1. Az ábrázoló geometria analitikus módszerei

1. Az ábrázoló geometria analitikus módszerei Az ábrázoló geometria sokrét˝u feladatköréb˝ol egyetlenegyet emelünk ki: „szemléletes”1 kép készítése a síkon (képerny˝on) valamely térbeli modellr˝ol. A tér síkra történ˝o R3 → R2 leképezésére nagyon sokféle klasszikus ábrázoló geometriai módszer ismert, jelen el˝oadás keretei között csak a lineáris és a törtlineáris leképezésekkel foglalkozunk, amelyeket itt összefoglaló névvel egyszer˝uen csak vetítéseknek (projekcióknak) nevezünk. A lineáris leképezések mátrixszorzásként hatnak: R3 → R2 , x 7→ Ax, A ∈ M2×3 , rang A = 2, míg a törtlineáris leképezések a projektív tér P3 → P2 , [x] 7→ [Ax],

◦

x ∈ R4 , A ∈ M3×4 , rang A = 3

leképezései. (Ezeket a transzformációkat homogén koordinátákról Descartes koordinátákra átírva törtlineáris transzformációkat kapunk.) A szemléletes kép készítés problémájának lényege az, hogy a modellr˝ol könnyen el˝oállítható kép a modell valamely egyszer˝u vetülete, amely egyáltalán nem szemléletes. Az 1. ábrán látható kép a fejezetben szerepl˝o modellr˝ol egy egyszer˝u vetület, amelyet egyáltalán nem érzünk szemléletesnek. (Lásd a további képeket ugyanerr˝ol a modellr˝ol a kés˝obbiekben.) y0

x0

1. ábra. A modell „egyszer˝u” vetülete. Két egyszer˝u stratégiával juthatunk el a szemléletes képhez. Képzeljük el, hogy egy kisméret˝u tárgyat kell alaposan szemügyre vennünk, például egy autómodellt: kezünkbe vesszük és körbeforgatjuk. Ha az eredeti autót tanulmányozzuk, akkor viszont körbejárjuk. Az els˝o stratégia a szemléletes képhez a modell transzformációjával jut el, a második stratégia a néz˝opontot változtatja. Ebben az el˝oadásban f˝oként az els˝o stratégiát alkalmazzuk. A modell transzformációjaként izometriákat illetve (az el˝oz˝oekt˝ol csak skálázásban különböz˝o) hasonlóságokat engedjük meg. 1A

„szemléletes” szót itt nem kívánom különösebben elemezni. Csak egy példa: A kockáról szemléletes a kép, ha három lapját látom, nem szemléletes, ha egyet vagy kett˝ot.

1

1.1. Informális bevezetés Írjunk le analitikusan egy síkra történ˝o centrális vetítést a térben! Az S képsík az egyszer˝uség kedvéért illeszkedjen az origóra, normálvektora legyen n, egyenlete tehát hn, xi = 0. A vetítés centruma legyen c ∈ / S, legyen továbbá a c-re illeszked˝o, S-el párhuzamos sík S∗ . A P : R3 \ S∗ → S centrális vetítés a p ∈ R3 \ S∗ ponthoz hozzárendeli azt a p0 pontot, amelyre p0 ∈ S és (p, p0 , c) kollineárisak. A feltétel szerint: p0 = c + t(p − c)

(1.1) valamely t-re, továbbá

hn, c + t(p − c)i = 0. Ez utóbbi egyenletb˝ol t meghatározható: t =−

hn, ci . hn, p − ci

(1.1)-be behelyettesítve: p0 =

(1.2)

hn, pi c − hn, ci p . hn, pi − hn, ci

A fenti összefüggés törtlineáris transzformáció. Koordinátákkal kiírva, legyen p = (x, y, z), p0 = (x0 , y0 , z0 ), n = (n1 , n2 , n3 ), c = (c1 , c2 , c3 ) továbbá hn, ci = q ∈ R. A kapott (1.2) összefüggés: n1 xc1 + n2 yc1 + n3 zc1 − qx n1 x + n2 y + n3 z − q n xc 1 2 + n2 yc2 + n3 zc2 − qy y0 = n1 x + n2 y + n3 z − q n xc 1 3 + n2 yc3 + n3 zc3 − qz . z0 = n1 x + n2 y + n3 z − q

x0 =

Homogén koordinátákkal fölírva:  0  n1 c1 − q n2 c1 n3 c1 x1 x0   n1 c2 n c − q n 2 2 3 c2  20  =  x   n1 c3 n2 c3 n3 c3 − q 3 0 n1 n2 n3 x4

  0 x1 x2  0  . 0 x3  x4 q

◦

Írjunk most (1.1)-ben c helyére λ c-t, ahol λ ∈ R: p0 =

λ hn, pi c − λ hn, ci p hn, pi c − hn, ci p = . hn, pi − λ hn, ci hn/λ , pi − hn, ci 2

Ha λ -val végtelenhez tartunk, akkor (1.3)

lim p0 = p −

λ →∞

hn, pi c, hn, ci

ami c irányú párhuzamos vetítésnek felel meg, s már lineáris transzformációt ad euklideszi térben is. Az el˝oz˝oekb˝ol kit˝unik, hogy a párhuzamos vetítés minden gond nélkül tárgyalható az euklideszi térben is, míg a centrális vetítés kényelmesebb színtere a projektív tér. A részletes tárgyalást a legegyszer˝ubb vetítéssel, a koordinátasíkra történ˝o mer˝oleges vetítéssel kezdjük.

1.2. Ortogonális axonometria A párhuzamos vetítés speciális esete, ha a vetítés iránya és a vetítés síkja egymásra mer˝olegesek. Az xy síkra történ˝o mer˝oleges vetítés (melyet standard mer˝oleges vetítésnek is nevezünk): R3 → R2 , (x, y, z)t 7→ (x, y)t , melynek mátrixa

µ P=

1 0 0 0 1 0

¶ .

Ez az egyszer˝u vetítés szemléletes kép készítésére általában nem alkalmas, (ld. pl. az 1. ábrát), ehhez a modell transzformációjára lehet szükség. 1.1. Definíció. A tér egy hasonlósági transzformációjának és egy síkra történ˝o mer˝oleges vetítésnek a szorzatát ortogonális axonometriának nevezzük. A továbbiakban feltételezzük, hogy a hasonlóságnak az origó fixpontja, továbbá a mer˝oleges vetítés a standard mer˝oleges vetítés, így az axonometria lineáris leképezés lesz. Példa. (Ld. a 2. ábrát!) Forgassuk el a modellt az y tengely körül φ szöggel, majd az x tengely körül ψ szöggel, ezután vetítsük mer˝olegesen az xy síkra. Az így kapott axonometria mátrixa: µ ¶ cos φ 0 − sin φ V = P · Rx (ψ ) · Ry (φ ) = , − sin ψ sin φ cos ψ − sin ψ cos φ azaz az axonometria R3 = M3×1 3 x 7→ V · x. 3

y0

z0

x0

2. ábra. Ortogonális axonometria: mer˝oleges vetítés a koordinátasíkra a modell ortogonális transzformációjával. Az el˝oz˝o példával lényegében minden axonometriát leírtunk, mert a modellre alkalmazott z tengely körüli elforgatást illetve origó középpontú centrális hasonlóságot elérhetjük a kép hasonlósági transzformációjával is. Az axonometria megadása tehát lényegében a φ és ψ szögek megadását jelenti. Jóllehet ez nagyon egyszer˝u, mégis sok esetben intuitívabb lehet, ha R3 kanonikus bázisának a képét adjuk meg, amely persze rögtön megadja az axonometria kanonikus bázispárra vonatkozó V mátrixát. A három képvektor azonban nem vehet˝o föl tetsz˝olegesen, a következ˝oekben erre adunk feltételt. 1.2. Tétel (Gauss-tétel). Legyen V ∈ M2×3 . V akkor és csakis akkor áll el˝o V = P ·U alakban, ahol U ∈ M3×3 ortogonális mátrix, P pedig a standard mer˝oleges vetítés, ha V ·V t = I2 . Bizonyítás. U legyen ortogonális mátrix: U · U t = I3 . Legyen el˝oször V = P · U. Ekkor V ·V t = P ·U ·U t · Pt = P · Pt = I2 . Megfordítva, ha V · V t = I2 teljesül, akkor ez azt jelenti, hogy V sorai egymásra mer˝oleges egységvektorok. Egészítsük ki a sorvektorokat R3 ortonormált bázisává. A kiegészített mátrix legyen U. Mivel U sorai egymásra mer˝oleges egységvektorok, ezért oszlopai is azok, és V = P ·U nyilvánvalóan teljesül. ❖ 1.3. Következmény. Az (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ) vektorok akkor és csakis akkor alkotják R3 egy ortonormált bázisának standard mer˝oleges vetületét, ha (x1 , x2 , x3 ) és (y1 , y2 , y3 ) egymásra mer˝oleges egységvektorok, azaz x12 + x22 + x32 = 1 (1.4)

y21 + y22 + y23 = 1 x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 = 0.

4

Bizonyítás. Alkalmazzuk a Gauss-tételt:   µ ¶ x1 y1 µ ¶ x1 x2 x3  1 0 · x2 y2  = , y1 y2 y3 0 1 x3 y3 ami a három megadott egyenlettel ekvivalens. ❖ Az R2 halmazt a szokásos módon azonosítjuk C-vel: (x, y) ↔ x + iy, így a standard projeció: P : (x1 , x2 , x3 ) 7→ x1 + ix2 . Gauss tételét átfogalmazhatjuk: 1.4. Tétel (Gauss-tétel, komplex írásmód). (α , β , γ ) ∈ C3 akkor és csakis akkor R3 egy ortonormált bázisának - standard mer˝oleges vetülete, ha (1.5)

α 2 + β 2 + γ 2 = 0 és |α |2 + |β |2 + |γ |2 = 2.

- ortogonális axonometriával nyert képe, ha

α2 + β 2 + γ2 = 0

(1.6) teljesül nem triviálisan.

Bizonyítás. Legyen α = x1 + iy1 , β = x2 + iy2 , γ = x3 + iy3 . Az (1.5) relációknak képzetes és valós részét véve: x12 + x22 + x32 = y21 + y22 + y23 , x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 = 0, x12 + y21 + x22 + y22 + x32 + y23 = 2 adódik, ami (1.4)-el ekvivalens. Ugyanakkor el˝obbi els˝o két egyenlet azt fejezi ki, hogy (x1 , x2 , x3 ) és (y1 , y2 , y3 ) azonos hosszúságú egymásra mer˝oleges vektorok, ami a második állítást jelenti. ❖ Összefoglalva, ortogonális axonometria µ ¶ x1 x2 x3 V= y1 y2 y3 mátrixát úgy kell megadni, hogy a sorvektorok azonos (de nem zérus) hosszúságú egymásra mer˝oleges vektorok legyenek (ez nem intuitív megadás); vagy ezzel 5

y0

x0

z0

3. ábra. Párhuzamos vetítés. A modellt nem transzformáltuk. ekvivalens módon úgy, hogy az oszlopok közül fölveszünk tetsz˝olegesen kett˝ot, pl. az (x1 , y1 ) és (x2 , y2 ) oszlopokat, és a harmadik oszlopot kiszámítjuk úgy, hogy (x1 + iy1 )2 + (x2 + iy2 )2 + (x3 + iy3 )2 = 0 teljesüljön. Ez utóbbi egyenletnek az x3 + iy3 komplex számra két megoldása is van. A harmadik oszlop kiszámítása p nagyon egyszer˝u számítógéppel, ha komplex aritmetikával dolgozunk: γ = −α 2 − β 2 , a korábbi jelöléssel. Megjegyezzük, hogy ez utóbbi formula alapján γ -t nagyon könny˝u körz˝ozel-vonalzóval is megszerkezteni α -ból és β -ból.

1.3. Axonometria Vetítsük a teret a v = (v1 , v2 , v3 ) (v3 6= 0) vektorral párhuzamosan az xy síkra. A vetítés mátrixa a kanonikus bázispárra vonatkozóan az (1.3)-ba történ˝o behelyettesítéssel kapható meg:   1 0 − vv31  0 1 − v2  . v3 0 0 0 Ha az xy síkot az (x, y, 0) ↔ (x, y) lineáris izomorfizmussal beazonosítjuk R2 -el, akkor a vetítés mátrixa: Ã ! 1 0 − vv13 V= . 0 1 − vv23 Ez az egyszer˝u leképezés már önmagában is szemléletes képet ad, (legalábbis abban az értelemben ahogyan azt az 1. oldal lábjegyzetében írtuk), bár a képet torznak érezzük ld. 3. ábra. A modell transzformációját itt is alkalmazhatjuk. (4. ábra.) Az y tengely körüli φ szög˝u, majd az x tengely körüli ψ szög˝u elforgatás

6

y0

x0 z

0

4. ábra. Párhuzamos vetítés. A modellt elforgattuk az y tengely körül. után végrehajtva az el˝oz˝o párhuzamos vetítést, a következ˝o mátrixot kapjuk: V · Rx (ψ ) · Ry (φ ) =  − −v3 cos φ +vv31 cos ψ sin φ  − (v3 sin ψ +vv23cos ψ ) sin φ

ψ − v1 sin v3

− v3 sin φ +v1v3cos ψ cos φ

− −v3 cos ψv3+v2 sin ψ

− (sin ψ v3 +v2v3cos ψ ) cos φ

 .

A vetítés intuitív megadása itt is azt jelenti, hogy a tér kanonikus bázisának a képét adjuk meg. A továbbiakban belátjuk, hogy az ortogonális axonometriától eltér˝oen (ahol csak két képvektort vehettünk föl tetsz˝olegesen), mind a három képvektort fölvehetjük tetsz˝olegesen – egyetlen megkötés, hogy a fölvett vektorrendszer rangja 2 legyen. 1.5. Definíció. Egy P : R3 → R2 szürjektív lineáris (azaz kett˝o rangú) leképezést axonometrikus leképezésnek vagy axonometriának nevezünk. A továbbiakban az el˝obbi leképezés R3 ill. R2 kanonikus bázisaira vonatkozó mátrixát is P-vel jelöljük, így az axonometria: P : R3 → R2 , R3 3 x 7→ Px,

P ∈ M2×3 , rang P = 2.

1.6. Tétel (Az axonometria alaptétele – I). Minden axonometrikus leképezés el˝oáll egy R3 → R2 párhuzamos vetítés és egy R2 → R2 lineáris izomorfizmus szorzataként, azaz az axonometrikus kép affin kapcsolatban van az alakzat egy párhuzamos vetületével. Bizonyítás. Legyen ¶ µ a11 a12 a13 , rang P = 2. P= a21 a22 a23 7

Az általánosság megszorítása nélkül föltehetjük, hogy az els˝o két oszlop lineárisan független, azaz µ ¶ a11 a12 (1.7) det A 6= 0, A = . a21 a22 P egy dimenziós magterét generálja a v = (v1 , v2 , v3 ) 6= 0 vektor: ker P = L(v). Azt állítjuk, hogy P az xy síkra v-vel párhuzamos vetítés és az A-val történ˝o balszorzás (mint lineáris izomorfizmus) szorzata. Megjegyezzük, hogy v3 = 0 azt jelentené, hogy az xy sík nem zéró vektora A magterében lenne, így ez ellentmondana (1.7)-nek. ! Ã ! µ ¶ Ã 1 0 − vv13 a11 a12 −a11 vv31 − a12 vv23 a11 a12 A ·V = · = . a21 a22 0 1 − vv23 a21 a22 −a21 vv31 − a22 vv23 Azonban v ∈ ker P: v1 v2 − a12 = a13 v3 v3 v1 v2 a21 v1 + a22 v2 + a23 v3 = 0 =⇒ −a21 − a22 = a23 , v3 v3 a11 v1 + a12 v2 + a13 v3 = 0 =⇒ −a11

tehát P = A ·V . ❖ 1.7. Tétel (Az axonometria alaptétele – II). Minden axonometrikus leképezés el˝oáll egy R3 → S mer˝oleges vetítés és egy S → R2 lineáris izomorfizmus szorzataként, ahol S a tér egy alkalmas két dimenziós altere. Bizonyítás. Az el˝oz˝o tétel bizonyításának jelöléseivel. S legyen P magterének ortogonális komplementere, azaz az L(v) egyenesre mer˝oleges, origóra illeszked˝o sík. ❖ 1.8. Tétel (Pohlke). Minden axonometria egy párhuzamos vetítés és egy hasonlóság szorzata, azaz egy alakzat axonometrikus képe hasonló az alakzat valamely síkra vonatkozó párhuzamos vetületéhez. Bizonyítás. A bizonyításhoz egy elemi segédtételre van szükségünk: Minden ellipszis alapú hengernek van körmetszete. Az alaptétel els˝o változatának bizonyításakor már bevezetett jelöléseket használjuk, tehát az axonometria A ·V alakban írható föl, ahol V párhuzamos vetítés, A pedig lineáris izomorfizmus. Vegyünk föl az xy síkban egy tetsz˝oleges, origó középpontú k kört. Legyen −1 ˆ S∗ legyen olyan origóra illeszked˝o sík, hogy ebben fölvett alkalmas, A (k) = k. origó középpontú k∗ kör v-vel párhuzamos vetülete éppen kˆ legyen. (Ilyen sík 8

létezését a lemma garantálja.) Az xy síkra történ˝o, v-vel párhuzamos vetítést, azaz V -t, bontsuk föl az S∗ síkra történ˝o v-vel párhuzamos V1 vetítés és az S∗ sík xy síkra történ˝o, szintén v-vel párhuzamos V2 vetítés szorzatára: V = V2 ·V1 . Ezt azért tehetjük meg, mert S∗ nem lehet v-vel párhuzamos. Most P = A ·V2 ·V1 . Az A ·V2 lineáris izomorfizmus azonban a k∗ körhöz a k kört rendeli, azaz ez a leképezés hasonlóság, ami a bizonyítandó állítást jelenti. A bizonyítást az alábbi diagrammon követhetjük: V1 V2 A ˆ −→ R3 −→ S∗ (⊂ k∗ ) −→ R2 (⊂ k) R2 (⊂ k). ❖

A Pohlke-tétel szerint egy tetsz˝oleges 2 rangú síkbeli B vektorhármas valamely térbeli ortonormált bázis axonometrikus képe. A gyakorlati alkalmazásokban sok speciális axonometriát használnak. Gyakran B vektorait azonos hosszúságúnak vesszük föl, ilyenkor izometrikus axonometriáról beszélünk.

1.4. Centrális pojekció és centrál-axonometria 1.9. Definíció. Legyen S a projektív tér egy rögzített síkja, C egy síkra nem illeszked˝o pont. A C centrumú S síkra történ˝o (centrális) vetítésen azt a leképezést értjük, amely a tér egy tetsz˝oleges, C-t˝ol különböz˝o X pontjához hozzárendeli a CX egyenes és az S sík metszéspontját. ◦

◦

1.10. Tétel. Legyen c ∈ R4 , az S sík egyenlete hn, xi = 0, ahol n ∈ R4 . Az S síkra történ˝o, C = [c] centrumú vetítés X = [x]-hez X 0 = [x0 ]-t rendeli, ahol: ◦

R4 \ {c} 3 x 7→ x0 = (c · nt − nt · c · I4 ) · x. A c · nt − nt · c · I4 mátrixot a vetítés mátrixának mondjuk. Bizonyítás. El˝oször azt ellen˝orizzük, hogy X 0 = [x0 ] valóban a CX egyenesen van: x = c · |{z} nt · x − |{z} nt · c ·x = α c + β x ∈ L(c, x), α

β

tehát rang(x, x0 , c) = 2. Másodjára azt ellen˝orizzük, hogy X 0 az S síkon van: ­ 0® n, x = nt (cn˙t · x − nt · c · x) = (nt · c)(nt · x) − (nt · c)(nt · x) = 0. ❖ A vetítés V mátrixa, a mátrixelemeket kiírva:  n1 c1 + q n 2 c1 n3 c1  n1 c2 n c + q n 2 2 3 c2   n1 c3 n2 c3 n3 c3 + q n1 n2 n3 9

 0 0 , 0 q

y0

x0

5. ábra. 1 iránypontos perspektíva. A vetítés centruma a z tengelyen van, a modellt nem transzformáltuk. ahol n = (n1 , n2 , n3 , 1), c = (c1 , c2 , c3 , c4 ), q = −nt ·c. Ábrázolásra (a képerny˝o síkján történ˝o rajzolásra) valamely koordinátasíkra történ˝o projekciót lehet kényelmesen alkalmazni. Ennek legegyszer˝ubb esete, amikor a vetítés centrumát azon a tengelyen vesszük föl, amely a képsíkra mer˝oleges. Ezt a vetítést egy iránypontos perspektívának nevezzük. Példa. Határozzuk meg a centrális vetítés mátrixát, ha a z = 0 síkra vetítünk a (0, 0, −1/r), (r > 0) középpontból. Legyen n = (0, 0, r) ekkor q = 1, tehát a vetítés mátrixa:   1 0 0 0 0 1 0 0    0 0 0 0  . 0 0 r 1 A harmadik sort elhagyva kapjuk a P3 → P2 vetítés mátrixát:   1 0 0 0 Vz (r) = 0 1 0 0 . 0 0 r 1 Descartes koordinátákra áttérve: µ (x, y, z) 7→

¶ y x , , rz + 1 rz + 1

1 z 6= − . r

Az 5. ábrán találjuk a modellünk ábráját az el˝obbi vetítésnél. Szemléletes képhez a modell transzformációjával juthatunk. Az el˝obbi vetítésnél (amikor a z tengely egy pontjából vetítettünk az xy síkra) alkalmazhatjuk a modell x vagy y tengely körüli forgatását, tetsz˝oleges eltolást illetve ezek kompo-

10

y0

Ux z

Uz

0

x0

6. ábra. 2 iránypontos perspektíva a modell elforgatásával. A vetítés centruma a z tengelyen van, a modellt az y tengely körül forgattuk. zícióját: ◦

R4 3 x 7→ Vz (r) · T (l, m, n) · Rx (ψ ) · Ry (φ ) · x =  cos φ 0 − sin φ l  m =  − sin ψ sin φ cos ψ − sin ψ cos φ r cos ψ sin φ r sin ψ r cos ψ cos φ 1 + rn

  ·x 

Az el˝obbi mátrix oszlopainak a geometriai jelentése egyszer˝u. Jelölje a mátrix oszlopait rendre a1 , a2 , a3 , a4 . x helyére speciálisan a koordinátatengelyek végtelen távoli illetve egységpontjait írva kapjuk, hogy [a1 ] = Ux , [a2 ] = Uy , [a3 ] = Uz a koordinátatengelyek végtelen távoli pontjainak a képe, [a4 ] = O az origó képe, míg [a1 + a4 ] = Ex , [a2 + a4 ] = Ey , [a3 + a4 ] = Ez a tengelyek egységpontjainak a képe. (Ux ,Uy ,Uz ) illetve (Ex , Ey , Ez ) Désargues-féle háromszögpárt alkotnak, a megfelel˝o csúcsokat összeköt˝o egyenesek metszéspontja O. Az (O,Ux ,Uy ,Uz , Ex , Ey , Ez ) ponthetest a centrális projekció bázisalakzatának nevezzük. Aszerint, hogy Ux ,Uy ,Uz közül hány végtelen távoli pont van, szokás egy, két vagy három iránypontos perspektíváról beszélni. A centrális projekció intuitív megadása azt jelenti, hogy a bázisalakzat fölvételével adjuk meg a centrális projekciót. Ez azonban korántsem történhet tetsz˝olegesen. A továbbiakban ezt a problémát elemezzük. 1.11. Definíció. Legyen A ∈ M3×4 három rangú mátrix, melynek egyetlen oszlopa sem zéró vektor. A P3 → P2 , [x] 7→ [Ax] leképezést A mátrixú centrálaxonometriának nevezzük. A centrális projekció példa centrál-axonometriára. 11

y0 Ux

Uz

x0 z

0

7. ábra. 2 iránypontos perspektíva a modell elforgatásával és eltolásával. A vetítés centruma a z tengelyen van, a modellt az y tengely körül forgattuk, majd ugyanezen tengely irányában eltoltuk. y0

Ux

Uz

z

x0

0

Uy

8. ábra. 3 iránypontos perspektíva a modell elforgatásával. A vetítés centruma a z tengelyen van, a modellt az y, majd az x tengely körül forgattuk.

12

◦

Mivel [A · (tx)] = [tA · x] = [A · x], (t ∈ R), ezért a definíció független a pont reprezentánsának választásától. Továbbá A és tA ugyanazt a leképezést adja meg. Legyen A = (a1 , a2 , a3 , a4 ), ahol ai az A mátrix i-edik oszlopát jelöli. Ahogyan azt az el˝obb a centrális projekció esetében is beláttuk, [a1 ] = Ux , [a2 ] = Uy , [a3 ] = Uz rendre az x, y, z tengelyek végtelen távoli pontjának a képe, [a4 ] = O pedig az origó képe. A tengelyek egységpontjainak képe rendre: [a1 + a4 ] = Ex , [a2 + a4 ] = Ey , [a3 + a4 ] = Ez . Az (O,Ux ,Uy ,Uz , Ex , Ey , Ez ) ponthetest a centrál-axonometria bázisalakzata. Megjegyezzük, hogy (O,Ux ,Uy ,Uz ) még nem határozza meg a centrál-axonometriát, hiszen a pontok különböz˝o számnégyes-reprezentánsai általában nem adnak egymáshoz arányos mátrixokat: (α1 a1 , α2 a2 , α3 a3 , α4 a4 ) 6= α (a1 , a2 , a3 , a4 ). A következ˝o, geometriai jelleg˝u elemzéshez, a speciális esetek elkerülése végett, tegyük föl, hogy a bázisalakzat pontjai különböz˝o pontok. Az (Ex , Ey , Ez ) és (Ux ,Uy ,Uz ) háromszögpár Désargues-féle háromszögpár, azaz csúcsaira ( =⇒ oldalaira) nézve perspektív háromszögpár. (A pontok között lehetnek végtelen távoli pontok is.) 1.12. Tétel (A bázisalakzat fölvételének szabadsága). Tetsz˝oleges Désarguesféle háromszögpár a perspektivitás centrumával egy centrál-axonometria bázisalakzatát adja meg. Bizonyítás. Legyen A = ([a1 ], [a2 ], [a3 ]), B = ([b1 ], [b2 ], [b3 ]) a két perspektivikus ◦

háromszög, a perspektivitás centruma [a4 ]. (ai , bi , a4 ∈ R3 , i = 1, 2, 3.) Az összes olyan centrál-axonometria mátrixa, melynél az origó képe [a4 ] és az egyes tengelyek végtelen távoli pontjának képe pedig A, megadható valamely nem zéró α1 , α2 , α3 skalárokkal a következ˝o alakban: (α1 a1 , α2 a2 , α3 a3 , a4 ). (A negyedik oszlop arányossági tényez˝ojével lehet osztani.) A kérdés az, hogy vannak-e olyan α1 , α2 , α3 nem zéró skalárok, hogy [αi ai + a4 ] = [bi ]. Mivel (A, B) Désargues-féle háromszögpár, ezért rang(ai , bi , a4 ) = 2. Legyen i = 1, i = 2, 3-ra analóg. A zérusvektort lineárisan kombinálva: ta1 + rb1 + sa4 = 0, valamely nem triviális (t, r, s) együtthatórendszerre. S˝ot, a geometriai föltevés szerint (a bázisalakzat pontjai különböz˝oek) azt is tudjuk, hogy s 6= 0, ellenkez˝o esetben ugyanis (a1 , b1 ) lineárisan függ˝o rendszer, azaz [a1 ] = [b1 ] lenne. Tehát r t a1 + a4 = − b1 , s s 13

azaz α1 = t/s mellett [α1 a1 + a4 ] = [b1 ]. 1.13. Tétel (A centrál-axonometria f˝otétele). Minden centrál-axonometria egy centrális projekció és egy projektív transzformáció szorzata, azaz a centrálaxonometrikus kép projektív az alakzat valamely centrális vetületéhez. Bizonyítás. A bizonyítás analóg az 1.6. tétel bizonyításához. ❖ A centrál-axonometriára Pohlke tételét nem lehet általánosítani, nem igaz az, hogy tetsz˝oleges centrál-axonometria centrális vetítés és hasonlóság szorzata: 1.14. Tétel (Szabó–Stachel–Vogel). Legyen (O,Ux ,Uy ,Uz , Ex , Ey , Ez ) egy centrál-axonometria bázisalakzata, továbbá a bázisalakzat egyetlen pontja se legyen végtelen távoli pont. (9). A bázisalakzat által meghatározott centrálaxonometria akkor és csakis akkor centrális projekció és hasonlóság szorzata, ha µ ¶ µ ¶ µ ¶ OEy 2 OEx 2 OEz 2 : : = t gα : t gβ : t gγ , ExUx EyUy EzUz ahol

α = UyUxUz ^, β = UzUyUx ^, γ = UyUzUx ^.

y0

Uz

Ux Ey

Ex x0

Ez z

0

Uy

9. ábra. Bizonyítás. ✘

14