( KUMruLAN
UNDANG.UNDANG NOMOR 7 TAHUN 1987
RUMUS TEKNIK
Tentang
pasal 44
Barangsiapa dengan sengaja
oleh
dan tanpa hak
K. Gieck
mengumumkan atau memperbanyak suatu ciptaan
atau memberi izin untuk itu,; dipidana
dengan pidana penjara paling lama 7 (tujuh) tahun dan/atau denda paling banyak Rp. 100.000.000,00 (seratus juta rupiah). (2) Barangsiapa dengan sengaja menyiarkan, mema-
merkan, mengedarkan, atau menjual
kepada umum suatu ciptaan atau barang hasil pelanggaran
Cstrho keenam
Hak Cipta sebagai mana dimaksud dalam ayat (1),
dipidana dengan pidana penjara paling lama 5 (lima) tahun dan/atau denda paling banyak Rp. 50.000 000,00 (lima puluh juta rupiah)
I
I
PT PRAI}TEA BRA}ITTA JAKANTA
I
( (
Hak Cipta
(1)
(
Perpustakaan Nasional : katalog dalam terbitan (KDT)
Kata pengantar
GIECK, K Makrud dari kumpulan rumus-rumus teknik ini adalah untuk menyediakan sebuah podoman yang ringkas. ielas dan mudah digunakan untuk msnelaah rumus-rumus taknik dan matematik
Kumpulan rumus tekniVoleh K. Gieck; terjemahan Inggris oleh J. Walters; penerjemah. R. Slamet Brotodirejo, Heryanto Slamet, Cet.6 Jakana: Pradnya Paramita, 2005 xiv, 353 hlm.; 14 cm Edisi Inggris ke-6 tahun 1985. ISBN 979-408-229-5. I. Teknik, Ilmu-Rumus. I. Judul. II. Walters, J. III. Brotodirejo, R. Slamet. IV. Slamet, Heryanto
Setiap pokok persoalan yang berbeda telah digobur ;":::_ scbuah hurul besar. Rumus-rumus y8ng berbeda-beda telah di kelompokan di bawah huruf-huruf kecil yang sesuai serta diberi nomor yang berurutan. Metode inl memungkinkan untuk memberi tanda kepada rumus.rumu! yang digunakan dalam setiap perhitungan khu-
620.002 l2
9Jl.
Kata pengEntar Edisi Revisi Keenam
$rr
Untuk edisi kc6 telah diperluas dan disempurnakan. Sgbuah Bab baru mengenai STATISTIK telah dimasukkan, mengingst pontingnya perkembangan dalam hubungannya dengan distriburi kamungkinan pengswassn kualitas dan keandalan.
/*'/ tfurlrf (zcvi7 -
Transformasi-transformasi Fourier dan l-aplace telah ditambehkan dalam Bab yang disebut ARITMATIKA bersama dengan sebuah Bab mengenai pecahanf ecahan sebagian.
KUMPULAN RUMUS TEKNIK Oleh
:
K. Gieck
K. Gieck
Terjemahan Inggris oleh : J. Walters B. Sc (eng). C Eng.,
Judul asli : A. Collection of Technical Formulae Edisi Pengetahuan 1985 dari edisi ke-66 Diindonesiakan oleh : R. Slarret Brotodirejo Heryanto Slamet o Cieck Verlag, HeilbronrliN. West Gcrmany o Hak Cipta edisi bahasa Indonesia pada : PT Pradnya Paramita
JalanBunga8-8A Jakarta 13140
Cctakankeenam: 2005 Dicetak
I
L
oleh : PT. Perca
M.l. Mach.
E.
I ( / I
DAFTAR ISI Satuan
s (
Luas
llmu ukur ruang Aritmatika
(
Fungsi Iingkaran
llmu ukur analisa Statistik Hitungan diferensial Hitungan integral Persamaan diferensial Statika Kinematika Dinamika Hidrolika Panas
Kekuatan Bagian dari mesin Teknik produksi Teknik listrik
Fisika radiasi
llmu kimia Tabel
t
I
( (
{ Referensi bagi DS, DIN dan VDE BS
British Standards lnstitution (Alamat: 2 Park St., LONDON W 1 A 2 BS)
DIN
Deutsches lnstitut fur Normung (Alamat: D-l000 B ER LIN 30, Postfach
VDI
Verein Deutscher lngenieure
(Alamat: D4000 OUESSELOORF
1.
11
(
07)
(
Postfach 11391
(
Metode Penyajian dan Penggunaan Satuan-satuan Sebagian besar persamaan?ersamaan dengan ielas mengemukakan hubungan-hubungan fisik yang mereka terangkan dan tetap berlaku tanpa mengindahkan sistom satuan{atuan yang digunakan, asal saja mereka itu dalam keadaan tetap, Beberapa persamaan berasal dari pengalaman dan pengamatan, dan satuan6atuan yang diambx'l harus digunakan dalam rumus untuk memperoleh hasil yang besar; hal ini sebagian besar dapat
dijumpai dalam Bab O dan Bab R.
Untuk selanlutnya ditetapkan penggunaan cara penulisan Stroud pada lvaktu menghitung dengan rumus-rumus, yaitu kuantitas dan satuan keduaduanya ditulis sebagai pengganti suatu rimbol yang ditentukan dan perhitungan selanjutnya mdibatkan cara pengaturan penempatan angkaangka dan satuan€atuan bersama. sama
-
Sebagai contoh, ambillah persamaan
Jika s (jarak) v (kecepatan) maka t sehingga t
123:
(
s
= 2.8 meter = Smeter/detik _ 2.8 meter x detik I meter = 0.35 detik (waktu) tanpa satuan meter
Di sini jelas tiahwa f akan mempunyai satuan waktu, bilamana tidak demikian, maka meniadi nyata, bahwa suatu kesalahan telah dibuat, dan pekerjaan penyelesaian soal itu perlu diteliti. tx
t
I Sebasai alat bantu dalam banyak kejadlan, dlambll
trturnrltu!n
yang telah diketahui sebelumnya, dengon manggunakan tanda singkatan
"EU" (- Example-Unitl yang borarti: tatuan contoh.
Bilamana nilai-nilai berbentuk angka (numerikl dan retuantstu. an termasuk di dalam perhitungenparhitungan, mlkr lkuivalsnekuivalen atau dsfinisideflnisinya rsbolknya dltullr redernlklan rupa. rehlngga meraka ltu tldak momlltkl ukur.n (t!np. dlmonrl) dan bernllal 1.0. Dalam bontuk rap.rtl lnl mcrokr krdbng-kadrng dlrebut rebagal "lkatan kcutuen" (Unlty Brrckrbl d.n pcnggu.
nunny! daprt dlkorJrkrn drngrn tl$ c.r!l dongln ratuan trtlp, parramaan a 6 1 km 10lm
.
persamaan a 62
12in .
1
dldaprt!-
lt
didspar,-
persamaan a 90
778.6
ft
lbf -
didspst
1 Btu
misalnya, untuk mengub$ 14.7
t
lbf/ln'
,0,lfl = ,4.7 i:{ [#]'-
ke
I r xm'l
0.102ksf
3.281
perramaan a 1 10
1
Btulb -
0:556 kcaUkg
F n
F-
rz'roo S = 2'r7i$ [o.roz xotl
. L-trfj -
.4 cm.
=
rooo
=
98'l
I rm
'l
L 3r8, r,
l
I o.sso rcat tu I didapatl"L tkSBr, I
rgf I s ar N I [ro' ".,1 fr
uN
I
il[Ltke,JLrm,Jlro'HJ
F
_"__..-
I
rs,rur I
,-[H] dtdapot , -[ffi
yansmenladr
]
ma, peroamaanml.
3rb,
2.5
!82 [g1r*!s-l[__,._l lrb L
L_Ud
JL3.28trrJIicC
r 2'5 r 0.4538 11
3
-
3.28r
t.036 N
yang manr merupakan satuan gsya.
Misalnya, untuk mengubah 1000 kgf/cm2 ke satuan S.1.,
looo
rN-1ke.+p in r ksr - I ke ,0.8t *
lbf/ft'
didapat'l
L ,_F
'
Dongan cara ysng rema, Satuan Newton ditotapkan oleh pe6a-
[r+*,,-]
didapat 1
ft
-
moon
[#]
perramaan a 65
1m -
I
Scbogrl contoh, untuk mcndapltksn gaya dalam ukuran ratuan S.l. dlmanc rebuah marra reberar3 lb diberl psrcapatsn roborrr 2.51t1.1 kerjakanlah rebegal berlkut :
Lr. l
dalam konversi di sntara berbegsi rirtem satuan, persamaan a 36
1N -
tLlam pcnggg66an dcf lnirldcllnlrl : I lbf cdalah botrr gry! di mana rebuah mara tebesar I lb dibcri p€rcopamn teberar 32.t 74 ft/r, . meniedi , lbl I lb 32'l;; [sz'rz'l ru rtl
Kuantitar Dasar dan Satuan Dasar pada Ukuran Sistem lnternasional darar Kuantltas
nama
rlmbol
d8S8r sOtusn
nama
(huruf ltellc)
penjang m83SA unktu arur listrik whu absolut jumlah zat
I m
t
I T n
moter kilogram detik 8mp€ro kelvin mol candela
intantitar cahoys Iv (Saturn lams dlletakksn dalam ikatan []
)
simbol ( huruf tegak I m
kg s
A K
mol cd
( (
P t.mg!/d.y! ? efirlenrl
Daftar rlmbol
g
Ruang dan waktu
o. F, f sudut o sudut masif
,
D,Sleber
d,Ddiameter (diagonal I A.IItinggl I L panlang
P
(dircct
rtress) tegpngpn geser {rhear
rtress) P
takan6n normol
t
memanlang, regengsn
E
modulur ols3tlr lmodulur young) modulus kskakuan (modulur g6ser) momon ohanan lbeng-
iaftk
r.fl jaii-iari
s ,
togangan utama
jangkauan, perlmster ketabalan
kok!
u,U keliling
,4
Panal
T ( o
tuhu abrolut tuhu koeflrlen llner darl per
7
kooflrlon kubik darl pe.
muaian/ekspansi muaian/ekspansi
O arur panat atau aliran g kerapatan aliran panar g beraran pana3 por ratusn m€sta
O
kuantlt$ panat
cp prnas tpBlrlk
lua5, perumpang-llntang Aa pormukasn yang'ditim. bulkan
z
modulur rekrl
cv plnat 3p6ifik
ao
a
gays goser, beban grer r'eakri vertikal berat atau beban, usaha
y
luas permukean
y lsi t waktu u kecepatan linear ar kecepatan sudut a percepatan linear a percepatan sudut t percepstan gravitasi
Fenomena periodik dan
kaitannya
f / ,,
ro
I c
periode frekuensi kecepatan putar frekuensi sudut panjang galombang kecepatan cahaya
Mekanika
,a
maSsa
I
lerapatan 9.y., gay. bngsung
F
mornon torrl, momen
puntlr
v w U
T Ie
t z p Fo Irq
I tl
beban terbagl rata mornen inmla, momen kedua pa& luar momen lnersla polar konstanta torsi modulus raksi koefisien friksi sellp koefislen lriksi statis koeflslen friksi dsya dukung (bentalanl' radial koefisien friki daya dukung lbantalanl longi.
tudinal ' koof isien frlkri gelinding kakentalan (vlskorltas) dinamis kakentalan lviskorltar) klnematls
poda teka-
nan kaprtan
pada
volu.
me totlp porbandlng€n cp t€rhadap Cy
R I a
konduktivltss panas koefitlen pemindahan pa-
/<
koefisienpancaran/trans-
C u
konstsntr radia3i
konstanta ga!
na3
mbl panar volume spetlfik
Lirtrik dan magnet
/ arul .l kerapoton rrur Y, tegEngEo
Uq tegEngan rumber
R prhrf,n n (rclltbntll C kofldqkbnrl Q kuanttur llrtrlk (lrl) C kaparltanrl D perplndshsn dldektrlka E kekustsn medan lbtrlk O flukr in.gnot a lndukrl nrcgnet I lnduktantl I/ kekuatan med6n magnet e tirkulasl medan magnet ,/ tsgEngFn magnet R,
rerlrtanrl magnat
/V
fumlah lilitan Permeabilita!
d konduktansl magnet d panlang celah udara o kooflslen ruhu reclstansl r konduktlvlta 0 rerlnlvlta: 6 pcrmitivita! to permltlvitarabrolut €r pormltiviutsrelatif I
,/o
& P z A
d Z X
Pr
Pq Cu
pormeabilltas ab6olut
permeabilitasrelatip iumlah pasangan kutub jumlah peng8ntar kualltas,angkaongka baik-buruk sudut rugi impedansi reaktansi daya temu (samar) daya reaktif konstanta momen
c ( ( (
SATUAN
Radlarl rlnar dan elektro. magnet yang berkaltan
/c
4
intensitar paocar (radiant) lntenritar cahaya
0.
onorgl psncar
kuantltar rlnar
h k M G T P
E1 lredlcnrl
Ev
llumlnorl
lll
perrcaheyaan pancar (ra.
fl"
c n
pencahayaan rlnar (light exposure) radiansi luminasi kecepatan rlnar indeks refraktif (pem.
/ p
panjang titlk apl daya refraktlf (pembiassnl
= = = . .
da
cahaye
0v
E
deca = l0r heclo = .|02 kilo ='t0, m80a = 10. et98 - tOe tera n l0r, pot! E 10r! ox! ' 10tl
dlant exporurel
L" L,
biaran t
Ar d = d€cl ='10-l c = conti ='10-, m - milll =10-, mlcro . 10-t n-nEnO-to-t P'Plco'10-r, t - lemto ilO'!! !Illto.10-ll
al a2 a3
al a5 a6
'|
1pm
l0 -3 10- 2
1cm 1dm
r
10-
lkm
10!
106
10-5
lmm
103
102
't0-r 10-i
10-r
1
103
1
10.
10
105
t02
10
t0o
106
l0t
1
0-t
I 0-5
1
0-e
10
-?
10'l
1
t 10r
lll
nm
a 10
.ll i 12
a 13
I
14
a l5 a 16 a 17 a 18
I
lpm
10'r
,I
10'c
nm [r A]
l0'
lom
'I m? -1pm2 = lmm? = Icm? '| dm? = 1 km2
r
10-e
hmll -
"I
\-
10
I
I 0-6
10-.
l0-.
l
1
(
Satuan panjang rjan (sambungan) gan
lmm
t0-r0
ld I
to-r
l0-. t0-6 l0- 7
1
'to - 1:
10-6
l0'? 1
"
pm
l0'
l0e
[m A1 l0ro
10r 10
106
101
l0r
.1
10?
10. 10r
I
10
10-2
0-l
t0''
cm2
dm:
10"
102
1
m2 I p-, 106 t
0-5
l0'
r
't0-?
t0-'c l0-
'10.
105
1
10.
r0:
to-2
I
10'
10r0
10.
102
1
.t
1018
= Angsrrci-
06
't0',
Ur mi = r
XE
(
(
lrmlmm lm
I
l
Satuan panjang
a7 a8 a9
xtv
(
Kelipatan desimal dan pecahan pada satuan
@. daya psncar, flukr pencar
O, flukr
q
10'0
=I
108
X-satuan
' 2
't
1
t0 5 l0-,i
,10-'?
l0 "o
l0:r 1
SATUAN
SATUAN
Az
Ag
(
Satuan tekrnan Pa
Satuan volume ml
1 ml1mm:1cm!1 dm'I kml-
I 10-r
'10-. 1
0'3
10c
m-J I l0e 1
10r
103
't0-l
1
0-t
I
0-r
I
10. 10rt
10r
'I
l0ll
10r,
1
0't
10- rt
10- t5 10- 1?
t
!
19
r20 .21
!{l
dt= t=1Mg=
I
106
0-6
1
I
0-l
103
102
10,
10r
10e
s
l0r 0-.
1
1
10--?
I
0-r
1
0-t
1
0-e
1
0-t
t0-6
I
103 106
10
10-
|
1
I
a26 a27 a28
ms=
min
=
d=
1
10-e t o-6 I
O':
10e 1
108 |
tO-3 |
rO,
'I 'r
t17 r48
1 kcall
a30
03
r
6.66.10-l
e3t
1
6.66. I 0-6
s32
'I
a33
60,106
I |
60,103 3.6, 10'2 3.6,tOe 3.6,106 4' 10!2 86.4,10ri 86.4,106 86'4' 1 03 60 3600
60, 1 0e
1
60
a
440
a35
s49 a50
N= kN= MN=
,lldmt=1r=lliter
1
0-3 '|
103
t 0-6 1
0-r 1
l r,,
ru
02 0 102,
10
0.r02,106
10r !
rd
= 1 kgm/s2 = 1 Newton
a36 a37 e 3{l
'02r t (
0.0075 7'5 750 736
r'td
10.2 1,02
9.81rt0-, I 0.981 I 33rt0-r h.3ilr
t '36,
l[retm]
10-.
ll
Ircal]
[trp tt] 1.36
1
Wl,
l'58'10-t t
1
6:t2
kw
a60
1000
I kgl m/sl I kcal/hl t hpl
1
9.Ot
lg.B1,t6-rl
102 I 1
r.ro l1.r6,ro-tl 0.119 I 7361 0.736 I 75 I
860
1'36,10-t 1.36
8'43
13'3,'10-t
I
'1.58,10-r
632
1
Satuan rirassa untuk b'atu permata - 200 mg - 0.2x l0-rkg - t/5000 kO Satuan keindahan untuk loqam-looam mulia 24 karat A
[email protected] % | ia farat-a 75o.oo % 14 karat a 5m.gr % I ekarat A 3at.3at % Satuan suhu
, . (+, ztt.t))x.3,#;* t;ili:j.",t ),,Jl',L ,r'(+ { a5e'67)Rant 't,f n"^* 760 tott ,,,rl , -ZG+ - ,r)o..({- rzr'':)". '- (;,+ ' ,z)oF - (rh - 45s.67)oF o
T,
ra,
t
dan
t) 1
lorr
-
1/760
.
.
bsol' nol Celcius. Fahrenheit
lr
adalah suhu
atm
alJ-Nm-1Wc
-
- I mm Hg pads t - 0-C lotW-I.l/r'lNrvr
1.33322mbar
(
(
lt pl
1 karat
i50 a57
kw l[16 mrr]l [rzaun] to-, lo.rozl0.860
I
(
t0-0
367'td
0.736 lo.zz.td
(
'|
0,102
I
2.72.10-'I 1.16'10-t I 128.9
h'l
r55
a59
lavnl
0.1
hp
5.1
a56
[rst]
[torrl
Satuan tenaga
3,1
Satuan gaya (juga gaya gravitasi) N2)
I
a29
6.65''10-3 6.66,10- r2
1o-t
I 0'l
t
kwh
1 kgl ml
a
rO-.
Ja
a4E
853
106
.i
10-. I
kwh
J
s5!
ns
bar
Satuan uraha
a32
s=
r3it
.24 r25
Satuan waktu
ns=
10r 98 100
a23
Satuan massa
I
bar
.22
.45
kgm9=
I
,a? [txgtrtmr-164. r tl3 1 torrltt
a rt4
mg
1
rd
r40 1 lVmmt
103
l(g
Pr-1N/m'.
.39
cm3
Nlmmt I
l16:
m.3,
i(
SATUAN
SATUAN
Ar
Pcrubehrn Setuan lnggrbAmcrlke kc dalam ratuln metrik
&tun tln lrr lyd
t
Satuan kerja
12
'l
0.31lll3
3C
3
t l@4r10-'
lmm
328'r
tm
39.37 39370
lkm Srtuan
002778
r
3.28r 328r
1.094 1094
25.1 304.8 91a.4 1
1000 10.
.tl rt2 rt3
0'0254 0.30.18
0.914. 0'@r
I
'l
0-.
0.@1
1fi)O
't
.C4
rc6 etO
I
rl
laa
t
r200
9
cm' dm' m'
0.r55 15.5 1550
sq yd
3q r!
qyt!
cu in
cull cutd:
.772,1O-' 6.452
o.il11 I
m2
64.t 10-5 !67 o0929 .C8
9e,
9'29
8361
83.61
0.8361
e69
o01
0.000r 0.00r
t7O
1'197r10-'
I
o.r076
0.01196
r00
10.76
1.196
10000
cu
lt
l0-
I
cmJ
1728 1 40556 27 102 3a32, rO'.
dm3
6r.02
0'03532
61023
35.32
mt-
1
100
1
dram
1oz
1
cu yd
cmt
dmJ
m!
44r 0.037
16.39 28316
0.01639 2A-32
1.64.10-,
I
llb 19 lko lMg -
0.0283 0.7646
76r.55 0.oor
'l'3t' lO-r
I
0.00131 1.307
r000
I
1d
1000
r87 1J.lWs a88 a09 a90
0.1 383
7.233 0.7376
I 0.102
l kwh I kcal I BIU
r
1277
8,tq-
lrl
? 555.1 06
3.087' 778 6
r?t
.72
10
-.
o.oor 1
,73 .71
r75
.76 t77
.78
'I hP I a92 I k9l I 3.r 5.r 0'l a93 J/s . lW r 34r,10' a94 1341 a95 I kcalrs = 5 614 a96 1 Sluis = i 4l5 a 9l
a97 a98 a99 a100
al01 z1 a
02
103
al0.l a1 a
mar
1 dram
kwh 1.356 9 807 12.725.10
hO
dm'
cm2
Satuan ld
culn -
lrrtb lkglm
(
8tu
kcal -6
324,1 0
1.285.1
0-l
2.344.r 01.1 0- I 239,r 0-6 948.4.1 0-6 860 34 t3
426 9 107 5
1
3.968
0.232
1
Satuan tenaga
sq ln
Eeturn
a85 005
lul
rq ln !q tt
kgl m
I
rr tb
yd o.@3i}3
(
lanlutan dari A 4
Prnlrng ln
As
05
106
at 07
oz
I
0.0625
1.772 20.35 453.0
'I
t6 0.ut527 35.27 35270
0.003906 0.0625 't
0'002205 2.205 2205
(}001
1
l0@
1d
Mg
k9
0'0O177 I 1'77'10-' 0,02832 I 28.3"1 0_. 0..53r 14.53^tO_.
I
1 I
1o-. O00l
r000 bersambung ke A 5
a
.79 .00
108
al09 .1
l0
altl
.Cl .oil
al l3
e83
all{
e 0rl
al l5 al t6
al l2
Satuan lainnya l mri = l0'lrn 1 sq mrl = 10'6sq
lyard=3ll
x9t mrs
llrs-wl
76 04 I
7
45.7
I
807
I
000
0 r02 102 426.9 107 6
I
lo-r
0.1 782 0.7073 344,1 0 - 9.296,1 0-! 4.1 O -6 239,1 0 -5
1
0.239
4187
1
0 9484 3 968
055
1 055
o.25?
1
1
'I Mrl inggns - 1 760 'l mil (nautical) laLrr vds
I mil geograf ik t torr panlang . 2240 lt)
1 ton pendek (US) = 20OO lb 1 ton pantanq = 2240 lb 1 ton Pendek (US) = 2000 lb
1 imperial gallon 1 US gallon
I BTU,f,' = 9 547 kcaliml 1 BTU/Ib = 0.556 kcal/kg 1 lbl/fl?
= 4.882 kgl m2 I lbt/in2 (p.s r) = 0 0703 kgl,cml 1 chain = 2? yds
I Ouarter (GB) = 28 lbt 1 Stone (GB) = 1a 151
0.7 457 807,1 0 -
Elu/s
caUs
4187
rn
1 Hundredweroht (GB) (cwt)
k
=
112
= = = = = = = = = = = = = = = = = = =
0 0254 mm 645.2
pm?
0 914 m 1609 m 1852 m 7420 m
l016Md
0.9072 M9
996MN 9.00
MN
4 3 39
546 dml 785 dm! 964 kJ/ms
2:327 kJtkg 47.8924 N/mz 0 6896 N/cm2
20.11m 498 kN 124.5 kN
62'3 kN
(
(
Br bujur ungkar
A.ar
,Vt
(
d."{V
( ( iaiaran genlang
r . $1
r'T
(
. Ii^
raD
regitiga
.lffiDiGi
_l
LUAS
LUAS Segitiga rama riri
A.
Segi lima (pentagon)
{r,
b14
*vr
b15
t - ] ali.iF " - +,lto-6 e - i,tf-:ff konstru ksi
76 Segi enam (hekragonl
br0
bt7 b18
86. cD
-
cE
^d -, lsY; ?a
" - $o ,,
2as zs
a I
0.7a5 d2
b32
?xr
b33
f
b34
r (a + b)b
b35
D-d
-
b36 b19 b20
r'155s
b21
o.B65d
b22
0.8)s?
b23
Vll?
b 2.r
s lan22'50- O'115 s d cos 22 50- O.92,1 d .*r-lZE" = l o8]s
b37 b38 b39
(
= xd
(
{o' - a')
(
?
b40 b
4l
A
- ,fot'
d1
7'
_ b,
Sektor ling
2
u = ffi'"
-x = a le6do
(d = adi dalam lingkara^)i_],il
= ?r sln*
sur linqkaran
- *(5n:,+s') /r 2-
s?
b25
b42
b26
b43
a. = r(1-cosz)
b27
b44
lihat rumus b 39
th
b45
Segi banyak (poligon)
@
b3t
:
- 0.r,. 6c -
- fr" '
Segi delapan (oktagon)
Lingkaran
b30
A1+Az+At a hi+b fu +b 2
b28 A,
!' 46
b47 b29
.(;.+.?4.+)'^'' -
a-9 'Jl.dimana,l - a+o
ILMU UKUR RUANG c
Cr Kubus
6 a2
liTc
( ( (
Paralelepipedu m
(
11
l
ILMU UKUR RUANG
Cz Silinder
v - !a'n Am
'
2
t r
ILMU UKUR RUANG lt
c26
c12
c27
*n (: "' + 1.!' + h') ?r rh
ct3
c28
r(zrh.
c29
f^ti
c
h
Ao -- 2rr(r+hl
Silinder Kosong
r
Kerucut konus a2
v . !r'n Am I h
ct5
^ = A2t \
Kerucut terpancung
a
-'l l, \
= ?th2
{-m ,
12
\,1,,"
.
a'
*, ,' 1'r89 Ao
=
( 's2 . ,t')
T("'
z
(
4 hr)
*, o'
r' t
t72
(
Sektor
l^sn t'(o
v
c33
Ao
cm
c34
V
4nt b
c2l
c35
Ao
2th(R
(
s)
n
:"
v = $a(D'+Dd+d2) t^. +n(D+dl .2rph 1'
c3l c32
cll ctt
lfn2.r'
12-:!
?^rh
c16
' ' Ao = rr(r+ml r+
aa. b')
(r - ht t'
A2
c30
It
Cs
Bo Ia
dengan luEing-sil
inE,il
r..=+
r)
I
c2. Bola dengan lubang kerucut
c
a
c36
ln"n
c
a
c37
,^r(n,
D
t3
Cc
ABITMATIKA
ILMU UKUR RUANG
Pangkat dan
umum dt d2
lo'
d3 d4 d5
lrisan silinder
p a'!
g o".
1p
aD on ' fr, o f o"^
a
I
o
d6
)o'
o
B Angula
d6
v . l,'a
c /al
Aa'
c12
2rh
c43
d9
a
nt.--
d'ro
drr
Gentong (barrel)
i,
ntz
p' , d')
d\2
Vo^'
W G
-
Yt ta-l'
(l/"1=
a
otl
or'! .
d' o
'r
!
oF.rE a--
l/t o,
(*l
/o'
aaar -- \/t o ,l/ar
#=vi=z 6_
J-
V"" = V"'
o
."
-. ,W','--f, J
(
= ,,|/r
(i6'l= "* --ff '-
=
Vr
-,tidak dapat dioakai unruk) misalnya V(_?)r perhitungan
khusus
06
(+)'
br
= \tr.ltr [+
7o
(ot )' = (ot )r -
(*)"
Yo
a
ot/a'Eol-2.03 m
,WroF = tprilW
V", E:
'lo
ol, ot =
h-D
^"
.i7
+
oh'n
, n,m r to , . dn . 1/ao
IU '
contoh dengan angla
Lq)o"
, r.n (a ,
It
akar
=Vi = ,r, lV+-ll, ='-Z
'
Eksponen dari pangkai dan akar harus merupakan besaran ya tida k berdimensi!
v . i
r-
(1,
r rr r
4,r)
rumus ini dapat digunakan untu k perhitungan-perhitun yang menyangkur benda.be masif dalam gambar C1... C3 dan juga bola serta bagianbagiannya.
Persamaan kuadrat (persamaan pangkat dua) dl3 Bentuknormal y'+px+q = O -r.-_ d14
Penyetesaian rr.r i
dr5
Aturan Vieta
x. =
+t
lf{ -
o
Perhitungan berulang'ulang (iteratif) untuk akar ke'
Jika, -h,
maka, = * [,^-t1,. ;#-],
15
(
ARITMATIKA Pangkat, Akar
-
ARITMATIKA
Dz
Teorema Binominal
lanjutan dari Dl Di mana ro adalah nilai perkiraan pendahuluan dari x. Dengan memasukan nilai x yang didapat sebagai nilai baru dari 16 secara berulang-ulang, maka ketelitian dari harga x berangsu r-angsur men ingkat.
eerlu d17
dr0 d19 d20 d?1
d22 d23 d24 d25
(oIu)': = ottzob+b' (a t a;! . att,a2D+ JoD'! D, (o . D)" = on + o'-'o . o,-2 b. + i +* n(a:l r *' -1;i4)(3-2) o.q o'+ oi D" '" bn (o + b + c)2 = o' * ?ob + 2ag+ D,+ Zbc + c2 (o - b + 6)'? o2-2ab+2a.+0,-l!..", o'-b' o)+b) or-bl a"-bn
(o+b)(o-b) (o+O)(o'a-b+bz) (a - b)(a'+ ab+ bz) (o - b)(on-' + o^-2 b + o.-J
= = =
+ Obn-:+
...
(;),'.0,"'
d27
Eksponon: Penjumlahan dari e!'ponen a dan b untuk sotiap faktor yang berbeda adalah se.'na dengan eksponen z binomial. Apabila pangkat dari a b'trkurang maka pangkat dari D
d31
Taodt: (a+b)
akan bertambah. adalah selalu posil,p. adalah qositin oar a awalnya dan berubah dari faktor ke faktor.
(o + D)i - qs+ !o'D + lQotbl+ lQolDl+ 5oD(+ (o - 0)3 = +os- 5oa6 + lgotb'- l6orb'+ 5ob(-
6r
Koefisien ay,
b2 +
nl
D"-l)
dapat berupa nyata atau kompleks. Apabila adalah nol-nol denominator Q{x), maka bentuk dengan
laktor dari ylx) adalah:
yt,)-ffi-ffi
(n-rrr)')
dimana nol nyata atau nol komplek dari kt,kz... kq kali;qadalah faktor konstan.
A
(o * o)o(o r b)r (o + o1 I (o + b)l (o + o){ (o.+ o)5 (o + D)3
+
6ol b,
,lo.O!
Penyelesaian dengan diagram
+
D1
Untuk mempermudah penggunaan tegrasi, perluasan bih cocok.
segitiga pascal
1,ft) meniadi
Qft)
dapat teriadi
.r'1/x,/,
misalnya untuk in.
pecahan-bagian seringkali le-
1
I '|
I
5
ll 121 1 .lt
vG) =€{+i. )
t . f6--l--Tl r'.-i-i-o ---T-_15
?o
1,
1
5.1
Eerlanjut dengan setiap baris dimulai dan diakhiri dengan angka 1. Angka kedua dari awal dan kedua dari akhir, harus mc:':pakan nilai eksponen, dan angka-angka lainnya adalah jumlah dari angka-angka sebelah kiri langsung di atasnya.
dan kanan yang berada
T;;Fi
+
' x-ar'
(t-n)z
#-t ii *"''
'4*
b;;tt
F-Ari-
.4a
I
51
+h. #.;" A,, ATT
( (
Perluasan pecahan parsial
= q( + 46) 6 +
,6
(
DS
ylrr=!_(?T-ffi
d26 (a + b){
d29 koelisien
D:
Pecahan yang tepat untuk fungsi rasional P(r) !o+rirt + eyr'+.,.+a-r-
o.(;)""-, 0,.(!)."-,
/a\ _ a(n-t)(n-2) ... \^/ l,2r)...
d30
(a-b)
Teori Binomial
d26 (o *
Dg
Perluasan pecahan bagian dari fungsi-fungsi
nol-nol kompleks terjadi dalam pasangan-pasangan (penafsiran bilangan kompleks) bila Qft) mempunyai nilai koefisien yang nyata. Untuk perluasannya, pasanganfasangan ini meniadi pecahan bagian yang nyata. Apabila dalam d 33, iumlah 17
l.nruon d.rl
Oo
ARITMATIKA
angka yaog nol n2 - a-1 (n2adalah penal:iran komplekr pada zrl dan apabila, karena terjadinya pasanganfasangan itu fut12-1, maka pecahan bagian dari d 34 dengan konstanta
Att . . . Ato &pat
liut ini:
t#.
Untuk mendapatkan konstanta-kon3tanta Arr ko Aqrq 3aperti luga 8rr, Crr ke Strq Crr koefisien-koefisien pangkat yang sama dalam x pada persamaan di sebelah kiri, dapat dibandingkan dengan koefisien-koefi3ien di rebelah kanan, setelah diubah di dalam penyebut (deminator) bersama Q(x). Contoh: v
(, )'
F:,,:af*#fl;rF €#. ffi .
2:-l 8,rx ( r+ i),rGr ( r+l)r +Iqr( rr t) ( rr+2r+! Of,-I' 21-1. (ta+ 61,)rl + ().lqr + I.2+
.
)+
L,u.
&,
t.l l+2 r +51
28rr + C11)r, +
* 17 Ar, + 2,11 + Bt + ZCr, ): + jAlt + JAl + Ct Perbandingan koefisien-koefisien antara ruas kiri dan ruas kanan. atr
. -1/2;
Ctt
Umum
digabungkan dalam pecahan parsial berl-
(it##i'....*flffiy
- l/1'
l.t - 1/?;
A"2
- -)/1.
Apabila terdapat angka-angka nol tunggal n, maka konstanta A11, A21 ... Aq1 dari persamaan d 34 daprt dihasilkan de-
- p(n,)/Q'(ar) i .irr- p(^)/e'(^rl;...
berdasarkan
ststem
log
d
loq'o
o
d
fogro = 19 loge = ln log: = Ib
l0
log biasa
?
log biasa (natural)
d d
log dengan dasaro
log dengan dasar 2
2
Simbol di chlam log o
:
= b dapat
disebut
o
dasar
x. lawan logaritma o logaritma (log)
Rumus untuk perhitungan logaritma logo (r._v) = logo r + logo y
d41
d42
.:.oo
d43
'o loo
d41
roeo
I
(
logor - logoy
y xn
(
4 , 1oo
fi
-floo, a
-o
Persamaan eksponensial d45 d46
-
br
se
hi ngga
d
19 r
lr- p(aol/e,(a"l
In r
Idx
.rtaD
= . rosod I o - yi logo
b
n9an: 1,,
Dc
Logaritma
I
Konversi logaritma 19 e , ln t = O.434294x ln 19 r 2.302585 x 19
19. c
= 1.442695,rnx
=
3.321928x
lg
Dasar logaritma biasa e = 2.71'Zs1g?g4sfl. . .
d50 d51
d52 d53 d54
Kunci logaritma umum dari ribuan angka
tq 0'0,l Ig 0'l lS I 19 1O l9 l0O
= -2. = -1. = 0' = l. = ?.
atau O. ...-tO atau 9. ...-tO
I
dst
Cetatan: Lawan logaritma selalu harus merupakan sebuah kuantitas tanpa dimensl. 19
ARITMATIKA
Ds
Kombinasi, permutasi Permutasi
Suatu seleksi atau susunan yang diatua r, dari iumlah ll hal dikatakan sebagai "permutasi" dari rl hal dengan mengambil r pada suatu saat,
lanjutan dari D5
Contoh: Untuk n
- 3 hal di mana c, t,
c digabungkan, hanya
memberikan satu kombinasi aDc. Di sini n =
3.
r-
3.
. (i) -l;fi), - t. ": Tabel di halaman D6 membandingkan kombinasi-kombinasi sehingsa
dan
permutasi-permutasi (dengan atau tanpa pengulangan hal).
Jumlah d?ri permutasi ini dapat ditunjukkan oleh:
pn . n(a-r)(a-2)...(n-r+l),
r ^ >
(
hal dengan yang lainnya (yaitu 3 pada satu saat) dengan 6 langkah berikut ini:
abc bac cah ocb bu cln
(
di sini r = rt = 3
1,2,)=6
Pt-
Kcadaan khusus: iumlah permutasi dari n hal yang keseluruhan merupakan penggabungan nt bentuk pertama, nf bentuk lain dan, nr dari sebuah bentuk ke'r, adalah: o = tA.. n,!
,
nr!^l
(
n.!
, ...
Contoh: n = 3 hal a,a,bdapat dipermutasikan dengan 3 langkah beri kut ini :
aah aha
haa O= ' 1,2
=2,n2=1 _ 1.2')-1 1,2' 2! . l! di sinirr=3,nl
1
Kombinasi r dari fl hal lanpa memperdulikan susunannya dika "kombinasi" dari n hal dengan mengambil r pada satu saat seleksi
kombinasi ini dapat dituniukkan oleh
nt -n =;(^-:lr c.
/n\"' - \r/
n! diucapkan "n faktorial" Simbol biasa untuk koef isien binomial (lihat d 27)
20
21
I
)
I
Nf (')
N,
c
Catatan
kinan
kemung-
Juntlah
Jrada
tungan
Perh i-
Kcmungkinan
6E
6Q3 >o :nD -O oo,blbo oPo nf
o
!
Lt -
9-o 9_o6
Nf
S
?'
o
o
o
o
@
o
=@ YO JJ
"Lp-
I
s o j
ol-o
=
*c^,rl
a(a+l )"'(a+r-1
(". : - t) '' )
- n(n-l )..'(n-r+l )
e:'n*r - (r';' 'ei =
n'
I dengan
Jumlah permutasi
tanpa
pengulangan dengan memperha. tikan keadaan hal
c
0.1 rT--=
=(;)
\
t1
cc
oc
o
2 I
( ) ,z *"t -r -
oa oO 'bbbc
l6
I
)o 'fl
I
\ .x.
oJ
4 I
\f - A
F
.c l c
t+ \oa o\o I aoo rta ll+ ooo too D o.!\
o o ...LIar a+
+ .r '.
I
+ --+---i-l-
.a. ,
o oAI.o 1....r i t,..':, Oo'oC
tct 't
o3 _o
{
q
kombinasi sama
,!
(r-2)!
+
r o
o B
o L6
9PP ooa E!! ooo tta ltt ooo oo0 :!D ooo
l+
ooo tla
o'
o b.
o t.-
o o ct,2
b
oo oo oq
o
alt
[r
i
xhx .a + .' ooo tNn o <ES l++ ooo o but .a NNN o
ooa
c
o
o
c
o
o
@
ro
a o
o
J J
o
o I
o6
OD
iN
@
-s oEoJ o o 3 ,
9.
@
o o o
o 3
r
9-
o
rr
c
3 o
li
P
Io
t
!
o
I
i
oo
oo I..
I
b C
++ oo !i <s fln
f:xx
'!t
=!13. e3l
c
o.
: o ro
= o
:'o
3
3
o
-o -l
-.:
{
E'
A,
o
=
dr
o
[{ := TD
3
o)
d> rtr
(D
o o
I
I g
i$13
=-cEl5i =
?11.u
rlili >=
II IO
I )' o) <.n!l
":-.9
50 bb b( :o cb c(
lo ob o(
contoh ob dan 6a permu tasi yang berbeda sebagaa
G
- ,! t!
.'.?.r.,
.
e1- (f)z,
-oDac bo.bc co cb
') perhitungan menurut ke d 27
sebagai contoh ob dan bd merupakan
/l\ l. 2 \21 1'2
ob oc .bc
D.
l,=znatdipilihdari3halyangditentukan
Jumlah ksrnunqkinan kombinasi
n = 3 hal r,
o, rO -a roc k-r oai fl
E
dengan
p, Nomor pernyataan permutasi I ditentukan r: Jurnlalr hal yang clipilih darihal-hal yang ditentukan r
Cr
n. Jumlah hal vanq
rY : dengan pengulangan
h
t o
n
o
Pemberi
simbol
Penjelasan
Rumus
I
Jumlah kombinasi
tanpa
pengu langan, tairpa memPedu likan
ARITMATIKA Determinan dan persamaan linear
ARITMATIKA
Da
Dg
Deret Deret hitung
Determinan yang lebih besar dari orde ke-2:
(Aturan Sarrus, lihat 07, dapat digunakan untuk determinan-determinan dari orde yang lebih besar daripada orde ke-3). Dari penjumlahan atau pengurangan perkalian-perkalian yang sesuai dari dua baris atau kolom, dapat diusahakan untuk mendapatkan nilai-nilai nol. Kembangkanlah determinan dengan memulai dari baris atau kolom yang memiliki jumlah nol terbesar. Bolakbaliklah tanda-tanda faktor dengan mulai dari Ql I sebagai +.
Urutan 1, 4,7, 10 dan setorusnya disebut deret hitung. (S.lblh antara dua bilangan terdekat adalah konstanl. Rumus:
oa -
t73
,^'
o, + (a - t)d
+(o1r
6') .
o, r,
*
3!,!-E
Angka rengah deret hitung (arithmatic moan): Setiap bilangan dari deret hitung adalah angka tengah dsrct hltung a6 dari bilangran-bilangan terdekat o--r dan a..e
Contoh:
Maka, bilangan ke-rn adalah 0
ol d!t otr
dtt
9i.
arl
6'
+ +l orr-""'crr or,---" orll orr or.l o:, o., drr I o.r
- --
I
I
l::l
I
Qa '
d75
mus:
=!
9oz "" -
..".=ff
Untuk determinan dari orde ke.rr teruskanlah hingga mendapatkan determinan pada orde ke-3. 24
gn-l
.
(
grqn-oi
Angka tengah deret ukur lgeometric meanl: Setiap bilangan dari deret ukur adalah angka tengah darat ukur
-.,.( )
Untuk membentuk determinan Dr,.D2 . . . (lihat D7), masukkan kolom r untuk yang pertama, kedua, . . . dari D, dan buatlah evaluasi dengan cara yang sama seperti untuk D. Untuk determinan pada order ke a, dapatkan tr1 dari ru.
",
o, gn-t
!-^-tg-lq-l - .
:::l)
(
Rumus:
Pengembangan lebih luas sebagai:
.",,1::;
(
Urutan 1 ,2,4,8 dan seterusnya disebut sebuah der6t ukur (Haril dari dua bilangan terdekat adalah konstanl.
+t
otr
:::
I
= o,,(",,1::l ::: -",,1::i I
t
Deret ukur
!
D
untuk
o,-!#.?)
(misalnya, dalam deret di atas)
Pengembangan pada kolom ke-4:
I
o-..]*
171
!tr "'
otr ""
(
a^
dari bilangan-bilangan terdekat
a.-r
dan a6-r'
Maka bilangan ke-m adalah
d76
o^-
w; "*
(misalnya dalam deret di atasl
Untuk deret ukur tidak terhingga {r-*; rumusan berikut ini: (ta'Ila6r-O; ^+@
untuk
or
l
. /e,G. . rl
l9|< 1)
berlskupc.
I '". l3;". orTli
Der.t ukur-d..lnal
Pinerapan untuk menghhung perkalian de,ot-angk! ttrndrr dlti dua bilangan yang berdekatan disobt t "porblndingln progrcdf
{progressiie ratiol O"
25
jumlah bilangan jumlah sampai n bilangan hasil bagi dari dua bilangan terdekat
bilangan awal bilangan akhir selisih antara dua bilangan terdekat
Deret binomial d80
e = tlo:
f(x)
. (r r r)o .
"(?),
. (;)u r (;),,,
..
dapat bernilai positif ataupun negatif, dapat berupa angka bulat atau pecahan. Perluasan dari koefisien binomial : a
integer b menentukan jumlah bilangan, atau jumlah dari angka standar sebuah deret di dalam satu dekade. Nilai-nilai bilangan yang harus dibulatkan, dihitung menurut d 77:
1a\ -_ o(a - t)(a - ?)(a - ))...
\a/
(a - n + t)
Contoh:
= Contoh-contoh
b
... I R5.
En. e24,... R 10. R20.
...
mtern, dere( deret DlN. lihar R
J:) -t
I
100 atau.. cat.atan
6, 12,24,... I ee. 5. 10, 20,
n = 1...b da2
TT; ln-m
I
d83
'|
)'i:?
I
! r)r . !
. (t 1x)'.
rtlrr-*t' I ++r r;/
Oeret d
8,1
11x)
d85
(L =
'lf" +
(
*e"
taylor
,+
- t(a). ';1"' ,.
memasukkan
(
(r - o).
( r
0 akan menghasilkan deret MacLaurin
t(x). /(o) '#9,
, 1fL* + .
.
untu k o86
d87 d88 d89
d90
'-ir'zr'JT* "
o o
semua
,x'l!
I
(rIno)t
/
(rlno)'
.--T-.----TT_.-'T-.. =,F+.;(..,J". i(#J l rlno
x' x' xl rJ --T.A+J-.-5-+.. _ r . r _ | . l --. 211t
laniutan di D
11
26
(
ARITMATIKA
Drr
ARTTMATIKA Deret Deret Trylor (sambunganl
Contoh:
rr{rr
t1n r . r
-5r'5T-7T+ "
dc?
cor r -
irrz' -JT+.. -T,,TT
d93
tan r., *.tr' ,#r' ,iJir'
d
cotr.+-i, -#,'-fi,'
grt
d95 d96
I
Arccot , -;
d99 d1@ d
l01
dr02
d104
arcosh
d106
r
, -
'lr) xr -, . Fi -j-
I rr
Z
r = ln ?: -+
bentuk berikut ini (r = o/):
-
(^r)dr
(
dengan indeks * = O,1,2 , . 2,.. .. Penyederhanaan hitungan urtuk koefisien gelomban! simet.ris
(
', '*-l""coa
t
semua
,
(,ir)d:
Fungsi
genap: f(x) = l(-t)
fungsi
ganjil:
L
o, =
llrt'lsln
semua T
lrl
llr'5 ?.-1;6
lrl
x'
7..
.
*-n ii-Hi* #
xl ll x' x' +J+.=i-.,i-. artanh, . x . a' arcoth r = lirl r. ,I . ,T + ixr r
.
..
ot -0
l:l<
t
lrl)
I
l:l(
|
lrl>
t
t(xl - -l(-x)
,
r' - l"[ra
cln (Ar)dr
dengan indeks L = O, 1. 2.. Fungsi harmonis genap dl l3 dl
14
f( r) - l(-t)
t(!
- -t(, - ,)
+,1
,
dll5
r/t
", - +).,,(,)
cos (Ar)ar
intukr=1.3,5,...
2A
(
1r r
# [.. cos(nr) ' o, crn(ar)] Berbagai ^n koefisien dapat dihitung dengan:
.t
lrl=
cothr-+'+, -#",#, errlnh r
dalam deret-deret konvergen dari
lrl =t
r#r'-*,
tanhr'r-irt
masing-masing interval ini, dapat diperluas dalam interval ini, ke
lrl
rtlu'rt slnh x,, .JT . j_i .Jl_ *gl-. tr'rtr' coshrol+rT+IT.ZT.ET
dl03
d105
- Arctan
tnu (continuous curve) dalam
o< kt
.rltr?tr
d98
dapat diuraikan dengan kurva kon-
lrl
lrl
n
yang dapat dibagi-bagi lagi ke dalam jumlah Interval terbatas sedemikian rupa sehingga /(x)
, lemua ,
I lt , lrJ rt 1rl'J r' r ' r + Z3 T-1.r, Z4-,6a. AFccor , -+-Arcsin r
Arct.n,-x-T.T-TrT-
denganperiode-rsrS
semua
Arcrln
d97
Deret Fourier Umum : Tiap fungsi periodik /(r)
untuk
d9r
Dp
Deret Fourier
.
Fungsi harmonis ganiil
f(r). -l( x) 'r{!,,i . ,al
-tt}-,)
I
/(x) srn (rr:)dr 'r = +)ountukt=1,3,S,... 29
ARITMATIKA
ARITMATIKA
Drs
Deret Fourier laniutan dari D 12
or br
d1
dt17
- o untuk t=0,2,0,... lo, . o . 0 untuk k= 1,2,3,... lb, . 0
untuk k4'o,1'?,..untuk t=2.'4.6,...
Tabel perluasan Fourier I
dr 18
dl l9
d12r d't22
34 d135
yy=-o untuk t<x<2x
d
*[.r^.*{5!.stfd.
dr 20
d133
d1
o untuk Q<xcx
y = o Untuk a <x<x-d y --a Untuk r+a <x
136
d1 37
dr 38 d1 39 dl 40
,i
t i
|zn
tl
d 141
I i"o" a s1n r * sln ()r) rI ]"o" * f"o, (5o) stn tirl ' ...]
Oo
dl42 d143 d 144
o untuk a < x
;t2
dr 26
dl27 dl 28
dt29
d1
s1n
Ir-a).o,
v = a\/b untuk0!r!b y-- c untukO5rSa-b v' o(r - r)/5untuk r-b5 x I t
a,"{I:9.l (fr) * ...]
6
(5r) I sln (561 sin
v-ffuntukO<x
dl32
y-
y(2a+t)
cos (2r)
laniutan dari D13
o
o fstn
x
T- ;L--r-- .
=
.,^r,r', *
lln
-42n.
...1
untuk6{xlx/2 y-zox/r y = ?a(t-x)/x untvk t/2Uxtx y .-l(a + x)
,
=
$oIrrn, -
sln-(]r) .'1^rl5')
-
..]
(
y. or/x untuk05rlx y = a(Zx-x)/t untuk r !xr-2x , = 1(Zn+x)
t - #[o,+ . *+rr) . *#d ' y = o slnr y =-o s1n,
, = 1(t+
(
untuk0!r5r untuk x*x{?x
(
x)
untuk0!x{t/2
146
(
f
dr47 d
1{B
d1
30
d131
v
d145 d
?o I
Dr+
Deret Fourier
49
ol50 d1 5l
t/ = xt y = f(-x)
untuk-rtr!r = l(/n+x)
o152 d153 d154
v = ax/x y = l(2x+ r)
untuk
0
(x (r lanjutan di D 15 31
t
ARITMATIKA lanjutan dari Dl4
2o fcor r v'tr-o 7[-1t-'
a frln r trLt
cor ()r)
),
ARITMATIKA
Drs
Transformasi Fourier
Dro
Transformasi Fourier
lanjutan darl Dl5
,--r
cor (5r)
r(s(r)) r(s(ar ))
d !66 d t67 d lcE
rln (2r) - sta (Jr) 2
Umum: Transformasi Fourier f {s((|l yang berlandasan lntegral Fourier merubah fungsi waktu s(l) ke dalam spectrum berlanjut (kerapatan spectra) s((u) sedemlkian rupa tehingga
d
156
d d
157
frekuensi (, meniadi sesuai dengan kerapatan spectra. sll) harus mempunyal karakteristik sebagai berikut: a) mudah dipisah-pisahkan dalam jumlah interval terbatas yang telah ditentukan. b) mempunyai nilai tertentu pada loncatan t0+o) dan t(r-o), sehingga nilai ini sama dengan nilal rata-ratanya. s(t) = 112 [s(r-0) + r(l+0/l
158
c)
F{"r(r) . sr(r)}'
. s(o) 'f stfl
a
resr > o
5r(o) r Su(o)
Dengan menggunakan d 159, kerapatan spektra yang telah dihitung diberikan untuk beberapa fungsi waktu yang penting. Penyesualan antara fungsi waktu dan kerapatan spektra.
d
169
Fungsi waktu
d't70
!
"(r),*is(.) c''' d.; s1r1
empat,aPr(l)
s1,) =Js(r) o'''
dl
(
Kerapatan spektra J(o,) 2
AT sln(uT)/(uf
(
sla)
Jlr(01 dr harus merupakan konvergen mutlak
lnversi transformasi Fourier fungsi waktu s/l)
F-!
d 171 d 17?
Def inisi
sr,l - iir!)
d
159
r(s( r ))
d
160
r-'{s(@)}
d
161
Enersi
=
spektra
=
c-i"'
- v--?
*1i''' "
-rr
_Jls(
t)l' ol
(
(S(@))
|'ft'ot1' -
Dirac,{
6(t) S(o) = r
I
(kerapatan spektra adalah konstan untuk kelebihan
d
r73
R
il2
(
t-?/2)-
I
Rrr, ( I +T/2)
d
171
(
- 7@l sln :
s(o
)
-J2
Ar -;;-
I
2
(
Aturan hitung
d
162
d
163
Peralihan
(translasi) r(s1 t - r))
pembelitan (konvolusi)s,( 1) *
sz
(t)
s(o
)
Js'(r
-5
d
164
[
-@
d
L
32
165
r{sr(t)rsr(t)).
d
"'(' ,r(r -t)
175
(
s(u) = 417 cos(zrr)2!!9L
cr
st(a,) 5r (o) 33
ARITMATIKA
ARITMATIKA
Drz
Transformasi Fourier
Drs
Transformasi Laplace
laniutan dari D16
d
176117?
lanjutan dari D17
(r)=*,.:1+:+!. o"nn"n
uo-j."
, ltrtt
s(o) - I R. (o)
(fungri segi empat) Sarf
d
Pulsa cosinus
dl
kuadrat
,t2
.co
s
.''('{)
2(oot with ) uo
2x
'-f
r . -T-t7{ut3 ^
I
T2 u' t-rr;r
t +'I Fungsi waktusfr)
d d
178 179
ngsi segitiga
x
\'-|_i
Kerapatan 3pektra S(ar,
s(.) - ---I)u + u
a c''1
,{ o, ( I
Umum: Transfornrai Laplace
t (/(0)
( berdasarkan fungr
si integral
F(p)=[t(t)e J
(
dl
7iit. yang mana harus bernilai nol untuk ,<0 dan yang seluruhnya harus diberikan untuk t>0. ke dalam suatu fungsi gambar. Bagian e o' di dalam d 190 digunakan sebagai sebuah faktor persiapan untuk menentukan konvergensi integral untuk sebanyak mungkin fungsi waktu, di sini p = rr r,ro dengan rr 2 0 , adalah variabel kerja yang kompleks. Oi daerah gambar ini persamaan dif erensial dapat dipecahkan dan proses-proses dengan ciri khas yang tidak periodik (misalnya osilasi) dapat ditangani; sifat (watak) waktu yang diinginkan akhirnya dapat dicapai dengan cara transformasi inversi di dalam daerah r mengubah fungsi waktu
.,nrrttls(')
=
tl
d
18.0
d
165
Pulsa Cosi nus
,. co3(oo. )denganoo. ji tttt
(,) -
- stn f(o ' o") l+ . s1n f(- - o")
(lihat D 20). Def inisi
-rtrrr,I
-
r1o1="17at;"0rIe-'{rrnr }=
uraian singkat:
,/(r)+f(p) 3a
^n
-*!i;;tu,",
( ( ( (
)
(
uraian singkat:
f(p).+r(.)
i 36
i
,(
bniutln dori Dl9
ARITMATIKA
Drg
Transformasi Laplace
dalam lungsi-fungsi bagian yang rcdemikisn rups untuk m.n! di dalam D20 konversi-konversi diberikan kemball kc dalam daerah waktu.
l.niutln dsrl Dl8
Aturrn hitung (aturan operarll
tt
Llnearitas
I L{lrlt) r,r:(r)) .
.t
l{c ,(
a
Lll(. -
t
cr)
-[
lekl - !tr(rl lzlt-tl
1t(t) t !z(t) e
t^1.-t,
4(p)
Dalam hal ini menunjuk pada d 213 F(p)-1tpl.l
Fr(p)
::::':T") seterah
D2o
'l'' 'il1bil ' +#'r - #*"'lo;'
ytrl - r
-rl;\ *z,zl;'4 - t, r')'
Panerapan aturan koovoluli (pcmbelitan) terhadap transformr:l pada jaringan-iaringon linear.
t
pada
daerah-t
porr.m.an deferenriat
daerah-t .t Operasi Operasi
l;;.;------1 I
+-r!rlihat pada - I aturanatrr"n untuk penia-
untuk ,tr) + kondisi start
baran t---
penyelesaian hasil penyelesaian I lhasil l1 dilerensial | diferensiat lpersamaan I !
daerah p
I
1
p".',nd.h* llp.nr"t"r.illIl inversi
d
! I !
cetrn- !lr"m"an normat
I jukdi D2O rluntuk .-. vrpr
( (
-L
I
I iI
209
(
daerah-p
(
dN
Persamaan diferensial
I
at
Fungsi asli adalah h0 dirubah meniadi sebuah responsi .r,/r.l setelah melalui sebuah jaringan. Jaringan ditetapkan deng8n fungsi pemindahannya Fzb). Fttil pemindahan inversi lz0.
Penorapan transformasi
!
or
- p r(pl-t(e) - lr(pl-p t(o.l-l'ltl
t,l ttl .(J"(r)) t-( 1"1 t t\ {
skema
/( t ) !d8l8h fungsi start y( o') - 2 a kondisi 3tart I r(pt-iv3')+r(pt - F(pl E l: Xlt zp r1r1 . r(P-)leY-(o') .'Ti';i' € l: ffi' y( r )+ Sesuai dengan l()* flp) terdapat berbagi macam penyelesaian untuk y@. aDi slni I0 dianggap sebagoi fungsi langkah.
. c fr(p) '. . -tP r(p)
)}
i(tl , h(tl
t
Contoh: 2y' + y - l(t):
7t(pl + r2(pl
, ft(p)' fr(p) v(tl - h(.1 * h(.)-r(p) Untuk iaringan yang ditentukan responsi .,/(r, tergantung dari hO. y(t) dapat diperoleh dari d 205. Selelah memperoleh y(p, perhitungan diteruskan pada baris d 206. Seluruh Transformasi inversi ke daerah-r adalah mungkin,iika Fzb) ditentukan sebagai fungi rasional Irakri yang vtaiar p dan bila transforma-
si*t
,
yaitu
fr(pj
ditentukan dalam D 20.
I
Kesukaran penyelesaian persamaan diferensial dialihkan ke inversi. Hal ini dapat disederhanakan dengan eksdari ygt ke dalam fraksi-Iraksi bagian (lihat D3) atau ke 37
( (
ARTTMATIKA I n r-.pi*. I Ll ZO
ARITMATIKA
rr.nrtor,nrri
Tabel korelasi
Bilangan Umum
6o'ia
? -or F(il =lAt) "-" dt; t(t) = # [rro, "o' o, Oung.;, o Lu - L?rf;, = d-'' aerah-p daerah-t ldaerah-p ; daerah-t ansformisi fungsi asli I transformasi I fungsi asli aplace.F(ptt [(t) F(ot lLaolace I lltl
d 2t1 d 212 t3 d 213 l4 d 214 15 d 215 t6 d 216 d 2177 d 218 d 2199 d 220 d 221I d 222 d 223 d 224 25 d 225 26 d 226 227 d 28 d 228 d 229 29 d 230 30 d 231 31 JZ d 232 233 d 33 d 234 34 d 235 d d
't
_r_-c
/p
237i238
I unrul< > ol
I
p{
0Urtult<0lf
c
1/p" |
G{"y
-w
/p"
1
/(p - a)
1
/(p - al
1rT
p
(p
ero(at)
t
;G:;I
exp(at
exp( at
I
)-
1
e,e(-t/r)
p
;r-;I
cosh(al)
A
s
ptth' p
--r--:7 P +x
(p'* r.')' p
Gr.Ttr
1^(
A
t)
cos(Al
;l: -fir
f,
rln(hr)
fi
.6!r -
srn(lr )-
r coslrrt I
lor r>O: I -rlpp -e
E;,=
d 247
d 249
-
e
-6
/t s7n(at)
d 250
a _^i7-ai
d 251
ztYil
-& errc
"
zlT
(lihat G 8)
r
( (
Ti-= /
menggantikan huruf i
untuk menghindari kekeliruan. Oalam sistem koordinat Cartesians
d 24A
","n,
+l
Catatan: Dalam teknik listrik huruf
)
I I -.t
i-t"
ft . -r. l.2--l fl ,+1 f..+l
+t
dst.
,^4'6a
1
l. -;
d
d 246
-1/(?Y7 t'h)
I
"t^1^,1
d
(
z,o+lb
d 245
,y+
pW
c'"li
d 241
T-
I
ii 1r.-l 1r.-1 l' r
d 240
"et
sln(/r.t
lor a > O: )
d 239
d
F
.r7
a. cla^( a/p
+
--5:-t-
I
1n P+D P+a
bagian imajiner darl z nilai absolut z = atau modulusz ? = argumen z o dan b adalah nYata
o + ta
Ta
pY r,
. r.
D
-|r ,rn1lr)
I
v;
. o + 1D z z t.i o . bagian nyata dari t
* cos(^. ) cor(tr!) -
+
- ar(p
)
slnh(al)
236
38
t-
d(r).oirac
I
Dzt
Bilangan kompleks
21
(
(a,+ o1) + 1(br+ ,L) (o,- or) + 1(Dr- Dr) (o.o2- b.6t) + !,(o1\+ o1b,)
.Za -za ,2,
*. s+:++.r_$it}
a: +D'
'
(
(a+10)(a-tb)
}t--I-rt dimana o, = ar dan b, - bt,maka zr-
'-o *
(
)6[i
zz
lanjutan di D
22
{!'"ie"i
( 39
I
_)
ARITMATIKA
Dn
Bilangan kompleks
ARITMATIKA
Bilangan komplekt
Perhitungan bunga majemuk (Compound interest)
(sambungon)
Aa
Di dalam rirtom koordinat polar:
r(coe9 r1slno)
z ,
d d d
252
d
255
slnp
d
256
zt, 22 = r, .r[cor(q
d
257
d
258
d
?s9
V; . ip
d
260
W -
"o" f.
d
261
c,0
.
co3
.,?
t
cos I - 1 s1n 9
253
r . l6t;T
254
I
* . i [cos(q-e.)+1sln(q-e")] zn = r'[cor(^e) + I rln(.rp)j (r>ointogrst)
262
d
263
d
264
cos g
c
265
In:
c
Perhitungan bunga tahunan (Annuity interest)
A^. ^"{-,o$*
d26€
d
269
t+UL + 1 31n t+Ilf
d
3r!
(satuan akar ke-a)
"1n dalam rumus d 259 dan d 260 k = O, 1.2..... n-1
d
.W
) r 1 rt n(q +7, )]
1
ltqn
- 19c
. + | "o"r = + 1,"", . * , t"o"
-
r:t_
o + lD
. .rcten 3
+91
Dzg
Penerapan dari deret ukur
^ '
270
di
mana
(
--r s - rrJq-l) "F;::-Ero-tJ rgc
* = 0 kita mendapatkan
(
"rumus-rumus pembebasan"
(
Perhitungan deposito
l"'o l -
9 + I s1n t
F;r;;;t
(rumus bank simpanan)
I
r ?;i-r;i "'7*"'i '---2 | rin' (rr' 0,!1,!2. ...) In r + l(F + 2rl)
di mana r,
=
Catatan:
I k
12 dan 9t
-
92+2 t h,
(
r^= Aoqn..o$*
cos, + 1 31nt
maka zt
-
harus dapat dikur sepanjang arc. adalah sembarang bilangan genap
_ fffiiic - --------, re
.
a
i*
I
Huruf'huruf -
z,
: hn: r : Ao
a : iumlah tahun q : 1+p pensiun tahunan p : suku bunga (pengambilan kembali) (misalnya 0,06 modal
awal
I
modal setelahtrtahun
pada 6%)
40
I
41
\-
I
!t
ARiTMAT|KA
I rr
Konstruksi geometri dari ungkapan aliabar
FUNGSI LINGKARAN
| lJ 24
lstilah dasar
Er
Ukurrn mclingkar dan ukurcn rudut drti tudut deter Ukunn mdlngkar Ukuran melingkar adalah pcrbandingnn iarak d yang diukur sepanjang busur dengan jari-
pembanding ke-4
iarl r. b2
o;b
Satuan ukuran
= b:r
dimensl.
278
o
219
280
d
28r
(rad)
v;-t Ukurrn rudut Ukuran sudut didapatkan dengan cara membagi sudut yang berrda di tengah-tetlgah lingkaran menjadi 360 bagian yang dikenal sebagai "deraiat"
AIAU
.r :
t2
hipotenusa dari sebuah
ang segitiga
c3
siku'siku
Tlm" ketirrggiarr dari segitiga sama-sisi
o : r
i#l\v i--_ ,
__-r
ia t5
= r : (o-r)
seksi lebih besar dari garis yang berulang'ulang dibagi lagi (seksi terbaik)
a (
O:t=Xrb pembanding lengah
d
a . 4
at
pembanding ke-3
d
inl disebut "ra-
dian" yang tidak mempunyai
i6
o
-i
A satu
derajat dibagi dalam 60 menit {satuan: 'l detik (satuan: "l
a satu menit dibagi dalam 60
Hubungnn rnterr ukunn mclingkar dan ukuran sudut Bilamana sebuah lingkaran diperhatikan, maka dapat dilihat, bahwa: 360 - 2rt radian atau 1 rad'- 5?.29580
( (
FUNGSI LINGKARAN
FUNGSI LINGKARAN
lstilah umum
c7
tlnd
e8
co3a !
.9
t-t-
berhadapan
o
c
hipotenusa
tana '
sisi samping hipotenusa srsi berhadapan
sisi
samping
.D -
e 15 crn( 9Oo - q) e '15 cos( " ) c 17 taa( " ) c 18 cot( " ) e 19 ;"(r80" -c20 cos( " ")) c 2l tan( " ) c22 cot( " ) c25 ;(r?oT=A c24 cor ( c2) ten(
riku*iku
Segitiga risl
bl
c
a D
-ro,\o c
COr
o r:
\
sisi samping
^
O
SlSr
berhadapan
e26 e21 e28
Fungri rudut yang lebih penting
sin
a
0
0.5@
o.707
cos a
1
0,707
0.866 0,500
lan d cot a
0
0.866 0.577
@
7,732
1,000 1,000
0,577
0,966 0,259
r,732 3,732 0,268
c29
'|
-1
0
0 @
0
€
I
0
0
0 @
eJO
c )l c)2 e)J c )tr
cot( s1'n()50"-o) cos( " tan( " cot( " tln( - A coc ( " tan( " cot( " +y
Hubungan antara fungsi sinus dan fungsi cosinus fungsi sinus fungsi cosinus
= ) = ) ) ) . ) E ) = ) .
I
90o + q)
!
+ cos q
) = - sln o ) ' - cot o ) = - tan 0
ten(
cot( sln( l8O- + c) cos( " ) ) cot( s1n(270 r o) cos(
= - stn q = - cos 0 = + tan q '
)
tan(
)
cot( ) s1n(160"+o) cos( " ) tan( " ) cot( " ) rln(ct n.)600) cos( " ) tan(Ct n't8Oo) cot( " )
= = . = = .
- cos Q + s1n & -cotd - tan Q +s1nq + cos e + tanc l cot o . s1n c + coc (t + tan d i cot Q
i
sinus I dengan L
dant=t 5 dan k.2 danA=t lengkung cosinus I l.r fengkung sinus dengan fasa yang besar pada o ' - i = =
( (
o.. .d..,
'tb.
'\9
.6,Y.-
(
i -v 0
I
I
o
I
eo"lf
I 45
l-
(
\.'
,t stn (ta - 9) I cor (rto - p)
lengkungsinus lamolitudelr
atau
51^( cos(
\.
f\T,..;: lengkung
r cos C 1 s1n (l r cot O + tan e + !1n (r - col c -tano -cotq - col c -a1nc +cotq + tla Or -31nq + cos o - tan.e - cot e - stn q + cos c -tanq -cotq
I
\ sio/
Persamaan dasar
e13 e14
Es
Kuadran
I
iI
FUNGSI LINGKARAN
FUNGSI LINGKARAN
Konversi ilmu ukur segitiga ldentitas dasar o35
c36
31n'c + cos'a t + ten2o =
|
l,
tan a
cot
o
I + cotro
cos_ a
yang sederhana.
1
;;);
Jumlah dan selisih fungsi sudut-sudut - Zr1yL*2 ro"L{
s1na+316P
e4l
slna-s1nF
o42
co! o + cos ,
e43
.
Z.o.L|2
sLag-J--E-
z .r" 9f cos c - cos P = -2 516 1-l-! s1n(a t ll) = cos a cos I
e44
tanattan!
e45
cotatcotrr
o46
sln c
iln(Pta) - = s1n o sln P I cos F = Z-sln(o + r)
e47
cos c
cos I
o48
31n c
aln
f f,
cos(o
,orff "ot
ajj
p=
46
L-
arctanf
dan e
- arcsrn
cos(9oo- o)
.
rrr
5,1
e55
s
1n(
!6o-
q1
-;;i';- fr - .fi5-
zstn
I
cos
I cos'!- srn'!
+
e57 e58 e59
| stn(c
{
ffl;:.[::Sll
cot
a
cot(9oo- o)
I
ta^;
cot , sln q cos a
cog sln
coJa-
coa 2a
rn=;;:7;-
(
Yz
:.-F
t
y'l + cot'a
t.
eGl 2 !lna
tan?l
2 t,
t"nt{
r.a"
cot'i-
t
r - tan'I la^
20
e64
l/r --"Il"v?
(
2a
cot?o - t 2cola lt Ecotd - Ztana
Zcoc'a - | '| - 2s1n'a co3
(
r
2 cor! cot
2a
cos
e tiz e63
e66
a a
=,ll.L-g---[l - cos'a
sln
e65
a
tan(9oo- o)
1
e56
2 tan?
* f) * |"o"(o - 9) -fco"(o
ffi
e53
e60
cot(o tan a + tan , , tan q - tan P e49 tan a tan 'I - cota-cot, coto+cot! e50 coto cotB- = goto+cotP-_coto-cotP tann+tanF tana-tanp e51 cota trnf - = gotd+tanr--cota-tan, tana+cotF tano-cotp Jumlah 2 getaran harmonis dari frekuensi yang sama e52 o sln(ol + 9r) + b cos(or + p:) - V-;A sln(or + 9) dengan6 - o.slnpr+ b cosg2 ; d = o_cospt - b s1n92 P
ten
sl^ o '
I
Jumlah dan selisih sudut-sudut sln(a!p) e37 - slna cosp t slnP B cosa cos, e38 f "o"o cos(a1p1 slno slnp s39 tan(a tp) . l-!^-s-i-!-tpi cot(o tp) = i*?+:lg+ e40
Es
Konversi ilmu ukur segitiga sntara setengah 3udut, dan rudut rangkap
a
7 sli d t . co3 a ,| - cor a s1n
a
I - cos 'I I co3
a a
cot 7d _'l sln o -cosa t + cos al1n a lftr-"=;;?fl - cos a
i
a
I
I 47
/
]J
FUNGSI'LINGKARAN
FUNGSI LINGKARAN
Segitiga bersudut lancip
Kebalikan dari fungsi ilmu ukur segitiga Kebalikan fungsi melingkar
Segitiga berrudut miring A
Aluran sinus o67
c68 e69 e70
a1n a : a1n ,
: srn /
.
o : D : c
b o - --;3.ln a - ;1*; .rn 0 - rlno sln l--.," =f-.rn, _ - -:Lslna
c .
oln y -
-:L
o
,
;*7.tn
Aturan cosinus
e7t e72
e73
o. . bt c' .
(
Dl + cr - 2 occor o cl . o. - Z ac cot p or + b: - 2 obcoa I
(untuk sudut yang tumpul nilai cosinus adalah negatit, Aturan Tangensial e74
a+o- r''nff lo..
ta^f D+c u"ff -:-r=;q lo=;;" r-....@
..^;.;-
AtuTan sotengah sudut
e75
1.."i-;{;
t.n4. I
t-c
Luas, lari-jari lingkaran-dalam dan lingkaran-keliling
c76 a 77 p78
J'79 e80
48
l-
r - |ocrrac - locttag a , t6ia -;I(" - DjT; ;t o
- o)(s - D)(s -
l6 2 .L^a o.Drc 2
.
-
|oDrtn es
1
r
tentukan
e82 e83
'f?i,1"';'
Arccos1rT
e87
arclan
c D
3in,
I
T
c
cr
Arccot,
= |-Arctan x (-.r) Arccos = r-Arccosr Arccot (-.r) = r-Arccotx
Arcsin.x Arcsin Arctan
r r
Perbandingan'antara fungsi-fungsi melingkar Arcsin -r =
*
ffi
,/11i7 Arccot -n:-
r>)>0
r)
Arccosl = I Arcsin (-.t) = Arctan (-.r) = -
e85 e86
-i"trI
r2y20
" I-1:=,=,;
Sifat-sifat dasar e84
I
@
di dalam
eBB
t
T
x = coly
e81
Arccos .r =
Arcsin
y']:7
ir"t"n @ x
2)
Arccot.r =
Arctan -r =
Arcsin Arccos
x
vq=Z I
ffi
r1
Arcsin
ffi
tccosffi
r)
ircun 1 x ffi nilai-nilai prinsip ditandai dengan huruf-huruf besar
2)
Rumus-rumus ditandai dengan
e89
Arccd
irccot 1
*
(
i i
c /
digunakan untuk r > o Laniutan di Eg
/
49
/
il
I
(ra
I
Arccoga-Arccosb Arctana+Arctanb
€93 s94
\ rg
OE
t€
lt
:
clv
,
l+
3-l
;li -
l!
t. l^
ls
o.lr 9ls P l:-
L lx -lrlr ol: lr
*.o
r)
@ o oi =
-=*.---!!-
tr
o
o
@
o
9. o.
l
re
t-
3. (.t
o,
r - r .t-
1+aD
x
x
+
oCL ld= €.8'= :.@ =
1
o
-o
+
i j,
I
=
o
:.
L,
G o
a.
€.
3
o
G
o
CL
l-' o= s
--i rq t
.l ll tt-l 'l+
rl'
+l
-lF
D
t $ I
a
,1,
o
q
;83
co
oO
EE
S-
J
Arctan :a - D, 1+tb
" c il,g
;3
ca
oi i.9 oO
F; oO
oc
E9 o.o.
i'a E EQE OJ
-l*l{ u) l1.3 l< lx l-
lr
,,lr
It: -l=
6s IT ls
oNro@@{o0ao
E f lxlr
=t^ Oil
6";;;;;;'!? 1-ab
-
?
Arcoott+ArccotD - a;6s61 4:J Arccota-Arccoto - erccsl *:I.
Bs3r
@
lr
<)
oo do
?s !r3
.:
e97
€96
ab=o
o-! e2
+ t2s1
a+D>0
ab<1
lle
rat
k })
J
o
:o
i
.!
2.
!ls i
.rls ,l'
E
rle T rlr I rl= E5 -r-
E o I
ET
o
+
I
ofs
\r t rl o
tl'S t- c
o
!E rI
o
ol\
I o c F -1. @
a>0,eD<-1 ,<0,ab<-1 a+-b e+b
a'l
a>0,ab>1
o,
g
r sls ! x
o
f
o rl'
-. I o_t'o +t aa I
otn
i- ".
J
i ri
EEi
!=.o 6 !0 of
a0 and e + 8>1
a>0,0>0 and *+ I !>1 a<0,0<0 and *+8 r>1 ab>O or d+b2s1 a>0,0<0 a d e2+b2>1
:. . .|i3.??1.1?"9. : - :f--"n. :."19":".0Arocos 1ao + t/l-V \/1-41 a>b (aD Arccoe + lT=V {I4l e
_{=
I::l: !:{--a^ ":. 2f : P. Arccos (ab - rfi=A tfi-=-Ozl
- :.1 "-
= :r + Arctan .4 7-eb -r+476b6.4 1-eb ,":,""_.^--."_"."-_ .--...^._._...".,.,)...-.. Arctana-ArctanD - arctan i-9 I +eD E ,t + Arctan i-:!
"--
Arcoosa+ArccosD
e95
Arcsln(a{-1 -ff+byll= r.:- Arcsln (a!l-=E + b\/l-=-d
D - Arcstn (i {1]7- olGF) - *-Arcstn la:.fi=-F- b\fi-- dt
e92
Arcstn
Arcsln a
-
Arcslna+ArcalnO
691
e90
-{ o
E
E,
c^ t->
fo
?:Z
3:9 .: !-
$o
3Z ^'C
xo
$rr
a
e.z .8. orrD
FC
r
3 6)c
m-i*try
@
In
A)
@
E> -=Z
i! o o
a
0)
cr
o
-{ o
o
o
o
ILMU UKUR ANALISA
ILMU UKUB ANALISA
Hiperbola
Lingkaran Parabola
Hiperbola
Lingkaran Persamaan Hiperbolis
Persamaan lingkaran usat
P
di tempat
di tempat .L asalldi 5embarang tempat
l.
r'l
yz =.'[{r-ro)r*(y-vo)2=
ox + bv + c =
?- f.
Sifat dasar
I
pada
EF
|.27
Koordinasi dari titik tengah
Tangens
dlsar
.Al+Bf +Cr +Dy
126
r = W6* vo ='Z
|
o
Persamaan o
Jari-jari lingkaran
xo = -7ol
* -$ -, - E+d-(v-vo)'-,.
t25
Persamaan dasar
i' t2g
tiiik Pl fr1, )r)
t?9 Yo
persamaan Persamaao parabola (dengan mengubah ke dalam ini, puncak/verteks dan pararneler p dapat ditetapkan)
t30
Tangensial I Pt $t, yt)
t23 Sifat
Tangens 124
f
Pada
empatpaniang a
t
titikPr
_v/.s t l\/
-,2 T"l: F--'rf
I L
- -
'
b
v
4ro
( (
ma ka
)
(
(untuk garis asimtot pa alel rerhadap sumbu .r dan sumbu I'
Persamaan
titik perpotongan garis-garis asimtot di rempat asal ldi sembaraig-lerqal -_-=-._-^l+ xy .
(r1, Yrl
"t l(x-16)(v-vo)'
cr
Jari-jari prrncak (Verteks radius)
*) 52
'$ t''-.;p]r;-- '. I
Deraiat kemiringan asimtot (a tan a'). n - tt
c
PF-c!.
dasa r
--f-\
v
Hiperbola empat persegi panjang
I . 2pu I (r-ro )' = lp(v-vo)l atas lS; tangens di S = -zoi l{r-,0)'=-2p(v-!o)l,bawan I verteks
rlv
(
puncak e.i- al
F: fokus [narabola! L: direktriks di buka tempa{di di temoat asal ldi sembarang
Jari-iari Puncak
zo
tans . n r:- oD asimtot€simtot
Puncak
o? +bx
E.o
. lF;l;' +) " Deralat kemiringan (gradientl Jari-fari
Parabola
Persamaan dasar
-
-iV
o
Eksentrisitas
o
I - (r-io)(r,-:o). ,. , _ 9,_ Vo
di sembarang tempat
asal
Keadaan menurut catatan pada hlm.
F1
t
ILMU UKUR ANALISA Garis tengkung (curve) Elips, Eksponensial
ILMU UKUR ANALISA
Fq
Fungsi-fu ngsi Hiperbolis
Elips
Porramaan Elips
Fungsi-f ungsi hiperbolis Delinisi
titik perpotongan sumbusumbu
a-a slnh r = -----;-Z
_t)? cosh r t ---;-z
Jari-iari puncak
o'l rx'7lt-';
---t-
ol
Eksentrisitas (keganiilan
e , W-:V
it-'
)
.l
Sifat dasar
-
F+6F
angensial T pada
Catatan:
h
zo
h 0t:
danFz adalah
et- eo r.-.ffi'c ? e el+ e-' cotnrE--._ a-aa-l ttnh
Sifat dasar 144
cosh'x
145
tanh r tanh x
t46 Yt)
titik.titik
)a".hr;-:-T
Oi ;ini a adalah konstanta Positif', ;Fr dan r adalahsebuah bilangan.
lr-cottrr, = ;;*-,
X
1"hi, . t /coqh'x cosh r
1
coth r nh'x + slnh x
(
cosh
(
Y
%;Tr;-:-i
t colhl r I coth r tanh r oth'r - 1 | untuk bukti lgslnrr(-r) = -slnh rJcosrr(-r) = +cosh r (argumen) negatit jlta"n( -:) = -tanh xlcotn(-r) = -cotir r
(
Dalil-dalil tambahan
(
oth'r
Catatan: Sebuah lengkung eksPonensial menerobos melalui'sebuah titi k
-
I
1.
Turunan dari lengkung yang menerobos melalui titik ini de-
r) = 1)adalah sama ngan deraiat kemiringan sebesar 45'(tan o dengan lengkung itu sendiri. Konstanta a, sekarang meniadi e (Bilangan Euler) dan merupakan dasar logaritma biasa (natural e = 2.718281828459 +1 Keadaan menurut catatan pada halaman F1
L
1
tanh r - tanh-r lf-:la"hr"
a\l
54
1
**i I r-t"n,,',' ;;r
api
Lengkung eksponensial (curve)
log).
s1nh2x : coth x =
Perbandingan di antara fungsi-fungsi hyperbolic dimana r adalah positif s1f,h r = cosh r = tanh r -
Persamaan dasar
x- 0 ; 9=
el* - 'l = --r----:e t I et'+ I
slnh(o : b) cosn(6 I 6)
r52 r53 r54
tanh(q
1 6)
r55
coth(6
I 6)
slnh o cosh a
cosh cosh
b b
cosh o slnh o
b
tanh o I tann
(
t i tanh o tanh b coth o coth b t 'l coth o 1 coth b
*) Eksponen x selalu harus kuantitas non-dimensional Tanda + untuk r > O; - untuk x< O
.
slnh slah
ssI
i (
il
ANALISA I F hiperbolis terbalik (inversi) |
ILMU UKUR Fungsi-fungsi
I
ILMU UKUR ANATISA
Komponon-komponon. ukuran besar (magnitude), arah cosinus vektol
Fungsi-lungsi hiperbolis terbalik
Delinisi r56
A: 8:
3ama
dengan
,. tlnh
y
t - 1+r rn(r+pi'i rn(r+/7J ._rnlI
r57 r58
ditentu kan -@
I - x+1 -_rnlii
l:l
dalam
lxl)1
05y<+e l-e
nilaiawal [--
r60 r61 162
artdnhr =
| .."ortt.'l
arrtnhr.
arco!hl4;7 |"..rnn)!fT [I . ra
;.6,i"j.^nEl
|
t09
ar, at, az'"
170
8x =
172
Perbandingan antara f ungsi-{ung5i hiperbotis inversi dimana r adalah Positif =
,64
'.".,n$j"..ou,ft1 "'"otn| | I
Dalildalil tambahan arslnholarslnhD f65 arcosh o : arcosh b r66 t67
artaaho:artaahb=
r68
lrcoth o : arcoth b
. 56
Tanda
+
untuk
= =
vektor
=
t olPi
lf o'* t) arsr.nh (o 1ta'i )l Xt-r] arcosrr IoD1 ]Gt-l
;{,
r >O; - untukr
-o
b
?x
Ukuron besar atau no?m8
vektor: la'l
(
atau a dalam catatan teknik
(l?l selalu -
""unnI
arcoth(-r) = -arcoth'
o:b artann l_l;6. cb:1 arcoth :
al
persamaan
I
.."",nffi | .."."n* |
arrlntr(-r) = -arslnhr artanh(-r) = -artanhx I
:-::-_.:='-'->Y
az
*) persamaan
0)
Arah cosinus vektor-yektor: cos a, cos p, cos y Sudut-sudut a, p, Y, anlata vektor i dan poros-poros OX, OY dan OZ.
Untuk bukti (argumen) yang negatif r63
I
O
ar+ar+a, a,i+atJ+
174
"."r"n6] | """nfr .'
lnoz
/z- It ct = Uz- lt 8z = 2t- Zl
173
arcotrrr
i: x.1, fi, 21 d: x2, f2, Zz Oy, OZ:i,i,i
Komponen-komponen dengan ukuran besat sorta arah
171
1vl > o
Koordinat-koordinat asal dari vektoi Koordinat-koordinat titik-akhir vektor
Satuan voktor-vektor sepanjang OX,
'r lartanh .r I arcoth x r.cothy , - coch !r r-tanh! arcosh
ekuivalen logaritma
r59
V6ktor: Kuantitas dengan ukuran besar serta arah
fungsi y =
I arslnh r I
Ft
Vektor
u
lu,
t76 177
178
(
f, y :0" ... 180").
"ot, =4; t;t
cosp
=2t
l;l cosza+cog'p+cos27=1
cosf =
Porhitungsn dari komponen-komponen apabila a, = lE'l cos a ; ar=lilcosp
;
o:i
(
t;t
lil
d,
Fr,
y
diketahui:
a,=lf,lcosT
Catatan: Komponen-komponen sepanjang OX. OY, OZ digunakan unluk menentukan ukuran besar (magnitude), arah cosinus, jumlah vektor dan produk vektor.
(
( 6tl
i(
ILMU UKUR ANALISA
ILMU UKUR ANALISA
Vektor
Vektor
Produk skalar dari 2 vektor
Jumlah (selisih) vektor 'Jumlah voktor s dari dua vet
f79 ,80 t81
t82 t83 184
t85 t86
t
s E a+b = sr (+srJ+s2lt s:= dztbz sr- ar+br \'al+\
Ii= lt,\;I;;? solisih vaktoi
i
i
dari Cua vektor
t-it
s = a+ (-b)
dan
Produk skalar dari 2 vektor
b
r89
t95
i
tg o- ') ts6
t3t. l,f;;t;;t Hal-hal
I Contoh:
,97 I
,*
o'l 360'
khusus unluk
t;t
vektori dari vektor-vektor?, 6, 'i, dst.nya' (persamaan vektor) a'-i t.... ;-i. ",i* "ri, ".i sr=!r+bl -Cl +." ist= altlt- cr+"" s:=6zt bz-czt"' l;l= t{I-g--",".
"f
(k
c . ,(xa
,91
cl = ftr5r,: cr= r\xat;
Jikak>0
maka dif
n>o; f,tti,
i
o)
c=r l?l (c 5 o)
iie
o---H
CA
t ro4l
ruru,a,
cz
= a,,br
Hr,-tr,
tn'","
- ot,b,
I
e
I Contoh: Moaen M dari seputar trtrk
r 106f
{=^,i-; n
membentuk sebuah
la = lI,, . "; * "1
I I I
m kali percepatan a
tetapi dengan arah yang berhadapan
I i = i, o- = -to',?l
lOei
,os
i *,9.go...rr.o*
untuk Produk Vektor: Silang"r" lSl-Uot
I o, o, c
,
l-----4
,,orl
I
Produk vektor dari 2 vektor?dan b adalah vektor
"-1,i,=ir:'::"='tJ'1;n p (" i
r
(persamaan vektor)
cz= Xxaz
Jikak
l-
I
)
-.f 4, : ol6hF
e
i;fl ';=";:i:-:;.::
Skalsr: Kuantitas dengan ukuran besar (magnitude) saia Produk dori sebuah skalar k dan sebuah voktot a adalah vektor c
t90
I es
Usaha yang dikerjakan W oleh gaya F melalui iarak s
| t!,/ = saya ( iarak = F,i = fis.cos (w.: oi
I
Produk dari sebuah skalar dan sebuah vektor
58
"'"
t93 f94
Jumlah
t87 t88
? dan 5 adalah skarar k.
Simbol untuk Produk Skalar: Noktah
i =
c,
(
,V
"M__-
pff
basis,---.: p>180"...<3600*
;/
)
F
-{+ 3l-_
(
zto" aran
\-
F
-(f"A ;h\-';/; o, r,f ? ri $1ffi
caya=i^E
i = r,f.s1ne ,, i
( (
l;
I o':soo'l go" I rao" I
sebuah gaya
Radiarvekto,
"l
I
i
59
I
L
STATISTI K
Gr
Teori dasar kemungkinan-kemungkinan
Kemungkinan teorctis P (A ) Apabila E adalah suatu himpunan akibat dari sebuah ekrperimen yang semuanya dianggap sama dan serupa, dan suatu keiadian A ditimbulkan oleh suatu bagian himpunan ,4 dari himpunan-himpunan akibat itu, maka P(A) =
n(A)ln(E)
g1
92
Kemungkinan ekspeimen P (A ) Apabila suatu keiadian ,4 ditimbulkan oleh suatu akibat tertentu dari sebuah eksperimen dan, apabila eksperimen iru diulangi n kali dalam kondisi yang tepat sama,.4 akan timbul r kali dan n, maka
P(A) = timit V/nl
Aksioma bagi sebuatr kemungkinan
93 g4
s5
P(A) >_
.,., _ =
O
jumtah kejadian di mana A timtrul jumlah kemungkinan keiadian frekuensi relatil
ZP(Al = 1,0. Jumlah kemungkinan dari mungkinan keiadian
( semua ke-
zli yang berlangsung
harus 1,O
g6
P(Aaflfl =
P(A) + P(B)
- P(AaB)'). Apabila A dan B tidak dapat terjadi pada
waktu sama, maka
= 97
P(A/B) =
P(A) + P(B) dan kejadian-kejadian itu disebut terpisah (disioint).
p(,c,
n
A)rp(q' disebut
syarat rerhadap
kemungkinan
A
( (
ber-
B (kemungkinan kejadianz{,
dengan ketentuan keladian, telah berlang-
(
sung).
laniutan di G2
(
61
(
lgz
lstilah umum laniutan
G1
P(A e' B1
s
P(A^i)
1l
rl
o I
F(:)
P(A) x P(B), apabila kejadian-keiadian ber' langsung terPisah. = P(A)xptil = 0' sebab Adan A masing-ma' sing berada di luar'
Fungsi kerapatan kemungkinan,/l/.r/
Fungsi kerapatan kemungkinan
Diagram Venn
AwB
A
tidak,{)
(,4
atau 8)
AaB
(e 'dan-
F(x) - f
,2'
r(t) =-lf(x)
pt
untuk suatu distri bUsir s l5pgl;5p6
d,
ungsi.f
ungsi ber 'lfrr lnruk lanlut dari distribusi f
Daerah bergaris miring di bawah garis pengenal (curve) fungsi kerapatan kemungkinan, memperlihatkan kemungkinan teriadinya variabel bebas,4 berada di antara rr dan 12
Variabel bebas (random variabel) ,1 Variabel krebas .{ adalah suatu kuantitas yang dapat diu' kur dan yang dapat mengambil tiap angka r, atau suatu iangkauan nilai-nilai dengan suatu distribusi kemungkinan yang ditentu kan.
tertentu r
memperlihatkan be-
(
ia? a) (stapi tidak,{)
Fungsi distribusi kumulatif (bertimbun) f (.r/ Fungsi distribusi kumulatif F/-rl memperlihatkan kemungkinan variabel bebas yang lebih kecil daripada suatu nilai
['(x)
berapa kali, satu nilai khususp/ atau jangkauan nilai-nilai J(x) dari variabel bebas,4 akan timbut.
ruN@N \-
tanjutan darl G2 berubah-ubah antara 0 dan r.o. F(-@l - 0 danF(il meningkat dengan r. untuk fungsi-fungsi ber untuk suatu distri F/rt ' 'laniut dari distribusi busi ekperimon
=
Lingkaran besar menunlukkan keiadian e Lingkaran kec,il menuniukkan keiadian I Daerah bergaris miring memperlihatkan gabung' an peristiwa'peristiwa yang berbeda'
62
g
f(r7
I
Persegi paniang menuniukkan iumlah selwuh keiadian ,{
(
4\
l.f
lstilah umum
Apabila keiadian-keiadian itu terpisah (apa' bila diketahui, bahwa timbulnya keiadian yang satu tidak mempengaruhi kejadian lain yang timbul) dengan menganggap P(A) .ber' turut-turut P(B) + O. P(A/B) = P(A)' dar| P('Blt1 = p161
90 g10
STATISTI K
A
STATIST! K
(
t,
P(r, s,.
( P(A < xz) - p(1.< rr)
Nilai rata-rata I atau E'(x) rata-rata yang diharapkan atau p Variabel bebas I Variabel bebas,4
I
ber
918
I I
xtPt+x2Pz
. tx,P, p, dan l(.t) mana di
P . I, l(t)
ar
adalah kerapatan-kerapatan kem ungki
d n
an.
63
I
r.l
r
or
o
o 5
mial
bino-
i* i[
*r?1 FT
/p,v\I,vGp il
tersendiri
, . \rrl\n-t / trr= ---7\--
Pi
7(r) berlaniut
tat . kemungkinan
ilr rata-ratat
!
o,l
l-6
l-6
I
", l^,ffir,-,
T
I
bahwa dalam con.
^,,,-,, (ii)'
(rp)'
p| "-., | 4
Ianiutan pada G 5
fl, akan timbul A kesalahan
.: bebas
.-^,1
bebas(lihatGl1)
toh
*l=
kesa la han
^
o
loh-contoh bebas rr, akan timh.rl, teparnya sejumlah ii
1-r=(i),^n-rr'1.{(l),^u-,,'''l l'(k) berarti sebuah kemungkinan,
^,
sel ruah kemungkinan, bahwa dalam con' toh-contoh beb as r dari seiumlah N, yang cacat adalah
.;u4#+rl ln/ I
tTafr-rlf-
r(x)
i, tt,t o,l it 11,10,-, r(,1= l,p, I i,,ot Li,,' ,,-r'
j^,t
Variansi Funssi trata l',itiJiiati--l x Yang d
b
distribusi
t3=r i
: u ngs i -kera pa
-c\
I
n.20
tr06
"lI,'1,
"{\",.
I Ptkt
0ltr0rj
*
i:f\i:",-,
lptrt
r..i A/!l0O n. to
t i-
.0.I
.Gl
+J
N
i:.i,
NNNND O !O
ooooc
I
q
J
II
-P
q
rx !. ,l
+
b
:,a
5
angka dalanr
la
h da-
,t)@;p10
da6 nilar rendah
toh ile&s
contoh{on.
Nilei lin99i
Ko6di5,:
Bet..^ya iumlah,
Kondrri:
Tanpa gengganri.
Pe.hitungan cer mat tetagi mahal
clcat di
p,v: Sagion yang
ium
,\ I 6eSarnya
p: kemungliien
variabel bebai
contoh bcbat .xi : niia' te/5end: ri darr iebuah.
,l :
I
5
o
=J ;EA
r(h
+i a7
9o
3-l
s
cf o
o f. o CT o
\
is :.8'
Keterangan, bidang penerapan I r tumrih le$la-
tq
lv
hi 8:i
x
;s,
<-'ooo o
:. o: :'
(r ol
qg P :!i'r .'i g-: P Bg
itr, it'.r. .. ? 5.
tu ngs i kera patan
Eentu k
flq
];;Eii q ui -t;gE Bi iT=;qi ailg ei i'i'',t ilt Ii rS Eg .*s ;g ::;Uiot ' iiE i =i 'yr EE rr
iiiEEfi i:rE:aF
l.^/ metris /)1*/ berarti
geo-
hiper-
an
Def ini si Per. sama
bus
listr
Jeni
@60@ NNNN 66!0
q'iis*itEEiil'li
o
@
rA
r
o {
CD
o Jen is
Def in
ks-
.5
o
o q
o :. E
o.
3
x o
J
g
a-
!e
a.
3 c o
xc
2.
c
:. ('
s
9am
sera
OE
o,ej: @G
)-
EA:
-c
o 96
LO
sial
B pon
e
E sama 8n
o si per
o
Fungsi kerapat
tersendiri
p;
Fungsi
=
f p,
!tu)
1-e
r(y) =
tG)
distribusi d
! rata-rata
a
a
-a
tr,'p,-u'
Ir'z 71r\ or-p
I
p;
o
airrari'iran
V ari ans i
1
f.r;
I, tG)
t
Nilqi_19!q: rata yan(
.,,.
i ", l-i:"7, tr*
-2
nilai
I
o
Nf qo o
-o [$ fo
dq 9.s
@_ -o
ool IO l
oNi
DO oo ol,
o\o
f
*dr JO
5o 60
$s or
E2 o=
,
f
=
i
c
E
E
q
a
J
3*r{
:
Ei; ie'-
&i.L
^F 'I 5; eF f ;
sE i;o5 @r
q
Ie
6
$ E 1 gi-; s;* tE F L
56
if *r; :i Egg i+ is
o o:.
:;:.
oTL FXO l3 i: a[6 :: E-p rs
i6'6
4$$q+i 5[
r
--
!
-!
jtY'
ha n
untul
-o
x-.o bca
l-E
s-s
, g :.
E
I
i'
5 o
so
6;; qd
fo
o o -{ 2. r
I
3.> ,a{
o ur
o,
x
(c)
U' l =
(D
l.
I
o o)
qX
.o{
g6
i" ?o s.{ 3iE
6ro
--
E ) {E ra
-oao39.c f o ; !o
angantara a, /,. Di sanasetiaP nilai adalah kemungkinan yanl
+0,ha nyadidalam ru .v adalah
Variabel bebas
p = 0'5 =konst.
dari distribusir Binominal
Kasus khusus
n- a;p+0.
kemu ngki nan tanpa kesalaha
Memberikan
r=O
Poisson
dari distribusi
Kasus khusus
esa la
arialpl hphrc emu ngkinan
ari sebuah
ailri tar.an.liri
angka dalam con
bidang penerapan
K etera nga n
toh bebas
lf+
1""
4\"'
#,
E4
rutl
K
5t:gi$i I:++i** 3:' ii il' *,a r i '6
,
r:
'/",',,V.J
kerapatan
Bentuk fungsi
iilg i{5 Ef EE i ?H1;-&q1 qq9;
lain mengenai distribusi di antaranya.
Penerapan hanya apabila nilai maksimum dan mini' mum saia yang diketahui, tanpa adanya keterangan
I I
I
luntut<'r(r)=Ountut
l-Lu Sering diperoleh dalam prakte <, sebagai ilai-nilai yang telah diukur dengan distribus ber ben tu qenta timbul di sekitar suatu nilai rata-rata
rrl---*L"T o f .^
-(r. yl'
Digunakan unt u k perhitu ngar yang dapi )t diandalkan Penggantian a-r oleh tingkat I ecacatan ) . dikalikan de
l(x) . a e-" a>0 x>0
berlanjut
!( )
distri- rn kemungkinan busi
STATISTI K Distribusi normal (Gussian
tl
STATISTIK
Gz
)
Garis pengenal kesalahan atau
pongenal lcurve) untuk kerepatan kemungkinanT/it - 1 dan lr = 0 dalam g 39
lengkung Gaussian
Garis pengenal
menghasilkan kerapatan ke' murrgkinan standar dengan ni' lairata-rata l=0.
rab€l
g
'14
11,1
Z 26 dar' Z 27 untukO
-<
wah lengkung
/''1 '99'
diberi standar
$ttt
= Jort)
Sebagar
ot
-ffi)'"
g"(,) -
i
-,,
ft1"'
or
Nilai-nilai @o1x| antara
0
sr
s
1,99 dimuat dalam tabel 226 besar periksalah perkiraan pada fasal berikutnya. Hubungan antata OoG) dengan fungsi kesalahar': adalah do( r ) = .erl I x/{7 ).
o
Untuk menggunakan tabel terlebrh d':irulu carilah nil:ri kera' patan kemungkinan stanclar f'(l) Ya^g berkaitan dr:ngan )' Bagilah dengan 0 untuk mcmperoleh nilai nyata da(t k"taqat' an kemungkinan //.\'/ untuk nilai r (lihat'g 44). distrr aris pengenal (lengkung) kemun$kinan normal {Fungsr busi kemungkinan). (lrstribusr normal vanq o2 - 1 clan 1r = 0cl g 39 menghasilkan
anrara
dan +r dari fungsi kerapatan simetri5 gi'tl.
-r
, -tl
di ma4a I
memberikan
nilai fungsi distribusi
^Yala.ll')
odala
, i-"
yang
g45 untuk o2 = 1 dan I = 3. Daerah di ba-
.t1!!=h.''#'
I
berdasaryang
menggunakan
retapi iuga dapat dihilung dari g 43. Hubungan antara kerapalan kemungkinan '{'(L) vang tr:lah di' u^' beri standar , dengan kerapatan kemungkinan
tuk/r+Odano2 +l
ini
kan distribusi normal dibeqi standar dan
r ai-.-r ,/.(l) dimuat dalam
ic,
Distribusi kemungkinan
227. Unruk nilai-nilai .r yang lebih
Fungsi kesalahan
951
= Q.Qt2) _
9s2
.
#
$!"-,,
t",^E l'r'
...'(2n+ l)
I
Nilai-nilai er| (x) antara 0..x.. 1,99 dirnuat dalam obel226dan 27. Urrtuk .t>2, nilai-nilai erf r.r, yang rrr,rndckati ketepatan.
a'
Z
(
nya clapat clrperoleh dengan nletrqqunak3rl
lirnil @(i.) = I unluk a'- ' dan ( (lt
a
= f - -gr e-
Clr
mand
lungsi simetris, berarti bahwa:
. {t-t) = r-r(r)
Huhungan antara lungsr clrSlrtbtrsi
;*!.:* "
(
",
dr nlana
A t
c = Ostsurltuk ? s .\ a 3 c = 0535untuk3:- \ s 4 a . Osrsuntuk4 = r s 7 a=056untukTars,
Daerah di bawah lengkung kesatahan apabila
-
(
erfrr dikursnqr
(
tanjutan di G9
(
errc(r) = I - ertr.) =4[J".,l;.1 69
( \.
STATISTI K laniutan dari GB QoG) dan 11-
STATISTI K
Gg
Percontohan bebas
lanjutan dari G9 Contoh: Dalam ratu kumpulan l0O sekrup, makimum terdapat 3 buah yang c€cat W = 100, pl\ = 3). Kemudian diambit contohcontoh 3embarangan n - 20. Berapakah iumlah bagian cacat yang diizinkan dari contoh iru? - Kemungkinan-kemungkinan f P(r, sdalah
%
hubungan dengan seluruh daerah
e(t)
untuk nilai-nilai khusus
Gro
Pernyataan kelayakan; Karakteristik keria
q55
-2a-c0olat Umum: Bilamana pengetesan setiap komponen sendiri-sendiri menjadi terlalu mahal ataupun tidak mungkin dilakukan, maka digunakan cara percontohan bebas untuk pengujian itu. Contoh harus dipilih secara sembarangan, agar semua bagian mendapat kesempatan yang sama (artinya penyampur-adukan yang baik). Tuj.uan pengetesan dengan percontohan bebas adalah untuk meramal kemungkinan tingkat kekurangan nyata dari seluruh iumlah berdasarkan jumlah kekurangan dan kesalahan yang telah diukur dalam contoh.
Tabel di atas menunjukkan, bahwa untuk kemungkinan satu btgian yang mungkin cacat.
apabila percontohan itu dilakukan !anpa penggantian. Sebuah kemungkinan l>(k) bahwa di dalam sejumlah N yang menggunakan contohcontoh n, tanpa penggantian, dapaLditemukan dengan saksama I; bagian-bagian cacat, apabila p adalah kemungkinan yang diduga untuk sebuah bagian cacat (yaitu pA' adalah iumlah dari bagian-bagian cacat nyata dalam ,\' dan merupakan angka bulat).
,t^l
\^/t;ii^
/;
p.vadarahanskabutat
(^J Kemungkinan, bahwa tidak akan ditemukan lebih dari k bagian-bagian yang cacat adalah:
957 gsB '1o',
rangkan. kelayakan
P(k)
[nv)('v1r i \t /i n-, ,:o lill I n,r
r11
r,p.vadalahangka bulat
059
P(r>tr) - P(h + 1)
+
P(h +2 )
r... r p(n) -
P(r
)
Bilamana r! itu besar, yang umumnya demikian unruk kebanyakan proses pabrik, danp<0.1, maka distribusi poisson dapat menggunakan:
P(r>/r), T!!!-I-;"e x ,;..
!
(
P(x>kl
Dari seiumlah .fr' diambil sebuah contoh bebas ,, dan dikete. mukan k bagian cacat di dalamnya. Apabila kemungkinan pe. nemuan bagian cacat di dalam iumlah itu adalah p, maka ke. mungkinan untuk menemukan lebih dari /c bagian cacat di da. lam contoh ,, dapat diturunkan dari g 57.
/nn)(r1r -P1)
=
901i
Distribusidistribusi khusut retanjutnya: Di samping distribusi hipergeometris yang memorlukan banyak waktu untuk perhitungan. ada lagi distribusidistribusi khusus unruk pendugaangendugaan dan kondisi-kondisi tertentu, Dalam tabel G4 dan G5 hal itu diperlihatkan bersama-sama dengan distribusi hipe.geometris; karakteristik mereka yang khusus juga dite_
Distribusi hipergeometris: Distribusi hipergeometris teriadi,
956
<
e
( ( ( ( (
\
l
laniutan dari G 10 dan apabila ukuran contoh k
g6
p(r>,t)
-,-
STATISTI K
itu kecil, maka
jq#;'a= 1-;^r[t+ff,ry{....tt?,''
]
Dengan menggunakan g 61. pernyataan kelayakan P(r > k) untuk bagian cacat di dalam seitmlah N dapat ditetapkan, apabila dapat diketemukan /r bagian cacat di dalam contoh n, atau g
Dengan menggunakan g 64. karakteri:tik-karakteristik keria L(pc) dapat digambarkan dengan dua cara: Tipe B TiPe A a = konstan c: parameter c=konstan r:Parameter
Conloh
61 dapat juga digunakan untuk dapat menemukan ukuran contoh yang diperlukan, apabila dengan suatu kemungkinan kesalahan p = kln, li bagian cacat dapat dipakai untuk sebuah pernyataan kelayakan
P (x
> k).
teristik kerja (OC = Operaring Characteristic) Seorang pemakai perlu mengetahui apakah kualitas barang pesanan yang dikirim oleh pembuatnya memenuhi permintaannya. Dengan dugoan adanya suatu bagian p cacat di dalam seluruh kumpulan barang (P=Pd maka ia ingin menentukan apakah seluruh iumlah pesanan itu diterima atau ditolak apabila di dalam contoh bebas sebesar r bagian, hingga c bagian ditemukan cacat. Kemungkinan bahwa pesanan akan diterima berdasarkan bukti contoh adalah
L(p,c)) t -a di mana o adalah tanggungan si pengirim
c9; .:o !E o.= :o FO
Eo,
)l
!ittrt57 bagian cacat
dari p = O. c harus <
a
keria
0.
r.l bagian
! ( t cacat '-
.
p'L
Perhatikan: Semakin besar
nilai rt, semakin
curam kerianya; apabila n = y'y', maka garis pengenalnya (lengkung)
karakteristik
meniadi paralel dengan ordinat dan tiap barang
telah di-uji. Semakin cu.
ram garis
(^f!r..
pengenalnya.
semakin mendalam
pe-
ngontrolannya. rr harus ) c
Tingkat Kualitas yang Dapat Diterima (A.O.L.= Acceptable Level): Persetuiuan antara produsen dan konsumen
atau dengan menggunakan distribusi poisson:
""-"'= "'n[r'^r*
ol,
nilai c, semakin dekat ia'
rak karakterislik
barang atau dari
L(p,c) =P(O) +P(1) + ... +P(h= c)
' *tif
*
Perhatikan: Semakin kecil
s 57:
L(p,c)
A \r rr
Karakteristik keria; nilai AOL
.*f:]
(
menghasilkan
(
sar 90%, maka tanggungan produsen adalah dari 9 62:
(
ritik terpenting mengenai karakteristik keria. yaitu nilai AOL. Pabrik perlu diyakinkan, bahwa metode percontohan dapat memperkirakan kualitas barang dengan cermat. Apabila hal ini dapat mencapai suatu kemungkinan sebe-
L(p,c1 z 1 - a = 1 -O'9 = 10%. namun metode percontohan dapat meningkatkan tanggungan produsen. Untuk mencegahnya, produsen dapat memutuskan
(
rr : jumlah dalam contohcontoh bebas c : jumlah bagian-bagian cacat yang paling banyak dapat diterima
72
\
d 73
d
I
STATISTI K Keandalan
(
Grz
Reliabilityf
STATI KA
tiuttn dtrl
G 1t untuk mempertahankan tingkat kekurangennya lauh di bowah nilai AOL
lanjutan dari Gl2 Dalam sistemsistem yang dapat diperbaiki, MTTF diganti dengan waktu rata-rata antara dua kesalahan, yaitu larak kekurangan rata-rata m = MTBF (mean time between failures/waktu rata-rata antara kekurangan_kekurangan). Nilai MTTF dan nilai MTBF adalah sama.
yang telah disetuiui, misalnya safa Pot), yang memberikan suatu kekurangan cr, yang diizinkan,
dalam contoh seperti yang terlihat dalam grafik L(p,c) terhadap p, yang
MTTF
971
Rs
--Rr
ada-
972
Dcfinisi umum Keandalan (reliabilitas)
R(r)
Kemungkinan terhadap kekurangan Kerapatan kekurangan
f( a )
-(
e! ^,.t =
",
1-R(.) dR -dt i -[^rt ,, l( I ) e o ldR
r(r) = #i+= - ?ril
MTTF (mean time to failure/waktu rata-rata terhadap
R"
"t keku'
,,n,.
e'
dt
- IlR,
^^,,i1'
I
Ke-andalan
R(r)
e
Kemungkinan terhadap
f(r) /(t)
I -a Ae
Kerapatan keku
ra
kekurangan
ngan
6
. Jntr) .:r
)(t) =#*.
Jarak kekurangan (MTBF)
I
[ .x a - le dt 0
0) : iumlah elemen pada waktu t
: iumlah elemen pada permulaan
71
\
( (
=konsran (Dimensi: l/wakru)
a
laniutan di G13
,,
Distribusi eksponensial digunakan sebagai fungsi keandalan
Tingkar kekurangan
rangan) I
JR(t)
e r h a t i k a n: Ungkapan-ungkapan untuk fungsi.fungsi ke-andalan R(t) adalah fungsi-fungsi distribusi L'(x) datam rabet G4 dan G5 (untuk perhirungan gunakanlah g66). Disrrlbusi eksponensial yang mudah dihirung itu, umumnya dapar mcmenuhi keper. luannya ( l= konstan)
l
arrF=[t(.)!dr
Rr
'lp,n, .
lah sekitar O,65.
6
=
t u ra n h as i I p r od u k s i untukkeandalan R.: Apabila Rr ... R" adalah ke-andalan elemen-elemen t ... n. maka ke-andalan seluruh sistem meniadi :
sukses dalam penanganan barang naik 99%. Dalam
Tingkat kekurangan
n
MTEF
a
lebih sedikit daripada cz'. yaitu nilai asli yang dike. hendaki. Sebagai akibatnya, maka kemungkinan
praktek, nilai AOL
Grs
Keandalan; Distribusi eksponensial
Aturan produk untuk keandalan A,
8r=e
o
-
(
i
d
^rl ?5
d
I
lanjutan dari G13
- C'^t ' rr'"' ' rt'" ls : lr +,1, + ... +f, r
979
980
Tfngkat kekurangan
kumulatif
Untuk nilai-nilai
lanjutan dari Gl3 Sambungan y.ng di keriting
TTBF -L
kecil tingkat kekurangan dapat dihitung kr-
kasar
29500, halaman 1, DIN 40040 dan DtN 4t6t
jumlah elemen pada permulaan x waktu kerja' nilai-nilai l- kebanyaloan berkaitan denEan iam-iam keria. Satuan: 1 fit = 1 kekurangan/ tOt iam
Bipolar analog-lC (OpAmp) Transistor-Si-Universal Transis tor-S l-Daya Dioda-Si
I
dalam
5...30
1
15 100 20 100 5
20
Kondensator elektrolit-Alu
20
Kapasitor kerami k (mul tilayer/berlapis-lapis) Kapasitor kertas Kapasitor Vulkanite
10 2
Perlawanan-karbon > 100 kQ Perlawanan-karbon = 100 kO Perlawa nan -logam Perlawanan -kawat gulung
5
1
5
(
o.5 1
10
Transformator kecil Kumparan (coil) HF
berkurang
0,3 0.4
fit:
Tantalumdenqan eleKtrolrr cair kapasitor --Padat
Kuarsa (Ouartz) Dioda ber'emisi cahaya
0,26
Prrhetian: Bincian untuk ke-andalan (reliabiliryl adatah OIN
iumlah yang cacat
Contohcontoh khas untuk tingkat kekurangan Bipolar digital-lC (SSl )
Kontak rtekar rumbot Soket rteker tumba.t untuk tiap kontak yang dipakai Sakelar steker sumbat
(
5 1
(:
t0
(
intsnsitas sinar
507o
Sambungan yang drsolder Sambunqan yang dibungkus
500 0,5
0,0025
d d
76 77
d
HITUNGAN DI FERENSIAL Koef isiensi diferensial
Hr
Koefisien diferensial (atau turunan) Gradien suatu garis lengkung (kurval Deraiat kemiringan sebuah lengkung y = f(x) berbeda-beda dari satu titik ke tirik lainnya. Yang dimaksudkan dengan derajat ke-
miringan sebuah lengkung pada titikP adalah derajat kemiringan dari tangen pada titik tersebut Apabila x dan y memilik! dimen. si yang sama yang tidak demikian halnya pada kebanyakan diagram teknik dan diperlihatkan pada skala yang sama, maka derajat kemiringan dapat digam. barkan sebagai tangen sudut a antara tangen pada titikP dan sumbu horizontal
ten hl
Derajat kemiringan yang selaluln dapat digunakan
o
-!v Ax
Koelisien selisih Koefisien selisih atau derajat kemiringan dari sebuah fungsi y = lH antara PPr adalah:
(
dv - l(x+axl-f(x) Ax Ar Koefisien diferensial Apabila J: adalah kecil tak terhingga, yaitu apabila dr mendekati nol, maka garis miring (slo' pe) pada titik P menladi nilai li' mit dari garis miring salah satu dari garisgaris potong (secants), garis miring ini disebut "turun-
an" atau "koefisiendif
( ( (
erensial"
dari fungsi di titikP. 7a
(
HITUNGAN DI FERENSIAL
HITUNGAN DIFERENSIAL
Hz
Maksud dari turunan
Maksud dari turunan
l.nlutrn darl
laniutan dari H1
h3
Hg H2
Koordinat iengah unluk lari.!ari O
,'- ff'
t'tt)
Lf-l ,,
ort
,'' ]::"*- ]P,tJ':4ft(r) -ff'rct
Dr
yr-f,I
+ url
Keadaan Geometri dari turunan
!iit komiringsn suatu lsngkune Apabila, untuk setiap harga x dari suatu lengkung, dera,at ke' miringan yang berkaitan itu digambarkan sebagai ordinat y', maka akan diperoleh lengkung miring yang pettama y'=f'(x) atau turunan pertama dari lengkung asal y=t(-t). Jika kita am' bil turunan deraiat kemiringan pertama yr['(x)' maka kita dapatkan y"=f'(x) atau turunan kedua dari lengkung asal
Penentuan minlmum, mrklimum dan pelengkungrn Minlmum dan maksimum
Nilaix=d diperoleh bilamana;"--i dimasukkan dalam y"
Untuky" (a) > O akan.diperoleh nilai minimum pada x=a Untux-y" (i1
y=l'lx) da seterusnya.
lrt+ 8l+
Ct +
\
Pelengkungan (i nf lexion) Nilai i=a-diperoleh apabila
t,
\.
\:.
Untuky"faT
,.t!'-/
\?
*0
),t t-'-"-/""""
dalam y",
akan diperoleh ruatu pelengkungan pada x--a
Naik dan turun
v'(t) > o Y'(r) < o v'(r) ' o
Jari-iari dari lengkungn O pada setiaP titik x berada di bawah lengkungan bita e l(,berada di atas lengkungan bila p +
Epabila x meningkst betkwangapabila x meningkar y(x) adalah Paralel recara tangen dengan sumbu'.t di x
y/x/ -y(x) meningkar
(
d
Pelengkungan
mlntrnunt
ilf
./'!0 dimarukkan
Bentuk lengkungY=//x/
zJ-;
.9
O akan diperoleh nilai maksimum pada x=a 19.
0
I
16 . lT --r;-
<
UniukY"(a) - Olihath
-
v/x/ adalah cembung (dilihat dari ata!) v"(x) < o y'(r1 uaaun cekung (dilihet dari atas) v"(r) > o dengan suatu perubahan lbelokan (flsxionl v"(x) 'o Ifffififif,lI randa,y'(x) oadr ftitik darar .r memgunyai
d
d
81
d
I
HITUNGAN DI FERENSIAL lanjutan darl H3 Kesur khurus di mana pada ruatu
ht7 hlE
HITUNGAN DIFERENSIAL
He
Diferensial dasar
lanjutan dari H4
I ,,-t=
tltik.r--a
y,(o) . y,(o) . y.(o) . O, terapl y"(o) r o, iatu di antara 4 keadaan,ra-r)1q) berada di sini: n- bilangan genap rt-bukan bilangan ganlil yh'(o) . o
,IA
---#-
Turunan dari fungsi-fungsi inversi Persamaan t'=J'(.\) yans dipecahkan fungsi inversi
h30 h31
h32
Turunan-turunan
- arcoax I l(x) b'erit
h23 h24
h25
u(r) t u(r) u(r) u(:)
u(:)
;frT v,
Y' -
',,,
.
/ ['(')]
h33
- ,'(+.
v
a2
t(x) {;: ll:i
-W
1
na n
I
h35 h36
v
P
v
x e'
v
h38
u'rnu)
turunan -e
oo
or
ox ln o no'llno o" 2,Ino
v
an'
h40
v
ox
2
2
v'
h41
du dr
du.
h42
ilmu ukur 91n r co8 r
atr
543
tan
Fungsi-f ungsi
tlu da dt Cx
n
i
* r)
v=
h39
h4d
er (t
}6r
l'(u) u'(r) du du
n
x
cot :
( (
su Cut
v'
co9 -sln
yt
Eentuk parametris dari turunan
h28
'-1^v-
v-r(x)
e
h34
h37
!
zYv
Turunan rebuah fungi drri sebuah lungsi (aturan berantai)
n27
'l
f'l')
fungsi
c n .rn-l
y'- u'(r)l u'(x) Y'- utu + l,a u' u'u - u u' ---;,-
v'
h26
menentukan
Fungsi-f ungsi eksponensial tu runan
cx" +C
untuk.t,
I ,,,,, -l*--rt
x ' p(v) Contoh:
furu
Aluran darar
h?l h22
Hs
Diferensial dasar
v'
X
:
I
;;r; -t
;1;T
1 + tan2: soc2t
-(1 + cot2:) -cosec'r
,t
d
83
d
l"
HITUNGAN DI FERENSIAL Diferensial dasar
Ho
Turunan-turunan (derivatif) Fungsi logaritma
turunan (derivatif)
a rtn (A.r) o coe (hr) rlna: cog'r tan'l cotn:
h45 h46 h47
h48 h49
h50
1
/
- o lcoc(hr) v . -o ,( sln (}-r) tl - nclf-lrco6x ,/ - -n "o""-t x a1n r ,/ - n tan''lr (l + tan2r) - -n cot'-l.r (1 + cot'.r)
h5r
Y
cln :
v'
h52
v - ;;;-i
v'
I
h53
V = ln
h54
y = Logox
v'
h55
Y i
y'.
h56
Y = ln r"
yt
h57
v e rn/i-
v'
ln
x
(1
h59
Y = slnh r Y z coshr
h60
Y '
y,=
cosh r
slnh r
t' i
,,
tanhr
h61
v
rrctan r
yt
ht6
v
arccot r
v'
h60
v
.ralnh r
v'
h67
v
rrcoah r
v'
h@
U
trtrnh r
v'
hc9
v
arcoth r
v'
-
lanjutan dari H 6 I
i-Titr
t '-rr-r ' IFTT I
- 7-r I
I
r -I. 1
r -.c
v'
Fungsi hiperbolis
h58
h6a
v' yt
1
;;a; -l
Y = arcaln r
v'
h63
Y c arcco! r
u'
(
i I
.1^F;
Fungsi ilmu ukur sudut inversi
h62
i
I
I
d
84
d
I
HITUNGAN INTEG,RAL lntegrasi
lntegrari Krbrlikrn lnt era a drrl dlfrrrolei Yang dlrnrkrud dengon huhrngan lntcgral adolah mdralah pcncaharhn ruatu fungri y-f(x), turunan dari F/x/ adalah rama dengan//x/. Hingga
f (tt . T)- - ilrt
jadi. dengan integrarl lntag?ll tlkt ntu
(
ll(xl ax ' f(r)
)
Di rini
+c
C cdalah konstants yang ridsk dikctahui yang meng. hilang bila dUiferenriari,karena turunan dari suatu konstante adalah nol. Makrud Gcomctrit dari integrcl tidak tentu Sepeni terlihat dalam gambar ini,_ rerdapat jumlah lengkung
)'=t'(x) yang tidak
rerbatas
dengan iebuah derajat kemirl-
ngal y'=f(x). Semua lengkung
y=F(x) mempunyai bentui
I
yang sama, tetapi memotong
d
rumbs..r pada jarak y8ng berbeda-beda. Ncmun konstanta C, membentuk suatu lengkung
ytng teEp. Apabila garis
kung tgrrebut memotong
rol)o.
leng-
mEks
c.
titik
(
tb -r(tr)
lntcarrl tartantu I
ntegral tertentu dinyeta kan sebaga I
,bb
t4
' r(')l oJt"' '
- f(D) - f(o)
,i
d
dI
HITUNGAN INTEGRAL
HITUNGAN INTEGRAL
lz
Aturan integrasi
Integral dasar
Di iini int"gtati mengambil tempat di antara limita dan b' te' sultan substitusi kedua diambil dari yang pertama, yang me' ngakibatkan konstanta C menghilang. 113
Rumus dasar
i7 i8
i9
* C,
I**
i5 rt
disini
I+ ' rnr + c . a, t J,t') a' J[,,,,. u(r)]ar J,tr) ffE* ' rn u(r) + c I" ,,,
u'
(r) d:
- | [,t,t]' .
l, A
u,
(r) a: . u(:) u
t15
f;-:,:; =,
t18
i19
c
iN t21
u(r)
cr t22
lntegrasi molalui substitusi
p<'t
i11
* -
t23
lrlrra) s'(zt dz
disini t t S(l2) dan rlr - s,'(21
t21 6z
. ltt;;- . 2, turunannyaadalah ,''
,x - 5 ' iadi a, - $
J(
rn
r)' dx .
rn1,1
r(
1n
_,
lxl)'
-
zx r^
lil + 2,
" r' l(rnl,ll[.irnr,t. $!1. [x nx dx = r[+!.i_+] !x^u, o, =,*' [^+4 ,+-]
H
l;*"
=
t*'ii"' .
.
r"ltr^l,lll
+;' /";;;; f =
^o,
Jteardx.:r(ox-1)
ltu",o,="",6 lr"ro'
d,
+r+)
1 ,n"o' - L ". fx^-t eo' dx
t25
Contoh:
r(r)
=*"#
foo,o,
t17
e
I* o,=-*.;,
i14
t16
lntegrasi melal ui bagian-bagian
i10
lntegral (pengabaikan konrtanta integral
di
dinvatakan dalam bilangan
t20
*- l. ,,;:l?":J
ttrt -*lW* -l,li, c. tl,"lf" rumur.n di rtrr: .1111 -f trr-ill/iiJi + c
nirrrz kr
l2t
I#o,
":(;I#* -+,^1,-:;'l
tu I*:
=
=+-l-
-"!ili *)
rnlo+ceo'l
(n+ !)
(
d d
d
I
HITUNGAN INTEGRAL
HITUNGAN INTEGRAL
lntegral dasar
lntegral dasar lntegral
(mengabeiken konstanta lntegral Cl
(mengabai kan konstanta integral C)
tat t2s t30
t3r
f##;-1/u" /e"'
rnr6, ern ar
=
at . -fir.10
';[oo'
134
r35 r36 137
tat i39 I
,10
l4r ta2
I
eo'-lnlrl l/*
cos b, dx -
132
t33
tnlt*c"o'l
(
A*r
o
a1n co
s
.,
l1t
br - b'cos br) bt ] b
iG, - b)1
;(r.
JXd
6Ln bx )
+
bJ;-r
=
of+D
b -Inlox+Ol r -r .? I o-
/a*"-
laa
i['GHro.
,*#y
-
4[to,rol - zb rnlox+ul
' "#rl]
$]
t51
t52
ls3 t54
r'1"*'l (Dc-ad
*
0)
I
*5 . #F,., + b)' - 2b(or + b) + b2 rnJo,. ol lut.l'ol'+rb.(orrb)- u,rn lo,rol-l /#t . 4l(glqll-
t$
/d+,"-,-,.*?D $
rnlo,+ol
t60
Ii;mii;-- " '"l, '" J#++l ffi==l'"+;;'"1:+*1 ffi,"tt;1 Fl?l*r"|"'+al-g ' r o --
*
r19
H- ' 1rnl"'-ol l-__ d, J(*-b)'= ;G:ll6:Fr-
r dr
lo',*o1-'"to'*u'
t48
H:r=fr"lo,,ol l----!,
,16
/,-#:a' -*[""^
-#'"1"*l
-* - firl"-+]
r55 t56 r57
t68 r69
t60
IXr -+ arctani I** " ] rnlo'*rl Ii:*
Ii'*
f ar
' r-o!arctanr -4-+1nro'+:'l r dx
1 I - lo+rl
JT-:ir''ll:7'--t";sl
fxdr fxdx ' -li* ' -f rnl"?-,'l ii?
(
1
d d
d
t
HITUNGAN INTEGRAL
HITUNGAN INTEGRAL
lntegral dasar
lntegral dasar tntegral
lr,
(Mengabaikan konstanta integral C)
lmenoabai kan konstanta integral C)
t77
r7c r79
tB2 t63
t80
i64
t01
r65
182
i66
i83
r07
t84 l68 t69 170
I t-gv,"). 2lo'-
)1u" -
t85 x'')
Ie*r= fil:?t-'*1 I "\ ar J(J - ,'i'=
a'
1(J:?1
''n tnlor-rrl
* -iV; ly6,7i a, =+Vt*,;\' 'l,t*, * = IILqLINGLDL t ,t o, - 2Lt2i-t-:!o'o':]!D-[Gl ol lnYn
J'rr
r86
rot 188
- z(":-:P) l,{",, r)
I*
fJ,lt
lE_I',m
-
4abr + ao")
y'Gl*6
!W= ", -+lF; *{"."rnr,i !,tn;z o, -+ttri,a' =+t[?;A' ts (,/uZ.o,"."rnr,]) [,'/"'* ,, = /@io' - "' [+7t' o,
{,,W=
-. r^y.qJl lry = l/o\t - *? Iry ry,,=-87'* o,
+arslnhtl
o, =
dr
ffi
'
,. x arelnh-:-
ffi'w;7 =+1tr-,, -
i90
# r-dg
i92
f o,
t89
2(ro2r2
l-
/@. rp w;7 =- ,
I:
J
fVa'* r'
fi;e o-
'
{,.,,nn r
- o, lk . o,
(
d d
d
L
HITUNGAN INTEGRAL
HITUNGAN INTEGRAL
lntegral dasar
lntegral dasar lnlegrat (Mengabaikan konstanta integral
rv"ns"uuit"n [13"1*ta intesrat c)
pfu=-wir*,"Pry\ o, =*VVe-*o'".",tnr] ,1ft -7 o, = -!Wi -7f
Itfr-
f1n=
a,
-
-ifiEtf .{(tn-l*o'..".lnr)
[:tri-:::ff!ff
far r."511J1 t: o JVaz_f f xax
lvoz-f ,?or
v7- = -+W= I iax
i
102
i
103
I
104
i
105
I
ro8
i
107
I
108
l1/a2 - x'
=
-rrnP.q=l
-
*(,rc-
110
f
GJj ^- =- t/j fx-o ^, -oarccos--a
J-r-"'
ftF:e f/7:7 , J---v- o,
v7-7 x /7 -7 + 1 uccos:o = ---2"7;
o, dx - - 1 [rrn I tt3 rtntor dx -+-+ I
112
B1n2or
lnlar dr . - -l1ntro.r d-r
115
[x
o:
coe
o, *
"o,
3| "o"rot i- ox slnn-ror * n11 "o" [.u"-'o,
stn or su ax OX=-oo
I
117
f
,rn o, o,
r
118
/t'
nrn o,
i
119
I
120
I
122
I
123
I
124
[*+'
=#
slnor -
{ QtfZ-- o'"."o"h.]l.) ,, - nn;}f * o'ftV-if
a,
(n is an integer > 0)
,r cos or
({ -#)".'",
,, = (+- #).,^ ",
-
e - !r)"o. o,
(or)u (or)1 ,, =ar- (or)r 141 '35 TTt* "
,i
- o, "."o"r,f)
,y'7-17 o, - +14,'*?)' {V?- o, = +l[7-7f .
il7*'
I
*$".".rn:
/7- ---3x
'y?:;, o,
109
i
t:
J
I
C)
1"o,"
o, o, -;
+
f
stn zo:
,d
d
94
dI
( HITUNGAN INTEGRAL
HITUNGAN INTEGRAL lntegral dasar lntegral
lntegral dasar '
't25
I
126
It
"o,
o, o,
=ficosor+(*-+;,'^.,
f"o" o,
J--7-
cog
dY = ---4r-
fco" ot or =
Jr"
or
'xJ.x
--!+-=At"no, or a
-!#X.
f sln or dr
tan^o: d:
-.;ftunn-'o, c,
= '1- tan
dr
1
cotno:
drl s1n'ar
',1,
/ox
r\
=
-lcot(E +) = -1-tun(+.+) 2
(n+1)
o.
cos
bx dx
"o"o,.cosDr dr
.
-.":[-;i,)
(tot+ tot)
= ={:04".# ";t:i;i,).{{gip
ool+tot)
d:. "-itJ]t"f -Jcotn-2o: a: - Jsrn o ,, , !oJfr^-t "tno, = 1 rn ltrn orl
--cotaI a
or. 96
n-2 f dx n-1Jcos^-zox
ax + ;? In lcos orl
dxlor I - Coao.r --col: o
-.in
cot2or d: = -: --l-coto, o
x
*..,
o, - ,.
- iti"],'f
x dx ;:;i;
rlnq:
costr-l or
t.nE.T I + CO8(r.r..1 A 2
or dr = - ] fnl"o. orl 1un
d, 1 .coatro.r o(a-l)
i+;lno;=atan(z-zJ
cos or o fsln o: dx - ;:1 - 1;=iI;i:r J Ii:r-
tan'o: dx - J-
/
cos-
* = (+-q) ""..' .(t- $).,^.,
,,-;;i;;i-9.#
xdx x . ;!;q;. -f coto: +-! lnlsrno:l 1
141
*k=*r"1,"^("i,i)l
=
lx
tan
r sln or cos or --r-* -_a-
o' dr
o' Jt' "o.
d
(Mengabaikan konstanta integral C)
C)
I .,i[' "o"
I
lnt6gral
(Mengabaikan konstanta integral
I
lrr
coso.r
o.
=+['^1,,.(+.+)l #^J
t ,(
,d
(
i
157
I
158
r
159
i
160
i
r61
HITUNGAN INTEGRAL
HITUNGAN TNTEGRAL
lntegral dasar
lntegral dasar lntogrr!
(Mengabaikan konstanta integral C)
(Mengabaikan konstanta integral C)
ffi=*('"ltanorl
=+-)
''*-)
=+('"lt"no'l
1ldx2
I = -^g95'sr = _ __:cot?or a Jsln'6y
a+ n
+
fsrn'or'cosn-? ox d:
J
Bilamana angkanya ganjil, maka penyelesaian integral sisa (romaindorl 162
i
163
i
164
i
l65
i
166
I
t67
f.tn'r, or dr "' ---"^ -^ -= l9"t -^ cos o(,-l.]T J--'
172
I
173
I
174
(n + -l)
i
175
I
178
I
177
l
176
I
179
r dx = r arccosr
- tn-
I
180
I
181
I
1d2
i
r83
I
rccos
rctan
r dr = r arcttnr
ccot r d.r = r arccot. r 1nh
(o:
lnh?
i
169
ftnn^,
98
i
, tA-r'
168
170
171
csln: dr = r arcsin r
i
i
i
)
ur
r dr
cosh( or
o, )
F;il;";;. *;;6;;i;;i-*--"---
-*,^1,
-trnlr
+ cosh(q5) =]orar'tzrl -{
ax
= .r
-
=
cosr'r ' stnhn-t , -n]l , a, AJ [trnn"-' :
* slnh(or)
(n>o)
(n>o)
tanhr
coth(o!) or -.1 rnf slnn(ox)l .,i/cottrrr
Jcotri:
o:
r r - cotht
ox = - *
coth^-t .r
+
.;[cottri-'
.r o.r (n + t )
,m,.{:."1,.^n9il fr#- . -coth r ' df cosn
o.l =3a sr6qslgor
cosh'.r
- trnht
slnhrdr=rarsl.nhr
-tffi
184
coshtdr=rarcoshr
- t/7-1
I
185
tanhrdr=xartanht
i
186
*{rnl(r-l)l *]rnl(/-r)|
-
=
= -1N
o"
r d.r ={srnr(zx) +f
Jtann'zx
sin"r or'cosn-r or fstn'ox - dr = -l- cos'ar o[m+n) J -trj
i
i
lntegral
/arcotfr
x dx = x arcothr
( ( ( g9
I
(
HITUNGAN INTEG RAL
HITUNGAN INTEGRAL
PeneraPan integrasi
Penerapan integrasi koordinat titik tengah gravitasi
i 192
i
,r-
Ilx Ys - :i-
*
Moment statis sebuah benda
187
(dalam hubungannya dengan s bidang y.z)
moment statis sebuah lengkung , sumbu'l' sumbu-.\
ty,
^"1'Y'
dr
i't88 t t
koordinat titik tengah gravrlasl {gaya berat)
i
Koordinat titik tengah gravitasi
189
lE
xs
Volume dari sebuah benda vJno beroulsr di- I benda, Vang penam lintangnva A ada -r., luas]{ berputar I pang mengelilingi sumbu--\
Y
Teorema (dalii) Pappus Luas permukaan benda yang bsrputar
i I95
,{m
'
mornen statis sebuah lengkung dalam hubungannYa dengan
i
196
paniang busurs kali jarak yang dijangkau oleh titik te. ngah gravitasi (gaya beratl (lihat juga rumus i 86 dan i 881 ? x s y"
Volume benda putar v -luas z{ kali jarak yang dijangkau oleh titik tengah
-
2
t
A
gravitasi (gaya beratl (lihat juga rumus j 89 dan j 9ll
y,
lntegrasi menurut angka (numerik)
i
Pembagian luas ke dalam jumlah yang genap pada lajur
191
i
197
lebar yang
sama i
l
(
v
(
' +:b
maka, menurut
(
Aturan Trapazium
loo
lol
k
( HITUNGAN INTEGRAL
HITUNGAN INTEGRAL
!ro
Penerapan integrasi
Penerapan integrasi
l€njutan dari J 10
i
198
^
.
Momen inersia dari lengkung rata (plane curves)
(vo.2yr1292....+Yn)
|
dalam hubungannya dengan sumbu-r sumbu-y
Aturan Simpson untuk tiga ordinat:
i
199
At.
i,r"
+ 4Yt +
9r)
i 203
Aturan Simpson untuk lebih dari tiga c;dinat
i 200
,
.
i[*
+vn+2(v2+v.+...+v^-')*1(v, +vr+"' *r^-,
I
Umum Yang dimaksudkan dengan momen inersia dalam hubungan' n"uf"ngun rebuah sumbu'x atau sebuah titik O, adalah ium' ta'h pertltlan dari garis', lu8s', Volume', atau elem.en-massa
Momen intersia i
201
I I
, - 1, * .r.'i,
titik O'
M,M
Momen kedua dari luas
'
t2o4
i 202
Irt . Iyy . n l3r
kg m'
Persamaan'Persamaan Yang sama
dapat diPakai untuk momen' momen garis, luas dan volume innersia:
- \r
- Ivy + tl5'
m'
.I-- : momen inersia sekitar sebuah sumbu yang umum sumbu'xr f ' : momen inersia sekitar titik tengah gravitasi massa total ,", f , paniung total, luas total, volume lotal , atau . i; , i"tui titik te.gah gravirasi dari sumbu atau titik 102
1-lr,at r
t 205
"-,1*"|"-"/i'"
ang dimakrudkan deogan momen polar kedua dari luas
se-
buah permukaan rata dalam hubungannya dengan sebuah tirih O di-dalam bidang datar tersebut ada-
rl, tl i{
5F
tr-lv'at;
Suatu fungsi yang ditentukan y= f (x ) menghasilkan : sumbu-y trrmbu-x
fn- ^' o.Z'
Dalil Steiner (Dalil semua sumbu paralel) polar' Untuk tiap momen massa inersia, baik aksial maupun persamaan berikur dapat digunakan :
*
rata Yang dimaksudkan dengan mom€n aksial kedua dari luas suatu bidang rata, dalam hirbungannya dengan sumbu.x atau sumbuy di dalam bidang datar itu adalah per- y kalian antara elemen+lemen luas (area-elemen) d{ dengan kuadrat jarak-jaraknya dari sumbu-x dan sumbu-,1,, masing-mas ing:
Momen lnersia
iarat-iarat
-[tt1t;,'
Momen tnersia, moman{nomen sentrifugal dari permukaan
{momen kedua dari luas)
J"ng"; irrar"t
'",
o
lah perkalian antara elemenelemen-luas
(area+lements) d,.l dengan kuadrat iarakr dari titik fr.
(
jaraknya
i 2(,6
4'
fr'at
Bilamana hubungan sumbu*umbu dari /.t dan /;, adalah te. gak-lurus anlara satu sama lainnya, maka momen polar kedua dari luas dalam huhlngannya dengan kutub{umbu (titik per. potongan O dari sumbu x dan 1 I adalah :
I 20,
le 'fr'
6t - li(''lvt)dt
- Ir + Iy
( (
103
(
HITUNGAN
INTEGRAL
Penerapan
integrasi
I lt A
I,r'lxvot
i
Penerapan lntegrasl
I
lanjutan dari J l0 rng dimrksudkan dengon momrn tentrifugll (hasil inerrle) daii sebuah bidang rata dalam hubungannya dengan kcdua sumbu di dalam bidang datar tersebut, adalah perkalian antara elemen'elemen' tuas d4 dengan perkalian iarak'iaraknya x dan y dari ke-dua sumbu
llngkrran lsemiclrclel
-r,li,{6oy-*-\ i 222
i 212
r
D!h
i 214
lrf -
r, - ir*
i 215
hr'i*to^,- (+!l
Ir,
re -,1!,
o^
(Ragular polygonl
-ffi(rerr+or1
: juri-lari lingkaran
. aqr'-!'-{
didalamnya
I
yang membebani I
(6Rt-at);rry
a : paniang sisi 11 : jumlah sisi
Momen kedua dari volume sebuah benda Eilamana
- !!15,*n,1
^.
Lingkaran
i 216
223
t.rrtur
.+
karenaymeruPakan"sumbu
Momen inenir drri scbuah kubus (cuboid)
i2
, +.+ ,,,
+
Iy
i
r, - rt
Irf -u,
R: iari-jari lingkaran
t2
Ipo' It
-+,
Segi-benyek
.[+]:= DAI , bAr
r,-$;
b .2*
r
dari luas di halaman J 10 Empat persegi paniang
,r' ' L.-,(*)'
rum-
bu yang rimetri.
corla * f, alnro - I* s1'n2a yang berhubungan dengan momen-ketiua
-,|f,, o o,
+
Ir ' It . Jg - .4'- aL 216{ Itt- o, karona r dan, adalah
i 218 i 219
dap sumbu-x, dapat dihitung dengan:
i 211
- ,'[+J" -
i 217
o
Saru dari sumbu-sumbu yang berkaitan, merupakan sebuah sumbu yang simetris dari permukaan rata itu. akan menghasilkan ,xy = 0. ,onversi ke dalam sumbu miringix': Bilamana momen-momen Ir, Iy, dan /1y dalam hubungannya dengan kedua sumbu'x dan sumhr-y yang saling tegak lurus dike' tahui, maka momen kedua dari luas /o da' lam hubungannya dengan sebuah sumbu yang dimiringkan x, sebesar sudut a terha'
,,
(
HITUNGAN INTEGRAL
-.ll' z, , o,
i
rN - **(0,.t') r2
Jika x' dan/atau Y' adalah sumbu simetri, lx',y' ada'
(+ . +)
adatah momen
inersia polar dari sebuah persegi panjang (lihat J 11). maka per. remaan untuk irmbu{ adelah:
lah not.
"."
-"1(+|l.*}- - 1?ro'. a')
104
d I.
| Momen ,o-"n inersia dari (circular (circutar cylinder) | untuk sumbu':::
;.:J;"'^,.-#. ^, . -f. ,T
, ,,,1 rrulr,,,.
I
'
rl* .,
u "u| "
I
rilinde b.?bontuk bulrt soburh 3ilind.t rebuah
.{-1 :",
PERSAMAAN DIFERENSIAL
z,
lstilah umum
@
I
k.r"p",rn
itr=ffi
Suatu OE adalah sebuah persamaan fungsi-fungsi yang tidak diketahui, yang mengandung derivatif-derivatif (turunan) (turunan-turunan bagian) dari tungsi-tungsi yang tidak diketahui dan variabel-variabel yang berdiri sondiri. Jenis-jenis yang berbeda-beda adalah: Pcrramarn Dllcrcnrial Blaaa (ODEI: fungsi-fungsi yang tidak diketahui hanya tergantung dari satu variabel yang berdiri sendiri (indepen-
lr
den), misalnya:
:,:":, .,":"":"::,,",
I
un,u* momen'momen
ru,z,,+
- "i!'h - * lihat M
m6ssa inertia lainnya
=
31n
*
v=lG)
.u'\0v'= rrr r9^S du 0v
3
x:l(u,v,w)
Persamaan-persamaan Diferensial Partial tidak dibahas secara khusus di sini, karona metoda-metode untuk Persamaan-persamaan Diferensial Biasa dapat diterapkan.
I ' Io, I kg mr, kg, m c'. lb ltt , ?trl kg m-!, kg dm-t, lb tt-' e. zcf dimana i sumbu'sz sekitar silinder I misalnva untuk sebuah
-
2x2Y
Du
p.
rzz
Y" +
I
Pcrramaan Dilcrcneial Partial lbagian) (PDEI: fungsi-fungsi yang ti dak diketahui torgantung dari sejumlah variabel yang berdiri sendiri,
Persamaan Diferensial Biasa
r
,".f
d
Definigi Pergamaan Dilerenaial (DEl
massa inersia / sekitar sebuah sumbu tertentu tdelah lhasil dari momen kedua volume /r' sekitar sumbu tersebut dln
lMo-"n
Jr
F b, y@, y'(x), ... y(r)(x)) = o. Oi manay(x)adelah fungsi yang tidak diketahui. y' ... y(n) adalah derivatif ke-1 hingge ko-n; r adalah variabel yang berdiri sendiri.
l4 l6
Contoh: y"'(x) + nt(x) y'(x) + n(x)y2(x) + p(x)y = q(x). Orde: dorivatrl teninggi yang rimbul dalam orde ke-3 ODE dalam contoh di atas.
jt
Tingkat: ekspon6n tertinggi dari fungsi yang ridak diketahui dan derivatifderivatifnya; tingkat ke-2 dalam contoh di atas. Linear: ODE berarti, bahwa eksponen tertinggi dari fungsi yang diperlukan adalah satu; yaitu sebuah OOE tingkat 1. ODE homogsn berani fungsi paksa (forcing function),g(r) - 0.
l0
ODE inhomogen berarti fungsi paksa,
lr0
Penyslesaian:
111
112
113
4(r) =
y - y(x) dari ODE borani,
0.
bahwa fungsi ini dan derivatif-
derivatitnya memenuhi ODE. lntegrasi OOE menghasilkan penyelesaian itu. Penyelesaian umum suatu ODE orde ke-n mengandung konstanta-konstanta n Ct Cz .... Cn. Konstanta-konstanta ini. semata-mata ditentukan dari kondisi-kondisi tapal b8tas.
y'(x) - yi, .,. ytn-t)(x) -
Yln-r)
lntagral khas ODE adalah suatu penyelesaian khusus.
106
lo7
d
I
I
PERSAMAAN DTFERENSTAL
,
PERSAMAAN DIFERENSIAL
,
Js
Persamaan diferensial linear
Persamaan diferensial linear
i
I
Penyelesaian khas Penentuan dengan menggunakan "Variasi konstanta" apabila )mm dari ODE orde ke-a linear telah terkenal (lihat j 2, i 20), rumusan berikut selalu mengarah ke suatu penyelesaian khas:
Metodc PenYelesaian ODE 1
. Pindahkan ODE ke dalam salah satu bentuk standar yang terte-
radalamJ6,J8...J12.
2. Penerapan metode khusus (lihat J pl. Dengan n'enggunakan metode ini ODE seringkali dapat disederh"nit"n ,^"ii-aAi ODE standar yang orde atau tingkatnya lebih rondah (lihat J 9 ... J 12)
123 124
Tentukan
I
Pertamaan Diferensial Linear
Ir0 117
B.ntuk: y@ + plx) y,,-t) + ... + pn-(x) y' + Oi sini ke- 1
y
-
y(r) adalah fungsi yang diminta.
hingga ka-n dari y(x) dan
J
Pn6)
y=
y' ...
Plx) . . . Pn(x)adalah
C1:,
i20
lntegrasi Cl' (r) untuk I : 1, 2...n menghasilkan untuk penyelesaian itu Contoh : Penyelesaian untuk
SQe)'
yl", derivatif
y"+
fungsi-fungsi dari
C2y2G)
+ ... + Coynt)
menggunakan
121
108
Penyel€saian khas dari ODE inhomogen yr.,1 v--- ditantukan untuk q(x) + 0. J 3, J 6 dan J 7 mengarah[5il"r" menemukan penyelesaian-penyelesaian' J 9 dan J-12 memb€ri penyelesaian untuk Persamaan Diferensial Linear orde ke-l dan orde ke-2.
)pan : C{x)
j 24
rnr'r+c2
: [:;::,"; :: ),i;='' yy
+
c;@) t"t*t
[
: ln lxll6n
y2
g) =
1
C2G) t2
+ c)(x)'l = o
+c!(x),o:2t
Iriet!
oleh karena ituCi(x) - ?x2; Cik) = -2:2 lnkl lntegrasi dati Cr (x) dan C2 $) memberikan:
c(x) - lx,;
I33
J 9 ... J 12 memberi penyelesaian untuk Persamaan Diferensial
Linear orde ke-1 dan orde ke-2'
(r)
dari ODE itu:
menggunakanyr (x)
t€tapkan
Penyelesaian dari ODE homogen yno. /tun ditentukan dcngan menempatkan fungsi paksa Ck) = O' Tiap ODE orde ke-a homogen linear memiliki',, penyelesaianpenyelesaian indopendsn linear y 1 y 2... yn dengan a konstanta independen Ct . .. C".
= CrI(r) +
.yp.rt
n;16;-n;16; C|
=Lt
Menurutr 121: )nom
.I=.Inomf.Ipart
)rrom
q(x)
(r) untuki =1,2...n denganmenggunakan
Penyeloaalan darl ODE lnhomogon linoar
lls
0
sistem persamaan di atas.
26
r.
i18
o
Ci$) yr(n-zt + C)(x) yr{n-z) + ... + C;(x) ynb-2) : Ci6) y{r-r) + C)(x) yrtn-r) + ... + C;(r) y,,(^-t) =
Laplice-Transform lihat D 18 ..' D 20.
I
Yn.
B6ntuklah persamaan-persamaan simultan ci@) yt + c)(x) yz + ... + c;(x) yn = o
ciq) yi + ci@ yi + ... + c;(x) y;:
3. Dengan cara pemindahan (transformasi). khususnya
115
lpar,= c(x) Y, + C2$) lz +...+ cn\) Motode untuk menentukan c,1x1, C2ft) ..C^(x):
134
Maka
!
ptn =
Penyelesaian umum: ./ : )nom * /psn
Periksa: y'-A*lr,
-
- {,, [r"r,r - ]] |rr 6nL.r - *1., :
c2g) =
Cf lnEl 1' C, +
|xt, ,"--S
y"*{: -#***"\*\,-2,
L * T'
d
t_
PERSAMAAN DIFERENSIAL
PERSAMAAN DIFERENSIAL
J+
Persamaan diferensial linear
136
ODE orde ke-2 linear dengan koefisien-koefision konstan
Bentuk: Y' + PG)Y = q(x). Bentuk ini bersesuaian dengan J 2, j 1 5 untuk z = 1; derivatif di sini adalah y'. Penyelesaian-penyelesaian untuk y, yhom dan /parr dibe-
137
rikandalamJ2danJ9. Contoh: y' +{ = sinx
110
dari i
l3q
l3e
qG)
+
=
dari )hom
=
e
-fla,'
--
',
C,
/p"n = Jsin
o'
'
= Ji.in r.'n''';
d, d'n'''
c1
|
o.
o'
= lsinx-cosx x
Periksa:
y' = -?1{-!9r{:1nr
cos
r.
1 5;6,
]-
c,
C,
i43
y(xJ = luntuk xo= ilZ
o;
Maka: ,= #rr,+ sin|) -
145
Memberikan: C,
=
146
tt0
plx)
vr"n =
Cr eeo+k),
154
ls5 156
5#
t-
tsb-*t'
+
0,
-
a2
16:
q1x)
Ioan
- -e-uJx
ed q(x) dx
>
O
-
q1l ax
Penyelesaian dengan lembab kritis: )tom = Ct B-ut Czx @-u
dr .l /<2
-
42
+ rc-*[*
-
b2
-
O
qft) dx'l
Penyelesaian dengan lembab-kurang (underdampcdl t2 )no. = e--[Cr sin(@r) + C2cos
(afl : dengan @ \/F:a
Yp"n
"os|.
l.
J
lebih /<2 = az - b2 + Cr eGa-L)r
_ e( o t)r 1.1,t rt, 2k J"'
Jss
y'+p2@) y = q(x) Bentuk ini bersesuaian dengan J2, j1 5, untuk n = 2; derivatif tertinggi adalah 1r'. Penyelesaian-penyelesaian untuk I, .Irrom dan yo"n diberikandalamJ 11 danJ 12.
,',
+
j53
ls8
ODE Linear Orde ke-2 Bontuk:
o. =
.yt
ditentukan dengan menggunakbn kondisi tapal batas misalnya
i44
adalah konstanta-konstanta adalah fungsi paksa
Penyelesaian dengan lembab
i52
157
)'+i=sin.r i42
js1
I
y = q(x).
idan,
a
! = lnomt lptn
= Jl.in x ' x\dxI
.I = /nm * lpaa: ]{a, * rin.r) -
bz
Penyelesaian umum, sesuai dengan J 2,
j50
d'n''' = $. oengan
o' u /l
"lj1
Zay' + a
Sk)
dari | 110 penyelesaian khas adalah
iq
Bontuk: y' +
sin x.
| 109 penyelesaian homogen adalah: Cr
t47 Oleh sebab jenis ODE untuk soalsoal getaran (osilasi) sangat penting, maka hal-hal khusus telah ditiniau.
y=)r'nom*}pan
p@ =
Js
Persamaan diferensial linear
ODE Linear Orde ke-1
I
e-u sln(uxt
_ g
L
=# )e^ c$((Dx) q(x) dx _ o-* coa(ux) I e* atn(u) q(x) dx.l J' a
r) Catatan: Untuk hal khusus q(x) = A"slr'(a$) adalah: lpaa= Asin(aox-Y)' di
mana: A=-::--A:::
dan:
\Ab2-ao2)z +
4a2ato2
, = x1gs61 !:q" 2a ao lll
d
rl-
I
PERSAMAAN DIFERENSIAL
PERSAMAAN DIFERENSIAL
Je
Persamaan diferensial linear
Persamaan diferensial linear
ODE orde ke-n linear dengan koelisien-koefisien konstanta
ODE Orde ke-n linear dengan koefisien-koefisien konstanta
Bentuk:
an.y@ + an-r.y(n-t) + ... + aty' + oSt = q(r). 163 Penyelesaian dari ODE ke-n homogen dengan koefisien-koefisien
konstanta (q(x) = 0\. l6s Tetapkan y = s',; y' =
,
J64
r'e"i
...y(n) = ,4'e', Substitusi dalam ODE homogen dari j 63 menghasilkan persamaan
J66
aliabar:
'
onF t an-rr"-li ... + a( t ao =
0.
akar-akar ini, maka penyelesaian-penyelesaian yang berbeda-beda un-
tuk .Itrm dapat diketemukan.
a):
i67
11,
/2
ft
: Cr'e'i.' +
)no, =
r,r*1 , lnr2' ,..
tn.
c)
/{
,
cosh rrrx
sinh ,'lr
182
A *cosmx
J85 186
B ee sln
aeL
z*
cos
nx + P*sln na
AelJcosru+BeJtsinrrrj contoh:
y'-y = cos2x; menurut bentuk dariJ6,i 65tetapkan y' : r eo. y : eEl J':ta g, Substitusi ke dalam ODE dari contoh
r.:a-ip-4. r + C't Cz e')' ') = €'r
j 85
memberikan
P=71 rr:l; 12=-L = Crerrx + C2dz': Crd + C2e-x' P-t:o;
i88
/tro,n
la0
lptr -aco92t+pdln2a !'paa = -2o sl^zx + 2P cos2x ./'pan - -4d cos2x - 4P 8ln2t
bentuk dari:
190
= e6.(/.cos l).r + B-sin px)
l0r
A=Cr+C2; B=i(C.C2) Penyelesaian khas dari ODE oide ke n homogen dengan koefisien-koe{isien
konstanta
Dengan menggunakan bentuk yang memadai untuk -Yoan' derivatif derivatif )'pan, I'pan dan seterusnya diketemukan dan disubstitu
si ke dalam ODE.
Dengan memperbandingkan koefisien-koeJisien
ilu, a, dan
tidak dikerahui dapat ditentukan (lihat contoh di J
le2
le,
+ g,/x)'
Bentuk dari penyelesaian khas ini tergantung dari q(x). Beberapa contoh telah diberikan di J 7.
112
Acosm+Bsinru
187
rr =a+ill,
f pat= qrk) + 8)G) +
cos mx sin mx
Acoshru+,8sinhru
+
Hal c):Terdapat akar-akar pasangan majemuk (conjugate complex roots)
.) Cr, Cz ...
B
181
i84
€''' * Cr'x'e'r' + CYz'ert-7
e,rr(Cr{ C2.xt.-. l Cm.rD'-1, I C,ri l.e'.'r t + ... + C,,.e,""-
)nom
A
183
... + + C,t.rm-t.eryx + Ch+let^,tr + .. + C,,-et,' Ct
i7a ,ao
rn semuanya nyata dan berbeda-beda
= fZ = ... = ,-,-
i75
i76
17e
C2'enr + " + C,,'e'r;'') Terdapat akar tunggal nyata dan akar berganda (multiple):
/hom Hal
...
173 174
177
Akar-akar r1, 12 ... rn dapat ditentukan. Tergantung pada jenis
Hal'
i72
p
7)
Cn adalah konstanta konstanta sembarang arbitrary.
yang
:
-
F 104
-
Persamaan-persamaan j 89 dan i 91 yang digunakan dalam ODE (line j 85) menghasilkan: -5a cos 2x 5P sin 2.r cos 2r. Memperbandingkan persyaratan (terms) itu menghasilkan
- o;
a
= -|
Penyelesaian
arn karena itu
umum:
)n".r: -]cos 2:
.I = /rrom+ lpra= Ctel + C2e-'
l
-icos
2r
= Cr 6t - C2 e-x + { sln 2r ' 2 f'= cr e'l-C, e-x +] I cos2-r v"-v Cr e,+C2 e-r+{ + "ot2t-Cre,- C2 e-, + {cos zr = cos 2r
Periksa: Y'
r13
d
&
gr
o
o o
o o
o
F
o o
y{n) -- f(x, yk+l), ... y(n-l)) (lihat contoh B
s6 97
'l02
dspat dipi.'
istilah
r
ke-l mullak (implicil) tanpa
ODE orde
linear
inhomogen
ke-1
ODE orde
liM
homogen
ke-1
ODE orde
kes8m88n
ODE
sahkan
= tnlyl + ln c
lnrpr
C1 Cz 4-cx
l4)
f(o,
+ py +
cO)
y,
=u+x*
=u
/ -)nom + .Ipart lr= c(a) sJturu
v'
x
v
#="*Pr' ,' =b<*-')
ax+py+y=y
Substitusi
v = f(y')
y'=
P
x
g-l n@dr
-C(x) p(t)x
tt+p$)y=q(x) yi= C'(x) E-Jil'n'-
l'+P(x)Y=s
,=
t,=
cb
,,=9t-f@)
Bentuk
su
bstitu si
=., =92 d-r :
Y'
pi y' = fi= ,'
+ x2
di mana
v=l@)
*=fud-lP+c
*
o).
e-lpt'ta'
b *!n,, "!*r,
y = gs-tetx)& = )no.
I
{Y- [T@j+. "
[a,=!s,# * c
,
khr
dal8m bontuk parsmstrik
ponyol$aiEn diketsmukan
q
o ct
9i :3.
x2,
o.= oc
Oo
o2 mb
O3
E.E Jo
3o oO
Dengan menghapus p, maka
lihatJ2,J3
o
\z
o
@
L
F
1E 90
:m x,
6' 'll
9o
".D FZ
d= g>
E>
T! q(,,
!m
c-
t
z@
9m ci :O om
s;' Eo t'n
io <:
o
dengan menggumkan vadasi konstanta-konstanta
Ponsntuan ponyolssaian
yhom lihar j I09
./ = /nom
E>
E m u (tt
P= -= Fd a>
Pedkaalah apakah mungkin dipindahkan tq/(y{r1
int6grasi
Substitusi sotolsh
r
5
! o (o
cg
alan veilabal dapat dirhhkrn ke dt{cm sisi kiri dEn kEnln dsri poBamasn
Vorilbol
Keterangan
Periksa: y- + 2y' - 4t = _2C, e-2, + 2 + 2C, e-2, + 4x _ 2 -
4x.= (
- x + C)or + C,
].-u t=irre-2,+czr*{-!*c,
y = IG
t'= jfcre-2, +2x -t) dx + C2 ,'= '2'dx -9e-L+xz-:+a=9
Penyeleaaian
"7tr,tt
orde
n-k
1
Pengurangan dari orde r hingga
ords n-
Pengurangan dari orde n hingga
p = Cte-2,+2J.-t=*y,=y. d:
yp= Jq@stt't*
y=
=
keterangan Pengurangan dari orde n hingga orde ,t- 1
p' + 2p - 4: = 0,denganmenggunakanjll(
Substitusi
Y'lzY"-4x=0.
Contoh B:
,rt*zt
ylr+L) = P
y =p = do P UY -*_ y,=P ,do
,dv v =D ----+ dx
ls64ay = [fril a* + c
y y' - y'2 = f,, s-cx C1 C2 p'cx -Crz 6z e-cx2 = 0
oDE tidak langsung
lnlPl
=tnc)=gl-)$ dx p =cy=y' y'-cy=o y = 6r"-l'o'= Qrs-ct Periksa: )'= -q e-cx C
oDE dapal dipiiahkan
y tidak secara mutlak tersedia derivatif ke-1 hingga ke-t tidak tersedia
tersedia
mutlak
r tidak secara
asumsa (anggapan)
p; y' = p92 y 2Q.-oz - g, 9r. :9ro' "oy' P y
6uustltusl:y':
!!'-y'2=o;
Contoh A:
Jenis
j 105
J
103 I 104
J
j 101
l 100
I 98 I 99
yt^t = 1ft, yt, ... y(n-t))
llihat contoh A)
yat
95
- f(y, y', ... yh-r))
B€ntUK ODE
v
o
o N
o
ts
@
I
J.nis
rn dsk
kel
ada
istilat
t!npa
homogQIt
oDE orde ko-2 linoar
loncrmr
sion*ooftisn
uut ordo ke.2 linear inhomogr.l dengan kocfi-
konstanta
sien-lootisien
008 orde kB-2 linear homogen dengsn koofi-
ydny'Mat
lsul8lr.istilah
Euler ODE orde ke-2 homogen linear
Persamaan
Jenis
k*2
008 iingka
ordo
00E Rlxsti
kln
iel,
00E EEnqI orde tinokat
Clairaut
ODE
kcl
ofi
limdilill
mld*
t&1
0D€ orrh
+
PGD',+q(x)yn =O
=
f(x)
y'+ bf y,+ boy =
O
zt-^
iE)
=erx
l'= Peo
/-&
.,, _ dr.
|,.u
)
q(x)
r
densan rrp
=;? rE;
y(x) = Cre4, + C2ea: =
yn* atau
c, ?'o + Cz e,:r 4 )pad \+ 12 cf. J llti etau
y
-
tcre-!m@u dx*
\,
e = Jno,n
+ sin pr) +)prn !p-1_*6cosFx 7ang.n d + lpi ?2= a- lp = fi-
I
1(x) = C, aer,, + Cir e'rr +.yD.rt 12 dOngAn tl at,u
dengan
l,@l =
dongan
potch:*n
pararHa lnlryal
I I
ODE
s€dikil
Oatam
pat;ng
stu
i 9.
intnmosn
l*':iili''fi:f"
|
sepertdalamJ9,ill0
PerEurarEan hingga ODE orde ke.1
tung$l (hrra anDlopl d€rpar menghaqs p
Urann
rd'ly.
orarctrik
ddsm bemri
hrar
Ketorangan Pbngh$$8p rEnt
drn C2adatah
^'.ll
$brhu.i,
ordJ
rclas!ikrn
kc-I, k.mudlm
hingsra OoE
mub-mul! kurunoi
Ocneln
de|i q(r)i Perhituman tihar J6,J7. Xsterlngen lthltlr.tl 7
Yp.n tlrganlung
A-C1+C2 B - t (Ct-Cz)
sombarsng
korutanls-kon8tante
C'
lem linn.r-i^t
Mul€ilah m6nghitmg dongsn int6gral-d6-
8=t(Q-c)
A=Cr+Cz
g6mbatang
Cr dan C2 sdalah konstanta-kongtant,
Keterangan
dikerahui.
tilo'dil ro:mtl
cos(B lnkt) +
Y
+ a sin (F tnlxt)l danganrl{+ ip anq r, = f,_16
atau y(x) = xdlA
1,2=+ t\@
C2 Xn;
r, + 12
eJtPr't * zqut
Penyelesaian
IC + I q 8
llt) = Lt r,t + densan
ylx)l z =
e,[email protected],)
+ 2q(x)
\/z
!q1r1,
t(r)=v,.,t+ 1ytq)t -
z'-lPft)
! V = Z^ '
,s!1-ttoa,*)
|;r'*rllz=-q(x) 2 = s-to-ntr@ efc-o_d
lsnfsab,
1,6) = e* (A cos Bx + d sin Bx1 = yno^ Tr=d+ iB; rr= a-1B=i, ffi; y(x) = c,ery+c^ra4r:
I
r(r-l)x,-z
Y' = rett
y
Y' =
! =x'
Y' = r xt-l
Substitusi
tx) =
1
stardar
penyel€saian khas
di manayl(r)adalr
q = ,y':
Y= xq+IG) imegrd umuml x = -r@) v=-Ar@+f@)
dongdt
dx- s'(o),* f(p) dp P-s(il- p-s@)
Y= Jpf@ap+c
x=f@l
Ponyolesaian
)=q+qx+[l!7r4ax)a,
z
(x) = u(x)+yt()
!'=1;
1-L
zr=;
Z = yl-n
aty' + aoy = q(x) I=ltrom*)prn
'+p{x)y'=Q
l'*
!'1ar!'*aoy=g
x2
Bentuk
=p
f(y') = f(p)
y
y,=P
y'=P
Substitusi
withn+0: n+1 ! =
y'+p(x)y+q7lyz= 4x)
y'
y=xy'+10')
v=xs0')+f(y')
x = l0')
Scntuk
gs
c. j
F
irO
dz
*H
9m
iB 3z ds !L l-
g=
I! I-m lo"!
o
L
-
dzgD :.
9m +,
:> B= :> =D 3z io =rl
io
! -m q-!
(
Jn
PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial orde ke-2
STATIKA
Kr
Uraian umum
S=
,c 6 o c o
o o !z
o
EEE?
€i
!EEE
:9
iEE-.-e
-P€
d +
3
€
G dx
o
i+ gd ?{ ^+ +
E
.!o g o c o
L
(-€
ri= i{ fG
+ d
+
:k ll :lr
o [(J
,
-[]-r
IIX a :tolo
+ E
P
uu? eB
)
co
Q +
)
U
+
+
s13
Ill
Ele' *
I
x
ao
-il
I
-ll
e E
{ +
g o
- i'gE zzt 118
Ilr
i3
3
{
I
r8 l_{
€5 r
.t:* s tE
ll
..:\
= E15 [ il llll a,tr:>
Iltll
:-
Y:
€
ll
fl
il
Ei
E5
I
-lilx r'li flllll -i 5:j
o +ll
:-
:\
>'
8E
a
\\ ++
lt
Satuan*atuan-
f'(lilrrr
kstersngon dalam M I
Sebagai rebuah vektor, gaya
l;
itu di-
tentukan dari besarannya, arahnya dan dari titik tolak penggunaannya
@
P
-<
sudut er.h garis karja
Gaye gravitesi Cl
Definisi: Titik tolak penggunaan gay8 tarik bumi: pusat gravitari. S. garis kerja: garis vertikal memotbng arah: besaran:
pusat gravitasi bergerak ke-bawah (manulu pusat bumi) ditentukan dengan ke. reimbangan pegas.
tegak.lurus
-
Reaksi pcrletakrn Fe gaya yang diberikan oleh tumpuan A.
BE
E=g ezt
il
li
::X
besar, lihat da-
nya: m: cm: km
Gryr
9-_.4
'l:
3
!am pendahuluan.
() >.:=
il
I
+
lni adalah kuantitas
N@
+
:l> olE
.-e ES :l \,
ntitas-kuantitat statika dan satuan.satuannyr yang
Panlang /
::-
e+ -l-- ig 6 :^'lY 'a -^ C\-
J
terpenting
\e
I
I
x
K ua
rlA otD
E
6 a
.--E_t
Sratika adalah ilmu ma.roenai taori Ln.imbangan (ekuilibriuml dan rnenetapkan gaya€aya luar yang bcfcrp pada benda-benda masif yang tidak bergerak (misalnya reak3l gerletakanl. lsi dari halaman Kl . . . Kl4 dapat dipergunakan hanyl 9t& gaya{aya yang bekeria pada satu bidang datar/rara saia.
i.t
:l!lf ]l le\
.'6-t'd, €ls '6
$i*?
F
lt
:E^
E9
Ir ()
I
{d (-S lLllll
^g s<
tirE * -6-- -
r39
t9-
(
Umum
€e!, &€er
F.E E
(.)
r!
:i
t; aF=
a
I
gzr
.=
E
o
100
rzt
p99
Pes
!
tzt
I
auI
Gaya resultan Fn'
gaya yang menuniukkan aksi total dari beberapa gaya luar.
119
rd
iL
STATIKA laniutan dari K Mornen
,4'l
dari sebuah gaya
l
sekeli-
Komposisi gaya-gaya secara grafis
dari rrtik 0 "1'":;:T};'lln?* ,,,u, dinamagava ker'la kan lengan gava /'
,ltnrolo n1,it
Kz
Percontohan bebas
1
( ( (
'lt
sepasans
;' ;;; F2 mernbentuk oluul-*ot"n dapat digambarkan ialam benruk vektor'
k1 k2
f'=fift='fi !Ft rnornen s =
::rut*
u*l'
^["fl"J.
Jumlah beberapa gaya,gaya dengn sebuah titik tolak pengguna' n
ad aIa
h
sa
an bersama
ma
yru ; : 3il',i::' :""*'la
Gaya{aya Paralel
ffui poligon'
i:
bersambung ' 'R l(omponen gayaaaya dan baberapa titik tolak penggunaan di icmbarang temPat ./c
./' ./ .- 'r poligon
.' =\,'t,.uto*
blok kutub
penyambung
bersambung
onstruksi dari poligon bcrlrmbung GambErkan poligon gaya dan tentukan kutub O, sedemikian rupa agar setiap garis penghubung tidak mengarah secara pa' ralel. Gambarkan garisgaris penghubung menuiu kutub' 8en-
tuk poligon bersambung sedemikian ru.pa' sehingga garisgaris
penghubung'mengarah secara paralel dlngan garis'garis kutub yang bersangkutan. Dengan demikian maka potongan dallm 121
120
( (
STATI KA
Ks
Komposisi gaya
lanlutan dari K2 poligon bersambung dihubungkan pada sebuah segi-tiga poligon gaya (misalnya segi-tiga F,-1-Z dad poligon gaya berhu. bungan dengan titik perpotongan Ft-l.2 dari poligon bersam. bu ng)
Komposisi matomatika dari gaya_gaya Penguraian sebuah gaya
k8 k9
fx-
f.coro L-
STATIKA Tanda-tanda ilmu ukur sagi
4tan k
k1
r -.[7,.-,11,""".*
... -..
180 . . .2700
k
270
..
lanjuten darl K 3 Fa, Fyi
fno
Fny
fcoralrlnaltenal r,fr,fp,l9,
9oo 18oo
k
.3600
Suatu b€nda dikar.akan dalam keadaan setimbang apabila gaya resulrant dan iumlah momen dari semua gaya€aya luar disekitar setiap titik yang sembarang adalah sama dengan nol. dengan
titik tolak poligon
peng9unaan
to-af,l
o 90
tlg. untuk^r, !:
Kondisi dari kesetimbangan
f..tno
(unluk tanda-tanda fungsi ilmu
kr0
K+
Setimbangan (ekuilibrium)
+5
- \r-fry
[',
gaya
yang tertutup
Eft'oi I\-o;
poligon gaya
IFv-
dan bersambung
(untuk tanda.tanda {unqsi ilmu ukur segi tiga dari a lihat tabel k 16sampai K 19)
poligon tertutup E
O;
tt .
o
ft. o; rFv- ot r, '
Gaya resultan F6 untuk setilp gaya yang tidak boraturan.
k tl
komponen
k
12
besaran
k
13
:::;:,^]
k
r4
r
15
*,.2r, I Ar-rru 'rlyhffi\r, ,; -.t/87;El h#------i tenc, -
iarak (ian9 kauanl tanda dari fp.
h h
3.. ,, -?;i -
,,no,
randa dari
fn,
,fp, i
komponen dari
sumbul'
fs
Z
lto
terhadap sumbu-.t dan
paralel terhadap sumbu.x dan
x tY : koordinat dari F o .an i sudut I dan rudut fR I , lp : jrrak l'dan larak Fa dari titik 122
Penyelesaian secara graf is
(teorema momenl
fx ,fv : komponen dari F paralel sumbu/
-+,"oror--!
Daya dukung balok sederhana dengon beban-beban t€rpusat Iyt dan ll2 Cari reaksi-reaksi R1 dan Rs:
f(r) - y'arf,rr retcrenri.
rr':
kNm, Ncm. Nmm
skala panlang = panjang sebonarnya/paniang diagram
123
d
L
(
STATIKA
Ks
Balok konstruksi lanlutan darl K 4
124
r25
:
tkrla
gpy6
-
gsya/psniang diagram
:.larak diantara kutubyr : jarak vertikal antara garis psnutup s dan poligon bersambung (link polygon)
-4 \/l + 4 \/l pr.(rr+rr) -n^
Penyelesaian dengan matematika:,?^
i
Dirtribusi beban dapat dibagi dalam bagian-bagian kecil dan disnggap seb€gai gayagaya dengan titik hubungan yang bekerja torhadap pusat-pusat massa dari bagian-bagian itu.
Kerancngkat dinding (3 gaya): Cari.reaksi fa,,FArrF" penyelesaian
masalah
-titik
per-
gaya yang
f F^l
bekerja
tA, - tA =
v_)
{
o-;rL
t
\,
l
Ks
Balok konstruksi
lanjutan dari K5 Tentukan persamaan momen 2M = 0 dengan momen-momen dari gaya3aya luar dan gaya-gaya dalam, diambil sekitar titik perpotongan dari dua gaya yang tidak diketahui. Aturan untuk tanda-tanda momen Bilamana momen berputar berlawanan arah jarum iam maka tandanya posit;p. Bilamana momen berputar searah iarum jam maka tandanyd
( (
(
negatip.
Contoh (dari konstruksi di atas) masalah : untu k mendapatkan gaya Iu2 pada batang
U2.
penyelesaian: Tariklah garis X. . . Xmemotong batang Oz-Dz-lJz. Karena batang O2 dan batang D2 bertemu pada titik Cl maka hal ini
F8
potongan dari tiga
STATI KA
=\
merupakan titik perpotongan relatip yang dipilih, sehingga momen Oz dan Dz dapat sama dengan nol. Lanjutkan sebagai berikut :
t4Go o fu"
b Fz - c(fo - 4) -
O
fu, - - b f2 +o c(A -fl)
Penentuan matematis dari beban batang {Metode Ritter-metode potongan bagian)
O : barang repi atas U : batang tepi bawah D : baran3 diagonal
Penentuan seqara grafis dari gaya-gaya pada batang-batang (Merode Kremona-diagram Bow) (Metode Cremona
q
F,
FA
Fe
diagram 8ow)
Tentukan reaksi perletakan dari K4 (gelagar dengan dua perletakan). Gambarkan sebuah garis X. . . X melalui rangka batang itu ke batang yang bersangkutan. tetapi pemotongan tidak boleh lebih dari 3 batang. Tentukan gaya€aya tarik seba, gai gaya positip, sehingga gaya-gaya tekan menjadi negarip. 124
125
d
d
L
lanjutan dari K 6
STATIKA Titlk tengah gravitasi (titik boratl
Kz
d (
Buiur lingktrrn Ft
k2a
A
t2.l k30
FA
k3t
v;
r rin-a tSoo r. ! _-a--._-b0.6166 r pada 2a. l80o o.g6ol r Pada 2a - 9oo o.irlg r pad,a 2a. 6o0
d
S.gitier dasar
;h
5 edalah titik Perpotongan dari garir{arii berat lme'
Setiap batang diikat oleh dua titik yang berbatasan. Gaya luar hanya bekeria pada titik sambung.
I
diansl
Scktor (baeirnl llngkaran
osedur
Buatlah skala dari gaya-gaya dan dapatkan reaksi-reaksi perletakan. Karena setiap poligon gaya tidak boleh terdiri atas lebih dari dua gaya yang tidak di ketahui, maka mulaiiah dari titik A, Buatlah urutan gaya yang sama (cw atau ccw) untuk semua titikpertemuan (misalnya: Fe-Ft- Fsr -Fsz). Titik,-l :Poligon gayaa-b-c-d-a- Buatlah calatan dari gayagaya yang bersifat menarik atau menekan. Titik C': Poligon gaya d-c-e-f-d.
k32 k33 k34 k35
2r rln a l80u v----T^ o.id+t- r , - o'Oooz r i - o.Slei r
Pada Poda
2r t
2a. '.
2a pada 2a
t8o: 90: 5oo
Trapasium
k36
dsb
Pemeriksaan (check
il
I
k3l
\
h
a +2b o+b
)
Gaya-gaya yang bekerja pada saIU ritik sambungan dalam rangka, membentuk sebuah poligo.n pada cliagram 8ow. Gaya{aya yang bekeirla pada satu titik dalam diagram gaya membentuk sebuah segi-tiga dalam rangka itu.
Sektor (bagian) annulur
k37 k38
'
2 P - / .r1ns , g - rt rrco 2 P-/ s tFr'D
Segmen (temberangl lingkaran
s!
72A untuk luas,'l lihat B 3 tuk penerapan titik tengEh gravitati S, lihat iuga I 14
( 127
126
l
_l
d
STATIKA hrat
STATI KA
Ka
gravitasi
Gerakan gaya paralel pada sebuah bidang luncur
Menentukrn purat gravitasi dari
luu Penydohn rcen grafis Lu.t tot lz{ dibagi-bagi menjadi
permukaan muing-ma3ing
rombarrng
Kg
Gesekan (Friksi)
luas bagian Ar, A2.... .rtn yanO mcrupakan pusstfusat gravitasi yang sudah diketahui. Ukuran dari retiap luas bagian ditetapkan sebagai gaya yang bokeria pada pusat luas dari setiap luas bagian. Gunakan po. ligon gaya (lihat K2) untuk menentukan gaya rata-rata Anr don gpya rato-rata rlny yang bekerla untuk setiap dua arah (dlutrmrkan pcdr sudut*udut cikutiku). Titik perpotongan darl garb{arli yang dlgunakan akan menandakan posisi dari
puEt luas/,
limit I
gesekan
gesekan statis
'( {(
gesekan luncur
I
{(
u-0
l( F*o
k44
4r, --fz, 'O tan0l Ipo, :t-
k45 k46 k47 o <
fw=-fz=Ota^0 fx --G ,/ ,J. tan9 0 g-konst.<9o
lx '-o
O
tan
Fx '-a ,ro - trn 9o >
Sebuah gaya F21 !an$ secara her' angsur-angsur bertambah dari nol
diimbangi oleh Pertambahan
k-.40
Fv1
tanpa mer)yebabkan benda itu ber' F*^ gerak, samPai saat F71 mencapai
k48 nilai
f,,o -
G tto.
Apabila keadain ini rerjadi, benda mulai meluncur, pada saat mana Fz turun ke Gp. Setelah itu setiap penambahan gaya akan memper-
gerakan
---
srsa
ig
Fw
gaya pengganti
cepat gerakan benda itu. Pcnyelesaian m.t6matis Luas total z4 di atas, dibagi-bagi menjadi luas{uas bagian 41. Az .. . Ani dengan demikian akan dip-eroleh secara umum
Ai ,i
kat ka2
9e
Catatan:
J*A'
Y'
-7__
dalam contoh di atas
lt ,t +
A2xz
+
y2 dan y3
(obliquely)
r lg lGaya f dibutuhkan unruk
menggerakkan gerak sebuah benda, be-
ratG: (o(>tcr: f-O a1n , s lo - /6cos
A)xt
I &yt r A, yr + ltyt __-1-
Pada contoh di atas iarak-jarak rr, ring
Penggunaan gaya secara tidak langsung
c
-6 s1n(a ,slnfo - 9o/
fvt ,frvo,f- : koefisien friksi (9era k)
ma-
fz, ,fzo,fr : sudut geser
gaya gesek I tihat
gayatraksi lZz
(
128
(
(
STATI KA
STATI KA
Kro
Gesekan (friksi)
Krr
Gesekan (friksi)
Gaya yang dibutuhkan untuk
mempertahankann gerakan ditentukan dengan cara mengganti ,1o oleh p. Bila hasil .F adalah negatif , maks tidak mungkin rerjadi geraksn.
"a{
ke bawah
9(.a1a*
Bidang miring
lanjutan dari K 10
t
gesekan
(friksi)
/,J-.
A
p-6e1.0(9-JJ-
f.C
coE 0
Eentuk sudut or'yang membuat tebuah benda dengan mudah bergerak ke bawah pada sebuah bidang miring adalah sydut
(
cl
(
tan(o-p)
(
Sumbatan
9.
tana r tane Penerapan dalam pcnentuan
yang bersifat percobaan dari ru. dut gesek (friksi) atau koelisien
gesek
lfriksi):
G
a - trng k5r Keadaan dari pengunci otomrtir: a
deser
(horisonal) <
I
k55
Sifat fri ksi kecepatan konltan yang diperrahankan oleh gaya tarikFparalel pada bidang miring dasar
gera kan
per9e
r
= 'r
flrlr!itr-]jlsGdl,r 'l gl,tan (a2 +9t
k56
f2- frl6n(6-291
k57
Sekrup
ke atas
0(a(ar
r.f,l,u(o*r)
ke bawah
o
,Y l//
h
k58
k59
r30
sudut kemiringan sebuah benda
momen-
putar
linaikan r. = frrrtan(a+9) lrturun
{z ' frrrtsa(o-p) x60 ngu ncian otomatis a
keadaan pada pe-
bila diturunkan
k61
Catatan: Untuk gesekan (friksil statis gantilah tt &n tlo dan p oleh ta..
ryw./, ?ww
r.cten(o+9)
f.Ctan(g-a)
a-:
f,trn(a+?9)
fi.
- tan
efisiensi se kru p
bila
dinaikkan daturun kan
momen naik momen turun
an ,;- trnIo+9, ,' - lir!:!j tan a t
o
,r
! Ftrrtan(a+9'r
. f,rrtan(a a
(
Q'
ran a ' tan(a+ _ - tan (a-g') ' tan a N m. lkgl ml N m, [kg, m]
(
l3t
q
STATI KA
Kp
Gesekan (friksil
lanjutandariKll
a: I : g' :
alur dari uliran sekrup
,."n o -
sudut friksi (gesek)
(tan 9 - ,1 (tan e'.
r :
iari-iari rata-rata uliran sekrup
sudut friksi
(gesek)
Daya dukung gesekan (friksi)
Krg lonluttn derl K 12
ufi) #ZZZ\
daya dukung radial
STATI KA Gosekan (friksi)
Pcngge ntian rebuah pelat yang dltuntang oloh rlllndoruillnder
k71
t72 k73
, - |fi+l,l 9f nha, di mana
l- lz - |
dan a or
< O.:
r.Lo, G ,', or : berat Pelat dan 3atu rilinder i ti , tengan{"ngnn penlangkat dari gaya
daya du kung longitudinal
(
i i g;v"+a;ir r r iiri-iati silinder
In:
resistansi gerak Putar
iumlahrilinder
tali untuk I
Gecekan Gaya tarik
I. :
pI : t
g$ek
dari
radial ldaya dukung (nilai I suaru I longitudinal lvang tidak konstan)
Catatan: !q dan ltr ditentukan dalam percobaan sebagai suatu funqsi dari kondisi daya dukung, ruang main (speling) bantal'
Penggunaan rumus pada saat Silinder dalam keadaan diam dan tali tergerat dengan kecepatan konstan, atau pada saat tali da' lam keidaan diam dan silinder berputar pada kecepatan sudut yang konstan.
an dan pelumasan. Dalam keadaan bekerja (gerak).
lh.Gunakan selalur,)O untuk memungkinkan pelu-
= tlt -
masan.
Resistansi gerakan Putar Gerakan putar sebuah silinder
k77 Keadaankeseimbangan:
(l'
: gaya tanpa gesekan)
7=J-t,=Lq r
k69 k
Keadaan gerak w.
/ !o
t
momen gesek r
n1
k67 k68
dan gEYa
putar:&
h
<
F<\l o ;'" < F < o
ard
Transmisi sabuk mesin
gaya dari resistansi ptr
tar
: lengan pengangkat
lai
dari niresistansi gerak putar
' - konst.
pada Z7 (disebabkan oleh ke-ausan dari silinder dan perletakan) koefisien darl gesekan statis di-antara silinder dan
k78
-la t 'u
k79
4'
rn
::le+ryirn (
perletakan.
t33 132
g
(
STATIKA Mesin-mesin yang bekerja dengan tali dari K 13 dalam keadaan gerak
6-
#,
ua
Kr+
laniutan darl K 14
dalam keadaan diom
6-4 -rrffi
k85
1o
fo'
c
k86 k87
fu ; Saya tangensial dari rbda penggerak fp : gaya gesek pada tali ls: ,rlofien puntir penggerak a : sudut persinggungan (radian). Gunakan selalu nilai-nilai yang rendah ke dalam rumus
t( &l
i keuntu ngan
il*
..1 -
f,o 2h mekanis -
') o I
to a
Ah 9"Y," usaha
*(i-fl" :;--n f1 Ac
4 : gaya yang diperlukan untuk
mengangkat beban, tanpa mempedulikan daya dukung gesekan 6
f : gaya,
....
. (dasar dari log biasal
dukung geser.
lY:ttij?i-t
katror
katrol bebas
mempe'dulikan daya dukung gesekan.
tanpa mempedulikan ketegaran (kekakuan) tali dan daya dukung gesekan : faktor kehilangan untukketegaran (kekakuan) tali . - I, (untu k tali-tali kawat dan rantai-rantai - i.oS) a : efisiensi A: jalur gerakan beban a : iumlah katrol (sheave) s: jalur gerakan gaya
takal (pulley blockl biasa
diferensial
I;s7
I
''{e(J
it
qG
6
I
4.
(
2
u:
kecepalan sabuk mesin
(
i (, -#),
G: gaya yang diperlukan untuk penurunan beban, tanpa
luncur Inilai dari pengalaman untuk ssbuk kulit pada drum baia: ,r - 0.22 + O.Ot2 u Jm
Mesin-mesin yang bekerja dengan tali Gambargambar berikut sernata-mata merupakan penjelasan mengenai ketegaran lkekakuan) tali, dengan mengabaikan daya
134
s.
o
p : koefisien dari gesekan c : 2.11828183
k64
k88
o
r-h
(
cO
*o
-.d
4Tro
( 135
{
KINEMATIKA lstilah umum Umum Klnematika adalah llmu mengenal gerakangerakan bcnda rebagai suatu fungsl darl waktu.
Yang terpenting dari pada kuantitat'kuantital
kinematika dan ratuan'ratuannya Panjangl.' lihat K Unit: m; km Perputaran sudut
1
g:
Satuan: rad
Waktu
I
:
adalah suatu kuantitas dasar, lihat pengantar, Satuan: s; min; h Frekuensi /': Frekuensi dari suatu getaran harmonis atau sinusoida adalah
perbandingan dari jumlah periode (putaran penuh) dengan waktu yang berhubungan. lumlah getaran waktu yang berhubungan Satuan-satuan: Hz (Hertz) = 1/s = putaranls:1lmin (s=detik!
f=
'eriode
I
:
Periode I adalah waktu yang dibutuhkan untuk satu putaran penuh. Periode merupakan kebalikan dari frekuensi /.
t2
r -l t
Satuan{atuan: s(detik); min(menit}; h(iam) Kecepatan putaran ,t: Dimana sebuah getaran dikopel sangat eral dengan putaran dari sebuah poros penggerak (shaft), dan satu putaran dari poros itu dapat disamakan persis seperti satu putaran penuh dari getarannya, maka kecepatan rotasi n dari poros itu ada' lah sama dengan frekuensi.l:6"t getaran.
t3
n - I.. Satuan-satuan : pu taran/deti
putaran/menit. r.p.m.
(1
k (1 /s) /min)
,?,
n
mrn
60s
lanjutan ke L 2 137
(
KINEMATIKA
KINEMATI KA
lstilah umum
Jarak, kecepatan, dan percepatan dari pusat masa dalam gerakan
Kecepatan y adalah turunan p€rtama dari jarak s yang berkenaan dengan waktu ,:
&rak.longkung waktu
ds
l4
u ' ??-'t
Sebuah lengkung s-t digaml-nrkan untuk sebuah gerakan.
Dimena kecepatannya adalah konstan, hubungan berikutnya
t5
digunakan:
ini merupakan
Satuan-satuan : m/s; km/h
tti
I lt Kecepatan sudut or, frokuensi rudut ar Kecepatan sudut c.r adalah turunan pertama dari suctut putar terhadap g, yang berkenaan dengan waktu t;
"-*-,
Selaniutnya, untuk kecepatan sudut yang konstan:
t7 oimana
r8
/:n
(tihat
I
ngan frekuensi sudut
;";"f"
3),
sudut ar adatah sama de-
ar.
u - erl
. 2ta t
,i
Satuan-satuan: 1/s; radls; 1o/s
Percepatan a Percepatan adalah turunan pertama dari kecepatan u yang
!;
berkenaan dengnn waklu
.rdu
dt
.,-#.5
Satuan-satuan : nV!2; krrrh, Percapatan sudut a
It0
Percepatan sudut c adalah turunan pertama dari kecepatan sudut ar yang berkenaan , . _d, t'dr'u'i?
"Or":nUr,r:'
Satuansatuan l/sz: rods2;
!o/s2
( ( (
Turunan pertama dari lengkung
, . i
t6
Ls
Umum
lanjutan dari Ll
kecepatan sesaat
u = ds da -
s
Di sini luas yang bergaris adalah jarak yang ditempuh s-/. Lengkung-waktu kecepatan Hubungan waktu kecepatan digambarkan sebagai sebuah lengkung r,-t. Turunan pertama daripada lengkung ini merupakan percepatan berlanjut a. Selaniutnya, percipatannya merupakan turunan kedua dari lengkung jarak-waktu. du , B -d?-!
u r
s
Di sini kemiringan dr adalah tangen ter. hadap lengkung l,-t. Luas yang bergaris menunju kkan iarak yang ditempuh s/t/ Lengkung-waktu percepatan Hubungan waktu pe.rcepatan digambarkan sebagai sebuah lengkung d.t. yang memungkinkan percepatan puncak dapat ditentukan.
a>0: a<0: a=0:
a (co
percepatan (kecepatan bertambah) perlarnbatan' (kecepatan menurun)
kocepatankonstan
Keterangan peda diagram-diagram
Huruf-huruf dalam kurung dipakai unruk rotasi (unruk penie.
138
lasanlihat L4danL6)
139
q
( KINEMATI KA
KINEMATIKA
Jenis-jenis gerakan yang terpenting
Ls
Gerakan llnear
rakan
(
Goirkrn llnerr rercgam dan yang dipercepat
gerakan merupakari garisAaris lurus: Semua titik dari sebuah benda menutup ia-
$Gtrt 3srtgSm
g
(
o
o
seraglitm
!, E
o o
It
e-0 u.konst
r9ragam !r
rb'o
/ percepatan (c > 0 I dilambatkan (c < O konstan
q>
l
1
EU
(
0
Gerakan putar (rotasi)
Jalur gerakan adalah lingkaran-lingkaran sumbu. Sudut putar @. kecepatan sudan percepatan sudut o adalah identik untuk semua titik dari benda itu.
dut
o
m
It9
Gerakanaerakan linear khusus
cm km
percepatan seragam konstan
s, kecepatan r', dan percepatan tangen a7 adalah sebanding terhadap iari-iari-
Jarak nya:
u - ro percepatan
sen
tripetal
;
a
,^.
ota
Yi;_.l - .t
t20
@
-+
Getaran harmonis Jalur gerakan adalah garis lurus atau lingkaran. Benda bergerak bolak-balik di sekitar tempat kedudukan pada waktu ia diam. Pembiasaari (defleksi) maksimum dari ke- 5 dudukan ini dinamakan "amplitude".
t
a.
Kedudukan sesaat, kecepatan, dan perce- a patan adalah fungsi harmonis dari waktu.
pegas
kedudukan saat berhenti
121
u -. I = lu2 -zas
t22
u-ua=u2-uo? ?s t
m/s2
cm/h2 km/h2 3
min
t23
h
Luas
yang diarsir
menuniukkan iarak s yang dijangkau sela'
ma periode waktu r.
tangen 't40
uo+a!r l[uo'*2."
,
menuniukkan percepatan sudut a.
141 (
)
T
KINEMATIKA
I.
I L
Gerakanmemutar
KTNEMATTKA Getaran tL I
O
Putarrn terugam drn yang dipercepat 3oc!r! terlglm pada rebuah rumbu tetep (fixed) g:
( z
(
Sebuah benda yang ditopang dengan sebuah pegas akan membuat getaran linear harmonis. Untuk ienis gerakan ini, kuantitas s. y dan a sebagai fungsi dari waktu adalah sama dengan proyek s,y dan a^ dari sebuah titik yang berputar dengan kecepatan
gE
L o-
p#l*,"ni",l ,","*. [ 'mff:[:" [:: Sil s$1,:;:,,],,. J - ton""'!,o,0 I "
sama.
putaran
( (
gerakan harmonis sederhana lengkung waktu kedu dukan
tu LtJ-i 9-
ol I a
ua ott n T --T'7F, |(,+.,1
.osr.Iar
pG-31 ""t
- yffi
q^+
at
p-ot+goi O=r(4t +6)
,td
s =,
sln(ot +
9o')
lengking waktu kacepatan
'Ur
,rvmt konstan
o
o -at
. ye-z"v
rtdls ds u =fr=
percepatanl A-
a=
0
2
u?o.2 a+-_ -at'2O
W-+-+
u - t4 tzt u-qn. ?
,'-
r4'
to cos(ot + 9o)
lengkung waktu percepatan
Tlsz nVms2
rsdlsr 3
?9
'o*
t
min 2 arUi_-u2 in=;=",
h
Catatan Luas yang diarsir menuniukkan sudut rotasi g yang diiangkau selama periode waktu r. (sudut rotasig = 2 a. iumlah rotasi masing-masing 360o.iumlah rotasil Tangen p menunjukkan percepatan sudut d.
Persamaan diferensial dari sebuah gerakan harmonis sederhana
r32
143
q
KINEMATI KA
La
Gerakan di atas sebuah bidang miring
Jatuh bebas dan proyeksi lanjutan dari L 7 r : iari-iari vektor (asal: pusat lingkaran; tuiuan: kedtjdukan dari benda) 8,c: kedudukan yang paling jauh dari ritik yang berputar.
yang t'da
Jatuh bebas dan proyeksi vertikal Proyeksi lke atas (u^ > uo'0 vertrkal cJke bawah( rro <
ditgtahui
tl +-'
*r =*,' o,
t= o
!.:
c!o E o:,o o
; E: o>t
u o
'^l tinssi ;r--ffi7
tinooi uermulaan
^l
t2
i;
-!-p6
proye ks i horisontal
0o)0
2'
t = !r1n
lx
I
O(rln s
-
(
/r cor o)
'"i"::lf'?r'r1!(q : P)
km/h s
+ u.
min
proyek| ke atas (a > me- lke bawah (q <
sl
nyudut
uo
)
0 0
EU
O
Gerakan menggelindinS (rolling) di atas 3ebuah bidang Parame- tidak ter yang
..1'd9\1.
l-:-i:6-- r -gdr_-uol cot
2c
termasuk
r-o
termasuk
.friksi
L>o
.l
o
m
$tsln, - +.
m cm
YC
km/s
-zn
lihat I 45 di atas lihat 146 di atas
cm
caia
rln'q
tan
a-; - +
silinder masif
m
I ;;
sudut proyeksi yang mengenai bidang horisontal waktu unruk tinggi.{/ ,, , *it ,, untuk iarakL J
i
Ama*s lin ANt, , lo
Jangkauan L'dan tinggi maks. H untuk sebuah proyeksi yang menyudut ke atas (angled upwards projection) ,
c
tLaa
cm
2h
r
bidang miring
r
O
-u --;v
trx ffi. yr-.-dv
138
!fr'5 Gerakan meluncur di ata! sebuah tidak t t-=tt t.t."tuk termasuk ,r;ksi (sesekanl I E B! |
m
%- e, ,V,";lzrn
(
Proyeksi horisontal danproyeksi menyuAut
.9_,2
137
EU
$,-+,'-rt.j--tt.,
?h rlTF u lo
".t' = ,"V+
r36
0 0
(
tmats'*
{ekstrim)
iatuh bebas
(
KINEMATIKA
a':
sudut miring, di mana pusat gravitasi S secara vertikal berada di atas tepi miring
145
I
ql
a
KINEMATIKA r64
Mekanisme laniutsn dari lJ9 p .: koefisien gesekan lfriktil luncur (lih€t Z 7l (lihat Z 7l rro : koeficien gesekan statir gesekan : luncur (p - tan p1 ? sudut 90 : sudut gBekan statis (/o - tan eo) (lewr .t : lengan tuas arm) dari resistansi yang menggelinding (rolling resistance) (lihat k7O danZ 7l It : i3ri.lari dari perputaran (gyrationl
t55 t56 157
ts8 159
r : r(t -
cos
l) *i
a
oti
r66 Kedua kapak Gtos) / dari sa-br"$ an
sudut inklinasi p, semakin bertambah percepatan ksamum a dan momen percepatan Mo; oleh karena itu, nraka am praktek /, J 45o besar
(baca: konrod) sederhana
Mekanisme
l
rs1nt9
d
I
u - &rrs1n9(t +l69jg) . . r.lr(cosg+)cot2r)
"r -3-A r
{ "'
9 - ua - 2tnt
t 6
(ldisebut perbandinsan
"nnklJl"n * r"r,o!
,
konst
-
Mekanisme Scotch-Yoke (baca: skotsyookl I
t61
t62 r63
s u , ot
r ' -
rcln(ol) orcos(ot) -l r eLn(u t) 2xn
(gerakan adalah harmonis sederhana)
Kopeling kardan atau sendi peluru Untuk penggerakkan yang seragam, penggerak ke samping (off drive) akan men.iadi seragam karena poros pembantuH
I
Untuk semua poros penggerak {shafts} yang ditempatkan da. lam satu bidang dipakai hubungan*rubungan berikut ini: 146
l
147
A
( D!NAMIKA
M1
lstilah umum
a
Umum Dinamika menyangkut gaya-gaya yang bekeria pada benda-benda bergerak dengan menggunakan istilah-istilah "usaha, energi dan daya
".
I
Kuantitas dinamika yang terpenting dan satuan-satusnnya Massa m (adalah kuantitas dasar,
lihat kata pendahuluan) Satuan: kg; Mg = tg; g 1 kg adalah sebuah massa standard internasional. Massa A diukur dengan bantuan sebuah dacing (steelyard) a (gaya gravitasi) F Gaya F adalah hasil perkalian massa nt dengan percepatan e.
mI
n2
Gaya gravitasi W adalah gaya yang bekerla pada suatu m karena adanya percepatan bumi g.'
t 1 ^9 ll diukur
Sebagai suatu gaya gravitasi, berat sebuah timbangan pegas
massa
dengan bantuan
Satuan: N; Ikgf; lbf] 'l N adalah gaya yan9, apabila bekerja pada sebuah benda dari sebuah massa n = 1 kg untuk I detik, mempercepat benda itu hingga kecepatan tertinggi 1 ms-r (yaitu mem.percepat benda itu pada 1 ms-').9,81 N (= 1 kgf) adalah gaya gravilasi yang bekerja pada sebuah massa 1 kg karena adanya gaya tari k bumi. Usaha
W'
Usaha mekanis, adalah hasil perkalian gaya F dengan jarak s, di mana gaya konstan F bekerla pada sebuah benda dalam gerakan linear ke suatiJ arah yang sejajar dengan jangkauan ja-
raks
(IV
= Fi).
d
Satuan: N m = Joule = J = Ws; Ikgf m;ft lbf) Apabila suatu gaya sebesar 1 N bekerja sepaniang jarak 1 m,
( DINAMIKA Massa, Momen massa inersia laniutan dari M
maka gaya
lNm(J).
DINAMIKA
Mz
lanjutan darl M 2 ngan ketebalan dinding yang tipis tak terhinggo, yang memi. likl massa rama dan momen rnssa inersia sama. reperti !enda dimaksud.
1
itu skan
menghasilkan usaha (energi) sebesar
Daya P adalph kelanjutan usaha yang berkaitan dengan wakUs'aha (energi) meningkat atau menurun secara linear dengan waktu, maka daya adalah hasil pembagian usaha dengan waktu lP = Wltl. Satuan: W (Wattl ; Ikgf ms-I ; H.P.] Apabila dalam waktu 1 detik (s) suatu energi sebesar 1 J
m6
bersang.
ma
tu, Apabila
diubah pada tingkat konstan, maka daya yang kutan adalah 1 W.
m5
mom€n massa inersia /
Elek roda
rh.2
kg
m2
Badius girasi (perputaran) I Radius girasi sebuah benda massa n dan momen massa inersia / adalah radius dari sebuah silinder khayalan (imaginary) de.
150
agk'-
gI
kgcm!r-2.Nm, k: lihat M 3l
t'o = #
-
N
F,
u - fs (f'konst
mll
4-
m12
tp- ag
mz
f,'^u'
kg
gerakan berputar
lisfJ [rgt
'
llt-
I e
|/ . trp(,y-konst.
4'Ir"
h
e-
ff
[rst m]
-l . mln-t ' -r--!
f,tar
.kw
m. [xet m] m, [rst mt ,
[rst , [tet m o - 2xn . [rstm ry,
e.ff.ru
14
,
N m.
ry-!ru
-
t'
s. [ret m] .kw
Untuk keterangan simbol-simbol lihat M 4 Momen masa inersia di sekitar poros
0{ (poros putarl
tar
Iss
r h'
Rumus-rumus dasar gerakan linear rumus-rumus satuan
ml0
eor€ma Stoinor (Teorema poros paralel) (lihat iuga J g) Bilamana sebuah momen massa iner. sia dari sr.iatu benda massa ,? di seki-
6o '
gaya
m9
m
sebuah poros melalui pusat gaya beratnya S -S adalah /... ma ka mo. men massa inersia di dekat sebuah poros paralel O-0 pada jarak ,'g akan menladi:
m,cm. mm
(rumus Massa ekuivalen (untuk benda-benda berputar)
ml
m3
ittr A '
karena
Efek roda gaya (flywheel)'
1W=1J/s Momen massa inersia sebuah benda di dekat sebuah poros te. lah ditetapkan sebagai jumlah hasil perkalian elemen-elemen massa dengan kuadrat iarak mereka dari poros itu _ 6-
Mg
Massa, Momen massa inersia
PorOS
Poros b-D
yang bergerak melalui pusat gaya berat S
gelang
t .l,l.t x' . lr'
m15
1 - ar'
m16
h'
m17
t-12-V-^?
I
kr
k'.+(5rz+h')
r2
-#1512
jenis bentuk
"*$'" +
silinder h2)
( ( (
(
'3,llill.['},
hnlutan dari M3
,
m19 m20
: : i ;::1 : : l':,1*:,n,url
m2t
t .$^r
m zit
*'.#t
m23
I
m?1
l'
m25
I
m26
,tt
.lt
"tc*|/l
r,+r
^'
.
,r'
t,'
.
{td fi
r-A-zt'-Ir--' Clt Zt
+
srt
momen gaya momen beban
\
_
Total t,
ef
=
hasil usaha sr^" rs"ha
Energi kinctir bendt bergerak di atas roda
m30 m31
I
tr-i(ntr.o)ur' ut - ul
l. [tet
-
4t,
l-Lr-
PP
u
t,
.-
output input
a*:lihatmS u, : kecepatan gerak linear pusat gaya berat l, : qaya Percepalan ,, : momen Percepatan /, : energi kinetis llP : enetgi potensial tF : energi pegas helikal di bawah tegangan Al : perpaoiangan pegas helrkal li : deleksi sudut pegas spiral (dalam radian)
digerakkan
N, [ke0 N m. [ksl ml
.r, [rgr m] J. [k9, ml
.t,
[t
Gaya sentrifugal AU
a 'z
ridak meluncur J. [k9t ml
7
ru.
[tet]
r.t.
Ix9tl
f
38
1t'nl??
39
2trt
m,/s, km/h
40
?r1
l/s, l/mrn
m/s. km/h
zrl
I
rtz, D, r
ml
Momen putar (rotational torque) m32
(
I
.
o-
affit
,r - *nu,'*l'!",'
t, tL
isiensi untuk suatu transmisi seri
Total energi kinetis rebuah benda m29
Ua
Perbandingan momen putar (torque ratio)
LpJo
tdrc')
4,
N m. [kgl m]
'I
152
e
ff
Perbandingan transmisi
Ef isiensi
!%
I .S{a'+c!) t2
Perband ingan transmisi
) s+.L a.L \s. lt. g
0
.
laniutan dari M4
ffi
s
Ms
Gaya sentrifugal
bota
I hz
ru -
I
kerucut
't "(rl't') . $ {t"'*a')
I .L^l , ir -2) 5'
. L.i s
t27 I .|.rt m28
I
I
DINAMIKA
53
DINAMIKA
DINAMIKA
Mo
Getaran harmonis
Getaran harmonis
m
,11
o,-
,t r'p
m{6
u2o
t
5
kecepatansudut
o - 2tl
)
(
kekakuan cq dari poros penggerak 2-bantalan, beban I
m. cm, mm m. cm. mm m. cm. mm
gaya sentrifugal
t9 momen massa inersia sekitar o tq momen massa inersia sekitar S momen yang diperlukan untuk membiaskan per spiral denoin 1 rad = 57.3"
N. [ksr. ed m?. [t<91 m s2] m2. [tgt m 's?]
N m. [tgl cm] Nim2, kgl'cm2. {xgtrmmzl
tegangan tarik (tensile stress) periode getaran (B ke B'dan kembali) ua : kecepatan pada E u5 r kecepatan pada /' YKi energi kinetis pada t'
s, min;
dl: detleksi arau perpaniangan f : momen kedua daerah penampang.lintang poros penggerak r : massa. Pada waktu perhitungan kecepatan kritis, massa zr
detik/menit
mls. cmrs. kn/h mrs. cm,'s. km/h N m. lkgt ml
ce :
Getaran mekanas Umum m43
periode
I r.r - z^lf?
m44
keka kuan
-at tl
a I
deti k/men
(s.min)
(mi5alnya dari sebuah cakram sabuk) dianggap telah dipusatkan pada satu titik. Massa dari poros penggerak harus diperhitungkan dengan suatu peningkatan kecil kekakuan untuk getaran melintang Pendulum (ayunan)
(Keterangan lihat L4) Pendulum konus (berbenruk kerucut)
it m50
T.
m51
trns -
N/m. [rgttqm]
(lihat L |)s-r.mrn-!
I r54
(
,oo/ffiE
rr' .
jarak dari pusat gaya berat ayunan pendulum maksimum ayunan pendulum seketi ka
frekuensi
q
?nV n
Nh?. [kgt/cm1
m45
l/F
_r_lE
Gelang
o, . ,'j
-
(
Keceprtan kritis Poros Penggerak
'z
vm2, [tgf/cm2]
m12
Mz Irnjutan dgri M 6
lanjutan dari M 5 Stress (tegangan, gaya) dalam benda-benda berputar (rumus-rumus kasar) Cakram
(
m52
?'rT-1.^t'[# r.' - , gh
wl^-*
l', gJ
_t
-F- )-l
.12 _]l
r55
lanjutan dorl M 8
DINAMIKA
Ma
Benturan (lmpact)
Arah benturan benturan la
Prndulum rrdlrhrnr Tangen pendulum tidak memiliki mas$. total massa dinyatakan dengan satu titik
m54 m55
serong dan konsent ris be ntu ra n serong dan e kse ntr is
, . rrlE_t
,6."f+1". 14,/ - /, Jre
'nc*
-*I m62 m63 m64
m57 mgE
,"}/F
6 . Is. nlsl rs - ", \(*-
s.min
m65
Nmsz,[rgtcms2]
benturan elastis+
c-0
koefisien restitusi
m59
_
O.,
u.,
,
Untuk benturan serong, konsentris, elastis, vektor kecepat.
an t,terbagi dalam
? - 2rff,
disini
0=Esl
normal terhadap bidang singgungan pada
titik
benturan
sebuah
komponen normal dan sebuah komponen tangensial. Kompo-
s. mtn
nen normal r,^ menghasilkan
suatu benturan langsung (lihat
keterangan simbol-simbol lihat M 5
m@
di atas), sedangkan komponen
Benturan Apabiia dua buah benda massa tnr dan ,,2 serta kecepatan t,11 dan uar bertabrakan. maka lotal momentufr P - rn u akan tetap
u, tidak berpenga' ruh terhadap benturan itu.
tangensial
konstan selama periode benturan (kecepatan'kecepatan menjadi Ir12 6lgn t,22):
mOt
156
trr
Urr
aa uI
fir tAr
a,
(
il
6
-
Pendulum torsional
I
,t un lt r tt
Koefisien rni menunjukkan dengan faktor mana kecepatan rela' sebelum (urr) dan serudah (ua) ben' turan:
m 58.
(
nr ui+
langsung dan konsent r is
tif iru akan berubah-ubah
massa inersia sekitar O dihitung dengan menggunakan
(
benturEn
kecepatan setelah
kan momen dapat
benturan plastis
sama, sebelum dan sesudah benturan
ben tu ra n
ision restitusi
- m s2. [rst cm s2] f) Apabila sebuah benda dengan gaya berat S menggantung pada O, iarak l. dari J, dan periode ayunan yang menentu'
normal terhedap singgung pada titlk benturan melalui pusat gsya berat kedua benda bidang singgung titik benturan
kecePata n rel ati f
J. N m, [rgt cm]
t - 2, /8.
kecepata n- kecepa tan paralel dengan normal (9aris tegak) terhadap bidang singgung pada titik benturan
Jsnis bsnturan
Pendulum kompon (comPound) m56
ngsu ng dan
konsentri s benturan
hnlutrn
m53
(
uu
157
HIDROLIKA
e
Nl
Umum
C
Umum Hidrolika adalah ilmu mengenai sifat cairan. Bilamana ditiniau ledekat. maka cairan dapat dianggap tidak dapat dimanfaatkan lincomprcsslble), yang berarti, bahwa pengaruh perubahan tekanan pada kerapatannya dapat diabaikan.
Kckentalan dinrmis
(Nilai-nilai
lihatZ
5)
4
. $-
(eu oetit< . pascat pas = #
t= ro
d "t)
Kekentalan dinamis adalah suatu konstanta bahan, yang merupakan lungsi tskanan dan suhu:
4 '
llp'tl
Ketergantungan pada tegangan seringkali dapat diabaikan. Maka
o =
./( r )(untuk angka-angka lihat Z 14)
Kekentalan kinematis v (EU. 6:rs [= 10. Sr = ro6 cSr]) Kekentabn kinematis adalah hasil pembagian kekentalan dinamis 4 dengan kerapatan p
u-!
0
Hidrostatika Disrribusi tekanan ddem fluida n
P, '
Fq. gQhr
Pz -
.Dr
-
pr
le
99(hr-h1) 99r'h
I
(
Kuantitas
Tckanenp lihat O 1 Kcrapatan o lihatOl
(
\
lgradien lrekanan
lanjutan di N
2
il
HIDROLIKA
HIDROLI KA
Nz
Hidrostatika
Hidrostatika
Gaya hidrostatis pada permukaan datar Gaya hidrostatis adalah se. buah komponen yang be.
Daya apung (Bouyancy)
n9
te-
qQYsAcoso
cQhsA
vo'fi'v,
n7
I,
nl0
ia
Gaya hidrostatis pada permukaan lengkung Gaya hidrostatis yang be' keria pada sebuah Permu'
kaan lengkung 1,
2,
n tl n12 n13
di-
uraikan ke dalam komponen horisontal
kan.
fi-9gY+gQ'V'
dan komponen vertikal Fv.. berat fenida dalam (a) atau fv adalah sama dengan
berat ekuivalen fluida (b),
mengapung I dalam fluida pr, maka benda akan tetap melayang-layangiyang lebih ? < 9r , maka benda akan tenggelam J berat e.
digunakan
l't'
sev
N. KN
: pusat gaya berat daerah ,'l : pusat tekanan = titik keria gaya f : momen kedua daerah A dalam kaitannya dengan porol r
kedua daerah , dalam kaitannya dengan sebuah poros yang membuiur paralel dengan poros r mcb,ui putat gaya berat (lihat I t7 drn P 101 : rriomen sentrifugll dauah / dalam kaitannya dcngrn poroi
l rnofien
r
dan poros
,(
g > 9r, maka benda akan
Fx adalah sama dengan gaya lekanan hidrostatis yang bekerja pada proyeksi permukaan yang dipertimbangkan 1. 2 di bidang regak lurus pada /';r. Perhirungan dilakukan dengan n 6 dan.n 7.
trl
(
ini: F^ , ggY N, KN pr sebagai kerapatan benda,
di atas permukaan 1, 2. Garis kerla membujur
s o fr fs
NKN
Penetapan kerapatan Q benda-benda padat dan cair ntuk f,uida tentukan lebih dahulu Benda padat dengan kerapatan yang F1 dan m dari sebuah benda lebih besar I lebih kecil tentu di dalam fluida yang telah diketahui kerapatannya Pudaripada
l;j
melalui pusat gaya berat volume Y.
(
mus berikut
,o-
gsA
da h
Apabila fluida kerapatan p' berupa gas, maka berlakulah
kanan atmosfer ;ro. nG
(
Daya apung (tekanan keatas) Fr adalah sama dengan berat fluida kerapatan 0 dan P' yang dipin-
keria pada sebuah permu. kaan sebagai akibat dari be. rat fluida sendiri, yaitu tan-
pa memperhitunqkan
Ng
I (lihat | 171
F
a:
massa benda yang tetap melayang-layang.di dalam da
flui-
t i gaya ekuilibrium yang diperlukan t* i gaya ekuilibrium yang diperlukan dalam percobaan ?r
:
permulaan untuk benda-bentu sendiri ketapatan fluida yang digunakan r61
HIDROLIKA
HI DR OLI KA
N+
Hidrodinamika
o22
-; - re *
-|tr-o,)
il k9
t,
n25
untuk PomPaPomPa
,rr,, )
0
s
f
cml
I
-S-
e
.sf . ;(6-A)
n26
r
..1
P:+ ozt+ iU,l I
u1
2
satu;n massa
adalah kecepatan ke luar dari {luida yang meninggalkan volume referensi uf adalah kecepatan ke dalam dari {luida yang memasuki volume referensi.
if
*,
Persamaan sudut-momenlurn
Di dalam suatu aliran berputar yanq mantap keadaannya, diusa' hakan adanya sua(u rnomen putar .t/ pada fluida yang mengalir melalui volume ref erensi, dinyatakan dengan: garis datum (f
resistensi sepaniang ialur dari 1 ke 2
|
^27
luida nyata)
*' o,,'*'?'",* S' '^" u : kecepatan ,",.r'', t!-Si"n-kerugian
pada
gaya volume (misalnya beratl gaya tekanan gaya friksi
energi tekanan Per satuan massa
Termasuk kerugian-kerugian
u2 v
dan
t/1.u
= m(o2,,. r, - vr,u'rt\
Nm
adalah komponen'komponen sekeliling kecepat'
an ke luar dari, dan kecepatan masuk ke dalam volume referensi.
;l
r2
dan r1 adalah
lari'iari yang berkaitan dengan u2dan ul'
lr II
162
N, KN
-f,Fadalan jumlah vektor dari gaya3aya yang bekerja fluida di dalam volume referensi' lni dapat berupa:
energi Porensial Per satuan massa energi kinetis per
92
(
Untuk suatu fluida yang rnengalir melalui sebuah volume refe' rensi yang diam berlaku persamaan vektor berikut ini:
I
+-+.sz'i' .v
(
I
+
Persamaan momentum
Tanpa friksi ({luida ideal)
p
I trl-u,')-,r,,, o
Persamaan Bernoulli (Aturan konvorsi energi)
T+
+ slz7z1),
utr,r (
l
92,
kw. w
ilutrt
untuk mesinfi esin hidrolis
Aturan konservasi vol ume
o,
=
n24
i i.
-im3
@r,,1
n23
i
massa
,4rur9r = AvP ' Arvr?,
n18
P
usaha teknik per satuan massa
Persamaan b€rlaniut
'17
a
Daya P sebuah mesin hidrolis
Hidrodinamika
n
Ns
Hidrodinamika
(untuk aliran Yang mantap)
Aturan konservasi
I
rl
rl
l
r63
HI DROLI
KA
HIDROLIKA
No
Hidrodinamika
Kerugian-kerugian friksi dalam aliran pipa n20
[::'-l::i'fl.per satuan massa fl
n29 Kerugiantekanan
Dr
t
!.,
- r(l
=
(
n3l n3?
Lubang dasrr
karena itu
n39 na0
dan koafisien bentuk o:
u
c,l/ili
e
c,e
RQ -
udQ ,)
u d,g
Rc
^12
Jikalaunc <2OOO, maka aliran adalah laminer (berlapis'lapisl Jikalau Rc >300O, maka aliran adalah turbulen (berkisarl JikalauRc =2OOO . . .3000, maka aliran adalah laminer ataupun turbulen
na3
f
^41
I c,o[Ti (x,\ - tt,\, I
na5
Tekanan-lebih pada permukaan cairan
q = -L untuk pipa lurus untuk pipa lurus l" - * o . I untuk fiting, union dan tabung-tabung Penotapan koefisien
g-
^al
Tckanan-lebih yang dikenakan pada sebuah
(annularl
n38
o/al t I s I s I z lro lso lso lzo lroo lco e II s0 ll.'r7 1r.44 1r.42 1r.10 1r.32 l't.29 11.27 l1 2sll'00 ntUkpenarnpang-lintangpersegi(rectans"t",lffi o/ol o lo l lo'2lo'sIo'r Ios lo6 io7 los ir'0 TTrtolTs4irro-f .ToJ@ d : diameterdalam PlPa e da= 4 a/tl : diameter hidrolis
, :
I : Panlang
n
164
,"w
,18
n49
e
u
titik
lubang keluar
q^y4
: kecepatan keluar
m/s. km/h
p.,: tekanan di dalam kelebihan tekanan atm(6fer N/m2. kgt/cm2 C6 ; koelisien pembuangan lC6 = e, x (S C. : koefisien kontraksi (Cc = 0. 62 untuk lubang dengan pinggiran talam) (Cc = 0'97 untuk lubang bulat
PlPa
penarnpang-lintang tegak'lurus lerhadap aliran fluida
U : keliling yar€ dibasahi h/d da^ ,1/d^ : kekasaran lelatif
lt : kekasaran rata'rata (lihat Z 9) t, viskositas dinamis (lihat N1, nilai-nilai ; daambil dara diagram Z 8
u r c,l/;rctt.F a ' co^lfzGi.$
na6
n36 Untuk penampang'lintang berbenruk gelang
n37
(
- Cgu
Lubang samping besar
n33
n35
(
u . c,yz;i '.z@i . c, tl/Ts-F e
n4l
c, :'koefisien
kecepatan
D : lebar lubang
f
lihat 214) :
t I
: gaya reaksi Q' : volume aliran keluir
( (
lTlT
Lubang 3amping kocil
pipa-pipa tidak bulat
turbulen')
n34
Aliran cairan dari beiana
Angka Reynold) pipa-plFb bular
n30
) ,
zPv - 9urr,r
Pcnetapan koefisien resistonsi
(Re
o#
Nz
Hidrodinamika
tr".t
"irt?lTl3)l
m, cm N. kot mJ/s- mt/h
165
PANAS Variabel-variabel termis keadaan
Or
-variabel termis keadaan adalsh tekanan p, suhu ,, dan rapatan p atau ,uga volume per satuan massa (volume spesif ikl. Tekanan p (EU: N/m2 - Pa, bar) Tekanan adalah hasil pembagian gaya
( l'
dengan daerah
A:
o -L
ol
Tekanan absolut dapat diartikan lebagai seluruh hasil benturanbenturan molekul pada sebuah dinding. Tekanan yang diukur dengan sebuah alat ukur tekanan adalah diferensial tekanan dp dalam kaitannya dengan tekanan lingkunganpu..Suatu keadaan tekanan berartiap>Ovakum berarti A p<.O, Karena itu, maka tekanan ab,solut/} dapat dinyatakan dengan:
Pu +
'4P
Suhu I, t (kuantitas dasar) lihat keterangan pada bagian muka buku. Satuan suhu ir adalah Kelvin K yang diretapkan dengan persamaan
Trt
1l(
21r:16
dimana T1s adalah suhu air murni pada tirik tripel (lipat tiga). Di samping skala Kelvin, juga digunakan skala Celcius. Skala ini telah ditetapkan secara internasional dengan
= (l-nt ' Keraparanp (Nilai-nilai
+ ezr'r5)x
;T
lihat Z 6)l EU: kg/m3' Kerapatan adalah hasil pembagian massa m dengan volume lr:
o -L
Volume per satuan massa (volume spesilik) t' EU: m3/kg Volume spesif ik adalah hasil pembagian volume I/ dengan mas sa nl
v-l 49
'.
Volume molekuler VVolume molekuler adalah hasil pembagian volume jumlah mol yang terdapat di dalam volurrle:
v^Jumlah substansi rr (kuantitas mu ka bu ku ini.
m3/mol
dengan
V
4
keterangan
di
oagran
167
( (
PANAS Pemanasan benda-benda padat dan cair
PANAS
Oz
Pemanasan bahan-bahan padat dan cair
Pemanasan benda-benda padat dan cair Penas (energi
termis)
Q
Ekrpenri tpemuairn) bahan padat Sebuah benda padat mengubah ukuran-ukurannya yang dise' babkan oleh perubahan-perubahan ruhu. Dengn menggunakan a sebagai koefisien ekspansi linear (untuk angka'angka lihat 2 11) rumus-rumus berikut berlaku untuk:
(EU :J)
Panas adalah pertukaran energi antara sistem-sistem dari berba-
gai macam suhu, di mana sistemsistem ini saling berpengaruh terhadap yang lain melalui .:inding-dinding diatermis' Panas per satuan massa
q
(EU. J,k9)
Panas per satuan massa adalah hasil pembagian panas Q dengan massa ,r,
:
Panar spesifik
('
Eu
Ji
14
(kg K,
o
a zti
Panas laten (Lalent heat) P€r satuan massa i (EU: J kg) Nilai-nitai lihat Z 10 Penamtrahan atau pengurangan panas laten menvebabkan sebuah benda berubah keadaannya ranpa rnengubah suhunya' Berikut ini adalah panasfanas laten yang dapat diiumpai:
/,
I
r--j
I
--l
oenor-
. 'ol olaPan
--l I
,,1
benda padat dengan suhu berfusi ke da. lam sebuah {luida I f luida dengan sufru didih- j (tergantung dari tekanan) ke dalam uap lenuh i
rus,
oi - L---J
Hl or
|
I I
I I
yii0 d,De'
' keilno benda padar dengan i suaru suhu dr bawah I
lsuolima-l
Iit s' ir
I
I
I g".trng dari tekarran) I seca.a langsung ke i
dalam uap ienuh kering
trlrrZo(r1-r,[ Ar-1,. Arza(tr-t,)
(
vt . ,, [r * ,(., - !r)] av - Vt-tL . \.tltt-t,l
o19 o20
karena panas
z4
Jalur-jalur bimetalik dapat mudah melengkung sebagai akibat panas. Pelengkungan terladi di bagian sisi logam yang memitiki koefisien ekspansi lebih rendah. Dengan menggunakan o6 sebagai "pembengkok termis spesifik", pelengkungan _yang disebabkan panas, dapat dihitung (ad kira-kira 14 x 1O{/K,untuk
nilai-nilai yang tepar lihatlah petuniuk-petuniuk pabrikl
yang
de-
os L' al
o21
t
sama
ll
lr yt V2
s
:
-
,t
I=
t2
pan,ang pada t
t - t2 : volume gada t - tt : panjang gada
: volume gada : ketebalan
Ir : bidangpadatotl l,:bidangpadar-12 suhu l*#l #./i : selisih suhu
( (
tto(rr-tr)
lr-lr'
h [r.5o1tr - a,)] 6V . v2-q.4ta(.2
I
I
l' [r+s1t, -.,)]
Ekspansi (pemuaian) brhrn cair Dengan menggunakan , sebagai koefisien ekspansi lmuai) volume {untuk angka-angka lihat Z 1l ) rumus'rumus meniadi seba' gai berikut:
,11
liharZ1....Z5.
Panjang: l, . Al' AtL u a s: AA Volum e: vr .
o18
spesifik adalah sebuah fungsi suhu. Untuk angka-angka
Panas
168
o ol
Panas spesif ik (' menuniukkan iumlah panas Q v3ng harus di' tambahkan kepada, atau dikurangi dari suatu substansi massa ,I untuk mengubah suhunya deng,an suatu selisih -l t
o12
o13
o15
o'f
Os
Pemanas' an
r69
I PANAS Keadaan termodinamis dari gal dan uap Persamaan umum dari keedran
O+
PANAS
gasgr ldeal
Keadaan gas ideal ditetapkan dengan dua variabel termis dari
keadaan. Karena
itu, variabel ketiga dapat dihitung
dengan menggunakan persamaan umum dari keadaan. Dengan R seba' gai konstanta gps karakteristik (hilai'nilai berbeda untuk gas' gas berbeda, lihat Z 12) persamaan meniadi sebagai berikut:
pu -
o22
R
r
stau pV '
aR
7
atau , - gRT
a konstanta gas ini berkaitan dengan volume mol, maka men
jadi:
oIt
PV^ - R5? mana R. = 8314,3 J/(kmol K) adalah konstanta gas universal (berlaku untuk semua gas ideal). R dan Rm dikaitkan me' Rm' ll R o'24 lalui Di mana M adalah massa molekular (lihat Z 12) Keadaan termis gas{as nyata (non ideal} dan uap Keadaan termis gas nyata dan uap dihitung dengan mengguna' kan persamaanfersamaan khusus atau diagramdiagram. ubahan keaddan Perubahan-perubahan keadaan disebabkan oieh sistem dan ling' kungan yang saling mempengaruhi (inter-action). lnteraksi ini dihitunq dengan menggunakan hukum ke-l dan ke-2:
h'}X[/<" 2 untuk I terbuka sistem tertutup sistem 1 I semua sistem hukum ke-l
o25 o26 o27
e,.r'&,,r = ur -u, lo'.r*rr,.r =h:- ^,-1":|qr,, =.)T
d"
dalam rumus-rumus ini,
energi adalah positif q1.2. u1 2, tat \ 2\
dan output energi negatif.
h : entalpi per satuan masa J: entropi per massa unit u : snergi dalam per satuan massa
usaha luar yang dilaksanakan per satuan massa (lihat O7)
U, l,I:
y'c'.
Os
Perubahan keadaan gas
usaha luar yang dilaksanakan tanpa berhenti per satuan massa (lihat O 7) perubahanperubahan dalam energi kinetis atau energi po-
g€s{as
abel pada halaman O
6 menunjukkan
hubungan*rubungar, berbagai perubahan keadaan, yang telah dikembangkan dari rurnus-rumus O 25 hingga O 27. Keterangan -keterangan beri kut i ni menyatakan : Tiap perubahan keadaan dapat dituniukkan dengan persamaan p un - kons Berbagai komponen diberikan dalam kolom 1. cpm dan cvm adalah panas spesifik rata-rata untuk tekanan konstan dan volume konstan masing-masing, dalam jangkauan suhu antara lt dan t2. Dalam hal ini berlaku hubungan berikut
(nilai-nilai untuk com lihat Z 13):
cvml
cp-
;'r |
1,,
I
l^
t^
l'r |
ttz
',^1,,
./t,,
ry',*1,,
perubahan entropi yang ter iadi dalam perubahan keadaan di
".-,.(+).
n
r.(f)
Perubahan_keadaan gasgas nyata dan uap
Tabel di bawah ini menunjukkan hubungan-hubungan berbagai perubahan keadaan, yang telah dikembangkan dari rumus-ru. mus O 25 hingga O 27. Variabel-viriabel termis keadaan, p. t,, 7- seperti iuga sifat+ifar, rr, ,lr, s pada umumnya diambil dari diagramdiagram yang se. suaiperu bahan
eadaan kuan
titas konstan
usaha luar
tanpa berhenti l2
utt.2 -,lu dp
isokhoris r/ = konstan
GoE;is/)
= konstan
tensial
17'l
( ( (
{q,
31
(o 3l
-
(o 3(
konst.
(o 4( I
nuDungan
\url
5 -/7,\F u' \ ?r,l =
,o o,rl
H-(*)*
Fr
politropis I Pr " /l.lffi t,Trl konstl
a
ur.t
0
-
?r)
u(pr - pr) R(7r
\7h,= co^ l7r-711
.
iistem terbu ka dapat dib6tik tl ut1.2 .,J u tlp
,|n
r, t
^[#,)-
*'t',-t,l _,
,fi,r,[#)"-,
.*,,[*)*_,] _*,
tr, -
-t]
n[(i+'-'] '.,^ ''(#)# -']
-^,^^[(fl"
""
)
l;(EI , n r rn(a)
n'
p(ur - ur)
dv
. n(f, - fi)
0
tet.r.'Jltp
sistem tertutup dapat dibalik
ul-rrr. c,a ( rt -tr r el , /rrlr- pr llnr/ ,
A
u,
P'
PJ.1ut1'
U.
lt
Ot
ut
;.7
*-*
keadaan 2
antara te& daan I dan
, ilrl" proses er P, \.vl n
n=l
isentropis r = konst.
n=l
7
rsotermrs
P
'konst. a-0
io isobaris
a*c
isokhoris u = konst.
eksponen
proses
ri ncian
pemtnd0han
a.
",-*{(?,-ri)
0
-l0r.t
cr, (r, - r, )
cr- (7r - r, )
pana3 per Satuan massa 9r,r
agnr sesuai dengan proses ysng ada
dihilangk8n,
r
l6ltuaca,
or[.L
i_r- l-j/-t' l-; r'
7-r-
ol
-lb
i,
>t EI
ditgram
-
a -
P-o-
t'\
l^:--
'l!
d
? o
dz J>
i;
A, AI
o.
g
o
o-
Ct
C) g
I
o)
o
3
o
= 9.
q)
CL
o
r
ccr
qu,
t-
l!
l: ls
l,: l:-
l-
l!
r
li
li
Lrt
lC b b lvvv
i ** I l$;l
-
diagram
Tlr L-
iq
'drf
isl E; $l "t. $i{ ?i ; ill , >c
;El
: eil 5E q
38
PANAS
Perubahan-perrb;;;;'il;aan
sas-gas
0""
I. IO
PANAS
Z
l)lrgrem p-r
Massa
Uniuk proserfro.g yang dapat diba- c
m dari ruatu campuran komponenllrl.
lik. daerah di antara garis pengenal
(curvol variasi keadaan dan poros.u manuniukkan usaha luar per satuan massa, daerah di antara garis pengenal dan poros-p menuniukkanusaha luar tanpa ber' hentl per 3atu8n massa, Diagram I-s Untuk proses-proses yang dapat diba' lik, daerah di antara gnris pengenal
dan poros{
menun
jukkan
li t
v, '*
dan ,Ev;
massa molekular ekuivalen pat dihitung sebagai berikut:
r = Z(x,,,y;)
o 5l
i/
dari suaru campuran da
/i\
'j \x, ) ,7i
dan
Konversi antara lraksi massa dan fraksi rnol
,, -_ S,
J
Tekanan
t'
,,,. X ,,
p dari campuran dan tekanan-bagian p, dari
r
komponen p
dr
mana p, = V,,p lan
174
ini:
t;-;danx=i di mana
Daya luar yang lerus-menerus ditambahkan pada atau dikeriakan oleh sebuah sistem terbuka dinyatakan dengan:
(
i'^
ai
I
rmlah pemindahan usaha Usaha luar yang ditambahkan pada atau dikerjakan oleh sebuah sistem tertutup selama satu variasi keadaan adalah:
Iutr,]
4t
Masa molekular ekuivalen ,?f dari suatu campuran Untuk massa molekular berlaku rumus-rumus berikut
J
di mana rn adalah aliran massa (EU: kg/s)
c
(
Fraksi-fraksi mol y,; dari suatu camputan
Aliran panas yang terus{nenerus ditambahkan pada atau dikeluarkan dari sebuah sistem terbuka adalah:
Ptz
n2, ..
4r t 4I
Q',1 - agr,,
Q,,r = ag,,
(
mi
Jumlah mol n dari suatu campuran komponen n\,
pemin-
tr,, - [lrr.,
(
Fraksi-Iraksi massa :i
Jumlah pemindahan panas Panas yang ditambahkan pada atau dikeluarkan dari sebuah sis' tem tertutup selama satu variasi keadaan adalah:
'
ar2.
at + at
dahan per satuan massa.
$t,,
Oe
Campuran gas
jutan di O 9 175
T PANAS
PANAS
Og
Campuran gas
Pancaran (transmisi! panas
Oro
Karena adanya perbedaan suhu antara dua
titik, mak! panas mengallr dari titik yang memiliki suhu lebih tinggi ke titik yang lebih rendah. Jenis-jenis pancaran panas harus dibeda-
lanlutan dari O 8 Fraksi-fraksi volume dari suatu campuran vi
f 'n:
dan
sebagai berikut:
Konduksi
rl
i,
oEt dalam sebuah dinding
sini, yang dimaksudkan dengan volume-bagian V1 adalah voyang akan ditempati komponen pada suhu 7'dan seluruh 2 dari campuran itu. Untuk gas€as ideal berlaku ru, -rumus berikut ini:
!i_!! p
V;
n; RmT p
dan Z
datar oOz dalam dinding sebuah pipa Daerah
o 6:l
(
l-1- ta2 0'c - ^A^---7logaritmis rata*ata adalah
' t dnl ;
dimana
ds-d; d^' -T
(
."[fJ
sebagai pembawa panas. (
Apabila aliron timbJl sendiri, maka konveksi itu disebut sebagai konwksi alami-
{i, h;)
ah. Kohveksi yang teriadi dalam suatu
menggunakan rumus-rumus ini, suhu campuran dapat tetapkan, untuk gasgas nyata dan uap de;rgan menggunakan amdiagram, dan untuk gas{as ideal dengan cara berikut:
aliran disebut konveksi paksa.
O'a'aAlt-t.l
Radiasi
ini tidak memerlukan massa sebagai pembawanya (misalnya radiasi matahari menembus angkasa)' Untuk perhitungannya digunakan rumus o 64.
Pancaran panas ienis
.ll ar +cr-
energa
, 9.e-^A---;-
'ang dimaksudkan dengan konveksi panas adalah pemindahan panas dalam suatu fluida. Karena adanya aliran mereka itu. maka molekul<nolekul sebagpi pembawa massa luga berfungsi
vi
Energidalam rr dan entalpi/r dari suatu campuran
tr = .5
Ah
dalam
panal
en
talrri
cc^,
Yang dimaksudkan dengan pemindahan panas adalah hasil gabungan dari trertra-rr gai proses yang menuniang pancaran pa-
^
na5:
di mana heri
o59 c60
panas-panas spesifik dari campuran ditetapkan sebagai
o65
",. c-
0'i'Ar(rr-tri
k ditentu' kan oleh, (untuk nilai-nilai yang mendeKoefisien pemindahan panas
kut: cp-
c66 o67
rti lihatZll!: dinding datar
:
i
-
*. #(i),'*
plpa
kondukiivitas termis (untuk nilaioilai lihat z1 . ..zn:l koefisien pemindahan panas luntukPerhitungan liharO 176
(
1.,' l-t
121
lv7
(
PANAS
Orr
Pancaran panas
o6B
Hitungan koefisien pemindahan panas a t)
guhu penukar panai memancarkan pana: dari fluida yang 3atu ke yang lain. Aliran panas dapat dihitung dengan:
Untuk konveksi bebas (menurut Grigull)
0-erhAy',h.
o71
Di sini. drm adalah selisih guhu rata+ata logaritmis. Rumut berikut ini berlaku bagi penukar panas crusfaralel maupun pe-
o72
nu kar panas arus-lawan:
It^
o69
.
On
PANAS Pemindahan panas
(ltbesar -
pada pelat
verti-
oLg
kal
o74
pada pelat hori-. zontal
,p 7s
{-_Pr
llu
o= tt
Nu = O'55VAr L Nu = O.lrlar
A
p;
, untirk 1 7Og
)d
1ff
(
a-
,
ilu=O.4llAlpr, untuk =-6- Gr =9tzl,tD' = gi/a.g2D3 v' NUA
Or Pr>105
o76 Sifat-siIat fluida (zat cair) harus berkaitan dengan temperatur (suhu) referensi o77 Koefisien ekspansa (pemuaian) dari gas adalah fgr = 1/T@
,r=fu;=
Untuk konveksi paksa di dalam pipa-pipa (m6nurut Hansen) a o
llu
o79
a
i
)/d
I
o80 arus
paralel A a'
arus
lawan
a
o
o
8'l
Dalam kondisi kerja arus lawan dl besardan dr kecildapar rimbul di kedua ujung penukaryang saling berhadapan, seperri rer.
lihat dalam gombar. Simbol*imbol yang digunakan dalam halaman O 12 ,r :permukaan badan yang lebih kecil I Cr : anqka angka Grashc Grashol
,, :permukaan badan yang lebih besar | ,f : tiniqi oetat , 1 'q!ry919l-9alam. pipa I t : pai'iins perar o:dramerer-tuarpipa lu :i<ecipaian c, .dan ve,r et er :konstanta-konstanta .^e.,r.orrro-^errlrclla raotast oart raaiiiivinq radiasi'dari raotasl yanq menu. kar permukaanpermukaan (untuk nilai-nilai litrai"Zm, '' is - 5;67 i ro-! w(m2 K.): konstanta radiasi badan hii"rir'- f) Pr i angka Prandtt; pr - (n c")zrlunitr[-nitat-niiai titatz tat 4, - I t- - t @ l.selisih .suhu absolut .antara dinding Oan fluiJa ' ' ot oatam oaeran vang trdak terpengaruh termis. t-: suhu lingkungan v : kekentalan (viskositas) kinemaris (v 4//9 ) , : kekentalan dinamis ?rr: kekentalan diriamis pada suhu rata
(
/tru
= 0.t t6(ae%-
tZ5
rt
2320< Re < 1OG ; 0'6 L/d< Dengan pengecualian 4w semua nilai bahan dikaitkan dengan suhu ratarata dari fluida (zat cair).
a
Untuk faktor gas (rt ,/?do'l4 harus dihilangkan Untuk radiasi (koefisien pemindahan dalam panas: cg1)
qsrr = F'Cr,t
ter-
tlc dalam J(m2 s K) atau w/(m2
K)
Untuk keterangan lihat simbol-simbol O
11
17s
(
KE
KUATAN (STRENGTH} lstilah umum
lji
,",
Pr
i';il; jll1l' ll; j illJ T,,*:
" ^:l:"":'. nampang-lintang
,,4.
Tegangan tarik dan tegangan tekan teriadi tegak lur nampang-lintang.
pr Dalam perhitunsr^
_
;:
:
il
,o""i'^,,ii, I ":I' ( |_-fl|---|Pada umumnYa
Tegangan-tegangan g€ser bekerla sepanjang penampang.lintang. ,
ratauc *
p2
l
Diagram.tegangan-regang (Uli tarik) Bahan-bahan dengan
1
batas plastis campuran aluminiuml
Ca
t at a n: Simbol standar BS 18 OIN 5O145.
p3 ^^=
p4
*,
f :
[."=
+] :
tesansan tarik. dimana
gaYa tarik 5o ; [roJ : penampang
'
lintang asli (dari percobaan
tanPa beban) ', /t x r /, toofJ lootr; :resangan,dimana , =t i. =T;, fo ; Lt"J : paniang asli (percobaan tanpa beban) zL; l.4t\ : perubahan panjans o"f"."!ii&0,.?r*0""
Laniutan di P2
(
KE
KUATAN
; IOr]
tulen atau kekuatan leleh (lihat gambar diagram sebelumnya) Eatas-batas proporsional kadang-kadang dikenal sebagai limit Ao
elastis
.p * O'Ol, :=t Rpo.o,; [6r] Titik leleh (logam mengandung besi) Rrr
i t6'.l ' :liitJ:i#fliii
[o*1
'
1i,u."*li,ti?"*n3in,,tik
Kuat tegangan (logam yanb tidak
tn = O'21 *
P6
iJiJi.'
Rpo.r;
-f , l" =+j
rereh. mengandung besi)
"modulus Young".
o7 pa p9
,'Yq' "'
diizinkan (tegangan yang diperboleh kan) Harus berada di bawah limit elasris Rp. sehingga iegangan yang R6 diizin kan adalah : P, - -in-: kekuatan leleh dari bahan v : faktor keamanan, selalu lebih besar dari 1. Faktor keamanan ultimit (batas)i Proof faktor keamanan (terhadap leleh atau O.2 oroof) (terhadap retakan)
Tegangon yang
Beban-beban ien is
2...3..
4
sifat dari leganqan
bergel om ba ng
r82
v = 12...15...
pto
pll
( P'
o,'*
(
o,-*1p,
;
zt € -l]=
-t
l-l^ t.*=
ci,
n E = E.A
(
tekan tgr di bawah tekanan
zl lo
l"-t lo
a. E transmisi di
n I E,A I
E
aa . kekakuan tarik
atau kekakuan tekan bawah tegangan (perbandingan Pois-
Perbandingan Untuk penampang-penampang bulat , amelintang di mana r.me- E -u _
sonf
- jg:3 ; ,o dun cmelintang do maniang 'o logam perbandingan Poisson dapat diang-
ememanjand-
Untuk sebagian besar
gapsebagaitr=0'3
Tegangan termal: tegangan tarikatau tegangan tekan disebabkanotin pembatasan ekspansi termal (lihat iuga O 13/14) p12 (cn = o' nt) Oo = E , Co . E, a , ZJI Zt adalah selisih suhu antara keadaan asli tanpa tegangan dan keadaan yang dipertimbangkan
4t > o 4l < O
Unruk
tegangarr
tarik, Positaf
tegangan tekan, negatif bagian-bagian pra-tekan (prestressed) yang dapat terke'
na tegangan termal, seluruh reganqan meliputi:
p13
trot - tct + e,h- F/(E,AI + uZl; Tegongan
diagram beban
'lr--
tarik dan tegangan tekan oi danoc lFt
Regangan
untuk contoh{ontoh
sebesar
o/c.6,lo/ll
Regangan s di bawah tarik
'o
setelah retak dengan penampang bulat, persentase pemaniangan dapat dicatat. berdasarkan panjang ukuran, misalnya As [65J berdasart
6=E.c-E,41/lo:,
Tegangan
[Ooo.,l
, kekuatan tarik , .+, rool; [a -!]v!', rcol]J :oersentase pemaniansan
n-
Pg
Tarikan, Tekanan : Hubrrngan antara o dan c (hukum Hookel dapat dipergunakan pada jangkauan elastis, yaitu di bawah limit elastis (lihat Z 16/17 untuk nilai-nilai .t'). L dikenal sebagai
: tegangan
^cx
p5
KEKUATAN
Pz
lstilah umum
p14 p15
tarik dan
ca =
F/(E,tl
tegangan tekan dalam silinder dinding tebal
(rumus ketel-uap): Tegangan melingkar - (tegangan Hoop)
te[anlan tarik
c -- p a/ (2s) o = p, d, /Qs). J oertatu g,t < 1.2 6 - -4d"/l2s) J untuk d, -
tegangan tekan p, dan po:tekanan dalam dan tekanan luar d; Oan do :diameter dalam dan diameter luar s =-b.r(ao - d;') : kerebalan dindinq egangan
tarik dalam benda-benda putar: lihat M 5' 183
(
KEKUATAN
KUATAN
KE
Pq
Tarikan, Tekanan
Ps
Beban dalam balok
trrik delrm reburh grehng rulut (rumus terdekatl Gelang susut pada sebuah porot peng. gerak: Gaya penyusut Fp dari gclang, paling
sedikit harur dua kali goyo s€ntripetal Fs,
p16
rx
p24
>zfi
fg . i gr o, . Cnll y, al . 4 nl- rl
917
ptc
9s
j;,ei-:;r
ffff::;""J (,1 boleh kan
o",.
%l%;lwl
, - *l.Gn
Semua beban luar pada sebuah balok (termasuk reaksi-reaksi penopang dan beratnya sendiri) menghasilkan gaya{aya dalam dan momen-momen dalam yang menegangkan bahan. Dengan cara mengambil sebuah seksi sepanjang balok pada suatu titik, dapat diperliharkan beban-beban dalam: gaya geser vertikal [' dan momen pembengkokan l},/. Beban akhir P dan total I dianggap terpisah
^^'.fr^,,,w
diameter luar poros : diameter dalam gelang) Gelangrusut untuk peniepitan bagian jepitan yang berputar Celah, bagian.bagian lepitan yang berpu tar.
.Fg mencakup: Gaya sentripelal fc* untuk gelang Gaya sentripetal t|, untuk lepitan
berputar atau FH> zlFcl *f_);
0
.\
getang
keinudiansebagaiplgdan
p20 Energi delormasi U (energi regangan) Energi yang disimpan di dalam komponen yang berkurang kualitasnya (deformedl adalah: U = wV; dimana
-. *o,
923
-
+r
rr.- L
I
D^
sumbu'.tl
arah
lsumbu-/l menohasit-l_
ke
i#*Httan"
-
I
beban akhir
ga_)f_ge:e!_
lffier
eern-qselekan
an-
tara seluruh gayogaya dan momen-momen dalam dan luar: Dipertimbang kan terpisah o 25t26
I pusat massa setengah getang (lihat K 7) diameter rata-rata (D^ - R+ r)
Gaya.meng-
Perhatikanlah selalu sisi sebelah kiri dari seksi. Oi tiap bagian balok harus ada keseimbangan (ekuilibrium)
terjadi gaya tarik (atau tekan) pada seluruh penampang-lintang. Bila diberikan pada sembarang titik yang lain, maka akan ter-
s
FT,'\
ffflil
Limit penampangJintang untuk ienis-j6nis tegangan yang sama Apabila suatu gaya tarik (atau tekanan) diberikan pada sebuah titik di dalam daerah inti yang bertitik-titik, maka hanya akan
yang sama.
8P
Menunjuk pada bidang x..y (sumbu z di sudut kananl:
!r : volumekomponen
jadi tegangan pembengkok, yaitu tegangan rarik dan tekanan
(,
P rAsal
7
W
27/28
vtzl/;-o , + -t:l,
, , *P,
.
o
-
0
:: i
=
0
I
+ ZTi i:t
Metode perhitungan 'I . Hitunglah reaksi-reaksi
r85
( (
KEKUATAN
KE KUATAN
Pt
Beban dalam balok
Beban dalam balok laniutan dari P 5 2. Bagilah balok pada tempat-tempar berikut ini: 2.1 Titik-titik bekerja dari beban titik h/ dan dimulai dan berakhir pada distribusi beban w 2.2 Beri titik-titik dimana sumbu balok berubah arah atau
laojuon dari P6 4m<.s<6m
lm
0
&ri
dari
dari peBamaan p .. 211 26i29 t?5
.
peEamaanp,..
pelsamaanp... 27126i29125
27
|
dimana penampang-lintang berubah yang dianggap sesuai
i
I
co
'Y E
z
Atu ran : M adalah maksimum apabila, Y
Re=2.5kN: I'r=3kN:
n x
q
\
I
z
2
N I
I
at i
i
ln
kNm
/'
dalam kN
Perhitungan Lihat
P7
n n
a:
q I
E
:
I
I
{ q' a q-
I
q
\ I
I + q I
I
I
I
( { I
l q.
+
€
lr
r9
l. izt-
=1. o I
q
lt;
tO
l*-' ', t. l+
i
E
l +
6 I
q
I
\ \ I
l. lr t. l<
IE
t, Ir
n
I
: 2
I q<
(I ie I l2
t: lr ro rl + I'r t: lr i- ll
-
o
i-l' rf
Y Ir
n
I
o
I
-
E
*t ,l* JI
q' I
+
l
C
q' I
n
z :-l el
I
z
i
o I
N
I
I
o x
E
o
q
z
o
t
Nilai
lr5-Maksimum l/
o
I
o
l,
I
o
z
lX
I
I N
n
c o
Contoh: Balok yang ditopang sederhana dengan beban akhir (dipasang di z1 ). Reaksi'reaksi adalah:
Beban akhir
l
z
I
=0 tanpa beban v = konstan
I E I
J l= l= lla i-ltt ;z l-
J
dr
2s
I
o
dv
Momen pembt'ngJ kokan .l/ dalam
EE(
I
kokan
Di seksi-seksi
t
t
3. Carilah gEya{aya dan momen'momen di sisi sebelah kiri seksi seperti di I 25 . .. p 28 4. Tentukan gambar diagram gaya geser dan momen pembeng' titik
o-
o-
-
2.3'Tiap tempat
Hubungan antara rv, V dan fi'l disembarang
co
26"?s123
tl
q.
o I
C I
{< +
q.
KEKUATAN
KE KUATAN
Pa
Analisis gaya
Pembengkokan Tegangan Pembengkokan maksimum
tcniutan darl P7
ujuns) 1\ .V konstan) ,, Y Limit{imitadatah o{ p ( eo9 I //ii"r? o
P31
032
Balok kantilever (dijeprr di
P39
yang dilengkungkan (z =
pao
<: ;;;";,".:i' L{il;,,;eA \.(r-,or9l I + Ar(l-cos9)+firslnp ';? O t f.
-fi r+flrcosg-f.rr1-^p Pada semua seksi 9, F1 , F2 le-
-
lah diuraikan ke datam r."ri.to"nen-kornponen tangensial dan
radiar
la.l*,
.\
/
f'.(j "
I
momen kedua dari daerah sekitar sumbu Sr atau se' kitar bidang sumbu netral. fegangan pembengkokan pada iarak,t dari sumbu netral
ft b
o l*-N4_ A
p35
. !,d(-fr r+4 at ", -4, r "tn,,.-',
p36
pal
i
o
12
slne_f1 cosg
y nEt\
penting dari luas Ir = / .dan /a = /-,n daPat di'
kenaiiinTdigu nakan/di teraP kan pada seksi'seksi asimetris apabila sumbu/Poros utama berPutar
melalui sudut fo p43 -t{
a:.
!0.
to.
.G6'
o7l
p44
r.6 2.JC
c
o.
,ntuk metode penetapan momen pembengkokan secara graf is lihat K 4 r88
l0
Momen-momen kedua yang terpenting dari luas dan sumbu utama Momen-momen kedua yang ter'
Fe
.
,l - ,::j. j{r, .r, ?I,U
(
(
Z-i"
I Momen-momen kedua dari luas (penampang) Momen kedua aksial dari luas lihat J l0 dan tabel P Momen kedua polar dari luas lihat J 1O lihat J 1O Momen hasil
f^ -fr, coar+fi 's.ln?.0 4,.fr,cotr-frrslnt
p38
_Ty
Modulus seksi
Gaya normal (tangensial):
p37
., -
ob
(
ata, sumbu netral
,rr :
,."-
4 *^ slnp +frco3r.o .o, . L-fl \0', ", 4 . -f, r1n t - f, co." t; atau dlri p 30: 4 ' dr';';; (karena s. r7t ds. rdp)
p 3:l p31
l, z 16117 +v-r.(tarikan) li"r6t-ju.i garis permukaan ke sumbu--r .- .-- .--_l ditarik melalui titik berat (centroid) S -yr,^(ltekananl
I
lr-rf) / )K
geser (radiall *[':::]1"^t;'] Gaya
Nilai-nilai untuk Pb lihat
r+W;ii.,,l
1
tan 29.- ;---; tv-'r Untuk perhitungan dari i,y lihat J 1O/11 Sumbu-sumbu utama selalu berada tegak lurus antara satu dan lainnya. Sumbu simetri dari sebuah seksi simetris adalah sebuah sumbu ulama misalnVa /r = /x. 189
KEKUATAN Nilai-nilai dari I dan
Z untuk
KEKUATAN
Pro
Pembengkokan
Defleksi balok dalam pembengkokan
beberapa reksi.seksi umum
Balok-balok dengrn penampang'lintang reragam
(tihat p 41 dan p 42l. Untuk kedudukan titik berat (centroid) S (atau sumbu netrall li_
hat K7
Z,
/1 dan /y
p tts p116
P17
lcngkung
dapat digunakan untu letiap sobi balok (lihat P 5, Metode perhitungan, Pasal 2l:
A
bd L' 12
clrtir
Berikut ini
Penampang
dan Z,
Prr
,r-#
p6t
\-1.$
962
fi-,"-*'-+ E.I'y"
(
. -t
p63
(
p64
pae 919 p50 P5t 952 p sil
c:l
11- rr-
ftrr1a.t
Zt. Zy z D'-d D'-d -tct
' tl'--F-:
Ir- Ir- O060tls'
-
0'5412
t
Ir' !
Zt - g.'l2O) Z,
. -
0.6250
,oD- . --T.,
It- - tarD --t-
p55
,r-+
r,t
Dh' - -ll
p56
_ Drrr tt'-6
Lt
-
957
pfa p59
o+D 2o+ b o+D
or2b o+b
Teorema (dal il ) Steiner (Dalil sumbu paralel untuk momen kedua dari luas).
pco r90
IE-B-Ir+to2
C
O'rO12 ct O.Sal 1 n'
D,A
-7T-
p65
R : Jari-iari lekuk dari lengkung elastis pada titikx. y' ' t"i p : inklinasi tangen pada lengkung elastis pada
titik
,.
defleksi balok Pada titik.( cr dan Cr adalah konstanta'konstanta integrasi dan.ditetapkandari faktor-faktor yang telah diketahui.
y-
misalnya - ',.',y,
o PadaPenopang.
(i+1 )' 9i.r Pada samorngin antara seksi ,.0"n t"1t; balok kantilever v; ' o'iaOa penopang dari sebuah Oanoitenf,at'tengah'bal6k dengan pembebanan simetris (j+1) 9'; - t!',.1pada sambungan antara seksi i dan t"Lt;
regangan karena Pombengkokan L/:
untuk sebuah balok sepaniang
I
'r ltr' o' u '' d)ET Sebuah balok dengan
beban yang tidak ter' atur dapat dibagi menjadi rt paniang l1
l+
dx,+...
+
jIlt'
r"
r" \
an)
(
It
^
I
!
A
A
a*,to,'ii
r -
vs
l;l'
tr_-Ai] ft rl
o
-l tt9
;..'
;T
Ll
€
lJJ!+fr8
D
t!
iz ",#g- -ro$ - t o bt,/l' arrff ro o,/t2
i,
ul
lR1 lRu
fr(to,,,-ro,.zf o)
y
_ _
.Y1
+
|"r
v,-ZZ;lf-TJ
(a
)
(c)
trl
(8)
-t o
_D_.ll_e.lfsi.
_
wlt
-rt
x1\ =g
a.
Rumus-rumus untuk Y dan Y-t kan untuk defleksi geser.
tan q.. la6 q
-olt lrt
gs
-,il.,f,)
-tan
v'T1 Er\7-zl"rr/
tan 9r.
ol'
, = #*(+
-:-j-
=
#*(i-ti::) 6= -Z-
=
tan p^=
v
tan
,
tann.f$(zt+1o)
-j'] !, - #r 9'-'- ? I "-t tan 6={9J tan t^= -ffi; "-
_ _-_
Y'= Gn q :\ t o lt/xt _
Kemirinqan,
'
_____
tlngr- ttngr r 0
.t:-c-ri,J:':i::,-':i:i)-
,,. *
E
titik (...)
'rtmaksdi
16
u ll . u, l/2 --f2. (4,8 = u, l/? Itl^ = u'l'z/t ll" = w. l'?/l *,,,,
(r^=|,r'
fne=]r,r In^=fr.,r
#
,,
, (' ' T)
ti
n^=lnr=
(lo
lRo
lRo
lR,
penopang
R ea ksi
'tr1
o\
(r)
-r" (B)
l:
(c)
,t -o.r7r ,t o.r7r
0.4t4
E^" r?i!
tener.fr(r.*v' . ;*+( , ?r - 'l; l- ' o'r!
,.,r^.f.(t.*)
.,r:-#.ii1(::-i--#
,,-#if;+('-+-#
u,'i#b-.#. +i)(A) -----:#-[,-::f-r# tan e.. , db /(\ I tl
(c)
l/nu di titik(.-.
i".=,$(i.31) D-
t^*;;
ltu=r! a.= rf.
Reaksi
penopang
(ta-
>-lr-*l,,tl
i
I
r o,r'
t8,r--
r l.'
i: ffi
A
o
Pembebana n
r;
ln
,l
Catatan o,
,t
'17
Pembebanan
: -=-.-
G)
(o
N
(o
7t
Dr
sx 6'm
2.
r
o =
o o
lol' =-1flE7
ul
=6f7
=,77\"o'
dak dapat diguna-
OL
O.1?1) I
titik
v^ =|6TTT
x-
yn pada
l'
v^'76rTT
D
5ul' vtu =t6{Ej
Y^
Uc
ro2 .-
0.577 t
\ .
Umt=
Y\Pada titik
v^1
Dellek-lPadac,.v si lMaks, Y.
,- - 21'b " 2D+ I . I otDJ ,EI t,
Ua
o,
t
5
o)
F
ro
(o
(D
E> )62
3>
r-
Ex o lll
9.
o = x
(D
,\,
!
o
l
ro x o,
ac!
'v.$]AE oA or_ L pada titik g> l/TtT' -{ r. ol-E-E> )dz o :
v
_ult -rTi or
Maks.h
ada C. ,c
KEKUATAN
KE KUATAN
Defleksi balok dalam pembengkokan
Defleksi balok dalam pembengkokan
lanjutan dari P 14 (Analogi Mohr)
Analogi Mohr
grafis
Prs
an balok ekuivalen
1. Tetapkan lengkung momen
pembengkokan dengan cara membuat sebuah poligon bersumbu link (lihat juga K 4).
Penopang-penopang dari bafqk q.kulvalen harus scdemikian rupa sehingga monien pembengkokan ekuivalen maksimum lvlt maks pada waktu sama dengan def leksi tiiik maksimum dalam balok asli.
diagram gaya
-.....*-
(
R^
€ I *onst
Balok sederhana P8
Baiok kantilever
(
Balok dengan berbagai penampang - lintang
2. Buatlah sebuah poligon bersumbu link sebagai beban distribusi ekuivalen w' pada balok ekuivalen." Sebuah
(
Gbr. I lt m .al
bllok rsli tnisalnya
I
i-a
os pbrtggerak
P1
i
,i
3. 976
Def leksi balok asli pada
. H H. v ' n'77 ar ^e arr'
(ftstnl)u' Ternpat lengkung momen ptimbengkokarr sebagai bcl)an yang serag(irri ekuivalen pada lxlok sebuah si ekuivalen w'(z) clarr penarnpanq'lintang yanQ sama dengan motnctl ks('ua rn')ksrmum dari luas Ir r-,.i balok asli (lihat P 14, pasal 1)' Tempatkan wt1z7 sesuar dengan pt:rbarldtnqan i1J
Gbr. 2
titik.r:
kemiringan pada penopang A dan B: tan 9^ - R^'-!- r, r^ r1, dan iuga tan pr= Ar, 977 4 a. r^ ",) Metode ilmu ukur l.Hitunglah reaksi penopanq ekuivalen ttr. dari "balok ekuivalen" yang membawa beban disrribusi ekuivalena. = ;, * 97A ... + Aa (lihat obr 2) 2. Hitunglah momen pembengkokan ekuivalen .lIr dan gaya geser ekuivalen I't pada rir,k.r.:
979
i'= R.', - Azt) r^ : iarak
(lihatgbr.l+21 V'= Rl- I antara c dan g dari beban distribusi ekuivalen.{
dan seksi
p80
.\'.
3.Defleksi y - r'/Ef
;Kemiringan
y = V'/E t laniutandi P15
194
I
,l
p 8l
cb,.
2
Botok tkuivalen
d;.i poros pen gcrak Jalom gbr
il
I
Kernudian hrtur.llalr sesudr (lonqan P 14 (pasal
2dan3) atau p 28
...p80.
i(
t95
I
I
KE KUATAN Balok dengan kekuatan seragam ukuran seksi maksimum
u
r
kuran khas = resp.) =
defle ksi
r
maksirnum
_E,. jenis balok
KEKUATAN Balok yang secara statis tidak tentu Ubahlah sebuah balok yang secara
P,N
E'
sratis tidak tentu itu (gbr. 1 I , menladi sebuah balok yang secara
statis terlentu (gbr. 2l dengan cara mengganti satu perletakan
dengan reaksi perletakannya (Rc
'{
dalam gbr. 2l
(
Bagilah meniadi dua balok terpisah Subsistem ke-l
atau menladi
Terapkan defleksidefleksi pada tirik perletakan yang secara statis tidak tenlu (lihat P 11 hingga P l5l Subsistem *e-2 dari setiap subsistem ke dalam bila-
6l t
p83
i
^,p";
t/-t;-t-.-
p84
) u l/lf 6.T-
\^/
I o lj n
(
ngan-bilangan Rc.
(
Karena defleksi tidak dapat teriadi pada perletakan C:
lr.,l '
lv.,l
Oleh sebab itu, hitunglah gaya perletakan pada C. Rc dan kemu' dian reaksi-reaksi perletakan yang tertinggal. Metode penyelesaian untuk balok-balok sederhana yang secara stalis tidak tentu
r ll"-Iblpo,
u85
sub6istem-subdistem.
r-r*
Balok yanq statis
iidak tentu
l/ I u, t: I { bo.,
h i t/-
I
tl)2h t I rP.' lv Pb,
l)et)aln lrlrK kN b.rt)ar) vang (libaqi meratil (lteban rnerata)kN,m teqan$an pernberrgkokan yaDrl clrrzrnkan N.mm? (lihat
Zl7) 197
&rl
KEKUATAN
KE KUATAN
Geseran (shearl
Geseran lanlutan dari P 18
P 17
Dalil tegangan-tegangan geser yang berkaitan Tegangan-tegangan geser pada dua
-J-
permukaan sebuah elemen yang tegak lurus adalah sama dalam hal
i l': reaksi*eaksi dan momen<nomen pertetakan y.ng GI-rtr-
besarnya, tegak lurus terhadaP
tis tidak tentu
Hooke untuk tegangan gosor
969
meninggal kan nya
gatauf r o r regangan geser
yang disebabkan oleh gaya geser Q
g': tegangan geser aksial (paralel terhadap sumbu balok) "geseran pelengkaP".
Yourry
a
O -z#r'l-
9,atau"r .*
egangan geser aksial karena gayagaya geser
0.3858:sesuai denganP3dengan p=.Q.3
Tegangan geser rata-rata9, atau r,
p91
ar"
p95
q
p96
,1
ienis beban (lihat P 2)
992
n - Q*t' I
Tegangan geser maks.
ultimit
I'
untuk besi u
tulang:
g, er .
untuk berbagai penampang-lintang.
,w l,@
O.g R^
R-
ntu k
geseran€eseran I alat potong memgtong (guilotin)l (punch . . .)
a:ml
I
1
a ;panrang potongantp : perimeler potongan
)
p97
) En ergi
)
f
|
\,dd2 + d.o .lt + d,/ cat + c,2 )
I
t**.s.t),-m,ilil-
reqangan r/ sebaqai akibat qeseran
l^ 2"'
198
ll
A,,,r1r:- O',,,r^r= h
q3
I
diqunakan
p93
€
q,),,, teriadi. apabila ob= 0 yaitu di surlbu netral.
Pqo
untuk.logam-logam lentur (ductite):
Gaya pengqeser
ol bI
q = 0untuk6o = 6b.,Jr,
Kekuatan geser yang diizinkan pq (untuk nilai-nilai lihat Z 16)
Tegangan geser
(
q: tegangan geser melintang (melintang pada sunlbu balok)
ngan antara modulus geser dan modulus elasti3itas alau mo-
p90
.
a.q'
p94
o : modului geser
/:
(
pinggiran mereka bersama dan bergerak menu ju elemen itu alau
( do
!
d'
)
q
- aC
199
(
KUATAN
KE
KEKUATAN
Pzo
Torsi
Pzt
Torsi
lanjutan dari P l9 Defleksi geser sebuah balok
lani utan
,..izrc=x##,, Tr;ntukan konslanra (' clari faktor-faktor yang telah diketahui. misalrrya
y.O
pada perletakan-perletakan.
Faktor
kt'tz A ll b r JI
I
silanq. Mi53lpy2
r.
seksl
q I rao i r.1 |
|
raao I 2.. | 2r I
Q : gaya geser pada titi k r balok ,r : morrlen pembengkokan pada seksi / : rnomt:,r kedua rJari luas Seluruh seksi [:tt,v
seksi pa(la
p
108
p
109
tidak bulat, benda atau seksi dinding tipis bolong
konstanta I rorsi J=l
z.o
silang
/ sekrtar
daya
t Po' PP u 2tn
jarak dari garis pernrtrkaan kr: pusat massa konstanla torsi; rumus-rumus Iihat p 21 (perhatikan: kon starlta torsi tlukan rnomen polar rnersta; hanya Untu k pe [amt)an(f "lrf]tang bulat.l
- lo
a
-
ir
l0a
P
=;---
Por
t)
105
f) l116
200
I
-
e 5)
L)
9 o
I 0.298
Pada l:1.rr ' Ttmait
on 46.19
zor ttr I l=r,-4, r,,
26
oada
112
2:
=
113
p I14 p 115
T = 5297 ,l
c ll54 s' 0.0649
d'
p
116
=8$7+
I
111
at1: rtf -ftrutt i
n,rlcl
- :'
16 Dl+Cr
o-at
al 2. Ttt = ftmak
TL
--'r o os-poros bertahap . I --t_.- '--
p lll
l
10.196
5 10.8s2 10.928 I 0.977 oegolo997l o.egel 1.oool t.ooo [email protected] 0-745 I 0.743 | 0.7,(3 I 0.74i) I 0.74it
t)'2)
Batang penampang-linrang bulat u1 pilin,i (lrhar r80c t'I
l/tl
Ca
Umum
:
( (
sum Ct c2
nerl l,untrr (torrlur:)?"
penampang. linrang
l
lirik y
r, 'l-
besarnyarr II
(
pr '110
Sr^: pusat daerah seksi dl
Tr:t1;rng;rn gr:srtr karr:na,
, - ++. t$,r-4 kedudukan dan
dutpirin
rsoo
,,.1
b : lebar
1O7
memungkinkan unluk bentuk
rar'L
l%m1 12
x- I
d,a
p
dari
p ll8 p I l9 g
tZO
r
,
n'l c{ -d,') a?
.
D,/d,
I
=
^)
1
at
2: trt - ,, -"rr*
KEKUATAN
laniutan dari P 22
Pelengkungan (tekuk) lsniutan dari P 21 _ --. konst!nta torsi
besarny€ fr
,
p 9
123
0
121
-T2
.i;-
122
p
lri-
kedudukan dan
dengan berbagai kerebalan dinding lZt !l 1: trt b lm2
V.ti /' a;
Rumus
-ttnuli
p
la tnia
i: rn . T*T dengan dinding tipis yang seragam _t .4 An' I '
*fnln' Foppl:
'*zl!".t
2 t6t ?b
.+
Metode
rl
^ro''
)' -
,l I
589 776 30
perhitungan
tetapkan momen
38
o'
Mula-mula P, o r kedua minimum dari daera rumus dengan menggunakan Proor E uler:
o.818 3.818 12.000 o.20 0.25
r. = Konst Euler Dapat digunakah untuk perletakan yang elastis tidak stabil. Beban minimum F. pada saat pelengkung6n terjadi:
r00
0 0
60. .. 100 5... 80
2...too
0...loo
- AtAr4 Y,ng lat d;tebrbt.o otoh rl'^g'uag2' ":* t9"- r /, c
P, - v.'r. Kemudian pilihlah Penam-
pang-lintang yang sesuai, misalnya tabung bulat, segiempat panjang yang masif , dan lain-lain dan carilah / dan A.
( (
bcagon'
r-".+F ;
Rumus
P'-
13
p
?'
pembengkokan Bahan oerletakan tidak dapat dipakai karena dan tekanan g + o bt P,vr = e, berla ku b Bahan N/r
kavu ienrs beach atau oak
9.nltn! lbi p.n. i.ne ri d.,l tckll
lmlslnyJ l.du.
Tetmaier
balok
Da.tanrohan ra.
rublrnun Dmrlr
- r
289
tl^lr.
ttgi hp.t plnl.ne d.rl0.^ t.nb.l^n
o.ot
Berlakuuntukiangkauan Rpoct'
garis median
.t
S^
Limit 2 atas dasar 890.2'
Limit 'l atas dasar FP0'01
rlia Oi
lrh0Ot
(
Pelengkung .:laJtit ving
---,,
I
lanjutan di P 23
":W
I P
p
127 128
91?9
202
U-Zt Eeban kerja yang diizinkan Perbandingan kelangsingan
tr.
O.?07
tl rr. 0.5
(
t
f . Pc/vt
,-+",y*
I 203
|
I
I KE
KEKUATAN
KUATAN
Pelengkungan lanjutan
vr |ffl
3
.. 5
Kombinarl tcgongon langrung
Pembcngkokan di dur bideng dcngnn bcbrn'boben Tegangan-tegangan u
dalam jangkauan Tetmaler dalam jangkauan Euler untuk struktur
yang timbul sebrgsi aki-
tukanlah pelengkungan dan tegangan tekan dengan cara beri
Jika r
) lr-oor
gunakanlah
Iri-o.ot > A ) )r^ot < lr,-or ,l
p-
p
133
p
134
<
F
v.
p
127
p
o.
A
(p.
dimanao = /(.1
loo
10d
1.06
.30
141 J.79
l .14
155 190 3.31
l.l9 253 365 496
I .03
1.39 1.99
336 5.2s
757 r0 30
r80
4?2 547
3 21
r703
200
5.75
10 3r
21.02
Metode perhitungan: P+:rkirakanlah rr.r clarr
e
6r8
13 45
16nn.
I
i kauan ini l.tidak berlaku
- f cot0. - f cot, 2t - f cotT cosr0 + cosrP + eor'y -
lrr
lLrngl.lh .l.
/.,n clan i. d51i p 134. Dari taltel kenruclian terltar:a o. Ularrqrlalr llerlrrtunr;an clenqarr nilai bar u (rr, yan!t sesuar, sdnlpilr nrl.ti
(
.
Bl
82 83 84
(
6-+-#'-'i" I
l,
lf
hddap pelengkungan (teku k). (, = O adalah garis lurus:
Sumbu netral
p
F,
-
1a0
,1, ,
t, L-. at
+
yang memolong sumbu-sumbu pada
p
t-
1d!
r.
,!t ,;,rl
'/)
F2 It
4',i-l
Dengan penampang-lintang yang asimelris F diuraikan dalam
arah'arah sumbu-sumbu yang terpenti0s. (lihat P 9). g6rl,.
Er maupun Fy dalam rumus-rumus p 139...p
141 ada-
lah nol
mbenokokanl--.1
clenq"an I tekanan I
memindahkan
I rekarran
sumtru netral kel------J aran daerah I tarrkan
I
I
I
I
perrrtulaan rlan nrlai a[rhrr rlapat drketahui.
204
(
Pembengkokan dalam satu sumbu dengan beban akhir
I tarrkan t
pilrhlalt penitmpang-lrntan(1,
'1
rlah tanda x dan y. Bilamana fz merupakan sebuah gaYa tekan, a, p dan t akan berada dalam kuadran-kuadran yang . Untu k tanda f ungsi cosinus lihat E 2 . Balok-balok paniang dalam keadaan lekan harus diuii dulu ter'
1.05
1.22
h Fl f2 dimana
139
,
r67 I sso s.s I -l-dalam
(
harus disatukan.
Untuk setiap titik P(xJ) pada penampang-lintang tesultan tegangan normal adalah dalam arah'z:
tegangan pelengkunoan
f
koefisien pelengkungan (, untuk besi lunak BS 97O a lum bcsi tuang c50 A 8S L 102
120 140 .l6Lr
!30
rancanglah kembalidenganpenampangJintang yang lebih besar.
pel eng ku ngJ
1
p 135 p t36
I r3l
gunakanlah p 13.| gunakanlah p g
Metodo'koefisian pelengkungan (, (DtN 4114) Dirinci untuk konstruksi gedung dan jembatan, pekerjaan baja dan keran-angkat. Koelisien L Pc _ tegangan tekan yang diizinkan
20 40 60 80
rkhir
bat dari pembengkokan dan beban'beb.n rkhir
t ini:
,
Pzq
Kombinasi tegangan
205
l
KEKUATAN
KEKUATAN
Kombinasi tegangan
Kombinasi tegangan
esansan datam batok-u"GtGng[;;il/r:;, ya lanl6urrg Fn .dan rnomen Pclengkunqan Mx llihat p 8l be'
Pzo
I
kerja parla penampang-lintanq I 4 ,' \.'..d., rrirn^ ma,r^rt^-: .'. lS y.lnq menqalami -., .teganqan rsYorr9drr Oaling, Pd[[q tingqi. Untuk rlrslribusi tinggi. rlrstritrrrci teqo,,q1j4-rf: to.;\th,^+--r--
terlra(lap peirampang-l intairq
:
- |, *e,,L{.r*; -n I egangan.tegff,ngan pada oe(fl:lu.
Kombinasi tegangan-tsgangEn ge3er timbul sebagai akibat dari geseran
Tegangan-tegangan yang
dan
torsi pada setiap penampang-lintang harus disatukan menjadi or -ve ktor Tegangan geser maksimum f,res teriadi pada titik 1 dan bekeria bidang penampangJintang. Suatu gesekan pelengkap bekeria padanya secara tegakJurus. Tr:gangan torsi maksimum Trg.
(
kaan (lalanr dan ltrar acJalah:
o,,-!,t.+.;t!* 6,,.+,+-la.ii A
AR
C
Runrus-runrus koetrsien C
\.'-*
1pt
(
n-lort
o.zoo,$ (
:
c=oa,(r^t'#-g\
,,
y '
4244
r,DJffi (
1:i)+ tid(D+d) po:7;--
(
por
( pqr
(
Po'
Untuk --tabung-tabung berdinding tipis 5.1 TD 2.1' r -;7:-;r-'--;;=--
c, T .. tth
Kedudrrkan Irusat. n)assd, lihat K
tr
I
Pqr
15F bh
I
I I
r) < o", 7
po, : T Ta t : 7 : untuk
tegangan geser yang diizinkan (lihat Z 16) tegangan geser tegangan geser torsi maksimum yang dihitung
torsi penghasil gaya Fnomen
cl
puntir yang dihasilkan oleh
F'
dan c2 lihat P 20
207
J d
KE
KUATAIV
KE
Pzt
Kombinasi tegangan
Pola dari tegnngan dapat diganti
an tegangan sum b,rrtunggal. Karena i tu, maka tega ngan-tegan ga n sumbu banyak diubah menjadi tegangan-tegangan ekuivalen sum. bu runggal o; (lihat P 29). Sesuai dengan jenis bahan, kemudian dapat digunakan aturan berikut ini:
pc or
'ffir#lrii,l)j;-:#
t_Egalg1_g:=. _ d"lr. *"h;-l;-'", oy daram arah )' I irl = ;1a"trrn bidans.t Dengan memutarkan elemen itu melalui sudut (,,
x
o
158
f .
(dimana tegangan geser adalah nol).
Pemutaran elemen melalui sudut q., memberikan legangan-te
159
(ry6(^,^ = :0'5
- U )\0, - ur)
Tegangan-tegangarr .langsung bekeria pada saat bersamaan
p
160
6u = O.5(62. 6r\ = 0.5(6,
+ or
l
)
Arah dari tegangan geser maksimlm rmaks adalai.
p l6l
tan Zpr Tegangan-tegangan utama dan tegangan-tegangan geser maksr' mum berada pada 45" antara sat'J dan lainnya') Penyelesaian menghasilkan 2 buah sudut. Hal inr berarti, bahwa keduanya, baik tegangan-tegangan utama maupurl tegangan geser maksimum terjadi dalam 2 arah pada.su' dut siku-siku.
208
9
I.,-Jn""ur."U" dan
terpol
O
di
'r'
i
n
as
i
t
s
geser
menentukan tegangan > Kejadian di mana o1 > th ,o3 nl lor -iktiaua rnp*i= o'5 po'- penseerak densan penam ;"]J;;;;.,;fi^iun io"l a"i'-
gan(an geser maksimum
p
Tetapkan persarnaan
'"J:::*11'":Xr""L".s""s"'s"'"k'g'11:------l s ' [""" 11o^ ttl' ekuivaten
9
'"
Tegangan
g.l 167
Momen
'rr'r
ekuivarun '' =Vii;]i""f tetat)kan ntodul seksr
Unluk mendapatkan diarneter 2 yang diPerlukan dari:
poros
z=
Zl.l"sa^r"@ ; i;d;;san ;::
akibat torsr eescr sebasai
r rnomelr Pembengkokan , rti"-". Puntir (tortlue) "'ac : sesuai dengan P 29
(
2Trr(v(2,'6'(r,t'6rT"''6'Li
tempatkan/gambarkatr sisi sebetah kananl,'-t-"rnuai"" sumbu,nol memberikan p"rnorong dengan v=./.(o/. Titik-tirix inl dalam I 162 dan iawabannva. rvr"s'rtran n]railniiai densan cara lebih Yans nitai-nilai .::'-T1t '#";;;t; . (penv tpan t'
dari kedudukan asli ialah: 'l
OrOrO. +
p 162 untukor' oz daa os Selesaikanlah Persamaan kubik sebagEi berikut r-.^.. ^anriratr l,u r. untuk 162 = (atau gantilan
6,,6r = O 5(6r:
6, o, - T,i -Tr,'-(,'2
S-616r+6t6t
an utama
(p,,
R - 6.r6;+6e
dimana
tegangantegangan campuran hanya dapat diuraikan ke dalam tegang. an tarik dan tegangan tekan yang dinamakan tegangan-tegang157
(
Sr-A6r+S6-f-O
tegangan langsung
p
trf . tl trz' ftt
d, = r,,
dengan
pbr
Tegangnn -tegangan dalam dua dimensi Sebuah elemen dapat terkena
Pzs
Tegangan dalam tiga dimenri
Kombinasi tegangan langsung dan tegangan geser Nilai-nilai kekuatan bahan hanya dapat diteopkan untuk keada-
o, -( ,rr 'o(
KUATAN
Kombinasi tegangan'
2Og
(
.lj,[:1,"1], c
o
.: I
o
C
o o
IE li.l
l:l{ lolo
l: l-: 13l .6 Hl
l,l--lrIi
l-I^
,_
{e
I
l:ln tE l: ;s EA g ia i' o c -o FO
o.:r: o 5! C E;ET l- 6. -'o + E€ E,E :i, e .35 f, !:429 t o. 395 " o cr AEir= 3I q.o : $ei8 I -@ca-c 6
t:
'-
E
I
-9
ts
o
E_
o
o
0 r"
oq .-c oa LO oc
,
EE
.-o o o
u6 o
o
D @
.c
'.tl{ *l?
I
.lg\v
6
Jr
l-i zlo tl I
ll o0 8, c s cjij o
€0 Jo ';L @o
F.
ol
! lo l.-v oaol
i
;!
i
I
f
anQ5 oooO
E.
pb
-- ! 'l** tr;5 | $ Ei:,
9:s5-i 0ori,-rr
!iI
_t_
_l
-
_.1
l-
-t- -.1:. Ei E ol o 5l'=
t
i
q1
q2
c, oo Jo o! J a-
;e,
f3I o: o;n C
s€2
o
J@
E
PE
3
otr
; ai€ '-g;o
36.E --_,6
vE
c f 6 o
€
beban keria aksial FmLt
It*At
F1
T
fp211 = 11.3 .. 1.6) f^ (dengan menggunakan diagram
perpaniangBn beban, lihat Pl
Fr ,
q3
,o :! Ot;
Anggapan Yang praktis adalah: bahwa pusat tekanan adalah
fi; EE gs c. oC oo oo
q'a
Et @o
OJ 6L >J
E-g
.r! :.-
q5 q6
)=
E,
v3 oo -o :o ET o:
=.. .5 -E
fxrr,
(
'f#T
(untuk nilai-nilai ylihat
Z7l
rl_
t
titik outaran,
8? tI ta oo6 e!
o= o.: oj 3OE c'E 6
-..ofrI6-'o.,
Pengikatan*iku (perhitungan topat tidak mungkinl
=;
a o
ffil
t'* a''rc.
Sambungan baut dongnn 3tt63-tingga lihat VOI 2230
6: oa
O-
)
(0.2S...0.51 RpO.2
faktor pengaman)
!+
i81
J
E
Pre*tre$
,Ei
!c .-6 Qz
Oo J._ '=!o
C*
c.E
lo (\v
5..,t." 9g .,J
-t_. -.t--l el
i:!9>l{ii
.J
l.i 2lo rl I
Ol
Baut-lrut pengikat
dengan baut (perhitungan terdekatl
(diizinkan untuktorsi dan
fo Oo
li
alv]
$gE
210
q
!r=- .sEEi 5lc ilc o0 tt . lo" .lj oo ;l: dl: tt r r
f
E c a o
I
tt !
l-
o
:'l=
-li
Qr
Sekerup dan baut
I;E;
ilb o.lg
I
;g Oto
BAGIAN DARI MESIN
I P,n
misalnya a
*
h/4
k suatu ikatan yang tegar:
f I - f11 b1+ f22 Dr+ .,. fAn f11 : f1'2 , , .. ftn- Dr : Dr ...
bn
D"
Diizinkan untuk beban geser ekstra F. = F. Apabila dibebani, ha' rus ada gaya kompresi (compressive stres) pada seluruh bidang ikatan.
tr: penampang{intang inti I . lr : penampang-lintang stres3 (teganganl I rt , I (q+sl) fr,,, : daya leprt yang diperlukan \-rT-tr5 m-3:n-l a : iumlah baut misalnva --r-#r m=t',n-? :iumlah :=Eia muka sambungan y :faktor pengaman tcrhadap selip Iv - 1.5... (2)l RpA.2 = stress percobaan ll dr : diameter luar Clari baut \ : rtr6s yang diizinken ll ar : diameter inli dari baut 211
(
BAGIAN DARI MESIN
BAGIAN DARI MESTN
Qz
Poros penyangga dan poros penggerak
Sendi-sendi nabe-poros (shaft-hub joints)
t;::]
Poros-poror penys nggE dan pe.pggerak ( perh itu n gan masif diperlu kan penampangmodulus lintang bulat seksi untu k pembengkokan an ea 4n0\
Poros
penya (axis) q q q
/raarr tihat q 47 untuk bantatan-banta 'j[?:l"r,. lUmas secara hidrodinamis, untuk kasus""tain lihat 2 1g 4,u,6o, t,Tru : nilai-nilai lihat Z 16 Sendi-sendi tritsi terku@
iiroetai)1) -poros
StEbilitas
bergerak2
--t
berputar
tegangan
bengkok yaQg diizinkanr )
Patent penemuan (misalnya pegas berbentuk gelang, perkakas jepitan Doko, selongsong Spieth, dll.), lihat majalah terbitan pa-
Ubr u
Pb'!' 6;-')
't0 i
brik.
-----o;_ eo'''(illli)
Por
Pot
Qs
Untuk montase-montase interferensi (percampuran) lihat DIN 7190 (metode slafis).
(
Sendi jepitan (Clamped joint) Poros penggerak (shaftl
q q q
torsi dan pembengkok
diameter untuk
stress torsional
poros masif
diizinkan3
"-w
Tegangan dukung (Bearing stressl
)
r^
= !-lud
--------'Tw
po''
l5ll5
( tidak terlalu ioint) sendi khavalan' kaku J d (taper) dari ta.q = : 11 I
Sendi meruncing (Taper Peruncingan
disederhanakan aktual
Untu k perpanlangan ooros penqgerak yang diruncingkan lihat
,.&.ffi
DtN 1448, 1449 12541. Rumus untuk gaya aksial l. I pada mur
t,^
=
2T v ran,7' rO
i'iJ
\
9/
D+t lika
'r'I.,
o
,n,rt
1;T. u;1,
2
semua poros pengqerak idengarr penam'l bulat
u n
tlFfi676iffiffis-f,Ill
pan s
diam 'l Defleksi karena pembengkokan lihat P 2 karena torsi lihat P 20 lihat M 6 Vibrasi
I
i
n
ta
ns
I
s i
Sendi.sendi khusus buatan
!'u * i ku
Patent
tegangan gabungan.
212
18)
be.rpasak, nabe pada poros misalnya
poligon: lihat majatah rerbiran pabrik. Kunci datar {plairr key) {perhirungan terdekat) Pcrhiturrgan berdasarkan tekarran bantalan pada sisi jalur kunci di dalam bahan l,ang.lebih lunak. Dipersiapkan bagi lengkungan poros dan alur-alur (chamler) ,.. ketinggian bantalan kunci dapat diambil sel:itar i. Pan jarrg bantalan , adalah untu k rneneruskarr monlen punlir (torque)
1) Untuk perlritungan cermat lihat D lN 15017 2) Runrus-rumus terbatas untuk kelas-kclas beban l+ll '?2) sala 3) p:,. dan /,qr diizinkan untuk faktor'korrserrtrasi,-kekasaran, -ukuran, (lihat DIN 15017), pengaman stress dan t?gatrgatr' I : tanqan qaya F n,'r , ii o,iui, pemberrgkok, momerr puntir (torclue)(lrhat Z ln.^(P,,) | tegangan dukurrq rata-rata (yang diizirrkarr)
fiting
:ffi
pabrik ;,
l
T.
,
(
(
(
2r 213
l
BAGIAN DARI MESIN Sendi-sendi nabe poros penggerak
Qo
r
lanjuton dari Q3
Ukuran menurut DIN 6885, diutamakan Lembar ke 1. Membuat perhitungan untuk pelat-pelat (fillets) dengan bentuk A. Untuk perhitunganperhitungan yang cermat periksalah Mielitzer, Forschungsvereinigung Antriebstechnik e.V. Frankfurt. Forschungshef t 26, 1 975. Poros penggerak berPasak (Splined shaft)
2T ,' = d. hp
q19
d,+d,
q20 q21
?
Nabe (hub)
npo
lanjutan darl O 4
a : iumbh p.hat
v
: ko.fi3icn friksi pcluncuran (lihat Z 7) : faktor pcngsman (lihat O
1I
? : tudut frikri (g r rrc irn Il p.: tGkanan bantalan yang diizinkan. Untuk dekat:
perhitungan ter-
Poros
...!,
NW
(
n = or;ot -g-1^dt:_dt Beban tidak terbagi rata antara pasak-pasak, karena itu untuk
(
bantalan yang tak seragarn dibuat perhitungan dengan laktor Jenis kedudu
kan |
.r'
d'dudu t lra.t potosTo?5 didudukkan nabe I o9
Untuk ukuranrkuran penampang lintang periksa DIN 5462
...5464 Ukuran nabe Gunakanlah diagram pada halaman Q 5 untuk menetapkan ukuran nabe. C o n t o h:Carilah panjang 1- dan ketebalan.iari-jari s cari sebuah nabe yang diperlukan untuk meneruskan momen puntiran T sebesar 3000 N m, terbuat dari baia ruang yang diikatkan dengan sebuah kunci datar.
1. 2.
Tetapkan jangkauan "panjang nabe /., CS/St, grup e" yan9 dianggap sesuai, rkuti garisgaris batas hin99 I = 3000 N m. Hasil:1. (liD . . 140) mm. Tetapkan jangkauan "ketebalan nabe s, GS/St, grup 1" yang dianggap sesuai, ikuti garisgaris batas hingga 7'= 3000
Nm. Hasil
r. t:
:s=(4Q...56)
mm.
gaya normal luas pancaran
(
paniang bantalan sambungan
214 215
BAGIAN DARI MESIN Sendi*endi nabe poros penggerak
Qs
BAGIAN DABI MESIN
Qo
pegas
Diagram untuk mendapatkan ukuran nabe pada Q4 Nilai-nilai berdasarkan praktak ini adaleh untuk poros baia rcrbuat dari baia sesuai ASTM A 572 Tingkat 42 - iuga sesuai BS 4360 43 B -. tetapi tidak untuk hal.hal khusus (seperti gaya rentrilugal tinggi dan eebagainya). Tingkatkan L apabila ada gaya-
gaya dan momen-momen lain vang akan ditanggung.
( v'!2 Gv
9.o:
,!o
;o o )a-
o.o
c\ !o(, , c(J
(
pt
Sor
3,
A
_
'a'@
mrsalnya pcAas gelang (pegas gellevrlle)
o
o'.l
Pegas
dalam lengkungan
Pegas segr-empat, pegas trapesoidal, pegas segitiga
L=:1 ---t-
o@9
c vo =o cc 66 ,2F
E3
gi-o6 ?gB '--= -
;:s
-lC rLo ot L< = c.lLo !.-'o
g:E
6oO E
E-E
E
s'a
i2+t+
Jrq2i
leganoan bcngkok
q28
beban yang
q29
6rL
defle kst
ffiti
#-=--
b. h'
dirzinkan 7" =
bo-A'-P",
6l
I
E
.t
s = 1v*,f !,,Lr
pegas sega-empat pegas segitiga
laniutan di O
7
217
(
BAGIAN DARI MESTN Pegas
BAGIAN DARI MESIN
Qz
rkala (500
laniutan dari O 6
#ffi
,.*Lt"r.iraal q30
s : iumlah daun
Maka (seperti q2281: a31
, ^
ini kedua ujungnya bebas dan harus dipasang datam kedudukan terqentu, Pengaturan penempatan yang pasti untuk tangan-tangon pegas ak n lebih baik.
Sudut defleksi
37
Paniano gulungan pegas _
o
frl -7-{ 1+ p-r
(Koreksi tambahan diperlukan untuk defleksi tangan-tangan paniangl U nt u
k pe rh it
Pegas batang
pra ktek
untuk {riksi'.Dalam Perhitungan tidak dapat drpakai . 12',1. anlata 2 oerntjawa kapasitaq {riksi meningkatkan ke'1 rh. 1974 edisi 394' Lembar mcrrurut Perhitungln 'Alr",."ott,"'i. ccrnrat Dusseld-orf ' f ur Stahlverwend''rng' (Pegas gelang) Pega cakram ri-i-l Karakterrstik'karakteristik yang
E EI -:g H
u n ga n ce rm a t,lihat DIN 2088. Pegas-pegas dalam torsi
torsi
Momen puntir
olN2@2:PerhitUngancermatdaripegasfegascakramtUnggal p"ftt'ptg" cakram lunggal
DIN 2O93: Ukuran dan fa'atr' Oa'i pegasfegas menurut ii",-ti"t- o"a"n: Baia olahan-keras untuk
p"g"' aa11-92!S-t6t50 - iuga ASTM A 322, misalnva 'ntt.rk A 53;735 A 50 - (Modulus 250 misativa menurut BS 970/5
2r8
E = 2oo ooo N/mm2)
Sudut pilin
rorlr cd' Stress por dan gaya lelah rr dalam N/mnrr
stalis
Pe, : stalis 910 N/mm2
i1
rr : iumlah gulungan
2b
;;;',;;;'l*.*envaran):
(
oo
36
!'-P' ot Bilamana daun 1 dan daun 2 panjangnYa sama (seperri dalam skersa) maka:
fr-?
GaYa Pegasrt Pegas
cti_
torri gulung (Coiled torsion spring): Jenis yang tertihat
--T-'
5.. . zb
laniutan dari Q 7 2251N/mm2 yang bergetar diambit dan
pada skctia
daPat oiqanti 1:if:1Y' ;;;;;; paralel) o3'",1a3',og
dalam
t
redakan
daun berlaPis sebagai pegaspe 's6-Peua daun berlap-ts claoat digambarkan Pegasfegas resd)?sYqJ r^,^- ialur-jalur :^r... iarrrr dan rian disusun .isusur dalam tong dipo'yang gas trapesiodal . - ri-^^.i r^^^an rlrra o'"n lruah
['-[Tffill
Qs
Pegas
-t, prr[a"e"uunrto,.o.t 'f. : stress rata-rata
a39
1 11020
I
bergetar (oscillating):
,, - ,- .,^iJ=30_m
|
5oo:zcc,
T^ : amplitude stress bolakbalik dari qaya lelah Tidak dapat digunakan untuk Iaktor stress yang timbul dari lengkungan (curvature) kawat. ?,Tanah permukaan dan bekas ledakan peluru (shot-blasted), de'r
ngan beban pendahuluan
219
(
BAGIAN DARI MESIN Pegas
laniutan dari O 8
erhitungan
BAGIAN DARI MESIN
Qs
c e r m a t lihat OIN 2091, khususnYa untuk
1:aniang PePs
Peias-ulir (helikall silindris (kompresi dan repngan)
..J tsro,
-
T
'[
F
r
beban pendahul uan (De+ D')/?
- 5""15; p -
pegas regangan
Gunakan rumus-rumus dari buku-buku keluaran pabrik yang memuat kapasitas-kapasitas beban dan ukuran-ukuran, misalnya S.K.F. Timken
) ticlak diketahui ditaksir / Detleksi maks Yang Total iarak minimum di antara gulungan' ef
u
B*= B/D
r.c paniang masif (berisi)
Mesinmesin
mobil
ektil
Mrs rn
U"trk p"Gm.han yang lebih besar (higher relaxation) lihat DIN 2089
I'"1\' ?;';ii';i: ;:;:',"i::;,',, o,. ,u,. d,h,,k l;ll:l;J#"i:1ll\l*:, !f "un1 'hu'u\ nqaullg ,:?"lll_"-'tJ ""1{\:*e4< a 8. c tt i ri pesas reoreris
e,tos
vails
pesawar urlara
r.s
Pompa.
-._
B'z
o
Pel
ipompa
ie".uruJ
-o"t. |Itransmrsr
.san
I
dengan gemu k
I I I I
l.
Sifet{ifat umum
Bantalan pendek
Bantalan Pantang
Jatuh-tegangan yang kecil pada tiap ujung, karena itu perlu tiap uiung, karena itu perlu kapasitas beban tinggi. pendingin yang baik de arus minyak yang sesuai.
Jatuh-tegangan yang besar
Sangat baik untu
putar yang tinggi.
220
Pembagian tegangan dalam seksi transversal (mel intang) dan seksi longitudinal (memaniang)
mas.
Perbandingan paniang/diameter
$r/)
da
(
ngalami keausan yang berlebihan, Vaitu pemisahan poros dari bantalan dengan suatu lapisan
mes i,r
')
(
Bantalan ini lrarus bekeria pada suhu yang ^inv"k sesuai dan tanpa me-
I
1) diketahui
Jumlah gulungBn
A-
beari n9l I
:1
lanlutan dari O 9
:
untuk lengkungan kawat dan menggunakan kekuatan lelah (fatigue strength) baja pegas (lihat DIN 2089) dalam perhitunganf erhitungan.
Termasuk koefisien
Bantalan poros {Journal
;:
Pegas .idrnnon tanpa..-) regangan' Perbandingan gulungan not.Ii.al"O/ct S t r e s s s t a t i s:
Strcss osilasi (getaran)
Bantalan beroda (Bolling bearingr)
H
s'ot)o -'
Qro
Bantalan (Bearings)
k
kecepat
Baik pada kecepatan PUtar Yang rendah. 221
(
BAGIAN DAR!
MEsIN i Q ,, I -
BAGIAN DARI MESIN
Bantalan Tck.nln
q46
(l i7
b!nt!l!n i, P^* l; t' -
I' ]t ll
rata- |
rcta I T"k"n.n
1
rrat si l uantatan 1
ffi;' l--
|
Kctebalan rclatil darl lapisan pclumas
,. - ? /'-"' = 5'nn
Jika oartidak diketahui, gunakanlahRog'2 /'ma' l-erulama targantung dari ketebslsn rslatil lspisan pelumas,r-mln' (lihat angka Sommerleld q 56). Diagram di sebslah ini menunjukkan oerbandingan tekansn maksimum terhadsp tokanan bantalsn rata'rata dalam kait8nnYa dengan kotsbalan rglatil lapisan polumas (Menurut Bauer, vDt 2204).
('-/)s-Dl !.1,
i
s; E6
i, I'
t, 2
'\\\r
I
t \\FI \\-*=t
\N
\ 1'\-
--\ 'r >{; \
1
0
0 ql
Nilai-nilai khas:
r/'-
3...
bahan bantalan kskentalan (viskosi-
tas). kec6patan koliling tekansn bant8lan perbsndingan Panjang/diameter penunjang
q50 q sl q52
rui-ir t.i"arnva
- - I ["-taJl.i"atnvi tottot
relati, tinggi
B'<08
Il'>
v,> Nilai-nilsi minimum untuk plastik ,,. untuk logam brikst'isintel r) Bantalan dats] Yang dilumesi gemuk r1' -
tin99i tinggi tinggi
rendah
0.8 tegar (kaku)
( 3...4)10
3
(1.5...2)10
3
1 2
3
' 3) 10
laniutan dari Ot2
))')
1
111
2
1t2
4 5 6
114
l/J
Memasukkan
5'o
1/6
1t8
-{t ii,55 \
diagram
menghasilkanr/r.-1. Nilai atas
menyssuaik8n dili
i
So= ,tiu'tr2
sebelah ini
relatif relatif relatil relatif
logam putih) relatif rendah relatif rendah
q56
dalam
1)
Kriteris untuk P8mulihan V': Nilai bawah
Angks Sommoilcld So (tanpa dimsnsi)
V'
oada dssarnva adalah ruang main bantalan relatil yang teriadi selama j;;;6i;;;il i",,it o"n deformasi (=timbulnva cacat)
.. 3) 10 3
(
iika tidak demikian "m6niadi tidak mantap
0.2 0,3 0.1. 0,5 - Dfal.
elastis).
q49
(
-
;rffi
1
l
(bantalan poros)
.
!-('ll)
(0
1
I
rolstit Ruang main (clolrancol banldan C, ruang main bsntalsn
q48
laniutan dari O
during operation /r1;. in pm.
::
t,
Qu
Bantalan
lsniutan dari O 1O (bantalan poros)
dan karona itu pula hn*n'
Untuk perkiraan
rwal
kekenyalan
(viskositas) diambil sebagai dasar suhu {temperatur} ratarata dari bantalan. Taksiran yang lebih baik adalah:
2
0,1 6
ferf= 0'5 (fen + 4x)
laniuten dr !l r 3
(
BAGIAN DARI MESIN
BAGIAN DARI MESIN
Qrs
Bantalan
lanlutrn dari O 13 (kooeling friksi)
lanjutan dari Q1 2 (bantalan porosl Kcccpatan arus pelumas (Lubricant flow ratel pada psngombsngan tekanan hidrodinamis Q3 Kecepatan arus tooretis yang diperlukan untuk mempsnahankan peluma' san hidrodinamis adalah (nilai yang tepat dari pombayaran DIN 31652):
q57
0.:05
Apabila luas dari permukaan penyingkiran panas A ildak diketahui, pcrkirakan nilai untuk bantalan-bantalan bertahap:
A:nHu[*,'+]
1,
q68
Btr((''-2lr^,nl
Ksteno trp€ka tsrhadap suhu dan suhu minyak yang berubah pada awal-
Aturan-aturan: Pemasukan minyak ke bagisn bantslsn yang momuai Kekentalan (velositas) minYak u:'
dalamalur pemssok:u dalam alur balik : u
- 2 mls ', = 0.5 nl/s;
p"n
0.05 0.
p.n
...
nya tidak diketahui, maka gunakanlah metode iterasi untuk taksiran-taksiran .rB
Penyingkiran panas dengan pelumas Prh. L: Sirkulasi minyak, bilamana perlu dengan pendingin minyak {konveksi, pengantaran panas diabaikan):
q69
yang lebih tinggi.
q70
F tr:
Pr6 (ringkat penyingkiran panas)
berikut
20
r'1 s
10
0.5
ina
dan
0,02
0,05
0,1
0,2 0,5 1 2
0,1 5
Ilr,t :
So+
Penyiflgkiran panas dengan konveksi pada pormukaan parumahan A. I'rh.
a.b = k
k
A (TB
- Ir.6)
rnll6= - t'''''tl.*l w4.?[l
Dengan rumus empiris untuk
l4
I
llr.B :
(.1.6 . ..
sederhana bagi minyak
1.81,lge J m-3 K-l
t
satuan-satuan I
I
(
l
( I
( i
nilai rat&.rst8 penyelesaian pemukaan C.L.A. dari permukaan yang berkaitan dengan poros. tinggi puncak-lembah (peak-to-vallsy) rata-rata dari permukaan bantalan
I".6 : suhu lingkungan T.n, T"r: suhu pelumas ,i
: viskositas dinamis dari pelumas (nilai-nilai lihat
z
:
odF :
kerapatan
I
titik batas penghancuran I
rlt ra
: :
gembersihan bantalsn relatif velositas angular, kecepatan sudut kD =
zxn
I
14)
?letr : viskositas dinamis efektif dari pelumas
p
( (
di tempat masuk, keluar bantalan
7'a : suhu bantalan
! (
bekerja
yang meluncur.
:
/porssmaandiukuruntuk\ lanjutan di 014
Simbol-simbol lihat O
mineral; c p =
Iren : tekanan pemasokan pelumas lr, lla^, tekanan bantalan maksimum rata-rata u : kecepatan tegak-lurus {peripheral) dari poros bantalan wamb : kecepatan udara yang mengelilingi perumahan bantalan Bg : lebar luar dari perumahan bantalan dalam arah aksial C : pembersihan nominal, konsentrasi, Dembuatan alur {chamfer) l) : diameter bantalan nominal lr : gaya bantalan (beban nominal) //[ : tinggi perumahan bantalan N . frekuensi rotasi (perputaran per satuan waktu) Irh, a-t, : tingkat aliran panas terhadap lingkungan O : tingkat aliran pelumas, tingkat alaran volume
0,2
0,01
minyak
c . panas spesifik (nilai-nilai lihat Z 5) / : koefisien friksi {nilai-nilai lihat Z 7) /lmin : tebal lapisan pslumas minimum selama /< : koefisien pemindahan panas
(Hitunglah/ q 56)
I
p1..1=e c e(Te\-Tenl Nilai-nilai pedoman untuk perhitungan-perhitungan
\
1
i
s€mentara dan dengan hasil yang lebih baik dengan q 61, sampai saat, sesuai dengan q 60, 4n. amu = pr.
0.2 MPa
Kantung-kantung minyak, celah-celah minyak (kedalamsn = 2 O tidak boleh berada di dalam daerah-daerah yang dibebani, tidak tg]sambung dengan daerah permukaan bantalan-bantalan; pada tekanan yang lebih tinggi h8nya celjh atau kantung minyak yang pondak: kantung-kantung minysk yang panas lebih besar hanva dalam keadaan-keadaan khusus untuk penyingkiran P6nyingkiran Panas Persyaratan: Daya friksi Pr :
Qrn
Kopeling (clutches)
22s
(
BAGIAN DARt MESIN
BAGIAN DARI MESIN
Cl rs
Hantaran kepala.silang, kopeting
Kopeling (clutches)
laniutan dari Q 14 laniutan da.i
Hantaran kepala.silang (Crosshead) Hantaran kepala-silang hanya dapat bekerja secara mulus apabila q 7l tana<,l atau
(unruk nilsi-nil8i lihal Z
c;;-ll;
perbandingan paniang adalah 972
I h -
1S {kopeting rriksi)
Igl
Untuk s6mu8 jenis permukaan friksi:
q75
- ?;tanQ I -ptana
e
Porhltungen tckonan kontak pb
q76
i I '2 --Tc pb, thy";'n;
dimana
bahaya rerjadinya ungkatr.rngkit (tilting) dan kemacetan gerak (jamming).
r^ = 3,X>#=
&;!, berbentuk silinder
Kopeling friksi
q77
Waktu selip dan kerugian energi pada setiap kali bekerja Kopeling Sisi yang digerakkan Sisi penggerak
q78
(
Gaya bekerja (aksisl)
(
i
q79 ebuah model sederhana dengan kondisi-kondisi seperti berikur dah cukup untuk membuat perhitungan kasar. Percepatan sisi yanq digerakkan dari u2 = 0 hingga ao? or, or = konslan; fL. = konstan; fC = konstan ) T, Maka, setiap kali bekerja:
Hitungan untuk poros panggarak
,, - ,.
(
,,',"n|l
Pcrlrllungen k.nllksn suhu yrng diizinkan
(
Pada AWAL-GERAK BEBAN-BERAT suhu maksimum dicapai dalam sekali
ksria. Hal ini tergantung dari k6rugian energi, waktu solip, panyaluran panas. panas sposifik don p6ndinginsn. Kaitan ini tidak dapat digabung meniadi s6tu di dalem sebuah rumus.
Tr\
kerriqian energi
n'rr)
waktu selip Pcrhitungnn lu8' dari permukran friksi
polat kopeling | kemOar I pelat ber. I lipat genda Oatar
runggal-
Dengan BEXEBJA TANPA BEBHENTI suhu konstan hanya dapat terjadi se_ tolah boborapa kali keria. Di sini terdapat nilai-nilai yang diporoleh dan praktek (omprical) untuk kapasitas termis psraturan luas 4p yang diizinkan dengan b€koria tanps berhonri {lihst Z l9).
koPeling
ro.,u. I
silindris
q80
Osya friksi
q8t
Kondisi
Pr
tA
=r\z ,-
( ( (
!\-aQp
Jumlah dan ukuran permukaan lriksi tergantung dari tekanan
kontak pu yang giizinkan dan
kapasitas termis per satuan luas
Simbol-simbol lihat Q 17
(
gp Yong diizinkan.
227 I
(
BAGIAN DARI MESIN
BAGIAN DARI MESIN
Qrz
Kopeling friksi dan rem
re
Roda gigi dengEn gigi bortuk lpirul
Rem friksi Semua kopeling friksi dapat juga digunakan sebagai rem. Dt sittrlr itu juga masih ada:
nL;
Rem cakram Dengan jangka bengkok (capiler) dan bantalan {pads) Momen puntir pengereman (Braking torque) fB:
q82
Cl
Roda gigi dengan gigi bentuk spiral Roda gigi lurur (spur gc!?sl. ilmu
q86
Perbandingan roda
q87
Perbandingan
q88
gearing):
gigi
"
transmisi
i
ulur =
IZ1
@" io = Ub = nb = -jqt) 2^
Perbandingan transmisi roda gigi dongan tingkat lipat gsnda (muhi-stago
Ta =2pfstr-
q89
Fungsi bentuk spiral
(involute function)
itnt = ir' iEriEr.,.i
lnv
o
in
= tana-d Menunjukkil jalurlintang kontak
Rem drum s6patu-bentang (orpanding-lhool {Garnbar rem sederhana menunjukkan, secara sederhana. gaya gaya ydn(l bekerja pada sepatu)
(lihot ISO/R 1122)
(
Drum rem
(training)
q
83y84
F"r
(
=
lt F^t
(Servoaction = (Aksi penunjang)
Bilsmano A dan E tidak iatuh di antaraIl dmQ,maka akan terjadi interferensi, sehingga harus digunakan roda gigiroda gigi yang "disompumakan" seperti dalam O 20.
Fnl
.I
Momen puntir pengereman IB:
q85
l.
(Fa+Fn)pr
Rem Sabuk lihat K
I ) Nsgatif untuk roda-gigi luar, karena putaran bsrlawanan. positif untuk
15... O
17)
,( : luas permukaan friksi 7c : momen puntir kerja kopeling 7|. : momen punti] beban fl,i : momen puntir motor fr I waktu pemindahan kopeling : kerugian energi dalam waktu sekali keria I lldvn r Pstat lfriksi, Iriksi luncur. koellsien statis dari friksi : jumlah permukaan lrlksi : iumlah pengungkat-ungkil (caliper) di dalam rem cakram : jari-jari lradius) permukaan friksi , R., Ri : radius luar. dalam, rata-rata dari permukaan lraksi frekuensi kerja kecepatan sudut (Untuk sifat-sifat dari bahan-bahan friksi lihat Z 1 9l
228
{
roda-gigi dalam. Pada umumnya tanda dapat diabaikan t\ Roda gigi-roda gigi standar
'13
Catatan untuk kopeling lriksi dan rem (O
(
(Eu:
!-r, h-t)
helikrl
q90 q91
jarak (pitch) normal
q92
iarak (pitch) linokar
q93
modul normal
nd P = z = na
cos p
*"osP
q94
q95 q96 q97 q98
(
n^tr
iln=
modul lingkar
co6
I
z
adendum
dsdsndum
h1
hte = mt c
a
ruang main (speling)
I
BAGIAN DARI MESIN
BAGIAN DARI MESIN
Cl rg
Roda gigi dengan gigl bcntuk spiral
lanlutan darr O 19 (transmisil
lanjutan darl O 18 roda gigl lurur q
99/100
diameter referensi
q lot q 102 diameter kaki(r6s1 g a
p. Pa, Pr,
Zn,
d^
103
. tan o" r -------ri; lano
104
lihat roda-roda gigi - roda-gigi standar
.Le:te.l-Il-1 nr-l 4la^
a
'corzo , cor o
q
'#r*'i lot op.zoe^
hindari inter ferensi
q
1'12
zi;-
a
14
.-l*
a lq co!t,
helikal (ulir)
q
113/114
qll5
iarak tengah paniang ialur ko nta k (panjang total ) perbandingan kontakl
melintang
perbandingan kon
"'+l/a.T:aJ. -(d6, + dor) 111 4,
127
a*r dihitung darir
COg cwr
q
128
atau
1nv a*,
q
l?9
iarak tengah
lanjutan di O 20
adendum
131
,-:+
"
4- ( z/
cott
:-
)
co6 or
cos o. cos o-r
a" - an.(r,
+
I
( (
I
dt.d-2ht
i
; (dbr l
LVd,"l--7?
- ,"rC
, t/i,7=7,7 '
db, ) t an c*,
*;,i-.". ,,rk,-.;
139
) Jika data perkakas tidak diketahui ambillah op =
Catat tandanya. Dengan rodagigi luar k x rnn < Ol ! Jika r <0'l modif ikasi adendum seringkali dapat dihindari untuk simbol-simbol lihat O 29, akhiran lihat O 23
2l
(
A. = /trp + r a^ + /k i^
=
138
s!-)
lnvor+?ffit"^o^ "
koefisien modifikas A rn .
36/t 37
q q c, - co + t.
t..
-
!
Untuk simbol-simbol lihat O 29, akhiran lihat O 23
230
A
130
-$.
(zr o :r). (1nv o-r - tnv or ,, , 2 trn o"
r25
q 132 q 133 q 134 q 135
dtldt , . -r?t+2t
. . (transversel'"
x L_-___s-ie. _ J luntuk menentu
q
q q
U'D ta
menyebar (spread)
|
t24l125
^z - costS
l.trs:-e,e-Ll
dapat naik sampai 0,17 mm
tr
tabel lihat orN 3950
Helikal (ulir)
lurus
dr =d+2i'
untuk meng
Qzo
Roda gigi dengan gigi bentuk spiral
i
I
d
BAGIAN DARI MESIN
BAGIAN DARI MESIN
Qz,
Roda gigi dengan gigi bentuk spiral lanjutan dari O 20
q q
Roda gigi lurus, rancangan Ukuran-ukuran dijabarkan dari
143
t44
kapasiras kaki gigi yang nrembawa beban kapasitas samping gigi yang membawa beban yang harus dipertahankan secara terpisah.
menjabarkan beberapa rumus yang
mendekati dari DIN 399O.
tas beban dari samping gigi (perhitungan terdekat) Faktor pengaman SH terhadap teriadinya bopeng
q
1a5
Kapasitas beban dari gigi (perhitungan terdekat) Faktor pengaman.\. terhadap gangguan kelelahan dari kaki grgr: r40
laniutan dari o 2l (roda gigi lurus, rancangan) Sr-,n = 1.7 (nilai penuntun) 6.,,- : nilai-nilai penuntun lihat tabel di A22 Untuk simbol-simbol lihat O 29, akhiran limit Q 23
Rancangan transmisi (gearing) harus direliti sesuai dengan DIN 399O. Pada konversi dan pengelompokan kasar dari berbagai fak.
tor, dimungkinkan untuk
s,
q
la6
q
147
sx
6rr-
,
y=IE,
zr.
"
q taz
Xt, Ku
- ! ..
3.
"r:,
Wr".t;;t;
,,, V + J+
kan untuk benturan luar dan gangguan{Engguan yqng mencapai mom€n Puntir Yang di-
(
E'z'.?tqffi#,*X
(
-;-
*l
(
zH
k transmisi luar (lihat diaqram)
I baja
j',
1
(
7
5
(
?.5
izinkan, gaya-gaYa dinamis dalam tam-
1o
bahan yang timbul
t,0
dari kesalahan gigi dan kecePatan Yang mengelilingl.
232
(
;,
tr5
lebih
iarang, (mengizih-
) 5".;^
, . 'tli'ti
V.rrV
Rincian
u
zt.zt
7y'Xu'Za'Kt
Untuk bahan logam {aktor bahan Zu disederhanakan meniadi di nrana zt = Karena itu, rumus terdekat menjadi
untuk
)', : gigr dari laktor
Qzz
Roda gigi dengan gigi bentuk spiral
6lo
!0
50
O0henya bcrlahu untuk
an=2oo
B+
laniutan di O 23
233
i
i (
BAGIAN DARI MESIN Roda gigi dengan gigi bentuk spiral lrnjuton dari O 22. lrodo gigi lurus, rancanqanl q q q q
2x : laktor
r48 149 150
r5t
Cl
zs
bentuk samping (lihat diagram)
{r , ,(v : lihat kapasitas beban dari kaki gigi (O I 42} sx.in
o
(nilai Penuntun)
6,1,. : pilai-nilai penuntun lihat tabel Ze'Xa1 , Zs tl(, t 0 5... t. Nilai lebih tinggi untuk
kecepatan
keliling yang lebih tinggi, kekentalan minyak pelumas yang lebih tinggi dan kekasaran lebih rendah. Untuk simbol*imbol lihat Q 29, untuk akhiran lihat O 23 Daf6rp q 14'1, q 145 rlan 147 harus diketahui D ataupun b dan Perbandingan-perbandingan berikut ini adalah untuk mak-
(
d.
sud-maksud perkiraan dan hendaknya digunakan untuk perhitungan pendahuluan. Ukuran-ukuran pinion Dapat diambil dari :
pinion berintegral dengan
dl dporor penggera k1
poros penggerak (shaf t) pinion yang bebas memutar pada poros penggerak
( Atau: dari perbandi.
(
ngan bantalan i dan suatu iarak yang ditentu kan a (lihat q 113'I 14-l 29)
(
Perbandin gan-perbendi ngan lebar gigi
Kualitas gigi dan bantalan
(
b
a
gigi-gigi dituang atau dibakar
I
gigigigi dibuat dengan mesin; bantalan bantalan menopang kedua sisi pada kon. struksi baja atau pada gantungan pinion gigi-9igi dibuat lebih halus dengan mesin
bantalan-bantalan menopang keduasi
d
si di dalam selongsong bantaian.
234
236
I I
(
BAGIAN DARI MESIN
BAGIAN DARI MESIN
Qza
Roda gigi konus
L.tuan &tiO2q
Roda gigi konus kmu3, ilmu ukur Pcrsamaanfcrsamaan q 86 . . .
Gryr drrirl dm ndid yme p.e.ng{n.m.e.ne (in
eiga
f, - Frn t.n a^ r rln d tklial gayaradial f, - fr^ tanon. s6"6
tra
q
q t5t
t.n
Krpritg b.brrl d.ri krki
gryr (pcrhitungan terdekatl Faktor pcngoman SF terhadap gsngguan kelelahan kaki gigi:
:
0,.;;ffi-
;
(: .
9oo=,>t.^ a,-
e,-
111!ff,5-
6rur'- 'H.rr.nrh
|)
t6a
Konus betikang suay1jja1133.r --Tanya + 1'"T;E:Iff ' ) .r - dr r,, fr"*."#i"#f:lr#iiiii:* ". " roda iarinsan jarak konus *r"r ) ^. _gae 1
Parkembong8n konus belakang untuk menguji kondisi-kondisi iaringen pegang{nem€ang (meshing conditions} menentukan roda gigi silindris menengph (akhiran "V"= menengah/virtual) berikut nilai-nilainya : roda gigi konus
ode gigi konus, rancangan Rania-ngan diarahkan pada
,r
,^. qt
) *.r,
:
ft-
d2
?? d-
laniutan di O 25 Untuk simbol-simbol lihat Q 29, untuk akhiran lihat O 23
236
.
xr.
h. r,|. at
tq. &r.
(
&,* sl
rr :Gaotikan iumlah gigi dari roda gigi lurur
pelengkap
;,
rtau, dsngan roda gigi rpiral:- a zttc,/i A Grafik untuk rod. giga lurut pEda halaman O21 kemudian iugo dapat dimanfaatkan untuk roda gigi konus (bevet gebrl. Unok tcmua dara yang lain lihat q142,q 143 dan q 144.
brbrn untuk rmping gigi (perhitungan terdekatl F-aktor pengaman SH terhadap timbulnya bopeng (pitting) pada permukaan gigi.
( { (
t*
TITIK PUSAT DARI LEBAR
"m"l berikut nilai-nilai R.. R. -*
d-=2R.sla6
(
Memberikan rumus terdekat:
q 92, q 95 . . . q lOO iuga dapat dimanfaatkan permtkaan konus belakang (akhiran "e"l
(akhiran
fs.h \ c f?7f,ix,-.:|; ? 'rna
;
(t .9oo=)tra dr. u)
q
mesh)
eaya
q 88 dapat dimanfaatkan dan lusa
rudut konur a
Qzs
Roda gigi konus
z, D
fi67
Memberikan rumu3
o,-,
>
|/ffi
(
with E -1*P,
terdekat:
oE,z,,.
zn,VC
a
tM,*
zh, : tihat da.gram untuk Zy (r,ara?[n O 22), tetapi hanya berlaku untukGr + xzlllzi + ?zl - 0 deng6n r - rh. Untok remur data yang lain lihat q 148 . . . q 151 . , untuk akhiran lihat o 23 237
I
I
BAGIAN DARI MESIN I Transmisi episiktis ttrt"r.'* *.ri"nf I
a Q
BAGIAN DARI MESIN Ze
Transmisi ulir (Worm gearing) Trammbl ulir. ilmu ukur
(berkenaan dengan ruang tetap)
I I
iN
l.n | \1..
gA ;' S/ : Et
r'l
ril I slr
I
r
^(lc
11c
+
t
iN ;N tillil ! I
t
I
t
sp Errt ilt
.Jc
5 I
.5
I I
ED sl ll
E
o o
I
I I
I
J
(
Fa,,dan Fr. Dalam contoh:
Clr"
zr
il" Elf
.,-
2,
ulir tangan
(
kanan
c o or c
o
\
cl 3l
.t
ll-
I :t
r
1c
t I
+--f
q 183
Perbandingan gigi-gigi dari roda gigi dan perbandingln transmisi sepsni 't Ulir. akhiran 1 I Roda ulir. akhiran 2 9 86....88
-l
q+l rlrq 182
penggerak
Far
.l
.t
(l(
,: g0o)
Semua gaya yang Dekerla c pada gigi-gigi yang pegangmemegang linmesh) diperlihatkan dengan tiga panah
?l .l
o
a
a
Ulir
r'l
-l
!
o o o
'1
penggerak
?1.
5
.k
(Transmisi ulir, silindris, modul normal dalam ssksi aksial, BS 251 9, sudut di antara po.os-Dorot
g
q'185
q q
pt= a n = p2 = dzn/27
186 187
q 1BB q 189 q 19o q 191 q 192 q 193 q 194 q 195 q 196 q 197 q '198
diameter rata-rata
( sudut ulir tengah
d1=mZz .z = n(t+r)
diameter puncak a-denclum
l,
h11 = n(l+c1r)
dedendum
0:2...O'f)=crl az = dz*Z haz
diameter luar radius alur ujung (tip groove radius)
,\=;-d.r/z
lobsr gigi
br*O'9 da-2m
t (
a
diameter kaki i8rak
bilamanatidak,x =
'8.
(
I
O.
Untuk simbol-simbol lihat
o 29, untuk
akhiran lihat O 23
239
I
_l
BAGIAN DARI MESIN
Qze
Transmisi ulir
lanjutan dari A27
rrenrmisi Ulir, rancangan (penggerak ulir)
Ef
iiiersi Penggerakan
ulir
2 - tan l^/laa(7^
Penggerakan roda
+
gl
friksi (nilai-nilai
ulir
a' - tan( r^ - g)/tan.t^ (
Koefisien
khas)
r- < P ) :+ g=
me ngu
166 9
ug6lm/s
uo
*
ncidiri
!
10 m/s
Untuk perhitungan defleksi poros penggerak dengan ulir lihat
P12
q 204 q q
tungan modul m Kapasitas beban dari kaki gigi-gigi dan samping-sampingnya serta kenaikan suhu telah digabungkan dalam rumus terdekat;
\2 = C bt pz ;
mana 62- 0.8 dmt, p2 = m \. t: = 272/dr = 272\az7') q :10 untukli = 10. 20, 40 I :17 untuki = 90. mengunci diri
di
Nilai-nilai yang diperkirakan untuk roda-roda gigi ulir dengan pendingin alamiah yang normal (ulir diperkeras dan baia yang diasah, roda ulir dari broms):
cffi
Eilamana pcndinginan cukup, maka nilai berikut ini dapat di-
q
gunakan untuk semua kecepatan: 2O7
240
Catrtan untuk O 18
..
.O
zs
28 (akhiranokhiran lihat O23l
standar
,l.o : adendum Perkakas Pemotong
4r' f,r
gaya radial
Cl
Roda gigi, Transmisi
r : iarak tefigh b : lsbar gigi
- S! x,'r"
ru
BAGIAN DARI MESIN
Cpc,-)gNmm-2 Untuk semua simbol lihat O 29, untuk alni.an tinat O Zg
ir : adendum profil referensi (misalnya OIN 8671 hrp : dedendum Profil referensi t : perubahan faktor adendum p. : puncak normal (p. = p cog d t Fcr ' pr cos dr) z : iumlah gigi en. : ekuivalen iumlah gigi (C*.. ), C : koef isien beban (yang diizinkan) f, : gaya keliling pada silinder puncak (seksi datarl r(r : faktor keria (benturan luar) (, : faktor dinamis (benturan dalaml rF. : faktor distribusi beban akhir luntuk stress kaki r.Fo : l.akr.or distribusi beban mukal fFr : laktor ukuran trx. : faktor distribusi akhir I untuk stress samplng f,x! : faktor distribusi mura J P. : total panjang konus puncak (roda-roda gigi konusl R- : pan.iang konus puncak rata-rata (roda-roda gigi konus) f : momen puntir (torquel rF, (r) : : faktor bentuk, (faktorkonsentrasistressl l'a : Iaktor miring (skew factorl f. : faktor perbandingan beban (load proportion factor) zx : laktot bentuk samping z. : laktor pegEtng-memegang {engagement factor} zR : faktor kekasaran (roughness factor)
zv : faklo( kecepatan cp ; sudut profil referensi (olN 867 : ,p -- 2Q"l ow : sudut keria
silinder puncak
ftJ
rror,
miring untuk roda gigi ulir
I : sudut friksi geser (tan I = rr) 9{ ; radius pinggir uiung perkakas 6r r,- : kekuatan lelah
6x,r;o : tekanan Hertz (tekanan kontak)
silinder dasar
( ( ( ( (
I
a
d
cI
lrnlutrn Orl O 29
TEKN!K PBODUKSI
Pcrhltungrn ccrmat untuk roda*oda gigi lurus dan konul: DtN 3990
lrtiloh dan
Uof
initi untuk
roda gigi lurut dan transmiri : DIN 3960) roda gigi konur dan transmisi: DIN 3971 |atau BS 2519
transmisi ulir
langsung
: DIN 39751
Hal ikhwelmesin
Rr
prrkrkl mrrln: pandan06n umum Komponen-komponern bagian mesin yang torkona pengaruh stras keria (kcrangka'dengan permukaan kopel/mating
dan
permukaan luncur/guide, eretan (slide) dan meja penopang, batang
ffi
[::
,,j#l:.frI :"J'.lf ;:', #' t* ill pada pinggiran maksimum yang -,]T
-:L
Delleksi
#, :l
I
diizinkan
motong (titik formasl tatal/chip formationI ad3tal 0,O3 mm. Untuk bidang ulir perhatik3n rumus P 13 gEya€aya potong lihat r 4.
Penggerakan psmotongon (penggerakan utama) dengan u = konsl, sepaniang jangkauan keria (potongan kerja maksimum dan minimum atau diameter perkakas dapat diperoleh dengan kecepatao-kecepatan output dalam deret ukur: ,lr. 4r gr-l Perbandingan progresif guntuk kecepatan-kecepaian n1 .. .np dengan kecepatan.kecepatan output sebanyak k dapat dihitung
dengan:
^' _ '\]lT Yn'
dan seri yang dikehendaki telah tersusun.
Standar perbandingan progresif e: 1j2-1 ,25-1,4-1 ,6-2,0 Seri dasar kecepatan R2e di mana
1 1 2 : 1 25 - 1 40 -r 60- I 8o-2oo -224 -250 -280 -31 5 s5-400-450- 500-560-630- 7 1 0-800-900-1 000- . .. -3 rpm.
Bantalan-bantalan pemotong telah dircncang menurut jumlah po. ros penggerak dan tingkat.tingkat. Contoh: Sebuah penggerak roda.gigi lli/6 mencakup 3 poros penggerak dan dilengkapi dengan 6 kecepatan output. Di ba. wah ini adalah gambaran mengenai unit roda gigi (untuk /t
242
( (
(
q = 'f/td = t.tz,
. . . 1 oo-
=6;{= 1,4:n1= I80;rrp
(
= 10O0):
( ( (
243
(
N 5
6
a
o
1.
2. 3 ro E o
o
9. 3 q
f
l @
c
C
q
o
,a
4.
f 14
o o
@
I
3 o
}
dalam
Asahan muka
Julat
Polongan
Asahan bulat, luar dalam
<*
cc OG - 6)0
o=E
-q
-oPL
dan menggerak
o
€
Mongebol
E o
9. 3 q 9. rd
dan
Msnurut
k€ dalam
membubut
€
rn€msnisng ke luar
g
9. 3 q
)
-l ol ot ol ,l ol ol
ct ,l uol uetooa t-l o MomutSr t-J
I t-lJ l1\
5.t
3.0
3.4 3:2
4.5 4.0
2.8 ?.6
36 30
4.3 3.9
4.0 3.5 3.2 2.8 2.6 2.1
x
r.z *ss
"r'
!SS
HM
0.c5
SSS
1.?
H14
1.2
HM.
ucQ
1
K
2,5 2.3 2.2
30
3-2
36
o oo2 | o.oo3 i o oo4
9, ' l+/
Faktor l(orsksi
o.oorl
v\._)/
X(il\-"rjll ilii;r tl 'Y:tR
ffi4
analog dongan r 5
I
2.a -+ -,-
-.r--#-
,-
Sk6B8
I
l
I
I
I
2
s
I
3
s:.n:
ln
o
e
P
P
o, dan
f
t = -5-
z a,
. t -2a/ ccs Pr
ou
kasar
I
21 32 40 53 56 68
14
44 18 50
31
23
Ei l-tr lilz
3
l'l
I
Penghalusan'
iarak burir efektif lx
1
I
I
|
o.oo.o
r 10)
l"l:1=
lsl-16 I ; lr l:.
la l:ts I .lol=
sudut 9! ssoeni dalam
3
3
rl--lE { -:--z II :l^ia
+
o-lrLl ' lN^l irs
d i l;ljl=
{m
I
='s
=O do OF
€! g!
+=
IA NZ
N
E
E
l-t l-ld iil-.1""151'A
;"lrll3;
>l--
6l
; l=-"lull=o
i*
o01 I 0 021 0 03 lo.oo3 | o oot 1 o.oos
Ketam
0
Bl r ia a . :.. ":l
= 9
E,l 6l
"a'g E o :l ol - o
J
putaran (rotasi)
I dalam arah
I
cos r.= I menghitung I
Li-
118' utk bsia
a=
= 0 iika mengabor
Cautan
fccs
o'7
bor pilin
untuk
2
,l
22
+#trGtTII ;+
A.A
E40 ;80 coo120 ! 3, .r50 180
,!
r-S-rS1n
ccs ,r - acs
,,."'
.J 3:i7 5.=C'is S! (
srS:1 z
h
TEKNIK PRODUKSI
TEKNIK PRODUKSI
Hal ikhwal mesin
Hal ikhwat mesin
paUbisn lFmd drivo.l
Katerangan simbol-simbol yang digunakan pada halaman R l
Psngisian dalam dsret ukur dengan perbandingan progresif
e= 112-125-14-16-20. a
infeed/linear serutan masuk
lx :
h
lebar dari cip lebar etektif
larak butir ofektit-lihal tabel 2
n
ksc6patan
ltl
kscopatsn output minimum
r15
u= n\ szr
r16
untuk bor pilin
zs
zp=Zs=2 .sz = 05s
r17 r18
Perigian (milling), perigian datsr dan p€rigian akhir
panotongan ls
UYektu
,<
r19
dimana L, = L + t'
ponglrhn Pv
pengisian
Daya
r21
Gaya pengisian
(22
Gaya friksi
!1h *
Pv
/f.73
lebar cakeram penahan diameter lubang yang dibor sebelumnya bagian kerja-diameter luar, sena dalam diameter perkakas gaya friksi gaya Pemotong gaYa Psnglslan
psrigian diukur dari lengah perkakas
: ,fv i q : percepatan gravitasional /, . tebal dari cip ,r. . jumlah kacepatsn output
kc 1 1 :gaya potong dasar yang berkaitan
/1
/ (f, dari r 4)
-
Bs:
X /
'7mech "Telectr
Fv - O.2 fs ; fn = mb\gxp
= /i./1.4
R) lebil
,fc
lv)-
asahan ketam kasarl,w asahan penghalusanl* lebar perigian
n1,
,:n:
;
flilamana akan menghitung waktu sebuah putaran dan waktu mesin bekeria untuk sstiap pakst peksriaan, maka gerakan pengisian dan bahan yang akan diieikan serta juga iarak yang telah dilalui oleh bahan itu pada waktu mesin hidup tanpa adanya pemotongan, dibagi oleh kecepatan-kecepatan yang rcsuai haruslah ikut dipsrtimbangkan'
t20
; ;
d : r/*: 1) :
U=gztn\Zs
Rs
z.
dengan luas : faktor metode :. gerakan potong : gerakan kerja gerakan kelebihan pada kedua ujung dengan lingkat pengisian : ;umlah tepi pemotong dari tiap perkakas
tlk
kocepatan output maksimum
l,c
daya pemotongsn daya psngisian
s
pengisian
sz
!engisian untuk tiap tepi potong waktu porcepatan
lb /s
waktu pemotongan
u
tingkat pengision
llE
kocopatsn laju molintang (trsveBe spoedl kacopatan momotong iumlah tepi pomotong yeng bekerjr
z" : €t : pcrbandingsn
-
kolangsingcn (er r/s) tletock: alisien listrik ry-""1,: efislen mekanik : sudut psnyotelsn (sotting anglo) /r koetisien friksi, lihat Z 7 o sudut ungkit bor (drill tip 6nglo) @ p8rbsndingan progresif qs: sudut {lubang} masuk pemotong perigian HM : pengungkit karbid HSS : pongungkit berkocopatan tinggi (high-speod tip)
x
: : :
Dimane ,rtu ldalah massa yang digerakkan, misalnya dalam hal mesin-mesln giling rdrlrh iumlah massa meja dan masa paket keria.
( { ( (
Haruslah ditontukan apakah daya pengisian seperti telah dihitung menurut r 20 sudah cukup untuk mempercepat komponen-komponen yang bergerak, hing0s kocepatan gcrtk cspat UEdalam waktu yang ditentukan /b (da'
lam mein-mesin orodukoi as
(
(
= 0.2 m/s).
Selain daripada itu borikut ini dapat digunakan:
t23
Pv
=,r^t(u,
.
ff)^""nlr",";
(
keterangan simbol-simbol psrhatikan R 5
246
1^'4'/ (
)
TEKNIK PRODUKS! tl
PenggaraPan logam PonCgaraPan Pclat tonPa aPi Penant-ai kedalam {deep drawing}
Unluk w, yang berksiton dongan volume dan kakuslan yang dihasilkan tt, tabh dip€roleh dari garis psngonal (curve) deformasi untuk nilai yang me(lihal Z 2O). madEi dori pe'bendingan delormasi logatitmi!
I
'Gryrypyr pcmnruh werna pudh Fat dan l;az tinokat
ko-l
I
(blank holding forces) tingkat ke-2
r"r=
R.
r35
6= f, Contoh:(diumPamakanr.
D=
{zn a.+ e".
).. + f,
aa'
O_afbz+91Fez I 02 S
r36 Ioilil.l"kondd p.n.dLn mlkllmum, drn /lm
Blhm -
Sheet metal Rincian
= h = r)
U.S.A.
* r';;r 1f$ a{aFa, nE-r a* a. l
366-79
,--
a{
Baia Karbon
Th*tt llf
drn ko2
75 283 Gr.
tingkat ke-1
Slainlsss steel
(Y:\-Y
E t27
Fr=
t29
aDt -
r30
9t=
r
d1
r.8
3
1.9
2
2.O
I
sAE 33t0
390 360 350 340 410
IL 2.O
1.2
600 150
solt
untukR6danRT
oui,,,o
o.',
't.7
4
AA 6004
nlMgSl solt
D
!]",*
r28
t5
-($ o.oor) rats kt.tvt* ror= f;,
-($ ".or) ,,i", =
s lt7-1
91 J-
l'^1l;*."
A^;
r
I
fot Ar-
r
luae permukaan fot I gaya penarikan di tingkat ke-1 dan ke-2 atau /tr-r : kokuaton rata:rata yang dihasilkan pada
il, :
fi
radius/isri-iari radius dari slat cotakan lumbuk rsdius dsti alSt cetakan ,rrikr""hu
r
16
(
tingkst k6-1 dan tingkat ke-2 kakuatan yang dihasilkan unluk gt dAn (rt
.
Arr
delormasi
usaha per satu I n volumo = -roirfr m6-m6e-nill-a n pr, ,, : perbandingan psnarikan pads tingkat ke-1 dan ke-2 r/= 100 mm brio :'perbandingan penarikan maksimum untuk s= 1 mm dan Pr-.., Bt^^, iperbandingan penarikan maks, tingkat ke-'l dan ke 2 ,til , ?rr : elieiensi prosos, tingkat ke-l dan ke-2 9tt 9t : perbandingan dolormasi logaritmis, tingkat ke-1 dan ke 2 JV
r31
t32 r33
xrnt=
6
lmtt tqE
h
lroiutan di R 7
249 248
(
(
TEKNIK PRODUKSI Penggarapan logam
r38
r39
A ht^
F-
Gaya remodal, gaya tekanan
t=
usaha remodal
! ht^
I
^G p^G 1
w
kr-
Kekuatan rata-rata untuk de{ormasi
9t Ekstrusi mundul
Ekstrusi maiu badan rongga
badan isi
Sr
lttilah umum
Kuantitar listrik dan satuan-ratusnnya yang terponting: Aturan dasar
Ekst.usi r37
TEKNIK LISTRIK
Rs
Pcnggunaan huruf-hurul berar den kecil scbagai lambrng
Kuantitas listrik yang bergantung pada waktu, ditulis khusus dengan huruf-hurut besar: Kuantitas
listrik yang berubah-ubah
menurut waktu ditulis dengan huruf-huruf kecil atau dengan huruf-huruf besar yang dibubuhi tanda t Contoh: rumus s 8, s 9, s 13 Pengecualian: l, o, i, i, pp.lg Usaha listrik W Usaha
listrik W adalah ekuivalen dengan usaha mekanik l/
perti diterangkan dalam M l. Namun konversi
u::::l *:t*tl;i:rl-^
;;; l;;;;;jri,i _,"
Seranlurnya akan berraku r',ruune"l
ffiJ,i""H;
mengsuna-
kan kuaniitas-kuantitas yang telah diterangkan dalam Sl
52:
=iai
t12
t=la!
q= 1*#
,^=,nffi
v =ftnoao'
, =1
v
a
=
no(dot-d")
=!ai
ao
logaritmis maksimum dari deformasi
iw
Baja 4199.5
mundut
: PA:
: V: . , ?F
ldrr:
c<0,196 | c<0,
C>0,151
3.9 4.5
30
1.4
1.2
4.0
1.2
t.1
0.9
Il
rendah
0.8 o.05
t..ai"i
t'
rendah
o.7 0.8
luas terpakat perbsndingan deformasi logaritmis etisiensi deformasi volume yang di-temodel terkait denga' w^ftrme. sesuai dengan kurua-kurva Z 20 ui"tti kedalaman lsnglGh
r
52: 1
lunak
metode map
NUgSi
rlss =
=
I
( (
Nm
Selanjutnya akan berlaku hubungan berikut dengan menggunakan kuanriras-kuanriras yang relah diterangkan dalam Sl dan
94ru
peredaan perantara
250
Daya listrik P adalah ekuivalen dengan daya mekanik p seperti diterangkan dalam M l. Namun konversi energi dapat mengalami kerugian-kerugian. Saruan: W {Watr); kW: MW ; lihat luga A3, A5
ts- O'5...O'6
r tl3
olan
IVt-$t-rnt
listrik P
i
a
r40
se-
e
rr Periodef
Frekuensi
lrhat L
n
@.
(
1
lrharLl
Frekuensi sudur
ItR
1
/f)
kec"palan sudut
@
lihat L
( 1
Arus / Adalah sualu kuantitas dasar (lihat kata pengantar dan petunluk) Satuan: A (ampere): mA; kA
(
25t
(
lstilah umum lanlutan darl S
natnrng silang A adalah
1C = lAs Kapasitansi C
J - + 8pabila pembagian arus
/
melalui pe-
s
Pot.ntill Y
I
Satuan:
'l
I
F.
sebesat 1
w' maka tegansan di antara
uiung Pengantar itu adalah 1 V
rv " *' Rasistansi t9
R.7
Fluks (garis kuat) magnet 0
14rl = lt*
'4' v
(Hukum Ohm)
Kond\tktansi ''?;;;k,;*i G
,-!{-= ' A2
B I i I
lJntuk arus rata:
(lihar s
(
il,,
_[
(
=8_ I
Dr srnr A adalail dairrah peilaff\pang lirrtang yaDg dilalui secara tegak-lurus oleh f luks magrret homogerrf, Satu.:rr:
T (tesla), uT: nT. V s m3. G (gauss)
rr - 1v: nl
1)
Ir
tt
(
Incluksi magnet clalam sebuah I'lr:narrrpanq-lrntang ,4 adalah:
Mhol
cr
(
lnduksi magnet (kerapatan fluks) I
Kuanlitas listrik, muatan O
[i
(lrhat s 1)
clerrgan kecepatan seragam.
t/R
ll
'N-
nya, apabila ra berkurang menladr nol dalam waktu 1 detik
t w = l-Ng sA' 5Al
R G adalah kebalikan dari resistansi
l/l)
' J
kaitan dcngan kurnpararr itu berubah-ubah menurut waktu. Satuan;Wb{weber) V s'- l08 M (maxwell) 1 Wb adalah lluks magnet yang merrghubungkan sebuah srrkuit 1 putaran serta mengrnrluksikan tegangart 1 V di dalam-
1 V yang metintang pada 9e' Apabila suatu tegangan sebesar arus I A dr dalamnva aliran menyebabkan o,IJi'*nn"","r Q
o = )-1, o,
.A2s2 _ - ,A?s?
Di srrrr ly' adalalr lumlah lrlitan sel)uah kumparan cjan v adalalr tegangan vang drinduksrkan. apatrila fluks magncrfv"ng b"r-
Satuan: Q (ohml: kQ; MQ
maka resistansi adalah I IQ
. 42s w
lF = 1C
sebuah pengantar meng' arus rata sebesar 1 A melalui kedua
;";';i
F ({arad). 1rF. nF . pF
Apabila sebuah kondensator memerlukan muatan 1 C untuk dimuat sampai pada tegangan 1 V, maka kapasitansi adalah
P
Satuan: *ao"Oi'aV (volt); mV; kV
lO
Kapasitansi C dari sebuah kondpnsator adalah perbandingan kuantitas lislrik 0 yang disimpan di dalamnya dengan tegangan 7 yang melintanginya V
seragam'
A,m2: A'hm2
Porbcdaen
il;;
laniutan dari S2 Satuan: C (coulomb):
pertolongan gaya tarik dapa! dltentukan dengan paralel vang beraliran listrik pengantar Lt"n
tbny! drpat digunakai Satuan:
lstilah umum
1
f a tel.h d" il^i i,i"*r*t. tcrhedap masing
TEKNIK LISTRIK
Sz
TEKNIK LISTRIK
=
(
ro'J-: -[,0'o - lo'-!Ll cm'J cm) L
Apai:rla suatu (luks magnet homogcn sebesar 1 Wb menembus secara tegak lurus sebuah daerah seluas 1 m:, maka incluksi magDet adalah 1 T. 2tr3
(
TE KNI K LISTR I K lstilah umum lanjutan dari S 3 tnduktansi L
TEKNI K LISTRIK
Sa
Sifat dasar 3irkuit lirtrik
L
- r+= r+
(lihat s
s20
1)
323
Kekuatan medan magnet H
tl=B Satuan: A/m; A/cm;
s24
lo lJr
Fi di
kuit magnet:
Hukum Ohm Arus melalui sebuah perlawanan:
H;
t.
ZE = r
17
n = l-lA
s26 :,
F = n,oIr *q(+
s27
Reluktansi S dari sebuah seksi homogen sirkuit magnet:
Pemanasan
dengan Hukum Ohm \ ^ r I ekuivalen s=7 I untuk sirkuit-sirkuit magnet i Satuan: 1 I H : = AlVs ; (Lilitan Ampere/Wb)
2ooc
:l l
( ( (
^9
(
)]
listrik sebuah massa rn
suhu (tihat ZZll perubahan suhu g r: konduktivitas (lihat Z 21 ) d,9: r I waktu (lihat Z 21 ) Rto ; resistansi pada 9: resistivitas panas spesifik (lihat Zt _ 4 c: 3= 2OoC a: ef isiensi o2l laniutan di S 6 a'.
I
254
suhu
Y!lr1 - caAJ.
t
Untuk simbol lihat S 16
I, -l
= -ltA
Resistansi P suatu pengantar pada (dalam oC)
il i
E18
Pr-
r--D---r ,
(tihariusas6)
Resistansi R suatu pengantar
l;
Di sini /; adalah panjang seksi ini.
r.+
s25
dalam sebuah seksi ke-i sebuah slr
F,=
s t6
ng berhadaoan
R>O).
= NI.
Satuan: A; kA; mA (Lilitan Ampere)
Gaya magnelomotit
yang sama
Panah-panah yang melukiskan keadaan iatuh-tegangan antara kedua ujung sebuah perlawanan dan arus yang menyebabkannya, selalu harus ditentukan dalam arah yang sama (seperti
Gaya magn€tomotil F
f
tidak di ketahui
Ketentuan khusus
A/mm; {Lilitan Ampere/m)
315
Arah arus dan arah panah iq"n"r"to. -*. melukiskan arus-arus positif pada fftb}-* Arah selisih potensial dsn arah I panah selalu melukiskan tegangan positif Arah panah yang melukiskan arus atau tegangan di mana perhitungan mengdi mana fungsi menentuhasilkan suatu nilai, arah elemen (genekan arah positif I negatif rator atau beban) panah mengenai panah arus maupun polaritas atau
s22
,H=rf=tf
r14
Arah arus, togangsn dilukiskan dcngan panah -
s2l
Di sini / adalah arus yang mengalir melalui sebuah kumparan dengan /V lilitan dan Q adalah fluks magnet yang berada di dalam kumparan ini. Satuan H (henrY); mH 1 H adalah induktansi sebuah ierat tertutup yang terdiri atas 1 putaran yang, apabila ditempatkan di dalam vakum dan dilalui oleh arus 1 A. mengurung f luks magnet 1 Wb.
s
Ss
Sirkuit listrik
(
koef isien
_
(
2s5
d
1
TEKNIK LISTRIK
TEKNIK LISTRIK
So
Kombinasi perlawanan lanjutan dari S 5 Hukum Kirchoff I Jumlah aliabar dari semua arus yang
Rangkaian seri Jumlah resistansi rg (sesuai dengan s 26)
memasuki sebuah titik cabang lnode'. baca: noodl adalah nol.
EI
s29
Lrl srnl arus-arus
r
pada umumnya:
0
I
lvanq n
asu k
I
llyang .e- luar I
s30
Rr ' Rr
Pembagian arus
Arus-arus bagian dari 2 perlawanan yang dihubungkan paralel :
o, , . G = ' Kirchoff ll
rr '' ',
G,
R.
Rr +
Rr
Hukum Jumlah aliabar dari semua tegangan
yang mengelilingi
suatu
rangkaian
tertutup (ierat) adalah nol. s32
tv
=
0
Di sini tegangan'tegangan yang ber' jalan keliling sesuai dengan (berla'
s33
\:V2:l/1
= Rr:Rz:Rr
Pembagi tegangan
Teqangan'tegangan bagian yang me' liniang Pada 2 Perlawanan Yang dihubungkan seli:
s34 256
'
ra
C'.Gz
,,
Et Rr+Rr
I
s36
untuk n resistansi Rs = nR
L-grJ
s
ltll
-Rp
37
Gp = Ct. Gz, Gl+
-
vr_
I
Rzl
yor
-
untuk
I
nP ^ " s
3
RrRrn!
F,
k n perlawan-
an yang sama
F;;T;&-;E?;
,^
-a I
40
nC
Suatu rangkaian kombinasi dari beberapa perlawanan yang dike" tahui nilainya terbagi dalam rangkaian seri dan paralel yang mengarah ke luar. Masing-masing rangkaian diubah secara terpisah untuk dapat dikombinasikan kembali dengan mudah, misalnya:
o
!:_ Rrl
r{T:lC-r
Jt' , -l l.aRrPrl
Vz
r{---H--}r o'-[
I '',
2
Rangkaian kombinasi
v,
Vr
- -.fr-.; *fr
beberapa perlawanan
]jR,
--G-
= d. E. E.
untuk
,Lb+,L v, + y^
-
I
Jumlah resistansi P (sesuai dengan s 30) pada umumnya:
r,-il_{-8iJ-
.
*&i1--
yang sama:
Rangkaian paralel
s38
16&-1,
v2
I
Ps
-E.L ]_ea].l
wanan dengan) arah panah dianggaP ,, . votpositif (negatifl. Perbandingan tegangan Apabila beberapa perlawanan dihubungkan seri, perbandingan tegangan-tegangan bagian adalah sama dengan perbandingan perlawanan'perlawanannYa maslng'masln9.
& = R1+R2+Pr. ..
O
I positif fneratli--]
node
Apabila beberapa perlawanan dihubungkan paralel. maka seluruh arus dan arus-arus bagian berbanding terbalik dengan perlawanannya masinglll Rr'
.\
-h -Iz-I t'
diunggup
Perbandingan arus
masrng. I I'. 11 :12:11 = a:
Sz
Kombinasi rangkaian resistansi
s42
'r = ,=
s 4:l
v-
s
41
Rt+R'
,,
RrRz+ RrRl+ R2Ry'
R' R1R2+
,,
RrR1. R2R1'
R'R, ,, ' = RtRz+R1R1+R2Ry'
d
,d
d
,rr
TEKNIK LISTRIK
TEKNIK LISTRIK
Ds
Jaringan listrik
ls'
Jaringan listrik
P.ny.Lrhn Jrhgm th..r
Pcngsunaan
Urilrn: Ada cararars khusus ysng momungkinkan perhitungan togangsn-tegangan
tcorc-a
**frIiillllllillll!'
rrtc*i.,
Il,ll,_ylp::y,gesan
r,,ri""lny. "o-" oi-hrl ganr ) dm arusp
rnirr rJsniluns
ii;l ir]iffi-.."p"t
tcslnsanvr,,yans.metintani reistanei R dt dangsn nrdggantikan sisa dari isringan itu Oengan ""b;;;JUu"h %y.ng ekuivalon dan resistansiRi.
dan arus-arus di dalam sustu isringan yang lobih mudah daripsda iala atau sotumpuk analisa, misalnya:
Pcnggunro Tcorom Superporb[ Dalam suEtu ja]ingan umum, masukkanlah semua tegangsnlldan arus2)ke dalam jaringan itu dengan baik, hitunglah tegangan' tegsngsn dan arus-on. yrng ditimbulkan oleh masing-masing sumber yang be-
;r.-ilr-t"g"rrgm -"'Er 'q
korja sendiri.
.
SumbeBumbor tsgsngsn yang tsrsisa meniadi hubungan-pondsk' o Sumber-sumber arus yang tersisa msnisdi hubungan-tsrbuka' Penyelesaien seluruhnya adalah iumlah dari penyslossisn-ponyolesaian bagian ini. Prosedur umum untuk rrnghiturE Vrdi dalam sustu islimul unrum dengan rnm sumbsr-sumber ann ;o ... In: r: sumbor-sumber tegangon fzo
... 4
s44
"=.ZZ'I:Z!,1i I
Csra untuk menghitung
el'. :t?J?-lQ,
-J::i:,:,';;j;,,,:*r. {il$4%'ft s46 s47
V,=
dimana,yo...7, V, = /r6,,dimana lo... Ip Vxoo,
Contoh:
t,,
= =
0,denganrVo= Q,dan 0, dengan /O= 0, dan
Catatan: Apabila f,1 diketahui, m.aka ydepat dihitung dongan I.cadarah vane'ffi;?;; biramana fetf:1{fl?0,,"t(."i.
,*
Io ... I, =
0
OlBh karena itu:
=
O
v, =
Vo --.V"
Ri d8n l,i:
Lepaakan cabang 1ytr, dari jaringan itu. R1 rdalah rosistansi antars A dan A,. yrldal8h tegangsn pada AA,
Contoh:
.'
\
^,' *n,= l*n,
'rus
n*, = ,""ijE+,.
Rr
ffir.
Jaringan-jaringan ekuivllcn
=
= intuk
d
oo Vo+o1v1+bo Io Vroo+Vro1+Vr6o
a
menghitung tiap penyelesaian bsgian:
Vo*O; Vr=Q; 1o=0 lVo=g' Vr*O; lo=0lyo=0; yr =0;
Si*uit
,""=f*ft*4
ekuivalen
i.n ?rn ^sl* r-L-l=-
K",
=
Xl'ri-
.. v, v,ot = F1'I- fi
Rr' fl2' R
Tcgangan vang dipedukan (lhat s tl8) ,,
''' ,, - kcorangan lilrtS 9
258
Vr. =
1
R1' R2' R
(f
.
t.
Yxbo
-
I
r.--iRr' Ri R
r")ir*-;ifr;i77 hniutan di S 9
Ongen mmer
eerkln ! 52:
Ol6h klrcna
(
itu: I,i = /rcRi
lz _'x
lihat hasit
S8,s51
l(eterangan:
,r" ?" oo...h l)
I I
I arus_arus i
rel8tor didalam jaringan
]rnber teganganl dong&r
4 &mb€r
(
koefisien ltegangan"tegrngan|,Vrng ditemukan oloh rosistor_
arus |
rrsistrnsi dalsm (intsmsl rosistrncs)
d 2s9
i
TEKNIK LISTRIK
TEKNIK LISTRIK
Kombinasi rangkaian perlawanan
Kombinasi rangkaian perlawanan PcnersDan daLm p.ngukurln lirtrik
Psmindahan d87i suatu sirkuit sogitigs (deltal ke sirkuit bintang (star) dan sebaliknya
Mempcrtcrar langtauan rcboch Volt-nl.tcr
vl Rv
McmpaTtct& ilngkauan rcbuah Am-motol
Ru
Rtt
[,:
jul&q' ll.jl,o Rro
+ Rro'Rro
RrorR20-{ nrcxRto + R2orRlo Rru n1o"
nzo l n rR
+
f(?o, R
Rro
=
Rro
=
=
o,,'4;7;
lelshdhora(kalibra.ildil9ngksd
R1 Rv+ Rt Rv
n
s62
drn karona
itu
( (
of;
R,
&mbttlll Wh.ltrtonc dlgunlkrn r-agnl dcmm uuma
(
Dl dalam berbagai ienis olat ukur, jombatan Wheatsrono bokoria ssbagai, pomb.nding untuk mengovElua8i solisih-selisih tegangan.
Rr : perlawanan peraba (sensorl,
perubahan-perubshEnnya
:
(
dalah sebending dengan quan-
tita. x
yang hErur diukur
(misalnya suhu, jerak, 8udut dan L
r.bagsirrya),
la lnirailor
(
.'ntur.nr 'rl
Hubungan yeng rrrndekati berlatu
untuk ,QM
26a
_.__
Rx R
Untuk penerapannva, di mans I/v harus kira-kirasebanding dsng€n J, kondisi Rv > 10 (R1 1. R2) haruslah dipenuhi.
iarak konrak geser dsri kedudukan nol
V
trl
Maka
-=lr!r--
s :
de- o<_, -_,
ngen ;rnunjuk ekala al(l<). Ko.t8k 96r t8l8h distol, hingga srus detektor rB menjadi nol.
nt!+Rt2+Rrl
yang Pembagi potensial digunakan untuk mendapatkan t{gangan-tegangan lebih rendah.
r
RN
bclum dikotahul Sebuah iembatan Whcrtstone ienis kawst-gos6r dspat digunakrn untuk pengukuran resistansirssistsnsi antsra 0,1 dan 1 Oc ohm. Kawat gesr yang
R2t{Rr2+Rt! -tlllr_ R,r,E,r
Pombagai Potensisl
R7
ffi
J.mbrbn Whc.trrona untuk pangukuran resistanriRxyang
s61
,/?1
oui^,iir-.i',i-.,
Rrr, R,:
nto
Rro
=
:
fy - zlR -
x
porlawanan dslsmsni p€ngukurEn
itul
d
TEKNIK TISTRIK Krplslt.nsl
TEKNIK TISTRIK
Srz
Medan listrik
Srs
Aturan elektro-magnot
C dsri sebush kondsnsator
Pamularn ld.fl.l(tll l!rum mlgnct Kutub U sobuah iarum magnot ditsrik ol6h kutub S sobuah m8gnat dan ditolak oleh kutub U sebuah magnot.
eoerA o
Panglnttr tctlp dln kurnparan Kuantlor ll.trlk
Q (lih8t s 8)
Flukr mrgnct m.ngurung a.bulh p.ng[nt!,
yc
bJdl]rn lbtrlk
Andaikata sebuah pencabut gabus diulir ks arah arus, maka arah putarannya akan menuniukkan arah garis-garis fluks magnet
Ur!h! Llltdk lyc yrng tcrtlmpan d!l!m tncdsn llrtrik cv1
Fl*r
yang dlhubungkan parCcl
llstrlk
itu.
bertambah. C2
magnct dl dlhm lcbulh lump.6n b.6ltran
Andaik8ta sebuah pencabut gabus dipular ssarah dongsn arus yang mglalui kumparan, maka arah gerakan 6ksialnva 6kan menuniukkan arah garis-garis lluks matnet yang melat;i ku.purun
Apabila ada penambahan kondensator dalam rangkaian paralel, maka jumlah kapasitansi C C1
-& fl:::F ._l---i.-1\::--
, F,
Pcnglntrr dan lumpa:an ylng drplt bcrgarak
373 Pongantar-pengant.i psralcl
foodan$iolkon-dciartor ylng dihubungkan red
Apabila ada penambahan kondensator dalm rangkaian seri, maka jumlah kapasitansi C berkurans jl_f
Dua buah pengantar paralel yang beraliran listrik dengan arah *l sama akan saling larik menarik. Apabila alirannya itu bertolakb€lakang arahnys, maka mereka akan salinq menolak.
c, C, CJ i_--ll--s74
Kaparitansi dari dua buah silindcr kosksisl
n
rr : pormitivitss rolstil s69 so : pormhivitas absolut t : d6or8h p6lat (satu sisi) o : kotsbalrn dioloklrike r, : radius silindor dalsm 12 : radius sili4der lual I : paniang silinder
262
msnolak.
,^- c--L 'tnI!
llnrn (gonorsior) Apabila ibu jari msnuniuk ke arah fluks magnot dan iari tenoah ke arah gerakan, maka iari telunjuk ke arah aliran arus. Aturan Tangcn
llthat Z 221 ro =
I
85
x 'lO
r2A
y(v
m)
s76
Aluran Trng.n liri (moror) Apsbils ibu jari monuniuk ko arah ,luks magnel d6n jari tolunjuk ke arah aliran arus, mska rari tengah monuniuk ke arah Oerakan.
A,
^/
EL, Mcrln
ll
(
rR Dua buch lump.?!n ylng..ltng bcrhadapan Apabila dua buah kumparan yang ssting berhadapan beraliran | listrik dengan arah sama, maka mereka akan salino monarik: dan - E[, rf=t apabila atiiannya bertotak b€takang arannya, mati -erer;;i;; salins
I
\ / l* 7J I\
( (
p i H 263
a
d
TEKIIIK LISTRIK
TEKNIK LISTRIK
Medan magnot
Kulnth!! llrkuli mrgnat Fluks
mrdx
NI
F
o
(tihatiugas 1l)
R^
s
I R=O=lrltol! "A
lnduksi magnot (kerapatan flukrl
s78 lnduktansi L
s79
L=N+
(lihat juga
s
l(ckurtrn mcdln mlgn
lL
{;
(lih8t jusa s 13)
(gaya pombust magnet) t
(lih8r
i
iug. S
14)
(lih6tiug8st5)
NT
H; li B.auki.nal
(lihst iuga s 16)
,5
(lihat iugs s 18)
s83 En s85
Ea
Wm
ylng tcrrimprn dchm rcbuah mcdln mlgnct
,^=
benllnn
A
lltrrl
lnnelnE
4 = ett
)tf
)N1q,=
+ -lI*
t; = **,*, O : fluks
+
B=*
p6r kutub Trgnngon lndukd y| (hukum induksi) Apabila ssbuah kumparsn dsngan N lilitan dan perlawananRt dltembus oleh fluks magnet O yo4g borubah dangan waktu suatu tegangan sirkuit-tgrbuka
vi =
fi
s82
srah fluks magnot timbul sustu g8y! ragang
F5:r ?_ , =!dl = z_i;
Apabila digunakan pada rotor dari sebuah masin DC maks momen menjadi:
G!y! megn tomotlt .F
-.
Drllm
S6buah pengantsr yang boralirrn arus I sepaniang badannya I berhadapan dengan sebuah gaya-lintang lt1 tegak-lurus pada garis-garis fluks magnet:
tfr'.
n-B=1.' llr lto
Gaya magnctomodl
gtrYlirymy!
Gaya-goya Fr yang bckula padr acfuah 12)
Untuk msnghitung L lihat juga s 140 sampai dongan s 146
f
tnagn t dm
F5 yang bcf.ri. d rni!'! kutub-kutub m.gnct
m8gnot A
an
Srs
Medan magnet
iv
*?
(lihat iusa
s
1
I
mslintang pada iopitan-iopitannya. Tegangan ini akan menyebabkan arus meng!lir m8lalui sobuah perlawanan beban luarRv. togangan yang diinduksikan oloh gsrak hantaran Putaran stator outaran tegak lurus generator -'-"---da pada fluks O dalam mod8n magnet
iorat II 'o"norni"r.... '-
v; = Blo
u1P*rt sln(of Ohd, = ldB
Vi =
)
v; =
onz! ldB 2r.a =2P u
fttb boco: tI\ Sebagian dari iumlah tluks magnet
!p
bocor molalui udara dan karona ilu
hilang untuk 6fek ysne diharapkan.Ol momiliki hubungan dongan lluks yang dapat digunakan Ou. Katent itu,
koelisien boco, adalah: 6 Untuk simbol-simbol lihat s
l6
O Ou
tlul! totsl lluks berguna
(
)
Tcgmgra Vr tarona lndukrl{lrl untuk simbol-simbol lihat S 18
q = L,da,tdt Lsniutan pada hrlsmsn S 16
( (
I
a
il TEKNIK LISTRIK Tcrminologi umum bcrtalten dcngpa
TEKNIK LISTRTK
Sro
Arus bolak-balik (AC)
Arus bolak-balik
Dalam diagram-diagram vektor kadang-kadang digunakan panah-panah un' jarum lon' tuk manuiiukkan sudur lasa. Di sini panah yang melswsn arah cang dianjgap positil, dan pansh ysng searah disnggap negatil'
r \ 4-/ -t_f,l l-\_ I
tgca.ran frrr, oudut lala qr Apabila dalam sarkuit arus bolak-balik tordapat borbagai macam beban (resistansi, induktansi d8n/€tau kapasitansi), maka ;kan imbul suatu porgeseran fasa antara arus dan tegangan.
pengortian sudut fasa
- e, = 360' e, = ez
s,
ylr/
=
o di.grem v.ktd
Nilai puncak (lihat juga s |) Arus i dan tegangan il srus bolakbalik secara periodik berubah-ubah dengan waklu, umunnya 8ocara sinusoidal. Nilai maksimum f (6n 6 disebut nilai-nilai puncak. Pada ire-
kuensisudut
o=2tI
tutl
,su-
dut yang dijangkau dalam wakiu !, o
r,
adalah;
s98
-+
0 sin(o I ) Fakror
2nfa
a = ul
s
100
arusadalah
i = 0 eln(ot) teganganadalah u = 0 sln(ol)
sin
{
=
u s Ln a
= root-mean-squarol praktis dan pada umumNilai-nilai ini digunakan untuk perhitungan secars nva dituniukkan dengan meter untuk gelombang sinus s8car8 umum
-- Ielf
tt{;
V=Veff Dengan nilai-nilai ini hubungan P
balik, apabila cos
I = Illihat
--
y
I
I
I
= Iclt
E
Vell
T u
dapaliuga digunaksn untuk arus bolak
s 105) lanjut8n di S 17
266
-
? atn(ut
e)
6, rudut-rug[ 6
Di sini f, adalah nilai puncak energi yang torsimpan dalam sirkuit dan tVyp adalah snergi-rugi yang mony6bar sslama sstu periodo. Kebalikan dari
taktq O dissbur faktor
(
:
e = zti lvt,
a
=
llilai.nilai (rms
I
Ot hor parcdlm tln
i
Faktor O sebuah sirkuit tal6h ditentukan olsh
Seiak mulai saat ini
s99
s,,
laniutan dsri S 16
Pcngonian ludut tara
Contoh:
I
d*uh uur boltk-Mll
persdam
( (
Fr[cmr, doar untul rut boLl-bdt l!.. txlg[d Z
8
',|10
s
lll
112 Arus mslalui impedansi
I=
s
113
Rsaktanii
x
3
114
I
115
Daya sktif Daya reakril
8
116 Days s€mu
s
117
118
P
e
s cos I
Faktor day! Fluke magnol bolak-balik\ dalam gebuah kumparan J
o
c 6
8
zEl^9
l/Icoag = 1'P VIslag ' 12x y;,.e VI P
YI
-l I I
5c o E E
s
f E J
$B
o
I lt p 2 Rp
EE
I L
s6
I B
I
'sh
€E *$ -EE
.II-
TP >E
). :-
lsuktansi
dalam sirkuit skuivalon
dari kumparan Penghambat (chokel
i
E
$
bo a
I
s
to
a
""h
*
-EE
-El
T
L w frr rft
roi
.E
{'. la tE
g ts
--6
tE5 I
120
n
I
TT 3 121
EI
-lB
-t3
t
$e
558, s 122
l
B
rI I
(
\
.fl1-"1
s
123
el;sE ifEE ,121
d
c
d
*
'x
E!
!
",1't
I l.l
,'$
I'
o c
E o 4
e'
{'.
*T
C
fsl
*sl
=l'"
E
*ls
:O
3
No,
268
I
E c a
5
6
(rro=4rxlo-7Vs/Am)
untuk vakum, gas, fluida, dan kobanyakan untuk bahan-b;han magnstir ambillah Ir dati Z 23 iumlah rute paralel mglalui gulun!8n psniang 8irkuit magnit iumlah lilitsn kumparan iumlah paaangan kutub iumlah Penganor resistansi dalam rirkuit ekuivalen
N
B 6
yang digunakan pado halaman S 1 5:
zat Padd:'4 = l'
It
k
t
b >3
S
i
irrp.r"n
.l
,1
P
o
Jfu
l+
t o
i N
*
FF
12z
induksi-diri) Bilamana Suatu !ru8 yang mengalir melalui sebuah kumparan berubar oleh srus itu iuga aenoan wattu, maks medan magnot ysng dirimbglkan yl diinduksikan di dalam o"ngan demikian sebush rogangan "i"iLtru"tt. itr. Arihnya adalah sedemikian rupa, sehingga .ia sslalu (hukum Lenz)' berlawanan dengan arus yang bsrubah tsrus-manorus
pormoabilitss relstif
$3
I
x'
q i N
8.
t 96 ( Vi karena
permoabilit8 absplut
8
_ '13l<,
V
€at
Lrnlutro
f,o.rpoartrrrli-lri d.n paraLa rng brr*rl rur to[t* -li
IZ
s
s
ll
s
lihat S 19 dan S 2O
Y = t/z Tegangan molintasa imp€dansi
IO
lg19
Arusbotak-batik
Arus bolak-balik
lmp€d8nti
TISTRIK
TEKNIK
TEKNIK LISTRIK
125
269
d
TEKNIK
Iq lO20 Ir
LISTRIK
Arusbolak-balik Gr,ana"'t s-.t, +
Sltitt'md lo-U3 .-l{lt, ,
lb
-l"l
lF" -ll+
tt
c
!
a
o o
E5
_o_
",";3 Ei;€
E
cb
E
lc
c!-
l6n:
l:
= l9r h
F.
E-
b= l.:z!99
V
gi
6>
o I
lB33= E*a le >o loJ
-@
F. ;o
l6o 'E C:
c .g
E:g rQ=:EEE EEEE EE
=!
s '126
134
s
'135
s s
136
arus pada 16gonansi
137
E
u
s ,38 s
faktor e
o
I
or'4c =
I
, =V RR at Vb=ft-Vr=g .9 =O
al f5=t-16=q 9=O
,r" L*c =
c*'+P=a t"ror={
r"
tffi l5E-s; l5E.:iE
s
141
regonSnSi
c
=
EEE€c €6cqb gE o_ .€E+<
E
o
E5E€
EEgEE s 127
lJ!3
.t!
:3. E€ '; oE -h9 '=
EEE. s 128
E
9Ea IESHE:
o-9E rs 6 o'b
6
a ! c
lii=PaE
c E€ lz{ dc > EEiE IE."EsH
.E E
s129 I
s130/131
tan Or=
I
fi
u"C
Rp
tts
!
+,i,*
RP Qp = u,CRp= ur I+
perioda
140
I*t o6 o.-! {;>--! E opc
ft
+=d=\y
J00. to6 n
s
E E
|6 -',"
=
#=
o
sudut-rugi 6 dari
Ig
\=
v6
139
Ildoh 6 .'?i; 6.4 _
o
c A !
s
vt= urLp -
133
paniang gelombang
D
fir
132
E'
IERE6 33 I O_ f I o o
E
s s
lL
-tp
coY
I
e!5== =93s.
diagram veRtor
pads rssonansi
E
B
€=5 BE: 6 E:
b
pnralel
lihat s 127
6 Ei{*l Pfo-
B
ov
-o ^v
b E
Jl
; sirkuh resonansi
+l q{QC ln oo e{
o
z !
"8
seri
t -ll*" -J el",
E
&
o\
,
!-l
x
o B
a
3
3
l[rs-
lls
-
o c
.elj
.I
[.*
6
b
- z nVGe
Pc'lnglr.p e.lomblng lw.vc tr.pl
Sobuah sirkuit rosonansi poralel memiliki impedansi maksimumnya .261r pada frokuensi resonansinya. Karena itu i8 bekeda sebagai reiektor (iht penolak) untuk srus-aru8 pada frokuerEi ini.
266, = Pp
=
lihat S 18
r-
v omqt
-
271
d
d
d d
d
d]
TEKNIK LISTRIK
TEKNIK LISTRIK
Szz
Arus bolak-balik Jsnbattr arul bohlt-bdl
menetapkan k8plshansi Jombstan arus bolsk-bslik (AC) digunakan untuk variabel,Czdan
s
kondensator ilirffi;fiffi u;t r ttrlnu,a r"ilmuangan' bu;nvi.di dalsm kortolepon K vans lll#.li,l" iliit*nii"r"t, itus"ttings" minimum atau men;;;r-;;;i;;#i"nl tena"n t"ncapaikokerasan tersantung dari trekuensi'
ilii'iliffi:'$;fiiil"ritGiii't
15O
!
i"i tidlk
a
In&kJ L darl lrnpodand dan rcdcrrn.i ffrghlu.lg L d.rl lmgcdx.t d.n rr.hnd Ali*rnlah arus bolak-balik (, = ltA * 3 Nmm\ drn
s l5t
I
pongukuran
krplaita8
Szs
Arus bolak-balik
rnoLlui s.buah kumparan ukurlah tegangan iepit V, arus J, daya aktif p..
, =I t
imoedanri
L
152
induktansi
Hrltrngnn
L
rssistansi
a=S
=*W3
untlk kutnpa.ln totoldtl
7 = lh!-tf2t 1n'"' rr I
PlhhungmZ untul kumplran p.r!.gi cmpat angker harus bsrbsntuk bulat
induktansi
143
cx
ffo
L,
s l,l,l
Rx
ffa,
Rr
s
s
tan di,
145
Rx @Cx
tan
61
C2 Re
Ra
Rr R. Rt
s
154
,ou1niffi
I
155
>t
1ss -o-
Rr
=
@Lr
Fmffian lmo..hd yurg tldd( fl(.tlhi
Lg";;;.,ii"i"
s
deng8n ca]a. mongukur tsggnganreoua u]ung impedansi itu dan perlawanan-bantu:
Pnz
s l,u
cos 9z
!!!z V, I
z
7-
148
s
I'19
pilihl8h p€rlaw8nan-bantu R sohingga Ve
= lVrl
II ,,....
4 ,
inJuttansi
Rr
resistansi at8u kumpsran stau kondensator yang tidak dik8tatul (calibratedl kap8shansi variabel yang ditetspkan nilainya
C2
z )1)
vz.
y"nitia"t dikeiahui
il'lE' 7u
pH
d
nilsi-nilai menjadi tidak ropat
IFH = to-oJe
!1*l:vi 2R
146
s
E3
n
pH
perlawanan-oerlawanan
s
157
s
158
yan{
diketrhui
imfedansi linduktif atau kapasitif) yang tidak dikotsrri
d
o : t6bol gulungan ,l : ponamp8ng lanteng kswat D : lebar kumpsrsn do: diamotor luu dlri kawat d8n isolssi D t dismotor ratr-rata dad kumparah t6 : ponlang bagian dalam gulungan sngkor lD : prnitng rat!-ratr gulungan angko (16 = to+ n al f : iumlah liliten r, 3 keliling pooampong-lintang kumperan a : perbandingan a:I , : tingkrt pongenduran tittunlititan (t = ;*)
d d 273
d
dI
TEKTIIIK LISTRIK
Szc
Arus bolak-balik Itunrpren nuGmtgnct dcngm lrduktrnrl
l(umorin fr.l(u.n.l
t .t.ntu L
Hht ?rttt
Kmp.t l lhrlr-rrnrrcn lt.
dng0a
sisa sif8t magnei dari ksraparsn ftuks filfatr oKsn tatap tinggi di dalam
!.u
,rrr
ruttan di gini;
s s
159 160
>1
(*);"' (*)''"'
=
+ (,")'eJ
=
+ [9 (f)
r
ot'
do
u
,VT
9"Yo
aotr+al@
s s s
=
---_-\ - renao'); lf"'
163
Pcrtttungm fumbh lffitri Dad
s
164
s
165
:"H:,lif :i;,i";#H::fl ili:,f, ffi l:"'^#,-1il:i::'ffi nh
il
162
o
=t-"
fl=
do' RA
lunTrfl rclrrrnd
ffi@
referensi dengan No lilitan pada posisi nffi yang bordekat8n molingkar inti bosi ter -'-'--' tutup. Borikan sitat magnor kspada inti itl dsngan momasang teg8ng.n bolak-balik peda kumparan p€mbuet magnot No. Ukurlah tegangsn yx dsn yo dongan voh . I ry*
*,n
rfomititi rmpsoa,sitinssr.
tx
- uft
Untuk k8taronesn simbol lihrt S 23
wYr.
t68
Pru= lrl
=
u'rVvrl
(
Arur-kbcr
ob
Letakkan kumparan dcngan Nx lilitsn yang tidsk dikrtlhui dan kumptran
il:l"J
;
/vdrl r.oolh kumpl,rn
et^ P*rggunon
1.""fi
Olya hlrtcrcda Pvlt
prrunprngrlnt&g
Drl nrbtand
274
(Coercive force)
Ut hr hbr.ra.b lytl
D=u,
p
l61
p"brrt
inti bosi, setolsh kedicsbut.
f/
*',",H:*'i,'J*""8;::r';:,1"*ilryx'"Tmonsuransi
lumparn lrc*ucnrl rcndlh Misalkan'
modan maonet luar
htib..t
/ I f-*-l 4 I I r1*1
vr.l-t-rt/ (il11r.
Menurut hukum induksi teglngan-tegangan bolak-balik juga diinduksikan or oaram s€buah inti besi. Tergantung dsri rssistivitas intibesi itu, maka tegang€n-tegrngan ini monimbulkan lrus-arus induksi yang disebur arus kisar. Arus kirar ini diusahakan sekocit mungkin dsnjanliri f"iin'""i finti dibuat dongan lembaran-lembaran besi tipislang lainnya).
(cargrhn-tcnrghn
di-isol".i*,ii,
"",,
o"n
hd (krugba_kcruglrn b.rll
(crugNarkcnrghn tnd p.r mlal. unftpFe Korugian ini 8da-rsh g€bungan kerugian-kirugian hirtorosis dan arus-kisar per mass_a_unit. Mereka diukur padr induksi puncak d=t O io .t.u l, 5 T.=. 1 5 kG dan pada f rekuensi/ 5O Hz dan ierigdian = masin-g;naeing ditandsi dongan p l.n stsu pt.6 Unruk nir"i-niiai ilili'i'i-+.""'
f='i
Totd kcuglon
p..
LIdj
P,, nFa: mac8! 6"r;;nr;
[i'
= P"(*^+")a,.(r+r)
^'"
ro'!"I'!l8ik
mcnombus pinssiran dan sebagai-
275
d
d
d d
-d
,d )/
TEKNIK LISTRTK
TEKNIK LISTRIK Arus bolak-balik
istitsh-istitah vari.si kotersanturgaftarus,
Gffi;;i;;ffi;
,
170
s
171
imo6dansi '
s
172
induktansi
zo
LR
=
ttf(r-r",tj.
rssistansi,kumparrn Rnryang tir Dalem perhitungan kasar Lp abaikanlsh hu' RR i"I-olI[nui. rS"tolsh p€ngukuran kumparan ponghrmbstlchoko) iir"iinii, ii^ zarpat diteniukan dengan tepst' Poriksalah dongan rumu8
,, = -?'
'&
dan apabila perlu, ulangilah cara p€nontuan tadi' mprran pcnghambet dlngEn hduktrnd kon3im ttnpr lnd una"ngan S 21. Tentukanlah sebelumnya sombarsngnilai u[ur"n.".,iri -
;J:'
;i;"' il;;i'-"^
iiilv" trr"lg ."-."i"i, ir.p"t"n pinghambat
i",oioi tt"' p /u (kumpsran lurusl'.Apabila ha,r"ngir"h cara bckoris-ini' Tentukanlah rosistansi hu sssuai dengan s 26'
lnd bcC fumpllcn pcnghlmbal dcngm hrdutlrnsl lott'tryrng mcmlllkl untuk bellunggi lnti bosi torulama menoarahkan lluks magnot dan harul colah -"nirtur,rn r.blnYak mungkin uCari tunssal 6,. Celah-celah ini hatus Jii"i arnoii lapiian-lapisan isolssi yang i"nianon-va ridak boloh lobih dari 1 cm' 6r"" irrgn"to.otoris yang diporlukon
m-e.ueri magnot koPada inti ii"-Urif"n- Niltlnilsi puncsk H dcn I diounakan untuk pcthitung8n-p't;h";;". Pcrubahan induhlnsi' Ln
Jiirr'
J"-p.,ioiny.,rr"n dsngrn islilth-istilah i.li"ii- rlr"tgrntung0n-arus ralstil maksimum dsri induktansi'
276
laniutan di S 27
r1
s
177
s
178
s
179
s s
180
s
182
flre
mbilsh riFe daristandarstt
s 175 s 176
tmruku d da
DdGn0sn
z{re=0.9a5*Ar"' Ar' = ob
r rc"(o+b)l[,lt=
oO
r 5(o + b)d,]
(
181
d
Kumptan icnb lnl mcmlllkl rebuah lnti bosi tsnp! adanya calah udarr Kumparan hanya digunakan untuk keperluan-keperluan khusus, misalnya sebagai sebuah penguat magnet.
( :
Koefisien dari kumparan penghambat 0.24 cm.NA untuk kumparen dcngan pgndinginen udara baoian inti tihat S 26 0.lS cm4/vAuntuk kumparan minyal untuk bagian inti EEI tingkatkan nitai dongan 75% ket8pStan arus pendahuluan untuk kumparan dengsn psndingin udara -- 2 Nmml untuk kumparan minyak /'60 . . . ,t Ay'mm2 induksi inti (smbil kira-kira ... 1.2 T) kekuaten medan di dalbm inri berksitan dengan 866 yang harus diambil dori Z 23 sesuai dengan bahsn yano digunakan.' lumlah cslah udara tunggsl, psningkfian mengurangi fluks yang nyasar
=
tI
-
J,, €r.:: n :
I/r. gutqye diD,git& geda kdu, krki
,"rsrrrlllioila'r1l"t"?.u
,r=Elr,rlol -il..€rd', -!,= h 9, ii"lt.uolr
l*="' s
rchtif
Bilomana 91 , 9, .* ' ulangileh pangukuran dongan /Fc yEng lebih b6ar don Bre. yang lebih kecil pada perkatian yang tak beruboh 7 Fc x .Fcngukuran. Ditontukan: LR, /, gtrequ, VLefi atau /sft, rnaka
uo:-lP.!
kumParan I Penohambat I sirkuit soluruhnya
l!:1
Arus bolak-balik
(umParan Pcnghambrt pcnurun. pilghlmb.t dlgun.krn Xump.ren "-ir"pi,a:"l"ioigunaran'aatam untuk lmp'dlnd sif, uii."t-uor"i'uitit untuk monutunksn bslsstistrir rmeniiJ uerniGi.rv uagisuatu beban tak iii-trr""tir" ii.Jr dengan kerugian-ksrugian minimsl'
l'
(strry flux)
Rcu: rasistanri gulungan sesuai
P" :
lF":
i
dengan s 26 resistand kumparan termasuk kerugian-kerugian inti(RR 1.3 ncu) paniang yang diperkenankan dsri ialan magnot molalui bosi
-
27-t
d
d d
,d
d)
TEKNIK LISTRIK
TEKNIK LISTRIK
Szs
Arus bolak-balik
Arus bolak-balik
s,,
laniuran dari s 26
Trandormrtor
PmLpan FnL
I
fcrughn-l.rugarn icmbcge Pcu dm polrguku;t hrhr.rg.n pcrd€f.
gulun1an cera membedakan dengan lun0si di dalam sirkuit (arah p€mindahan d8y8) dari gulungan
gulunoan ujung atos
uiung I
diperlemnktn
s
183
days yang
s
'184
psrbandingsn tr8nsformssi
SN
t nominsl I
/rr,
, frr
v,u
/vro
= l/zr' frr = Iil /Ia
V2;q adaYano dimaksud rlengan togsngan sskunder yang diperkenenkan ;i,nie, 1ii[- l"zo), sirkuit-tsrbuka, bukan vrns .da t;;i[;il;;
s
186
pads boban nominal. K.ruglan-k6ruglln lntl /'66 dan pengukuran littult-lorbuka
s
Iro
187
Nil8inilai hasil pengukuran itu digunakan untuk perhitungan t€gangsn hubung€n pondok relati, t,k. yang psda translormitor_trans-formator lebih bs38r dicsntumkan di p8l8r n"r"L^
. roo(\x/vn),ya
Kuentitaa berikut ini dapat ditotapkan dengan menggunakan diagram vektor:
s
188
Rc"= Va/Iw; L = Vt/u Iw;
cospfx-v^/v*=#h
Kondlrl kc{a ,.2
Untuk p6rhitung6n tegangsn gaktmder kelia 7z bggi eebuah
..sitkuit beban yang ditontukan, somua lr R. L ht kuantitas sekunder torl6bih ;=_-- l_I*
ln
Korugian-kerugisn inti ?Fe
V1
dan frekuensi
s'185
I
hanya tsrgsntung dari tsgangan primsr bukan dari ienis beban
Pto =
Pr,
dshulu harus dihitung.ko dalam
iumlah ku6ntitas
Kerugian-kerugian inti Pra dan perbandingan tlsnslormasi nomin'l ditotapkin dengan' pengukuran-pengukuran sirkuit-torbuko (lihat diagram sir kuit: sekunJer tctbuka, nilai-nila dibari indaks o). Komponon hambatan dsri meliputi kerugisn-korugian inti, dan komponen roaktiflru8 primer nva adalah arui magnot /m. Kerugian-kerugian tembaga adalah kecil tak birarti. Kerugian-kerugian inti Pp6 diperlukan untuk perhitungan penyobE an (disipasi) daya operasional dan efisiensi.
/qp.
laniutsn di S 29
214
sebuah transformator ekuivalen yong
s
s
189
190
_i G; T
m6miliki { = lporbandingan trsnslorm!3i {indek!'):
Vz' = iVz i Iz' = Iz/l;
pzl
Iz/Irn
slngz) Iz/Izt
Tegangan sokundoryz
s
191
vz'=\-dv
i'
vz -
d d
d d
1,,:,
Rz'= l'R" AV danVz,
Variasi yang terganlung dari boban {psrkirakan untuk u,( S 4%) ZV = V\(cos eqcos g2 l slnprtr
- /,1 cos(911-
diagem vekto.
vdng disedo.hanakan yang iisederhanakan
(
d
VrTi 279
d )
TEKTTIK LISTRIK
TEKNIK LISTRIK
Arus tiga fasa
Arus tiga-fasa Dry. rr.tdt d.n d!y!.kt
nrretdur dr.., 8
llrtrne l8al
t
y =
1t2
e lgil
r,
f.klor d.Vr
(untuk boben 8imotrisl
vonlj
roaktit aktif
198
daya
s ,99
daya
s
faktor daya
200
e P
=
=
cos P
Ipn scglrlgr
lmtll
ll v r "tne {l v t "o"e P ysvI
l(or.kd tilito. dryr (untuk beban-boban induktif)
s
19,0
Y=Vos
r
195
I =
U'j''#:T"d,3:t",:::l;::"*B:: ?":
rptyj
vans diporkon'nkan, umumnva 006
86cara lsngEung dantcrpirh. d8n den bohsn-boban hah.^-hah.. kecit La^ir s""a, !9-"", srh, -^^--_b:-b_.1 t"iprsriffi-;iffiffi;
ffil:I3l,
csbang.
kl*trmgm d!Y! dg!-|.lr Pcrftitungon dcy. kord.naatd yang dlporlukan Hitunglsh raktor doya cos g soperti di 8tas, gunskanlah wattmotor (lihat rangkaian dalam S 30) atad rebush ampor6-m6tor untuk monstapkan P.
Erban rclmbang rsngkaian
(nol) I
dongan titik netral (rangkaien bintang)
d*t
+ t
ar
(noi) (rangkaian sogitiga)
trnp" titik n€tral
I
-I d"ri
i.
,E*
-- ,
Lt *.
"'-'il-q:--:,*'-E-E-0:;,,,-,, --r- ^/ Iml P = 14ot,=.fjvtc"sg Dayatotal Untuk rongkaian ssgitigs t8np8 ti-
s
Iph ,
; :
arus fasa arus Salul8n Lt, L1, pongantar luar pengant& notral (nol) P* on ., daya aktif dari sebuah
N
L3: :
Pl
l?^
s
pemakaian sondiri kondansalor
20?
o o
42 I 41 I
0.46 0
*7
Daya total
197
days kondansstor
e = ( tan gr PE - 0'00rQ
|
48 I
| 0 52 | 0.50
o.54 0.56 0.58
P2
tsgangsn fasa togangsn salursn
I
| I
2.161 2.041
t.930 1.828
1.732
r.643
o-62 0.61 0.66 0.68 0.70
1-265
o.8t
1.201
o.82 0.83 0.84 0.85
,
't38
1.078
1.ON
d
't.559
0.72 0.71
r.479
o.t6
o 961 0.909 0.855
1.405
o.78 4.80
0.750
0.802
0.80 o.87 0.08 0.89 0.90
o.721 0.698
0.91
0.456
o.s2
0.426
o.872
0.93 0.94 0.95
0.3s5 0.383 0.329
0.98
o.n2
0.8,16
o.6m 0.593 0.567 0.54{'
(
tan gr)P
Tab.l (menurut angka)
Bcbrn trl-ralmb.ng (Cara duEwattmetor) tik notral. iJuga untuk beban s€imbsng tanpa titik neiral)
s 20,
o'97
0.251
0.m3
o.512
0.98 0.90
0.'18,1
I
0.(m
o.112
t8n 07, stau t8n (p2dsp8t dihitung d8ri trbol di Etas, corgt menunjukken takto? dsya yang dip€rluksn dan cot (D ,akror day! dsl bobrn
d
d d
d
lara.
280
281
I
d
L,
TEKNIK LISTRIK Mesin DC
(
=
arus ratal dengan kutub-kutub (= komutasi)
bantu
motor
taah arur rars lrnotor don ggneiator)
p2 ^"lt - 2ro Ve e CMOU= 2Rcu{tn
s
203
koorttnte momen
3
20,1
tcgongsn rumber
s
205
momen putlr
I = Cp0lo
s
206
!rur
Io
=
= rc t trono *)
putt
sngker
s
2Ol
tcgsngan iepit
v
s
208
kccepatan
n
s
209
day! dalam
P;
s
2,l0
daya mekanrk
s 2ll
I
untuk
I
dari
l(t Pd-&l
s 212
A$
r r roRq-.*x) _ - 2rQqO = ii@ =VqIo s 213
o--:-!g!1lts!* x
242
)+ motor - gondltor
--l
I
-.** )*
,r,oro,
+t
_lL I,.XLJ
d (
s 214 I I
z : iumlah pengantar
I rQs: reaiatansi angker
| |
2
bsts-
iloto, ..rl (untuk diagrsm shkuit lihat S 331 Mudah di-start dongan momon putsr psnggorak yang b€rten8ga tinggi. Kscopatan tsrutama tsrgantung dori bebannya. ,Apabila dihidupkan tanps beban putaran mosin tak dapot dikondsliksn. totor dcngan gulunoln ..d-p!r!lal (compound) (untuk diagram sirkuit lihst s 33 Cars bekorjanya hampir sama dengan sebuah motor shunt. Gulungan sirkuit utsma monismin suatu momoi pular ponggsrsk bortsnsga tinggi,
angkcr kutub
T-1_
4,, = t, y lbl
(untuk diagr8m sirkuit lihat S 33) Mudah di-start, kecepatan sgEktorgantung dsri bobannya d8n dalam b6tas tertontu mudah diatur.
iumlah pasangan iumlah pasangan
.'m
2
totor .hunt
o : p :
tq <4 n:* ro"ceis py
tbY
*)
genorator en = | v 4^
motor
generator
i"I:t^
lJrnun
Sso
2
d d
g",reoto,
(
I
TEKNIK LISTRIK Motor tiga
s 215
l31i'l3il3',, 1 * | ., | ;" | *
V)
men putar dan daya nominalnya, apabila dihubungkan dengan
v = 23ov dalam segitiga, artinya y = 40oVdalam bintang, artinya
voh yeh
V. r
23Ov
400v
'T6=-E-=
230 V
Rangkaian star-delta
Motor-motor bertenaga tinggi pada umumnya bekerja dalam delta. Untuk mencegah terjadinya arus-arus hentakan yang berlebihan, khususnya dalam jaringan-jaringan arus yang relatif rendah, motor itu di-start dalam star untuk kemudian dipindah ke rangkaian delta. Misalnya, apabila sebuah motor 4OO|23O volt dirangkai dalam star pada sebuah ,jaringan 23Ol135 volt, maka kepada motor itu hanya diberikan 1/1/3 kalidari tegang.
rendah daripada kecepatan medan putarnya; apabila diberi beban, kecepatannya dapat dikatakan tetap konstan. Motor sinkron Motor ini memerlukan arus rata untuk dapat dihidupkan dan telah
tv
2v
Dd
0
ol
,UL'' ,u\r*
s 221
y 0r
0
s 222
0y,
s 223
YdI
s 224
Ytl
s 225
0d
s 219
s 22O
0
Y
6
,4,,
I diaoram sakelar lperban
I
l''r:l?,
,,L,. lvln
?N.
,4,*
twl
,uL,*
*<:::
,r)-,*
zw_\!.
I
lr
I
,uL,*
;>,* tt
,uL,*
s 228
0 y ll
Y u tl
*v-
tr
,,L,,
5
s 23O
W rn
W '*Y* lrl W ')>,* ,W
,UA''
0z
Y d lr
.N
,r\,a
2v
,a\:u
I t
,"f '* lI
I
WT l'ir,
m m
ll.
? tlt
ta il.
NN
Lll2
tf,a
llr
Nrv2w
lr
ll1
2Nt Ilr
r
Yl n,
nf\n
fi --fr;
dr\l
EE
tt'
ulrTt-t* aaL
2 tl,
Transformator dengan output satu.fasa s 231
o
110
t., I ,.2
I
,.)
primer/TP lOt delta
t
;
c
d
i'i+ d
2.)
I
lylstar lsV:[ss3693n sekonder/TSlo! (sesiiisa] lyl (uintrns)l z | 2,9-zas A ngka kode digunakan untuk menghitung sudut fasa 1= 6nnPV:Tegangan
I
ll2
2V
s 227
ll
lr
il, ll2
,ua,_
.).,,
s 229
W,
llr
5
6
,UA" 2,
I
Yv
s 226
an nominalnya.
Motor induksi Medan putar stator menyebabkan tegangan dan arus yang akan diinduksikan dalam gulungan angker. Karena terjadinya selip, maka kecepatan putar angker menjadi sekitar 3 hingga 5% lebih
tanda
I
Transformator dengan outpr.rt tlga-fasa
V
Sebuah motor 4OOl23O volt bekeria dengan nilai-nilai arus, mo-
s21
jenis
-t-=
var
I
Grup4rup sakelar yang umum digunakan untuk transformator
Pada {rekuensi /'yang ditentukan, kecepatan ditetapkan oleh jumlah pasangan kutub p kecePatan n p
s 216
Sss
Grup sakelar transformator
asa
Psmindahan rangkaian iswitchingl Apabila kedua jepitan dari masing-masing gulungan pada papan-hubung dapat didekati, maka motor tiga-fasa dapat dirangkai dalam bintang atau dalam segi-tiga tegangan fasa dalam bintang (star)l datam segitiga (delta)
s 217
TEKNIK LISTRIK
Ssc
Motor
I
ka kode x 30') antara tegangan primer dan sekonder, misalnya untuk DyS sudut-fasanya adatah 5 x 30 = 1 50". Pe rhatlkan : Gunakanlah grup sakelar di dalam bingkai sebagai referensi.
2A5
d ,(
d)
TEKNTK
LrsrRtK
lnstrumen
II ue
ukur
TEKNIK LISTRIK
36
lnstalasi Taksiran arus /.
\|\
a \|>c g>
I I
*E> !
c
,
"l 6 o
r 3 --E
I' CD
i>
;. sa ag
-9! D
ZE
E*
:ai
F:i 223
o E
E
E> tic
r:i
E*-
!
c o
Y
9; .E
cE
:E a
I E
286
ti
;3
EO
:5; *ei c
ii
E*B-'
:
s€
iPo:
i
'i-o
liE
:iE
i5
S
!!
lri
o ! o
lot
ci
t c
t @ o o
N
N
,I c I ,o I .a
A A
!
.9
o
E
D
-= ;: pi p;
o
_@
c
'l
lz dalam A
r5
/,
'10
dalam A
15120
'1
6
45 35
r8 I
26 102t 20
34
44
61
82 63
r08
35 168
80
00 125
98 80
129 158 198 100 125 160
50
dalam A /n dalam A
19 20
24132
zolzs
42 35
54 50
63
Diam. Kawat Cu nominal mm, kira-krra
1.1
1.4 118
2.3
2.8
?A
Grup 3
r'z
83 r03 r32 63 80 r00
)i
33 )R
61
ro I ro
iJ
50
multi-wire
Grup 1: Satu kabel atau lebih yang berinti tunggal (single corel yang dipasang dalam sebuah konduit. Grup 2: K66s1-12bgl berinti banyak (multl core) (termasut kondukror pira/.ibbon) Grup 3: Kabel kabel berinti tunggal di ruang terbuka (sedikitnya diberi jarak-antara satu diameler kawat). l) Nilsi rz berkurang {bertambah) dengan kira-kira 7% untuk setiap kenaikan (penurunan) suhu 5oC. Jangan sampai melampaui 50oCl 2) Untuk kabel-kabel dengan hanya dua konduktor yang beraliran listrik, harus dileng-
E D c
E
t
a o o
,(
o: o,
€I €E 9a
,d
-e!
lc
SE
IC
f:
i:=t tI ,(
.1
L.L rL.L._
=D
,I :.1 EZ ca
,g a: at
ca ar te. 2i
(
c
.c
;t ;! ;Er Ei E!
€
Cx
6
€ o
!
5-E
5E F3
@
o
!
o
8: i;!E C=
E
T;
-o a._ i
/. dalam /" dalam
c
3
Sssl :tE Eri E- I :i"& toc
:ai uEr oi;
a
2
Vga3 t-8E
1
Grup 2
o
a
siE :EE!
5[ r6
;p
T
x
E,:o
Grup
c o
z
E_
Ii i:
6P
o
oc dc !I
:t
3BF
::\ \ ir53? at
x
EE.
g-":
3:i
I
s.
E8 i3
.i:
:!
S. :E Yg c
'f,q -o: =oj z: g
>8
:J
!ri
,€3 !: Bel 69 9rE Eir5!:
.o ,!c
:i;e c.!
:5 ac
g aE
EC
aE! EiE rr.i
E'. i5
rii
5)
Ig 9-o EE :>
,
-t-
€: ! e
r;l t3t
= r?
.9P
5g aq ; E*
I
I
r* E* \' !8
c
6
lsolasi PVC, konduktor'konduklor tembaga yang l6laniang termasuk alat-alat pangaman terhadap beban lebih pada suhu lingkungan '36 1; rl Penampang lintang 1 51 2 s 4 6 10 16 25 35 50 Nominal 662
/n
:
I. :
Taksinn arus nominsl dati isnis sokoring
gL dsn
=
imis pomutus sirtuit otomaris
[.
,(
hksinn arus dari kabel. Juga nlldrh Uris B, C atsu X (um* ,n ,J'
maksirnrm yang diperbolehkan dari olat-alat pongaman bobar
M llotral
lhp panrnD.hJl
!*du rfil.rl*rt
ochlsh
sorr{vfi
PE:
*rrr.
il
,(
F ISI
KA RADIASI
Fotometri dan optik Untuk tiap kuantitas fotometri terd8pat kuantitas fisik radiasi yang sesuai dan demikian juga sebaliknya. Keduanya dibedakan dengan memberikan akhiran yang berbeda, v untuk visual dan e untuk energi. Fotometri Fisika radiasi Kuantitas Simbol Kuantitas i Simbol I Satuan Sa lua n .
intensitas
t1
ca
I
-, " . -l-:!-I
haya
fluks
candela
intensitas
1
'"
racliant i
lumen
dava lt t V2= -, '' radrant
^ 9t=elt lrm=cosr kuantitasl ldetiklu-lenergi ca
r
I I
haya
stna;'
:'l#;
cahaya Ii
o"=r",
l",llll, lT;i-''l I lmh lradiasi I
t4 .,{1 coS
I 5 liluminansi
61
cJ
m'
ansinar lHt=E'ti
I
Y la
o"=0.r l,=ws
i
---;^-l ,*
ffi(
iradiansi
-l
pencahaya.l.. _ , u lou.*n-"*
;
sr
G
lt.=f;
,*"an*i--
pencaha.l.. pencaha.
_ I ws rxs I lvu.nr"- iH"=8"'l;t I
-lT.I m'
;";,"., ,,,'u,^ ro", "i,nr","" :.ifl:;, r
nm.
panians serombans 555 Konsumsi f luks penerangan (nilai-nilai lihat cahaya untuk f
, ltn'''"'r*lil:iff',';11'uk
| 'Bl
:i":xn*;:i"';:1,'::';#:!:ln::,-*"'pai
Z 2Sl iruminasi
\ ./
((
,
({
-J
((
O"-+
I
28s ((
1)
FISIKA RADIASI
FISIKA RADIASI
Hukum jarak, pembiasan sinar
Panjang gel om bang, cermi
n
Hukum iarak optik Penerangan suatu permukaarl ber. banding terbalik dengan kuadrar jaraknya dari sumber sinar : A
sinar-X
rOO.m r
i-
ra di asi -u I 1p6 -y; 61 s
(ultra ungu)
At
Bilamana dua buah sumber stnar menghasilkan penerangan yarlg sama pada suatu permukaan, maka perbandingan kuadrat jarak mereka dari permukaan itu adalah sanla dengan perbandingan rrllvl tensitas cahaya mereka
-/permukaan
srn
/i ^a -,konstan untuk semua sudut Eilamana stn D 2 lL, maka ter jadr relleksi 'rb (pemantulan) total
lndeks pembiasan untuk penerangan sodium kuning l. . 539 3 nm unsur gas dalam unsur fluida I unsur padat an atmosfer I kaitannya denqan vakum dalam kaitannya pleksiglas hidroqen 1,U0029 kwarza 154 oksiqen 1,000271 1 ,000292 atmosf er kaca murn: 2,56 nitrogen 1 ,OOO29I r ntan ,r : luas permukaan Yang rrlemancar ,4r : luas permukaan yang disinari atau yang terkena radiasi ,4i cos rr : proyeksi permukaan yang memancar.{ 1 tegak lu' rus pada arah radiasi n" , (ao); indeks ref leksi media tipis (rapat)r rr ;: sudut di antara arah sorot yang trmbul dan arah tegak-lu rus (normal) pada permukaan yanq memancar,4, g :: sudut bidang-banyak (solid angle) !) adalah perbandrngan luas ..11., yang memotong sebuah bola dengan raclius /-{, terhadap kuadrat dari radius itu: O - /r//k2, SatuAn 5r = m2,'m2 sudut bidang-banyak dari sebuah ritik adalah !l: 4: si - 12.56 sr D : etikasi cahaya (lihat tabel Z 25) I
2gO
UV.8 u
ngu
iru
sinar
b h
radiasi infra,red
IR.A IR.B
radiasi dapar ditihal
(inf
Pem!iasan sinar (re{leksi) t llr - srn o|
UV.C
1
i.iau
kunino mer
ra merah
rR-c
)
mrn
2BO nfl1 280nm...315 nrfl 315 nm ... 380 atn, 380 nm .. . 420 nrl1 420 nm .. 490 nrfl 490 nm ... 530 nrn 530 nm ... 650 nrn _ 650 nm .. 780 nrn 1 4 Yfi 7BO nrn ... 'l 4pm... 30 Prn 3.Ogm... 1 fifl1 IOO nm
...
Cermin datar: Cermin Gambar pantulan berada cli be_ lakang cermin pada jarak sama
il
dengan jarak objek jsli sgrmin yang berada di depannya: u = -u
Cermin cekung:
(
l1t iUu
Tergantung dari posisr objek
maka bayangan akan
{real) atau maya (virlual)
f
> ?!
.f < u
<2f
nega ti
f
?r
u>f I
d
nyara .
pada titrk fokus/tiri k aDi lnyata, terbalik, lebih kecil jnyata, t':rbalik, de.gan ukuran sanrZ I
y:',:,::'P..ltl, ada tidak
Lnifr
u.'"'
bayangan
Cermin cembung n1aya, lebih besar Hanya rngngl"l3silkan bayanqa nc maYa dan bayangan lebrh kecil. -::) _, Sama seperti cermin cekung.
di ina na |
c = 03 "
(
l.) 1,.;"
:
=
,
{
(
- r/c
109mrs (kecepatarrsrnar)
291
( )/
FISIKA RADIASI
FISIKA RADIAST
Ta
Lensa
Radiasi ion
Lensa Pembiasan (refleksi) I
D -;
120
/) dari sebuah
Radiari lon tensa
Satuan:ldPt=ldioPtrik=
;
Persamaan lensa {lrarrya
Badiasi ion adtlah setiap radiasi dari partikel bermuatan yang sscara langsung atau tidak langsung menyebabkan ionisasi atau eksitasi suatu gas permanan.
lm
untuk lensa tipis)
Nilai yang dihimpun
+ -. ;'(n-,)(;.-i1- r\ 6r;i--------A -; -"- J<1-" {' ---ff
121
.
,. 22
/
- ce - u ;
r23
.,) ''I
rl
I-------u-' l-'V ---1'*i
'
/' ronro"n - \ \rn-zsal'Qf kql \
i
bilrmana obvek
s
t-.
v n
Ht
pr:mbesaran total
-
126
ir
')JYan ga n
menengalt
tsor6tis)
l-s
-f, l, n
Makro fotografi
jarak objek
t, 29
o c
(;
ukuran bayangan fokus jarak titik api ukuran obiek
s
jarak pengliharan (
lj
292
kamera
-
.DP
rr r t rn
l(^
kg
oq=Q qlJ
i
:r-'
srevetl
"r!n
,:
s..
r)
:faktorpembesaran
25 crn untuk penglihatan normal)
fOo
#
/r ro rn-W\ I s = tg l "r'uJ/ ,w 'ko -
- tingkat
kg
kg svl
Dq
roqt\ l,',,1"=r,r&] kcl \ I
=-i /r res =
Apabila molekul-molekul udara di_ionisasi oleh radiasi d8n
dib6ri sustu tsgangan. mska akan mengalir arus ionisasi, linstrumen: sebuah ruang ionisasi).
o
: indeks refraktif (lihat T2) : radius lengkungan : panjang optik tabung
Sr.SO,
\ ekuivalen dsri dosis,
qD
Aru lonlusi /:
xs/
,*:,# =
f
sv
rWq 1
82p4 I
ksl\
t-4
1J
i6 i
127
perpanjangan
I
Bku,valen dari dosis (nilai
'I
\r8=
d,serap,
kq
a zat - ,o,^
Mikroskop
25s 14
\a
rarl-lrrl \ ".J - oot o,-l I
s
at + ll
r25
E
, bcracla dalam fokus 5. al
/r8=
- tingkat
_rJkq
5
,+
dosis yang
1! ,Y 'kg
dissrap
Satuan
ls
:JI "tm
lgray-lgy - rlvkgs-
dosis yang
tt,fz
untum
trngkat energi yang diserap
Jumlah energi yang disorap (nilai yang diukur)
_-:JB
Bilarnana dua buah lensa rlengan kedalaman Iokus /r dan l. langsung diclekatkan antara satu dan lainnya, maka ekuivalen dari panjang fokus/, ditentukan oleh: , ll Lensa pembesar
Nilai kecepatan waktu
Satuan
tlurtrn 0.'Apabila suatu arus io akan menghesilkan mu81an.
ionisasi
l
mengalir selama waktu ,, maka
Q: II
t36 Ssluan dalam
{
}
adalah satuan-satuan yang disebut seperti sebelumnya
laniutan di T 6
293
FISIKA RADIASI
ILMU KIMIA
1r'
Radiasi ion t3f Dd
Ur
Elemen
.l: Dosis./ adalsh sualu nilsi Ysrig bolhubungan dcrlgon msssa ],, misalnys )V: Ilz adalah emrgi radiasi yang dipedukan untuk ioni$si' Satisp oss8ngan bn dalam molskul Grar8 mornodukrn anorgi
J
jmassa
= Q/n.
a
dN
t38 r39 r40
t4l
It" = 33'7
aluminium antimoni
re lMustan satu aloktron: t s = 1.602 x l0 "U As) (t stokrronVoh:, 1.692x10 r0Asx t V- 1 6O2tl0 te4
"rz{ sdalah
jumlah atom dari sobuah substsnsi radioaktil yang
I x' - 1 ci - 37 r ldbql dN/d,
--
arsen i k
AS
barium
Ba Be Bi
berilium
Setuan: bq {bocquerell ['l curie 1 bq adalah I psc0han (d€sintsgrasi) atom radiokatif per detik
r42
Oclrd.I:Jdekademi/kemrosotanl \ - tn 2/7't/z Sep6,uh hidupnys adalahf%,wlktu ysngdiam'bil untuk satengah dari massa
biSmut boron
ra-
1
19
19 27
3 40 4?
1
21e
r34
3x10qa
55 55
137
30a
12
411
8B
226
1600 a
5 3a
90 92 94
232
60
3B
90
29a
53
r3l
8.0 d
14x10ea
4'5 x
238 239
10e a 24000 a
Simbol Yang 1 ,7r, seoarun massa hidup ,[ : massa (satuan dasar) : nomor atom-alom radioaktil ldktorkualitas .y-dalrsrnarx ^/' q 'l ...20 untuk radiasi lain konstania ionisasr untuk tenunan tissue untuk tulang /e = 33.7 V) konslanta ionisasi untuk h-
|
4: 144 145 / : r46 t al [ : 143
f
udara
satuan yang digunakan
r48
n: ampere I c: coulomb I J: ioule
- ll't
q=l l- lt I=(...4)^
a: annum (l annum = I a = 31 56 x 106s) d: dies (1 dies = I d = 86 400 s)
torh.dlp rsdiosi (ekuivalen dosis):
Pada tahun 1982 penduduk Jerman
rata-rata telah torkena ienis radiasi berikut ini:
/l
dalam
msv 1t0 untuk kepentingan pengobatan radiasi tiruan yang lain'l
*) yang diizinksn monurut hukum 2)
294
iumlah proton dan neutron
50
s30
a
bromina
Br
kadmium
cd
kaesaum
U5
kal.sium
Ca
karbon laran s)
12a
Sb
'121
argon
Aktivhas,4j Akrivit!3 meniadi borsnt8ktn po, satilsn waklu
A=
26 981 5l
AI
C
serium kh lorina
Ce
khromium kobalt
Cr
tembaga
erbium
cl Co Cu Er
fluorina
F
gadolinium galium
Go
germanru m
Ge
emis
AU
helium h idrogen
He
indium
ln
H
iridium
lr Fe
kri
Kl
137.34 | nitrogen
N
Nb
9.0122losmrum
Os
208 980 | oksigen ,0.811 | paladium 79 909 | fosforus
o Pd
'106 4
Pt
,32 905 | porasrum 40
08
lpraseodim 12 01 12J radium 140 12 I ro.lirrm 35 453 lrubidium 51 996 I rutenium 58 9332lsamarium 63 54 lskandrum 167 26 lselenium l8 998a1 sil ikon
I5725 lperak 6972 lsodium 72
59
|
strontium
847 ltrmah putih
207
l-t
magnesium
t.,{
man qanes
&1n
merku ri
l-i
molrbdenum
Mo
6 939 | vanadium 24 312 J xenon 54 9381 I itrium 200 | seng 95 lsirkonium
19
luranium
59 94
11
u = 1.66 x l0-27k9)
1
02 905 85 47
0t
l5c 35 44.956 78 gti
Se Sr
Ag Na Sr
Te
80 I titan ium ,138 91 ltunqsten
40 907
226 04
101
008 lteluflum 1'14.82 ltalium
55 83
39 r02 1
FU
S
904.1ltorium
9994
Sm Sc
196 967 lsulfur 4.00261 tantalum
Pb
u : satuan massa atom
Pr Ba Rh Bb
2
195 09
K
iu m
906 0067
3u 9738
P
tt2a0 lplatinurn
litium
9
56.71
92 r4 190 1 5
lantanum timah hitam
g
144 240 20 183
N
1922 ltulrum
La
Nd
39 948 lnikel 74 9216lniobium
126
besi
dalam
Ne
1
iod ina
pton
neodim rum
75 lneon
tom
srmbol
TI
Th Tm Sn Ti U
Xe Zn Zr
1
28 086 /.87C 22 9898 87 62 32 064 0
180 9.18 '127.6
204 37 232 038 1 68 934 1 18.69 47.9C
183.85 238 03 50 9.12 131 iiC 88 905 ri5 3'/' 91.22
ILMU KIMIA
ILMU KIMIA
Bahan kimia
Bahan kimia laniutan dari U2
lstilah-istilah kimia nama
kimia
dagang
dagang
acetone
(cH3h co
acety I ene
c3H'
amonia
ammonia
NH:
(hidroksida) amonium an ilin bauksit tepung pemutihan vitriol biru
ammonium hydroxide aniline hydrated aluminium oxides calcium hypochlorite
NH.OH
boraks menteqa seng sulfat kadmium khlorida kalsium
sodium tetraborate zinc chloride cadmium sul{ate calcium chloride caloum carbide
ascton aseti
I
i
n
karbi d asam karbol
clioksida karbon karboru rrdum potas kaustik soda kaustik kapur si
nabar
0th er
garam pelengkap atau hiPo garam glober(glauber) gliserin atau gliserol grafi
t
vitriol hiiau gips gas pemanas
asam asam
hidrokhlor h idrofluor
sulfida hidrogen khlorida besi sulfida besi gas ketawa (laughing gas) sulf ida timah 296
copper sulfate
c6H5
batu kapur
calcium carbonale
magnesia
CaC03
magnesium oxide melhane plumbate
CH. 2 PbO PbO?
nitric acid ortho phosphoric acid
H3PO.
minimum atau tirnah asam nitrik asam fosfor
NH2
al2o3 2 H2() CaCl (OCl) CUSO. 5 HrO
Na2BrOT 10
ZnClZ 3
H2O
H?O
cdso.
HNO3
polassrum carbonate polassium bromido
K2CO3
potas khlorat potas khlorida Potas khromat
potassium potassium potassium potassium
KCt03 KCI
chlorate
chloride chromate cyanide
KBr
K2CrOa
KCN K2Qr207
asam prusi k
Coe
pirolusit
potassium dichromats potassium iodide hydrogen cyanide manganese dioxide
src
kapur mentah potas prusiat merah
calcium monoxide iotassrum lerrocyan.
CaO
ammonium chloride silvsr bromide
NHlCI AgBr
silver nitrate calcium hydroxide hydraied sodium carb. sodiun. oxide
AgN03
C
asam belerang garam meja
alnorphr/us caro0 l stannous chloride sulphuric acid sodium chloride
dempui timah
staonrc
SnO2
CaC2
sodium hydroxide calcium carb'onate mercuric sulfide di-ethyl ether sodium thiosulfate sodium sul{ate
NaOH
sa la
CaCO3
bromida pera k
yceri ne
Mgo
Potas karbon potas bromida
phenol carbon dioxide silicon carbide potassium hydroxide
crystal ine carbon ferrous sulfate calcium sulfate propane hydrochlorid acid hydrof luoric acid hydrogen sulfide ferrous chloride ferrous sulfide nitrous oxide lead sulfide
merah
potas sian ida potas dikhrornat potas iodida
CaClr
rumus-rurnus kimia
kimia
gas marsa
c6H5otl
gl
Us
KOH
mon
ia k
H9s
nitrat
(c2Hs)3o Na2S2O3 5 H2O Na2S04 10 H?O caH5 (oH)3
kapur mati abu soda monoksida sodium
c
khlorida stanos
FeSO.
7 H2O
CaSO. 2 HiO CrHe
u
HF
N:O PbS
)
rea
timah putih
HzS
FeS
ielaga (soot
trilin
HCI
FeCl:
pera k
4 HrO
potas pruslat kunlng sulfida seng (2. blende) seng (chinese white)
t
ric
h
-
1oe
lo ret
h y ie
ne
urea
Lasic lead carbonate
zinc sulphaie potass ferrocyanrde zinc sulphidr. zink oxide
KI HCN
Mn02 K3Fo(CN)6
Ca(OH)2
NazCO3 10
H2O
Na2O
Snclz . 2
H2O
H2SO. NaCl c2Hct3
co(NH2)2 2 PbCO3 Pb (OH)2
ZnSO{
7 H?O K4Fe(CN)6 . 3 H2O ZnS ZnQ
291
ILMU KIITIIA
Us
Reagen, Persamaan, Campuran pembekuan
Nilai-nilai
Rergen (zat pongaktif kimia)
pll
indikator Log negotif dari konsentrasi-ion*ridrogon cx. menuniukkan
nilai
Pll-nYa'
pH =
nilai' ul
-rog cx.
alkalin .+
v2 u3 u4
merah
fenolftalen merah
u
11
fenolftalen tanpa r rarna
basa
methiloranqe merah
biru$itam coklat-hitam uap putih
larutan smonia asam
Pem bentu ka
n nilai -nilai pH dengo n men
ggu naka n i ndi
kator-indi.
Pcrubuhan
lhimol biru
p{emetilhrno$o b.da bromolenol biru
2,9 3.0
m.ihrl ilrggt
3,1
lilmot
3.8 4,4 5.0
brorn krerol hit!u methil me,ah
wrnr
...2,4
meroh
kunirE
. ..4,O . . .4,6
ma,th
irng0o*unrng
...42
koogo Frrrah
...4,4 ...5,4
ku niog
r
biru
ngu
mdeh{nOu
merah.ir ngoa
mar!h
kurring-(lioggal
ku
bi
. , .6.2
niog mc.gh
. ...8.0
mcr!h
(iin99a)-kuning biru
...6,8
kun
ru
bromokreiol 6erdr ungu qel6D
5,2
brom lenol nre.ah bromothidlol biru lenol merah
(nificl brru Irool I t!lcn .li..rin kuning 66
298
sedimen
Pembuatan bahan-bahan kimia
lndikator asam-basil
gelap
hidroksida kalsium
karbon
kator yang sesuai.
mtral merah k/trol meroh mett kr6ol merah
tanpa warna merah
ds
u6 ul uB u9 ul0
corak warna
.
rn g
5.2 . . . .6,8 6.0 . .. 7S 6,4 . . . .8,2
iioggs luning
6,4. . . .8,0 7,O . . . .8.8
(biru
ning kuning ku
locrrh
merah ungu gelap mer6h unlv 9elap biru
u17 u18
merah ungu g.lap
8,0 a,2 'to o
. . .9.0 . . .9,6 . . .9.8 . . 12.1
k!n
rn9 ku ni ng
merah u.9u Oelap
tinPa warna liuni69 n\uda
fierah{ n9!
b
rru
coklat 6uda'ku6inq
Hao
*
+
H2SO1 +Zn *Hz
+2HCl*HzS
FeS
Pb(NO3)2+HzS
2KC|O3 Naro
ZnSO.
Suhu iaruh
dari I
ke
(
+ CaCla + H2O
. + +
*PbS *3Oz + -- 2 NaOH + ZnS
ZnSOr FeCl2
2 HNOg 2 KCI H2SO4
Campuran Angka-angka menunjukkan massa)
ungu 1,4
+
CaOCl2 +2HCl +Cla
khlorin
hidrogen u'19 sulfida hidrogen u20 sulfida timah u21 oksigen u22 hidroksida sodium u23 culfida seng
nggo.kun rng
kuning
r)a
+ HzO NIlaOH +HCl *NHrOll +HzO -NH.CI u14 hidroksida amonium NH: + + HaS + Cds H2SO. u 15 sulfida kadmium + CaClz + HaO CaCOs +2HCi+COz u16 dioksida karbon
mirah ii
digunakan reaksi
untuk membuat u1? amonra u13 khlorida amonium
u24
ll0
u25 u26 u27 u28 u29
+10
u3O
15
+8
0 0
+
0
-12 - 15 -24 -21
-39 -55
_78
4H2O+1XCl 1H2O+1NH.NOS
'lH2O+1NaNO3 + (dihancurkan) 12 es (dihancurkan) t.a es ldihancurkan r metil alkohol
3.0 es
lNHiCl
* 1 NACI + 2CaClr.6HzO + 2 CaCl2. 6 H2O + I COz padat 299
Uo
20'C =65'F
(7o)
Na2CO3
92 86 80 76 63 55 45 35
10 H2O
u31
4 HzO 2 HzO 0 HzO
u. 36
KCt (NH.)2SO1
NaCl NH(N03
Ca(NO3)2 K2co3 CaCl2
u32 u33 u34 u35 u37 u38
Sisa
air setelah
desikan nama
0.14..
0.25
0.16 0'008 0.005 0.003 0.002 o.001
Cu SOa
ZnCl2 CaCl2 NaOH
M9o
oksida magnesium sulfat kalsium, tanpa air
0.000025
u39 u40
u 4'1 u42
At203 KOH
u43 u44 u45 u46
Pzos
u48
CaSO.
aluminium basah hidroksida potas silika qel pentoksida fosfor
(sio2),
!47
Kekerasan air
r" kekerasap
t"d =
t9,c"o ' JermaJr+ l'o o .191lai,
7
l9 Tg
Mg-o
llair
1,25'kekerasan lnggeris = 1,78" kekerasan Prancis. l7 8o kekerasan Amerika (1,00 ppm CaCO: )
= Klasif ikasi kekerasan o. qoo I sanqat lunak I l aoallun-ik I L.. 12od I sedikit keras I
tz.
rala I agak keras
18..30:dlkeras
di atas 3o"d I sangat keras
u49 u50
Contoh
-- o.
a=54Yo; b-92%;
cakanmenjadi 627o
Karena harus dilakukan pencampuran 30 pembagian bobot dari a dengan 8 bagian dari b.
300
I
I
oc
aluminum brons aluminum tuang aluminum gulung
2.6 7.7 2.6 2.7
amber
1.0
600 1 040 658 658 300
antimoni
6.67 5.72
630 815
arseni k
1
4.5
r
1.85
1
580 280
bismul
9.8 2.5
1
200
209'4
0'904
0.17
1 560 2800
271
1.72
744
8.4 8.5 1'8 3.14 8.83
900 900
1
-7.3
63 2300
u52 u53 u54
bromin brons (Cu Sn 6) ore besi coklat kadmium kalsium karbon besi tuang
8.64
u55
7.25
570 321 850 3600 1 200
seflum kapur
6.77
630
5.1
1.55 3.51
22.53
300
u51
r) 1 W/(m
2200
2970
barit berilium skala boiler bora ks
127'9
700
r
barium
10.89
165 8.1
1.2...3.5
0.85S9 kcau(h m
113 113 1.0
910
64
1
765 439
2500
?]
I
kJ/(ko
0.385 0.385 0.92
0.67
92.1
o.234
8.9
0.63 0.854
0.532
58
0.92
[
0.46 1.02 0.13 0.80
0.37
0.58
1
K)
0.209 0.348 1.357 0.816 0.29
0'996 100 1 100
1.8
K)'=
K)2)
209.4
1
1.5
2.5 3.59
c
kJ/(kg
2200
704
wol tiruan
A
All(m k)r
0.80 0.436 0.904
440
asbestos
panas spesifi k
tivitas
2600 2300
1
perunggu, tuang perunggu, digulu bata
u56
untuk air adalahlo
ti :ik lumer laiuin
I
Subctansi
agate
sullat tembaga, tanpa air khlorida seng khlorida kalsium hidroksida sodium
1.4
o.8
kelem..
baban kg/dm3
desikator-desikator
1
Kelambabanppada t = 20" C Titik mendidih l: nilai-nilai di dalam kurung menuniuk pada blimasi yaitu transisi langpung dari keadaan padat ke keadaan I Konduktivitas termsl ,1. pada r = 20oC Panas spesifik c untuk jangkauan suhu 0 < / < IOOoC
Bahan-bahan pengering {desikan} untuk pengeringan pada 25"c (77"F\. g/m3 air
r"teteast
KO"OtS't
Kelembaban relatif atmosfer di d^alam beianl tertutup
IL
padat
Sifat-sifat zat
Lembab, bahan-bahan pengering; kekerasan
larutan
,,
TABEL
ILMU KIMIA
K]
-
0.84
0.2388 kcat/{ko Kl
,
I
tirik
baban
umer
kg/dmr
oc
I
arang kayu
0'tt
khromium
7.1
tanah liat
1'8...&1
kobalt-
8.8
kokas (coke)
1.4
bqton bertulang
2.4 8.89 8.8
konstantan tembaga tuang tembaga gulung
8'9
r800 t600 t490
1600. 1083 1083
I
KC,nouK-
d]dll tivitas termsl
oc
2400' 2500 2500
0.2. . .0.3
gabus'
intan 3.5 [3s4ol 350 bistk berrninyak 0.9...1.0 40...50 650 2ooo duralium 2.4 ebon
it
650
15oO
amril (emery) batu api kaca jendela
4.0
2200
3000 2900
5 19.29 0.1
emas
grafit es
besi batang
iodin
iridium besi tuang besi tempa oksida besi
timah ku
lithium
magnesium magnesium,
t
W(m
r hr(ks
!02
K) = K)
2700
3800 0 1460 t 13.5
4200 100 2500
2450
4800
7.25 7.6
1200 1200
2500
5.1
1570
327.1
184
r
74C
2.6
0'53
magn'esia
1063
2.24 0.92 7.9 4.95 22.5.
11.3 0.9. . . 1.0
lit
batu kapur
a
2.5
2000 700
3.?. . .3.6 1.7.t 1.8
Substansi
c
a
Klzt
manganese
7.13
0.8/t
marmer
0'88
mi[
69.4 0.1 84
0.435 0.84
mo'libijenum
0.8... r.7
0:88 0./t l 0.394 0.394
otmrum oksida khrom
23.3 384 384
'0.05
29'1
10.2
kertas
0.7...1'1 0.9
o.47
0.96 0.88
ter
168
0.71
2.3
47...58 o.41 59.3 58 46. ..58 0.58 31.7 0.r 5
0.t30 2.09 0.49 0.218 0.134 0.532 0.461
0.67' 0.130
ngar
batu bara platinum
1.35 ?'t.5
porselen potas
2.2.. .2.5 0.86
quartz/kwarza radium timah merah logam merah
rhenium rhodium
2.5 5 8.6. . 9.1 8.8
21.. 12.3
rosi n
1.O7
karet mentah
0.95 1.52
rubidium
pasir kering
1
2.2 301.2
0.909 0.36
batu pasar
2.1 . ..2.5
1372
657 650
t110,
157
't.05
!500
70.. . 145
l.0t
selenium
silikon perak
0'8598 kcau(h m K)
1)
0.238€ kcaU(k9 x)
2)
i w(m
K)
4_..1.5
1.4
silikon karbid
=
52 900 44 1 560 1000
2930 30d
0.42 70.9
1300
1.336
3.26
0.08 110
1.9 0.36 0.80 0.54
52.3 159 0.13 o.24 70 0.8... 1.0
4400 762.2
1
'1470
2230 1 t40
9.9
950 31
75
r960 'roc. 30( 125 39 1 550 1500 ?20
2300 5500 2500
700
0.92 0.80 |
0'092 0.381
71
88 o.32
1'30
58 0.58
0.20 83
2.3
233
,? 960
2170
15.2 K)
1.O2
0.r3
0"t.1
22fi
3.12 10.5
0'8598 kcsr(h m
o.7 127.9
0'38
0.2..0.35
688 2600
I kJ4kg Ki= 0.2388 kcali(kg l()
o21
0.28
't770 1 650 63 960
0.130 0.75
0.1.1
280
2500
125
1.5
r79
0.451
peladium
t.6
0.84
59
2300 1552
camp. seng-kuni
064
o.272
5'21 12.0
1'OO
0.81
145
a300
0.2 a.8 1.82 7.O.. .7.8 8.55
0.67
5500
2730
fosforbrons fosfor besi kasar putih
o8,t
2600
't152
pear (turf)
c
g-46 2.8
2s00
n
panas
spesifik
W(mK)r) k /(k9
0.35
8.9
0.52
0.04 310
2150
22.,t8.
ni kel
i62.8 1
12:1
2.8
parafi
0.92
r
oc
2.0...2.8
2.O
00r 1
lkonduktitik lumer didihltivitas , I t ltermall
kg/dm3
0./152
1
Ott 7
1.8
1.6...2.2
'beban
69
1.2..,1.8
elektron
glas-wol
.kGlem-
0'08.1
2700 31@
I
PAnAI
spesifik
W(m K)'l kJ/(kg
2980
Ze
Sifat-sifat zat padat
Sifat"sifat zat padat kelern-
Substan3i
TABEL
TABEL
1 2I
,&7
0.3i)
0.80 0.7r 0.33 0.75 0.67
o.231
x)2)
I
,
titi
Substansi
oc
kg/dmr
batu tulis
2.6...2.7
saliu
0.1
sodium
0.98
Srang para
t .6...1.7
steatit
2.6..2.7
baia
kristal belerang tantal um
ter telurium
7.85 2.0 16'6 1.2 6.25 't
alder
1.7
2000 0 97.5
birk lark
kayu pitchpine kayu pockwood kavu beech mer kayu api merah kayu api putih kayu walnut
0.5 100 880
r26
007 1
17 ..58 020
455
2300 445 4100 300 1300
1800
10:0
38 0.17
460
1t5 2990
-15
54 0.19 4.9
14
1.3
2.5
0.65 0.75 0.65
0.15
.5
tu ngsten
19.2
341 0
uranium
l9.l
'r
670 133
vanadium waks
6.1
0.96
1890 60
besi las
7.9
1600
7.5...10
300...100
= =
6.86 6.8 7.15
419 393 419
0.8598 kcal/(h m K) 0.2388 kceY(kg R)
3200 5900 3800 3300 2500 2100 906 1 000 906
0.'15
p
0.15 64 64
.4
15.5 130
.24 .24
0.47 0.13
?.8
0117
31'4 0.084
0.50 3.43
54.7
0.515
35...70
0
110 'l40
038
't
10
1,17
0.38 0.38
aseton
079 079 089
kohol
I
153
ether
088 073 086
nrinyak
tit
qas
gliserin
k
kondu k-
lumer didih I I
tivitas termal
I
oc
.C
16I
t18
-95
56.1
-1 30
78.4 80 50...200
54
07
oroform minyak disel kh
1.6
1.3
1.08
be nsen bens i n
1.4
0.19 0.14
o kg/dml
asam asetik al
0.1 4
2.4
baban
Su bsta nsi
0.201
0.16 0.17
1
kelem-
0.49 0.70 0.1 38
0.75 0.85 0.75 '1.?8 0.8
2500 2500'
Konduktivitastermal I pada , = 20"C. Untuk suhu+uhu yang lain lihat Z 15. Panassperilik c untuk jangkauan suhu0 < I < 1OOoC.
K)2)
0.76 4.187 1.26 0.84 0.83
1.9 1.4
4.5
logam putih seng tuang seng tuang matl senq oulung
kJ/(kg
0.14 0.12
232 232
Kelembaban Q.pada r = 20oC dan r = 1.O132 bar. Titik lumer dan titik didih t pada r, = 1,0132 bar
c
1.6
0
I -Ls
Konditi referenri
panas spesifi k
016
ium
W/(m K) 1 kJ/(kg K)
ry/(m K)'
r600
72 timah putih tuan( timah putih gulur g 7.26
I
:ivitas :ermal )\
0.55 0.75 0.65 0.75
ash
kayu mapel kayu oak
ti tan
lumer d:dih t t
baban e
!
Sifat'sifatcairan
Sifat-sifat zat padat kelem-
kayu kayu kayu kayu
TABEL
TABEL
L 4 i
w/(m
c
kJ/(kg
o.17...O.2 0.1 37 0- r6
K)?t
2.43 1.80 2.1
0.r3
175
11t
1 2711
I
K)rr
6l
-70 -30 -20
panas spesifi k
200
300 290
0.14
2.26
015 029
243
092 |I -s I175.3501 012 t05 -ta l.roz ' o50 I hiorornto, 1roc" r20 ose it, -szsl r9s: 233 I asam hidrotluorik os6 -.2o Il---.--:ro ' ot5 lminvak cat lminyak bakar I asam I lO"/"
314
|
oet 136 oB
I minvak mesin
imerkurr
lmethil-al kohol asam ,ritri k
,.56rr
I
| -5 i3B0 4001 0126 | -:egl 3s7 | o4 | -ca I oo I
uu I 026 | --ar I1150...3001 015
o.s4 I -?0
lminyak resin
perkhlor erhilen
lminvak
tanah
ether minyak tanah
r'62 I -ro 080 I -70
i
0 67
belerang 1 84 asam belerang 5O% t.ao -10
21 1
kJ/{kg K)
=
110
I
-€6
0 23SB kcat/(kg K)
o.1o
I1150rrs300, 0159
. asam
trikhlor-ethilen I tat
168 0.138 2.51 1..72
Ll-
1.,*y"L t"rp".,t- 087 r -10 I rgo I I
209
87 100
1€o 0.905 2.09
i
7
|
TABEL
TABEL
Lb -^ I I
Kondiri referenri
:Kclembebrn e. pada r = OoC dan p = 1.0132. Bagi gas tempurna 0. dapat dihitung untuk tekanan'tekanan dan/ latau suhu'suhu yang lain dari: P = pl(R x T). Titik lumer dsn titik didih t'pada p = 1 ,0132 bar. Konduktivitartormal i pada t = 0'Cdan p = 1,0132tnr. Urtuk suhu*uhu yang lain lihat Z 15. Pana rpesifik tr,dan c,, pada / = O"C pada p = 1 ,0132 bar . re. pada suhusuhu yan! lain lihat Z 1 3.
titik didihl ,
kelembaban p
Su bstansi
l.t7
udara, lara., atmosf er amonr nonr a gon argon gass da dapur tinggi
1.293
0.77 1.78
12e
8l 334
-r893 - 210
185 9 170
145 135
10
267
di Ji-oksida karbon di Ji*ulfida karbon
197
782
566
3.40
.t6 3
monoksida karb<
125
111.5 205.0
kh lor in
3 r7
gas lampu eth il en
058
?70
hclium
hr
hidrokhlor
drogen
A[Iiffi
uap drr -'
'll
\^/
('" K) =
r kJi(kg K) =
0 0081
I
0.627 1.582 0 473 r 038 o 741 473 036 214 ll se 147 11173 5.20 lc tzt 0 795 lo soz
r11.2
-
848
o 013
252 8
0.r71 0.013 0.0088 0.030 0 046
14 05 9.934 0 992 o 748 0.25 0 r51 2.19 1 672
0024 0024
1 038 0 909
125
x gr)o n
19r 6
I8r6
z'ta 201
-;,,' I ott 586 |
-2592
-
-
856
157.2
-
604 r53 2 16r.5
-
246.1
-
210.5
195.7
-2r88 - 251 -1877
-
?55 000 l l'1.9
01 598 kcal
0.1 43
-2689
82.5 2,:8.6 r
0.017
r82 112
{2
I
I I
103
0.50 0.60
aa,
sabu k
Lulir
0.40
beri
0 20...0.50 0.014 PE
-w
0.618 649
0 10...0.30 r)
0 40. 0 03. 0.30. 0.35
2I
PA56
3l
PE-w
r)
POM .; PE-W PTF E
puM
.'
PTFE
t poM
?)
.)
c6
EP
6l
:t
ctr of UO
010
006
o-
friksi statis
0.r r
I
0.r 010 0 0 05. ..0 1: 0.40...0 6( 018 0.08 0.04...0 1i 050 D.3r U.IU 0.02...0.01 0 r8...0.2( 010 0.30l 0.20 o.sol 0,30 o.50 o.50 o.2...o.1 0.40 0.5( o.12 l.o2...o.10 J.5U...U.b( 0.1 'l o.o27 ).02...0.08 1.1 5...0.3{ 0.10 0.1
.0 50 .0.05 .0.50 .0.45
0.50...0.70 1.035..0.05! 1 0.40 ..0.50
rro
i.: lo lq keilng I g EE Cf IG *E "o-
007
o.17 ..O.24 arpal
karet , txton tali rami (avu balok
PTFE
r63
r
Desr
|
0.08
0.20...0.40 0.r 5...0.35
li
tuan0
ba ja
0 015 0 0069 0 023
0.20 0.18 0.18
oak * luan9
1
-
L ra: bete;ns
1.05
r.26 0 r8
o7? 090
I I
0.016 0.02
.-6l
oroni be!' tuan! bai.
oa/
geser I
friksi
I
0.312 0.75
34.0 210 103 7
3.74
nrlrogen lksrqen oz on )ropa n
0'52
-
'1.54
neo n
o.o22
r .616 1 300 1 005 0.718 2.056 1 568
00.5 230 169.3 210.7
009
sulfida hidrogen kriptorr mcthan
0 018 0 02454
191 3
iso -bu tan n1-bu tan
asam
306
-83 - 213 - 77.9
K)?l
,l
I
di atas
lbahan lkering
oak
c^lc" kJ/(kg
Dahan
brons
spesifik
efr;ral l,
c
kg/ml aseetilen trl e
tivitas-
W/(m K)r
I
I
.
t Zl
Koefisien goser dan t
I
I
pa nas
kondu k-
I
lumer
I
Anska-anskafriksi
Sifat-sifatoas
0.10
i .l
--r-----T--r-
Friksi Canai (untukseksiKl2danLg) bahan di atas
bahan
r'aret ai atas aspar karet di atas beton
lignum vitae di aras lignum
I
l"ls1n
I vitae
baia di atas baja (keras: bantalan baja di atas baia (tunak) I elm di atas tanah liqnum vitae I
peluru)
tuas
/
o
ri
dari gaya
o so
c.oOS..:oot o
Oi
o.B
I
I
-roo 00 00 108 0
I o ors II 0o oc86 016 I
o.oos
r
1.549 I 1.360
t_
O S"O 1 842
l0 d56
lr:ar
0.16 l0 097
%-
l, ,.lierfil6n dengan pl.slici.er .l/ po;itat:Jfluor.thilan i po:idm,da
rimrrhiten
(cont. Lupolen dari BASF) (conr. T!flon C 126 dari Oupont, (conr. Ultr6mir CA dari BASFI
-
(conr.HortailonC2SZOdariHorhrt):
0 2388 kcal/(x9 K)
307
I
Zr
TABEL
I
l_
TABEL
l;i'"::--iiJJli,"[31],
|
_
Tabung-tabung baja yang digalvanisasi, yang sesuai
untuk penyekerupan (screwing) pada alur sekerup pipa g.S.2 (Nilai-nilai terdekat untuk pipa-pipa
I tr
kode warna Ukuran lubano .nominat (incli
Alur-alur sekerupper inc Diam. luar pipa Diam. dalam pipa Luas al iran
iffiTi{:/,'*,fl nom;nal (inci)
E
c
:
"
s
Pipa.pipa ba,n bekas drpakai
ptpa.prpa
beri tuang
o c ,e
o
iR
i-z t6#
H+' S,oa
308
3a
\
6
-l
6
G-
.t oa it {
q
964
\
6
6
s
r3
i
$.eloos lr,sJ se
sztbxn
r44;I;fr;E
lm
prps
(
dalarn m
I oenvetesaian d,gulung k#---qqr-G "
f drasrnkan
(picktdl
;;i.
..
;,oo
I galvanieti bcrsih (pro.er cetup) --' O,07. . O,tO
|
gatvanisli
komersiat
;;;;. .;,r6
luba,tg.lubang korosi sragam ko.osi sedang, korsk ilngan
kira k(a o.1 O,l S. o.4 kira-kira ,,5 - 2. . 4 dibcrtihkan setelah dipakai tams .O.15. Daru, penyelesian dituang kha! .o,6 baru, diberi bahan bitvmen .0.13 teiah terpakai, berkarat .1 .5 bcilapis kerak [incruited) .4 dibersihkao sereiah dipakai bebe ral)a tahun 1,5 n jlai ralO-rata daram :rttalasr untuk air kotoran di .la€r8h urbao
sealang peoserakan berat
I
'S g!s .-?
3.5 17.2 21.3 26.9 33.7 42.4 12.3 ,6 2r.6 27.2 35.9 61. 1t9 201 366 581 r012
88
Pcngerdkan
p
=+
r
6.2 30
Kondrsi
frrpa.pipa baja baru (komeryal d,surung arau drtarik arau o'gurung Enpa kompuh {seamrers}
.s
{
IL, lv, ly, Iy"ly,t1lly,irt-tt ?8 t9 ,t9 l1 11 I' 1t tr I t, to.2
*, | *. n|
',',1[:
tUfeaLi, pipest
Kekasaran fr {menurut Richter, Hidrolika pipal
[!nlhil rl{n ie^is Dlrin
c
(mm (mm
sedang
_ biru, pada B.S. l3gg)
berk2r31 6srrt PrPa-Papa
dilipat dan
dik€Jing da/i oelat besi
baru
bar!
drtrpar
(ergantung dari tenis dan kualitEs pengelingan kelingan angarr t(eliftgin be.ar umur 25 trhun, prpa keiinQan. berkerrk E,rgat
kira-krra
O,l 5
ki.a-k;ra t hingga g
KJ
aluminium
KJ
377 gliserin 6mas
braso kadmium b€si tuang khromium
67 | fenot 335 ?05 I potae 23 I peral 155 | belerang l l.Tlrimsh outih
€3
t€mbaga
ethil,eth6r
147
176
46 126 timah 134 msnganas 243 morkurl 172 naftalin ,13 nik€l
kobalt
,,
nbahsir
Is
\BEL
I l---
Nilai-nilai panas
Panlt l.trn (htcntl d.rl full pJ a.tu.n mrax
antimoni
lTt
TABEL
Zrc
151 | campuran Wood
109
113 59 109
38 5g
gt'5 117
23,l lsong
,ui,.,., tilai
Koefisien line ar dari ekspi lnsi o dalam I hr=0...100 oc uqn"n ,o-,1"' . bahan lo /10-61 bahan | I., larumln.urn I ?30 loer: tk
bismut I t: s llm. tl Jermsn I f oerunggu I ra s ltim, rhl I brons I ', s lmol ibdenum I I kadmium I so o Inite rl lbesi tuang | 'os lb"i" nikel I lkonstantan J rsz l= in rar 36% Ni tembaga I ro s lptat num I I I
KJ
lkJ lks
behan
Is alkohol amonia dioksada tarbon
hidrogan morkuri
khlorin
nitrogon
b€lorsng
281
m€thil
k
I0
terdekat.
42
2n
tldtdodft t r
anthracil€ bllumlnous brown coal ,u.neco coke ga! ooka non coklng gctt, kcring
,krw, lcring
I kwh 310
3.0
Hu 3it.4 31.0 9.8
elkohol luel oil
Hu
6.9
46'2 45.3
oil alcohol
31.0
r4.6 palroleum
MJ ([h.l A!it]
42.5 41.9 10.5 2UO 40-8
c8t hydrogen methane munlciplsl gat
9!r
s r3
90
fseng
I coo
tsoc
llol2nl(n
tl.l 119.0 50.0
r6.3 tlo-9
{6.3
I
Jrv^-utu( semen tsolast =
2 45
dc = ,l 90 oc = 7.35
N/mm2 N;mm2 Nrrnm:
rdqa
Hu
42.1
o I 2 lsteatit i 's8.5 o lbaia halu , lrz.o f tim3tr pu rihl 230 t s frungsten I ls
29
k,
dI rg
-
N.2
30.r 4)-2
t3.3
rrt8{olll
Zst cclr
arro-,
I
)nveksi alan riah pada ke< lua sisi) bahan keteballan I apisan yang rr enq-isolasi dal ,m mm
Oc
Bonda padar
I=
P ada
misalnya rhermatit)
(nil.i
I
lporselen o0 lgelas kwr rrsal O 5 lpera k r
lrt lo-rl bahan lzito r 0 '5 lminyak t6 nah lo | I lmerl :urt , o t8 ltoluen I toa ether I ro fminy ak terpen.l r ofair I o.ra t in' Koefisien pemind rhan panas I : dalam W/(r n, K) (nilai-nilai
365
406 201
0 2
K
1
Ko.efisien kubik dari ekspanr tiT dalam 1l K
214
503
r4
11
lr ;o-:l bahan + ;toffi---]-fir6a 'rn. Densen t0
16
bahsn
18
I
bahan
Panrs blan pangulpm par StJan mutr pade 101.32 kN/m2 1: 760 torr)
z
panas
3.7
3.5
2.4
1.2
r'6
0.7 0.9
1.7
l'0
| I I
I
ls.B
5.3
mi- I I neral,busakerzs | 411 211 t5 tembokkavu I I tt wer Kaca,
l100lt20l2s0 4.3
UrOt
ri ,r! ,,l
I
o.7
o.4
I
;;;;;';"';",s"nal setonkerikil betonsinrel
)ataill
I I
ns
kl"
r I
p, J I I
2.4 a
11.8i1.7
I
r lso
I
I
0.5 0.7 o.7
ls'
I
ls.a
2s
t2.9
zo I , s
tz!r.aI
t,,
)enyepuhan (pernis) gEnda arau trga kali endela tunggEl, didemoul endela ganda, larak-aatara 2O mm, didempu I . ) endeta ganda. iarak-antara l20 '. -;;;;;;;rl genteng dengan/tanpa r"-Urng'rn-pa k iIi' ,tap
't.4
I
I
r.0 r.3
2.6 atau r.9
)
5.8 2.9 2.3 Ir t.( t.o/5.6 /5.8
iuga untuk jendela-jendela dengan celah-celah udara yang di_lak 31,,
TABE L
TABEL Nilai panas
Nilai
Panas spesifik rata-ratacaml' UerilaOai gas dalam
Konstanta gas R dan massa molekuler M J
bahsn
J
asetilen
319
26
udara
287
29 t?
488
44 28
189 297
a
Is'T(
lsTamonia asam arang monoksida karbon
ln kJ/(kg K) sebagai sebuah fungsi dari suhu
R
R
'c
0.17 x 10-8 | tembaga, dioksidssi perak dipernis (Polishl 0.23 x 10-8lair aluminium diPernis 0.28 x lo-E I kaYu, dikotsm tembaga dipernis 0.28 x 1o-8 | Porselen, Pernis perunggu diPernis 028 x 10 slkaca seng dipernis 0.34 x 1o-8 | Pekoriaan bata besi dipernis 0.34 x 'lo-8 lieloga, mulus timah putih diPernis t8np8 pemrs aluminium tanpa dipsmis J o.4o x 1O-8 | song, o.ao x 1o-8 | besi, tsnpa Psrnis nikel dipsrnis hitam 1.25 x 1O-8 I P€rmuksan Oerunggu tanPa Pernls 3.66 16-el absolut ss
r
297
28
100
1.041
260 130
32 64
462
18
200 300 400
C
500 600 700 800 900
w(m2K1)
1000
3.60 x 3.70 x 4.40 x 5.22 x 5.30 x
10-6 1o-o 1o-8 1O-8
l
10
0.31
20 30 40 50
o.72 1.53 2.61
3.82
r) 1 N s/m2 = 1 kg/(m s) =
312
I
20
50
0.079 0.170 0.310 0'430 0.630
0.020 0.033
Pas = 1000cP
0.061
0.072 0.097
r.075 1.087 1.099
1.r10 1.121
26 1.1 43 1.157 1.1
100
200 r 300 r 400
1.r70 1.183
r
x 5.30 x 5.30 x 1O-8 5.40 x 1O-8 x
2000 21 00
5.30
5.67
1o-0
2300 2400
100 0.005 0.007 0.010 0.012 0 015
1.016 1.043 1.067 1.089 r.1 09
r
1
2500 2600
2700 2800 2900 3000
H2
14.38 14.40 1 046 o.9122 14.42 1.054 0.9510 '14..t5 1.064 0.9852 r 4.48
500 1 600 1 700 1 800 1 900
10-8 10-6 1o-8
Viskositas dinamis mlnyak motor dalam oC
0.8205 0.8689
1'039
2200
, d8l8m
CO,
0
Konstanta radi8si C Psda 20o C C W/(m2K')
CO
2
4124
hrdrogsn nitrogen oksigen asam belerang uap 8ir
Zfi
Panas
173
l4 5l 14.55 14.59 14.64 14.71
14.78 r 4.85 14.94 15.03 15 12
H2Otl r.858 't.894
1.039 r.041 1 044
1-918
t.049
'1.946
1.057
r'874
1.975 2 008 2-041 2.074 2.108
1.067 0 9925 1.078 1.005 1.088 1.016 1.099 r.026 1 't08 1.035 1.',t 17 1.043 1.126 r.051 1 134 1.058 1.1 12 1 065
15.30 I 2 331
1.r6p
10t7
1.17 4
1 083
r.r8l
r 089
1.186
I
1.204 1.209 1.214 r 218 1.222
l.24
r5 65
I I
0.9084 0.9218 1.035 0.9355 1.041 0.9500 1.048 0 9646 't 057 0.979r 1.031
1 071
1.233
r.230 t.234
1.026
60
r.198
.192 .192
2.437 2.461
r
15 74
15.82
2.485
r
5.91 15 99
2.s08 2.530
1 202 1 207 1.211
1.275
16 07
2 552
1.281
'r614
1.286
16 22
1
Or
1.1
1539 | ?359 1548 I 2386 1555 i 2412
1.249 1.256 1.253 1.269
N,,,
'ts2't 12302
t.2?5
|
1.108
1.137 1 145 1.153
193
226
r.098
2 208 2 ?40 2.271
r
|
1-087
l.'t 18 1.t28
1.r86
160
1.066
1.076
2.142 2.175
1.195 1.206 1 .216
l
N2
pure
r6 28 16 35 16 42
'r pada tekanan rendah
r
| 1.21s 2s73 | r 219 259411223 2.6tq I t-zzt 2 633 I r.2so 2.6s2 I 1.2s3
094
Il80I1099 I1 104
1.'r86
Soz 0.607 0.637 0.663 0.687 o.707 o.721 0.740
1.o04
'r.00, 1.013 1.020 1.029
1.03i 1.050
o.754
1.061
0.765
1.O72 1.O8?
o.776 0.784 0.791 0.798 0.804
0.8r0 0.815 0.820 0.824 0 829 0 834 0.837
1.092 1.100 1.1 09 1.117 1'121 1.132 r.1 38
1.t45 r.15 r r.r 56
r.162 1 167 1.172 'I,176 1,r
8r
t.183 1.189 1.1 93 r.r 96 1-200
r.203
2t
diiabarkan dari udara Perhitungan angka dinyarakan dalam E. Schmidt: Einf Lihrung in die Technische Thermodynamik, Terbitan ke-l 1, GottingeniBeidelberg: Springer 1925.
313
TABEL
TABET
Nilai-nilai panas
Nilai-nilai panas
Likuida/zat cair cp
Subtansi
0 20 50 100
oktan
CEHIS
2.131
0137
2 093
3241 1 786 1201 701
22-5? 16.63 11 90
3.454
0.183 0-177 0.173 0.165 0 152
3?6
7-41
1.78
0 144
7.79
1.821 '1.968
0134
649 436
806 789 763 716 879 847 793 66r
0 20 50 100
885 867 839 793 672
2@ 0 2A
50
glycerine C3HsO3
2.232 2 395 2.801
't.612
0144 0141
1'33
383 1296
1.37 1.48
695 636 609
4.45
-50
461
281,7 134,6
0.127 0.108
1.717 1 800 1.968 2-617
1435 1
0 ?o 50
merkuri Hg
'!020 714
958.r
719
50
minyak isolasi
357 175
0 5620 0.5996 0.6405 0.6E03 0 6685 0.144
100
minyak poros
6.99
547,1
4'1 81
206l
200
ammonia NH3
13.44
1002,6
4.217 4.182
988.1
738
m
SOo
1791 ,8
999.8 998.3
8&,7
100
sulfur dioksida
Pr
-25
0 20 50
toluene CTH8
l@rl
2@
-25
benzene C6H5
I
4.215 4.494
0
ethane CaHsOH
r,
261
773 586 419 269 133
865
o-?12 0.199 0.177
368 304
2.31
234
196
o.547 0.540
317 169 138 103
2.fi
o.124 0.108
1.85
13060
168
100
852 820
2.06 2.19
5490 2000
79 32
2A
866
609
60 100
842
20
ammonia NH3
0.521
o.477
818
2.8
3 t08
482 125 60
13546
0.139
1558
0.02
1260
2.366
1
7325
5.1 06
t241Al
2r.60
4{X)
1.O% 0.039 't.0,69 0.053
25.70 32.55
-30
2.r99
0-o2.
12.28 13.75 14.98 18.59
0-030
%.02
0.76
12.3 13.4 16.8
0.72 0.69 0.69
og7
2N
1.120
0 25 'ro0
3i3
0.473 00081
2.87 2-29
o.477 o.494
o.oo93 o-o12
0 25 100
0.76 0.70 0.56 0.44
2.056
oo22
2.O93
o.o24
1-7U
1.4U
-fl)
nltrogsn
N2
1.41 1.29
1.03 2.88
2.il
Ksterangan simbol lihat O
314
11
0.047
0.90s 0.913 0-934
o 024 0.026 0.032 0.039
16.3 19-2 20.3 24-3 28.8
0.586 0.607 0.662
0.0086 0.0099 0.014
11'7 12-8 16.3
2.219 0{33
2.11
0.7r 0.70
070 069 o68 o65 0.78 0.78
0'78
o.n
o.s7 0.86
0'8it 0.73 0.71 0.71 0.71
0.80 0.78
o.n
0 25 100
1.23 1.13 0"90
oo24
16"6
0.72
0.026
0.71
m0
0.71
0.0i!7
17.8 20.9 24.7
0"t
0 25 100 200
007 o05 $0049
0 50 100
0.0830 0'5974 7.865
mo K6t6rangan eimbol lihar O I
1
0.09 0.08
r15.255
30,0
r)
2.366
9.30 't0.0 12.8 16.5
081
0 25 100
-50
titik i6nuh)
0'013 0 015 0:016
1.75
0 25 100 200
diokeida.O2
0025
0.800 o.827 0-850 0.919 0.997
1.951
200
3.?2
1.44 1.26 1.10
1.012 0.(E2
0.735 0.517
0 25 100
414
561
0
diokaidaCO2
7.14 5.55
2.09
o93}
16.15 17.10 1 7.98
100 200
11.11
o.0n 1.@7 0 026
1.275 1.188
0
1r3
0.136
-m t3n m
37.O7
87't
2-A
udaio, koring
4.62
593 4-U
'l
Subrrrnsi
0.90 1
4.74 5.08
20 50
Gar (pcda l(XX) mbrl t
0.031
0'70 .0.74
13.50 't4-05
0.141 0.171
7.U
0.70
14"u
8.41
0.18!
069
14.41 14.41
0.211 0.249
8.92 10.4
0.71 0.71 o.71
1.864
0o16sI
'12.2
9.22 11.(N1
| 10.62 0{248 I 12-% 0.0203
10.999 11.@7
0.0391115.7811.168 6.144 00718119.7411.688
l 315
l
I
I
r;
oo ;i ::
l
)
g;o G'oc
og !o
/a
o
o f 5 @
@
c
@
o
3
3
f o I
@
l r o
o J o
'(,r ;' o c
c d f o C l x s
o_
3
@
:
3g f
o.
-ll
p. N]
3
o
@
:. )
i.
Mat€rlal
080 A 47
4i SAE
lJ42o/l2lASTM
708 A
530 M 40 ASTM
SAE
080 M 50
40
I
4140
51
A 322-76
1045
1044
]
|
in"r ez
o o
c
o
G
o l D
2
o
{N
oo
oo
91 91
PP
NO5 ooo
oa oo
o
o
@
o
9)
P
o o
N
CSlatsn: Kokuston torgantung dari diamote
an 6- ox o )( -o \o l @c u9 ,l tf
tu
I
I
A 283 Grado C A 20 A 28,{ Grado D A 22 ASTM A 5?2 Grade 55 M 30 A 572 Grade 65 M rto
titH'J':l[3
a6 sf oO g=, T
o6l cE
iil
SAE
050 060 080 080
Matsrial
.t 9= I
Sts nd8rUSA
6oJo-18 278e l!:1600/3 lesool ao-ss-{o | roo-zo+s lBlzoorz
Bs
s7N2-
BS
BS 970
iit
cE
E-
Stendsl .BS
-{rG AA :, [- oo Oo o o), qo qa 6
o)
(r)
4oo 600 7oo
000 900
700 450 770 26( 400 l6c 450 400
C-oo
eq
0-O
k
3
o -' -f
(o
o
o
o -.{ o =G ,82.3
33 06
rr
oo
ut
OE oo fl @@ oo 33 oo
oo
oo
eg EEq] d'z 3
d o=tr1
=
o
3q;i F:.3 o
A oa o o =
!
I
cc c xxx ooo ooo @o@ oo o
:;; fff Aq =,6 66-H o=-P f.?o 7 c a, !!.r B-r c s: rc -=lo =o oro 3
:i#3 Ed:q
=re-l Colrr
,f
CC
; =s' I 3 3P; oo f
l
o J o
@
320
| 2so 11301230i2101360 11201 I 380 1180132013001s10 1170l2e0l i 440 lztolsaolssoloco P001340
750 650
130
I
I
clf
6
If
a.
@O
OG'
o o
oo
o6 oo
6 o
oo
ON
r<^r
=
@
,-l
{@ @ IC
of 5@ .,e
o
ooo
o 'ol o! c 6, co ;lf,l vE -O 6s xC
40
tlo
40
CL oi
\
\c_
T< r8.
tr r 2.
o-
o
g
g> =E ;m -' t-
o
N
)
2.
3 o (D
o o 2. d oa 3 o
*.
G
r
a
= o,
o,
cr
o,
q,
, o = J ,
f d3 =N 3 a'-- L= -o 6 = q,
gk3 g5
o
3 3N
z
3
o)
o-E
'"i 5@
o F CJ
f
= g.
P.
z
o,
N
r O- (D A'O T fx o c o
lF
fEz -(a Oo-
i'.e
o
CL g
*= o.< 3a 3=
:,
,
o o
(D
3
>40...=100
>16...<
>16...s
>40...s10!
>16...<
<16
<16
d mm
Memungkinkan sebuah laktor pengaman untuk stress-stress yang diperbolehkan (lihat P 2 dan P 18)
r
khususnys baja yang diproses dengan panas.
t).
165000 170ooo 18soo0
205 000 205 000
207 000
205000
550 400 690
290 390 350 530 t70 210 260 350 310 520 170 210
430 370
650 630
205 000
660
r90 210
300 365 330 510
360
670
2't0 000
900
t00 1 rl0 180 275 200 350 t20 160 210 295 240 4'10 t40 170 250 335 280 170 r60 't 90
21 0
150 235 170 290
p*
235 275 295 335
I p,ulpo,^l
340 410 170 570
Rpo.: p,^
I
I
|
I Memsi I bengrol torsi lorsi I AIU AIUIAIUI
Komore-
000 210000 21 0 000 210 000
R";
stress
0 2 proof
pstah
Rm
| I I
Kskust an tarik
(skuatan lelah (fatig uel
E
t8s
slsstisi
Modulus
Titik
Zfi T.k.*;
TABE
TABEL
EE.r ge I !*5
st 52--3
050 A ?0
tam'
o N
gEe
E9
P;6." cLO.
besi sinlel (dibuat briket
besi sinter
(OEvA m€tal)
politetraf luor ethilen
:
90')
prrr
+ timah
r
brons
(GLACIER.OU)
0.5...5
tanPa geser: Memungkinkan nilaifiaksimum Umum, -"ir""lJ permukaan ii,irt parah kotpteii pada bahJn (o1r1= Rc) Tetapi nilaiiiirii^irt pb vans baik adalah lebih rendah' . I Nilai'nilai normal p di bawah beban-beban Eahan I ' uJu." -uti r bebln turun-naiklbeban'mendadak
n
)
rt
8
8-
8 o
a? -.E z"
dr
o o
c
.9.=J
PS
6 (o
ab g
ng
o
:
6 c,
cy
=-
:
9
o
I
o
o
o
N
oE 6 E.
N
ta
o ta t)
8 o :
o 1/)
:
o
N
o
t,
I
co
L,
E E
t.E {c to!
d 8 6
[;E .s
.!r
6
o o
8 o
o 6
!
o
o-r
-rE-o
8
0
o o
: I :u;
a;
E'i
I
I !t
N
:
o o 6o o o o o o 6
o 0 o
o
E
@
-o
c o E
!o
o C
o C
-
rs;
'-O-
; ot
=
o o
o J
5o E
l=ot E E
,
.E
!
o J o o
o
E
E
E
a
E I
o
Es! o': c&t ! 'ir.: 8- i
q
"6
ETE
,
e ! J o -9o ^ro c.9 oo tr oi oo
c
89
(o
I
EB J'E tgE 66t
o
6!c @ ctl o o o
N
C?
6
t
Eo
9E,: o.s
o 6
$v .n
,E
<0.005
l'
333 9;rb 5-O
! o.--(J
termasu
20
Pq
o O@-
,
(t d)
N
o
tr
putih grafit
n
o
iE(E -oo z
o J
brons timah
N
C o ^E
FJ
brons sinter
19 E
G'
"; or
g
2)
Bahan
Bahan
II
(o 15... O 17)
[
bahan (lihat q 13) Tap dan bantalan, pelat bantalan Pelumasan hidrodinamis lihat q 47 dicat;t[ Pelumasan campur, ,o'o,'ptt'io"r.uk dikeraskan dan
rem
Sifat-rifat dari bahan frikri
gedung DtN 1050) Tekanan bantalan bautpasak (Konstruksi .p"- I .91L",,i= f=' beban utama dan
I .c
Data untuk kopeling (ctutches) dan
Nilai kekuatan dalam N/mm2 k""t"k yr;i dii.inkan Po dalam N/mm
''"i.;;;;;;;i;i;;;;;,-l- u.r,"" |
L
o
o
$$E
qaf
o o
o oq
o N
f
o
c
F
a
C.,l
o
...J .'E
c
o
ce+
o a D ! G 0 o
x [H n ==E
!o
-o
o
c o I
o c
(9
o G
o G
-G
y= 6J
{{E rat
E
E leoo 2l c lroo .l
€
-t
ust,l tUSt O,t2,
€
Et,*
zltoo EI GI
lsoo
8 ot
alu
bl*n cl
.9 .s
perunggu- 58% Cu
4oo
.9
al t' o
400
E
E
3oo
t E o
1oo
! lo
E
z !E o0,s '1,0
+9 ',roo
E
E
z c6
lrzoo
l
200
I
o
!
1oo
o
0,5 1,0 1,5 49
2,0
E
?
600
z E
o
o
:o
300 50
.g
.!
untuk blhr;-b.han lain lihat
320
vol
0.941 0.r 3 0.087 0.5
lunak el
lo
nikelin platinum
2.08 58
timah putih
?.71
2-A
0.1il
perak
45 o.r 25
9 62.5 8.3
0.016 0.12 0-059
17
0.06r
e
ba kel
it
kaca
marmer mika
,6.5
e
bahan
C! cm
1or.
pleksiglas
lots
1or5
pol i sti ren
lort
1or0
porselen tu ambar pres
I
kanit air, didistilasi
1o!6
IOf
minyak parafin waks parafin (murni)
l
otr
10rt
Koefisien suhu
6
?
J
50
0 0,s 1,0 1,5 +9
2,0,
o o o i5
I
02o pada
o20
Or.
torr l07
aluminium peru nggu
karbon konstantan tembaga perak Jerman
t=2O"C
bahan
llK or'lt"C
grafit w : onorgi regangan pcr satuan volume^ ^ 3200
o'423
merku.ri
Qcm
o
100
1,00
manganes
1
0.10 0.48 0.o172 0.369 o.0?22
10
1.8 23 2.37 1.063 7.7 1 1.5
Resistansi listrik p dari isolator
tr
0
13.r 0.025
8.00
t o tr
6
o,so 0,?5 0 025 49
gmas grafi t
6
50
]
o-076 40
0.r0 0.208 0.0435
co
200
E zoo
konstantan tembaga ak Jerman
l7 't4
1
0
f,) mm2 m
{murni} imah
0.07r
besi tuang
khromium-Ni-Fe
bahan
m 36 2.4
0.417 0.0s9
E
E
qoo
perunggu- 63% cu kadmium karbon
o (, o o
E
8oo
i,
0.0278
antimoni
i.l
50
13 I rooo
G
I,0
o
d
E
E z E o
-:-
400
E
€
E loo
Al HgSi tott
ol r,,,,,
u. EI €l o
E
t,U i
1,5
:
I-t
ai,
E zoo
elY
Qmm2l
bahan
El600 tt
E
E
Resistan3i spesifik listrik p konduktansi spesifik 7 dari pengantar pada I = 20oC ,|
ar
tt rlra,llttt
looo
.
Sifat-sifat listrik
wdan kekurtan hasil (yield strengthl
.Il
€l .E
TABE L
TAEEL
Zzo
kuri lunak
+ 0.00390 + 0.00150 - 0-00030 - 0 00003 + 0.00380 + 0.00070 - 0.00020
timah purih
:0.00Od1
Seng
ikel
nikelin tnum perak
a7o
1lK
or lloc
+ 0.00090 + 0.00660 + 0.00400 + 0.00023 + 0.00390 + 0.00377 + 0.OO42O + 0.00370
TABEL
TABE L
Sifat-sifat magnet
Sifat-sifat listrik Konitanta dielektrir e, 3.6
t
atmos{er bakel
I,-rlttn rnadx
mafnaf L dan perme€brlitas rolEtil e, s€bagai sobuah lungsi dsri induksi g
bahan isolasi
bahan isolasi
it
kompon tuang (compound) kastroli (caster oill ebonit
3.6 2.3 4.1
kaca
?.5 5 1
9utaperca kertas keras (laminated)
4.5
isolasi kabel 1sg3ng3n 1i6991 isolasi
4.2
kabel telepon marmer
1.5
I
mika mikanit nilon kertas minyak minyak iaitun (otive)
5
5 4 3 2.X
5
2.2 2.2
I
danrar fenolik pleksiglas porselen papan pres
4
45 35
kwarza sirlak, embalau batu tulis karet lunak I
minyak mineral translormator minyak nabati translormator terpenten fiber divulkanisir vul kanit
U
kadmium kobalt -271 nikel -237 timah putih
polas kalsium sodium magnesium
-
berilium aluminum
-r85 timal' - r.66 hidrogen -
manganese seng
khromium tu ngsten
besi
'l Antimon + O,1O ") Fluorin + 12,87
322
2.93
-.?.8?
I
1.19
tembaga
- 0.76 pera k - o.71 merkuri - U'JC platinum -058
I-oor
emas
G
tesla
gauss
0l
5
o2
3.5
0.3
2
04
2.2
I as lzz | :'
30 60 80
I 250
't00
4
0.5
000 5000
650
06
120
3
6000
2'too
'140
o7 08 09
7000
3600 5300 7 400
170 190
3280 3350
230
3
2690 2360
9500
295 370 520
355 460 660
2240
63 49
r
445
29000 42000 65000
36 29 't8
750 1 2s0 2000
380 890 600
820
1
500
260 495 265
8500
150
13 100
'!03
10 13
l2
'1.3
U
1.4
15
-0.r0 -028 -023
't.8
-C l4
-
-
-
0.13
0c0 c3J 0.80
= 085
-r50
*o
1 000 2000 3000
740 980
voll
bahan
voll
r=+
2.5
loo
air
Seri elektro-motif (selisih potensial dalam hal elektroda hidrogen) bahan
rt0-36w kg
4
it
|
baja pelat dan baja ikat
besr tuang
3.2 3 4.4
polistiren
s-tea
baia tuang I dinamo campuran (alloyBdl dan dinamo
22
belerang tefl on
6
kertas kertas, direspkan (impregnated)
minyak paratin uiaks parafin minyak tanah
1.6
4
I
8000 goori 't0000 11000 1 2000 3000 14 000 15000 1
1
2650 2650
2980
3
tB0 310 410
9390 6350 5970
65
4900
90 125 170
220 280
t10
'l830
1
8,5 25 40
2250 4
4420 3
810
3280 2900 255A r 900
6000 7C00 18000
3500 7900 't 2000
1.9
19000
19 100
79
39
2.0
20000 21000
30500 50700
52 33
11
2.1
2.2 2.3
22000
130000 218000
13
23000
1.7
1 1
limit praktis
2l 500
67
4
Cantan:P 1.0 lihatZ 24 323
TABEL
I
Nitai-nitaipenerangan I -L 25
TABEL Sifat-sifat magnot
(iluminar Nilai-nihi penuntun untuk pemborian cahaya (iluminaril f, dalam tx - lm/m2
Sitat-rifat pelat dlnamo
- II Hanva lPeneranoan umum dan stau k--husut penempatan pen"rangonl I .i" lbanoku lsli6lumum l(esar I r0o 50 N bengkel sesedanE I r@ 200 500 ruai dengan 3(x, 200 r00o tepat I JenE pemasang€n
baia pelat lunsk dsn baiE-ikat
tonaga hilang Pada l.O T dalam
€narl
kotebalsn mm
sedang
200 500
I I sedang denoan lalu- I berat linta-s umum fT&Ians berat lapangan pa- |
m
larhrrLa lca^nn nng6n
Deneranoan
jalan-iatan
dai
karugian inti (besi) per gatuan massS
Pads/ = SOHz
lapangan
brik dengan
wkg
(max.).
500
500 750
kamar-kamal
krrapatan kgr'dfll
?P6.J
normal
kantor
laluJintas
I I
kendaraan
I
3q)
r5q)
5{' 100
Efikasi kekuatan) cahaya 4 'gaussl Brr
1.53 | [16300l |
1.60
Jenis pener'angan
[160001
langsung tidak lanosuno
Vi/"r' Igaussl
lrangan ialan umum
B- V s/m2
lapangan
Igauss] Kaloranoan Ea = t-.Sg
m,
irp
vlm2
menunjukkan, bshws iolsh dicspai induksi minimum 1.53 Vs/
grrBs] dengan kekuatan medsn sbosr 2sAlcm. Kstena itu panlluks sbe$r miolnya 5 cm mmedukan sittuhsi $b€$r 5 x 25A = 125 A.
lrte
I 53OO
I t.O
Vs/-,
.
Ir.s
vvr'
= [1sooo
L_.--
321
I1OOOO
Warna permukaan yang diterangi
teranolsedanoloelao o.60 0.35
sangat
ffi
0-45 0-25
cekung !
reflektor
0-30
0.t5
melebar
f.nfurn a?l226
TABE L
Flukr cehrya O, dari hmpu{empu
t
rer.,r
mpu{lmpr
drneon aatt kawat
p.irr tpirul
Pr,l w I t5
1.25
klm o.t2
o.23
0..13
5.0
o,
?ot
lpcda tcAnpn kcrja) o,iamoter Nilal-nilei rulat lamprr ncoh
untuk 't\lsrmwhlte
26 mm
"Daylight"
38 mm
tekansn-tinggi diisi uap merkuri
al
o" Pn
w
r50
m
klm
2.22
315
I
40
I
I
60 75 I t00 o73 o.96 t.3e 3(rc 5(x) t0@ 2000 8.'l
r0.8
r
0{r 36
58
002
klm
r.45
t1t
5.4
oo4
r5
m
P
w klml
125 6.5
250
l4
0{3
.10
65
G05
3.1
5.0
0{7
4m Joo 21
o06 1000 2000
o@
0.398 9.12 0.39E 922 0.398 862 0.398 763 0.396 623 0.398 444 0.398 225 0.397 966 0.397 668
0.ta
or5 or6
ol7
0.1 8
9 0.20 o.2r 0.22 0.1
021
32
35
38
41
2
{3
t4 46 48 49
0{n7
0{r5
979 957
0.04 gsl oo31 907
2r9 53r 806
o-112817 0-rso 69r
0.390 242
0.158 519 0.166 332
ro 0.396 953 t 0.396 536 0.12
0.@00@
876 845 806 763 o-07r 713 0079 656 0.087 59r 0.095 517 0-103 434 0.1 I t 340 or 19 235 0.r27 119 0'134 990
0.0!) 0397 gX'
ot3
326
P,l,l -
fuo[';ti or, "at,l .f,ofl'
erl
18
w
L2
40.0
w
klm 0.59 r.20
-
71r)-frc,; G@
o,
Zze
Statistik
0.396 0:395 0.395 0-39/t 0.393 0.393 0.392 0.391
0.39t
@O
585 052 ,179
868
o(l
0.039 0.047 0.055 0.063
0.388 0.387 0.386 0.385 0.384 0.383 0-382 0.381 0.380 0.379 0.377 0.376 0-375
529
0.171't?s 0.r8r 908
6r7
o.189 670
668 683 663 606 515 388 226
0.197,4t3
03739rI
0.281,53
0.372 0.371 0.369 0.368 0.355 0.365 0.353 0.362 0.360 0.358 0.357
548
0.288 0.296 0.303 0.310
0.389,1(x
03t 801
537 240
r5{
724
270 782
263 714
r35
527 890 225 0'355 533 0.353 0r2
0.205 136 0.212 840 0.220 522
0.228 1A4 0.235 0.243 0.251 0-258 0.265 0.273
823 439 032 600 143
66r
617 054 463 843 0.318 r9.r 0.325 514 0.a32 804 0.340 063 0.347 290 0.354 484 0.36r 645 0.368 773 0.375 866
at
(t
0.0@
0.orr 20!! G5r 0022 565 o52 9031! Ell o53 0045 fli O.5.1 0050 372 o55 o067 6z2. G56 0-07E 858 o57 0{00 078 o58 0.10r 281 o-59 o.r r2 46:t 'o-60 0'123 623 (}6r or3.r 758 0.!..2 0145 867 o63 0.156 947 0.54 0.167 996 o65 0.179 0r2 0.66 0.189 992 0.67 0.200 936 0-68 0.21 r 840 0.69 0.222702 0.70 0.233 522 0.71 0.24,1 296 o.72 0.255 022 0.73 0.265 o-71 0.276 326 0.75 0.286 900 0.76 0.297 4r8 c7? 0.307 880 0.78 0.318 2&3 0.79 0.328 627 0.80 0.338 908 0-81 0.349 126 0.82 0.359 279 0-83 0.369 365 0.84 0.85 0.379 0.389 330 0.86 0.399 206 0.87 o.409 0G) 0.88 0.4r8 739 0.89 0.128 392 0.90 0.437 969 0.91 0,447 468 0-92 0.456 88' 0.93 0.466 225 0.94 0.475,182 0-95 0.484 656 o-96 0.493 745 0.97 0.502 750 0-98 0.5r I 668 G99
0.350 292 0.348 493 0.346 668
0.3r!1818 o-3/-2941 O3/rl (X6
0.9t9 124 0-gt7 180
o.ais 2t3 0.333 225 03:11 215 0.329 184 0.327 r3l 0.325 062 0.322 972 0.320 864 o.318 737 0.316 593 0.311 432 0.312 254 0.310 060 0.307 85 1 0.305 627 0.303 389 0.301 137 0.298 872 0.2e6 595 0.294 305 0.292 004 0.289 692 0.287 369 0.285 036 0.282 694 0.280 344 0-277 965 0.275 618 0-273 244 0.270 864 0.26A 4'17 0.265 045 0.263 688 0.261 286 0'258 881 0.256 471 o.254 05E 0 251 64.1 0.249 224 0246 809 0.244 390
0389 949
0529 2'L
0.390 936 0.409 888 0.410 8(B
o$7
0548 a6a
0417 66t
osd,3et
0.121 321 0.431 32 0-it38 065 o-4{4 809 0.,151 a9,l 0'.(58 138 0.454 742 0.471 306 0.177 824 0.€.r 308 0.490 746 0.497 r42 0.503 ,196 0.509 806 0.518 073 0.s22 296 0.528 {75 0.53,1 610 0.540 700 0.546 745 0.552 745 0.558 700 0.55,1 609 0.570 472 0.576 289 0.582 060 0.587 784 0.593 45r 0.599 092 0.604 675 0.610 2l 1 0.615 700 0 621 1.11 0-6?6 534 0.631 880 0.637 178
o.u2127 0.547 629
0.652782 0.657 0'662 0 667 o 572 0.677
888 9.t5 954 914 626
Ege
055,1€0 o57l 6tc 0579 8lC 0.587 9iB 0.595
9t'
06@ 856 0.61
r c8t
0.619,1i2 os27 u7 0.634 5!a 06.a2 029 0-649
3r,
0.656 0.663 0.670 0.677 0.684
628 782 8.r0
80r 856
0.691,1:I! 0.698 loa 0.704 678 0-71
r r58
0.717 S37 0.723 8?2 0.730 010 0.736 rolt 0.742 l0t o-74a @3 0.753 81 I 0.759 524 0-765 l,t3 0.770 668 0.776 r@ 0.781 ,[,lO 0.785 687 0.791 843 0.796 908 0.801 883 0.806 768 0.81 1 56i3 0.816 271 0.820 891
0.825 0.829 0.834 0.838
424 870 231 506
111
TABE
L Zzt Statistik ttd - fi i{ ; o;r,t - 6"! ;l ",,
INDEKS orr(x)-
#rf
",, erl
tor ozte 1&2
oat
55r
out1l
t€
ozaci,i2
oanaT
toc ozn am
10
0225 oao
t.oe
o.zo257
to
70r 1.50
sos
tx2 o.@202
1
0{r7
o.72a287 0720 66E 0.7at 00r
0203 57r 0.201 214 853 o.196 520
or9.a
r8t
r.2t or9r 880
0.902 0.90.1 837
r.60
0.153 gsl 0757 999 0.762 (m 0.165 9s3 0.769 06r
oTt3721
&r7r
0167 (}16.. 0.r82 o'r80
235
o78r 3oit
!xl7
0.785 024 G788 7@ 0.792 0.795 915 0.79S 155 0.802 9,a9 0.806 399
ot78 r(x r"28 ot75 847 r.29 or73 6@
t.30 otTr 359 Gr69 r{7
't'31
r.32
ol6a 9:t,
t'34
& 164 TrrO &152 Sr5
1.35
o'rm
r.
38:t
r'36 ot98 225 r.37
0.r56 080
1.38
0.153 0.18
t.39 Gr5r &!1 I *ao 0-!.9 727
l.rtl
1.42
t{3
0.147 639 Ot,rs 56a O1,(' s{Xt
"4,1 Ot/tt 4@ l.as Or39 /(lr r "46 ot37 {17 1
147 Gl35 ar8
t.{a
l.at
328
ot3at 435 0.r31 4tc
l.5E
1.05 1.66 1.67
E56
Ol89 5/(i
1.26 1.27
SrE I 0866 (}5 | C868 9s7
0.127 563 0.125 6G5
| o.r7r .r9
53tt
3r
O.8oo SOil
0.813 r65
0.816.|a2 0.819 0'822 0.826 0.829 0.832
75S
t r70
9E
313
4r3
Ol35,l7l o.8(ts a87 0.84r ,[50 o.8arl 3S,2 0.8,17
2&t
0-850 tlB 0'852 9ar 0.855 710 0.858 438 o85r 127 0.E63
7,6
o899 0.907.608
0.1la 5o5 I 0.885 C93
r.62 r.63
1.69
0.109 rss 0.107 406 0'105 675
|
1.72
r.73 0.920 505
0973 @ 0.97.t
3t7
0.977 m7 0.97C @8
10.898995 ot02 265 I G90t 057 o.rm 588 I 0.903 085 G098 925 I 0.905 081
0.979 6?2. 0.980 s70 o.Bat 105
otc]961
0.097 282
(}095 657
I I
I I
0.090 887 0-089 3:It 796 0.@6 277
I I
0.080 380
| I I I I
r.7{ 0.08,
0922 9@ 1.75 0925 236 t.76 0927 51,1 1-77 0.929 734 r.78 0.93t 899 1.79 0.934 @8 r.80 0'936 063 0.818 065 Og,m Ol5 O.9,ll 914 O.9il3 762 0.9.15 562 0.9,.7 313 0.9,19 016 0.950 673 0 952 285 (}953 853 0.955 376 0.956 8s7 o95E 297 0-959 695 0961 054 0.962 373 G963 6!! 0.96,1 69I!
G97r cza o.972 c26
0.0e2 602 0.891 768 0.896 89!)
0-9lo 3ta t.7o 0.09i4049 I o9r2 955 1.7t 0.Gr2 459 | 0.915 53a
0.967 2n G968 ,lt4 0.969 5rc 0.970 586
r.59 orr?7o4 I 0.888 r65 o975 s2 r60 o.rio92r lo.sgo{or o978 3,18
0.896 r2a
52t &880 97r
r.21 r.25
6,19 371
o88o
o7.9
0.711
1,Zt
1.4
0.873 o.876
1.6,1
G2rO 606 0.200 38 G205 936
or08
otal
l.s] Gt237(t
0.8!B
t.ta t.t7
t.52
o7a5 7t4
o.73tM
t.rc
0.05,1 78a
1.61
0213 069
t.15
0650 03c
t.5r
0.E&t o.885
1.12
l-r3
tt0
I0.87198:r o70t c60 o{58 1.5,1 ot2r 67E I 0.876.4(' G10.?,it 0662 436 r.55 or2o@t I o.o7srss o7r0 t55 GE6O I r.56 ofic 157 | 0.001 2.0 o7r5 301 0.869 r.5, ot t6 323 I 0.883 585 o60a 000
o?zla53 o7l0 Esl
t.ro o2'n a52 t.t t 0215 asE
oc.t6
t.8t
0.@,1776 I 0083 29J | 0.@r 828 I
o{78 gso
r.86
0.077 538 0.076 143 0.074 765 o 073,r07 0.072 065 0.070 7llo
r-87
0.069.33
r.82 1.83 1.8,t 1.85
r.88 1.89 't.90 1.91
l-92 r.93
r.gil 1.95
r.96 1.97
r.98 1.99
I I
0.068 litil
|
| I
| |
0.907 0.3 0-908 972 O.9lO869 0.912 73a o.9r4 568 0.916 370 0.916 r4r 0.919 882 0.921 592 0.923 273 0.924 924 0.926 546 0.920 r39 0.929 704 0.931 2,ar 0.932 750 0.934 2? 0.935 687 0-937 !15 0.938 516 0'939 E92
0.06507r | 0.9..r 2,.2 0.0656161 0.912567
o.97t 8,('
o98r tt0 o982 493
'153
0.9&t 0.9&l 790 o904 ao| o985 ooo 0:90s o.985 o.986 0.987 0.907 0-988 0.988
578
r35 672 r90 69r
tl1
641
0989 090 0.989 52a 0.949 9,(t G990 u7 0.990 736
0.99r lfi 0.99t 172 0.991 0.992 0.992 0.992 o-993 0.993 0.993
821. 156
479 790 090 378 656
| 0'9€ 857 0.0dt t57 I 0.945 t42 0.051 952 I O.9.t5 393 0.060 76s | 0.9,17 620 0-gqt 022 0-059 595 I 0.9.18 824 0.994 r79 0.05841r | 0.9500O. o99{ 126 0.05730t I 0.951 162 0.994 664 0.0s6 r83 I 0'9s2 297 0.994 692 0.055 079 I 0.953 109 0.993 ttt 0.06.1 378
A.O.L.
A.O.L.
A-O.L./tingkat kualitas ylng ditorima
Acceptable Ouality
rltrr-akar
gray addendum ad'nittance roots
aksioma t'erhadap ke-
axicrnes to the
atxrobu adcndua adaitansi
mungkinan aliran kisaran rlirrn laminer al iran, kerugian f riksi alirah, persamaan analisis gpya angka tengoh deret hi-
tung angka tengah deret ukur Angstroa anulus Archimedes, hukum
arti derivatif /turunan arus arus bolak-balik
arus bolak-balik,
iem-
lity
Level
Gll Gl l
T5 O18, O20 516 Probabi'
flow llornr flow,friction loss tlow, equation analysis of forces arithmetic mean
o
1
GI N6 N6
turbulent laminar
N
.6
N
5 P 5, P 6. P 7
O9
geometric mean D9 Angstrom At annulus B3 Archimedes princiPle N3 meaning oI derivative H 2, H 3 current SI alternating current sl4 ... s27 alternating current
batan arus kisar arus, kerapalan
eddy currents current density
asimptot
asymprore
s20
bridge
s23
S2
mixture rule for f luids
F3 U6
aturan cosinus aturan elektro-magnet
cosine rule
E6
electro-magnetic rules
sl
1
bahan pengering untuk
drying agents for
U
6
K 5,K
6
aturan campur f
untu k
lu ida
desi
kator
balok (gelagar pekerjaanl konstruksi
tors lattice girder ca
disec-
329
bclok bcrkekuatan rrlr!g!m balok dengan bcrbagoi
beam of unitorm
rtrength
beam of \6rying crorr
potongan-l i ntang balok dengan potongsn-
P16
Pl5
tection
lintang *ragam balok cquivalen balok yang dilengkung-
beam of unilorm cross section
Pl
equivalent beam
Pl 5
curved b€ams
P25
I
kan
brams Pll...P16 bearings O1O.... O14 bearing rolling O10 bearing friction K12
balokialok bantalan bantalan beroda bantalan, friksi/gesekan daya dukung
banialan, leher (tapl bantalan, ruang main
bearing iournal bearing clcarance
010 01
1
bearing pressure barrel bars of circular cross sec-
01
1
(sPel i ng !
bantalan, tekanan barrel batang penampang-lintang bu lat batang pensmpang-lintang tak bulat batas leleh baut baut pengikat beban dalam ikatan ba-
c4 P20
tion bars ol non circular cross section
P20
yield point
P1
bolts
lixing bolts loads in beams
Belleville spring impact impact, elastic impact, plastic
bentu ran
benturan elastis benturan plastis bequerel
Bernoulli, teorema (daiil biaya penyusutan bidang mrrinq bidang miring bilangan kompleks binomial, deret
binomral, teori
bequerel )
Bernoulli's theorem shrinkage allowance inclined plane plane, inclined complex numbers
binomial series binomial theorem
bola, daerah Bow, diagram bunga majemuk busur lingkaran busur, diferensial busur, panjang campuran pembeku campuran silang campuran, energi dalam campuran, entalpi dalam
C
sphere with conical
C C C
boring sphere with cylindr, boring sphere, zone of a Bow diagram compound interest arc of circle arc dif ferential arc length f reezing mixtures mixture cross internal energyof amixture internal enthalpy of a mixture
candela (baca kandela) Cardan, sambungan Cartesian, sistem koordinat Cavalieri, prinsip cermin cermin cembung cermin rata
coulomb
tem Cavalieri
principle
mirror
mirrors mirros coulomb convex plane,
D23
K
7
J J
7 7
U U
5 6 9
O O9
T1
candela Cardan ioint
Cartesian coordinate
K
2 3 3 3 6
Ll0 sys-
Dl5
C
1
T 2,T T T
3 3 3
S
2
o1
theorem of rel, shear stress- P18
P8
dasar, bersih dasar, keretakan
bottom bottom
o6
daya
ol
M8 M8 M8 T5 N4 P4
KlO, L 9
K10 D21, O22
Dl0
o4
es
daya daya daya daya daya daya
apung kondensator
reaktif semu
daya, faktor daya, koreksi faktor daya daya, satuan dedendum defl eksi d
clear tearing
O18
R
5
powcr M active power S29 power, active S29 buoyancy N3 S29 capacitor power reactive power S29 516 apparent power power factor S29 power factor correction S29 power, units of A 3, A 5 Ol8, O20 dedendum P12, P2O def lection D 9....Dl1 series O9 arithmetac series 1
aktif aktif
eret
deret hitung
33C
sphere
dalil stress geser relatif
lok Belleville, pegas
bola bola dengan lubang konus bola dengan lubang silindris
331
deret Mac Laurin deret Taytor deret ukur
deret ukur, penerapan
derivatif/turunan
derivatif-derivatif/turunsn-
rerier, Mac burin O10. rerier, Taylor goometric serier geometric series, application of derivative
O10 O11
I
.krPon.tIl.l, pargmtrn ckulllbrlum ckuiwlcn mlio molckur
H3
desiccants determinants
U
6
distribusi hipergeometri
D7,D I G6 v G3 standard deviation speed diagram B1 thermodynamic diagrams O 6 O5 diagram-hub geometry O19 diameter. base O19, O20 root diameter O19 diameter, ref arence O19 diameter, tip H 4, H 5 basic differentials T4 dioptrics hypergeometric distributi- G I
distribusi kemungkinan
probability distribution
distribusi khusus
special distributions G9 cumulative distribution G9 cumulative distribution G2 f u nction normal distribution G 8, G 7 two coils facing each other 511
determinan determinasi v deviasi standard diagram kecepatan diagram termodinamis
diagram-ukuran nabe diameter dasar diameter kaki diameter referensi diameter ujung diferensial dasar
dioptrik
determinationof
on
distribusi kumulatif distribusi kumulatif , fungsi distribusi norma dua kumparan saling berhadapan efek roda gaya ef ikasi kekuatan cahaya ekspansi benda cair exspansi benda masif ekspansi fraksi bagian ekspansi gas ekspansi isi ekspansi linear ekspansi luas ekspansial, fungsi
332
flywheel effect luminous eff icacy expansion expansion
of liquid bodies O of solid bodies O
partial fraction
expansion D
expansion of gases expansion, volume
linear expansion, area exponential functions expansion,
2
225 3 3 3
O O
4 3
H
3 3 5
O O
F4 c1ln. .xpon.ntl.l.qu.tlon O 4 cqulllbrium K4 cqulv.lcnt inolccubr rnalr O 8 photomatrlc radlatlon TI axPomantlal
cquivtl.
6ntslpl cntropi
faktor pengaman taktor-O farad
fluida fdeal fluida nyata fluida, ideal fluida, nyata fluks bocor fluks cahaya fluks cahaya lampu fluks, intensitas
1
flukr, kuantitas fluks, magnet Foelmer, rumur
fokus
fotometri
1
Fourier, aturan, hitungan transf ormasi Fourier', deret Fourier, kaitan transf orma. trans-
ormasi Fourier, pengalihan waktu transformasi f
Fourier, lransformasi fraksi mol molekuler frekuensi
Fourier transformation D16, Dl7 cor16rpondonce
si
Fourier, konvolusi
chcmlcal UI cllipre B 3,F 4 rpcctral cncrgy D15 ontholpy O4 ontropy o4 $fety tlctor P2 Of.ctor S15, S19 larad S3 ldeal fluld N4 real fluid N4 fluld, ldeal N4 fluld, rcal N4 loakago flux S12 lumlnous flux T 1.225 luminous llux of lamps 225 luminous intenrity T flux, density S3 luminous qusntity Ti flux, magnetic S10 Foelmer formula O2 focus F2 photometry T Fourier transformation cal- D15 'cul, rules Fourier series O12, O13, O14 clementr,
alsmen kimla ellps encrgl rpektra
fluks, kerapatan
lJz
M
ekuivrlcn rudiari totomrtrl
6
turunan desikan
rh ponernrl)
O23
O
H4....H
derivatives
rkponrndrl, hnekurrg lgr
Fourier
transformation Dl5
convolution
Fouriertransformation 015
time translation D15, Fouriar transformation Dl6, D1,7
molecular mole franction O 8 frequency
LI
tlt
l
ldut
frikri/gelgk
n
friksi/gprekan dayo dukung lri kri/gesa kan-l u ncur friksi/gesekan kopeling friksi/gprekan tali
friksi, angka/gesekan untu k fluida
f
frikri, tifat bahan gerekln friksi, kerugian gerkan lam oliran
S19 r.rorunt S2 rngulrr S14 anguler frcquoncy K 9....K13 friction Kl2 frlction, bcaring KI friction, :liding friction clutcher Cll5, 017 K13 friction, rope 216 frictlon numberr for
frcqucncy, lrcqucncy,
frekuenrl rrdut
frckwenri
pipa
GI
nl.tlv. lrrgurncy
frckuonrl rclatil frekucnrl rlaonrn
da-
luidr
friction materialr,
propar.
tior
friction lorer in pipe
flow N 6, 7I
frikri, koefirien gerokln lriction corfticiont K frikri, ombungan gerekln friction locked loinr terkunci lungsi ekrponenrial fungri hiperbolir
functionr, rxponrntial functionr, hyperbollc
fungsi kebalikan trigono- functions,
metri
fungsl kerapatan kemung kinan
fungsi kesalahan fungsi logoritma funOsi trigonometri
fustrum konus lustrum piramida gallon, lmparial ( lnggerirl gallon, USA (Amerikal gsrir lurur goris pengenal llengkung) elasti k garis pengenal (lengkungl
inverse trigono'
metr.
probability denrity on
crror
gBt, camPuran
gar, hukum
334
9'Z
O
7
3
H5 H6 H6
functi- G 2
function
G8
gallon, impcrial gallon, United Stat.r
.traight line Ebrtic curvc
Gaurian
curve
normal probability
clrrve mixtur0 lawr
arror gar gor
gas
gauss gEya antara
force between magn.
kutub-kutub
magnet gravitasi
gaya gaya gEya gaya gaya goya gaya
magnetomotif momen paksa
poligon sentrifugal
tarik
gaya, komposisi gaya, satuan gaya{aya pengoruh warna
A5 A5 F1 Pl
G
1
I
cllrvo G 7 G8 O 8, O
I
O4
o
4,212 S
Poles
3
513
M1
force, gravitational magnetomotive force force, moment coervice force force. polygon centrifugal lorce tensile force forces composition force, units of bankholder forces
S 4, S12
K1 s23
K2 M5 P1
K 2,K
3
A2 R6
putih generator gerak berputar gerak di atas roda (menggegeser (meluncur) harmonis sederhana
linear putaran
geser. defleksi penggeser segeser, gaya penggeser geser, modulus geser, tegan9an geser geser, tegangan geser karena torsi geseran
getaran (vibrasi) getaran harmonis getaran mekanis getaran{etaran harmonis Grashof, angka gravitasi, gaya gravitasi, tekan hantaran kepala-silang hantaran panas/kondu ksi te?mi3
s31
generators
L4,L6 L9
motion, rotational motion, rolling
linding) gerak gera k gerak gerak
buah balok
function:, logarithmic H 6 functionr, trigonomatrical H 5 C2 frustrum of cone CI truttrum of pyrsmld
Gaursian
gorir pengenal kemungkin!'n normal garir pengenal kalalahan
Z1g
constant gauss
gas, konstanta
L9 harmonic L 7 L4,L5 L4 motion
motion, sliding motion, simple motion, ltnear rotational
shearing deflection of
a
P19
beam
shearing force shear modulus shear stress shear stress due torsion
Pl8 P18
P'l P20
P18, P19 shear M6 vibrations L4 harmonic oscillation oscillation, mechanical M 6
harmonic oscillations M 6, M
7
o12 number K gravitational force N2 gravitational pressure Ol 5 crosshead guide thermal conduction 01O,21 . . Grashof
1
z6'215
335
)
l I
hekragon
henry hertz
hidrodinamika hidrodinamika, nilai-nilai hidrostatika hiperbola hiperbola. fungsi h
isteresis
histeresis, daya histeresis, usaha
Hooke, hukum hukum larak optik hukum jarak, garis pengenal waktu hukum jarak, optik hu kum setengah-sudut iluminasi impedansi indeks relraksi, pembiasan
henry
hertz
hydrodynamics N4 ...N
yalues hydrostarica N I _. hyperbola hydrodynamics
illumination impedance
refractive index
lndu ktansi
inductance
inersia, momen inersia, momen dinamis
inertia, moment of inertia, dynamic moment
self-induction
ol
instruments, electrical measuring instruments eleclr.
integrsl tak terbatas/tak terhingga integral, terbatas integrasi/penggabungan integrasi dengan nomor uru
t
integrasi dengan substitusi integrasi menurut nomor integrasi sebagian iebagian integrasi, penerapan
g 3
;i, transformrtl Fou'
tlonr lnverse Fourlcr
lscntropic
isobar
lcobare lsochore
langkauan ukur volt'mster
i.tuh
beb6s
T 1,221 518
Johnson
ioule
s6
kecepatan kecepatan aliran Pelumas kecepatan ktitis kecepatan kritis oleh getar' 8n kecepatan pegas kecepatan sudut kecepatan, lengkung waktu keiadian.keisdisn torPisah kekakuan kekasaran dalam PiPa
J1 J1,J 2
J8
integration by substitution J 2 numerical integration J8 integration by parts J2 integration, applicrt. o, J 7. . JlZ
kekerasan
air
kekerasan Amerika kekerasan lnggoris
I II
I
t
sl s 3.
cYlin'
sl0 510
ol tooth O21, O22. O25 operating characteristic G10, G'l 1
A3
polytropic state
o4 o5 o6
velocity lubricant flow rate
013
of
gas
P8
capacitanca capocitance of cozial ders
carat state and variations
keadaan isotermal keadaan PolitroPls
s34
formula
karat
rn
7
s9 s9 L8
Yoltm€ter
loas capacity
keadaan dan variesi keada'
J12
a
kasltss beban dari gigl
karakteristik keria (oPera' sil
sI3 s4, sl2 J 9, Jl2
of
loule
3i8l
T2 U4
range
lree fall
E
Ol5
o6 o5 o5 o5 o3
lsothermal blmetallic striPs range ol an ammctet
Johnson, rumus kapasitansi kapasiiansi silinder koak'
fundlonr trlnlform-
rtlon
rier lrentropis
mgter
t 338
lnwrrc circuler
jangkauan ukur aPmoro'
basicintegrals J3.-..J 6 integral, indefinite Jl intogral, definite integration integration, numerical
lnvcrrl, lungri llngkaran
isokhor boktermal jalur-ialur bimetalik
3
T1 E6 sl7,
lnvrrrc hypcrbollc lune O 2
lnvc.
1
7
Z N F
distance law, optical half-angle rule
acid-base.indicators
integral dasar
L
lnncrrl. fungri hlpcrbol I
hyperbolic luncrions F S,F 6, H 6 hysteresis s23 hysteresis power s23 hysteresis work s23 Hooke's law Pl8 optical distance law T2 distanqe law time curve L3
indikator asam.basa induksidiri
instrumen listrik instrumen pengu kur listri k
a2 s4
hexagon
ol state
gsses
isothermal stato
L2
critical speed critical speed bY vibrations spring rate velocity. angular velocity time curv€ independent events stiffness roughness in pipes hardness
of r water
American hardness Enolish hardness
M6 Cll0
o6
L2
L3, L
7
GI
M6
z9
U6 U6 U6
kclangclngan
hardncaa rtren4h rlendernerr
kalembsb!n rclatil atmor.
atmorphoric rclotivc
kokaragn Jormrn kokuatan hasil
ler Kelvin kemungkinan bersyarst kemungklnan percobaan kemungkinan
teoriti!
ditl
experimental prohbillty thooreticst probability
density remanent
f ri
ksi/gesekan
koelisien
f ri
ksi canai/meng-
gelinding
P22
Nt,
Zl
. .., .
denslty density, detemination of iron losses flux
core losses
copper losses
G
1
G
1
kombinasi tegangan kompresi
konduksi (pengantaran) pa-
1
1
konduktansi spesifik 338
kumparan hambat kump6ran non-magnet kumparan segi empat
tion
kumparan toroidal kunci datar lapis (film) pelumas t:place, hitung6n trangfor-
z7
masi, aturan Laplace, lionvolusi transformasi
coeffisien of elongation P 2 coeffisien of restitution M 8 difference coef{icient H 1 coeffkien ol heat transmis. 211
combinations
D 5,D
compression
conduction of heat conductance sPecific conductance
dlclcctrlc tlanrvarta
l2l .,2
[:place, translormasi lengku ng normal kerapatan
kemungkinan
6
c2 c2
con0 con€. truslum conc
clutch
O15
convection of heat o10 corrverrion oi lolrrithmt O 4 trigonomatric convarrlont E 5
015, 016, Ztg clutcher gcaring. spicycllc O5 multi plrt. cluth 015 g squrrc quantity of rlscrricity S2 cuboid C cube C low frsqucncy coll 522 1
1 1
s22
choke coil non-magnetic
S24, S25
coils coil toroidal coil plain key lubrication f ilm
s22 S2l S2l
square
O
l-aplacc
tranlformation
cor
D20
relation-table Laplaco tran3tormation D18, Dl9, O2O normal curve lor probabili- G 7 ty density
010
lenturan balok-balok sera-
s2 21
linear, ekspansi
bending ot uniform beams linear expansion
I
Dl8
convolution
lenses
gam
3
O12
Laplsct tranrlormation cal- Dt8 cul. ruler
lensa lensa pembesar
P 3,P 4
C
Z2 @nrttnt contractlon P 3
Laplace tranrformalion
combination of stresses P24 . PE
nas
kondu ktansi
kopeling kopellng epiriklir kopeling pelat banyak kuadrat kuantitas listrik kuboid kubur kumparan lrekuensi rendah kumparan f rekuensi tinggi
a12 boileru U chemical elements U 2. U 3 chemical terms S6 Kirchhoff laws differential corfficient H coeff isien of f riction A2A, Z 7 Z7 coeffisien of-rolling fric'
sion
kombinasi
konversl trigonometri
s23 s23, 526 s27
Z7 coeffisien of sliding cubic coeff. of expansion 211
koelisien restitusi koelisien selisih koef isien transmisi panas
konus, kopcling konvekrl panar konvsrri logorltma
S23
gelinding koefisien geser koelisien kubik dari ekspansi koef isien perpanjarfgan
konus frurtum
N3
coeffisien of static friction Z ? rolling f riction coeff . L 9, K12,
c.nductlvlty,th.?rn
t!ng konut
Z6
koef isien lriksi yang meng-
koefisien friksi statis
kontrakrl (pcnyurutanl lln-
humi- U 6
A3 conditional probabilitY G I
kerapatan f lukr ramanen kerapatan, determinasi kerugian besi kerugian inti (besil kerugian tembaga ketel uap kimia, elemen
koef isien
nu! komt.nr dlolaktrlk
Z2O
Kalvin
kerairatrn
kimia, istilah. Kirchhoff, hukum koelisien diferensial
konduktlvlt.! i.rm.l (pG
U6
Gcrman
ylrld
magnifying
lens
T4
f Pl1,
4
. . . P13
o3 339
./
linear, kocf iricn ekrpanri linear, persamarn
llncar cosff. of
lingkaran lingkarBn dalsm
clrclc incircle circumcirclo circle, arc ol
lingkaran keliling lingkaran, busur lingkaran, segmen (temberangl
lingkaran, sektor
listrik, daya listrik, koef irien suhu listrik, pengukuran listri k, resistansi spesif ik
listrik, usaha logEritma luas, ekspansi luas, satuan luncur, gerak meluncur luncur, koef isien gesekan
luncur Mac Laurin, deret magnet, f lu ks magnet, induksi makro-f otografi massa
massa ekuivalen massa, fraksilpecahan massa, momen inersia massa, satuan
maxwell medan listrik
medanmagnet, kekualan medan maknet mekanisme melebar
membor membubut mengeru mesin
t
mesin arus-rata
axptn.lon 211 D7,D 8 83,F 2 E6 E6
linror €qurtionr
circle, segment
of
K7
B 3, K
7
B 3, K 7 circle. sector of s 1 stectrical power alectrical temPerature coelr. z'21 electrical measurements S I electrical specif. resistance Z.21 S1 electrical work
logarithms area expansion area, units of sliding motion sliding friction coetficient
Mac Laurin series magn. Ilux magn. induction macro photography
Mass mass, equivalent
O
3
A1 LI Z7
D10
S 3, S12 S 3, S12
T
4
M l,M 2 M2
o8
mass f raction
mass, moment mass, units of.
O4
of inertia J'l 1. M2, M3
A2
S3 msxwell electric field sl0 magn. f ield strength S 4,512,223 magnetig f ield mechanisms spread
drilling shaping planing machines
direct{u rrent machine
sl2.
S13
Ll0 019
R 2,R R 2,R R 2,R
s1
3
3 3 1
s30
mesin D.C. dengan kutubkutub komurasi mesin yang bekerja dengan
tali
metode koefisien peleng_ ku ngan
metode kremona metode substitusi
mikroskop modul lingkar modul normal modulus elastisitas modulus elastisitas, kekauan modulus seksi Mohr, anaiogi Mohr, lingkaran/tegangan
Mohr momen dinamis inersia
D.C. machiner
with machnes
S3l
commutating polcr rope operated
merhod of buckling coeff. cremona method substitution method
P23
K6 J2 T4
microscope
module, circular module, normal modulus of elasticity
modulus of rigidity section modulus Mohr's analogy Mohr's stress circle
dynamic moment
K14
018
018
p 3,p18,217
of
217
P9
P14
Pl3 Jl
l
i nertia momen inersia moment of inertia J9.,.,ltZ momen kedua dari luas second moment of area Jl l, p g momen kedua dari volume second moment of volume JlZ momen kedua poler dari polar second moment JIO bidang ol area mornen len tu r/psrn[3ngk66g bending moment momen puntir K2 torqu e momen sebuah gaya P20 moment oi force momen yang melawan resisting moment P20, P21 momen, rorema (daliU moment theorem K1 motor rno tors s30....s32 motor gulung seri.paralel compound
KI
(kompon)
motor indu ksi motor shunt (paralell motor sin kron motor, arus rata motor, gulungan seriparalel motor, induksi motor, ibot (paralel) motor, sin kron
wound motor induction motor shunt motor
synchronous motor
motor, direct cu rrent motor, compund wound motor, induction motor, shunt motor, synchronous
s30
s32 s30 s32
s30 s30 s32
s30 s32
340 34.l
pha$ $2 S? charge 3trength values 216 ,...7-18 G3 mean value motor, three
motor, tiga-fsi& muatan nilsi kakuatan nilai rala-raur
oktagon
optik panas laten panas spesifik panas sperifik berbagai gas gases
o
berbagai gas panas sublimasi
various gases heat, of sublimation heat flow heat transfer coeff o1o,
psnas, laten
nilai-nilai pemindahan penukar penukaran pelepasan radiasi
transmisi panEkat paniang gelombang Pappus, teorenra (dalil parabol paralel, resistansi paralel, resonansi paralelepipedum paralel ogram Paskal, segitiga pegas pegas cakram
342
)
U4
2,S
5
B2 T1
2,214
.,2
of a mlxture mean specific heat of
specif ic heat
panas, aliran panas, koelisien Pemindah' an panas panas. konduksi
!,*;-
s Ohm's law octagon optics latent hest specific heat O 2. O7,21 rpecific heat of various
panas spesif ik carnPuran panas spesif ik rata-rata
panas, panas, panas, panas, panas, panas, panas,
225
lighting value pH+alua
nilai-nilsi penerangan nilai-nilai pH Ohm, hukum
6
225
oI 213
pagrr
dlun
pcgat
drun bcrlapir
pcgar gulung prgrr llpir dsun pcgar torri-ber pcgsr ulir (helikal) pgkcriaan logEm polsngku ngsn/teku k pcm6naran benda cair pomonssan benda maril pembagi potensial pembengkokan pcmbengkokan dalam dus bidang dstar pcmbengkokan dalam poros penggerak
O
2
o7
al1,214
o10 heat conduction heat, latent zla . ..213 heat values o10 heat transfer 01 1 heat exchanger O10 heat exchange 013 heat removal olo heat radiation heat transmission O10, O11, 012
o2
D A 1,T J
powers waveiengths Pappus theorems parabola parallel resistances paralel resonance parallelepiped parallelogram Pascal-triangle 06""O springs disc springs
F S
1
3
8 2 6
s19
C1 B1 D4 O
I
7
rpring,
loaf
coilcd rpring rpring, laminated
p22,p}3
Oz O2
potential
divider bending bending in two planes bending in
Sg
p 9, ptO
p24
shafts
light
g
O9 R S, R 6
liquid bodies, heating of rolid bodies, heating of
pembiasan sinar pemboran pembuatan bahan-bahan kimia perirbubutan pemindahan sirkuit bintang ke segitiga pemindahan sirkuit segitiga ke bintang
e
rpring orking bucklins helical metal\
bending in one
pemotongan, daya pomotong6n, gaya pemoton96n, penggerakan pemotongan, roda gigi pemotongan, waktu panarikan ke dalam pendingin pandulum pendulum konus pendulum sederhana pendulum torsional
lcaf
pring, torsion-bar
perfibengkokan dalam ratu
poror
O7 O7 Og O7
llminrtod lcaf rpring
p2g
axis
p24
rellection T2 trcring R2 preparation of chemical U 5 turning
R
transformation of star to a delta-circuit transformation of a delta to a star.circuit cutting power cutting force cutting drives cutting gears cutting times deep drawing cool i ng
pendulum conical pendulum pendulum. simple
pendulum, torsional
2,217 Sg S8
R2 R2 R1 R1
R3 R5
013, ()14
M7 M7 M7 M7
pcndulum tortloml
tordon l p.ndulum
prnar!n0!n rpcrllik ponglkron rlku
M7
sp.clflc llghtlng brackct atochmcnt
pcngirion, dcyc pcngiricn, pcnggcrak pen girian, ti n0kat/kecepqtan pengukuran rudut datar
fccd powcr fccd drlvcr leed ratc m@luru o, plrnc EnCr pontrgon counterflow cxchlnger pa ral lel-f I owcxchangcr
ot
penta9on panukar srut{8w8n penukar arurgeralel penyalaan api p€nyusutan pada gelang perangkap gelombang perbandingan kelangsingan perbandingan lebar gigi perbendingan tranrmisi p6rcepatan percepatan lengku ng waktu percepatan sudul
217
s19 217
tooth width rstlot tranrmistionr ratior
Proportional ke4
M4
wave tr8p
acceleratlon acceleration, timc curvo acceleration, angular
rhift
annuity interest calculation
perramaan kuadrat persamaan lensa pert€ma8n umum dari kg-
011
proportional. rilta-rata
L2
proses dingin pelat proses yang dapat dibalik
L3, L
7
L2
sl5 017
calculation D17 module OZB milling R 2, R 3 calculation of period
L1
G3 rerirtor combinationt S6... S I permittivity, absoluta sl0
expected mean
permittivity, relstivo
222
D5,O 6 Permutationr confidenco rtatsment GIO quadratic oqurtion D lenr equation T4 general equation of rtate O4 1
adaan
rt
chang€r ot
perubahan warna bala
gam6 drawing coloun of rteel
te
of
ideal
proportional ke-3
023
deposit
perubahan kondiri gar ldeal
t4
s2 oll
ratio o, rlendernerr
rhrunkon rlng
phase
pernyataan kolayaksn
ET
N1 P4
Stokes
perhitungan bunga tahu nan
permutasi
R3
poros pengperak poros penggerak berpasak poros penyang€€ Prandtl, angka prismoida
pergeseran lasa
perhitungan deposito perhitungan r.nodul perigian {penggilingan. penumbukanl periode perkiraan yang diharapkan perlawanan. kombinari permitivitas abcolut permitivitas relatif
F3 F3
pinion, ukuran pinion lroda kocil) pipa air piramida piramida frustum plastit, batai plastis Poisson, distribusi poligon
o5
proyeksi, dengan sudut proyeksi, horisontal proyeksi, vertikal puncakrlir, bulat puncak-ulir. normal pusat gaya-berat
putaran (rotasi) radian radiasi (pancaran) radiesi ion radiasi konstan radius perputaran (girasi) radius verteks (puncak busur) rangkaian stardelta rantai engkol sorong rasional kecepatan reagen kimia reaktansi ref leksi total/pemantu lan
toull regEr€an
210
pinion,
dimensions
OZ3
pipeo Zg pyramid Cl pyramid, frustum Cl plastic yiold p Poisson dirtribution G 4, GIO polygon B2 shafB A2 spl;ned shaft O4 axles O2 Prandtl-number Ol i. O12, Z1S prismoid C4 proportional,3rd DZ4 proporrional,4th o24 proportional, mean o24 cold working of sheet Rs reversible prosses O7 projection, angled Lg projection, horizontal Lg proiection, vertical Lg pitch, circular Ol g pitch, normal Olg centre o{ gravity J 7, J g, K g rotation L7,M 4 radians € l radiarion OIO ionizing radiation T S, T 6 radiarion constant 212 radius of gyrarion M2 verlexradius F.2,,.F 4 water
1
connection chain speed rational rea9en6, chemical reactance total reflexion stardelta
S32
slider crank
L10
slra r ll
L
'l
U
5 5'16 T2
P3
345
regangsn, enorgt relu ktanii
itrain energy
P
altuan voluma
4,P11,z2O 4, Si 2
reluctance 01 7, ZlI brakes T5 rem O17 disc brakes K13 bland brakes S 6, S 7 resistances in series K12 rolling resistance S 6, S 7 resistance, parsllel S5 resistance of a conductor 221 sprci{ic re.istsnce P7 resistence, moment of K1 2 resistance, rolling s1 I rBsonant {requency S19 resonsnt circuits resistance S2,S5 resi stansi M8 restitution, coetticient o{ restitusi, koelisien t,l 6 Reynolds number Reynolds, angka K5 Rirter method Ritter, metode S14 root{nean-square rms, nilai-n ilai elektif gears o18... O29 roda gigi o18... O23 roda gigi dengan gigi bentuk involute toothing S
rem rem rem cakrEm rem ssbuk r*istansi dalam :eri resistansi luncur resistansi Paralel resista nsi sebuah Penghantar rcsistansi sPesilik resistansi, mornen resistansi, Yang meluncur resona nsi, freku ensi resonansi, sirkuit
spiral roda gigi konus roda gigi lu rus Rontgen Rontgen, satuan rumus Errler sabuk Penggerak sambungan dengan baut sambung@n kunci Sarlus, aturan satuan daya satuan gaya satuan kehalusan satuan luas s:ttuan massa raruan Paniang ratuan tekanan 3Atu8n Usaha
346
bevel gears spur gears
A24.A25 O18, O21
T5 Rontgen A Rontgen unit P22 Euler {ormula K13 belt drive O bolted ioints O6 key ioints O7 Sarrus rule A 3, A 5 units of power A2 units ol force A3 unit ol f ineness A 1. A 4 units ol area A2...A 4 unitsof mass A 1, A 4 units o, length A3 units of pressure A 3, A 5 units of work 1
1
-tu!n $.ktu
Scotch-Yo kc,
m.k!ni&ra
tcgitigr
$eitigr berudut toolti00 ramaliri scgitiga ramrrisi
ri ku
ri
ku
3cgitigs rentroid segitiga siku*iku 3egitiga sudut miring
s.giti(F su
unltr o, volum. A 2,41 unitl o{ tlmo A2 Scoch-Yoks mechanirm LlO
triangla
Bt,Fl,K
triongle,equilatoral A2,OZ4 triangle, centroid F1 right anglod triangle E2
oblique angle triangle E6 triangle, scute anglo E8 triangle, radius of incircle E 6 triangle, radius of
ketiting s€gmen bola rogmen lingkaran
circl e segment of a
t.kerup
3Crews
sokorup dan baut seksi terbaik sektor Enulus sektor lingkaran salisih potensial ssndi jepltan rendi meruncing sendi nabeporos sori elektro.motif
rcrews and bolts golden section sector of a annulus s€ctor of a circle
sari, motor seri, resonansi sifat
3egment
ol
a
circum
sphre circle
3,
tipir
gas
K
7
Klt
ot
D24
B
K7 3,K 7
potenrisl dillerence clsmped ioint taper
E6 C3
B
S2
o3 o3
joint
rhaft*rubioints 03...O 5 222 electro
properties oI solids Z properties ol liquids
S
30
Sl9
1 , ..2 4
propertiesdgEses iilst-sifat palsr dirlamo dynamo shaet properties sikusiku, persegi panjang rectangle silinder cylinder sil inder dipotong tipis-tipis sliced cylinder silinder kosong hollow cylinder silinder ysng diporong tipir- cylinder. rliced sifat
7
trisngle, rlght anglcd E2 equilaterol trianglo B 2. Dl8
Z Z
5 6
223
I l C
2
C4
C2 C4
34-l
Slrpron'r
Slmpcon, aturan
X
rlnar-X' dnur. rturan
rlrkuit lirtrlk rlrtsm koordin8t Polor rbtem.koordinst Ctrt6 rlstem koordinat Polsr Sommerfeld, angka fiatlt, bolok tecar8 statit tik tentu tt8tir, koefisien friksi ltatir 3tatk, momon statis rebuah
txnda 3t8ti3, momon 3tati3 tuatu lengkung statis, tegEngEn rtatir statlstik,r tabel statistik Steiner, teorema (dalil ) strers/tegangan --: dalam balok lengkung dalam benda belpuor --- dalam dua dimensi -- dalam poros Penggerak -- dalam tiga dimensi rtress kompresif /tegngan teka n
stress/tegangan Pembeng'
kokan stressltegangan geser stress/tega nga n geselz
ksial
stress/tegangan tarik stress/tegangan torsi rtress/tegangan tulen stress yang diizinkan stress, diagram tegangan regang
stress/tegangan getar stress/tegangan statis rtress/tegangEn utama
sudut miring+amPing
348
L:--.S-:J
J8 T3
rulc
E6
polar coordlnatc lYlt m coordlnatc tytt.rn, Crrtc
I
5
D22 OtO
Polar Dl1 Ot2 Sommrrfeld numbsr ttsticllly indotorminsto Pl7 beamr Zfr ststic friction coeff. J7 3otic moment of a bodv J7 rtatic moment of a curw OI itatic ttr6s statirtic-tables z'26,227 Steiner's thorem J 9, M 2, Plo P stress stresses in curved beams P25 stresses in rotating bodies M 5 coordinrto ryrtom,
1
stresses in stresses in
two dimensions P27
shafts
O
2
dimensions P28 stress P 1, P 2,P 3
str6s in three compressive
bending stress, shearing axial shear stress stress, tensile stress, torsional proof slress
stress,
P
3,217 P18 P19
P 1,
P3 217
P2
2,PlA,216 .218 P1 strain diagram
permissible stresses P stress
occillatins static principal strgses side-rake angle
stress stress
OI OI P28
217
rudut pilin suhu
suhu, satuan sumbatan, pasak tabung baja tangan kanan, aturan tangan kiri, aturan tangent, aturan tanja kan garis pengenal (lengkung!
Taylor, deret
twist temperature angle of
fm
temperature, units o, wedges steel tubes right hand rule left hand rule tangen rule gradient of a curve H
Ol
A3 Kll ZI S11 51 1
E6
1,
H
2
Tetmaier, stress tiga-fasa, arus tiga-fasa, motor tiga-fase. pengu kuran daya
Taylor series Dg p 3,p 4 tension voltage S2 bearing stress O2 mean shear stress p1g irtduceed voltage Sl3 p g,217 bending stress tensile stress p l, p 3 voltage divider S7 maximum shear stresses p27 ultimate shear stress plg pressure N 1,O i pressure in a fluid N 1, N 2 pressure, hydrostatic Nl central limit theorema G3 thermal energy O2 thermal state of real gases O 4 thermal stress P3 thermal variables of state O l tesla S3 Tetmajer formula P22 Tetmajer stresses P3 threephase current S28. S29 threephase motors S32 threephase power, measu- S28
tiga.fasa, transf ormator ou t-
threephase
titik
focal point boiling point
teg6ngan tegangan tegangan dukung tegangan geser rata-rata tegangan induksi tegangan lentur tegangan tari k tegangan, pembagi ta9angan €eser maksi mum
teganganaeser patah tekanan tekanan dalam sebuah fluida tekanan hidrostatika teorema (dalill limit pusat
termis, energi termis, keadaan
gErs nyata termis, stress termis, variabel keadaa n
tesla
Tatmajer, rumus
put
api
titik didih
rern en
t
output
rransf.
S33
F4 21...26
349
...2 I
titik lumer ton torsi
torti dalam Poros
Penggerak
torri, batang
torsi, tegangan torsl torus transt. LaPtace, Pengalihan (translasi
)
trans. LrPlace, Persamaan diJerensial
trans. LaPlace, transf orrnasi variabel transf ormator lransf ormator fasa
output sittu-
translormator outPut satu' ldsa
transf ormator output tig3tasa traosf ormator, kelo"nPok sa
kelar
transmisi ePisiklis transmisi ulir traPesium traPesium, aturan
ukuran nabe
ulir Penggerak ungkaPan aliabar ungula usaha
listrik di dalam medan listri k ssaha, satuan variabel bebas (sembarang) variansi variasi keadaan gas ideal
usaha
variasi keadaan gas nYaut
21 molting Point A2 tonne ?20,P21 torsion P2a torrion in 3haf6 bar torsion P2]o,z17 torsion stress torus o'18 Laplace transf orrnstion
f'
t-ap-tace transf ormation dif
rential equation' Laptace
D t
526 s33
Phase
S33
vircoclty kinomltic volrmrt€r moleculer volume volume expansion
N
1,2la NI
rnrna baja membera r r6tt
vreber l/Vheatstone, lembatan
Young. modulus zona ldaerah) rebuah bola
out put tranriorm"r, threephase s33 output ar"nriorrn"t switch grouPs S33
epicyqlic aearing worm gearing
t, zt6
!n)
transf ormer iing;rlttt"-"rtPut-trans{' transf ormer. single
N
volume, frrkri volumo, ratuan volume. aatutn marss
I
D18
tramformation
uariable variable transf '
Vcnn dlagom
vircolty. dymnrh
dinamir vl(kocltar dinarnik virkqitar klncrnatir voltmeter volum€ molokuler volume, oksp.ffii (pemuoi-
o9 c4
translstion
Vcnn, dbgrrrm
vbcoita lkrkcnyclcnl
dynamic
GT
vircority.
S 9, S34
volume fraction volume, unir of volume per unit rna$ colourr of glowing :teel
watt weber Wheatstone bridge Young'r modulur zone of a sphere
O O
I
A2 OI Z1O s2 S3
SI 216 C3
026 O27, a28
trapezium trapezium rule hub dimensions drive worm
Bl,K 7 JI
algebraic
O
O
4
Cl27
exPressions
2. D13
C4
ungula work
M
1
electr'nal raork in an electric 510
field
of variable variances
A
rarork, units
5
G3 G3 6 variations of ttate of ideal O
random
gases
."a-riations
of state of
G 2.
real
O
5
gases
1q
350
'l
O3
1
Kumpulan
RUMUS TEKNIK Juga dicetak dalam edisi-edisi berikut:
Belanda lnggris Jerman
Portugis Prancis Spanyo!
I
