Analitikus Geometria és Többváltozós Függvénytan

BÁNKI DONÁT GÉPÉSZ ÉS BIZTONSÁGTECHNIKAI MÉRNÖKI KAR

Hanka László

Analitikus Geometria és Többváltozós Függvénytan

ÓE-BGK 3063 Budapest, 2014.

Szerző: Dr. Hanka László adjunktus (ÓE BGK) Lektor: Hosszú Ferenc mestertanár (ÓE BGK)

Fiamnak Boldizsárnak

Előszó Ez az elektronikus egyetemi jegyzet elsősorban mérnökhallgatóknak szól. Kettős célt szolgál. Egyrészt biztosítani szeretnénk a lehetőséget, hogy a BSc szak viszonylag csekély számú matematika óráján el nem hangzott, de a műszaki tárgyak megértéséhez és feldolgozásához elengedhetetlenül szükséges tananyagot a hallgató önállóan, vagy egy választható kurzus keretein belül megtanulhassa. Ugyanakkor tankönyvként szolgálhat azon MSc szakos hallgatók számára is, akik a feldolgozott fejezetek közül valamelyiket tanulmányaik során hallgatják. A jegyzet elsősorban a gyakorlatra helyezi a hangsúlyt. Természetesen cél az, hogy a hallgatók megismerjenek olyan fejezeteket a matematikából, amely az alapképzésbe vagy esetleg a mesterképzés keretei közé sem fér be, de a mérnöki gyakorlat számára elengedhetetlen. Szeretnénk szélesíteni a leendő mérnökök látókörét további matematikai ismeretekkel, bemutatni különböző elméleteket és ezek módszereit, de elsősorban úgy, hogy az elmélet alkalmazását példákon keresztül illusztráljuk. A 90 részletesen kidolgozott feladat és a 111 ábra segíti az elmélet megértését. Természetesen a megfogalmazott állítások egy részét bebizonyítjuk, de nem mindegyiket. Nem matematikusok számára íródott ez a jegyzet, hanem mérnökök számára. Ezért azokat az állításokat igazoljuk, amelyek elősegítik a témakör logikájának pontosabb megértését és esetleg az alkalmazott ötletek segítséget nyújthatnak a gyakorlati problémák megoldásában. A túlzottan bonyolult, szélsőségesen elméleti fejtegetéseket mellőztük, egy érdeklődő hallgató igény szerint ezeknek utána tud nézni a jegyzet végén közölt szakirodalomban. A feldolgozott témakörök a következők. Az első fejezet a vektorgeometria és analitikus geometria témakörét tárgyalja. Ebben a témakörben az alapvető vektorműveletek értelmezése után az síkbeli és térbeli alakzatok, másodrendű görbék és másodrendű felületek tárgyalásával foglalkozunk. A második fejezet a többváltozós függvények differenciál- és integrálszámításával foglalkozik. Különös hangsúlyt fektettünk a szemléltetésre, mert úgy gondoljuk, ez sokat segít olyan alapvető ismeretek megértésében, mint a hibaszámítás, a többváltozós függvények szélsőértékének problémája vagy a kettős és hármas integrálok kiszámítása. Egy jól képzett mérnök természetesen állandóan képzi magát, ez a jegyzet természetesen nem egy kimerítő tárháza a szüksége ismereteknek, de úgy gondoljuk, első lépésnek megfelelő, mert nagyon reméljük, hogy mindenkiben felmerül az önképzés, továbbképzés igénye. Ebben a jegyzetben együtt gondolkodásra invitáljuk a tisztelt Olvasót, ezért a szöveg megfogalmazása némileg különbözik a szokásos „száraz” matematikai fogalmazástól. Megpróbáltunk „hangosan gondolkodni”, hogy az olvasó érezze, milyen új kérdések fogalmazódnak meg egy elmélet kifejtése során, és azokra hogyan lehet válaszolni. A jegyzet feldolgozásához, a matematika felfedezéséhez sok örömöt és sikerélményt kíván a Szerző Budapest, 2014. június 30.

Dr. Hanka László

1

Óbudai Egyetem Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar

Dr. Hanka László

2


Analitikus Geometria

1. fejezet VEKTORGEOMETRIA, ANALITIKUS GEOMETRIA

Dr. Hanka László

3



Dr. Hanka László

4



1.1. VEKTORGEOMETRIA Ebben a pontban az alapvető vektorműveleteket tekintjük át. Azokra az alapvető kérdésekre térünk csak ki amelyek nélkülözhetetlenek ahhoz, hogy az analitikus geometriában és vektoranalízisben szereplő fogalmakat tisztázhassuk. A számításokat a térben tehát R3-ban fogjuk végezni. Itt kitüntetjük a standard bázist az {i, j, k} vektorokkal, amelyek egységnyi hosszúak, i  j  k  1 és páronként ortogonálisak, i  j, i  k, j  k , úgy hogy a három vektor i, j, k sorrendben jobbsodrású rendszert alkot, ami azt jelenti, hogy például a k irányából visszatekintve az i és j síkjára az i vektort a j vektorba pozitív irányú - tehát az óramutató járásával ellentétes irányú - 90°-os forgatás viszi át. Azt a bázist melynek vektorai páronként merőlegesek, más szóval ortogonálisak, és amelynek minden eleme egységnyi hosszúságú, tehát "normált" a lineáris algebrában ortonormált bázisnak nevezünk. (Erről a témáról részletesen olvashatnak Hanka László: Fejezetek a matematikából, című jegyzetben.) Ez a bázis tehát az R3 egy ortonormált bázisa. Ebben a bázisban az tér tetszőleges v vektora egyértelműen bontható fel

v  v1i  v2 j  v3k alakban. Ez a felírás egyenértékű a v  v1 , v2 , v3  szimbólummal, hiszen a bázist rögzítettük. A v1, v2, v3 valós számokat a v vektor koordinátáinak nevezzük. A felbontást szemlélteti az 1.1. ábra.

z v3

v  v1 , v2 , v3  k j i

v2 y

v1 x

1.1.ábra. Vektor felbontása merőleges komponensekre R3-ban.

Dr. Hanka László

5



1.1.1. Alapvető vektorműveletek Ebben a pontban vektor valós számmal történő szorzását, a vektorok összeadását és kivonását tárgyaljuk, azt vizsgáljuk, hogyan végezhetők el ezek a műveletek koordinátákkal. A vektoroktól történő megkülönböztetés érdekében a valós számokat szokás skalárnak nevezni. a) Vektor szorzása skalárral. Legyen a v  v1 , v2 , v3  egy tetszőleges vektor és c egy tetszőleges való szám. Ekkor a v vektor c-szerese azt a cv jelű vektort jelenti, amely párhuzamos v-vel, ha c > 0 akkor egyező irányúak, ha c < 0 akkor ellentétes irányúak, ha c = 0 akkor cv iránya tetszőleges, és cv abszolút értékére fennáll a cv  c v egyenlőség. Vektor skalárszorosára vonatkozólag fennállnak az alapvető műveleti azonosságok. A művelet a) kommutatív: cv = vc b) asszociatív:  c1c2  v  c1  c2 v   c1c2 v c) disztributív:  c1  c2  v  c1v  c2 v; c  v1  v2   cv1  cv2 Ha a v vektort a v  v1 , v2 , v3  koordináták határozzák meg, akkor a cv vektor koordinátái

cv  cv1 , cv2 , cv3  , ugyanis felhasználva a vektor bázisbeli előállítását valamint a disztributivitást, kapjuk hogy cv  c  v1i  v2 j  v3k   cv1i  cv2 j  cv3k   cv1 , cv2 , cv3 

Egy vektor skalárszorosának koordinátáit tehát úgy kapjuk, hogy minden koordinátát szorzunk a skalárral. b) Vektorok összege. Legyenek v  v1 , v2 , v3  és u  u1 , u2 , u3  tetszőleges vektorok. A v és u vektorok összegét a következő módon értelmezzük. Az összegvektort úgy kapjuk, hogy a v vektor végpontjából felmérjük az u vektort, és az összegvektor a v kezdőpontjából az u végpontjába mutat. Ezzel a definícióval tetszőleges számú vektor összegezhető. Speciális esetben, ha két vektor összegéről van szó és ha a vektorok nem párhuzamosak, egy nevezetes szabály adódik az összeg meghatározására. Közös kezdőpontból felmérjük a két vektort. Ezek "kifeszítenek egy paralelogrammát". A v + u összegvektor értelmezés szerin a paralelogramma azon átlóvektora amelynek kezdőpontja a v és u vektorok közös kezdőpontja. Ezt a definíciót nevezzük paralelogramma szabálynak. v+u u

v 1.2.ábra. Paralelogramma szabály

Dr. Hanka László

6


Analitikus Geometria Az összeadásra vonatkozólag teljesülnek a szokásos műveleti azonosságok. Az összeadás a) kommutatív: u  v  v  u b) asszociatív:  u  v   w  u   v  w   u  v  w Az összeg koordinátáinak a meghatározásához tegyük fel, hogy a két vektor a v  v1 , v2 , v3  és

u  u1 , u2 , u3  koordinátákkal adott. Ekkor az összegvektor a skalárszorosra és az összegre vonatkozó műveleti azonosságok szerint a következő v  u   v1i  v2 j  v3k    u1i  u2 j  u3k    v1  u1  i   v2  u2  j   v3  u3  k    v1  u1 , v2  u2 , v3  u3  Összeg koordinátáit tehát úgy kapjuk, hogy a koordinátákat összeadjuk. Ez igaz kettőnél több vektorra is. c) Vektorok különbsége. Nyilvánvalóan közvetlenül csak két vektorra vonatkozólag értelmezhetjük a kivonás műveletét. Ezt azonban nem szükséges új műveletnek tekinteni, ugyanis visszavezethető az előző két műveletre. Definíció szerint

v  u  v   u  Ebből azonnal adódik a koordinátákra vonatkozólag, hogy a v  v1 , v2 , v3  és u  u1 , u2 , u3  koordinátákkal adott vektorok különbségének koordinátái

v  u  v1  u1 , v2  u2 , v3  u3  Különbség koordinátáit tehát úgy kapjuk, hogy a koordináták különbségét képezzük. A különbség szemléltetése az u   v  u   v nyilvánvaló egyenlőségen alapszik. Ha tehát az u vektorhoz hozzáadjuk a v – u különbségvektort, akkor a v vektort kapjuk. P v-u

u

Q

O v 1.3.ábra. Két vektor különbsége

Innen látható, hogy a különbségvektort a "vég mínusz kezdet szabály" alapján tudjuk meghatározni. Gyakran előfordul az alkalmazások során, hogy szükség van két adott pontot összekötő vektorra. Legyen adott a P  p1 , p2 , p3  és a Q  q1 , q2 , q3  pont a térben. Kérdés, hogyan Dr. Hanka László

7


Analitikus Geometria kapjuk a P pontból a Q pontba mutató vektort. Ehhez az origóból ún. helyvektorokat indítunk a kérdéses pontokba, legyen ezen helyvektorok jele rendre p és q. Ezen vektorok koordinátái definíció szerint megegyeznek a végpontjaik koordinátáival, azaz teljesül, hogy p  p1 , p2 , p3  és

q  q1 , q2 , q3  . Ekkor a 3. ábra logikáját követve adódik, hogy

PQ  q  p   q1  p1 , q2  p2 , q3  p3  .

Dr. Hanka László

8



1.1.2. Vektorok skaláris szorzata Vektorok skaláris szorzatának klasszikus definíciója a következő. Definíció: Az u év v vektorok skaláris szorzata a két vektor abszolút értékének és a két vektor által közrezárt szög koszinuszának a szorzata. Jele uv. Értelmezés szerint tehát

uv  u v cos  Ahol    u, v  , és megegyezés szerint 0    180 . v φ u 1.4. ábra. A skaláris szorzat értelmezéséhez.

A definícióból következően tehát a skaláris szorzat három valós szám szorzata, így maga is valós szám tehát skalár. Innen ered az elnevezés. A skaláris szorzásra vonatkozó műveleti azonosságok a következők: a) kommutatív: uv = vu b) asszociatív:  u  v    uv   uv;   R c) disztributív:  u  v  w  uw  vw Az asszociativitással kapcsolatban hangsúlyozzuk, hogy nincs értelme felvetni a kérdést úgy, hogy az uvw "skaláris szorzat" asszociatív-e, ugyanis ha (uv)w sorrendben számítjuk a szorzatot akkor csak az első szorzás skaláris szorzás, a w vektort már csak egy skalárral szorozzuk, ez pedig már más művelet, "skalárral való szorzás". Ha ennek figyelembe vételével tesszük fel a kérdést, hogy az uvw művelet eredménye független-e a zárójelezéstől, akkor a válasz egyértelműen nem. Ugyanis az (uv)w a w vektor skalárszorosa, az u(vw) művelet eredménye pedig az u vektor skalárszorosa. Mivel pedig az általános esetben u és w nem párhuzamosak ezért skalárszorosaik nem lehetnek egyenlők. Ebből adódóan az uvw szimbólumot csak zárójelezve van értelme leírni. Ugyanezt a jelet használjuk egy más szorzásműveletre, amelyet az 1.1.4. pontban tárgyalunk. A skaláris szorzással kapcsolatosan az egyik legfontosabb tétel azzal kapcsolatos, hogy a művelet segítségével könnyen vizsgálhatjuk két vektor merőlegességét. Tétel: Az uv skaláris szorzat pontosan akkor zérus, ha u  v tehát ha a két vektor merőleges egymásra.

Dr. Hanka László

9


Analitikus Geometria Bizonyítás: Egyrészt ha feltesszük, hogy u és v merőlegesek, akkor a skaláris szorzat értelmezése alapján azonnal adódik, hogy

uv  u v cos   u v cos90  u v  0  0 . Megfordítva, ha a skaláris szorzat zérus, akkor ismét a definíció szerint

uv  u v cos   0 Ez az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha legalább egy tényezője zérus. Ha cosφ = 0 akkor máris kapjuk, hogy φ = 90°, tehát a két vektor merőleges. Ha u  0 akkor ebből következik, hogy u = 0, azaz u a nullvektor, melynek iránya tetszőleges, így tekinthetjük úgy, hogy merőleges a v-re. Ha v  0 a helyzet ugyanez. ■ Ezt az alapvető tételt felhasználhatjuk arra, hogy koordinátákkal adott vektorok skaláris szorzatát számítsuk. Ehhez csak azt kell felhasználnunk, hogy az {i, j, k} bázisvektorok egységnyi hosszúak, i  j  k  1 és páronként ortogonálisak, i  j, i  k, j  k , amiből következik, hogy

ij  ik  jk  0 továbbá ii  jj  kk  11 cos 0  1 . A disztributív törvény felhasználásával, ha a koordináták u  u1 , u2 , u3  és v  v1 , v2 , v3  akkor a skaláris szorzat uv   u1i  u2 j  u3k  v1i  v2 j  v3k    u1v1ii  u1v2ij  u1v3ik  u2v1 ji  u2v2 jj  u2v3 jk  u3v1ki  u3v2kj  u3v3kk   u1v1  u2v2  u3v3 Azt kaptuk tehát, hogy a skaláris szorzat a megfelelő koordináták szorzatának összege.

uv  u1v1  u2v2  u3v3 Speciális de fontos esetként szorozzunk össze egy vektort skalárisan önmagával. Ekkor a definíció szerint egyrészt adódik, hogy uu  u u cos   u u cos 0  u

2

tehát az önmagával képezett skaláris szorzat a vektor abszolút értékének négyzete. Ha ezt koordinátákkal számoljuk, adódik, hogy u2  uu  u1u1  u2u2  u3u3  u12  u22  u32

amivel értelmeztük egy vektor négyzetét is. Eszerint egy vektor négyzete egyenlő az abszolút értékének négyzetével. A két eredmény összevetéséből adódik, hogy egy vektor hosszát az alábbi formulával számíthatjuk Dr. Hanka László

10


Analitikus Geometria u  u12  u22  u32 Ezek a formulák lehetőséget adnak nem csak a merőlegesség tesztelésére, hanem két vektor szögének számítására. A definíciós formula átrendezésével ugyanis az adódik, hogy cos  

u1v1  u2v2  u3v3 uv  2 u v u1  u22  u32 v12  v22  v32

és ebből az összefüggésből a φ szög egyértelműen meghatározható a 0    180 megállapodás miatt. Mivel cos   1 , ebből az összefüggésből mellékeredményként adódik a nevezetes Cauchy-Schwartz-Bunyakovszkij féle egyenlőtlenség.

u1v1  u2v2  u3v3  u12  u22  u32 v12  v22  v32 A vektorok alkalmazásának számos területén van arra szükség, hogy egy vektor esetén kiszámítsuk adott vektor irányába eső vetületének hosszát illetve az adott irányú vetületvektort. A skaláris szorzat kiváló apparátus ennek a két mennyiségnek az előállítására. Jelöljük ki az irányt az a vektorral. Legyen az a irányába mutató egységvektor az e vektor, és határozzuk meg egy tetszőleges v vektor a irányú vetületének hosszát és az a irányú vetületvektort. v

φ

vp

a

e 1.5.ábra. Vektor adott irányú vetületének meghatározása

Az 1.5. ábra alapján világos, hogy a v vektor a vektorral párhuzamos vetületének - melyet vp vektor jelöl - hossza v p  v cos   v 1 cos   v  e  cos   ve

a vetület hossza tehát a ve skaláris szorzattal adható meg. Ha figyelembe vesszük, hogy e 

a , a

akkor az a irányú vetület abszolút értéke az alábbi formulával kapható

v p  ve  v

Dr. Hanka László

11

a va  a a


Analitikus Geometria Ha szükség van a vetületvektorra, akkor az így kapott abszolút értéket szorozni kell az a irányú egységvektorral.  va  a  va  a v p   ve  e     2 a  a a

Ezzel előállítottuk az adott irányba mutató vetületvektort.

Dr. Hanka László

12



1.1.3. Vektorok vektoriális szorzata Vektorok vektoriális szorzata, az elnevezésből adódóan egy vektor. Alapvetően fontos szerepe van mind a vektoranalízisben, mind a geometriában. Értelmezése a következő. Definíció: Az u és v vektorok vektoriális szorzata az az u  v -vel jelölt vektor (olv. " u kereszt v") amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik: a) Abszolút értéke: u  v  u v sin  ahol    u, v  , és megegyezés szerint 0    180 . b) Az u  v vektor merőleges mind az u mind a v vektorra, tehát merőleges az u és v vektorok síkjára. c) Az u  v vektor iránya a következőképpen van értelmezve: az u, v, u  v vektorok ebben a sorrendben jobbrendszert alkotnak. (Ez az az irány, amellyel ellentétes irányban tekintve az u és v vektorok síkjára, az u vektort a v vektorba pozitív irányú, tehát az óramutató járásával ellentétes irányú, φ szögű elforgatás viszi át.) u×v

v

φ u

S

1.6.ábra. A vektoriális szorzat értelmezése.

A vektoriális szorzásra vonatkozó műveleti azonosságok a következők: a) nem kommutatív, hanem alternáló: u  v = – v  u b) asszociatív:  u   v    u  v   u  v;   R c) disztributív:  u  v   w  u  w  v  w; és u   v  w   u  v  u  w; A c) pontban azért kellett mindkét formulát megadnunk, mert a művelet nem kommutatív. Ennél a műveletnél a b) pontbeli asszociativitás kérdése egy általánosabb módon is felmerülhet, itt ugyanis van értelme háromtényezős vektori szorzatról beszélni, tehát van értelme az u  v  w szorzatot vizsgálni, hiszen itt mindkét szorzás valóban vektori szorzás. A kérdés tehát az lehet, hogy az  u  v   w és az u   v  w  szorzatok egyenlők-e vagy nem. A válasz ismét nemleges, de ennek a szorzatnak a kiszámítására gyakran szükség van, ezért bizonyítás nélkül megadjuk a kiszámításra vonatkozó összefüggéseket, amelyekből azonnal látható, hogy a kétféle módon zárójelezett szorzás eredménye általában nem lesz megegyező, ugyanis az  u  v   w szorzás eredménye egy olyan vektor amely az u és v vektorok lineáris kombinációja, tehát az u és v

Dr. Hanka László

13


Analitikus Geometria vektorok által meghatározott síkban van, az u   v  w  szorzat pedig a v és w vektorok síkjában van. Tétel: (Kifejtési tétel)

 u  v   w   uw  v   vw  u; u   v  w    uw  v   uv  w; A vektoriális szorzattal kapcsolatos alapvető eredmény a következő. Tétel: Az u  v vektoriális szorzat pontosan akkor zérusvektor, ha u || v tehát ha a két vektor párhuzamos egymással. Bizonyítás: Egyrészt ha feltesszük, hogy u és v párhuzamosak, akkor a vektori szorzat értelmezése alapján azonnal adódik, hogy

u  v  u v sin   u v sin 0  u v sin180  u v  0  0 . Megfordítva, ha a vektori szorzat zérus, akkor ismét a definíció szerint

u  v  u v sin   0 Ez az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha legalább egy tényezője zérus. Ha sinφ = 0 akkor máris kapjuk, hogy φ = 0° vagy 180°, tehát a két vektor párhuzamos. Ha u  0 akkor ebből következik, hogy u = 0, azaz u a nullvektor, melynek iránya tetszőleges, így tekinthetjük úgy, hogy párhuzamos a v-vel. Ha v  0 a helyzet ugyanez. ■ Ezt az alapvető tételt felhasználhatjuk arra, hogy koordinátákkal adott vektorok vektori szorzatát kiszámítsuk. Ehhez azt kell felhasználnunk, hogy az {i, j, k} bázisvektorok egységnyi hosszúak, i  j  k  1 és páronként ortogonálisak, i  j, i  k, j  k úgy, hogy i, j, k ebben a sorrendben

i  j  k , j  k  i, k  i  j jobbrendszert alkot, amiből következik, hogy j  i  k, k  j  i, i  k   j és végül i  i  j  j  k  k  0 . A disztributív

továbbá törvény

felhasználásával, ha a koordináták u  u1 , u2 , u3  és v  v1 , v2 , v3  , akkor a vektoriális szorzat az előző formulák figyelembe vételével a következő.

u  v   u1i  u2 j  u3k    v1i  v2 j  v3k    u1v1i  i  u1v2 i  j  u1v3i  k  u2v1 j  i  u2v2 j  j  u2v3 j  k  u3v1k  i  u3v2k  j  u3v3k  k   u1v2k  u1v3   j  u2 v1  k   u2v3i  u3v1 j  u3v2  i     u2v3  u3v2  i   u3v1  u1v3  j   u1v2  u2v1  k ;

Dr. Hanka László

14


Analitikus Geometria Azt kaptuk tehát, hogy a vektoriális szorzat a vektorok koordinátáival a következő módon adható meg.

u  v   u2v3  u3v2 , u3v1  u1v3 , u1v2  u2v1  ; A vektori szorzat koordinátáinak a megjegyzését illetve számítások során a meghatározását megkönnyíti az a tény, amely szerint a kapott vektor előállítható egy olyan harmadrendű formális determináns kifejtésével, amelynek első sorában az i, j, k bázisvektorok szerepelnek, a második és harmadik sor pedig rendre az u és v vektorok koordinátáit tartalmazza. Ha ezt a determinánst kifejtjük pontosan a definíció alapján kapott vektort kapjuk. Valóban, az első sor szerint kifejtve a mondott determinánst, kapjuk, hogy i j u1 u2 v1

v2

k u u3  i 2 v2 v3

u3 u u u u  j 1 3  k 1 2   u2v3  u3v2  i   u1v3  u3v1  j   u1v2  u2v1  k ; v3 v1 v3 v1 v2

ami, figyelembe véve a sakktábla szabályban foglalt előjelezést, valóban megegyezik a vektori szorzatra kapott eredménnyel. Írhatjuk tehát, hogy ha a koordináták u  u1 , u2 , u3  és v  v1 , v2 , v3  , akkor a vektori szorzat meghatározása a következő módon történhet. i j u  v  u1 u2 v1

v2

k u3 ; v3

Ebből egyrészt következik, hogy a művelet valóban alternáló, mert ha megcseréljük a tényezők sorrendjét, akkor az sorcserét jelent a determinánsban, amiről a determinánsok elmélete alapján tudjuk, hogy előjelváltást eredményez. A vektori szorzatnak fontos geometriai jelentése van, amely a vektoranalízisben fontos szerepet játszik. Induljunk ki egy olyan paralelogrammából, amelyet az u és v vektorok "feszítenek ki" az 1.7. ábra szerint. u×v Terület =|u×v| v φ u 1.7. ábra. Paralelogramma területe

Számítsuk ki ennek a paralelogrammának a területét. Egy jól ismert összefüggés szerint a paralelogramma területét a

Dr. Hanka László

15


Analitikus Geometria T  u v sin   u  v képlet adja amely definíció szerint megegyezik a két vektor vektoriális szorzatának abszolút értékével. Azt kaptuk tehát, hogy az u és v vektorok vektori szorzata egy olyan vektor amely merőleges az u és v síkjára és hossza pontosan megegyezik az u és v vektorok által kifeszített paralelogramma területével. Ebből adódóan az u  v vektort szokás területvektornak is nevezni. Ennek alapján szemléletes bizonyítást is nyer az a tétel, hogy u  v = 0 akkor és csak akkor, ha a két vektor párhuzamos, hiszen a paralelogramma területe pontosan akkor zérus, ha a paralelogramma "elfajuló", ha tehát a két vektor vagy 0°-os vagy 180°-os szöget zár be, amikor a paralelogramma egy szakasszá torzul.

Dr. Hanka László

16



1.1.4. Vektorok vegyes szorzata Vektorok vegyes szorzata nem új művelet, hanem a skaláris és a vektoriális szorzat műveletének az "egyesítéséről" van szó egy három tényezős szorzatban. Definíció: Az u, v és w vektorok vegyes szorzatát az

uvw   u  v  w formulával értelmezzük. Tehát képezzük az u és v vektori szorzatának a w vektorral a skaláris szorzatát. Felhívjuk a figyelmet az 1.1.2. pontban mondottak alapján arra, hogy ne keverjük össze az uvw szimbólumot a skaláris szorzással, hiszen azt három vektor esetén nem is lehet értelmezni. Ha skaláris szorzásról van szó, akkor azt zárójelezéssel az (uv)w vagy u(vw) módon egyértelművé kell tenni. A vegyes szorzatnak igen fontos geometriai és vektoranalízisbeli (fizikai) jelentése van. Elsőként tisztázzuk a geometriai jelentést. Tétel: Az uvw vegyes szorzat az u, v és w vektorok által kifeszített paralelepipedon előjeles térfogata. Bizonyítás: A szorzat jelentése nagyon szemléletes, ezért a bizonyítást megkönnyítjük egy ábrával. Az 1.8. ábrán látható a három vektor által kifeszített paralelepipedon.

u×v w ϑ

v φ

u

1.8. ábra. Az u, v és w vektorok által kifeszített paralelepipedon

Ennek a testnek, mint minden hasábnak, a térfogatát az alapterület és magasság szorzatával számítjuk. Az 1.1.3. pontban tisztáztuk, hogy az u és v vektorok által kifeszített paralelogramma területe u  v , a magassága pedig, az 1.1.2. pontbeli okfejtésre támaszkodva éppen a w vektor u × v irányú vetületének hossza. Ez az ábra jelöléseivel nyilván w cos  . Tegyük fel elsőként, ahogyan az 1.8. ábrán is látható, hogy u  v és w ugyanabban a féltérben vannak, tehát ϑ hegyesszög. Ebben az esetben a paralelepipedon térfogata

Dr. Hanka László

17


Analitikus Geometria V  u  v w cos  ; Ez a szorzat az 1.1.2. pont szerint azonban éppen egy skaláris szorzatot értelmez, mégpedig az u  v és w vektorok skaláris szorzatát. Kapjuk tehát, hogy a paralelepipedon térfogata a mondott esetben V   u  v  w  uvw ;

éppen a három vektor vegyes szorzata. Előállhat azonban az az eset is, amikor a w vektor és az u × v vektori szorzat nem ugyanabban a féltérben vannak. Ezt az esetet mutatja az 1.9. ábra.

w u v

φ ϑ

u×v 1.9. ábra. Paralelepipedon, amikor az élek jelölése eltérő az előzőtől

Ez az eset egyszerűen úgy áll elő, hogy az előbbi esetben u és v jelű élek jelölését felcseréljük. Ekkor jól láthatóan a ϑ szög tompaszög. Ekkor a paralelepipedon magassága nyilvánvalóan  w cos  hiszen tompaszögek koszinusza negatív. Ebből adódóan a paralelepipedon térfogata

V   u  v w cos     u  v  w  uvw Összefoglalva azt mondhatjuk, hogy a vegyes szorzat a térfogatot adja (1.8. ábra) vagy a térfogat ellentettjét (1.9. ábra). Ezt a két tulajdonságot egyben úgy szokás fogalmazni, hogy a vegyes szorzat a paralelepipedon előjeles térfogatát szolgáltatja. Ha azonban képezzük a vegyes szorzat abszolút értékét, akkor minden körülmények között a térfogat adódik.

uvw  V Ezzel az állítást igazoltuk. ■ Az igazolt állítás egy következményét azonnal megfogalmazhatjuk. Dr. Hanka László

18


Analitikus Geometria Tétel: (felcserélési tétel)

uvw  vwu  wuv  uwv  wvu  uwv A tétel tehát azt mondja ki, hogy a vegyes szorzat tényezőinek sorrendjét a feltüntetett módon megváltoztatva a szorzat értéke vagy nem változik vagy ellentettre változik. Egy bevett szóhasználat szerint, ha az u, v és w vektorokat cilkikusan permutáljuk, akkor a vegyes szorzat nem változik, és ugyanez igaz a v, u és w vektorokra. Az előjelváltást már igazoltuk az előző tételben. Bizonyítás: A tétel igazolása a szorzat szemléletes jelentése alapján nyilvánvaló, ugyanis egy paralelepipedon térfogata nem függhet attól, hogy melyik két vektor által kifeszített paralelogrammát tekintjük alapnak. ■ Kissé részletezve a fenti egyenlőségláncból egy egyenlőséget, a tétel állítása tehát az, hogy

uvw   u  v  w   v  w  u  vwu ; és így tovább. Ha figyelembe vesszük az 1.8. és 1.9. ábrák jelöléseit, valamint a skaláris és a vektoriális szorzat értelmezését, akkor világos, hogy a vegyes szorzat az alábbi módon számítható ki.

uvw   u  v  w  u  v w cos   u v sin  w cos   u v w sin  cos  Ezen formula és a geometriai háttér alapján már igazolhatunk egy alapvető állítást. Tétel: Az uvw vegyes szorzat pontosan akkor zérus, ha a három vektor egy síkban van, azaz u, v és w komplanáris. Bizonyítás: Az állítás igazolása a szorzat szemléletes tartalma alapján nyilvánvaló. Hiszen a paralelepipedon térfogata pontosan akkor zérus, ha a test elfajuló, azaz ha nincs magassága, tehát egy síkidommá redukálódik, vagy ha az alapként szolgáló paralelogramma elfajul egy egyenes szakasszá, amikor az élek párhuzamosak. Ezzel a tételt igazoltnak is tekinthetjük. Azonban az 1.1.2. és 1.1.3. pontbeli analóg tételek bizonyításának mintájára elemezhetjük az

uvw  u v w sin  cos  formulát is. Ha a vektorok egy síkban vannak, akkor vagy ϑ = 0° vagy φ = 0° illetve 180°. A szögfüggvény értékek figyelembe vételével mindkét esetben nyilván zérus a szorzat. Fordítva, ha a szorzat zérus, akkor vagy valamelyik vektor nullvektor, vagy valamelyik szögfüggvény értéke zérus, amikor is visszajutunk a már elemzett esetekhez. ■

Dr. Hanka László

19


Analitikus Geometria Fontos kérdés még az, hogy ha ismerjük a három vektort koordinátákkal, akkor hogyan számítjuk ki a vegyes szorzatot. Ehhez felhasználjuk a skaláris és a vektoriális szorzatra igazolt összefüggéseket. Tegyük fel, hogy a vektorok koordinátái u  u1 , u2 , u3  , v  v1 , v2 , v3  és w  w1 , w2 , w3  . Az u és v vektori szorzatát ismerjük az 1.1.3 pont alapján. i j u  v  u1 u2 v1

v2

k u3   u2v3  u3v2  i   u3v1  u1v3  j   u1v2  u2v1  k ; v3

Ennek kell képezni a skaláris szorzatát a w  w1 , w2 , w3  vektorral. Ez értelmezés szerint a következő. uvw   u  v  w   u2v3  u3v2  w1   u3v1  u1v3  w2   u1v2  u2v1  w3   u1v2 w3  u1v3 w2  u2v3 w1  u2v1w3  u3v1w2  u3v2 w1

Ezzel megkaptuk a vegyes szorzatot koordinátákkal kifejezve. A számítást illetve a megjegyezhetőséget itt is megkönnyíti ha észrevesszük, hogy a kapott hat tagú összeg egy harmadrendű determináns kifejtésével adódik, amelynek az első, második és harmadik sora rendre az u, v és w vektor koordinátái. Valóban, ha a u1 v1

u2 v2

u3 v3  u1  v2 w3  v3 w2   u2  v1w3  v3 w1   u3  v1w2  v2 w1  ;

w1

w2

w3

determinánsban elvégezzük a zárójelek felbontását, pontosan a definíció alapján kapott összeg adódik. Írhatjuk tehát, hogy a vegyes szorzat kiszámítható az alábbi módon. Ha a vektorok koordinátái u  u1 , u2 , u3  , v  v1 , v2 , v3  és w  w1 , w2 , w3  , akkor a vegyes szorzat kiszámítása u1 uvw  v1

u2 v2

u3 v3 ;

w1

w2

w3

A felcserélési tétel állítása egyenes következménye a determinánsok tulajdonságainak. Végezetül rámutatunk a vegyes szorzat fizikai, vektoranalitikai jelentésére. Ha w egy homogén vektormező, továbbá u és v kifeszít egy paralelogrammát (téglalapot, négyzetet), akkor az uvw vegyes szorzat jelentése a w vektormező normális, tehát sík felületre merőleges komponensének és a paralelogramma területének a szorzata, ami nem más mint a w vektormező adott sík felületdarabra vonatkozó fluxusa. Ezt a tényt a későbbiekben még felhasználjuk.

Dr. Hanka László

20



1.2. A SÍK ANALITIKUS GEOMETRIÁJA 1.2.1. Az egyenes egyenletei A legegyszerűbb síkbeli alakzat, az egyenes egyenletét számos különböző alakban fel lehet írni. Az alkalmazás határozza meg, hogy ezek közül melyiket használjuk. A legáltalánosabb módszer, hogy az egyenest a koordinátarendszerben úgy rögzítjük, hogy megadunk egy pontot P0  x0 , y0  és egy vektort. Ez utóbbira több lehetőség van. Definíció: Az egyenesre merőleges, nullvektortól különböző normálvektorának nevezzük. A normálvektor jele n(A, B).

vektort

az

egyenes

A normálvektort máris felhasználhatjuk az egyenes egyenletének felírásához. Tegyük fel, hogy az egyenes egy tetszőleges pontját, a futópontot a P  x, y  jelöli. Jelölje a P0 és P pontokba mutató helyvektorokat rendre r0 és r. Világos, hogy a P pont akkor és csak akkor illeszkedik az egyenesre ha teljesül, hogy r  r0  n . A skaláris szorzatra vonatkozó alapvető tétel szerint, ez a merőlegesség pontosan akkor teljesül, ha ezen két vektor skaláris szorzata zérus

 r  r0  n  0 Ez az egyenlet az egyenes normálvektoros vektoregyenlete. Ha ezt a skaláris szorzatot kifejtjük koordinátákkal, már el is jutottunk az egyenes szokásos egyenletéhez. Tekintettel a bevezetett jelölésekre, világos, hogy r  r0  P0 P   x  x0 , y  y0  , innen a normálvektorra bevezetett jelölést felhasználva adódik, hogy

r  r0  n  A  x  x0   B  y  y0   0 amely átrendezésével kapjuk az egyenes normálvektoros egyenletét.

Ax  By  Ax0  By0 ; A normálvektoros egyenlet minden síkbeli egyenes egyenletének felírására alkalmas. Más lehetőség is van azonban az egyenes helyzetének meghatározására. Definíció: Az egyenessel párhuzamos, nullvektortól irányvektorának nevezzük. Az irányvektor jele v(v1, v2).

különböző

vektort

az

egyenes

Ha az irányvektort vesszük alapul, akkor világos, hogy a P futópont akkor és csak akkor illeszkedik az egyenesre ha az r  r0 különbség párhuzamos a v irányvektorral. Ez pontosan akkor teljesül, ha létezik olyan t valós paraméter, amelyre igaz, hogy

Dr. Hanka László

21


Analitikus Geometria r  r0  tv;  r  r0  tv; Ez az egyenes paraméteres vektoregyenlete. Ha ezt az összefüggést felírjuk koordinátánként, akkor azt kapjuk, hogy  x  x0  tv1 ; t R   y  y0  tv2 Ennek átrendezett alakja az egyenes paraméteres egyenletrendszere.

 x  x0  tv1 ; t R   y  y0  tv2 Ennek jelentősége abban áll, hogy ebben a formában is felírható minden síkbeli egyenes, továbbá ezt az egyenletet lehet általánosítani térbeli egyenes esetére olyan módon, hogy ebben a formában minden egyenes megadható. Gyakran használatos ennek az egyenletrendszernek azon módosított alakja, amelyet úgy kapunk, hogy kiküszöböljük a rendszerből a t paramétert. x  x0 y  y0  ; v1 v2

v2  x  x0   v1  y  y0  ;

Ha ebben egy oldalra rendezzük az ismeretleneket, akkor kapjuk az egyenes irányvektoros egyenletét.

v2 x  v1 y  v2 x0  v1 y0 ; Bár a fenti átalakítás csak akkor helyes, ha az irányvektor komponensei nem nullák, a kapott egyenlet mégis minden esetben alkalmazható az egyenes megadására. Gyakran használatos, különösen az analízisben az egyenes iránytényezős egyenlete. Definíció: Az egyenes irányszögének nevezzük az egyenes és az x-tengely pozitív iránya által bezárt φ szöget. A φ irányszög tangensét, az m  tg  mennyiséget az egyenes iránytangensének, meredekségének vagy iránytényezőjének nevezzük. Az iránytangens segítségével leírható miden olyan egyenes, amelynek irányszöge különbözik 90°-tól, ezen szögnek ugyanis nem létezik tangense. Legyen szokás szerint P0  x0 , y0  az egyenes rögzített pontja és P  x, y  a futópont. Ez utóbbi pontosan akkor illeszkedik az egyenesre, ha teljesül, hogy a két pontot összekötő egyenes szakasz meredeksége m, azaz ha y  y0  m; y  y0  m  x  x0  x  x0

Dr. Hanka László

22


Analitikus Geometria Ha ezt az egyenletet szokás szerint y-ra rendezzük, akkor kapjuk, hogy

y  m  x  x0   y0  mx  y0  mx0 ; Bevezetve a b  y0  mx0 jelölést adódik az egyenes iránytényezős egyenletének szokásos alakja

y  mx  b; Ez az egyenlet teljesül, ha helyettesítjük a (0, b) rendezett párt. Ez azt jelenti, hogy a b valós szám nem más, mint annak a pontnak az ordinátája, ahol az egyenes metszi az y-tengelyt. Szokásos elnevezése tengelymetszet. Ha az egyenes nem párhuzamos egyik tengellyel sem, akkor az x-tengelyt is metszi. Jelölje a metszéspontot (a, 0). Világos, hogy ekkor az (a, 0) és (0, b) pontokat összekötő vektor az egyenes irányvektora. Ez például a v   a, b  koordinátákkal adható meg. Írjuk fel ezzel az irányvektorral az egyenes irányvektoros egyenletét. Korábbiak szerint, ha az egyenes rögzített pontja például a P0  a, 0  pont, akkor

v2 x  v1 y  bx   a  y  bx  ay  bx0  ay0  ab; Osszuk el ezt az egyenletet ab-vel, feltéve, hogy sem a sem b nem zérus, rendezés után kapjuk, hogy

x y  1 a b Ez az egyenlet az egyenes tengelymetszetes egyenlete. Ebben a formában tehát akkor adható meg egy egyenes egyenlete, ha az nem halad át az origón és nem párhuzamos egyik koordinátatengellyel sem. Ha az egyenes párhuzamos az x- illetve az y-tengellyel, akkor egyenlete triviális módon, alkalmazva a tengelymetszetekre bevezetett jeleket, rendre a következő

y  b; x  a; 1.1.Példa: Írjuk fel annak az egyenesnek az említett összes egyenletét, amely áthalad az A(–2, 3) és B(2, 5) pontokon. Világos, hogy a két pontot összekötő vektor párhuzamos az egyenessel, így a v  AB   2   2  ,5  3   4, 2  vektor az egyenes egy irányvektora. Válasszuk P0 pontnak például az A pontot, azaz P0(–2, 3). Ekkor máris megvan az egyenes irányvektoros egyenlete.

v2 x  v1 y  v2 x0  v1 y0 ; azaz 2 x  4 y  2  2   4  3  16;

Dr. Hanka László

23


Analitikus Geometria Kaptuk tehát az egyenes egyenletét

2 x  4 y  16; alakban. Ettől semmiben sem különbözik a normálvektoros egyenlet, ugyanis ez a kérdés akkor merül fel, amikor felírjuk az egyenletet valamely vektor birtokában. Esetünkben az irányvektor meghatározása volt kézenfekvő. Most fordított logikával, le tudjuk olvasni az egyenletből az egyenes egy normálvektorát. Ez például az n(2, –4) vektor. Az irányvektor ismeretében azonnal kapjuk a paraméteres egyenletrendszert, amely számunkra az alkalmazások szempontjából a legfontosabb.

 x  2  4t ; t R   y  3  2t Ennek egy ekvivalens, de a vektoranalízisben szokásosabb felírása egyparaméteres vektor skalár függvény alakjában a következő.

r  t    2  4t ,3  2t  ;

t R

Ha az egyenletet rendezzük y-ra, kapjuk az iránytényezős egyenletet.

y

1 x  4; 2

Amiből kiderül, hogy a meredekség m = 0,5 és a tengelymetszet b = 4. Ez természetesen közvetlenül is adódik, ha az A és B pontokat valamint a P(x, y) futópontot felhasználva kétféle módon is felírjuk az iránytényezőt.

m

y 3 53 y 3 2 1 1  ;  ; y  3  x  1; y  x  4; x   2  2   2  x  2 4 2 2

Innen y = 0 helyettesítéssel kapjuk az első tengellyel való metszéspont koordinátáját, x = –8. A bevezetett jelölésekkel tehát a két tengelymetszet a = –8 és b = 4. Ebből adódik a tengelymetszetes egyenlet

x y   1 8 4 Természetesen ugyanez adódik, ha például az iránytényezős egyenletben az ismeretleneket egy oldalra rendezzük és osztunk a jobb oldalon kapott konstanssal.

Dr. Hanka László

24



1.2.2. A kör egyenlete Definíció: ( A kör definíciója) Legyen adott a síkban egy C pont, a kör centruma és egy pozitív r távolság. r sugarú körnek nevezzük azon síkbeli P pontok halmazát, melyekre igaz, hogy a C centrumtól mért távolság egyenlő az adott r állandóval. A kör P pontjaira tehát teljesül, hogy

d  P, C   r  állandó Keressük a kör egyenletét abban az esetben, amikor a centrum az origóban van. A kör ezen elhelyezkedését kanonikus helyzetnek nevezzük. Ekkor, ha a futópontot P(x, y) jelöli, a definíció szerinti egyenlőség az alábbi formában írható

 x  0   y  0 2

2

r

Mivel az r pozitív szám, négyzetre emeléssel ekvivalens egyenletet kapunk.

x2  y 2  r 2 Ez az origó centrumú, r sugarú kör egyenlete. Toljuk most el a kört úgy, hogy centruma az (x0, y0) koordinátájú pontba essen. Ekkor a definíció szerint a kör pontjaira igaz, hogy

 x  x0    y  y0  2

2

r

amelyből négyzetre emeléssel adódik az r sugarú kör legáltalánosabb egyenlete

 x  x0    y  y0  2

2

 r2 ;

Ha ebben az egyenletben elvégezzük a négyzetre emeléseket, azt kapjuk, hogy

x 2  2 x0 x  x02  y 2  2 y0 y  y02  r 2 ; x 2  y 2  2 x0 x  2 y0 y  x02  y02  r 2  0; Ezt az egyenletet megszorozhatjuk egy tetszőleges nullától különböző A állandóval. Ekkor egyszerűsítő jelölések alkalmazása után az egyenlet az

Ax2  Ay 2  Bx  Cy  D  0; általános formában írható. A kör egyenletének ezen alakja akkor lesz fontos, amikor a másodrendű görbék általános vizsgálatával foglalkozunk az 1.2.10-11. pontokban.

Dr. Hanka László

25


Analitikus Geometria Nagyon fontos kérdés, hogy hogyan lehet a kört paraméteres alakban megadni. Ezt az alakot a szögfüggvények definícióját felidézve nagyon egyszerűen fel tudjuk írni. Tekintsünk egy r sugarú kört a kanonikus helyzetben. Válaszuk ki a kör egy tetszőleges pontját és tekintsük a centrumból az adott pontba mutató sugarat. Vegyük fel t paraméternek a sugár és az x-tengely pozitív iránya által bezárt szöget, ahogyan azt az 1.10. ábra mutatja.

1.10. ábra. A kör paraméterezése

Ekkor nyilvánvalóan igaz, hogy x  r cos t , y  r sin t , ahol a t paraméter a [0, 2π] intervallumot futja be. Ezzel meg is adtuk az origó középpontú és r sugarú kör egy lehetséges paraméterezését.

 x  r cos t ; t   0, 2   y  r sin t Egyparaméteres vektor-skalár függvényként írva a kör megadható az r  t    r cos t , r sin t  ;

t  0, 2

alakban is. Ha a centrum a C(x0, y0) pont, akkor a paraméteres megadás az alábbiak szerint módosul.

 x  x0  r cos t ; t   0, 2 illetve   y  y0  r sin t

Dr. Hanka László

r  t    x0  r cos t , y0  r sin t  ;

26

t  0, 2



1.2.3. A parabola egyenlete A parabola jól ismert fogalom az analízisből, hiszen mindenki tudja, hogy egy másodfokú függvény grafikonja parabola. Most geometriai szempontból fogjuk megvizsgálni a kérdést. Elsőként tisztázni kellene mit értünk parabolán geometriai szempontból. Definíció: ( A parabola definíciója) Legyen adott a síkban egy F pont, a fókuszpont és egy v egyenes, amely nem illeszkedik a fókuszra. Ezt az egyenest vezéregyenesnek vagy direktrixnek nevezzük. Az F pont és a v egyenes síkjában parabolának nevezzük azon P pontok halmazát, melyekre igaz, hogy a vezéregyenestől mért távolságuk egyenlő a fókuszponttól mért távolsággal, azaz amelyekre teljesül, hogy d(P, F) = d(P, v) A fókusz és a vezéregyenes távolságát p-vel jelöljük és a parabola paraméterének nevezzük. Az F pontra illeszkedő vezéregyenesre merőleges t egyenes a parabola tengelye. A t tengely és a parabola metszéspontja a T tengelypont. Ez felezi a tengely fókuszpont és vezéregyenes közé eső p szakaszát, tehát a tengelypont távolsága mindkét említett alakzattól . 2

1.11. ábra. A parabola definíciója

Keressük a parabola egyenletét. Ehhez helyezzük el a parabolát a koordinátarendszerben úgy, hogy a tengelypontja az origó, az ilyen egyenletet tengelyponti (kanonikus) egyenletnek nevezzük, és a fókusz helyezkedjen el az x-tengely pozitív felén, tehát a definíció szerint a p  fókusz koordinátái F  , 0  . Ekkor a vezéregyenes párhuzamos az y-tengellyel és az x-tengelyt 2  p p a  pontban metszi, egyenlete tehát x   . 2 2 Dr. Hanka László

27


Analitikus Geometria Legyen a parabola futópontja a P(x, y) pont. Ekkor az értelmezés szerint teljesülnie kell annak, hogy 2

p p 2   x     y  0  x  2 2  Mivel nyilvánvalóan teljesül, hogy x 

p  0 , az egyenlet négyzetre emelésével ekvivalens 2

egyenletet kapunk. 2

2

p p 2    x     y  0   x   ; 2 2   2 p p2 x 2  px   y 2  x 2  px  ; 4 4 Rendezve a kapott egyenletet már meg is kaptuk a p paraméterű parabola tengelyponti egyenletét

y 2  2 px Gondoljuk meg, hogy egy parabola négyféle módon helyezhető el a koordináta rendszerben úgy, hogy tengelypontja az origóba essen. p p  1. eset: Fókuszpontja az F  , 0  , tengelye az x-tengely, a vezéregyenes egyenlete x   . 2 2  Ennek egyenletét vezettük le közvetlenül. A fentiek szerint ez a következő

y 2  2 px

p  p  2. eset: Fókuszpontja az F   , 0  , tengelye az x-tengely, a vezéregyenes egyenlete x  . Ez 2  2  a parabola az előbbi parabola tükörképe az y-tengelyre vonatkozólag. Ennek egyenlete az előbbi egyenletből úgy adódik, hogy x helyére –x-et írunk y 2  2 px

p  p 3. eset: Fókuszpontja az F  0,  , tengelye az y-tengely, a vezéregyenes egyenlete y   . 2  2 Ennek egyenletét megkapjuk, ha a legelső egyenletben x és y szerepét felcseréljük x 2  2 py

Dr. Hanka László

28


Analitikus Geometria p p  4. eset: Fókuszpontja az F  0,   , tengelye az y-tengely, a vezéregyenes egyenlete y  . Ez 2 2  az x-tengelyre vonatkozó tükörképe a 3. esetbeli parabolának. Ennek egyenletét megkapjuk, ha a y előjelét ellentettre változtatjuk x 2  2 py Ezzel az összes lehetséges kanonikus helyzetre megadtuk a parabola egyenletét. Egy parabola természetesen nem csak kanonikus helyzetben lehet, tengelypontját el lehet tolni egy tetszőleges (x0, y0) koordinátákkal megadott T pontba. Egyelőre még feltételezzük, hogy a parabola t tengelye továbbra is párhuzamos valamelyik koordinátatengellyel. Ekkor a fenti négy esetnek megfelelő helyzetben a parabola egyenlete rendre a következő

 y  y0   2 p  x  x0  ;  y  y0   2 p  x  x0  ; 2 2  x  x0   2 p  y  y0  ;  x  x0   2 p  y  y0  ; 2

2

Az említett esetekben a fókuszpont koordinátái és a vezéregyenes egyenlete rendre az alábbi módon adható meg p   F  x0  , y0  , x  x0  2   p  F  x0 , y0   , y  y0  2 

p p p   ; F  x0  , y0  , x  x0  ; 2 2 2   p p p  ; F  x0 , vy0   , y  y0  ; 2 2 2 

A későbbiekben, a másodrendű görbék általános tárgyalása során megvizsgáljuk, hogyan módosulnak ezek az egyenletek, ha megengedjük, hogy a vezéregyenes állása síkban tetszőleges legyen, tehát nem kötjük meg a koordinátatengelyekkel való párhuzamosságot. A parabola paraméterezése nagyon egyszerű feladat. Tekintsük például az elsőként felírt y 2  2 px egyenletet. Ennek paraméterezése egyszerűen úgy történhet, hogy az y változót tekintjük paraméternek, azaz egyszerűen bevezetjük a t = y jelölést, amelyből azonnal t2 következik, hogy t 2  2 px azaz x  . Tehát a parabola egy paraméterezése lehet a 2p következő

 t2  r t    ,t ; t  R  2p  Értelemszerű módosítással kapjuk a másik három esetben a paraméterezést. Ha a parabola nem 2 kanonikus helyzetben van, akkor az első vizsgált esetben egyenlete  y  y0   2 p  x  x0  .

Dr. Hanka László

29


Analitikus Geometria Ebben az esetben ugyancsak az y változót tekintve paraméternek egy lehetséges paraméterezés a következő

  t  y0 2  r t     x0 , t  ; t  R  2p   

Dr. Hanka László

30



1.2.4. Az ellipszis egyenlete Az ellipszis számos természettudományos probléma leírásánál fontos szerepet kap. Túl azon hogy geometriailag a kör bizonyos értelemben vett általánosításának is tekinthető, például a mechanikában a centrális erő hatására létrejövő mozgás egy lehetséges pályagörbéje. Így Kepler és Newton vizsgálataiból tudjuk, hogy a bolygók pályagörbéje ellipszis. Definiáljuk az ellipszist. Definíció: ( Az ellipszis definíciója) Legyen adott a síkban két pont F1 és F2, a fókuszpontok. Jelölje ezek távolságát 2c. Legyen továbbá adva egy távolság, amely nagyobb, mint a két fókusz távolsága, legyen ez a távolság 2a. A mondottak szerint tehát a > c. A fókuszpontokat tartalmazó síkban ellipszisnek nevezzük azon P pontok halmazát, melyekre igaz, hogy a két fókuszponttól mért távolságuk összege állandó, és ez az állandó egyenlő a 2a távolsággal, tehát amelyekre teljesül, hogy d  P, F1   d  P, F2   2a

A c állandót az ellipszis lineáris excentricitásának nevezzük. Mivel a > c, van értelme a

b  a2  c2 definícióval értelmezett pozitív mennyiségnek.

1.12. ábra. Az ellipszis definíciója

Az ellipszisen kitüntetünk négy pontot, az 1.12. ábrán az A, B, C és D pontokat. Világos a definíció alapján, hogy AF1  AF2  2a . De az is nyilvánvaló, hogy az ellipszis középpontosan szimmetrikus az F1F2 szakasz O felezőpontjára, így az is nyilvánvaló, AF1  CF2 amiből azonnal következik, hogy AC  AF2  CF2  AF2  AF1  2a . Az A és C pontok távolsága tehát éppen a rögzített 2a távolsággal egyezik meg. Eszerint AO  OC  a . Az AC szakaszt az ellipszis nagytengelyének nevezzük. Dr. Hanka László

31


Analitikus Geometria Vizsgáljuk most az OF1B háromszöget. Világos, hogy ez egy derékszögű háromszög, melynek OF1 befogója értelmezés szerint c hosszúságú. A szimmetriából világos, hogy BF1 = BF2 és az is, hogy BF1  BF2  2a , amiből az következik, hogy BF1 = a. A Pitagorasz-tétel alapján adódik, hogy az OB szakasz hossza éppen a fentiekben értelmezett b  a 2  c 2 mennyiséggel egyenlő, amelyre nyilvánvalóan igaz, hogy b < a. Az AC szakaszhoz hasonlóan BD szakasz is szimmetriatengelye az ellipszisnek, neve kistengely. Az OA, OB, OC és OD szakaszok a féltengelyek. Az AO  OC  a szakasz az ellipszis nagy féltengelye, az OB = OD = b pedig a kis féltengely.Az O pont pedig az ellipszis centruma. Még egy mennyiséget használunk az ellipszis jellemzésére, amely az ellipszis lapultságát jellemzi. Ez a mennyiség a numerikus excentricitás, amelyet az

e

c a

hányados értelmez. Hangsúlyozzuk, hogy értelmezés szerint az ellipszis numerikus excentricitása kisebb, mint 1. Keressük az ellipszis egyenletét abban az esetben, amikor az ellipszis O centruma az origóban van, fókuszai pedig az x-tengelyen, melyek koordinátái így F1  c,0 , F2  c,0 . Ezt a helyzetet kanonikus helyzetnek nevezzük. A kanonikus egyenlet levezetését a definícióra való hivatkozással kezdjük. Eszerint d  P, F1   d  P, F2   2a . Ha a futópont szokás szerint P(x, y), akkor a távolságok összege a következő módon írható fel

 x  c

2

 x  c

 y2 

2

 y 2  2a

Rendezzük át az egyenletet.

 x  c

2

 x  c

 y 2  2a 

2

 y2

Mivel nyilván mindkét oldalon pozitív mennyiségek állnak, ezért négyzetre emeléssel ekvivalens egyenlethez jutunk.

 x  c

2

 x  c

 y 2  4a 2  4a

2

 y2   x  c   y2 2

Elvégezve a négyzetre emeléseket, rendezéssel a következő alak adódik.

x 2  2 xc  c 2  y 2  4a 2  4a

 x  c

4 xc  4a 2  4a

 x  c

a 2  xc  a

Dr. Hanka László

 x  c 32

2

2

 y 2  x 2  2 xc  c 2  y 2 ;

2

 y2 ;

 y2 ;


Analitikus Geometria Annak érdekében, hogy megszabaduljunk az irracionalitástól ismét négyzetre emelünk.

a 4  2a 2 xc  x 2c 2  a 2 x 2  2a 2 xc  a 2c 2  a 2 y 2 ; a 4  x 2c 2  a 2 x 2  a 2c 2  a 2 y 2 ; Egy oldalra rendezve a konstansokat azt kapjuk, hogy

a 2 x 2  x 2c 2  a 2 y 2  a 4  a 2c 2 ; ahonnan kiemeléssel az x2  a2  c2   a2 y 2  a2  a2  c2  ;

egyenlet adódik. Ha most figyelembe vesszük a b definícióját, mely szerint b  a 2  c 2 azaz b2  a 2  c2 akkor azt kapjuk, hogy

b 2 x 2  a 2 y 2  a 2b 2 ; ahonnan osztással kapjuk az a nagy féltengelyű és b kis féltengelyű ellipszis kanonikus egyenletét, amikor tehát a fókuszok az x-tengelyen vannak

x2 y 2   1; a 2 b2 Ebből az egyenletből azonnal adódik annak a kanonikus helyzetű ellipszisnek az egyenlete, amelynek fókuszai az y-tengelyen vannak, melyek koordinátái F1  0, c  , F2  0, c  . Ha ismét a jelöli a nagy féltengely hosszát, akkor az egyenlet a következő

x2 y 2   1; b2 a 2 Ezek a kanonikus egyenletek. Ha az ellipszist eltoljuk úgy, hogy a centruma az (x0, y0) koordinátákkal adott pontban legyen de tengelyei továbbra is párhuzamosak legyenek a koordinátatengelyekkel, akkor a fenti két esetben az egyenlet rendre a következő

 x  x0  a2

2

 y  y0   b2

2

 1;

 x  x0  b2

2

 y  y0   a2

2

 1;

A másodrendű görbék című fejezetben rátérünk annak vizsgálatára, amikor a tengely nem párhuzamos a koordinátatengelyekkel.

Dr. Hanka László

33



1.2.5. Síkbeli merőleges affinitás A másodrendű görbék, de különösen a másodrendű felületek tanulmányozásánál hasznos segédeszköz az affinitás, mint geometriai transzformáció. Ebben a pontban a síkbeli változatot tanulmányozzuk. Definíció: A síkbeli merőleges affinitás egy olyan transzformáció amely egy t egyenes pontjait helyben hagyja, ez az egyenes az affinitás tengelye, a tengelyre a T pontban emelt merőleges P 'T   ahol a  egyenes egy P pontjához pedig azt a P' pontot rendeli, amelyre igaz, hogy PT nullától különböző valós szám az affinitás aránya. Ha a  negatív szám akkor értelmezés szerint a P és P' pontok a t tengely által meghatározott különböző félsíkokban vannak. A t tengelyre merőleges irányt az affinitás irányának nevezzük. Abban a speciális esetben amikor  = 1, az affinitás az identikus transzformáció, tehát a helybenhagyás, amikor pedig  = –1, az affinitás a tengelyes tükrözést jelenti.

1.13. ábra. Síkbeli merőleges affinitás

Vizsgáljuk meg, milyen hatással van egy alakzat egyenletére, ha az alakzatra alkalmazunk egy  arányú merőleges affinitást. Állítás: Ha egy síkbeli alakzat egyenlete az F(x, y) = 0 általános egyenlet, a  affinitás tengelye az x-tengely illetve az y-tengely, akkor az alakzat affin képének egyenlete rendre  y x  F  x,   0; F  , y   0;    

Bizonyítás: Az állítás nyilvánvaló. Csak figyelembe kell vennünk, a definíciót. Ha a tengely az x-tengely, akkor az egymáshoz rendelt pontok második koordinátájára értelmezés szerint teljesül, hogy

Dr. Hanka László

34


Analitikus Geometria y' y'  ; azaz y '  y; tehát y  y 

Ha az affin kép egyenletét keressük, csak annyit kell tennünk ennek meghatározásához, hogy az y'  y' F(x, y) = 0 egyenletben y-t helyettesítjük -val. Az egyenlet alakja tehát F  x,   0 . Ha itt    elhagyjuk a felesleges, csupán a levezetés során a megkülönböztetés érdekében használt vesszőt, akkor az állításban szereplő egyenletet kapjuk. Hasonló módon adódik az egyenlet, ha az y-tengely az affinitás tengelye. ■ Következményként azonnal adódik egy egyszerű de fontos tétel. Tétel: Egy kör affin képe ellipszis. Bizonyítás: Mivel a kör forgásszimmetrikus, feltehetjük, hogy az affinitás tengelye az x-tengely. b Legyen a kör sugara r = a , tehát egyenlete x 2  y 2  a 2 és legyen az affinitás aránya   . a Ekkor az igazolt tétel szerint a kör affin képnek egyenlete 2

 y  a2 2  y 2 x     x2    x  y  a2  2  b a b     2

2

Ha ezt az egyenletet elosztjuk a2-tel, akkor az x2 y 2  1 a 2 b2

egyenletet kapjuk, ami valóban ellipszis egyenlete. Attól függően, hogy a  arány kisebb illetve nagyobb, mint 1 a kapott ellipszis nagy féltengelye rendre a illetve b. ■ Ennek a tételnek a birtokában megadhatjuk az ellipszis paraméterezését is. Legyen az affinitás b aránya   és használjuk fel, hogy az r = a sugarú kör paraméterezése a

r  t    a cos t , a sin t  ; Az affinitás értelmezése szerint ekkor y ' 

t  0, 2

b b y  a sin t  b sin t . Az ellipszis egy lehetséges a a

paraméterezése ezek szerint a következő

r  t    a cos t , b sin t  ;

Dr. Hanka László

35

t  0, 2



1.2.6. A hiperbola egyenlete A hiperbola ugyancsak számos természettudományos probléma leírásánál fontos szerepet kap. A matematikában gyakran találkozunk a fordított arányossággal, amelynek grafikus képe hiperbola, 1 és sokszor alkalmazzuk az f  x   függvényt, amelynek grafikonjáról azt gondoljuk, hogy x ax  b , ad  bc  0 definíció szerint nevezzük hiperbolának, de említhetnénk még az f  x   cx  d 1 alakú lineáris törtfüggvényeket, melyek grafikonja az f  x   függvény grafikonjának x transzformációjával adódik, ugyancsak hiperbola. Továbbá a mechanikában vagy a részecskefizikában, az ellipszishez hasonlóan a centrális erő hatására létrejövő mozgás egy lehetséges pályagörbéje, attól függően, hogy mik a kezdeti feltételek. Értelmezzük ezek után a hiperbolát. Definíció: ( A hiperbola definíciója) Legyen adott a síkban két pont F1 és F2, a fókuszpontok. Jelölje ezek távolságát 2c. Legyen továbbá adva egy távolság, amely kisebb, mint a két fókusz távolsága, legyen ez a távolság 2a. A mondottak szerint tehát a < c. A fókuszpontokat tartalmazó síkban hiperbolának nevezzük azon P pontok halmazát, melyekre igaz, hogy a két fókuszponttól mért távolságuk különbségének abszolút értéke állandó, és ez az állandó egyenlő a 2a távolsággal, tehát amelyekre teljesül, hogy d  P, F1   d  P, F2   2a

A c állandót a hiperbola lineáris excentricitásának nevezzük. Mivel a < c, van értelme a b  c2  a2

definícióval értelmezett pozitív mennyiségnek. Világos az értelmezés szerint egy hiperbolának két ága van, az egyik ág pontjaira az teljesül, hogy d  P, F1   d  P, F2   2a , a másik ág pontjaira pedig az d  P, F1   d  P, F2   2a összefüggés igaz. A hiperbola tengelyesen és középpontosan szimmetrikus görbe. A szimmetriacentrum az O pont a hiperbola centruma, az egyik szimmetriatengely az F1 és F2 pontokat tartalmazó egyenes, a másik pedig erre az O pontban emelt merőleges egyenes. A hiperbolán kitüntetünk két pontot, az ábrán az A és C pontokat. Ezek a pontok az F1F2 szakasz és a két hiperbolaág metszéspontjai. Világos a definíció alapján, hogy AF2  AF1  2a . De az is nyilvánvaló, a hiperbola középpontos AF1  CF2 szimmetriája miatt, hogy amiből azonnal következik, hogy AC  AF2  CF2  AF2  AF1  2a . Az A és C pontok távolsága tehát éppen a rögzített 2a távolsággal egyezik meg. Eszerint AO  OC  a . Az AC = 2a hosszúságú szakaszt a hiperbola valós tengelyének nevezzük. A b  c 2  a 2 összefüggéssel definiált mennyiség kétszerese az Dr. Hanka László

36


Analitikus Geometria ún. képzetes tengely. Ennek jelentése az ábrára tekintve nyilvánvaló. Határozzuk meg azokat a B és D pontokat a valós tengelyre merőleges szimmetriatengelyen, amelyekre teljesül, hogy BO = DO = b. A Pitagorasz-tétel alapján és b értelmezése szerint ekkor nyilvánvaló, hogy BA  BC  DA  DC  c . A képzetes tengely az ilyen módon értelmezett BD szakasz. Ez a szakasz, bár első ránézésre kissé erőltetettnek tűnik az értelmezése, túl azon, hogy analógiát teremt az ellipszissel, sokkal mélyebb jelentéssel is bír, amelyet a hiperbola aszimptotáinak tárgyalásánál megmutatunk.

1.14. ábra. A hiperbola definíciója

Az ellipszishez hasonlóan, a hiperbolának is értelmezzük a numerikus excentricitását, ugyanazzal az összefüggéssel.

e

c a

Mivel ebben az esetben a < c, a hiperbola numerikus excentricitása nagyobb, mint 1. Keressük a hiperbola egyenletét abban az esetben, amikor a hiperbola O centruma az origóban van, fókuszai pedig az x-tengelyen, melyek koordinátái így F1  c,0 , F2  c,0 . Ezt a helyzetet kanonikus helyzetnek nevezzük. A kanonikus egyenlet levezetését a definícióra való hivatkozással kezdjük. Eszerint d  P, F1   d  P, F2   2a . Ha a futópontot szokás szerint P(x, y) jelöli, akkor a távolságok különbségének abszolút értéke a következő módon írható fel

 x  c  x  c

2

 y2 

 x  c

2

 y2 

 x  c

2

 y 2  2 a;

2

 y 2  2a;

Rendezzük át az egyenletet. Dr. Hanka László

37



 x  c

2

 y 2   2a  

 x  c

2

 y2 ;

Mivel a bal oldal pozitív a jobb oldalon is pozitív mennyiség áll, ezért négyzetre emeléssel ekvivalens egyenlethez jutunk.

 x  c

2

 y 2  4a 2  4a

 x  c

2

 y2   x  c   y2 2

Elvégezve a négyzetre emeléseket, rendezéssel a következő alak adódik.

x 2  2 xc  c 2  y 2  4a 2  4a

 x  c

4 xc  4a 2  4a

 x  c

xc  a 2  a

 x  c

2

2

2

 y 2  x 2  2 xc  c 2  y 2 ;  y2 ;

 y2 ;

Annak érdekében, hogy megszabaduljunk az irracionalitástól ismét négyzetre emelünk.

x 2c 2  2 xca 2  a 4  a 2 x 2  2a 2 xc  a 2c 2  a 2 y 2 ; a 4  x 2c 2  a 2 x 2  a 2c 2  a 2 y 2 ; Egy oldalra rendezve a konstansokat azt kapjuk, hogy

a 2 x 2  x 2c 2  a 2 y 2  a 4  a 2c 2 ; ahonnan kiemeléssel az x2  a2  c2   a2 y 2  a2  a2  c2  ;

egyenlet adódik. Formálisan tehát pontosan ugyanarra az egyenletre jutottunk, mint az ellipszis esetén. A különbség abban van, hogy ez esetben másképpen definiáljuk a b mennyiséget. A hiperbola esetén a b definíciója b  c 2  a 2 azaz b2  c 2  a 2 . Ha ezt figyelembe vesszük, akkor azt kapjuk, hogy

b2 x2  a 2 y 2  a 2b2 ; ahonnan osztással kapjuk a 2a valós tengelyű és 2b képzetes tengelyű hiperbola kanonikus egyenletét, amikor tehát a fókuszok az x-tengelyen vannak

x2 y 2   1; a 2 b2

Dr. Hanka László

38


Analitikus Geometria Ez valóban két különálló hiperbolaág egyenletét foglalja magába. Átrendezve adódik ugyanis, hogy x2 y2  1  a2 b2 amely összefüggés tetszőleges valós y esetén csak akkor teljesülhet, ha x  a , de x  a, a esetén nem létezik rendezett pár, amely kielégítené az egyenletet. A

a, a

intervallumra

illeszkedő 2a-szélességű függőleges sáv tehát szétválasztja a két ágat. Az egyik ág, amikor x  a teljesül a "jobb oldali" ág, a "bal oldali" ág pedig x  a esetén adódik. A kapott egyenletből azonnal adódik annak a kanonikus helyzetű hiperbolának az egyenlete, amelynek fókuszai az y-tengelyen vannak, melyek koordinátái F1  0, c  , F2  0, c  . Ha ismét 2a jelöli a valós tengely hosszát, akkor az egyenlet a következő

x2 y 2   1; b2 a 2 Ezek a kanonikus egyenletek. Ha a hiperbolát eltoljuk úgy, hogy a centruma az (x0, y0) koordinátákkal adott pontban legyen de tengelyei továbbra is párhuzamosak legyenek a koordinátatengelyekkel, akkor a fenti két esetben az egyenlet rendre a következő

 x  x0  a2

2

 y  y0   b2

2

 1;

 x  x0  b2

2

 y  y0   a2

2

 1;

1 függvényre, sem pedig egy x lineáris törtfüggvényre. Egyelőre tehát nem találtuk meg a kapcsolatot a két fogalomkör között. Ennek oka az, hogy még nem vizsgáltunk olyan hiperbolát, amelynek valós és képzetes tengelye nem párhuzamos a koordinátatengelyekkel. A másodrendű görbék című fejezetben rátérünk ennek a kérdésnek a vizsgálatára is. Ezek az egyenletek még nem emlékeztetnek sem az f  x  

A hiperbola paraméterezésével kapcsolatban olyan szemléletes lehetőségünk nincs mint a kör és ebből adódóan az ellipszis esetében. Ilyenkor az a kérdés, meg tudjuk-e adni az alakzat, adott esetben a hiperbola pontjainak koordinátáit egyetlen t paraméter segítségével úgy, hogy a pontok és a paraméter értékei között egy kölcsönösen egyértelmű kapcsolat legyen, a görbe minden pontjához hozzárendelhető legyen pontosan egy t paraméterérték és fordítva, minden egyes paraméterérték a görbe pontosan egy pontját határozza meg. A hiperbola esetében egy hiperbolikus függvényekre vonatkozó nevezetes azonosság felidézése segít, ez a következő

ch 2 t  sh 2 t  1; t R Ennek figyelembe vételével világos, hogy ha az x és y koordináták t paramétertől való függését az Dr. Hanka László

39


Analitikus Geometria  x  a ch t ; t R   y  b sh t egyenletekkel értelmezzük, akkor világos, hogy ezek a függvények kielégítik a hiperbola egyenletét, ugyanis

x 2 y 2  a ch t   b sh t   2    ch 2 t  sh 2 t  1; 2 2 2 a b a b 2

2

Mivel pedig a szinusz hiperbolikusz függvény szigorúan monoton növekedő, világos, hogy a fenti paraméterezés különböző t értékek esetén különböző pontokat határoz meg, és az is világos, hogy ha adott a hiperbola egy P(x, y) pontja, akkor ehhez a fenti egyenletrendszerből következő y b a y  th t; azaz t  arth   x a b x

összefüggés, az area tangenshiperbolikusz függvény szigorú monoton növekedése miatt egyértelmű t értéket rendel hozzá. Ez a paraméterezés azonban, mivel cht >0, csak az egyik ágat paraméterezheti, azt amelyik ág pontjainak abszcisszája pozitív érték, tehát a "jobboldali" ágat. A "baloldali" ágat nyilván úgy paraméterezhetjük, hogy az x-koordinátát meghatározó egyenlet ellentettjét tekintjük, hiszen a hiperbolaágak szimmetrikusak a képzetes tengelyre. Kaptuk tehát a két hiperbolaág paraméterezését.

 x  a ch t  x  a ch t " jobboldali ág"  ; t  R; "baloldali ág"  ; t  R;  y  b sh t  y  b sh t Egyparaméteres vektor-skalár függvényként megadva a két ág paraméterezése a következő.

r1  t    a ch t , b sh t  ; r2  t    a ch t , b sh t  ; t  R A hiperbolával kapcsolatosan felmerül egy fontos geometriai alakzat, az aszimptota kérdése. Az analízisből ismert, hogy egy felülről nem korlátos halmazon értelmezett f(x) függvény +-beli aszimptotája az y = mx + b egyenletű egyenes, ha teljesül, hogy

lim  f  x    mx  b    0 x 

Ültessük át ezt a fogalmat a mostani geometriai jellegű vizsgálatainkra. Vizsgáljuk meg, hogy a hiperbolának létezik-e aszimptotája. Ehhez alakítsuk át a hiperbola

x2 y 2  1 a 2 b2

Dr. Hanka László

40


Analitikus Geometria b2 egyenletét a következő módon. Szorozzuk meg az egyenletet 2 -tel. Ekkor kapjuk, hogy x 2 2 2 b y b  2  2 2 a x x  b2 y 2  b2 lim  0 vagyis   2   0 tehát a x  a 2 x  x 2 x  

Nyilvánvalóan igaz, hogy lim

b2 y 2  b y  b y         a 2 x 2  a x  a x  összefüggésből következően teljesül az alábbi két határérték reláció

b   b y b y   b  lim     0; lim     0 azaz lim  y  x   0; lim  y    x    0; x  a x  x  x  x a   a x   a   ez pedig pontosan azt jelenti, hogy megtaláltuk a hiperbola aszimptotáinak az egyenletét.

y

b b x; y   x ; a a

1.15. ábra. A hiperbola aszimptotái

Itt nyer értelmet, hogy bevezettük a képzetes tengely fogalmát a b mennyiség felhasználásával. A kapott eredmény azt jelenti, hogy a hiperbola aszimptotáinak meredeksége abszolút értékben a képzetes és valós tengely nagyságának hányadosával egyenlő. Dr. Hanka László

41


Analitikus Geometria b b tg α1  ; tg α 2   ; a a Nyilván igaz, hogy 2  1 és így a két aszimptota szöge 21 vagy   21 ha ez utóbbi kisebb. Egy hiperbolát derékszögűnek vagy egyenlő szárúnak nevezünk, ha 21  90 amikor tehát a = b. Egy derékszögű hiperbola egyenlete tehát

x2 y 2  2  1; vagyis x 2  y 2  a 2 ; 2 a a

Dr. Hanka László

42



1.2.7. A parabola, ellipszis és hiperbola fokális egyenlete Az előző három pontban tárgyaltuk a parabola, az ellipszis és a hiperbola egyenletét a klasszikus definíciók alapján. Az egyenleteket olyan koordinátarendszerben vezettük le, amelyben a görbe tengelypontja illetve a centruma van az origóban. Ha áttérünk egy olyan koordinátarendszerre, amelyben az említett görbék egy fókusza van az origóban, akkor kapjuk az ún. fokális egyenleteket. Mint látni fogjuk a fokális egyenletek a görbék között fennálló sokkal mélyebb kapcsolatokra fog rámutatni, amely összefüggések a klasszikus definíciókból közvetlenül nem következik. Végezzünk el tehát egy koordináta transzformációt. A parabola esetében tehát az egyetlen fókusz legyen az origóban, az ellipszis esetén a bal oldali fókusz, a hiperbola esetén a jobb oldali fókusz. Mint látni fogjuk ez teszi lehetővé az egységes tárgyalást. Vezessük le elsőként a parabola fokális egyenletét. Az egységes jelölés érdekében vezessük be a parabola esetében a paraméterre vonatkozólag a p = 2c jelölést. Ekkor elmondhatjuk, hogy kanonikus helyzetben a parabola tengelye az x-tengely és fókusza az F(c, 0) pontban van. Térjünk át az (x, y) koordinátarendszerről a  ,  koordinátarendszerre úgy, hogy a fókusz a

 , 

rendszer origójában legyen. Ekkor az ábra alapján nyilván igaz, hogy x    c, y   . Helyettesítsük ezt a két transzformációs összefüggést a parabola kanonikus egyenletébe. Adódik, hogy

 2  2 p   c  Adjunk most mindkét oldalhoz 2-et és vegyük figyelembe, hogy 2c = p. Ekkor azonos átalakításokkal adódik, hogy

 2   2   2  2 p   c    2  2 p  2 pc   2  2 p  p2    p 

2

Kaptuk tehát, hogy a  ,  koordinátarendszerben a parabola egyenlete

 2   2    p 

2

Ez az egyenlet a parabola fokális egyenlete. Térjünk most rá az ellipszis fokális egyenletének a levezetésére. Ha az origót az ellipszis bal oldali fókuszába helyezzük, akkor a koordináta transzformáció a x    c, y   egyenletekkel van meghatározva. Elvégezve a helyettesítést a kanonikus egyenletben, azt kapjuk, hogy

  c  a2

Dr. Hanka László

43

2



2 b2

 1;


Analitikus Geometria Rendezzük ezt az egyenletet is 2-re

   c 2    b 1  ; 2   a   2

2

majd hozzáadva mindkét oldalhoz 2-et és rendezve, azonos átalakításokkal azt kapjuk, hogy b2 b 2 2 2b 2c b2c 2 2 2 2     b  2   c     b  2   2   2   2  a a a a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b 2b c bc a  b 2b c 2 a c   2  2  2  2   b2  2   2    b ; a a a a2 a2 a2 2

2

2

Vegyük most figyelembe, hogy ellipszis esetében a 2  c2  b2 , a 2  b2  c2 . Ezeket helyettesítve kapjuk, hogy

 2  2   2

c2 b2 b4  2 c   ; a2 a2 a2

Itt már csak azt kell észrevenni, hogy a jobb oldal egy teljes négyzet, mégpedig a következő 2

c b2         ; a a 2

2

Vegyük figyelembe, hogy az ellipszis definíciójában már értelmeztük a numerikus excentricitás c fogalmát. Ennek definíciója az e  hányados volt. Ha még bevezetünk egy egyszerűsítő a b2 jelölést a p  definícióval, és ez utóbbit az ellipszis paraméterének nevezzük, akkor a kapott a egyenlet az egyszerűbb

 2   2   e  p  ; 2

alakot ölti. Ez definíció szerint az ellipszis fokális egyenlete. Végül térjünk rá a hiperbola fokális egyenletének levezetésére. Mint a bevezetőben említettük, hiperbola esetében az origót a jobboldali fókuszba, tehát az F1(c, 0) pontba helyezzük. Ekkor a koordináta transzformáció az x    c, y   összefüggésekkel végezhető el. Helyettesítve a hiperbola kanonikus egyenletébe, az adódik, hogy

  c  a2 Dr. Hanka László

44

2



2 b2

 1;


Analitikus Geometria Rendezzük ezt az egyenletet is 2-re

   c 2   b   1 ;  a2    2

2

ezek után hozzáadva mindkét oldalhoz 2-et és rendezve, azonos átalakításokkal azt kapjuk, hogy b2 b 2 2 2b 2c b 2c 2 2 2 2   c    b        2  b2    a2 a2 a2 a2 2 2 2 2 b 2 2 2b 2c b 2c 2 2b 2c 2 2 2 a b 2 c a   2   2   2 b   2  b ; a a a a2 a a2

 2  2 

Vegyük most figyelembe, hogy hiperbola esetében c2  a 2  b2 , a 2  b2  c 2 . Ezeket helyettesítve pontosan ugyanazt kapjuk, mint az ellipszis esetén

c2 b2 b4      2  2c 2  2 ; a a a 2

2

2

Nyilvánvalóan most is teljesül, hogy a jobb oldal egy teljes négyzet, így kapjuk a következő egyenletet 2

c b2         ; a a 2

2

Ami formálisan pontosan ugyanaz mint az ellipszis esetében, tehát alkalmazva ugyanazokat a definíciókat adódik, hogy

 2   2   e  p  ; 2

Ez a hiperbola fokális egyenlete. A legnyilvánvalóbb különbség az, hogy ellipszis esetén e < 1 míg hiperbola esetén e > 1. Összefoglalva a parabola, ellipszis és hiperbola fokális egyenlete rendre a következő

 2   2    p  ; 2

 2   2   e  p  , e  1; 2

 2   2   e  p  , e  1; 2

A három görbe egyenletét ebben a speciálisan választott koordináta rendszerben gyakorlatilag ugyanolyan alakban tudjuk felírni. Ha egyelőre mélyebb indoklás nélkül azt mondjuk, hogy parabola esetén definiáljuk a numerikus excentricitást úgy, hogy legyen e = 1, akkor látható, hogy a három görbe egyenlete pontosan ugyanolyan alakba írható. Parabola, ellipszis és hiperbola esetén rendre

 2   2   e  p  , e  1, e  1, e  1; 2

Dr. Hanka László

45


Analitikus Geometria A kapott összefüggések alapján lehetőség nyílik arra, hogy a p paraméternek szemléletes jelentést tulajdonítsunk. Induljunk ki a fokális egyenletből.

 2   2   e  p 

2

Helyettesítsünk ebbe  = 0-t. Ekkor adódik, hogy

 2  p 2 ; azaz   p 

b2 a

ami azt jelenti, hogy a paraméter éppen azon pontok ordinátájának az abszolút értéke, amely pontokban az -tengely metszi a görbét. Másképpen fogalmazva, ha a fókuszban egy merőleges egyenest állítunk rendre a tengelyre, nagytengelyre, valós tengelyre, akkor ezen egyenes és a görbe metszéspontja éppen p távolságra van a fókusztól.

a) b) c) 1.16. ábra. a) parabola; b) ellipszis; c) hiperbola fokális koordinátarendszerben a p paraméter megjelölésével

A következőkben megvizsgáljuk, van-e az egyenletek és definíciók alapján valamely mélyebb kapcsolat a három görbe között.

Dr. Hanka László

46



1.2.8. A parabola, ellipszis és hiperbola vezéregyenese Induljunk ki az előző pontban kapott fokális egyenletből.

 2   2   e  p 

2

Vonjunk gyököt az egyenlet mindkét oldalából, majd a jobb oldalon emeljünk ki e-t. Azt kapjuk, hogy

 2   2  e  p  e  

p e

Vegyük most tekintetbe, hogy a bal oldal nem más mint a görbe egy pontjának az origótól, vagyis ebben az esetben, mivel fokális egyenletről van szó, a fókusztól mért távolsága. A jobb oldal értelmének kiderítéséhez definiáljunk egy egyenest a következő értelmezéssel. Definíció: (A vezéregyenes definíciója) A parabola, ellipszis és hiperbola vezéregyenesének nevezzük a  ,  koordinátarendszerben a

p egyenletű, -tengellyel párhuzamos egyenest, amely tehát az értelmezés szerint a e p b2 -tengelyt a    skálaértéknél metszi. e c

 

Parabola esetében már a klasszikus definíción belül értelmeztük ezt a fogalmat, így parabola esetében ez nem jelent új fogalmat, a most értelmezett egyenes nyilván egybeesik a korábban értelmezett vezéregyenessel. Ellipszis és hiperbola esetében azonban új fogalomról van szó. p mennyiség ezek e szerint nem más, mint a görbe futópontjának a vezéregyenestől mért távolsága, ugyanis a vezéregyenes párhuzamos az -tengellyel. Ezek alapján azt mondhatjuk, hogy mindhárom görbére igaz a következő összefüggés

Vegyük most tekintetbe, hogy a kapott egyenlet jobb oldalán szereplő  

 2  2 p  e

e

Ez tehát azt jelenti, a görbe pontjának a fókusztól mért távolsága osztva a vezéregyenestől mért távolsággal egy állandó érték, amely parabola, ellipszis és hiperbola esetén rendre pontosan 1, kisebb, mint 1 illetve nagyobb, mint 1. Ez tehát a mélyebb rokonság a három görbe között. A kapott eredményt megfogalmazzuk egy állítás formájában is.

Dr. Hanka László

47


Analitikus Geometria Tétel: Azon pontok mértani helye a síkban, amelyekre igaz, hogy egy adott ponttól és egy a pontra nem illeszkedő egyenestől mért távolságuk hányadosa állandó, parabola, ellipszis vagy hiperbola aszerint, hogy ez az állandó egyenlő 1-gyel, kisebb, mint 1 vagy nagyobb, mint 1. Bizonyítás: A tétel állítását a fentiekben igazoltuk. ■ Ezen gondolatmenet alapján értelmet nyert parabola esetében az e = 1 numerikus excentricitás. A parabola definíciójában szerepelt a vezéregyenes. Az ellipszis és a hiperbola esetén ezek a fogalmak újdonságot jelentenek. Az ábrán látható az ellipszis és a hiperbola vezéregyenese a fokális koordinátarendszerben.

a) b) 1.17. ábra. a) az ellipszis; b) a hiperbola vezéregyenese

x2 y 2   1 . Innen leolvasható 1.2.Példa: Az 1.17. a) ábrán látható ellipszis kanonikus egyenlete 25 16 a nagy és a kis féltengely, a = 5 és b = 4. Ebből számítható a lineáris excentricitás c  a 2  b2  25  16  3 . Ennek ismeretében pedig a numerikus excentricitás értéke c 3 OP 3 e   . Az ábrán látható arány tehát az ellipszis minden pontjára vonatkozólag   1. a 5 PT 5 p 16 b 2 16   Továbbá a paraméter értéke p  ahonnan kapjuk, hogy ami azt jelenti, hogy a e 3 a 5 16 fokális koordinátarendszerben a vezéregyenes egyenlete    . 3 2 2 x y   1 . Innen leolvasható a valós és a A b) ábrán látható hiperbola kanonikus egyenlete 9 16 képzetes tengely, a = 3 és b = 4. Ebből már számítható a lineáris excentricitás Dr. Hanka László

48


Analitikus Geometria c  a 2  b2  9  16  5 . Ennek ismeretében pedig adódik a numerikus excentricitás értéke c 5 OP 5 e   . Az ábrán látható arány tehát a hiperbola minden pontjára vonatkozólag  1. a 3 PT 3 p 16 b 2 16   Továbbá a paraméter értéke p  ahonnan kapjuk, hogy ami azt jelenti, hogy a e 5 a 3 16 fokális koordinátarendszerben a vezéregyenes egyenlete    . 5

Dr. Hanka László

49



1.2.9. A parabola, ellipszis és hiperbola polárkoordinátás egyenlete A matematika számos területén hasznos a síkbeli polárkoordináták használata. Ennek során egy síkbeli pont helyét nem a derékszögű (x, y) koordinátákkal adjuk meg, hanem két más koordinátát definiálujnk a pont helyzetének a meghatározásához. Ehhez rögzítünk egy O vonatkoztatási pontot és egy O-ból induló félegyenest. A síkbeli P pont egyik koordinátája az O ponttól mért r távolság, a másik pedig az OP vezérsugárnak az adott félegyenessel bezárt φ szöge. Az 1.18. ábra alapján nyilvánvaló kapcsolat van az (x, y) és (r, φ) koordináták között.

1.18. ábra. Síkbeli polárkoordináták

A derékszögű háromszögek figyelembe vértelével a szögfüggvények definíciója alapján kapjuk a derékszögű és polárkoordináták kapcsolatát.

 x  r cos    y  r sin  A fokális egyenlet birtokában egyszerűen felírhatjuk a tanulmányozott görbék egyenletét síkbeli polárkoordinátákban. A  ,  derékszögű koordinátákról az  r ,   síkbeli polárkoordinátákra vonatkozó áttérési formula az előbbiek szerint tehát a következő egyenletrendszerrel adott.

  r cos     r sin  Helyettesítsük ezeket az összefüggéseket a  2   2   e  p  fokális egyenletbe. Azt kapjuk, hogy 2

 r cos     r sin   2

2

  e  r cos   p 

r 2 cos 2   r 2 sin 2    e  r cos   p 

2

r 2   e  r cos   p  Dr. Hanka László

50

2

2


Analitikus Geometria Gyököt vonva az adódik, hogy

r  e  r cos   p Parabola esetén e = 1, tehát az abszolút értéken belül az áll, hogy r cos   p . E a mennyiség nem lehet negatív, mert ha negatív lenne, abból r cos   p  r vagyis p  r 1  cos   következne. Itt a bal oldal pozitív a jobb oldal pedig egy negatív és egy nem negatív szám szorzata, tehát a jobboldal nem pozitív, ami természetesen nem lehetséges. Az abszolút értéken belül tehát pozitív szám áll így írhatjuk, hogy

r  r cos   p; r 1  cos    p; r 

p ; 1  cos 

Kaptuk tehát, hogy a parabola polárkoordinátás egyenlete

r

p ; 1  cos 

Ellipszis esetén e < 1. Az előző gondolatmenethez hasonlóan adódik, hogy e  r cos   p  0 mert ellenkező esetben r  e  r cos   p teljesülne, amiből átrendezéssel az adódik, hogy

p  r 1  e cos   . Itt a bal oldal pozitív, a jobb oldal pedig egy negatív és e < 1 miatt egy pozitív szám szorzata ami negatív, ez pedig ellentmondás. Kaptuk tehát, hogy ellipszis esetén

r  e  r cos   p; r 1  e cos    p; r 

p ; 1  e cos 

Tehát az ellipszis polárkoordinátás egyenlete

r

p ; e 1 1  e cos 

Hiperbola esetén e > 1, így az abszolút értéken belül álló összeg előjele nem egyértelmű. Ekkor az abszolút érték elhagyásával adódó egyenlet rendezésével az adódik, hogy

 r  e  r cos   p; r  1  e cos    p; r 

p ; 1  e cos 

A hiperbola polárkoordinátás egyenlete tehát a következő

r

Dr. Hanka László

p ; e 1 1  e cos 

51


Analitikus Geometria Felmerül a kérdés, hogy melyik előjel mire vonatkozik pontosan. Világos, hogy a jobboldali tört felülről nem korlátos, hiszen a nevező elérheti a 0 értéket. Alulról azonban korlátos. A jobboldali hiperbolaág (vagyis az a hiperbolaág, amelynek F(c, 0) a fókusza) esetén az alsó korlát kisebb, a baloldali esetén pedig nagyobb. Világos, hogy akkor kisebb az alsó korlát ha a nevező maximuma nagyobb. Ebből következik, hogy a pozitív előjel vonatkozik a jobboldali és a negatív a baloldali hiperbolaágra. Tehát a jobb és bal oldali hiperbolaág polárkoordinátás egyenlete rendre a következő

r

p , e  1; 1  e cos 

r

p , e  1; 1  e cos 

1.3.Példa: Írjuk fel az alábbi másodrendű görbék fokális és polárkoordinátás egyenletét.

a) y 2  16 x; b)

x2 y2 x2 y 2   1; c)   1; 169 144 16 9

Az a) pontban egy parabola egyenlete szerepel. Az általános egyenlet figyelembe vételével adódik, hogy 2p = 16 azaz p = 8. Ebből már adódik is rendre a fokális és polárkoordinátás egyenlet. 8 2  2   2    8  ; r  ; 1  cos  A b) pontban egy ellipszis egyenletét adtuk meg, melynek nagy féltengelye a = 13, kis féltengelye pedig b = 12. Ebből egyrészt adódik, hogy c  a 2  b2  25  5 amiből c 5 b 2 144  következően a numerikus excentricitás értéke e   , a p paraméter pedig p  . a 13 a 13 Innen kapjuk az ellipszis fokális és polárkoordinátás egyenletét

144 2 5 144 144   13  2  2      .  ; r 5 13  13  5cos   13 1  cos  13 A c) feladatban szereplő egyenlet hiperbolát határoz meg, melynek valós tengelye a = 4, képzetes tengelye b = 3. Ebből adódik, hogy c  a 2  b2  25  5 , ahonnan a numerikus excentricitás c 5 b2 9  . Ezek alapján a hiperbola fokális és értéke e   , a hiperbola p paramétere pedig p  a 4 a 4 a két hiperbolaág polárkoordinátás egyenlete a következő.

5

9

2

 2  2      ; 4 4

Dr. Hanka László

9 9 4 r  ; 5 4  5cos  1  cos  4 52

9 9 4 r  ; 5  4  5cos  1  cos  4 Óbudai Egyetem Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar


1.2.10. Síkbeli koordináta transzformációk Ebben a pontban megvizsgáljuk, hogy miképpen alakul a parabola, ellipszis és hiperbola egyenlete akkor, ha a koordinátarendszert elforgatjuk illetve ha a forgatás után el is toljuk azt. Az egyszerű eltolás esetét már megvizsgáltuk minden említett görbe esetében. Elsőként megvizsgáljuk a forgatás következményeit. Ehhez először azt kell tisztázni, milyen összefüggésekkel írható le a koordináták transzformációja forgatás esetén. Vegyük alapul a szokásos derékszögű (x, y) koordinátarendszert. Forgassuk ezt el φ szöggel pozitív irányban. Azt a kérdést tesszük fel, hogy egy adott P pont koordinátáit hogyan lehet megadni ebben az új φ-szöggel elforgatott koordinátarendszerben. Jelölje az új koordinátákat x' és y'. Keressük tehát a kapcsolatot a sík rögzített P pontjának (x, y) és (x', y') koordinátarendszerbeli koordinátái között. Az összefüggések felírásában segít az 1.19. ábra.

φ φ

1.19. ábra. A koordináták transzformációja forgatás esetén

Azt kell megállapítanunk, mi a kapcsolat a vesszős és a vesszőtlen koordináták között. Az ábra alapján, a megjelölt derékszögű háromszögek figyelembe vételével leolvashatók a következő transzformációs összefüggések.

 x  x cos   y sin    y   x sin   y cos  Szükség van az inverz kapcsolatra is. Ez a felírt transzformációs összefüggésekből úgy kapjuk, hogy megoldjuk a kapott egyenletrendszert az x és y koordinátákra.

Dr. Hanka László

53


Analitikus Geometria Ennek érdekében szorozzuk meg az első egyenletet cosφ-vel, a másodikat sinφ-vel

 x cos   x cos 2   y sin  cos   2  y sin    x sin   y cos  sin  és a kapott egyenleteknek képezzük a különbségét. Ekkor az x cos   y sin   x egyenletet kapjuk, Hasonló logikával kiküszöbölhető a rendszerből az x koordináta, ekkor az x sin   y cos   y egyenletet kapjuk. Az inverz transzformáció egyenletei eszerint a következők

 x  x cos   y sin    y  x sin   y cos  A koordinátarendszer elforgatását tehát ez a két egyenletrendszer írja le. Vizsgáljuk meg ezután, milyen módon alakul a parabola, ellipszis és hiperbola kanonikus egyenlete, ha a koordinátarendszert elforgatjuk, azaz áttérünk az (x, y) rendszerről az (x', y') koordinátarendszerre. Ezt egyszerűen úgy tudjuk megvizsgálni, ha a kanonikus egyenletekben az x és y koordináták helyére az inverz összefüggéseket helyettesítjük. Elsőként vizsgáljuk a parabola egyenletét. Induljunk ki a kanonikus egyenletből.

y 2  2 px Helyettesítsük ebbe az inverz formulákat.

 x sin   y cos 

2

 2 p  x cos   y sin 

Ha elvégezzük a négyzetre emelést a nullára redukálunk, a következő egyenletet kapjuk.

x2 sin 2   2 xy sin  cos   y2 cos2   2 px cos   2 py sin  x2 sin 2   y2 cos2   2 xy sin  cos   2 px cos   2 py sin   0 Ha tehát eltekintünk attól, hogy az együtthatók a φ szög szögfüggvényei, az elforgatott rendszerben a parabola egyenlete

Ax2  By2  Cxy  Dx  Ey '  0 alakú. Mielőtt rátérnénk a kapott eredmény értékelésére és jelentőségének vizsgálatára, először transzformáljuk az ellipszis és a hiperbola egyenletét is.

Dr. Hanka László

54


Analitikus Geometria Térjünk rá az ellipszis és a kör egyenletének transzformálására. Ismét a kanonikus egyenletet vesszük alapul. x2 y 2   1; a 2 b2 Szorzunk a nevezők szorzatával, majd helyettesítjük az inverz összefüggéseket.

b 2 x 2  a 2 y 2  a 2b 2 ; b2  x cos   y sin    a 2  x sin   y cos    a 2b 2 ; 2

2

Elvégezzük a négyzetre emeléseket és rendezzük az egyenletet a hatványok szerint.

b2  x2 cos 2   2 xy cos  sin   y '2 sin 2    a 2  x2 sin 2   2 xy sin  cos   y '2 cos 2    a 2b 2 ; x2  b2 cos 2   a 2 sin 2    y2  b2 sin 2   a 2 cos 2    2 xy  sin  cos   cos  sin    a 2b 2  0; Eltekintve ismét az együtthatók konkrét jelentésétől, azt kapjuk, hogy egy ellipszis egyenlete egy elforgatott koordinátarendszerben

Ax2  By2  Cxy  F  0 alakú. Speciális esetként adódik a kör egyenlete egy elforgatott koordinátarendszerben. Világos, hogy mivel a kör forgásszimmetrikus, a kanonikus egyenlet nem változhat meg, ha a koordinátarendszert elforgatjuk. Igazoljuk, hogy ez valóban így van. Ha az

x2  y 2  r 2 kanonikus egyenletbe helyettesítjük a transzformációs formulákat adódik, hogy

 x cos   y sin    x sin   y cos  2

2

 r2;

Végezzük el a négyzetre emeléseket, kiemeléseket és összevonásokat.

x2 cos 2   2 xy cos  sin   y2 sin 2   x2 sin 2   2 xy sin  cos   y2 cos 2   r 2 ; x2 cos 2   x2 sin 2   y2 sin 2   y2 cos 2   2 xy cos  sin   2 xy sin  cos   r 2 ; x2  cos 2   sin 2    y2  sin 2   cos 2    r 2 ; x 2  y  2  r 2 ; Az egyenlet tehát valóban nem változik, a transzformációs formulák tehát a várakozásnak megfelelően változatlanul hagyják a kör egyenletét.

Dr. Hanka László

55


Analitikus Geometria 1.4.Példa: Adott egy ellipszis az x2 y 2  1 9 4

egyenlettel. Forgassuk el a koordinátarendszert +30°kal és határozzuk meg az ellipszis egyenletét az elforgatott rendszerben. φ = 30° esetén a transzformációs formulák a következők.

 3 1 x  y   x  x cos 30  y sin 30   2 2   y  x sin 30  y cos 30  1 x  3 y  2 2 Helyettesítsük ezeket az ellipszis 4 x2  9 y 2  36 egyenletébe. 2

2

 3 1 1  3  4 x  9 y  4  x  y   9  x  y   2 2 2 2     2

2

3  1  3 1 3 3  4  x2  xy  y2   9  x2  xy  y2   2 4 2 4 4  4  

21 2 31 2 5 3 x  y   xy  36 4 4 2

Megkaptuk tehát az ellipszis egyenletét az elforgatott rendszerben. Az ábrán látható az ellipszis és az érintett két koordinátarendszer.

1.20. ábra. Az a = 3 nagy féltengelyű és b = 2 kis féltengelyű ellipszis az (x, y) és (x', y') koordinátarendszerekben. Dr. Hanka László

56


Analitikus Geometria Végül vizsgáljuk meg a hiperbola egyenletének transzformálódását. Az első lépés az

x2 y 2   1; a 2 b2 kanonikus egyenlet átalakítása. Szorzunk a nevezők szorzatával, majd helyettesítjük az inverz összefüggéseket. b 2 x 2  a 2 y 2  a 2b 2 ;

b2  x cos   y sin    a 2  x sin   y cos    a 2b 2 ; 2

2

Elvégezzük a négyzetre emeléseket és rendezzük az egyenletet a hatványok szerint.

b2  x2 cos 2   2 xy cos  sin   y2 sin 2    a 2  x2 sin 2   2 xy sin  cos   y2 cos 2    a 2b 2 ; x2  b2 cos 2   a 2 sin 2    y2  b2 sin 2   a 2 cos 2    2 xy  sin  cos   cos  sin    a 2b2  0; Eltekintve ismét az együtthatók konkrét jelentésétől, azt kapjuk, hogy egy hiperbola egyenlete egy elforgatott koordinátarendszerben

Ax2  By2  Cxy  F  0 alakú. Ez formálisan pontosan olyan, mint egy ellipszis egyenlete. 1.5.Példa: Határozzuk meg, hogy mi az x 2  y 2  1 derékszögű (egyenlő szárú) hiperbola egyenlete a φ = –45°-kal elforgatott koordinátarendszerben. Ebben a konkrét esetben a transzformációs képletek a következők

 2 2 x  y  x  x cos  45   y 'sin  45    2 2   y  x sin 45  y 'cos 45   2 x  2 y      2 2 Helyettesítsünk a kanonikus egyenletbe 2

2

 2 2   2 2  x  y   x  y     x  y   2   2 2   2 2



Dr. Hanka László

2

1 1 2 2 2 1 2 2 1  x  2 x y  x2   x2  2 x y  x2   xy  1 2 2 2 2 2 2 2  2

57


Analitikus Geometria Azt kaptuk tehát, hogy ha az (x, y) koordinátarendszert elforgatjuk 45°-kal negatív tehát az óramutató járásával egyező irányban, akkor a kapott (x', y') rendszerben az egyenlő szárú hiperbola egyenlete

xy  1

1.21. ábra. A derékszögű hiperbola kanonikus helyzetben és a –45°-kal elforgatott rendszerben

1 függvény képe egy x derékszögű hiperbola. Itt megjegyezzük, hogy nyilvánvalóan mindegy, hogy a koordinátarendszert forgatjuk el –45°-kal vagy a hiperbolát +45°-kal. Tehát az említett függvény grafikonja a megszokott koordinátarendszerben valóban egy egyenlő szárú hiperbola. Ha most eltekintünk a vesszőktől, akkor tehát igazoltuk, hogy az y 

Folytassuk most a vizsgálatainkat azzal, hogy megvizsgáljuk az általános esetet, vagyis azt, hogy mi történik, ha az elforgatás után még egy eltolást is alkalmazunk. Tehát azt vizsgáljuk mi történik az alakzatok egyenletével, ha az (x', y') koordinátarendszer origóját eltoljuk az (u, v) koordinátákkal adott pontba úgy, hogy további forgatást már nem alkalmazunk, tehát az eltolással kapott (x", y") koordinátarendszer tengelyei párhuzamosak az (x', y') koordinátarendszer tengelyeivel. Az 1. 22. ábra segíti az egyébként nyilvánvaló összefüggések leolvasását. Az ábra alapján a transzformációs és inverz transzformációs összefüggések a következők

 x  x  u  x  x  u ;  ;      y  y  v y  y  v   Ismét megvizsgáljuk a három nevezetes görbe egyenletét az (x", y") koordinátarendszerben.

Dr. Hanka László

58



1.22. ábra. Koordináták transzformációja a koordinátarendszer eltolása esetén

Mint láttuk, az elforgatott (x', y') rendszerben a parabola egyenlete

Ax2  By2  Cxy  Dx  Ey '  0 Helyettesítsük ebbe a transzformációs képletek szerint x' és y' képletét, azt kapjuk, hogy A  x  u   B  y  v   C  x  u  y  v   D  x  u   E  y  v   0; 2

2

Most eltekintünk attól, hogy részletesen elvégezzük a számításokat. Ezek nélkül is teljesen világos, hogy négyzetre emelés, szorzás és rendezés után az egyenlet alakja a következő

ax2  by2  cxy  dx  ey  f  0 Megkaptuk tehát a parabola egyenletét az általános esetben amikor – ha a görbe szempontjából fogalmazunk – a parabolát elforgattuk és eltoltuk az eredeti (x, y) rendszerhez képest. A parabola legáltalánosabb egyenlete tehát a következő

ax2  by2  cxy  dx  ey  f  0 Azt tapasztaltuk az elforgatás vizsgálata során, hogy az ellipszis és a hiperbola lényegében ugyanolyan alakot ölt. Eszerint ennek a két görbének a további vizsgálatát egyszerre elvégezhetjük. Ha a forgatással kapott

Ax2  By2  Cxy  F  0 egyenletbe helyettesítjük az eltolás transzformációs képleteit azt kapjuk, hogy

Dr. Hanka László

59


Analitikus Geometria A  x  u   B  y  v   C  x  u  y  v   F  0; 2

2

Ismét eltekintünk a részletes számításoktól, mert innen is teljesen nyilvánvaló, hogy rendezés után formálisan pontosan ugyanolyan szerkezetű egyenletekhez jutunk, mint parabola esetén. Azt kaptuk tehát, hogy ha egy ellipszist vagy hiperbolát az eredeti (x, y) rendszerben elforgatjuk és eltoljuk, akkor az alakzatok egyenlete a következő

ax2  by2  cxy  dx  ey  f  0 Eredményünk tehát a következő. Egy parabola, ellipszis vagy hiperbola legáltalánosabb egyenlete – a számítások során nyilvánvalóan szükséges megkülönböztető jelek mellőzésével – a következő

ax2  by 2  cxy  dx  ey  f  0 Ez az eredmény azt jelenti, hogy ellentétben a kanonikus egyenletekkel, az általános esetben nem tudunk különbséget tenni a három görbe között, mert mindhárom görbe egyenlete ugyanolyan szerkezetű. A következő pontban arra mutatunk módszert, hogy egy ilyen általános egyenlet esetében milyen módszerekkel tudjuk eldönteni, hogy pontosan melyik görbe egyenletéről van szó és arra is, hogy ha kiderítettük milyen típusú görbéről van, mik ezen görbe jellemző adatai, mi a paraméter, a nagy és kistengely, illetve a valós és képzetes tengely.

Dr. Hanka László

60



1.2.11. Másodrendű görbék. Főtengely transzformáció Ebben a pontban nagymértékben támaszkodunk a mátrixelmélet alapvető fogalmaira és tételeire. A szereplő fogalmak és tételek szerepelnek Hanka László: Fejezetek a matematikából című jegyzetben. Javasoljuk az olvasónak, hogy mielőtt a másodrendű görbék tanulmányozásába belekezd, olvassa a el a hivatkozott jegyzet 1.13., 1.16. és 1.17. pontjait, ezekben megtalál minden szükséges matematika segédeszközt és alapvető tételt. Konzekvensen alkalmazni fogjuk az említett jegyzetben alkalmazott jelöléseket. Az előző pontokban tanulmányoztuk a kör, parabola, ellipszis és hiperbola egyenletét különböző koordináta rendszerekben. Kiderült, hogy mind a négy említett görbe egyenlete az általános esetben ugyanolyan alakot vesz fel, mindegyik egyenlete az

ax2  by 2  cxy  dx  ey  f  0 alakot veszi fel. Az is világos, hogy egy ilyen egyenletből általában nem lehet számítások nélkül következtetni arra, hogy melyik görbének az egyenletéről van szó. Felmerül azonban egy további kérdés is, mégpedig az, hogy vannak-e még olyan görbék, amelyeknek az egyenlete ilyen alakban írható fel, és a korábbi pontokban nem szerepelt. A tárgyalás logikáját tehát megfordítjuk, kiindulunk egy ilyen általános alakú, két ismeretlenes másodfokú egyenletből, és egyrészt módszert adunk arra vonatkozólag, hogy milyen módon dönthető el a görbe típusa, másrészt a tárgyalásból az is kiderül, hogy pontosan melyek azok az alakzatok amelyeknek az egyenlete ilyen alakra hozható. Az egyszerűbb szóhasználat érdekében bevezetünk egy fogalmat, miközben a fentiekben alkalmazott jelöléseket célszerűen módosítjuk. Definíció: (Másodrendű görbe definíciója) Másodrendű görbének nevezzük azt az átalakításokkal az

alakzatot,

amelynek

egyenlete

ekvivalens

a11 x2  2a12 xy  a22 y 2  a1 x  a2 y  a0  0

alakra hozható, ahol kikötjük, hogy az a11 , a12 , a22 együtthatók mindegyike egyszerre nem lehet zérus, hiszen akkor nem másodfokú az egyenlet tehát nem másodrendű a görbe. A mátrixelmélet fogalmainak és tételeinek alkalmazásához célszerű ezt az egyenletet mátrixos jelölésekkel is felírni. Az egyenlet ekvivalens alakja a következő.

x

a y   11  a12

a12   x    a1 a22   y 

 x a2     a0  0  y

Hozzárendeltünk ezáltal a másodrendű görbéhez ez másodrendű szimmetrikus mátrixot, amelyet a másodrendű görbe mátrixának nevezünk. Tovább egyszerűsíthetjük a jelöléseket az alábbi definíciókkal. Dr. Hanka László

61


Analitikus Geometria a  a  x x    ; a   1  ; A   11  y  a2   a12

a12  ; a22 

Ezekkel a görbe egyenlete formálisan még egyszerűbb alakot ölt. xT Ax  aT x  a0  0

Ennek az összegnek a homogén másodfokú része az A szimmetrikus mátrixszal definiált kvadratikus alak.

Q  x   xT Ax   x

a y   11  a12

a12   x   a x 2  2a12 xy  a22 y 2 a22   y  11

Vizsgálataink során ennek alapvető szerepe lesz, többször hivatkozunk majd ezen kvadratikus alak pozitív-, negatív definit, stb. tulajdonságaira. Az A mátrix szimmetrikus, ezért minden sajátértéke valós és minden esetben létezik két ortogonális sajátvektora. Normáljuk ezeket a sajátvektorokat, azaz válasszunk olyan sajátvektorokat, amelyek egységnyi hosszúságúak. Legyen ez a két sajátvektor s1 és s2. Alkalmazzunk egy bázis transzformációt, az ortonormált {i, j} bázisról térjünk át az ugyancsak ortonormált {s1, s2} bázisra, ügyelve arra, hogy az új bázisvektorok a növekvő indexek sorrendjében jobbsodrású koordinátarendszert definiáljanak, azaz legyen az {s1, s2} bázis olyan, hogy az s1 vektort az s2 vektorba pozitív irányú 90°-os elforgatás viszi át. Az s1 és s2 ortonormált sajátvektorokból, mint oszlopvektorokból képezett modálmátrix a következő

Q  s1 s 2  Alkalmazzunk most egy bázistranszformációt, térjünk át az (x, y) koordinátákról a Q modálmátrixszal definiált transzformációval a (, ) koordinátákra. Ezt a transzformációt a

 x  Qξ  x; ahol x    ; ξ    ;  y  mátrixszorzással értelmezzük. Mielőtt helyettesítünk a másodrendű görbe egyenletébe, kiszámítjuk az x vektor transzponáltját. Ehhez felidézzük a mátrixelméletből azt az alapvető T tényt, hogy  AB   BT AT , továbbá azt, hogy egy ortogonális mátrix transzponáltja megegyezik az inverzével, mely szerint QT  Q1 . Ezek alapján írhatjuk, hogy xT   Qξ   ξT QT  ξT Q1 T

Helyettesítsük most a bázistranszformáció formuláit a másodrendű görbe egyenletébe.

Dr. Hanka László

62


Analitikus Geometria xT Ax  aT x  a0  ξT Q1AQξ  aT Qξ  a0  0

A másodrendű görbe mátrixa a Q1AQ formula szerint transzformálódik, ahol a Q mátrix oszlopvektorai a sajátvektorok. A sajátértékek elméletéből tudjuk, hogy ez a szorzat éppen azzal a diagonális mátrixszal egyenlő, amelynek főátlójában a sajátértékek állnak, más szóval ezzel a bázis transzformációval diagonalizáltuk az A mátrixot. A korábbi jelöléseink szerint a sajátértékekből képezett diagonális mátrixot  jelöli. A

 0  Q1AQ  Λ   1 ;  0 2  formula szerint a másodrendű görbe mátrixa éppen a sajátértékekből képezett diagonális mátrix. Így az új bázis, tehát a sajátvektorok által definiált koordinátarendszerben a másodrendű görbe egyenlete vektori alakban a következő ξT Λξ  aT Qξ  a0  0

Ha hangsúlyozni szeretnénk a mátrixok és vektorok koordinátáit, akkor az



0    s   1   a1 a2   11     0  2    s12

s21     a 0 s22   0

egyenletet kapjuk. Ha elvégezzük a mátrixműveleteket, akkor a másodrendű görbe egyenlete a

 1 2   22   a1s11  a2 s12     a1s21  a2 s22    a0  0 Ennek a formulának a jelentősége abban áll, hogy az egyenlet másodfokú része, tehát a kvadratikus alak négyzetösszeggé alakult. Még tovább lehet egyszerűsíteni az egyenlet alakját, ha úgy transzformáljuk, hogy ne legyenek benne első fokú tagok. Ehhez nem szükséges mást tenni mint teljes négyzetté kiegészíteni. A számítások egyszerűsítése érdekében átmenetileg bevezetjük az   aT s1  a1s11  a2 s12 és   aT s2  a1s21  a2 s22 jelöléseket. Így ha egyik sajátérték sem zérus a teljes négyzetté kiegészítés egyszerűbb formulákkal az alábbi módon végezhető el

 1 2   22      a0   1  2     22    a0  2

2

          2   2  1  2      2  2     a0  1     2     a0  0     1  2  21  41 2 2  4 2     A következőt egyenletet kapjuk tehát

Dr. Hanka László

63


Analitikus Geometria 2

2

      2 2 1         a   0   2 0 21  2 2  41 4 2   Ez az egyenlet definiálja is azt a transzformációt, amely ahhoz szükséges, hogy a görbe egyenletében ne legyenek elsőfokú tagok. Vezessük be az új (x1, x2) koordinátákat és egy újabb egyszerűsítő jelölést a következő értelmezéssel

x1   

  2 2 ; x2    ; c  a0   ; ahol   a1s11  a2 s12 ,   a1s21  a2 s22 21 2 2 41 4 2

Ez a koordináta transzformáció nyilván csak egy eltolást definiál. Ezen transzformáció eredményeképpen a másodrendű görbe egyenlete az alábbi 1 x12  2 x22  c  0

Ki kell még térnünk arra az esetre amikor az egyik sajátérték zérus, például  2  0 (mindkét sajátérték nem lehet zérus, mert akkor a görbe mátrixa a nullmátrix lenne, akkor pedig a görbe nem másodrendű). Ebben az esetben a görbe egyenlete az alábbi módon alakul.

 1 2      a0   1  2      a0  2

 2      2  1         a0  1       a0  0   1  21  41   Ezt az egyenletet kétféle módon vizsgálhatjuk a továbbiakban. Ha úgy tekintünk az -ra, hogy az nem transzformálódik, mivel nincs szükség teljes négyzetté kiegészítésre, akkor az egyenlet alakja 2

   2 1    0     a0  21  41  Vezessük be az új (x1, x2) koordinátákat és egy újabb egyszerűsítő jelölést a következő értelmezéssel  2 x1    ; x2  ; c  a0  ; ahol   a1s11  a2 s12 ,   a1s21  a2 s22 21 41 Ez a koordináta transzformáció nyilván csak egy eltolást definiál. Ezen transzformáció eredményeképpen a másodrendű görbe egyenlete az alábbi 1 x12  x2  c  0

Ez az egyenlet a pozitív és negatív definit, illetve indefinit esetben kapott egyenlet megfelelője. Ebben a szemidefinit esetben azonban gyakran célszerű olyan alakot megadnunk, amelyben nem Dr. Hanka László

64


Analitikus Geometria szerepel c konstans, hiszen ez leginkább a parabola egyenletére hasonlít, amelynek kanonikus egyenletében állandó nem szerepel. Ekkor már eleve úgy alakítjuk az egyenletet, hogy a transzformáció eredményeképpen ne legyen az egyenletben konstans. Itt már csak az  változó transzformációját kell megállapítanunk. Ez egy kiemeléssel egyszerűen adódik 2

2

   41a0   2    2   1     1        a0     0 21  41 21  41     Ha tehát az egyik sajátérték zérus, akkor az új (x1, x2) koordinátákat meghatározó transzformációs képleteket a következő módon is definiálhatjuk.

x1   

4 a   2  ; x2    1 0 ; 21 41

ahol   a1s11  a2 s12 ,   a1s21  a2 s22

Ha az egyik sajátérték zérus a másodrendű görbe egyenlete az alábbi formára transzformálódik. 1 x12  x2  0

Ne felejtsük el, hogy a szemidefinit esetben kapott 1 x12  x2  c  0 illetve 1 x12  x2  0 egyenletekben az x2 változónak más a definíciója. Hogy melyiket használjuk, az a konkrét problémától függ. Ha alkalmazzuk a bemutatott eljárást egy görbe egyenletének átalakítására, akkor azt mondjuk, hogy főtengely transzformációt hajtottunk végre. Ennek lényege tehát, hogy áttérünk egy olyan koordinátarendszerre, amelynek bázisvektorai a másodrendű görbe mátrixának ortonormált sajátvektorai jobbsodrású rendszert alapul véve. Ebben a koordináta rendszerben, egy esetleges további eltolás alkalmazásával, a görbe egyenletében nem szerepelnek elsőfokú tagok és nem szerepel a koordináták vegyes szorzata sem, a másodfokú rész tisztán négyzetösszeggé alakult, amelyben a második hatványok együtthatói éppen a másodrendű görbe mátrixának sajátértékei. 1.6.Példa: Határozzuk meg milyen másodrendű görbe egyenlete a

4 x2  4 xy  y 2  2 x  14 y  7  0 másodfokú egyenlet. Mátrixos alakban az egyenlet az

x

 4 2  x   x y    2 14    7  0     2 1   y   y

formát ölti. A bevezetett jelölések szerint tehát

 4 2 A ; aT   2 14 ; a0  7;   2 1  Dr. Hanka László

65


Analitikus Geometria Határozzuk meg a görbe mátrixának sajátértékeit és sajátvektorait. A karakterisztikus egyenlet

 4   2  det    4   1     4   2  5  0   2 1    Ennek az egyenletnek a megoldásai, tehát a sajátértékek 1  5,  2  0 . A sajátvektorokat rendre a következő egyenletrendszerek megoldásai szolgáltatják.

 4  5 2   s11   1 2  s11  0  2 1  5  s    2 4  s   0 ;    12     12   

 4  0 2   s11   4 2  s21  0  2 1  0  s   2 1   s   0 ;    12     22   

A megoldások a következők

 s   2t  s   r  s1   11     ; s 2   21     ; t , r  0  s12   t   s22   2r  Most úgy kell megválasztanunk a t és r paraméter értékét, hogy az s1 és s2 sajátvektorok ebben sorrendben jobbrendszert alkossanak. Ez teljesül, ha t = –1 és r = 1. Az ortogonális jobbsodrású rendszert eszerint az

2 1  s1    ; s 2    ;  1  2 vektorok definiálják. Ezek azonban még nem egységvektorok, mert abszolút értékük

s1  s2  12  22  5; Az új koordinátarendszert tehát az

s1 

1 2 1 1  ; s  2    ; 5  1 5  2

ortonormált bázis határozza meg. Írjuk fel ebben a bázisban a másodrendű görbe egyenletét. Korábbi jelöléseinkhez ragaszkodva ez azt jelenti, hogy áttérünk a (, ) koordinátákra.  1 2   22  aT s1  aT s2  a0  0;

Eszerint szükség van még az aT s1 , aT s2 skaláris szorzatokra.

Dr. Hanka László

66


Analitikus Geometria   aT s1 

 2  4  14 10 1   2 5;  2 14    5 5 5  1

  aT s 2 

1  2  28 30 1   6 5;  2 14    5 5 5 2

A számítások eredményét felhasználva a görbe egyenletét az 52  02  2 5  6 5  7  0;

alakban írhatjuk. Már csak a koordinátarendszer eltolása van hátra. Teljes négyzetté kiegészítéssel adódik, hogy 2  1  1  2 2  5  2 5  6 5  7  5       6 5  7  5         6 5  7   5  5  5    2

2

2

1  1  1      5     6  6 5  5      6 5    0; 5 5 5   

Ha itt bevezetjük az új (x1, x2) koordinátákat az x1   

1 1 ; x2    ; c  0; 5 5

definícióval, akkor az egyenlet alakja

5x12  6 5x2  0; azaz 5x12  6 5 x2 ; ami nyilvánvalóan egy parabola egyenlete. Innen már adódik a parabola paraméterének az értéke is, ugyanis a kanonikus egyenlet szerint az egyenlet felírható

x2 

5 6 5

x12 

5 2 x1  2 px12 ; 6

5 . Ha szeretnénk kapcsolatot keresni az eredeti 12 (x, y) és a második lépésben kapott (x1, y1) koordináták között, annyit kell tennünk, hogy a

alakban is, ahonnan a paraméter értéke p 

  x1 

1 1 ;   x2  ; 5 5

transzformációs képleteket behelyettesítjük az x = Q összefüggésbe.

Dr. Hanka László

67


Analitikus Geometria   1   1   2 1 1    x2  x1  x2    2  x1      5  5  5  x 1  2    1   5 5 ; x     Qξ      5    2 5  1   1   1 x  2 x  3   y    x1  1 2   2  x2    5  5 5  5   5  

Ebből mellékeredményként adódik, hogy a parabola tengelypontja az eredeti (x, y) rendszerben a  1 3   ,  pont. Az 1.24. ábrán látható a parabola a számítások során figyelembe vett három  5 5 koordinátarendszerben.

1.24. ábra. A példában vizsgált parabola képe mindhárom említett koordinátarendszerben

1.7.Példa: Határozzuk meg milyen másodrendű görbe egyenlete a

6 xy  8 y 2  12 x  26 y  11  0 másodfokú egyenlet. Mátrixos jelölésekkel az egyenlet az

x

0 3  x   x y    12 26    11  0     3 8  y   y

alakban írható. A bevezetett jelölések szerint tehát Dr. Hanka László

68


Analitikus Geometria 0 3 A ; aT   12 26 ; a0  11;   3 8 Határozzuk meg a görbe mátrixának sajátértékeit és sajátvektorait. A karakterisztikus egyenlet

3    2 det       8     9    8  9     9    1  0 3 8     Ennek az egyenletnek a megoldásai, vagyis a sajátértékek 1  9,  2  1 . A sajátvektorokat rendre a következő egyenletrendszerek megoldásai szolgáltatják.

3   s11  1 3  s21  0 3   s11   9 3   s11  0    1  9   ;   3 8  9  s    3 1  s   0 ;  3 8   1   s12  3 9  s22  0    12     12     A megoldások a következők

s   t   s   3r  s1   11     ; s 2   21     ; t, r  0  s12  3t   s22   r  Most úgy kell megválasztanunk a t és r paraméter értékét, hogy az s1 és s2 sajátvektorok ebben sorrendben jobbrendszert alkossanak. Ez teljesül, ha t = 1 és r = 1. Az ortogonális jobbsodrású rendszert eszerint az 1  3 s1    ; s 2    ; 3 1 vektorok definiálják. Ezek azonban még nem egységvektorok, mert abszolút értékük

s1  s2  12  32  10; Az új koordinátarendszert tehát az

s1 

1 1 1  3 3 ; s 2   ; 10   10  1 

ortonormált bázis határozza meg. Írjuk fel ebben a bázisban a másodrendű görbe egyenletét. Ez a két sajátvektor definiálja az ortogonális koordináta transzformáció mátrixát. A szokásos jelöléssel

Q

1 1 3  ; 10 3 1 

Ennek birtokában megadhatjuk az (x, y) és (, ) koordináták közötti kapcsolatot. Dr. Hanka László

69


Analitikus Geometria  x 1 1 3    1   3 x     Qξ        ; 10 3 1   10 3    y Ha most áttérünk a fenti formulával definiált (, ) koordinátákra, az alábbi egyenletet kapjuk  1 2   22  aT s1  aT s2  a0  0;

Eszerint szükség van még az aT s1 , aT s2 skaláris szorzatokra.   aT s1 

1 12  78 90 1   9 10;  12 26    10 10 10 3

  aT s 2 

 3 36  26 10 1   10;  12 26    10 10 10 1

A számítások eredményét felhasználva a görbe egyenletét az 92  2  9 10  10  11  0;

alakban írhatjuk. Már csak a koordinátarendszer eltolása van hátra. Teljes négyzetté kiegészítéssel adódik, hogy

92  2  9 10  10  11  9 2  9 10  2  10  11  2 2   10     10  10 10  9   10    10  11  9                 11   2  4   2  4    



2

 

2



2

2

2

2

  10  90  10  10 10   10   9             11  9           9  0; 2 4 2 4 2 2         Ha itt bevezetjük az új (x1, x2) koordinátákat az x1   

10 10 ; x2    ; c  9; 2 2

definícióval, akkor az egyenlet alakja

9 x12  x22  9; azaz x12 

x22  1; 9

ami nyilvánvalóan egy hiperbola egyenlete. Innen már adódik a hiperbola valós tengelyének és képzetes tengelyének a hossza. A hiperbola általános

Dr. Hanka László

70


Analitikus Geometria x12 x22   1; a 2 b2

egyenlete szerint a = 1 és b = 3, tehát a valós tengely hossza 2a = 2, a képzetes tengely hossza pedig 2b = 6. Ha végül kapcsolatot keresünk az eredeti (x, y) és a második lépésben kapott (x1, y1) koordináták között, annyit kell tennünk, hogy a   x1 

10 10 ;   x2  ; 2 2

transzformációs képleteket behelyettesítjük az x = Q összefüggésbe.   10  3  x2   x1  2  x 1    3 1   x     Qξ      10 3   10    y 10  3  x1    x2   2   

10     2     10    2  

1 x1  10 3 x1  10

3  x2  1  10 ; 1  x2  2 10 

Ebből az eredményből mellékesen adódik, hogy a hiperbola centruma az eredeti (x, y) rendszer (–1, 2) pontjában van. A transzformációs lépések során adódó koordinátarendszereket és a hiperbolapárt láthatjuk az 1.25. ábrán.

1.25.ábra. A példában szereplő hiperbola képe és a leíráshoz szükséges koordinátarendszerek

Dr. Hanka László

71



1.2.12. Másodrendű görbék osztályozása Ebben a pontban részletesen megvizsgáljuk mi lehet a mértani helye annak a görbének amelyet a a11 x2  2a12 xy  a22 y 2  a1 x  a2 y  a0  0

egyenlet definiál. A görbe aszerint írható le, hogy a görbe mátrixának a sajátértékei milyen előjelűek. 1. eset: A másodrendű görbe mátrixának mindkét sajátértéke pozitív azaz a szimmetrikus A mátrix pozitív definit. Az előző pontban bizonyítottuk, hogy ekkor a görbe egyenlete koordináta transzformációkkal a 1 x12  2 x22  c  0;

alakra hozható. Ezt most praktikusabb a 1 x12   2 x22  d ;

formában írni. a) Tegyük fel, hogy d > 0. Ekkor az egyenlet ekvivalens alakja

1 2  2 2 x12 x2 x1  x2  1;  2  1; d d d 1 d  2 Ez 1   2 esetén ellipszis egyenlete, 1   2 esetén kör egyenlete. Ha feltesszük, hogy 1   2 akkor az ellipszis nagy és kistengelye rendre

a2

d d , b2 . 1 2

Ha pedig 1   2   akkor a kör sugara az x12  x22 

d d egyenlet alapján r  .  

b) Ha d = 0, akkor a 1 x12   2 x22  0;

egyenletet csak az origó elégíti ki, tehát akkor ez egyetlen pont, az origó egyenlete. c) Ha d < 0, akkor nyilván egyetlen valós számpár sem elégíti ki az egyenletet, tehát ekkor az egyenlet az ún. üres alakzat egyenlete. Dr. Hanka László

72


Analitikus Geometria 2. eset: A másodrendű görbe mátrixának mindkét sajátértéke negatív azaz a szimmetrikus A mátrix negatív definit. Az 1. esetbeli megállapítások értelemszerű módosításával kapjuk az eredményeket erre az esetre, hiszen akkor az egyenlet –1-gyel való szorzásával a probléma visszavezethető a már vizsgált esetre. a) Tegyük fel, hogy d > 0. Ekkor az egyenlet az üres alakzat egyenlete. b) Ha d = 0, akkor az egyenletet csak az origó elégíti ki, tehát akkor ez egyetlen pont, az origó egyenlete. c) Ha d < 0, akkor az egyenlet ellipszis vagy kör egyenlete. 3. eset: A másodrendű görbe mátrixának egyik sajátértéke pozitív a másik sajátértéke negatív azaz a szimmetrikus A mátrix indefinit. A görbe egyenlete koordináta transzformációkkal ugyancsak felírható 1 x12   2 x22  d ;

formában. Tegyük fel, hogy például 1  0,  2  0 . Ekkor az egyenletet a következő módon írhatjuk. 1 x12   2 x22  d ; a) Tegyük fel, hogy d > 0. Ekkor az egyenlet ekvivalens alakja a következő 1 2  2 2 x12 x2 x1  x2  1;  2  1; d d d 1 d  2

Ez egy hiperbolának az egyenlete, amelynek valós tengelye és képzetes tengelye rendre a következő d d 2a  2 , 2b  2 ; 1 2 b) Ha azt tesszük fel, hogy d < 0, akkor az egyenlet ekvivalens alakja a

1 x12   2 x22   d ; Ha ezt szorozzuk –1-gyel, akkor azt kapjuk, hogy

 2 x22  1 x12  d ; Ekkor oszthatunk a d abszolút értékével és az

Dr. Hanka László

73


Analitikus Geometria 2

 x  1 x12  1; d d 2 2

x22 x12   1; d  2 d 1

alakot kapjuk. Ez ugyancsak hiperbola egyenlete, melynek valós és képzetes tengelye rendre a következő 2a  2

d 2

, 2b  2

d 1

;

c) Tegyük fel végül, hogy d = 0. Ekkor a

1 x12   2 x22  0; 1 x12   2 x22 ; egyenletet kapjuk, amely egy metsző egyenes pár egyenlete. Ugyanis osztással kapjuk, hogy

x22 

1 2 x1 ;  x2  2

1 x1 , 2

és x2  

1 x1; 2

amelyek valóban az origón áthaladó egyenesek egyenletei. Ezeknek az egyeneseknek a meredeksége rendre

m1 

1 , 2

m2  

1 ; 2

4. eset: A másodrendű görbe mátrixának egyik sajátértéke pozitív vagy negatív a másik sajátértéke zérus, tehát a szimmetrikus A mátrix pozitív vagy negatív szemidefinit. Tegyük fel, hogy 1  0, 2  0 . Már bizonyítottuk, hogy ekkor a görbe egyenlete koordináta transzformációkkal a 1 x12  x2  c  0

alakra hozható. a) Tegyük fel, hogy   0 és c tetszőleges valós szám. Ekkor a másodrendű görbe egy parabola, amelynek paramétere az x2 

általános összefüggés szerint p 

Dr. Hanka László

 c   1 x12     2 px12  

1 . 2

74


Analitikus Geometria b) Tegyük most fel, hogy   0, c  0 , tehát az egyenlet a 1 x12  0 formára egyszerűsödik. Ez egyenértékű az x12  0 egyenlettel amely nyilván az x2-tengely, tehát egy egyenes egyenlete. c) Tegyük fel, hogy   0 és c előjele megegyezik a 1 sajátérték előjelével. Ekkor x12  0 tehát, nincs olyan valós számpár, amely kielégítené az egyenletet, vagyis ekkor ez egy üres alakzat egyenlete. d) Tegyük fel, hogy   0 és c előjele ellentétes a 1 sajátérték előjelével. Ekkor

x12  

c c  0,  x1    1 1

egy párhuzamos egyenespár egyenlete. Ezzel a másodrendű görbék osztályozását befejeztük. A korábbi pontokban részletesen tanulmányoztunk másodrendű görbéket. Ezek voltak a kör, parabola, ellipszis és a hiperbola. Mint láttuk, ezeknek az egyenlete másodfokú, tehát ezek mind másodrendű görbék. Ebben a pontban, a másodrendű görbék osztályozása során kiderült, hogy ha felveszünk egy másodfokú egyenletet, akkor néhány "elfajuló" esettől eltekintve, azt mondhatjuk, hogy egy másodrendű görbe éppen az említett négy görbe közül valamelyik, más lényegesen különböző alakzat nem adható meg másodfokú egyenlettel. Az elfajuló esetek, az üres alakzat, a pontkör illetve pontellipszis, vagyis egyetlen pont illetve két egybeeső, két párhuzamos illetve metsző egyenes. Az üres alakzat és a pont érdektelen, az egyenespárok pedig úgy kerülnek a képbe, hogy elsőfokú egyenletek szorzásával vagy négyzetre emelésével másodfokú egyenletek születnek.

Dr. Hanka László

75



1.3. A TÉR ANALITIKUS GEOMETRIÁJA 1.3.1. A egyenes egyenletrendszere A legegyszerűbb térbeli alakzat, az egyenes egyenletét - vagy mint látni fogjuk, egyenletrendszerét - az irányvektor fogalmának térbeli általánosításával tudjuk megadni. Ennek az az oka, hogy a normálvektor fogalma térbeli egyenes esetére nem általánosítható használható módon. Ugyanis, ha a síkbeli eset mintájára úgy értelmezzük, hogy az egyenesre merőleges vektor, akkor világos, hogy egy ilyen vektor a térben nem határozza meg egyértelműen egy egyenes állását. Ugyanis, ha kijelölünk egy pontot, amelyre az egyenes illeszkedik és egy vektort, amelyre vonatkozólag azt követeljük meg, hogy legyen merőleges a pontra illeszkedő egyenesre, akkor világos, hogy ez a két feltétel nem egy hanem végtelen sok egyenest határoz meg. Megadja az összes olyan egyenest, amely az adott pontra illeszkedő és az adott vektorra merőleges síkban van. Korlátozódnunk kell tehát az irányvektor alkalmazására. Definíció: Az egyenessel párhuzamos, nullvektortól különböző irányvektorának nevezzük. Az irányvektor jele v(v1, v2, v3).

vektort

az

egyenes

Világos, hogy az egyenes egy rögzített pontja és egy irányvektor egyértelműen meghatározza az egyenes helyzetét a térben. Legyen az egyenes rögzített pontja a P0  x0 , y0 , z0  pont. Ekkor világos, hogy a P(x, y, z) futópont akkor és csak akkor illeszkedik az egyenesre ha az r  r0 különbség párhuzamos a v irányvektorral. Ez pontosan akkor teljesül, ha létezik olyan t valós paraméter amelyre igaz, hogy

r  r0  tv;  r  r0  tv; Ez az egyenes paraméteres vektoregyenlete. Ha ezt az összefüggést felírjuk koordinátánként, akkor azt kapjuk, hogy  x  x0  tv1   y  y0  tv2 ; t  R  z  z  tv 0 3  Ennek átrendezett alakja az egyenes paraméteres egyenletrendszere.  x  x0  tv1   y  y0  tv2 ; t  R  z  z  tv 0 3 

Ennek jelentősége abban áll, hogy ebben a formában felírható minden térbeli egyenes egyenletrendszere. Dr. Hanka László

76


Analitikus Geometria A későbbiek során a vektoranalízisben hasznos lesz, ha ezt a rendszert egyetlen vektor értékű függvénynek tekintjük. Megadható tehát az egyenes egyenletrendszere úgy is, mint egyparaméteres vektor-skalár függvény

r  t    x0  tv1 , y0  tv2 , z0  tv3  ;

t R

amelynek minden koordinátafüggvénye a t paraméter elsőfokú függvénye. Ezzel a függvényosztállyal később részletesen foglalkozunk. Gyakran használatos ennek az egyenletrendszernek azon módosított alakja, amelyet úgy kapunk, hogy kiküszöböljük a rendszerből a t paramétert. Ha feltesszük, hogy az irányvektor egyetlen komponense sem zérus, akkor kapjuk az x  x0 y  y0 z  z0   ; v1 v2 v3

egyenletrendszert. Vegyük észre hogy ez két egyenlet, például a következő x  x0 y  y0 x  x0 z  z0  ; és  ; v1 v2 v1 v3

az egyenletek száma tehát a paraméter kiküszöbölésével háromról kettőre csökkent. 1.8.Példa: Határozzuk meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely illeszkedik az A(1, –2, 3) és B(3, 1, –4) pontokra. A síkbeli esethez hasonlóan az A és B pontokat összekötő vektor az egyenes egy irányvektora. v  AB   3  1,1   2  , 4  3   2,3, 7  . Például a P0 = A(1, –2, 3) választással kapjuk az egyenes paraméteres egyenletrendszerét.  x  1  2t   y  2  3t ; t  R  z  3  7t 

Ha ezt vektoros formában adjuk meg, azaz egyparaméteres vektor-skalár függvényként, akkor a vektoranalízisben szokásos alakot kapjuk.

r  t   1  2t , 2  3t ,3  7t  ; t  R Mivel az irányvektor egyetlen koordinátája sem zérus, kiküszöbölve a t paramétert, felírhatjuk az egyenes egyenletrendszerét a következő formában is.

x 1 y  2 z  3   ; 2 3 7 Dr. Hanka László

77



1.3.2. A sík egyenlete A sík analitikai leírása az egyenesnél egyszerűbb. Az egyenlet felírásához azt kell meggondolnunk, hogy mi határozza meg a sík helyzetét egyértelműen egy koordinátarendszerben. Világos hogy a normálvektor fogalma ebben az esetben célravezető. Definíció: A síkra merőleges, nullvektortól különböző vektort a sík normálvektorának nevezzük. A normálvektor jele n(A, B, C). A sík egy rögzített pontja és a sík egy normálvektora egyértelműen meghatározza a sík helyzetét. Legyen a sík rögzített pontja a P0  x0 , y0 , z0  pont és tegyük fel, hogy a sík egy tetszőleges pontját, a futópontot a P  x, y, z  jelöli. Jelölje a P0 és P pontokba mutató helyvektorokat rendre r0 és r. Világos, hogy a P pont pontosan akkor illeszkedik a síkra ha teljesül, hogy r  r0  n . A skaláris szorzatra vonatkozó alapvető tétel szerint, ez a merőlegesség akkor és csak akkor teljesül, ha ezen két vektor skaláris szorzata zérus

 r  r0  n  0 Ez az egyenlet a sík normálvektoros vektoregyenlete. Ha ezt a skaláris szorzatot kifejtjük koordinátákkal, már el is jutottunk a sík szokásos egyenletéhez. Tekintettel a bevezetett jelölésekre, világos, hogy r  r0  P0 P   x  x0 , y  y0 , z  z0  , innen a normálvektorra bevezetett jelölést felhasználva adódik, hogy

r  r0  n  A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0 amely átrendezésével kapjuk a sík (normálvektoros) egyenletét.

Ax  By  Cz  Ax0  By0  Cz0 ; Ezen egyenlet minden térbeli egyenes egyenletének felírására alkalmas. Ez a leggyakrabban alkalmazott alak, azonban vektoranalízisbeli alkalmazások során sokkal praktikusabb egy másik alak használata. Ennek előállításához tegyük fel, hogy az adott P0  x0 , y0 , z0  pont mellett adott két olyan nullvektortól különböző vektor, jelölje ezeket p( p1 , p2 , p3 ), q  q1 , q2 , q3  , amelyek nem párhuzamosak, ellenben párhuzamosak a síkkal. Mivel a sík minden pontja előállítható két nem párhuzamos vektor lineáris kombinációi segítségével, világos, hogy a P  x, y, z  pont akkor és csak akkor illeszkedik a síkra, ha - a szokásos jelölésekkel - létezik olyan u és v valós paraméter, melyekre teljesül, hogy

r  r0  up  vq;  r  r0  up  vq; u, v  R

Dr. Hanka László

78


Analitikus Geometria Ha ezt felírjuk koordinátánként, kapjuk a sík paraméteres egyenletrendszerét.  x  x0  up1  vq1   y  y0  up2  vq2 ; u, v  R  z  z  up  vq 0 3 3 

Ezt a kétparaméteres felírási módot elsősorban akkor használjuk amikor a síkot kétparaméteres vektor-skalár függvényként adjuk meg az alábbi formában.

r  u, v    x0  up1  vq1 , y0  up2  vq2 , z0  up3  vq3  ; u, v  R Ez tehát egy minkét paraméterben elsőfokú koordinátafüggvényekkel megadott vektor értékű függvény. Ezt a függvényosztályt a felületek elméletében részletesen tanulmányozzuk majd. 1.9.Példa: Határozzuk meg annak a síknak az egyenleteit, amely sík illeszkedik az A(–2, 3, 0), B(1, –2, 4) és C(3, 6, –2) pontokra. A három pontból elő kell állítani a sík egy normálvektorát. Ha a bevezetett jelöléseknek megfelelően előállítjuk a

p  AB   3, 5, 4  és q  AC   5,3, 2  síkkal párhuzamos vektorokat, akkor a vektoriális szorzat definíciója szerint például a p×q vektor merőleges lesz a síkra, tehát ez a vektor választható normálvektornak. i j n  p  q  3 5 5

3

k 4  2i  26 j  34k ; 2

Egy normálvektor tehát az n(–2, 26, 34) vektor. Ezzel már fel is írhatjuk a normálvektoros egyenletet ha mondjuk a P0 = A(–2, 3, 0) választással élünk.

Ax  By  Cz  Ax0  By0  Cz0 ;  2x  26 y  34z  4  78  0  82; A sík egyenlete tehát

2 x  26 y  34 z  82; A vektoranalízisbeli alkalmazások szempontjából ettől sokkal fontosabb a kétparaméteres vektor skalár függvénnyel történő felírás. A mondottak szerint ezt koordinátánként írva azt kapjuk, hogy

Dr. Hanka László

79


Analitikus Geometria  x  2  3u  5v   y  3  5u  3v ; u, v  R  z  0  4u  2v 

Ha ezt egyetlen vektorban összefoglaljuk, akkor a sík egyenletének kétparaméteres alakja a szokásos formában a következő.

r  u, v    2  3u  5v,3  5u  3v, 4u  2v  ; u, v  R

Dr. Hanka László

80



1.3.3. A gömb egyenlete A gömb egyenletéhez értelmeznünk kell a gömböt mint mértani helyet. Definíció: A gömb azon pontok mértani helye a térben amelyeknek egy adott C ponttól, a gömb centrumától mért távolsága állandó érték, amely állandó a gömb r sugara. Határozzuk meg a gömb egyenletét. Legyen a centrum a C(u, v, w) koordinátákkal adott, és legyen a futópont a szokásos módon a P  x, y, z  pont. Ekkor a CP szakasz hossza a CP 

 x  u    y  v    z  w 2

2

2

r

egyenlőséggel adható meg. Mivel az r sugár pozitív, az egyenletet négyzetre emelhetjük, így ekvivalens egyenletet kapunk. Az r sugarú, C(u, v, w) centrumú gömb egyenlete tehát

 x  u    y  v    z  w 2

2

2

 r2;

Ha speciális esetben a gömb centruma az origó, azaz C(0, 0, 0), tehát a gömb kanonikus helyzetű, akkor az egyenlete

x2  y 2  z 2  r 2 ;

1.26. ábra. Egy r = 3 egység sugarú gömb képe

Dr. Hanka László

81


Analitikus Geometria Ha az általános egyenletben elvégezzük a műveleteket, majd rendezzük csökkenő hatványok szerint, azt kapjuk, hogy

x 2  2ux  u 2  y 2  2vy  y 2  z 2  2wz  z 2  r 2 ; x 2  y 2  z 2  2ux  2vy  2wz  u 2  y 2  z 2  r 2  0; Ha a kapott egyenletet bővítjük egy tetszőleges, nullától különböző A konstanssal, akkor kapjuk a gömb egyenletét a lehető legáltalánosabb alakban.

Ax2  Ay 2  Az 2  Bx  Cy  Dz  E  0; A gömb egyenlete tehát a koordináták másodfokú függvénye. A korábbi terminológia általánosításával tehát azt mondhatjuk, hogy a gömb egy másodrendű felület. A továbbiakban a másodrendű felületeket tanulmányozzuk. A gömb paraméterezése sokkal nagyobb elméleti és gyakorlati jelentőséggel bír, mint csupán annyit, hogy a gömböt meg tudjuk adni két paraméterrel. Ebből a gondolatból születik meg a térbeli polárkoordináta rendszer, amely a többváltozós analízisben, a vektoranalízisben nélkülözhetetlen apparátus. Induljunk ki tehát abból a problémából, hogy a térben egy P pontot a derékszögű (x, y, z) koordinátahármas helyett adjuk meg más módon. Az új koordinátákat, amelyeket gömbi koordinátáknak is nevezünk szokásos módon r, ϑ és φ jelöli.

ϑ

r

φ

1.27.ábra. Térbeli polárkoordináták Dr. Hanka László

82


Analitikus Geometria Ezek értelmezése az ábra alapján a következő. A P pont origótól mért távolságát jelöli r. Az OP vezérsugár z-tengely pozitív irányával bezárt szöge a ϑ. Végül tekintsük a P pont merőleges vetületét az (x, y)-síkra vonatkozólag, legyen ez a P' pont. A φ szög értelmezés szerint az OP' sugárnak az x-tengely pozitív irányával bezárt szöge. Ha a tér tetszőleges pontját ezzel a három adattal szeretnénk leírni, akkor világos, hogy a ϑ-szög 0-tól π-ig, míg a φ-szög 0-tól 2π-ig változhat. A szögfüggvények értelmezése szerint tehát az (x, y, z) derékszögű koordináták és az (r, ϑ, φ) gömbi koordináták közötti kapcsolat a következő.  x  r sin  cos    y  r sin  sin  ;   0,  ,   0, 2  z  r cos  

Ha ezt alkalmazzuk a gömbfelületre mindössze annyit kell észrevenni, hogy értelmezés szerint az r = r0 sugár állandó. Tehát az r0 sugarú gömb egy lehetséges paraméterezése  x  r0 sin  cos    y  r0 sin  sin  ;  0,  ,  0, 2  z  r cos  0 

vagy kétparaméteres vektor-skalár függvényként megadva

r  ,    r0 sin  cos , r0 sin  sin , r0 cos  ;

Dr. Hanka László

83

 0,  ,  0, 2



1.3.4. Forgásfelületek További felületeket egyszerűen előállíthatunk, ha egy síkbeli görbét megforgatunk legegyszerűbb esetben egy koordinátatengely körül. Elsőként azt vizsgáljuk meg, hogyan adható meg a felület egyenlete a síkgörbe egyenletének ismeretében. Tegyük fel, hogy adott egy síkgörbe az (x, y)-síkban az F(x2, y) = 0 egyenlettel. Azért ezt a speciálisnak tekinthető egyenletet vizsgáljuk, mert célunk a másodrendű felületek tárgyalása. Azt a kérdést tesszük fel, hogyan írható fel annak a felültnek az egyenlete amely úgy keletkezik, hogy a görbét megforgatjuk például az y-tengely körül. Tétel: Ha az F(x2, y) = 0 egyenlettel adott síkgörbét megforgatjuk az y-tengely körül akkor egyenlete az F  x2  z 2 , y   0

formában adható meg. Bizonyítás: Tekintsük a görbe egy tetszőleges P(x, y) pontját. Ez kielégíti az F(x2, y) = 0 egyenletet. Ebben az esetben az x-koordináta négyzetét úgy is tekinthetjük, mint a P pont távolságának négyzetét az y-tengelytől. Ha megforgatjuk a görbét az y-tengely körül a P pont egy kört ír le, melynek sugara x 2 . Tehát az említett körön levő pontok távolsága az y-tengelytől állandó. Ha a kör bármely pontjának koordinátáit helyettesítjük a forgásfelület egyenletébe, akkor bármelyik körön levő pont távolságának négyzete azt ki kell hogy elégítse. Ha három dimenzióban vizsgáljuk a kérdést, akkor a P(x, y) pontnak megfelel az (x, y, 0) pont, és a forgatással kapott pontok (x', y', z') koordinátáira vonatkozólag teljesül, hogy x '2  z '2  x2 ; azaz x2  x '2  z '2 és nyilván y  y '

és ezek a mennyiségek kielégítik a forgásfelület egyenletét. A forgatással kapott alakzat egyenlete tehát F  x '2  z '2 , y '  0

Ha eltekintünk a megkülönböztető jelként alkalmazott de immár felesleges vesszőtől, akkor az állításbeli egyenletet kapjuk. ■ Értelemszerű módosítással, adódik, hogy ha az F(x, y2) = 0 egyenlettel adott síkgörbét megforgatjuk az x-tengely körül akkor egyenlete az F  x, y 2  z 2   0

formában adható meg.

Dr. Hanka László

84


Analitikus Geometria Ezen összefüggéseknek az alkalmazása következik ezután. Elsőként azonban a gömb egyenletének egy másik levezetését adjuk. Használjuk fel, hogy a kanonikus helyzetű r sugarú kör egyenlete x2  y 2  r 2 Ha ezt a kört megforgatjuk az y-tengely körül, nyilván egy r sugarú gömböt kapunk. Alkalmazzuk az előző tétel szerint az egyenletben az x2  x2  z 2 helyettesítést. Azt kapjuk, hogy

x2  z 2  y 2  r 2 ; azaz x2  y 2  z 2  r 2 ; ami megegyezik a gömb már ismert egyenletével.

Dr. Hanka László

85



1.3.4.1. Forgási paraboloid Forgási paraboloidot kapunk, ha a kanonikus helyzetű parabolát megforgatjuk a tengelye körül. Legyen elsőként a parabola tengelye az y-tengely. Ekkor egyenlete

x 2  2 py Ha elvégezzük az x2  x2  z 2 helyettesítést, adódik az y-tengelyű forgási paraboloid egyenlete

x 2  z 2  2 py Ha a többváltozós analízisbeli alkalmazásokat vesszük alapul akkor célszerű abból a síkbeli parabolából kiindulni, amely az (x, z)-síkban van és tengelye a z-tengely. Ennek egyenlete

x 2  2 pz Ha ezt a z-tengely körül forgatjuk el, akkor értelemszerűen, most a x 2  x 2  y 2 helyettesítést kell elvégeznünk. Így kapjuk a z-tengelyű forgási paraboloid egyenletét

x 2  y 2  2 pz A p = 0,5 paraméterű z-tengelyű forgási paraboloidot mutatja az 1.28. ábra.

1.28. ábra. A p = 0,5 paraméterű forgási paraboloid képe Dr. Hanka László

86



1.3.4.2. Forgási ellipszoid Forgási ellipszoidot kapunk, ha a kanonikus helyzetű ellipszist megforgatjuk a nagytengelye vagy a kistengelye körül. Eltekintve a tengelyek relatív nagyságától, legyen az ellipszis kanonikus egyenlete x2 y 2  1 a 2 b2 és forgassuk ezt meg az x-tengely körül. Ekkor elvégezve az y 2  y 2  z 2 helyettesítést, kapjuk a forgási ellipszoid egyenletét x2 y 2 z 2   1 a 2 b2 b2

Innen egyszerű betűcserékkel eljuthatunk az összes forgási ellipszoid egyenletéhez. Ha például az y-tengely körül forgatunk, akkor az egyenlet x2 y 2 z 2   1 a 2 b2 a 2 x2 y 2   1 egyenletű ellipszoid x-tengely körüli megforgatásakor keletkező 9 4 x2 y 2 z 2 forgási ellipszoidot mutatja, melynek egyenlete    1 . 9 4 4

Az 1.29. ábra az

a) b) 1.29. ábra. Forgási ellipszoid a = 3, b = 2 paraméterekkel. a) főmetszetekkel; b) a teljes felület.

Dr. Hanka László

87



1.3.4.3. Egyköpenyű forgási hiperboloid Egyköpenyű forgási hiperboloidot kapunk, ha a kanonikus helyzetű hiperbolát megforgatjuk a képzetes tengelye körül. A szokásos összefüggések levezetéséhez induljunk ki abból, hogy a hiperbola az (x,z)-síkban adott és képzetes tengelye a z-tengelyen van, amikor is az egyenlete x2 z 2  1 a 2 b2

Ha ezt megforgatjuk a z-tengely körül, el kell végeznünk a x 2  x 2  y 2 helyettesítést. Így adódik az egyköpenyű forgási hiperboloid egyenlete x2 y 2 z 2   1 a 2 a 2 b2

Az a = b = 1 paraméterekkel adott egyköpenyű forgási hiperboloidot mutatja az 1.30. ábra.

1.30. ábra. Egyköpenyű forgási hiperboloid a = b = 1 paraméterekkel

Dr. Hanka László

88



1.3.4.4. Kétköpenyű forgási hiperboloid Kétköpenyű forgási hiperboloidot kapunk, ha a kanonikus helyzetű hiperbolát megforgatjuk a valós tengelye körül. Induljunk ki ismét abból, hogy a hiperbola az (x, z)-síkban adott és valós tengelye az x-tengelyen van, amikor is az egyenlete x2 z 2  1 a 2 b2

Ha ezt megforgatjuk az x-tengely körül, el kell végeznünk a z 2  y 2  z 2 helyettesítést. Így adódik a kétköpenyű forgási hiperboloid egyenlete x2 y 2 z 2   1 a 2 a 2 b2

Nagyon könnyű megjegyezni, hogy a két egyenlet közül melyik az egyköpenyű és melyik a kétköpenyű hiperboloid egyenlete, ugyanis az egyköpenyű hiperboloid egyenletében ha a jobb oldalon +1 áll akkor az egyenlet bal oldalán egy negatív előjelű tag van, míg a kétköpenyű esetében két tag előjele negatív. Az a = b = 1 paraméterekkel adott kétköpenyű forgási hiperboloidot mutatja az 1.31. ábra.

1.31. ábra. Kétköpenyű forgási hiperboloid a = b = 1 paraméterekkel

Dr. Hanka László

89



1.3.4.5. Forgáskúp A görbék tárgyalása során másodrendű görbének tekintettük a metsző egyenespárt is. Ebben a pontban van ennek igazán jelentősége, mert a metsző egyenespár, mint másodrendű görbe megforgatásával keletkező forgásfelület egy nagyon fontos felület, amely a térgeometriából jól ismert alakzat, ez nem más mint a forgáskúp.

c c x és z   x egyenletekkel. Világos, a a hogy ez a két egyenes szimmetrikus a z-tengelyre, a két egyenes egymás tükörképe. A megadott c c két egyenlet egyenértékű a z  x  0, z  x  0 egyenletpárral, amelyek szorzatával a a a 2 2 2 c z x x2 z 2 z 2  2 x 2  0 tehát a 2  2  0 illetve az 2  2  0 másodfokú egyenlethez jutunk. A két a c a a c metsző egyenesből álló másodrendű görbe egyenletét kaptuk tehát. Forgassuk meg ezt az egyenespárt a z-tengely körül. El kell végeznünk az x 2  x 2  y 2 helyettesítést. Így adódik a forgáskúp egyenlete Legyen a metsző egyenespár az [x, z]-síkban adott a z 

x2 y 2 z 2   0 a2 a2 c2

Az 1.32. ábrán az

x2 y 2 z 2    0 egyenletű forgáskúp látható. 4 4 9

1.32.ábra. Forgáskúp képe a = 2, c = 3 esetén.

Dr. Hanka László

90



1.3.5. Térbeli merőleges affinitás A síkbeli merőleges affinitás mintájára (1.2.4. pont) értelmezzük a térbeli merőleges affinitást. Definíció: A térbeli merőleges affinitás egy olyan transzformáció amely egy S sík pontjait helyben hagyja, ez a sík az affinitás alapsíkja, a síkra a T pontban emelt merőleges egyenes egy P 'T   ahol a  nullától P pontjához pedig azt a P' pontot rendeli, amelyre igaz, hogy PT különböző valós szám az affinitás aránya. Ha a  negatív szám akkor értelmezés szerint a P és P' pontok az S sík által meghatározott különböző félterekben vannak. Az S síkra merőleges irányt az affinitás irányának nevezzük. Abban a speciális esetben amikor  = 1, az affinitás az identikus transzformáció, tehát a helybenhagyás, amikor pedig  = –1, az affinitás a síkra vonatkozó tükrözést jelenti. Vizsgáljuk meg, milyen hatással van egy felület egyenletére, ha az alakzatra alkalmazunk egy  arányú merőleges affinitást. Állítás: Ha egy térbeli alakzat egyenlete az F(x, y, z) = 0 általános egyenlet, a  affinitás alapsíkja az [x, y]-sík, akkor az alakzat affin képének egyenlete z  F  x, y,   0;  

Bizonyítás: A bizonyításhoz figyelembe kell vennünk, a definíciót. Ha az alapsík az [x, y]-sík , akkor az egymáshoz rendelt pontok harmadik koordinátájára értelmezés szerint teljesül, hogy z' z'  ; azaz z '  z; tehát z  z 

Ha az affin kép egyenletét keressük, csak annyit kell tennünk ennek meghatározásához, hogy az z' z'  F(x, y, z) = 0 egyenletben z-t helyettesítjük -val. Az egyenlet alakja tehát F  x, y,   0 . Ha    itt elhagyjuk a felesleges, csupán a levezetés során a megkülönböztetés érdekében használt vesszőt, akkor az állításban szereplő egyenletet kapjuk. ■ Értelem szerű módosítással, ha az alapsík az [x, z]-sík, és az affinitás aránya , iránya pedig az y-tengellyel párhuzamos irány, akkor az F(x, y, z) = 0 egyenlettel adott felület affin képnek az egyenlete  y  F  x, , z   0;    Az affinitást felhasználhatjuk többek között arra, hogy segítségével a már megismert forgásfelületekből újabb alakzatokat kapjunk.

Dr. Hanka László

91



1.3.5.1. Elliptikus paraboloid Ha az 1.3.4.1. pontban vizsgált z-tengelyű forgási paraboloidra alkalmazunk egy affinitást, amelynek alapsíkja az [x, z]-sík, akkor definíció szerint egy elliptikus paraboloidot kapunk. Az elnevezés magyarázatára még visszatérünk. Induljunk ki tehát a forgási paraboloid

x 2  y 2  2 pz egyenletéből. Legyen az affinitás aránya  

b . Ekkor a bevezetőben igazolt összefüggés szerint a

az affin kép egyenlete 2

 y  x    2 pz; b a 2

x2 

a2 2 y  2 pz; b2

Ha bevezetünk egy egyszerűsítő jelölést a c 

x2 y 2 2 p   z; a 2 b2 a 2

2p  0 definícióval, akkor kapjuk, hogy az a2

elliptikus paraboloid egyenlete

x2 y 2   cz; a 2 b2 amely a speciális a = b esetben természetesen megegyezik a forgási paraboloiddal. x2 y 2   z egyenletű paraboloid képe látható. Az 1.33. ábrán az 16 4

1.33. ábra. Elliptikus paraboloid képe

Dr. Hanka László

92


Analitikus Geometria Térjünk rá most az elnevezés indoklására. Tekintsünk olyan metsző síkot, amely párhuzamos az [x, z]-síkkal. Egy ilyen sík egyenlete y = y0 = állandó. A metsztegörbe egyenlete

z

1 2 y02 x  2; ca 2 cb

amely természetesen egy parabola egyenlete. Hasonló eredményt kapunk, ha az [y, z]-síkkal párhuzamos síkkal metszünk. Egy ilyen sík egyenlete x = x0 = állandó. Ekkor a metszetgörbe a

z

1 2 x02 y  2; cb2 ca

egyenlettel meghatározott parabola. A függőleges síkmetszetek tehát parabolák, innen az elnevezés, hogy "paraboloid". Vizsgáljuk most meg az [x, y]-síkkal párhuzamos síkmetszeteket. Ezen síkok egyenlete z = z0 = állandó. Az világos, hogy z0 < 0 esetén üres alakzatot kapunk, z0 = 0-ra pedig csak az origó elégíti ki az egyenletet. Ha azonban z0 > 0 a kapott

x2 y 2   cz0 ; a 2 b2 egyenlet nyilvánvalóan egy ellipszis egyenlete. Innen származik az elnevezésben szereplő x2 y 2   z paraboloid képe látható a vizsgált "elliptikus" jelző. Az 1.34. ábrán ugyancsak a 16 4 metszetgörbékkel.

1.34. ábra. Elliptikus paraboloid vízszintes és függőleges síkmetszetekkel

Dr. Hanka László

93


Analitikus Geometria Foglalkozzunk végül a paraboloid paraméterezésével. Induljunk ki az

x2 y 2   cz; a 2 b2 egyenletből. Ennek paraméterezéséhez támpontot adhat az a tény, hogy a vízszintes metszetek ellipszisek, amely görbe paraméterezését már ismerjük. Ha tehát rögzítjük a harmadik koordinátát az ellipszis paraméterezését kell visszakapnunk. Legyen tehát az u paraméter a sugár x-tengely pozitív felével bezárt szög, a másik paraméter pedig, amit jelöljön v legyen egyenlő a z koordinátával. Ekkor a fenti elliptikus hiperboloid egy lehetséges paraméterezése  x  a c v cos u     y  b c v sin u , u   0, 2 , v  R 0 zv  

Helyettesítéssel adódik, hogy ez a paraméterezés valóban kielégíti az egyenletet, ugyanis

x2 y 2  2  cv cos 2 u  cv sin 2 u  cv  cz; 2 a b Speciális esetben, amikor a = b tehát ha az elliptikus paraboloid forgási paraboloid, amelynek egyenlete x2 y 2   cz; a2 a2 a paraméterezés a következő  x  a c v cos u     y  a c v sin u , u   0, 2 , v  R 0 . zv  

Dr. Hanka László

94



1.3.5.2. Ellipszoid Ha az 1.3.4.2. pontban vizsgált forgási ellipszoidra alkalmazunk egy affinitást, amelynek alapsíkja az [x, y]-sík, akkor definíció szerint egy általános értelemben vett ellipszoidot kapunk. Induljunk ki a forgási ellipszoid x2 y 2 z 2   1 a 2 b2 b2

egyenletéből. Alkalmazzunk rá egy olyan affinitást, amelynek tehát alapsíkja az [x, y]-sík, aránya c pedig   . Ekkor a bizonyított tétel szerint a forgási ellipszoid affin képnek az egyenlete b 2

x2 y 2 1  z  x 2 y 2 1 b2 2 x2 y 2 z 2      1; 2  2  2 2 z  1; 2  2  2  1; a 2 b2 b2  c b  a b b c a b c Kaptuk tehát, hogy a 2a, 2b és 2c tengelyekkel adott ellipszoid egyenlete

x2 y 2 z 2    1; a 2 b2 c 2 Ha itt két tengely egyenlő, például a = b, akkor forgási ellipszoidot kapunk, ha pedig az teljesül, hogy a = b = c, akkor az egyenlet egy r = a sugarú gömböt határoz meg. x2 y 2 z 2    1 egyenletű ellipszoid látható az 1.35. ábrán. Az 16 9 4

1.35. ábra. Ellipszoid a = 4, b = 3, c = 2 esetén.

Dr. Hanka László

95


Analitikus Geometria Ennek a felületnek bármely koordinátasíkkal párhuzamos síkkal történő metszése ellipszist eredményez, kivéve két esetet. Tekintsük például az [x, y]-síkkal párhuzamos síkokat. Ezek z02 x2 y 2  1 egyenlete z = z0 alakú. Ha z0  c akkor nyilván 2 amiből az következik, hogy 2  2  0 a b c 2 z amely nyilvánvalóan üres alakzatnak az egyenlete. Ha z0  c akkor pedig 02  1 amiből az c 2 2 x y következik, hogy 2  2  0 amely két pontra teljesül, a P1  0,0, c  és P2  0,0, c  . Ha viszont a b z2 z0  c akkor nyilván 02  1 tehát az x és y koordináták közötti kapcsolatra az c z02 x2 y 2   1  2  0; a 2 b2 c egyenlet adódik amely egy ellipszis egyenlete. Hasonló mondható el a másik két koordinátasíkkal párhuzamos síkkal való metszetekről. A vizsgálatunk egy következménye, hogy az ellipszoid olyan korlátos alakzat, amely benne van egy olyan téglatestben amelynek szimmetriacentruma az origó és oldalhossza rendre 2a, 2b és 2c, vagyis az ellipszoid tengelyei. Az 1.36. ábrán a fenti ellipszoid néhány síkmetszetét ábrázoltuk.

1.36.ábra. Az a = 4, b = 3 és c = 2 tengelyekkel adott ellipszoid néhány síkmetszete

Dr. Hanka László

96


Analitikus Geometria Az ellipszoid paraméterezése könnyedén előállítható a gömb felhasználásával. A gömböt már paramétereztük az 1.3.3. pontban.

paraméterezésének

a

 x  r0 sin  cos    y  r0 sin  sin  ;  0,  ,  0, 2  z  r cos  0 

Az ellipszoid paraméterezése ebből úgy adódik, hogy felidézzük, az ellipszoid a gömb affin képe. Ennek megfelelően az x2 y 2 z 2    1; a2 a2 c2 egyenletű forgási ellipszoid egy paraméterezése  x  a sin  cos    y  a sin  sin  ;   0,  ,   0, 2  z  c cos  

amelyet tehát úgy kapunk, hogy az r = a sugarú gömbre alkalmazunk egy olyan térbeli merőleges c affinitást, amelynek alapsíkja az [x, y]-sík, tengelye a z-tengely és amelynek aránya . Ebből az a általános eset úgy adódik, hogy erre a forgási ellipszoidra alkalmazunk egy újabb affinitást, b amelynek alapsíkja az [x, z]-sík, tengelye a y-tengely és amelynek aránya . Ebből következően a az x2 y 2 z 2    1; a 2 b2 c 2 egyenletű ellipszoid egy lehetséges paraméterezése  x  a sin  cos    y  b sin  sin  ;   0,  ,   0, 2 .  z  c cos  

Dr. Hanka László

97



1.3.5.3. Egyköpenyű hiperboloid Egyköpenyű hiperboloidot kapunk, ha az egyköpenyű forgási hiperboloidra alkalmazunk egy olyan affinitást, amelynek alapsíkja például az [x, z]-sík. Induljunk ki az egyköpenyű forgási hiperboloid 1.3.4.3. pontban levezetett x2 y 2 z 2   1 a 2 a 2 b2

egyenletéből. Alkalmazzunk erre egy olyan affinitást, melynek alapsíkja az [x, z]-sík aránya c pedig   . Ekkor a bizonyított tétel szerint az egyköpenyű forgási hiperboloid affin képnek az a egyenlete 2

x2 1  y  z 2 x 2 1 b2 2 z 2 x2 y 2 z 2    1;  y   1;    1;   a 2 b2  c b  b2 a 2 b2 c 2 b2 a 2 c 2 b2 Ha a kapott egyenletben egyszerű betűcserét alkalmazunk - ugyanis mindegy, hogy az egyes tengelyeket milyen betűvel jelöljük -, akkor kapjuk az egyköpenyű hiperboloid általános egyenletét a szokásos alakban

x2 y 2 z 2    1; a 2 b2 c2 Az

x2 y 2 z 2    1 egyköpenyű hiperboloid képe látható az 1.37. ábrán. 4 9 16

1.37.ábra. Egyköpenyű hiperboloid a = 2, b = 3, c = 4 esetén. Dr. Hanka László

98


Analitikus Geometria Ennek síkmetszeteit vizsgálva érdekes felfedezést tehetünk. Az világos, hogy tetszőleges z = z0 valós szám esetén az [x, y]-síkkal párhuzamos, z = z0 egyenletű sík esetén a metszetgörbe az

z02 x2 y 2   1  ; a 2 b2 c2 egyenletű ellipszis. Ha azonban az [x, z] síkkal párhuzamos síkmetszeteket vizsgáljuk, az adódik, hogy a metszetgörbe y  b esetén az

x2 z 2 y2   1 2 ; a2 c2 b

z 2 x2 y 2    1; c 2 a 2 b2

egyenletű hiperbolapár, rendre attól függően, hogy y  b vagy y  b . Legyen most y  c akkor a metszetgörbe egyenlete

x2 z 2  x z  x z   2  0; azaz       0; 2 a c  a c  a c 

c c x illetve z   x . Ezek az egyenletek egyeneseket határoznak a a meg, összegezve egy metsző egyenespárt. Ezeket az egyeneseket a hiperboloid alkotóinak nevezzük. Elmondhatjuk tehát, hogy a hiperboloid függőleges síkmetszete a mondott feltételek x2 y 2 z 2   1 mellett egy metsző egyenespár. Az 1.38. ábrán látható egy ilyen egyenespár az 4 9 16 egyenletű hiperboloid esetén az y = 3 síkban. amely akkor teljesül, ha z 

1.38.ábra. Egyköpenyű hiperboloid néhány síkmetszete és két alkotó

Dr. Hanka László

99


Analitikus Geometria Az egyköpenyű hiperboloid paraméterezése úgy történhet, hogy tekintetbe vesszük a felületnek azt a fent bizonyított tulajdonságát, hogy a vízszintes metszetei ellipszisek, a függőleges metszetek pedig hiperbolák, és felhasználjuk, hogy az 1.2.5. és 1.2.6. pontok alapján mindkét görbe paraméterezését ismerjük. Ebből adódóan az

x2 y 2 z 2    1; a 2 b2 c2 egyenletű egyköpenyű hiperboloid egy lehetséges paraméterezése  x  a ch v cos u   y  b ch v sin u ; v  R, u  0, 2 .  z  c sh v 

helyettesítéssel könnyen látható, hogy ezek a koordinátafüggvények valóban kielégítik az egyenletet, ugyanis nevezetes azonosságok szerint

x2 y 2 z 2  2  2  ch 2 v cos2 u  ch 2 v sin 2 u  sh 2 v  ch 2 v  sh 2 v  1; 2 a b c Speciális esetként kapjuk az

x2 y 2 z 2    1; a2 a2 c2 egyenletű egyköpenyű forgási hiperboloid paraméterezését is.  x  a ch v cos u   y  a ch v sin u ; v  R, u  0, 2  z  c sh v 

Dr. Hanka László

100



1.3.5.4. Kétköpenyű hiperboloid Kétköpenyű hiperboloidot kapunk, ha a kétköpenyű forgási hiperboloidra alkalmazunk egy olyan affinitást, amelynek alapsíkja például az [x, z]-sík. Induljunk ki a kétköpenyű forgási hiperboloid 1.3.4.4. pontban levezetett x2 y 2 z 2   1 a 2 a 2 b2

egyenletéből. Alkalmazzunk erre egy olyan affinitást, melynek alapsíkja az [x, z]-sík aránya c pedig   . Ekkor ismét a bizonyított tétel szerint a kétköpenyű forgási hiperboloid affin a képnek az egyenlete 2

x2 1  y  z 2 x 2 1 b2 2 z 2 x2 y 2 z 2    1;  y   1;    1;   a 2 b2  c b  b2 a 2 b2 c2 b2 a 2 c2 b2 Ha a kapott egyenletben hasonlóan egy betűcserét alkalmazunk - ugyanis mindegy, hogy az egyes paramétereket milyen betűvel jelöljük -, akkor kapjuk a kétköpenyű hiperboloid általános egyenletét a szokásos alakban x2 y 2 z 2   1 a 2 b2 c 2

Ennek síkmetszeteit vizsgálva világos, hogy tetszőleges z = z0 valós szám esetén az [x, y]-síkkal párhuzamos, z = z0 egyenletű sík esetén a metszetgörbe az

z02 x2 y 2   1 2 ; a 2 b2 c egyenletű hiperbolapár. Ha azonban az [y, z] síkkal párhuzamos síkmetszeteket vizsgáljuk, az adódik, hogy a metszetgörbe x0  a esetén üres alakzat, ugyanis az y 2 z 2 x02   1  0 b2 c 2 a 2

egyenletet egyetlen (y, z) valós számpár sem elégíti ki. Ha x0  a akkor helyettesítéssel az y2 z 2 a2   1  0 b2 c 2 a 2

Dr. Hanka László

101


Analitikus Geometria egyenlet adódik, amelyet két pont, a P1  a,0,0  és P2  a,0,0  pontok elégítenek ki. Ha végül feltesszük, hogy x0  a akkor az y 2 z 2 x02   1  0 b2 c 2 a 2

egyenletet kapjuk, amely ellipszis egyenlete. x2 y 2 z 2 Az ábrán az    1 egyenletű kétköpenyű hiperboloid látható. Jól látszanak az 1.39. 4 9 16 ábrán az ellipszis metszetgörbék.

1.39. ábra. Kétköpenyű hiperboloid a = 2, b = 3, c = 4 esetén.

A kétköpenyű hiperboloid paraméterezése az egyköpenyű hiperboloidhoz hasonlóan könnyen megadható. Itt lényegében annyi a különbség az 1.3.5.3. pontbeli esethez képest, hogy a vízszintes metszetek hiperbolák és a függőleges metszetek ellipszisek. Ennek megfelelően az x2 y 2 z 2   1 a 2 b2 c 2

egyenletű kétköpenyű hiperboloid egy lehetséges paraméterezése megadható annak figyelembe vételével, hogy a felület két diszjunkt mértani helyből áll, az egyikre x > 0 a másikra x < 0 Dr. Hanka László

102


Analitikus Geometria teljesül. Ennek megfelelően a "pozitív" és negatív féltérbeli" felület paraméterezése rendre a következő.  x  a ch v  "pozitív féltérben ":  y  b sh v cos u ; v  R, u  0, 2 ;  z  c sh v sin u   x  a ch v  "negatív féltérben ":  y  b sh v cos u ; v  R, u   0, 2 ;  z  c sh v sin u 

Helyettesítéssel könnyen látható, hogy ezek a koordinátafüggvények valóban kielégítik az egyenletet, ugyanis nevezetes azonosságok szerint

x2 y 2 z 2  2  2  ch 2 v  sh 2 v cos2 u  sh 2 v sin 2 u  ch 2 v  sh 2 v  1; 2 a b c

Dr. Hanka László

103



1.3.5.5. Kúp Az 1.3.4.5. pontban tárgyaltuk a forgáskúp egyenletét. Azonban a kúp fogalma ennél tágabb, nem kizárólag a forgáskúpot jelenti. Kúpnak nevezzük általánosan azt a felületet, amelyet úgy kapunk, hogy kijelölünk a térben egy pontot és egy olyan zárt vagy nyílt síkgörbét, az ún. vezérgörbét, amelynek síkja nem tartalmazza a rögzített pontot. Ezek után pedig tekintjük az összes olyan egyenest amely illeszkedik az adott pontra továbbá illeszkedik a vezérgörbére is. Ezen egyenesek alkotják a kúp alkotóját. Bennünket most egy speciális eset, a forgáskúp affin képe érdekel. Alkalmazzunk az x2 y 2 z 2   0 a2 a2 c2 egyenletű forgáskúpra egy olyan térbeli affinitást, amelynek alapsíkja az [x, z]-sík és aránya b   . Ekkor az affin kép egyenlete a 2

x2 1  y  z 2 x2 1 a2 2 z 2 x2 y 2 z 2    0;  y   0;    0;   a2 a2  b a  c2 a 2 a 2 b2 c2 a 2 b2 c 2 Megkaptuk tehát egy általánosabb értelemben vett kúp egyenletét a szokásos alakban.

x2 y 2 z 2    0; a 2 b2 c2 Ha tekintjük ezen kúp egy vízszintes síkmetszetét, z = z0 egyenletű síkkel metszve, azt kapjuk, x 2 y 2 z02   hogy a metszetgörbe egyenlete ami ellipszis egyenlete. Az affinitással a 2 b2 c 2 x2 y 2 z 2    0 egyenletű származtatott kúp vezéralakzata tehát egy ellipszis. Az 1.40. ábrán az 4 16 9 kúp képe látható. A kúp paraméterezése ismét azonos logikával állítható elő. Használjuk fel, hogy a vízszintes síkmetszetek ellipszisek az alkotók pedig origón átmenő egyenesek. Ennek megfelelően az elliptikus kúp egy lehetséges paraméterezése  x  av cos u   y  bv sin u ; v  R, u   0, 2 ;  z  cv 

Helyettesítéssel ismét könnyen igazolhatjuk, hogy ezek a koordinátafüggvények valóban kielégítik az egyenletet, ugyanis a nevezetes azonosság szerint

Dr. Hanka László

104


Analitikus Geometria x2 y 2 z 2  2  2  v 2 cos2 u  v 2 sin 2 u  v 2  v 2  v 2  0; 2 a b c

1.40. ábra. Elliptikus kúp képe a = 2, b = 4, c = 3 esetén.

Dr. Hanka László

105



1.3.6. Másodrendű hengerek A henger szó hallatán általában a legegyszerűbb, kör keresztmetszetű hengerre, vagy körhengerre asszociálunk. A henger fogalma azonban általánosabb ennél. A hengert a következő módon szokás definiálni. Tekintsünk egy görbét, az ún. vezérgörbét vagy vezéralakzatot, és egy irányt, amely irány nem párhuzamos a vezérgörbe síkjával. Illesszünk a vezérgörbe minden pontjához egy olyan egyenest amely párhuzamos az adott iránnyal. Ezen egyenesek alkotják a henger palástját. Ebben a pontban olyan hengerekkel foglalkozunk, amelyek vezéralakzata másodrendű görbe. Így értelmezzük a másodrendű hengereket. A kanonikus helyzetet alapul véve induljunk ki egy kanonikus helyzetű másodrendű görbéből az [x, y]-síkban és az adott irány legyen párhuzamos a z-tengellyel. Ha a másodrendű görbe egyenlete F(x, y) = 0 egyenlettel adott, akkor az irány megválasztása miatt a henger pontjainak z-koordinátájától független a henger egyenlete, az x és y koordináták viszont kielégítik a vezéralakzat egyenletét. Ez azt jelenti, hogy a henger minden pontjának koordinátái kielégítik a vezéralakzat egyenletét. Ebből adódik, hogy egy másodrendű henger kanonikus egyenlete megegyezik a másodrendű görbe egyenletével, F(x, y) = 0. Ha a vezéralakzat rendre kör, parabola, ellipszis, hiperbola, kapjuk rendre a forgáshengert, a parabolikus, elliptikus és hiperbolikus hengert. Ezek egyenlete a kanonikus helyzetben rendre

x2 y 2 x2 y 2 x  y  r ; x  2 py; 2  2  1; 2  2  1; a b a b 2

2

2

2

Ilyen hengerek képe látható az alábbi 1.41. a), b), c) és d) ábrákon.

a) b) c) d) 1.41. ábra. a) Körhenger; b) Parabolikus henger; c) Elliptikus henger; d) Hiperbolikus henger

Az ábrán látható másodrendű hengerek egyenlete rendre a következő:

x2 y2 x2 x  y  16; x  y;   1;  y 2  1; 16 6, 25 4 2

2

2

A másodrendű hengerek paraméterezése a kanonikus esetekben igen egyszerű feladat ugyanis mint látható az egyenletekből, csak a vezérgörbéket kell paraméterezni, adott esetben az [x, y]-síkban és a harmadik koordináta pedig tetszőleges. Dr. Hanka László

106


Analitikus Geometria A síkgörbék paraméterezését már ismerjük, így azonnal felírhatjuk az

x 2  y 2  r 2 ; x 2  2 py;

x2 y 2 x2 y 2   1;   1; a 2 b2 a 2 b2

egyenlettel adott körhenger, parabolikus henger, elliptikus henger és hiperbolikus henger egy lehetséges paraméterezését, amely rendre a következő  x  r cos u  körhenger :  y  r sin u ; u  0, 2 , v  R  zv 

 xu  u2  parabolikus henger :  y  ; u R,vR 2 p   z  v  x  a cos u  elliptikus henger :  y  b sin u ; u  0, 2 , v  R  zv   x  a ch u  hiperbolikus henger a pozitív féltérben:  y  b sh u ; u  R , v  R z  v   x  a ch u  hiperbolikus henger a negatív féltérben :  y  b sh u ; u  R , v  R  zv 

Dr. Hanka László

107



1.3.7. Hiperbolikus paraboloid (nyeregfelület) A paraboloidok két képviselőjével már találkoztunk, a forgási és az elliptikus paraboloiddal. Létezik azonban még egy, mind az elmélet mind a gyakorlat szempontjából fontos másodrendű felület, amelynek síkmetszetei parabolák, ezért paraboloidnak nevezzük, de az említettektől lényegesen eltér. Ezt nem lehet sem forgásfelületként értelmezni, sem pedig már megismert alakzatokból affinitással előállítani. Egy korábbiaktól eltérő módon kell származtatnunk a felületet. A kanonikus helyzetű alakzat értelmezésével és egyenletének levezetésével foglalkozunk ebben a pontban. Tekintsünk egy parabolát az [x, z]-síkban, amelynek tengelye a z-tengely, és ezen tengely iránya a z-tengely pozitív iránya, tehát mondhatjuk azt is az analízis fogalmait használva, hogy egy "alulról nézve konvex" parabolát tekintünk alapnak. Legyen ennek egyenlete z

1 2 x 2 p1

Tekintsünk most egy másik parabolát az előzőre merőleges [y, z]-síkban, amelynek tengelye ugyancsak párhuzamos a z-tengellyel, de tengelyének iránya a z-tengely negatív irányával egyezik meg, tehát ez egy "alulról nézve konkáv" paraboláról van szó. Legyen ennek egyenlete az [y, z]-síkban 1 2 z y 2 p2 Tegyük végül a következőt. Toljuk el ez utóbbi parabolát úgy hogy síkja mindvégig párhuzamos marad az [y, z]-síkkal, tengelypontja pedig illeszkedik az elsőként definiált parabolára. Az ilyen módon származtatott felületet nevezzük hiperbolikus paraboloidnak vagy nyeregfelületnek. Vezessük le ennek egyenletét. Az egyenlet egyszerűen úgy kapható, ha a kanonikus helyzetnek 1 2 1 2 megfelelő z   y egyenletben figyelembe vesszük, hogy a parabolát eltoltuk a z  x 2 p2 2 p1

 1 2 x  koordinátákkal adott pontban került. Ha az mentén, tehát a tengelypontja az  x, 0, 2 p  1  eltolást figyelembe vesszük, akkor az. 1.2.10. pontban tárgyalt koordinátatranszformációk című 1 2 1 2 1 2 1 2 pont szerint az eltolt parabola egyenlete z  x  y azaz z  x  y . Ha a p 2 p1 2 p2 2 p1 2 p2 paraméter helyett bevezetjük az egyenletekben szokásosabb a és b paramétereket, akkor kapjuk a hiperbolikus paraboloid egyenletét a szokásos formában.

x2 y 2  z a 2 b2

Dr. Hanka László

108


Analitikus Geometria Az 1.42. ábrán az értelmezésben követett logikának megfelelően ábrázoltunk néhány parabolát az x2 y 2   z felületen. 2 4

1.42. ábra. A hiperbolikus paraboloid származtatása parabolák segítségével.

A fentiekből nyilvánvaló, hogy a felület [y, z]-síkkal párhuzamos síkkal történő elmetszésével parabolák adódnak. Ez látható az ábrán. Azonban az is igaz, hogy az [x, z]-síkkal párhuzamos síkmetszetek is parabolák. Egy ilyen sík egyenlete ugyanis y = y0 = állandó alakú. Helyettesítsük ezt a levezetett egyenletbe. A helyettesítés az

z

x 2 y02  a 2 b2

egyenletre vezet amely nyilvánvalóan ugyancsak parabola egyenlete. Tekintsük, most a felület [x, y]-síkkal párhuzamos síkmetszeteit. Egy ilyen sík egyenlete z = z0 = állandó alakú. Helyettesítéssel az x2 y 2   z0 a 2 b2 egyenletet kapjuk. Ha z0 = 0 akkor ez egy metsző egyenespár, ha viszont z0 különbözik nullától, akkor egy hiperbolapár egyenletét kapjuk. Ha z0 > 0 akkor a hiperbola egyenlete x2 y2   1 , melynek valós tengelye az x-tengelyen van és nagysága z0 a , képzetes z0 a 2 z 0 b 2 tengelye pedig

Dr. Hanka László

z0 b . Ha viszont z0 < 0 akkor az egyenlet

109

y2 x2   1 alakú, amikor is a z0 b 2 z 0 a 2


Analitikus Geometria valós tengely az y-tengelyen van és nagysága ábra illusztrál néhány vízszintes síkmetszetet.

z0 b , képzetes tengelye pedig

z0 a . Az 1.43.

1.43. ábra. A hiperbolikus paraboloid néhány vízszintes síkmetszete

Ezzel rámutattunk az elnevezés okára, tehát arra, hogy ezt a másodrendű felületet miért nevezik x2 y 2 hiperbolikus paraboloidnak. Végezetül az 1.44. ábrán bemutatjuk a z   egyenletű felület 2 4 képét.

1.44. ábra. Egy hiperbolikus paraboloid képe a  2, b  2 esetén

Dr. Hanka László

110


Analitikus Geometria Az ábra alapján világos, miért nevezik a hiperbolikus paraboloidot nyeregfelületnek. A nyeregfelületnek az egyköpenyű hiperboloidhoz hasonlóan van egy érdekes tulajdonsága, mégpedig az, hogy minden pontján áthalad két olyan egyenes amely teljes egészében a hiperbolikus paraboloidra illeszkedik. Ennek igazolásához alakítsuk szorzattá a kanonikus egyenletet. x 2 y 2  x y  x y          z a 2 b2  a b  a b  Legyen a felület egy tetszőleges pontja a P0  x0 , y0 , z0  pont és vizsgáljuk a P0 pontra illeszkedő, z-tengellyel párhuzamos

x y x0 y0 x y x0 y0     c1 , és     c2 , a b a b a b a b síkokat. Tekintsük ezen síkok és a nyeregfelület metszetét.  x0 y0   x y   x0 y0   x y  x y x y        c1     z,        c2     z, a b a b  a b  a b   a b  a b 

A kapott két egyenlet egy-egy síkot határoz meg amely azonban már nem párhuzamos a z-tengellyel, tehát az előbbi síkokkal rendre úgy metszik, hogy a metszésvonal egy-egy egyenes, amely a konstrukcióból adódóan illeszkedik a hiperboloidra. Ezeket az egyeneseket a nyeregfelület alkotóinak nevezzük. Az 1.45. ábrán látható az x2  y 2  z egyenletű hiperbolikus paraboloid P0 1,2, 3 pontjára illeszkedő két alkotó.

1.45. ábra. Nyeregfelület (1, 2, –3) ponthoz tartozó alkotói

Dr. Hanka László

111


Analitikus Geometria Ha a nyeregfelület paraméterezéséhez a korábbiakban alkalmazott logikát alkalmazzuk akkor az  x  av ch u   y  bv sh u ; v  R, u  R;  z  v2 

koordinátafüggvényekkel adott paraméterezést kapjuk. Könnyen látható, hogy ezek a függvények valóban kielégítik az

x2 y 2  z a 2 b2 egyenletet, azonban ez nyilván nem lehet a teljes felület paraméterezése, hiszen z = v2 miatt csak a z > 0 féltérbeli pontokat adhat. Megoldhatnánk a problémát úgy, hogy a negatív féltérre adunk egy másik paraméterezést, azonban ez nem "elegáns" megoldás, hiszen egyetlen összefüggő felületről van szó. Ezért más koordinátafüggvényekkel paraméterezünk. A nyeregfelület egy lehetséges paraméterezése például a következő

 x  a u  v    y  b  u  v  ; v  R , u  R;  z  4uv  Ebben az esetben már nincs előjelprobléma és helyettesítés igazolja, hogy ezek a koordinátafüggvények kielégítik a nyeregfelület egyenletét. Valóban teljesül, hogy

x2 y 2 2 2  2   u  v    u  v   u 2  2uv  v 2  u 2  2uv  v 2  4uv  z . 2 a b

Dr. Hanka László

112



1.3.8. Térbeli koordinátatranszformációk Az 1.2.10. pontban részletesen megvizsgáltuk, hogyan módosul egy másodrendű görbe egyenlete, ha a koordinátarendszert elforgatjuk, eltoljuk. A síkbeli vizsgálatoknál szokásos módon, a forgatás centrumaként az origót választottuk és megadtuk azt a φ szöget, amellyel a koordinátarendszert elforgatjuk a kezdeti {i, j} ortonormált bázisvektorokkal adott rendszerhez képest, és erre a megadott szögre határoztuk meg a transzformáció mátrixát. A térbeli vizsgálataink lényegében ugyanezt a kérdést célozzák, de a síkbeli esettől eltérően, a forgatást nem szögekkel adjuk meg, hanem úgy hogy a kezdeti {i, j, k} ortonormált bázis helyett választunk egy másik ortonormált bázist, melyet például {b1, b2, b3} jelöl, és azt a kérdést tesszük fel, hogy egy adott másodrendű felület egyenlete hogyan alakul, ha azt az utóbbi bázisban, illetve ezen bázis által meghatározott koordinátarendszerben írjuk fel. Térjünk tehát át az eredeti {i, j, k} ortonormált bázis által meghatározott (x, y, z) koordinátarendszerről a {b1, b2, b3} bázis által meghatározott (, , ) koordinátarendszerre. A koordinátatranszformáció egy lineáris egyenletrendszerrel adható meg például az  x  b11  b21  b31   y  b12  b22  b32 z  b   b   b  13 23 33 

alakban, ahol az együtthatók nyilván attól függenek, hogy milyen irányban és mekkora szöggel forgattuk el a koordinátarendszert, azaz milyen bázisra tértünk át. Ez az összefüggés mátrixjelölésekkel sokkal egyszerűbben írható. Az áttérés az

x  Qξ egyenlőséggel is megadható, ahol x   x, y, z  és ξ  , ,   továbbá a Q mátrix komponensei éppen az előző egyenletrendszer együtthatói. Ha a mátrixszorzás definíciójára gondolunk, és a Q mátrixot oszlopvektorainak hangsúlyozásával a T

T

| |  Q  b1 b 2  | |

|  b3  | 

formában írjuk, akkor világos, hogy az x vektor előállítása x  b1  b2  b3 , ami azt jelenti, hogy az x vektor előállítását kapjuk az új bázisban, tehát a Q mátrix oszlopvektorai éppen az új {b1, b2, b3} ortonormált bázis bázisvektorai. Mivel ezek a vektorok páronként ortogonálisak és egységnyi hosszúak, ebből értelmezés szerint adódik, hogy a Q egy ortogonális mátrix. Ha tehát egy másodrendű felület egyenletét egy másik bázisban szeretnénk felírni, nem kell más t tenni, mint alkalmazni az x  Qξ transzformációt. Az 1.2.10. pontban már felhasználtuk, hogy ekkor az x vektor transzponáltja xT  ξT QT  ξT Q1 alakban írható. Ennek figyelembe vételével már előállítható a transzformált egyenlet. Dr. Hanka László

113


Analitikus Geometria Példaképpen tekintsük egy ellipszoid x2 y 2 z 2   1 a 2 b2 c 2

egyenletét. Egyszerűbb jelölést alkalmazva az egyenletet az Ax2  By 2  Cz 2  1 alakban írhatjuk. Világos, hogy ez az egyenlet mátrixműveletekkel is felírható az

x

 A 0 0   x z   0 B 0   y   1  0 0 C   z 

y

formában. Tovább egyszerűsítve a jelöléseket, ha a formulában szereplő diagonális mátrixot D jelöli, akkor az ellipszoid egyenlete xT Dx  1 alakot ölti. Alkalmazzuk most erre az x  Qξ és

xT  ξT QT formulákkal megadott koordinátatranszformációt. Azt kapjuk, hogy

xT Dx  ξT QT DQξ  1 Ezzel előállítottuk az ellipszis egyenletét a (, , ) koordinátarendszerben. Ha figyelembe vesszük az x  Qξ transzformáció lineáris egyenletrendszerrel megadott alakját világos, hogy helyettesítés után a (, , ) változóknak egy olyan másodfokú kifejezését kapjuk, amely ezen koordinátáknak nem kizárólag a négyzeteit tartalmazza, hanem a páronkénti szorzatok is előfordulhatnak, vagyis a transzformált egyenlet általános alakja a következő

2  2   2         0 Ha az általánosság szem előtt tartásával erre a koordinátarendszerre még egy eltolást is alkalmazunk, amelyet az x1    0 , x2   0 , x3     0 formulák definiálnak, akkor ezek helyettesítésével olyan egyenlet adódik az (x1, x2, x3) koordinátarendszerben, amelyben a változók négyzetén és páronkénti szorzatain kívül még az első hatványai is szerepelnek. ax12  bx22  cx32  2dx1 x2  2ex1 x3  2 fx2 x3  gx1  hx2  kx3  m  0

Ha mátrix formalizmust használunk, az egyenlet az

 x1

x2

a x3   d  e

d b f

e   x1  f   x2    g c   x3 

 x1  h k   x2   m  0  x3 

formát nyeri. Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha nem egy ellipszoid, hanem bármely más másodrendű felület egyenletéből indulunk ki. Ez tehát a legáltalánosabb alakja egy másodrendű felület egyenletének. Dr. Hanka László

114


Analitikus Geometria 1.10.Példa: Határozzuk meg az

x2 y 2   z2  1 4 9 ellipszoid egyenletét abban a koordinátarendszerben, amelynek bázisvektorai a  1       6    1   b1 , b 2 , b3     ,  6    2       6  

1   1    3   2   1   1   ,   3   2  1   0     3  

vektorok. Az könnyedén ellenőrizhető, hogy ez a bázis valóban ortonormált, minden vektor hossza egységnyi és bármely kettő skaláris szorzata zérus. A fentiek szerint legyen a Q ortogonális mátrix az a mátrix melynek oszlopvektorai ezek a bázisvektorok és végezzük el az x  Qξ koordinátatranszformációt. Ekkor, mint láttuk, az ellipszoid egyenlete ξT QT DQξ  1 alakú. Konkrét numerikus értékekkel a transzformált egyenlet alakja     T T ξ Q DQξ           

1

1

6 1

6 1

3 1

3 1

2





2

2  1  6  4  1   0 3    0 0   

 1 0 0  6   1 1 0   9 6  0 1  2    6

1 3 1 3 1 3

1   2     1      1 2      0  

Ha elvégezzük el a számításokat, azt kapjuk, hogy az ellipszis egyenlete a (, , ) koordinátarendszerben a következő 157 2 49 2 13 2 59 18 5 12 5 6             1 216 108 72 384 216 108

Ha még alkalmaznánk egy eltolást is, akkor az egyenletben a koordináták elsőfokon is szerepelnének. Ezt azonban már nem tesszük, mert a célunk ebben a pontban csak az volt, hogy illusztráljuk, milyen hatással van egy koordinátatranszformáció egy másodrendű felület egyenletére. Eredményünk tehát az, hogy egy másodrendű felület egyenlete a legáltalánosabb esetben xT Ax  aT x  a0  0

alakú, ahol A egy harmadrendű szimmetrikus mátrix.

Dr. Hanka László

115



1.3.9. Térbeli főtengely transzformáció Ebben a pontban az előző, 1.3.8. pontbeli vizsgálatok során feltett kérdést fordított logikával elemezzük. Tegyük fel, hogy adott egy másodrendű felület egyenlete xT Ax  aT x  a0  0

alakban, ahol tehát A egy harmadrendű szimmetrikus mátrix, a másodrendű felület mátrixa. Az világos, hogy minden a koordinátákban másodfokú egyenlet felírható ilyen módon, egy szimmetrikus mátrix segítségével, csak annyit kell tenni, hogy a "vegyes szorzatok" együtthatóit osztjuk 2-vel és a főátlóra szimmetrikusan írjuk a mátrixba. 1.11.Példa: Írjuk fel a

10 x2  5 y 2  3z 2  6 xy  8xz  14 yz  5x  8z  4  0 másodfokú egyenletet xT Ax  aT x  a0  0 alakban. Ha figyelembe vesszük a mondottakat, írhatjuk, hogy az egyenlet ekvivalens alakja

x

y

10 3 4   x   x     z   3 5 7   y   5 0 8  y   4  0  4 7 3  z   z 

Vizsgálataink során tehát elég ha szimmetrikus mátrixszal felírt másodrendű egyenleteket elemzünk. Az előző pontban tehát kiderült, hogy minden másodrendű felület egyenlete a legáltalánosabb esetben az xT Ax  aT x  a0  0 formában írható. Mivel minden másodrendű felületre ez igaz, nem lehet "ránézésre" egyértelműen eldönteni, hogy milyen típusú másodrendű felületről van szó. Azt a kérdést tesszük fel, most fordított logikával, hogy ha adott egy másodrendű felület egyenlete xT Ax  aT x  a0  0 alakban, akkor hogyan lehet eldönteni, hogy milyen felületről van szó, illetve pontosabban, hogyan lehet előállítani azt a bázist, amely által meghatározott koordinátarendszerben az adott felület kanonikus helyzetű, tehát amelyben egyenlete az 1.3.3-1.3.7. pontokban megismert alakok valamelyikét veszi fel. Továbbá az a kérdés is felmerül, hogy létezik-e még olyan felület, amelynek egyenlete a koordináták másodfokú függvénye és amelyet a jelzett pontokban nem tárgyaltunk. Definíció: (Másodrendű felület definíciója) Másodrendű felületnek nevezzük azt az alakzatot, amelynek egyenlete ekvivalens átalakításokkal az a11 x2  a22 y 2  a33 z 2  2a12 xy  2a13 xz  2a23 yz  a1 x  a2 y  a3 z  a0  0

Dr. Hanka László

116


Analitikus Geometria alakra hozható, ahol kikötjük, hogy az aij együtthatók mindegyike egyszerre nem lehet zérus, hiszen akkor nem másodfokú az egyenlet tehát nem másodrendű a felület. A mátrixelmélet fogalmainak és tételeinek alkalmazásához célszerű ezt az egyenletet mátrixos jelölésekkel is felírni. Az egyenlet ekvivalens alakja a következő.

x

y

 a11 z   a12  a13

a12 a22 a23

a13   x  a23   y    a1 a33   z 

a2

x a3   y   a0  0  z 

Hozzárendeltünk ezáltal a másodrendű felülethez egy harmadrendű szimmetrikus mátrixot, amelyet a másodrendű felület mátrixának nevezünk. Tovább egyszerűsíthetjük a jelöléseket az alábbi definíciókkal.  a1   x  a11 a12 a13      x   y  ; a   a2  ; A   a12 a22 a23  ;  a3   z   a13 a23 a33  Ezekkel a felület egyenlete a fentiekben már előállított alakot ölti. xT Ax  aT x  a0  0

Ennek az összegnek a homogén másodfokú része az A szimmetrikus mátrixszal definiált kvadratikus alak.

Q  x   x Ax   x T

y

 a11 z   a12  a13

a12 a22 a23

a13   x  a23   y   a11 x 2  a22 y 2  a33 z 2  2a12 xy  2a13 xz  2a23 yz a33   z 

Vizsgálataink során ennek alapvető szerepe lesz, többször hivatkozunk majd ezen kvadratikus alak pozitív-, negatív definit, stb. tulajdonságaira. Az A mátrix szimmetrikus, ezért minden sajátértéke valós és minden esetben létezik három ortogonális sajátvektora. Normáljuk ezeket a sajátvektorokat, azaz válasszunk olyan sajátvektorokat, amelyek egységnyi hosszúságúak. Legyen ez a három sajátvektor s1, s2 és s3. Alkalmazzunk egy bázistranszformációt, az ortonormált {i, j, k} bázisról térjünk át az ugyancsak ortonormált {s1, s2, s3} bázisra, ügyelve arra, hogy az új bázisvektorok a növekvő indexek sorrendjében jobbsodrású koordinátarendszert definiáljanak. Az s1, s2 és s3 ortonormált sajátvektorokból, mint oszlopvektorokból képezett modálmátrix a következő

| | Q  s1 s 2  | | Dr. Hanka László

117

| s3  |  Óbudai Egyetem Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar

Analitikus Geometria Alkalmazzunk most egy bázistranszformációt, térjünk át az (x, y, z) koordinátákról a Q modálmátrixszal definiált transzformációval a (, , ) koordinátákra. Ezt a transzformációt a

 x    Qξ  x; ahol x  y ; ξ   ;      z    mátrixszorzással értelmezzük. Az x vektor transzponáltjára már az 1.2.10. pontban is szükség volt. T xT   Qξ   ξT QT  ξT Q1 Helyettesítsük most a bázistranszformáció formuláit a másodrendű felület egyenletébe. xT Ax  aT x  a0  ξT Q1AQξ  aT Qξ  a0  0

A másodrendű felület mátrixa a Q1AQ formula szerint transzformálódik, ahol a Q mátrix oszlopvektorai a sajátvektorok. A sajátértékek elméletéből tudjuk, hogy ez a szorzat éppen azzal a diagonális mátrixszal egyenlő, amelynek főátlójában a sajátértékek állnak, más szóval ezzel a bázis transzformációval diagonalizáltuk az A mátrixot. A korábbi jelöléseink szerint a sajátértékekből képezett diagonális mátrixot  jelöli. A

1 0 Q AQ  Λ   0  2  0 0 1

0 0  ; 3 

formula szerint a másodrendű felület mátrixa éppen a sajátértékekből képezett diagonális mátrix. Így az új bázis, tehát a sajátvektorok által definiált koordinátarendszerben a másodrendű felület egyenlete vektori alakban a következő ξT Λξ  aT Qξ  a0  0

Ha jelölésekkel hangsúlyozni szeretnénk a mátrixok és vektorok koordinátáit, akkor az

1 0      0  2  0 0

0   0     a1 a2   3   

 s11 a3   s12  s13

s21 s22 s23

s31     s32    a0  0   s33   

egyenletet kapjuk. Ha elvégezzük a mátrixműveleteket, akkor a másodrendű felület egyenlete a  1 2  22  3 2   a1s11  a2 s12  a3 s13     a1s21  a2 s22  a3 s23     a1s31  a2 s32  a3s33    a0  0

Dr. Hanka László

118


Analitikus Geometria alakot veszi fel. Ebben már nem szerepelnek a koordináták vegyes szorzatai. Ha itt alkalmazunk egy újabb koordinátatranszformációt, egy alkalmas eltolást, akkor elérhető, hogy az egyenletben ne szerepeljenek elsőfokú tagok, csak a koordináták négyzetei. Ehhez nem szükséges mást tenni mint teljes négyzetté kiegészíteni. A számítások egyszerűsítése érdekében átmenetileg bevezetjük az   aT s1  a1s11  a2 s12  a3 s13 ,   aT s2  a1s21  a2 s22  a3s23 és   aT s3  a1s31  a2 s32  a3 s33 jelöléseket. Így ha egyik sajátérték sem zérus a teljes négyzetté kiegészítés egyszerűbb formulákkal az alábbi módon végezhető el

 1 2   2 2  3 2        a0            1   2      2  2      3   2     a0  1  2  3     2

2

2

     2   2   2  1                a0  0    2 3 21  41 2 2  4 2 2 3  4 3    A következőt egyenletet kapjuk tehát 2

2

2

         2 2 2 1             a    0    2 3 0 2  2  2  4  4  4   1   2  3  1 2 3  Ez az egyenlet definiálja is azt a transzformációt, amely ahhoz szükséges, hogy a felület egyenletében ne legyenek elsőfokú tagok. Vezessük be az új (x1, x2, x3) koordinátákat és egy újabb egyszerűsítő jelölést a következő értelmezéssel

x1   

   2 2 2 ; x2    ; x3    ; c  a0    ; 21 2 2 23 41 4 2 43

Ez a koordináta transzformáció valóban egy eltolást definiál. Ezen transzformáció eredményeképpen a másodrendű felület egyenlete az alábbi 1 x12  2 x22  3 x32  c  0

A másodrendű felület egyenlete tehát négyzetösszeggé transzformálható. Ki kell még térnünk arra az esetre amikor egy vagy két sajátérték zérus, például 3  0 vagy  2  3  0 (mindhárom sajátérték nem lehet zérus, mert akkor a felület mátrixa a nullmátrix lenne, akkor pedig a felület nem másodrendű). Ebben az esetben a felület egyenletét úgy kapjuk, hogy a fenti átalakítások során rendre a  illetve az  és  változóknál nem végezzük el a teljes négyzetté kiegészítést, csak jelölést módosítunk, tehát az egyenletek rendre a következők.

1 x12   2 x22  x 3 c  0; 1 x12  x2  x3  c  0;

Dr. Hanka László

119


Analitikus Geometria Alkalmazzuk a bemutatott eljárást konkrét numerikus példában. 1.12.Példa: Határozzuk meg milyen másodrendű felületet határoz meg a következő egyenlet.

2 x2  2 y 2  5z 2  2 xy  2 x  4 y  4 z  2  0 A felület egyenlete mátrixjelölésekkel a következő.

x

y

2 1 0   x   x     z  1 2 0   y    2 4 4  y   2  0  0 0 5  z   z 

Most meghatározzuk a felület mátrixának sajátértékeit. A 1 0  2   2  det  1 2 0    5     2     1   3   2  17  15  0  0 0 5   





karakterisztikus egyenlet megoldásai a következők: 1  1, 2  3, 3  5 . A harmadfokú egyenlet például úgy oldható meg, hogy "észrevesszük", az 1 valós szám gyöke a polinomnak (egész gyökök csak a konstans tag osztói közül kerülhetnek ki), majd elosztjuk a harmadfokú polinomot a ( – 1) gyöktényezővel és a kapott másodfokú egyenletet megoldjuk. Most meghatározzuk a sajátvektorokat. a) 1 = 1 eset: 0   s1  1 1 0   s1  0 2  1 1  1 2 1 0   s2   1 1 0   s2   0   0 0 5  1  s3  0 0 6  s3  0

ahonnan s1  s2  0 azaz s2  s1 és s3  0. Tehát az első sajátértékhez tartozó sajátvektor és annak normált alakja rendre t  1 1 1       s1   t  , t  R \ 0 ; például s1   1 , normálva s1  1 ; 2   0   0   0 

b) 1 = 3 eset: 1 0   s1   1 1 0   s1  0 2  3  1 23 0   s2    1 1 0   s2   0   0 0 5  3  s3   0 0 8  s3  0 Dr. Hanka László

120


Analitikus Geometria ahonnan s1  s2  0 azaz s2  s1 és s3  0. Tehát a második sajátértékhez tartozó sajátvektor és annak normált alakja rendre

t  1  1  1       s 2   t  , t  R \ 0 ; például s 2  1  , normálva s 2  1 ; 2  0 0 0 c) 1 = –5 eset: 1 0   s1  7 1 0   s1  0 2  5  1 25 0   s2   1 7 0   s2   0   0 0 5  5  s3   0 0 0   s3  0

ahonnan 7s1  s2  0 és s1  7s2  0 azaz s1  s2  0 és s3 R tetszőleges. Tehát a harmadik sajátértékhez tartozó sajátvektor és annak normált alakja rendre  0  0 0 1       s3  0 , t  R \ 0 ; normált vektor például s3  0  , célszerűen s3   0 ; 2   t  1   2

Ezek alapján a kezünkben van a transzformáció ortogonális mátrixa 1 1 1  Q  1 1 2 0 0

  ; 2 

0 0

Könnyen látható, hogy az oszlopvektorok páronként ortogonálisak, mert a skaláris szorzatok értéke páronként zérus, a mátrix valóban ortogonális. Innen adódik a másodrendű felület egyenletének

1 1 1 0 0     1          0 3 0     2 4 4 1 1 2 0 0 5   0 0

0    0     2  0    2   

alakja. Már csak egy alkalmas eltolást kell alkalmazni, hogy az elsőfokú tagok eltűnjenek és megkapjuk a kanonikus egyenletet. Ehhez elvégezzük a mátrixműveleteket.

2  32  5 2  2  3 2 4  2  0 Most következik a teljes négyzetté kiegészítés, amellyel előáll a négyzetösszeg alak. Dr. Hanka László

121





2

2

2   2 1 2 3  2 4   2  3  3 2   5  4   2        3       5       2  0 2  2  2  2  5 5  2

 

2



2

Rendezés és összevonás után kapjuk, hogy 2

 2     3  2 2  





2

2

2 4   5      0 5 5 

Ha itt bevezetjük az új (x1, x2, x3) koordinátákat az

x1   

2 2 ; x2    2; x3    ; 2 5

értelmezéssel, akkor az egyenlet alakja x32 x12 x22 4 x  3x  5 x   , tehát    1 5 4  4   4         5   15   25  2 1

2 2

2 3

ha szorzunk –1-gyel kapjuk az alakzat kanonikus egyenletét 

x2 x12 x2  2  3 1 4  4   4         5   15   25 

amelyről már látható, hogy a másodrendű felület egy kétköpenyű hiperboloid. A bemutatott módszerrel bármely másodrendű felület egyenlete kanonikus alakra transzformálható. A következő pontban azt vizsgáljuk, megismertünk-e minden másodrendű felületet.

Dr. Hanka László

122



1.3.10. Másodrendű felületek osztályozása Induljunk ki egy másodrendű felület általános xT Ax  aT x  a0  0

egyenletéből, ahol tehát A egy harmadrendű szimmetrikus mátrix, a másodrendű felület mátrixa. Legyen az szimmetrikus A mátrix három valós sajátértéke 1 ,  2 , 3 . Az 1.1.10. pontban kiderült, hogy a másodrendű felület egyenlete, c helyett a –d jelet bevezetve, elhagyva az indexes jelölésmódot, az alábbi három alak egyikére transzformálható.

1  2  3

1 x 2   2 y 2   3 z 2  d ; 1 x 2   2 y 2  z  d ; 1 x 2  y  z  d ;

Három esetet különböztetünk meg. 1. eset: Az A mátrix definit, azaz pozitív vagy negatív definit. Ez azt jelenti, hogy mindhárom sajátérték különbözik 0-tól és rendre mind pozitív vagy mind negatív előjelű. Elég foglalkoznunk azzal az esettel, amikor mindhárom sajátérték pozitív, mert különben az egyenletet szorozva –1-gyel elérhető ez a helyzet. Ebben az esetben tehát a transzformációk eredménye az (1) egyenlet. a) Ha d > 0 akkor (1) egy ellipszoid (1.3.5.2. pont) speciális esetben gömb (1.3.3. pont) egyenlete. d-vel való osztással és jelölésmódosítással kapjuk, hogy x2 y 2 z 2   1 a 2 b2 c 2

b) Ha d = 0 akkor az (1) egyenletet csak egyetlen pont elégíti ki, ekkor tehát egy pontellipszoidot kapunk. x2 y 2 z 2   0 a 2 b2 c 2

c) Ha d < 0 akkor (1) egy üres alakzat egyenlete, hiszen egyetlen valós számhármas sem elégíti ki. x2 y 2 z 2    1 a 2 b2 c 2

2. eset: Az A mátrix indefinit. Ez azt jelenti, hogy mindhárom sajátérték különbözik 0-tól és a mátrixnak van pozitív és negatív sajátértéke is. Feltehetjük, hogy két pozitív és egy negatív

Dr. Hanka László

123


Analitikus Geometria sajátérték van, ellenkező esetben ismét –1-gyel való szorzással előáll ez a helyzet. Ebben az esetben a transzformációk eredménye ugyancsak az (1) egyenlet. a) Ha Ha d > 0 akkor (1) egy egyköpenyű hiperboloid egyenlete (1.3.5.3. pont). d-vel való osztással és jelölésmódosítással kapjuk, hogy x2 y 2 z 2   1 a 2 b2 c 2

b) Ha d < 0 akkor (1) egy kétköpenyű hiperboloid egyenlete (1.3.5.4. pont) x2 y 2 z 2   1 a 2 b2 c 2

c) Ha d = 0, akkor az egyenlet alakja x2 y 2 z 2   0 a 2 b2 c 2

amely egy másodrendű kúpot határoz meg (1.3.5.5. pont). 3. eset: Az A mátrix szemidefinit. Ez azt jelenti, hogy a mátrixnak van zérus sajátértéke. A zérus sajátértékek száma lehet egy vagy kettő. 3/1. eset. Elsőként vizsgáljuk az a szituációt, amikor egy darab zérus sajátértéke van, a másik két sajátérték egyező előjelű, például mindkettő pozitív. Ha a két nem nulla sajátérték negatív –1-gyel szorozva az egyenletet kapjuk a feltételi állapotot. Ebben az esetben a transzformációk eredménye a (2) egyenlet. a) Ha  = 0 és d = 0 akkor a kapott egyenlet jelölésmódosítással x2 y 2  0 a 2 b2

ami egy egyenesnek az egyenlete (1.3.1. pont). Ugyanis az egyenletet csak az x = y = 0 számpár elégíti ki, de mivel ez egy térbeli alakzat egyenlete z tetszőleges, ami tehát a z-tengely egyenlete. b) Ha  = 0 és d > 0 akkor a kapott x2 y 2  1 a 2 b2

egyenlet egy elliptikus henger egyenlete (1.3.6. pont). c) Ha  = 0 és d < 0 akkor a kapott x2 y 2   1 a 2 b2

Dr. Hanka László

124


Analitikus Geometria egyenlet egy üres alakzat egyenlete. d) Ha  ≠ 0 akkor d értékétől függetlenül, ha d ≠ 0 egy újabb eltolással, a (2) egyenlet az x2 y 2   cz a 2 b2

alakra transzformálható, ami egy elliptikus paraboloid egyenlete (1.3.5.1. pont). 3/2. eset. Most vizsgáljuk az a szituációt, amikor egy darab zérus sajátértéke van, a másik két sajátérték különböző előjelű, tehát egyik pozitív másik negatív. Ebben az esetben a transzformációk eredménye ugyancsak a (2) egyenlet. a) Ha  = 0 és d = 0 akkor a kapott egyenlet jelölésmódosítással x2 y 2  0 a 2 b2

ami a síkban egy metsző egyenespár, de mivel ez térbeli alakzat egyenlete és az egyenlet z-től független egy metsző, z-tengellyel párhuzamos síkpár egyenlete (1.3.2. pont). b) Ha  = 0 és d ≠ 0 akkor a kapott x2 y 2  1 a 2 b2

egyenlet egy hiperbolikus henger egyenlete (1.3.6. pont). c) Ha  ≠ 0 akkor d értékétől függetlenül, ha d ≠ 0 egy újabb eltolással, a (2) egyenlet az x2 y 2   cz a 2 b2

alakra transzformálható, ami egy hiperbolikus paraboloid egyenlete (1.3.7. pont). 3/3. eset. Végül vizsgáljuk az a szituációt, amikor két darab zérus sajátértéke van. Ebben az esetben a transzformációk eredménye a (3) egyenlet. a) Ha β = 0,  = 0 és d = 0 akkor az egyenlet alakja ismételt jelölésmódosítással x2 0 a2

amit az x = 0 valós szám elégít ki, de mivel ismét térbeli alakzatról van szó, y és z tetszőleges, tehát ez egy sík, az (y, z) koordinátasík egyenlete (1.3.2. pont). b) Ha β = 0,  = 0 és d > 0 akkor az egyenlet alakja a szokásos jelölésmódosítással

Dr. Hanka László

125


Analitikus Geometria x2 1 a2

amit az x = a és x = –a valós számok elégítenek ki, de mivel ismét térbeli alakzatról van szó, y és z tetszőleges, tehát ez egy (y, z) koordinátasíkkal párhuzamos síkpár egyenlete (1.3.2. pont). c) Ha β = 0,  = 0 és d < 0 akkor az egyenlet alakja a szokásos jelölésmódosítással x2  1 a2

ami üres alakzat egyenlete. d) Ha β ≠ 0,  = 0 és d értéke tetszőleges, akkor d ≠ 0 esetén egy ismételt eltolás alkalmazásával, az egyenlet alakja x2  cy a2

ami egy parabolikus henger egyenlete (1.3.6. pont). Ha fordítva β = 0,  ≠ 0 és d értéke tetszőleges akkor lényegében ugyanezt az egyenletet kapjuk, csak y helyett a z koordinátával felírva. e) Ha végül β ≠ 0,  ≠ 0 és d értéke tetszőleges, akkor pedig egy lineáris koordinátatranszformációval a y  z  c definíció szerint, lényegében ismét ugyanazt az egyenletet kapjuk. Ezzel a másodrendű felületek osztályozását befejeztük. Fény derült arra, hogy ha egy másodrendű felületet egy xT Ax  aT x  a0  0 alakú egyenlettel adunk meg, akkor a felület néhány "elfajuló" esettől eltekintve az 1.3. fejezet pontjaiban megismert felületek közül valamelyik, ilyen módon, a tanulmányozott felületektől lényegesen eltérő másodrendű felület nem létezik.

Dr. Hanka László

126



1.3.11. Forgáskúp síkmetszetei, kúpszeletek Az analitikus geometria fejezetének lezárásaképpen, felhasználva a másodrendű görbékkel kapcsolatos ismereteket és a koordinátatranszformációkkal kapcsolatban mondottakat, megmutatjuk, hogy egy forgáskúp síkmetszetei nevezetes másodrendű görbék, ellipszis, parabola vagy hiperbola attól függően, hogy milyen a sík és a forgáskúp kölcsönös helyzete. Erre vonatkozólag szép szemléletes bizonyítások találhatók a szakirodalomban. Mi azonban, tekintettel arra, hogy a vizsgálataink során nagy hangsúlyt helyeztünk a koordinátatranszformációkra, az említett és az alábbiakban pontosan megfogalmazott tényeket analitikus módszerekkel fogjuk igazolni. Tétel: Ha egy forgáskúpot úgy metsszük el egy síkkal, hogy a sík metszi a forgáskúp összes alkotóját, akkor a metszetgörbe ellipszis, speciális esetben kör, ha a metsző sík a kúp pontosan egy alkotójával párhuzamos, akkor a metszetgörbe parabola, és ha a metsző sík a kúp pontosan két alkotójával párhuzamos, akkor a metszetgörbe hiperbola. Ez a tétel indokolja, hogy az említett másodrendű görbéket összefoglalóan kúpszeleteknek nevezzük. Bizonyítás: A tételt olyan módon igazoljuk, hogy elsőként tekintünk egy forgáskúpot, melynek egyenlete az (x, y, z) koordinátarendszerben x2 y 2 z 2   0 a 2 a 2 b2

majd ezt a kúpot elmetsszük a tételben említett síkokkal és meghatározzuk a metszetgörbe egyenletének analitikus alakját. Mivel azonban síkgörbék egyenletét keressük egy térbeli koordinátarendszerben, ezen metszetgörbék egyenletének előállításához, illetve azonosításához egy térbeli koordinátatranszformációt alkalmazunk úgy, hogy a transzformált (, , ) koordinátarendszerben a metsző sík párhuzamos legyen a [, ] koordinátasíkkal, tehát egyenlete  = állandó alakú. Így a metszetgörbe egy olyan egyenlettel lesz leírható amely a  és  koordináták közötti kapcsolatot ad meg, így a másodrendű görbék elméletének ismeretében már könnyedén megállapítható lesz a görbe jellege. A formulák és a számítások egyszerűsítése érdekében először feltesszük, hogy a forgáskúp egyenlete x2  y 2  z 2  0 alakú, ami azt jelenti, hogy az átellenes alkotók merőlegesek. A számítások logikája és az eredmények analízise pontosan így történik az általános esetben, de a bizonyítás így könnyebben elvégezhető. Az általános esetre a bizonyítás végén térünk rá. Az x2  y 2  z 2  0 egyenletű forgáskúp alkotói például az [y, z] síkban m = 1, –1 meredekségű egyenesek. Mivel a forgáskúpról van szó, a metsző sík helyzetének rögzítése során van némi szabadsági fokunk. Elég olyan síkokkal foglalkozni, amelyek párhuzamosak az x-tengellyel. Továbbá nyilvánvalóan olyan síkokat kell tekintenünk, amelyek nem illeszkednek az origóra, hiszen ezek kúppal való metszete vagy egyetlen pont, vagy egy egyenespár, ezeket a szituációkat már ismerjük. Egy ilyen síknak és az [y, z] síknak a metszésvonala egy egyenes, legyen ennek meredeksége m.

Dr. Hanka László

127


Analitikus Geometria Világos a következő: a) Ha ennek a metszésvonalnak az m meredeksége 1, akkor ez a sík párhuzamos a kúp pontosan egy alkotójával. b) Ha ennek a metszésvonalnak az m meredeksége kisebb, mint 1, akkor a sík metszi a kúp összes alkotóját. c) Ha ennek a metszésvonalnak az m meredeksége nagyobb, mint 1 akkor ez a sík a kúp pontosan két alkotójával párhuzamos.

a) b) c) 1.46. ábra. Forgáskúp síkmetszeteinek a vizsgálatához. Az a), b) és c) ábrákon a metsző sík rendre a kúp pontosan egy alkotójával párhuzamos, metszi az összes alkotót, pontosak két alkotóval párhuzamos.

Ennek megfelelően, azt fogjuk vizsgálni, hogy ha a koordinátarendszert úgy transzformáljuk, hogy az (x, y, z) rendszert elforgatjuk az x-tengely körül úgy, hogy természetesen az x-tengely képe saját maga, az y-tengely képének, az -tengelynek a meredeksége az [y, z]-síkban m, akkor hogyan írható fel a kúp egyenlete a kapott (, , ) koordinátarendszerben, ahol természetesen a -tengely a z-tengely képe. Ehhez a transzformációhoz elsőként meg kell adnunk a (, , ) rendszer egy ortonormált bázisát. Tekintettel az x-tengely körüli forgatásra, világos, hogy az alábbi vektorok a kirótt feltételeket teljesítik. 1  0  0  1 1     m ; b1  i  0 ; b 2   1  ; b3    2 2 m 1   m 1   0 m    1 

Ebből már adódik a koordinátatranszformáció mátrixa.  m2  1 0 0    1 Q 1 m  ;  0 2 m 1  m 1   0 

Transzformáljuk most a forgáskúp egyenletét ezzel a transzformációs mátrixszal. Mivel nyilvánvalóan

Dr. Hanka László

128


Analitikus Geometria 1 0 0   x  y z  0 1 0   y   0; 0 0 1  z 

x  y  z  x 2

2

2

ezért az xT Ax  ξT Q1AQξ  0 transzformációs képlet szerint a kúp egyenlete a (, , ) koordinátarendszerben a következő.  m 2  1 0 0  1 0 0   m 2  1 0 0         1 ξT Q 1AQξ  2       0 1 m  0 1 0   0 1 m    0 m 1  0 m 1  0 0 1  0 m 1        

Ha itt elvégezzük a mátrixok szorzását azt kapjuk, hogy

 m2  1 0 1  T 1 ξ Q AQξ  2       0 1  m2 m 1  0 2m  Tehát eltekintve a konstans eredményeképpen a következő.

m

2

szorzótól,

a

metszetgörbe

0    2m    0 m2  1    egyenlete

a

transzformáció

 1 2  1  m2  2   m2  1  2  4m  0;

Azt fogjuk megvizsgálni, milyen görbét kapunk, ha különböző m meredekségek esetén ezt a kúpot metsszük egy olyan síkkal amely párhuzamos a [, ] síkkal. a) Tegyük fel, hogy m = 1, és legyen a metsző sík egyenlete  = 0 ≠ 0. Ebben az esetben tehát a sík párhuzamos a kúp pontosan egy alkotójával. Helyettesítéssel adódik, hogy 22  4m 0  0 ez pedig éppen egy parabola egyenlete.

1.47. ábra. Forgáskúp síkmetszete parabola abban az esetben amikor a sík a kúp pontosan egy alkotójával párhuzamos Dr. Hanka László

129


Analitikus Geometria b) Tegyük fel, hogy m < 1. Ekkor a [, ] síkkal párhuzamos  = 0 ≠ 0 egyenletű sík a kúp minden alkotóját metszi. Rendezve a helyettesítéssel kapott egyenletet adódik, hogy

m

2

 1 2  1  m2  2  4m 0  1  m2   02 ;

Annak érdekében, hogy kiderítsük ez milyen görbének az egyenlete, az  változót tartalmazó tagokban teljes négyzetté egészítünk ki.

m

2

4m 0    1 2  1  m 2   2     1  m 2   02 ; 2 1 m  

2 2  m  1   1  m     12mm 02   14m m20  1  m2   02 ; 2

2

2

2

2m 0  4m 2  02 2 2 2  2 2 m  1   1  m    1  m        1  m2    0 1  m2 ; 2

Ha itt bevezetjük az    

2m 0 definícióval az ' új változót akkor a metszetgörbe egyenlete 1  m2

az

4m2 02  m  1   1  m    1  m    1  m2 ; 2

2

2

2

2

2 0

alakot ölti. Mivel a feltétel szerint m < 1 a bal oldalon minden együttható pozitív és nem nulla, és ugyanezen ok miatt a jobb oldal is pozitív, tehát ez egy ellipszis egyenlete, ahogyan az állításban szerepel.

1.48. ábra. Forgáskúp síkmetszete ellipszis abban az esetben amikor a sík a kúp minden alkotóját metszi

Dr. Hanka László

130


Analitikus Geometria c) Tegyük fel, hogy m > 1. Ekkor a [, ] síkkal párhuzamos  = 0 ≠ 0 egyenletű sík a kúp pontosan két alkotójával párhuzamos. Felhasználhatjuk a b) pontbeli eredményt, amely szerint a metszetgörbe egyenlete 4m2 02 2 2 2 2 2 2  m  1   1  m   1  m         0 1  m2 ; Szorozzuk ezt az egyenletet –1-gyel és rendezzük. Azt kapjuk, hogy

m

2

 1 2   m2  1 2   m2  1  02 

4m2 02 ; m2  1

Itt az m > 1 feltevés miatt a bal oldalon a két együttható ellentétes előjelű és egyik sem zérus, a jobb oldal pozitív. Ezen okok miatt ez egy hiperbola egyenlete, ahogyan az állításban szerepel.

1.49. ábra. Forgáskúp síkmetszete hiperbola abban az esetben amikor a sík a kúp pontosan két alkotójával párhuzamos

Végül vázoljuk az általános esetre vonatkozó bizonyítást. Legyen a forgáskúp egyenlete x2 y 2 z 2 a2 2 2 2    0  x  y  z 0 a 2 a 2 b2 b2

b b , meredekségű egyenesek. Az a a transzformációs képlet szerint a kúp egyenlete a (, , )

Ekkor a forgáskúp alkotói xT Ax  ξT Q1AQξ  0 koordinátarendszerben

Dr. Hanka László

az [y, z] síkban m 

131


Analitikus Geometria    m 2  1 0 0  1 0  0  m2  1 0 0         1 ξT Q 1AQξ  2       0 1 m  0 1 0  0 1 m    0 m 1  0 2  m 1   0 m 1       0 0  a2    b  

Ha itt elvégezzük a mátrixok szorzását azt kapjuk, hogy   m2  1 0  1 a2 ξT Q 1AQξ  2       0 1  m2 2  m 1 b  a2  0 m  m 2  b

Ismét eltekintve a konstans eredményeképpen a következő.

szorzótól,

a

    a2     m  m 2    0 b     a2   m2  2  b  0

metszetgörbe

egyenlete

a

transzformáció

2   2 a2  2  a2  2 a  2  m  1   1  m b2     m  b2    2m 1  b2    0;       2

2

Most azt kell vizsgálni, hogy a metsző sík és az [y, z]-sík metszésvonalának m meredeksége az b alkotó meredekséghez képest egyenlő, kisebb vagy nagyobb. Elvégezve a teljes négyzetté a kiegészítést és az egyenlet rendezését, az egyenlet alakja a következő. 2 2 2 2 2 m 0  a 2  b2   a 2  m2 2 m  0  a  b  2 2 2 a  2  m  1   1  m b2    b2  0  b2 b2  m2a2 ; ahol     b2  m2a2     2

Ennek az egyenletnek az analízisével egyszerűen eljuthatunk az állítás igazolásához az általános esetben. Pontosan ugyanolyan logikával, mint a fentiekben, kapjuk, hogy

b az egyenlet egy parabola egyenlete. a b b) Ha m  az egyenlet egy ellipszis egyenlete. a b c) Ha m  az egyenlet egy hiperbola egyenlete. a a) Ha m 

Ezzel az állítást maradéktalanul igazoltuk. ■

Dr. Hanka László

132


Többváltozós Függvények

2. fejezet TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK ANALÍZISE

Dr. Hanka László

133



Dr. Hanka László

134



2. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK 2.1. A többváltozós valós függvény fogalma A többváltozós valós függvények olyan függvények, amelyek két vagy több független változóhoz egy valós számot rendelnek. Fogalmazhatunk úgy is, hogy egy vektorhoz rendelnek skalárt. A bevezetésre kerülő fogalmak szemléltetése szempontjából különösen fontos a kétváltozós valós értékű függvények osztálya, ezért ezt a függvényosztályt tárgyaljuk a legrészletesebben. A fizikai és műszaki alkalmazások miatt továbbá nagyon fontosak azok a többváltozós függvények, amelyek a 3-dimenziós tér egy részhalmazán vannak értelmezve, tehát három valós változótól függenek, és valós értékűek. Ezek alkalmazásai például a villamosságtanban, hidrodinamikában és a hőtanban különösen nagy hangsúlyt kapnak. Ezen függvényosztály vizsgálatára is külön hangsúlyt helyezünk. Az alábbiakban általában olyan halmazokat tekintünk értelmezési tartománynak, amelyek összefüggő és nyílt halmazok. Az ilyen halmazokat tartománynak nevezzük. Speciális esetben értelmezünk függvényeket zárt intervallumok direkt szorzatán, azaz téglalapon, téglatesten, amelyek az egydimenziós intervallum általánosításai. Ezek a halmazok éppen olyan fontosak lesznek az alkalmazások során, elsősorban az integrálás témakörében. Többváltozós függvényeket nem a számegyenes egy részhalmazán, hanem a sík illetve a három esetleg több dimenziós tér egy részhalmazán értelmezzük. Ennek pontos megfogalmazását segítik elő az alábbi definíciók. Definíció: Legyen adott a tetszőleges A és B halmaz. Ezen két halmaz Descartes-féle szorzata jelenti azt a halmazt, melynek elemei mindazon rendezett párok, melyek első komponense az A második komponense pedig a B halmazhoz tartozik. A  B   a, b  a  A, b  B

Hasonló módon értelmezhetjük három vagy több halmaz Descartes-féle szorzatát. Az A1, A2, ..., An halmazok Descartes-szorzata az a halmaz, amely tartalmazza mindazon rendezett n-est, amelyek i-edik komponense az Ai halmazhoz tartozik. A1  A2  ... An   a1 , a2 ,..., an  ai  Ai , i  1, 2,..., n

Számunkra ez abban az esetben lesz fontos amikor a valós számok R halmazának önmagával képezzük a Descartes-szorzatát. Definíció: Az R  R halmaz, amelyet szokás az R2 szimbólummal is jelölni, az a halmaz amely tartalmazza mindazokat a rendezett párokat, amelyeknek mindkét komponense valós szám. Tehát

Dr. Hanka László

135


Többváltozós Függvények R 2  R  R   x1 , x2  x1  R, x2  R

Ezt a halmazt szokás azonosítani a síkkal. Ennek indoka az, hogy ha a síkban kitüntetünk egy Descartes-féle derékszögű koordinátarendszert, akkor minden ponthoz egyértelműen hozzá tudunk rendelni egy rendezett párt, a pont két koordinátáját, és fordítva minden rendezett pár a síkban egyértelműen meghatároz egy pontot. Tehát a két halmaz között egy oda-vissza egyértelmű függvénykapcsolat van. Hasonlóan értelmezzük az R  R  R halmazt, amelyet szokás szerint egyszerűbben R3 jelöl, amely tartalmazza mindazokat a rendezett hármasokat, amelyeknek minden komponense valós szám. Tehát R3  R  R  R   x1 , x2 , x3  x1  R, x2  R, x3  R

Ugyanolyan indokok miatt, mint R2 esetén, ezt a halmazt azonosítjuk a háromdimenziós térrel. Ezek mintájára, általánosan, az n-dimenziós teret Rn jelöli. R n  R  R  ...  R   x1 , x2 ,..., xn  xi  R, i  1, 2,..., n

Ezek után rátérhetünk a többváltozós függvény fogalmának értelmezésére. Definíció: Legyen D az R2 (tehát a sík) egy részhalmaza. Értelmezzük a D tartományon az f függvényt az alábbi definícióval

 x, y 

f : D  R;

f  x, y 

Ezt a függvényt kétváltozós valós függvénynek nevezzük. 2.1.Példa: Tegyük fel, hogy egy gyűjtőlencse f fókusztávolságát szeretnénk meghatározni úgy, hogy mérjük a t tárgytávolságot és a k képtávolságot. A számítás alapja a leképezési törvény, amely a következő összefüggéssel adott

1 1 1   f t k Ennek az összefüggésnek az átrendezésével kapjuk az f fókusztávolságot.

f 

tk tk

Ez az eredmény más megfogalmazásban azt jelenti, hogy az f fókusztávolság két változótól függ, a t és k mennyiségektől, az f tehát ezen két változó függvénye. A fókusztávolságot eszerint egy kétváltozós függvénnyel adhatjuk meg.

Dr. Hanka László

136


Többváltozós Függvények f  f t, k  

tk tk

Definíció: Legyen D az R3 egy részhalmaza. Értelmezzünk a D tartományon egy U függvényt az alábbi definícióval:

 x, y, z 

U : D  R;

U  x, y, z 

Ez a háromváltozós valós függvény definíciója. A függvény jele – amely általában természetesen indifferens – azért U, mert ezen függvényosztály egyik leggyakoribb fizikai alkalmazása az erőterek potenciáljának a leírása. Ezért – az alkalmazásokra való tekintettel – az ilyen függvényeket gyakran potenciálfüggvényeknek nevezzük. A háromváltozós függvényekkel kapcsolatosan használjuk még erre a függvényosztályra a skalár-vektor függvény elnevezést is. További fizikai példák ilyen típusú függvényekre egy térrész T(x, y, z) hőmérséklet-eloszlása, vagy ρ(x, y, z) mechanikai vagy töltéssűrűség-eloszlása,…stb. Az ilyen típusú függvények tehát a tér egy tartományának pontjaihoz valós értékeket, skalárokat rendelnek, ezért – vektoranalízisbeli terminológiával élve, különösen R3-ban – szoktuk ezeket a skalár-vektor függvényeket skalármezőnek nevezni. 2.2.Példa: Tegyük fel, hogy egy soros RLC körben, amelyre adott ω körfrekvenciájú szinuszos váltakozó feszültséget kapcsoltunk, meg szeretnénk határozni az eredő impedanciát. A villamosságtanból ismert, hogy egy soros RLC kör impedanciája a

1   Z  R 2   L   C  

2

összefüggés alapján számítható. Ez annyit jelent, hogy a Z impedancia három változó függvénye, függ az R ohmikus ellenállástól, az L induktivitástól és a C kapacitástól. A Z-t tehát egy három változós függvény értelmezi.

1   Z   R, L, C   R   L   C  

2

2

Következzen az általános eset. Definíció: Legyen D az Rn egy részhalmaza. Értelmezzünk a D tartományon egy f függvényt az alábbi definícióval:

f : D  R;

 x1, x2 ,..., xn 

f  x1 , x2 ,..., xn 

Ez az n-változós valós függvény formális definíciója.

Dr. Hanka László

137



2.2. Két- és háromváltozós függvény szemléltetése, grafikon Mielőtt az analízisbeli fogalmak tárgyalására rátérnénk, megvizsgáljuk, hogyan lehet az ilyen típusú függvényeket szemléltetni. A szemléltetés "maradéktalanul" csak a kétváltozós esetben valósítható meg. A grafikon ugyanis értelmezés szerint a következő. Definíció: Legyen D az R2 egy részhalmaza. A D tartományon értelmezett f függvény grafikonja vagy gráfja az alábbi halmaz





graf  f    x, y, f  x, y    R3  x, y   D

A grafikon tehát a három dimenziós tér egy ponthalmaza. A szemléltetéshez szükségünk van R3-ra. A szemléltetést azzal kezdjük, hogy megmutatjuk egyetlen (x0, y0) ponthoz tartozó függvényérték hogyan ábrázolható egy Descartes-féle derékszögű, jobbsodrású koordináta rendszerben (2.1.ábra). z A grafikon egy pontja f(x0, y0)

y0 y x0

D (x0, y0)

x 2.1. ábra. A kétváltozós függvény szemléltetésének bevezetése

A grafikon egy pontja tehát a tér egy pontja a D tartomány "felett". Ha a D tartomány felett tekintjük az összes ilyen pontot, akkor nyilván egy felületet kapunk. Ez a felület tehát a kétváltozós függvény grafikonja. Egy felületet egy képlet alapján általában nem könnyű "felismerni" – például, mint láttuk másodfokú tagokat tartalmazó képlettel adott felület lehet gömb, ellipszoid, hiperboloid, paraboloid és ezeken belül is vannak lényeges eltérések, ugyanakkor egyváltozós esetben egy másodfokú függvény grafikonja mindig parabola –, ezért a problémát visszavezetjük egyváltozós függvények ábrázolására, tehát síkbeli ábrázolásra, és a kapott síkgörbék alapján következtetünk a felületre. Ehhez szükség van az alábbi értelmezésekre. Definíció: (Parciális függvény fogalma) Legyen D az R2 egy tartománya és legyen a kétváltozós f függvény értelmezve ezen a tartományon. Legyen továbbá (x0, y0) a D tartomány egy tetszőleges pontja. a) A kétváltozós f függvény (x0, y0) ponthoz tartozó első parciális függvényének nevezzük az

Dr. Hanka László

138


Többváltozós Függvények f x : I x  R, x





f  x, y0  ; I x  x  R  x, y0   D

értelmezéssel adott egyváltozós valós függvényt. b) A kétváltozós f függvény (x0, y0) ponthoz tartozó második parciális függvényének nevezzük az f y : I y  R, y f  x0 , y  ; I y  y  R  x0 , y   D





értelmezéssel adott egyváltozós valós függvényt. Erre a fogalomra a derivált értelmezésénél is szükség lesz, ezért azonnal megfogalmazzuk az általános esetre is. Definíció: (Parciális függvény fogalma) Legyen D az Rn egy tartománya és legyen az n-változós f függvény értelmezve ezen a tartományon. Legyen továbbá  x01 , x02 ,..., x0 k ,..., x0 n  a D tartomány egy tetszőleges pontja. Az n-változós f függvény  x01 , x02 ,..., x0 k ,..., x0 n  ponthoz tartozó k-adik parciális függvényének nevezzük az f xk : I k  R, xk





f  x01 , x02 ,..., xk ,..., x0 n  ; I k  xk  R  x01 , x02 ,..., xk ,..., x0 n   D

értelmezéssel adott egyváltozós valós függvényt. A parciális függvényeket tehát úgy értelmezzük, hogy az n-változós valós függvény esetén n – 1 db változót rögzítünk, és a függvényt az egyetlen olyan változótól tekintjük függőnek, amelyet nem rögzítettünk le. A parciális függvényeket használhatjuk fel egy többváltozós függvény grafikonjának megszerkesztéséhez, ehhez azonban újabb definíciót fogalmazunk meg. Definíció: (A főmetszet fogalma) Legyen D az R2 egy tartománya és legyen a kétváltozós f függvény értelmezve ezen a tartományon. a) Az f függvény y = y0-hoz tartozó első főmetszetének nevezzük az f(x, y0) = z egyenlet által meghatározott görbét. Tehát azon pontok alkotják az első főmetszetet amelyeknek a második koordinátája ugyanaz a y0 érték. Szemléletesen tehát az első főmetszet úgy adódik, hogy a felületet elmetsszük az y = y0 egyenletű síkkal, tehát egy olyan síkkal amely párhuzamos az [x, z]-koordinátasíkkal és az ordinátatengelyt az y0 értéknél metszi. b) Az f függvény x = x0-hoz tartozó második főmetszetének nevezzük az f(x0, y) = z egyenlet által meghatározott görbét. Tehát azon pontok alkotják a második főmetszetet amelyeknek az első koordinátája ugyanaz az x0 érték. Szemléletesen tehát a második főmetszet úgy adódik, hogy a felületet elmetsszük az x = x0 egyenletű síkkal, tehát egy olyan síkkal amely párhuzamos az [y, z]-koordinátasíkkal és az abszcisszatengelyt az x0 értéknél metszi. Világos az értelmezések alapján, hogy a főmetszetek tehát éppen a parciális függvények grafikonjai. Lássunk erre egy példát. Dr. Hanka László

139


Többváltozós Függvények 2.3.Példa: Vizsgáljuk meg az

f  x, y   x3 cos y;  x, y   R 2 függvény (–2, 5) ponthoz tartozó főmetszeteit és ábrázoljuk azokat. A főmetszetek általánosan tehát a parciális függvények grafikonjai. A parciális függvények általánosan a következők.

f x : R  R, x

f  x, y0   f  x, y   x3 cos y0 ; I x  R

f y : R  R, y

f  x0 , y   f  x, y   x03 cos y; I y  R

A (–2, 5) ponthoz tartozó parciális függvények pedig az alábbiak.

f x : I x  R, x

f  x,5  f  x, y   x3 cos 5  0, 2836 x 3 ; I x  R

f y : I y  R, y

f  2, y   f  x, y    2  cos y  8cos y; I y  R 3

Számos parciális függvény képe, azaz főmetszet látható fekete színnel és a két konkrét főmetszet fehér színnel látható a 2.2. ábrán.

2.2. ábra. Parciális függvények képe, tehát a főmetszetek az x3cosy függvény esetében

Nagyon hasznos egy további görbesereg felvétele, amelyet leggyakrabban domborzati térképek elkészítésénél alkalmaznak. Ezek a szintvonalak.

Dr. Hanka László

140


Többváltozós Függvények Definíció: (A szintvonal fogalma) Legyen D az R2 egy tartománya és legyen az f kétváltozós függvény értelmezve ezen a tartományon. Az f függvény z = z0-hoz tartozó szintvonalának nevezzük az f(x, y) = z0 egyenlet által meghatározott görbét. Tehát azon pontok alkotják a szintvonalat amelyeknek a harmadik koordinátája ugyanaz a z0 érték. Szemléletesen tehát a szintvonal úgy adódik, hogy a felületet z0 "magasságban" elmetsszük egy olyan síkkal amely párhuzamos az [x, y]-koordinátasíkkal. 2.4.Példa: Tekintsük ismét az előző példabeli

f  x, y   x3 cos y;  x, y   R 2 függvényt. Ennek a függvénynek a szintvonalai tetszőleges z0 valós szám esetén az x3 cos y  z0 ;

egyenlettel adottak. Ezek ábrázolását célszerű a számítógépre bízni. A MATLAB egyszerre jeleníti meg a szintvonalakat és a főmetszeteket. A 2.3. ábrán az összes metszetgörbe látható, a szintvonalak a vízszintes síkra vetítve.

2.3. ábra. Az x3cosy függvény szintvonalai és főmetszetei egy ábrában

A továbbiakban olyan példákat hozunk amely gyakrabban előfordul az alkalmazások során. 2.5.Példa: Határozzuk meg, hogy mi a grafikonja az

f  x, y   2 x 2  y 2 ;  x, y   R 2 függvénynek. Először vizsgáljuk a főmetszeteket. Ezek a következők

Dr. Hanka László

141


Többváltozós Függvények f x : R  R, x

f  x, y0   f  x, y   2 x 2  y02 ; I x  R

f y : R  R, y

f  x0 , y   f  x, y   2 x02  y 2 ; I y  R

A főmetszetek tehát konvex parabolák. A szintvonalak pedig tetszőleges z0  0 esetén az 2 x 2  y 2  z0 ;

egyenlettel adott ellipszisek ha z0 > 0, ha pedig z0 = 0 akkor az origót kapjuk alakzatként. A 2.4. ábrán látható külön a szintvonalrendszer illetve a grafikon a főmetszetekkel. A kapott felület tehát egy elliptikus paraboloid.

a) b) 2.4. ábra. Az elliptikus paraboloid a) szintvonalai, b) főmetszetei illetve grafikonja.

További alapvető és egyben klasszikus példa a nyeregfelület. 2.6.Példa: Határozzuk meg, hogy mi a grafikonja az

f  x, y   x 2  y 2 ;  x, y   R 2 függvénynek. Először vizsgáljuk a főmetszeteket. Ezek a következők

f x : R  R, x

f  x, y0   f  x, y   x 2  y02 ; I x  R

f y : R  R, y

f  x0 , y   f  x, y   x02  y 2 ; I y  R

Az első főmetszetek tehát konvex, a második főmetszetek pedig konkáv parabolák. A szintvonalak pedig tetszőleges z0 valós érték esetén az x 2  y 2  z0 ;

egyenlettel adottak. Ezek a görbék z0  0 esetén hiperbolapárok, z0 = 0 esetén pedig egy metsző egyenes pár. A grafikon tehát hiperbolikus paraboloid. A 2.5. ábrán láthatóak a szintvonalak, valamint a főmetszetek és a grafikon. Dr. Hanka László

142



a) b) 2.5.ábra. A nyeregfelület a) szintvonalai, b) főmetszetei és grafikonja.

A bemutatott módszerrel, ha egy adott kétváltozós függvény esetén kellően sok szintvonalat és főmetszetet megrajzolunk, következtetni tudunk a felület jellegére. A továbbiakban azt mutatjuk meg, hogyan ábrázolhatunk háromváltozós függvényeket. Kérdés, hogy egyáltalán milyen módon lehet ezeket a függvényeket szemléltetni. A „grafikon” nem jöhet szóba, mert ahhoz 4 dimenzió kellene. Áthidaló megoldásként ún. szintfelületekkel szemléltetjük a függvényt. Definíció: (A szintfelület fogalma) Legyen C egy tetszőleges való érték az U(x, y, z) függvény értékkészletéből, és tekintsük az U(x, y, z) = C egyenletet. Ez az egyenlet meghatároz egy z = f(x, y) kétváltozós függvényt, amelynek grafikonja egy felület, amelyet a korábbiak szerint már tudunk ábrázolni. Ez az a felület, amelynek minden pontjában az U(x, y, z) függvény ugyanazt a C értéket veszi fel. Szokás ezt a felületet ekvipotenciális felületnek nevezni. Ha több C esetén ezt elkészítjük, képet alkothatunk a függvény grafikus szerkezetéről. 2.7. Példa: Legyen U(x, y, z) = 5x – 3y + 6z. Bármilyen C konstans esetén az 5x – 3y + 6z = C egyenlet egy síkot határoz meg, és ezek a síkok párhuzamosak egymással. Az U(x, y, z) ekvipotenciális felületei párhuzamos síkok. Ezeket a síkokat az

f  x, y  

C  5x  3 y 6

kétváltozós függvények grafikonjai jelentik. A C konstansnak különböző értékeket adunk, és minden C érték esetén ábrázoljuk a kapott síkot. Így adódnak a szintfelületek vagy "ekvipotenciális" felületek. A C = –20, –10, 0, 10, 20 esetre vonatkozó szintfelületeket láthatjuk a következő 2.6. ábrán.

Dr. Hanka László

143



2.6. ábra. Az U(x, y, z) = 5x – 3y + 6z háromváltozós függvény néhány szintfelülete.

2.8.Példa: Legyen U(x, y, z) = x2 + y2 + z2. Bármilyen pozitív C konstans esetén az x2 + y2 + z2 = C egyenlet egy C sugarú, origó középpontú gömböt határoz meg, C = 0 esetén az origót, negatív szám pedig nincs az U(x, y, z) értékkészletében. Az ekvipotenciális felületek tehát koncentrikus gömbök. 2.9.Példa: Legyen U(x, y, z) = x2 + y2 – z2. A C = 0 esetben kapjuk az x2 + y2 – z2 = 0 egyenletet, amely az x2 + y2 = z2 egyenlettel egyenértékű. Korábban láttuk, hogy ez egy z szimmetriatengelyű forgáskúp. Azt is tudjuk a korábbiak alapján, hogy C > 0 esetén az x2 + y2 – z2 = C egyenlet egy egyköpenyű forgási hiperboloid, C < 0 esetén pedig egy kétköpenyű forgási hiperboloid. Ennek a függvénynek az ekvipotenciális felületei tehát egy forgáskúp és forgási hiperboloidok.

2.7. ábra. Az U(x, y, z) = x2 + y2 – z2 háromváltozós függvény szintfelületei, kívülről befelé haladva rendre a C = 5, 0, –5 értékekhez tartozó szintfelületek Dr. Hanka László

144



2.3. Többváltozós függvény határértéke, folytonossága A határérték és a folytonosság kérdésével csak a fogalom megismertetése és szemléltetése erejéig foglalkozunk. A fogalom ismét az egyváltozós analízisben megismert fogalom közvetlen általánosítása. Ehhez elsőként a környezet fogalmának általánosítása szükséges. Ez pedig a nyílt intervallum két, három illetve több dimenziós megfelelője. Definíció: Legyen δ > 0 egy rögzített pozitív szám. a) A síkbeli (x0, y0) pont δ-sugarú környezetének nevezzük a síkban az (x0, y0) középpontú δ-sugarú nyílt, tehát határvonal nélküli körlapot. Azaz k  x0 , y0  



x, y   R 2

 x  x0    y  y0  2

2





b) A térbeli (x0, y0, z0) pont δ-sugarú környezetének nevezzük a térben az (x0, y0, z0) középpontú δ-sugarú nyílt, tehát határfelület nélküli gömböt. Azaz



k  x0 , y0 , z0    x, y, z   R3

 x  x0    y  y0    z  z0  2

2

2





 x01, x02 ,..., x0n  pont δ-sugarú környezetének nevezzük n-dimenziós térben az  x01 , x02 ,..., x0n  középpontú δ-sugarú nyílt n-dimenziós gömböt. Azaz c) Az n-dimenziós Rn térbeli

  k  x01 , x02 ,..., x0 n    x1 , x2 ,..., xn   R 3  

n

 x  x  i 1

i

0i

2

az

    

Határérték nem értelmezhető tetszőleges pontban, hanem csak olyan helyen amely kielégít egy bizonyos feltételt. Ezt a fogalmat értelmezzük most általánosan. Definíció: (Torlódási pont fogalma) Az n-dimenziós Rn térbeli  x01 , x02 ,..., x0 n   T  R n pontot a T halmaz torlódási pontjának nevezzük, ha tetszőleges δ > 0 esetén k  x01 , x02 ,..., x0 n   T   , vagyis tetszőlegesen kis δ pozitív szám esetén az  x01 , x02 ,..., x0 n   T pont δ sugarú környezetének és a T halmaznak van közös pontja. Másképpen fogalmazva, a  x01 , x02 ,..., x0 n   T pont akkor torlódási pont, ha a T halmaznak tetszőleges δ > 0 esetén van olyan pontja amely közelebb van  x01 , x02 ,..., x0n  -hoz, mint δ. Ezek után definiálhatjuk a pontbeli határérték fogalmát, ugyanis a határértéket torlódási pontban értelmezzük.

Dr. Hanka László

145


Többváltozós Függvények Definíció: (Kétváltozós valós függvény határértéke) Legyen az (x0, y0) pont az f  x, y  függvény értelmezési tartományának torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az (x0, y0) pontban a határértéke az A valós szám, ha tetszőleges ε > 0 pozitív szám esetén létezik δ > 0 pozitív szám olyan, hogy ha

 x, y   k  x0 , y0 

akkor f  x, y   A  

Indirekt módon bizonyítható, hogy ha létezik ilyen A valós szám, akkor az egyértelmű. Ezek után bevezethetünk egy jelölést a határérték kifejezésére.

lim

 x , y  x0 , y0 

f  x, y   A; vagy lim f  x, y   A  x0 , y0 

Értelemszerű módosítással definiálható a  határérték és a többváltozós függvények határértéke. Mi azonban ezeket a fogalmakat e jegyzetben nem fogjuk használni. Maradva a kétváltozós esetnél, inkább a fogalom illusztrálásával haladunk tovább. Tekintsünk két példát. 2.10.Példa: Vizsgáljuk meg határérték szempontjából az alábbi kétváltozós függvényt a (0, 0) pontban. xy f  x, y   2 ;  x, y    0,0  x  y2 Az világos, hogy az origó az értelmezési tartomány torlódási pontja, hiszen az értelmezési tartomány a teljes sík, kivéve az origót, vagyis az origónak tetszőlegesen kis környezetében van olyan pont, amely hozzátartozik az értelmezési tartományhoz. Már csak annak vizsgálata van hátra, hogy ebben a pontban van-e határérték és, ha van, akkor mi az. Azt állítjuk, hogy ennek a függvénynek nincs határértéke az origóban. A problémakör jellegének megvilágítására egy gyakorta hasznos módszert mutatunk. Közeledjünk az origóhoz az y = mx egyenletű, m meredekségű egyenes mentén. Helyettesítsük ezt a függvénybe. Azt kapjuk, hogy f  x, mx  

x  mx x   mx  2

2



m 1  m2

vagyis az említett egyenes mentén ez a függvény konstans, ráadásul az origó tetszőlegesen kis környezetében, és ez a konstans függ az m meredekségtől. Világos ezek után, hogy nem létezik olyan A valós szám, amelyet a függvényértékek tetszőleges pontossággal megközelítenek, ha közeledünk az origóhoz. Tehát valóban nincs határérték az origóban. A példabeli vizsgálatok lezárásaképpen a 2.8. ábrán megmutatjuk a függvény képét az origó környezetében. Ezen szemléletesen is jól érzékelhető, miért nincs határértéke a függvénynek az origóban.

Dr. Hanka László

146



2.8. ábra. A 2.10. példabeli függvény, amelynek nincs határértéke az origóban

2.11.Példa: Módosítsuk az előző példát a következő módon. Vizsgáljuk, meg, hogy az

f  x, y  

x2 y ; x2  y 2

 x, y    0, 0 

függvénynek létezik-e határértéke az origóban. Mint látni fogjuk, ennek a függvénynek létezik határértéke az origóban és az zérus. Ehhez alkalmazzuk az előbbi ötletet. Vizsgáljuk a függvény viselkedését az y = mx egyenletű, m meredekségű egyenesek mentén. Ebbe beletartozik a sík origón átmenő összes egyenese, kivéve az y-tengelyt, amit majd külön megvizsgálunk. Helyettesítve azt kapjuk, hogy f  x, mx  

x 2  mx x   mx  2

2

 x

m 1  m2

Tegyük most fel, hogy az (x, y) pont az origó δ-sugarú környezetében van, azaz teljesül, hogy

 x  0   y  0 2

2

 x2  y 2  

Ekkor nyilván az is teljesül, hogy x  x 2  x 2  y 2   vagyis ekkor igaz, hogy f  x, mx   0  x 

m m  2 1 m 1  m2

m hányados konstans, és a δ tetszőlegesen kicsi, adódik, hogy az f  x, mx   0 1  m2 eltérés is tetszőlegesen kicsi, vagyis m-től függetlenül az f függvény az origóban a vizsgált Mivel az

Dr. Hanka László

147


Többváltozós Függvények egyenesek mentén a 0-hoz tart. Hátra van még az y-tengely vizsgálata. Ezen tengely pontjaiban a függvény alakja 02  y 0 f  0, y   2  2 0 2 0 y y Tehát az azonosan zérus függvényt kapjuk, amelynek nyilván zérus a határértéke az origóban. Ha felhasználjuk, hogy 2 1  m2  m  1 1  m   m  2m    2 2 2   1 m  1  m2  1  m2 

m törtnek az m = 1 helyen maximuma van, hiszen itt a derivált zérus, 1  m2 továbbá ebben a pontban a deriváltnak (+ –) jelváltása van. Ez azt jelenti, hogy ennek a törtnek a 1 maximuma . Ennek felhasználásával az adódik, hogy bármely egyenes mentén is közeledünk 2 az origóhoz, igaz a következő becslés akkor világos, hogy az

f  x, y   0 

 2

; ha

Tehát, ha tetszőleges ε > 0 esetén élünk az  

x2  y 2  



azaz   2 választással, akkor a határérték 2 definíciója alapján világos, hogy igazoltuk, miszerint a függvény origóbeli határértéke zérus, azaz írhatjuk, hogy x2 y lim 2 0  0,0 x  y 2 A 2.9. ábrán a vizsgált függvény képe látható az origó környezetében.

2.9. ábra. A 2.11. példabeli függvény, amelynek origóbeli határértéke zérus Dr. Hanka László

148


Többváltozós Függvények A határértékhez szorosan kapcsolódó fogalom a folytonosság. Hangsúlyozzuk, hogy folytonosságot csak az értelmezési tartomány pontjaiban értelmezzük. Definíció: (Kétváltozós valós függvény folytonossága) Legyen az (x0, y0) pont az f  x, y  függvény értelmezési tartományának pontja. Azt mondjuk, hogy az f függvény az (x0, y0) pontban folytonos, ha ebben a pontban létezik határértéke és a helyettesítési értéke megegyezik a határértékkel. Azaz folytonos, ha

lim f  x, y   f  x0 , y0 

 x0 , y0 

A definíciót a következő módon is fogalmazhatjuk. Legyen az (x0, y0) pont az f  x, y  függvény értelmezési tartományának pontja. Azt mondjuk, hogy az f függvény az (x0, y0) pontban folytonos, ha tetszőleges ε > 0 pozitív szám esetén létezik δ > 0 pozitív szám olyan, hogy ha

 x, y   k  x0 , y0 

akkor f  x, y   f  x0 , y0   

2.12.Példa: A határértékkel kapcsolatosan megvizsgáltunk két függvényt. a) Megmutattuk, hogy az

f  x, y  

xy ; x  y2 2

 x, y    0,0 

függvénynek az origóban nem létezik határértéke. Ebből következik, hogy akármilyen módon is értelmezzük ezt a függvényt az origóban, a kiterjesztéssel kapott függvény az origóban nem lehet folytonos. b) a) Megmutattuk, hogy az

f  x, y  

x2 y ; x2  y 2

 x, y    0, 0 

függvénynek az origóbeli határértéke zérus. Ebből adódik, hogy a függvény

 x2 y ;  x, y    0, 0   f  x, y    x 2  y 2  0 ha  x, y    0, 0   definíció szerinti kiterjesztése folytonos az origóban. Ha azonban úgy terjesztjük ki, hogy az origóban bármely 0-tól különböző értéket adunk a függvénynek, akkor a kapott függvény az origóban nem lesz folytonos.

Dr. Hanka László

149



2.4. Többváltozós függvény parciális deriváltja A többváltozós függvény deriválásának értelmezését visszavezetjük a derivált egyváltozós esetben megismert definíciójára. Ehhez csak azt kell hangsúlyoznunk, hogy a parciális függvények egyváltozós függvények. A parciális derivált fogalma nem más, mint az egyváltozós parciális függvény hagyományos értelemben vett deriváltja. Definíció: Legyen D az R2 egy tartománya és legyen az f kétváltozós függvény értelmezve ezen a tartományon. Legyen továbbá  x0 , y0   D . a) A kétváltozós f függvény első változó szerinti parciális deriváltja az  x0 , y0   D pontban az

f x  x0 , y0   lim x  x0

f  x, y0   f  x0 , y0  ; x  x0

határérték, ha ez létezik és véges. A szakirodalomban fellelhető még több más jelölés is a parciális deriváltra, amelyeket néha ebben a jegyzetben is használunk majd, ha egyszerűbb jelölést tesz lehetővé.

f f x  x0 , y0   1 f  x0 , y0   D1 f  x0 , y0    x0 , y0  ; x Az első változó szerinti parciális deriváltat tehát úgy kapjuk, hogy az y változót rögzítettnek, tehát állandónak tekintjük (y = y0), és az x változó szerint deriválunk a szokásos értelemben. b) A kétváltozós f függvény második változó szerinti parciális deriváltja az pontban az

f y  x0 , y0   lim

y  y0

 x0 , y0   D

f  x0 , y   f  x0 , y0  ; y  y0

határérték, ha ez létezik és véges. A szakirodalomban fellelhető még több más jelölés is a parciális deriváltra, amelyeket néha ebben a jegyzetben is használunk majd, ha egyszerűbb jelölést tesz lehetővé.

f y  x0 , y0    2 f  x0 , y0   D2 f  x0 , y0  

f  x0 , y0  ; y

A második változó szerinti parciális deriváltat tehát úgy kapjuk, hogy az x változót rögzítettnek, tehát állandónak tekintjük (x = x0), és az y változó szerint deriválunk a szokásos értelemben.

Dr. Hanka László

150


Többváltozós Függvények A parciális deriváltaknak igen szemléletes jelentése van. A derivált egyváltozós esetben a függvény adott pontbeli érintőjének meredekségét jelenti. Itt ugyanez a helyzet azzal a kiegészítéssel, hogy a parciális deriváltak értelemszerűen a parciális függvények adott pontbeli érintőinek a meredekségét jelentik. Ezt illusztrálja a 2.10. a) és b) ábra.

a) b) 2.10. ábra. a) Az első változó szerinti parciális derivált; b) A második változó szerinti parciális derivált geometriai jelentése.

Az a) ábrán látható az első parciális függvény érintő egyenese, melynek irányszöge α, a b) ábrán pedig a második parciális függvény érintő egyenese, melynek irányszöge β. Az értelmezések alapján tehát a parciális deriváltak értéke

f x  x0 , y0   tg ; f y  x0 , y0   tg ; 2.13.Példa: Számítsuk ki az f  x, y  

x x  4y 2

2

;  x, y   R 2

függvény mindkét változó szerinti parciális derivált függvényét. A mondottak szerint ezek a következők. 1

1 x 2  4 y 2  x 

2 x2  4 y 2 x2  4 y 2

f x  x, y   x  f y  x, y  

Dr. Hanka László

1 2 x2  4 y 2 x2  4 y 2

8y

151



 2x

4 xy

x

2

 4y

4 y2





2 3

x

2

 4y



2 3

;

;


Többváltozós Függvények Számítsuk most ki ezen deriváltak értékét az (1; 0,5) helyen. A helyettesítési értékek a következők 1 2 1  1 1  1  2 f x 1,    ; f y 1,     ; 8 2 2 8 2 2 2  2  2

 1   1  Figyelembe véve, hogy arctg    19, 47, arctg     35, 26 , kapjuk, hogy az (1; 0,5) 2 2 2  pontban az első parciális függvény érintőjének irányszöge ~19,47° a második parciális függvény érintőjének irányszöge pedig ~ –35,26°. A három változós skalár-vektor függvény parciális deriváltját lényegében ugyanolyan módon értelmezzük, mint a kétváltozós függvényét, a különbség annyi, hogy a derivált értelmezésénél nem egy hanem két változót kell rögzítettnek tekinteni. Definíció: Háromváltozós függvény parciális deriváltjai. a) Az U : D  R;  x, y, z  U  x, y, z  ; D  R3 függvény (x0, y0, z0)  R3 pontbeli első változó szerinti parciális deriváltja a

U x ( x0 , y0 , z0 )  1U ( x0 , y0 , z0 )  DU 1 ( x0 , y0 , z0 ) 

U  x, y0 , z0   U  x0 , y0 , z0  U ( x0 , y0 , z0 )  lim ; x  x0 x x  x0

határérték, ha ez létezik és véges. b) Az U : D  R;  x, y, z  U  x, y, z  ; D  R3 függvény (x0, y0, z0)  R3 pontbeli második változó szerinti parciális deriváltja a

U y ( x0 , y0 , z0 )   2U ( x0 , y0 , z0 )  D2U ( x0 , y0 , z0 ) 

U  x0 , y, z0   U  x0 , y0 , z0  U ( x0 , y0 , z0 )  lim ; y  y0 y y  y0

határérték, ha ez létezik és véges. c) Az U : D  R;  x, y, z  U  x, y, z  ; D  R3 függvény (x0, y0, z0)  R3 pontbeli harmadik változó szerinti parciális deriváltja a

U z ( x0 , y0 , z0 )   3U ( x0 , y0 , z0 )  D3U ( x0 , y0 , z0 ) 

U  x0 , y0 , z   U  x0 , y0 , z0  U ( x0 , y0 , z0 )  lim ; z  z0 z z  z0

határérték, ha ez létezik és véges. Mint látható, három változós esetben tehát úgy számítjuk a parciális deriváltakat, hogy két változót állandónak tekintünk és a harmadik változó szerint a hagyományos értelemben deriválunk.

Dr. Hanka László

152


Többváltozós Függvények 2.14.Példa: Számítsuk ki az z

x f  x, y, z     ;  x, y, z   R 3 , x  0, y  0,  y

függvény mindhárom változó szerinti parciális derivált függvényét. Ezek a következők x f x  x, y, z   z    y

z 1

x 1  ; f y  x, y, z   z   y  y

z 1

z

 x   x  x    2  ; f z  x, y, z      ln   ;  y   y  y

A fentiek mintájára tetszőleges pozitív egész n esetén értelmezhető az n-változós valós függvény xk változó szerinti parciális deriváltja. Ezt az értelmezést már tetszőleges k esetén egyetlen definícióban megfogalmazzuk. Definíció: Az n-változós (n ≥ 2) függvény parciális deriváltjai. Legyen D az Rn egy részhalmaza. Legyen f a D tartományon értelmezett valós függvény

 x1, x2 ,..., xn 

f : D  R;

f  x1 , x2 ,..., xn 

Az f függvény  x01 , x02 ,..., x0 k ,..., x0 n  -pontbeli k-adik változó szerinti parciális deriváltja a

f xk   x01 , x02 ,..., x0 k ,..., x0 n   lim

xk  x0 k

f  x01 , x02 ,..., xk ,..., x0 n   f  x01 , x02 ,..., x0 k ,..., x0 n  ; xk  x0 k

határérték, ha ez létezik és véges. Alternatív jelölések a következők

f xk   x01 , x02 ,..., x0 k ,..., x0 n    k f  x01 , x02 ,..., x0 k ,..., x0 n    Dk f  x01 , x02 ,..., x0 k ,..., x0 n  

f  x01 , x02 ,..., x0 k ,..., x0 n  xk

Definíció: A differenciáloperátor fogalma. Mint az kiderült, a parciális derivált jelölésére gyakran használjuk a  k jelet, amely tehát a k-adik változó szerinti parciális deriválást jelöli. Ha egy f függvény „elé írjuk” akkor felfoghatjuk egy műveleti utasításnak is,  k f azt jelenti, hogy határozzuk meg az f függvény k-adik változó szerinti parciális deriváltját! Ebben az értelemben szokás  k -t parciális differenciáloperátornak nevezni. Ha egy többváltozós függvény esetén az összes változónak megfelelő parciális differenciáloperátort összefoglaljuk egy formális vektorban, akkor az elmélet és az alkalmazások szempontjából nagyon fontos fogalomhoz jutunk. Nabla vektornak (Nabla operátornak) nevezzük a parciális differenciáloperátorokból képezett formális vektort. Jele: . ( A görög "nabla" szó jelentése hárfa.)

Dr. Hanka László

153


Többváltozós Függvények         1 ,  2 ,...,  n    , ,..., ; xn   x1 x2 A nabla vektor ugyancsak egy "operátor", tehát egy műveleti utasítás. Ha egy többváltozós függvényre alkalmazzuk, egy ugyancsak alapvető fogalomalkotáshoz jutunk, a gradiens vektorhoz. Definíció: A gradiens vektor fogalma. Legyen D az Rn egy részhalmaza. Legyen f a D tartományon értelmezett valós függvény:

f : D  R;

 x1, x2 ,..., xn 

Az f függvény P0   x01 , x02 ,..., x0k ,..., x0n   D -pontbeli n-komponensű vektor:

f  x1 , x2 ,..., xn  gradiens

vektora

a

következő

f  P0   gradf  P0    1 f  P0  ,  2 f  P0  ,...,  n f  P0   ; Mint látni fogjuk az iránymenti derivált kapcsán, a gradiens vektornak igen szemléletes jelentése van. A gradiens kétváltozós függvény esetében a következő vektor:





f  x0 , y0   gradf  x0 , y0    1 f  x0 , y0  ,  2 f  x0 , y0    f x  x0 , y0  , f y  x0 , y0  ; A fizikai alkalmazások szempontjából azonban még fontosabbnak tekinthető háromváltozós függvény esetében a gradiens vektor. Tegyük fel, hogy az U(x, y, z) skalár-vektor függvény (potenciálfüggvény) mindhárom változója szerint parciálisan deriválható egy P0D pontban. Ekkor a potenciálfüggvény P0-beli gradiense vagy gradiens-vektora a következő:

U ( P0 )   1U  P0  ;  2U  P0  ;  3U  P0   ; vagy  U  U U gradU ( x0 , y0 , z0 )   ( x0 , y0 , z0 ), ( x0 , y0 , z0 ), ( x0 , y0 , z0 )  y z  x  Ha a D  R3 értelmezési tartomány egy T  D részhalmazának minden pontjában létezik mindhárom változó szerinti parciális derivált, akkor a T  R3 tartományon értelmezhetünk T-ből R3-ba egy leképezést az alábbi definícióval:

gradU : T  R3 ; gradU ( x, y, z)   1U  x, y, z  ;  2U  x, y, z  ; 3U  x, y, z   ; ezt az U skalármező gradiensének (gradiensterének) nevezzük és egyszerűen gradU-val jelöljük. Ez a leképezés tehát a T halmaz minden pontjához hozzárendeli az U skalármező gradiensét. Vegyük észre, hogy a gradU az R3 egy T tartományát ugyancsak R3-ba képezi, tehát Dr. Hanka László

154


Többváltozós Függvények ez a leképezés vektorhoz vektort rendel, mondhatjuk, hogy gradU egy vektormező. A fizikai alkalmazások szempontjából itt tartjuk fontosnak hangsúlyozni, hogy egy olyan erőtér esetén amelynek van potenciálja, az erőtér – mint vektormező – éppen a potenciálfüggvény gradiense. Ezzel a kérdéskörrel részletesen a Vektoranalízis című fejezetben foglalkozunk. 2.15.Példa: Határozzuk meg az x

f  x, y  

x  4y 2

;  x, y   R 2

2

függvény gradiensét az (1; 0,5) helyen. Már meghatároztuk a parciális deriváltakat ezen a helyen. 1  1 f x 1,   ;  2 2 2

1  1 f y 1,    ; 2  2

Innen következik, hogy az (1; 0,5) pontbeli gradiens vektor a következő

 1 gradf 1,   f  2

1   1  1 , 1,    ; 2  2 2 2

2.16.Példa: Határozzuk meg az z

x f  x, y, z     ;  x, y, z   R 3 , x  0, y  0,  y

skalár-vektor függvény gradiensterét, és az (1, 2, –3) pontbeli gradiens vektort. Ennek a függvénynek is ismerjük már az elsőrendű parciális derivált függvényeit x f x  x, y, z   z    y

z 1

x 1  ; f y  x, y, z   z   y  y

z 1

z

 x   x  x    2  ; f z  x, y, z      ln   ;  y   y  y

ahonnan a gradienstér az alábbi vektorértékű függvény  gradf  x, y, z   f  x, y, z     

zx   y y

z 1

xz  x  ;  2  y  y

z 1

z x  x  ;    ln    ;  y  y  

Helyettesítéssel ebből adódik az (1, 2, –3) pontbeli gradiens vektor.

 3  1 4 3  1 4  1 3  1   gradf 1, 2, 3  f 1, 2, 3      ;   ;    ln      24;12; 8ln 2  ;  22 42 2  2   

Dr. Hanka László

155



2.5. Többváltozós függvény iránymenti deriváltja Mielőtt a címben szereplő kérdést vizsgálnánk, bevezetőben tárgyalunk egy deriválási szabályt, amelyre a későbbiek során több alkalommal is szükségünk lesz. Ez pedig az összetett függvény deriválási szabályának általánosítása többváltozós függvény esetére. Foglalkozzunk először a kétváltozós függvényekkel. Legyen D az R2 egy tartománya. Legyen az f  x, y  . Tegyük most fel, hogy az x és y koordináták f függvény tehát kétváltozós, azaz  x, y  mind egyváltozós valós függvényei a t valós változónak, azaz x = x(t) és y = y (t), ahol t egy I intervallumhoz tartozik. Ekkor az f függvényre úgy tekinthetünk, mint egy egyváltozós, tehát a t-változótól függő valós függvényre. Ezzel egy összetett függvényt értelmeztünk, ahol f a külső függvény és x(t), y(t) a belső függvények.

f

 x, y  : I  R;

f  x t  , y t 

t

Keressük ennek az összetett függvénynek a t-változó szerinti deriváltját. Ez tehát nem más, mint az f  x, y  összetett függvény deriváltja. Tétel: Az f

 x, y 

összetett függvény derivált függvénye a következő

 f  x, y   t   f   x t  , y t   x t   f   x t  , y t   y t  x

y

Bizonyítás: Vezessünk be egy egyszerűsítő jelölést az összetett függvényre: g  t   f  x  t  , y  t   . Ennek a függvénynek keressük a deriváltját a t0 pontban. A derivált definíciója szerint g   t0   lim t  t0

 lim

f  x  t  , y  t    f  x  t0  , y  t0   g  t   g  t0   lim  t  t0 t  t0 t  t0

f  x  t  , y  t    f  x  t  , y  t0    f  x  t  , y  t0    f  x  t 0  , y  t 0   t  t0

t  t0

 lim t  t0

 lim t  t0

 lim t  t0

f  x  t  , y  t    f  x  t  , y  t0   t  t0

 lim

f  x  t  , y  t0    f  x  t0  , y  t0  

t t0

f  x  t  , y  t0    f  x  t 0  , y  t 0   x  t   x  t0   x  t   x  t0  t  t0

f  x  t  , y  t    f  x  t  , y  t 0   y  t   y  t0  y  t   y  t0 



t  t0

t  t0





 f x  x  t 0  , y  t 0    x   t 0   f y   x  t 0  , y  t 0    y   t 0 

és éppen ezt kellett bizonyítani. A derivált függvény ebből úgy adódik, hogy ezt az eredményt alkalmazzuk minden olyan t pontra amelyben a deriváltak léteznek. ■ Dr. Hanka László

156


Többváltozós Függvények Az összetett függvény deriválási szabályát gyakran nevezik láncszabálynak, csakúgy mint egyváltozós esetben. A láncszabályt felírjuk a klasszikus jelölésekkel is, mert az alkalmazások során gyakran találkozunk vele.

dg f dx f dy   ; dt x dt y dt Ez a jelölésmód kifejezően hangsúlyozza a parciális derivált és a közönséges derivált eltérését. Ez a formula természetesen több változóra is átvihető értelemszerű módosítással, a fenti gondolatmenet nyilvánvaló módosításával. Három- és n-változós esetre a láncszabály:

dg f dx f dy f dz    ; dt x dt y dt z dt

n dg f dxk  ; dt k 1 xk dt

Összetett függvényt értelmezhetünk úgy is, hogy a belső függvények is többváltozós függvények. Ezek deriválása ugyancsak értelemszerű módosításokkal azonnal adódik. Ezek után rátérhetünk a címbeli probléma vizsgálatára. Az iránymenti derivált a parciális derivált általánosítása. Fogalmilag ugyanarról van szó. Egy felületi görbe adott pontjához tartozó érintőjének a meredekségét keressük. A parciális derivált jelentése is ez, annyi megkötéssel, hogy ott az [x, z] illetve [y, z] koordinátasíkkal párhuzamos sík metszi ki a felületi görbét, amely görbe a parciális függvény grafikonja. Az iránymenti derivált esetében ezt a következőképpen módosítjuk. Legyen először is az f egy kétváltozós függvény. Rögzítsük az értelmezési tartományban az (x0, y0) pontot és adjunk meg egy irányt. Erre több lehetőség is van. Megadhatunk egy α szöget, amelyet mindig az x-tengely pozitív irányától mérünk, de megadhatunk egy v vektort is, amely a kívánt irányba mutat. Mint látni fogjuk még jobb, ha egy adott irányba mutató e egységvektort adunk meg. Az említett mennyiségek közötti kapcsolat nyilvánvaló:

e

v   cos ,sin   ; v

y

v sinα

e α

y0

cosα x0

x

2.11. ábra. Az iránymenti derivált értelmezése

Tekintsük most azt a síkot, amely párhuzamos a z-tengellyel, illeszkedik az [x, y]-síkban levő (x0, y0) pontra, és ugyancsak az [x, y]-síkkal való metszésvonala az x-tengely pozitív irányával α Dr. Hanka László

157


Többváltozós Függvények szöget zár be. Ez a sík az f függvény grafikonjából – tehát egy felületből – kimetsz egy felületi görbét. Keressük ezen felületi görbe érintőjének meredekségét az (x0, y0, f(x0, y0)) felületi pontban. Ezt könnyen meghatározhatjuk, hiszen az említett módon tulajdonképpen egy olyan egyváltozós függvényt értelmeztünk, amely az eredeti f függvény egy leszűkítése az (x0, y0) pontra illeszkedő α-irányszögű egyenesre vonatkozólag.

t

g  t   f  x0  t cos , y0  t sin   ;

Definíció: Az iránymenti derivált fogalma. Legyen D az R2 egy tartománya és legyen az f kétváltozós függvény értelmezve ezen a tartományon. Legyen továbbá  x0 , y0   D . Az f kétváltozós függvény α-irányú iránymenti deriváltja az  x0 , y0   D pontban a fentiekben értelmezett g(t) függvény t = 0 pontbeli deriváltja, azaz

f   x0 , y0   g   0   lim t 0

f  x0  t cos , y0  t sin    f  x0 , y0  ; t

határérték, ha ez létezik és véges. A szakirodalomban fellelhető még több más jelölés is az iránymenti deriváltra, amelyeket néha ebben a jegyzetben is használunk majd. Szokásos eljárás, hogy a jelölésben azt a v vektort tüntetjük fel, amellyel az irányt megadjuk:

f f f   x0 , y0     f  x0 , y0    x0 , y0   f v  x0 , y0    v f  x0 , y0    x0 , y0  ;  v Mielőtt kiszámítanánk az iránymenti deriváltat, szemléltetjük a fogalmat a 2.12. ábrán.

φ

2.12. ábra. Az -irányú iránymenti derivált szemléltetése Dr. Hanka László

158


Többváltozós Függvények Az iránymenti derivált fogalmilag tehát nem más, mint a 2.12. ábrán a felületi görbéhez az (x0, y0, f(x0, y0)) felületi pontban húzott érintő meredeksége. Az érintő irányszögét jelöli φ, eszerint

f   x0 , y0   tg  Az iránymenti derivált kiszámításához felhasználjuk az összetett függvény deriválási szabályát. Voltaképpen a g  t   f  x  t  , y  t   összetett függvény t szerinti deriváltját keressük a t = 0 pontban, ahol x  t   x0  t cos , y  t   y0  t sin  . Mivel innen x  t   cos , y  t   sin  következik, ezért

g   t   f x  x  t  , y  t    x  t   f y  x  t  , y  t    y   t    f x  x0  t cos , y0  t sin    cos   f y  x0  t cos , y0  t sin    sin  ahonnan következik, hogy az iránymenti derivált a következő formula szerint számítható

f  x0 , y0   g   0   f x  x0 , y0   cos   f y  x0 , y0   sin ; Vegyük észre, hogy ez a kifejezés a gradiens fogalmával sokkal egyszerűbben felírható. Felidézve, hogy a gradiens vektor komponensei éppen a parciális deriváltak, az α-irányú egységvektor komponensei pedig cosα és sinα, világos, hogy az iránymenti derivált nem más, mint a gradiens vektor és az α-irányú egységvektor skaláris szorzata.

f  x0 , y0   gradf  x0 , y0   e  f  x0 , y0   e Hangsúlyozzuk, hogy itt a második komponens szükségképpen egységvektor. Ha egy nem egységnyi hosszúságú v vektort adunk meg, akkor azt először le kell normálni. Ha a fenti gondolatmenetet általánosítjuk több változóra, akkor könnyen látható, hogy az iránymenti derivált kiszámítására kapott legutóbbi képlet minden esetben igaz azzal a nyilvánvaló különbséggel, hogy 2-nél több változó esetén nem az x-tengely pozitív irányával bezárt szög a mérvadó, hiszen ez végtelen sok irányt megenged egy kúp palástjának alkotói mentén, hanem egy adott irányú v vektor definiálja az iránymenti deriváltat, melynek kiszámítása tehát tetszőleges n pozitív egész esetén a következő.

v v f v  x0 , y0   gradf  x0 , y0    f  x0 , y0   v v 2.17.Példa: Határozzuk meg az

f  x, y   x 2  xy  y 2 Dr. Hanka László

159


Többváltozós Függvények függvény (1, 1) pontbeli iránymenti deriváltját α = 75° irányban, majd tetszőleges α irányban. Határozzuk meg, milyen irányban maximális, minimális illetve zérus az iránymenti derivált. Először meghatározzuk a gradiens vektort. A parciális derivált függvények a következők

f x  x, y   2 x  y; f y  x, y   2 y  x; Ezek alapján kapjuk, hogy

f  x, y    2 x  y, 2 y  x  ; f 1,1  1,1 ; Ebből következik, hogy az α irányú iránymenti derivált az (1, 1) pontban a következő

f 1,1  f 1,1  e  1 cos   1 sin   cos   sin  Ennek a függvénynek keressük a szélsőértékeit és a zérushelyét. Felidézve egy addíciós tételt, azonos átalakításokkal adódik, hogy

1  1  cos   sin   2  cos   sin    2  cos 45 cos   sin 45 sin    2 cos    45  2  2  Kaptuk tehát, hogy

f 1,1  2 cos    45  Az α = 75° irányú iránymenti derivált egyszerű helyettesítéssel adódik

3 3 f  1,1  2 cos  75  45   2 cos  30   2   1, 2247 2 2 A kapott általános formula alapján világos, hogy az iránymenti derivált akkor maximális amikor a cos függvény maximális, tehát maximális értéke 2 , amikor a cos függvény értéke 1, ez pedig α = 45° esetén következik be. Hasonlóan adódik, hogy az iránymenti derivált minimális értéke  2 . Ez akkor teljesül ha a koszinusz függvény a –1 értéket veszi fel vagyis α = –135° esetén. Végül az iránymenti derivált zérus ha a koszinusz függvény értéke is zérus, ez pedig α = 135° illetve α = –45° esetén teljesül. A kétváltozós függvény iránymenti deriváltjának mintájára, a fenti gondolatmenet értelemszerű általánosításával kapjuk a három- és többváltozós függvény iránymenti deriváltját. A háromváltozós f  x, y, z  függvény  x0 , y0 , z0  pontbeli e   e1 , e2 , e3  egységvektor irányában vett iránymenti deriváltja a következő

fe  x0 , y0 , z0   f  x0 , y0 , z0   e  f x  x0 , y0 , z0   e1  f y  x0 , y0 , z0   e2  f z  x0 , y0 , z0   e3 ;

Dr. Hanka László

160


Többváltozós Függvények 2.18.Példa: Határozzuk meg az 1

f  x, y, z  

;  x, y, z    0, 0, 0 

x2  y 2  z 2

háromváltozós függvény (1, 1, 1) pontbeli iránymenti deriváltját a v = (1, 2, 3) vektor irányában. Mindenek előtt vegyük észre, hogy ez a v vektor nem egységvektor, tehát le kell normálni. e

v 1 1 2 3   1  v v , , ; 2 2 2 v 14  14 14 14  1 2 3

Most meghatározzuk a parciális derivált függvényeket 1

f x  x, y, z    2

 x2  y 2  z



2 3

1

f y  x, y, z    2

x

2



2

2 3

y z

2 3

y z 1

f z  x, y, z    2

x

2

2



 2x   2y    2z  

x

 x2  y 2  z 2 

3

;

y

x

2



;



;

2

2 3

y z

2 3

y z z

x

2

2

ahonnan a gradienstér és az adott pontbeli gradiens vektor már adódik   f  x, y, z      

x

x

2

y z 2



2 3

,

y

x

2

y z 2



2 3

,

z

x

2

 y2  z2 

3

  ;  

1 1 1   f 1,1,1    , , ; 27 27 27  

Az iránymenti derivált ebből a normált e egységvektorral történő skaláris szorzással adódik T

1 1 1  1 2 3  6 6  fe 1,1,1  f 1,1,1  e    , , , ,  ;    27 27 27   14 14 14  27 14 378  Hasonlóan adódik, hogy az n-változós f  r  függvény r0-pontbeli e   e1 , e2 ,..., en  egységvektor irányában vett iránymenti deriváltja a következő n

fe  r0   f  r0   e   f xi   r0   ei ; i 1

Dr. Hanka László

161


Többváltozós Függvények Ha az irányt egy egységvektortól különböző v vektorral adjuk meg, akkor a korábbiak szerint v ebben az esetben is le kell normálni az e  formula szerint. v Az iránymenti derivált fogalmát és a kiszámítására kapott összefüggést felhasználhatjuk arra, hogy a gradiens fogalmához egy nagyon szemléletes jelentést kapcsoljunk. Vizsgáljuk meg ennek érdekében, hogy a α-irányú iránymenti derivált milyen ϑ szög esetén vesz fel szélsőértéket, ahol a ϑ szög a gradiens vektor és az α-irányú e egységvektor szögét jelenti. Ehhez csak a skaláris szorzat elemi definíciójára kell hivatkoznunk. Ha tekintetbe vesszük, hogy az e egységvektor, kapjuk azt a becslést, hogy f  x0 , y0   f  x0 , y0   e  cos   f  x0 , y0   cos   f  x0 , y0 

Eszerint az iránymenti derivált értéke akkor maximális, ha ϑ = 0, tehát ha az e egységvektor párhuzamos a gradiens vektorral. Ez más szavakkal azt jelenti, hogy a gradiens vektor abba az irányba mutat amely irányban a függvény változásának gyorsasága maximális. Vagy még másképpen, a gradiens vektor irányában növekszik a függvényérték a legintenzívebben. Ez az irány intuitíve nyilvánvalóan az az irány, amely az adott pontban merőleges a ponton áthaladó szintvonalra, hiszen értelmezés szerint a szintvonal az a görbe, amely mentén a függvényérték konstans, tehát nem változik. Most megmutatjuk, hogy a legintenzívebb változás szükségképpen merőleges a szintvonalra. Legyen ennek érdekében r  t    x  t  , y  t    x  t   i  y  t   j ún. vektor-skalár függvény egy síkgörbe paraméteres alakja (a görbék elméletével a vektoranalízis című fejezetben általánosan foglalkozunk). Az adott kérdést tekintve a szintvonal az amelyet vizsgálunk. Határozzuk meg ennek a vektorfüggvénynek a deriváltját egy t0 paraméterű pontban. Definíció: Legyen adott az [a, b] intervallum, egy ezen intervallumon értelmezett r(t) függvény, és legyen t0 ]a, b[. Az r(t) függvényt a t0-pontban deriválhatónak nevezzük, ha létezik az r(t )  r(t0 ) t t0 t  t0

r (t0 )  lim

határérték. Ez a határérték a függvény definíciója szerint a koordináta-függvényekkel is felírható az alábbi módon.

 x(t )  x(t0 ) y (t )  y (t0 )  r(t0 )  lim  i j t t0 t  t0  t  t0  Itt a határérték mindkét tagban a valós-valós függvények témakörében már megismert „közönséges” differenciálhányados. Ha a t szerinti deriváltakat a paraméteres módon megadott függvényeknél megszokott módon ponttal jelöljük, akkor azt kapjuk, hogy:

r(t0 )  x(t )  i  y(t )  j Dr. Hanka László

162


Többváltozós Függvények Ez azt jelenti, hogy a vektor-skalár függvény deriváltját úgy kapjuk, hogy az előállításban szereplő koordinátafüggvényeket külön-külön deriváljuk az egyváltozós valós függvények témakörében megismert szabályok szerint. Másként mondva, az r(t) vektor-skalár függvény pontosan akkor deriválható a t0 helyen, ha mindkét koordináta-függvénye deriválható a t0 helyen, és ekkor a derivált koordinátafüggvényei a koordinátafüggvények deriváltjai. Ebből az is következik, hogy egy vektor-skalár függvény deriváltja szintén vektor-skalár függvény. Az r (t0 ) derivált szemléletes jelentéséhez gondoljuk meg a következőt. Az r(t) – r(t0) különbségvektor a síkgörbe két pontját összekötő húr vektora. Ha ezt a vektort elosztjuk a nem nulla t – t0 skalárral, akkor a vektor állása nem változik meg, tehát marad húr irányú. Ha képezzük a határértéket t → t0 esetén, akkor a húr r(t) végpontja közeledik az r(t0) végponthoz, határesetben a húrnak egyetlen közös pontja lesz a görbével, ezt pedig érintőnek nevezzük. Megállapíthatjuk tehát, hogy az r (t0 ) derivált a görbe t0 pontbeli érintővektora. A mondottakat szemlélteti a 2.13. ábra.

r (t0 ) r(t)

r(t)–r(t0)

r  t   r  t0  t  t0

r(t)

r(t0) O 2.13. ábra. Kétdimenziós vektor-skalár függvény deriváltjának értelmezése

Azt kaptuk tehát, hogy ha az r  t   x  t   i  y  t   j függvényt deriváljuk, akkor a derivált a t0 pontban az r(t0 )  x(t )  i  y(t )  j vektor, amely a görbe érintőjének irányába mutat.

Térjünk most vissza a gradiens vektor vizsgálatához. Tegyük fel, hogy a z  f  x, y  függvény z0 értékhez tartozó f  x, y   z0 szintvonalát paraméterezzük r  t   x  t   i  y  t   j alakban. Ha a függvénybe helyettesítjük a koordinátafüggvényeket, azaz képezzük az összetett függvényt, akkor értelmezés szerint g  t  : f  r  t    f  x  t  , y  t    z0  állandó

Dr. Hanka László

163


Többváltozós Függvények Képezzük most ennek a t paramétertől függő egyváltozós függvénynek a deriváltját a t változó szerint a láncszabály felhasználásával. Mivel ez egy konstans függvény, deriváltja azonosan zérus. Ha felidézzük a gradiens vektor fogalmát kapjuk, hogy

g   t   f x  x  t  , y  t    x  t   f y  x t  , y t    y t   f t   r t   0 Ez az összefüggés azt jelenti, hogy a szintvonal minden pontjában a gradiens vektor és a szintvonal érintő vektora merőlegesek, hiszen a skaláris szorzat pontosan akkor zérus, ha a vektorok merőlegesek egymásra. Ezzel igazoltuk, hogy a gradiens vektor minden pontban merőleges a szintvonalra.

2.14. ábra. A gradiens vektorok állása a nyeregfelület szintvonalainak néhány pontjában.

A mondottakat szemlélteti a 2.14. ábra, amelyen a hiperbolikus paraboloid, tehát az f  x, y   x 2  y 2 függvény grafikonja esetében rajzoltunk meg néhány szintvonalat és néhány pontban a gradiens vektort. A gradiens tehát mindenütt merőleges a szintvonalra és hossza arányos a növekedés mértékével. Ahol sűrűbbek a szintvonalak, ott intenzívebb a növekedés, ott hosszabbak a gradiens vektorok. Egy korábbi ábrára visszatekintve emlékeztetünk, hogy a kék színű szintvonalak a negatív függvényértéket jelölték a vörösek pedig a pirosat. Azonban a szintvonalakon láthatók a függvényértékek így a növekedés iránya is.

Dr. Hanka László

164


Többváltozós Függvények 2.19.Példa: Tekintsük az f  x, y   x 2  y 2 függvény z0 = 2 értékhez tartozó szintvonalát. Ennek

x2 y 2   1 egyenletű hiperbola. Ez az ábrán a piros színű egyenlete x  y  2 tehát az 2 2 görbepár. Egyszerű helyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy a jobb oldali görbének egy paraméterezése például a következő: r  t   2 ch t; 2 sh t . Valóban, ha helyettesítünk, akkor 2

2





az ismert hiperbolikus azonosság alapján adódik, hogy x2 y 2   2 2



  2

2 ch t 2

2 sh t



2

2



2ch 2 t 2sh 2 t   ch 2 t  sh 2 t  1 2 2

ami azt jelenti, hogy a paraméterezés helyes. Képezzük most a szintvonal deriváltját. r t  



2 sh t; 2 ch t



Most vizsgáljuk meg a gradiens függvényt. A függvény f  x, y   x 2  y 2 eszerint a gradiens vektor a következő T f  x, y    2 x; 2 y  Ha végül a kapott gradiens vektort képezzük az r  t  



2 ch t; 2 sh t



egyenletű szintvonal

pontjaiban, akkor azt kapjuk, hogy f  x  t  , y  t    2 x  t  ; 2 y  t   2ch  t  ; 2sh  t  T

T

Ha most képezzük a skaláris szorzatot az érintő irányú vektorral az adódik, hogy

 2 sh t  f  x  t  , y  t    r  t    2ch  t  ; 2sh  t       2 2  ch t sh t  sh t ch t   0 2 ch t   Tehát ebben a konkrét példában is jól látható, hogy a gradiens merőleges a szintvonalra. Ha ismét kiválasztjuk a x 2  y 2  2 szintvonalat, és ezen a görbén például a 3;1 pontot, akkor ebben a





pontban azonnal megadhatjuk a gradiens vektort és annak hosszát is. Ezek rendre a következők:

f





T

3,1  2 3; 2 ; f





3,1  4  3  4  4 . Ez pedig annyit jelent, hogy ha a





3;1

2 1  2 3 3 iránytangensű, tehát az x-tengellyel α = –30° szöget bezáró irányban, akkor a felületi görbe meredeksége éppen 4 egység. pontból a  2 3; 2

Dr. Hanka László

T

vektorral megadott irányban haladunk, vagyis a tg  

165



2.6. Többváltozós függvény magasabb rendű deriváltjai Az alkalmazások, a Taylor-sor meghatározása és a szélsőérték kiszámítása, azt igényli, hogy értelmezzük a magasabb rendű deriváltak fogalmát. A másod-, harmad-, stb. derivált függvények úgy adódnak, hogy az "elsőrendű" parciális derivált függvényeket ismét deriváljuk. Mivel az elsőrendű parciális derivált függvények ugyancsak többváltozós függvények, nincs szükség újabb definícióra. Mindössze arról van szó, hogy a parciális derivált definícióját alkalmazzuk a parciális derivált függvényekre. Ha elsőként a kétváltozós függvényekkel foglalkozunk, akkor világos, hogy az első változó szerinti elsőrendű parciális deriváltat elvben bármelyik változó szerint ismét deriválhatjuk, ha definícióban szereplő feltételek teljesülnek az elsőrendű deriváltra és ugyanez igaz a második változó szerinti parciális deriváltra. Ennek megfelelően másodrendű parciális derivált négyféle létezik. Ezek a következők

 f xx  x, y  

f xx  x, y  ;

 f x y  x, y  

f xy  x, y  ;

 f    x, y   f   x, y  ; y

yx

x

 f    x, y   f   x, y  ; y

yy

y

Gyakran használt elnevezés a következő. Az f xy  x, y  és f yx  x, y  másodrendű deriváltakat vegyes parciális deriváltaknak nevezzük. Természetesen a másodrendű deriváltra is alkalmazhatunk más jelöléseket. Ezek az alábbiak

 f 2 f  x, y   2  x, y   12 f  x, y  ; x x x  f 2 f x , y     x, y   12 f  x, y  ; y x yx  f 2 f x , y     x, y    21 f  x, y  ; x y xy  f 2 f x , y  x, y    22 f  x, y  ;   2  y y y Hogy egy adott probléma kapcsán melyiket alkalmazzuk, attól függ, hogy melyik a legegyszerűbb, vagy legkifejezőbb, de hangsúlyozzuk, hogy minden jelölés egyenértékű. Felhívjuk a figyelmet, hogy a vegyes parciális deriváltak esetében a klasszikus, "görbe d"-vel 2 f 2 f felírt  x, y  és  x, y  deriváltaknál a változók sorrendje fordítva van feltüntetve a yx xy

Dr. Hanka László

166


Többváltozós Függvények 2 f másik két jelölés logikájához képest. A  x, y  derivált esetén tehát először az x és utána az y yx változó szerint deriválunk. Hasonlóan értelmezhető és jelölhető a három illetve többváltozós függvények deriváltjai, illetve a harmad illetve magasabb rendű deriváltak. Például egy kétváltozós függvény harmadrendű deriváltjai – amelyekből összesen 23 = 8 db van – a következők

  x, y  ; f xxx   x, y  ; f yyy

  x, y  ; f xxy   x, y  ; f yyx

  x, y  ; f xyx   x, y  ; f yxy

  x, y  ; f yxx   x, y  ; f xyy

2.20.Példa: Állítsuk elő másodrendig bezárólag a következő függvény parciális deriváltjait.

f  x, y   x y ; x  0, y  R Az elsőrendű parciális deriváltak

f x  x, y   y  x y 1; f y  x, y   x y ln x; hiszen az első parciális függvény egy hatványfüggvény, a második parciális függvény pedig exponenciális függvény. A másodrendű parciális deriváltak pedig. f xx  x, y   y  y  1 x y  2 ; f xy  x, y   1 x y 1  yx y 1 ln x  yx y 1 ln x  x y 1 ; f yx  x, y   yx y 1 ln x  x y

1  yx y 1 ln x  x y 1 ; x

f yy  x, y   x y  ln x  ; 2

2.21.Példa: Állítsuk elő másodrendig bezárólag a következő függvény parciális deriváltjait.

f  x, y   e xy sin x  x  chy Az elsőrendű parciális deriváltak f x  x, y   e xy y sin x  e xy cos x 

1 2 x

ch y;

f y  x, y   e xy x sin x  x sh y;

A másodrendű parciális deriváltak pedig a következők

Dr. Hanka László

167


Többváltozós Függvények 1 f xx  x, y   e xy y 2 sin x  e xy y cos x  e xy y cos x  e xy   sin x   x 1,5 ch y; 4 1 f xy  x, y   e xy xy sin x  e xy sin x  e xy x cos x  sh y; 2 x 1 f yx  x, y   e xy yx sin x  e xy sin x  e xy x cos x  sh y; 2 x f yy  x, y   e xy x 2 sin x  x ch y; Vegyük észre, hogy mindkét példában a vegyes parciális deriváltak egyenlők. Ez bizonyos feltételek esetén általánosan is így van. Ezt fogalmazzuk meg a következő tételben. Tétel: (Schwartz; Young) Tegyük fel, hogy az f xy  x, y  és f yx  x, y  másodrendű parciális derivált függvények folytonosak egy (x0, y0) pontban. Ekkor ebben a pontban a vegyes parciális derivált függvények értéke egyenlő, azaz

f xy  x0 , y0   f yx  x0 , y0  Ha ezt a tételt egymás után többször alkalmazzuk az adódik, hogy folytonosság esetén a vegyes harmad vagy negyedrendű deriváltak is egyenlők, illetve a tétel igaz többváltozós függvényre is.   x, y  ; 2.22.Példa: Ha az f xxy

  x, y  ; f xyx

  x, y  ; deriváltak folytonosak akkor egyenlők. f yxx

Mutassuk ezt meg az f  x, y   x y ; x  0, y  R függvénnyel kapcsolatban. Ehhez felhasználjuk, hogy a másodrendű deriváltakat már előállítottuk. Rendre az f xx  x, y  , deriváltak alapján adódik, hogy

f xy  x, y  ,

f yx  x, y  ,

  x, y    y  1 x y  2  yx y  2  y  y  1 x y  2 ln x; f xxy 1   y  1 x y 2 ; x 1   x, y   y  y  1 x y  2 ln x  yx y 1   y  1 x y  2 ; f yxx x   x, y   y  y  1 x y  2 ln x  yx y 1 f xyx

amelyek valóban megegyeznek, tehát a vegyes harmadrendű parciális deriváltak egyenlők. Utóbbi kettő azonossága nyilván nem volt kétséges, hiszen már láttuk, hogy f xy  x, y   f yx  x, y  . A műszaki gyakorlatban nagyon ritkán találkozunk olyan függvényekkel, amelyek deriváltjaikkal együtt ne volnának folytonosak. Ebben az esetben a vegyes parciális deriváltak esetében elég egyet meghatározni, így folytonosság esetén már a kezünkben van az összes vegyes parciális derivált.

Dr. Hanka László

168



2.7. Többváltozós függvény Taylor-sora A többváltozós függvényekre vonatkozó Taylor-sort illetve a Taylor-formulát úgy kapjuk, hogy a problémát visszavezetjük az egyváltozós esetre. Ismét foglalkozzunk először a kétváltozós függvény esetével. Tegyük fel, hogy a kétváltozós f függvény értelmezve van P0   x0 , y0   D pontban, és ennek a pontnak egy k  x0 , y0  környezetében – azaz valamely pozitív ε esetén egy P0 középpontú ε-sugarú nyílt körlapon – és tegyük fel, hogy ebben a pontban tetszőlegesen sokszor parciálisan deriválható. Tegyük fel, hogy P   x, y   k  x0 , y0  és azt kérdezzük, hogyan közelíthető az f függvény P-pontbeli értéke a P0-beli függvényérték és a parciális deriváltak ismeretében. A választ a következő módon adjuk meg. Szűkítsük le a függvényt a P0P egyenes szakaszra. Ezen a szakaszon – pontosan úgy, mint az iránymenti derivált levezetése során –, a függvény egyváltozós függvénynek tekinthető. Ha bevezetjük a dx  x  x0 ; dy  y  y0 jelöléseket, akkor a leszűkített függvény az alábbi egyváltozós függvény:

g  t   f  x0  t  dx, y0  t  dy  ;

t

Ha a függvényértéket közelíteni akarjuk a P pontban, akkor eljárhatunk úgy, mint az egyváltozós esetben. Az egyváltozós g függvényt Taylor-sorba fejtjük a t = 0 pont körül – ugyanis ez felel meg az (x0, y0) síkbeli pontnak –, és annyi tagot veszünk figyelembe amennyit jónak látunk, illetve amennyi az előírt pontosság alapján szükséges. Ha feltesszük, hogy a g függvény végtelen sokszor deriválható, akkor a g függvény 0-körüli Taylor-sora a következő: T0 g (t )   n 0

g

n

 0  t n  g (0)  g 

n!

 0 t 

1 g   0  t 2  .... 2

Tekintettel a g függvény definíciójára, az összetett függvény deriválási szabályának alkalmazásával – figyelembe véve, hogy x  t   x0  t  dx, y  t   y0  t  dy , a kérdéses deriváltak a következő módon adódnak. A konstans tag nyilvánvaló

g  0   f  x0 , y0  ; Az elsőrendű derivált

g   t   f x  x  t  , y  t    x  t   f y  x  t  , y  t    y   t    f x  x0  tdx, y0  tdy   dx  f y  x0  tdx, y0  tdy   dy ahonnan kapjuk, hogy

g  0   f x  x0 , y0   dx  f y  x0 , y0   dy; Dr. Hanka László

169


Többváltozós Függvények A másodrendű derivált kiszámításához ismét szükség van a láncszabályra:

 





d d f x  x0  tdx, y0  tdy   dx  f y  x0  tdx, y0  tdy   dy  dt dt  f xx  x0  tdx, y0  tdy   dx 2  f xy  x0  tdx, y0  tdy   dxdy 

g   t  

 f yx  x0  tdx, y0  tdy   dydx  f yy  x0  tdx, y0  tdy   dy 2

Ahonnan – figyelembe véve, hogy folytonosság esetén a vegyes parciális deriváltak egyenlők – kapjuk, hogy

g   0   f xx  x0 , y0   dx 2  2 f xy  x0 , y0   dxdy  f yy  x0 , y0   dy 2 A sort folytathatnánk a harmad-, negyed-, stb. rendű deriváltakkal, de ebben a jegyzetben erre nem lesz szükség. Az alkalmazások során megelégszünk a legfeljebb másodfokú Taylorpolinommal. Ha a kapott deriváltakat helyettesítjük a g függvény 0-körüli Taylor sorába, akkor kapjuk a kétváltozós f függvény (x0, y0) pont körüli Taylor-sorát. T x0 , y0  f  x, y   f  x0 , y0   f x  x0 , y0   dx  f y  x0 , y0   dy  





1 f xx  x0 , y0   dx 2  2 f xy  x0 , y0   dxdy  f yy  x0 , y0   dy 2  ... 2

A formulát egyszerűsíthetjük ha alkalmazzuk a mátrixalgebra jelöléseit és fogalmait. Vezessük be a következő jelöléseket:

 f   x , y   dx  x 0 0 ; dr    ; f  x0 , y0    dy  f y  x0 , y0       Utóbbit már ismerjük, mint gradiens vektor. Továbbá bevezetünk egy fogalmat és jelölést, amelyre később a szélsőérték számítás témakörében is szükségünk lesz. Definíció: A Hesse-féle mátrix fogalma. A kétváltozós f függvény (x0, y0) pontbeli Hesse-féle mátrixának nevezzük az alábbi másodrendű szimmetrikus mátrixot.

 f   x , y  xx 0 0 H  x0 , y0     f yx  x0 , y0  

f xy  x0 , y0     R 22 ; f yy  x0 , y0  

Három- és n-változós függvény esetén a Hesse-mátrix értelmezése nyilvánvaló módosításokkal rendre az alábbi harmad illetve n-ed rendű szimmetrikus mátrix. Dr. Hanka László

170


Többváltozós Függvények  f   x , y , z  f   x , y , z  f   x , y , z   xy 0 0 0 xz 0 0 0  xx 0 0 0  2     H  x0 , y0 , z0    f  x0 , y0 , z0   f yx  x0 , y0 , z0  f yy  x0 , y0 , z0  f yz  x0 , y0 , z 0    R 33 ;    f zx  x0 , y0 , z0  f zy  x0 , y0 , z0  f zz  x0 , y0 , z0      12 f  P0  12 f  P0  ... 1n f  P0      21 f  P0   22 f  P0  ...  2 n f  P0   2  H  P0    f  P0    R nn ;  ...  ... ... ...   2   n1 f  P0   n 2 f  P0  ...  n f  P0  

Ezzel a definícióval, felidézve a mátrixok szorzásának értelmezését észrevehető, hogy a Taylorsor harmadik tagja az alábbi egyszerűbb alakba írható:





1 f xx  x0 , y0   dx 2  2 f xy  x0 , y0   dxdy  f yy  x0 , y0   dy 2  2  f   x , y  f   x , y    dx  1 xx 0 0 xy 0 0      dx dy   2  f yx  x0 , y0  f yy  x0 , y0    dy    1 1  drT H  x0 , y0  dr  drT  2 f  x0 , y0  dr 2 2

Ahonnan a Taylor-sor – az első három tag figyelembe vételével – egyszerűbb alakban a következő.

1 T T x0 , y0  f  x, y   f  x0 , y0   f  x0 , y0  dr  drT  2 f  x0 , y0  dr  ... 2 Ha az egyváltozós esethez hasonlóan a Taylor-sorból csak véges sok tagot veszünk figyelembe, akkor kapjuk a megfelelő fokszámú Taylor-polinomot. Ha három vagy többváltozós függvény Taylor-sorára van szükségünk, akkor a formula lényegében ugyanaz. Három változós függvény esetén például, ha alkalmazzuk a bevezetett  f   x , y , z   dx   x 0 0 0    dr   dy  ; f  x0 , y0 , z0    f y  x0 , y0 , z0   ;    dz   f z  x0 , y0 , z0      f   x , y , z   xx 0 0 0 2  f  x0 , y0 , z0    f yx  x0 , y0 , z0    f zx  x0 , y0 , z0   Dr. Hanka László

171

f xy  x0 , y0 , z0  f yy  x0 , y0 , z0  f zy  x0 , y0 , z0 

f xz  x0 , y0 , z0     f yz  x0 , y0 , z0   ;  f zz  x0 , y0 , z0    Óbudai Egyetem Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar

Többváltozós Függvények jelöléseket, akkor a három változós Taylor-sor az alábbi módon írható.

1 T T x0 , y0 , z0  f  x, y, z   f  x0 , y0 , z0   f  x0 , y0 , z0  dr  drT 2 f  x0 , y0 , z0  dr  ... 2 Ebben a jegyzetben – bár előfordul többváltozós alkalmazás is – elsősorban a kétváltozós Taylorsort alkalmazzuk majd, ezért erre az esetre vonatkozó fogalmakat, formulákat részletezzük. Definíció: Az Taylor-polinom fogalma. a) Az f függvény (x0, y0) ponthoz tartozó elsőfokú Taylor-polinomja

T1x0 , y0  f  x, y   f  x0 , y0   f  x0 , y0  dr  T

 f  x0 , y0   f x  x0 , y0  x  x0   f y  x0 , y0  y  y0  ; b) Az f függvény (x0, y0) ponthoz tartozó másodfokú Taylor-polinomja

1 T T 2x0 , y0  f  x, y   f  x0 , y0   f  x0 , y0  dr  drT  2 f  x0 , y0  dr  2  f  x0 , y0   f x  x0 , y0  x  x0   f y  x0 , y0  y  y0   





1 2 2 f xx  x0 , y0  x  x0   2 f xy  x0 , y0  x  x0  y  y0   f yy  x0 , y0  y  y0  ; 2

Ezeknek a Taylor-polinomoknak az alkalmazásával foglalkozunk a továbbiakban. Első alkalmazásként a függvényértékek közelítésével foglalkozunk, utána pedig a szélsőérték vizsgálatára térünk rá. Az első fokú Taylor-polinom tisztán elsőfokú tagjának kiemelt szerepe van például függvényértékek lineáris közelítésénél, vagy a hibaszámításnál. Ezért külön elnevezést és jelölést vezetünk be. Definíció: A Taylor-sor elsőfokú tagjainak összegét, tehát a polinom lineáris részét az f függvény r0 ponthoz tartozó teljes differenciáljának nevezzük és a df szimbólummal jelöljük. df  f  r0  dr T

Ez kétváltozós függvény esetében a

df  f x  x0 , y0  x  x0   f y  x0 , y0  y  y0   f x  x0 , y0  dx  f y  x0 , y0  dy; összeggel egyenértékű, háromváltozós esetben pedig az alábbival

df  f x  x0 , y0 , z0  dx  f y  x0 , y0 , z0  dy  f y  x0 , y0 , z0  dz; Dr. Hanka László

172


Többváltozós Függvények A teljes differenciált akkor szokás alkalmazni, amikor az r0 ponttól egy kicsiny dr mennyiséggel eltérve meg szeretnénk becsülni az f(r0) függvényérték megváltozását. Ezt közelítjük a df mennyiséggel. A hibaszámítás című pontban ezt a kérdést részletesen elemezzük. 2.23.Példa: Határozzuk meg az

f  x, y   arctg

y x

függvény (1, 1) ponthoz tartozó teljes differenciálját. Ehhez szükség van az elsőrendű parciális deriváltakra f x  x, y  

 y   2 ;  y  x  1   x 1

2

f y  x, y  

1  ;  y  x 1   x 1

2

amelyeknek az (1, 1) helyen vett értéke a következő f x 1,1 

1  1 1     ; 11  1  2

f y 1,1 

1 1 1   ; 11 1 2

Ezek alapján a teljes differenciál a következő

df  

1 1 1 1  x  1   y  1   dx  dy; 2 2 2 2

2.24.Példa: Határozzuk meg az f  x, y , z  

3

x2 y4 z

függvény (1, 8, 16) ponthoz tartozó teljes differenciálját. Először kiszámítjuk az elsőrendű parciális deriváltakat. f x  x, y, z  

3

2x x2 x2 y  x, y, z    z  x, y, z    ; f ; f ; y4 z 33 y4 4 z 4 3 y 4 z5

majd ezek helyettesítési értékét az (1, 8, 16) pontban.

f x 1,8,16  

2

3

1 4 1 4 1  ; f y 1,8,16      ; f z 1,8,16    3  ; 4 24 64 8 16 2 3 16 16 4 8  32 4

Innen már adódik az (1, 8, 16) ponthoz tartozó teljes differenciál.

Dr. Hanka László

173


Többváltozós Függvények df 

1 1 1 1 1 1  x  1   y  8   z  16  dx  dy  dz; 2 24 64 2 24 64

Ha esetleg szükség van a Taylor-sor magasabb fokú tagjaira, akkor azt sem probléma felírni, mindössze a binomiális tételre kell hivatkoznunk. Ha szükséges az n-edik tag, akkor azt a       x  x0    y  y0   differenciáloperátor n-edik hatványának az alkalmazásával kapjuk. y  x  Tehát a Taylor-sor n-edik tagja: n

 1     x  x0    y  y0   f n !  x y 

x  x0 ; y  y0



n 1 n  n   f  x0 , y0  nk k  x  x0   y  y0  ;    k nk n ! k 0  k  y x

Így természetesen előáll a második tag is, hiszen alkalmazva a formulát n = 2-re, kapjuk, hogy 2

 1     x  x0    y  y0   f 2!  x y 

x  x0 ; y  y0



2 1 2  2   f  x0 , y0  2 k k  x  x0   y  y0  ;    k 2k 2! k 0  k  y x

Amit ha kifejtünk az adódik, hogy 2 2 2  2   f  x0 , y0   2   f  x0 , y0  1   2   f  x0 , y0  2 2 x  x  x  x y  y   0    0   y  y0   ;   0   2 2 2!   0  x yx y 1  2 

ha figyelembe vesszük a binomiális együtthatók értékeit és visszatérünk a másik jelölésre valóban a már megismert formulát kapjuk.





1 2 2 f xx  x0 , y0  x  x0   2 f xy  x0 , y0  x  x0  y  y0   f yy  x0 , y0  y  y0  ; 2! Ezen az úton megkapjuk a magasabb fokú tagokat is. Lássuk példaképpen a sor harmadik tagját: 3

 1     x  x0    y  y0   f 3!  x y 

x  x0 ; y  y0



3 1 3  3   f  x0 , y0  3 k k  x  x0   y  y0  ;    k 3 k 3! k 0  k  y x

Kifejtve a felírt összeget, az adódik, hogy 3 3 3 3  3   f  x0 , y0   3   f  x0 , y0   3   f  x0 , y0  1   3   f  x0 , y0  3 2 2 3 x  x  x  x y  y  x  x y  y            y  y0            0 0 0 0 0 3 2 2 3 3!   0  x y  1  x y  2  xy  3 

Ha figyelembe vesszük a binomiális együtthatók értékét és alkalmazzuk a deriváltakra a szokásosabb indexes jelölésmódot, akkor adódik, hogy a harmadfokú tag a következő

Dr. Hanka László

174





1 3 2 2 3   x0 , y0  x  x0   3 f xxy   x0 , y0  x  x0   y  y0   3 f xyy   x0 , y0  x  x0  y  y0   f yyy   x0 , y0  y  y0  f xxx 3!



És így tovább minden magasabb fokú tag is előáll. Ezzel az észrevétellel a kétváltozós Taylorsort általános "szummás-alakban" is fel tudjuk írni.

 1 n  n   n f  x0 , y0  nk k  T x0 , y0  f  x, y         x  x0   y  y0  ; k nk n  0  n ! k  0  k  y x  2.25.Példa: Határozzuk meg az f  x, y  

x ; x  0, y  0 y

függvény (1, 1) ponthoz tartozó másodfokú Taylor-polinomját. Ehhez szükség van az összes első- és másodrendű parciális deriváltra f x  x, y  

f xx  x, y   

 1 1 ; f y  x, y   x    2 y3 2 xy 

1 4 x3 y

; f xy  x, y   

1 4 xy 3

 1   2 

; f yy  x, y  

x ; y3

3 x 4 y5

;

A függvény és a deriváltak helyettesítési értéke az (1, 1) pontban rendre a következő

1 1 1 1 3 f 1,1  1; f x 1,1  ; f y 1,1   ; f xx 1,1   ; f xy 1,1   ; f yy 1,1  ; 2 2 4 4 4 ahonnan az (1, 1) pont körüli másodfokú Taylor-polinom formálisan az alábbi 2   T1,1  f  x, y   f 1,1  f x 1,1 x  1  f y 1,1 y  1 







1 2 2 f xx 1,1 x  1  2 f xy 1,1 x  1 y  1  f yy 1,1 y  1 ; 2

Helyettesítve a deriváltak értékét kapjuk, hogy 2 T1,1  f  x, y   1 

1 1 1 1 1 3 2 2  x  1   y  1     x  1  2     x  1 y  1   y  1  ; 2 2 2 4 4  4 

ahonnan összevonással adódik a polinom végső alakja

Dr. Hanka László

175


Többváltozós Függvények 2 T1,1  f  x, y   1 

1 1 1 1 3 2 2  x  1   y  1   x  1   x  1 y  1   y  1 ; 2 2 8 4 8

2.26.Példa: Határozzuk meg az

f  x, y, z  

z x  y2 2

háromváltozós függvény (1, 2, –1) ponthoz tartozó elsőfokú Taylor-polinomját. Ehhez szükség van az elsőrendű parciális deriváltakra

f x  x, y, z   

x

2 xz 2

y



2 2

; f y   x, y , z   

x

2 yz 2

y



2 2

; f z   x, y , z  

1 ; x  y2 2

A függvény és deriváltjainak helyettesítési értéke az (1, 2, –1) pontban rendre a következő

1 2 4 1 f 1, 2, 1   ; f x 1, 2, 1  ; f y 1, 2, 1  ; f z 1, 2, 1  ; 5 25 25 5 Innen kapjuk az elsőfokú Taylor-polinomot

1 2 4 1 T11,2,1 f  x, y, z      x  1   y  2    z  1 ; 5 25 25 5 2.27.Példa: Határozzuk meg az

f  x, y   e xy ;  x, y   R 2 függvény (1, 1) ponthoz tartozó harmadfokú Taylor-polinomját. Ehhez szükség van az összes első-, másod- és harmadrendű deriváltra.

f x  x, y   ye xy ; f y  x, y   xe xy ; f xx  x, y   y 2e xy ; f xy  x, y   e xy  yxe xy ; f yy  x, y   x 2e xy ;   x, y   y3e xy ; f xxy   x, y   2 ye xy  y 2 xe xy ; f xyy   x, y   2xe xy  yx 2e xy ; f yyy   x, y   x 3e xy ; f xxx Számítjuk a függvényértéket és a deriváltak helyettesítési értékét az (1, 1) pontban.

f 1,1  e; f x 1,1  e; f y 1,1  e; f xx 1,1  e; f xy  x, y   2e; f yy  x, y   e;  1,1  e; f xxy   x, y   3e; f xyy   x, y   3e; f yyy   x, y   3; f xxx

Dr. Hanka László

176


Többváltozós Függvények Helyettesítve a harmadfokú Taylor-polinom általános képletébe, kapjuk a keresett Taylorpolinomot 1 2 2 3 T1,1 e  x  1  2  2e  x  1 y  1  e  y  1   f  x, y   e  e  x  1  e  y  1  2 1 3 2 2 3  e  x  1  3  3e  x  1  y  1  3  3e  x  1 y  1  e  y  1 ; 6



 



Rendezés után az adódik, hogy e e 2 2  x  1  2e  x  1 y  1   y  1  2 2 e 3e 3e e 3 2 2 3   x  1   x  1  y  1   x  1 y  1   y  1 ; 6 2 2 6

3 T1,1  f  x, y   e  e  x  1  e  y  1 

Ha szükséges, ezzel a polinommal közelíthetjük az f függvényt az (1, 1) pont környezetében. Ha nem az (1, 1) pont környezetében hanem például a (0, 0) pont környezetében szeretnénk közelíteni a függvényt, akkor a függvényértéket és a deriváltakat az origóban kell számítani. A deriváltakat tekintetbe véve világos, hogy az első- és harmadrendű deriváltak értéke mind zérus, a másodrendűek közül is csak a vegyes parciális derivált értéke különbözik 0-tól. A függvényértékkel együtt a polinom 0-tól különböző együtthatói a következők

f 1,1  1; f xy  x, y   1; Ebből következően az origó körüli másodfokú Taylor-polinom a következő

1 2 T1,1  f  x, y   1   2 1  x  0  y  0   1  xy; 2

2.15. ábra. Az exy függvény (piros-kék színű felület) közelítése a másodfokú 1 + xy Taylor-polinommal (szürke színű felület) az origó környezetében

Dr. Hanka László

177


Többváltozós Függvények A Taylor-sor vizsgálata során nyilván ki kell térnünk annak a kérdésnek a vizsgálatára, hogy ha egy függvényt egy bizonyos szituációban a sor véges sok tagjával becslünk, akkor mekkora hibát követünk el. A hibabecslés történhet a Lagrange-féle maradéktaggal pontosan úgy, ahogyan azt az egyváltozós függvények Taylor-soránál tettük. Megvizsgáljuk, hogy milyen módon írható fel ebben az esetben a Lagrange-féle maradéktag és azt, hogy ennek milyen következményei vannak. Induljunk ki a fentiekben definiált g(t) függvény 0-körüli sorából. T0 g (t )   n 0

g

n

 0  t n  g (0)  g 

n!

 0 t 

1 g   0  t 2  .... 2

Ez egyváltozós függvény, amelyre alkalmazható a Taylor-tétel. Eszerint létezik a ]0, t[ intervallumban egy olyan ξ pont amelyre igaz a következő egyenlőség: g  k   0  k g  n 1    n 1 g (t )  T g (t )  Rn  t    t  t ; k!  n  1! k 0 n

n 0

Tekintettel arra, hogy az f(x, y) függvény (x0, y0)-pont körüli Taylor-sora az előzőekben felírt egyváltozós Taylor-sorból úgy adódik, hogy a t változót 1-gyel helyettesítjük, hiszen ez g  t   f  x0  t  dx, y0  t  dy  és dx  x  x0 ; dy  y  y0 nyilvánvalóan következik a t definíciókból, az adódik hogy g  k   0  g  n 1    f  x, y   g (1)  T g (1)  Rn 1    ; k!  n  1! k 0 n

n 0

ahol   0,1 . Ebből az általános képletből adódik, hogy ha elsőfokú polinommal közelítünk, akkor a Taylortétel konkrét alakja, vagyis a Taylor-formula a következő f  x, y   f  x0 , y0   f  x0  dx, y0  dy  dr  T

 f  x0 , y0   f x  x0  dx, y0  dy  dx  f y  x0  dx, y0  dy  dy;

ha pedig másodfokú Taylor-polinommal közelítünk, akkor pedig a Taylor-formula az alábbi egyenlőséggel adható meg

1 T f  x, y   f  x0 , y0   f  x0 , y0  dr  drT  2 f  x0  dx, y0  dy  dr  2  f  x0 , y0   f x  x0 , y0  dx  f y  x0 , y0  dy  





1 f xx  x0  dx, y0  dy  dx 2  2 f xy  x0  dx, y0  dy  dxdy  f yy  x0  dx, y0  dy  dy 2 ; 2

Dr. Hanka László

178


Többváltozós Függvények Ezeket az egyenlőségeket pontosan úgy használhatjuk hibabecslésre, mint az egyváltozós esetben. Az általános Taylor-formula pedig a következő: létezik   0,1 olyan, hogy teljesül az m n 1 n  1 m  m   f  x0 , y0  m k k  1 n 1  n  1  f  x0  dx, y0  dy  n  k 1 k f  x, y        dx dy  dx dy    k mk   n  1!  y k x n k 1 m  0  m! k  0  k  y x k 0  k  

egyenlőség. 2.28.Példa: Számítsuk ki a 4,82  3,12 függvényértéket közelítőleg elsőfokú Taylorpolinommal és becsüljük meg a közelítés hibáját. A problémát például az

f  x, y   y 2  x 2 függvény segítségével oldhatjuk meg, és a sorfejtést célszerűen az végezzük. Az elsőrendű deriváltak a következők f x  x, y  

1 2 y x 2

2

 2 x  

x y x 2

2

; f y  x, y  

 x0 , y0    5,3

1 2 y x 2

2

2y 

y y  x2 2

pont körül

;

A függvény és a deriváltak helyettesítési értéke az (5, 3) helyen f  3,5  52  32  4; f x  3,5  

3

3 5 5   ; f y  3,5    ; 4 52  32 52  32 4

Ezek szerint az elsőfokú Taylor-polinom a következő

T13,5 f  x, y   4 

3 5  x  3   y  5  ; 4 4

Ebből következik a közelítő függvényérték

4,82  3,12  f  3,1; 4,8  4 

3 5 0,3 1 147  3,675; 3,1  3   4,8  5  4    4 4 4 4 40

Kérdés, mekkora ennek a közelítő értéknek a hibája. Ennek becsléséhez használjuk a Taylortételt. A tétel szerint létezik olyan   0,1 valós szám, melyre teljesül, hogy f  3,1;4,8 

Dr. Hanka László





147 1  f xx  3  dx,5  dy  dx 2  2 f xy  3  dx,5  dy  dxdy  f yy  3  dx,5  dy  dy 2 ; 40 2

179


Többváltozós Függvények ahol dx = 0,1 és dy = –0,2. Azonban a   0,1 meghatározására a Taylor-tétel nem ad utasítást, ezért a hibát csak becsülni tudjuk. Ehhez ki kell számítanunk a másodrendű deriváltakat és ezek értékét kell felülről becsülni. 1

 y2  x2  x

2 y  x2 y2  x2

f xx  x, y  

x f xy  x, y  

1 2 y  x2 y 2  x2 2

2x

2x2  y 2



y

2

 x2 

3

;

2y

y2  x2  y f yy  x, y  

2

2 xy



y

 x2 

2

1

3

;

2y

2 y  x2 y 2  x2 2

 x2



 y 2  x2 

3

;

A becslést az f  3,1; 4,8 





147 1  f xx  3  0,1;5  0, 2  0,12  2 f xy 3  0,1;5  0, 2  0,1  0, 2  f yy 3  0,1; 5  0, 2  0, 22 ; 40 2

formula alapján végezzük. A második deriváltak felső becslése

f xx  3  0,1 ;5  0, 2   f xy  3  0,1 ;5  0, 2   f yy  3  0,1 ;5  0, 2  

52  2  32

 4,8

2



2 3

 3,1

2  3,1  5

 4,82  3,12 

3

3,12

 4,8

2



2 3

 3,1

 0,142;  0, 629;

 0,195;

Innen adódik a hiba felső becslése f  3,1; 4,8 

147 1   0,142  0,12  2  0, 629  0,1 0, 2  0,195  0, 22   0, 01719; 40 2

Kaptuk tehát, hogy 4,82  3,12  3,675  0,01719 , ami azt jelenti, hogy a függvényérték benne van a [3,65781; 3,69219] intervallumban. A számológéppel kapott érték 3,66469, ami valóban ezen intervallum eleme, tehát a becslésünk helyes. A becslésből az is kiderült, hogy – tekintettel a hiba becsült értékére, figyelembe véve a közelítő értéket –, egy tizedes pontossággal kaptuk a függvényértéket. Pontosabb közelítéshez nyilván magasabb fokú Taylor-polinom szükséges. Dr. Hanka László

180



2.8. Függvényértékek közelítő számítása 2.8.1. Lineáris közelítés, kétváltozós függvény érintősíkja Egy többváltozós függvény legegyszerűbb közelítését kapjuk, ha az elsőfokú Taylor-polinommal közelítünk. Ezt nevezzük elsőfokú vagy lineáris közelítésnek. Definíció: A lineáris közelítés fogalma. A többváltozós f függvény P0 pontbeli lineáris közelítésének nevezzük az f  P   T1x0 , y0  f  P   f  P0   f  P0  dr T

közelítő formulát. Kétváltozós esetben ez a P0  x0 , y0  ; P  x, y  jelölések figyelembe vételével a következő f  x, y   f  x0 , y0   f x  x0 , y0  x  x0   f y  x0 , y0  y  y0  ; Jelölésbeli egyszerűsítés érdekében gyakran alkalmazzuk a dx   x  x0  , dy   y  y0  jelöléseket. Ebben a kétváltozós esetben arról van szó, hogy a függvényt, az (x0, y0) pontbeli érintősíkjával közelítjük. Mivel a

z  f  x0 , y0   f x  x0 , y0  x  x0   f y  x0 , y0  y  y0  egyenlet mindhárom változójában lineáris egyenlet, nyilvánvaló hogy sík egyenlete. Az is nyilvánvaló, hogy az (x0, y0, f(x0, y0)) rendezett hármas, vagyis a felületi pont koordinátái kielégítik az egyenletet, tehát ez egy olyan sík, amelyik illeszkedik a felületi pontra. Már csak azt kell igazolnunk, hogy valóban "érintő" helyzetű. Ehhez azt kell tekintetbe vennünk, hogy az érintősíkot a parciális függvények érintő egyenesei feszítik ki. Ez látható a 2.16. ábrán.

v1 v2

n

2.16. ábra. Egy kétváltozós függvény által meghatározott felület érintősíkját kifeszítő két érintő egyenes és a sík normálvektora Dr. Hanka László

181


Többváltozós Függvények Keressük a sík normálvektorát. Az ábra alapján ez nyilvánvalóan a v1 és v2 vektorok vektoriális szorzataként adódik, ahol v1 és v2 a parciális függvények érintőivel párhuzamos vektorok, vagyis az érintő egyenesek irányvektorai. Mivel ezen érintők meredeksége rendre 1 f  x0 , y0  és

 2 f  x0 , y0  ezért a kérdéses irányvektorokat megadhatjuk például a következő módon: v1  1,0, 1 f  x0 , y0   ; v 2   0,1,  2 f  x0 , y0   ; Ezen vektorok vektoriális szorzata pedig a következő:

i

j

k

n  v1  v 2  1 0 1 f  x0 , y0   i  0  1 f  x0 , y0    j   2 f  x0 , y0   0   k 1  0  ; 0 1  2 f  x0 , y0 

Összevonás és (–1)-gyel történő szorzás után adódik az érintősík egy normálvektora.

n   1 f  x0 , y0  ,  2 f  x0 , y0  , 1 ; Ha az elsőfokú Taylor polinom felhasználásával kapott lineáris egyenletet átrendezzük, akkor az eredetivel ekvivalens alakban kapjuk a kétváltozós függvény érintősíkjának egyenletét: 1 f  x0 , y0  x  x0    2 f  x0 , y0  y  y0    z  f  x0 , y0    0; vagy f x  x0 , y0  x  x0   f y  x0 , y0  y  y0    z  f  x0 , y0    0;

Ebben az egyenletben az együtthatók éppen a kapott normálvektor koordinátái, amivel igazoltuk, hogy ha a kétváltozós f függvényt az elsőfokú Taylor polinomjával közelítjük, akkor az geometriailag annyit jelent, hogy a függvényt az (x0, y0, f(x0, y0)) pontbeli érintősíkjával közelítjük. Ez a lineáris közelítés lényege.

2.17. ábra. A parciális függvények érintői által kifeszített érintősík

Dr. Hanka László

182


Többváltozós Függvények Mellékeredményként adódik a fenti gondolatmenetből a felületi normális egyenletrendszere. A felületi normális az az egyenes amely a felületi pontban döfi a felületet és merőleges az adott pontbeli érintősíkra. Nyilvánvaló ebből, hogy a normális irányvektora pontosan megegyezik az érintősík normálvektorával, tehát egy irányvektor

v   1 f  x0 , y0  ,  2 f  x0 , y0  , 1 ; Ennek ismeretében már felírhatjuk az (x0, y0, f(x0, y0)) felületi ponton áthaladó v irányvektorú egyenes paraméteres egyenletrendszerét. A felületi normális paraméteres egyenletrendszere tehát a következő

 x  x0  t  1 f  x0 , y0    y  y0  t   2 f  x0 , y0    z  f  x0 , y0   t   1 2.29.Példa: Alkalmazzuk a lineáris közelítés módszerét a 5,022  11,972 függvényérték közelítő meghatározására. Definiálunk egy kétváltozós függvényt amely jól illeszkedik a problémához, és keresünk alkalmas (x0, y0) pontot amely körül célszerű felírni az elsőfokú Taylor-polinomot. A vizsgált problémához nyilván jól illeszkedik a következő választás:

f  x, y   x 2  y 2 ; x0  5; y0  12; dx  0,02; dy  0,03 Elsőként számítsunk függvényértéket az (x0, y0) pontban.

f  x0 , y0   x02  y02  52  122  13; Most vegyük figyelembe a korrekciót a teljes differenciál alkalmazásával. Ehhez szükség van a parciális deriváltak értékére az adott pontban.

f x  x, y   f y  x, y  

x x2  y 2 y x y 2

2

; f x  x0 , y0   ; f y  x0 , y0  

5 52  122 12 5  12 2

2



5 ; 13



12 ; 13

Behelyettesítve ezeket a teljes differenciál képletébe, kapjuk, hogy 5, 022  11,97 2  f  x, y   f  x0 , y0   f x  x0 , y0  dx  f y  x0 , y0  dy   13 

Dr. Hanka László

5 12 0, 02  (0, 03)  12,98; 13 13

183


Többváltozós Függvények Ha

összevetjük

ezt

az

eredményt

egy

számológép

által

adott

eredménnyel

( 5,02  11,97  12,980034 ), látható, hogy a lineáris közelítés meglepően jó közelítő eredményt szolgáltatott. Ez természetesen azon is múlik, hogy a dx és dy mennyiségek nagyon kicsik. Ha az eltérés az (x0, y0) ponttól nagyobb, akkor célszerű magasabb rendű közelítést alkalmazni. 2

2

2.30.Példa: Alkalmazzuk a lineáris közelítés módszerét a 1,002  2,0032  3,0043 függvényérték közelítő meghatározására. Ebben az esetben egy három változós függvényt kell definiálnunk, amely illeszkedik a problémához. A függvény és az  x0 , y0 , z0  pont célszerűen a következő f  x, y, z   xy 2 z 3 ; x0  1, y0  2, z0  3; dx  0,002; dy  0,003; dz  0,004;

Elsőként kiszámítjuk a függvény helyettesítési értékét az  x0 , y0 , z0   1, 2,3 pontban.

f 1, 2,3  1 22  33  108 Meghatározzuk a parciális derivált függvényeket

f x  x, y, z   y 2 z 3 ; f y  x, y, z   2 xyz 3 ; f z  x, y, z   3xy 2 z 2 ; Ezek helyettesítési értéke az  x0 , y0 , z0   1, 2,3 pontban rendre a következő

f x 1, 2,3  22  33  108; f y 1, 2,3  2  2  33  108; f z 1, 2,3  3  22  32  108; Ennek alapján az  x0 , y0 , z0   1, 2,3 pontbeli teljes differenciál az T1x0 , y0 , z0  f  x, y, z   f  x0 , y0 , z0   f  x0 , y0 , z0  dr T

elsőrendű Taylor-polinom felhasználásával a következő df  f  x0 , y0 , z0  dr  f x 1, 2,3 dx  f y 1, 2,3 dy  f z 1, 2,3 dz  108(dx  dy  dz ) T

Figyelembe véve a konkrét adatokat, kapjuk hogy

df  108  (0,002  0,003  0,004)  0,972 Eszerint a közelítő függvényérték

1,002  2,0032  3,0043  108  0,972  108,972 Dr. Hanka László

184


Többváltozós Függvények Megjegyezzük, hogy a számológépes számítás eredménye 108,975 tehát két tizedes pontosságú eredményt kaptunk a lineáris közelítéssel. A hibabecsléssel a következő pontban foglalkozunk. 2.31.Példa: Vezessünk le közelítő formulát az origó környezetében az

f  x, y   arctg

x y 1  xy

függvény értékeinek közelítő kiszámítására. A feltevés szerint tehát pontban a függvényérték 00 f  0, 0   arctg  arctg 0  0 1 0

 x0 , y0    0,0 .

Ebben a

A teljes differenciált alkalmazzuk a függvényérték megváltozásának közelítésére. Ehhez szükségesek az elsőrendű parciális deriváltak. f x  x, y  

1  xy   x  y  y

1  x y  1    1  xy 

2

1  xy 

2

; f y  x, y  

1  xy   x  y  x

1  x y  1    1  xy 

2

1  xy 

2

;

Ezek helyettesítési értéke az  x0 , y0    0,0  pontban egyaránt 1. Innen kapjuk az elsőrendű Taylor-polinomot illetve a teljes differenciált. T1x0 , y0  f  x, y   f  x0 , y0   f  x0 , y0  dr  0  1  x  0   1  y  0   x  y; T

vagyis df  x  y . Mivel f(0, 0) = 0 ezért az origó környezetében a függvényértékek közelítő kiszámítására alkalmas formula az alábbi

f  x, y   x  y; 2.32.Példa: Határozzuk meg az

f  x, y   x 2  y 2 függvény (3, 4) pontbeli érintősíkjának egyenletét és a felületi normális egyenes paraméteres egyenletrendszerét. Az 1. fejezet alapján tudjuk, hogy a grafikon egy forgáskúp felület. A parciális derivált függvények a következők f x  x, y  

Dr. Hanka László

1 2 x2  y 2

2x 

x x2  y 2

; f y  x, y  

185

1 2 x2  y 2

2y 

y x2  y 2

;


Többváltozós Függvények A helyettesítési értékek a (3, 4) pontban f x  3, 4  

3

3 4 4  ; f y  3, 4    ; 32  42 5 32  42 5

Innen adódik az érintősík normálvektora ami egyben a felületi normális irányvektora is 3 4  3 4  n   , , 1 ; v   , , 1 ; 5 5  5 5 

Nyilván ezen vektorok 5-szöröse is normál- illetve irányvektor, tehát az általunk választott normálvektor és irányvektor a következő n   3, 4, 5 ; v   3, 4, 5 . Mivel f  3, 4   5 ezért a felületi pont koordinátái (3,4,5). Ebből következően az érintősík egyenlete

3  x  3  4  x  4  5  x  5  0; azaz 3x  4 y  5z  0; az érintősík tehát illeszkedik az origóra. A felületi normális egyenletrendszere pedig  x  3  3t   y  4  4t ;  z  5  5t 

2.18. ábra. A kúp (piros-kék színű felület) (3,4) pontbeli érintősíkja (szürke felület) és a felületi normális egyenes

Dr. Hanka László

186



2.8.2. Hibaszámítás Rokon probléma, bár természetéből adódóan a teljes differenciál némileg eltérő alkalmazása a hibaszámítás. Ehhez vegyük tekintetbe, elsőként kétváltozós esetben, a következőket. Tegyük fel, hogy méréseket végzünk, és a mért értékek x0 és y0. Ezek a mért értékek hibával terheltek, jelölje ezen mennyiségek mérésből adódó, vagy akár inherens hibáját dx és dy. Ezekből a mennyiségekből kiszámítunk egy f(x, y) függvényértéket. Nyilvánvaló, hogy a számított érték is tartalmaz hibát, hiszen a változói is hibával terheltek. A közelítő függvényérték előző pontban bemutatott számítása nagyon közeli problémakör, azonban van egy alapvető különbség. A hibaszámításnál nem tudjuk, hogy a valódi értéktől való eltérés milyen előjelű, ezért az abszolút hibát, tehát a dx és dy mennyiségeket úgy definiáljuk, hogy az eltérések abszolút értéke, azaz definíció szerint pozitív mennyiségek. Ezt úgy is kifejezésre juttatjuk, hogy a méréssel kapott érték x0  dx és y0  dy . Feladatul tűzzük ki ezek után az f(x0, y0) függvényérték hibájának becslését. A számított érték becsült hibáját jelölje df. A tényleges hiba azonban ettől eltérő, ennek jele legyen Δf. A kettő közötti különbséget világítja meg a 2.19. ábra.

(x0+dx,y0+dy)

2.19. ábra. A hibaszámítás grafikus háttere

Ez alapján világos, hogy ha az (x0, y0) pont helyett az (x0+dx, y0+dy) pontban számítjuk a függvényértéket, akkor az eltérés f  f  x0  dx, y0  dy   f  x0 , y0 

Ezt az eltérést, pontosabban ennek az abszolút értékét, azonban csak becsülni tudjuk. A becslés a teljes differenciál segítségével, tehát az elsőfokú Taylor-polinom segítségével történik.

f  x0  dx, y0  dy   f  x0 , y0   f  df  f x  x0 , y0  dx  f y  x0 , y0  dx; Dr. Hanka László

187


Többváltozós Függvények A 2.19. ábra szemléletesen is alátámasztja az elsőfokú Taylor-polinom alkalmazásának jogosságát, ha tetszik igazolja, hogy az érintősíkkal történő közelítés egybeesik a teljes differenciállal, hiszen a derivált definíciója alapján a dx hibából adódó eltérés közelíthető az f x  x0 , y0  dx  D1 f  x0 , y0  dx mennyiséggel, és hasonlóan a dy hibából adódó eltérés pedig az

f y  x0 , y0  dy  D2 f  x0 , y0  dy mennyiséggel. Az ábra alapján világos, hogy ezek összegével érdemes első rendben közelíteni a hibát. A hibabecslő formula abból adódik, hogy ennek becsüljük az abszolút értékét felülről. Figyelembe véve a háromszög egyenlőtlenséget valamint azt hogy a dx és dy értelmezés szerint pozitív mennyiségek, kapjuk a becslést: f  df  f x  x0 , y0  dx  f y  x0 , y0  dx  f x  x0 , y0  dx  f y  x0 , y0  dx Ezzel a jobb oldali összeggel becsülhetjük felülről a hibát. A hibaszámítás kapcsán szokás beszélni abszolút és relatív hibáról. Utóbbi az abszolút hibának a mért illetve számított értékhez viszonyított aránya, amelyet szokás %-os formában is megadni. A   dx dy f x  x0 , y0  dx  f y  x0 , y0  dx relatív hibák tehát . Ez utóbbit az egyszerűség de a , , x0 y0 f  x0 , y0  mögöttes tartalom szem előtt tartásával szokás a

df szimbólummal is jelölni. Tekintsünk a f  x0 , y0 

mondottak illusztrálására egy egyszerű példát. 2.33.Példa: Tegyük fel, hogy egy kocka alakú szilárd test sűrűségét határozzuk meg. Mérünk tömeget és hosszúságot, azaz a kocka élhosszát. Legyenek a mért adatok az abszolút hibával a következők, élhosszúság: x = 0,1  0 001(m); tömeg : y = 1,5  0,003(kg). Határozzuk meg az anyag sűrűségének számított értékét és becsüljük meg annak hibáját. Egyrészt világos, hogy a sűrűséget a

    x; y  

m y  V x3

összefüggéssel számíthatjuk. Világos tehát, hogy a sűrűség értéke egy kétváltozós függvénnyel számítható. Ha alkalmazzuk az

x0  0,1; dx  0, 001; y0  1,5; dy  0, 003; jelöléseket, akkor adódik a sűrűség számított értéke 0    x0 ; y0     0,1;1,5 

1,5  kg   1500  3  3 0,1 m 

Most megbecsüljük a számított érték hibáját. Ehhez szükség van a parciális deriváltakra. Dr. Hanka László

188


Többváltozós Függvények x  x; y   

3y 1 ; y  x; y   3 ; 4 x x

Kiszámítjuk a deriváltak értékét az adott pontban.

x  x0 ; y0   x  0,1;1,5  

3 1,5 1  45000; y  x0 ; y0   y  0,1;1,5   3  1000; 4 0,1 0,1

Végül alkalmazzuk a hibabecslő formulát. A példa jelöléseivel

  d    x  x0 , y0  dx   y  x0 , y0  dx  45000  0,001  1000  0,003  48  kg  Kaptuk tehát, hogy a sűrűség értéke   1500  48  3  . A relatív hibák pedig a következők. m  dx 0, 001 dy 0, 003 d 48   1%;   0, 2%;   3, 2%; x0 0,1 y0 1,5   x0 , y0  1500

Ebből kiderül, hogy a számított érték hibája az x adat mérési hibájával egy nagyságrendbe esik, az y hibájánál viszont egy nagyságrenddel nagyobb. Ha pontosítani szeretnénk a számított értéket, akkor nyilván a hosszúságmérést kell pontosabbá tenni. A következőkben egy olyan példát mutatunk ahol nem két hanem három változótól függ a számított függvényérték. Ebben az estben a hibaszámítás a következő módon történik. Az elsőfokú Taylor-polinom formálisan nem változik, tehát a közelítés ugyancsak a f  P   T1x0 , y0  f  P   f  P0   f  P0  dr T

formula alapján történi, azonban ha figyelembe vesszük, hogy három változós a függvény, akkor, ez a becslés a következő konkrét alakot ölti.

f  x, y, z   f  x0 , y0 , z0   f x  x0 , y0 , z0  x  x0   f y  x0 , y0 , z0  y  y0   f z  x0 , y0 , z0  z  z0  ; Ahonnan a hibabecslésre alkalmas formula a következő.

f  f  x, y, z   f  x0 , y0 , z0   df  f x  x0 , y0 , z0  dx  f y  x0 , y0 , z0  dy  f z  x0 , y0 , z0  dz; Innen már nyilvánvaló hogyan lehet a formulát még több változóra általánosítani. n

f  f  x   f  x0   df   f xi   x0  dxi ; i 1

Dr. Hanka László

189


Többváltozós Függvények 2.34.Példa: Tegyük fel, hogy egy 50Hz frekvenciájú váltakozó áramú soros RLC-kör impedanciáját számítjuk úgy, hogy megmérjük a körben lévő R ohmikus ellenállás, L induktivitás és C kapacitás értékét, természetesen hibával. Legyenek a mért adatok a következők: R  100  2;

azaz R0  100; dR  2;

L  0,5  0, 01H ; 5

azaz L0  0,5H ; dL  0, 01H ;

6

C  3 10  10 F ; azaz C0  3 105 F ; dC  106 F ;

Az eredő impedanciát a

1   Z  Z  R, L, C   R   L   C  

2

2

háromváltozós függvény segítségével számítjuk. A közvetlenül számított érték a következő 2

1   Z  Z 100;0,5;3 10   100   0,5 100    112, 24 5 3 10 100   5

2

Most következik a hibabecslés. Ehhez számítjuk az elsőrendű parciális derivált függvényeket és ezek helyettesítési értékét. Z R  R, L, C  

2R 1   2 R 2   L   C   1   2  L   C  

2

; Z R 100;0,5;3 105  

100  0,89; 112, 24

1    0,5 100  100 3 105 100     Z L  R , L, C   ; Z L 100;0,5;3 10    142, 66; 2 112, 24 1   2 2 R   L   C   5

1 1   1  1   0,5 100   2  L  5 2 5  2 3  10  100    3 10  100  C  C  5 Z C  R, L, C   ; Z C 100;0,5;3 10    1606107, 43; 2 112, 24 1   2 2 R   L   C  

Helyettesítve a hibabecslés fenti képletébe adódik, hogy

Z  dZ  0,89  2  142,66  0,01  1606107, 43 106  4,81 Kapjuk tehát az impedancia hibával becsült értékét, Z  112, 24  4,81 . A számított érték 4,81  0, 042  4, 2% . relatív hibája pedig 112, 24

Dr. Hanka László

190



2.8.3. Másodfokú közelítés Másodfokú közelítést alkalmazhatunk, ha nem megfelelő az elsőfokú Taylor-polinommal történő közelítés, mert a közelítés pontossága nem elfogadható. Illetve az is előfordulhat, hogy a Taylorpolinomban az elsőfokú tag konstans zérus, amikor is az elsőfokú közelítés automatikusan nulladfokú polinomra redukálódik, ami egy konstans függvény. Ez nyilván nagyon durva közelítés, így egy valamire való approximációhoz legalább a másodfokú Taylor-polinomot kell segítségül hívni. Az f függvény másodfokú közelítése az (x0, y0) pont környezetében, az ezen pont körüli másodfokú Taylor-polinommal történik. Ennek alakja, mint azt már láttuk a következő:

f  x, y   T 2x0 , y0  f  x, y    f  x0 , y0   f x  x0 , y0  x  x0   f y  x0 , y0  y  y0   



1 2 2 f xx  x0 , y0  x  x0   2 f xy  x0 , y0  x  x0  y  y0   f yy  x0 , y0  y  y0  2



Az egyváltozós függvény másodfokú közelítése egy másodfokú függvénnyel történik, mert az egyváltozós esetben a másodfokú Taylor-polinom egy másodfokú függvény. Ennek képe pedig mindig egy parabola. Ezért korábban használtuk a parabolikus közelítés elnevezést is. Azonban a kétváltozós esetben ez a helyzet némileg összetettebb. Ugyanis a másodfokú Taylor-polinom egy másodrendű felületet definiál, amely nem kizárólag paraboloid, hanem – mint az a másodrendű felületek tárgyalásánál láttuk – lehet hiperboloid, ellipszoid, stb., Tehát a másodfokú közelítés kétváltozós esetben egy másodrendű felülettel történik. Ennek illusztrálására elsőként egy grafikus példát hozunk. 2.35.Példa:

Határozzuk

meg

az

f  x, y   sin x  cos y

másodrendű

közelítését

az

  ,   pont környezetében. Ehhez szükség van a deriváltakra másodrendig bezárólag 2  és ezek helyettesítési értékére.    f x  x, y   cos x  cos y; f x  ,    cos  cos   0; 2 2     f y  x, y    sin x  sin y; f x  ,    cos  cos   0; 2 2 

 x0 , y0   

   f xx  ,     sin  cos   1; 2 2     f xy  x, y    cos x  sin y; f xy  ,     cos  sin   0; 2 2     f yy  x, y    sin x  cos y; f yy  ,     sin  cos   1; 2 2  f xx  x, y    sin x  cos y;

Dr. Hanka László

191


Többváltozós Függvények    Figyelembe véve még, hogy f  ,    sin  cos   1 kapjuk a másodfokú Taylor-polinomot: 2 2  2 1   2 f  x, y   T2  f  x, y   1    x     y     ;  2   2  ,   2    Az  x0 , y0    ,   pont környezetében a kapott forgási paraboloid közelíti a függvényt, amint 2  azt a 2.20. ábra illusztrálja.

2.20. ábra. Kétváltozós függvény parabolikus közelítése

2.36.Példa: Vezessünk le közelítő formulát az origó környezetében az

f  x, y   ln 1  x  ln 1  y  függvény közelítő értékeinek kiszámítására. Legyen tehát

 x0 , y0    0,0 .

Ebben a pontban a

függvényérték f  0,0   ln 1  0  ln 1  0   ln1 ln1  0. A Taylor-polinom felírásához szükség van a parciális derivált függvényekre. Az elsőrendű deriváltak

f x  x, y  

1 1 ln 1  y  ; f y  x, y   ln 1  x  ; 1 x 1 y

Ezen deriváltak helyettesítési értéke az origóban

f x  0,0  

1 1 ln 1  0   0; f y  0,0   ln 1  0   0; 1 0 1 0

Ezek az eredmények azt jelentik, hogy az elsőfokú Taylor-polinom az azonosan nulla polinom

Dr. Hanka László

192


Többváltozós Függvények T10,0 f  x, y   f  0,0   f x  0,0  x  0   f y  0,0  y  0   0  0  x  0  y  0;

ami azt jelenti, hogy az elsőfokú közelítés érdemben nem használható a függvényértékek közelítő számítására. Emelnünk kell a Taylor-polinom fokszámát, és legalább a másodfokú polinomot kell alkalmaznunk a közelítő formula levezetéséhez. Ehhez szükségesek a másodrendű deriváltak f xx  x, y   

1

1  x 

2

ln 1  y  ; f xy  x, y  

1 1 1 ; f yy  x, y    ln 1  x  ; 2 1 x 1 y 1  y 

Ezeknek a deriváltaknak az értéke az origóban rendre f xx  0, 0   

1

1  0 

2

ln 1  0   0; f xy  0, 0  

1 1 1  1; f yy  0, 0    ln 1  0   0; 2 1 0 1 0 1  0 

Ha ezen eredmények alapján felírjuk a másodfokú Taylor-polinomot, akkor figyelembe véve, hogy az elsőfokú rész azonosan zérus, az adódik, hogy

T 20,0 f  x, y  





1 1 2 2 f xx  0, 0  x  0   2 f xy  0, 0  x  0  y  0   f yy  0, 0  y  0    2 1 xy  xy 2 2

Az origó környezetében a függvényértékek közelítő kiszámítására alkalmas formula tehát

f  x, y   xy ; ami egy hiperboloid egyenlete. Alkalmazzuk ezt egy konkrét esetre. legyen x = 0,01 és y = 0,02. f  0,01;0,02   Ekkor a függvényérték pontos (számológéppel kapott) értéke

 ln(1,01)  ln(1,02)  0,00019 , a közelítő számítás eredménye pedig 0,01 0,02  0,0002 . A 2.21. ábra illusztrálja a közelítést.

2.21. ábra. A kék-piros színű felület az ln(1+x)ln(1+y) függvény grafikonja, a szürke hiperboloid pedig az origóhoz tartozó másodfokú Taylor-polinom képe Dr. Hanka László

193



2.9. Kétváltozós függvény szélsőértéke A többváltozós függvények szélsőértékének problémaköre, túl azon, hogy a gyakorlati alkalmazások szempontjából alapvetően fontos, egy nagyon szép kapcsolatot is mutat a lineáris algebrával. Mint látni fogjuk, a kérdéskör vizsgálatában, leírásában csaknem nélkülözhetetlen a determinánsok és a kvadratikus alakok elmélete. Mindenek előtt a szélsőérték fogalmát tisztázzuk. Definíció: Az (x0, y0) pont az f(x, y) függvény szigorú lokális maximumhelye ha létezik olyan ε > 0, hogy ha az ε-sugarú körlapból választjuk az (x, y) pontot, akkor teljesül, hogy

f  x, y   f  x0 , y0  ; ha 0 

 x  x0    y  y0  2

2



Az (x0, y0) pont az f(x, y) függvény szigorú lokális minimumhelye ha létezik olyan ε > 0, hogy ha az ε-sugarú körlapból választjuk az (x, y) pontot, akkor teljesül, hogy

f  x, y   f  x0 , y0  ; ha 0 

 x  x0    y  y0  2

2



A szigorú jelző arra utal, hogy a függvénynek az ε-sugarú környezetben egyértelműen az (x0, y0) pontban van szélsőértéke, a környezeten belül a többi pontban felvett függvényérték rendre szigorúan kisebb illetve nagyobb. A fogalmat természetesen gyengíthetjük, megengedve, hogy a környezeten belül esetleg több pontban is felveheti a függvény a szélsőértékét. Definíció: Az (x0, y0) pont az f(x, y) függvény lokális maximumhelye ha létezik olyan ε > 0, hogy ha az ε-sugarú körlapból választjuk az (x, y) pontot, akkor teljesül, hogy

f  x, y   f  x0 , y0  ; ha

 x  x0    y  y0  2

2



Az (x0, y0) pont az f(x, y) függvény lokális minimumhelye ha létezik olyan ε > 0, hogy ha az ε-sugarú körlapból választjuk az (x, y) pontot, akkor teljesül, hogy

f  x, y   f  x0 , y0  ; ha

 x  x0    y  y0  2

2



A szigorú jelző nélküli szélsőértékhely tehát azt jelenti, hogy a függvény az ε-sugarú körlapon belül több pontban is felveheti a szélsőértékét. Az ilyen szélsőértéket szokás gyenge szélsőértéknek is nevezni. Az (x0, y0) pont az f(x, y) függvény abszolút vagy globális szélsőértékhelye, ha a fenti definíciókban szereplő egyenlőtlenségek nem csak egy ε-sugarú környezetben állnak fenn, hanem az f függvény teljes értelmezési tartományán.

Dr. Hanka László

194


Többváltozós Függvények Az egyváltozós analízisben első és másodrendű szükséges illetve elégséges feltételeket fogalmaztunk meg a szélsőértékre vonatkozólag. Ezek általánosításaként fogalmazzuk meg a többváltozós esetre vonatkozó analóg feltételeket. Nyilvánvaló, hogy ha egy kétváltozós f(x, y) függvénynek az (x0, y0) pontban lokális szélsőértéke van, akkor ebben a pontban lokális szélsőértéke van a parciális függvényeknek is. Ez például f  x, y   4  x2  y 2 ;  x, y   R 2 függvény esetében, amelynek kiválóan látszik az nyilvánvalóan abszolút maximumhelye a (0, 0) pont. A parciális függvények konkáv parabolák, amelyeknek az origóban 0 meredekségű érintőjük van.

2.22. ábra. Kétváltozós függvény szélsőértékhelyén a parciális deriváltak értéke zérus.

Mivel a parciális függvények egyváltozós függvények, alkalmazható a parciális függvényekre vonatkozólag az egyváltozós függvény szélsőértékére vonatkozó elsőrendű szükséges feltétel, amely szerint a derivált a szélsőértékhelyen zérus értéket vesz fel. Ebből azonnal adódik az alábbi tétel. Tétel: Kétváltozós függvény szélsőértékére vonatkozó elsőrendű szükséges feltétel. Tegyük fel, hogy a kétváltozós f(x, y) függvénynek az (x0, y0) pontban lokális szélsőértéke van. Ekkor az f függvény mindkét változó szerinti elsőrendű parciális deriváltjának értéke zérus. Azaz f x  x0 , y0   0 és f y  x0 , y0   0;

Ez a tétel utat mutat arra, hogy hogyan keressük meg egy kétváltozós függvény szélsőértékeit. Elsőként elkészítjük mindkét változó szerint az elsőrendű parciális deriváltakat, ezeket egyenlővé tesszük zérussal, majd a kapott egyenletrendszernek megkeressük az összes megoldását. Tehát megoldjuk az alábbi, általában nem lineáris egyenletrendszert.

1  2 Dr. Hanka László

f x  x, y   0    f y  x, y   0  

195


Többváltozós Függvények Definíció: A fenti egyenletrendszer megoldásait az f(x, y) függvény kritikus vagy stacionárius pontjainak nevezzük. Már az egyváltozós analízisben is láthattunk egyszerű példát olyan függvényre, amelynek egy adott pontban a deriváltja zérus, de ott nincs szélsőértéke. Ilyen függvény például az összes páratlan kitevőjű hatványfüggvény a 0-pontban. Ezért volt elengedhetetlen az elégséges feltételek megadása, amelyek biztosították, hogy egy stacionárius pontban szélsőérték van. Ugyanilyen okok miatt szükség van többváltozós esetben is szükséges feltételre. 2.37.Példa: Ennek illusztrációjára álljon itt a legnevezetesebb példa olyan függvényre, amelynek a stacionárius pontjában nincs szélsőértéke. Vizsgáljuk az

f  x, y   x 2  y 2 ;  x, y   R 2 függvényt, ami a másodrendű felületek elméletéből jól ismert hiperbolikus paraboloid, vagy nyeregfelület. A szükséges feltétel a következő:

f x  x, y   2 x  0   f y  x, y   2 y  0 Ahonnan azonnal adódik a stacionárius pont: (0, 0), vagyis az origó. Ebben a pontban azonban nyilván nincs a függvénynek szélsőértéke, hiszen ha tekintetbe vesszük az origóhoz tartozó parciális függvényeket f x  x,0   x 2 ; f y  0, y    y 2 akkor világos, hogy az első parciális függvény konvex, tehát az origóban minimuma van, a második parciális függvény pedig konkáv, vagyis az origóban maximuma van. Ebből már következik, hogy az origó valóban nem lehet szélsőértékhely. A 2.23. ábra szemlélteti a mondottakat.

2.23. ábra. Nem minden stacionárius pont szélsőértékhely. Erre tipikus példa a nyeregfelület nyeregpontja.

Dr. Hanka László

196


Többváltozós Függvények Egy kétváltozós függvény esetében az ilyen tulajdonságú pontot nyeregpontnak nevezzük. A nyeregfelület esetén az origó tehát a nyeregpont. Az elégséges feltétel megfogalmazásához szükség van a másodfokú Taylor-polinomra. A tétel megfogalmazásához két úton is eljutunk. Az első esetben nem használjuk a lineáris algebra általános tételeit, hanem egy attól független gondolatmenettel vizsgáljuk meg mi az a feltétel, ami biztosítja hogy a stacionárius pontban valóban szélsőérték van. Induljunk ki tehát a másodfokú Taylor-polinommal történő közelítésből. f  x, y   f  x0 , y0   f x  x0 , y0  x  x0   f y  x0 , y0  y  y0   



1 2 2 f xx  x0 , y0  x  x0   2 f xy  x0 , y0  x  x0  y  y0   f yy  x0 , y0  y  y0  2



Tegyük fel, hogy az f(x, y) függvénynek az (x0, y0) pont stacionárius pontja. Ekkor az elsőrendű parciális deriváltak értéke zérus. Ha még bevezetjük egyszerűsítésként a h  x  x0 , k  y  y0 továbbá az A  f xx  x0 , y0  , B  f xy  x0 , y0  , C  f yy  x0 , y0  jeleket, akkor azt kapjuk, hogy a Taylor-polinommal való közelítés a stacionárius pontban egyenértékű az

f  x, y   f  x0 , y0  

1 Ah 2  2Bhk  Ck 2   2

közelítéssel. Ha szélsőértéket vizsgálunk, akkor célszerű átrendezni a kapott kifejezést az alábbi módon

f  x, y   f  x0 , y0  

1 Ah 2  2Bhk  Ck 2   2

Ez az alak azért célszerűbb a vizsgálatainkhoz, mert a bal oldal éppen a szélsőérték definíciójában szereplő függvényértékek különbsége. Ahhoz, hogy eldöntsük, az adott (x0, y0) stacionárius pontban valóban van-e szélsőérték, vagy éppen az ellenkezőjét, vagyis hogy nincs szélsőérték, a bal oldali különbség előjelét kell vizsgálni. Tegyük fel, hogy A  f xx  x0 , y0   0 . Ezen feltétel mellett azonos átalakítások és teljes négyzetté kiegészítés után azt kapjuk, hogy 1 1 Ah 2  2 Bhk  Ck 2     A2h2  2 ABhk  ACk 2   2 2A 1 1 2 2   Ah  Bk   B 2 k 2  ACk 2   Ah  Bk    AC  B 2  k 2 2A 2A









Ha az (x, y) pont elég közel van az (x0, y0) ponthoz akkor ennek a kifejezésnek az előjele megegyezik az f  x, y   f  x0 , y0  különbség előjelével. Dr. Hanka László

197


Többváltozós Függvények Mielőtt az elégséges feltételt megfogalmaznánk, vegyük észre, hogy

 Ah  Bk 

2

 0 továbbá

nyilván k2 ≥ 0. Ha feltesszük, hogy  AC  B 2   0 akkor  Ah  Bk    AC  B 2  k 2  0 . Ekkor az 2

f  x, y   f  x0 , y0  különbség előjele megegyezik az A  f xx  x0 , y0  tiszta másodrendű parciális derivált előjelével. Ha ez pozitív akkor a függvényértékek különbsége nem negatív, tehát az (x0, y0) pont lokális minimumhely, ha viszont ez a másodrendű derivált negatív akkor a függvényértékek különbsége nem pozitív, ami azt jelenti, hogy az (x0, y0) pont lokális maximumhely. Már csak annyi a dolgunk, hogy az egyszerűsítő jelölésekről visszatérjünk az eredeti jelölésekre. AC  B 2  f xx  x0 , y0   f yy  x0 , y0    f xy  x0 , y0  ; 2

Ezzel bebizonyítottuk a kétváltozós függvény szélsőértékére vonatkozó másodrendű elégséges feltételt. Tétel: A szélsőérték másodrendű elégséges feltétele Tegyük fel, hogy az f(x, y) függvény deriválható az (x0, y0) pontban, és tegyük fel, hogy

f x  x0 , y0   0 és f y  x0 , y0   0; valamint tegyük fel azt is, hogy ebben a pontban D  x0 , y0   f xx  x0 , y0   f yy  x0 , y0    f xy  x0 , y0   0 2

teljesül. Ekkor az (x0, y0) pont az f(x, y) függvény lokális szélsőértékhelye. Ha ekkor még az is teljesül, hogy

f xx  x0 , y0   0 akkor az (x0,y0) pont lokális minimumhely, ha pedig

f xx  x0 , y0   0 akkor az (x0,y0) pont lokális maximumhely. Könnyen látható, hogy az elégséges feltételben szereplő D(x0, y0) jelű mennyiség úgy is tekinthető mint egy 2×2-es szimmetrikus mátrix determinánsa, és ez a szimmetrikus mátrix nem más, mint a korábbiakban már bevezetett

 f   x , y  xx 0 0 H  x0 , y0     f yx  x0 , y0   Dr. Hanka László

198

f xy  x0 , y0    f yy  x0 , y0   Óbudai Egyetem Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar

Többváltozós Függvények Hesse-mátrix. Ezek szerint determinánsnak is nevezni.

D  x0 , y0   det H  x0 , y0 

és ezért szokás a D-t Hesse-

Az elégséges feltételek sorában következik egy olyan elégséges feltétel, amely egy stacionárius pontban arra vonatkozólag ad feltételt, hogy a függvénynek biztosan nincs szélsőértéke. Ehhez először pontosan definiálni kell az előbbiekben már megemlített nyeregpont fogalmát. Definíció: Az (x0, y0) pont az f(x, y) függvény nyeregpontja, ha tetszőlegesen kicsi ε > 0 esetén létezik az ε-sugarú körlapban olyan (x, y) pont, amelyre teljesül, hogy

f  x, y   f  x0 , y0  ; és 0 

 x  x0    y  y0  2



2

valamint létezik az ε-sugarú körlapban olyan (x, y) pont is, amelyre az teljesül, hogy

f  x, y   f  x0 , y0  ; és 0 

 x  x0    y  y0  2

2



Egyszerűen fogalmazva tehát az (x0, y0) pont akkor nyeregpont, ha a pont tetszőlegesen kis környezetében van az f(x0, y0)-nál kisebb és van az f(x0, y0)-nál nagyobb függvényérték is. A nyeregpontra vonatkozólag a következő feltétel fogalmazható meg. Tétel: Nyeregpontra vonatkozó másodrendű elégséges feltétel Tegyük fel, hogy az f(x, y) függvény deriválható az (x0, y0) pontban, itt teljesül, hogy f x  x0 , y0   0 és f y  x0 , y0   0;

valamint tegyük fel azt is, hogy ebben a pontban D  x0 , y0   f xx  x0 , y0   f yy  x0 , y0    f xy  x0 , y0   0 2

teljesül. Ekkor az (x0, y0) pont az f(x, y) függvény nyeregpontja. Bizonyítás: Induljunk ki abból az előzőekben f  x, y   f  x0 , y0  különbség előjele megegyezik az



igazolt

1 2  Ah  Bk    AC  B 2  k 2 2A

összefüggésből,

hogy

az



mennyiség előjelével, ha az (x, y) pont elég közel van az (x0, y0) ponthoz. Feltesszük, hogy  AC  B2   0 és megmutatjuk, hogy ekkor tetszőlegesen kis ε-sugarú környezetben van olyan h és k, hogy az f  x, y   f  x0 , y0  előjele negatív és van olyan h és k is amelyre a különbség pozitív. Dr. Hanka László

199


Többváltozós Függvények Tegyük fel elsőként, hogy az A > 0. Emeljünk ki a fenti összegből k2-et (k ≠ 0), ekkor azt kapjuk, hogy 2  k2  h  2   A  B    AC  B   2A  k   Ebben az összegben, a feltevés szerint az első tényező pozitív, a második tényező második tagja pedig negatív. Ha most úgy közeledünk az (x0, y0) ponthoz, hogy az első tag azonosan zérus, B k2 AC  B 2   0 . Ezen vagyis a h   k egyenletű egyenes mentén, akkor azt kapjuk, hogy  A 2A feltételek mellett tehát tetszőlegesen közel kerülhetünk az (x0,y0) ponthoz úgy, hogy f  x, y   f  x0 , y0   0 . Másrészt, ha feltesszük, hogy k  0 , tehát k definíciójából adódóan az

y  y0 egyenes mentén tartunk az (x0, y0) ponthoz, akkor a fenti kifejezés arra egyszerűsödik, hogy 1 1 2 2 Ah2 2 2 2 0  Ah  Bk    AC  B  k k 0  A h  2A 2A 2





Ami azt jelenti, hogy ezen az egyenesen közeledve, az (x0, y0) ponthoz tetszőlegesen közel kerülhetünk úgy, hogy közben végig f  x, y   f  x0 , y0   0 . Éltünk azzal a feltevéssel, hogy A > 0. Nyilvánvaló azonban, hogy ha A < 0 akkor a fenti gondolatmenetben minden fordított előjellel adódik. Az állítás tehát ekkor is igaz. Igazoltuk tehát, hogy az (x0, y0) pont tetszőlegesen kis környezetében van az f  x0 , y0  -nál kisebb és nagyobb függvényérték is. Ezt kellett igazolni. ■ A fentiekben az elégséges feltétel bizonyítására egy olyan speciális módszert alkalmaztunk amely kihasználja azt, hogy kétváltozós függvényről van szó. Ezt az eljárást komplikált lenne alkalmazni a többváltozós esetre. Erre azonban nincs is szükség, felhasználhatjuk ugyanis a lineáris algebrában a szimmetrikus mátrixokról és kvadratikus alakokról igazolt állításokat másodrendű szimmetrikus mátrixokra (Hanka László: Fejezetek a matematikából, 1.17. pont). Eszerint a másodrendű és szimmetrikus

a b b c    mátrix pontosan akkor pozitív definit, ha minden főminorja pozitív, és akkor negatív definit, ha a főminorjai váltakozó előjelűek úgy, hogy a páros rendű főminorok pozitívok a páratlan rendűek pedig negatívok. Azaz pozitív illetve negatív definit, ha rendre

a  0;

a b b c

 ac  b2  0; illetve a  0;

a b b c

 ac  b2  0;

teljesül.

Dr. Hanka László

200


Többváltozós Függvények Az elmélet alkalmazása azon a felismerésen alapul, hogy a másodfokú Taylor-polinomban 1 szereplő másodfokú tag - az szorzótól eltekintve 2

drT 2 f  x0 , y0  dr  f xx  x0 , y0  dx 2  2 f xy  x0 , y0  dxdy  f yy  x0 , y0  dy 2 ; egy homogén kvadratikus alak, amelynek a mátrixa éppen a már megismert

 f   x , y  xx 0 0 H  x0 , y0     f yx  x0 , y0  

f xy  x0 , y0    f yy  x0 , y0  

szimmetrikus Hesse-mátrix. Az (x0, y0) pontbeli szélsőérték azon múlik, hogy ez a kvadratikus T alak milyen előjelű értékeket vesz fel, ha dr   dx, dy   0 , kérdés tehát a Hesse-mátrix illetve az általa meghatározott kvadratikus alak definitsége. Az idézett tétel alapján kijelenthetjük, a következőket: 1. Ha drT 2 f  x0 , y0  dr  0 ha dr  0 és f xx  x0 , y0   0 tehát a Hesse-mátrix illetve a kvadratikus alak pozitív definit, akkor az (x0, y0) pont az f függvénynek lokális minimumhelye. 2. Ha drT 2 f  x0 , y0  dr  0 ha dr  0 és f xx  x0 , y0   0 tehát a Hesse-mátrix illetve a kvadratikus alak negatív definit, akkor az (x0, y0) pont az f függvénynek lokális maximumhelye. 3. Ha a drT 2 f  x0 , y0  dr kvadratikus alak indefinit, akkor az (x0, y0) pont az f függvénynek nyeregpontja. Ha a Hesse-mátrixra alkalmazzuk az idézett tételt, akkor a szélsőértékre vonatkozó másodrendű elégséges feltétel pontosan egybeesik a fentiekben más módon már igazolt feltétellel. Hangsúlyozzuk, hogy abban az esetben amikor akár a Hesse-mátrix determinánsa, akár a tiszta másodrendű derivált értéke a stacionárius pontban zérus, azaz D  x0 , y0   f xx  x0 , y0   f yy  x0 , y0    f xy  x0 , y0   0 vagy f xx  x0 , y0   0 2

ez az elmélet nem állít semmit a szélsőértékkel kapcsolatban. Ekkor bármelyik eset előfordulhat és ezt a fentiektől független, az adott problémához jól illeszkedő módszerekkel kell megvizsgálni. A továbbiakban két példát is mutatunk, amikor ez az eset előfordul, ott megmutatjuk, hogyan lehet ilyen esetben a szélsőérték létezését vizsgálni. 2.38.Példa: Határozzuk meg az

f  x, y   2 x 4  y 4  x 2  2 y 2 ;  x, y   R 2 függvény szélsőértékeit. Dr. Hanka László

201


Többváltozós Függvények Elsőként alkalmazzuk az elsőrendű szükséges feltételt. Az elsőrendű parciális deriváltak

2 x  4 x 2  1  0  f x  x, y   8 x3  2 x  0     f y  x, y   4 y 3  4 y  0 4 y  y 2  1  0  Ennek a rendszernek a megoldása azonnal adódik:

x1  0; x2  0,5; x3  0,5 valamint

y1  0; y2  1; y3  1 , és mivel a két egyenlet független egymástól, ezek az megoldások minden lehetséges variációban párosíthatók. Ez azt jelenti, hogy a függvénynek összesen 9 db stacionárius pontja van. Ezek a következők P1  0;0  ; P2  0,5;1 ; P3  0,5; 1 ; P4  0,5;1 ; P5  0,5; 1 ; P6  0;1 ; P7  0; 1 ; P8  0,5;0  ; P9  0,5;0  ; Vizsgáljunk meg minden stacionárius pontot egyenként. A másodrendű elégséges feltételhez szükség van a másodrendű deriváltakra. Ezek az alábbiak

f xx  x, y   24 x 2  2   f xy  x, y   0  2 f yy  x, y   12 y  4  Ezekből felírhatjuk a Hesse-féle mátrixot

 24 x 2  2 0  H  x, y    ; 2 0 12 y  4   Ennek determinánsa pedig D  x, y   det H  x, y    24 x 2  2 12 y 2  4  ;

Ha több stacionárius pont van, célszerű mind a Hesse-mátrixot, mind pedig annak determinánsát kétváltozós függvénynek tekinteni, és a helyettesítést csak a determinánsban elvégezni. Vizsgáljuk először a P1 pontot. D  0,0    0  2  0  4   8  0;

pozitív, ami azt jelenti, hogy a P1 pont lokális szélsőértékhely. Mivel továbbá

f xx  0,0   0  2  2  0;

Dr. Hanka László

202


Többváltozós Függvények negatív, következik, hogy ez a stacionárius pont lokális maximumhely. A lokális maximum pedig f  0, 0   0 . Vizsgáljuk a P2 pontot.

D  0,5;1   24  0, 25  2 12  4   4  8  0; pozitív, amiből az következik, hogy a P2 pont ugyancsak lokális szélsőértékhely. Ha figyelembe vesszük, hogy

f xx  0,5;1  24  0, 25  2  4  0 pozitív akkor az elégséges feltétel alapján adódik, hogy a P2 pont lokális minimumhely. A lokális 1 1 9 minimum értéke f  0,5;1  2   1   2 1   . A tisztelt olvasóra bízzuk, hogy 16 4 8 megmutassa, a P3, P4 és P5 pontok ugyancsak lokális minimumhelyek és a minimum értéke mindenütt megegyezik. Eddig tehát megtaláltuk a függvény egy maximumhelyét és négy minimumhelyét. Ezt láthatjuk a 2.24. ábrán.

2.24. ábra. A példában vizsgált f függvény lokális maximuma és egy lokális minimuma.

Vizsgáljuk meg most a P6 pontot.

D  0,1   0  2 12  4   2  8  0; A determináns negatív, ami azt jelenti, hogy a P6 pont nem szélsőértékhely, hanem nyeregpont. Ebben a nyeregpontban a helyettesítési érték f  0,1  0  1  0  2  1 . Hasonlóan adódik, hogy a P7, P8 és P9 pontok ugyancsak nyeregpontok. Ezt mutatja a 2.25. ábra.

Dr. Hanka László

203



2.25. ábra. A példában vizsgált f függvény egy nyeregpontja.

2.39.Példa: Vizsgáljuk meg az

f  x, y   x 4  y 4  x 2  2 xy  y 2 ;  x, y   R 2 kétváltozós függvény lokális szélsőértékeit. Az elsőrendű deriváltak a következők.

1  2

f x  x, y   4 x3  2 x  2 y  0    3 f y  x, y   4 y  2 x  2 y  0 

Kivonással kapjuk, hogy x3  y3  0 amiből azonnal következik, hogy x = y. Ebből adódóan például az (1) egyenlet a 4 x3  4 x  0 alakot ölti. Ezzel egyenértékű a 4 x  x 2  1  0 egyenlet,

aminek a megoldásai 1, –1 és a 0. Figyelembe véve az y = x összefüggést kapunk három stacionárius pontot: P1 1,1 ; P2  1, 1 ; P3  0,0  . Vizsgáljuk meg egyenként ezeket a stacionárius pontokat az elégséges feltétel alkalmazásával. A másodrendű deriváltak a következők.

f xx  x, y   12 x 2  2   f xy  x, y   2  2  f yy  x, y   12 y  2  Innen kapjuk a Hesse-mátrixot illetve a Hesse-determinánst.

12 x 2  2 2  2 2 H  x, y     ; D  x, y   det H  x, y   12 x  2 12 y  2   4; 2 12 y  2  2 Vizsgáljuk először a P1 pontot. Ebben a pontban a determináns értéke Dr. Hanka László

204


Többváltozós Függvények D 1,1  12  2 12  2   4  96  0; ami azt jelenti, hogy a P1 pont lokális szélsőértékhely. Mivel továbbá f xx 1,1  12  2  10  0 , adódik, hogy a P1 pont lokális minimumhely, és a lokális minimum értéke f 1,1  2 . Térjünk rá a P2 pont vizsgálatára. Mivel mind a Hesse-determinánsban, mind pedig a tiszta másodrendű deriváltban az x változó a második hatványon szerepel, pontosan ugyanazt mondhatjuk a P2 pontról, mint a P1-ről. Tehát ez is lokális minimumhely és a lokális minimum értéke szintén –2. Érdekesebb szituációt jelent a P3 stacionárius pont vizsgálata. Ugyanis ebben a pontban a Hessedetermináns értéke zérus. D  0,0    0  2  0  2   4  0;

Ebben a pontban tehát az eddigiekben alkalmazott elégséges feltétel nem dönti el, hogy valóban szélsőértékhelyről van-e szó. Ehhez más utat kell választanunk. Elsőként alakítsuk át a függvényt a következő módon. f  x, y   x 4  y 4  x 2  2 xy  y 2  x 4  y 4   x  y  ; 2

Ha most feltesszük, hogy a P3 ponthoz, tehát az origóhoz az x + y = 0, vagyis az y = –x egyenletű egyenes mentén közeledünk, akkor ennek minden pontjában igaz, hogy f  x, y   x 4  y 4  0;

Ez azt jelenti, hogy az origó tetszőlegesen kis környezetében van olyan pont, amelyben a függvény pozitív értéket vesz fel. Most megmutatjuk, hogy a függvény az origó tetszőlegesen kis környezetében negatív értékeket is felvesz. Ehhez az f függvényt a következő módon célszerű átalakítani. f  x, y   x 4  y 4  x 2  2 xy  y 2  x 4  x 2  y 4  y 2  2xy  x 2  x 2  1  y 2  y 2  1  2xy;

Ebben az estben pedig közeledjünk az origóhoz az y = x egyenletű egyenes mentén és még tegyük fel, hogy x  1 ami egyúttal azt is jelenti, hogy y  1 valamint az is nyilvánvaló, hogy x és y azonos előjelű, tehát xy > 0. A mondott feltételek esetén világos, hogy f utóbbi előállításában minden tag külön-külön negatív, tehát a függvényérték ezen egyenes mentén, az origóhoz tetszőlegesen közel, negatív. Ezzel igazoltuk, hogy az origó nem szélsőérték helye a függvénynek, hanem nyeregpontja.

Dr. Hanka László

205


Többváltozós Függvények 2.40.Példa: Vizsgáljuk meg szélsőérték szempontjából a következő függvényt.

f  x, y    x 2  y 2   3x  y  ;  x, y   R 2 2

A szükséges feltételhez először kiszámítjuk az elsőrendű deriváltakat.





2 2 2 2  f x  x, y   2 x  3x  y    x 2  y 2   3x  y   6  0;   1  3x  y  11x  5 y   x  y   0     2 2 2 f y  x, y   2 y  3x  y    x 2  y 2   3x  y    2   0; 2 3 x  y 6 xy  2 x  4 y  0         

Innen világos, hogy a 3x – y = 0 egyenletű egyenes minden pontja kielégíti a szükséges feltételeket, vagyis ennek a függvénynek végtelen sok stacionárius pontja van. Az (1) egyenlet alapján világos, hogy ezen kívül más stacionárius pont nem létezik, hiszen az egyenlet bal oldalán a második tényező szigorúan pozitív. Annak eldöntéséhez, hogy ezen egyenes pontjaiban a függvénynek van-e szélsőértéke nem is szükséges felhasználni az elégséges feltételt. Világos ugyanis, hogy a 3x – y = 0 egyenes minden pontjában a függvény a 0 értéket veszi fel, és az is világos, hogy az ezen egyeneshez nem tartozó pontokban a függvény értéke szigorúan pozitív, hiszen egy négyzetösszegnek és egy nem nulla valós szám négyzetének a szorzata. Ez pedig pontosan azt jelenti, hogy a 3x – y = 0 egyenes minden pontja abszolút minimumhelye a függvénynek, egyéb szélsőértéke pedig nincs. Kaptuk tehát, hogy a függvénynek végtelen sok abszolút minimumhelye van, és az abszolút minimum zérus. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a függvénynek az egyenes pontjaiban gyenge minimuma van. A függvény grafikonja látható a 2.26. ábrán.

2.26. ábra. Az y = 3x egyenes pontjaiban gyenge minimum van.

2.41.Példa: Egy téglatest alakú úszómedencét építünk, amelynek az űrtartalma a tervek szerint 4000m3. A kérdés az, hogy mekkorák legyenek a téglatest élei, hogy minimális mennyiségű burkolóanyaggal be lehessen fedni a medence öt oldalát. Dr. Hanka László

206


Többváltozós Függvények Ha a medence szélességét és hosszúságát rendre x és y jelöli, a mélységét pedig z, akkor világos, hogy a burkolandó felszín nagysága

A  xy  2 xz  2 yz ez tehát a felszínfüggvény. Azonban az is világos, hogy ez egyrészt három változós függvény és az is világos, hogy nincs minimuma, csak akkor ha figyelembe vesszük az űrtartalomra vonatkozó kitételt. Eszerint az űrtartalom

V  xyz  4000 Ha ezt figyelembe vesszük, akkor a felszínt megadó függvényben a változók száma eggyel csökkenthető például úgy, hogy egy változót, például a z-t ebből az utóbbi egyenlőségből 4000 kifejezzük z  és behelyettesítjük a felszín képletébe. Így egy kétváltozós felszínfüggvényt xy kapunk: 4000 4000 8000 8000 f  x, y   xy  2 x  2y  xy   ; x  0, y  0 xy xy x y Ennek a függvénynek keressük meg a minimumát. A szükséges feltétel szerint teljesülnie kell az

8000   0 2 1 x 2 y  8000   x    2 8000 2 xy  8000      f y  x, y   x  2  0 y 

f x  x, y   y 

egyenleteknek. A két egyenlet hányadosából adódik, hogy szükségképpen y = x. Ha ezt visszahelyettesítjük pl. az (1) egyenletbe, akkor azt kapjuk, hogy x3  8000 azaz x = y = 20. Kaptunk tehát egyetlen stacionárius pontot: P(20, 20). Erről kell eldönteni, hogy valóban minimumhely-e. Az elégséges feltételhez szükség van a másodrendű deriváltakra amelyekből azonnal kapjuk a Hesse-mátrixot is

16000  16000  x3  1  3   x f xy  x, y   1 ;   H  x, y    16000   1 16000  3   y   f yy  x, y    y 3  f xx  x, y  

Ennek determinánsa

Dr. Hanka László

207


Többváltozós Függvények D  x, y   det H  x, y  

16000 16000  1; x3 y3

Most kiszámítjuk ennek értékét a stacionárius pontban

D  20, 20  

16000 16000 16000 16000 1   1  3  0; 3 3 20 20 8000 8000

Mivel a determináns pozitív valóban szélsőértékhely a P(20, 20) pont. Vizsgáljuk meg végül a szélsőérték típusát is. Mivel

f xx  20, 20  

16000 0 8000

pozitív, ezért a P pontban a függvénynek lokális minimuma van. Tehát a medencét akkor kell burkolni minimális mennyiségű csempével, ha mind a szélessége, mind a hosszúsága 20m. Ha 4000 felhasználjuk, hogy z  , akkor kapjuk, hogy a minimális felszínű medence mélysége xy 4000 8000 8000 z  10 m. A minimális felszín pedig f  20, 20   202    1200 m2. 20  20 20 20 Az alábbi ábrán látható a medence felszínét leíró kétváltozós függvény képe a minimumhelyhez tartozó parciális függvényekkel együtt.

2.27. ábra. A medence felszínét megadó függvény grafikonja. Dr. Hanka László

208


Többváltozós Függvények 2.42.Példa: A témakör utolsó példájaként vizsgáljunk meg egy függvényt amely meglehetősen érdekes tulajdonságokat mutat ha szélsőérték szempontjából vizsgáljuk. Vizsgáljuk meg, hogy hol és milyen szélsőértéke van az

f  x, y   xy 2  x 2 y 2  2 xy3 ;  x, y   R 2 függvénynek. Szokás szerint elsőként kiszámítjuk az elsőrendű parciális deriváltakat.

f x  x, y   y 2  2 xy 2  2 y 3  0  1 y 2 1  2 x  2 y   0      f y  x, y   2 xy  2 x 2 y  6 xy 2  0    2  2 xy 1  x  3 y   0 Elsőként tegyük fel, hogy sem x sem y nem zérus. Ebben az esetben az

1 1  2 x  2 y  0  2  1  x  3 y  0  1 1 lineáris rendszert kell megoldani, amelynek egyértelmű megoldása a P1  ,  pont. 4 4 Ha x = 0, akkor a (2) egyenlet azonosan nulla, ennek elvileg bármilyen y a megoldása, de az (1) 1 egyenlet alakja ekkor y 2 1  2 y   0 ahonnan y  és y  0 adódik. További stacionárius pontok 2  1 eszerint a P2  0,  és P3  0, 0  pont.  2 Ha pedig végül azt tesszük fel, hogy y = 0, akkor mindkét egyenlet azonosan zérus, tehát bármely valós x kielégíti, ami azt jelenti, hogy az x-tengely minden pontja stacionárius pont, ebben benne van a P3 stacionárius pont is. Összefoglalva kaptuk tehát, hogy van két diszkrét stacionárius pont és stacionárius pont az x-tengely minden pontja. Vizsgáljuk meg, hogy ezek között melyik az ahol valóban van szélsőérték. A második deriváltak a következők.

f xx  x, y   2 y 2

  f xy  x, y   2 y  4 xy  6 y 2   f yy  x, y   2 x  2 x 2  12 xy  1 1 Vizsgáljuk a P1  ,  pontot. Ezen a helyen a deriváltak értéke 4 4 2 1 1 3 1 1 1 1 2 4 6  1 1  2 2 12 f xx  ,      ; f xy  ,       ; f yy  ,       16 8 8 8 4 4  4 4  4 16 16  4 4  4 16 16

ahonnan a Hesse-mátrix és a Hesse-determináns rendre a következő

Dr. Hanka László

209


Többváltozós Függvények 1 1 1  1       1 1 1 1 1 1 3 1       8 8 8 8 H ,     0;  ; D  ,   det H  ,    4 4   1  3  4 4  4 4   1  3 64 64  8 8  8 8

1 1 1 1 1 Ez azt jelenti, hogy a P1  ,  pont lokálos szélsőértékhely. Mivel f xx  ,     0 adódik, 8 4 4 4 4 1 1 1 hogy ez a pont lokális maximumhely (2.28. ábra). A lokális maximum értéke f  ,   .  4 4  256

2.28. ábra. A vizsgált függvénynek a (0,25; 0,25) pont egy lokális maximumhelye

 1 Térjünk rá a P2  0,  pont vizsgálatára. Ebben a pontban a második deriváltak értéke  2 1 1  1  1  1 f xx  0,    ; f xy  0,    ; f yy  0,   0; 2 2  2  2  2

Innen kapjuk a a Hesse-mátrix és a Hesse-determináns értékét, amelyek rendre az alábbiak 1 1 1  1       1  1  1  1 2 2 2 2 H  0,     0   0;  ; D  0,   det H  0,   4  2   1 0   2  2 1 0  2  2  1 ami azt jelenti, hogy a P2  0,  pontban nincs szélsőérték, ez a pont a függvény nyeregpontja.  2 Végezetül vizsgáljuk meg az x-tengely pontjait. Ha y = 0 akkor a másodrendű deriváltak értéke Dr. Hanka László

210


Többváltozós Függvények f xx  x,0   0; f xy  x,0   0; f yy  x,0   2 x  2 x 2 ; Ezért a Hesse-mátrix és a Hesse-determináns rendre a következő

0  0 0 0 H  x, 0    ; D  x, 0   det H  x, 0    0; 2 0 2x  2x2 0 2 x  2 x  Ez pedig azt jelenti, hogy az x-tengely minden pontjában eltűnik a Hesse-determináns D  x,0   0 és ráadásul f xx  x,0   0 tetszőleges x  R esetén. Az x-tengely pontjaiban tehát sehol sem tudjuk alkalmazni az elégséges feltételt. Más módszerrel kell tehát a vizsgálatot elvégezni. Mivel az (x, 0) koordinátájú pontokban nyilván teljesül, hogy f  x,0   0, x  R , vagyis a tengely mentén a függvény azonosan zérus. A tengely pontjaiban a szélsőértéket úgy tudjuk megvizsgálni, hogy a tengely pontjainak környezetében megvizsgáljuk a függvény előjelét. Legyen ennek érdekében az x0 egy tetszőlegesen rögzített valós szám, és vizsgáljuk az előjelet az (x0, 0) pont környezetében. Ennek érdekében a függvényt a következő módon alakítjuk át

f  x0 , y   x0 y 2  x02 y 2  2 x0 y 3  x0 y 2 1  x0  2 y  ; Ha közeledünk az (x0, 0) ponthoz, akkor az y értéke tetszőlegesen kicsivé válik, tart a 0-hoz. Ha még figyelembe vesszük, hogy a tengelyre nem illeszkedő pontok esetén nyilván y2 > 0, és ha y tart 0-hoz, akkor feltéve, hogy x0 különbözik 1-től, akkor az 1 – x0 különbség abszolút értékben nagyobb lesz mint a 2y abszolút értéke. Így világos, hogy az említett kivétellel a függvény előjelét a tengelyhez közel eső pontokban az x0 és az 1 – x0 előjele együttesen fogja meghatározni. 1.eset: Ha x0 < 0 akkor x0 < 0 és 1 – x0 > 0, tehát a függvény előjele negatív a tengelyhez közeli pontokban. Innen adódik, hogy a negatív féltengely pontjaiban a függvénynek lokális maximuma van. Ezek a pontok gyenge maximumhelyek. 2. eset: Ha x0 = 0 tehát ha az origót vizsgáljuk, akkor közeledjünk a (0, 0) ponthoz egy y = mx egyenletű egyenes mentén. Ezen egyenes pontjaiban

f  x, mx   x  mx   x 2  mx   2 x  mx    mx   x  x 2  2mx 2    mx   x   2m  1 x 2  2

Legyen most konkrétan m  

2

3

2

2

1 azaz 2m + 1 = 0. Ez azt jelenti, hogy ezen egyenes mentén a 2

1  2  f  x,  x    mx   x formulával adható meg. Ha x > 0 akkor nyilván a 2   függvényérték is pozitív, és ha x < 0 akkor a függvényérték is negatív, tetszőlegesen közel az origóhoz. Ez azt jelenti, hogy a (0, 0) pont a függvénynek nyeregpontja, tehát az origóban nincs szélsőérték.

függvény az

Dr. Hanka László

211


Többváltozós Függvények 3. eset: Ha 0 < x0 < 1 akkor nyilván 0 < x0 és 1 – x0 > 0 tehát ezen pontok környezetében, elég közel a tengelyhez a függvényértékek pozitívok, azaz a ]0, 1[ intervallum minden pontja lokális minimumhely. Ezek a pontok tehát gyenge minimumhelyek. 4. eset: Ha x0 = 1 akkor a második parciális függvény f 1, y   y 2  y 2  2 y3  2 y3 egy páratlan kitevőjű hatványfüggvény. Ez azt jelenti, hogy ha y > 0 a függvény negatív, ha pedig y < 0 a függvény pozitív. Vagyis az (1, 0) pont nem szélsőértékhely, hiszen a pont tetszőlegesen kis környezetében a függvény felvesz pozitív és negatív értéket is. Az (1, 0) pont tehát a függvény nyeregpontja (2.29. ábra).

2.29. ábra. Az ábrán látható az (1, 0) pont amely egy nyeregpont és látható az x-tengely, amely végtelen sok gyenge szélsőértékhelyet jelent. Továbbá jól látható a (0; 0,5) pont amely ugyancsak nyeregpont.

5. eset: Ha x0 > 1 akkor nyilván x0 > 0 és 1 – x0 < 0, tehát a függvény előjele negatív a tengelyhez közeli pontokban. Innen adódik, hogy az ]1, [ intervallum pontjaiban a függvénynek lokális maximuma van. Ezen intervallum minden pontja gyenge maximumhely. Ezzel a függvény összes stacionárius pontját megvizsgáltuk.

Dr. Hanka László

212



2.10. Három - és többváltozós függvények szélsőértéke Ebben a pontban azt vizsgáljuk, hogyan lehet a kétváltozós függvényekre megfogalmazott szükséges és elégséges feltételt általánosítani n változó esetére. Keressük tehát az

 x1, x2 ,..., xn 

f  x1 , x2 ,..., xn   R

n-változós valós értékű függvény lokális szélsőértékének szükséges és elégséges feltételét. Az nyilvánvaló, hogy ha egy x0   x01 , x02 ,..., x0 n  hely a függvény lokális szélsőértékhelye, akkor ez a hely lokális szélsőértékhelye az összes parciális függvénynek is, azaz ebben a pontban lokális szélsőértéke van az xi

f  x01 , x02 ,..., xi ,..., x0 n   R; i  1, 2,..., n

függvényeknek is. Ezekre vonatkozólag az egyváltozós analízisből ismerjük a szükséges feltételt. Eszerint az x0i pontbeli deriváltaknak, azaz a parciális deriváltaknak el kell tűnni. Már kaptuk is a szélsőérték szükséges feltételét. Tétel: A lokális szélsőérték elsőrendű szükséges feltétele f  x1 , x2 ,..., xn   R n-változós függvény lokális Tegyük fel, hogy az x0 pont az  x1 , x2 ,..., xn  szélsőértékhelye. Ekkor f xi  x01 , x02 ,..., x0n   0; i  1, 2,..., n

A szélsőérték meghatározása ezután úgy történik, hogy megoldjuk az

1  2

f x1  x1 , x2 ,..., xn   0   f x2  x1 , x2 ,..., xn   0   ...    n f x , x ,..., x  0   xn  1 2 n  n db egyenletből álló, általában nem lineáris egyenletrendszert. Vegyük észre, hogy ez az egyenletrendszer egyenértékű azzal, hogy szélsőértékhelyen a függvény gradiense eltűnik, vagyis a szükséges feltétel a következő: f  x   0;

Ennek a rendszernek illetve vektoregyenletnek a megoldásait nevezzük stacionárius pontoknak. Tegyük fel, hogy egy megoldás, tehát egy stacionárius pont a következő: x0   x01 , x02 ,..., x0 n  . A kérdés, hogy ebben a pontban valóban van-e szélsőértékhely. Ennek eldöntéséhez ismét a másodfokú Taylor-polinomot használjuk fel. Dr. Hanka László

213


Többváltozós Függvények A Taylor-polinom n-változós esetben is pontosan ugyanolyan alakban írható, mint ahogyan azt a kétváltozós esetben megadtuk. Vektoriális alakban

1 T T 2x0  f  x   f  x0   f  x0  dr  drT 2 f  x0  dr; 2 Ha most figyelembe vesszük a szükséges feltételt, akkor tehát szélsőértékhelyen ez a

1 T 2x0  f  x   f  x0   drT 2 f  x0  dr; 2 egyenletre egyszerűsödik. Ha felírjuk ezt koordinátás jelöléssel akkor a

1 T 2x01 , x02 ,..., x0 n  f  x1 , x2 ,..., xn   f  x01 , x02 ,..., x0 n   drT 2 f  x01 , x02 ,..., x0 n  dr; 2 összefüggést kapjuk. A függvényérték és a stacionárius pontbeli függvényérték különbsége ebből adódóan a 1 T 2 dr  f  x0  dr; 2 1 f  x1 , x2 ,..., xn   f  x01 , x02 ,..., x0 n   drT  2 f  x01 , x02 ,..., x0 n  dr; 2 f  x   f  x0  

összefüggéssel adható meg, ahol tehát  x1  x01  x  x  dr  x  x 0   2 02  ;  ...     xn  x0 n 

A fenti egyenlőség jobb oldala egy homogén kvadratikus alak. Ennek a kvadratikus alaknak a definitsége dönti el, hogy a függvénynek az x0 helyen milyen szélsőértéke van. A lineáris algebrában megfogalmaztuk és igazoltuk ennek szükséges és elégséges feltételét. Eszerint egy szimmetrikus n-ed rendű A mátrix pontosan akkor pozitív definit, ha a főminorjai pozitívok és negatív definit ha a főminorjai váltakozó előjelűek, olyan módon, hogy a páros rendű főminorok pozitívok és a páratlan rendű főminorok negatívok. Ha az A mátrix az  a11 a  12 A   a13   ...  a1n Dr. Hanka László

a12

a13

a22

a23

a23

a33

...

...

a2 n

a3n

214

... a1n  ... a2 n  ... a3n  ;  ... ...  ... ann  Óbudai Egyetem Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar

Többváltozós Függvények komponensekkel adott, akkor tehát az idézett tétel a következő módon hangzik. 1. Az A mátrix pontosan akkor pozitív definit, ha

a11  0,

a11

a12

a12

a22

a11

a12

a13

... a1n

a11

a12

a13

a12

a22

a23 ... a2 n

 0, a12

a22

a23  0, ..., a13

a23

a33 ... a3n  0;

a13

a23

a33

...

...

...

a1n

a2 n

a3n ... ann

...

...

2. Az A mátrix pontosan akkor negatív definit, ha

a11  0,

a11

a12

a12

a22

a11

a12

a13

... a1n

a11

a12

a13

a12

a22

a23 ... a2 n

 0, a12

a22

a23  0, ..., a13

a23

a33 ... a3n  0 ha n ps és  0 ha n ptl

a13

a23

a33

...

...

...

a1n

a2 n

a3n ... ann

...

...

Ezek alapján megfogalmazhatjuk az elégséges feltételt. Tétel: A szélsőérték másodrendű elégséges feltétele. Tegyük fel, hogy f  x0   0 és tegyük fel továbbá, hogy a drT 2 f  x0  dr kvadratikus alak pozitív definit, azaz 12 f  x0  12 f  x0  13 f  x0  2  f x  f x     0 12 0 12 f  x0   0, 1  0, 12 f  x0   22 f  x0   23 f  x0   0, ... 12 f  x0   22 f  x0  13 f  x0   23 f  x0   32 f  x0 

Ekkor az x0 pont az f függvény lokális minimumhelye. Tegyük fel, hogy f  x0   0 és tegyük fel továbbá, hogy a drT 2 f  x0  dr kvadratikus alak negatív definit, azaz

12 f  x0   0,

 f  x0  12 f  x0  12 f  x0   22 f  x0  2 1

12 f  x0  12 f  x0  13 f  x0   0, 12 f  x0   22 f  x0   23 f  x0   0, ... 13 f  x0   23 f  x0   32 f  x0 

Ekkor az x0 pont az f függvény lokális maximumhelye. Lássunk az elmélet alkalmazására egy példát.

Dr. Hanka László

215


Többváltozós Függvények 2.43.Példa: Vizsgáljuk meg az

f  x, y, z   x 

y z 1   ; x  0, y  0, z  0; x y z

Háromváltozós függvény lokális szélsőértékeit. Elsőként maghatározzuk az elsőrendű parciális derivált függvényeket és azonnal fel is írjuk a szükséges feltétel szerinti egyenletrendszert.  y  0  x2  y  x2   1 z  f y  x, y, z    2  0   y 2  xz  x y  z 2  y   1 1 f z  x, y, z    2  0  y z  f x  x, y, z   1 

Ebből következik, hogy

y 2  xz, x4  xz azaz x3  z, x2  z 2 , azaz x3  x vagy x3   x; Mivel x nem lehet zérus, a legutóbbi egyenlet nem teljesül, tehát az előtte levőből adódik, hogy x = 1 vagy –1. Ekkor a harmadik összefüggésből adódik, hogy rendre z = 1 vagy –1, és végül az első egyenlőség alapján adódik, hogy y = 1. Kaptunk tehát két stacionárius pontot: P1 1,1,1 és P2  1,1, 1 . Most következik az elégséges feltétel. A másodrendű deriváltak a következők. 2y ; x3 2z f yy  x, y, z   3 ; y 2 f zz  x, y, z   3 ; z

f xx  x, y, z  

f xy  x, y, z   

1 ; x2

f xz  x, y, z   0; f yz  x, y, z   

1 ; y2

Innen a Hesse-mátrix a következő.  2y  3  x  1 H  x, y , z     2  x   0  Dr. Hanka László

216

1 x2 2z y3 1  2 y 

 0   1  2 ; y  2   z3  Óbudai Egyetem Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar

Többváltozós Függvények Vizsgáljuk meg most a stacionárius pontokat. A P1 pontban a Hesse-mátrix  2 1 0  H 1,1,1   1 2 1 ;  0 1 2 

Vizsgáljuk meg a főminorok előjelét. 2 1 0 2 1 2  0,  3  0, 1 2 1  4  0; 1 2 0 1 2

Minden főminor pozitív, ami azt jelenti, hogy a H(1,1,1) Hesse-mátrix pozitív definit, tehát a P1 pont lokális minimuhely. A lokális minimum értéke pedig f(1,1,1) = 4. A P2 pontban folytatjuk a vizsgálatokat. Ebben a pontban a Hesse-mátrix  2 1 0  H  1,1, 1   1 2 1 ;  0 1 2 

A főminorok pedig a következők. 2 1 0 2 1 2  0,  3  0, 1 2 1  4  0; 1 2 0 1 2

Ezek előjele váltakozó, a páros rendű főminor pozitív a többi negatív, tehát a H(–1,1,–1) Hessemátrix negatív definit, ami azt jelenti, hogy a P2 pont lokális maximumhely. A lokális maximum értéke pedig f(–1,1,–1) = –4. A bemutatott módszerrel vizsgálható tehát egy többváltozós függvény szélsőértéke. Ha azonban a vizsgálat során az derül ki, hogy valamelyik főminor értéke zérus, az még nem jelenti azt, hogy akkor a stacionárius pontban nincs szélsőérték, hiszen az említett tétel valóban csak elégséges feltétel de nem szükséges. Így ha előáll az említett eset, akkor az adott feladaton belül más módszerekhez kell folyamodni annak eldöntéséhez, hogy a stacionárius pont valóban szélsőértékhely-e, mint azt a kétváltozós esetben több példán keresztül bemutattuk.

Dr. Hanka László

217



2.11. A legkisebb négyzetek módszere A többváltozós függvény szélsőértékének fontos alkalmazása a legkisebb négyzetek módszere. Ezzel a módszerrel szokás például mérési adatokra legjobban illeszkedő, adott osztályba tartozó függvényt illeszteni. Ennek egy másik aspektusa valószínűségi változók esetén a korreláció és regresszió fogalomköre. Ott a valószínűségi változók közötti sztochasztikus kapcsolat analitikus leírására használjuk ezt az eljárást. Az alábbiakban három konkrét függvényosztállyal foglalkozunk. Először megvizsgáljuk a leggyakoribb kérdést, hogyan lehet legjobban illeszkedő egyenest illeszteni a mérési adatokból kapott számpárokra. A statisztikában ezt nevezik lineáris regressziónak. Utána a bemutatott módszert általánosítjuk. Elsőként bemutatjuk, hogyan lehet a lineáris regresszió esetén kapott formulákat hasznosítani, ha exponenciális függvény illesztése a feladat, tehát megvizsgáljuk az exponenciális regresszió problémakörét. Mint kiderül ez a két problémakör visszavezethető a kétváltozós függvények szélsőértékének vizsgálatára. Végül, a háromváltozós szélsőértékek elméletének alkalmazásaképpen megmutatjuk, hogyan lehet adatsorra legjobban illeszkedő parabolát illeszteni, vagyis megvizsgáljuk a parabolikus regresszió kérdéskörét. A 2.30. ábrán illusztráljuk, mit is jelent valójában a "legkisebb négyzetek" módszere.

2.30. ábra. A legkisebb négyzetek módszerének szemléltetése

Az ábrára tekintve tegyük fel, hogy adottak méréssel kapott rendezett párok, jelölje ezeket  xk , yk  , k = 1, 2, ..., n. Tegyük fel, hogy ezekre a pontokra szeretnénk illeszteni egy f(x) függvényt, amely a vizsgálataink során konkrétan elsőfokú polinom, exponenciális függvény illetve másodfokú polinom lesz, de elvileg bármilyen függvény lehet. Ebben a függvényben mindig kell, hogy legyen legalább egy konstans, ami szabad paraméternek tekinthető, amelynek a változtatásával változik az illesztett függvény is. Ha például elsőfokú polinomot illesztünk, melynek képlete f(x) = mx + b, akkor ezek a szabad paraméterek az m meredekség és a b tengelymetszet. Az illeszteni kívánt függvény paramétereit úgy határozzuk meg, hogy tekintjük a Dr. Hanka László

218


Többváltozós Függvények méréssel kapott pontoknak az ordinátáit illetve ugyanezen abszcisszákhoz tartozó f(xk) függvényértékeket, és előírjuk, hogy az ordináták és a függvényértékek különbségeinek négyzetösszege legyen minimális. Ezeket az előjeles különbségeket a 2.30. ábrán dk jelöli, ahol természetesen dk lehet pozitív és negatív sőt zérus is. Numerikusan tehát az a feladat, hogy úgy határozzuk meg a függvényben szereplő konstans paramétereket, hogy n db mérési pont esetén a n

d12  d 22  ...  d n2   d k2  minimum k 1

y

1

n

 f  x1     y2  f  x2    ...   yn  f  xn      yk  f  xk    minimum 2

2

2

2

k 1

feltétel teljesüljön. Innen világos, miért kapta az eljárás a "legkisebb négyzetek módszere" elnevezést. Mielőtt a konkrét számításokba belemerülünk hangsúlyozzuk a következőt. Igen gyakori hiba a legkisebb négyzetek módszerének alkalmazása során, hogy mélyebb indoklás nélkül illesztenek valamilyen függvényt egy adatsorra. Ez különösen az egyenes illesztésére igaz, hiszen ez a legegyszerűbb és így a leggyakoribb eset. Azonban a függvénykapcsolat létezése és a jelleg mélyebb alátámasztása nélkül ez csak egy "semmitmondó" matematikai kapcsolat lesz, amelyből közvetlenül semmiféle tudományos érvényű következtetést levonni nem lehet. Ezért azt javasoljuk az alkalmazóknak, hogy regressziós függvények meghatározása előtt előbb derítsék ki a mennyiségek közötti összefüggéseket és indokolják meg, hogy jogos-e adott függvény illesztése az adott probléma esetén.

Dr. Hanka László

219



2.11.1. Lineáris regresszió Ebben a pontban a legegyszerűbb és leggyakoribb estet tanulmányozzuk, amikor a mérési pontokra egy legjobban közelítő egyenest illesztünk. A valószínűségelméletben ezt nevezzük lineáris regressziónak. Felmerül a kérdés, hogy mit értünk azon, hogy legjobban közelítő. Erre több definíciót is adhatnánk, ebben a témakörben ezt a következő módon szokás meghatározni. Adott a következő, n db mérésből származó rendezett pár

 x ; y  ,  x ; y  ,...,  x ; y  1

1

2

2

n

n

ami jelentheti például azt, hogy n különböző időpontban megmérjük egy fizikai mennyiség értékét. Ha felfedezhető valamilyen tendencia, valamilyen "trend" az adatokban, és ez akár mélyebb fizikai okok miatt lineáris kapcsolat, vagy egyszerűen csak vizuálisan úgy tűnik, hogy ez közelítőleg egy egyenesre illeszkedő ponthalmaz a síkban, akkor megpróbálhatjuk a közelítő egyenest

y  mx  b alakban felvenni. A kérdés az, hogy mennyi legyen az m meredekség és a b tengelymetszet értéke. Ezen ismeretlen paraméterek optimális értékének meghatározásához használjuk fel a többváltozós függvények szélsőértékének elméletét. Tegyük fel, hogy az n db xi , i  1, 2,..., n alapponthoz a közelítő egyenes az

yi  mxi  b; i  1, 2,..., n ordinátákat rendeli. Az optimalitás kritériumát a következőképpen értelmezzük. Legyen az m és b paraméter úgy meghatározva, hogy a n

n

  yi  yi     yi  mxi  b  2

i 1

2

i 1

négyzetösszeg minimális értéket vegyen fel. Innen már világos az elnevezés, hogy miért nevezik ezt a módszert "legkisebb négyzetek" módszerének. Vegyük észre, hogy ez voltaképpen egy kétváltozós függvény, amelynek a két változója éppen az m és b hiányzó paraméterek. Feladat tehát meghatározni az alábbi szélsőérték feladat megoldását. n

f  m, b     yi  mxi  b   minimum 2

i 1

A szélsőérték meghatározásához alkalmazzuk a szélsőérték szükséges feltételét. Eszerint az elsőrendű deriváltak értéke zérus.

Dr. Hanka László

220


Többváltozós Függvények n   1 f m , b    m    2  yi  mxi  b   xi   0  i 1  n  2  fb  m, b    2  yi  mxi  b  1  0  i 1 

Vizsgáljuk meg milyen megoldást ad ez az egyenletrendszer. Ha mindkét egyenletet osztjuk –2-vel majd kiemeljük a konstans m-et a szumma elé és rendezzük az egyenleteket, azt kapjuk, hogy n n n  1 m xi2  b xi   xi yi   i 1 i 1 i 1  n n  2  m xi  b  n   yi  i 1 i 1  Mint látható, ez egy lineáris egyenletrendszer a két ismeretlenre vonatkozólag. A megoldás érdekében bővítsük az (1) egyenletet n-nel, a (2) egyenletet pedig

n

 x -vel. Ekkor kapjuk, hogy i

i 1

  i 1 i 1 i 1   2 n n n n    2  m   xi   b  n   xi   xi   yi  i 1 i 1 i 1  i 1   n

n

n

1 m  n   xi2  b  n   xi  n   xi yi

Innen kivonással már adódik az m ismeretlen értéke az 2 n n n n   n   2 m  n   xi    xi    n   xi yi   xi   yi  i 1 i 1 i 1 i 1  i 1   

egyenletből, illetve ennek n2-tel osztott  n 2  n   xi   xi m  i 1   i 1  n  n    

     

2

n n  n   xi yi  xi  yi   i 1  i 1  i 1  n n n  

változatából már adódik. Ha a szokásos alakban szeretnénk előállítani az m paraméter értékét, akkor célszerű bevezetni néhány egyszerűsítő jelölést. Legyenek n

x Dr. Hanka László

 xi i 1

n

n

; y

 yi i 1

n

n

; xy 

221

 xi yi i 1

n

n

; x2 

x i 1

2 i

n Óbudai Egyetem Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar

Többváltozós Függvények amely jelölésekben és hányadosokban felismerhetők a statisztikából ismert átlagértékek. Ezekkel a jelölésekkel kapott egyenlet egyszerűen a következő alakot ölti.



m x2   x 

2

  xy  x  y

Ahonnan az m meredekség optimális értéke. m

xy  x  y x2   x 

2

Ennek birtokában a hiányzó b paraméter már egyszerűen adódik a (2) egyenletbe történő helyettesítéssel. Ha ugyanis a (2) egyenletet osztjuk n-nel, akkor azt kapjuk, hogy n

 2 m

 xi i 1

n

n

 b

y i 1

i

n

ami a bevezetett jelölésekkel úgy írható, hogy

 2 mx

 by

Ebből adódik a b tengelymetszet optimális értéke.

b  y  mx Még hátra van annak vizsgálata, hogy ez valóban egy minimumhely. Ennek eldöntéséhez az elégséges feltételt hívjuk segítségül. Előállítjuk a másodrendű deriváltakat. n n    m, b    2   xi   xi   2 xi2  f mm i 1 i 1  n n    m, b    2   xi  1  2 xi  f mb i 1 i 1  n n  fbb  m, b     2  1   2  2n  i 1 i 1 

Innen kapjuk a Hesse-mátrixot és annak determinánsát

 n 2  2 xi i 1 H  m, b    n   2 xi  i 1 Dr. Hanka László

n  2 xi  2 n n   i 1 2  ;  D  m, b   det H  m, b   4n xi   2 xi   i 1  i 1  2n  

222


Többváltozós Függvények Ha a Hesse-determináns kapott alakjából kiemelünk 4n2-et, akkor azt kapjuk, hogy  n 2  n   xi   xi 2  i 1 D  m, b   4n   i 1  n  n    

     

2

     

A stacionárius pontban akkor van szélsőérték, ha ez a determináns ott pozitív értéket vesz fel. Ez azonban igaz, ugyanis ha felhasználjuk a számtani és négyzetes közép közötti ismert egyenlőtlenséget, mely szerint a számtani közép legfeljebb akkora lehet mint a négyzetes közép. Ha ezt az egyenlőtlenséget négyzetre emeljük, kapjuk hogy

 n x x x    i   xi i 1 i 1 i 1  ;    i 1 n n n  n   n

n

n

2 i

2 i

2

   0   

Mivel azt is tudjuk, hogy a két közép pontosan akkor egyenlő, ha az n db szám páronként egyenlő - ami a vizsgált esetben nyilván nem teljesül -, ezért a fenti egyenlőtlenség szigorú formában teljesül. Ez pontosan azt jelenti, hogy a Hesse-determináns pozitív, ráadásul nem csak a stacionárius pontban hanem mindenütt. Ez éppen azt jelenti, hogy a fentiekben kapott stacionárius pont szélsőértékhely. Mivel továbbá nyilvánvalóan igaz, hogy n

  m, b    xi2  0 f mm i 1

ezért a stacionárius pont valóban minimumhely, a négyzetösszeg tehát valóban minimális. Ezzel meghatároztuk a legkisebb négyzetek módszere szerint legjobban közelítő egyenes paramétereit, a meredekséget és a tengelymetszetet. 2.44.Példa: Alkalmazzuk a fent levezett képleteket egy konkrét numerikus példában. Tegyük fel, hogy egy tendenciájában növekvő fizikai mennyiség értékét mértük 10 egymást követő percben. Az összetartozó adatpárok - mindegy milyen mértékegységben - legyenek a következők: xi yi

1 0,4

2 1,7

3 2,1

4 1,9

5 3,2

6 3,2

7 4,6

8 4,4

9 5,2

10 6,5

Most kiszámítjuk a fenti formulákban szereplő átlagértékeket.

Dr. Hanka László

223


Többváltozós Függvények n

 xi  55; i 1

n

x

 xi i 1

10

 5,5;  x 

2

 n   xi   i 1  10  

n

 yi  33, 2; i 1

n

 xi yi  232,1; i 1

2

n

x

2 i

i 1

n  yi   i 1   30, 25; y   3,32; xy  10   

 385;

n

 xi yi i 1

n

n

 23, 21; x 2 

x

2 i

i 1

n

 38,5;

Ebből a két kiemelt összefüggésbe helyettesítve adódik a legkisebb négyzetek módszerével kapott közelítő egyenes két paramétere. m

xy  x  y x x 2

2



23, 21  5,5  3,32  0, 6; b  y  mx  3,32  0, 6  5,5  0, 02; 38,5  30, 25

A keresett egyenes egyenlete tehát a következő.

y  0,6 x  0,02 A számítások eredményét, valamint a méréssel kapott pontok viszonyát érzékelteti a 2.31. ábra.

Regressziós egyenes 7 6 5 4 3 2 1 0 1

2

3

4

5

Mérési adatok

6

7

8

9

10

Az adatokra illesztett egyenes

2.31. ábra. A legkisebb négyzetek módszerével illesztett egyenes képe

Dr. Hanka László

224



2.11.2. Exponenciális regresszió Az exponenciális regressziós függvény alkalmazása azt jelenti, hogy a méréssel kapott adatok által meghatározott rendezett párokra egy

y  a  ebx alakú függvényt illesztünk, ezen függvény paramétereit keressük. A függvényt ugyancsak a legkisebb négyzetek módszerével szeretnénk illeszteni. Ezt a problémát azonban könnyedén visszavezethetjük az előző pontban tárgyalt lineáris regresszió esetére. Vegyük ugyanis az előző egyenlet természetes logaritmusát. Ekkor az

ln y  ln a  bx lineáris összefüggést kapjuk x és lny között. Az erre vonatkozó optimális megoldást már ismerjük az előző pontból, így tehát az exponenciális függvény illesztését közvetett módon tudjuk megoldani, egy elsőfokú függvény illesztését követően. Tegyük fel tehát, hogy adott a következő, n db mérésből származó rendezett pár

 x ; y  ,  x ; y  ,...,  x ; y  1

1

2

2

n

n

A fenti gondolatmenet szerint ehelyett vizsgáljuk az

 x ;ln y  ,  x ;ln y  ,...,  x ;ln y  1

1

2

2

n

n

pontokat. Ezen pontokra illesztünk egy regressziós egyenest, melynek paraméterei lna és b, ahol lna a tengelymetszet és b a meredekség. Az előző pont formuláit közvetlenül alkalmazhatjuk, így kapjuk az optimális paraméterértékeket. Legyen tehát n

x

 xi i 1

n

n

; y

 ln yi i 1

n

n

; xy 

 xi ln yi i 1

n

n

; x2 

x i 1

2 i

n

ekkor formálisan ugyanazok a képletek szolgáltatják az egyenes paramétereit. b

xy  x  y x2   x 

2

; ln a  y  bx

Innen pedig az exponenciális függvény paraméterei is azonnal adódnak b

Dr. Hanka László

xy  x  y x x 2

225

2

; a  e y bx


Többváltozós Függvények Lássunk a mondottakra egy numerikus példát. 2.45.Példa: Exponenciális regressziós függvény illesztése. Tegyük fel, hogy adottak az alábbi rendezett párok, amelyek mérés során kapott értékek. xi yi

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1,8

1,9

2,2

3,6

4

5,7

6,7

7,9

10

13,6

17,2

Tegyük fel továbbá, hogy valamilyen törvény alapján azt jósoljuk, hogy a két adatsor között egy exponenciális függvénykapcsolat van. Ekkor kereshetünk egy exponenciális regressziós függvényt y  a  ebx alakban. Ekkor az yi értékek helyett ezek természetes logaritmusát vesszük alapul a számításokhoz. xi lnyi

0 0,58

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,64

0,78

1,28

1,38

1,74

1,90

2,06

2,30

2,61

2,84

Ezen rendezett párok által meghatározott pontokra egyenest illesztünk. Ezek paraméterei a mondottak szerint a következők b

xy  x  y x x 2

2



10,59  5 1, 65  0, 23; a  e y bx  e1,650,235  1, 61 35  25

A legjobban illeszkedő exponenciális függvény tehát az y  1,61 e0,23 x . A mérési pontokat és az illesztett exponenciális függvény grafikonja látható a 2.32. ábrán.

Exponenciális regresszió 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0

1

2

3

4

mért adatok

5

6

7

8

9

10

illesztett exponenciális görbe

2.32. ábra. Exponenciális függvény illesztése a legkisebb négyzetek módszerével

Dr. Hanka László

226



2.11.3. Másodfokú regresszió Másodfokú regresszióról beszélünk akkor, ha az

 x ; y  ,  x ; y  ,...,  x ; y  1

1

2

2

n

n

adatsorra egy

y  ax2  bx  c alakú parabolát illesztünk. Ebben az esetben nyilván az ismeretlen a, b és c konstansok értékét keressük a legkisebb négyzetek módszerével. Előírjuk tehát, hogy a f  a, b, c     yi  axi2  bxi  c   min n

2

i 1

háromváltozós függvény minimális értéket vegyen fel. A paraméterek meghatározásához a szélsőérték szükséges feltételét jelentő, három egyenletből álló n  2 2   f a  a, b, c    2  yi  axi  bxi  c   xi   0 i 1  n   f a , b , c  2  yi  axi2  bxi  c    xi   0    b  i 1  n  2  fb  a, b, c    2  yi  axi  bxi  c   1  0 i 1 

egyenletrendszert kell megoldani. Minden egyenletet elosztva 2-vel, majd egy oldalra rendezve az ismeretleneket az egyenletek a következő alakot öltik n n n  n 4 3 2 a x  b x  c x  xi2 yi     i i i  i 1 i 1 i 1  i 1 n n n n  3 2 a x  b x  c x  xi yi   i    i i i  1 i  1 i  1 i  1  n n  n 2 a  xi  b xi  c  n   yi i 1 i 1  i 1

Ez egy lineáris egyenletrendszer az a, b, c ismeretlenekre vonatkozólag. Az adatsor ismeretében akár Gauss-eliminációval, vagy Cramer-szabállyal, vagy valamely számítógépes szoftverrel megoldható. Az egyenletrendszer megoldásával tehát kezünkben van a legkisebb négyzetösszeggel közelítő parabola három paramétere.

Dr. Hanka László

227


Többváltozós Függvények A jobb áttekinthetőség érdekében felírjuk a rendszert mátrixműveletekkel.  n 4   xi  i 1  n 3   xi  i 1  n 2   xi  i 1

 n 2  2 a x    i    xi yi  i 1     i 1  n     n  xi   b     xi yi  ;  i 1     i 1     n  n   c    yi    i 1 

n

n

 xi3 i 1 n

x i 1

2 i

n

x i 1

i

Hátra van még annak eldöntése, hogy ez a megoldás valóban az eltérések négyzetösszegének minimumát szolgáltatja. Ennek vizsgálatához szükség van a másodrendű deriváltakra. n

n

f aa  a, b, c   2 xi4

f bb  a, b, c   2 xi2

i 1

f cc  a, b, c   2n

i 1

n

n

f ab  a, b, c   2 xi3

f ac  a, b, c   2 xi2

i 1

i 1

n

f bc  a, b, c   2 xi i 1

Ahonnan a harmadrendű Hesse-mátrix már felírható.  n 4   xi  i 1  n H  a, b, c   2    xi3  i 1  n 2   xi  i 1

n

 xi3 i 1 n

x i 1

2 i

n

x i 1

i

  i 1  n  xi  ;  i 1   n   n

x

2 i

Vegyük észre, hogy a 2-es szorzótól eltekintve ez a mátrix pontosan megegyezik az a, b és c paramétereket szolgáltató egyenletrendszer együtthatómátrixával. Az világos, hogy ez szimmetrikus mátrix. Az elégséges feltétel ismeretében az a kérdés, hogy ez a mátrix, amely független az a, b és c értékétől, tehát konstans, pozitív definit-e. Ha igazolni szeretnénk, hogy valóban minimumhelyet kapunk, akkor a háromváltozós függvények szélsőértékére vonatkozó elégséges feltételt figyelembe véve azt kell megvizsgálnunk, hogy a n

n

n

 xi4 ; i 1

n

x x i 1

4 i

n

i 1

x x i 1

i 1

i 1

3 i

n

3 i

2 i

228

4 i

n

;

 xi3 i 1 n

 xi2 i 1

Dr. Hanka László

n

n

x x x i 1

3 i

n

 xi2 i 1

i 1

2 i

n

x i 1

i

n

x i 1

i

n


Többváltozós Függvények bal felső sarok aldeterminánsok mindegyike pozitív-e. Az elsőrendű tag esetén ez nyilvánvaló, a Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij egyenlőtlenséggel a másodikról is könnyedén megmutatható, hogy pozitív, a harmadrendű tag azonban elég bonyolult összefüggésre vezet. Ezért nem általánosan mutatjuk meg, hogy a Hesse-mátrix pozitív definit, hanem a konkrét példa kapcsán javasoljuk megvizsgálni, ahogyan az alábbi példában ezt illusztráljuk. 2.46.Példa: Parabolikus regresszió. Adott az alábbi adatsor. Illesszünk rá egy parabolát a legkisebb négyzetek módszerével. xi yi

1 36

2 28

3 15

4 12

5 6

6 1

7 0

8 3

9 7

10 11

11 19

12 23

13 35

14 52

15 66

Kiszámítjuk az egyenletrendszer együtthatómátrixát és jobboldalát. n

 xi  120; i 1 n

y i 1

i

 314;

n

 xi2  1240; i 1 n

yx i 1

i i

 3076;

n

 xi3  14400; i 1

n

yx i 1

2 i i

n

x i 1

4 i

 178312;

 39088;

A megoldandó egyenletrendszer tehát a következő 178312 14400 1240   a  39088  14400 1240 120   b    3076  ;       1240 120 15   c   314 

Ennek megoldása pedig az  a   0,9955   b    13,9133 ;      c   49,9473 

rendezett hármas. (A megoldást a MATLAB segítségével állítottuk elő.) Hátra van annak igazolása, hogy ez valóban minimumhely, vagyis igazolnunk kell, hogy a Hesse-mátrix, ami ebben az esetben egybeesik az együtthatómátrixszal, pozitív definit. De ez igaz, hiszen kiszámítva a bal felső sarok aldeterminánsokat kapjuk, hogy 178312 14400 178312  0;  1,3747 107  0; 14400 1240

178312 14400 1240 14400 1240 120  1, 7326 10 7  0; 1240

120

15

Azaz valóban pozitív definit, tehát a kapott megoldás a szélsőérték probléma minimumhelye.

Dr. Hanka László

229


Többváltozós Függvények Eszerint a legjobban közelítő parabola egyenlete a következő

y  0,9955x2 13,9133x  49,9473 Az adatsort és a legjobban illeszkedő parabolát láthatjuk a 2.33. ábrán.

Parabolikus regresszió 70 60 50 40 30 20 10 0 1

2

3

4

5

6

mérési adatok

7

8

9

10

11

12

13

14

15

illesztett parabola

2.33. ábra. Adatsorra legjobban illeszkedő parabola a legkisebb négyzetek módszerével.

Dr. Hanka László

230



2.12. Kétváltozós függvények integrálása Többváltozós függvények integrálása az egyváltozós határozott integrál fogalomkörének általánosítását jelenti. Általánosítani lehet a primitív függvény fogalmát is, de ez a kérdéskör a vektoranalízis témaköréhez tartozik ezért később tárgyaljuk. Az integrálás témakörében elsősorban mérnöki alkalmazási szempontokat tartunk szem előtt. Ez azt jelenti, hogy nem azt vizsgáljuk, milyen feltételek teljesülése esetén létezik az integrál, illetve mik az integrálhatóságnak a szükséges, elégséges illetve a szükséges és elégséges feltételei, hanem azt mutatjuk be, hogy különböző típusú integrációs tartományok esetén az integrál kiszámításának a technikájára helyezzük a hangsúlyt. bemutatjuk, hogyan számítható ki egy kettős vagy hármas integrál és ami nagyon fontos szempont lesz, megmutatjuk, hogyan általánosítható a helyettesítéses integrálás módszere több változó estére. Ez utóbbit úgy fogjuk nevezni, hogy az integrál transzformációja. Ha a Tisztelt Olvasót érdekli az elméleti háttér, többek közt a Jordan-féle mérték elmélete, és az integrálhatóság kritériumai, a jegyzet végén megjelölt bőséges szakirodalomban megtalálja kérdéseire a választ. Itt tehát a határozott integrál fogalmát általánosítjuk. Ennek tárgyalása előtt fontos érzékelnünk az integrál szemléletes jelentését. Az egyváltozós analízisben azt a problémát tűztük ki, hogy adott egy, legegyszerűbb esetben, folytonos, korlátos és nemnegatív függvény amely egy [a, b] intervallumon van értelmezve, és kérdés volt a függvény grafikonja és az x-tengely közötti korlátos síkidom területének mérőszáma. Ezt a mérőszámot szolgáltatja ebben az esetben definíció szerint a határozott integrál. Általánosítsuk ezt a problémát egyelőre két dimenzióra. Az egydimenziós intervallum közvetlen két dimenziós általánosítása egy téglalap, melynek oldalai párhuzamosak a koordinátatengelyekkel. Egy ilyen téglalapot az I = [a, b]×[c, d] Descartes-szorzattal tudunk definiálni. Tegyük fel, hogy ezen a kétdimenziós I intervallumon értelmezve van egy

f :  a, b  c, d   R,

 x, y 

f  x, y 

kétváltozós valós értékű függvény, amelyről feltesszük, hogy folytonos, korlátos és nemnegatív. A korábbi pontokból tudjuk, hogy ennek grafikonja egy felület az I intervallum felett. Feltesszük a kérdést: mekkora az f(x, y) függvény grafikonja és az [x, y]-sík közti korlátos térrész térfogatának mérőszáma? Ennek a kérdésnek a megválaszolására pontosan ugyanolya módszert alkalmazunk, mint az egydimenziós esetben. Elsőként képezzük az I intervallum egy felosztását, meghatározzuk a keresett térfogat ezen felosztáshoz tartozó közelítő értékét, majd a felosztás finomításával határértékként definiáljuk a kétváltozós függvény I intervallumra vonatkozó határozott integrálját. Elsőként a felosztás fogalmát általánosítjuk. Felosztjuk mind az [a, b] mind a [c, d] intervallumot a már ismert módon. A részintervallumok száma legyen rendre n és m. Az osztópontok pedig rendre a következők

Dr. Hanka László

231



x

0

y

0

 a, x1 , x2 ,..., xi 1 , xi ,..., xn 1 , xn  b xi 1  xi , i  1, 2,..., n



 c, y1 , y2 ,..., y j 1 , y j ,..., ym1 , ym  d y j 1  y j , j  1, 2,..., m

Ezen osztópontokon át párhuzamos egyeneseket húzunk a koordináta tengelyekkel. Ezek az egyenesek az I intervallumot n  m db részintervallumra, kicsiny téglalapra osztják. Ez a felosztást mutatja a 2.34. ábra.

2.34. ábra. Kétdimenziós intervallum felosztása

Ezek után minden kis kétdimenziós részintervallumból választunk egy tetszőleges pontot a következő módon. Legyen i   xi 1 , xi  , i = 1, 2, ..., n és  j   y j 1 , y j  , j = 1, 2, ..., m esetén. Ekkor világos, hogy az  i ,  j  rendezett pár által meghatározott pont az  xi 1 , xi    y j 1 , y j  Descartes-szorzat által definiált kicsiny téglalapban van, ahogyan azt az ábra mutatja. Az integrál közelítő összeget a következő módon értelmezzük. Minden ilyen részintervallumbeli pontban kiszámítjuk a függvényértéket és ezt szorozzuk a kicsiny téglalap területével.

Sn,m   f  i ,  j   xi  xi 1   y j  y j 1  n

m

i 1 j 1

Ennek az összegnek, amely a Riemann-összeg nevet is viseli szemléletes jelentése van. A kettős szumma minden tagja egy olyan egyenes hasáb térfogatát adja amelynek alapja az  xi1 , xi    y j 1 , y j  téglalap és magassága az f  i ,  j  függvényérték. Ezek összege, vagyis a Riemann-összeg, az egyenes hasábok térfogatösszege a kérdéses térfogat közelítő értéke. Kérdés, hogy hogyan tudjuk pontosítani a közelítést. Úgy, hogy a felosztást finomítjuk olyan módon, hogy az osztópontok száma mindkét intervallumban tart a -hez ugyanakkor a kétdimenziós Dr. Hanka László

232


Többváltozós Függvények részintervallumok területe tart 0-hoz. Ez utóbbi teljesül, ha megköveteljük, hogy a felosztást úgy finomítsuk, hogy teljesüljenek a lim max  xi  xi 1 i  1, 2,..., n  0 és lim max  y j  y j 1 j  1, 2,..., m  0 n 

m

Ha ez teljesül, azt mondjuk, hogy a "felosztás minden határon túl finomodik". Végül összefoglalva, ha elvégezzük a fenti határátmeneteket és az Sn,m Riemann-összegnek létezik véges határértéke, amely a felosztástól független, akkor az f(x, y) függvényt az I intervallumon integrálhatónak nevezzük. Az f(x, y) függvény I   a, b  c, d  intervallumra vonatkozó kettős integrálját ezek után - a jelölés bevezetésével - a következő módon értelmezzük.

 f  x, y  dI  lim lim S n  m

I

n,m

feltéve tehát, hogy teljesülnek a lim max  xi  xi 1 i  1, 2,..., n  0 és lim max  y j  y j 1 j  1, 2,..., m  0 n 

m

határérték relációk és a fenti határérték a felosztástól független véges érték. 2.47. Példa: A bemutatott definíció alapján határozzuk meg az f(x, y) = 13 – 4x – y függvény grafikonja alatti térfogat mérőszámát az [1, 2]×[1, 3] intervallum felett. Mivel a függvény mindkét változójában elsőfokú, világos hogy grafikonja egy sík. A 2.35. ábra mutatja a sík adott intervallum feletti részét, és a térrészt amelynek meghatározandó a térfogata.

2.35. ábra. Az f(x, y) = 13 – 4x – y függvény grafikonja az [1, 2]×[1, 3] intervallum felett

Dr. Hanka László

233


Többváltozós Függvények Az egyszerűség kedvéért válasszunk mindkét koordinátatengelyen ekvidisztans felosztást, tehát 2 1 1 3 1 2  ,k  legyen minden részintervallum egyenlő hosszúságú, azaz legyen h  , n n m m továbbá válasszuk úgy a  i ,  j  rendezett párt, hogy az legyen minden esetben az

 xi1 , xi    y j 1 , y j 

intervallum

x , y  i

j

sarokpontja. Ez azt jelenti, hogy i  1  ih  1  i

1 n

2 másrészt pedig  j  1  jk  1  j . A felosztás ekvidisztans volta miatt minden kicsiny n 1 1 1 részintervallum területe  xi  xi 1   y j  y j 1     . Ezek alapján írhatjuk a Riemannn m nm összeget. n m n m  1  2  1  Sn,m   f  i ,  j   xi  xi 1   y j  y j 1    13  4 1  i   1  j   n  n   nm  i 1 j 1 i 1 j 1 

Annyi feladat maradt, hogy kiszámítsuk ezt az összeget zárt alakban majd kiszámítsuk n   és m   esetén a határértéket. A zárt alak meghatározásánál felhasználjuk a számtani sorozatok k  k  1 elméletéből ismert 1  2  3  ...  k  összegző formulát. Először a j szerinti összegzést 2 végezzük el majd az i szerinti összegzést. Összevonás és egyszerűsítés után adódik, hogy n m  1  2  1  S n ,m   13  4 1  i   1  j    n  m   nm  i 1 j 1  n   1 2 m  m  1   1    13m  4 1  i  m  1      n m 2 nm  i 1      1 n  n  1   2 m  m  1   1  13nm  4 1  m  1     n   2  2  n  m   nm 

 13

 1 n  n  1  m  nm 2 m  m  1  n  4 1   1     nm 2  nm  m 2  n  nm

4 n 1 1 m 1 4 1  1 1   13   2    13   2 1     1   n n m m n  n m  m Megkaptuk tehát az integrál közelítő összeget zárt alakban. Mielőtt képezzük ennek határértékét, 1 1 vegyük észre hogy n   illetve m   esetén  0 és  0 tehát a részintervallumok n m hossza tart zérushoz, ami azt jelenti, hogy automatikusan teljesül, hogy lim max  xi  xi 1 i  1, 2,..., n  0 és lim max  y j  y j 1 j  1, 2,..., m  0 n 

Dr. Hanka László

m

234


Többváltozós Függvények Ebből következően az f(x, y) függvény kettős integráljának értéke

 f  x, y  dI  lim lim S I

n  m

n,m

 4 1   1 1   lim lim 13   2 1     1     13  0  2  0  1  10 n  m n  n  m  m  

Eltekintünk annak igazolásától, hogy ez a határérték független a felosztástól, hiszen a gyakorlatban nem ezzel a módszerrel határozzuk meg a kettős integrálok értékét. Kaptuk tehát, hogy a 2.35. ábrán szemléltetett térrész térfogata 10 térfogategység. A következő pontban ezt az integrált kiszámítjuk más módszerrel is. A következő pontokban rátérünk annak a kérdésnek a vizsgálatára, hogy különböző típusú síkbeli tartományok esetén hogyan lehet ennél egyszerűbb, megszokott módszerekkel kiszámítani a kettős és hármas integrálok értékét. A bevezetőben azt a problémát tűztük ki, hogy hogyan lehet egy f(x, y) függvény grafikonja és az [x, y]-sík közötti térrész térfogatának mérőszámát meghatározni abban az esetben, ha a kétváltozós függvény nemnegatív. Ezt a problémát könnyedén általánosíthatjuk arra az esetre, amikor a függvény negatív értékeket is felvesz. Az általános esetben a térfogat nyilván úgy határozható meg, ha a függvény abszolút értékét integráljuk a kijelölt tartományon. Az általános esetben tehát a térfogatszámítás az Térfogat   f  x, y  dI I

formula szerint végezhető el.

Dr. Hanka László

235



2.12.1. Kettős integrál téglalaptartományon A bevezetőben éppen egy téglalap tartományra vonatkozó integrált számítottunk ki a definíció alapján. Ott a téglalap tartományt kétdimenziós intervallumnak neveztük. Ez a két elnevezés szinonima, így a következőkben a jelentése megegyezik. Téglalap tartományokon az integrál kiszámítása nagyon egyszerű, ugyanis Fubini alábbi tételéből kiderül, hogy ha egy kétdimenziós intervallumon integrálunk, akkor a kettős integrál kiszámítása visszavezethető két egymást követő egyváltozós integrál kiszámítására. A módszert szukcesszív integrálásnak is nevezik. Tétel: (Fubini tétele téglalaptartományra) Tegyük fel, hogy létezik az f(x, y) függvény [a, b] intervallumra vonatkozó, y-tól függő b

 f  x, y  dx a

határozott integrálja, továbbá tegyük fel, hogy az f(x, y) függvény integrálható az I   a, b  c, d  kétdimenziós intervallumon a bevezetőben említett értelemben. Ekkor az f(x, y) függvény I-re vonatkozó kettős integrálja kiszámítható két egymást követő egyszeres integrál segítségével a következő módon

 I

d b b  f  x, y  dI     f  x, y  dx dy    f  x, y  dxdy ca c a  d

amivel egy jelölést is bevezettünk. Továbbá téglalap tartomány esetén az is igaz, hogy az integrál értéke független az integrálás sorrendjétől, tehát

 I

b d b d   f  x, y  dI     f  x, y  dy dx    f  x, y  dydx ac a c 

Azt az eljárást, melynek során egy kettős integrált két egymást követő egyszeres integrál segítségével számítjuk ki, szukcesszív integrálásnak nevezzük. Az integrálhatóság feltételei között kiemeljük, hogy ha az f(x, y) függvény folytonos, az I intervallumon, akkor az integrál létezik, tehát a Fubini-tétel állítása ekkor igaz. Ez megnyugtató abból a szempontból, hogy a mérnöki gyakorlatban legtöbbször folytonos függvényeket integrálunk, így ebben az esetben tehát az integrálhatóság teljesül. Az integrál kiszámításával kapcsolatos technikai jellegű megjegyzésünk az, hogy a szukcesszív integrálás során, amikor egy adott változó szerint integrálunk a másik változót állandónak kell tekinteni, pontosan úgy, ahogyan a parciális deriváltak kiszámítása során tettük. Példákon keresztül mutatjuk meg, hogyan megy ez a gyakorlatban.

Dr. Hanka László

236


Többváltozós Függvények 2.48.Példa: Első példaként számítsuk ki azt az integrált Fubini tételével, amelyet a bevezetőben a definíció szerint határoztunk meg. Legyen I = [1, 2]×[1, 3] , ekkor írhatjuk, hogy 3

2



3

1



1

 13  4 x  y  dI     13  4 x  y  dx dy   I 3

 1



1

 13x  2x  xy  dy  2

2

1

3

 y2  9  1  26  8  2 y  13  2  y   dy    7  y dy  7 y    21    7    10 2 1 2  2  1 3



Természetesen a definíció alapján kapott értékkel megegyező eredményt kaptunk. Mutassuk meg ebben az esetben, hogy az integrál értéke valóban független a sorrendtől. 3 2 3   y2   I 13  4 x  y  dI  1  1 13  4 x  y  dy dx  1  13 y  4 xy  2  dx  1   2

2 2 2  9  1      39  12 x   13  4 x    dy    22  8 x dx   22 x  4 x 2   44  16   22  4   10 1 2  2   1 1

Ismét ugyanazt az eredményt kaptuk. 2.49.Példa: Számítsuk ki a következő kettős integrált. 1

  x  2 y  1

2

dI  ? ahol I   0, 2  0,1

I

Fubini tétele szerint 1     1 1 1  dI  dxdy   dy  I  x  2 y  12 0 0  x  2 y  12 0  x  2 y  1 0  2 y  3    2 y  1 dy  0

1

1 2

1

1

2

1 1  1 1  1 ln 3  ln 5  (ln1  ln 3) 1 9    dy  ln 2 y  1  ln 2 y  3  0   ln  2 y  1 2 y  3 2 2 2 5   0

Számítsuk ki az integrált fordított sorrendben is. 1

2   1  1 1   I  x  2 y  12 dI  0 0  x  2 y  12 dydx 0  2  x  2 y  1  dx  0  2 x  6    2 x  2 dx   0

1

2 1

1

2

2 1  1 ln 6  ln10  (ln 2  ln 6) 1 36 1 9  1    dx  ln 2 x  2  ln 2 x  6  0   ln  ln  2x  2 2x  6  2 2 2 20 2 5 0  2

A két eredmény a várakozásnak megfelelően megegyezik. Dr. Hanka László

237


Többváltozós Függvények 2.50.Példa: Számítsuk ki a következő kettős integrált.

 xy sin  x I

2

     y 2  dI  ? ahol I  0,   0,  2  2 

Fubini tételét alkalmazva, írhatjuk, hogy

 xy sin  x

2

 y 2  dI 

I

 2

 2

  xy sin  x 0



1 2

1  4 

2

 y 2  dxdy 

0  2

  y   cos  x 0

 2

 0

2



1 2

 2

 2

  2 xy sin  x 0

 2

2

 y 2  dxdy 

0

1  y 2   dy  0 2

 2

 



  y   cos  2  y 0

2

 2    y  cos  y  





dy 



2  1   2 2  2 2   2 y cos  y   2 y cos  2  y  dy  4 sin  y   sin  2  y       0  

1    1     1 sin    sin      sin  0   sin      1  0   0  1   4 2 2  2   4 

Ebben az esetben nyilvánvaló, hogy a fordított sorrendben számított integrál ugyanezt az eredményt adja, hiszen az integrandus is és az I integrációs intervallum is szimmetrikus az x, y változókban. Térjünk ki egy speciális esetre. Tegyük fel, hogy az integrandus szorzat alakú, mégpedig úgy hogy egy csak x-től és egy csak y-tól függő tényezőre bomlik az

f  x, y   f1  x  f 2  y  formula szerint. Ekkor a kettős integrál két egyszeres integrál szorzatára bomlik. Ugyanis

 f  x, y  dI   I

I

b  f1  x  f 2  y  dI     f1  x  f 2  y  dx dy  ca  d

  b  d    f 2  y    f1  x  dx dy    f1  x  dx   f 2  y dy  c a  a  c  d

b

Azt kaptuk tehát, hogy szorzat alakú integrandus esetén a kettős integrál kiszámítása a d b

 c a

Dr. Hanka László

b  d  f1  x  f 2  y  dxdy    f1  x  dx   f 2  y dy  a  c 

238


Többváltozós Függvények formula szerint történhet. 2.51.Példa: Számítsuk ki az I = [0, ln2]×[0, ln3] téglalapra az

 e

3x2 y

dI 

I

kettős integrált. Tekintettel arra, hogy az integrandus szorzattá bontható írhatjuk, hogy

 e I

3x2 y

ln 2

ln 3

 ln 2 3 x 2 y   ln 2 3 x  ln 3 2 y   e3 x   e2 y  dI     e e dx dy    e dx   e d y         0  0  0  0   3 0  2 0 3 2 1 1 1 56 28   eln 2   e0    eln 3   e0   8  1  9  1    2  6 3 6 3 ln 3

Ebben az esetben, tekintettel arra, hogy a valós számok szorzása kommutatív művelet, nyilvánvalóan teljesül, hogy az integrálás tetszőleges sorrendben elvégezhető.

Dr. Hanka László

239



2.12.2. Kettős integrál normáltartományon Ebben a pontban a téglalaptartományt általánosítjuk. Az általánosítás lényege az, hogy a téglalap egyenes szakaszokkal megadott egy szemközti oldalpárját lecseréljük egy-egy folytonos függvény grafikonjára. Definíció: A sík egy Nx tartományát az x-tengelyre vonatkozólag normáltartománynak nevezzük, ha léteznek olyan, az x-tengely [a, b] intervallumán értelmezett folytonos

g :  a, b  R, x

g  x  és h :  a, b  R, x

h  x

függvények, amelyekre g(x)  h(x) teljesül és amelyekkel az Nx tartomány a következő módon adható meg. Nx 

 x, y   R

2



a  x  b, g  x   y  h  x 

A 2.36. ábra illusztrálja az x-tengelyre vonatkozó normáltartományt.

2.36. ábra. Normáltartomány az x-tengelyre vonatkozólag

A sík egy Ny tartományát az y-tengelyre vonatkozólag normáltartománynak nevezzük, ha léteznek olyan, az y-tengely [c, d] intervallumán értelmezett folytonos

g : c, d   R, y

g  y  és h : c, d   R, y

h y

függvények amelyekre g(y)  h(y) teljesül és amelyekkel az Ny tartomány a következő módon adható meg. Ny  Dr. Hanka László

 x, y   R

2



c  y  d, g  y  x  h y

240


Többváltozós Függvények A 2.37. ábra illusztrálja az y-tengelyre vonatkozó normáltartományt.

2.37. ábra. Normáltartomány az y-tengelyre vonatkozólag

A következő probléma nyilván az, hogy milyen módon számítható ki a kettős integrál egy Nx vagy Ny típusú normáltartományra vonatkozólag. Erre Fubini-tételének módosított alakja adja a választ. Tétel: (Fubini-tétele normáltartományokra) a) Integrálás az x-tengelyre vonatkozó normáltartományon. Tegyük fel, hogy tetszőlegesen rögzített x   a, b esetén létezik az f(x, y) függvény  g  x  , h  x  intervallumra vonatkozó, x-től függő h x 

 f  x, y  dy

g  x

határozott integrálja, továbbá tegyük fel, hogy az f(x, y) függvény integrálható az Nx normáltartományon. Ekkor az f(x, y) függvény Nx -re vonatkozó kettős integrálja kiszámítható két egymást követő egyszeres integrál segítségével a következő módon

 Nx

b h x   h x   f  x, y  dN x     f  x, y  dy dx    f  x, y  dydx   a  g  x a g x  b

amivel egy jelölést is bevezettünk.

Dr. Hanka László

241


Többváltozós Függvények b) Integrálás az y-tengelyre vonatkozó normáltartományon. Tegyük fel, hogy tetszőlegesen rögzített y  c, d  esetén létezik az f(x, y) függvény  g  y  , h  y   intervallumra vonatkozó, y-tól függő h y 

 f  x, y  dx

g y

határozott integrálja, továbbá tegyük fel, hogy az f(x, y) függvény integrálható az Ny normáltartományon. Ekkor az f(x, y) függvény Ny -ra vonatkozó kettős integrálja kiszámítható két egymást követő egyszeres integrál segítségével a következő módon

 Ny

d  h y  d h y   f  x, y  dN y     f  x, y  dx dy    f  x, y  dxdy   c  g y c g y 

A tételbeli integrálok logikáját és sorrendjét illusztrálja a 2.38. ábra.

a) b) 2.38. ábra. A normáltartományon történő integrálás logikájának szemléltetéséhez

A 2.38. a) ábra alapján tehát az integrál kiszámításának logikája egy x-tengelyre vonatkozó normáltartományon a következő. Minden rögzített x   a, b esetén kiszámítjuk az

h x 

 f  x, y  dy

g  x

egyváltozós integrált - az ábrán a piros színnel jelölt szakaszon -, vagyis minden rögzített x esetén az y változó szerint integrálunk a g(x) és h(x) határok között. Ennek előnye, hogy akárhogyan is rögzítjük az x változót, az alsó és felső határt, bár minden x-re más, ugyanazzal az analitikus formulával adhatjuk meg. Az integrálás eredménye egy x-től függő függvény, amelyet már csak Dr. Hanka László

242


Többváltozós Függvények az [a, b] intervallumon kell integrálni az x-változó szerint. Ebből nyilvánvalóan következik, hogy normáltartomány esetén az integrálás sorrendje nem változtatható meg. Jegyezzük meg azt a "szabályt" hogy a belső integrál esetén mindig "függvények között" integrálunk, a külső integrál esetében pedig konstansok között. Értelemszerű változtatással kapjuk a 2.38. b) ábra alapján az y-tengelyre vonatkozó normáltartományon történő integrálás logikáját. Hasonlóan ahhoz, ahogyan azt a bevezető pontban említettük, ha az integrandus nem jeltartó, tehát negatív értékeket is felvesz, akkor a térfogatszámítás normáltartományon a

Térfogat   Nx

Térfogat   Ny

 h x   f  x, y  dN x     f  x, y  dy dx   a  g  x  h y   d  f  x, y  dN y     f  x, y  dx dy   c  g y  b

összefüggések szerint számítható. A kettős integrál azonban alkalmazható területszámításra is. Téglalaptartomány esetén ez semmitmondó alkalmazás, azonban normáltartományok esetén felmerülhet a kérdés, hogy a területet hogyan határozhatjuk meg. Nyilvánvaló, hogy ha az f  x, y   1 azonosan 1 függvényt integráljuk egy normáltartományra vonatkozólag, akkor a kapott érték, a térfogat mérőszáma megegyezik a normáltartomány területének mérőszámával, hiszen hengerszerű test térfogatát úgy számítjuk, hogy az alapterületet szorozzuk a magassággal, amely ebben az esetben konstans 1. Tehát a területszámítás normáltartomány esetén a következő összefüggésekkel végezhető el.

 h x   N x területe   1 dN x     1 dy dx   Nx a  g x  d  h y   N y területe   1 dN y     1 dx dy   Ny c  g y  b

Az alábbiakban példákkal illusztráljuk, hogyan számítható ki a kettős integrál normáltartományok esetén, valamint arra is kitérünk, mi a teendő, ha az integrációs tartomány nem normáltartomány egyetlen tengelyre vonatkozólag sem. Ebben az esetben nyilván azt kell tenni, hogy alkalmas egyenes szakaszokkal feldaraboljuk az integrációs tartományt olyan részekre, amelyek már normáltartományok. 2.52.Példa: Számítsuk ki az f(x, y) = x – y függvény kettős integrálját arra a háromszögtartományra, amelynek csúcspontjai A(1, 2), B(3, 1) és C(3, 4). Először ábrázoljuk az integrációs tartományt. Ezt mutatja a 2.39. ábra. Világos az ábra alapján, hogy ez az integrációs tartomány az x-tengelyre vonatkozólag normáltartomány. Az alsó határ nyilván az AB egyenes szakasz, ez

Dr. Hanka László

243


Többváltozós Függvények tekinthető a g(x) folytonos függvény grafikonjának, a felső határ pedig az AC szakasz, amely a h(x) függvény grafikonja.

2.39. ábra. A 2.52. példában szereplő integrációs tartomány

1 5 Egyszerű számolással adódik, hogy az AB egyenes egyenlete g  x    x  , az AC egyenes 2 2 egyenlete pedig h  x   x  1, és mindkét függvény az x-tengely  a, b  1,3 intervallumán van értelmezve. Ebből következik, hogy a kettős integrál a következő módon számítható ki.  x 1  x 1 3 1 2    N  x  y  dN x  1  1 5  x  y  dy dx  1  xy  2 y  1 5 dx   x   x  x 2 2  2 2  3

2  1 5 1 1 5  2  1    x  x  1   x  1  x   x      x   dx  2 2 2 2 2    2  1  3

3



3 1 1 1 9 x 2  30 x  21dx  3 x3  15 x 2  21x   81  135  63  3  15  21  0   1 81 8 8

Ez az eredmény annak tudható, hogy a függvényérték az A és C pontban negatív, a B pontban pedig pozitív, tehát az előjeles térfogatok összegeként kaptuk a zérus értéket. 2.53.Példa: Számítsuk ki az f  x, y   e2 x y függvény kettős integrálját arra a négyszögtartományra amelynek csúcspontjai A(–1, 1), B(4, 1), C(3, 3) és D(1, 3). Elsőként rajzoljuk le az integrációs tartományt. Ezt mutatja a 2.40. ábra.

2.40. ábra. A 2.53. példabeli Ny integrációs tartomány Dr. Hanka László

244


Többváltozós Függvények Ez a tartomány nyilvánvalóan az y-tengelyre vonatkozólag normáltartomány, az alsó határ az AD szakasz, ezt tekintjük a g(y) függvény grafikonjának, a felső határ pedig a BC szakasz, ezt tekintjük a h(y) függvény grafikonjának. Elsőként meghatározzuk ezen egyenesek egyenletét. Ismét egyszerű számítással adódik, hogy az AD egyenes egyenlete y = x + 2, a BC egyenes egyenlete pedig y = –2x + 9. Itt azonban óvatosan kell eljárnunk, ezeket a görbéket úgy kell megadnunk, mint az y-tengely [1, 3] intervallumán értelmezett függvényeket, tehát az előbbi egyenleteket rendezni kell x-re, tehát az x-et mint az y változó függvényét kell megadnunk. 1 9 Ennek figyelembe vételével kapjuk, hogy x  g  y   y  2 valamint x  h  y    y  . Ezek 2 2 alapján a kettős integrál már felírható. 1 9   12 y  92   y  1 9 3 3 2 2 1 1  2  2 y  2  y 2 y  2 y      2 x y 2 x y 2 x y e dy  N e dN y  1  y2 e dx dy  1  2 e  y 2 dy  2 1 e     y   3

3

1 1 1 1 1  e9  e3 y  4 dy  e9 y  e3 y 4   e9  e5  e 1  8078, 41  21 2 3 6 6 1 3



Mivel ez a függvény mindenütt pozitív, nyilván az Ny integrációs tartomány felett is pozitív, így a kapott eredmény a grafikon alatti térrész térfogatának mértéke.

1 1  kétváltozós függvény kettős integrálját arra a 2 x y 1 tartományra, amelynek határoló görbéi a következők: az y  x függvény grafikonja, az y  x 1 függvény grafikonja és az y  egyenletű egyenes. Az integrációs tartomány a 2.41. ábrán 4 látható. 2.54.Példa: Számítsuk ki az f  x, y  

2.41. ábra. A 2.54. példabeli Ny integrációs tartomány

Dr. Hanka László

245


Többváltozós Függvények Világos az ábrára tekintve, hogy ez a tartomány is egy y-tengelyre vonatkozó normáltartomány. Az is világos, hogy az integrálás alsó határa az y  x függvény grafikonja a felső határ pedig a 1 y  függvény grafikonja. Hangsúlyozzuk azonban itt is, hogy ezen görbéket az y-tengely egy x 1  intervallumán, adott esetben az  ,1 intervallumon értelmezett függvényként, tehát az 4  y-változó függvényeként kell megadni. Ezekből az összefüggésekből tehát ki kell fejezni az x-et az y-változó függvényeként, akkor kapjuk a g(y) és h(y) függvényeket. Ezek rendre a következők: 1 x  y 2  g  y  valamint x   h  y  . Ezek felhasználásával a kettős integrál az alábbi módon y írható fel. 1  1y  1 1 3 3  1  1      1 1  1   x y 1 2 2  dN   dx dy    dy   y  y   y     dy  2 N  x 2 y  y 1  2  x 2 y   1  x y  2 1  y      y y  y  4 4 4  1

1

 y2 5 2 1 2 1 2  1 1  663      y     2 1     4  4     4,14 2 5  32 80  160 y y 5  2  1 4

2.55.Példa: Számítsuk ki az f  x, y   x  2 y kétváltozós függvény kettős integrálját arra a tartományra, amelynek határoló görbéi a következők: az y   x2  2 x  3 függvény grafikonja, és az y  x  1 függvény grafikonja. A 2.42. ábrán látható az integrációs tartomány.

2.42. ábra. A 2.55. példában szereplő Nx normáltartomány

Dr. Hanka László

246


Többváltozós Függvények Az ábra alapján ebben az esetben is világos, hogy az integrációs tartomány az x-tengelyre vonatkozó normáltartomány. A tartomány alsó és felső határa egyaránt az x-tengely [–1, 2] intervallumán értelmezett folytonos függvények, amelyek ebben az esetben pontosan megegyeznek a feladat kitűzésében szereplő analitikus formulák által megadott függvényekkel, hiszen ilyen esetben a görbéket az x-változó függvényeként kell megadnunk. Tehát írhatjuk, hogy g  x   x  1 és h  x    x 2  2 x  3 . Így már kiszámítható a kettős integrál értéke. 2 2   x  2 x 3  2  x  2 x 3   x  2 y dN  x  2 y dy dx  xy  y dx        x N 1  x1 1   x 1      x 2

2

2

2 2    x   x 2  2 x  3    x 2  2 x  3  x  x  1   x  1 dx    1 2

    x3  2 x 2  3x  x 4  4 x 2  9  4 x 3  6 x 2  12 x  x 2  x  x 2  2 x  1dx  1

2

 x5 5  2 477    x  5 x  2 x  12 x  8dx    x 4  x3  6 x 2  8 x    23,85 5 4 3 20   1 1 2

4

3

2

2.56.Példa: Határozzuk meg annak a síkidomnak a területét, amely az első síknegyedben 1 helyezkedik el, és amelyet az y  x 2 , az y  x 2 és az y = 3x görbék határolnak. Célszerű a 2 tartomány ábrázolásával kezdeni a megoldást. A tartományt a 2.43. ábra szemlélteti. Világos, 1 hogy szükséges ismernünk a görbék páronkénti metszéspontjait. Az x 2  3x és az x 2  3x 2 egyenletek megoldása rendre x = 3 és x = 6.

2.43. ábra. A példabeli integrációs tartomány

Dr. Hanka László

247


Többváltozós Függvények Az ábra alapján világos hogy ez az integrációs tartomány közvetlenül nem normáltartomány egyetlen tengelyre sem, hiszen "akárhonnan is nézzük" vagy a felső, vagy az alsó határra igaz, hogy nem tudjuk egyetlen analitikus alakban megadott folytonos függvénnyel leírni. Ha azonban az x = 3 egyenletű egyenessel két részre bontjuk, akkor világos, hogy a keletkezett két résztartomány már külön-külön normáltartomány az x-tengelyre vonatkozólag. Az N1 1 normáltartomány alsó határa a g  x   x 2 , x   0,3 a felső határa pedig a h1  x   x 2 , x  0,3 2 1 függvény grafikonja. Az N2 normáltartomány alsó határa a g  x   x 2 , x  3, 6 felső határa 2 pedig a h2  x   3x, x  3,6 függvény grafikonja. Korábban már utaltunk rá, hogy területszámítás esetén az integrandus a konstans 1 függvény. Ezek alapján a keresett terület számértéke a következő. 3 x2

6 3x

3

6

Tartomány területe   1 dN1   1 dN 2    1 dydx    1 dydx    y  x2 dx    y  x2 dx  N1

N2

0 x2 2

3 x2 2

3

x2

0

2

3x

3

2

6

6    x 3 x 3   3x 2 x 3  x2  x2  27 27 27 27    x 2  dx    3x  dx           54  36     13,5 2 2 6 3 6 2 6 2  3 6 0  2 0 3 3

2.57.Példa: Az integrálás sorrendjének megcserélésével számítsuk ki a következő kettős integrált. 1 2

e

x2

dxdy

0 2y

Az integrálnak ebben a formában való kijelölése azt jelenti, hogy az integrandust elsőként az x-változó szerint kell integrálni. Jól ismert tulajdonsága azonban az integrandusnak, hogy nem létezik - az x-változóban - primitív függvénye. Tehát ebben a sorrendben az integrál analitikusan nem számítható ki. Könnyen kiszámíthatóvá válik azonban a kettős integrál, ha szemléltetjük az integrációs tartományt. Ez mutatja a 2.44. ábra.

2.44. ábra. A 2.57. példabeli integrációs tartomány Dr. Hanka László

248


Többváltozós Függvények Ha az ábrára tekintünk világos, hogy ez az integrációs tartomány normáltartomány mind az x-tengelyre mind az y-tengelyre vonatkozólag. Az integrálást úgy jelöltük ki, hogy a tartományt y-tengelyre vonatkozó normáltartománynak tekintettük. Mint már elemeztük, ebben a sorrendben az integrál nem számítható ki. Ha azonban kihasználjuk, hogy a tartomány az x-tengelyre vonatkozólag is normáltartomány, vagyis a kitűzött integrálban megcseréljük az integrálás sorrendjét, mint kiderül az integrál kiszámíthatóvá válik. x 2 2

4 2 2 2 2 2 e x y  2 dx  e x x dx  1 e x 2 xdx  1 e x   e  1 e dxdy  e dydx  0 2y 0 0 0   0 0 2 4 0 4  0 4 1 2

x2

2

x

2

2

x2

Amint látható, kihasználva az integrációs tartomány speciális szerkezetét, az integrálás sorrendjének cseréjével kiszámíthatóvá válhatnak olyan integrálok, amelyek közvetlenül csak numerikusan értékelhetők ki. Az utolsó példa amit ebben a pontban tárgyalunk egyszerű de tanulságos, visszatérünk rá egy új fogalom bevezetése kapcsán a következő pontban.

1 y kétváltozós függvény kettős integrálját arra a 2 tartományra vonatkozólag amelyet az y = 0, y = 4, y = 2x és y = 2x – 2 egyenesek határolnak. Világos, hogy az integrációs tartomány egy paralelogramma, hiszen a szemközti egyenesek párhuzamosak. Ezt láthatjuk a 2.45. ábrán. 2.58.Példa: Határozzuk meg az f  x, y   x 

2.45. ábra. A 2.58. példabeli integrációs tartomány

Az világos, hogy az integrációs tartomány az y-tengelyre vonatkozólag normáltartomány. Az alsó és felső határt megadó függvények az y-tengely [0, 4] intervallumán vannak értelmezve, analitikus alakjukat úgy kapjuk, hogy a fent megadott egyenleteket megoldjuk x-re. Tehát az

Dr. Hanka László

249


Többváltozós Függvények integrálás alsó és felső határa rendre g  y  

y y illetve h  y    1 . Ezekkel felírható a kettős 2 2

integrál az adott tartományra. y  2y 1  1 4  x 2 xy  2 1  1      N  x  2 y  dN y  0  y  x  2 y  dx dy  0  2  2  y dy    y 2  2  2 2 4 1  y   y   y  y      1  y   1     y   dy  2 0  2  2  2  2   4



4 4 1  y2 y2 y2 y2  1 4  y  1   y   dy  1 dy   2     20 4 2 4 2 20 2

Meghatároztuk tehát a kettős integrál értékét úgy, hogy a tartományt normáltartományként kezeltük, mint a korábbi példákban. Ezen példa kapcsán a következő pontban megmutatjuk, hogy bizonyos esetekben egészen eltérő elvi alapokon is kiszámítható egy kettős integrál. Általánosítani fogjuk az egyváltozós helyettesítéses integrál fogalmát kettős integrálokra. Ezzel a módszerrel az adott feladatban a normáltartományt téglalappá tudjuk transzformálni és az integrál kiszámítása egyszerűbbé tehető.

Dr. Hanka László

250



2.12.3. A kettős integrál transzformációja Nagyon hatékony módszer volt egyváltozós határozott integrálok kiszámításánál a helyettesítés módszere. Ennek lényege a következő. Ha f(x) integrálható függvény és g(t) egy folytonosan deriválható és invertálható függvény, akkor igaz a következő. b

g 1  b 

a

g 1  a 

 f  x dx  

f  g  t  g   t  dt

Ennek haszna az egyváltozós analízisben elsősorban az, hogy segítségével egy bonyolult szerkezetű integrandus, amelynek közvetlenül bonyolult meghatározni a primitív függvényét, átalakul olyan függvénnyé, amely már közvetlenül és "könnyedén" integrálható, de mindenesetre az integrandus egyszerűbb szerkezetűvé válik. A helyettesítés módszerét általánosíthatjuk többváltozós integrálok kiszámítására. Ebben a pontban kettős integrálokra mutatjuk meg az általánosítás módszerét. Ha a helyettesítést kettős vagy többes integrálokra alkalmazzuk, akkor nem a "helyettesítés" elnevezést használjuk, hanem az integrál transzformációjáról beszélünk. Kettős és többes integrálok transzformációjánál a cél elsősorban nem az, hogy az integrandus egyszerűbbé váljon - többek közt azért nem, mert kettős integrálok esetében ritkán szokott bonyolult lenni az integrandus, legalábbis a matematika órákon... - hanem inkább az a cél, hogy a transzformáció eredményeképpen az integrációs tartomány egyszerűbb szerkezetűvé váljon. Konkrétan, ha egy tartomány normáltartomány, akkor a transzformáció eredményeképpen téglalaptartományon integrálhatunk, illetve ha az integrációs tartomány még csak nem is normáltartomány, akkor az a transzformáció hatására normáltartománnyá vagy akár közvetlenül téglalaptartománnyá alakul, amely esetekre már ismerjük az integrálási módszereket. Vezessünk be tehát az x és y változók helyére két új változót, jelölje ezeket u és v, és a transzformációt megadó függvények - egyelőre általánosan - legyenek a következők.

x  x  u, v  , y  y  u , v  Ez a két egyenlet egy általában nemlineáris transzformációt jelent az [x, y] és az [u, v] koordinátarendszerek között. Ha elvégezzük a helyettesítést, akkor az intergandus, formálisan a következő módon alakul át.

f  x, y   f  x  u, v  , y  u, v   Ez megfelel annak, ahogyan egyváltozós esetben az f(x) helyére f(g(t))-t írtunk. De felmerül az alapvetően fontos kérdés, hogy mit kell írni kettős integrálok esetén a g'(t) deriváltfüggvény helyére. Ezt egy vázlatos gondolatmenettel megmutatjuk, de előtte szükség van egy, a témakörben nagyon fontos fogalom bevezetésére.

Dr. Hanka László

251


Többváltozós Függvények Definíció: (A Jacobi-mátrix és Jacobi-determináns fogalma) Tegyük fel, hogy az x  x  u, v  , y  y  u, v  kétváltozós valós függvények parciális deriváltjaikkal együtt folytonosak. Ekkor az x  x  u, v  , y  y  u, v  függvényekkel definiált leképezés - koordináta transzformáció - Jacobi-mátrixának nevezzük a  x  u J  u, v     y  u

x  v   1 x  2 x   y  1 y  2 y  v 

parciális deriváltfüggvényekből képezett másodrendű mátrixot. Ennek a mátrixnak a detrminánsát Jacobi-determinánsnak nevezzük.  x  u   x, y   det    u, v   y  u

x   x 2 x  v  x y x y   det  1    1 x 2 y   2 x1 y y  u v v u 1 y  2 y  v 

A következőkben vázlatosan megmutatjuk, hogy a kettős integrál transzformációjánál a g'(t) deriváltfüggvény szerepét a Jacobi-determináns abszolút értéke veszi át. Ennek megokolásához elsőként tegyük fel, hogy egy bizonyos T tartomány területét szeretnénk meghatározni a kettős integrál transzformációjával. Korábbiakból tudjuk, hogy ekkor az azonosan 1 függvényt kell integrálnunk. Tegyük fel, hogy a leképezés az [u, v] koordinátarendszer T ' tartományához rendeli hozzá az [x, y] rendszer T tartományát. Ekkor - egyelőre semmit sem feltételezve a szorzóként szereplő mennyiségről - formálisan írhatjuk, hogy

  x, y 

1dxdy   1   u, v  dudv T

T'

Innen világos, mivel mindkét integrál területet határoz meg, hogy a J mennyiség abszolút értéke azt mutatja meg, hogy a transzformáció során milyen mennyiségi kapcsolat van a két koordinátarendszerbeli elemi terület, a dxdy és a dudv területek között. Ennek kiderítéséhez fejtsük Taylor-sorba az x  x  u, v  , y  y  u, v  kétváltozós függvényeket, de álljunk meg az elsőrendű tagoknál. Gyakorlatilag tehát a két függvény teljes differenciálját írjuk fel.

dx 

x x y y du  dv, dy  du  dv u v u v

Ezeket az egyenleteket úgy is felfoghatjuk, mint a dx és dy mennyiségeknek, mint vektoroknak az előállítását, az [u, v] koordinátarendszerben. Ha ezeket térbeli vektoroknak tekintjük - azonnal kiderül, hogy erre szükség van - akkor azt kapjuk, hogy

Dr. Hanka László

252


Többváltozós Függvények  x x   y y  dx   , , 0  , dy   , , 0   u v   u v 

hiszen síkbeli vektorokról van szó, így a harmadik koordináta zérus. Ez a két vektor kifeszít egy paralelogrammát. Az 1. fejezetben igazoltuk, hogy egy paralelogramma területét a két kifeszítő vektor vektori szorzatának abszolút értéke adja. Határozzuk ezt meg.

i

j

x u y u

x v y v

k  x y x y  0  0i  0 j    k  u v v u  0

Vegyük észre, hogy a kapott vektori szorzat harmadik koordinátája éppen a Jacobi-determináns értéke. Mivel a másik két koordináta zérus, ebből következik, hogy a vektori szorzat abszolút értéke a harmadik koordináta abszolút értéke, vagyis a Jacobi-determináns abszolút értéke. Ez az eredmény azt jelenti, hogy ha az [u, v] koordinátarendszerben az elemi terület dudv, akkor a leképezés során ennek megfelelő terület az [x, y] koordinátarendszerben

dxdy 

  x, y  x y x y  dudv  dudv u v v u   u, v 

Ebből már következik, hogy ha az x  x  u, v  , y  y  u, v leképezés során a T ' tartomány képe a T tartomány, akkor a kettős integrál transzformációja a következő összefüggéssel adható meg.

  x, y 

 f  x, y  dxdy   f  x u, v  , y u, v     u, v  dudv T

T'

Ez a helyettesítéses integrál kétváltozós esetre vonatkozó megfelelője. A módszer illusztrációját egy olyan feladattal kezdjük, amelyet más eljárással már megoldottunk.

1 y kétváltozós függvény kettős integrálját arra a 2 tartományra vonatkozólag amelyet az y = 0, y = 4, y = 2x és y = 2x – 2 egyenesek határolnak. Az integrációs tartomány a 2.45. ábrán látható. Írjuk fel az integrált kissé átalakítva. 2.59.Példa: Határozzuk meg az f  x, y   x 



y 1 4 2

1 

  x  2 y  dN

y

Ny

Dr. Hanka László

253

 0

 2x  y   dxdy 2 

  y 2


Többváltozós Függvények Már kiszámítottuk az integrált arra támaszkodva, hogy az integrációs tartomány egy y-tengelyre vonatkozó normáltartomány, az integrál értékére 2 adódott. Alkalmazzuk most a helyettesítés módszerét, pontosabban számítsuk ki az integrált a kettős integrál transzformációjával. A tartományt meghatározó feltételek a következők.

0  y  4,

y y  x  1 2 2

Az első egyenlőtlenségláncot változatlanul hagyva a másodikat pedig rendezve azt kapjuk, hogy

0  y  4, 0  2 x  y  2 Innen már látható, hogy hogyan célszerű új változókat bevezetni. Legyen a definíció u  2 x  y, v  y . Ekkor világos, hogy az integrációs tartomány az [u, v] rendszerben az 0  u  2 , 0  v  4 egyenlőtlenségekkel definiált téglalaptartomány. A normáltartomány transzformáció szerinti inverz képe tehát téglalaptartomány. Oldjuk meg az új változókat definiáló egyenleteket az eredeti x és y változókra, ekkor kapjuk, hogy

x

uv , yv 2

Ezen két függvény által definiált leképezésnek a Jacobi-mátrixa és Jacobi-determinánsának abszolút értéke rendre a következő.  x  u J  u, v     y  u

x  1 v    2 y   0 v 

1 2,  1

  x, y  1    u, v  2

Ezekből valamint abból, hogy a kapott tartomány téglalaptartomány, tehát az integrálás tetszőleges sorrendben elvégezhető, következik, hogy az integrál transzformációjának eredménye a következőképpen írható. y 1 4 2

1   N  x  2 y  dN y  0 y

 y 2

2

2 4 2 2 u2  u 1  2x  y   uv  dxdy   dvdu  du  udu     2  2 0 0 2 2 0  4  0 0  2   0 4

Természetesen ugyanazt az eredményt kaptuk, mint a normáltartományra történő közvetlen integrálás során. 2.60.Példa: Számítsuk ki a

  2 x

2

 xy  y 2 dT

T

Dr. Hanka László

254


Többváltozós Függvények kettős integrált az integrál transzformációjával, ha a T tartományt az

y  x  1, y  x  2, y  2 x  4, y  2 x  7 egyenesek határolják. A T tartomány a 2.46. ábrán látható.


Az ábra alapján látható, hogy ez nem normáltartomány. A transzformációhoz mindegyik egyenletet alkalmasan átrendezzük rendre az alábbiak szerint.

x  y  1, x  y  2, 2 x  y  4, 2 x  y  7 Ebből nyilvánvalóan adódik az új változók definíciója. Legyen u  x  y, v  2 x  y . Ekkor nyilvánvalóan teljesülnek az új változókra a 1  u  2, 4  v  7 egyenlőtlenségek. Ez pontosan azt jelenti, hogy a T tartomány inverz képe egy téglalap, tehát az integrál transzformációja azt eredményezi, hogy téglalapon integrálhatunk. Elsőként invertáljuk a definiáló egyenleteket, tehát kifejezzük az eredeti x és y változókat u és v segítségével. Egyszerű számítással adódik, hogy

x

uv 2u  v , y 3 3

Szükség van a Jacobi-mátrixra és annak determinánsára. Ezek rendre a következők.  x  u J  u, v     y  u

x   1 v   3  y   2  v   3

1 3 , 1 3 

  x, y  1 2 1      u, v  9 9 3

Ezen eredmények felhasználásával kiszámíthatjuk a kitűzött integrált a fenti transzformáció segítségével. Dr. Hanka László

255


Többváltozós Függvények   u  v 2 u  v 2u  v  2u  v 2  1 T  2 x  xy  y dT  4 1  2  3   3 3   3   3 dudv    7 2

2

2

7 2



1  2u 2  4uv  2v2  2u 2  uv  2uv  v 2  4u 2  4uv  v2 dudv  27 4 1 2

7

7 2 7 2 7 7  v2  1 1 1  u 2v  1 3 33  9 uv dudv  uv dudv  dv  vdv                 27 4 1 3 4 1 3 4  2  1 342  4 4 4

2.61.Példa: Számítsuk ki a

 y   xy  dT T  x   kettős integrált az integrál transzformációjával, ha a T tartományt az

xy  1, xy  9, y  x, y  4 x egyenletű görbék határolják. A T tartomány a 2.47. ábrán látható.


Világos az ábra alapján, hogy ez a tartomány sem normáltartomány. Ebben a példában eljárhatunk úgy is, hogy most az integrandust próbáljuk egyszerűbbé tenni. Ehhez célszerűnek látszik az új u és v változókat az alábbi módon definiálni.

y  u 2 , xy  v 2 x Azonnal fordítsuk meg ezeket az összefüggéseket. A két egyenlet osztásával illetve szorzásával adódik x és y mint u és v függvénye. Dr. Hanka László

256


Többváltozós Függvények v x  , y  uv u Vizsgáljuk meg, hogy ezek az egyenletek milyen tartományt határoznak meg az [u, v] rendszerben. Mivel a feltételi egyenletekből jól láthatóan az

1

y  4, 1  xy  9 x

egyenlőtlenségek következnek, azonnal adódik az új változókra az

1  u  2, 1  v  3 egyenlőtlenségpár, tehát az eredeti T integrációs tartomány inverz képe ismét téglalaptartomány. Szükség van még a Jacobi-mátrixra és a determináns abszolút értékére, melyek rendre a következők.  x  u J  u, v     y  u

x   v v    2  u y    v v 

1 u,  u

  x, y  v v 2v      u, v  u u u

Ezen eredmények felhasználásával adódik a kettős integrál transzformációja az alábbiak szerint. 3 2 3 2  y   2v 2v 2   xy dT  u  v dudv  2 v       dudv  T  x 1 1 1 1   u u    3

3

3

   2uv  2v ln u  dv    4v  2v ln 2  2v  dv    2v  2v 2 ln 2  dv  1 2

2

1

2

1

1

3

2 ln 2 3  52   2   v 2  v   9 1  2 ln 2   1  ln 2   8  ln 2  20, 01 3 3  1  3 

A következőkben egy speciális koordináta transzformációt vizsgálunk.

Dr. Hanka László

257



2.12.4. Síkbeli polártranszformáció Az alkalmazások szempontjából nagyon hasznos és fontos egy speciális koordinátatranszformáció, különösen akkor, amikor az integrációs tartomány egy körlap, körcikk, félkörlap, stb. A síkbeli polártranszformációt már értelmeztük az analitikus geometriában az 1.2.2. pontban. Ennek definíciója a következő. Az [x, y] koordinátarandszerről áttérünk az [r, φ] koordinátarendszerre az alábbi formulák szerint.

  x  x  r ,    r cos     y  y  r ,    r sin  Mivel a következő példákban minden esetben ezt a koordináta transzformációt alkalmazzuk, célszerű a Jacobi-mátrixot és annak determinánsát már most meghatározni. Ezek rendre a következők.

 x  r J  r,     y  r 

x    cos  r sin    x, y   ;  r cos 2    r sin 2    r  cos 2   sin 2    r  y   sin  r cos     u, v   

Ebből következik, hogy síkbeli polártranszformáció esetén a kettős integrál transzformációja minden esetben az alábbi összefüggés szerint írható fel.

 f  x, y  dxdy   f  x  r,  , y  r,   r drd    f  r cos , r sin   r drd  T

T'

T'

Ebben a konkrét esetben nagyon szemléletes módon meg tudjuk mutatni, hogy a Jacobidetermináns jelentése valóban az, amit az általános gondolatmenet során vázlatosan igazoltunk, vagyis azt, hogy a determináns az elemi terület nagyságát jelenti. Ezt érzékelteti a 2.48. ábra.

2.48. ábra. Az elemi cella területének mértéke síkbeli polárkoordináta rendszerben

Dr. Hanka László

258


Többváltozós Függvények Az ábra alapján világos, hogy az elemi cella egy olyan görbe vonalú négyszög, melynek egyik oldala dr hosszúságú, másik oldala pedig az r sugarú körnek az a darabja amely a dφ középponti szöghöz tartozik, ennek ívhossza az elemi geometriából ismert összefüggés szerint rdφ. Ha dr és dφ "infinitézimálisan kicsiny", akkor ez a görbe vonalú négyszög jól közelíthető egy téglalappal, melynek területe az oldalhosszak szorzata. Eszerint az elemi cella területet rdrdφ, pontosan úgy, ahogyan az az általános gondolatmenetből is adódik. Vigyázzunk tehát az alkalmazásoknál, hogy a dxdy szimbolikus szorzat nem helyettesíthető egyszerűen a drdφ szimbólummal. Ebben az esetben tehát pontosan az rdrdφ szorzattal helyettesítendő. f  x, y   sin  x 2  y 2  függvény kettős integrálját arra a T

2.62.Példa: Számítsuk ki az

tartományra melyet az y  x, x 2  y 2  1 feltételek határoznak meg. Az első feltétel az y = x egyenes alatti félsíkot jelöli, a második feltétel pedig meghatároz egy egységnyi sugarú, origó középpontú körlapot. A 2.49. ábrán látható az integrációs tartomány.


Tekintettel arra, hogy egy félkörlapról van szó, a polártranszformáció megfelelő az integrál kiszámításához. Az ábra alapján nyilvánvaló, hogy az r és φ polárkoordináták a

0  r  1, 

3   4 4

feltételeknek tesznek eleget, tehát ismét téglalap tartomány adódik a kettős integrál transzformációjának következtében. A kettős integrál ezek után az alábbi módon számítható ki.

 sin  x T

1

1

2

 y 2 dxdy  

 4

 sin  r

0  3 4



1

1

2

cos 2   r 2 sin 2   rd dr  

  sin  r 2  r   43 dr    sin  r 2  rdr  0

Dr. Hanka László



4

0

 4

 sin  r  rd dr  2

0  3 4

1 1  1  cos1   sin  r 2  2rdr    cos  r 2     0, 722  0 20 2 2

259


Többváltozós Függvények 2.63.Példa: Számítsuk ki a

  y e

2  x2  y 2

dxdy

T

kettős integrált az integrál polártranszformációjával, ha a T tartományt az

y  x, y   x, 1  x 2  y 2  4 feltételek határozzák meg. A tartományt a 2.50. ábra szemlélteti.


A tartomány egy körgyűrűnek és egy körcikknek a metszete. Ezt könnyedén leírhatjuk polárkoordinátákkal, az adódó tartomány nyilván ismét téglalap tartomány, melyet az

 3  2 2

1  r  2, egyenlőtlenségek definiálnak. A polártranszformációval kiszámítható.

  y e

2 x y

T

2

2

3 2 2

dxdy     r

2

kettős

sin 2 e r

2

integrál

cos  r sin 

1  2

2

2

2

ezen

feltételek 3 2 2

 rd dr     r e  sin 3 r2

felhasználásával

2

d dr

1  2

Az integrandus egy csak r-től és egy csak φ-től függő tényező szorzatára bontható egy téglalap tartományon, ez pedig - ahogyan a 2.11.1. pontban megmutattuk - azt jelenti, hogy a kettős integrál két integrál szorzataként áll elő.

Dr. Hanka László

260


Többváltozós Függvények 3 2 2

  r e

3 r2

1  2

 sin

2

2





3 2

d dr   r 3e r dr   sin 2 d  1

2

 2

Az egyszerűség kedvéért a két integrált külön-külön számítjuk ki. Az első tényező parciálisan integrálható, a második integrandust linearizálni kell.

 2



r 3e  r dr   2

1

2 2 2  2 2 2 1 2 1  2 r2  2 1 r2 r  2 re dr   r e  2re  r dr    r 2e  r  e  r      1 1 21 2 2 1 





1 2e 1  5e 4   5e4  2e1   2 2 3 2

3 2

3

1  cos 2   sin 2  2 3 sin 3  sin   sin  d   d     2  2  4    4  4  4  4  2 2

2

2

2

Ezek szorzata adja a kettős integrál értékét.

 

y 2e x

2

 y2



dxdy 

T

2e1  5e4    0,5059 2 2

A következő integrálási feladatban arra látunk példát, hogy síkbeli polártranszformáció eredménye nem minden esetben az, hogy az integrációs tartomány téglalap tartománnyá alakul, az általánosabb esetben a transzformáció vezethet normáltartományra is. 2.64.Példa: Számítsuk ki a

  xy  dxdy T

kettős integrált az integrál polártranszformációjával, ha a T tartományt a 2.51. ábra szemlélteti. A tartomány tehát a (0, 1) középpontú és egységnyi sugarú körlapnak az a része, amely az első síknegyedbe esik. A kérés, hogy ez a tartomány hogyan adható meg polárkoordinátákkal. A válaszhoz azt kell csak észrevenni, hogy az OA = r vezérsugár φ szöge Tahlész tétele miatt megegyezik az OCA szöggel, hiszen az említett ok miatt merőleges szárú szögek. A kör átmérője pedig 2 egység, amiből következik, hogy adott φ szög esetén az r sugár maximális hossza az OA  sin  elemi képlet alapján r  2sin  . Ha a teljes félkörlapot figyelembe vesszük, akkor 2  világos hogy φ értéke 0-tól -ig növekszik, ha pedig lerögzítjük a φ szöget akkor r értéke 0 és 2 2sinφ között változik.

Dr. Hanka László

261



2.51. ábra A 2.64. példában szereplő integrációs tartomány, kiegészítve az integrál felírásához szükséges segédvonalakkal

Az integrációs tartomány a polárkoordináta rendszerben tehát a

0

 , 0  r  2sin  2

összefüggésekkel leírt normáltartomány. Ezek szerint a kettős integrál polártranszformációja a következő.  2 2sin 

  xy  dxdy    T

0

 2 2sin 

r cos r sin  rdrd   

0



0

0

 2

 2

2sin 

 r4  r cos  sin  drd     cos  sin   4 0 0  3

 2

d 



16sin 4    sin 6   2 2 2   cos  sin  d   4 sin 5  cos  d   4   1  0    4 3   6 0 3 0  0

Mivel nem téglalap tartományon integráltunk, az integrálás sorrendje természetesen nem volt tetszőleges. 2.65.Példa: Számítsuk ki az 1

x  x2

 

y 2 dydx

0  x  x2

kettős integrált az integrál polártranszformációjával. Az integrációs tartomány szerkezetét most az integrálás határai alapján kell megfejtenünk. Foglalkozzunk elsőként a felső határgörbével. Ennek egyenlete y  x  x 2 . Négyzetre emeléssel majd teljes négyzetté kiegészítéssel kapjuk, hogy

Dr. Hanka László

262


Többváltozós Függvények 2

2

1 1 1 1   y  x  x , y  x  x , x  x  y  0,  x     y 2  0,  x    y 2  ; 2 4 2 4   2

2

2

2

2

1 1  Ez alapján már jól látható, hogy a felső határoló görbe egy  , 0  középpontú r  sugarú kör 2 2  felső félsíkba eső része. Ha az alsó határoló görbéből indulunk ki, ugyanennek a körnek az alsó félsíkba eső részéhez jutunk. 1  Ebből a gondolatmenetből következik, hogy az integrációs tartomány éppen az  , 0  2  1 középpontú r  sugarú körlap. Ez látható a 2.52. ábrán. 2

2.52. ábra. A 2.65. példabeli integrációs tartomány kiegészítve az integrál transzformációjához szükséges szakaszokkal.

  Ha tekintetbe vesszük az egész körlapot, akkor a φ szög nyilván  -től -ig változik. Rögzített 2 2 OA  cos  összefüggés φ esetén az ábra alapján, tekintetbe véve ismét Thalész tételét, az elemi OC alapján kapjuk, hogy OC = 1 miatt r  OA  cos  , így r értéke 0 és cosφ között változik. Az integrál polrátranszformációjának eredményeképpen ismét egy normáltartományt kaptunk az [r, φ] rendszerben, amelyet az 

     , 0  r  cos  2 2

egyenlőtlenségek határoznak meg. Ebből már következik, hogy az integrál a következő módon számítható ki. A relatíve hosszúra nyúló számításokból csak a főbb lépéseket adjuk meg és a végeredményt. A hiányzó lépések ellenőrzését a Tisztelt Olvasóra bízzuk.

Dr. Hanka László

263



x  x2

 

y dydx  2



 

  2

0  x  x2

1  4

 2 cos 

r sin  rdrd   2

2

1  cos  sin  d   4



2

2

1 32

1  32 1  32

 2

 1  2 cos 2  cos 

 2

 2



 1  cos 2 



 2

 2

1

  2 



 2

 

  2

0

 2

4

 2 cos 

2

0

 2

2

d 

2

 2

2 1 2 2   cos  sin  d   4



cos 

 r4  r sin  drd     sin 2   4 0  3

2

 2

 1  cos 2 2 1  cos 2    2  2  d      2

2  1  cos 2  d  

1 32

 2

 1  cos 2  cos 

 2

2

2  cos 3 2  d  

1  cos 4   cos 2 1  sin 2 2   d   2 

cos 4    sin 2 2 cos 2  d   2 64 

Ezzel a kitűzött integrálási feladatot megoldottuk. Síkbeli polárkoordináta transzformáció nem csak korlátos tartományokra alkalmazható, hanem kétdimenziós improprius integrálok is kiszámíthatók a segítségével. Ennek illusztrálására egy olyan problémát oldunk meg, amelyre az egyváltozós analízisben nincs közvetlen módszer. 2 Mindenki által ismert tény, hogy az f  x   e x függvénynek nem létezik primitív függvénye, illetve az zárt, analitikus alakban nem adható meg. Ebből adódóan a függvény határozott integrálja csak numerikusan számítható, vagy táblázat alapján adható meg. Azonban síkbeli polártranszformáció segítségével a teljes valós számegyenesre vett improprius integrálja könnyen kiszámítható. Az integrál kiszámítása előtt, gyakorlati fontossága miatt szemléltetjük is a függvényt a 2.53. ábrán.

2.53. ábra. Az f(x) = exp(–x2) függvény grafikonja.

Dr. Hanka László

264


Többváltozós Függvények Tétel: Az f  x   e x függvény teljes számegyenesre vonatkozó improprius integráljának értéke 2



x  e dx  

I

2



Bizonyítás: Nyilvánvalóan ugyanezt az integrált kapjuk, ha x helyett az y változót alkalmazzuk. Képezzük ennek a két integrálnak a szorzatát és használjuk fel amit szorzat alakú integrandusok kettős integráljáról mondtunk. 

I2 



x y  e dx   e dy  2



2



 



 

x  y  e e dxdy   2

2

 

e

 x2  y 2

dxdy

 

Erre az integrálra már alkalmazhatjuk a polártranszformációt. Nyilvánvaló, hogy a kettős integrál az egész síkra kiterjesztendő, amiből következik, hogy az integrációs tartomány 0  r  , 0    2 .  

I  2



e

 x2  y 2

 

 2

dxdy    e

 r 2 cos 2  r 2 sin 2 

 2

rd dr    e

0 0

r2



rd dr   e

0 0







r2



r 0 dr   2e  r rdr  2

0

2

0



  e r  2r  dr    e  r    lim e  r  e0    0  1    0 r  2

2

2

0

Innen pedig négyzetgyököt vonva következik a nevezetes eredmény, mely szerint 

I

e

 x2

dx  



Az állítást ezzel igazoltuk. ■ Ezt az eredményt felhasználva igazolni tudunk egy fontos összefüggést, amelynek alapvetően fontos szerepe van a valószínűségelméletben. A standard normális eloszlás sűrűségfüggvényéről van szó, amelyről a valószínűségelmélet tankönyvek csak hivatkozással mutatják ki, hogy valóban sűrűségfüggvény. Mi az előző összefüggés birtokában igazolni tudjuk az alábbi állítást. Tétel: (A standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye) A teljes valós számegyenesen értelmezett 2

1  x2  x  e , xR 2

függvény sűrűségfüggvény, tehát a számegyenesre vett improprius integrálja 1.

Dr. Hanka László

265


Többváltozós Függvények Bizonyítás: Az integrálás során alkalmazzunk helyettesítést, majd használjuk fel a fenti eredményt x   t   2       x2   x  2 t  g ( t )  2 1 1 1 1 t 2 2  x dx  e dx   e 2 dt  e t dt   1         2  2      g '  t   2dt   xt      x    t    Az állítást ezzel igazoltuk. ■ A témakör lezárásaképpen megmutatjuk a síkbeli polárkoordináták egy általánosítási lehetőségét. Ha az integrációs tartomány nem körlap vagy annak egy olyan jellegű részhalmaza amelyekkel a fenti példákban találkoztunk, hanem ellipszis, akkor lehetőség van a polárkoordinátákat módosítva az integrálást elvégezni. A módosítás egy lehetőségét a következő értelmezés adja. Definíció: (Módosított polárkoordináták) Ha az [x, y] rendszerről az [r, φ] rendszerre az

 x  x  r ,    ar cos    y  y  r ,    br sin  összefüggések szerint térünk át, ahol a és b rögzített pozitív állandók, akkor a kapott koordinátákat módosított polárkoordinátáknak nevezzük. Világos, hogy ez a transzformáció ideális ellipszistartományok esetén, hiszen r = 1 esetében éppen az ellipszis, mint másodrendű görbe paraméterezését kapjuk, másrészt ha r < 1 akkor az előbbi ellipszis által határolt tartomány belső pontjai adódnak. Határozzuk meg a koordinátatranszformáció Jacobi-mátrixát és Jacobi-determinánsát. Ezek rendre a következők.

 x  r J  r,     y  r 

x     a cos  ar sin   ; y   b sin  br cos    

  x, y   abr cos 2     abr sin 2    abr  cos 2   sin 2    abr   u, v  Ebből következik, hogy módosított síkbeli polártranszformáció esetén a kettős integrál transzformációja minden esetben az alábbi összefüggés szerint írható fel.

Dr. Hanka László

266



 f  x, y  dxdy   f  ar cos , br sin   abr drd  T

T'

Ennek a transzformációnak az illusztrálására csak egy példát mutatunk. 2.66.Példa: Határozzuk meg annak az ellipszisnek a területét, amelynek nagy és kis féltengelye rendre a és b. Jelölje T az ellipszistartományt. Mivel területet számítunk, az integrandus a konstans 1 függvény. Alkalmazva a fenti transzformációt, kapjuk, hogy 1 2

1

0 0

0

Tellipszis   1 dxdy    1 abr d dr   abr 0 T

2

1

 r2  1 dr   2abrdr  2ab   2ab  0  ab 2 0 2  0 1

Azzal a nevezetes eredménnyel zárjuk tehát a kettős integrálok fejezetét, hogy az ellipszis területe Tellipszis  ab

Dr. Hanka László

267



2.13. Háromváltozós függvények integrálása A háromváltozós függvények integráljának értelmezése értelemszerű módosítással ugyanúgy történik, mint ahogyan a kettős integrál értelmezését vázlatosan megadtuk a 2.11. pontban. Egy lényeges különbség azonban van, ez pedig a szemléltetés lehetősége. Egy háromváltozós függvény térbeli tartományra vonatkozó integráljának nem létezik olyan szemléletes matematikai jelentése, mint a kettős integrálnak. Ez utóbbi matematikai jelentése, mint láttuk, egy felületdarab alatti térrész térfogatának számértéke. Hármas integrálok esetén ennek a megfelelője egy négydimenziós térbeli felület által meghatározott "test" térfogata lehetne, de ennek szemléltetésére illetve elképzelésére már nem nagyon van lehetőség. Ezért a hármas integrál vázlatos értelmezéséhez inkább egy fizikai fogalmat hívunk segítségül. Tegyük fel, hogy valamilyen skaláris fizikai mennyiségnek ismerjük a térbeli eloszlását. Legyen ez a fizikai mennyiség konkrétan például mechanikában a tömegsűrűség, vagy villamosságtanban az elektromos töltés sűrűsége. Jelölje ezt a sűrűségfüggvényt szokás szerint ρ = ρ(x, y, z), és tegyük fel, hogy a sűrűségeloszlást ismerjük egy V térfogaton belül. Felvetjük a következő problémát. Hogyan határozható meg a V térfogatban foglalt anyag tömege vagy az elektromos töltés összege ha ez a függvény a tömegsűrűséget, illetve hogyan határozható meg a V térfogatban levő össze töltés, ha ez a függvény az elektromos töltések eloszlását adja meg? A következő módon járhatunk el. Felosztjuk a V térfogatot a koordinátasíkokkal párhuzamos síkokkal kicsiny téglatestekre, olyan kis átmérőjű téglatestekre, amelyeken belül a ρ(x, y, z) függvény jó közelítéssel már konstansnak tekinthető. Jelölje ezen téglatestek térfogatát dV  dxdydz   xi  xi 1   y j  y j 1   zk  zk 1  .

ahol i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., m és k = 1, 2, ..., p ahol n, m és p jelöli az egyes koordinátatengelyeken a felosztás részintervallumainak a számát. Kiválasztunk minden egyes elemi téglatestben egy

  ,  ,   V pontot ahol i

j

k

i   xi , xi 1  ;  j   y j , y j 1  ;  k   zk , zk 1  ;

majd képezzük a   i ,  j ,  k  dV    i ,  j ,  k  dxdydz    i ,  j ,  k   xi  xi 1   y j  y j 1   zk  zk 1 

szorzatot, amely a kérdéses tömegnek illetve töltésnek az adott dV térfogatbeli járuléka, majd ezeket összegezzük a teljes V térfogatra. Ez utóbbi lesz a tömeg illetve töltés közelítő értéke. A ρ(x, y, z) függvény V térfogatra vonatkozó hármas integrálját a

   x, y, z  dV  lim lim lim   i ,  j ,  k   xi  xi 1   y j  y j 1   zk  zk 1  p

V

p  m n 

m

n

k 1 j 1 i 1

határértékkel értelmezzük, ha még az is teljesül, hogy az elemi téglatestek térfogata olyan módon tart 0-hoz, hogy a téglatestek étmérője is tart zérushoz vagyis teljesül, hogy

Dr. Hanka László

268


Többváltozós Függvények lim

 xi  xi 1    y j  y j 1    zk  zk 1  2

2

2

0

minden i, j és k esetén. Ha a fenti határérték létezik, véges és független a felosztástól, akkor a ρ(x, y, z) függvényt a V térfogatban integrálhatónak nevezzük. Speciális esetként a hármas integrál természetesen lehetőséget ad arra is, hogy segítségével térrészek térfogatának számértékét kiszámítsuk. Ekkor úgy járunk el, hogy a megadott V térfogatra a konstans 1 függvényt integráljuk. Térfogat kiszámítása tehát a

TérfogatV   1 dV V

formula szerint történhet. A kettős integrálok tárgyalásához hasonlóan, a hármas integrálok kiszámításának módját is három esetben fogjuk tárgyalni. Elsőként megmutatjuk, hogyan lehet téglatest tartományon integrálni, majd áttérünk a háromdimenziós normáltartományon történő integrálás kérdésének vizsgálatára, és végül megmutatjuk, hogyan lehet hármas integrálokat transzformálni két nevezetes esetben, térbeli polárkoordináták esetén, ha az integrációs tartomány egy gömb, vagy annak alkalmas részhalmaza, illetve megmutatjuk a hengerkoordináták alkalmazását ha az integrációs tartomány egy hengerszerű test.

Dr. Hanka László

269



2.13.1. Hármas integrál téglatest tartományon A téglatest az egydimenziós intervallum fogalmának három dimenziós megfelelője. Értelmezése a következő. I   a, b  c, d   e, f    x, y, z   R3 a  x  b, c  y  d , e  z  f 

Téglatest tartományokon a hármas integrál kiszámítása hasonlóan a kettős integrálhoz, ugyanis Fubini tétele általánosítható három dimenzióra, amelyből kiderül, hogy ha egy háromdimenziós intervallumon integrálunk, akkor a hármas integrál kiszámítása visszavezethető három egymást követő egyváltozós integrál kiszámítására. Tétel: (Fubini-tétele téglatest tartományra) Tegyük fel, hogy létezik a ρ(x, y, z) függvény [a, b] intervallumra vonatkozó, y-tól és z-től függő b

   x, y, z  dx a

határozott integrálja, továbbá létezik az így kapott y-tól és z-től függő függvény [c, d] intervallumra vonatkozó z-től függő

b  c  a   x, y, z  dx dy d

határozott integrálja, végül tegyük fel, hogy a ρ(x, y, z) függvény integrálható az I   a, b  c, d   e, f  háromdimenziós intervallumon a bevezetőben említett értelemben. Ekkor a ρ(x, y, z) függvény I-re vonatkozó hármas integrálja kiszámítható három egymást követő egyszeres integrál segítségével a következő módon f d b f d b      x , y , z dI   x , y , z dx dy dz    x, y, z  dxdydz     I  e  c  a     e c a   

amivel egy jelölést is bevezettünk. Továbbá téglatest tartomány esetén az is igaz, hogy az integrál értéke független az integrálás sorrendjétől. Mivel három egymást követő integrálás 3! = 6-féle módon végezhető el, ezért egy ilyen integrál kiszámítására 6 lehetőség van. Azt az eljárást, melynek során egy hármas integrált három egymást követő egyszeres integrál segítségével számítjuk ki, ebben az esetben is szukcesszív integrálásnak nevezzük. Az integrálhatóság feltételei között kiemeljük, hogy ha az ρ(x, y, z) függvény folytonos az I intervallumon, akkor az integrál létezik, tehát a Fubini-tétel állítása ekkor igaz. Ez megnyugtató abból a szempontból, hogy a mérnöki gyakorlatban legtöbbször folytonos függvényeket integrálunk, így ebben az esetben tehát az integrálhatóság feltétele teljesül.

Dr. Hanka László

270


Többváltozós Függvények Az integrál kiszámításával kapcsolatos technikai jellegű megjegyzésünk ugyanaz, mint kettős integrálok esetén. Szukcesszív integrálás során, amikor egy adott változó szerint integrálunk a többi változót állandónak kell tekinteni. Példákon keresztül mutatjuk meg, hogyan megy ez a gyakorlatban.

I  1, 2   2,7   1, e  2 térrész tömegét, ha ebben a


x y függvénnyel adott. Téglatest tartomány z2 esetén Fubini-tétele szerint tetszőleges az integrálás sorrendje. Integráljunk például x, y, z sorrendben. Kapjuk, hogy

térfogatrészben a sűrűségeloszlás a   x, y, z  

e2 7 2

   x, y, z dI     1 2 1

I

2  3  

2

e2 7 3 x y 1 2  2 dxdydz    x  y     dydz  z2 z2 3 1 2 1 2

e2 7

4 15

3 3 1  2  1 2 z  2  2  y  2  1  y  2  dydz  3 1 e2



1

e2



1

7

5 5 1 2  2  1  y  2 2  y     dz  z2 5 2





5 5 5 e2 1  52 4  2   4  2   3  2 dz  9  8 243  32 32  32  243 ln z  2  1        z2 15 





4 211  128 2  9 3  ln e  ln1  12,15 15


I  0,   0, 2  0,ln 2

térrész tömegét, ha ebben a

térfogatrészben a sűrűségeloszlás a   x, y, z   cos x  y e függvénnyel adott. Ezt az integrált kiszámítjuk két különböző sorrendben. Egyrészt x, y, z sorrendben integrálva kapjuk, hogy 2 z

   x, y, z dI  I

ln 2 2 

ln 2 2

    cos x  y e  dxdydz     sin x  xy e  dydz  2 z

0

0 0 0

0 0

 0



2

 y3 z  0 sin 0  sin   y e dydz   0 0  y e dydz   0  3 e  dz  0

ln 2 2





2 z

ln 2 2

2 z

8 3

ln 2

 e dz  z

0

ln 2

2 z

8 z ln 2 8 8 e    2  1  0 3 3 3

Másrészt például z, x, y sorrendet követve az adódik, hogy 2  ln 2

   x, y, z dI    I

2 

  cos x  y e  dzdxdy     z cos x  y e  2 z

2 z

0 0 0

ln 2 0

dxdy 

0 0

2 

2

0 0

0

   ln 2 cos x  y 2  eln 2  e0   dxdy   ln 2sin x  xy 2  dy  0

Dr. Hanka László

271





 y3   8  8    ln 2  sin   sin 0   y  dy         0   3  3  3 0 0 2

2

A két különböző sorrendben elvégzett integrálás eredménye valóban megegyezik. Térjünk ki arra a speciális esetre amikor az integrandus szorzat alakú, mégpedig úgy hogy egy csak x-től egy csak y-tól és egy csak z-től függő tényezőre bomlik az

  x, y, z   f1  x  f 2  y  f3  z  formula szerint. Ekkor a hármas integrál három egyszeres integrál szorzatára bomlik. Ugyanis f d b      x , y , z dI  f x f y f z dI          I I 1 2 3 e  c  a f1  x  f 2  y  f3  z  dx  dy  dz   

d b   b  f d      f 2  y  f 3  z    f1  x  dx  dy  dz    f1  x  dx     f 2  y  f 3  z dy dz    ec a   a ec  f  b  d     f1  x  dx   f 2  y  dy    f3  z  dz    a  c  e  f

Azt kaptuk tehát, hogy szorzat alakú integrandus esetén a hármas integrál kiszámítása az f d b

 e c a

 b  d  f f1  x  f 2  y  f3  z  dxdydz    f1  x  dx   f 2  y dy    f3  z  dz    a  c  e 

formula szerint történhet. 2.69.Példa: Számítsuk ki az I  0,ln 2  0, 2  0,  téglatestre az   x, y, z   e2 x y sin z függvény hármas integrálját. Az előzőek szerint  2 ln 2

  0 0 0

ln 2

2

 ln 2 2 x  2     e2 x   y 2   e y sin zdxdydz    e dx   ydy   sin zdz           cos z 0  0  0  0   2 0  2 0 2x

 e2ln 2  e0   4  0  3 4     cos 0  cos     2  6   2 2 2    2 

Az integrált ezzel kiszámítottuk.

Dr. Hanka László

272



2.13.2. Hármas integrál normáltartományon A háromdimenziós normáltartomány olyan tartomány, amelyet folytonos kétváltozós függvények által meghatározott felületek határolnak. A kétdimenziós esetben a normáltartománynak két típusa volt, annak megfelelően, hogy először az y-változó szerint lehetett integrálni majd az x-változó szerint, illetve fordítva. Tekintettel arra, hogy egy hármas integrál esetén a három változó szerinti integrálás sorrendje 3! = 6 féle lehet, ezért hármas integráloknál a normáltartományoknak is 6 típusa létezik. Nem fogjuk felsorolni mind a 6 típust, általánosan csak egy formulát írunk fel. A példákban megmutatunk két sorrendet, a többi felírását és alkalmazását az Olvasóra bízzuk. Tegyük fel, hogy egy térbeli tartományt a következő módon határolnak felületek. A tartományt az [x, y]-sík egy x-tengelyre vonatkozó normáltartományán értelmezett G(x, y) és H(x, y) (G(x, y)  H(x, y)) függvények grafikonjai határolják "alulról" és "felülről", az [x, y]-síkbeli normáltartományt pedig az x-tengely [a, b] intervallumán értelmezett g(x) és h(x) (g(x)  h(x)) függvények határolják. A normáltartomány tehát például a következő egyenlőtlenség rendszerrel írható le.

a  x  b, g  x   y  h( x), G  x, y   z  H  x, y  Ekkor a felületek által határolt V térfogatra vonatkozó integrál a következő módon írható fel, illetve a kijelölt sorrendben számítható ki. b h( x) H ( x, y )

   x, y, z  dV       x, y, z  dzdydx V

a g ( x ) G ( x, y )

és itt az integrálás sorrendje általában kötött, de előfordulhat, hogy egy tartomány a 6 típus közül egyszerre több kategóriába is sorolható. Ekkor az integrálás sorrendje változhat, de ekkor természetesen a határok is módosulnak. Technikailag tehát ez a következőt jelenti. Elsőként rögzítjük az x és y változókat, és integráljuk az integrandust a z változó szerint a G(x, y) és H(x, y) határok között. Az eredmény függ x-től és y-tól. Ezután rögzítjük az x-változót és integráljuk az előző lépésben kapott függvényt az y-változó szerint a g(x) és h(x) határok között. A kapott függvény már csak x-től függ. Végül ezt integráljuk az a és b határok között az x-változó szerint. Ilyen tartományra vonatkozó hármas integrál kiszámítását mutatjuk be a következő két példában. 2.70.Példa: Számítsuk ki annak a testnek a térfogatát, amely a pozitív térnyolcadban van, határolja a három koordinátasík és az a sík, amelynek az egyes tengelyekkel való tengelymetszete rendre 1, 2 és 3. A testet a 2.54. ábrán láthatjuk. Az ábra alapján világos, hogy a kérdéses test egy tetraéder. Ennek térfogatát elemi módszerekkel is azonnal kiszámíthatjuk.

1 1 1 2 V  Talap m  3 1 3 3 2

Dr. Hanka László

273


Többváltozós Függvények Ami azt jelenti, hogy a test térfogata pontosan 1 egységnyi. Az integrálás eredményét összevethetjük majd ezzel az eredménnyel.

2.54. ábra. Integrálás három dimenziós normáltartományon (2.70. Példa)

Mindenek előtt meg kell adnunk a tartomány határait analitikus alakban. Mind a sík, mint az [x, y]-síkbeli határoló egyenes egyenletét legegyszerűbben a tengelymetszetes alakból kapjuk. Az egyenes és a sík egyenlete a tengelymetszetek alapján rendre x y   1  2x  y  2  y  2x  2 1 2 x y z 3    1  6 x  3 y  2 z  6  z  3  3x  y 1 2 3 2

Ez azt jelenti, hogy a fenti általános leírásban szereplő, határokat definiáló függvények valamint ebből következően az integrálás határai rendre a következők. g  x   0, h  x   2 x  2, G  x, y   0, H  x, y   3  3x  0  x  1, 0  y  2  2 x, 0  z  3  3x 

3 y 2

3 y 2

Ezek alapján már felírható a normáltartományra vonatkozó hármas integrál. Tekintettel, hogy térfogatot számítunk az integrandus az azonosan 1 függvény. 1 2 2 x

 1dV   V

0

 0

3 3 3 x  y 2

 0

1 2 2 x

1dzdydx   0

2 2 x

3     3 y  3xy  y 2  4 0 0  1

Dr. Hanka László



3 3 3 x  y 2

 z 0

0

1 2 2 x

dydx   0

 0

3    3  3 x  y  dydx  2  

3 2  dx    3  2  2 x   3x  2  2 x    2  2 x   dx  4  0 1

274



   3x 2  6 x  3 dx   x3  3x 2  3x   1  3  3  1 1

0

0

Megkaptuk tehát integrálás útján is, hogy a test térfogata 1 egység. 2.71.Példa: Határozzuk meg annak a testnek a térfogatát, amelyet "alulról" az [x, y]-sík határol, "felülről" az y + z = 1 egyenletű sík, "oldalról" pedig az y = x2 egyenletű parabolikus henger. Az integrációs tartományt vázlatosan a 2.55. ábra szemlélteti.

2.55. ábra. Parabolikus henger és síkok által határolt normáltartomány (2.71. Példa).

Ez egy olyan test, amelynek a térfogatát elemi módszerekkel már nem tudjuk meghatározni. Az ábra alapján világos, hogy az integrálás határai a következők.

1  x  1, x2  y  1, 0  z  1  y Az integrálás sorrendjét tekintve ez tehát pontosan ugyanolyan szerkezetű normáltartomány, mint az előző példabeli. A kérdés ismét a térfogat, ezért a hármas integrál integrandusa a konstans 1 függvény. 1 1 1 y

1 1

1 x 2 0

1 x 2

 1dV     1 dzdydx     z  V

1 y 0

1 1

dydx  

 1  y  dydx 

1 x 2

1

1   1 y2  x4     y   dx   1   x 2   dx  2  x2 2 2 1  1  1

1

1 x3 x5  1 1 1  1 1 1 8   x            3 10  1 2 3 10  2 3 10  15 2

Ezzel a 2.55. ábrán látható test térfogatát meghatároztuk.

Dr. Hanka László

275


Többváltozós Függvények 2.72.Példa: Határozzuk meg annak a testnek a tömegét, amelynek határai a z = 0 és y = 0 koordinátasíkok, a z = 4 – x2 egyenletű parabolikus henger és az x = y2 egyenletű parabolikus henger, valamint anyagának a helytől függő sűrűségét a   x, y, z   xy függvény határozza meg. Ennek a testnek a vázlatos képe látható a 2.56. ábrán. Ez a tartomány az integrálás sorrendjének a szempontjából tekinthető olyan szerkezetűnek, mint az előző két példabeli tartomány. Azonban az alapsíkbeli normáltartomány most az y-tengelyre vonatkozólag is normáltartomány. Írjuk fel az integrált ez utóbbi logika szerint.

2.56. ábra. A példabeli integrációs tartomány (2.72. Példa).

Az ábra alapján az integrálás határai a következők. 0  y  2, y 2  x  2, 0  z  4  x 2

Ennek felhasználásával a kérdéses tömeg az alábbi integrállal számítható.

Tömeg     x, y, z  dV  V

 0

2



 0

2 2

  0 y2

xy dzdxdy 

   xyz 0

4 x2

dxdy 

0 y2

0

2

1 4   2 2 xy  4  x  dxdy  0 2  4 xy  x y  dxdy  0 2 x y  4 x y  y2 dy  y y

2 2



2 2 4 x2

2 2

2

2

3

2

 y 2 y 6 y10  1 9 8 32 32  5 8 y  4 y  2 y  4 y  dy   4 2  3  40   4  3  40  15  2,13  0

A test tömege tehát közelítőleg 2,13 tömegegység.

Dr. Hanka László

276



2.13.3. Hármas integrál transzformációja A kettős integrál esetéhez hasonlóan vezessünk be az x, y és z változók helyére három új változót, jelölje ezeket u, v és w, és a transzformációt megadó függvények - egyelőre általánosan - legyenek a következők.

x  x  u, v, w , y  y  u, v, w , z  z  u, v, w Ez a három egyenlet egy általában nemlineáris transzformációt jelent az [x, y, z] és az [u, v, w] koordinátarendszerek között. Ha elvégezzük a helyettesítést, akkor az intergandus, formálisan a következő módon alakul át.

  x, y, z     x  u, v, w , y  u, v, w , z u, v, w  Ezen kívül a transzformációhoz szüksége van a harmadrendű Jacobi-mátrixra és annak determinánsára. Ezeket a következő módon értelmezzük. Definíció: (A Jacobi-mátrix és Jacobi-determináns fogalma három dimenzióban) Tegyük fel, hogy az x  x  u, v, w , y  y  u, v, w , z  z  u, v, w háromváltozós

valós

függvények parciális deriváltjaikkal együtt folytonosak. Ekkor az x  x  u, v, w , y  y  u, v, w , z  z  u, v, w függvényekkel definiált leképezés - koordináta transzformáció - Jacobimátrixának nevezzük a  x  u  y J  u , v, w     u   z  u

x v y v z v

x  w    x  x  x   1 2 3 y    1 y  2 y  3 y  w      z  2 z  3 z  z   1 w 

parciális deriváltfüggvényekből képezett harmadrendű mátrixot. Ennek a mátrixnak a detrminánsát Jacobi-determinánsnak nevezzük. Ennek jelölése  x  u    x, y , z  y  det J  u, v, w   det   u   u , v, w    z  u

x v y v z v

x  w   y  w   z  w 

A Jacobi-determinánsnak hármas integrálok esetén pontosan ugyanaz a szerepe, mint kettős integráloknál. Dr. Hanka László

277


Többváltozós Függvények Ha az x  x  u, v, w , y  y  u, v, w , z  z  u, v, w függvényekkel adott leképezés során a T ' tartomány képe a T tartomány, akkor a hármas integrál transzformációja a következő összefüggéssel adható meg.

   x, y, z  dxdydz    x u, v, w , y u, v, w , z u, v, w  T

T'

  x, y, z  dudvdw   u , v, w 

Az integrandust a helyettesítést követően tehát ebben az esetben is szorozni kell a Jacobidetermináns abszolút értékével. Vizsgáljuk meg két konkrét esetben, hogy hogyan transzformálódik a hármas integrál. Az első fontos koordináta transzformáció amit tárgyalunk a térbeli polárkoordináták alkalmazása. Ezt a fogalmat már értelmeztük az 1.3.3. pontban. Eszerint ha az [x, y, z] Descartes-féle derékszögű koordinátákról áttérünk az [r, ϑ, φ] térbeli polárkoordinátákra, akkor az áttérési formulákat az

 x  x  r , ,    r sin  cos    y  y  r , ,    r sin  sin   z  z  r , ,    r cos   egyenletek értelmezik. Szokás ezeket a koordinátákat gömbi koordinátáknak is nevezni. Itt az általános u, v, w jelek helyett tehát hagyományosan az r, ϑ, φ jelölés használatos. Meghatározzuk a térbeli polár transzformáció Jacobi-mátrixát. Ez a következő.  x  r   y J  r , ,      r  z  r 

x  y  z 

x    sin  cos  r cos  cos  r sin  sin  y     sin  sin  r cos  sin  r sin  cos       cos   r sin  0 z    

Ennek determinánsa a Jacobi-determináns, amely a 3. sor szerint kifejtve a következő. sin  cos  r cos  cos  r sin  sin    x, y , z   det  sin  sin  r cos  sin  r sin  cos      r , ,    cos   r sin  0 r cos  cos  r sin  sin  sin  cos   r sin  sin   cos   r sin   r cos  sin  r sin  cos  sin  sin  r sin  cos   cos   r 2 sin  cos  cos 2   r 2 sin  cos  sin 2    r sin   r sin 2  cos 2   r sin 2  sin 2     r 2 sin  cos 2   r 2 sin 3   r 2 sin   cos 2   sin 2    r 2 sin  Dr. Hanka László

278


Többváltozós Függvények Kaptuk tehát azt a nevezetes eredményt, hogy térbeli polár transzformáció esetén a Jacobidetermináns abszolút értéke a következő.

  x, y , z   r 2 sin    r , ,   Ebből következően már fel tudjuk írni egy hármas integrál transzformációját, ha áttérünk derékszögű koordinátákról gömbi koordinátákra.

   x, y, z  dxdydz    x  r, ,  , y  r, ,  , z  r, ,   r T

2

sin  dr d  d 

T'

illetve részletezve a koordináták transzformációját is az

   x, y, z  dxdydz    r sin  cos , r sin  sin , r cos   r T

2

sin  dr d  d 

T'

formulát kapjuk. 2.73.Példa: A térbeli polárkoordináták alkalmazásaként számítsuk ki az R sugarú gömb térfogatát. Ekkor az azonosan 1 függvényt kell integrálnunk, és ha az egész gömböt figyelembe vesszük, és természetesen a legegyszerűbb, kanonikus helyzetben tekintjük a gömböt, amikor a centruma az origó, akkor az integrációs tartomány a következő.

0  r  R, 0    , 0    2 ami azt jelenti, hogy a transzformáció eredménye az, hogy a Descartes-koordinátarendszerbeli gömb helyett a polárkoordináta rendszerben egy téglatest az integrációs tartomány. Világos, hogy elég a gömb pozitív térnyolcadba eső részének térfogatát kiszámítani. Ekkor az integrációs tartomány csak a   0  r  R, 0    , 0    2 2 téglatest. Ennek alapján a gömb térfogata, tekintettel arra, hogy téglatest tartományon integrálunk, a következő.   2 R 2

 2 R

 2 R

 Vgömb  8     1 r 2 sin  d  dr d   8    r 2 sin    dr d   8    r 2 sin  dr d   2 0 0 0 0 0 0 0  2

 2 0

R

  r3   8R3 4 R3    4 R 3 4 R 3 2  8   sin    d   cos 0  cos     cos 0  1  0  2 6 3  2 3 3  3 0 0

Megkaptuk tehát a gömb térfogatára ismert térfogatformulát. Dr. Hanka László

279


Többváltozós Függvények 2.74.Példa: Határozzuk meg annak a testnek a térfogatát, amelyet úgy kapunk, hogy tekintjük egy origó középpontú R ugarú gömbnek és egy origó csúcspontú, z-tengelyű, 2 nyílásszögű, z > 0 féltérbe eső forgáskúpnak a közös részét. Ezt a testet gömbcikknek nevezzük. Határozzuk meg tehát annak a gömbcikknek a térfogatát amelyet a 2.57. ábrán szemléltetünk.

2.57. ábra. A gömbcikk térfogatának kiszámításához (2.74. Példa).

Ha a gömbcikk nyílásszöge 2 akkor a testet alulról határoló kúp bármely alkotója a z-tengellyel -szöget zár be. Ez azt jelenti, hogy gömbi koordinátákkal leírva a testet teljesül, hogy 0     . Ebből következően a test térfogatának mértéke R  2

R

R

Vgömbcikk     1 r 2 sin  d  d  dr    r 2 sin  0 d dr    2r 2 sin  d  dr  0 0 0

2

0 0

0 0

R

r  2 3   2r   cos 0 dr   2r 1  cos  dr  2 1  cos      R 1  cos   3 3   0 0 0 R

2



R

3

2

Ezzel a gömbcikk térfogatát előállítottuk. Ha ezt a képletet alkalmazzuk  = π esetére, amikor is a gömbcikk az egész gömbbel lesz megegyező, természetesen visszakapjuk a gömb térfogatára az előbbi példában kapott értéket. 2.75.Példa: Határozzuk meg annak a "gyűrűnek" a tömegét, amelyet úgy kapunk, hogy egy R1 = 2 egység sugarú gömbnek és R2 = 1 egység sugarú, z-tengelyű forgáshengernek a közös részét elvesszük a gömbből. Mondhatnánk azt is hogy készítünk a gömbben egy 1 egység sugarú furatot a centrumon keresztül. A test anyagának sűrűségét megadó függvény legyen   x, y, z   x 2  y 2 . A testet a 2.58. ábrán láthatjuk. Elsőként határozzuk meg az integrandus analitikus alakját gömbi koordinátákkal.   x  r , ,  , y  r , ,  , z  r , ,     r sin  cos    r sin  sin    r 2 sin 2  2

Dr. Hanka László

280

2



a) A gyűrűszerű test. b) A test [x, z]-síkmetzste 2.58. ábra. A gyűrűszerű test tömegének meghatározásához (2.75. Példa).

A 2.58. b) ábra alapján, amelyen a test [x, z]-síkmetszetét ábrázoltuk világos, hogy a gyűrűszerű  5 és tartomány esetén a ϑ koordináta a értékek között változik, az r sugár pedig 1 és 2 6 6 között. A test tömege ennek felhasználásával a következő. 5 6 2 2

   x, y, z  dxdydz     r

sin 2  r 2 sin  d  dr d  

 1 0 6

V



2

5 6 2

 r  1 6

4

sin 3   0  2

 1 6

r

4

sin 3  d  dr d  

 1 0 6

5 6 2

  2r

5 6 2 2

2

4

5 6

sin 3 drd   2 r 4 dr   sin 3 d   1

 6

5

5

2

 r5  6 32  1  cos3   6 2  2     sin  1  cos   d   2  cos    5  3    5 1  6

6 3 3 62  3 1  3  3 1  3    93 3       50, 60      5  2 3  2   2 3  2    10   

A "gyűrű" tömegét ezzel meghatároztuk.

Dr. Hanka László

281


Többváltozós Függvények A hármas integrálok témakörének lezárásaképpen bemutatunk még egy nevezetes koordináta transzformációt. Ez pedig a hengerkoordinátákra történő áttérés. A térben egy pont helyzetének meghatározására használhatjuk az r, φ, m hengerkoordinátákat, melyek értelmezése a 2.59 ábra alapján a következő formulákkal adható meg.

P(r,φ,m)

m

φ

r

2.59. ábra. Hengerkoordináták értelmezése

A P pontot merőlegesen vetítjük az [x, y]-síkra. Ezen vetület két koordinátája, r és φ pontosan megegyezik a síkbeli polárkoordináták értelmezésével, az m koordináta pedig megegyezik a z koordinátával. Ebből következően az áttérési formulák a következők.

 x  x  r , , m   r cos    y  y  r , , m   r sin   z  z  r , , m   m  Meghatározzuk a hengerkoordináta transzformáció Jacobi-mátrixát.  x  r   y J  r , , m     r  z  r  Dr. Hanka László

x  y  z 

282

x  m  cos  r sin  0  y     sin  r cos  0   m   0 0 1  z   m  Óbudai Egyetem Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar

Többváltozós Függvények Ennek determinánsa Jacobi-determináns, amely a 3. sor szerint kifejtve a következő. cos  r sin  0 cos  r sin    x, y , z   det  sin  r cos  0  1  r cos 2   r sin 2   r sin  r cos    r , , m   0 0 1 

Kaptuk tehát azt az alapvető eredményt, hogy hengerkoordináta transzformáció esetén a Jacobi-determináns abszolút értéke a következő.

  x, y , z  r   r , , m  Ebből következően már fel tudjuk írni egy hármas integrál transzformációját, ha áttérünk derékszögű koordinátákról hengerkoordinátákra.

   x, y, z  dxdydz    x  r, , m , y  r, , m , z  r, , m   r dr d  dm T

T'

Illetve részletezve a koordináták transzformációját is a

   x, y, z  dxdydz    r cos , r sin , m  r dr d  dm T

T'

formulát kapjuk. 2.76.Példa: Határozzuk meg annak a testnek a térfogatát, amelyet úgy kapunk, hogy egyesítjük 2 az x 2  y 2  z 2  1 egyenletű gömb z < 0 féltérbe eső felét valamint az x 2  y 2   z  1  0 egyenletű forgáskúp 0  z  1 tartományba eső darabját. A testet a 2.60. ábrán láthatjuk.

2.60. ábra. A példabeli, félgömb és forgáskúp által határolt test (2.76. Példa).

Dr. Hanka László

283


Többváltozós Függvények Ez a test, mivel két olyan testből van összetéve, amelynek ismerjük a térfogatát, a keresett térfogatot elemi módszerekkel is ki tudjuk számítani. Tekintettel arra, hogy mind a sugár mind a kúp magassága 1 egység, ezért a térfogat számértéke V

r 2 m 1 4r 3  2    . 3 2 3 3 3

Számítsuk ki most ezt a térfogatot hármas integrál segítségével. Mivel a test forgásszimmetrikus, és forgási szimmetriatengelye a z-tengely, ideális a hengerkoordináták alkalmazása. Mivel értelmezés szerint x  r cos , y  r sin  ezért világos, hogy x 2  y 2  r 2 . Írjuk most fel az integrálás alsó és felső határát hengerkoordinátákkal. Tekintettel arra, hogy az "alsó" félgömbről van szó, kapjuk, hogy az alsó határ x2  y 2  z 2  1  z   1   x2  y 2   z   1  r 2 ,

másrészt, figyelembe véve, hogy a kúp a z = 0 és z = 1 síkok között van, a felső határra az

x2  y 2   z  1  0  z  1   x 2  y 2  z  1  x 2  y 2  z  1  r 2

képlet adódik. Innen kapjuk az integrálás határait 0  r  1, 0    2,  1  r 2  m  1  r

Most már felírhatjuk a hármas integrált hengerkoordináták alkalmazásával. 1

Térfogat  

1 r



2

1

 1 r d  dm dr  

0  1 r 2 0



1 r

  r0

2

0  1 r 2



1

dm dr 2

1 r



0  1 r 2

1

r dm dr 2  rm 

1 r 1 r 2

dr 

0

1    2 r 1  r   r 1  r 2 dr  2  r  r 2  1  r 2  2r   dr  2  0 0 1

1

1

3  r2 r3 1 2  1 1  1  2 2  2    1  r    2            2 3  3  2 3 23 0

Az integrálás eredménye természetesen egybeesik a térfogat elemi módszerrel kapott számértékével. 2.77.Példa: Határozzuk meg annak a testnek a térfogatát, amelyet a z = 0 sík, az y + z = 0 sík és az x 2  y 2  1 egyenletű hengerfelület határolnak. Az adott felületekkel határolt test vázlatos képe látható a 2.61. ábrán. Ennek a testnek a tárfogatát már nem tudjuk elemi módszerekkel kiszámítani, csak hármas integrál segítségével. Tekintettel arra, hogy a test [x, y]-síkra vonatkozó vetülete egy félkör, megfelelő választás a

Dr. Hanka László

284


Többváltozós Függvények hengerkoordináták alkalmazása. Tekintettel arra, hogy definíció szerint y  r sin  , és figyelembe véve, hogy a sík egyenletének ekvivalens alakja a z = –y egyenlet, kapjuk az integrálás határait.

0  r  1,     2, 0  m  r sin  Ugyanis a test [x, y]-síkra vonatkozó vetülete az az x-tengelyre vonatkozó normáltartomány, melynek alsó határa az x 2  y 2  1 egyenletű kör y < 0 félsíkba eső része, a felső határa pedig az x-tengely, tehát az y = 0 egyenletű egyenes.

2.61. ábra. A 2.77. példában szereplő test vázlatos képe

A térfogat a következő hármas integrállal számítható. 1

Térfogat 

0

 

y

1 2   r sin 

 1 dzdydx  

1  1 x 2 0

0 



1 2

1  r dm d  dr     rm 0

 r sin 

0 

0

1 2

d dr    r 2 sin  d  dr  0 

1

1 1 1 2  2r 3  2    r 2 cos  dr   r 2  cos 2  cos   dr   2r 2 dr       3 0 3 0 0 0

Kaptuk tehát, hogy az ék alakú test térfogata

2 térfogategység. 3

2.78.Példa: Határozzuk meg annak a testnek a tömegét, amelyet alulról a z = 0 sík, felülről pedig a z  4  x 2  y 2 egyenletű forgási paraboloid határolnak és amely anyagának sűrűsége a   x, y, z   x 2 z függvénnyel adott. A testet a 2.62. ábra szemlélteti.

A test forgásszimmetrikus, forgástengelye a z-tengely, tehát a probléma megoldható hengerkoordináták alkalmazásával. A test merőleges vetülete az [x, y]-síkra egy R = 2 sugarú körlap, így világos, hogy az integrációs tartomány határai derékszögű koordinátákban 2  x  2,  1  x 2  y  1  x 2 , 0  z  4  x 2  y 2 Dr. Hanka László

285


Többváltozós Függvények valamint, figyelembe véve a hengerkoordináták értelmezését, amely szerint

z  4  x2  y 2  4  r 2 cos2   r 2 sin 2   4  r 2

2.62. ábra. A 2.78. példában szereplő test képe.

kapjuk, hogy a határok hengerkoordinátákban a következők

0  r  2, 0    2, 0  m  4  r 2 . Ebből következően a test tömege a következő hármas integrállal adódik. tömeg     x, y, z dV  V 2  2 4r 2



  0 0

0

2 2 1 x 2 4  x  y

 

2  1 x 2



2  2 4 r 2

x zdzdydx   



0 0

0

2

0 4 r

2 2

 m2  r 3 cos 2  m dm dr d     r 3 cos 2     2 0 0 0

2



2

2

  4  r 2 2   dr d   dr d     r 3 cos 2     2 0 0   2 2

r3 1  cos 2 1 16  8r 2  r 4  dr   d   16r 3  8r 5  r 7  dr   2 2 2 0 0 0 2

2  cos d   0

2

r 2 cos 2  m  r dm dr d  

2

sin 2  1    4  0 2

2

2 1  128    16   2r 4  r 6  r 8      32   16    16, 75 3 16  0 3 3    2

A test tömege tehát közelítőleg 16,75 tömegegység. Ezzel a hármas integrálok és egyben a többváltozós függvények analízisének témakörét lezártuk. Az érdeklődő Olvasónak a szakirodalom tanulmányozását javasoljuk.

Dr. Hanka László

286


Irodalomjegyzék Bazilijev-Dunyicsev-Ivanyickaja: Geometria I-II. Tankönyvkiadó, 1985. Bronstejn-Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Typotex. 2006. Coxeter, H.S.M.: A geometriák alapjai. Műszaki Könyvkiadó, 1987. Császár Ákos: Valós analízis I-II. Tankönyvkiadó, 1983. Fagyejev-Szominszkij: Felsőfokú algebrai feladatok. Műszaki Kiadó, Budapest, 1973. Fekete-Zalay: Többváltozós függvények analízise. Műszaki Kiadó, 2002. Freud Róbert: Lineáris algebra. ELTE Eötvös kiadó, 2006. Fried Ervin: Klasszikus és lineáris algebra. Tankönyvkiadó, Budapest, 1995. Gyemidovics, B.P.: Matematikai analízis feladatgyűjtemény. Tankönyvkiadó, 1974. Hajós György: Bevezetés a geometriába. Tankönyvkiadó, Budapest, 1993. Halmos Pál: Véges dimenziós vektorterek. Műszaki Kiadó. Bp. 1984. Hanka László: Fejezetek a matematikából. ÓE BGK, 2013. Járai Antal: Modern alkalmazott analízis. Typotex, Budapest, 2008. Jegorov, I.P.: Geometria. Tankönyvkiadó, 1986 Kiss Emil: Bevezetés az algebrába. Typotex Kiadó, Budapest, 2007. Kovács – Takács - Takács: Analízis. Nemzeti Tankönyvkiadó, 2005. Krekó Béla: Lineáris Algebra. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Budapest, 1976 Laczkovich Miklós – T. Sós Vera: Analízis I-II. Nemzeti Tankönyvkiadó, 2007. Obádovics J. Gyula: Mátrixok és differenciálegyenlet-rendszerek. Scolar. Bp. 2005. Obádovics J. Gyula: Lineáris algebra, Példákkal. Scolar. Bp. 2001. Prasolov: Lineáris algebra. Typotex. Bp. 2006. Rózsa Pál: Bevezetés a mátrixelméletbe. Typotex, Budapest, 2009. Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai. Műszaki Kiadó, Budapest, 1984. Rudin, Walter: A matematikai analízis alapjai. Műszaki Könyvkiadó, 1978. Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás. Műszaki Kiadó, Budapest, 2008. Scharnitzky Viktor: Matematikai feladatok. Nemzeti Tankönyvkiadó 1996 Stoyan Gisbert: MATLAB. Typotex. Bp. 2010. Szász Gábor: Matematika I-II-III. Nemzeti Tankönyvkiadó, 2007. Szász Pál: A differenciál és integrálszámítás elemei I-II. Typotex, Budapest, 2008 Thomas-féle kalkulus I-II-III: Typotex, Budapest, 2008.

Dr. Hanka László

287


Tartalom Előszó ............................................................................................................................................... 1 1.1. VEKTORGEOMETRIA ........................................................................................................... 5 1.1.1. Alapvető vektorműveletek .................................................................................................... 6 1.1.2. Vektorok skaláris szorzata .................................................................................................... 9 1.1.3. Vektorok vektoriális szorzata .............................................................................................. 13 1.1.4. Vektorok vegyes szorzata.................................................................................................... 17 1.2. A SÍK ANALITIKUS GEOMETRIÁJA ................................................................................ 21 1.2.1. Az egyenes egyenletei .......................................................................................................... 21 1.2.2. A kör egyenlete .................................................................................................................... 25 1.2.3. A parabola egyenlete ............................................................................................................ 27 1.2.4. Az ellipszis egyenlete ........................................................................................................... 31 1.2.5. Síkbeli merőleges affinitás ................................................................................................... 34 1.2.6. A hiperbola egyenlete........................................................................................................... 36 1.2.7. A parabola, ellipszis és hiperbola fokális egyenlete ............................................................ 43 1.2.8. A parabola, ellipszis és hiperbola vezéregyenese ................................................................ 47 1.2.9. A parabola, ellipszis és hiperbola polárkoordinátás egyenlete ............................................ 50 1.2.10. Síkbeli koordináta transzformációk ................................................................................... 53 1.2.11. Másodrendű görbék. Főtengely transzformáció ................................................................. 61 1.2.12. Másodrendű görbék osztályozása....................................................................................... 72 1.3. A TÉR ANALITIKUS GEOMETRIÁJA ............................................................................... 76 1.3.1. A egyenes egyenletrendszere ............................................................................................... 76 1.3.2. A sík egyenlete ..................................................................................................................... 78 1.3.3. A gömb egyenlete................................................................................................................. 81 1.3.4. Forgásfelületek ..................................................................................................................... 84 1.3.4.1. Forgási paraboloid ............................................................................................................. 86 1.3.4.2. Forgási ellipszoid .............................................................................................................. 87 1.3.4.3. Egyköpenyű forgási hiperboloid ....................................................................................... 88 1.3.4.4. Kétköpenyű forgási hiperboloid ........................................................................................ 89 1.3.4.5. Forgáskúp .......................................................................................................................... 90 1.3.5. Térbeli merőleges affinitás ................................................................................................... 91 1.3.5.1. Elliptikus paraboloid ......................................................................................................... 92 1.3.5.2. Ellipszoid........................................................................................................................... 95 1.3.5.3. Egyköpenyű hiperboloid ................................................................................................... 98 Dr. Hanka László

288


1.3.5.4. Kétköpenyű hiperboloid .................................................................................................. 101 1.3.5.5. Kúp .................................................................................................................................. 104 1.3.6. Másodrendű hengerek ........................................................................................................ 106 1.3.7. Hiperbolikus paraboloid (nyeregfelület) ............................................................................ 108 1.3.8. Térbeli koordinátatranszformációk .................................................................................... 113 1.3.9. Térbeli főtengely transzformáció ....................................................................................... 116 1.3.10. Másodrendű felületek osztályozása .................................................................................. 123 1.3.11. Forgáskúp síkmetszetei, kúpszeletek ............................................................................... 127 2. TÖBBVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK ....................................................................... 135 2.1. A többváltozós valós függvény fogalma ............................................................................... 135 2.2. Két- és háromváltozós függvény szemléltetése, grafikon ..................................................... 138 2.3. Többváltozós függvény határértéke, folytonossága .............................................................. 145 2.4. Többváltozós függvény parciális deriváltja .......................................................................... 150 2.5. Többváltozós függvény iránymenti deriváltja....................................................................... 156 2.6. Többváltozós függvény magasabb rendű deriváltjai ............................................................. 166 2.7. Többváltozós függvény Taylor-sora ..................................................................................... 169 2.8. Függvényértékek közelítő számítása ..................................................................................... 181 2.8.1. Lineáris közelítés, kétváltozós függvény érintősíkja ......................................................... 181 2.8.2. Hibaszámítás ...................................................................................................................... 187 2.8.3. Másodfokú közelítés .......................................................................................................... 191 2.9. Kétváltozós függvény szélsőértéke ....................................................................................... 194 2.10. Három - és többváltozós függvények szélsőértéke ............................................................. 213 2.11. A legkisebb négyzetek módszere ........................................................................................ 218 2.11.1. Lineáris regresszió........................................................................................................... 220 2.11.2. Exponenciális regresszió ................................................................................................. 225 2.11.3. Másodfokú regresszió ..................................................................................................... 227 2.12. Kétváltozós függvények integrálása.................................................................................... 231 2.12.1. Kettős integrál téglalaptartományon ................................................................................ 236 2.12.2. Kettős integrál normáltartományon .................................................................................. 240 2.12.3. A kettős integrál transzformációja ................................................................................... 251 2.12.4. Síkbeli polártranszformáció ............................................................................................. 258 2.13. Háromváltozós függvények integrálása .............................................................................. 268 2.13.1. Hármas integrál téglatest tartományon ............................................................................. 270 2.13.2. Hármas integrál normáltartományon ................................................................................ 273

Dr. Hanka László

289


2.13.3. Hármas integrál transzformációja .................................................................................... 277 Irodalomjegyzék ........................................................................................................................... 287

Dr. Hanka László

290


Analitikus Geometria és Többváltozós Függvénytan

Recommend Documents