APLIKASI MODEL BINOMIAL DALAM FORWARD CONTRACT DAN FORWARD EXCHANGE RATE CONTRACT HARYANTO

1

APLIKASI MODEL BINOMIAL DALAM FORWARD CONTRACT DAN FORWARD EXCHANGE RATE CONTRACT

HARYANTO

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013

2

ABSTRAK HARYANTO. Aplikasi Model Binomial dalam Forward Contract dan Exchange Rate Forward Contract. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan RETNO BUDIARTI. Dalam berinvestasi, investor pasti berharap memperoleh return yang maksimum namun investor harus menanggung risiko tertentu yang membuat investor berhati-hati dalam menanamkan uangnya. Oleh sebab itu, berkembanglah produk-produk yang digunakan untuk memperkecil risiko yang sering disebut produk derivatif. Terdapat berbagai macam bentuk produk derivatif diantaranya adalah forward contract dan forward exchange rate contract. Forward contract adalah perjanjian di mana investor diwajibkan untuk menjual atau membeli sebuah aset pada waktu yang telah ditentukan di waktu yang akan datang dengan harga yang telah disepakati. Forward exchange rate contract adalah perjanjian di mana investor mempunyai kewajiban untuk membeli atau menjual uang dengan exchange rates yang telah ditentukan pada waktu yang telah disepakati, tidak memperhatikan besarnya exchange rate pada waktu waktu yang telah disepakati. Dalam karya ilmiah ini dikaji cara menentukan harga dari produk derivatif pada waktu dan keadaan diskret menggunakan struktur model binomial. Model binomial adalah model sederhana yang memodelkan pergerakan harga aset dengan mengasumsikan bahwa terdapat dua kemungkinan pergerakan harga aset di masa mendatang yaitu harga akan naik atau turun. Model binomial yang mendasari ini adalah one-step binomial model di mana harga yang diketahui hari ini dapat menjadi dua kemungkinan nilai di masa depan. Struktur dalam one-step binomial model dapat diperluas menjadi multi-step binomial model. Dalam karya ilmiah ini model one-step binomial dan multi-step binomial digunakan untuk menentukan harga forward contract, dan forward exchange rate contract, kemudian diaplikasikan pada studi kasus transaksi luar negeri PT Bina Pertiwi periode Januari-September 2012. Hasil terbaik yang diperoleh dalam studi kasus PT Bina pertiwi adalah ketika menggunakan forward exchange rate contract dengan mengurangi kerugian sebesar Rp280.783.944,55. Kata Kunci : Model Binomial, Forward Contract, Exchange Rate Forward Contract.

3

ABSTRACT HARYANTO. Aplication of Binomial Model in Forward Contract and Forward Exchange Rate Contract. Supervised by BERLIAN SETIAWATY and RETNO BUDIARTI. Investors have purposed to obtain a maximum return, but they must be carefull to put the money because they would take a risk. Therefore, products are introduced to reduce the risk. They are called derivative products. There are many kinds of derivative products, such as forward contract and forward exchange rate contract. A forward contract is an agreement or a contract to buy or sell assets with delivery at a specified time and price. A forward exchange rate contract is an agreement or a contract to buy or sell a specified amount of money with a specified exchange rate at a specified time, no matter what the actual exchange rate is at specified time. In this paper, the price of derivative products at a discrete time will be determined using binomial model. A binomial model is a model that describes asset price movements by assuming two possibilities of asset price movements in the future that is, up or down. An underlying of binomial model is one-step binomial model, which is the known prices today can be two possible value in the future. One-step binomial model can be expanded to become multi-step binomial model. In this paper, one-step binomial and multi-step binomial model are used to determining the price of forward contract, and forward exchange rate contract. This model can be applied to the case study of overseas transaction at PT Bina pertiwi on the periode of Januari-September 2012. The best result that is obtained in the case of overseas transaction at PT Bina Pertiwi is the model using forward exchange rate contract. Model using forward exchange rate contract is able to decrease compensation as big as Rp280.783.944,55. Keywords : Binomial Model, Forward Contract, Forward Exchange Rate Contract.

4

APLIKASI MODEL BINOMIAL DALAM FORWARD CONTRACT DAN FORWARD EXCHANGE RATE CONTRACT

HARYANTO

Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013

5

Judul Nama NIM

: Aplikasi Model Binomial dalam Forward Contract dan Forward Exchange RateContract : Haryanto : G54080033

Menyetujui, Pembimbing I

Pembimbing II

Dr. Dra. Berlian Setiawaty, M.S. NIP. 19650505 198903 2 004

Ir. Retno Budiarti, M.S. NIP. 19610729 198903 2 001

Mengetahui, Ketua Departemen Matematika

Dr. Dra. Berlian Setiawaty, M.S. NIP. 19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus :

6

PRAKATA Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh. Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala nikmat, karunia, izin, dan pertolongan-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini dengan baik. Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari peranan dari berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Keluargaku tercinta: Ayah dan Ibu (terima kasih atas doa, dukungan, kesabaran, kepercayaan, kasih sayang, motivasi dan segalanya), Nenek (atas doa dan dukungan yang terus menerus), Kakakku (terima kasih atas doa, dukungan dan kasih sayang), serta keluarga besar baik dari Ayah maupun Ibu (terima kasih atas doa, kasih sayang, dan motivasinya), 2. Dr. Dra. Berlian Setiawaty, M.S. selaku dosen pembimbing I atas segala kesabaran, ilmu dan masukannya selama membimbing penulis, 3. Ir. Retno Budiarti, M.S. selaku dosen pembimbing II atas segala kesabaran, ilmu dan masukannya selama membimbing penulis, 4. Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. selaku dosen penguji dan seluruh dosen Departemen Matematika FMIPA IPB, 5. Staf Departemen Matematika: Pak Yono, Mas Heri, Mas Deni, Bu Ade, Bu Susi, Alm. Pak Bono, Pak Acep, dan lainnya (terima kasih atas bantuan dan motivasinya), 6. Teman-teman satu bimbingan: Putri Utari, Novri Hendri dan M. Izzudin yang selalu saling mengingatkan dan memberi motivasi dalam penyusunan skripsi ini. 7. Isna Aldilla, atas doa, kasih sayang, motivasi, dan bantuannya. 8. Teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 45: Vivi, Rischa, Wulan, Ana, Fenny, Aci, Gita, Bolo, Mega, Dina, Nurul, Yunda, Fitryah, Anggun, Finata, Dewi, Mya, Rini, Dono, Prama, Chastro, Fuka, Ade, Tiwi, Pipin, Fikri, Irwan, Ari, Herlan, Arbi, Dimas, Beni, Ito, Ryan, Risman, Wahidi, Ridwan, Nurhadi, Rianiko, Agustina, Haya, Nova, Dini, Heru, Aisyah, Bram, Anisa, Kunedi, Khafidz, Irma dan semua atas doa, dukungan semangatnya serta kebersamaannya selama 3,5 tahun di Math’45, 9. Kakak-kakak Matematika angkatan 44: Kak Ruhiyat, Kak Ririh, Kak Yuyun, Kak Nurul, Kak Imam, Kak Ali, Kak Rofi, Kak Mutia, Kak Ima, Kak Della, Kak Tyas, Kak Fitri, Kak Denda, Kak Wenti, Kak Deva, Kak Ayum, Kak Istiti, Kak Cepy, dkk, yang telah memberi bantuan serta dukungannya, 10. Adik-adik Matematika angkatan 46, 47, dan 48: Syukrio, Nurul, Evy, Qowi, Hendra, Rudi, Dian, Dio, Bari, Ihsan, Tita, Fenny, Uwie, Irma, Rahmi, Melisa, Windi, Putri, Yoyok, Andri, Reni, Dayat, dkk, yang telah memberi dukungan, doa, dan dukungannya, 11. Teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, baik moral maupun material. Penulis menyadari bahwa dalam karya ilmiah ini masih terdapat kekurangan, oleh karena itu penulis mengharapkan saran dan kritik dari semua pihak. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukan.

Bogor, Maret 2013

Haryanto

7

RIWAYAT HIDUP Penulis lahir di Bogor pada tanggal 22 Oktober 1991 sebagai anak kedua dari dua bersaudara, anak dari pasangan Bapak Parno Siswanto dan Ibu Kokom. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) pada tahun 2002 di SDN Bantarjati V Bogor, dilanjutkan pendidikan menengah pertama (SMP) diselesaikan pada tahun 2005 di SMPN 3 Bogor dan pendidikan lanjutan menengah atas (SMA) diselesaikan pada tahun 2008 di SMAN 7 Bogor. Penulis diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor pada tahun 2008 melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI), Tingkat Persiapan Bersama. Pada tahun 2009, penulis memilih mayor Matematika pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif pada kegiatan kemahasiswaan Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) sebagai staf Departemen Keilmuan periode 2009/2010 dan ketua Departemen Keilmuan periode 2010/2011. Berbagai kegiatan kepanitiaan penulis ikuti selama menjadi mahasiswa seperti Matematika Ria 2010 sebagai Sekretaris dan Matematika Ria 2011 sebagai Ketua.

8

DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR ……………………………………………………………………

ix

DAFTAR LAMPIRAN .…………………………………………………………………

ix

I

PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ……………………………………………………………… 1.2 Tujuan………………………………………………………………………. 1.3 Sistematika Penulisan ………………………………………………………

1 1 1

LANDASAN TEORI 2.1 Pengantar Teori Peluang…………………………………………………... 2.2 Matematika Keuangan ……………………………………………………... 2.3 Jenis–jenis Contract ……………………………………………………..

2 3 4

MODEL BINOMIAL UNTUK CONTINGENT CLAIM 3.1 Model Binomial satu langkah……………………………………………….. 3.2 Model Cox-Ross-Rubinstein (CRR).………………………………………... 3.3 Model Binomial Multiperiode…………………………..…………………… 3.3.1 Binomial tree dua langkah ……………………………………………. 3.3.2 Binomial tree tiga langkah ………………………………………….. 3.3.3 Model Binomial n-langkah ……………………………………………

5 7 8 8 9 9

APLIKASI MODEL BINOMIAL DALAM CONTRACT 4.1 Forward Contract …………………………………………………………… 4.2 Exhange Rate ………………………………………………………………... 4.3 Forward Exchange Rate Contract ………………………………………………

11 19 20

APLIKASI MODEL BINOMIAL PADA FORWARD CONTRACT & FORWARD EXCHANGE RATE CONTRACT STUDI KASUS : PT BINA PERTIWI 5.1 PT Bina Pertiwi ……………………………………………………………... 5.2 Data ………………………………………………………………………….. 5.3 Perhitungan transaksi luar negeri …………………………………………... 5.4 Aplikasi Forward Contract …………………………………………………. 5.5 Aplikasi Forward Exchange Rate Contract …………………………………

24 24 26 28 30

SIMPULAN DAN SARAN 6.1 Simpulan ……………………………………………………………………. 6.2 Saran …………………………………………………………………………2

32 32

DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………………...…

33

LAMPIRAN……………………………………………………………………….…..

34

II

III

IV

V

VI

viii

9

DAFTAR GAMBAR Halaman 1

Binomial tree satu langkah ...…………………………………...………………...

7

2

Binomial tree satu langkah dalam model CRR …………………………………..

7

3

Binomial tree dua langkah ...……………………………………………………..

8

4

Binomial tree dua langkah dalam model CRR …………………………………..

8

5

Binomial tree tiga langkah ...……………………………...……………………...

9

6

Binomial tree tiga langkah dalam model CRR …………………………………..

9

7

Binomial tree n langkah ………………………………………………………….

9

8

Distribusi nilai dari 𝑆 10 ……………..………………………………………….

10

9

Imbal hasil long forward contract …...…………………..………………………..

11

10

Imbal hasil short forward contract ….…………………………………………....

11

DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1

Pembuktian persamaan (3.13) dan persamaan (3.14) ……………………………

28

2

Pembuktian persamaan (3.15), (3.16), dan (3.17)……….…………………..

30

3

Pembuktian persamaan (3.2) ...………………………....…………………………

32

4

Pembuktian persamaan (3.22) …………………………………………………….

33

5 6 7 8 9 10 11

Pembuktian persamaan (3.26) ……………………………………………………. Pembuktian persamaan (3.27) ……………………………………………………. Pembuktian persamaan (3.28) ……………………………………………………. Pembuktian persamaan (3.29) ……………………………………………………. Pembuktian persamaan (4.2) ……………………………………………………... Pembuktian persamaan (4.4) ……………………………………………………... Perhitungan forward contract two-step …………………………..……………… Perhitungan forward contract three-step ………………………………...………. Perhitungan forward contract four-step …………………………………………. Perhitungan forward contract five-step ………………………………………….. Perhitungan forward exchange rate contract two-step ………………………….. Perhitungan forward exchange rate contract three-step ………………………… Perhitungan forward exchange rate contract four-step ………………………….. Perhitungan forward exchange rate contract five-step …………………………...

34 35 36 37 39 43 44 45 46 47 48 49 50 51

12

ix

10

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Investasi di sektor keuangan semakin berkembang saat ini. Investor tidak hanya berinvestasi pada aset riil seperti logam mulia, atau minyak, tetapi investor saat ini sudah mulai tertarik berinvestasi pada aset keuangan seperti saham, obligasi, dan mata uang. Saham dan obligasi saat ini sudah menjadi populer sebagai salah satu alternatif investasi bagi para investor. Dalam berinvestasi, investor pasti berharap memperoleh return dengan biaya awal yang minimum. Namun, untuk memperoleh return, investor harus berani menanggung risiko tertentu yang membuat investor harus berhatihati dalam menanamkan uangnya. Oleh sebab itu, berkembanglah produk-produk yang digunakan untuk memperkecil risiko yang sering disebut produk derivatif. Terdapat berbagai macam bentuk produk derivatif diantaranya adalah forward contract, future contract, dan option. Terdapat banyak model yang dapat digunakan untuk menentukan harga dari produk derivatif. Dalam karya ilmiah ini akan dikaji cara menentukan harga dari produk derivatif pada waktu dan keadaan diskret menggunakan struktur model binomial menurut Van der Hoek & Elliott dalam buku yang berjudul Binomial Models in Finance tahun 2006. Model binomial adalah model sederhana yang memodelkan pergerakan harga aset dengan mengasumsikan bahwa terdapat dua kemungkinan pergerakan harga aset di masa mendatang yaitu harga akan naik atau harga akan turun. Model binomial yang mendasari ini adalah one-step binomial model (model binomial satu langkah) di mana harga yang diketahui hari ini dapat menjadi dua kemungkinan nilai di masa depan yaitu besok, atau minggu yang akan datang atau tahun yang akan datang.

Dengan menggunakan one-step binomial model dapat ditentukan harga rasional suatu aset hari ini. Struktur dalam one-step binomial model dapat diperluas menjadi multi-step binomial model. Dalam karya ilmiah ini model one-step binomial dan multi-step binomial akan digunakan untuk menentukan harga forward contract, dan forward exchange rate contract. Hasil penentuan harga forward contract dan forward exchange rate contract diaplikasikan pada suatu studi kasus yaitu pada data transaksi luar negeri yang dilakukan oleh PT Bina Pertiwi periode JanuariSeptember 2012. 1.2 Tujuan Tujuan dari karya ilmiah ini adalah: 1. Mengkaji model binomial dalam menentukan harga dari produk derivatif pada waktu dan keadaan diskret. 2. Mengkaji rumus untuk menentukan harga dari forward contract, dan forward exchange rate contract menggunakan one-step binomial dan multi-step binomial model. 3. Mengaplikasikan rumus yang diperoleh pada data transaksi luar negeri yang dilakukan oleh PT Bina Pertiwi. 1.3 Sistematika Penulisan Karya ilmiah ini terdiri atas enam bab. Bab pertama merupakan pendahuluan yang berisi uraian mengenai latar belakang, tujuan, dan sistematika penulisan. Bab kedua merupakan landasan teori yang berisi definisi dan teorema dasar. Bab ketiga menjelaskan model binomial baik model binomial satu langkah dan model binomial dengan periode lebih dari satu. Bab keempat merupakan pembahasan yang berisi penentuan rumus untuk harga dari forward contract, dan exchange rate menggunakan one-step binomial model dan multi-step binomial. Bab lima berisi aplikasi rumus yang telah ditentukan pada studi kasus. Bab terakhir pada tulisan ini berisi kesimpulan dan saran dari keseluruhan penulisan.

2

II LANDASAN TEORI 2.1 Pengantar Teori Peluang Definisi 1 (Percobaan acak) Dalam suatu percobaan sering kali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul akan diketahui tetapi hasil pada percobaan selanjutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini disebut percobaan acak. [Grimmett & Stirzaker 1992] Definisi 2 (Ruang contoh) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak dan dinotasikan dengan Ω. [Grimmett & Stirzaker 1992] Definisi 3 (Medan-𝝈) Medan-𝜎 adalah suatu himpunan ℱ yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat berikut: 1. ∅ ∈ ℱ. 

2. Jika 𝐴1 , 𝐴2 , … ∈ ℱ , maka

 A ∈ ℱ.

2. 3.

4.

Dalam setiap ulangan, hasilnya dapat digolongkan dengan berhasil atau gagal. Peluang berhasil, yang dilambangkan p untuk setiap ulangan adalah sama, tidak berubah-ubah. Ulangan-ulangan ini bersifat bebas satu sama lain. [Walpole 1992]

Definisi 8 (Peubah acak binom) Peubah acak binom adalah peubah X yang menyatakan banyaknya keberhasilan dalam n ulangan yang bebas dalam suatu percobaan binom. [Walpole 1992] Definisi 9 (Sebaran binom) Bila suatu ulangan binom mempunyai peluang keberhasilan p dan peluang kegagalan 𝑞 = 1 − 𝑝, maka sebaran peluang bagi peubah acak binom X untuk mendapatkan keberhasilan x kali dalam n kali ulangan yang bebas adalah

i

i 1

3. Jika 𝐴 ∈ ℱ, maka 𝐴𝑐 ∈ ℱ. [Hogg et al. 2005] Definisi 4 (Peubah acak) Misalkan ℱ adalah medan-𝜎 dari ruang contoh Ω. Suatu peubah acak 𝑋 adalah suatu fungsi 𝑋: Ω → ℝ dengan sifat bahwa 𝜔 ∈ Ω: 𝑋(𝜔) ≤ 𝑥 ∈ ℱ untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ. [Grimmett & Stirzaker 1992] Definisi 5 (Peubah acak diskret) Peubah acak X dikatakan diskret jika himpunan nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah atau berhingga. [Grimmett & Stirzaker 1992] Definisi 6 (Fungsi massa peluang) Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi 𝑝: Ω ⟶ [0,1] yang diberikan oleh 𝑝𝑋 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 𝑥 [Hogg et al. 2005] Definisi 7 (Percobaan binom) Percobaan binom adalah percobaan yang memiliki ciri – ciri berikut: 1. Percobaan terdiri dari n ulangan.

𝑛 𝑥 𝑛−𝑥 𝑝 𝑞 𝑥

𝑏 𝑥; 𝑛, 𝑝 =

untuk 𝑥 = 0, 1, 2, … , 𝑛 dan 0 ≤ 𝑝, 𝑞 ≤ 1. [Walpole 1992] Definisi 10 (Nilai harapan) Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang 𝑝𝑋 (𝑥), maka nilai harapan dari X dinotasikan dengan E(X) adalah 𝐸 𝑋 =

𝑥 𝑝X 𝑥 , 𝑥

asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. [Hogg et al. 2005] Definisi 11 (Ragam) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang 𝑝𝑋 (𝑥) dan nilai harapan E(𝑋). Ragam dari X, dinotasikan dengan 𝑉𝑎𝑟(𝑋) atau 𝜎𝑋2 , adalah 𝜎𝑋2 = E((𝑋 − E 𝑋 )2 ) =

𝑥−E 𝑋

2

𝑝𝑋 𝑥 .

𝑥

[Hogg et al. 2005]

3

Definisi 12 (Kovarian) Kovarian dari dua peubah acak X dan Y, ditulis 𝑐𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 , didefinisikan sebagai berikut

Definisi 17 (Produk derivatif) Produk derivatif adalah investasi keuangan (atau kontrak) di mana harganya tergantung pada underlying assets. [Van der Hoek & Elliott 2006]

𝑐𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 = 𝐸 𝑋 − 𝜇𝑋 𝑌 − 𝜇𝑌 di mana 𝜇𝑋 dan 𝜇𝑌 adalah nilai harapan dari X dan Y. [Ross 2009] Persamaan 𝐶𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 dapat diuraikan menjadi 𝐶𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 = 𝐸 𝑋𝑌 − 𝜇𝑋 𝑌 − 𝜇𝑌 𝑋 + 𝜇𝑋 𝜇𝑌 = 𝐸 𝑋𝑌 − 𝜇𝑋 𝐸 𝑌 − 𝜇𝑌 𝐸 𝑋 + 𝜇𝑋 𝜇𝑌 = 𝐸 𝑋𝑌 − 𝜇𝑋 𝜇𝑌 − 𝜇𝑌 𝜇𝑋 + 𝜇𝑋 𝜇𝑌 = 𝐸 𝑋𝑌 − 𝐸 𝑋 𝐸 𝑌 . (1.1)

2.2 Matematika keuangan Definisi 13 (Aset berisiko) Aset berisiko adalah aset di mana nilai di masa yang akan datang tidak dapat diprediksi. [Capinski & Zastawniak 2003] Definisi 14 (Aset tidak berisiko) Aset tidak berisiko adalah aset di mana nilai di masa mendatang sudah ditentukan. Aset tidak berisiko dapat diartikan sebagai banyaknya aset yang disimpan di bank. [Capinski & Zastawniak 2003] Definisi 15 (Obligasi) Obligasi adalah sertifikat atau surat berharga yang berisi kontrak antara investor sebagai pemberi dana dengan penerbitnya sebagai peminjam dana. Penerbit obligasi mempunyai kewajiban kepada pemegangnya untuk membayar bunga secara regular sesuai jadwal yang telah ditetapkan serta melunasi kembali pokok pinjaman pada saat jatuh tempo. [Tandelilin. 2010] Definisi 16 (Underlying assets) Underlying asset adalah aset yang dijadikan sebagai objek atau dasar transaksi. Aset yang dijadikan sebagai underlying dapat berupa barang berwujud maupun tidak berwujud, seperti tanah, bangunan, berbagai jenis proyek pembangunan, serta aset non fisik lainnya seperti jasa. Yang termasuk underlying assets antara lain adalah komoditas (minyak, gas, emas), saham, mata uang, obligasi. [Van der Hoek & Elliott 2006]

Definisi 18 (Contingent claim) Contingent Claim adalah sekuritas yang memberikan return yang tergantung pada nilai aset lain seperti harga komoditas, harga saham dan obligasi, atau nilai indeks pasar. [Bodie et al. 2002] Definisi 19 (Short sell) Short sell adalah menjual aset yang bukan miliknya, investor meminjam aset dari pialang dan kemudian investor tersebut menjualnya. Di waktu tertentu di masa mendatang, investor tersebut akan mengembalikan dalam jumlah lembar yang sama. [Tandelilin 2010] Definisi 20 (Peluang arbitrase) Peluang arbitrase adalah peluang di mana sebuah aset atau portofolio aset yang nilainya hari ini adalah nol dan nilainya di semua kemungkinan keadaan waktu di masa depan tidak pernah negatif. Lebih mudah dikatakan bahwa peluang arbitrase adalah peluang untuk memulai hari ini dengan nol yang pada akhirnya mendapatkan keuntungan di waktu yang akan datang. [Van der Hoek & Elliott 2006] Sebagai contoh diambil dari Capinski & Zastawniak (2003), kemungkinan mendapatkan keuntungan bebas risiko tanpa investasi awal dapat muncul ketika partisipan pasar membuat kesalahan. Misalkan dealer A di New York menawarkan untuk membeli British pounds pada tingkat dA = 1.62 dollar ke pound saat dealer B di London menjualnya pada tingkat dB = 1.60 dollar ke pound. Jika terdapat kasus demikian, investor tanpa modal awal dapat memiliki keuntungan dengan memperjualbelikan dA − dB = 0.02 dollar/pound. Solusi yang harus dilakukan adalah secara cepat mengharuskan dealer untuk menyesuaikan exchange rate sehingga kemungkinan keuntungan dapat hilang.

4

Misalkan 𝑊(𝑡) adalah peubah acak yang menunjukkan nilai aset (atau portofolio) pada waktu t maka 𝑊(0) adalah nilai aset hari ini. 𝑊 (𝑇, 𝜔) adalah nilai pada waktu T (masa yang akan datang) ketika keadaan di dunia adalah 𝜔, maka peluang arbitrase bagi beberapa aset keuangan W sedemikian rupa sehingga ∀𝜔 ∈ Ω, 𝑊 0, 𝜔 = 0 ∀𝜔 ∈ Ω, 𝑊 𝑇, 𝜔 ≥ 0 ∃𝜔 ∈ Ω, 𝑊 𝑇, 𝜔 > 0. [Van der Hoek & Elliott 2006] Aksioma dasar yang digunakan adalah sebagai berikut. Aksioma 1 (No arbitrage axiom) Jika nilai awal portofolio adalah nol, yaitu W (0) = 0, maka W(1) = 0 dengan peluang 1, berarti bahwa tidak ada investor yang pasti mendapatkan uang tanpa risiko dan tanpa modal awal. [Capinski & Zastawniak 2003] Menurut Capinski & Zastawniak (2003), jika portofolio melanggar aksioma ini, dapat dikatakan bahwa peluang arbitrase bisa terjadi. Pengecualian arbitrase dalam model matematika cukup mendekati kenyataan dan menjadi asumsi yang sangat penting dan menguntungkan, sehingga argumentasi berdasarkan no arbitrage axiom merupakan dasar dari financial mathematics. Konsekuensi dari aksioma ini adalah sebagai berikut. Teorema 1 (Law of One Price). Misalkan terdapat dua aset A dan B dengan harga pada waktu 𝑡 = 0, 𝑃0 𝐴 ≥ 0, 𝑃0 𝐵 ≥ 0. Seandainya ada waktu 𝑇 ≥ 0 sehingga harga A dan B sama di semua keadaan di dunia: 𝑃𝑇 𝐴 = 𝑃𝑇 (𝐵) maka 𝑃0 𝐴 = 𝑃0 (𝐵). [Van der Hoek & Elliott 2006] Bukti Misalkan 𝑃0 𝐴 > 𝑃0 (𝐵). Bentuklah portofolio berikut pada waktu 𝑡 = 0, dimulai dengan $0.

Meminjam dan menjual A, berarti 𝑃0 𝐴 . Membeli B, berarti −𝑃0 (𝐵) Sehingga 𝑃0 𝐴 − 𝑃0 𝐵 > 0, yang bisa dipegang atau diinvestasikan. Catatan strategi ini memerlukan tidak adanya investasi awal. Pada waktu T, maka Membeli dan mengembalikan A , berarti −𝑃𝑇 𝐴 . Menjual B , berarti 𝑃𝑇 𝐵 . Karena 𝑃𝑇 𝐴 = 𝑃𝑇 𝐵 , maka hasil yang diperoleh adalah $0. Tetapi, masih mempunyai hasil yang positif sebesar 𝑃0 𝐴 − 𝑃0 (𝐵), sehingga telah menunjukkan adanya peluang arbitrase. Kontradiksi dengan aksioma dasar, sehingga haruslah 𝑃0 𝐴 = 𝑃0 (𝐵). Untuk pembuktian 𝑃0 𝐴 < 𝑃0 (𝐵) argumen yang sama dapat digunakan. Pada pembuktian ini diasumsikan tidak ada biaya transaksi dalam melaksanakan perdagangan, dan aset yang terlibat dapat dibeli dan dijual setiap saat. ∎ 2.3 Jenis-jenis Contract Definisi 21 (Forward contact) Forward contract adalah perjanjian di mana investor diwajibkan untuk menjual atau membeli sebuah aset pada waktu yang telah ditentukan di waktu yang akan datang, disebut delivery time, dengan harga yang telah disepakati yang disebut forward price. [Van der Hoek & Elliott 2006] Menurut Capinski & Zastawniak (2003), dalam forward contract, investor yang setuju untuk untuk menjual suatu aset disebut mengambil short forward position dan investor yang setuju untuk untuk membeli suatu aset disebut mengambil long forward position. Definisi 22 (Exchange rate) Exchange rates adalah nilai suatu mata uang dalam bentuk mata uang lain. [ Fabozzi & Modigliani 2002]

5

III MODEL BINOMIAL UNTUK CONTINGENT CLAIM Dalam tugas akhir ini akan dibahas model binomial untuk menentukan harga contingent claim yang dijelaskan oleh Van der Hoek & Elliott (2006). Model ini dapat dikerjakan dengan mudah karena berisi sedikit parameter dan struktur setiap node dalam tree diasumsikan sederhana. 3.1 Model Binomial satu langkah Model binomial sederhana satu langkah dapat digunakan untuk menentukan harga untuk contingent claim hari ini. Dalam model ini terdapat dua waktu, untuk memudahkan akan disebut 𝑡 = 0 dan 𝑡 = 1. Waktu pada 𝑡 = 0 menunjukkan waktu sekarang, dan waktu pada 𝑡 = 1 menunjukkan waktu mendatang. Dilihat dari 𝑡 = 0, terdapat dua keadaan di saat 𝑡 = 1 yaitu upstate () dan downstate (). Tradeable asset dapat diartikan bahwa aset dapat dibeli atau dijual berapapun banyaknya dan kapanpun permintaannya. Diasumsikan untuk setiap aset bahwa harga membeli dan menjual adalah sama pada waktu yang sama. Dalam model yang digunakan terdapat dua tradeable asset, yaitu: 1. Aset berisiko 2. Aset tidak berisiko. Aset berisiko Pada waktu 𝑡 = 0, aset berisiko S mempunyai nilai yang diketahui 𝑆 0 > 0. Pada 𝑡 = 1, aset berisiko memiliki dua kemungkinan nilai yang berbeda (karena nilainya tidak pasti atau berisiko), yang dilambangkan 𝑆(1, ↑) dan 𝑆(1, ↓). Diasumsikan bahwa 𝑆 1, ↑ > 𝑆 1, ↓ . Contoh aset berisiko adalah saham, logam mulia, valuta asing.

Aset tidak berisiko Pada waktu 𝑡 = 0, aset tidak berisiko B mempunyai nilai 𝐵 0 = 1. Pada waktu 𝑡 = 1, aset tidak berisiko mempunyai nilai yang sama di kedua keadaan pada 𝑡 = 1 (karena tidak berisiko), sehingga ditulis 𝐵 1, ↑ = 𝐵 1, ↓ = 𝑅 = 1 + 𝑟. Biasanya 𝑅 ≥ 1 dan 𝑟 ≥ 0, di mana 𝑟 adalah bunga bank. Biasanya diasumsikan bahwa 𝑆 1, ↓ < 𝑅𝑆 0 < 𝑆 1, ↑ .

Contoh aset tidak berisiko adalah obligasi dan deposito. Relative pricing Misalkan 𝑋(1) adalah portofolio yang akan dibayar pada waktu 𝑡 = 1. Pada model, 𝑋(1) dapat mempunyai dua nilai yaitu 𝑋(1, ↑) dan 𝑋(1, ↓). Akan ditentukan 𝑋(0), harga X pada waktu 𝑡 = 0. Nilai 𝑋(1) tidak pasti karena 𝑋 1 adalah fungsi dari 𝑆(1) yang tidak pasti, sehingga X adalah aset yang nilainya tergantung nilai S, X merupakan derivative atau contingent claim. Diasumsikan bahwa dengan memiliki model S, dapat ditentukan 𝑋(0) menggunakan relative pricing. Terdapat 2 tahap dalam relative pricing 1. Tentukan 𝐻0 dan 𝐻1 sehingga 𝑋 1 = 𝐻0 𝐵 1 + 𝐻1 𝑆 1 .

(3.2)

Interpretasi sebagai berikut: Didefinisikan bahwa 𝐻0 mewakili banyaknya aset tidak berisiko pada 𝑡 = 0 dan 𝐻1 mewakili banyaknya aset berisiko pada 𝑡 = 0. Pada 𝑡 = 1, tingkat kepemilikan tidak berubah, tetapi underlying assets mengubah nilai menjadi 𝐻0 𝐵 1 + 𝐻1 𝑆(1). Kedua sisi adalah suatu besaran yang acak dan persamaan (3.2) berarti 𝑋 1, ↑ = 𝐻0 𝑅 + 𝐻1 𝑆(1, ↑) 𝑋 1, ↓ = 𝐻0 𝑅 + 𝐻1 𝑆 1, ↓ . Pemecahan (3.3) dan (3.4) memberikan:

Gambar 3.1 Binomial tree satu langkah.

(3.1)

(3.3) (3.4)

6

𝐻1 =

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓

(3.5)

2.

dan

Menggunakan one price theorem , yang merupakan akibat dari no arbitrage axiom harus diperoleh 𝑋 0 = 𝐻0 + 𝐻1 𝑆 0 .

𝐻0 =

𝑋 1, ↑ − 𝐻1 𝑆 1, ↑ 𝑅 𝑋 1, ↑ −

= =

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑆 1, ↑ 𝑆 1, ↑ − 𝑆(1, ↓) 𝑅

(3.7)

Dengan mensubtitusikan nilai 𝐻0 dan 𝐻1 persamaan (3.5) dan (3.6), maka nilai 𝑋 0 pada persamaan (3.7) akan menjadi sebagai berikut

𝑆 1, ↑ 𝑋 1, ↓ − 𝑆 1, ↓ 𝑋 1, ↑ (3.6) 𝑅 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓ 𝑋 0 = 𝐻0 + 𝐻1 𝑆(0) 𝑋 0 =

𝑆 1, ↑ 𝑋 1, ↓ − 𝑆 1, ↓ 𝑋 1, ↑ 𝑅 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓

+

𝑆 0

𝑋 1, ↑ 𝑅𝑆 0 − 𝑆 1, ↓ + 𝑋 1, ↓ 𝑆 1, ↑ − 𝑅𝑆 0 𝑅 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓ 1 = 𝜋 𝑋 1, ↑ + 1 − 𝜋 𝑋 1, ↓ 𝑅 =

di mana 𝜋=

𝑅𝑆 0 − 𝑆 1, ↓ >0 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓

𝑋 0 = (3.8) =

𝑆 1, ↑ − 𝑅𝑆 0 1− 𝜋 = >0 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓

1 𝜋 𝑋 1, ↑ + 1 − 𝜋 𝑋 1, ↓ 𝑅 1 𝜋 𝐸 𝑋 1 . 𝑅

Didefinisikan return 𝑟𝑋 untuk aset X

sehingga 𝑋 0 =

1 𝜋 𝑋 1, ↑ + 1 − 𝜋 𝑋 1, ↓ . 𝑅

(3.11)

𝑟𝑋 =

𝑋 1 − 𝑋(0) , 𝑋(0) (3.12)

(3.9)

𝑹isk neutral probability Untuk semua nilai 0 ≤ 𝑝 ≤ 1, didefinisikan 𝐸 𝑝 𝑋(1) sebagai berikut: 𝐸 𝑝 𝑋(1) = 𝑝 𝑋 1, ↑ + 1 − 𝑝 𝑋 1, ↓ , (3.10) di mana 𝑝 adalah peluang (dilihat pada 𝑡 = 0) akan terjadi upsate (↑) pada 𝑡 = 1. Misalkan 𝑋 adalah tradeable asset di mana nilai pada 𝑡 = 0 adalah 𝑋(0) dan nilai pada 𝑡 = 1 adalah 𝑋 1, ↑ atau 𝑋 1, ↓ tergantung apakah terjadi upstate atau downstate. Berdasarkan rumus umum harga dalam model binomial satu langkah

di mana dapat ditulis 𝑋 1, ↑ − 𝑋(0) 𝑋(0) 𝑋 1, ↓ − 𝑋(0) 𝑟𝑋 ↓ = . 𝑋(0) 𝑟𝑋 ↑ =

Lema 1. Untuk semua 0 ≤ 𝑝, 𝑞 ≤ 1, berlaku 𝐸 𝑝 𝑟𝑋 − 𝐸 𝑞 𝑟𝑋 = 𝑝−𝑞

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

. (3.13)

𝐸 𝜋 𝑟𝑋 = 𝑟 = 𝑅 − 1. Bukti: (Lampiran 1)

(3.14)

7

Akibat 1 𝐸 𝑝 𝑟𝑋 − 𝑟 = 𝑝−𝜋

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

. (3.15)

𝐸 𝑝 𝑟𝑋 − 𝑟𝑋 ↑ = 𝑝−1

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

.

Definisi 22 Diberikan 0 ≤ 𝑝 ≤ 1 dan 𝑋, 𝑌 adalah dua tradeable asset. Nilai kedua aset tersebut pada waktu 𝑡 = 0 adalah 𝑋(0) dan 𝑌(0). Pada waktu 𝑡 = 1 pada keadaan ↑ (atau ↓) nilai kedua aset tersebut adalah 𝑋 1, ↑ , 𝑌 1, ↑ (atau 𝑋 1, ↓ , 𝑌 1, ↓ ). Kemudian 𝑝 didefinisikan 𝑉𝑋,𝑌 sebagai

(3.16) 𝐸 𝑝 𝑟𝑋 − 𝑟𝑋 ↓ =𝑝

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

𝑝

𝑉𝑋 ,𝑌 = 𝐶𝑜𝑣 𝑝 (𝑟𝑋 , 𝑟𝑌 ) Dari persamaan (1.1) diperoleh

. 𝑝

(3.17) Bukti: (Lampiran 2)

𝑉𝑋,𝑌 = 𝐸 𝑝 𝐸 𝑃 𝑟𝑋 − 𝑟𝑋

𝐸 𝑃 𝑟𝑌 − 𝑟𝑌 (3.18)

= 𝐸 𝑝 𝑟𝑋 𝑟𝑌 − 𝐸 𝑝 𝑟𝑋 𝐸 𝑝 𝑟𝑌

(3.19)

Lema 2 𝑝

𝑉𝑋 ,𝑌 = 𝑝 1 − 𝑝

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓

𝑌 1, ↑ − 𝑌 1, ↓

𝑋 0

𝑌 0

. (3.20)

Bukti: (Lampiran 3) Akibat 2 Ragam dari 𝑋 adalah 𝜎𝑋2

𝑝

≡ 𝑉𝑋,𝑋 = 𝑝 1−𝑝

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

Asumsikan bahwa 𝐸 𝑝 𝑟𝑋 ≥ 𝑟. asumsi ini diperoleh lema berikut.

2

. (3.21) Dengan

Lema 3 Diberikan 0 < 𝑝 < 1, maka 𝐸 𝑝 𝑟𝑋 − 𝑟 =

𝑝− 𝜋 𝑝 (1 − 𝑝)

𝜎𝑋. (3.22)

Bukti: (Lampiran 4) Persamaan (3.22) menjelaskan tentang return yang diharapkan yang berasal dari aset 𝑋 berdasarkan volatilitas (ragam). Dikatakan bahwa aset tersebut dikatakan berisiko jika nilai volatilitasnya (𝜎𝑋 ) besar. Berdasarkan persamaan (3.22) jika nilai volatilitasnya adalah nol, maka return yang diharapkan hanya 𝑟 (bunga bebas risiko), tetapi ketika volatilitasnya tidak sama dengan nol akan diperoleh return yang lebih besar. Hasil ini sesuai dengan kenyataan bahwa jika ingin

mendapatkan return yang tinggi maka harus menanggung lebih banyak risiko. Akan tetapi, terdapat satu situasi di mana hasil tersebut tidak berjalan, yaitu ketika 𝑝 = 𝜋. Pada keadaan ini return yang diharapkan akan selalu bernilai 𝑟 apapun risiko yang diperoleh. Jika investor (secara subjektif) berpikir peluang besar terjadi pada waktu 𝑡 = 1 sama dengan 𝜋, maka investor tersebut tidak peka terhadap risiko sehingga investor tersebut termasuk risk-neutral. 3.2 Model Cox-Ross-Rubinstein (CRR) Model CRR adalah model untuk menentukan rumus umum harga contingent claim di mana harga aset di masa mendatang (T) akan naik atau turun dengan konstan yaitu sebesar 𝑢 atau 𝑑 pada setiap step waktu. Untuk menentukan rumus umum harga contingent claim dengan binomial satu langkah menggunakan model CRR, notasinotasi yang dipakai adalah: 𝑆 0 = 𝑆>0 𝑆 1, ↑ = 𝑢𝑆, dengan peluang 𝑝 𝑆 1, ↓ = 𝑑𝑆, dengan peluang 1 − 𝑝 0 < 𝑑 < 𝑅 < 𝑢.

8

j0

j 1

Gambar 3.2 Binomial tree satu langkah dalam model CRR. diperoleh 𝜋=

𝑅𝑆 0 − 𝑆 1, ↓ 𝑅−𝑑 = (3.23) 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓ 𝑢− 𝑑

𝑆 1, ↑ − 𝑅𝑆 0 𝑢−𝑅 1− 𝜋 = = 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓ 𝑢−𝑑

(3.24)

 Pada 𝑗 = 0 yaitu node 0,0 harga aset bernilai 𝑆 0,0 = 𝑆(0).  Pada 𝑗 = 1, harga aset akan bernilai 𝑆 1, ↑ ( di mana dapat ditulis 𝑆 1,1 ) dengan peluang 𝑝 dan 𝑆 1, ↓ ( di mana dapat di tulis 𝑆 1,0 ) dengan peluang 1 − 𝑝.  Pada 𝑗 = 2, harga aset akan menjadi 3 keadaan yaitu 𝑆 2, ↑, ↑ = 𝑆 2,2 , 𝑆 2, ↑, ↓ = 𝑆 2,1 , dan 𝑆 2, ↓, ↓ = 𝑆 2,0 dengan peluang masing-masing adalah 𝑝2 , 2𝑝 1 − 𝑝 , dan (1 − 𝑝)2 . Model binomial dua langkah dapat dijelaskan dengan menggunakan model CRR. Notasi – notasi yang digunakan adalah: 𝑆 0,0 = 𝑆 0 𝑆 1,1 = 𝑢𝑆 0 𝑆 1,0 = 𝑑𝑆 0 𝑆 2,2 = 𝑢2 𝑆(0) 𝑆 2,1 = 𝑢𝑑𝑆(0) 𝑆 2,0 = 𝑑2 𝑆 0 .

sehingga rumus umum harga untuk contingent claim dalam model binomial satu langkah menggunakan model CRR adalah 𝑋 0 =

1 𝑅−𝑑 𝑢−𝑅 𝑋 1, ↑ + 𝑋 1, ↓ . 𝑅 𝑢− 𝑑 𝑢−𝑑 (3.25) [Van der Hoek & Elliott 2006]

Return untuk aset 𝑆 dalam model binomial satu langkah, dapat ditulis 𝑟𝑆 1 =

𝑢−1 𝑑−1

Gambar model binomial dua langkah menggunakan model CRR ditunjukkan dalam Gambar 3.4 di mana nilai 𝑆(0) adalah 1 untuk memudahkan perhitungan.

dengan peluang 𝑝 . dengan peluang 1 − 𝑝 (3.26)

Bukti: (Lampiran 5) 3.3 Model Binomial Multiperiode 3.3.1 Binomial tree dua langkah Dalam model binomial dua langkah terdapat 3 keadaan pada 𝑡 = 1.

Gambar 3.4 Binomial tree dua langkah dalam model CRR. Return 𝑟𝑆 (2) untuk aset 𝑆, dapat ditulis dengan peluang 𝑝 . dengan peluang 1 − 𝑝 (3.27) Bukti: (Lampiran 6) 𝑟𝑆 2 =

j=0

j0 t 0

j=1

j 1

j=2

j2 t 1

Gambar 3.3 Binomial tree dua langkah.

𝑢−1 𝑑−1

Return ini sama dengan return yang diperoleh pada model binomial satu langkah karena return dihitung berdasarkan pada harga aset sebelumnya.

9

3.3.2 Binomial tree tiga langkah Dalam model binomial tiga langkah terdapat 4 keadaan pada 𝑡 = 1 .

j=0

j=1

j=2

t 0

𝑆 3,0 = 𝑑3 𝑆 0 . Gambar model binomial tiga langkah menggunakan model CRR ditunjukkan dalam Gambar 3.6 di mana nilai 𝑆(0) adalah 1 untuk memudahkan perhitungan.

j=3

t 1

Gambar 3.5 Binomial tree tiga langkah.  Pada 𝑗 = 0 yaitu node 0,0 harga aset bernilai 𝑆 0,0 = 𝑆(0).  Pada 𝑗 = 1, harga aset akan bernilai 𝑆 1, ↑ ( di mana dapat ditulis 𝑆 1,1 ) dengan peluang 𝑝 dan 𝑆 1, ↓ ( di mana dapat di tulis 𝑆 1,0 ) dengan peluang 1 − 𝑝.  Pada 𝑗 = 2, harga aset akan menjadi 3 keadaan yaitu 𝑆 2, ↑, ↑ = 𝑆 2,2 , [𝑆 2, ↑, ↓ = 𝑆 2, ↓, ↑ = 𝑆 2,1 ], dan 𝑆 2, ↓, ↓ = 𝑆 2,0 dengan peluang masing-masing adalah 𝑝2 , 2𝑝 1 − 𝑝 , dan (1 − 𝑝)2 .  Pada 𝑗 = 3, harga aset akan menjadi 4 keadaan yaitu 𝑆 3, ↑, ↑, ↑ = 𝑆 3,3 , 𝑆 3, ↑, ↑, ↓ = 𝑆 3, ↑, ↓, ↑ = 𝑆 3, ↓, ↑, ↑ = 𝑆 3,2 , 𝑆 3, ↑, ↓, ↓ = 𝑆 3, ↓, ↑, ↓ = 𝑆 3, ↓, ↓, ↑ = 𝑆 3,1 , dan 𝑆 3, ↓, ↓, ↓ = 𝑆 3,0 dengan peluang masing-masing adalah 𝑝2 , 3𝑝2 1 − 2 3 𝑝 , 3𝑝 1 − 𝑝 dan (1 − 𝑝) .

Gambar 3.6 Binomial tree tiga langkah dalam model CRR. Return 𝑟𝑆 (3) untuk aset 𝑆, dapat ditulis 𝑟𝑆 3 =

𝑢−1 𝑑−1

dengan peluang 𝑝 . dengan peluang 1 − 𝑝 (3.28)

Bukti: (Lampiran 7) Return ini sama dengan return yang diperoleh pada model binomial satu langkah dan model binomial dua langkah karena return dihitung berdasarkan pada harga aset sebelumnya. 3.3.3 Model binomial n-langkah Setiap node dalam tree ditulis (𝑘, 𝑗) dimana k melambangkan langkah 𝑘 = 0, 1, 2, 3, … 𝑛. dan penulisan j dalam node melambangkan keadaan 𝑗 = 0, 1, 2, 3, … , 𝑘. Pada langkah ke k terdapat 𝑘 + 1 keadaan. Jika berada pada node (𝑘, 𝑗), maka node yang mungkin adalah salah satu dari (𝑘 + 1, 𝑗 + 1) atau (𝑘 + 1, 𝑗).

Model binomial tiga langkah dapat dijelaskan dengan menggunakan model CRR. Notasi – notasi yang digunakan adalah: 𝑆 0,0 = 𝑆 0 𝑆 1,1 = 𝑢𝑆 0 𝑆 1,0 = 𝑑𝑆 0 𝑆 2,2 = 𝑢2 𝑆(0) 𝑆 2,1 = 𝑢𝑑𝑆(0) 𝑆 2,0 = 𝑑2 𝑆(0) 𝑆 3,3 = 𝑢3 𝑆 0 𝑆 3,2 = 𝑢2 𝑑𝑆 0 𝑆 3,1 = 𝑢𝑑2 𝑆 0

t 0

Gambar 3.7 Binomial tree n-langkah.

t 1

10

Untuk

setiap

𝑛 keadaan, 𝑗 keadaan sama

peluang

masing–masing dengan 𝑝 𝑗 (1 − 𝑝)𝑛−𝑗 . Model binomial n-langkah dapat dijelaskan menggunakan model CRR. Dalam n-step tree untuk harga aset setiap keadaan (atau jalur yang melewati tree) di mana perubahan harga secara tepat j naik ke atas dan n-j turun ke bawah menghasilkan nilai aset 𝑆(0)𝑢 𝑗 𝑑𝑛−𝑗 pada waktu n. Untuk setiap 𝑛 keadaan, peluang masing–masing 𝑗 keadaan sama dengan 𝑝 𝑗 (1 − 𝑝)𝑛 −𝑗 , sehingga dapat ditulis 𝑆 𝑛, 𝑗 = 𝑆(0)𝑢 𝑗 𝑑𝑛−𝑗 dengan peluang 𝑛 𝑗 𝑛−𝑗 𝑗 𝑝 (1 − 𝑝) untuk setiap 𝑗 = 0, 1, 2, … , 𝑛. Nilai aset 𝑆(𝑛) pada waktu 𝑛 adalah variabel acak diskret dengan 𝑛 + 1 nilai aset yang berbeda. Distribusi nilai 𝑆 𝑛 dapat dilihat dalam gambar 3.8 untuk 𝑛 = 10, 𝑝 = 0.5, 𝑆 0 = 1, 𝑢 = 1.1, dan 𝑑 = 0.9. peluang

S(10)

Gambar 3.8 distribusi nilai dari 𝑆 10 . Nilai dari 𝑗 yang merupakan pergerakan nilai ke atas adalah variabel acak yang menyebar binomial. Hal yang sama juga berlaku untuk nilai dari 𝑛 − 𝑗 yang merupakan pergerakan nilai ke bawah. Kemudian dapat dikatakan bahwa proses perubahan harga aset mengikuti binomial tree. Dalam n-langkah, binomial dilakukan dalam semua keadaan. Setiap jalur dalam n-langkah bergerak naik dan turun dan setiap step memiliki 2𝑛 elemen nilai.

Return 𝑟𝑆 (𝑛) untuk aset 𝑆 dapat ditulis 𝑢 − 1 dengan peluang 𝑝 . 𝑑 − 1 dengan peluang 1 − 𝑝 (3.29) Bukti: (Lampiran 8) 𝑟𝑆 𝑛 =

Return ini sama dengan return yang diperoleh pada model binomial satu langkah dan model binomial dua langkah karena return dihitung berdasarkan pada harga aset sebelumnya.

11

IV APLIKASI MODEL BINOMIAL DALAM CONTRACT Pada bagian ini akan dibahas aplikasi model binomial dalam menentukan harga contingent claim yaitu harga forward contract dan forward exchange rate contract. 4.1 Forward Contract Forward contract adalah sebuah perjanjian untuk membeli atau menjual aset (S) di masa mendatang (T) untuk harga yang telah disepakati (F). Tidak ada pembayaran yang dilakukan di awal (pada saat 𝑡 = 0) dan harga F disebut forward price. Lebih jauh, long forward contract adalah kesepakatan yang mengikat untuk membeli, sementara short forward contract adalah kesepakatan yang mengikat untuk menjual. Kata “mengikat” membedakan kontrak ini dengan option contract. Misalkan 𝑆(0) adalah harga underlying asset hari ini dan 𝑆(𝑇) adalah harga underlying asset pada waktu T dan F adalah harga yang disepakati. Imbal hasil dari long forward contract adalah 𝑆 𝑇 – 𝐹 (membeli dengan harga F dan menjual dengan harga S(T)). Hasil ini mungkin positif, negatif atau nol tergantung pada keadaan pada waktu T. Tidak ada pembayaran di awal yaitu pada saat 𝑡 = 0, sehingga nilai sekarang dari forward contract adalah nol (diasumsikan bahwa tidak ada biaya transaksi). Diagram imbal hasil dari long forward contract ditunjukkan pada Gambar 4.1.

Hasil dari short forward contract adalah 𝐹 − 𝑆(𝑇) (Menjual dengan harga F dan membeli dengan harga S(T)). Hasil ini dapat bernilai positif, negatif atau nol tergantung pada keadaan pada waktu T. Tidak ada pembayaran di awal dan tidak ada biaya transaksi. Diagram ditunjukkan pada Gambar 4.2 imbal hasil

S(T)

harga

F

F-S(T)

Gambar 4.2 Imbal hasil dari short forward contract. Imbal hasil untuk short forward contract akan bernilai negatif apabila nilai F lebih besar dibandingkan S(T), bernilai nol apabila nilai F sama dengan S(T), dan bernilai positif apabila nilai F lebih kecil dibandingkan dengan S(T). Aplikasi model binomial dalam forward contract dalam tugas akhir ini adalah untuk menentukan nilai forward contract (F).

imbal hasil

Model Binomial satu langkah S(T)-F

harga F

S(T)

Dalam model binomial satu langkah, terdapat dua waktu yaitu 𝑡 = 0 dan 𝑡 = 𝑇. Akan dicoba dirumuskan forward contract menggunakan model binomial satu langkah. Nilai long forward contract pada waktu 𝑡 = 𝑇 adalah 𝑋 𝑇 = 𝑆 𝑇 − 𝐹.

Gambar 4.1 Imbal hasil dari long forward contract. Imbal hasil untuk long forward contract akan bernilai negatif apabila nilai F lebih besar dibandingkan S(T), bernilai nol apabila nilai F sama dengan S(T), dan bernilai positif apabila nilai F lebih kecil dibandingkan dengan S(T).

Nilai di atas akan menjadi 𝑋 𝑇, ↑ = 𝑆 𝑇, ↑ − 𝐹 𝑋 𝑇, ↓ = 𝑆 𝑇, ↓ − 𝐹 dan nilai F disetujui pada waktu 𝑡 = 0, sehingga F dapat ditulis F(0) atau F(0,0). Nilai F dalam model binomial satu langkah dirumuskan berdasarkan teorema berikut

12

Teorema 4.1 Misalkan terdapat sebuah aset S dengan harga pada waktu t = 0 adalah S(0) ≥ 0 dan harga pada waktu T adalah S(T). Dengan tidak ada pembayaran di awal maka nilai forward contract berdasarkan model binomial satu langkah pada waktu t = 0 adalah 𝐹 = 𝑆 0 𝑅. 0=

Bukti: Model dependent Berdasarkan one-step binomial asset pricing model. Misalkan pada waktu T, 𝑆(𝑇) sama dengan 𝑆(𝑇, ↑) atau 𝑆(𝑇, ↓). Pada waktu 𝑡 = 0 nilai forward contract adalah nol, sehingga berdasarkan persamaan (3.9) diperoleh

1 𝜋 𝑆 𝑇, ↑ − 𝐹 + 1 − 𝜋 𝑆 𝑇, ↓ − 𝐹 𝑅 1 𝐹 0= 𝜋 𝑆 𝑇, ↑ + 1 − 𝜋 𝑆 𝑇, ↓ − 𝑅 𝑅 𝐹 0=𝑆 0 − 𝑅 𝐹 = 𝑆 0 𝑅.

Model independent Asumsikan bahwa 𝐹 − 𝑆 0 𝑅 > 0. Pada waktu 𝑡 = 0, pinjam 𝑆(0) dalam bentuk tunai, beli satu aset, lakukan (short) forward contract untuk menjual aset dengan harga F pada waktu T, maka diperoleh biaya bersih sebesar $0 pada waktu 𝑡 = 0. Pada waktu akhir T, jual aset dengan harga F dan membayar kembali pinjaman dengan bunga yaitu 𝑆(0)𝑅. Posisi bersih adalah 𝐹 − 𝑆 0 𝑅 > 0, yang jelas merupakan suatu keuntungan. Jadi, dengan tidak ada pengeluaran bersih di 𝑡 = 0, bisa menghasilkan keuntungan yang positif pada waktu T. Ini adalah sebuah arbitrase, yang melanggar aksioma dasar kita. Asumsikan sekarang 𝑆 0 𝑅−𝐹>0 argumen yang sama bekerja. Pada waktu 𝑡 = 0, short sell satu aset, menginvestasikan jumlah tersebut 𝑆(0) di bank sehingga dapat meningkat karena memperoleh bunga

sebesar R, lakukan long forward contract untuk membeli aset pada waktu t dengan harga F dan diperoleh biaya bersih sebesar $0 pada waktu 𝑡 = 0. Pada waktu akhir T, beli aset dengan harga F dan mengembalikannya. Pembelian aset didanai dari investasi 𝑆(0)𝑅. posisi bersih adalah 𝑆 0 𝑅 − 𝐹 > 0, yang jelas merupakan suatu keuntungan. Jadi, dengan tidak ada pengeluaran bersih di 𝑡 = 0, bisa menghasilkan keuntungan yang positif pada saat T. Ini adalah sebuah arbitrase yang melanggar aksioma dasar. ∎ Model binomial dua langkah Dijelsakan sebelumnya bahwa F(0,0) ditulis untuk menegaskan bahwa F disetujui pada waktu t=0, nilai long forward contract pada waktu t=2 adalah sebagai berikut 𝑋 2,2 = 𝑆 2,2 − 𝐹 0,0 𝑋 2,1 = 𝑆 2,1 − 𝐹(0,0) 𝑋 2,0 = 𝑆 2,0 − 𝐹(0,0) Nilai F(0,0) dapat dihitung sebagai berikut

1 𝜋 𝑋 2,1 − 1 − 𝜋 𝑋 2,0 𝑅 1,0 1 = [𝜋 𝑆(2,1) − 𝐹(0,0) − (1 − 𝜋) 𝑆(2,0) − 𝐹(0,0) ] 𝑅 1,0 1 𝐹(0,0) = 𝜋 𝑆 2,1 − 1 − 𝜋 𝑆 2,0 − 𝑅 1,0 𝑅(1,0) 𝐹 0,0 = 𝑆 1,0 − . 𝑅 1,0

𝑋 1,0 =

∎

13


𝑋 1,1 =

1 𝜋 𝑋 1,1 − 1 − 𝜋 𝑋 1,0 𝑅 0,0 1 𝐹(0,0) 𝐹(0,0) = 𝜋 𝑆(1,1) − − 1 − 𝜋 𝑆(1,0) − 𝑅 0,0 𝑅(1,1) 𝑅(1,0) 1 𝐹(0,0) 𝐹 0,0 = 𝜋 𝑆 1,1 − 1 − 𝜋 𝑆(1,0) − 𝜋 − 1−𝜋 . 𝑅(0,0) 𝑅(0,0)𝑅(1,1) 𝑅 0,0 𝑅 1,0

𝑋 0,0 =

Diasumsikan 𝑅 1,1 = 𝑅 1,0 = 𝑅(1), maka 1 𝐹 0,0 𝑋 0,0 = 𝜋 𝑆 1,1 − 1 − 𝜋 𝑆 1,0 − 𝑅 0,0 𝑅 0,0 𝑅 1 𝐹 0,0 = 𝑆 0,0 − . 𝑅 0,0 𝑅 1 Diketahui bahwa nilai forward contract pada waktu t = 0 adalah nol, maka 0 = 𝑆(0,0) −

𝐹 0,0 𝑅 0,0 𝑅 1

𝐹 0,0 𝑅 0,0 𝑅 1 𝐹 0,0 = 𝑆 0,0 𝑅 0,0 𝑅 1 dengan 1 𝑃 0,2 = 𝑅 0,0 𝑅 1 𝑆 0,0 =

Maka nilai F(0,0) dapat ditulis sebagai berikut 𝑆 0,0 𝐹 0,0 = . 𝑃 0,2 Nilai X pada (1,0) dan (1,1) dari long forward contract yang dimulai pada waktu t = 0 sampai waktu t = 2 adalah 𝐹(0,0) 𝑅(1,0) 𝐹(0,0) 𝑋 1,1 = 𝑆(1,1) − 𝑅(1,1) 𝑋 1,0 = 𝑆(1,0) −

1 𝑃01 1 1 𝑅 1,1 = 𝑅 1 = 1 𝑃1 1 di mana 𝑃01 1 nilai IDR pada waktu 𝑡 = 1 dengan keadaan 0 jika pada 𝑡 = 2 terdapat 1 IDR dan 𝑃11 1 nilai IDR pada waktu 𝑡 = 1 dengan keadaan 1 jika pada 𝑡 = 2 terdapat 1 IDR. Maka nilai X(1,0) dan X(1,1) akan menjadi 𝑅 1,0 = 𝑅 1 =

𝑋 1,0 = 𝑆(1,0) −

𝑆 0,0 1 𝑃 1 𝑃 0,2 0

𝑋 1,1 = 𝑆 1,1 −

𝑆 0,0 1 𝑃 1. 𝑃 0,2 1

Dapat dihitung F(1,1) yaitu nilai forward contract dari S pada waktu t = 1 yang dimulai pada waktu t = 0. Nilai F(1,1) dipengaruhi nilai S(2,2) dan S(2,1), maka nilai forward contract pada (1,1) dapat dihitung sebagai berikut 𝑋 2,2 = 𝑆 2,2 − 𝐹 1,1 𝑋 2,1 = 𝑆 2,1 − 𝐹 1,1 .

1 𝜋 𝑋 2,2 − 1 − 𝜋 𝑋 2,1 𝑅 1,1 1 = [𝜋 𝑆(2,2) − 𝐹(1,1) − (1 − 𝜋) 𝑆(2,1) − 𝐹(1,1) ] 𝑅 1,1 1 𝐹(1,1) = 𝜋 𝑆 2,2 − 1 − 𝜋 𝑆 2,1 − 𝑅 1,1 𝑅(1,1)

𝑋 1,1 =

14

𝑋 1,1 = 𝑆 1,1 −

𝐹 1,1 . 𝑅 1,1

Dengan nilai 𝑋 1,1 = 0, maka 𝐹 1,1 = 𝑆 1,1 𝑅 1,1 =

𝑆(1,1) . 𝑃11 1

Selain itu nilai F(1,0) juga dapat dihitung. Nilai F(1,0) dipengaruhi nilai S(2,0) dan S(2,1) sehingga perhitungan F(1,0) adalah sebagai berikut 𝑋 2,1 = 𝑆 2,1 − 𝐹(1,0) 𝑋 2,0 = 𝑆 2,0 − 𝐹 1,0 . 1 𝜋 𝑋 2,1 − 1 − 𝜋 𝑋 2,0 𝑅 1,0 1 = [𝜋 𝑆(2,1) − 𝐹(1,0) − (1 − 𝜋) 𝑆(2,0) − 𝐹(1,0) ] 𝑅 1,0 1 𝐹(1,0) = 𝜋 𝑆 2,1 − 1 − 𝜋 𝑆 2,0 − 𝑅 1,0 𝑅(1,0) 𝐹 1,0 = 𝑆 1,0 − . 𝑅 1,0 Dengan nilai 𝑋 1,0 = 0, Maka 𝑆(1,0) 𝐹 1,0 = 𝑆 1,0 𝑅 1,0 = 1 . 𝑃0 1 𝑋 1,0 =

Model binomial tiga langkah Perhitungan untuk menentukan nilai F(0,0) pada long forward contract dalam model binomial tiga langkah adalah sebagai berikut.

Nilai long forward contract pada 𝑡 = 3 adalah 𝑋 𝑋 𝑋 𝑋

3,3 3,2 3,1 3,0

= = = =


𝑋 2,0 =


𝑋 2,1 =

1 𝜋 𝑋 3,3 − 1 − 𝜋 𝑋 3,2 𝑅 2,2 1 = [𝜋 𝑆(3,3) − 𝐹(0,0) − (1 − 𝜋) 𝑆(3,2) − 𝐹(0,0) ] 𝑅 2,2

𝑋 2,2 =

𝑆 𝑆 𝑆 𝑆

3,3 3,2 3,1 3,0

− − − −

𝐹 0,0 𝐹 0,0 𝐹(0,0) 𝐹(0,0)

15

1 𝐹(0,0) 𝜋 𝑆 3,3 − 1 − 𝜋 𝑆 3,2 − 𝑅 2,2 𝑅(2,2) 𝐹 0,0 = 𝑆 2,2 − . 𝑅 2,2 =


𝑋 1,0 =

Diasumsikan 𝑅 2,2 = 𝑅 2,1 = 𝑅 2,0 = 𝑅(2) maka 1 𝐹(0,0) 𝜋 𝑆 2,1 − 1 − 𝜋 𝑆(2,0) − 𝑅(1,0) 𝑅(1,0)𝑅(2) 𝐹 0,0 = 𝑆 1,0 − . 𝑅 1,0 𝑅 2

𝑋 1,0 =


𝑋 1,1 =

Diasumsikan 𝑅 2,2 = 𝑅 2,1 = 𝑅 2,0 = 𝑅(2) maka 1 𝐹(0,0) 𝜋 𝑆 2,2 − 1 − 𝜋 𝑆(2,1) − 𝑅(1,1) 𝑅(1,1)𝑅(2) 𝐹 0,0 = 𝑆 1,1 − . 𝑅 1,1 𝑅 2

𝑋 1,1 =

1 𝜋 𝑋 1,1 − 1 − 𝜋 𝑋 1,0 𝑅 0,0 1 𝐹 0,0 𝐹 0,0 = 𝜋 𝑆 1,1 − − 1 − 𝜋 𝑆 1,0 − 𝑅 0,0 𝑅 1,1 𝑅 2 𝑅 1,0 𝑅 2 1 𝐹(0,0) 𝐹 0,0 = 𝜋 𝑆 1,1 − 1 − 𝜋 𝑆(1,0) − 𝜋 − 1−𝜋 . 𝑅(0,0) 𝑅(0,0)𝑅 1,1 𝑅 2 𝑅 0,0 𝑅 1,0 𝑅 2

𝑋 0,0 =

Diasumsikan 𝑅 1,1 = 𝑅 1,0 = 𝑅(1) maka 1 𝐹 0,0 𝜋 𝑆 1,1 − 1 − 𝜋 𝑆 1,0 − 𝑅 0,0 𝑅 0,0 𝑅 1 𝑅(2) 𝐹 0,0 = 𝑆 0,0 − . 𝑅 0,0 𝑅 1 𝑅 2

𝑋 0,0 =

16

Diketahui bahwa nilai forward contract pada waktu t = 0 adalah nol, maka

akan menjadi

𝐹 0,0 𝑅 0,0 𝑅 1 𝑅(2) 𝐹 0,0 𝑆 0,0 = 𝑅 0,0 𝑅 1 𝑅(2) 𝐹 0,0 = 𝑆 0,0 𝑅 0,0 𝑅 1 𝑅(2) dapat ditulis 𝑆 0,0 𝐹 0,0 = 𝑃 0,3

nilai

0 = 𝑆(0,0) −

1 . 𝑅 0,0 𝑅 1 𝑅(2)

𝑆 0,0 2 𝑃 1 𝑃 0,3 1

𝑋 2,2 = 𝑆 2,2 −

𝐹 0,0 𝑅 2,2

akan menjadi 𝑋 2,2 = 𝑆 2,2 −

𝑆 0,0 2 𝑃 1. 𝑃 0,3 2

Dengan nilai 1 , 2 1 𝑅 1,0 𝑅 2 = 𝑅 1 𝑅 2 = 1 𝑃0 2

𝑅 1,1 𝑅 2 = 𝑅 1 𝑅 2 =

dengan 𝑃 0,3 =

𝑋 2,1 = 𝑆 2,1 −

nilai 𝑋 1,0 = 𝑆 1,0 −

Dengan nilai 1 , 𝑃02 1 1 𝑅 2,1 = 𝑅 2 = 2 , 𝑃1 1 1 𝑅 2,2 = 𝑅 2 = 2 𝑃2 1 Di mana 𝑃02 1 adalah nilai IDR pada waktu 𝑡 = 2 dengan keadaan 0 jika pada 𝑡 = 3 terdapat 1 IDR, 𝑃12 1 adalah nilai IDR pada waktu 𝑡 = 2 dengan keadaan 1 jika pada 𝑡 = 3 terdapat 1 IDR dan 𝑃22 1 adalah nilai IDR pada waktu 𝑡 = 2 dengan keadaan 2 jika pada 𝑡 = 3 terdapat 1 IDR maka nilai 𝐹(0,0) 𝑋 2,0 = 𝑆(2,0) − 𝑅(2,0) akan menjadi 𝑆 0,0 2 𝑋 2,0 = 𝑆(2,0) − 𝑃 1 𝑃 0,3 0 nilai 𝐹 0,0 𝑋 2,1 = 𝑆 2,1 − 𝑅 2,1 𝑅 2,0 = 𝑅 2 =

𝑃11

𝐹 0,0 𝑅 1,0 𝑅 2


𝑆 0,0 1 𝑃 2 𝑃 0,3 0

nilai 𝑋 1,1 = 𝑆 1,1 −

𝐹 0,0 𝑅 1,1 𝑅 2


𝑆 0,0 1 𝑃 2. 𝑃 0,3 1

Nilai forward contract pada setiap node dalam model binomial tiga langkah dapat dihitung. Nilai forward contract pada node (2,0) dipengaruhi nilai S pada (3,1) dan (3,0), maka nilai forward contract pada (2,0) dapat dihitung sebagai berikut 𝑋 3,1 = 𝑆 3,1 − 𝐹 2,0 𝑋 3,0 = 𝑆 3,0 − 𝐹(2,0)


𝑋 2,0 =

Dengan nilai 𝑋 2,0 = 0, maka 𝑆(2,0) . 𝑃02 1 Nilai forward contract pada node (2,1) dipengaruhi nilai S pada (3,1) dan (3,2), maka nilai forward contract pada (2,1) adalah 𝑋 3,1 = 𝑆 3,1 − 𝐹 2,1 𝑋 3,2 = 𝑆 3,2 − 𝐹(2,1) 𝐹 2,0 = 𝑆 2,0 𝑅 2,0 =

17


𝑋 2,1 =


𝑆(2,1) . 𝑃12 1

Nilai forward contract pada node (2,2) dipengaruhi nilai S pada (3,3) dan (3,2), Maka nilai forward contract pada (2,2) adalah 𝑋 3,3 = 𝑆 3,3 − 𝐹 2,2 𝑋 3,2 = 𝑆 3,2 − 𝐹(2,2) 1 𝜋 𝑋 3,3 − 1 − 𝜋 𝑋 3,2 𝑅 2,2 1 = [𝜋 𝑆(3,3) − 𝐹(2,2) − (1 − 𝜋) 𝑆(3,2) − 𝐹(2,2) ] 𝑅 2,2 1 𝐹(2,2) = 𝜋 𝑆 3,3 − 1 − 𝜋 𝑆 3,2 − 𝑅 2,2 𝑅(2,2) 𝐹 2,2 = 𝑆 2,2 − . 𝑅 2,2

𝑋 2,2 =


𝑆(2,2) . 𝑃22 1

Perhitungan nilai forward contract pada node (1,0) adalah sebagai berikut 𝑋 3,2 = 𝑆 3,2 − 𝐹 1,0 𝑋 3,1 = 𝑆 3,1 − 𝐹(1,0) 𝑋 3,0 = 𝑆 3,0 − 𝐹 1,0 . 1 𝜋 𝑋 3,1 − 1 − 𝜋 𝑋 3,0 𝑅 2,0 1 = [𝜋 𝑆(3,1) − 𝐹(1,0) − (1 − 𝜋) 𝑆(3,0) − 𝐹(1,0) ] 𝑅 2,0 1 𝐹(1,0) = 𝜋 𝑆 3,1 − 1 − 𝜋 𝑆 3,0 − 𝑅 2,0 𝑅(2,0) 𝐹 1,0 = 𝑆 2,0 − . 𝑅 2,0

𝑋 2,0 =


𝑋 2,1 =

18

1 𝜋 𝑋 2,1 − 1 − 𝜋 𝑋 2,0 𝑅 1,0 1 𝐹(1,0) 𝐹(1,0) = 𝜋 𝑆(2,1) − − 1 − 𝜋 𝑆(2,0) − 𝑅 1,0 𝑅(2,1) 𝑅(2,0) 1 𝐹(1,0) 𝐹(1,0) = 𝜋 𝑆 2,1 − 1 − 𝜋 𝑆(2,0) − 𝜋 − (1 − 𝜋) 𝑅(1,0) 𝑅(1,0)𝑅(2,1) 𝑅(1,0)𝑅(2,0) 𝐹 1,0 = 𝑆 1,0 − . 𝑅 1,0 𝑅 2

𝑋 1,0 =

Dengan nilai 𝑋 1,0 = 0, maka 𝐹 1,0 = 𝑆 1,0 𝑅 1,0 𝑅 2 =

𝑆 1,0 . 𝑃01 2

Perhitungan nilai forward contract pada node (1,1) adalah sebagai berikut 𝑋 3,2 = 𝑆 3,2 − 𝐹 1,1 𝑋 3,1 = 𝑆 3,1 − 𝐹(1,1) 𝑋 3,3 = 𝑆 3,3 − 𝐹 1,1 . 1 𝜋 𝑋 3,2 − 1 − 𝜋 𝑋 3,1 𝑅 2,1 1 = [𝜋 𝑆(3,2) − 𝐹(1,1) − (1 − 𝜋) 𝑆(3,1) − 𝐹(1,1) ] 𝑅 2,1 1 𝐹(1,1) = 𝜋 𝑆 3,2 − 1 − 𝜋 𝑆 3,1 − 𝑅 2,1 𝑅(2,1) 𝐹 1,1 = 𝑆 2,1 − . 𝑅 2,1

𝑋 2,1 =


𝑋 2,2 =

1 𝜋 𝑋 2,2 − 1 − 𝜋 𝑋 2,1 𝑅 1,1 1 𝐹(1,1) 𝐹(1,1) = 𝜋 𝑆(2,2) − − 1 − 𝜋 𝑆(2,1) − 𝑅 1,1 𝑅(2,2) 𝑅(2,1) 1 𝐹(1,1) 𝐹(1,1) = 𝜋 𝑆 2,2 − 1 − 𝜋 𝑆(2,1) − 𝜋 − (1 − 𝜋) 𝑅(1,1) 𝑅(1,1)𝑅(2,2) 𝑅(1,1)𝑅(2,1) 𝐹 1,1 = 𝑆 1,1 − . 𝑅 1,0 𝑅 2

𝑋 1,1 =

Dengan nilai 𝑋 1,1 = 0, maka 𝐹 1,1 = 𝑆 1,1 𝑅 1,0 𝑅 2 =

𝑆 1,1 . 𝑃01 2

19

Model binomial N-langkah Sekarang akan digunakan model binomial multiperiode. Pada node 𝑛, 𝑗 harga aset dilambangkan 𝑆 𝑛, 𝑗 . Didefinisikan 𝑃𝑗 𝑛 (𝑇) adalah nilai IDR pada waktu 𝑡 = 𝑛 dengan keadaan 𝑗 jika pada 𝑡 = 𝑇 + 𝑛 (𝑇 setelah periode 𝑡 = 𝑛) terdapat 1 IDR dan 𝑅 𝑛, 𝑗 = 1 + 𝑟(𝑛, 𝑗) adalah nilai IDR pada waktu 𝑡 = 𝑛 + 1 jika investasikan 1 IDR di bank pada 𝑡 = 𝑛. Didefinisikan: 𝑢 𝑛, 𝑗 =

𝑆 𝑛 + 1, 𝑗 + 1 𝑆 𝑛, 𝑗

Untuk menghindari arbitrase, dibutuhkan 0 < 𝜋 𝑛, 𝑗 < 1 untuk semua 𝑛, 𝑗 . Ditulis 𝐹 = 𝐹(0,0) untuk menegaskan fakta bahwa 𝐹 disetujui pada waktu 𝑡 = 0. Long forward contract pada 𝑁, 𝑗 bernilai 𝑆 𝑁, 𝑗 − 𝐹(0,0). Dengan 𝑃(0, 𝑁) adalah nilai IDR pada waktu t = 0 jika pada waktu t = N terdapat 1 IDR maka nilai di atas pada waktu 𝑡=0 adalah 𝑆 0,0 − 𝐹 0,0 𝑃(0, 𝑁). Nilai pada waktu 𝑡 = 0 yaitu pada 0,0 haruslah 0, sehingga 𝑆 0,0 . 𝑃 0, 𝑁

(4.1)

Nilai untuk P(0,1) adalah 1 𝑅(0) sehingga persamaan (4.1) terpenuhi untuk model binomial satu langkah. Nilai 𝑉 pada (𝑛, 𝑗) dari long forward contract yang dimulai pada waktu 𝑡 = 0 sampai waktu 𝑡 = 𝑁 adalah 𝑉 𝑛, 𝑗 = 𝑆 𝑛, 𝑗 −

𝑆 0,0 𝑃𝑛 𝑁 − 𝑛 . 𝑃 0, 𝑁 𝑗

Secara umum, jika 𝐹(𝑛, 𝑗) adalah nilai forward contract dari 𝑆 pada waktu 𝑡 = 𝑁 yang dimulai pada waktu 𝑡 = 0, maka 𝐹 𝑛, 𝑗 =

𝑆(𝑛, 𝑗) 𝑃𝑗𝑛 𝑁 − 𝑛

𝑆 𝑛, 𝑗 𝑅 𝑛, 𝑗 − 𝑆 𝑛 + 1, 𝑗 𝑆 𝑛 + 1, 𝑗 + 1 − 𝑆 𝑛 + 1, 𝑗 𝑃 𝑛, 𝑗 ≡ 𝑃𝑗𝑛 𝑁 − 𝑛

𝜋 𝑛, 𝑗 𝑃 𝑛 + 1, 𝑗 + 1 𝑅 𝑛, 𝑗 1 − 𝜋 𝑛, 𝑗 + 𝑃 𝑛 + 1, 𝑗 𝑅 𝑛, 𝑗

𝐹 𝑛, 𝑗 =

𝑅 𝑛, 𝑗 − 𝑑 𝑛, 𝑗 . 𝑢 𝑛, 𝑗 − 𝑑 𝑛, 𝑗

𝐹 0,0 =

𝜋 𝑛, 𝑗 =

maka

𝑆 𝑛 + 1, 𝑗 𝑑 𝑛, 𝑗 = 𝑆 𝑛, 𝑗 𝜋 𝑛, 𝑗 =

Berdasarkan model binomial multiperiode diketahui bahwa

𝑆 𝑛, 𝑗 . 𝑃 𝑛, 𝑗

Dalam tugas akhir ini nilai forward contract yang akan dicari adalah nilai forward contract pada waktu t = 0 sehingga diperoleh teorema sebagai berikut. Teorema 4.2 Misalkan terdapat sebuah aset S dengan harga pada waktu t = 0 adalah S(0,0) ≥ 0 dan harga pada waktu T adalah S(T). Dengan tidak ada pembayaran di awal maka nilai forward contract model binomial n-langkah pada waktu t = 0 adalah 𝐹 0,0 = 𝑆 0,0 𝑅 0 𝑅 1 … 𝑅(𝑛 − 1) dengan asumsi 𝑅 𝑛, 𝑗 = 𝑅 𝑛, 𝑗 − 1 = ⋯ = 𝑅 𝑛, 0 = 𝑅 𝑛 . (4.2) (Bukti: Lampiran 9) 4.2 Exchange Rates Misalkan 𝑋 adalah exchange rate. Dalam tugas akhir ini yang akan dibahas adalah nilai tukar USD terhadap IDR, walaupun dapat digunakan contoh nilai tukar yang lainnya. Dilambangkan 𝑋(𝑡) adalah nilai 1 USD dapat ditukarkan dengan IDR pada waktu t. Dengan menggunakan rumus umum harga binomial satu langkah. Dimisalkan pada waktu 𝑡 = 1, 𝑋 mempunyai dua kemungkinan, 𝑋 1, ↑ dan 𝑋 1, ↓ di mana 𝑋 1, ↑ > 𝑋 1, ↓ . Terdapat dua suku bunga, yaitu: 1. domestic (𝑑 = domestic = Indonesia)

jika 𝑛 = 𝑁, diperoleh 𝐹 𝑁, 𝑗 = 𝑆 𝑁, 𝑗 .

𝐵𝑑 0 = 1 𝐵𝑑 1, ↑ = 𝐵𝑑 1, ↓ = 𝑅𝑑 = 1 + 𝑟𝑑

20

2.

Akibatnya, untuk 0 < 𝜋 < 1 exchange rate harus memenuhi

foreign (𝑓 = foreign = USA) 𝐵𝑓 0 = 1 𝐵𝑓 1, ↑ = 𝐵𝑓 1, ↓ = 𝑅𝑓 = 1 + 𝑟𝑓 .

𝑋 1, ↓ <

Gunakan kembali gagasan replikasi portofolio dan konsep tidak ada peluang arbitrase dalam rumus umum harga menggunakan binomial satu langkah. Ambil 𝐻0 dalam IDR dan 𝐻1 dalam USD. Sehingga pada waktu 𝑡 = 0, portofolio mempunyai nilai (dalam IDR) 𝑊 0 = 𝐻0 + 𝐻1 𝑋 0 . Pada waktu 𝑡 = 1, portofolio ini akan menjadi (dalam IDR) 𝑊 1 = 𝐻0 𝑅𝑑 + 𝐻1 𝑅𝑓 𝑋(1) kemudian pilih 𝐻0 dan 𝐻1 sehingga 𝑊 1 = 𝐻0 𝑅𝑑 + 𝐻1 𝑅𝑓 𝑋 1 . Persamaan di atas sama persamaan berikut ini:

seperti

dua

𝑊 1, ↑ = 𝐻0 𝑅𝑑 + 𝐻1 𝑅𝑓 𝑋 1, ↑ 𝑊 1, ↓ = 𝐻0 𝑅𝑑 + 𝐻1 𝑅𝑓 𝑋 1, ↓ dan jika 𝑋 1, ↑ ≠ 𝑋 1, ↓ , maka diperoleh solusi untuk 𝐻0 dan 𝐻1 adalah: 𝐻1 = 𝐻0 =

1 𝑊 1, ↑ − 𝑊 1, ↓ 𝑅𝑓 𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 1 𝑋 1, ↑ 𝑊 1, ↓ − 𝑋 1, ↓ 𝑊 1, ↑ 𝑅𝑑 𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓

sehingga diperoleh 𝑊(0) =

1 𝜋 𝑊 1, ↑ + 1 − 𝜋 𝑊 1, ↓ 𝑅𝑑

dengan 𝑅𝑑 𝑋 0 − 𝑋 1, ↓ 𝑅𝑓 𝜋= 𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑅 𝑋 1, ↑ − 𝑅𝑑 𝑋 0 𝑓 1− 𝜋 = . 𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓

model

𝑅𝑑 𝑋 0 < 𝑋 1, ↑ 𝑅𝑓

seperti yang telah diasumsikan bahwa 𝑋 1, ↓ < 𝑋 1, ↑ . 4.3 Forward Exchange Rate Contract Model exchange rate ini dapat juga digunakan untuk forward contract disebut forward exchange rate contract. Seperti halnya forward contract, forward exchange rate contract terdapat long contract dan short contract, tergantung investor ingin membeli atau menjual. Jika investor memilih untuk mengambil long forward exchange rate contract maka investor mempunyai kewajiban untuk membeli uang sebanyak F USD dengan exchange rates yang telah ditentukan yaitu sebesar K pada waktu T, tidak memperhatikan besarnya exchange rate pada waktu T. Tidak ada pembayaran di awal sehingga hasil yang diperoleh pada waktu T adalah 𝐹[𝑋 𝑇 − 𝐾]. Rumus untuk forward exchange rate contract dirumuskan berdasarkan teorema berikut. Teorema 4.3 Misalkan nilai exchange rate X pada waktu t = 0 adalah X(0) dan pada waktu t = T adalah X(T), dengan nilai bunga domestic 𝑅𝑑 dan bunga foreign 𝑅𝑓 . Pada waktu t = 0, nilai forward exchange rate contract adalah nol, sehingga forward rate K dirumuskan 𝐾=

𝑅𝑑 𝑋 0 . 𝑅𝑓

K disebut T-forward exchange rate. Bukti Pembuktian rumus dapat menggunakan model dependent dan model independent.

21

Model dependent Menggunakan persamaan awal yaitu: 𝑊0 =

1 𝑅𝑑

𝜋 𝑊 1, ↑ + 1 − 𝜋 𝑊 1, ↓

persamaan di atas akan menjadi: 0=

=

1 𝜋 𝐹 ∙ 𝑋 1, ↑ − 𝐹 ∙ 𝐾 + 1 − 𝜋 𝐹 ∙ 𝑋 1, ↓ 𝑅𝑑

− 𝐹 ∙ 𝐾)

1 𝐾 𝜋𝑋 1, ↑ + 1 − 𝜋 𝑋 1, ↓ ∙ 𝐹 − ∙𝐹 𝑅𝑑 𝑅𝑑

di mana 𝑅𝑑 𝑅𝑓 𝑋 0 − 𝑋 1, ↓

𝜋𝑋 1, ↑ + 1 − 𝜋 𝑋 1, ↓ =

=

0=

1 𝑅𝑑 𝑋 0 𝑅𝑑 𝑅𝑓

+

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓

𝑅 𝑋 1, ↑ − 𝑅𝑑 𝑋 0 𝑓

∙𝐹−

𝐾 ∙𝐹 𝑅𝑑

𝑋(0) 𝐾 − ∙𝐹 𝑅𝑓 𝑅𝑑

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓

𝑋 0 1 − ∙ 𝑋 0 + 0 = 0 IDR. 𝑅𝑓 𝑅𝑓 Pada waktu 𝑡 = 𝑇, kembalikan pinjaman, ambil 1 USD di bank, gunakan forward contract untuk mengubah menjadi K IDR. Posisi yang diperoleh adalah

dan diperoleh

− 𝑋 0 𝐾 − = 0. 𝑅𝑓 𝑅𝑑 𝑅𝑑 𝐾= 𝑋 0 . 𝑅𝑓 ∎

Model independent Pertama, misalkan

𝑋 0 ∙ 𝑅𝑑 + 𝐾 > 0 IDR 𝑅𝑓

sehingga diperoleh profit pada waktu 𝑡 = 𝑇 dengan tidak ada pengeluaran pada waktu 𝑡 = 0. Ini merupakan suatu peluang arbitrase yang berlawanan dengan aksioma dasar yaitu no arbitrage axiom. Kedua, misalkan 𝐾<

𝐾>

𝑋 1, ↓

𝑅𝑑 𝑋 0 𝑅𝑓

sehingga persamaan sebelumnya menjadi 0=

𝑋 1, ↑


di mana K adalah T-forward rate. Pada waktu 𝑡 = 0, pinjam 𝑋 0 𝑅𝑓 IDR, simpan 1 𝑅𝑓 USD (mempunyai nilai yang sama dengan 𝑋 0 𝑅𝑓 IDR) di bank Amerika. Masukkan T-forward contract untuk menjual 1 USD untuk K IDR pada waktu T. Posisi yang diperoleh adalah


di mana K adalah T-forward rate. Argumen yang sama digunakan. Pada waktu 𝑡 = 0, pinjam 1 𝑅𝑓 USD, ubah menjadi IDR dan investasikan di bank Indonesia. Masukkan T-forward contract untuk membeli 1 USD untuk K IDR pada waktu T. Posisi yang diperoleh adalah −

𝑋 0 1 + ∙ 𝑋 0 + 0 = 0 IDR. 𝑅𝑓 𝑅𝑓

22

Pada waktu 𝑡 = 𝑇, ambil uang di bank, gunakan forward contract untuk membeli 1 USD untuk K IDR, kembalikan pinjaman. Posisi yang diperoleh adalah

Dengan nilai

𝑋 0 ∙ 𝑅𝑑 − 𝐾 > 0 IDR. 𝑅𝑓 Sekali lagi, diperoleh profit pada waktu 𝑡 = 𝑇 tanpa ada pengeluaran pada waktu 𝑡 = 0. Sehingga merupakan suatu peluang arbitrase yang berlawanan dengan aksioma dasar. ∎ Sekarang akan digunakan model binomial multiperiode. Hal yang tidak berbeda jauh dengan forward conract dalam multi periode. Pada state (n,j) untuk exchange rate dilambangkan X(n,j). 𝑅𝑑 𝑛, 𝑗 = 1 + 𝑟𝑑 (𝑛, 𝑗) adalah nilai pada waktu 𝑡 = 𝑛 + 1 jika investasikan 1 IDR di bank pada 𝑡 = 𝑛. 𝑅𝑓 𝑛, 𝑗 = 1 + 𝑟𝑓 (𝑛, 𝑗) adalah nilai pada waktu 𝑡 = 𝑛 + 1 jika investasikan 1 USD di bank pada 𝑡 = 𝑛. Didefinisikan 𝑢 𝑛, 𝑗 =

𝑋 𝑛 + 1, 𝑗 + 1 𝑋 𝑛, 𝑗

𝑃𝑓 0,1 =

1 𝑅𝑓 0

𝑉 𝑛, 𝑗 = 𝑆 𝑛, 𝑗 −

𝑛 𝑃𝑓 0, 𝑁 𝑓 𝑃𝑗 𝑁 − 𝑛 𝑋(0) . 𝑛 𝑃𝑑 0, 𝑁 𝑑 𝑃𝑗 𝑁 − 𝑛

di mana 𝑑 𝑃𝑗𝑛 𝑁 − 𝑛 adalah nilai pada waktu 𝑡 = 𝑛 dengan keadaan 𝑗 jika pada 𝑡 = 𝑇 + 𝑛 (𝑇 setelah periode 𝑡 = 𝑛) terdapat 1 IDR dan 𝑓 𝑃𝑗𝑛 𝑁 − 𝑛 adalah nilai pada waktu 𝑡 = 𝑛 dengan keadaan 𝑗 jika pada 𝑡 = 𝑇 + 𝑛 (𝑇 setelah periode 𝑡 = 𝑛) terdapat 1 USD. Secara umum, jika 𝐾(𝑛, 𝑗) adalah nilai forward exchange rate contract dari 𝑋 pada waktu 𝑡 = 𝑁 yang dimulai pada waktu 𝑡=0 𝐾 𝑛, 𝑗 =

𝑛 𝑓 𝑃𝑗 𝑛 𝑑 𝑃𝑗

𝑁−𝑛 𝑁−𝑛

𝑋(𝑛, 𝑗)

sehingga jika 𝑛 = 𝑁, maka

𝑅𝑑 (𝑛, 𝑗) 𝑅𝑓 (𝑛, 𝑗) − 𝑑 𝑛, 𝑗 𝜋 𝑛, 𝑗 = . 𝑢 𝑛, 𝑗 − 𝑑 𝑛, 𝑗

𝐾 𝑁, 𝑗 = 𝑋 𝑁, 𝑗 .

Sekali lagi dibutuhkan 0 < 𝜋 𝑛, 𝑗 < 1 untuk semua 𝑛, 𝑗 untuk menghindari peluang arbitrase. Di tulis 𝐾 = 𝐾(0,0) untuk menegaskan fakta bahwa 𝐾 disetujui pada waktu 𝑡 = 0. Long forward exchange rate contract pada 𝑁, 𝑗 bernilai 𝑋 𝑁, 𝑗 − 𝐾(0,0). Dengan 𝑃𝑑 (0, 𝑁) adalah nilai pada waktu 𝑡 = 0 jika pada waktu t = N terdapat 1 IDR dan 𝑃𝑓 (0, 𝑁) adalah nilai pada waktu 𝑡 = 0 jika pada waktu t = N terdapat 1 USD maka nilai di atas pada waktu 𝑡 = 0 adalah 𝑋 0,0 𝑃𝑓 (0, 𝑁) − 𝐾 0,0 𝑃𝑑 (0, 𝑁). Nilai pada waktu 𝑡 = 0 yaitu pada 0,0 haruslah 0, sehingga 𝑃𝑓 0, 𝑁 𝑋(0). 𝑃𝑑 0, 𝑁

1 , dan 𝑅𝑑 0

persamaan (4.3) terpenuhi untuk model binomial satu langkah. Nilai 𝑉 pada (𝑛, 𝑗) dari long forward contract yang dimulai pada waktu 𝑡 = 0 sampai waktu 𝑡 = 𝑁 adalah

𝑋 𝑛 + 1, 𝑗 𝑑 𝑛, 𝑗 = 𝑋 𝑛, 𝑗

𝐾 0,0 =

𝑃𝑑 0,1 =

(4.3)

Berdasarkan model binomial multiperiode diketahui bahwa 𝑃𝑓 𝑛, 𝑗 ≡ 𝑓 𝑃𝑗𝑛 𝑁 − 𝑛 𝑃𝑓 𝑛, 𝑗 ≡ 𝑓 𝑃𝑗𝑛 𝑁 − 𝑛 maka 𝐾 𝑛, 𝑗 =

𝑃𝑓 𝑛, 𝑗 𝑋(𝑛, 𝑗). 𝑃𝑑 𝑛, 𝑗

Dalam tugas akhir ini nilai forward exchange rate contract yang akan dicari adalah nilai forward exchange rate contract pada waktu t = 0. Persamaan untuk forward exchange rate contract dengan waktu ke-n diberikan berdasarkan teorema berikut.

23

Teorema 4.4 Misalkan nilai exchange rate X dengan nilai pada waktu 𝑡 = 0 adalah X(0,0) (terkadang ditulis X(0)) dan pada waktu 𝑡 = 𝑇 adalah X(T). Misalkan bunga domestic 𝑅𝑑 dan bunga foreign 𝑅𝑓 . Pada waktu 𝑡 = 0, nilai forward exchange rate contract adalah nol, sehingga forward rate n-step K adalah 𝐾 0,0 = 𝑋 0,0

𝑅𝑑 (0)𝑅𝑑 (1) … 𝑅𝑑 (𝑛 − 1) 𝑅𝑓 (0)𝑅𝑓 (1) … 𝑅𝑓 (𝑛 − 1)

dengan asumsi 𝑅𝑑 𝑛, 𝑗 = 𝑅𝑑 𝑛, 𝑗 − 1 = ⋯ = 𝑅𝑑 𝑛, 0 = 𝑅𝑑 (𝑛) 𝑅𝑓 𝑛, 𝑗 = 𝑅𝑓 𝑛, 𝑗 − 1 = ⋯ = 𝑅𝑓 𝑛, 0 = 𝑅𝑓 𝑛 . (4.4) (Bukti: Lampiran 10)

24

V APLIKASI MODEL BINOMIAL FORWARD CONTRACT DAN EXCHANGE RATE FORWARD CONTRACT PADA TRANSAKSI LUAR NEGERI PT BINA PERTIWI Pada bab ini akan dibahas aplikasi model binomial forward contract dan forward exchange rate contract pada transaksi luar negeri PT Bina Pertiwi periode JanuariSeptember 2012. 5.1 PT Bina Pertiwi PT Bina Pertiwi didirikan pertama kali pada tanggal 15 November 1976 dan merupakan bagian dari Astra Group Tbk. PT Bina Pertiwi memulai bisnis sebagai distributor mesin pertanian traktor Kubota, termasuk traktor roda empat (4W) dan traktor tangan. Seiring dengan laju perkembangan perusahaan yang pesat, maka pada tahun 1985 PT Bina Pertiwi bergabung sebagai anggota alat berat dari PT United Tractors Group. Sejak saat itu, PT Bina Pertiwi merupakan anak perusahaan dari PT United Tractor dengan saham kepemilikan seutuhnya berada pada PT United Tractor, Tbk. Perusahaan ini bergerak pada penyediaan jasa dan peralatan berat dan fokus utamanya adalah pendistribusian mesin pertanian dan industri peralatan. Selain itu, PT Bina Pertiwi memfokuskan diri untuk memberikan solusi pada tiga utama industri, yaitu solusi dalam bidang pertanian, solusi dalam perawatan material dan solusi umum mesin. PT Bina Pertiwi memiliki komitmen yang kuat untuk terus meningkatkan pembangunan perangkat keras dan perangkat lunak serta memberikan pelayanan solusi yang terbaik bagi industri.

5.2 Data Dalam karya ilmiah ini data yang digunakan adalah data transaksi luar negeri yang dilakukan oleh PT Bina Pertiwi periode Januari-September 2012 yang dapat dilihat pada Tabel 5.1. Daftar transaksi luar negeri PT Bina Pertiwi periode Januari-September 2012 akan digunakan sebagai data utama dalam analisis model binomial. Jangka waktu setiap transaksi yang dilakukan berbeda beda. Selain menggunakan data transaksi, digunakan juga daftar spot rate pada saat transaksi dan pada saat jatuh tempo periode Januari-September tahun 2012. Spot rate dapat diartikan dengan nilai tukar (exchange rate) uang rupiah (IDR) terhadap dollar (USD). Daftar spot rate pada saat transaksi dan pada saat jatuh tempo periode JanuariSeptember tahun 2012 dapat dilihat pada Tabel 5.1. Langkah yang digunakan adalah menghitung total transaksi yang dilakukan oleh PT Bina Pertiwi periode JanuariSeptember 2012 pada saat transaksi dan pada saat jatuh tempo menggunakan spot rate pada tanggal transaksi. Kemudian akan dicoba menghitung transaksi PT Bina Pertiwi periode Januari-September 2012 menggunakan forward contract dan forward exchange rate contract. .

25

Tabel 5.1 Daftar transaksi luar negeri PT Bina Pertiwi dan spot rate periode Januari-September 2012 Tanggal transaksi 3-1-2012 28-1-2012 31-1- 2012 13-2-2012 15-2-2012 16-2-2012 25-2-2012 28-2-2012 29-2-2012 12-3-2012 13-3-2012 22-3-2012 3-4-2012 14-4-2012 18-4-2012 19-4-2012 25-4-2012 1-5-2012 2-5-2012 3-5-2012 22-5-2012 24-5-2012 12-6-2012 13-6-2012 19-6-2012 23-6-2012 29-6-2012 9-7-2012 16-7-2012 25-7-2012 31-7-2012 1-8-2012 2-8-2012 6-8-2012 8-8-2012 29-8-2012 31-8-2012 19-9-2012

Jumlah Transaksi (USD) 37.561,83 40.892,41 33.719,46 35.792,10 81.589,76 79.654,84 45.027,62 35.774,87 44.738,35 56.453,70 38.524,24 100.585,99 42.618,41 50.110,941 55.538,642 63.748,14 173.528,87 74.099,39 52.105,92 147.869,52 44.910,59 34.402,16 74.065,60 32.857,53 63.891,87 77.256,91 41.310,13 121.537,13 41.759,47 93.076,07 32.885,41 82.505,30 33.663,50 40.987,36 80.540,38 39.735,14 45.239,96 62.642,01

Spot Rate

Tanggal jatuh tempo

Spot Rate

9.114 8.850 8.955 8.978 8.995 8.950 8.925 9.112 9.040 9.114 9.119 9.127 9.099 9.025 9.131 9.136 9.148 9.147 9.147 9.150 9.219 9.234 9.401 9.408 9.391 9.325 9.433 9.391 9.431 9.443 9.438 9.421 9.432 9.414 9.428 9.505 9.512 9.499

26-1-2012 9-2-2012 24-2-2012 28-2-2012 30-3-2012 28-2-2012 26-3-2012 12-4-2012 30-3-2012 25-4-2012 26-3-2012 25-4-2012 27-4-2012 27-4-2012 28-5-2012 28-5-2012 28-5-2012 28-5-2012 28-5-2012 28-5-2012 30-7-2012 28-6-2012 13-7-2012 28-6-2012 28-6-2012 26-7-2012 27-9-2012 27-9-2012 27-7-2012 30-8-2012 27-9-2012 27-9-2012 27-9-2012 27-9-2012 30-8-2012 27-9-2012 26-9-2012 26-9-2012

8.950 8.965 9.025 9.112 9.134 9.112 9.135 9.127 9.134 9.148 9.135 9.148 9.144 9.144 9.378 9.378 9.378 9.378 9.378 9.378 9.438 9.433 9.408 9.433 9.433 9.446 9.542 9.542 9.438 9.525 9.542 9.542 9.542 9.542 9.525 9.542 9.532 9.532

26

5.3 Perhitungan transaksi luar negeri PT Bina Pertiwi Berdasarkan data transaksi luar negeri PT Bina Pertiwi periode Januari-September 2012 dan daftar spot rate pada saat transaksi dan saat jatuh tempo, dapat dihitung total transaksi awal dan total transaksi pada saat jatuh tempo PT Bina Pertiwi periode Januari-September 2012. 5.3.1 Perhitungan pada saat transaksi Perhitungan pada saat transaksi diartikan bahwa nilai transaksi dihitung berdasarkan tanggal transaksi tersebut terjadi sehingga spot rate yang digunakan adalah spot rate pada saat transaksi. Sebagai salah satu perhitungan, pada tanggal 3 Januari 2012 PT Bina Pertiwi melakukan transaksi sebesar USD37,561. 83887. Spot rate pada tanggal 3 Januari 2012 sebesar Rp9.114,00/USD. Maka jumlah transaksi pada tanggal 3 Januari 2012 adalah Rp342.338.599,46 (USD37,561.83887×Rp9.114,00/USD). Hasil keseluruhan perhitungan transaksi PT Bina Pertiwi pada saat transaksi dapat dilihat pada Tabel 5.2. Berdasarkan Tabel 5.2 diperoleh total dana PT Bina Pertiwi pada saat transaksi adalah Rp21.529.643.713,00. 5.3.2 Perhitungan pada saat jatuh tempo Perhitungan pada saat jatuh tempo diartikan bahwa nilai transaksi dihitung berdasarkan tanggal jatuh tempo transaksi tersebut sehingga spot rate yang digunakan adalah spot rate pada saat jatuh tempo transaksi. Sebagai salah satu perhitungan, pada tanggal 3 Januari 2012, PT Bina Pertiwi melakukan transaksi sebesar USD37,561.83887 di mana transaksi tersebut akan jatuh tempo pada tanggal 26 Januari 2012. Spot rate pada tanggal 26 Januari 2012 sebesar Rp8.950,00/USD. Maka nilai transaksi pada saat jatuh tempo yaitu pada tanggal 26 Januari 2012 adalah Rp336.178.457,9 (USD37,561.83887× Rp8.950,00/USD). Tabel 5.2 memperlihatkan keseluruhan jumlah dana transaksi pada saat jatuh tempo. Diperoleh

total dana PT Bina Pertiwi pada saat jatuh tempo adalah Rp21.813.678.720,91. Dapat dilihat bahwa total transaksi pada saat jatuh tempo lebih besar dibandingkan pada saat transaksi awal. Total dana pada saat transaksi adalah Rp21.529.643.713,00 dan total transaksi pada saat jatuh tempo adalah Rp21.813.678.720,91 sehingga terjadi kenaikan nilai transaksi. Terjadinya kenaikan nilai transaksi menyebabkan PT Bina Pertiwi mengalami kerugian sebesar Rp21.813.678.720,91−Rp21.529.643.713,00 =Rp284.035.006,91. Kerugian ini disebabkan karena melemahnya nilai rupiah terhadap dollar yang menyebabkan nilai transaksi pada saat jatuh tempo menjadi lebih besar. Nilai rupiah terhadap dollar di masa mendatang (pada saat jatuh tempo) belum dapat diketahui pada saat transaksi. Semakin lemah nilai rupiah terhadap dollar maka nilai transaksi pada saat jatuh tempo akan menjadi lebih besar yang akan menyebabkan kerugian. Demikian juga sebaliknya, semakin kuat nilai rupiah terhadap dollar maka nilai transaksi pada saat jatuh tempo akan menjadi lebih kecil yang akan menyebabkan keuntungan. Berdasarkan uraian di atas dapat dijelaskan bahwa nilai suatu transaksi luar negeri sangat dipengaruhi oleh nilai tukar (exchange rate) yang digunakan. Exchange rate di masa mendatang belum dapat diketahui oleh investor pada saat sekarang sehingga investor akan menanggung resiko ketika akan melakukan transaksi luar negeri. Oleh sebab itu, produk derivatif dapat digunakan ketika akan melakukan transaksi luar negeri untuk mengurangi risiko yang akan terjadi di masa mendatang. Dalam karya ilmiah ini akan diaplikasikan rumus produk derivatif yang diperoleh sebelumnya ke dalam data transaksi luar negeri PT Bina Pertiwi. Produk derivatif yang akan diaplikasikan adalah forward contract dan forward exchange rate contract. Diharapkan dengan menggunakan forward contract dan forward exchange rate contract, kerugian yang diperoleh oleh PT Bina Pertiwi menjadi lebih kecil.

27

Tabel 5.2 Hasil keseluruhan perhitungan transaksi PT Bina Pertiwi pada saat transaksi dan pada saat jatuh tempo Tanggal transaksi 3-1-2012 28-1-2012 31-1- 2012 13-2-2012 15-2-2012 16-2-2012 25-2-2012 28-2-2012 29-2-2012 12-3-2012 13-3-2012 22-3-2012 3-4-2012 14-4-2012 18-4-2012 19-4-2012 25-4-2012 1-5-2012 2-5-2012 3-5-2012 22-5-2012 24-5-2012 12-6-2012 13-6-2012 19-6-2012 23-6-2012 29-6-2012 9-7-2012 16-7-2012 25-7-2012 31-7-2012 1-8-2012 2-8-2012 6-8-2012 8-8-2012 29-8-2012 31-8-2012 19-9-2012

Jumlah Transaksi (USD) 37.561,83 40.892,41 33.719,46 35.792,10 81.589,76 79.654,84 45.027,62 35.774,87 44.738,35 56.453,70 38.524,24 100.585,99 42.618,41 50.110,941 55.538,642 63.748,14 173.528,87 74.099,39 52.105,92 147.869,52 44.910,59 34.402,16 74.065,60 32.857,53 63.891,87 77.256,91 41.310,13 121.537,13 41.759,47 93.076,07 32.885,41 82.505,30 33.663,50 40.987,36 80.540,38 39.735,14 45.239,96 62.642,01 TOTAL

Spot rate 9.114 8.850 8.955 8.978 8.995 8.950 8.925 9.112 9.040 9.114 9.119 9.127 9.099 9.025 9.131 9.136 9.148 9.147 9.147 9.150 9.219 9.234 9.401 9.408 9.391 9.325 9.433 9.391 9.431 9.443 9.438 9.421 9.432 9.414 9.428 9.505 9.512 9.499

Transaksi (IDR) 342.338.599,46 361.897.900,05 301.957.785,00 321.341.488,07 733.899.967,07 712.910.838,65 401.871.511,90 325.980.618,98 404.434.685,61 514.519.082,73 351.302.576,89 918.048.342,82 387.784.965,39 452.251.251,11 507.123.348,19 582.403.020,52 1.587.442.169,56 677.787.191,40 476.612.894,26 1.353.006.159,68 414.030.790,85 317.669.615,87 696.290.757,03 309.123.717,57 600.008.558,28 720.420.704,79 389.678.480,76 1.141.355.222,10 393.833.569,36 878.917.376,90 310.372.510,83 777.282.434,61 317.514.212,34 385.855.073,11 759.334.762,59 377.682.543,74 430.322.508,00 595.036.476,93 21.529.643.713,00

Tanggal jatuh Spot rate tempo 26-1-2012 8.950 9-2-2012 8.965 24-2-2012 9.025 28-2-2012 9.112 30-3-2012 9.134 28-2-2012 9.112 26-3-2012 9.135 12-4-2012 9.127 30-3-2012 9.134 25-4-2012 9.148 26-3-2012 9.135 25-4-2012 9.148 27-4-2012 9.144 27-4-2012 9.144 28-5-2012 9.378 28-5-2012 9.378 28-5-2012 9.378 28-5-2012 9.378 28-5-2012 9.378 28-5-2012 9.378 30-7-2012 9.438 28-6-2012 9.433 13-7-2012 9.408 28-6-2012 9.433 28-6-2012 9.433 26-7-2012 9.446 27-9-2012 9.542 27-9-2012 9.542 27-7-2012 9.438 30-8-2012 9.525 27-9-2012 9.542 27-9-2012 9.542 27-9-2012 9.542 27-9-2012 9.542 30-8-2012 9.525 27-9-2012 9.542 26-9-2012 9.532 26-9-2012 9.532 TOTAL

Transaksi (IDR) 336.178.457,9 366.600.528,1 304.318.147,4 326.137.629,7 745.240.944,9 725.814.923,1 411.327.312,2 326.517.242 408.640.090,5 516.438.508,8 351.918.964,8 920.160.648,6 389.702.794,1 458.214.453,2 520.841.393 597.830.070,8 1.627.353.811 694.904.152,3 488.649.362,9 1.386.720.412 423.866.211,5 324.515.647,2 696.809.216.3 309.945.156 602.692.016,9 729.768.791,1 394.181.285,2 1.159.707.329 394.125.885,7 886.549.615,1 313.792.593,6 787.265.576 321.217.198.3 391.101.456,1 767.147.180,1 379.152.744,1 431.227.307,2 597.103.663,3 21.813.678.720,91

28

5.4 Aplikasi Forward Contract Forward contract dapat digunakan untuk meminimalisasi kerugian yang diperoleh suatu perusahaan pada saat transaksi luar negeri. Dengan melakukan forward contract, perusahaan telah memperoleh kepastian besar jumlah transaksi yang diperoleh pada saat jatuh tempo. Hasil perhitungan forward contract one step dan forward contract n-step dengan menggunakan data transaksi pada PT Bina Pertiwi adalah sebagai berikut. 5.4.1 Forward contract one step dengan bunga pinjaman sebesar 10 % per tahun, menggunakan rumus

𝐹 = 𝑆 0 𝑅. Sebagai salah satu perhitungan, pada tanggal 3 Januari 2012 PT Bina Pertiwi melakukan transaksi sebesar USD37,561.83887 dengan spot rate pada saat itu adalah Rp9.114,00 sehingga diperoleh nilai transaksi sebesar Rp342.338.599,46. Kemudian dengan bunga pinjaman 10% per tahun, diperoleh nilai forward contract pada saat transaksi adalah Rp344.495.801,6. Keseluruhan perhitungan transaksi dapat dilihat pada Tabel 5.3.

Tabel 5.3 Data transaksi PT Bina Pertiwi menggunakan forward contract one step Periode Januari-September 2012 Tanggal jatuh tempo

Jumlah transaksi (USD)

Spot rate

Jumlah pinjaman saat transaksi (RPH)

Bunga pinjaman (%)

Jumlah pinjaman + bunga (RPH)

26-1-2012

37.561,83

9.114

342.338.599,46

10

344.495.801,6

2

9-2-2012

40.892,41

8.850

361.897.900,05

10

363.087.701,4

3

24-2-2012

33.719,46

8.955

301.957.785,00

10

303.943.260,8

4

28-2-2012

35.792,10

8.978

321.341.488,07

10

322.662.069,5

5

30-3-2012

81.589,76

8.995

733.899.967,07

10

742.746.980,4

6

28-2-2012

79.654,84

8.950

712.910.838,65

10

715.254.655,1

7

26-3-2012

45.027,62

8.925

401.871.511,90

10

405.174.565,4

8

12-4-2012

35.774,87

9.112

325.980.618,98

10

329.910.248,4

9

30-3-2012

44.738,35

9.040

404.434.685,61

10

407.758.806,3

10

25-4-2012

56.453,70

9.114

514.519.082,73

10

520.721.504,5

11

26-3-2012

38.524,24

9.119

351.302.576,89

10

352.553.791,5

12

25-4-2012

100.585,99

9.127

918.048.342,82

10

926.600.026

13

27-4-2012

42.618,41

9.099

387.784.965,39

10

390.334.784,3

14

27-4-2012

50.110,941

9.025

452.251.251,11

10

453.862.009

15

28-5-2012

55.538,642

9.131

507.123.348,19

10

512.680.864,3

16

28-5-2012

63.748,14

9.136

582.403.020,52

10

588.625.956,9

17

28-5-2012

173.528,87

9.148

1.587.442.169,56

10

1.601.794.386

18

28-5-2012

74.099,39

9.147

677.787.191,40

10

682.800.959,7

19

28-5-2012

52.105,92

9.147

476.612.894,26

10

480.007.945

20

28-5-2012

147.869,52

9.150

1.353.006.159,68

10

1.362.273.325

21

30-7-2012

44.910,59

9.219

414.030.790,85

10

418.454.681,5

22

28-6-2012

34.402,16

9.234

317.669.615,87

10

320.715.762,9

23

13-7-2012

74.065,60

9.401

696.290.757,03

10

702.204.459,3

24

28-6-2012

32.857,53

9.408

309.123.717,57

10

310.394.089

25

28-6-2012

63.891,87

9.391

600.008.558,28

10

601.488.031,4

26

26-7-2012

77.256,91

9.325

720.420.704,79

10

726.934.097,5

No.

1

29

27

27-9-2012

41.310,13

9.433

389.678.480,76

10

399.286.991,2

28

27-9-2012

121.537,13

9.391

1.141.355.222,10

10

1.166.371.227

29

27-7-2012

41.759,47

9.431

393.833.569,36

10

395.020.465

30

30-8-2012

93.076,07

9.443

878.917.376,90

10

887.586.151

31

27-9-2012

32.885,41

9.438

310.372.510,83

10

315.304.457,6

32

27-9-2012

82.505,30

9.421

777.282.434,61

10

789.420.817,8

33

27-9-2012

33.663,50

9.432

317.514.212,34

10

322.385.663,3

34

27-9-2012

40.987,36

9.414

385.855.073,11

10

391.352.186,5

35

30-8-2012

80.540,38

9.428

759.334.762,59

10

763.911.574,9

36

27-9-2012

39.735,14

9.505

377.682.543,74

10

380.683.309,2

37

26-9-2012

45.239,96

9.512

430.322.508,00

10

433.387.819

38

26-9-2012

62.642,01

9.499

595.036.476,93

10

596.177.642,8

TOTAL

Dari perhitungan di atas, diperoleh total dana transaksi saat menggunakan forward contract one step adalah Rp21.728.369.068, 74. Berdasarkan perhitungan sebelumnya bahwa jumlah kerugian yang diperoleh saat tidak menggunakan forward contract adalah sebesar Rp284.035.006,91. Menggunakan forward contract one step, jumlah kerugian yang diterima menjadi sebesar Rp198.725.355,74. Dapat dilihat bahwa dengan menggunakan forward contract one step walaupun tetap mengalami kerugian namun dapat memperkecil jumlah kerugian yang diterima yaitu sebesar Rp85.309.651,17.

21.728.369.068,74

5.4.2 Forward contract n-step dengan bunga pinjaman tetap yaitu 10% pertahun, menggunakaan rumus 𝐹 0,0 = 𝑆 0,0 𝑅 0 𝑅 1 … 𝑅 𝑛 − 1 . Dalam tugas akhir ini akan dicoba perhitungan forward contract n-step di mana n dimulai dari 2 hingga 5. Diasumsikan bunga pinjaman adalah sama untuk setiap n, 𝑅 0 = 𝑅 1 = 𝑅 2 = 𝑅 3 = 𝑅 4 = 10%. Keseluruhan nilai forward contract n-step untuk n=2,3,4, dan 5 menggunakan data transaksi PT Bina Pertiwi dapat dilihat pada Tabel 5.6.

Tabel 5.4 Data transaksi PT Bina Pertiwi menggunakan forward contract n-step Periode Januari-September 2012

Pada saat transaksi Pada saat jatuh tempo Forward contract one- step Forward contract two- step Forward contract three- step Forward contract four-step Forward contract five- step

Total dana Rp21.529.643.713,00 Rp21.813.678.720,91 Rp21.728.369.098,74 Rp21.728.964.234,84 Rp21.729.163.928,36 Rp21.729.264.022,17 Rp21.729.324.157,82

(Bukti: Lampiran 11) Berdasarkan Tabel 5.6, diperoleh total dana transaksi ketika forward contract n-step dengan n=2,3,4,5. Hal yang dapat disimpulkan adalah semakin besar n maka nilai forward contract menjadi lebih besar yang menyebabkan efisiensi mengurangi kerugian pun menjadi berkurang namun hal ini tidak terlalu sesuai dalam kehidupan nyata di mana semakin besar nilai n maka efisiensi pun akan menjadi besar.

Kerugian Rp284.035.006,91 Rp198.725.355,74 Rp199.320.521,84 Rp199.520.215,36 Rp199.620.309,17 Rp199.680.444,82

Efisiensi Rp85.309.651,17 Rp84.714.485,07 Rp84.514.791,55 Rp84.414.697,74 Rp84.354.562,09

Analisis yang mungkin yang menyebabkan menaiknya nilai forward contract ketika n membesar adalah karena bunga yang digunakan diasumsikan tetap dan di dalam kenyataan nilai bunga tidak tetap tapi selalu berubah. Sehingga berdasarkan rumus yang digunakan, jika bunga yang digunakan menurun efisiensi akan bertambah dan jika bunga membesar atau tetap maka efisiensi akan berkurang.

30

5.5 Aplikasi Forward Exchange rate contract Forward exchange rate contract adalah aplikasi forward contract denggan menggunakan spot rate. Perusahaan dapat memperoleh kepastian tentang nilai tukar yang akan digunakan pada saat jatuh tempo apabila menggunakan forward exchange rate contract. Selain data transaksi luar negeri dan daftar spot rate pada saat transaksi (𝑋 0 ), data yang digunakan dalam forward exchange rate contract adalah data bunga deposito pertahun Indonesia (𝑅𝑑 ) dan data bunga deposito pertahun amerika (𝑅𝑓 ). Hasil perhitungan forward exchange rate contract one step dan forward exchange rate contract n-step dengan menggunakan data transaksi pada PT Bina Pertiwi adalah sebagai berikut:

5.5.1 Forward exchange rate contract one step dengan rumus yang digunakan adalah 𝐾=

𝑅𝑑 𝑋 0. 𝑅𝑓

Sebagai salah satu perhitungan, pada tanggal 3 Januari 2012 bunga deposito Indonesia adalah 6% per tahun, bunga deposito Amerika adalah 2,5% per tahun dan spot rate pada saat itu adalah Rp9.114/USD sehingga dengan menggunakan rumus forward exchange rate contract diperoleh forward rate (K) sebesar Rp9.147,017442/USD. PT Bina Pertiwi melakukan transaksi sebesar USD37,561.83887 sehingga diperoleh jumlah transaksi menggunakan forward exchange rate contract one-step sebesar Rp343.578.795,3. Keseluruhan nilai forward exchange rate contract one-step untuk data transaksi PT Bina Pertiwi dapat dilihat pada Tabel 5.7.

Tabel 5.5 Data transaksi PT Bina pertiwi menggunakan forward exchange rate contract Periode Januari-September 2012. No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

Tanggal jatuh tempo 26-1-2012 9-2-2012 24-2-2012 28-2-2012 30-3-2012 28-2-2012 26-3-2012 12-4-2012 30-3-2012 25-4-2012 26-3-2012 25-4-2012 27-4-2012 27-4-2012 28-5-2012 28-5-2012 28-5-2012 28-5-2012 28-5-2012 28-5-2012 30-7-2012 28-6-2012 13-7-2012 28-6-2012 28-6-2012 26-7-2012 27-9-2012 27-9-2012 27-7-2012

Spot rate 9.114 8.850 8.955 8.978 8.995 8.950 8.925 9.112 9.040 9.114 9.119 9.127 9.099 9.025 9.131 9.136 9.148 9.147 9.147 9.150 9.219 9.234 9.401 9.408 9.391 9.325 9.433 9.391 9.431

Bunga Deposito IDR 6 6 6 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75

Bunga Deposito USD 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

Forward Rate

Nilai transaksi (USD)

Jumlah transaksi

9.147,017442 8.866,728762 8.988,851696 8.998,290655 9.054,620114 8.966,182232 8.965,337602 9.172,395607 9.080,857358 9.174,408863 9.136,861656 9.173,74936 9.131,900564 9.042,677536 9.186,02109 9.189,675306 9.193,47909 9.184,207626 9.182,829811 9.184,463277 9.273,162943 9.282,688191 9.444,904938 9.429,262473 9.403,734955 9.371,359042 9.560,848176 9.504,144578 9.446,631028

37.561,83887 40.892,41808 33.719,46231 35.792,10159 81.589,76843 79.654,84231 45.027,62038 35.774,87039 44.738,35018 56.453,70669 38.524,24355 100.585,9913 42.618,4158 50.110,94195 55.538,64289 63.748,14148 173.528,8773 74.099,39777 52.105,92481 147.869,5256 44.910,59669 34.402,16763 74.065,60547 32.857,53801 63.891,87076 77.256,91024 41.310,13259 121.537,1336 41.759,47083

343.578.795,3 362.581.979,6 303.099.246 322.067.733,3 738.764.358,4 714.199.831,8 403.687.818,1 328.141.264 406.262.576,4 517.929.387 351.990.683,7 922.750.673,5 389.187.135,3 453.137.089,1 510.179.144,9 585.824.721,5 1.595.334.105 680.544.254,1 478.479.839,7 1.358.102.228 416.463.280,9 319.344.595,2 699.542.602,8 309.822.350,1 600.822.218,4 724.002.261,2 394.959.905,9 1.155.106.490 394.486.312,8

31

30 31 32 33 34 35 36 37 38

30-8-2012 27-9-2012 27-9-2012 27-9-2012 27-9-2012 30-8-2012 27-9-2012 26-9-2012 26-9-2012

9.443 9.438 9.421 9.432 9.414 9.428 9.505 9.512 9.499

5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 TOTAL

Dari perhitungan di atas, diperoleh total transaksi ketika menggunakan forward exchange rate contract adalah sebesar Rp21.639.043.229,51. Total dana pada saat transaksi adalah sebesar Rp21.529.643.713,00 dan total dana pada saat jatuh tempo adalah Rp21.813.678.720,91. Kerugian yang diterima sebesar Rp284.035.006,91 dan dengan forward exchange rate contract, kerugian yang diterima sebesar Rp109.399.516,51 sehingga mengurangi kerugian sebesar Rp174.635.490,40. 5.5.2 Forward exchange rate contract n-step dengan menggunakaan rumus 𝐾 0,0 = 𝑋 0,0

9.494,212413 9.520,452779 9.501,885777 9.511,560059 9.487,73823 9.459,249757 9.546,527299 9.549,259557 9.509,019013

93.076,07507 32.885,41119 82.505,30035 33.663,50852 40.987,36702 80.540,38636 39.735,144 45.239,96089 62.642,01252

883.684.027,3 313.084.004,4 783.955.940 320.192.483,1 388.877.409 761.851.630,1 379.332.637 432.008.128,9 595.664.088,1 21.639.043.229,51

Hal yang sama seperti forward contract nstep, akan dicoba perhitungan forward exchange rate contract n-step di mana n dimulai dari 2 hingga 5. Diasumsikan bunga deposito Indonesia dan bunga deposito Amerika adalah sama untuk setiap n. 𝑅𝑑 0 = 𝑅𝑑 1 = 𝑅𝑑 2 = 𝑅𝑑 3 = 𝑅𝑑 4 . 𝑅𝑓 0 = 𝑅𝑓 1 = 𝑅𝑓 2 = 𝑅𝑓 3 = 𝑅𝑓 4 . Keseluruhan nilai forward exchange rate contract n-step untuk n=2,3,4, dan 5 menggunakan data transaksi PT Bina Pertiwi dapat dilihat pada Tabel 5.8.

𝑅𝑑 (0)𝑅𝑑 (1) … 𝑅𝑑 (𝑛 − 1) 𝑅𝑓 (0)𝑅𝑓 (1) … 𝑅𝑓 (𝑛 − 1)

Tabel 5.6 Data transaksi PT Bina Pertiwi menggunakan forward exchange rate contract n-step Periode Januari-September 2012

Pada saat transaksi Pada saat jatuh tempo Forward exchange rate one-step Forward exchange rate two-step Forward exchange rate three-step Forward exchange rate four-step Forward exchange rate five-step

Total dana Rp21.529.643.713,00 Rp21.813.678.720,91 Rp21.639.043.229,51 Rp21.639.239.783,05 Rp21.639.305.549,00 Rp21.639.338.478,76 Rp21.639.358.251,62

Kerugian Rp284.035.006,91 Rp109.399.516,51 Rp109.596.070,05 Rp109.661.836,00 Rp109.694.765,76 Rp109.714,538,62

Efisiensi Rp174.635.490,40 Rp174.438.936,86 Rp174.373.170,91 Rp174.340.241,15 Rp174.320.468,29

(Bukti: Lampiran 12) Semakin besar n nilai forward exchange rate contract menjadi lebih besar yang menyebabkan efesiensi berkurang seperti yang terjadi pada forward contract. Hal ini pun terjadi dikarenakan bunga yang digunakan diasumsikan tetap yang akan menyebabkan penurunan efisiensi dibandingkan jika menggunakan bunga sesungguhnya yang berfluktuasi.

Dari hasil perhitungan yang telah dilakukan, dengan menggunakan forward contract dan forward exchange rate contract dapat mengurangi kerugian ketika melakukan transaksi luar negeri. Untuk kasus ini forward exchange rate contract dapat dikatakan lebih efisien dibandingkan forward contract, yaitu mengurangi kerugian lebih besar dibandingkan dengan yang lain.

32

VI SIMPULAN DAN SARAN 6.1 Simpulan Dari pembahasan dapat ditarik simpulan: 1. Model binomial dapat digunakan untuk mengkaji harga pada produk derivatif yaitu pada forward contract dan forward exchange rate contract. 2. Forward contract dan exchange rate forward contract dapat dimodelkan dengan model binomial dengan cukup baik. Hal ini dapat ditunjukkan dengan berkurangnya kerugian yang diperoleh pada saat transaksi luar negeri menggunakan forward contract dan forward exchange rate contract. 3. Hasil terbaik yang diperoleh dalam studi kasus PT Bina Pertiwi adalah ketika menggunakan forward exchange rate contract dengan mengurangi kerugian sebesar Rp. 280.783.944,55.

6.2 Saran 1. Hasil dalam karya ilmiah ini masih belum sempurna, karena model binomial dalam karya ilmiah ini hanya mengkaji beberapa produk derivatif yaitu forward contract dan forward exchange rate contract. 2. Penulis menyarankan untuk menggunakan model binomial dalam mengkaji produk derivatif lainnya. 3. Dalam karya ilmiah ini hanya digunakan data transaksi luar negeri sehingga perlu dicoba untuk menggunakan data selain transaksi luar negeri seperti saham.

33

VII DAFTAR PUSTAKA Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. 2002. Investments. 3rd Ed. New Jersey:Prentice Hall

Ross SM. 2009. Probability and Statistics to Enginers and Scientists. 4th Ed. South California: Elsevier Inc.

Capinski M, Zastawniak T. 2003. Mathematics for Finance: an Introduction to Financial Engineering. United States of America: Springer Finance.

Tandellilin E. 2010. Portofolio Investasi. Yogyakarta: Kanisius

Fabozzi FJ, Modigliaini F. 2002. Capital Market. New Jersey: Pretice Hall. Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. 2nd Ed. Oxford: Clarendon Press. Hogg RV, Craig AT, McKean JW. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. 6th Ed.Prentice Hall. Englewood Cliffs, New Jersey.

dan

Van der Hoek J, Elliot RJ. 2006. Binomial Models in Finance. United States of America: Springer Finance. Walpole RE. 1992. Pengantar Statistika. 3rd Ed. Jakarta: Gramedia.

34

LAMPIRAN

35

Lampiran 1 Pembuktian persamaan (3.13) dan persamaan (3.14)  𝐸 𝑝 𝑟𝑋 = 𝑝 𝑟𝑋 ↑ + 1 − 𝑝 𝑟𝑋 ↓ = 𝑝

𝑋 1, ↑ − 𝑋 0 𝑋 0

=𝑝

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

𝑋 1, ↓ − 𝑋(0) 𝑋(0)

+ 1−𝑝

+

𝑋 1, ↓ − 𝑋(0) . 𝑋(0)

𝐸 𝑞 𝑟𝑋 = 𝑞 𝑟𝑋 ↑ + 1 − 𝑞 𝑟𝑋 ↓ = 𝑞

𝑋 1, ↑ − 𝑋 0 𝑋 0

=𝑞

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

𝐸 𝑝 𝑟𝑋 − 𝐸 𝑞 𝑟𝑋 = 𝑝

=𝑝

+

𝑋 1, ↓ − 𝑋(0) . 𝑋(0)

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0 −

𝑋 1, ↓ − 𝑋 0 𝑋 0

+ 1−𝑞

𝑋 1, ↓ − 𝑋(0) 𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ −𝑞 𝑋(0) 𝑋 0

+

𝑋 1, ↓ − 𝑋(0) 𝑋(0)

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

= 𝑝−𝑞

−𝑞

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ . 𝑋 0 ∎

 𝐸 𝜋 𝑟𝑋 = 𝜋 𝑟𝑋 ↑ + 1 − 𝜋 𝑟𝑋 ↓ = 𝜋

=

=

𝑋 1, ↑ − 𝑋 0 𝑋 0

𝑅𝑆 0 − 𝑆 1, ↓ 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓

+ 1−𝜋

𝑋 1, ↓ − 𝑋(0) 𝑋(0)

𝑋 1, ↑ − 𝑋 0 𝑋 0

+

𝑆 1, ↑ − 𝑅𝑆 0 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓

𝑅𝑆 0 𝑋 1, ↑ − 𝑅𝑆 0 𝑋 0 − 𝑆 1, ↓ 𝑋 1, ↑ + 𝑆 1, ↓ 𝑋 0 + 𝑆 1, ↑ 𝑋 1, ↓ 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓ 𝑋(0) −𝑆 1, ↑ 𝑋 0 − 𝑅𝑆 0 𝑋 1, ↓ + 𝑅𝑆 0 𝑋 0 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓ 𝑋(0)

=

𝑋 1, ↓ − 𝑋 0 𝑋 0

𝑅𝑆 0 𝑋 1, ↑ − 𝑆 1, ↓ 𝑋 1, ↑ + 𝑆 1, ↓ 𝑋 0 + 𝑆 1, ↑ 𝑋 1, ↓ 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓ 𝑋(0) −𝑆(1, ↑)𝑋(0) − 𝑅𝑆(0)𝑋(1, ↓) 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓ 𝑋(0)

36

=

𝑅𝑆 0 𝑋 1, ↑ − 𝑆 1, ↓ 𝑋 1, ↑ + 𝑆 1, ↑ 𝑋 1, ↓ − 𝑅𝑆 0 𝑋 1, ↓ 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓ 𝑋(0) +

𝑆 1, ↓ 𝑋 0 − 𝑆 1, ↑ 𝑋 0 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓ 𝑋(0)

=

𝑅𝑆 0 𝑋 1, ↑ − 𝑆 1, ↓ 𝑋 1, ↑ + 𝑆 1, ↑ 𝑋 1, ↓ − 𝑅𝑆 0 𝑋 1, ↓ −1 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓ 𝑋(0)

=

𝑋 1, ↑ 𝑅𝑆 0 − 𝑆 1, ↓ + 𝑋 1, ↓ 𝑆 1, ↑ − 𝑅𝑆 0 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓ 𝑋(0)

− 1.

(1.2)

Diketahui bahwa 𝑋 0 =

𝑋 1, ↑ 𝑅𝑆 0 − 𝑆 1, ↓ + 𝑋 1, ↓ 𝑆 1, ↑ − 𝑅𝑆 0 𝑅 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓

.

(1.3)

Maka dari persamaan (1.2) dan (1.3) diperoleh 𝐸 𝜋 𝑟𝑋 =

𝑋 1, ↑ 𝑅𝑆 0 − 𝑆 1, ↓ + 𝑋 1, ↓ 𝑆 1, ↑ − 𝑅𝑆 0 𝑋 1, ↑ 𝑅𝑆 0 − 𝑆 1, ↓ + 𝑋 1, ↓ 𝑆 1, ↑ − 𝑅𝑆 0 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓ 𝑅 𝑆 1, ↑ − 𝑆 1, ↓

−1

= 𝑅 − 1 = 𝑟.

∎

37

Lampiran 2 Pembuktian persamaan (3.15), (3.16), dan (3.17)  𝐸 𝑝 𝑟𝑋 = 𝑝 𝑟𝑋 ↑ + 1 − 𝑝 𝑟𝑋 ↓ = 𝑝

𝑋 1, ↑ − 𝑋 0 𝑋 0

=𝑝

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

+ 1−𝑝

𝑋 1, ↓ − 𝑋(0) 𝑋(0)

𝑋 1, ↓ − 𝑋(0) . 𝑋(0)

+

(2.1)

Berdasarkan persamaan 3.14 𝐸 𝜋 𝑟𝑋 = 𝑟 = 𝑅 − 1. 𝑟 = 𝐸 𝜋 𝑟𝑋 = 𝜋 𝑟𝑋 ↑ + 1 − 𝜋 𝑟𝑋 ↓ = 𝜋

𝑋 1, ↑ − 𝑋 0 𝑋 0

=𝜋

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

+ 1−𝜋

+

𝑋 1, ↓ − 𝑋 0 𝑋 0

𝑋 1, ↓ − 𝑋(0) . 𝑋(0)

(2.2)

Dari persamaan (2.1) dan (2.2) diperoleh 𝐸 𝑝 𝑟𝑋 − 𝑟 = 𝑝

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0 − 𝜋

=𝑝

𝑟𝑋 ↑ =

=

=

𝑋 1, ↓ − 𝑋 0 𝑋 0

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

= 𝑝−𝜋

+

−𝜋

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

+

𝑋 1, ↓ − 𝑋 0 𝑋 0

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0 .

∎

𝑋 1, ↑ − 𝑋(0) 𝑋(0) 𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ + 𝑋 1, ↓ − 𝑋 0 𝑋 0 𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

+

𝑋 1, ↓ − 𝑋 0 𝑋 0

.

2.3

38

Dari persamaan (2.1) dan (2.3) diperoleh 𝐸 𝑝 𝑟𝑋 − 𝑟𝑋 ↑ = 𝑝

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0 −

=𝑝

𝑋 1, ↓ − 𝑋 0 𝑋 0

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

= 𝑝−1

+

−

+

𝑋 1, ↓ − 𝑋 0 𝑋 0

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0 ∎

𝑟𝑋 ↓ =

𝑋 1, ↓ − 𝑋(0) . 𝑋(0)

2.4

Berdasarkan (2.1) dan (2.4) diperoleh 𝐸 𝑝 𝑟𝑋 − 𝑟𝑋 ↓ = 𝑝

=𝑝

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

+

𝑋 1, ↓ − 𝑋 0 𝑋 0

−

𝑋 1, ↓ − 𝑋 0 𝑋 0

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ . 𝑋 0 ∎

39

Lampiran 3 Pembuktian persamaan (3.20) 𝑝

𝑉𝑋,𝑌 ≡ 𝐸 𝑝 𝐸 𝑃 𝑟𝑋 − 𝑟𝑋

𝐸 𝑃 𝑟𝑌 − 𝑟𝑌

= 𝑝 𝐸 𝑃 𝑟𝑋 − 𝑟𝑋 ↑ = 𝑝 𝑝−1

𝐸 𝑃 𝑟𝑌 − 𝑟𝑌 ↑

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

+ 1−𝑝 𝑝

+ 1−𝑝

𝑝−1

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

𝑝

𝐸 𝑃 𝑟𝑋 − 𝑟𝑋 ↓

𝐸 𝑃 𝑟𝑌 − 𝑟𝑌 ↓

𝑌 1, ↑ − 𝑌 1, ↓ 𝑌 0 𝑌 1, ↑ − 𝑌 1, ↓ 𝑌 0

=

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

𝑌 1, ↑ − 𝑌 1, ↓ 𝑌 0

𝑝 𝑝 − 1 𝑝 − 1 + 1 − 𝑝 𝑝𝑝

=

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

𝑌 1, ↑ − 𝑌 1, ↓ 𝑌 0

𝑝 1 − 𝑝 1 − 𝑝 + 1 − 𝑝 𝑝𝑝

=

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

𝑌 1, ↑ − 𝑌 1, ↓ 𝑌 0

𝑝 1−𝑝 1−𝑝+𝑝

=

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

𝑌 1, ↑ − 𝑌 1, ↓ 𝑌 0

𝑝 1−𝑝 . ∎

40

Lampiran 4 Pembuktian persamaan (3.22) 𝐸 𝑝 𝑟𝑋 − 𝑟 = 𝑝 − 𝜋

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

.

Berdasarkan assumsi bahwa 𝐸 𝑝 𝑟𝑋 ≥ 𝑟 dan diketahui bahwa 0 < 𝑝 < 1, maka 𝐸 𝑝 𝑟𝑋 − 𝑟 = 𝑝 − 𝜋

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

= 𝑝−𝜋

=

=

=

|(𝑝 − 𝜋) | 𝑝(1 − 𝑝) 𝑝−𝜋 𝑝 1−𝑝 𝑝−𝜋 𝑝 1−𝑝

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

𝑝(1 − 𝑝)

2

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑝 1−𝑝 𝑋 0

𝜎𝑋2 =

2

𝑋 1, ↑ − 𝑋 1, ↓ 𝑋 0

𝑝−𝜋 𝑝 1−𝑝

2

𝜎𝑋. ∎

41

Lampiran 5 (pembuktian persamaan 3.26)  

Pada 𝑡 = 0, harga aset S bernilai S(0). Pada 𝑡 = 1, aset S akan bernilai 𝑆 1, ↑ = 𝑆 1,1 = 𝑢 𝑆 0 dengan peluang p dan akan bernilai 𝑆 1, ↓ = 𝑆 1,0 = 𝑑 𝑆 0 dengan peluang 1-p.

Berdasarkan persamaan (3.12) Didefinisikan return 𝑟𝑆 𝑟𝑆 =

𝑆 1 − 𝑆(0) , 𝑆(0)

di mana dapat ditulis 𝑟𝑆 ↑ =

𝑆 1, ↑ − 𝑆(0) dengan peluang 𝑝 𝑆(0)

𝑟𝑆 ↓ =

𝑆 1, ↓ − 𝑆(0) dengan peluang 1 − 𝑝. 𝑆(0)

𝑟𝑆 ↑ =

𝑆 1, ↑ − 𝑆 0 𝑢𝑆 0 – 𝑆 0 = = 𝑢−1 𝑆 0 𝑆 0

𝑟𝑆 ↓ =

𝑆 1, ↓ − 𝑆 0 𝑑𝑆 0 – 𝑆 0 = = 𝑑 − 1. 𝑆 0 𝑆 0

Sehingga dapat ditulis 𝑟𝑆 1 =

𝑢−1 𝑑−1

dengan peluang 𝑝 . dengan peluang 1 − 𝑝 ∎

42

Lampiran 6 (pembuktian persamaan 3.27)   



Pada 𝑡 = 0, harga aset bernilai 𝑆 0 = 𝑆 0,0 . Untuk memudahkan diberikan nilai 𝑆 0 = 1. Pada 𝑡 = 1, harga aset bernilai 𝑆 1, ↑ = 𝑆 1,1 = 𝑢 𝑆 0 = 𝑢 dan harga aset bernilai 𝑆 1, ↓ = 𝑆 1,0 = 𝑑 𝑆 0 = 𝑑. Pada 𝑡 = 2, harga aset bernilai 𝑆 2, ↑, ↑ = 𝑆 2,2 = 𝑢2 𝑆 0 = 𝑢2 harga aset bernilai 𝑆 2, ↑, ↓ = 𝑆 2,1 = 𝑢𝑑 𝑆 0 = 𝑢𝑑 harga aset bernilai 𝑆 2, ↓, ↑ = 𝑆 2,1 = 𝑢𝑑 𝑆 0 = 𝑢𝑑 harga aset bernilai 𝑆 2, ↓, ↓ = 𝑆 2,0 = 𝑑2 𝑆 0 = 𝑑2 . Return pada model binomial dua langkah adalah : 1. Andaikan pada waktu 𝑡 = 1 nilai aset adalah 𝑆 1,1 maka return 𝑟2 2 menjadi

2.

𝑟2 ↑ =

𝑆 2,2 − 𝑆 2,1 𝑢2 − 𝑢 = = 𝑢 − 1 dengan peluang 𝑝 𝑆 2,1 𝑢

𝑟2 ↓ =

𝑆 2,1 − 𝑆 2,1 𝑢𝑑 − 𝑢 = = 𝑑 − 1 dengan peluang 1 − 𝑝. 𝑆 2,1 𝑢

Andaikan pada waktu 𝑡 = 1 nilai aset adalah 𝑆 1,0 maka return 𝑟2 2 menjadi 𝑟2 ↑ =

𝑆 2,1 − 𝑆 1,0 𝑢𝑑 − 𝑑 = = 𝑢 − 1 dengan peluang 𝑝 𝑆 1,0 𝑑

𝑟2 ↓ =

𝑆 2,0 − 𝑆 1,0 𝑑2 − 𝑑 = = 𝑑 − 1 dengan peluang 1 − 𝑝. 𝑆 1,0 𝑑

Maka return 𝑟𝑠 2 =

𝑢−1 𝑑−1


43






Pada 𝑡 = 0, harga aset bernilai 𝑆 0 = 𝑆 0,0 . Untuk memudahkan diberikan nilai 𝑆 0 = 1. Pada 𝑡 = 1, harga aset bernilai 𝑆 1, ↑ = 𝑆 1,1 = 𝑢 𝑆 0 = 𝑢 dan harga aset bernilai 𝑆 1, ↓ = 𝑆 1,0 = 𝑑 𝑆 0 = 𝑑. Pada 𝑡 = 2, harga aset bernilai 𝑆 2, ↑, ↑ = 𝑆 2,2 = 𝑢2 𝑆 0 = 𝑢2 harga aset bernilai 𝑆 2, ↑, ↓ = 𝑆 2,1 = 𝑢𝑑 𝑆 0 = 𝑢𝑑 harga aset bernilai 𝑆 2, ↓, ↑ = 𝑆 2,1 = 𝑢𝑑 𝑆 0 = 𝑢𝑑 harga aset bernilai 𝑆 2, ↓, ↓ = 𝑆 2,0 = 𝑑2 𝑆 0 = 𝑑2 . Pada 𝑡 = 3, harga aset bernilai 𝑆 3, ↑, ↑, ↑ = 𝑆 3,3 = 𝑢3 harga aset bernilai 𝑆 3, ↑, ↑, ↓ = 𝑆 3,2 = 𝑢2 𝑑 harga aset bernilai 𝑆 3, ↑, ↓, ↑ = 𝑆 3,2 = 𝑢2 𝑑 harga aset bernilai 𝑆 3, ↑, ↓, ↑ = 𝑆 3,1 = 𝑢𝑑2 harga aset bernilai 𝑆 3, ↓, ↑, ↑ = 𝑆 3,2 = 𝑢2 𝑑 harga aset bernilai 𝑆 3, ↓, ↑, ↓ = 𝑆 3,1 = 𝑢𝑑2 harga aset bernilai 𝑆 3, ↓, ↓, ↑ = 𝑆 3,1 = 𝑢𝑑2 harga aset bernilai 𝑆 3, ↓, ↓, ↓ = 𝑆 3,0 = 𝑑3 . Return pada model tiga langkah adalah 1. Andaikan pada waktu 𝑡 = 2 nilai aset adalah 𝑆 2,2 maka return 𝑟𝑠 3 menjadi

2.

3.

𝑟𝑠 ↑ =

𝑆 3,3 − 𝑆 2,2 𝑢3 − 𝑢2 = = 𝑢 − 1 dengan peluang 𝑝 𝑆 2,2 𝑢2

𝑟𝑠 ↓ =

𝑆 3,1 − 𝑆 2,2 𝑢2 𝑑 − 𝑢2 = = 𝑑 − 1 dengan peluang 1 − 𝑝. 𝑆 2,2 𝑢2

Andaikan pada waktu 𝑡 = 2 nilai aset adalah 𝑆 2,1 maka return 𝑟𝑠 3 menjadi 𝑟𝑠 ↑ =

𝑆 3,2 − 𝑆 2,1 𝑢2 𝑑 − 𝑢𝑑 = = 𝑢 − 1 dengan peluang 𝑝 𝑆 2,1 𝑢𝑑

𝑟𝑠 ↓ =

𝑆 3,1 − 𝑆 2,1 𝑢𝑑2 − 𝑢𝑑 = = 𝑑 − 1 dengan peluang 1 − 𝑝. 𝑆 2,1 𝑢𝑑

Andaikan pada waktu 𝑡 = 3 nilai aset adalah 𝑆 2,0 maka return 𝑟𝑠 3 menjadi 𝑟𝑠 ↑ =

𝑆 3,1 − 𝑆 2,0 𝑢𝑑2 − 𝑑2 = = 𝑢 − 1 dengan peluang 𝑝 𝑆 2,0 𝑑2

𝑟𝑠 ↓ =

𝑆 3,0 − 𝑆 2,0 𝑑3 − 𝑑2 = =𝑑−1 𝑆 2,0 𝑑2

Maka return 𝑟𝑠 3 =

𝑢−1 𝑑−1

dengan peluang 1 − 𝑝.


44








Pada 𝑡 = 0, harga aset bernilai 𝑆 0 = 𝑆 0,0 . Untuk memudahkan diberikan nilai 𝑆 0 = 1. Pada 𝑡 = 1, harga aset bernilai 𝑆 1, ↑ = 𝑆 1,1 = 𝑢 𝑆 0 = 𝑢 dan harga aset bernilai 𝑆 1, ↓ = 𝑆 1,0 = 𝑑 𝑆 0 = 𝑑. Pada 𝑡 = 2, harga aset bernilai 𝑆 2, ↑, ↑ = 𝑆 2,2 = 𝑢2 𝑆 0 = 𝑢2 harga aset bernilai 𝑆 2, ↑, ↓ = 𝑆 2,1 = 𝑢𝑑 𝑆 0 = 𝑢𝑑 harga aset bernilai 𝑆 2, ↓, ↑ = 𝑆 2,1 = 𝑢𝑑 𝑆 0 = 𝑢𝑑 harga aset bernilai 𝑆 2, ↓, ↓ = 𝑆 2,0 = 𝑑2 𝑆 0 = 𝑑2 . ⋮ Pada 𝑡 = 𝑛 − 1 harga aset bernilai 𝑆 𝑛 − 1, 𝑛 − 1 = 𝑢𝑛−1 harga aset bernilai 𝑆 𝑛 − 1, 𝑛 − 2 = 𝑢𝑛−2 𝑑 harga aset bernilai 𝑆 𝑛 − 1, 𝑛 − 3 = 𝑢𝑛−3 𝑑2 ⋮ ⋮ harga aset bernilai 𝑆 𝑛 − 1,1 = 𝑢𝑑𝑛 −2 harga aset bernilai 𝑆 𝑛 − 1,0 = 𝑑𝑛 −1 . Pada 𝑡 = 𝑛 harga aset bernilai 𝑆 𝑛, 𝑛 = 𝑢𝑛 harga aset bernilai 𝑆 𝑛, 𝑛 − 1 = 𝑢𝑛 −1 𝑑 harga aset bernilai 𝑆 𝑛, 𝑛 − 2 = 𝑢𝑛 −2 𝑑2 ⋮ ⋮ harga aset bernilai 𝑆 𝑛, 2 = 𝑢2 𝑑𝑛 −2 harga aset bernilai 𝑆 𝑛, 1 = 𝑢𝑑𝑛 −1 harga aset bernilai 𝑆 𝑛, 0 = 𝑑𝑛 . Return pada model 𝑛-langkah adalah Andaikan pada waktu 𝑡 = 𝑛 − 1 harga aset bernilai 𝑆 𝑛 − 1, 𝑛 − 1 maka return 𝑟𝑠 𝑛 menjadi 𝑟𝑠 ↑ =

𝑆 𝑛. 𝑛 − 𝑆 𝑛 − 1, 𝑛 − 1 𝑢𝑛 − 𝑢𝑛 −1 = = 𝑢 − 1 dengan peluang 𝑝 𝑆 𝑛 − 1, 𝑛 − 1 𝑢𝑛 −1

𝑟𝑠 ↓ =

𝑆 𝑛, 𝑛 − 1 − 𝑆 𝑛 − 1, 𝑛 − 1 𝑢𝑛 −1 𝑑 − 𝑢𝑛 −1 = = 𝑑 − 1 dengan peluang 1 − 𝑝. 𝑆 𝑛 − 1, 𝑛 − 1 𝑢𝑛−1

Andaikan pada waktu 𝑡 = 𝑛 − 1 harga aset bernilai 𝑆 𝑛 − 1, 𝑛 − 2 maka return 𝑟𝑠 𝑛 menjadi 𝑟𝑠 ↑ =

𝑆 𝑛. 𝑛 − 1 − 𝑆 𝑛 − 1, 𝑛 − 2 𝑢𝑛 −1 𝑑 − 𝑢𝑛 −2 𝑑 = = 𝑢 − 1 dengan peluang 𝑝 𝑆 𝑛 − 1, 𝑛 − 2 𝑢𝑛−2 𝑑

𝑟𝑠 ↓ =

𝑆 𝑛, 𝑛 − 2 − 𝑆 𝑛 − 1, 𝑛 − 2 𝑢𝑛 −2 𝑑2 − 𝑢𝑛 −2 𝑑 = = 𝑑 − 1 dengan peluang 1 − 𝑝. 𝑆 𝑛 − 1, 𝑛 − 2 𝑢𝑛 −2 𝑑

⋮ Andaikan pada waktu 𝑡 = 𝑛 − 1 harga aset bernilai 𝑆 𝑛 − 1,1 maka return 𝑟𝑠 𝑛 menjadi 𝑟𝑠 ↑ =

𝑆 𝑛. 2 − 𝑆 𝑛 − 1,1 𝑢2 𝑑𝑛−2 − 𝑢𝑑𝑛 −2 = = 𝑢 − 1 dengan peluang 𝑝 𝑆 𝑛 − 1, 𝑛 − 2 𝑢𝑑𝑛 −2

45

𝑟𝑠 ↓ =

𝑆 𝑛, 1 − 𝑆 𝑛 − 1,1 𝑢𝑑𝑛 −1 − 𝑢𝑑𝑛 −2 = = 𝑑−1 𝑆 𝑛 − 1,1 𝑢𝑑𝑛 −2


Andaikan pada waktu 𝑡 = 𝑛 − 1 harga aset bernilai 𝑆 𝑛 − 1,0 maka return 𝑟𝑠 𝑛 menjadi 𝑟𝑠 ↑ =

𝑆 𝑛. 1 − 𝑆 𝑛 − 1,0 𝑢𝑑𝑛 −1 − 𝑢𝑑𝑛 −2 = = 𝑢 − 1 dengan peluang 𝑝 𝑆 𝑛 − 1, 𝑛 − 2 𝑢𝑑𝑛 −2

𝑟𝑠 ↓ =

𝑆 𝑛, 0 − 𝑆 𝑛 − 1,0 𝑑𝑛 − 𝑑𝑛 −1 = = 𝑑−1 𝑆 𝑛 − 1,0 𝑑𝑛 −1

Maka return 𝑟𝑠 𝑛 =

𝑢−1 𝑑−1



46

Lampiran 9 (pembuktian persamaan 4.2) Jika 𝑁 = 1 maka 𝐹 0,0 = 𝑆 0 𝑅 0 dapat ditulis 𝐹1 0 = 𝑆 0 𝑅 0 . Jika 𝑁 = 2 𝐹 2, 𝑗 = 𝑆 2, 𝑗 ; 𝑗 = 0, 1, 2 sehingga 𝑃 2, 𝑗 = 1 ; 𝑗 = 0, 1, 2 𝐹 0,0 =

𝑆 0,0 𝑃 0,0

𝑃 0,0 ≡ 𝑃00 2 =

𝜋 0,0 1 − 𝜋 0,0 𝑃 1,1 + 𝑃 1,0 𝑅 0,0 𝑅 0,0

𝑃 1,0 ≡ 𝑃01 1 =

𝜋 1,0 1 − 𝜋 1,0 𝑃 2,1 + 𝑃 2,0 𝑅 1,0 𝑅 1,0

=

𝜋 1,0 1 − 𝜋 1,0 1 + = 𝑅 1,0 𝑅 1,0 𝑅 1,0

𝑃 1,1 ≡ 𝑃11 1 =

𝜋 1,1 1 − 𝜋 1,1 𝑃 2,2 + 𝑃 2,1 𝑅 1,1 𝑅 1,1

=

𝜋 1,1 1 − 𝜋 1,1 1 + = 𝑅 1,1 𝑅 1,1 𝑅 1,1

sehingga 𝑃 0,0 ≡ 𝑃00 2 =

𝐹 0,0 =

𝜋 0,0 1 1 − 𝜋 0,0 1 + 𝑅 0,0 𝑅 1,1 𝑅 0,0 𝑅 1,0 𝑆 0,0 . 𝜋 0,0 1 1 − 𝜋 0,0 1 + 𝑅 0,0 𝑅 1,1 𝑅 0,0 𝑅 1,0

Jika 𝑅 1,1 = 𝑅 1,0 = 𝑅(1) maka 𝐹 0,0 =

𝑆 0,0 1 𝑅 0 𝑅 1

𝐹 0,0 = 𝑅 0 𝑅 1 𝑆(0,0) sehingga 𝐹 0,0 = 𝑆 0 𝑅 0 𝑅 1 dapat ditulis 𝐹2 0 = 𝑆 0 𝑅 0 𝑅 1 = 𝐹1 0 𝑅 1 .

47

Jika 𝑁 = 3 𝐹 3, 𝑗 = 𝑆 3, 𝑗 ; 𝑗 = 0, 1, 2, 3 Sehingga 𝑃 3, 𝑗 = 1 ; 𝑗 = 0, 1, 2,3. 𝐹 0,0 =

𝑆 0,0 . 𝑃 0,0

𝑃 0,0 ≡ 𝑃00 3 =

𝜋 0,0 1 − 𝜋 0,0 𝑃 1,1 + 𝑃 1,0 . 𝑅 0,0 𝑅 0,0

𝑃 1,0 ≡ 𝑃01 2 =

𝜋 1,0 1 − 𝜋 1,0 𝑃 2,1 + 𝑃 2,0 . 𝑅 1,0 𝑅 1,0

𝑃 1,1 ≡ 𝑃11 2 =

𝜋 1,1 1 − 𝜋 1,1 𝑃 2,2 + 𝑃 2,1 . 𝑅 1,1 𝑅 1,1

𝑃 2,0 ≡ 𝑃02 1 =

𝜋 2,0 1 − 𝜋 2,0 𝑃 3,1 + 𝑃 3,0 𝑅 2,0 𝑅 2,0

=

𝜋 2,0 1 − 𝜋 2,0 1 + = . 𝑅 2,0 𝑅 2,0 𝑅 2,0

𝑃 2,1 ≡ 𝑃12 1 =

𝜋 2,1 1 − 𝜋 2,1 𝑃 3,2 + 𝑃 3,1 𝑅 2,1 𝑅 2,1

=

𝜋 2,1 1 − 𝜋 2,1 1 + = . 𝑅 2,1 𝑅 2,1 𝑅 2,1

𝑃 2,2 ≡ 𝑃22 1 =

𝜋 2,2 1 − 𝜋 2,2 𝑃 3,3 + 𝑃 3,2 𝑅 2,2 𝑅 2,2

=

𝜋 2,2 1 − 𝜋 2,2 1 + = . 𝑅 2,2 𝑅 2,2 𝑅 2,2

𝑃 1,1 ≡ 𝑃11 2 =

𝜋 1,1 1 − 𝜋 1,1 𝑃 2,2 + 𝑃 2,1 𝑅 1,1 𝑅 1,1

48

=

𝜋 1,1 1 1 − 𝜋 1,1 1 + . 𝑅 1,1 𝑅 2,2 𝑅 1,1 𝑅 2,1

Jika 𝑅 2,2 = 𝑅 2,1 = 𝑅 2,0 = 𝑅(2), maka =

𝑃 1,1 =

𝜋 1,1 1 1 − 𝜋 1,1 1 + . 𝑅 1,1 𝑅 2 𝑅 1,1 𝑅 2 1 . 𝑅 1,1 𝑅 2

𝑃 1,0 ≡ 𝑃01 2 =

𝜋 1,0 1 − 𝜋 1,0 𝑃 2,1 + 𝑃 2,0 𝑅 1,0 𝑅 1,0

=

𝜋 1,0 1 1 − 𝜋 1,0 1 + . 𝑅 1,0 𝑅 2,1 𝑅 1,0 𝑅 2,0

Jika 𝑅 2,2 = 𝑅 2,1 = 𝑅 2,0 = 𝑅(2), maka =

𝑃 1,0 =

𝜋 1,0 1 1 − 𝜋 1,0 1 + . 𝑅 1,0 𝑅 2 𝑅 1,0 𝑅 2 1 . 𝑅 1,0 𝑅 2

Sehingga 𝑃 0,0 ≡ 𝑃00 3 =

𝐹 0,0 =

𝜋 0,0 1 1 − 𝜋 0,0 1 + 𝑅 0,0 𝑅 1,1 𝑅 2 𝑅 0,0 𝑅 1,0 𝑅 2 𝑆 0,0 . 𝜋 0,0 1 1 − 𝜋 0,0 1 + 𝑅 0,0 𝑅 1,1 𝑅 2 𝑅 0,0 𝑅 1,0 𝑅 2

Jika 𝑅 1,1 = 𝑅 1,0 = 𝑅(1) maka 𝐹 0,0 =

𝑆 0,0 = 𝑅 0 𝑅 1 𝑅(2)𝑆(0,0) 1 𝑅 0 𝑅 1 𝑅(2)

maka 𝐹 0,0 = 𝑆 0 𝑅 0 𝑅 1 𝑅 2 dapat ditulis 𝐹3 0 = 𝑆 0 𝑅 0 𝑅 1 𝑅 2 = 𝐹2 0 𝑅(2) ⋮ Jika 𝑁=𝑛 maka 𝐹 0,0 = 𝑆 0 𝑅 0 𝑅 1 ⋯ 𝑅 𝑛 − 1 𝐹𝑛 0 = 𝑆 0 𝑅 0 𝑅 1 ⋯ 𝑅 𝑛 − 1 = 𝐹𝑛−1 0 𝑅 𝑛 − 1 . Akan dibuktikan Jika 𝑁 = 𝑛, 𝐹 0,0 = 𝑆 0 𝑅 0 𝑅 1 ⋯ 𝑅 𝑛 − 1 untuk 𝑛 ≥ 1 = 𝐹𝑛 −1 (0)𝑅 𝑛 − 1

dapat

ditulis

49

Bukti Menggunakan prinsip induksi matematika : 1. Basis induksi. 𝐹1 0 = 𝑆 0 𝑅 0 terbukti. 2.

Langkah induksi Andaikan 𝐹𝑛 0 = 𝑆 0 𝑅 0 𝑅 1 ⋯ 𝑅 𝑛 − 1 adalah pernyataan yang benar. Adb : 𝐹𝑛 +1 0 = 𝑆 0 𝑅 0 𝑅 1 ⋯ 𝑅 𝑛 − 1 𝑅 𝑛 juga merupakan pernyataan yang benar.

3.

Konklusi Diketahui bahwa :

𝐹𝑛 0 = 𝐹𝑛 −1 𝑅 𝑛 − 1 𝐹𝑛 0 𝑅 𝑛 = 𝐹𝑛 −1 𝑅 𝑛 − 1 𝑅 𝑛 𝐹𝑛+1 0 = 𝐹𝑛 0 𝑅 𝑛 . ∎

50

Lampiran 10 (pembuktian persamaan 4.4) Jika 𝑁 = 1 maka 𝐾 0,0 = 𝑋 0 Jika 𝑁 = 2 maka 𝐾 0,0 = 𝑋 0 Jika 𝑁 = 3 maka 𝐾 0,0 = 𝑋 0

𝐾3 0 = 𝑋 0

= 𝐾𝑛−1

𝑅𝑓 (0)

dapat ditulis 𝐾1 0 = 𝑋 0

𝑅𝑑 (0)𝑅𝑑 (1) 𝑅𝑓 (0)𝑅𝑓 (1)

𝑅𝑑 (0)

dapat ditulis 𝐾2 0 = 𝑋 0

𝑅𝑑 (0)𝑅𝑑 (1)𝑅𝑑 (2) 𝑅𝑓 (0)𝑅𝑓 (1)𝑅𝑓 (2)

.

𝑅𝑓 (0)

𝑅𝑑 (0)𝑅𝑑 (1) 𝑅𝑓 (0)𝑅𝑓 (1)

= 𝐾1 0

𝑅𝑑 (1) 𝑅𝑓 (1)

.

dapat ditulis

𝑅𝑑 (0)𝑅𝑑 (1)𝑅𝑑 (2) 𝑅𝑑 (2) = 𝐾2 0 . 𝑅𝑓 (0)𝑅𝑓 (1)𝑅𝑓 (2) 𝑅𝑓 (2)

⋮ Jika 𝑁 = 𝑛 maka 𝐾 0,0 = 𝑋 0

𝐾𝑛 0 = 𝑋 0

𝑅𝑑 (0)

𝑅𝑑 (0)𝑅𝑑 (1)…𝑅𝑑 (𝑛−1) 𝑅𝑓 (0)𝑅𝑓 (1)…𝑅𝑓 (𝑛 −1)

dapat ditulis

𝑅𝑑 (0)𝑅𝑑 (1) … 𝑅𝑑 (𝑛 − 1) 𝑅𝑓 (0)𝑅𝑓 (1) … 𝑅𝑓 (𝑛 − 1) 𝑅𝑑 (𝑛 − 1) 0 . 𝑅𝑓 (𝑛 − 1)

Akan dibuktikan Jika 𝑁 = 𝑛, 𝐾 0,0 = 𝐾𝑛 0 = 𝑋 0

𝑅𝑑 (0)𝑅𝑑 (1) … 𝑅𝑑 (𝑛 − 1) 𝑅𝑓 (0)𝑅𝑓 (1) … 𝑅𝑓 (𝑛 − 1) 𝑅𝑑 𝑛 − 1 untuk 𝑛 ≥ 1. 𝑅𝑓 𝑛 − 1

= 𝐾𝑛−1 0

Bukti Menggunakan prinsip induksi matematika : 1. Basis induksi. 𝐾1 0 = 𝑋 0 2.

𝑅𝑑 (0) 𝑅𝑓 (0)

terbukti.

Langkah induksi Andaikan 𝐾𝑛 0 = 𝑋 0 Adb : 𝐾𝑛+1 0 = 𝑋 0

3.

𝑅𝑑 (0)𝑅𝑑 (1)…𝑅𝑑 (𝑛 −1) 𝑅𝑓 (0)𝑅𝑓 (1)…𝑅𝑓 (𝑛 −1)

adalah pernyataan yang benar.

𝑅𝑑 (0)𝑅𝑑 (1)…𝑅𝑑 (𝑛−1)𝑅𝑑 (𝑛 ) 𝑅𝑓 (0)𝑅𝑓 (1)…𝑅𝑓 (𝑛−1)𝑅𝑓 (𝑛)

juga merupakan pernyataan yang benar.

Konklusi Diketahui bahwa : 𝐾𝑛 0 = 𝐾𝑛−1 0

𝐾𝑛 0

𝑅𝑑 𝑛 − 1 𝑅𝑓 𝑛 − 1

𝑅𝑑 𝑛 𝑅𝑑 𝑛 − 1 𝑅𝑑 𝑛 = 𝐾𝑛−1 0 𝑅𝑑 𝑛 𝑅𝑓 𝑛 − 1 𝑅𝑑 𝑛

𝐾𝑛+1 0 = 𝐾𝑛 0

𝑅𝑑 𝑛 . 𝑅𝑑 𝑛 ∎

51



Lampiran 11 Perhitungan untuk forward contract two-step Tanggal jatuh tempo


Spot rate


Bunga pinjaman (%)


1

26-1-2012

37.561,83887

9.114

342.338.599,46

10

344.499.199,9

2

9-2-2012

40.892,41808

8.850

361.897.900,05

10

363.088.679,3

3

24-2-2012

33.719,46231

8.955

301.957.785,00

10

303.946.524,6

4

28-2-2012

35.792,10159

8.978

321.341.488,07

10

322.663.426,3

5

30-3-2012

81.589,76843

8.995

733.899.967,07

10

742.773.642,6

6

28-2-2012

79.654,84231

8.950

712.910.838,65

10

715.256.581,5

7

26-3-2012

45.027,62038

8.925

401.871.511,90

10

405.181.352,5

8

12-4-2012

35.774,87039

9.112

325.980.618,98

10

329.922.091,1

9

30-3-2012

44.738,35018

9.040

404.434.685,61

10

407.765.636,7

10

25-4-2012

56.453,70669

9.114

514.519.082,73

10

520.740.196,8

11

26-3-2012

38.524,24355

9.119

351.302.576,89

10

352.554.905,6

12

25-4-2012

100.585,9913

9.127

918.048.342,82

10

926.619.940,9

13

27-4-2012

42.618,4158

9.099

387.784.965,39

10

390.338.975,8

14

27-4-2012

50.110,94195

9.025

452.251.251,11

10

453.863.443,2

15

28-5-2012

55.538,64289

9.131

507.123.348,19

10

512.696.090,4

16

28-5-2012

63.748,14148

9.136

582.403.020,52

10

588.642.579,8

17

28-5-2012

173.528,8773

9.148

1.587.442.169,56

10

1.601.826.826

18

28-5-2012

74.099,39777

9.147

677.787.191,40

10

682.810.231,7

19

28-5-2012

52.105,92481

9.147

476.612.894,26

10

480.013.991

20

28-5-2012

147.869,5256

9.150

1.353.006.159,68

10

1.362.289.194

21

30-7-2012

44.910,59669

9.219

414.030.790,85

10

418.466.498,7

22

28-6-2012

34.402,16763

9.234

317.669.615,87

10

320.723.065,3

23

13-7-2012

74.065,60547

9.401

696.290.757,03

10

702.217.015,8

24

28-6-2012

32.857,53801

9.408

309.123.717,57

10

310.395.394,2

25

28-6-2012

63.891,87076

9.391

600.008.558,28

10

601.488.943,4

26

26-7-2012

77.256,91024

9.325

720.420.704,79

10

726.948.819,5

27

27-9-2012

41.310,13259

9.433

389.678.480,76

10

399.346.221,8

28

27-9-2012

121.537,1336

9.391

1.141.355.222,10

10

1.166.508.301

29

27-7-2012

41.759,47083

9.431

393.833.569,36

10

395.021.359,3

30

30-8-2012

93.076,07507

9.443

878.917.376,90

10

887.607.526,1

31

27-9-2012

32.885,41119

9.438

310.372.510,83

10

315.324.050,2

32

27-9-2012

82.505,30035

9.421

777.282.434,61

10

789.468.207,4

33

27-9-2012

33.663,50852

9.432

317.514.212,34

10

322.404.348,3

34

27-9-2012

40.987,36702

9.414

385.855.073,11

10

391.371.765,2

35

30-8-2012

80.540,38636

9.428

759.334.762,59

10

763.918.471,4

36

27-9-2012

39.735,144

9.505

377.682.543,74

10

380.689.269,6

37

26-9-2012

45.239,96089

9.512

430.322.508,00

10

433.393.277,8

38

26-9-2012

62.642,01252

9.499

595.036.476,93

10

596.178.189,9

No.

TOTAL

21.728.964.234,84

52



Perhitungan untuk forward contract three-step

No.

Tanggal jatuh tempo


Spot rate


Bunga pinjaman (%)


1

26-1-2012

37.561,83887

9.114

342.338.599,46

10

344.500.335,9

2

9-2-2012

40.892,41808

8.850

361.897.900,05

10

363.089.005,7

3

24-2-2012

33.719,46231

8.955

301.957.785,00

10

303.947.615,8

4

28-2-2012

35.792,10159

8.978

321.341.488,07

10

322.663.879,4

5

30-3-2012

81.589,76843

8.995

733.899.967,07

10

742.782.577,6

6

28-2-2012

79.654,84231

8.950

712.910.838,65

10

715.257.224,6

7

26-3-2012

45.027,62038

8.925

401.871.511,90

10

405.183.623,1

8

12-4-2012

35.774,87039

9.112

325.980.618,98

10

329.926.059,8

9

30-3-2012

44.738,35018

9.040

404.434.685,61

10

407.767.921,8

10

25-4-2012

56.453,70669

9.114

514.519.082,73

10

520.746.460,9

11

26-3-2012

38.524,24355

9.119

351.302.576,89

10

352.555.277,6

12

25-4-2012

100.585,9913

9.127

918.048.342,82

10

926.626.606,7

13

27-4-2012

42.618,4158

9.099

387.784.965,39

10

390.340.377,1

14

27-4-2012

50.110,94195

9.025

452.251.251,11

10

453.863.922,1

15

28-5-2012

55.538,64289

9.131

507.123.348,19

10

512.701.190,5

16

28-5-2012

63.748,14148

9.136

582.403.020,52

10

588.648.147,1

17

28-5-2012

173.528,8773

9.148

1.587.442.169,56

10

1.601.837.683

18

28-5-2012

74.099,39777

9.147

677.787.191,40

10

682.813.332,5

19

28-5-2012

52.105,92481

9.147

476.612.894,26

10

480.016.012,7

20

28-5-2012

147.869,5256

9.150

1.353.006.159,68

10

1.362.294.499

21

30-7-2012

44.910,59669

9.219

414.030.790,85

10

418.470.456,5

22

28-6-2012

34.402,16763

9.234

317.669.615,87

10

320.725.509,8

23

13-7-2012

74.065,60547

9.401

696.290.757,03

10

702.221.217,1

24

28-6-2012

32.857,53801

9.408

309.123.717,57

10

310.395.830

25

28-6-2012

63.891,87076

9.391

600.008.558,28

10

601.489.247,8

26

26-7-2012

77.256,91024

9.325

720.420.704,79

10

726.953.746,6

27

27-9-2012

41.310,13259

9.433

389.678.480,76

10

399.366.181,7

28

27-9-2012

121.537,1336

9.391

1.141.355.222,10

10

1.166.554.437

29

27-7-2012

41.759,47083

9.431

393.833.569,36

10

395.021.657,8

30

30-8-2012

93.076,07507

9.443

878.917.376,90

10

887.614.682,3

31

27-9-2012

32.885,41119

9.438

310.372.510,83

10

315.330.627,3

32

27-9-2012

82.505,30035

9.421

777.282.434,61

10

789.484.113,6

33

27-9-2012

33.663,50852

9.432

317.514.212,34

10

322.410.619,1

34

27-9-2012

40.987,36702

9.414

385.855.073,11

10

391.378.332,8

35

30-8-2012

80.540,38636

9.428

759.334.762,59

10

763.920.776,4

36

27-9-2012

39.735,144

9.505

377.682.543,74

10

380.691.263,4

37

26-9-2012

45.239,96089

9.512

430.322.508,00

10

433.395.103,1

38

26-9-2012

62.642,01252

9.499

595.036.476,93

10

TOTAL

596.178.372,4 21.729.163.928,359

53



Perhitungan untuk forward contract four-step

No.

Tanggal jatuh tempo


Spot rate


Bunga pinjama n (%)


1

26-1-2012

37.561,83887

9.114

342.338.599,46

10

344.500.904,4

2

9-2-2012

40.892,41808

8.850

361.897.900,05

10

363.089.169

3

24-2-2012

33.719,46231

8.955

301.957.785,00

10

303.948.161,9

4

28-2-2012

35.792,10159

8.978

321.341.488,07

10

322.664.106,1

5

30-3-2012

81.589,76843

8.995

733.899.967,07

10

742.787.054,1

6

28-2-2012

79.654,84231

8.950

712.910.838,65

10

715.257.546,3

7

26-3-2012

45.027,62038

8.925

401.871.511,90

10

405.184.760

8

12-4-2012

35.774,87039

9.112

325.980.618,98

10

329.928.048,2

9

30-3-2012

44.738,35018

9.040

404.434.685,61

10

407.769.065,9

10

25-4-2012

56.453,70669

9.114

514.519.082,73

10

520.749.599,3

11

26-3-2012

38.524,24355

9.119

351.302.576,89

10

352.555.463,7

12

25-4-2012

100.585,9913

9.127

918.048.342,82

10

926.629.944,7

13

27-4-2012

42.618,4158

9.099

387.784.965,39

10

390.341.078,5

14

27-4-2012

50.110,94195

9.025

452.251.251,11

10

453.864.161,6

15

28-5-2012

55.538,64289

9.131

507.123.348,19

10

512.703.745,2

16

28-5-2012

63.748,14148

9.136

582.403.020,52

10

588.650.935,7

17

28-5-2012

173.528,8773

9.148

1.587.442.169,56

10

1.601.843.120

18

28-5-2012

74.099,39777

9.147

677.787.191,40

10

682.814.884,9

19

28-5-2012

52.105,92481

9.147

476.612.894,26

10

480.017.024,8

20

28-5-2012

147.869,5256

9.150

1.353.006.159,68

10

1.362.297.155

21

30-7-2012

44.910,59669

9.219

414.030.790,85

10

418.472.438,9

22

28-6-2012

34.402,16763

9.234

317.669.615,87

10

320.726.734

23

13-7-2012

74.065,60547

9.401

696.290.757,03

10

702.223.320,8

24

28-6-2012

32.857,53801

9.408

309.123.717,57

10

310.396.048,1

25

28-6-2012

63.891,87076

9.391

600.008.558,28

10

601.489.400

26

26-7-2012

77.256,91024

9.325

720.420.704,79

10

726.956.213,8

27

27-9-2012

41.310,13259

9.433

389.678.480,76

10

399.376.202,7

28

27-9-2012

121.537,1336

9.391

1.141.355.222,10

10

1.166.577.590

29

27-7-2012

41.759,47083

9.431

393.833.569,36

10

395.021.807,1

30

30-8-2012

93.076,07507

9.443

878.917.376,90

10

887.618.266,4

31

27-9-2012

32.885,41119

9.438

310.372.510,83

10

315.333.924,5

32

27-9-2012

82.505,30035

9.421

777.282.434,61

10

789.492.087,4

33

27-9-2012

33.663,50852

9.432

317.514.212,34

10

322.413.762,5

34

27-9-2012

40.987,36702

9.414

385.855.073,11

10

391.381.624,4

35

30-8-2012

80.540,38636

9.428

759.334.762,59

10

763.921.930,1

36

27-9-2012

39.735,144

9.505

377.682.543,74

10

380.692.261,6

37

26-9-2012

45.239,96089

9.512

430.322.508,00

10

433.396.016,9

38

26-9-2012

62.642,01252

9.499

595.036.476,93

10

TOTAL

596.178.463,7 21.729.264.022,17

54



Perhitungan untuk forward contract five-step

No.

Tanggal jatuh tempo


Spot rate


Bunga pinjaman (%)


1

26-1-2012

37.561,83887

9.114

342.338.599,46

10

344.501.245,8

2

9-2-2012

40.892,41808

8.850

361.897.900,05

10

363.089.267,1

3

24-2-2012

33.719,46231

8.955

301.957.785,00

10

303.948.489,8

4

28-2-2012

35.792,10159

8.978

321.341.488,07

10

322.664.242,1

5

30-3-2012

81.589,76843

8.995

733.899.967,07

10

742.789.742,9

6

28-2-2012

79.654,84231

8.950

712.910.838,65

10

715.257.739,4

7

26-3-2012

45.027,62038

8.925

401.871.511,90

10

405.185.446

8

12-4-2012

35.774,87039

9.112

325.980.618,98

10

329.929.242,4

9

30-3-2012

44.738,35018

9.040

404.434.685,61

10

407.769.752,9

10

25-4-2012

56.453,70669

9.114

514.519.082,73

10

520.751.484,3

11

26-3-2012

38.524,24355

9.119

351.302.576,89

10

352.555.575,4

12

25-4-2012

100.585,9913

9.127

918.048.342,82

10

926.631.949,2

13

27-4-2012

42.618,4158

9.099

387.784.965,39

10

390.341.499,5

14

27-4-2012

50.110,94195

9.025

452.251.251,11

10

453.864.305,4

15

28-5-2012

55.538,64289

9.131

507.123.348,19

10

512.705.279,5

16

28-5-2012

63.748,14148

9.136

582.403.020,52

10

588.652.610,5

17

28-5-2012

173.528,8773

9.148

1.587.442.169,56

10

1.601.846.384

18

28-5-2012

74.099,39777

9.147

677.787.191,40

10

682.815.816,9

19

28-5-2012

52.105,92481

9.147

476.612.894,26

10

480.017.632,4

20

28-5-2012

147.869,5256

9.150

1.353.006.159,68

10

1.362.298.749

21

30-7-2012

44.910,59669

9.219

414.030.790,85

10

418.473.629,5

22

28-6-2012

34.402,16763

9.234

317.669.615,87

10

320.727.469,2

23

13-7-2012

74.065,60547

9.401

696.290.757,03

10

702.224.583,9

24

28-6-2012

32.857,53801

9.408

309.123.717,57

10

310.396.179

25

28-6-2012

63.891,87076

9.391

600.008.558,28

10

601.489.491,4

26

26-7-2012

77.256,91024

9.325

720.420.704,79

10

726.957.695,4

27

27-9-2012

41.310,13259

9.433

389.678.480,76

10

399.382.228,6

28

27-9-2012

121.537,1336

9.391

1.141.355.222,10

10

1.166.591.509

29

27-7-2012

41.759,47083

9.431

393.833.569,36

10

395.021.896,7

30

30-8-2012

93.076,07507

9.443

878.917.376,90

10

887.620.418,7

31

27-9-2012

32.885,41119

9.438

310.372.510,83

10

315.335.905,6

32

27-9-2012

82.505,30035

9.421

777.282.434,61

10

789.496.878,3

33

27-9-2012

33.663,50852

9.432

317.514.212,34

10

322.415.651,2

34

27-9-2012

40.987,36702

9.414

385.855.073,11

10

391.383.601,9

35

30-8-2012

80.540,38636

9.428

759.334.762,59

10

763.922.622,7

36

27-9-2012

39.735,144

9.505

377.682.543,74

10

380.692.861

37

26-9-2012

45.239,96089

9.512

430.322.508,00

10

433.396.565,5

38

26-9-2012

62.642,01252

9.499

595.036.476,93

10

TOTAL

596.178.518,5 21.729.324.157,82

55



Lampiran 12 Perhitungan untuk forward exchange rate contract two-step

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

Tanggal jatuh tempo 26-1-2012 9-2-2012 24-2-2012 28-2-2012 30-3-2012 28-2-2012 26-3-2012 12-4-2012 30-3-2012 25-4-2012 26-3-2012 25-4-2012 27-4-2012 27-4-2012 28-5-2012 28-5-2012 28-5-2012 28-5-2012 28-5-2012 28-5-2012 30-7-2012 28-6-2012 13-7-2012 28-6-2012 28-6-2012 26-7-2012 27-9-2012 27-9-2012 27-7-2012 30-8-2012 27-9-2012 27-9-2012 27-9-2012 27-9-2012 30-8-2012 27-9-2012 26-9-2012 26-9-2012

Spot rate 9.114 8.850 8.955 8.978 8.995 8.950 8.925 9.112 9.040 9.114 9.119 9.127 9.099 9.025 9.131 9.136 9.148 9.147 9.147 9.150 9.219 9.234 9.401 9.408 9.391 9.325 9.433 9.391 9.431 9.443 9.438 9.421 9.432 9.414 9.428 9.505 9.512 9.499

Bunga Deposito IDR 6 6 6 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75

Bunga Deposito USD 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 TOTAL

Forward Rate 9.147,049951 8.866,737356 8.988,886475 8.998,303163 9.054,727919 8.966,190212 8.965,387333 9.172,504814 9.080,90773 9.174,518094 9.136,871199 9.173,81468 9.131,933014 9.042,68698 9.186,111535 9.189,761332 9.193,540767 9.184,248911 9.182,868095 9.184,498684 9.273,249751 9.282,758221 9.444,960871 9.429,27558 9.403,739665 9.371,421912 9.561,321027 9.504,516552 9.446,638094 9.494,288179 9.520,649307 9.502,075247 9.511,743153 9.487,895805 9.459,27801 9.546,57679 9.549,299368 9.509,021895

Nilai transaksi (USD) 37.561,83887 40.892,41808 33.719,46231 35.792,10159 81.589,76843 79.654,84231 45.027,62038 35.774,87039 44.738,35018 56.453,70669 38.524,24355 100.585,9913 42.618,4158 50.110,94195 55.538,64289 63.748,14148 173.528,8773 74.099,39777 52.105,92481 147.869,5256 44.910,59669 34.402,16763 74.065,60547 32.857,53801 63.891,87076 77.256,91024 41.310,13259 121.537,1336 41.759,47083 93.076,07507 32.885,41119 82.505,30035 33.663,50852 40.987,36702 80.540,38636 39.735,144 45.239,96089 62.642,01252

Jumlah transaksi 343.580.016,4 362.582.331 303.100.418,7 322.068.180,9 738.773.154,2 714.200.467,4 403.690.057,4 328.145.170,9 406.264.829,9 517.935.553,5 351.991.051,3 922.757.243,8 389.188.518,3 453.137.562,3 510.184.168 585.830.205,5 1.595.344.808 680.547.313,3 478.481.834,5 1.358.107.464 416.467.179,5 319.347.004,4 699.546.745,6 309.822.780,7 600.822.519,3 724.007.118,4 394.979.439,4 1.155.151.698 394.486.607,9 88.3691.079,3 313.090.467,3 783.971.572,2 320.198.646,7 388.883.867,6 761.853.905,6 379.334.603,5 432.009.929,9 595.664.268,6 21.639.239.783,05

56



Perhitungan untuk forward exchange rate contract three-step

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38


Spot rate 9.114 8.850 8.955 8.978 8.995 8.950 8.925 9.112 9.040 9.114 9.119 9.127 9.099 9.025 9.131 9.136 9.148 9.147 9.147 9.150 9.219 9.234 9.401 9.408 9.391 9.325 9.433 9.391 9.431 9.443 9.438 9.421 9.432 9.414 9.428 9.505 9.512 9.499

Bunga Bunga Deposito Deposito IDR USD 6 0,25 6 0,25 6 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 5,75 0,25 TOTAL

Forward Rate 9.147,06081 8.866,74022 8.988,89809 8.998,30734 9.054,76397 8.966,19287 8.965,40394 9.172,54133 9.080,92456 9.174,55462 9.136,87438 9.173,83651 9.131,94385 9.042,69013 9.186,14177 9.189,79009 9.193,56137 9.184,2627 9.182,88088 9.184,51051 9.273,27877 9.282,78162 9.444,97956 9.429,27995 9.403,74124 9.371,44292 9.561,47964 9.504,64124 9.446,64045 9.494,3135 9.520,71508 9.502,13866 9.511,80442 9.487,94852 9.459,28744 9.546,59332 9.549,31266 9.509,02286


Jumlah transaksi 343.580.424,1 362.582.448,2 303.100.810,3 322.068.330,3 738.776.095,2 714.200.679,5 403.690.805,4 328.146.477,2 406.265.582,7 517.937.615,3 351.991.173,9 922.759.439,2 389.188.980 453.137.720,2 510.185.847,1 585.832.038,6 1.595.348.384 680.548.334,9 478.482.500,7 1.358.109.212 416.468.482,6 319.347.809,4 699.548.129,5 309.822.924,5 600.822.619,7 724.008.741,2 394.985.991,7 1.155.166.853 394.486.706,3 883.693.435,9 313.092.630,3 783.976.803,7 320.200.709,3 388.886.028,3 761.854.665,3 379.335.260,3 432.010.531,4 595.664.328,8 21.639.305.549

57



Perhitungan untuk forward exchange rate contract four-step

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38


Spot rate 9.114 8.850 8.955 8.978 8.995 8.950 8.925 9.112 9.040 9.114 9.119 9.127 9.099 9.025 9.131 9.136 9.148 9.147 9.147 9.150 9.219 9.234 9.401 9.408 9.391 9.325 9.433 9.391 9.431 9.443 9.438 9.421 9.432 9.414 9.428 9.505 9.512 9.499



Forward Rate 9.147,066236 8.866,741657 8.988,903898 8.998,309424 9.054,782009 8.966,194206 8.965,412257 9.172,559607 9.080,932975 9.174,572899 9.136,875975 9.173,847428 9.131,949269 9.042,691707 9.186,1569 9.189,804478 9.193,571685 9.184,269597 9.182,887276 9.184,516423 9.273,293289 9.282,793333 9.444,988906 9.429,282141 9.403,742022 9.371,453429 9.561,559133 9.504,703714 9.446,64163 9.494,326169 9.520,748021 9.502,170407 9.511,835105 9.487,974917 9.459,292161 9.546,601593 9.549,319314 9.509,023337


Jumlah transaksi 343.580.628,08 362.582.506,87 303.101.006,22 322.068.405,05 738.777.567,34 714.200.785,56 403.691.179,67 328.147.131,08 406.265.959,39 517.938.647,43 351.991.235,30 922.760.537,80 389.189.211,06 453.137.799,19 510.186.687,55 585.832.956,01 1.595.350.172,98 680.548.846,11 478.482.833,96 1.358.110.086,72 416.469.134,84 319.348.212,30 699.548.822,00 309.822.996,33 600.822.669,88 724.009.553,26 394.989.275,58 1.155.174.445,56 394.486.755,55 883.694.615,29 313.093.713,53 783.979.423,45 320.201.742,08 388.887.110,16 761.855.045,32 379.335.589,01 432.010.832,32 595.664.358,92 21.639.338.478,76

58



Perhitungan untuk forward exchange rate contract five-step

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38


Spot rate 9.114 8.850 8.955 8.978 8.995 8.950 8.925 9.112 9.040 9.114 9.119 9.127 9.099 9.025 9.131 9.136 9.148 9.147 9.147 9.150 9.219 9.234 9.401 9.408 9.391 9.325 9.433 9.391 9.431 9.443 9.438 9.421 9.432 9.414 9.428 9.505 9.512 9.499



Forward Rate 9.147,069495 8.866,742517 8.988,907386 8.998,310677 9.054,792842 8.966,195005 8.965,417247 9.172,570581 9.080,938029 9.174,583876 9.136,87693 9.173,853985 9.131,952523 9.042,692652 9.186,165984 9.189,813118 9.193,577876 9.184,273738 9.182,891115 9.184,519973 9.273,302007 9.282,800363 9.444,994519 9.429,283454 9.403,742493 9.371,459739 9.561,60689 9.504,741241 9.446,642337 9.494,333776 9.520,7678 9.502,189474 9.511,853528 9.487,990765 9.459,294993 9.546,606558 9.549,323307 9.509,023625


Jumlah transaksi 343.580.750,51 362.582.542,06 303.101.123,82 322.068.449,89 738.778.451,20 714.200.849,21 403.691.404,34 328.147.523,67 406.266.185,49 517.939.267,08 351.991.272,11 922.761.197,31 389.189.349,72 453.137.846,59 510.187.192,09 585.833.506,78 1.595.351.247,15 680.549.152,94 478.483.034,01 1.358.110.611,73 416.469.526,38 319.348.454,15 699.549.237,70 309.823.039,47 600.822.700,00 724.010.040,74 394.991.248,42 1.155.179.006,50 394.486.785,09 883.695.323,29 313.094.363,97 783.980.996,54 320.202.362,26 388.887.759,74 761.855.273,43 379.335.786,30 432.011.012,94 595.664.376,99 21.639.358.251,62

APLIKASI MODEL BINOMIAL DALAM FORWARD CONTRACT DAN FORWARD EXCHANGE RATE CONTRACT HARYANTO

Recommend Documents