Aplikasi Teori Pengambilan Keputusan Markov pada Pengelolaan Mata Kuliah MA1122 Kalkulus I : Pendekatan Program Linier
Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB
Oleh: Intan Christina 10103009
Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung 2007
Aplikasi Teori Pengambilan Keputusan Markov pada Pengelolaan Mata Kuliah Kalkulus I (MA1122) : Pendekatan Program Linier
Tugas Akhir
Oleh : Intan Christina 10103009
Telah disetujui sebagai persyaratan untuk menyelesaikan program studi S1 pada Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung
Bandung, Juni 2007 Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dr. Rieske Hadianti
Dr. Janny Lindiarni
NIP. 132045489
NIP. 132130046
Bacalah dengan Asma Rabbmu...
”Katakanlah, Kalau sekiranya lautan menjadi tinta untuk (menulis) kalimat-kalimat Tuhanku, sungguh habislah lautan itu sebelum habis (ditulis) kalimat-kalimat Tuhanku, meskipun Kami datangkan tambahan sebanyak itu (pula).” (Q.S Al-Kahfi 109 )
”Maka nikmat Tuhan kamu yang manakah yang kamu dustakan?” (Q.S Ar-Rahman 13 )
”Do not worry about your difficulties in mathematics, I assure you that mine are greater.” Einstein, Albert (1879-1955)
Demi mengharap Ridha-Nya... Untuk Bapak dan Mamih tersayang... Serta untuk suamiku tercinta, Aufa Khairullah...
Abstract This final project studies the determination of policy that have to be taken by the decision makers in managing the course MA1122 Calculus I in helping students outside students’s activity in the classroom. By a policy we means a composition of actions that have to be taken based on condition of student achievement in this subject. The model of policy determination based on the Markov decision theory, and it will be solved by linear programming approach. The linear programming approach yields the stationary policy, its average cost, and the stationary probabilities. By linear programming approach, a sensitivity analysis can be done to see the sensitivity of the optimal solution if there is a change of parameter. Key words : Markov decision, linear programming, sensitivity analysis.
iv
Abstrak Tugas Akhir ini membahas proses pemilihan kebijakan yang harus diambil oleh pengelola mata kuliah MA1122 Kalkulus I dalam membantu proses belajar mahasiswa di luar kegiatan tatap muka dengan dosen. Kebijakan yang dimaksud adalah suatu komposisi penanganan yang harus diambil berdasarkan kondisi pencapaian prestasi mahasiswa di mata kuliah ini. Kebijakan yang diambil adalah kebijakan yang akan menekan tingkat drop out karena mata kuliah MA1122 Kalkulus I dengan biaya ratarata yang minimum. Model penentuan kebijakan ini diturunkan berdasarkan teori pengambilan keputusan Markov dan diselesaikan dengan pendekatan program linier. Pendekatan program linier ini akan menghasilkan kebijakan optimal, biaya rata-rata yang harus dikeluarkan, dan peluang stasioner. Peluang stasioner ini adalah proporsi sistem di sutau keadaan jika kebijkan optimal diterapkan dalam jangka waktu panjang. Dalam pendekatan program linier ini dapat dilakukan analisis sensitivitas ntuk mengetahui seberapa sensitif solusi optimal untuk berubah apabila terdapat perubahan nilai input pada masalah program linier yang akan diselesaikan. Kata kunci : pengambilan keputusan Markov, program linier, analisis sensitivitas.
v
Prakata Alhamdulillahirabbil’aalamiin, puji dan syukur kehadirat Allah Swt. yang telah memberikan rahmat dan karuniaNya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Tugas akhir yang berjudul ”Aplikasi Teori Pengambilan Keputusan Markov pada Pengelolaan Mata Kuliah MA1122 Kalkulus I : Pendekatan Program Linier” ini merupakan salah satu topik dalam bidang matematika terapan. Dalam tugas akhir ini diteliti bagaimana menentukan kebijakan dalam menyikapi suatu keadaan dari persentase banyaknya mahasiswa dengan nilai UTS (Ujian Tengah Semester) I mata kuliah MA1122 Kalkulus I yang tidak memuaskan pada tahun ke-n. Kebijakan tersebut diharapkan dapat menekan tingkat drop out karena mata kuliah ini dan juga meminimumkan biaya rata-rata yang ahrus dikeluarkan. Tugas akhir ini tidak akan dapat terselesaikan dengan baik tanpa bantuan dari berbagai pihak. Untuk itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak, Mamih, A’Mi, keluarga besar Bpk. Misdi Wijaya di Lembang, dan Bpk. Zuhri di Salatiga atas segala doa, semangat, dukungan, kesabaran, dan kasih sayang mereka kepada penulis. 2. Aufa Khairullah, yang telah memberikan warna dalam kehidupan penulis. Terima kasih atas segala pengorbanan, dukungan, pengertian, kesabaran, kasih sayang, dan cintanya. Semoga Allah menguatkan rumah tangga kita dalam naungan cinta dan kasih sayang agungNya hingga berkumpul kembali nanti di surga. Amiin.Uhibbuka fillah ... vi
PRAKATA
vii
3. Dr. Rieske Hadianti dan Dr. Janny Lindiarni selaku dosen pembimbing yang memberikan bimbingan, bantuan, saran, dan kritik sehingga tugas akhir ini dapat diselesaikan. 4. Dr. Hilda Assyiatun dan Dr. Saladin Uttunggadewa selaku dosen penguji yang telah memberikan banyak saran dan kritik sehingga tugas ahir ini menjadi lebih baik. 5. Dr. Johan Matheus Tuwankotta selaku dosen wali penulis yang telah berperan sebagai bapak bagi penulis selama berada di kampus ini serta para dosen yang telah memberikan memberikan ilmu, pengalaman, dukungan, dan nasehat kepada penulis. 6. Vonny, Rahma, Mega, Dona, Yo, Riswan, Uma, Islah, Erma, dan seluruh teman-teman MA’03 yang tidak dapat disebutkan satu persatu, T’ Maya, T’ Chris, T’ Nurul, Ukh’Tien, Shanti, sahabat-sahabat di GAMADA, dan KM3, semoga kita senantiasa istiqamah dan menjadi lebih baik dari hari ke hari. 7. Serta seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang telah banyak membantu penulis. Semoga Allah Swt. membalas semua bantuan serta kebaikan yang telah diberikan dengan hal yang lebih baik. Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan pada tugas akhir ini. Oleh karena itu, saran dan kritik dari berbagai pihak sangat penulis nantikan. Semoga tugas akhir ini dapat memberikan manfaat bagi para pembaca sekalian umumnya dan bagi penulis khususnya. Bandung, Juni 2007 Penulis
Intan Christina
Daftar Isi Abstract
iv
Abstrak
v
Prakata
vi
Daftar Isi
viii
1 PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4
Kerangka Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5
Metode dan Hasil Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.6
Sistematika Pembahasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2 LANDASAN TEORI
7
2.1
Pengantar Proses Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2
Rantai Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.1
Matriks Peluang Transisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.2
Persamaan Chapman-Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2.3
Distribusi Peluang Stasioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3
Teori Pengambilan Keputusan Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.1
Kebijakan Stasioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 viii
DAFTAR ISI
ix
2.3.2
Biaya Rata-rata dari Kebijakan Stasioner yang Digunakan . . 13
2.3.3
Program Linier dan Metode Simpleks . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.4
Pengambilan Keputusan Markov dengan Pendekatan Program Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 MODEL PENGELOLAAN MATA KULIAH MA1122 KALKULUS I
20
3.1
Klasifikasi Nilai dan Penanganan yang Dapat Diberikan . . . . . . . . 20
3.2
Penanganan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3
Himpunan Tindakan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4
Estimasi Biaya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5
Peluang Transisi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 SOLUSI PENGAMBILAN KEPUTUSAN 4.1
31
Masalah Pengambilan Keputusan Markov dengan Pendekatan Program Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2
Hasil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3
Analisis Sensitivitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4
Perbandingan Antara Program Linier dan Iterasi Kebijakan . . . . . 37
5 Kesimpulan
39
Daftar Pustaka
42
Lampiran A
43
Lampiran B
45
Lampiran C
47
Daftar Tabel 3.1
Himpunan Tindakan untuk Xn = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2
Himpunan Tindakan untuk Xn = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3
Himpunan Tindakan untuk Xn = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4
Estimasi Biaya Satu Semester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1
Hasil Program Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
x
