AZ AUTOMATIKUS SEBESSÉGSTABILIZÁLÓ RENDSZER NUMERIKUS VIZSGÁLATA NUMERICAL ANALYSIS OF THE AUTOMATIC SPEED CONTROL SYSTEM

AZ AUTOMATIKUS SEBESSÉGSTABILIZÁLÓ RENDSZER NUMERIKUS VIZSGÁLATA

DR. HABIL. SZABOLCSI RÓBERT okl. mk. alezredes

AZ AUTOMATIKUS SEBESSÉGSTABILIZÁLÓ RENDSZER NUMERIKUS VIZSGÁLATA NUMERICAL ANALYSIS OF THE AUTOMATIC SPEED CONTROL SYSTEM Mindennapi életünk elképzelhetetlen közlekedés nélkül. A globalizálódó világ, az egységesülő Európa, valamint a hazai gazdaság nagymértékben növeli meg a személy-, és az áruszállítás volumenét. Sokan üzleti-, kereskedelmi jelleggel, sokan turisztikai magáncéllal kerekednek útra. Az Európai Unióban fokozatosan bővülő közúti hálózata, az autópályák növekvő hossza sokakat csábít arra, hogy akár pár napra is, de útra keljen, és országokat átutazva jusson el úti céljához. Az utazók az utazás idejét azonban egyre komfortosabb, egyre kényelmesebb körülmények között szeretnék eltölteni oly módon, hogy az utazás ne legyen túlságosan fárasztó. A kényelmi szempontokat fegyelembe vevő, és az azokat kielégítő rendszerek egyike a sebességstabilizáló rendszer, amely ma már számos gépjármű elengedhetetlen fedélzeti rendszere. A cikkben a szerző az automatikus sebességstabilizáló rendszer (Tempomat) irányítástechnikai vizsgálatával foglalkozik. Egy példán keresztül bemutatja a sebességstabilizáló rendszer idő-, és frekvenciatartománybeli vizsgálatát. A szerző elvégzi a zárt szabályozási rendszer érzékenységvizsgálatát is, amely választ ad arra a kérdésre, hogy hogyan változik a rendszer jelátvitele, ha megváltozik a zárt szabályozási rendszer valamely paramétere. A szerző a vizsgálatait egyszerűsített, lineáris, holtidő mentes szabályozási rendszeren végzi el. Természetesen, ez a közelítés pontatlanná teszi a zárt szabályozási rendszert, de a gyakorlatban, analízis céljára ez az egyszerűsítés megengedett. New challenges regarding globalization, enlarging the European Union (EU) and, economy in Hungary generates the need of increasing cargo and passenger transport. Many people travel by business, or by tourism purposes. Enlarging the network of highways and routes in the EU motivates a lot of people to travel for abroad and, to see foreign places although for couple of days. Passengers are motivated to travel in more comfortable conditions so as NOT to be more tired at the arrival. The automatic speed control system is for reducing drivers’ workload and today it is common on the board of many types of the cars. Main purpose of the author is to carry out the numerical analysis of the hypothetical automatic speed control system (Tempomat) of the car. A block diagram will be derived for the computer aided simulation. The simplified block diagram shows the linear system with no dead-time. This simplification makes the system less inaccurate, but it can be applied for analysis purposes with no limitation. Time domain, and the frequency domain analysis will be done and the most important results will be presented and discussed.

220

KATONAI GÉPÉSZET


I. Szakirodalmi áttekintés A szabályozási rendszerek klasszikus irányítástechnikai elméleti vizsgálatával az [1, 2] könyvek foglalkoznak, míg a [3, 4, 5, 9, 13, 14, 15, 16] irodalmak a modern- illetve a poszt-modern szabályozástechnika új eredményeit mutatják be részletesen. E források bemutatják az irányítástechnikai alaptagokat, a zárt szabályozási rendszereket, és azok vizsgálatát úgy idő-, mint frekvenciatartományban. A könyvek részletesen tárgyalják a modellezéshez használt matematikai modelleket is, valamint számos számítási mintafeladatot is bemutatnak. A szabályozási rendszerek érzékenységvizsgálatával a [2, 8, 10] irodalmak foglalkoznak behatóan, és az elméleti ismeretek összefoglalása mellett mintafeladatok megoldását is bemutatják. A szabályozási rendszerek előzetes tervezését, valamint numerikus analízisét a [6, 7, 11, 12] irodalmak tárgyalják. Az előzetes tervezést úgy klasszikus, mint modern módszerekkel is lefolytatják.

II. Az automatikus sebességstabilizáló rendszer irányítástechnikai vizsgálata A gépjármű sebességstabilizáló rendszer egyszerűsített, lineáris, holtidő mentes hatásvázlata az 1. sz. ábrán látható [8, 10].

1. sz. ábra. Automatikus sebességstabilizáló rendszer hatásvázlata KATONAI GÉPÉSZET

221


Az 1. sz. ábrán: — a stabilizálni kívánt sebesség operátoros alakja; — a gépjármű sebessége; — külső (zavaró) terhelő nyomaték; — a szabályozó erősítési tényezője; — a szabályozó időállandója; — a motor és a jármű típusától függő erősítési tényező; — a motor időállandója; — erősítési tényező. Az 1. sz. ábrán látható sebességstabilizáló rendszer paramétereire igaz, hogy [8, 10]: V R (s ) V (s) D(s) K SZ TSZ  0,1 s K M  (10  1000) TM  20 s KT

K SZ K M »1

(1)

Ismerve a motor erősítési tényezőjének korábban bemutatott értéktartományát, a szabályozó erősítési tényezőjének értékeit — a későbbi vizsgálataink céljára — válasszuk meg az alábbiak szerint: K SZ1  10; K SZ 2  20; K SZ3  30

(2)

Ismerve az 1. sz. ábrán bemutatott zárt szabályozási rendszer identifikált modelljét, annak paramétereit, a rendszeranalízis, valamint érzékenységvizsgálat már könnyen elvégezhető [16].

II.1. A sebességstabilizáló rendszer analízise frekvenciatartományban Bontsuk fel az 1. sz. ábrán látható hatásvázlatot az ellenőrző jel szakaszán, és határozzuk meg a felnyitott szabályozási rendszer eredő átviteli függvényét, majd a Bode-diagramját. A felnyitott szabályozási rendszer átviteli függvényét a következő egyenlet adja meg:

YF (s ) 

K SZ KM 1  sTSZ 1  sTM

(3)

Ismeretes, hogy a Bode-diagramok segítségével eldönthető a zárt szabályozási rendszer stabilitása, valamint megítélhető a zárt szabályozási rendszer időtartománybeli viselkedése, illetve annak minőségi jellemzői is [11, 12]. Az automatikus sebességstabilizáló rendszer Bode-diagramja a 2. sz. ábrán látható. 222

KATONAI GÉPÉSZET


2. sz. ábra. A sebességstabilizáló rendszer Bode-diagramja A 2. sz. ábrán jól látható, hogy a felnyitott szabályozási rendszer erősítéskörfrekvencia jelleggörbéje úgy az 1/TM=0,05 1/s, mint a 1/TSZ=10 1/s törési körfrekvencia értékeknél egyaránt -20 dB/dekád törést szenved. Az erősítési jelleggörbe tehát -40 dB/dekád meredekséggel metszi a vízszintes tengelyt. Az erősítési tartalék végtelen értékű, míg a fázistartalék 35,2 fok. Mivel úgy az erősítési, mint a fázistartalék pozitív értékű, ezért a Bode-stabilitási kritérium alapján a zárt szabályozási rendszer stabilis működésű [1, 2, 3, 10, 16].

II.2. A sebességstabilizáló rendszer analízise időtartományban Vizsgáljuk meg a zárt szabályozási rendszer viselkedését időtartományban. Vizsgálatainkat két esetre korlátozzuk: az első vizsgált eset legyen a gépjármű gyorsítása, míg a második eset legyen a gépjármű lassítási folyamata. Tekintsük bemeneti jelnek a VR(t)=1(t) egységugrás jelet. A gyakorlatban ez azt jelenti, hogy forgalmi, vagy egyéb más okok miatt a sebességet KATONAI GÉPÉSZET

223


hirtelen egységnyi értékkel meg kell növelni, gyorsítani szükséges a gépjárművet. A sebességstabilizáló rendszer átmeneti függvénye KSZ=10; TSZ=0,1 s; KM=100; TM=20 s esetére — a 3. sz. ábrán látható [11, 12].

3. sz. ábra. A sebességstabilizáló rendszer átmeneti függvénye

A 3. sz. ábrán jól látható, hogy a sebességstabilizáló rendszer meglehetősen nagy túllendüléssel követi az alapjelet, a túlszabályozás értéke   35 % . A tranziens idő —    5 % -al számolva — ttr  0,5 s , ami meglehetősen kis értéknek mondható, még egy viszonylag kistömegű gépjármű esetén is. Vizsgáljuk meg a gépjármű lassítási folyamatát. Legyen a követni kívánt alapjel időfüggvénye exponenciális, vagyis: V R (t )  e 3,5t

(4)

A zárt szabályozási rendszer referencia jele, a zárt rendszer exponenciális bemeneti jelre adott válaszfüggvénye, valamint a hibajel időfüggvénye a 4. sz. ábrán látható. 224

KATONAI GÉPÉSZET


4. sz. ábra. A zárt szabályozási rendszer időfüggvényei

VR (t ) — referencia jel; V (t ) — válaszjel; dV (t )  VR (t )  V (t ) — hibajel A 4. sz. ábrán jól látható, hogy a zárt szabályozási rendszer leköveti a referencia jelet, és néhány előjelváltó lengés után —    5 % -al számolva — t tr  0,8 s alatt lecseng az átmenetei folyamat. Elmondható tehát, hogy a sebességstabilizáló rendszer a referencia jel egységnyi értékű, exponenciális jellegű változását az alapjel körüli lengő mozgással ugyan, de leköveti.

II.3. A sebességstabilizáló rendszer érzékenységvizsgálata A zárt szabályozási rendszerek egyik fontos jellemzője azok paramétereinek változására vonatkozó érzékenysége. A szabályozott szakasz dinamikáját jelölje a G (s) átviteli függvény, míg a visszacsatoló ág átviteli függvényét jelölje H (s) . A szabályozási rendszer egyszerűsített hatásvázlata az 5. sz. ábrán látható. Könnyen belátható, hogy a szabályozott rendszert a külső fizikai környezet állandóan hatása alatt tartja, maga a szabályozási rendszer elöregedése, a modellezés során elhanyaKATONAI GÉPÉSZET

225


golt tényezők alapvetően befolyásolják a rendszer működését. A nyílt hatásláncú vezérlési folyamatok esetén ezek a hibák, és paraméterbizonytalanságok a kimeneti jel nem kívánt megváltozását eredményezik. A zárt szabályozási rendszerek esetén a rendszer érzékeli a kimeneti jel megváltozását, és igyekszik a hibák, paraméterbizonytalanságok okozta jelváltozásokat megszüntetni. A zárt szabályozási rendszer egyik fontos ismérve, hogy igyekszik minimálni a rendszer hibákra, és paraméterbizonytalanságokra vonatkozó érzékenységét [1, 2, 8, 10].

5. sz. ábra. A szabályozási rendszer egyszerűsített hatásvázlata

Legyen a zárt szabályozási rendszer alapjelre vonatkoztatott eredő átviteli függvénye a következő alakú:

W ( s) 

Y ( s) R( s)

(5)

Definíció szerint a rendszer érzékenysége a zárt szabályozási rendszer átviteli függvénye relatív megváltozásának, és a rendszerdinamika relatív megváltozásának hányadosa, tehát:

S ( s) 

W ( s ) / W ( s ) G ( s) / G (s)

(6)

Ha a változások értéke minden határon túl csökken, akkor a (6) differencia-egyenletet az alábbi módon is felírhatjuk: S ( s) 

W / W W G  ln W   G / G G W  ln G

(7)

Fejezzük ki a zárt szabályozási rendszer átviteli függvényét az előre vezető ág, és a visszacsatoló ág eredő átviteli függvényeivel. Az alábbi egyenletet kapjuk:

W ( s)  226

G( s) 1  G (s ) H ( s)

KATONAI GÉPÉSZET

(8)


A rendszerdinamika G(s) átviteli függvényére vonatkozó érzékenységi függvény az alábbi összefüggés alapján számítható:

S GW 

dW G 1 G 1   2 dG W (1  GH ) G /(1  GH ) 1  G ( s ) H ( s )

(9)

A visszacsatoló ág H(s) átviteli függvényére vonatkozó érzékenységi függvény a következő egyenlet segítségével határozható meg: S HW 

dW H G2 H G ( s) H ( s)   2 dH W (1  GH ) G /(1  GH ) 1  G( s) H ( s)

(10)

A gyakorlatban előfordul, hogy az érzékenységet vagy a G(s), vagy a H(s) átviteli függvény valamely tetszőleges  paramétere szerint kell meghatározni. Ilyenkor az érzékenység meghatározására az ún. láncszabályt alkalmazzuk, amely szerint igazak az alábbi összefüggések [1, 2, 8, 10]: H SW  SGW SG , S W  S W H S

(11)

ahol: SG 

G / G G  H / H H   , S H    /   G  /   H

(12)

Ha a zárt szabályozási rendszer eredő átviteli függvénye racionális törtfüggvény alakú, vagyis

W ( s,  ) 

N ( s,  ) , D ( s,  )

(13)

ahol  a külső környezet változása miatt megváltozó rendszerparaméter, akkor az érzékenységi függvény meghatározása történhet az alábbi összefüggés szerint is [8, 10]: SW 

 ln W  ln N   ln   ln 

 0

 ln D  SN  SD  ln   0

(14)

ahol  0 a rendszerparaméter nominális értéke. Vizsgáljuk meg az 1. sz. ábrán látható zárt szabályozási rendszer érzékenységét. Tekintettel a rendszer felépítésére, az érzékenységvizsgálat a KSZ, a TSZ, a KM, és a TM paraméterek alapján történhet meg. TekintetKATONAI GÉPÉSZET

227


tel a cikk elméleti jellegére, a továbbiakban csak a KSZ és a KM erősítési tényezőkre vonatkoztatott érzékenységi függvényeket vizsgáljuk meg.

II.3.1. Érzékenységvizsgálat KSZ változása esetén A sebességstabilizáló rendszer 1. sz. ábrán látható hatásvázlata alapján a zárt szabályozási rendszer alapjelre vonatkoztatott eredő átviteli függvényét az alábbi egyenlet alapján számíthatjuk ki [16]:

W (s) 

V (s) VR ( s )

D ( s ) 0

K SZ KM 1  sTSZ 1  sTM  K SZ KM 1 1  sTSZ 1  sTM



100 K SZ 2 s  20,1s  (1  100 K SZ ) 2

TSZ  0 ,1 s K M 100 TM  20 s

(15) A (7), és a (15) egyenleteket felhasználva a zárt szabályozási rendszer KSZ erősítési tényezőre vonatkozó érzékenységi függvénye a következő lesz: SW K SZ 

dW K SZ 100( 2 s 2  20,1s  1)  dK SZ W ( 2 s 2  20,1s  (1  100 K SZ )) 2 100 K SZ

K SZ



2

( 2 s  20,1s  (1  100 K SZ )

2



2 s  20,1s  1 2 s 2  20,1s  (1  100 K SZ )

(16) Vizsgáljuk meg a (16) érzékenységi függvény viselkedését a frekvenciatartományban. KSZ1=10, KSZ2=20 és KSZ3=30 erősítések esetén az érzékenységi függvény Bode-diagramja a 6. sz. ábrán látható. [11, 12] A 6. sz. ábrán jól látható, hogy kisfrekvenciás tartományban kicsi az érzékenységi függvény értéke. E tartományban, vagyis az   30 rad / s esetén a KSZ erősítési tényező növekedése az érzékenység csökkenését eredményezi, ami kívánatos. Nagyfrekvenciás tartományban, amikor   80 rad / s , az érzékenységi függvény értéke, függetlenül a KSZ erősítési tényező értékétől, megnövekedett értékén állandóvá válik. Nem szabad azonban szem elől téveszteni, hogy a KSZ értékének az érzékenységi függvény minimálása céljából történő növelése nem történhet minden határon túl, mert az erősítési tényező növelése a szabályozási rendszer egyéb minőségi jellemzőit (pl. túlszabályozás, lengésszám, tranziens idő, csúcsidő) akár oly mértékben is leronthatja, hogy az már nem tesz eleget az előírt minőségi követelményeknek. 228

KATONAI GÉPÉSZET


6. sz. ábra. Az S W K SZ érzékenységi függvény

II.3.2. Érzékenységvizsgálat KM változása esetén Határozzuk meg a II.1. látható zárt szabályozási rendszer alapjelre vonatkoztatott átmeneti függvényét a KSZ erősítési tényező változása esetén. A keresett átviteli függvény a következő egyenlettel adható meg [16]: K SZ KM 1  sTSZ 1  sTM V ( s) W ( s)   K SZ KM VR (s ) 1 1  sTSZ 1  sTM



10 K M (17) 2 s  20,1s  (1  10 K M ) 2

TSZ  0,1 s K SZ 10 TM  20 s

A (7) és a (17) egyenletek alapján az érzékenységi függvény könnyen kiszámítható: S KWM 

dW K M 100( 2s 2  20,1s  1)  2 dK M W (2 s  20,1s  (1  100K SZ )) 2 100 K SZ

K SZ



2

(2 s  20,1s  (1  100K SZ )

2



2 s  20,1s  1 2s  20,1s  (1  100K SZ ) 2

(18) KATONAI GÉPÉSZET

229


Vizsgáljuk meg a (18) érzékenységi függvény viselkedését a frekvenciatartományban különféle KM erősítési tényezők esetén. Legyen KM1=100, KM2=300 és KM3=600 értékű. Az egyes erősítésekhez tartozó érzékenységi függvények Bode-diagramja a 7. sz. ábrán látható [11, 12].

7. sz. ábra. Az S W K M érzékenységi függvény A 7. sz. ábra alapján megállapítható, hogy kisfrekvenciás tartományban kicsi az érzékenységi függvény értéke.   30 rad / s esetén a KM erősítési tényező növekedése az érzékenység csökkenését eredményezi. Ha minden határon túl növelhetnénk a vizsgált erősítési tényezőt, akkor a rendszer kisfrekvenciás tartományban gyakorlatilag érzéketlenné válna a motor paramétereinek olyan jellegű változására, amelyek az erősítés változását eredményezik. Közepes frekvenciatartományban a KM erősítési tényező növekedése az érzékenységi függvény értékének a növekedéséhez vezet, ami nemkívánatos jelenség. Nagyfrekvenciás tartományban, amikor   100 rad / s , az érzékenységi függvény értéke, függetlenül a KM erősítési tényező értékétől, az erősítés változásától gyakorlatilag függetlenül, állandóvá válik. 230

KATONAI GÉPÉSZET


III. ÖSSZEFOGLALÁS, KÖVETKEZTETÉSEK A cikk a gépjárművek automatikus sebességstabilizáló rendszerével foglalkozik. A szerző egy hipotetikus rendszervázlaton keresztül bemutatta a sebességstabilizáló rendszer irányítástechnikai vizsgálatának fontosabb lépéseit. A szerző egy tipikus gyorsítási, és egy lassítási folyamatra sebességstabilizáló rendszer időtartománybeli analízisét. A szerző röviden összefoglalta zárt szabályozási rendszerek érzékenységvizsgálatának fontosabb alapösszefüggéseit, majd megvizsgálta két tipikus rendszerjellemző, a KSZ és a KM erősítési tényezők érzékenységfüggvényeit. A szerző megállapította, hogy kisfrekvenciás tartományban az erősítési tényezők növelése csökkenti az érzékenységet, viszont az időtartománybeli minőségi jellemzőket lényegesen lerontja. Eme ellentmondás feloldása csak kompromisszumos megoldással érhető el: olyan erősítési tényező értékeket kell választani, amelyek egyrészt biztosítják a megfelelő érzékenységet, és a stabilis működés mellett az időtartománybeli minőségi jellemzők sem romlanak oly mértékben, ami már nem megengedett. A szerző a rendszeranalízist lineáris, holtidő mentes szabályozási rendszerre végezte el. Érdekes téma lehet az üzemanyag betáplálás holtidejének, vagy a gyújtórendszerek holtidejének figyelembe vétele a szimuláció során. FELHASZNÁLT IRODALOM [1] Kuo, B. C.: Automatic Control Systems. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1982. [2] Солодовников, Β. Β.–Плотников, Β. Н.–Яковлев, Α. Β.: Основы теории и элементы систем автоматического регулирования. Машиностроение, Москва, 1985. [3] Ogata, K.: Modern Control Engineering. Prentice-Hall International, Inc., 1990. [4] Brogan, W. L.: Modern Control Theory. Prentice-Hall International, Inc., 1991. [5] Kuo, B. C.: Automatic Control Systems. Prentice-Hall International, Inc., 1991. [6] Ogata, K.: Designing Linear Control Systems with MATLAB. Prentice-Hall, International, Inc., 1994. KATONAI GÉPÉSZET

231


[7] Ogata, K. Solving Control Engineering Problems with MATLAB, Prentice-Hall, International, Inc., 1994. [8] Dorf, R. C.–Bishop, R. H.: Modern Control Systems. AddisonWesley Publishing Company, Reading Massachusetts, Menlo Park, California, 1995. [9] D’Azzo, J. J.–Houpis, C. H.: Linear Control System Analysis and Design — Conventional and Modern. McGraw-Hill, Inc., 1995. [10] Dorf, R. C.–Bishop, R. H.: Modern Control Systems. Prentice Hall International, Upper Saddle River, New Jersey, 2001. [11] MATLAB 6.5 — The Language of Technical Computing. User's Guide, The MathWorks, Inc., 2002. [12] MATLAB — Control System Toolbox 5.2. User's Guide, The MathWorks, Inc., 2002. [13] Franklin, G. F.–Powell, J. D.–Emami-Naeini, A:. Feedback Control of Dynamic Systems. Prentice-Hall, Pearson Education International, 2002. [14] Stefani, R. T.–Shahian, B.–Savant Jr., C. J.–Hostetter, G. H.: Design of Feedback Control Systems. Oxford University Press, New York–Oxford, 2002. [15] Nise, N. S.: Control Systems Engineering. John Wiley & Sons, Inc., 2004. [16] Szabolcsi, R.: Modern szabályozástechnika. Egyetemi jegyzet, Zrínyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem, 2004.

232

KATONAI GÉPÉSZET

AZ AUTOMATIKUS SEBESSÉGSTABILIZÁLÓ RENDSZER NUMERIKUS VIZSGÁLATA NUMERICAL ANALYSIS OF THE AUTOMATIC SPEED CONTROL SYSTEM

Recommend Documents