1
Az axonometrikus ábrázolás analitikus geometriai egyenleteinek másfajta levezetése Bevezetés Több korábbi dolgozatunkban is foglalkoztunk hasonló dolgokkal, vagyis az axonometri kus ábrázolás alapfeladatának analitikus megoldásával. Most azért vesszük elő megint ezt, mert találtunk egy olyan forrást – [ 1 ] – , melyben ízlésünknek megfelelő típusú, szemlé letű számítások alapján állítják elő a megfelelő számítási képleteket, melyek – ha jól sejt jük – az elterjedt számítógépes programok részét is képezik. Korábban általában tartottuk magunkat ahhoz, hogy az axonometrikus ábrázolás fő para métereit a képsíkon fellelhető – főképpen: látható – mennyiségek közül válasszuk. Most egy más úton járunk, így itt az ábrázolás alapvető paraméterei a térben megadandó mennyiségek lesznek. A számítások elemi vektoralgebrai ismereteken kívül alig igényelnek valamit, így az itte niek kezdők és haladóbbak számára egyaránt hasznosnak bizonyulhatnak. A ferde axonometria ábrázolási képleteinek másfajta levezetése A párhuzamos vetítés ( Parallelprojektion ) lényege, hogy a tér kiválasztott Pi pontjait egymással párhuzamos vetítősugarakkal egy Π képsíkra vetítjük, azaz képezzük a Pi pon tokon átmenő vetítő egyenesek és a Π sík döféspontjait. Ezen döféspontok / képpontok – pl. egyenes – vonalakkal történő összekötése után kirajzolódik előttünk a Pi pontokat tartalmazó ábrázolandó tárgy axonometrikus képe / vetülete. Most lássuk a geometriai lényeg megformulázását, azaz képletekbe öntését! Ehhez először megoldunk egy segédfeladatot – 1. ábra. Itt azt láthatjuk, hogy egy Ox1x2x3 térbeli derékszögű kordináta – rendszer ( k. r. ) alkama zásával írjuk le a geometriai feladatot. Adott a P ponton átmenő, v irányvektorú g egyenes, valamint az A ponton átmenő, n nor málvektorú Π sík . Keresett: az S döféspont s vektora. A megoldáshoz felírjuk az egyenes és a sík egyenletét: ~ a g egyenes paraméteres egyenlete, amely egy tetszőleges Q futópontjának xg vektorát adja meg: (1) ~ Π sík egyenlete, amely azt fejezi ki, hogy a sík normálvektora merőleges a sík bármely egyenesére:
2
1. ábra: Egyenes és sík metszéspontjának meghatározásához (2) Az S döféspont s vektora rajta van g egyenesen, így vektorára ( 1 ) szerint fennáll, hogy (3) az S döféspont s vektora rajta van a Π síkon is, így ( 2 ) szerint fennáll, hogy (4) Most ( 3 ) és ( 4 ) - ből meghatározzuk a tS paramétert: (5) Majd ( 3 ) és ( 5 ) - tel: (6)
3
A ( 6 ) vektoregyenlet adja meg a P ponton átmenő v irányvektorú egyenesnek az A ponton átmenő n normálvektorú síkkal való döféspontjának vektorát. Ez alapvető a későbbiekhez. Megjegyezzük, hogy ha nem teljesül az kikötés, akkor a sík normálvektora merőleges az egyenes irányvektorára, ekkor pedig a g vetítő egyenes ~ esetén párhuzamos a Π képsíkkal, így nem képződik metszéspontjuk, vagy ~ ekkor benne van a Π képsíkban, így minden pontja „metszéspont”, vagyis a ( 6 ) egyenlet ekkor nem alkalmas egy darab S döféspont s vektorának megha tározására. A továbbiak miatt térjünk vissza a ( 2 ) egyenlethez: (7) de (8) ahol d a képsík távolsága a k. r. kezdőpontjától, így ( 7 ) és ( 8 ) - cal a képsík egyenlete más alakban: (9) Most megváltoztatjuk jelöléseinket, a továbbiak kényelmesebb leírása érdekében – 2. ábra.
2. ábra: A vetületképzés vektoregyenletének felírásához
4
Itt azt láthatjuk, hogy az 1. ábrához képest következő átjelöléseket alkalmaztuk: ( 10 ) Ezekkel a 2. ábra szerint is írhatjuk, hogy ( 11 ) A λ skalár paraméter értéke ( 5 ), ( 8 ) és ( 10 ) szerint: ( 12 ) így ( 11 ) és ( 12 ) - vel: ( 13 ) A ( 13 ) vektoregyenlet adja meg az X térbeli pont Xα térbeli képpontjának helyvektorát. Átírjuk ( 13 ) - at: ( 14 ) Részletezve a vektorokat az egységvektorokkal is: ( 15 ) ( 16 ) ( 17 ) ( 18 ) Bevezetve a ( 19 ) új jelölést is, ( 14 ) újabb alakja:
5
( 20 ) Az egységvektorok együtthatóinak összehasonlításából: ( 21 / 1 ) ( 21 / 2 ) ( 21 / 3 ) Átalakításokkal: ( 22 / 1 ) ( 22 / 2 ) ( 22 / 3 ) Ezzel előttünk állnak a képpont - koordináták kifejezései a tárgypont - koordináták függ vényében. Ezek már közvetlenül alkalmasak számítások végzésére, ha megadjuk a benne szereplő c, d skalár - és az r, n vektor - állandók értékét. Ezután foglakozzunk a vetítés r irányvektorával – ld. 3. ábra!
3. ábra: A vetítés irányvektorának megadásához
6
Az r irányvektort ( r , λ , β ) gömbi polárkoordinátáival jellemezzük: ( 23 ) ahol: ( 23 / 1 ) ( 23 / 2 ) ( 23 / 3 ) Ha r egységvektor, akkor r = 1 , így a továbbiakban ezzel dolgozva: ( 24 / 1 ) ( 24 / 2 ) ( 24 / 3 ) Most ( 23 ) és ( 24 ) szerint: ( 25 ) A képsík n normális egységvektorát teljesen hasonlóan adhatjuk meg, helyettesítésekkel: ( 26 ) Majd ( 19 ), ( 25 ) és ( 26 ) - tal: ( 27 ) Ha valamiért szükséges, hogy d ≠ 0 legyen, akkor d > 0 értéke tetszőlegesen felvehető. Az eddigiekkel leírtuk a ferde axonometria ábrázolási képleteit, hiszen ha r és n nem párhuzamosak, akkor ferde axonometriával dolgozunk. Most két fontos speciális esetet vizsgálunk meg, szintén [ 1 ] alapján. S1.: A Π képsík megegyezik a K2 koordinátasíkkal Ekkor ( 28 ) ( 29 )
7
majd ( 27 ) és ( 29 ) szerint: ( 30 / 1 ) ezután ( 24 ) - gyel: ( 30 / 2 ) ( 30 / 3 ) Most a ( 22 ), ( 28 ), (30) képletekkel is:
tehát: ( 31 ) Folytatva:
tehát: ( 32 ) Hasonlóképpen:
tehát: ( 33 ) A ( 31 ), ( 32 ), ( 33 ) képletek adják az S1 eset megoldását. Az eredmények szemléltetésére megrajzoltuk a 4. ábrát.
8
4. ábra: Az S1 speciális eset összefüggéseihez Az ábráról közvetlenül leolvasható, hogy
egyezésben a fentiekkel.
S2.: Merőleges vetület általánosabb helyzetű síkon – merőleges axonometria Ekkor: ~ a képsík menjen át az O ponton, azaz: ( 34 ) ~ a vetítőegyenes irányvektora megegyezik a képsík normálvektorával, ( 25 ) - tel is: ( 35 )
9
~ most ( 19 ) - ből, egységvektorokról lévén szó: ( 36 ) ahol ( 35 ) szerint is: ( 37 / 1 ) ( 37 / 2 ) ( 37 / 3 ) Ezután a ( 22 ), ( 34 ), ( 35 ), ( 36 ) képletekkel: ( 38 / 1 ) ( 38 / 2 ) ( 38 / 3 ) A vetítési / számítási rendszer az 5. ábrán – forrása: [ 1 ] – szemlélhető.
5. ábra: Az S2 speciális eset összefüggéseihez Itt az eddigieken kívül bevezettünk egy újabb Oξηζ k. r. - t is; ezt képsík ~ k. r. - nek is nevezzük. Cél: a képpont koordinátáinak előállítása a képsík k. r. - ében. Az ábrán nincsenek feltüntetve a k. r. - ek egységvektorai: ~ az Ox1x2x3 k. r. egységvektorai: e1, e2, e3; ~ az Oξηζ k. r. egységvektorai: f1, f2, f3 = r. Kezdjük utóbbiak meghatározásával!
10
Annak érdekében, hogy a képsík - k. r. a szokásos elhelyezésű legyen, vagyis az Oξ ten gely balról jobbra, az Oη tengely pedig alulról felfelé mutasson, úgy választunk, hogy legyen ! ( 39 ) itt e3α az e3 egységvektor képe a képsíkon. Minthogy ( 40 ) így ( 38 ) és ( 40 ) - nel: ( 41 ) Most ( 37 ), ( 39 ) és ( 41 ) - gyel:
( 42 ) Minthogy
egységvektor, így ( 43 )
így ( 42 ) és ( 43 ) alapján:
( 44 ) mert ( 45 ) Most ( 42 ) és ( 44 ) szerint: ( 46 ) Az f1 egységvektorra fennáll, hogy ( 47 )
11
Most elvégezzük a kijelölt műveletet, ( 35 ), ( 46 ) és ( 47 ) - tel:
tehát: ( 48 ) Ezután kiszámítjuk az X( x1, x2, x3 ) tárgypont koordinátáit az Oξηζ k. r. - ben. Ennek képletei: ( 49 ) ( 50 ) ( 51 ) Most ( 16 ), ( 48 ) és ( 49 ) - cel:
innen: ( 52 ) Majd ( 16 ), ( 46 ) és ( 50 ) - nel:
12
tehát: ( 53 ) Ezután ( 16 ), ( 35 ) és ( 51 ) - gyel:
tehát: ( 54 ) Az X tárgyponthoz tartozó Xα képpont képsík ~ k. r. - beli koordinátái – 5. ábra – : ( 55 / 1 ) ( 55 / 2 ) ( 55 / 3 ) Az ( 54 ) egyenletet a láthatóság eldöntésére használhatjuk fel – 6. ábra.
6. ábra: A láthatóság eldöntéséhez Itt azt szemlélhetjük, hogy ha az s = − r** nézési irányvektorral adott irányból nézzük az ugyanazon vetítő egyenesen elhelyezkedő XA és XB térbeli pontokat, akkor azok egybeeső XαA,B képpontja alapján nem tudjuk eldönteni, hogy a térben melyik pont van hozzánk
13
közelebb, tehát melyik takarja a másikat. A szemlélet alapján is mondható, hogy ζB > ζA miatt az XB pont van hozzánk közelebb, tehát az XB pont XαB képe fedi el az XA pont XαA képét, vagyis a vetületi ábrán / merőleges axonometrikus képen az XB pont képe látható. Megjegyzések: M1. A 3. és 5. ábrán megnevezett polárszögek változtatásával sokféle beállítású képet nyerhetünk. Például a specializációval nyerjük ( 31 ), ( 32 ), ( 33 ) - ból az elölnézeti képnek megfelelő képpont - koordinátákat. M2. A valóságos rajzi megjelenítéshez szokás egy L léptéktényezőt választani, amivel pl.: M3. Említettük, hogy itt az ábrázolás paramétereit nem a képsíkon, hanem a térben fellelhető adatok közül választjuk. Valóban, a ferde axonometria általánosabb esetében a vetítő egyenesek közös r irányvektora ( Richtungsvektor ), a képsík normálisának n normálvektora, valamint a képsíknak az origótól mért d távolsága – mind szabadon vá lasztható térbeli paraméterek. M4. Minthogy eléggé fontos szempont a számítások gyorsasága, ezért is igyekeznek a számítógépi grafikai programok fejlesztői a lehető legegyszerűbb alakú képleteket alkal mazni. Ez éppen egybeesik a d = 0 és az n = r választással, amely a merőleges axono metria egy esetének felel meg. M5. Nem csak a számítások gyorsítása, de képies képek nyerése céljából is sokszor sze rencsésebb a merőleges axonometriát választani, hacsak lehetséges ez.
Irodalom: [ 1 ] – Gert Baer: Geometrie 2. Auflage, B. G. Teubner GmbH, Stuttgart ~ Leipzig ~ Wiesbaden, 2001.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2015. augusztus 15.
