ASPEK TEORITIK PEMBANGKITAN GELOMBANG EKSTRIM TIDAK PECAH DENGAN MENGGUNAKAN SOLITON ATAS LATAR BERHINGGA Muhammad Syukri1 dan Marwan2 1
2
Jurusan Fisika FMIPA Program Studi Matematika FMIPA Universitas Syiah Kuala Abstrak
Tulisan ini mendiskusikan tentang perambatan gelombang permukaan di laboratorium hidrodinamika. Pengkajian dikhususkan pada peristiwa pemuncakan dan pembelahan yang paling ekstrim atas gelombang selama perambatannya di laboratorium hidrodinamika. Kajian ini dimaksudkan untuk memahami karakteristik gelombang yang beramplitudo cukup tinggi dan curam yang dapat dibangkitkan di laboratorium. Kajian yang dilakukan terkait dengan penentuan secara teoritik tentang model terbaik yang dapat digunakan sebagai informasi awal dalam proses pembangkitan gelombang ekstrim. Dalam hal ini, akan ditinjau parameter yang mempengaruhi perubahan gelombang selama perambatannya di kolam pengujian. Konsep yang digunakan dalam penyelidikan adalah persamaan Schrodinger spasial tak linear. Persamaan ini memodelkan gugus gelombang yang berubah secara lambat terhadap spasial dan waktu. Solusi persamaan ini yang dikenal sebagai soliton atas latar berhingga ditentukan dengan menggunakan Metode Hirota. Di sini gugus gelombang diasumsikan dimodulasi oleh dua pasang gelombang.
1. PENDAHULUAN Berbagai kegiatan yang berkaitan dengan kelautan, seperti perkapalan, pertambangan minyak dan gas bumi lepas pantai, penangkapan ikan dan sebagainya memerlukan pengetahuan yang baik tentang laut. Perkapalan dan pembangunan lepas pantai membutuhkan pengetahuan yang setepat mungkin tentang perilaku gelombang. Kapal dan bangunan lepas pantai itu harus siap menghadapi situasi terburuk yang dapat diakibatkan oleh gelombang. Untuk mempersiapkan ini, dalam proses pembuatan kapal atau bangunan lepas pantai perlu dilibatkan pengujian model kapal atau model bangunan lepas pantai itu menghadapi situasi terburuk laboratorium hidrodinamika. Gelombang dibangkitkan di kolam pengujian, sehingga gelombang itu mempunyai karakteristik yang diharapkan di posisi di mana model kapal atau model bangunan lepas pantai tersebut ditempatkan. Fenomena gelombang sangat kompleks, ada kalanya secara tiba-tiba muncul gelombang dengan elevasi dan kecuraman yang sangat tinggi di suatu perairan yang relatif tenang. Gelombang ini disebut sebagai gelombang ekstrim yang kerap kali juga dinamakan gelombang misterius (freak wave) atau gelombang raksasa (giant wave). Dean (1990) dan Kjeldsen (1984) menyebutkan bahwa suatu gelombang dikategorikan sebagai gelombang ekstrim jika tingginya melebihi 2,2 kali tinggi gelombang rata-rata. Gelombang jenis ini sangat jarang terjadi, akan tetapi dampaknya dapat menimbulkan kerusakan yang cukup parah bagi kapal, bangunan lepas pantai maupun benda lainnya yang berada di sekitar
1
gelombang ini (lihat Earle (1975), Mori, dkk (2002), Divinsky dan Levin (2004), Truslen dan Dysthe (1997), dan Smith (1976)). Mengingat peristiwa kemunculan dan dampak yang diakibatkan oleh gelombang ini, penelitian tentang gelombang ekstrim giat sekali dilakukan. Berbagai penelitian dilakukan untuk memahami fenomena kemunculan dan perambatan gelombang ekstrim tersebut. Penelitian tentang gelombang ekstrim dalam bentuk grup gelombang telah banyak dilakukan, misalnya seperti yang dilakukan oleh Longuet dan Higgins (1984), Philips, dkk (1993), Donelan dan Hui (1990), Orsbone, dkk (2000,2001), dan Onorato, dkk (2001,2002). Henderson, dkk (1999) dan Dysthe (1979) menyatakan bahwa dinamika gelombang jenis ini berkaitan dengan fenomena yang diawali dengan terjadinya lembah gelombang yang sangat dalam, yang dikenal dengan hole in the sea. Kemudian, di sekitar lembah tersebut secara tiba-tiba muncul suatu gelombang yang sangat curam dengan amplitudo yang sangat tinggi, seolah-olah membentuk dinding air. Fenomena seperti ini dinamakan self focussing, yaitu sentralisasi energi gelombang pada suatu kawasan yang cukup sempit akibat ketaklinearan medium air. Lighthill (1965) mengemukakan bahwa keberadaan self focussing ini berkaitan dengan teori kestakstabilan gelombang, yang dikenal sebagai ketakstabilan Benjamin-Feir. Selanjutnya teori tersebut dikembangkan oleh Benjamin dan Feir (1967) dan Zakharov (1967). Dari pengembangan teori tersebut, Benjamin dan Feir berkesimpulan bahwa ketakstabilan akan terjadi jika panjang gelombang yang memodulasi gelombang monokromatik terletak dalam suatu selang tertentu. Selang ini dikenal sebagai selang ketakstabilan Benjamin-Feir. Untuk mengantisipasi kemungkinan terburuk yang akan dihadapi suatu benda terapung, terlebih dahulu model benda terapung tersebut diuji selama pembuat-an benda terapung dilaksanakan. Pengujian dilakukan dengan menghadapkan model benda terapung tersebut pada situasi tebur pada situasi terburuk yang dapat disimulasikan di kolam pengujian. Untuk itu, di kolam pengujian tersebut dibangkitkan gelombang ekstrim. Di suatu kolam pengujian terdapat pembangkit gelombang berupa flap di salah satu sisi dan penyerap sebagai tiruan pantai di sisi lain untuk menghindari terjadinya gelombang pantul. Skema kolam pengujian di laboratorium hidrodinamika dapat dilihat ada Gambar 1. Gerakan flap di pembangkit gelombang di kolam pengujian ini dikontrol berdasarkan sinyal input yang diberikan.
Gambar 1. Skema penampang lintang kolam pengujian di laboratorium hidrodinamika. Sebelah kiri adalah pembangkit gelombang berupa flap yang digerakkan untuk membangkitkan gelombang dan sebelah kanan adalah penyerap sebagai tiruan pantai.
2. TINJAUAN PUSTAKA Dalam kajian khusus tentang peristiwa pemuncakan suatu gelombang permukaan, Westhuis, dkk melakukan penyelidikan secara eksperimen di laboratorium hidrodinamika. Yang bersangkutan juga membangun model numerik yang dinamakan HUBRIS [47], untuk mensimulasikan pembangkitan gelombang. Penyelidikan dilakukan dengan membangkitkan
2
gelombang bikromatik dengan menggunakan beberapa amplitudo dan frekuensi selubung yang berbeda-beda. Gelombang bikromatik yang digunakan diperoleh dari superposisi dua gelombang monokromatik yang beramplitudo sama tetapi dengan frekuensi yang berbeda. Hasil eksperimen Westhuis, dkk (2001) memperlihatkan bahwa pemuncakan elevasi gelombang yang tinggi dipengaruhi oleh perbandingan amplitudo dan selisih bilangan gelombang dari gelombang monokromatik yang membentuk gelombang bikromatik. Data hasil eksperimen Stansberg (Stansberg, 1998) dan hasil perhitungan software numerik HUBRIS (Westhuis, dkk 2001) memperlihatkan bahwa gelombang awalnya berupa sinyal bikromatik mengalami peristiwa pemuncakan dan pemisahan selama perambatannya (lihat Gambar 2).
Gambar 2. Sinyal bikromatik di beberapa posisi yang dihitung dengan menggunakan software numerik HUBRIS Usaha untuk memahami peristiwa pemuncakan gelombang dilakukan pula oleh Cahyono (2002), dengan membangun suatu Analytical Wave Code (AWC) yang memberikan koreksi terhadap bilangan gelombang. AWC dibangun dengan menggunakan model KdV dan pendekatan solusi hingga orde ke tiga model tersebut. Dalam kajian tersebut dipilih gelombang yang pada awalnya berupa sinyal bikromatik. Hasil kajian Cahyono memperlihatkan bahwa suatu suku pada orde ke tiga yang dinamakan suku side band orde ke tiga memberikan pengaruh yang cukup besar terhadap pemuncakan gelombang bikromatik. Hal ini disebabkan karena magnitud amplitudo suku tersebut berbanding lurus dengan amplitudo pangkat tiga dan berbanding terbalik dengan selisih kuadrat bilangan gelombang dari gelombang monokromatik yang membentuk gelombang bikromatik. Selain gelombang bikromatik, gelombang yang juga menarik dikaji adalah gelombang bertipe Benjamin-Feir. Sebagaimana telah dijelaskan pada bagian sebelumnya bahwa fenomena self focussing berkaitan dengan teori kestakstabilan gelombang, yang dikenal sebagai ketakstabilan Benjamin-Feir. Ketakstabilan akan terjadi jika panjang gelombang yang memodulasi gelombang monokromatik terletak dalam selang ketakstabilan BenjaminFeir. Beberapa peneliti telah melakukan kajian terkait dengan gelombang Benjamin-Feir (Marwan, 2009), (Groesen, dkk, 2004), dan (Andonowati, dkk, 2004). Kajian dilakukan dengan memanfaatkan suatu solusi persamaan Schrodinger tak linear yang dikenal sebagai soliton atas latar berhingga. Solusi ini merupakan ekstensi tak linear dari gelombang
3
Benjamin-Feir. Dalam hal ini, para peneliti tersebut melakukan kajian untuk kasus gelombang Benjamin-Feir dengan satu pasang modulasi.
3. METODE PENELITIAN Persamaan non-linear lengkap tiga dimensi yang melibatkan kedalaman air untuk mensimulasikan gerak gelombang pada dasarnya telah dikenal. Persamaan ini terdiri dari persamaan Laplace untuk potensial kecepatan di daerah interior di bawah permukaan air dan syarat batas bebas berupa syarat batas kinematik dan dinamik pada permukaan bebas dan syarat batas kinematik pada dasar bergerak. Secara teoritik penggunaan persamaan lengkap untuk melihat efek parameter suatu model sukar untuk ditelaah. Lebih dari itu, model numerik yang didasarkan pada persamaan ini kurang efesien. Oleh karena itu, gerak gelombang permukaan sering sekali dikaji melalui persamaan yang lebih sederhana. Salah satu model sebagai penyederhanaan dari persamaan lengkap, untuk gelombang permukaan yang merambat satu arah pertama kali ditemukan oleh Korteweg dan de Vries. Persamaan ini dikenal dengan persamaan KdV. Selain sederhana, model ini juga memadukan unsur tak linear dan unsur dispersif sebagaimana yang dimiliki oleh gelombang air. Akan tetapi, pemanfaatan model tersebut di laboratotium kurang bermanfaat (lihat Widoyono, dkk (1997)). Oleh karena itu, pada tahun 1998, Groesen (1998) memperbaiki persamaan tersebut terkait dengan suku dispersi. Dalam peubah tak berdimensi dapat dituliskan sebagai 3 2
𝜕𝑡 𝜂 + 𝑖Ω −𝑖𝜕𝑥 𝜂 + 𝜂𝜕𝑥 𝜂 = 0,
(1)
dengan 𝜂 menyatakan elevasi, i kompleks sekawan, x dan t masing-masing menyatakan peubah spasial dan waktu. Sementara itu, Ω adalah operator dispersi dengan simbol Ω 𝑘 =
tanh 𝑘 𝑘
(2)
Dalam penelitian ini, solusi (1) diasumsikan dapat dituliskan dalam solusi harmonik dengan frekuensi 𝜔0 yang dimodulasi oleh suatu selubung yang bervariasi secara lambat ( , ) . Amplidtudo kompleks ( , ) memenuhi persamaan Schrodinnger tak linear yang dituliskan sebagai
~ i i~ 2 0 .
(3)
~ Di sini, variabel x dan t x / (k 0 ) , parameter dan ~ bergantung pada
bilangan gelombang dari gelombang monokromatik dan frekuensi 0 berkaitan dengan bilangan gelombang k 0 melalui relasi dispersi
0 (k 0 ) k 0
tanh k 0 . k0
(4)
Dalam Akhmediev (1997) ditunjukkan bahwa persamaan (3) memiliki solusi eksak yang dikenal sebagai soliton atas latar berhingga (SFB). Solusi ini dituliskan sebagai ~ 2 (5) ( , ) a , a0 e i a0 ,
4
dengan
a ( , )
(vˆ 2 1) cosh 1 vˆ 2 / 2 cos v ivˆ 2 vˆ 2 sinh cosh 1 vˆ 2 / 2 cos v
dan
~
v 2v*2 v 2 . ~ * ˆ Apabila , dengan a 0 ~ , maka ˆ terletak dalam selang ketidakstabilan * Benjamin-Feir 0 ˆ 2 . Dalam hal ini parameter 𝜐 adalah frekuensi modulasi.
Gambar 3. Kontur elevasi di mana gelombang ekstrim terjadi antara fase singularitas (dua gelombang menjadi satu gelombang, satu gelombang menjadi dua gelombang) (kiri) dan selubung gelombang terkait (kanan)
4. HASIL DAN PEMBAHASAN Solusi eksak persamaan Schrodinger spasial tak linear (3) untuk tipe gelombang yang dimodulasi oleh dua pasang modulasi dengan frekuensi modulasi terletak dalam selang ketidakstabilan Benjamin-Feir dituliskan sebagai 𝐴 𝜉, 𝜏 =
𝑃 𝜉, 𝜏 + 𝑖𝑄 𝜉, 𝜏 2 − 1 𝑎0 𝑒 −𝑖𝛾 𝑎 0 𝜉 , 𝐻 𝜉, 𝜏
(6)
dengan 𝑃 𝜉, 𝜏 =
3
1 cos 𝜈 𝜏 + 𝜏01 − 2𝜏02 + cos 𝜈 3𝜏 − 𝜏01 − 2𝜏02 9 2 2𝜈 1 + 2 − 𝜈 2 cosh 𝜎1 𝜉 − 𝜉01 cos 2𝜈 𝜏 − 𝜏02 2𝜎1 2 + 1 − 2𝜈 2 cosh 𝜎2 𝜉 − 𝜉02 cos 𝜈 𝜏 − 𝜏01 𝜎2
5
𝜈 2 (17𝜈 2 − 10) − cosh 𝜎1 𝜉 − 𝜉01 cosh 𝜎2 𝜉 − 𝜉02 2𝜎1 𝜎2 3 2𝜈 4
+ sinh 𝜎1 𝜉 − 𝜉01 sinh 𝜎2 𝜉 − 𝜉02 1 𝑄 𝜉, 𝜏 = sinh 𝜎1 𝜉 − 𝜉01 cos 2𝜈 𝜏 − 𝜏02 + sinh 𝜎2 𝜉 − 𝜉02 cos 𝜈 𝜏 − 𝜏01 2 𝜈 2 + 𝜎 cosh 𝜎1 𝜉 − 𝜉01 sinh 𝜎2 𝜉 − 𝜉02 2𝜎1 𝜎2 2 − 𝜎1 sinh 𝜎1 𝜉 − 𝜉01 cosh 𝜎2 𝜉 − 𝜉02 1 cos 𝜈 𝜏 + 𝜏01 − 2𝜏02 + cos 𝜈 3𝜏 − 𝜏01 − 2𝜏02 9 4 2𝜈 1 1 + cosh 𝜎1 𝜉 − 𝜉01 cos 2𝜈 𝜏 − 𝜏02 + cosh 𝜎2 𝜉 − 𝜉02 cos 𝜈 𝜏 − 𝜏01 2𝜎1 𝜎2 2 𝜈 2 (4𝜈 2 − 5) − cosh 𝜎1 𝜉 − 𝜉01 cosh 𝜎2 𝜉 − 𝜉02 𝜎1 𝜎2 3 2𝜈 𝐻 𝜉, 𝜏 =
3
+ sinh 𝜎1 𝜉 − 𝜉01 sinh 𝜎2 𝜉 − 𝜉02 . Di sini, 0 < 𝜈 <
1/2 , 𝜈 =
𝜈 𝑎 0 𝛾 /𝛽
, 𝜎1 = 𝜈 2 − 𝜈 2 dan 𝜎2 = 2𝜈 2 − 4𝜈 2 .
Dengan menggunakan ekspresi (6) diperoleh amplifikasi amplitudo gelombang ini 𝐴𝐴𝐹 = lim 1 + 4 − 2𝜈 2 + 2 1 − 2𝜈 2 = 5. 𝜈 →0
Gambar 4. Kesingularan fase (kiri), selubung gelombang (tengah dan kanan) gelombang Soliton atas latar berhingga dengan dua pasang modulasi
Gambar 4 memperlihatkan bahwa kesingularan fase juga terjadi pada kasus dua pasang modulasi sebagaimana halnya untuk sepasang modulasi.
6
5.
KESIMPULAN
Telah dipelajari perambatan gelombang permukaan di laboratorium hidrodinamika. Dengan menggunakan solusi Soliton atas latar berhingga untuk kasus dua pasang modulasi diperoleh bahwa peningkatan amplitudo gelombang 5 kali dari keadaan awalnya. Selain itu, fenomena kesingularan fase juga terjadi seperti pada kasus sepasang modulasi.
DAFTAR PUSTAKA Akhmediev, N.N. and Ankiewicz, A. (1997) : Solitons-Nonlinear Pulses and Beams, Chapmann & Hall Dean, R.G. (1990) : Freak Waves : A Possible Explanation, Water Wave Kinetics, Kluwer, Amsterdam, 609-612 Kjeldsen, S.P. (1984) : Dangerous Wave Group, Norwegian Maritime Research, 12, 16 Earle, M.D. (1975) : Extreme Wave Conditions During Hurricane Camille, J. Geophys. Res., 80, 377-379 Mori, N., Liu, P.C. dan Yasuda, T.(2002) : Analysis of Freak Wave Measurements in the Sea of Japan, Ocean Engineering, 29, 1399-1414 Divinsky, B.V., Levin, B.V, Lopatikin, L.I., Pelinovsky, E.N. dan Slyungaev, A.V. (2004) : A Freak Wave in the Black Sea: Observations and Simulation, Doklady Earth Science, 395, 438-443 Smith, R. (1976) : Giant Waves, J. Fluid Mech., 77, 417-431 Trulsen, K. dan Dysthe, K. (1997) : Freak Waves a Three Dimensional Wave Simulation, Proc. of the 21st Symposium on Naval Hydrodynamics, E.P. Rood. Eds., National Academy Press, 550-558 Longuet dan Hinggins, M.S. (1984) : Statistical Properties of Wave Groups in a Random Sea State, Philos. Trans. Roy. Soc. London, A312, 219-250 Phillips, O.M., Gu, D. dan Donelan, M.A. (1993) : Expected Structure of Extreme Waves in a Gaussian Sea, Part 1. Theory and SWADE buoy measurements, J. Phys. Oceanogr., 23, 992-1000 Donelan, M.A. dan Hui, W.H. (1990) : Mechanics of Ocean Surface Waves, Surface Waves and Flux, G.L. Geernaert and W.J. Plants, Eds., Kluwer, 1, 209-246 Onorato, M., Orsbone, A.R., Serio, M. dan Bertone, S., (2001) : Freak Waves in Random Oceanic Sea States, Phys. Rev. Lett, 86, 5831-5834 Onorato, M., Orsbone, A.R. dan Serio, M.(2002) : Extreme Wave Events in Directional, Random Oceanic Sea States, Phys. of Fluids, 14, L25-L28 Orsbone, A.R.,Onorato, M. dan Serio, M. (2000) : The Nonlinear Dynamics of Rogue Waves and Holes in Deep Water Gravity Wave Trains, Physics Letters A, 275, 386-39 Orsbone, A.R. (2001) : The Random and Deterministic Dynamics of Rogue Waves in Unidirectional, Deep Water Wave Trains, Marine Structures, 14, 275-293 Dysthe, K. (1979) : Note on a Modification to the Nonlinear Schrodinger Equation for Application to Deep Water Waves, Proc. R. Soc. London, Ser. A, 369, 105 Henderson, K.L., Peregrine, D.H. dan Dold, J.W. (1999) : Unsteady Water Wave Modulation : Fully Nonlinear Solutions and Comparisons with the Nonlinear Schrodinger Equation, Wave Motion, 29, 341-361 Lighthill, M.J. (1965) : Contibution to the Theory of Waves in Nonlinear Dispersive Systems, J. Inst. App. Math., 1, 269-306 Benjamin, T.B. dan Feir, J.E (1967) : The Disinteration of Wave Trains on Deep Water, Part 1. Theory, J. of Fluid Mech., 27, 417-430
7
Zakharov, V.E. (1967) : Stability of Nonlinear Waves Dispersive Media, Shov. Phys. JETP., 24, 455-459 Dean, R. G. dan Dalrymple, R. A. (1994) : Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists, Advanced series on ocean engineering, 2 Schaffer, H.A. (1996) : Second Order Wavemaker Theory for Irregular Waves, Ocean Engng., 23, 47-88 Westhuis, J.H., (2001) : Approximate Analytic Solutions and Numerical Wave Tank Results for the Reflection Coefficients of a Class of Numerical Beach, Proc. of the 10th ISOPE conference, 127, 242-252 Jamaluddin, A., Cahyono, E., van Groesen, E. dan Andonowati (1998) : Wave Generation at LHI, Proc. of International Symposium on Advanced and Aerospcae Sciences and Engineering in Indonesia, 31, 209-218 van Groesen, E. dan de Jager, E.M (1994) : Mathematical Structure in Contious Dynamic Systems, Studies in Mathematical Physics, North Holland, Amsterdam van Groesen, E. (1998) : Wave Groups in Uni-directional Surface Wave Models, Journal of Engineering Mathematics, 34, 215-226 van Groesen, E., Widoyono, F.S. dan Nusantara, T. (1998) : Modelling Waves in a Towing Tank, Journal of Indonesian Mathematical Society, 4, 55-68 van Groesen, E., Andonowati dan Soewono, E. (1999) : Non-linear Effects in Bi-chromatic Surface Waves, Proc. Estonian Acad. Sci. Mathematics and Physics, 48, 206-229 van Groesen, E., Andonowati dan Karjanto, N. (2004) : Deterministic Aspects of Nonlinear Modulation Instability, Proc. of Rogue Waves, Brest, France van Groesen, E. (2001) : Lecturer on Free Surface Waves, Lecturer notes for course LABMATH : Mathematics support for hydrodynaamic laboratories, P4M-ITB van Groesen, E. dan Westhuis, J. (2002) : Modelling and Simulation of Surface Water Waves, Mathematics and Computers in Simulation, 59, 341-360 Andonowati dan van Groesen, E. (2003) : Optical Pulse Deformation in second Order Nonlinear Media, Journal of Non-linear Optics Physics and Material, 12, 221-234 Andonowati, Karjanto, N. dan van Groesen, E. (2004): Extreme Waves Arising from Down Stream Evolution of Modulated Wave Dislocation and Non-linear Amplitude Amplication for Extreme Fluid Surface Waves, submitted to Mathematical Models and Methods in Applied Sciences Marwan dan Andonowati (2003) : Perubahan Bentuk pada Perambatan Signal Bikromatik dan Pengaruhnya Terhadap Amplitudo Maksimum, Jurnal Matematika dan Sains FMIPA ITB, 8, 81-87 Ramli, Marwan (2009) : The deterministics generation of extreme surface water waves based on soliton on finite background in laboratory, International Journal of Engineering, Vol. 22, No. 3, 243-249 Marwan (2010) : On the Maximal Temporal Amplitude of down stream running nonlinear water waves, Tamkang Journal of Mathematics, Vol. 41, No.2, 51-69 Kusumawinahyu, W.M. dan Andonowati (2003) : Tinggi Maksimum Selubung Paket Gelombang Bikromatik, Proc. ITB Sains dan Tek., 35 A, 51-63 Kusumawinahyu, W.M, (2006) : Penentuan Parameter-parameter yang Menandai Mulai Pecahnya Gelombang, Disertasi, Institut Teknologi Bandung Karjanto, N., van Groesen, E. dan Peterson, P. (2002) : Investigation of the Maximum Amplitude Increase from the Benjamin-Feir Instability, Journal of Indonesian Mathematical Society, 8, 39-47
8
