Modelov´an´ı dynamick´ych syst´em˚ u Matematick´e modelov´an´ı dynamick´ ych syst´em˚ u se vyuˇz´ıv´a v r˚ uzn´ ych oborech pˇr´ırodn´ıch, technick´ ych, ekonomick´ ych a soci´aln´ıch vˇed. Pouˇzit´ı matematick´eho modelu umoˇzn ˇuje • popsat l´epe chov´an´ı syst´emu • zjistit chov´an´ı v delˇs´ım ˇcasov´em u ´seku – proces, kter´ y prob´ıh´a ve skuteˇcnosti pozvolna, m˚ uˇzeme sledovat v delˇs´ım ˇcasov´em horizontu • v´ ypoˇcet r˚ uzn´ ych variant ˇreˇsen´ı • na rozd´ıl od experimentu l´epe odhalit chybn´e pozn´an´ı reality. Dynamick´ y syst´em je re´aln´ y syst´em, jehoˇz stav z´avis´ı na ˇcase, tj. stav syst´emu se mˇen´ı v ˇcase. Naˇs´ım c´ılem je popsat matematick´ ymi prostˇredky tento v´ yvoj syst´emu, tj. z´ıskat matematick´ y model syst´emu. Re´aln´ y syst´em nen´ı moˇzno vˇzdy pˇresnˇe popsat matematick´ ym modelem. Mus´ıme zjistit nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı prvky a vlastnosti zkouman´eho syst´emu a ty budou vytv´aˇren´ y model popisovat. Ostatn´ı prvky a vlastnosti m˚ uˇzeme zjednoduˇsit nebo u ´plnˇe vylouˇcit. Matematick´ y model vˇetˇsinou popisuje syst´em pomoc´ı mnoˇziny promˇenn´ ych a konstant a pomoc´ı mnoˇziny rovnic. Rovnice jsou vˇetˇsinou • diferenˇcn´ı – popisuj´ı diskr´etn´ı dynamick´ y syst´em • diferenci´aln´ı – popisuj´ı spojit´ y dynamick´ y syst´em • algebro-diferenci´aln´ı – spojit´ y dynamick´ y syst´em je pops´an diferenci´aln´ımi a algebraick´ ymi rovnicemi.
J
I
1.
Jednoduch´ e modely
Pˇri matematick´em modelov´an´ı m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt jiˇz zn´am´e jednoduch´e modely.
1.1.
R˚ ustov´ e modely
Uvedeme zde modely popisuj´ıc´ı r˚ ust populace v z´avislosti na ˇcase. Populac´ı rozum´ıme napˇr´ıklad spoleˇcenstvo ˇziv´ ych organism˚ u, souhrn atom˚ u radioaktivn´ı l´atky, kapit´alov´e z´asoby podniku a podobnˇe. Symbolem x(t) oznaˇcme velikost populace v ˇcase t, b(t, x) urˇcuje rychlost pˇr´ır˚ ustku dan´e populace velikosti x v ˇcase t a d(t, x) urˇcuje rychlost vym´ır´an´ı dan´e populace v ˇcase t v z´avislosti na velikosti populace x. Je-li rychlost r˚ ustu populace d´ana derivac´ı x0 (t), m˚ uˇzeme ho popsat rovnic´ı x0 (t) = g(t, x(t)) x(t) , (1) kde g(t, x) = b(t, x) − d(t, x) je tzv. specifick´a m´ıra r˚ ustu populace, kter´a obecnˇe m˚ uˇze z´aviset na nˇekolika parametrech.
1.2.
Model r˚ ustu populace ˇ ziv´ ych organism˚ u
Malthus˚ uv model: x0 (t) = a x(t) Model nepˇredpokl´ad´a z´avislost specifick´e m´ıry r˚ ustu na velikosti populace. Tento model je dostateˇcn´ ym v kratˇs´ım ˇcasov´em u ´seku a pˇri mal´e populaci. Pˇri vˇetˇs´ı populaci tento model nevyhovuje, protoˇze populace roste s rostouc´ım ˇcasem neomezenˇe a to nen´ı re´aln´e. Logistick´ a (Verhulstova) rovnice: x0 (t) = (a − b x(t)) x(t) Model zohledˇ nuje vnitrodruhovou konkurenci. Vnitrodruhov´a konkurence roste pˇri vˇetˇs´ım poˇctu soupeˇr´ıc´ıch jedinc˚ u. Je tedy vhodn´e pˇredpokl´adat specifickou m´ıru r˚ ustu jako klesaj´ıc´ı funkci velikosti populace. Jednoduchou funkc´ı splˇ nuj´ıc´ı tato krit´eria je line´arn´ı funkce g(x) = a − b x, kde a je koeficient r˚ ustu a b > 0 je koeficient vnitrodruhov´e konkurence. J
I
Model r˚ ustu biomasy ryb´ı populace: x0 (t) = k (S(0) − m x(t)) x(t), kde x(t) znaˇc´ı hmotnost biomasy ryb´ı populace v ˇcase t. Pˇredpokl´adejme, ˇze se ryby ˇziv´ı planktonem. Necht’ ˇ ım v´ıce je dostupn´eho planktonu, t´ım vˇetˇs´ı je S(t) znaˇc´ı hmotnost dostupn´eho planktonu, kter´ y zb´ yv´a v ˇcase t. C´ specifick´a m´ıra r˚ ustu biomasy. Nejjednoduˇsˇs´ı pˇredpoklad je g(t, x) = k S(t), kde k > 0 je konstanta. Je-li m poˇcet jednotek planktonu, m˚ uˇzeme pˇredpokl´adat S 0 (t) = − m x0 (t). Potom dost´av´ame S(t) = S(0) − m x(t). Gompertzova kˇ rivka: x(t) x(t), K kde a, K jsou kladn´e parametry. Vol´ıme zde g(x) = −a ln Kx . Pokud se x limitnˇe bl´ıˇz´ı k nule zprava je hodnota t´eto funkce nekoneˇcno. To m˚ uˇzeme interpretovat takto: Pokud je populace natolik mal´a, ˇze j´ı hroz´ı vyhynut´ı, zaˇcne se br´anit zv´ yˇsen´ ym mnoˇzen´ım. Tato vlastnost se vyuˇz´ıv´a napˇr´ıklad pˇri modelov´an´ı r˚ ustu rakovinn´eho n´adoru. x0 (t) = −a ln
1.3.
Model radioaktivn´ıho rozpadu
Populac´ı v tomto modelu jsou radioaktivn´ı atomy v nˇejak´em izotopu chemick´eho prvku. Velikost´ı t´eto populace je aktu´aln´ı poˇcet tˇechto atom˚ u v ˇcase t. Pˇredpokl´ad´ame nezvyˇsov´an´ı hmoty zkouman´eho chemick´eho prvku. V r´amci zaˇzit´ ych konvenc´ı budeme znaˇcit poˇcet atom˚ u N . D´ale λ > 0 znaˇc´ı rozpadovou konstantu prvku. Pro v´ yˇse zaveden´e znaˇcen´ı tedy m´ame b(t, x) = 0, d(t, x) = λ, x(t) = N (t). Dosazen´ım do rovnice (1) dost´av´ame: N 0 (t) = −λ N (t) . J
I
1.4.
Model regulace glyk´ emie inzul´ınem
Glyk´emie je koncentrace neboli hladina gluk´ozy v krvi nebo v krevn´ım s´eru. Lidsk´e tˇelo je uzp˚ usobeno tak, aby glyk´emii udrˇzovalo v pomˇernˇe st´al´em rozmez´ı cca 4-6 mmol/l. Nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ım a nejpotˇrebnˇejˇs´ım hormonem pro spr´avnou hladinu glyk´emie je inzul´ın, kter´ y jako jedin´ y glyk´emii sniˇzuje. Gluk´oza se ukl´ad´a do jater, odkud je postupnˇe uvolˇ nov´ana do krve. Odtud se d´ale dost´av´a do tk´anˇe, kde je spotˇrebov´ana. Vyluˇcov´an´ı inzul´ınu ze slinivky bˇriˇsn´ı je stimulov´ano glyk´emi´ı a vylouˇcen´ y inzul´ın postupnˇe z organismu zmiz´ı. Oznaˇcme G(t) glyk´emii v ˇcase t a I(t) koncentraci inzul´ınu v krvi v ˇcase t. A d´ale pˇredpokl´adejme: 1. Rychlost uvolˇ nov´an´ı gluk´ozy do krve je konstantn´ı. Tuto rychlost oznaˇcme α. 2. Mnoˇzstv´ı gluk´ozy, kter´e vstoup´ı do tk´anˇe za jednotku ˇcasu, je pˇr´ımo u ´mˇern´e koncentraci inzul´ınu v krvi. Tuto konstantu u ´mˇernosti oznaˇcme β. 3. Mnoˇzstv´ı inzul´ınu vylouˇcen´eho ze slinivky do krve za ˇcasovou jednotku je pˇr´ımo u ´mˇern´e okamˇzit´e glyk´emii. Tuto konstantu oznaˇcme γ. 4. Rychlost rozkl´ad´an´ı inzul´ınu je pˇr´ımo u ´mˇern´a jeho koncentraci. Tuto konstantu oznaˇcme δ. Na z´akladˇe tˇechto pˇredpoklad˚ u m˚ uˇzeme vytvoˇrit n´asleduj´ıc´ı matematick´ y model obsahuj´ıc´ı dvˇe diferenci´aln´ı rovnice. G0 (t) = α − β I(t) I 0 (t) = γ G(t) − δ I(t) .
1.5.
Model skliznˇ e
Pˇr´ıkladem skl´ızen´ı populace mohou b´ yt ryb´ı farma, louka s tr´avou atd. Popiˇsme si tento model nejprve slovnˇe: zmˇena populace = nov´ı jedinci – zemˇrel´ı jedinci – zemˇrel´ı jedinci nedostatkem prostoru – sklizen´ı jedinci. J
I
Pˇredpokl´adejme d´ale, ˇze velikost skliznˇe je konstantn´ı. Pouˇzit´ım logistick´e rovnice pro pˇredchoz´ı popis dostaneme tuto diferenci´aln´ı rovnici popisuj´ıc´ı modelovan´ y syst´em: x(t) 0 x (t) = r 1 − x(t) − h K kde r je reprodukˇcn´ı r˚ ust populace, K je horn´ı limita velikosti populace a h je konstantn´ı m´ıra skl´ızen´ı (celkov´ y poˇcet sebran´ ych jedinc˚ u nebo zemˇrel´ ych kv˚ uli skl´ızen´ı za jednotku ˇcasu) a je nez´avisl´a na velikosti populace.
2.
Postup matematick´ eho modelov´ an´ı
Nejˇcastˇeji se pouˇz´ıvaj´ı dva zp˚ usoby modelov´an´ı dynamick´ ych syst´em˚ u: • klasick´ y postup s jednou hypot´ezou • postup s alternativn´ımi hypot´ezami.
2.1.
Klasick´ y postup
Klasick´ y postup m˚ uˇzeme rozdˇelit do ˇctyˇr f´az´ı: • formulace modelu • ovˇeˇren´ı modelu • u ´prava modelu • anal´ yza a v´ ypoˇcet modelu. J
I
Jednotliv´e f´aze si pop´ıˇseme: 1. Formulace modelu C´ıle: na zaˇca´tku procesu urˇc´ıme c´ıle a smysl modelu. Hypot´ eza: dalˇs´ım u ´kolem je pˇrev´est c´ıle a souˇcasn´e znalosti probl´emu do seznamu specifick´ ych hypot´ez. Matematick´ a formulace: kvalitativn´ı hypot´ezy mus´ı b´ yt pˇrevedeny do konkr´etn´ıch kvantitativn´ıch vztah˚ u, kter´e mohou b´ yt formulov´any matematick´ ymi rovnicemi. 2. Ovˇ eˇ ren´ı modelu V´ ypoˇ cet: v´ ypoˇcet matematick´eho modelu. To m˚ uˇzeme prov´est • analyticky, ˇreˇsen´ı spoˇc´ıv´a v nalezen´ı pˇresn´eho ˇreˇsen´ı pomoc´ı analytick´ ych matematick´ ych metod • numericky (pˇribliˇznˇe), je tˇreba pˇrev´est matematick´e rovnice do vhodn´eho poˇc´ıtaˇcov´eho k´odu. Pˇri numerick´em ˇreˇsen´ı mus´ıme uvaˇzovat jeho numerickou stabilitu, konvergenci a chybu, kter´a n´am vznikne • kvalitativn´ı vyˇsetˇren´ı matematick´eho modelu; nez´ısk´ame pˇr´ımo ˇreˇsen´ı, ale pouze kvalitativni vlastnosti ˇreˇsen´ı vˇetˇsinou v z´avislosti na parametrech. Stanoven´ı parametr˚ u: stanoven´ı parametr˚ u tak, aby model co nejl´epe odpov´ıdal namˇeˇren´ ym dat˚ um p˚ uvodn´ıho probl´emu (shoda s experimentem). ´ 3. Uprava modelu podle stanoven´ ych parametr˚ u. 4. Anal´ yza a v´ ypoˇ cet modelu. Jakmile je model upraven, m˚ uˇzeme ho pouˇz´ıt k z´ısk´an´ı odpovˇedi, zda byly c´ıle splnˇeny. Jestliˇze c´ıle nebyly splnˇeny, vrac´ıme se znovu k hypot´eze nebo k formulaci modelu. Jestliˇze c´ıle byly splnˇeny, z´ıskali jsme matematick´ y model popisuj´ıc´ı n´aˇs dynamick´ y syst´em.
J
I
2.2.
Postup s alternativn´ımi hypot´ ezami
Tento postup pouˇz´ıv´a v´ıce alternativn´ıch hypot´ez a pˇri ovˇeˇrov´an´ı postupnˇe vyluˇcuje nevhodn´e hyhot´ezy.
J
I
