INVESITIGASI FINANSIAL DAN EKONOMI MELALUI FISIKA: FORWARD RATES DAN HEDGING DALAM KAJIAN TEORI MEDAN KUANTUM Oleli:
Arif Insun Hidayut dan
IYon SuYunu
Jurusan Pendidikan Fisika FPMIPA Universitas Pendid ikan Indonesia
ABSTRAKSI 'Ieori Medan Kuantum dalam fisika digunakzin untuk memodelkan
pasar flnansial
sekunder. Berbeda dengan deskripsi stokastik, perumusan menggunaktrn teori medan kuantum menekankan pada pentingnya aktitltas perdagangan daliur
menentukan
nilai dari suiltu
sekuritas. Semutr kenrungkinan yang dapat
mempengaruhi investor dan keuangan merupakan basis dalam Runga Hilbert dari keadaan pasar. Asimptotis volatilitas menun jukkan probabilitas.jangka panlang dari saham dan produk derivatifyang diperdagangkan. Makalah ini membahas nrengenai volatilitas la.iu kontrak tbrrvard (forv*ard ralas) dalam pasar sekunder. Yolatililas yang Jbrward rates pada teori sebelumnya telah ditiniau sebagai sLratu variabel
deterministik.
-I'eori nedan kuantum dalan.r paper
ini
kernudian dika.ii
generalisasinya untuk kasus volatilitas yang stokastik.
Kata kunci: volatilitas./orward rttles, teori medan kuantum, hedgittg.
PENDAHULUAN Terdapat tujuh instrumen dalam pasar modal yaitr"r sahatr, obligasi. obligasi konverlibel, rights, warran, reksadana, serta aset back securities. Disamping itu ada pula instrumel deriatifnya meliputi options (baik yang berbasif ./orward ataLtpun yang berbasisfutures) sefta swap. Makalah ini akari nenekankartkepadaforward valula asing. Kontrak Jbrward di pasar valuta asing terjadi antara suatLl banl( dengan nasabahnya (urungkin juga sesama bank) untuk mensepakati pengirirnan pada tanggal tertentu, sejurnlah mata uang, dan kursnya ditetapkan pada waktu kontrak disepakati. Semakin besar nilai valuta (aset) yang di-forward-kan maka akan semakin tinggi kemungkinan perbedaan dengan harga eksekusi (baik itu naik atauplnl turun;, inilah yang keniudian banyak disebr-rt sebagai volatilitas. Volatilitas paling sering menjadi referensi dalam hal standar devasi dari perubahan nilai instrumen keuangan terliadap waktu. Volatilitas juga dapat menggambarkan tingkat resiko keuangan pada suatu masa teftentu. Untuk instrumen yang mengikuti Gaussian Random Walk dan Proses Weiner maka volatilitas akan naik seiring dengan 55
66
.lunral Penga.jaran MIPA. Volunre 13, Nomor I, April 2009, hlm. 55-66
DAFTAR PUSTAKA D Heath, R Jarrow dan A Mofton. Bond Pricing and The Term Structure of Interest
Rates:
A neu) Methodology -fo,
Econometric a 60,
7
I
Contingent Clairns Valuation.
(1992)
D.P. Kennedy. Characterizing Gaussian Model of The Term Structure of Interest Rales. Mathematical Finance 7 (1997) 107- 1 1 B P. Goldstein. The Terrn Slrutcture of Interest Rates as a Randont Field. Prepint, Ohio State University (1991) P. Santa-Claradan D Sornette. The Dynanics of The Forward Interest Rates Curve
with
Stochastic String Shocks. http://xxx.lanl.gov/cond-mat/9801321
(1ee7)
D. Sornette. String Formulation o.f The dynantics Cttrye . http: I I xxx. lan l.gov/cond-rnat/9
7
o-f The Forwctrd Interest Rate
02136
J-P. Boirchaud and D Somette, J. Phys.l France 4 (1994) 836-881; J,PhysJ (r996) 167-t7s
6
R.N Mantegna dan H.E Stanley. Introduction to Econophysics. Cambridge University Press J.P. Boirclraud dan
( I 999)
M. Potters. Theory of Financial
Risks. Cambridge University
Press (2000)
M. Otto
to Price
Using Path Integrals
http://xxx.lanl. gov/cond-rnat/98
1
1
Interest Rale Derivatives.
23 I 8
M. Rosa-Clot dan S Taddei. A Path Integral Approach to Derivative F o r m a I i s m an d A n a Iy t i c al
Re
s
Pricing;
ul t s . http I I xxx.lanl. gov I c ond- matl 9 9 0 1 27 7 :
C. Chiarella dan N. El-Hassan. Evaluation of Derivative Security Prices in The Healh-Jarrow-Morton Framework as Path Integrals Using Fast Fourier Transfornt Techniques. Journalof Financial Engineering Vol 6, no2 (1996)
B.E Baaquie. A Path Integral Approach to Option Pricing with
Stochastic
Volatili4t: Some Exact Result. Journal de Physique I, 7 no 12 (1997):1733I 7 53
; http I I xxx. IanI. gov/cond-mat/970
8
1
78
B. E Baaquie, L.C. Kwek dan S, Marakani. Sinulation of Stochastic Volatility LIsing Path Integratins: Smiles and Frowns. http://xxx.lanl.gov/condrnat/O008327
Arif Insan Hitlaltat dan llott suyana,lnvesitigasi Finansral
dan Ekonomi Melalui Fisika: Forrvard Rates dan Hedging dalanr Ka.jian Teori Medan Kuanturn
6l
1) Volatilitas sebagai Fungsi Forwurcl Rutes Dalarn (8. E Baaquie, L.c. Kwek dan S, Marakani) telah diindikasikan bahwa volatilitas sebenamya merupakan fungsi dari fbrward rates. Model standar menggunakan per-rdekatan ini dengan persamaall volatilitas secara ringkas
diberikan oleh
:
oQ,r) , fQ,r) = ooQ,*) -f'Q,*)
(10)
dengan o o Q,
karena volatilitas
r) adalah fungsi deterministik
o(t,x)> 0, maka
(4), diperoleh:
fQ,*)=
ftordQ.,)
rQ,i
>o ;
(li)
juga >0, berlawanan dengan persamaan
-co<
Qft,x)<+*
(12)
> 0 karenaforward rates di pasar finansial selalu positif dan hal ini akan dipakai dalatn perhitungan sera'jutnya. Dengan lirnit 0 dalam 1t -> dengan
fQ,i
persamaalr (10) akan menghasilkan cakupan volatilitas model HJM.
Adapr-rn pandangan-pandangan empiris volatilitas sebelumnya menurr-rt L.c. Kwek dan S, Marakani] diberikan dararn tabel 1. berikut:
Baaquie,
Tabel
l.
[8.
E
Berbagai Rumusan Volatilitas
Model Ho dan Lee (1986)
Volatilitas oQ,r, J'(r,"))= on
crR (198s) oQ, *, 1Q, *))= o o Courtadon (1982)
Vasicek (1997)
Heath-Jarow-Morton I HJM (t992)
.f,
Q,
*)
o(t, x, .1(t, x))= c o fQ, x)
oQ,x, 1ft,x))=oo exp(oQ, x,
f
Q,
x))=
2[J
[', *;reJt76t]
Makalah ini akan membahas bentLrk umlrffr Lagrangian dalan-r persarnaap (3) untuk kasus forward rates yang selalLr positip. Interpretasi Lagrangian dalin persamaan (3) akan valid jika semua forward rates rnendekati nilai tertentu ./0.
Oleh karena itu menghasilkan persamaan: (
l3)
56
Jurnal Penga.jaran MIPA, Volunre 13, Nontor l, April 2009, hlnr. 55-66
bertambahnya waktu. Secara konsep, hal ini terjadi karena seiring beftambahlya waktu maka beftatrrbah pula keniungkinan harga instrurnen keuangan itu bergerak menjauh dari harga mula-mula.
Foru,ard rates, dengan volatilitasnya, merupakan salah satu aspek yang esensi dalanr pasar hutang (debt ntarket) sefta banyak di pakai dalarn hal finansial, terutartra untuk kontrak finansialjangka panjang sampai masa jatLrh tempo teftentu (nraturitas) dan juga digunakan dalam mekanisme hedging (lindung nilai). Model metrgenai forward rates yang digLrnakan ulnulr selama ini adalah rnodel HeathJarrout-Morton (HJM) (D Heath, R Jarrow dan A Morton), dan pada perkembangannya ada sejumlah cara dimana model HJM ini digeneralisasi. Dalam referensi (D.P. Kennedy) dan (P. Goldstein) telah diperkenalkan mengenai horelasi antara forward rates dengan maturitas yang bervariasi, dan pada (p. Santa-Clara dari D Sornette), (D. Sornette) forward rates dimodelkan sebagai suatu string stokastik.
Penerapan teknik-teknik fisika dalam finansial (J-p. Boucliaud and D (R.N Mantegna dan H.E Stanley) telah dibuktikan bermanfaat dalam
SonTette)
aplikasinya, khususnya penggLrnaarl teknik integral lintasan dalam berbagai masalah finarrsial (.1.P. Bouchaud dan M. Potters). Dalam (M. otto), teknik integral lintasarr telah dapat diterapkan dalarn mempelajari suatu produk sekuritas dengan volati Iitas stohasti k. Volatilitas forward rotes rnerupakan suatu perhitungan yang sentral guna nrenerrtul
variabel yang deterrninistik. Pertanyaan kemr-rdian muncul seiring dengan perkembangan fakta bahwa volatilitas sesungguhnya rnerupakan suatu kr-ratitas ratrdot.t't yarrg selalu berflul
Model tentang .font,ard rates yang diajukan dalam (M. Rosa-Clot dan S Taddei) adalah rrodel teori medan kuantum yang diajLrhan Baaquie, yang merupakan generalisasi dari model H.lM dan rnernungkinkan untuk nrengetnbangkan model itti gurra r.uenentukan volatilitas stoksatik forward rates. Berlawanan dengan teori medan kuantum, perllmusau forward rates sebagai suatu string stol
Rates 51
dan Ekonomi Melalui Fisika: Forrvard dan Hedging dalanr Ka.iian Teori Medan Kuantunt
Arif Insun Hirkryut dan lyott Su.yana,lnvesitigasi Finansial
PEMBAHASAN TEORI MEDAN KUANTUM UNTUK FORWARD RATES DBNGAN VOLATILITAS STOKASTIK Fomvard rates sendiri terdiri atas sekumpr"rlan lajLr br,rnga untuk kontrak berjangka yang mlllai berlakLr pada waktLr I untul< jatLrh tenpo pada waktu x > t . Pada saat teftentu /, kontrak berjangka ini akan eksis dalam pasar .forward rates untuk selang waktu T1,p di masa mendatang; Sebagai contoh, jika I rnengacu ada waktu sekarang, kemr"rdian/orward ratesnya akan berlangsung dalam selang waktu lp sampai dengan waktu 111'tT1,p. Dalarn pasar T1,p biasanya maksimal 30 tahr.rn. Unrumnya, pada saat l, setnuaforward rates akan eksis sampai pada waktLr r+I7,4 (M. Rosa-Clot dan S Taddei). Forward rcttes pada waktu I dilambangkan dengan f(t,*), dengan t < x < t+TFR yang kemudian di sebut dengan kurvaforwarcl rates. Karena pada waktLr sesaat I terdapat banyak./brt'vard rates maka hal ini mirip dengan kuantum string (non relativistik) sehingga dibLrtuhkan sejLunlah variabel
independen dalarn mendeskripsikan evolusi acaknya, Kuantitas yang dapat rlendeskripsikan secara generik adalah sistem luedan kuantum. UrrtLrk rnemodelkanforward rates dan obligasi, dalarr makalah ini digr"rnakan studi teori medan kuantum dua dimensi dalam domain euclidian berhingga. Ketil
suatu variabel independen yang acak untul< tiap "r; dan tiap r. Sebagai ditinjau kedua x dan t adalah kontinu dan pendiskritisasiarr parameter ini hanya dilakukarr ketika perlu untLtl< rnendishusikan penyederhanaan notasi maka
evolusi waktu dari sistem untuk yang lebih detail.
I. Lugrangiun Forward
Rates dengan Volutilitts Deterministik
Peftama akan dibahas secara singkat tentang pentingnya teori medan Jbn-arcl
rates dengan volatilitas deterrriinistik. Sebagai bentuk l
tnal
ini x > /, oleh karena itu medan kuanturn .f (t,x)didefinisikan
sebagai medan
Karena semuaforwarcl rales
dengan domain berbentuk jajaran genjang
@
yang dibatasi oleh garis-garis seja.iar
x=/dan x:7,,1q*/dalanr arah srlmbu maturitas ; serta garis t=Tdart t : T,dalarn arah sumbu waktu sebagairnana diganibarkan dalam gambar 1
dibarvah ini:
.
58
Jurnal Penga.jaran MIPA, Volume 13, Nonror
l,April
2009, hhn.55-66
Gambar 1. Domain @ Forward Rates
Setiap titik dalam domain .f' (t, x)yang independen.
Q
merepresentasikan
suatll variabel
integrasi
Interpretasi teori medan pada evolusi forward rates sebagaimana dinyatakan dalam domain P yaitu suatu string kuantum (non-relativistik) yang berpindah dengan satuan kecepatan dalarn arah x.
Dari rnodel H.lM, forward rates nlen:,iliki kecepatan drift d(t,x)dan volatilitas o (r,;r) , dan kedua kuantitas ini akan tarlpak dalam persamaan Lcrgrangian untuk Jbru,ard rates. Guna mendefiniskan Lagrangian, perlama kita rnembutuhkarr suku kinetik, yang dilambangkan dengan Zkinetik, guna rnendefi n i s ikan standar waktu evo I us i./orv, ar d r at e s. Guna mendefinisikan Lagrangian maka perlu diperkenalkan suku lain sebagai gangglran yang merubah bentuk forward rates dalam arah sumbu x. Analogi dengan lral ini dalam string biasa adalah suku potensial dalarn Lagrangian yang mer.nbuat bentuk runcing dalam string, karena bentul< string sendiri sebenarnya mengandung suku potensial.
Untulr nrernodelkan sifat-sifat yang rnirip dengan string pada forward rates, tidak dapat urenggunakarr sul
tirrggi. klrususnya sul
(#I,yang
Inirip dengan sislern slring
yang merliliki rigiditas berhingga" Istilah seperti ini dalam Lagrangian forward retes dinamakan .C,igi,ri,u, dengan parameter barupt, diberikan oleh{, yang
Rates
dan Ekonomi Melalui Fisika: Forrvard dan Hedging dalam Kajian Teori Medan Kuantunr
Arif lnsan Hiduyat rlan lyorr Suyana,Invesitigasi Finansial
59
menunjukkan kuantitas fluktuasi dari fnrward rates terhadap waktu dalar,r arah sumbu x. Jika diberlakukan limit p -+ 0, akan diperoleh hasil yang sama dengall model HJM, yang juga akan mirip dengan string dengan rigiditas tak liingga.
Aksi dari fonrard rates diberikan oleh persamaan
:
s[,f] = 1,,' o, 1,."" d*Llfl =
(1)
(2)
LLltl
Dengan rapat Lagrangian Llffdiberikan oleh
Llfl
:
= L r,i,,tikl_ff * L,.,r,,,,,,,1ff
,ll
{!-,4--o1,,11 o(t,x)
(3)
'
Ulp-o(r,,) ,lrl .t1'[ o(t,x)
'Ll -oo
( f (t.x1( +co
(4)
Adanya suku kedua dalarn persamaan aksi yang diberikan persamaan (3) tidak dicantumkan ketika kondisinya tanpa arbitrase, dan str"rdi empiris yang dilakukan (C. Chiarella dan N. El-Hassan) menguatkan bLrkti bahwa suku ini merupakan suku evolusi forward rales. Singkatnya, menurttt (C. Chiarella dan N. El-Hassan) forward rates berlaku seperli string kuantum, dengan ruang dan waktu bergantung kepada kecepatan drift a(t,x), rrassa efektifnya diberikan oleh a,5, dun rigiditas string sebanding dengan
{.
Karena teori medan didefinisikan dalam dalam domain Q, rnaka perlr,r r-rntuk menspesifikasi syarat batas untuk seluruh empat batasjajaran genjang tersebut.
a.
Kondisi Terikat Dirichlet (awal dan akhir)
Syarat batas awal dan akhir untuk kondisi Dirichlet dalam arah sumbu / diberikan oleh :
.lurnal Pengajaran MIPA, Volunre 13, Nomor l, April 2009, hlm. 55-66
yang meliputi kurvaforward rates dari awal salnpai akhir.
b. Kondisi Bebas Neumann Dalam menspesifikasi syarat batas dalam arah sumbll x, perlu menganalisis aksi yang diberikan oleh persamaan (l) guna menentukan bahwa dalam kondisi itu aksi tidal< rnengandung suku permukaan. Analisis ini kemudian menghasilkan l
|
. [ ']/!'')-o(,.')l
(6)
;[-t;c;r-]='
darr
ir=/ atau x=t171,11
Q)
Forward rate,s dalan teori medan huantum didefinisikan oleh lntegral Lintasan Feynmann dengatt rnengintegrasikan terhadap selxua konfigurasi yang mungkin, dan hasil LrntLrk ./'(l,x) adalah:
t = IO./-e'trl Io.r =,,[J. I Perlratikan bahwa
,slt)fz
(B)
df (r,x)
(e)
adalah probabilitas untuk konfigurasi medan yang
berbeda yang terjadi ketika clibentuk integral fr-rngsional
.f'(t,x).
2. Lugrungisn Forword Rutes dengun Vokililitas Stokustik volatlitas o(t,r) stokastik, dalarn formalisme teori r.nedal l
dalam fungsi yang randorn. Ada dua cara yang dapat digunakan guna menaikkan volatilitas nieniadi kuantitas yang stokastik, yaitu:
a. b.
MeniniaLr volatilitas sebagai suatu fungsi dariforward rates .fQ,x) MeninjaLr volatlitas sebagai suatu medan kuanturn yang independen
dalarl makalah ini akan dikaji kemungkirran keduanya.
dan Eliorromi Melalui Fisika: Forrvard Rates dan Fledging dalanr l(a.iian Teori Medan Kuantunr
Arif Insun Hiduyat dan lyott Suyanu. tnvesitigasi Finansial
65
pasar yang dianati oleh suatlr instt'ttlren keuangan, disebut Olf,nl, menyatakan nilai rata-rata instrurnen keuangan yang melingkupi semua nilai-nilai yang mLrngkin dari medan kuantum 7Q,x)dan nQ,r) -dinotasikan dengan ( ol.f ,nl) -, dengan rapat probabilitas diberikan oleh aksi (yang telah
Nilai
dinorr-nalisasi) dengan sirnbol
:
. ol7,nl, =)
Io
t
D.-1 ol.f ,hfestt't't
(2e)
Jika ditip.jau limitnya volatilitas akan tersedLrksi nenjadi firngsi yang detenninistik, dirnana untuk limit ini nilai {,pdan r-->0. Suku kinetik tnedan hQ,x) dalan aksi di persamaan (22) nierniliki limit
,*,u..,{ :
\#l'
:
- u,w-,i)
(30)
}
yang mengimpl ikasikan bahwa:
' -do
o(r,
exp
t)t
= oo <e-,(t"') > (3 1)
{- r,,| o, oQ',.)j *O(:,r, p) 1zz1 I
KESIMPULAN Kita telah melakukan generalisasi model teori medan kuantum r"rntuk forward rates dengan volatilitas stokastik dan Integral Lintasan Feynman dapat secara baik dikernbangkan untuk rnenghitung volatilitas stokastik. Untuk kasus volatilitas yang deterministik, telah diterlukan dalam (M. RosaClot dan S Taddei) bahwa efek teori medan kuantutn 2 dimensi direduksi menjadi teori medan kuantum satu dimensi selama memecahkan sifat-sifat Lagrangian' Bagaimalapun, ketika memperlakukar-r volatilitas sebagai suatu medan kualttum, teoii ini tetap dalam 2 dirnensi dan tak dapat direduksi lagi, dan dari sini sifat-sifat teori medan kuantum berlaku. Model forward rates dengan volatilitas stokastik memiliki sejumlah parameter bebas yang hanya dapat ditentukan dengan mempelajari pasar.
64
.lLrrnal Penga.jaran MIPA, Volunre 13, Nomor
l, April 2009, hlm. 55-66
disini perlu ulltlrk rlenspesifikasi syarat batas bagi sistem yang
berinteraksi.
I(ondisi awal dan akhir dari forward rates .fQ,r)yang diberikarr oleh persamaan (5) tetap diperlahankan untuk kasus sistenr yang berinteraksi, dan untuk medan volatilitas syarat batasnya mirip, sebagai berikut :
a.
Syarat Batas Terikat Dirichlet (awal dari akhir)
Nilai awal dispesifikasi dari data sebagai berikut: T
Vr) < .rr < +71,1q, o(T,,x),oVr,*)
(23)
yang berlaku khusus kurva volatlitas awal dan akhir.
Syarat batas dalam arah sumbu x untuk forward rates fQ,x)sebagaimana dalam persalnaan (6) tetap dipertahankan pada kasus sistem yang berinteraksi, dan untuk medan volatilitas syaratnya sebagai berikut :
b.
Syarat Batas Bebas Neumann
r, < x
*WP
f4'i)=o
(24)
atau x=t*71.p
(2s)
untuk keperluan kuantisasi medan volatilitas oQ,*), syarat batas forward rates .fQ,t) yang diberikan oleh persamaan (6) sebenamya tidak biasa. Guna memecahl
Io
t o "-'
=
*,IL
o a,') ,,#r [:
f- alQ,lao-'(',')
a n Q, x)
(26) (27)
en(''')
Fungsi partisi teori medan kuantum untuk forward rates dengan volatilitas stokastik didefinisikan oleh Integral Lintasan Feynmann sebagai berikut
z = lnfoo-l
:
(28)
dan Ekonomi Melalui Fisika: Forward llates dan Hedging dalant Ka.iian Teori Medan Kuantum
Arif Insan Hirtayat dan lyotr Suyana.lnvesitigasi Finansial
karena fungsi volalititas
o'0
(/,.rr) selalu
positif.
yaitu
o"o (r,
")r
o
63
maka
diperkenalkan sebuah medan kuantum lain a(,x)dengan hr-rbungan sebagai berikr,rt: oo(1,") tanda
-
* o,e-hQ"), -.o
(20)
(negatif) diarnbil bertLrjuan untuk meyakinkarr secara notasi saja.
Sekarang sistem terdiri atas dua medan kuantut't't yang saling berinteraksi, dinamakan dengan ./(r,x)dan /r(r,x) serta mengiklrti aturan-aturan sebagai berikut:
o
Parameter
(
adalah kuantitas yang menentukan bahr,va medan
l(r,x)
tidak
deterministik. Suatu Limit s'+0akan membekukan sellua fluktuasi medan hQ,x) dan mereduksinya menjadi fungsi yang deterrninistil<.
r
Parameter K berfungsi mengendalikan fluktuasi l(r, x) dalarn arah sumbu .x, yang hal ini sama dengan parameter P yang mengendalikan fluktuasi dari
forward rates f Q ,x) dalam arah sumbu x j uga'
o
Parameter pdengan: -l
.
Suku a(r,
drift
x)
dari volatilitas dinamakan BQ,r), dimana analog dengan suku
untuk
drift
forward rates,
Lagrangian untuk sistem yang berinteraksi di sini tidak unik, arlinya ada sejumlal-r pilihan yang dapat rnemenuhi kondisi di atas. Suatu Lagrangian yang mungkin untuk sistem yang berinteraksi dituliskan dengan analogi Lagrangian untuk kasus volatilitas stokastik pada sekuritas tunggal di [M' Otto], yaitu :
L--4:*[= - -,-+l'a:
L
LI)' -,ry]' r . +l
) t
,]
(21)
_r11_;)) [.];r, jjl'l -, I Ll'L:]l' -,,F[_[ dengan persamaan aksi sLf
:
,nl=
|t
(22)
Jurnal Penga.jaran MIPA, Volume 13, Nomor l, April 2009, hlm. 55-66
=ory*o(o')
( 14)
oleh karena itu diblrat mapping sebagai berikut: aIQ.*\ , dg(r.x)
dr ^- to a
Persar.naan (3) kemudiarr digeneralisir merrjadi
t[O]
= Lk
i
u,
r i
kldl
(1s) :
* L,, r, r,,,.,10]
,,+--,,',ll'l ,llnu':")-o(,')l' I, [ t[]-;m;".-i ;'l"l -ittt"t--]l
(16)
l
nantinya dalam penurunan Harniltonian- sistern akan mernerlukan perhitungan dengan solusi trivial dalarl integrasinya FLrngsi Parlisi didefinisikan secara teori oleh lntegral Lintasan Feynmann sebagai berikLrt:
t = Io,
(11)
J.-''nsfa)
Iro r-"
= ,,[1,,
(18)
l]or|,i.r-''Q,*)
x) dalam persamaan (5) dan (6) tetap berlaku untuk mempeftahankan volatilitas stokastik dalam Lagrangian di dengan syarat batas yang diberikan untLrk ./
(r,
persarnaan ( 16).
2) Volatilitas sebagai Suatu Medan Kuantum yang Independen Sekarang akan dibahas asumsi yang kedua, yaitu
jika volatilitas ooQ,r)
ditinjau sebagai suatu medan kuantum yang independen. Karena hanya dapat nrenentukan efek dari volatilitas padaforward rates, maka seluruh efek-efek dari volatilitas stokastik akan dimanifestasikan lianya melalui perilaku forward rates saja.
Gurra penyederhanaan, ditinjau forward rates sebagai suatu medan kuantum sebagaimana dalarn persamaan (4), dengan:
fQ,*),- *
(1e)
