdϕ ) (k = 1) ds 2 = −c 2 dt 2 +a2 (t) dx 2 + dy 2 + dz 2 (k = 0)   2 dΨ + sinh2 Ψ (dϑ2 + sin2 ϑdϕ2 ) (k = −1) Seller Károly Az Einstein egyenletek alapvet® megoldásai


Robertson-Walker metrika III.

1. ábra. A metrika ábrázolása különböz® k (itt Ω0 ) értékekre Seller Károly Az Einstein egyenletek alapvet® megoldásai


Friedmann megoldás I. Az Einstein-egyenlet megoldása homogén és izotrop univerzum feltételezése mellett ideális folyadékok energia-impulzus tenzorjával

Λ-s tagot elhanyagoljuk




Λ-s tagot elhanyagoljuk Viszonylag egyszer¶ számolások után...




Λ-s tagot elhanyagoljuk Viszonylag egyszer¶ számolások után...

a˙ 2 a

=

8πG kc 2 3 % − a2

3 aa¨ = −4πG (% +


3p c2

)


Friedmann megoldás II.

2 a˙ kc 2 8πG %− 2 = a 3 a

(1)

3p a¨ 3 = −4πG (% + 2 ) a c

(2)

Mivel % > 0 és p ≥ 0, ezért (2)-b®l látszik, hogy az univerzum nem lehet statikus!



Friedmann megoldás II.

2 a˙ kc 2 8πG %− 2 = a 3 a

(1)

3p a¨ 3 = −4πG (% + 2 ) a c

(2)

Mivel % > 0 és p ≥ 0, ezért (2)-b®l látszik, hogy az univerzum nem lehet statikus!

a¨ < 0 → a˙ > 0 (tágulás) vagy a˙ < 0 (összehúzódás) + fordulópontnál lehet 0 Seller Károly Az Einstein egyenletek alapvet® megoldásai


Friedmann megoldás III. Fontos, hogy a tágulásnak nincs középpontja, minden pont egyenl® arányú gyorsasággal távolodik egymástól a két pont távolságának arányában



Friedmann megoldás III. Fontos, hogy a tágulásnak nincs középpontja, minden pont egyenl® arányú gyorsasággal távolodik egymástól a két pont távolságának arányában Hubble-törvény: Ahol:

v = aa˙ R = HR

R : Két pont távolsága H : Hubble állandó



Friedmann megoldás III. Fontos, hogy a tágulásnak nincs középpontja, minden pont egyenl® arányú gyorsasággal távolodik egymástól a két pont távolságának arányában Hubble-törvény: Ahol:

v = aa˙ R = HR

R : Két pont távolsága H : Hubble állandó

Megjegyzések:

H id®ben változik v lehet nagyobb, mint a fénysebesség (lokálisan mért relatív sebesség adott térid® pontban 6= globálisan mért sebesség

távoli objektumok között)



Friedmann megoldás IV. Érdekes észrevenni, hogy amennyiben nem hagyjuk el a kozmológiai állandót, lehetséges volna statikus megoldást generálni, ami azonban nagyon instabil lenne



Friedmann megoldás IV. Érdekes észrevenni, hogy amennyiben nem hagyjuk el a kozmológiai állandót, lehetséges volna statikus megoldást generálni, ami azonban nagyon instabil lenne Mérések alapján (galaxisok vöröseltolódása) tudjuk, hogy az univerzum tágul → a˙ > 0 Valamint láttuk, hogy a¨ < 0



Friedmann megoldás IV. Érdekes észrevenni, hogy amennyiben nem hagyjuk el a kozmológiai állandót, lehetséges volna statikus megoldást generálni, ami azonban nagyon instabil lenne Mérések alapján (galaxisok vöröseltolódása) tudjuk, hogy az univerzum tágul → a˙ > 0 Valamint láttuk, hogy a¨ < 0 Következik, hogy az univerzum tágulásának gyorsasága változott: minél régebben nézzük, annál gyorsabb volt (vagy legalábbis nem volt lassabb) Azaz kellett egy olyan id®pontnak lenni, amikor a(T ) = 0, amikor az univerzum minden pontjának távolsága 0 volt Seller Károly Az Einstein egyenletek alapvet® megoldásai


Friedmann megoldás V. Fels® korlátot egyszer¶en adhatunk az Univerzum életkorára, feltéve, hogy az univerzum mindig is a jelenkori gyorsasággal tágult



Friedmann megoldás V. Fels® korlátot egyszer¶en adhatunk az Univerzum életkorára, feltéve, hogy az univerzum mindig is a jelenkori gyorsasággal tágult Ismerve, hogy H ≈ 67.6 km/s Mpc [Grieb, Jan N. et al.]



Friedmann megoldás V. Fels® korlátot egyszer¶en adhatunk az Univerzum életkorára, feltéve, hogy az univerzum mindig is a jelenkori gyorsasággal tágult Ismerve, hogy H ≈ 67.6 km/s Mpc [Grieb, Jan N. et al.] Id®ben visszafelé menve egyenletesen összehúzódva pontosan T = H −1 id® alatt érnénk el az a(T ) = 0-t Kiszámolva: T ≈ 14.5 milliárd év



Friedmann megoldás V. Fels® korlátot egyszer¶en adhatunk az Univerzum életkorára, feltéve, hogy az univerzum mindig is a jelenkori gyorsasággal tágult Ismerve, hogy H ≈ 67.6 km/s Mpc [Grieb, Jan N. et al.] Id®ben visszafelé menve egyenletesen összehúzódva pontosan T = H −1 id® alatt érnénk el az a(T ) = 0-t Kiszámolva: T ≈ 14.5 milliárd év Megjegyzés: Az univerzum valódi életkora ennél természetesen kevesebb, hiszen nem egyenletes tágulást, hanem id®ben lassuló tágulást kell feltételeznünk. Valójában T ≈ 13.8 milliárd év Seller Károly Az Einstein egyenletek alapvet® megoldásai


Friedmann megoldás VI. Korábbi egyenletek alakításával összefüggést kaphatunk a és % között: % legalább a−3 gyorsan csökken id®ben (a−3 porfelh®re, a−4 sugárzásra)



Friedmann megoldás VI. Korábbi egyenletek alakításával összefüggést kaphatunk a és % között: % legalább a−3 gyorsan csökken id®ben (a−3 porfelh®re, a−4 sugárzásra) a˙ 2 kc 2 = 8πG a 3 % − a2 Itt a jobb oldalon az els® tag tehát id®vel gyorsabban csökken, mint a második tag



Friedmann megoldás VI. Korábbi egyenletek alakításával összefüggést kaphatunk a és % között: % legalább a−3 gyorsan csökken id®ben (a−3 porfelh®re, a−4 sugárzásra) a˙ 2 kc 2 = 8πG a 3 % − a2 Itt a jobb oldalon az els® tag tehát id®vel gyorsabban csökken, mint a második tag

Ha k = 0, −1 akkor a˙ csak aszimptotikusan lehet 0 t → ∞ esetben Ha k = 1 akkor viszont létezik egy kritikus aC érték, amikor a˙ = 0, itt az univerzum tágulása megáll, és elkezd összehúzódni

Azaz amennyiben elfogadjuk, hogy az univerzumunk egy véges, és zárt sokaság, ebb®l következik, hogy életkora csakis véges lehet Seller Károly Az Einstein egyenletek alapvet® megoldásai


Friedmann megoldás VII. A dierenciálegyenletek megoldásával felvázolható a(t) függvény különböz® k értékekre:

2. ábra. Friedmann kozmológia: Univerzumok távolságának változása az id® függvényében Seller Károly Az Einstein egyenletek alapvet® megoldásai


Eintein egyenletek vákuumban Az Einstein egyenlet azon alakját keressük, amiben nincs jelen anyag



Eintein egyenletek vákuumban Az Einstein egyenlet azon alakját keressük, amiben nincs jelen anyag Vákuum energia-impulzus tenzorja azonosan 0, azaz az Einstein-egyenlet jobb oldala elt¶nik

Rkl + 21 Rgkl = 0




Rkl + 21 Rgkl = 0

Megmutatható, hogy ez ekvivalens az Rkl = 0 egyenlettel




Rkl + 21 Rgkl = 0

Megmutatható, hogy ez ekvivalens az Rkl = 0 egyenlettel

Ez nem jelenti azt, hogy a görbület 0, amennyiben legalább 4 dimenzióban vagyunk! Azaz például 3 dimenziós térid®ben nincs gravitáció!



Schwarzschild metrika I. Feltételezések:

Gömbszimmetrikus térid® Statikus megoldás (id®ben állandó) Anyagmentes (Tkl ≡ 0)





Megmutatható, hogy statikus esetben a legáltalánosabb metrika a következ®: P ds 2 = −V 2 (x 1 , x 2 , x 3 )dt 2 + 3µ,ν=1 hµν (x 1 , x 2 , x 3 )dx µ dx ν Statikus: nem jelennek meg a kereszttagok





Megmutatható, hogy statikus esetben a legáltalánosabb metrika a következ®: P ds 2 = −V 2 (x 1 , x 2 , x 3 )dt 2 + 3µ,ν=1 hµν (x 1 , x 2 , x 3 )dx µ dx ν Statikus: nem jelennek meg a kereszttagok Még kell a gömbszimmetria A gömbszimmetria megköti, hogy minden egyes gömbfelületen a metrikának számszoros kapcsolatban kell lennie az egység-gömbön vett metrikával Seller Károly Az Einstein egyenletek alapvet® megoldásai


Schwarzschild metrika II. (t)

(0)

Gömbszimmetria: gkl = λgkl




(0)


A metrika paraméterezhet® a gömbfelület A nagyságával Vezessük be r paramétert: q r (A) = 4Aπ Ez nem a klasszikus értelemben vett sugár, s®t...!




(0)


A metrika paraméterezhet® a gömbfelület A nagyságával Vezessük be r paramétert: q r (A) = 4Aπ Ez nem a klasszikus értelemben vett sugár, s®t...! Ezzel a sugár jelleg¶ paraméterrel viszont bevezethetjük a jól ismert gömbi koordinátákat a gömbfelületen:

ds(23) = r 2 (dϑ2 + sin2 ϑdϕ2 ) = r 2 dΩ




(0)


A metrika paraméterezhet® a gömbfelület A nagyságával Vezessük be r paramétert: q r (A) = 4Aπ Ez nem a klasszikus értelemben vett sugár, s®t...! Ezzel a sugár jelleg¶ paraméterrel viszont bevezethetjük a jól ismert gömbi koordinátákat a gömbfelületen:

ds(23) = r 2 (dϑ2 + sin2 ϑdϕ2 ) = r 2 dΩ A teljes metrikát az egyes gömbfelületek paraméterezésével kapjuk meg:

ds 2 = −f (r , t)dt 2 + h(r , t)dr 2 + r 2 dΩ Seller Károly Az Einstein egyenletek alapvet® megoldásai


Schwarzschild metrika III. Mivel a metrika már adott, Rkl elemeinek kiszámítása elvileg elvégezhet® (de hosszadalmas...)



Schwarzschild metrika III. Mivel a metrika már adott, Rkl elemeinek kiszámítása elvileg elvégezhet® (de hosszadalmas...) Többféle módszerrel is megkaphatjuk a megoldást, ezek közül néhány példa:

Tetrád módszer alapötlete: ortonormált, nem-holonóm (nem koordinátavektorokból álló) bázis bevezetése a metrikán, ezek segítségével felírható a Riemann-tenzor (B®vebb információ: Robert M. Wald - General Relativity)



Schwarzschild metrika III. Mivel a metrika már adott, Rkl elemeinek kiszámítása elvileg elvégezhet® (de hosszadalmas...) Többféle módszerrel is megkaphatjuk a megoldást, ezek közül néhány példa:

Tetrád módszer alapötlete: ortonormált, nem-holonóm (nem koordinátavektorokból álló) bázis bevezetése a metrikán, ezek segítségével felírható a Riemann-tenzor (B®vebb információ: Robert M. Wald - General Relativity) f (r , t) = e ν(r ,t) és g (r , t) = e µ(r ,t) bevezetése, ezek után a Christoel -szimbólumok, és a Ricci-tenzor elemei egyszer¶ (de hosszú) számolásokkal megkapható



Schwarzschild megoldás I. Láthatjuk, hogy az eredeti 10 egyenletb®l csak 2 maradt f -re és g -re



Schwarzschild megoldás I. Láthatjuk, hogy az eredeti 10 egyenletb®l csak 2 maradt f -re és g -re A megoldás során kiderül, hogy f és g függvények egymás reciprokai, valamint, hogy csak r változótól függenek. A végs® megoldandó dierenciálegyenlet nagyon egyszer¶:

−f 0 +


1−f r

=0


Schwarzschild megoldás I. Láthatjuk, hogy az eredeti 10 egyenletb®l csak 2 maradt f -re és g -re A megoldás során kiderül, hogy f és g függvények egymás reciprokai, valamint, hogy csak r változótól függenek. A végs® megoldandó dierenciálegyenlet nagyon egyszer¶:

−f 0 +

1−f r

=0

Aminek megoldása:

f =1+

C r

Matematikailag C egy tetsz®leges konstans, azonban zikailag ezt konkrétan meghatározhatjuk (határeset: Newton) → C = b = 2GM , ahol b a Schwarzschild sugár c2 Seller Károly Az Einstein egyenletek alapvet® megoldásai


Schwarzschild megoldás II. A teljes megoldás tehát: 2GM 1 ds 2 = − 1 − 2 c r


c 2 dt 2 +

!

1

1−

2GM 1

dr 2 + r 2 dΩ

c2 r



c 2 dt 2 +

!

1

1−

2GM 1

dr 2 + r 2 dΩ

c2 r

Érdekes észrevétel, hogy a metrika két helyen is szingulárissá válik:

r = 0 helyen valódi szingularitás van. Mivel az egyenletet csak olyan r tartományban oldottuk meg, ahol nincs anyag, ezért ez

azt jelenti, hogy ez esetben minden anyag az origóban pontszer¶en helyezkedik el! → Fekete lyuk?




c 2 dt 2 +

!

1

1−

2GM 1

dr 2 + r 2 dΩ

c2 r

Érdekes észrevétel, hogy a metrika két helyen is szingulárissá válik:

r = 0 helyen valódi szingularitás van. Mivel az egyenletet csak olyan r tartományban oldottuk meg, ahol nincs anyag, ezért ez

azt jelenti, hogy ez esetben minden anyag az origóban pontszer¶en helyezkedik el! → Fekete lyuk? Érdekesebb következmény viszont, hogy r = b helyen is találunk szingularitást, ez azonban csak a koordinátázásunk összeomlását jelenti, nem egy valódi szingularitás. Seller Károly Az Einstein egyenletek alapvet® megoldásai


Schwarzschild megoldás III. Bár a Schwarzschild-sugár nem valódi szingularitás (más koordinátázással eltüntethet®; pl: Lemaître koordináták), mégis nagyon érdekes és fontos következményei vannak



Schwarzschild megoldás III. Bár a Schwarzschild-sugár nem valódi szingularitás (más koordinátázással eltüntethet®; pl: Lemaître koordináták), mégis nagyon érdekes és fontos következményei vannak r = b sugár által meghatározott felületet eseményhorizontnak nevezzük, ez az a távolság, amit®l már a fény sem tud elszabadulni a gravitációs vonzástól



Schwarzschild megoldás III. Bár a Schwarzschild-sugár nem valódi szingularitás (más koordinátázással eltüntethet®; pl: Lemaître koordináták), mégis nagyon érdekes és fontos következményei vannak r = b sugár által meghatározott felületet eseményhorizontnak nevezzük, ez az a távolság, amit®l már a fény sem tud elszabadulni a gravitációs vonzástól Minden zikai objektum, melyre R ≤ b gravitációs összeomlást szenved, és egy szinguláris fekete lyukba omlik össze



Schwarzschild megoldás III. Bár a Schwarzschild-sugár nem valódi szingularitás (más koordinátázással eltüntethet®; pl: Lemaître koordináták), mégis nagyon érdekes és fontos következményei vannak r = b sugár által meghatározott felületet eseményhorizontnak nevezzük, ez az a távolság, amit®l már a fény sem tud elszabadulni a gravitációs vonzástól Minden zikai objektum, melyre R ≤ b gravitációs összeomlást szenved, és egy szinguláris fekete lyukba omlik össze Azonban a megoldásnak helyesnek kell lennie r < b -re is, mi van az eseményhorizonton belül?



Schwarzschild megoldás III. Bár a Schwarzschild-sugár nem valódi szingularitás (más koordinátázással eltüntethet®; pl: Lemaître koordináták), mégis nagyon érdekes és fontos következményei vannak r = b sugár által meghatározott felületet eseményhorizontnak nevezzük, ez az a távolság, amit®l már a fény sem tud elszabadulni a gravitációs vonzástól Minden zikai objektum, melyre R ≤ b gravitációs összeomlást szenved, és egy szinguláris fekete lyukba omlik össze Azonban a megoldásnak helyesnek kell lennie r < b -re is, mi van az eseményhorizonton belül?

Az id® és térkoordináták felcserél®dnek, r id®szer¶, míg t térszer¶ lesz. De megmutatható, hogy ez is csak a rossz koordinátázás eredménye (Kruskal-Szekeres koordináták)



Schwarzschild megoldás IV.

3. ábra. Schwarzschild megoldás ábrázolása; az úgynevezett Flemm paraboloid



Schwazschild geodetikusok A szabad részecskék mozgását 3 kategóriába lehet sorolni a sugár függvényében:



Schwazschild geodetikusok A szabad részecskék mozgását 3 kategóriába lehet sorolni a sugár függvényében:

r > 3b → Stabil pálya lehetséges 3 2b

< r < 3b Instabil körpályák (keringési sebesség eléri a fénysebességet ∼ 32 b -nél) 3 2b

belül nincs lehetséges körpálya



Köszönöm a gyelmet!



Hivatkozások 1 Robert M. Wald - General Relativity 2 Steven Weinberg - Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity 3 Wikipedia - Schwarzschild metric, FriedmannLemaîtreRobertsonWalker metric, Hubble's law 4 Stephen Hawking - Into a Black Hole (Lecture)



Az Einstein egyenletek alapvet megoldásai

Recommend Documents