Az egyszeres függesztőmű erőjátékáról

Az egyszeres függesztőmű erőjátékáról A címbeli szerkezet az 1. ábrán szemlélhető, részleteivel is.

1. ábra – forrása: [ 1 ] A szerkezet működésének jellemzése: ~ a vízszintes kötőgerenda a két végén szabadon felfekszik, a közepén pedig egy süllyedő többlet - támasz segíti a terhek hordását; ~ a süllyedő támaszt egy függesztő oszloppal valósítják meg, amely a kötőgerenda csavaros felemelését – túlemelését – is lehetővé teszi; ~ a függesztő oszlop felső végét a két dúc tartja, melyek alsó végükkel a kötőgerendához csatlakoznak; ~ a folytatólagos kötőgerenda közvetlen koncentrált és megoszló terhelést is kaphat. Az elemek jellemző igénybevételei: ~ kötőgerenda: hajlítás + nyírás + húzás; ~ függesztő oszlop: húzás; ~ dúcok: nyomás. A kötőgerenda húzását a ferde dúcerő vízszintes összetevője adja.

2 Az 1. ábráról jól leolvashatók az ismert szerkesztési szabályok. Az egyszeres függesztőművet érdemes összehasonlítani a „rokon” szerkezettel: az egyszeres feszítőművel. Ehhez lásd az előző dolgozatot is, melynek címe: Az egyszeres feszítőmű erőjátékáról. Annál a szerkezetnél a közbenső süllyedő támaszt a fix aljzatra támaszkodó dúcpár biztosította; itt viszont a dúcpár a szerkezet egy saját eleméhez csatlakozik. Ez az eltérés lényeges lehet. Bár értjük – [ 2 ] – , hogy az ilyen jellegű – statikailag határozatlan, fa anyagú, fém kötőelemekkel készített, túlemelést is alkalmazó – szerkezetek pontos számítása szinte reménytelen feladat, azért a szerkezet működésének minőségi képe tisztábban felvázol ható egy akár csak becslő jellegű erőtani számítás kapcsán is. Most erre teszünk kísérle tet. Megemlítjük, hogy fém anyagú, hasonló jellegű szerkezetek esetében jóval megbíz hatóbb eredményekre számíthatunk. Ilyen számítások találhatók [ 3 ] - ban is. Számítás túlemeléssel A szerkezet és felvett terhelésének vázlata a 2. ábra szerinti.

2. ábra Az erőjáték közelítő elemzése az alakváltozásokkal kapcsolódik össze. Képzeljük el, hogy a szimmetrikus szerkezet különböző merevségű részekből áll. Először úgy vesszük, hogy csak a gerenda deformálódik, a dúcok és az oszlop végtelenül merevek – I. eset.

3 A gerenda és az oszlop vége közötti távolságot csavaros megoldás alkalmazásával vál toztatjuk, a túlemelés során – 3. ábra.

3. ábra Az ábrákon Δ0 - val jelöltük a a gerenda felső síkja és az oszlop végkeresztmetszete közti távolságot, a szerkezet terheletlen állapotában, Δ1 - gyel ugyanezt az előfeszített , azaz túlemelt állapotában. A mellékábra szerint a középső keresztmetszet, valamint a felső szélén elhelyezkedő C pont felfelé történő elmozdulása:

f C,I   0 1.

(1)

Az ismert szilárdságtani képlettel – [ 4 ] – :

f C,I 

X I  lg3 48  E  Ig

.

(2)

Most ( 1 ) és ( 23 ) - vel:

X I  l3g 48  E  Ig

 0 1 ,

innen:

XI 

0 1 . l3g

(3)

48  E  Ig A ( 3 ) képlettel számolhatjuk ki a kívánt nagyságú – itt fC,I – túlemelést előidéző erő nagyságát, ha a dúcokat és az oszlopot merevnek képzeljük. A Δ0 és a Δ1 mennyiségek a szerkezeten lemérhetők.

4 Most térjünk rá arra az esetre – II. eset – , amikor az egyébként terheletlennek képzelt szerkezet elemei véges merevségűek! A túlemelést biztosító XII erőnagyság meghatáro zása ekkor az alábbi. Tekintsük meg ehhez a 4. ábrát is!

4. ábra Innen leolvasható, hogy most a C pont felemelkedése:

f C,II  0 1  h .

(4)

Látjuk, hogy a kötőgerenda felemelkedése most kisebb, mint az előző esetben. A Δh mennyiség két részből tevődik össze:

h  h dúc  h oszlop .

(5) Minthogy mindkettőt az XII erő okozza, és egyenes arányosság áll fenn, ezért írhatjuk:

h dúc  X II 1,dúc , h oszlop  X II 1,oszlop

  ;

(6)

most ( 5 ) és ( 6 ) - tal:

h  X II  1,dúc  1,oszlop .

(7)

Most ( 2 ) - höz hasonlóan:

f C,II 

X II  l3g 48 E  Ig

;

majd ( 4 ), ( 7 ), ( 8 ) - cal:

X II  l3g 48  E  I g

 0 1   X II  1,dúc  1,oszlop  ,

innen:

  l3g  X II   1,dúc 1,oszlop   0 1  ,  48  E  I  g

(8)

5 ebből pedig:

0 1

X II 

l3g 48  E  Ig

.

(9)

 1,dúc  1,oszlop

Hasonlítsuk össze XI és XII - t! ( 3 ) és ( 9 ) - ből kiolvasható, hogy

X I  X II .

( 10 )

A túlemelés nagysága most ( 8 ) és ( 9 ) - cel:

0 1  f C,II 

l3g 48  E  Ig

l3g 48  E  Ig

.

( 11 )

 1,dúc  1,oszlop

Persze, az eddigi képletek jó része csak azután lesz tényleg használható, ha megadjuk a bennük szereplő δ1,dúc és δ1,oszlop kifejezéseket. Erre hamarosan sor kerül. Végül foglalkozzunk az eredetileg kitűzött feladat esetével – III. eset! Működjön a szerkezetre a 2. ábra szerinti P koncentrált erő és a q intenzitású egyenlete sen megoszló terhelés, valamint a túlemelést megvalósító XII emelő erő! Ekkor a szuperpozíció alkalmazásával:

f C,III  f P  f q  f C,II ;

( 12 )

felhasználva – [ 4 ] – , hogy

 ,  48  E  Ig    q  l4g  5 fq   , 384  E  Ig   fP 

P  l3g

( 13 )

( 11 ), ( 12 ) és ( 13 ) - mal kapjuk, hogy

Pl

ql 5 f C,III     48   E  Ig 384 E  Ig 3 g

4 g

0 1  l3g 48  E  Ig

l3g 48  E  Ig

 1,dúc  1,oszlop

.

( 14 )

6 Ha kirójuk a szerkezetre az

f C,III  0

( 15 )

feltételt, akkor ( 14 ) és ( 15 ) - ből meghatározható az ezt megvalósító Δ1 érték. Fennáll, hogy

0 1  l3g 48  E  Ig

l3g 48  E  Ig

 1,dúc  1,oszlop

P  l3g

q  lg 5    . 48  E  I g 384 E  Ig 4

( 16 )

Innen ( 9 ) - cel is:

P  l3g

0 1 

X

l3g 48  E  Ig

 P



q  lg 5   48  E  I g 384 E  Ig

1,dúc  1,oszlop

q  lg4 5  384 E  Ig l3g

4

l3g



48  E  Ig ( 16 / 1 )

5  P   q  lg , 8

48  E  I g tehát az eredmény ( mint egy merev középső támasz esetén – [ 4 ] – ):

5 X  P   q  lg . 8

( 17 )

A δ1,dúc kifejezés számítása a következő – 5. ábra.

5. ábra Pitagorász tételével:

7

 lg     h 2  s 2 ;  2  2

 lg     h h 2  s s 2 ; dúc  2 

(a)

2

(b)

utóbbit kifejtve:

 lg     h 2  2  h h  h 2  s 2  2  s s  s 2 ; dúc dúc  2  2

(c)

most figyele mbe véve, hogy

h dúc   0,  2 s  0,  2

(d)

(c ) és ( d ) - vel:

 lg     h 2  2  h h  s 2  2  s s; dúc  2 

(e)

majd ( a ) és ( e ) - vel: h h dúc  s s, innen az 5. ábra jelöléseivel:

(f)

h s  h dúc  sin  h dúc . s

( 18 )

2

Ha a dúcokban ébredő nyomóerő nagysága S, akkor a dúcok összenyomódása Hooke törvénye szerint:

s 

S s . E  A  dúc

( 19 )

Most ( 18 ) és ( 19 ) - cel:

sin  h dúc 

S s ; E  A dúc

( 20 )

az 5. ábra szerint:

lg s

2  lg ; cos  2  cos 

ezután ( 20 ) és ( 21 ) - gyel:

( 21 )

8

sin h dúc 

S  lg

E  Adúc  2  cos 

,

innen:

h dúc 

S  lg

E  A dúc  2  sin   cos 

.

( 22 )

Most tekintsük a 6. ábrát, mely az X erővel terhelt D csomópont egyensúlyát fejezi ki!

X  2  S  sin  , innen:

S

X . 2  sin 

( 23 )

6. ábra Majd ( 22 ) és ( 23 ) - mal:

h dúc 

X  lg

E  A dúc  4  sin 2   cos 

.

( 24 )

Innen kapjuk, hogy

1,dúc 

lg h dúc  . X E  A dúc  4  sin 2   cos 

( 25 )

A δ1,oszlop kifejezés számítása a következő – 7. ábra. Hooke törvénye szerint:

h oszlop 

X  h oszlop

E  Aoszlop

;

innen:

1,oszlop  7. ábra Most ( 9 ), ( 25 ), ( 26 ) - tal:

h oszlop X



h oszlop

E  A oszlop

.

( 26 )

9

X II 

l3g 48  E  Ig



0 1 lg

E  A dúc  4  sin 2   cos 



.

h oszlop

( 27 )

E  A oszlop

Majd ( 11 ), ( 25 ), ( 26 ) - tal:

l3g

0 1  f C,II 

l3g 48  E  Ig





48  E  Ig

lg



h oszlop



E  Adúc  4  sin 2   cos  E  A oszlop 0 1 

48  E  Ig  lg h oszlop  1   2 l3g E  A  4  sin   cos    E  A oszlop   dúc

,

tehát:

f C,II 

0 1  48   E  Ig  lg h oszlop  1   2  l3g E  A  4  sin   cos  E  A      dúc oszlop 

.

( 28 )

Ezután ( 14 ), ( 25 ), ( 26 ) - tal:

P  l3g

q  l4g 5 f C,III     48 E  Ig 384 E  Ig

0 1  48 E  Ig  lg h oszlop  1   2 l3g E  A  4  sin   cos    E  Aoszlop   dúc ( 29 )

.

Majd ( 15 ) és ( 29 ) - cel: P  l3g q  l4g 0 1  5    ,  48  E  I 384 E  I     48  E  Ig  lg h oszlop  g g 1   3 2  lg   E  Adúc  4  sin   cos  E  Aoszlop   48  E  I   lg h oszlop    P  l3g q  lg4  5 g       , 0 1 *  1    l3g E  A dúc  4  sin 2   cos  E  A oszlop    48  E  I g 384 E  Ig         

más alakban – v.ö. ( 16 / 1 )! – :

10

 l3g lg h oszlop    5      P   q  l 0 1 *   g,   2  48  E  I E  A  4  sin   cos  E  A 8        g dúc oszlop   ( 30 ) vagyis a lehajlásmentes eset eléréséhez szükséges gerenda ~ oszlopvég - távolság, amennyit a csavarorsóval állítani kell a szükséges túlemelés eléréséhez:

 l3g lg h oszlop    5   1*  0      P   q  l g.   2  48  E  I E  A  4  sin   cos  E  A 8        g dúc oszlop   ( 31 ) Megjegyzések: M1. Természetesen feltesszük, hogy van elég menet a csavaron, valamint, hogy a szerkezet elemei mindvégig a rugalmas tartományban dolgoznak. M2. Ez nem az a számítás, ezek nem azok az eredmények, amelyek e szerkezettel fog lalkozó művekben általában megtalálhatók; ugyanis itt a C keresztmetszet lehajlás mentességének feltételével dolgoztunk, míg a szokásos számításokban a lehajlás középen általában nem nulla – ld. alább! M3. Láttuk, hogy a túlemelés és megterhelés utáni behajlásmentesség feltételéből követ kezik, hogy a közbenső támasz úgy viselkedik, mintha merev lenne. Eszerint a szerkezet gerendája merev háromtámaszú gerendaként működik, függetlenül a merevségi viszo nyoktól. Ez lényegesen leegyszerűsíti a további erőtani számítást. Ezt most nem folytat juk tovább. Számítás túlemelés nélkül Ehhez tekintsük a 8. ábrát!

8. ábra

11 Eszerint a C pont függőleges elmozdulása:

f C  h dúc  h oszlop ;

( 32 )

másrészt:

fC  fP  fq  fX ;

( 33 )

most ( 32 ) és ( 33 ) - mal:

f P  f q  f X  h dúc  h oszlop ;

( 34 )

majd ( 2 ), ( 6 ), ( 13 ), ( 25 ), ( 26 ) szerint:

P  l3g

q  lg4 X  l3g lg h oszlop 5     X  X  , 48  E  Ig 384 E  Ig 48  E  Ig E  Adúc  4  sin 2   cos  E  A oszlop innen:

 l3g lg h oszlop  P  l3g q  lg4 5  X     48  E  I  384  E  I , 2 48  E  I E  A  4  sin   cos  E  A        g  g  g dúc oszlop  ebből:

P  l3g

q  lg4 5   48   E  Ig 384 E  Ig

X

l3g 48  E  Ig



lg



h oszlop

,

( 35 / 1 )

E  Adúc  4  sin 2   cos  E  A oszlop

vagy

5 P   q  lg 8 X ,   48  E  Ig  lg h oszlop  1     E  A   4  sin 2   cos   E  A   l3g  dúc oszlop 

( 35 / 2 )

illetve a



lg



h oszlop

E  Adúc  4  sin 2  cos  E  Aoszlop

rövidítő jelöléssel, ( 35 / 2 ) és ( 36 ) - tal a közbenső támaszerő nagysága:

( 36 )

12

5 P   q  lg 8 X . 48  E  Ig 1  l3g

( 37 )

A középső keresztmetszet lehajlása ( 32 ) alapján:

 lg h oszlop   fC  X    , 2 E  A  4  sin   cos  E  A      dúc oszlop 

( 38 )

vagy ( 35 / 2 ) és ( 38 ) szerint:

lg   5 f C  P   q  lg    8



h oszlop

E  Adúc  4  sin 2   cos  E  Aoszlop ,  48  E  Ig  lg h oszlop  1    E  A   4  sin 2   cos  E  A   l3g  dúc oszlop 

( 39 )

illetve ( 36 ) és ( 39 ) - cel:

  5 f C  P   q  lg    8

1

 48 E  Ig l3g

. 

( 40 )

A ( 36 ), ( 37 ), ( 40 ) képletekből kiolvasható, hogy igen merev oszlop és dúcok esetén:

   5 X  P   q  lg ,  8  f C  0. 

  0,

( 41 )

Ez megfelel a korábban kapott eredményeknek. Az igénybevételek megállapításához az alábbiakat mondhatjuk. ~ A függesztő oszlopban ébredő húzóerő nagysága: X ( 35 / 2 ) képlet. ~ A dúcerők nagysága: S ( 23 ) képlet. ~ A gerendában ébredő H húzóerő nagysága:

H  S cos  

X  cos  X  . 2  sin  2  tg

( 42 )

13 ~ A gerendában ébredő M hajlítónyomaték és Q nyíróerő lefutásának meghatározása most már az adott külső erőkkel terhelt kéttámaszú tartónál szokásos módon történik. Megjegyzés: Az eddigi számítások eredményei az egyszeresen alulfeszített gerenda legegyszerűbb esetében is alkalmazhatóak. A 9. ábra segíthet ennek belátásában.

9. ábra Az egyszeres függesztőműnél a dúcok nyomottak, az oszlop húzott, míg az egyszeresen alulfeszített gerenda esetében a feszítőrudak húzottak, az oszlop pedig nyomott elem.

Irodalom: [ 1 ] – Kollányi Béla: Ácsmunka Ipari Szakkönyvtár, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1984. [ 2 ] – Hilvert Elek: Faszerkezetek Tankönyvkiadó, Budapest, 1956. [ 3 ] – A. A. Vojevodin: Predvarityelno naprjazsennüje szisztemü elementov konsztrukcij Sztrojizdat, Moszkva, 1989. [ 4 ] – Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981.

Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2011. április 21.