APLIKASI ALJABAR MATRIKS DALAM PEWARISAN GEN TUNGGAL
SKRIPSI Diajukan Untuk Memenuhi Sebagaian Persyaratan Mencapai Derajat Sarjana S-1
OLEH: MUH. NAIM F1A1 11 023
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HALU OLEO KENDARI 2016
i
ii
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah, segala puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT sehingga penyusunan skiripsi yang berjudul “Aplikasi aljabar matriks dalam pewarisan gen tunggal” ini dapat terselesaikan sebagaimana mestinya. Penulis sepenuhnya menyadari bahwa dalam penyelesaian hasil penelitian ini, dihadapkan dengan berbagai macam kendala dan hambatan, namun dengan bantuan berbagai pihak akhirnya penyusunan hasil penelitian ini dapat terselesaikan juga. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih dan penghargaan yang setinggi-tinggiya kepada Bapak Drs. JUFRA,MS., selaku Pembimbing I dan Ibu Norma Muhtar, S.Si, M.Si., selaku Pembimbing II yang telah meluangkan waktunya, memberikan petunjuk, arahan dan bimbingan sejak awal penyusunan hingga selesainya penulisan hasil penelitian ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Pasrun Adam, MS., Bapak La Gubu, S.Si., M.Si, dan Bapak Dr. Mukhsar, M.Si., selaku tim Penguji yang telah memberikan saran dan kritik sehingga hasil penelitian ini menjadi lebih baik.
Ungkapan rasa cinta dan terima kasih yang dalam penulis tujukan kepada ayahanda Mora Imran Zilata dan ibunda tercinta Erniati yang telah memberikan dorongan, semangat, pengorbanan dan do’a yang tulus kehadirat Allah SWT, demi kesuksesan penulis. Tak terlupa, terima kasih kepada saudaraku tercinta, kakk dan adik-adikku (Herman, Siti Itayanti, S.Pd., Chici Istasya, A.Md. Keb.,Rahman, Ayu Desriana Dan Qadam Aka Putra.Z) atas segala dukungan dan menjadi sumber motivasi besar selama penulis melaksanakan studi.
iii
Ucapan terima kasih juga penulis hanturkan kepada berbagai pihak yang secara langsung maupun tidak langsung membantu penulis sejak awal penyusunan hingga selesainya penulisan tugas akhir ini. Untuk itu, perkenankan penulis berucap tulus, terima kasih kepada: 1.
Rektor Universitas Halu Oleo, Bapak Prof. Dr. Ir. H. Usman Rianse, M.S.
2.
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Halu Oleo, Bapak Dr. Muh. Zamrun F., S.Si, M.Si, M.Sc.
3.
Ketua Jurusan dan Sekretaris Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Halu Oleo, Bapak La Gubu, S.Si, M.Si. dan Bapak Rasas Raya, S.Si, M.Si.
4.
Ketua Jaminan Mutu FMIPA UHO, Bapak Dr.rer.nat. Wayan Somayasa, S.Si, M.Si.
5.
Kepala Laboratorium Komputasi Matematika FMIPA Universitas Halu Oleo, Ibu Norma Muhtar, S.Si, M.Si.
6.
Kepala Perpustakaan FMIPA Universitas Halu Oleo, Ibu Dra. Hj. Indrawati, M.Si.
7.
Penasehat Akademik Bapak La Gubu, S.Si, M.Si., yang selalu membimbing dan memberikan dorongan motivasi.
8.
Bapak dan Ibu Dosen Jurusan Matematika Fakultas MIPA UHO yang selalu membimbing dan memberikan dorongan motivasi.
9.
Seluruh Staf Pengajar pada jurusan Matematika FMIPA Universitas Haluoleo.
10.
Teman-teman GGM (Wayan Eka Murtiawan, S.Mat., Kasliono, S.Mat., Rahmat Budianto, S.Mat., Edikun B.Y., S.Mat., & Kalfin, S.Mat.) iv
yang selalu bersama baik suka maupun duka (Semoga kebersamaan ini selalu terjaga hingga tua nanti, amiinn), Teman-teman KKN (Ahmad Arda, Noni Yuanita, Elisa Gende Ede, Dan Imalpen) yang selalu memberi semangat dan dukungan selama penulis menyelesaikan tugas akhir dan menempuh studi. 11.
Teman-teman math11 Raful, La Supriadi, Peni, Bibi, Almustakim, Ije, Mega, Anti, Rizka, Fifi, Cici, ririn, cakra dan Rida, segenap temanteman math11 yang tidak dapat penulis sebutkan satu-persatu yang telah banyak memberi semangat dan motifasi selama penulis menempuh studi.
12.
Adik-adik math12 Rahmadin, Nella, Yeni, Yakobus, Iksan, Syem, Igo, Dani Vivi, Asni, Ummi, Evi, Mega, Rhyna, Ima, Nancy, Aldi, Diki, Ilham, Ryan, Galih, Fuad, Sandi, Obil, Ela, Bertin, Astri dan segenap adik-adik yang tidak dapat penulis sebutkan satu-persatu yang telah banyak memberi semangat, dan sumbangsi dalam berbagai bentuk dan terima kasih atas kebersamaan kita selama ini.
13.
Adik-adik math13 Selfi, Uccy, Fath, Enni, Fadil, Guslan, Abdi, Mail, Thesa, Irfan, Noni, Rima, Wulan, Eda dan segenap adik-adik yang tidak dapat penulis sebutkan satu-persatu yang telah banyak memberi semangat, dan sumbangsi dalam berbagai bentuk dan terima kasih atas kebersamaan kita selama ini.
14.
Kakak-kakak senior Math-10, Math-14, dan Math-15 terima kasih atas bantuan dan sumbangsih sarannya selama ini.
v
Penulis menyadari bahwa penyusunan tugas akhir ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, kritik dan saran yang sifatnya membangun penulis terima dengan tangan terbuka. Akhir kata, semoga hasil penelitian ini bermanfaat dan memberikan sumbangan yang berharga serta bernilai amal kebaikan. Amin Yarabbal Alamin.
Kendari, Maret 2016
Penulis
vi
DAFTAR ISI
Halaman HALAMAN JUDUL ........................................................................................
i
HALAMAN PENGESAHAN ..........................................................................
ii
KATA PENGANTAR ...................................................................................... iii DAFTAR ISI ..................................................................................................... vii DAFTAR TABEL ............................................................................................ ix ABSTRAK ........................................................................................................
x
ABSTRACT ...................................................................................................... xi BAB I
PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ....................................................................... 1.2 Rumusan Masalah .................................................................. 1.3 Tujuan Penelitian ................................................................... 1.4 Manfaat Penelitian .................................................................
1 3 3 3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Genetika ................................................................................. 2.1.1 Pewarisan Autosomal ................................................. 2.1.2 Kromoson ................................................................... 2.1.3 Genetika Mendel ........................................................ 2.1.4 Variabelitas Gen ......................................................... 2.1.5 Perkawinan Monohibrid ............................................. 2.1.6 Perkawinan Dihibrid .................................................. 2.1.7 Peristiwa Keacakan Monohibrid ................................ 2.1.8 Peristiwa Keacakan Dihibrid ..................................... 2.1.9 Gen Pada Manusia ..................................................... 2.1.10 Kelainan Genetis ........................................................ 1. Gen Dominan Pada Autosom ..................................... 2. Gen Resesif Pada Autosom ........................................ 3. Gen Resesif Terpaut Kromosom-X ........................... 4. Gen Dominan Terpaut Kromosom-X ........................ 2.2 Matriks ................................................................................... 2.2.1 Jenis-Jenis Matriks ...................................................... 2.2.2 Perpangkatan Matriks Dan Polinomial Matriks ........... 2.2.3 Invers Matiks ................................................................ 2.3 Nilai Eigen Dan Vektor Eigen ............................................... 2.4 Diagonalisasi Matriks ............................................................
4 5 6 7 8 9 9 9 11 12 13 13 13 14 15 15 17 19 20 22 25 vii
2.5 2.6 2.7
Teori Peluang ......................................................................... 28 Limit ...................................................................................... 28 Persamaan Eksplisit ............................................................... 29
BAB III METODELOGI PENELITIAN 3.1. Waktu dan Tempat Penelitian ................................................ 30 3.2. Metode Penelitian .................................................................. 30 3.3. Prosedur Penelitian ................................................................ 30 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1. Analisis Pewarisan Gen Tunggal ........................................... 4.4.1 Analisis Pewarisan Gen Domain Pada Autosom ......... 4.4.2 Analisis Pewarisan Gen Resesif Pada Autosom .......... 4.2. Penyajian dalam bentuk Matriks pada Pewarisan Autosom .. 4.3. Analisis matriks dalam pewarisan gen resesif pada autosom 4.4. Analisis Numerik ................................................................... BAB V
31 31 32 34 36 45
PENUTUP 5.1. Kesimpulan ............................................................................ 47 5.2. Saran ...................................................................................... 47
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 48
viii
DAFTAR TABEL Halaman Tabel 2.1. Segresi pola pewarisan pada persilangan AA x aa dengan sel-sel reproduksinya (gamet) pada margin dan anakan di bagian tengah .
10
Tabel 2.2. Segresi pola pewarisan pada persilangan AABB x aabb dengan sel reproduksinya (gamet) pada margin dan anakan di bagian tengah .
12
Tabel 4.1. Perkawinan Aa-aa ..........................................................................
31
Tabel 4.2. Perkawinan Aa-Aa .........................................................................
32
Tabel 4.3. Perkawinan Aa-Aa .........................................................................
33
Tabel 4.4. Persilangan antara Genotip AA dengan Genotip AA, Aa, dan aa .
36
Tabel 4.5. Peluang Genotip Turunan Dari Persilangan Genotip Induknya .....
36
Tabel 4.6. Hasil Ilustrasi Genotip an , bn , dan cn untuk n 1, 2,..., 20 ..........
36
ix
Aplikasi Aljabar Matriks dalam Pewarisan Gen Tunggal
Oleh
Muh. Naim F1A1 11 023
Abstrak
Secara biologis, seseorang anak akan mewarisi gen dari ayah dan ibunya. Tak jarang gen yang diwariskan merupakan gen pembawa sifat yang kurang baik, seperti gen pembawa penyakit. Oleh karena itu dibutuhkan penelitian mengenai pewarisan gen. Peluang seseorang anak untuk mewarisi gen tertentu dapat dihitung dengan prinsip peluang. Dalam menentukan pewarisan sifat pada generasi ke-n, dapat mengaplikasikan teori-teori tentang matriks yaitu penjumlahan matriks, invers matriks, nilai eigen dan vektor eigen, diagonalisasi matriks, serta limit fungsi untuk mengetahui generasi ke-n. Dalam penelitian ini, hasil persilangan kedua orang tua yaitu ayah (normal) dan ibu (pembawa sifat sakit) untuk keturunan ke-n akan menghasilkan turunan yang bergenotip normal atau turunan dari kedua induknya tidak membawa genotip resesif (pembawa sifat sakit). Kata Kunci: Gen, Peluang, Limit, Vektor Eigen Dan Nilai Eigen, Diaggonalisasi Matriks.
x
Application of Matrix Algebra in Inherriting a Singular Gene
By
Muh. Naim F1A1 11 023
Abstract Biological, children will inherit a gene from their parents. Sometime a gene which be inherited is the bad gene such as a gene with disease or illness. Moreover is needed research about inherit a gene. The probability of children to get a certain a gene is countable use probability principle. To determine inherit a gene to n-th generation, can apply theory about matrix that is matrix add, matrix invers, eigen, and eigen vector, matrix diagonalise, and then function limit to know the n-th generation. In this research, the result of crossing by the parents from the father has normal gene and the mother has resesive genotype gene, so the n-th generation will get a normal gene or the parents doesn’t bring recessive genotype. Keywords: Genetics, Probability, Limit, Eigen Value And Eigen Vector, Matrix Diagonalise.
xi
BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar belakang Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering mendengar orang-orang di sekitar
kita berkata, betapa miripnya kita dengan ayah, atau dengan saudara kita. Perkataan itu ada benarnya, karena setiap individu merupakan hasil percampuran antara kedua sel yang berbeda. Kedua sel ini masing-masing membawa gen dan sifat yang berbeda pula. Sifat-sifat dalam gen inilah yang kemudian dapat muncul dalam suatu individu, dan sifat itu berasal dari orangtua individu itu. Gen ini sudah ada di tubuh kita sejak lahir, dan tidak dapat diubah. Gen menentukan bagaimana bentuk tubuh kita dan sifat-sifat fisik unik yang tidak dimiliki orang lain, bahkan orangtua kita sendiri. Surya mengatakan bahwa, “Pengaruh pewarisan gen baik pada tumbuhan maupun hewan makin banyak mendapat perhatian karena cukup banyak sifat-sifat keturunan yang relevan terhadap gizi makanan atau keuntungan lain bagi manusia, seperti berat buah, tinggi tanaman, warna kulit hewan, dan sebagainya”. Lebih jauh dikatakan bahwa sifat-sifat keturunan yang lebih baik pada generasi yang akan datang dapat diperoleh jika dilakukan persilangan yang tepat pada generasi sekarang (Surya, 1984).
Ilmu yang mempelajari pewarisan sifat dalam ilmu biologi dikenal sebagai ilmu genetika. Genetika adalah bidang yang mempelajari tentang gen dan penurunan sifat makhluk hidup (hereditas). Misalnya seorang ayah menurunkan
1
sifatnya ke anaknya. Hal itu bisa dijelaskan secara ilmiah berdasarkan prinsip genetika. Gen sebagai pembawa sifat yang dimliki orang tua akan diwariskan ke keturunannya melalui proses fertilisasi sperma dan ovum. Dengan demikian, seorang anak dapat memiliki sifat perpaduan antara ayah dan ibunya.
Meskipun untuk kepribadian dan perilaku, hal ini masih diperdebatkan, karakteristik fisik
seseorang diturunkan dari orang tua. Orang tua yang
mempunyai penyakit A, anaknya juga akan memiliki kemungkinan untuk mengidap penyakit yang sama. Orang tua yang memiliki mata berwarna hitam, anaknya kemungkinan mempunyai warna mata yang sama. Penurunan sifat ini belum tentu sama untuk tiap anak. Anak kembar sekalipun bisa memiliki penampilan fisik yang berbeda.
Sifat dalam gen ini dapat diprediksi, dengan menganggap bahwa suatu gen pembawa sifat A adalah suatu variable, maka kemungkinan munculnya suatu sifat A dapat diperhitungkan dengan melihat gen dari kedua orang tua. Untuk mempermudah perhitungan, dapat diterapkan operasi matriks dalam memprediksi hasil dari persilangan dan sifat yang akan muncul. Sehingga dari hasil perhitungan, dapat dilihat sifat-sifat mana yang akan muncul dan berapa besar kemungkinannya dibandingkan dengan sifat lain.
Untuk itu penulis tertarik memepelajari perhitungan dalam pewarisan sifat yaitu genetika. Sehingga penulis tertarik untuk mempelajari dan mengkaji yang selanjutnya
menuangkannya dalam bentuk tulisan yang berjudul “ Aplikasi
Aljabar Matriks dalam Pewarisan Gen Tunggal”.
2
1.2
Rumusan Masalah Dari latar belakang yang telah dijelaskan sebelumnya, masalah yang akan
ditinjau oleh peneliti berdasarkan judul adalah sebagai berikut: 1. Bagaimana mengimplementasikan matriks dalam ilmu genetika ? 2. Bagaimana menganalisis pewarisan gen tunggal pada generasi ke-n ?
1.3
Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Untuk mengetahui penerapan matriks dalam genetika. 2. Untuk mengetahui pewarisan gen tunggal pada generasi ke-n.
1.4
Manfaat Penelitian Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah:
1.
Bagi penulis, menambah pengetahuan tentang terapan matematika dalam genetika.
2.
Bagi pembaca, yaitu dapat sebagai referensi tambahan tentang terapan matematika dalam genetika.
3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Genetika Genetika merupakan ilmu yang mempelajari tentang pewarisan dari indukan
keanakan (keturunan). Setiap individu memiliki gen yang merupakan kesatuan terkecil didalam sel yang berperan menentukan sifat keturunan. Gen sendiri terdapat didalam kromosom. Kromosom merupakan struktur didalam sel yang deret panjang molekul yang terdiri dari satu molekul DNA dan berbagai protein yang merupakan informasi genetik. Kromosom secara garis besar terbagi menjadi dua bagian yaitu autosom dan gonosom. Autosom adalah kromosom yang tidak menentukan jenis kelamin. Jumlah autosom dalam nukleus organisme normal adalah 2n-1. Sedangkan gonosom adalah kromosom yang menentukan jenis kelamin individu. Jumlah gonosom dalam nukleus organisme adalah dua buah (Arya, 1979).
Gen merupakan faktor turunan tersimpan didalam kromosom, yaitu di dalam manik-manik yang disebut kromoner atau nukleosom dari kromosom. Gen sebagai zarah kompak yang mengandung satuan informasi genetik dan mengatur sifat-sifat menurun tertentu, memenuhi lokus suatu kromosom. Setiap kromosom mengandung banyak gen. Gen terdiri dari DNA yang diselaputi dan diikat oleh protein. Jadi, secara kimia dapat disebut bahwa bahan genetis itu adalah DNA.
4
Gen memiliki sifat-sifat antara lain: a.
Dapat menduplikasi diri menjadi dua bentuk yang sama persis.
b.
Mengandung informasi genetik,
c.
Merupakan zarah tersendiri yang manempati lokus tertentu dalam kromosom (Surya, 1984).
2.1.1 Pewarisan Autosomal (autosomal inheritance) Pada pewarisan autosomal suatu individu mewarisi satu gen dari tiap pasangan gen induknya untuk membentuk pasangan gennya sendiri. Sejauh yang diketahui, hal ini berkaitan dengan peluang yang mana di antara dua gen dari induk yang diteruskan kepada keturunannya. Sehingga, jika salah satu induk mempunyai genotip AaBb, maka kecenderungan bahwa keturunannya akan mewarisi gen AB atau gen ab dari induk tersebut adalah sama besarnya. Jika salah satu induk mempunyai genotip aabb dan yang lain mempunyai genotip AaBB, AaBb, AAbb, Aabb, aaBB, maka keturunan akan selalu menerima gen ab dari induk aabb, dan akan menerima AB atau gen ab, dengan probabilitas yang sama, dari induk AB, Ab, dan ab. Konsekuensinya, tiap keturunan mempunyai probabilitas yang sama untuk memiliki genotip aaBb, aabb atau AABb, AaBb.
Ciri dominan yang menunjukkan pewarisan autosomal adalah manisfestasi dalam keadaan heterezigot, artinya seseorang dengan kelainan dimana kromosom tubuh mengandung satu gen abnormal
yang akan menyebabkan penyakit.
Biasanya setiap penderita mempunyai salah satu orang tua yang sakit. Tetapi kadang-kadang kelainan dapat muncul pada satu generasi tanpa adanya satu
5
anggota keluarga pada generasi sebelumnya yang terkena tersebut. Hal ini mungkin terjadi, karena k edua atau salah satu orang tua adalah pembawan (carier).
Penyakit yang terpendam pada autosomal terjadi kelainan pada individu yang homozigot untuk gen yang mengalami ke lainan, jika perempuan yang menderita menikah dengan laki-laki normal, maka anaknya perempuan normal kerena individu yang heterezigot benar-benar sehat dan semua anak laki-laki penderita. Jika suatu sifat resesif adalah sangat jarang, seperti kebanyakan kondisi abnormal, maka peluang dua individu yang heterezigot bagi sifat ini adalah lebih besar jika mereka mempunyai hubungan keluarga daripada jika mereka tidak ada hubungan keluarga. Mengingat bahwa orang tua yang mempunyai keluarga bisa mewarisi gen yang sama dari nenek moyangnya. Jadi, tidaklah mengherankan jika ditemukan adanya perkawinan antar keluarga apabila berurusan dengan sifat resesif (Surya,1984).
2.1.2 Kromoson Sel merupakan kesatuan hereditas, sel dapat berperan dalam pewarisan sifat makhluk hidup. Pengendali faktor keturunan pada makhluk hidup disebut gen dan terdapat pada kromosom yang berada di dalam nukles. Substansi genetik di dalam kromosom berupa asam nukleat yang terdiri atas asam deaksiribonukleat (ADN) atau disebut juga DNA dan asam ribonukleat (ARN). DNA merupakan rangkaian dari gula deaksiribosa, asam fosfat, dan basa N (purin atau pirimidin). DNA dapat diduplikasi berulang kali, dan setiap duplikasi dapat diwariskan dari induk ke
6
keturunannya. Penduplikasian sifat DNA ini mengakibatkan pemindahan informasi dari satu generasi ke generasi berikutnya (Welsh dan Mogea , 1981).
2.1.3 Genetika Mendel Mendel menemukan prinsip-prinsip dasar tentang pewarisan sifat dengan cara membiakan ercis (Pisum Sativum) dalam percobaan-percobaan yang dirancang secara berhati-hati. Sekitar tahun 1857, Mendel mulai membiakan tanaman ercis dikebun biara untuk mempelajari pewarisan sifat. Sala satu alasan mengapa mendel memilih ercis adalah tanaman itu tersediah dalam banyak verietas. Misalnya, satu varietas memiliki bunga ungu, sedangkan varietas yang lain memiliki bunga putih.
Dalam percobaan perkawinan yang biasa dilakukan, Mendel menyerbuk silangkan dua varietas ercis galur murni yang saling kontras. Perkawinan atau persilangan (crossing), dari dua varietas galur murni ini disebut hibridisasi. Induk galur murni disebut sebagai generasi P (P atau parental generation) sedangkan keturunan yang bersifat dihibrid merupakan generasi 𝐹1 (generasi pertama). Membiarakan dihibrid 𝐹1 menyerbuk sendiri menghasilkan generasi 𝐹2 (generasi kedua). Analisis kuantitatif mendel terhadap tanaman 𝐹2 dari ribuan persilangan genetik seperti ini memungkinkan ia menyimpulkan dua prinsip fundamental hereditas, yang disebut dengan hukum segragasi dan hukum pemilihan bebas. Prinsip-prinsip ini berulang-ulang melalui persilangan dan fertilisasi sendiri 𝐹2 dan tanaman ercis dari generasi-generasi berikutnya.
7
Dengan mempelajari data semua karakter dan mengetahui hubungan antar karakter tersebut, maka muncullah hukum genetika yang diperkenalkan oleh Mendel dikenal dengan hukum Mendel, yaitu: 1. Hibrid F1 yang menghasilkan satu atau dua karakter biji berbeda, separuhnya akan berkarakter seperti F1, sedangkan lainnya tetap membentuk keturunan yang manerima karakter dominan
atau resesif,
masing-masing dalam jumlah yang seimbang. 2. Bila suatu tanaman hibrida yang memiliki beberapa karakter disilangkan, maka turunan tersebut akan menghasilkan seri kombinasi yang berpasangan. Pada turunan berikutnya, masing-masing pasangan karakter tersebut ternyata bermunculan secara bebas dari pasangan karakter induknya (Welsh dan Mogea,1981).
2.1.4 Variabilitas Gen Mendel menggunakan dua variasi alel untuk setiap karakter. Misalnya tinggi dikendalikan oleh satu lokus yang terdiri atas dua alel. Disebutkan bahwa kedua alel tersebut masing-masing terdiri atas satu alel dominan dan yang lain resesif, dan ia memberikan notasi untuk kedua alel tersebut masing-masing dengan huruf besar dan huruf kecil. Alel dominan menghasikan individu tinggi, sedangkan alel resesif, bila homozigot menghasilkan tanaman pendek atau kerdil. Terminologi ini menyiratkan bahwa pada setiap gen tersebut terdapat dua bentuk alele. Hal ini mungkin benar bagi beberapa lokus tetapi bila lokusnya cukup banyak, maka kemungkinan alel yang dijumpai pada suatu individu dalam populasi, cukup besar pula (Welsh dan Mogea, 1981).
8
2.1.5 Perkawinan Monohibrid Pada marmot. Rambut marmot (seperti juga pada manusia, tikus, dll). Ada yang hitam dan ada yang putih (albino). Marmot
yang normal adalah yang
berambut hitam, disebabkan karena ia memiliki gen dominan A yang menentukan pembentukan pigmen melanin. Alelnya a dalam keadaan homozigotik menyebabkan melanin tidak terbentuk, sehingga marmot berambut putih. Perkawinan antara marmot jantan hitam dengan marmot betina albino menghasilkan keturunan F1 yang semuanya hitam. Jika anak-anaknya ini kawin sesamanya didapatkan keturunan F2 yang memperlihatkan perbandingan fenotip 3 hitam : 1 albino. Perbandingan genotipnya adalah 1AA : 2Aa : 1aa (Surya, 1984).
2.1.6 Perkawinan Dihibrid Pada manusia telah diketahui cukup banyak sifat hereditas (turun temurun), misalnya sifat kidal adalah resesif dan ditentukan oleh gen kd. Sifat normal adalah dominan (ditentukan oleh Kd). Rambut keriting adalah dominan (ditentukan oleh gen Kr) terhadap rambut normal (lurus) yang ditentukan oleh gen resesif kr, maka F2 akan didapatkan perbandingan 9 : 3 : 3 : 1.
2.1.7 Peristiwa Keacakan Monohibrid Mendel berpendapat pasangan tersebut terpisah secara seimbang dalam bentuk mekanisme komponen reproduksi jantan dan betina (gamet). Dengan cara demikian nantinya masing-masing karakter ini diwariskan pada generasi yang berikutnya. Pendapat mendel ini kemudian dijelaskan lebih lanjut dengan menggunakan papan catur (bujur sangkar
punnett). Pada tanaman yang
9
mempunyai biji bulat dominan digunakan notasi karekter A, karakter pasangannya yaitu biji yang kisut resesif bernotasi a. Dua induk murni tanaman itu diperoleh dari hasil suatu seleksi dengan melihat karakter-karakter yang muncul pada setiap individu. Dengan demikian, maka diperoleh tanaman murni dengan karakter AA atau aa. Dalam genetika saat ini, tanaman yang mempunyai notasi karakter demikia n disebut homozigot (homozygote). Dengan demikian pada induk murni atau tanaman homozigot pasangan karakter akan mengalami pemisahan notasi karakter yang tepat sama. Pada bujursangkar punnett (Gb. 2,1a) terlihatkarakter gamet terletak di bagian tengah. Sebagai hasil persilangan induk murni maka F1 mempunyai notasi Aa, namun karena A sifatnya dominan maka biji yang merupakan generasi F1 ini mempunyai bentuk bulat. Tanaman yang mempunyai karakter Aa ini disebut heterozigot (heterozygote). Tabel 2.1 Segresi pola pewarisan pada persilangan AA x aa dengan sel-sel reproduksinya (gamet) pada margin dan anakan di bagian tengah. Genotip
A
a
Aa
a. Generasi F1
Genotip
A
a
A
AA
Aa
A
Aa
aa
b. Generasi F2
Untuk mendapat hasil F2, perlu dipilih tanaman F1 yang baik. Perolehan populasi generasi F2, tertera pada bujursangkar punnett (Gambar 2.1b). di sini, setiap induk tanaman menyumbangkan karakter A dan a dengan perbandingan yang seimbang pada anaknya. Persilangan F1 menghasilkan sejumlah biji (generasi F2). Biji-biji tersebut mempunyai perbandingan karakter 1AA : 2Aa : 1aa dengan perbandingan bentuk sebagai berikut, 3 bulat : 1 kisut (Welsh dan Mogea,1981).
10
Diwaktu Mendel mengawinkan tanaman ercis berbatang
tinggi dengan
yang berbatang kerdil, maka semua tanaman keturunan pertama seragam berbatang tinggi. Suatu tanda bahwa sifat tinggi mengalahkan sifat kerdil. Sifat demikian disebut sifat dominan, sifat yang dikalahkan disebut sifat resesif. Ketika tanaman keturunan pertama tadi dibiarkan menyerbuk sendiri didapatkan tanamtanaman keturunan ke dua yang memperlihatkan genotip pemisahan dengan perbandingan kira-kira ¾ batang tinggi : ¼ batang kerdil (Surya, 1984).
2.1.8 Peristiwa Keacakan Dihibrid Pada hasil percobaan Mendel dengan tanaman ercis. Pada bijinya terdapat 2 sifat beda, yaitu soal bentuk biji dan warna biji. Kedua sifat beda ini ditentukan oleh gen-gen yang berbeda yaitu seba gai berikut : A = Gen untuk biji bulat a = Gen untuk biji keriput B = Gen untuk biji kuning b = Gen untuk biji hijau Jadi bentuk bulat dan warna kuning adalah dominan. Jika tanaman ercis bulat kuning homozigotik (AABB) disilangkan dengan tanaman ercis berbiji keriput hijau (aabb), maka semua tanaman F1 berbiji bulat kuning. Apabila tanamtanaman F1 membentuk 4 macam baik jantan maup un betina, masing-masing dengan kombinasi AB, Ab, aB dan ab. Akibatnya dalam F2 didapatkan 4 x 4 = 16 kombinasi, yang terdiri atas 4 macam fenotip, yaitu tanaman berbiji bulat-kuning (9/16 bagian), berbiji bulat-hijau (3/16 bagian),berbiji keriput-kuning (3/16
11
bagian) dan berbiji keriput hijau (1/16 bagian). Dua di antara keempat fenotip itu serupa dengan induknya semula, yaitu yang berbiji bulat-kuning dan yang berbiji keriput-hijau, sedangkan dua fenotip lainnya merupakan hasil baru, yaitu yang be rbiji bulat hijau dan yang berbiji keriput-kuning (Gambar 2.2 ).
Tabel 2.2 Segresi pola pewarisan pada persilangan AABB x aabb dengan sel- sel reproduksinya ( gamet ) pada margin dan anakan dibagian tengah. Genotip
AB
Ab
aB
ab
AB
AABB
AABb
AaBB
AaBb
Ab
AABb
AAbb
AaBb
Aabb
aB
AaBB
AaBb
aaBB
aaBb
ab
AaBb
Aabb
aaBb
aabb
2.1.9 Gen pada Manusia Manusia memiliki sel-sel dengan 46 kromosom, 2 seks kromosom, dan 22 pasang nonseks kromosom (autosom). Kromosom pada pria adalah “46, XY” dan kromosom pada wanita adalah “46, XX”. Kromosom terdiri atas kombinasi protein-protein dan molekul-molekul DNA yang sangat panjang (Surya, 1991). Gen didefinisikan sebagi interval sepanjang molekul-molekul DNA. Sebagian besar gen membawa informasi yang dibutuhkan dalam membuat protein.
12
2.1.10 Kelainan Genetis Penyakit genetik dapat diklasifikasikan menjadi penyakit yang disebabkan oleh gen tunggal (kelainan Mendellian) dan penyakit yang disebabkan oleh beberapa gen. Terdapat 4 jenis umum pewarisan gen tunggal, yaitu 1) Gen dominan pada autosom 2) Gen resesif pada autosom 3) Gen resesif terpaut kromosom-X 4) Gen dominan terpaut kromosom-X (Surya, 1991).
1.
Gen Dominan Pada Autosom Pada pewarisan domain pada autosom, keabnormalan selalu tampak
pada tiap generasi. Setiap anak yang terinfeksi penyakit dari orang tua yang terinfeksi memiliki peluang 50% untuk menurunkan penyakit tersebut. Contoh penyakit yang disebabkan oleh kelainan gen domain pada autosom adalah: a. Hiperkolesterolemia keluarga b. Penyakit hutington c. Chondrodystropic dwarfism (Astari, 2007).
2.
Gen Resesif pada autosom Orang tua dari anak yang terinfeksi akibat kelainan gen resesif pada
autosom, mungkin tidak menampakan penyakit. Anak yang memiliki gejala kelainan menandakan adanya pewarisan gen resesif dari kedua orang tua.
13
Karena kelainan resesif jarang ditemukan, seseorang anak memiliki resiko yang lebih tinggi bila orang tua mereka memiliki hubungan saudara. Hal tersebut disebabkan seringny individu-individu yang memiliki hubungan saudara mewarisi gen yang sama dari nenek moyang mereka. Contoh penyakit yang disebabkan oleh kelainan gen resesif pada autosom adalah : a. Cystic fibrosis (CF) b. Phenylketonuria (PKU) c. Defisiensi alpha-1-antitrypsin (AAT) d. Anemia sickle cell e. Defisiensi ADA, kelainan imunodefisiensi yang jarang ditemukan (Welsh dan Mogea, 1981).
3.
Gen resesif terpaut kromosom-X Pada pewarisan gen resesif terpaut kromosom X, insiden penyakit
lebih tinggi pada pria dari pada pada wanita. Hal tersebut terjadi karena wanita memiliki 2 kromosom X, sehingga bila salah satu kromosom X terpaut gen resesif (abnormal), kromosom X normal dapat menutupi efek dari kromosom X abnormal. Contoh penyakit yang disebabkan oleh kelainan gen resesif terpaut kromosom X adalah: a. Buta warna b. Hemofilia A c. Anodontia (Welsh dan Mogea, 1981).
14
4.
Gen dominan terpaut kromosom-X Pada pewarisan gen dominan terpaut kromosom X, meskipun wanita
memiliki satu kromosom X yang normal, penyakit yang dibawa oleh kromosom X abnormal tetap nampak. Contoh penyakit yang disebabkan oleh kelainan gen dominan terpaut kromosom X adalah: a. Rakithis hipofosfatemik b. Anenamel, gigi tidak beremail (Welsh dan Mogea, 1981).
2.2
Matriks
Definisi 2.2.1 (Anton, 1991) Sebuah matriks adalah susunan segi empat sikusiku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri. Definisi 2.2.2 (Cullen, 1993) Matriks ialah suatu susunan bilangan yang berbentuk persegi panjang.
Matriks dilambangkan dengan huruf besar, sedangkan entri (elemen) dilambangkan dengan huruf kecil. Secara umum sebuah matriks dapat ditulis: 𝑎11 𝑎21 𝐴= ⋮ 𝑎𝑚1
𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑚2
⋯ 𝑎1𝑛 ⋯ 𝑎2𝑛 ⋮ ⋱ ⋯ 𝑎𝑚𝑛
penulisan yang lebih singkat: 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 dengan 𝑖 = 1, … , 𝑛 dan 𝑗 = 1, … , 𝑚 . Indeks pertama 𝑖 menyatakan baris ke- 𝑖 dan indeks kedua 𝑗 menyatakan kolom ke-𝑗.
15
Ukuran martiks A ditunjukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom. Jika banyak baris adalah m dan banyaknya baris adalah n maka ukuran matriks A adalah m x n atau ditulis Amxn .
Definisi 2.2.3 (Anton. 1991) Jika 𝐴 adalah matriks berukuran 𝑚 × 𝑟 dan 𝐵 adalah matriks berukuran 𝑟 × 𝑛 maka hasil kali 𝐴𝐵 adalah matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris 𝑖 dan kolom 𝑗 dari 𝐴𝐵 , pilihlah baris 𝑖 dari matriks 𝐴 dan kolom 𝑗 dari matriks 𝐵 . Kalikan entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkan hasilkali yang dihasilkan. Jadi jika
Amxr aij dan Brxn bij maka AB cij dimana cij k 1 aik bkj mxr rxn mxn n
Contoh 1:
2 1 3 A 4 2 5
3 6 2 4 B 1 2 0 5 4 3 6 1
Karena 𝐴 adalah matriks 2 × 3 dan 𝐵 adalah matriks 3 × 4, maka hasil kali 𝐴𝐵 adalah matriks 2 × 4, yaitu:
19 19 22 16 AB 30 43 38 11 Definisi perkalian matriks mengharuskan bahwa banyaknya kolom dari faktor pertama 𝐴 harus sama seperti banyaknya baris dari faktor kedua 𝐵 supaya membentuk hasil kali 𝐴𝐵. Jika kondisi ini tidak terpenuhi, maka hasil kali tersebut tidak dapat didefinisikan.
16
2.2.1 Jenis-jenis Matriks Definisi 2.2.5 (Nugroho, 2009) Vektor Euclidean (Euclidean vector) adalah suatu matriks yang hanya mempunyai satu baris atau satu kolom. Karena itu terdapat dua jenis vektor yaitu vektor baris dan vektor kolom. Definisi 2.2.6 (Nugroho, 2009) Jika banyaknya baris dari suatu matriks 𝐴 sama dengan banyaknya kolom, maka matriksnya disebut matriks persegi (square matrix) dengan elemen-elemen 𝑎11 , 𝑎22 , … , 𝑎𝑛𝑛 dinamakan elemen-elemen diagonal utama. Selanjunya, matriks persegi 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛 cukup dituliskan dengan notasi 𝐴𝑛 .
a11 a11 a a22 An 21 an1 an 2
a1n a1n a ; i j 1, 2,...n ij ann
Definisi 2.2.7 (Nugroho, 2009) Matriks persegi 𝐴𝑛 dengan semua elemen yang tidak terletak pada diagonal utamanya adalah sama dengan nol, 𝑎𝑖𝑗 = 0 untuk 𝑖 ≠ 𝑗 , disebut matriks diagonal (diagonal matrix), dituliskan dengan 𝐴 = 𝑑𝑖𝑎𝑔 𝑎11 , 𝑎22 , … , 𝑎𝑛𝑛 . Jika 𝑎𝑖𝑗 = 1 untuk 𝑖 = 𝑗 , disebut matriks identitas (identity matrix) berukuran 𝑛, dan dituliskan 1 0 ⋯ 𝐼= 0 1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ 0 0 ⋯
0 0 = 𝑑𝑖𝑎𝑔 1,1, … ,1 ⋮ 1
17
Definisi 2.2.8 (Gere dan Weaver, 1987) Matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol. Matriks ini berupa persegi panjang. 0 0 0 O 0 0 0 0 0 0
Definisi 2.2.9 (Gere dan Weaver, 1987) Suatu matriks bujursangkar A aij adalah matriks segitiga atas jika dan hanya jika aij 0, i j dapat ditulis sebagai berikut: 𝑎11 0 𝐴= ⋮ 0
𝑎12 𝑎22 ⋮ 0
⋯ ⋯ ⋱ ⋯
𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎𝑛𝑛
Definisi 2.2.10 (Gere dan Weaver, 1987) Suatu matriks bujursangkar A aij adalah matriks segitiga bawah jika dan hanya jika aij 0, i j dapat ditulis sebagai berikut: 𝑎11 𝑎 𝐴 = 21 ⋮ 𝑎𝑛1
2.2.2
0 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑛2
⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋯ 𝑎𝑛𝑛
Perpangkatan matriks dan polinomial matriks Misalkan A adalah suatu matriks bujursangkar-n atassuatu medan K.
Pangkat dari A didefinisikan sebagai berikut: A2 AA, A3 AAA, , An1 An A, , dan A0 1.
Polinomial-polinomial dalam matriks A juga didefinisikan. Khususnya untuk sebarang polinomial
18
f x a0 a1 x a2 x 2 an x n ,
dimana ai skalar-skalar dalam K, f A didefinisikan sebagai matriks berikut: f x a0 I a1 A a2 A2 an An
Perhatikan bahwa f A diperoleh dari f x dengan cara mensubstitusi skalar
a0 dengan matriks skalar a0 I . Jika f A adalah matriks nol, maka A disebut sebagai nol atau akar dari f x (Lipschutz dan lipson,2004). Contoh 3:
1 2 A 3 4 Maka
1 2 1 2 7 6 A2 * dan 3 4 3 4 9 22 7 6 1 2 11 38 A3 A2 A * 9 22 3 4 57 106 Misalkan f x 2 x2 3x 5 dan g x x 2 3x 10 . Maka
7 6 1 2 1 0 16 18 f A 2 3 5 9 22 3 4 0 1 27 61 7 6 1 2 1 0 0 0 g A 3 10 9 22 3 4 0 1 0 0 Jadi A adalah matriks nol dari polinomial g x .
19
2.2.3
Invers matriks
Definisi 2.2.11 (Cullen, 1993) Kofaktor unsur (i,j) matriks A didefinisikan sebagai kofij kofij A 1i j M ij A .
Definisi 2.2.12 (Anton, 2004) Jika 𝐴 adalah matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks 𝐵 sehingga 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼 , maka 𝐴 dikatakan dapat dibalik (invertible) dan 𝐵 dinamakan invers (inverse) dari 𝐴. Contoh 4:
3 1 Misalkan matriks A 2 1 Kofaktor dari A adalah C11 1
11
M 11
1
C21 1
C12 1
1 2
M 12
2 2 1
M 21
1
C22 1
2 2
M 22
3
Katakan C matriks kofaktor dari A , sehingga
1 2 C 1 3 dan adj A adalah
1 2 adj A 1 3 maka A1
1 1 1 2 1 2 adj A det A 1 1 3 1 3
20
1 2 Jadi, A1 1 3
Teorema 2.2.1 (Anton, 2004)
Jika B dan C keduanya adalah invers dari
matriks A , maka B C . Bukti: Diketahui A1 B dan A1 C Akan dibutktikan B C Karena B invers dari A maka AB I
Jika kedua ruas dikalikan C , maka C AB CI
CA B CI Karena C invers dari A , maka CA I , sehingga IB CI BC
2.3
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Kata “vektor eigen” adalah ramuan bahasa Jerman dan Inggris. Dalam
bahasa Jerman “eigen” diartikan sebagai “sebenarnya” atau “karakteristik”. Oleh karena itu nilai eigen dapat juga dinamakan nilai sebenarnya atau nilai karakteristik. Sedangkan vektor adalah bentuk matriks khusus yang hanya mempunyai satu baris atau satu kolom. Jadi vektor eigen dapat diartikan sebagai vektor sebenarnya (Anton,1991).
21
Definisi 2.3.1 (Leon, 2001) Misalkan A adalah suatu matriks berukuran n x n , skalar λ disebut sebagai suatu nilai eigen atau nilai karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor tak nol x , sehingga Ax x . Vektor x disebut vektor eigen atau vektor karakteristik dari . Contoh 5:
3 0 1 Vektor x adalah suatu vektor eigen dari A yang berpadanan 8 1 2 3 0 1 3 dengan nilai eigen 3 , karena Ax . 3x 8 1 2 6
Teorema 2.3.1 (Anton, 2004) Jika A adalah suatu matriks segitiga berukuran n x n (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal), maka nilai eigen dari A
adalah entri-entri diagonal utama A .
Definisi 2.3.2 (Anton, 2004) Jika A adalah matriks berukuran n x n , maka vektor tak nol x di dalam R n dinamakan vektor eigen dari A , jika Ax adalah kelipatan skalar dari x ; yaitu:
Ax x Untuk skalar dinamakan nilai eigen dari A dan x dikatakan sebuah vektor eigen yang bersesuaian dengan . Untuk mencari nilai eigen dari sebuah matriks A yang berukuran n x n maka dituliskan kembali Ax x sebagai:
Ax Ix
22
atau ekuivalen dengan
I A x 0
(2.1)
sehingga Persamaan (2.1) ada solusi jika det I A 0
(2.2)
Persamaan (2.2) dinamakan persamaan karakteristik dari A ; skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari A dan vektor x yang bersesuaian dengan disebut vektor eigen.
Contoh 6: Carilah nilai nilai eigen dari martiks A 0 1 0 A 0 0 1 4 17 8
Selesaian;
0 0 1 0 0 0 1 0 det I A det 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 4 17 8 1 0 det 0 1 4 17 8 3 8 2 17 4
(2.3)
Maka nilai-nilai eigen dari A harus memenuhi persamaan pangkat tiga
3 8 2 17 4 0 untuk memecahkan Persamaan (2.3), maka akan mulai mencari selesaian-selesaian bilangan bulat. Ini dapat disederhanakan dengan memanfaatkan kenyataan bahwa semua pecahan bilangan bulat (jika ada) dari
23
persamaan polinom dengan koefisien bilangan bulat n c1 n1 ... cn 0 harus merupakan pembagi dari suku konstan cn . Jadi selesaian bilangan bulat yang mungkin hanya pembagi dari -4, yakni 1, 2, 4, dengan mensubstitusikan nilainilai berturut-turut maka akan memperhatikan bahwa 4 adalah selesaian bilangan bulat. Sebagai konsekuensinya maka 4 haruslah merupakan faktor dari ruas kiri. Faktorisasi dapat dilakukan dengan pembagian, sehingga Persamaan (2.3) menjadi: 4 2 4 1 0 Jadi selesaian selanjutnya memenuhi persamaan kuadrat
2 4 1 0 yang dapat diselesaikan dengan rumus kuadrat, maka nilai-nilai eigen dari A adalah 1 4, 2 2 3 dan 1 2 3.
2.4
Diagonalisasi Matriks
Definisi 2.4 (Anton, 2012) Suatu matriks bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalkan jika ada suatu matriks yang dapat dibalik P sedemikian sehingga
P 1 AP adalah suatu matriks diagonal, matriks P dikatakan mendigonal A .
Teorema 2.4 (Anton, 2012) Jika A adalah suatu matriks n x n, maka pernyataan berikut ekuivalen. a) A dapat didiagonalkan b) A mempunyai n vektor eigen yang bebas secara linear.
24
Bukti:
a b :
karena A dianggap dapat didiagonalkan, maka ada suatu matriks
yang dapat dibalik
p11 p P 21 pn1
p12 p22 pn 2
p1n p2 n pnn
sedemikian sehingga P 1 AP diagonal, katakanlah P1 AP D , di mana 1 0 0 2 D 0 0
0 0 n
Dari rumus P1 AP D kita dapatkan bahwa AP PD ; yaitu :
p11 p AP 21 pn1
p1n 1 0 p2 n 0 2 pnn 0 0
p12 p22 pn 2
1 p11 2 p12 p 2 p22 1 21 1 pn1 2 pn 2
n p1n n p2 n n pnn
0 0 n
(2.4)
Jika kita menganggap p1 , p2 ,..., pn menyatakan vektor-vektor kolom dari P , maka kolom-kolom dari Persamaan (2.4) berturut-turut adalah 1 p1 , 2 p2 ,..., n pn . Kolom-kolom dari AP berturut-turut adalah Ap1 , Ap2 ,..., Apn . Maka, kita dapatkan Ap1 1 p1 , Ap2 2 p2 ,..., Apn pn
(2.5)
25
P dapat dibalik, sehingga vektor-vektor kolomnya semua tak nol. Jadi, dari
Persamaan (2.5) kita dapatkan bahwa 1 , 2 ,..., n adalah nilai eigen dari A , dan
p1 , p2 ,..., pn adalah vektor eigen yang berpadanan. Karena P dapat dibalik, maka p1 , p2 ,..., pn bebas linear. Jadi, A mempunyai n vektor eigen yang bebas linear.
b a
: Anggap A mempunyai n vektor eigen yang bebas linear,
p1 , p2 ,..., pn , dengan nilai eigen yang berpadanan 1 , 2 ,..., n , dan anggap
p11 p P 21 pn1
p12 p22 pn 2
p1n p2 n pnn
adalah matriks yang vektor-vektor kolomnya adalah p1 , p2 ,..., pn . Berdasarkan Persamaan (2.5), diperoleh Ap1 1 p1 , Ap2 2 p2 ,..., Apn pn
Sehingga
1 p11 2 p12 p 2 p22 AP 1 21 1 pn1 2 pn 2 p11 p 21 pn1
p1n 1 0 p2 n 0 2 pnn 0 0
p12 p22 pn 2
n p1n n p2 n n pnn 0 0 PD n
(2.6)
dengan D adalah matriks diagonal yang mempunyai nilai eigen 1 , 2 ,..., n pada
26
diagonal utamanya. Karena vektor-vektor kolom dari P bebas linear, P dapat dibalik. Jadi, Persamaan (2.6) dapat ditulis ulang sebagai P1 AP D ; yaitu A dapat didiagonalkan.
Adapun prosedur dalam mendiagonalkan suatu matriks adalah sebagai berikut; 1) Cari n vektor eigen yang bebas linear dari A katakanlah p1 , p2 ,..., pn 2) Bentuk matriks P yang mempunyai p1 , p2 ,..., pn sebagai vektor-vektor kolomnya. 3) Selanjutnya matriks P 1 AP akan menjadi matriks diagonal dengan
1 , 2 ,..., n berturut-turut sebagai anggota diagonalnya, dengan i adalah nilai eigen yang berpadanan dengan pi , untuk i=1,2,...,n (Anton, 2012).
2.5
Teori Peluang
Definisi 2.5 (Bain, 1991) Diketahui S ruang sampel. Untuk setiap peristiwa E bagian S dihubungkan dengan suatu bilangan yang ditulis P(E) yang memenuhi sifat-sifat berikut: 1. P (E) adalah bilangan real yang non-negative untuk setiap peristiwa E dalam S, dapat ditulis P( A) 0
2. P (S) = 1 3. Jika A1 , A2 . . . merupakan peristiwa- peristiwa yang saling asing di S,
27
Ai Aj untuk i j 1, 2,3,..., maka 𝑃 𝐸𝐸1 ∪ 𝐸2 ∪ … = 𝑃 𝐸1 +
𝑃 𝐸2 + ⋯ 2.6
Limit
Definisi 2.6.1 (Purcell & Varberg, 1999) Untuk mengatakan bahwa
lim f x L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi berlainan dengan c maka f(x) x c
dekat ke L. Definisi 2.6.2 (Purcell & Varberg, 1999) Mengatakan bahwa lim f x L x c
berarti bahwa untuk setiap 0 yang berarti (betapapun kecilnya), terdapat
0 yang berpadanan sedemikian sehingga
f x L asalkan bahwa
0 x c , yakni
0 xc
2.7
f x L
Persamaan Ekplisit Sebuah fungsi f : X Y dikatakan sebagai fungsi eksplisit apabila fungsi
tersebut memenuhi persamaan: R x, f x 0
untuk semua x∈X, dengan R adalah fungsi pada perkalian Cartesian X Y .
Suatu persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk eksplisit apabila persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk y f x atau x f y atau f x, y .
28
Contoh 7: 1. x 5 y 20 2. y 4 x 8 3. x2 y 2 25 0 4. x2 y 2 4 x 6 y 0 Bentuk umum sistem persamaan linear dan kuadrat eksplisit ditulis sebagai berikut: px qy r 0
bagian linear
ax 2 by 2 cxy dx ey f 0
bagian kuadrat
(Purcell & Varberg, 1999).
29
BAB III METODELOGI PENELITIAN
3.1
Waktu dan Tempat Penelitian Penelitian ini dilakukan pada bulan januari sampai maret 2016 dan
bertempat di Laboratorium Komputasi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Halu Oleo. 3.2
Metode Penelitian Adapun metode penelitian yang diguanakan dalam penulisan ini adalah
metode kepustakaan (Library Research) yaitu suatu metode yang dilakukan untuk mendapatkan pengetahuan dan landasan teoritis dalam menganalisis dan permasalahan melalui karya tulis dan sumber-sumber lainnya sebagai bahan pertimbangan dalam penulisan hasil penelitian ini. 3.3
Prosedur Penelitian Adapun prosedur yang dijalankan dalam mencapai tujuan dalam penelitian
ini adalah sebagai berikut: (1)
Persiapan yaitu dengan mengumpulkan referensi yang relevan dengan masalah yang dikaji dengan mempelajari pustaka pendukung.
(2)
Memberikan deskripsi dan pembahasan lebih lanjut tentang genetika dengan menganalisis pewarisan gen tunggal.
(3)
Membentuk suatu matriks dari hasil analisis pewarisan gen tunggal.
(4)
Menetukan nilai eigen dan vektor eigen pada matriks tersebut.
(5)
Matriks tersebut dapat didiaggonalisasikan, maka dapat membentuk persamaan eksplisit. Selanjutnya mencari nilai limit dari persamaan ekplisit.
30
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam bab ini, akan dibahas tentang analisis pewarisan sifat gen tunggal lebih khususnya sifat gen resesif pada autosom. Dengan bantuan ilmu di bidang matematika dapat diterapkan teori teori tentang matriks, peluang, diagonalisasi matrik untuk mengetahui pewarisan sifat genotip pada keturunan ke-n, dengan cara mengaplikasikan teori-teori matriks dalam genetika.
4.1
Analisis Pewarisan Gen Tunggal
4.1.1 Analisis Pewarisan Gen Dominan pada Autosom Gen dominan merupakan gen yang memiliki fenotop yang sama baik dalam genotip yang homozigot maupun genotip yang heterozigot. Misalkan terdapat gen dominan abnormal, fenotip yang ditunjukan oleh gen dominan abnormal tidak dapat tertutupi oleh gen pasangannya yang normal (Surya, 1991).
Kelainan yang disebabkan oleh gen dominan pada autosom termasuk jarang ditemukan. Oleh karena itu, perkawinan yang umum yaitu perkawinan antara Individu yang memiliki genotip heterozigot dan homozigot resesif. Misalkan gen dominan dengan lambang A, perkawinan yang umum terjadi yaitu Aa-aa. Perkawinan tersebut dapat dinyatakan dalam tabel berikut: Tabel 4.1. Perkawinan Aa-aa Genotip a a
A Aa Aa
a aa aa
31
Melalui Tabel 4.1 dapat diketahui bahwa: 1. Peluang memperoleh anak yang terinfeksi P Aa
1 2
2. Peluang memperoleh anak normal P aa
1 2
Terlihat bahwa bila salah satu orang tua terinfeksi, maka anak mempunyai peluang 50% untuk terinfeksi.
4.1.2 Analisis Pewarisan Gen Resesif pada Autosom Gen resesif merupakan gen yang hanya menampakkan fenotipnya saat genotip homozigot. Misalkan terdapat gen resesif abnormal, fenotip yang ditunjukkan oleh gen dominan abnormal dapat tertutupi oleh gen pasangannya yang normal (Surya, 1991).
Perkawinan yang sering terjadi pada pewarisan gen resesif pada autosom adalah perkawinana antara individu yang memiliki genotip heterozigot (karier). Perkawinan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk tabel berikut: Tabel 4.2. Perkawinan Aa-Aa Genotip A a
A AA Aa
a Aa aa
32
Pada Tabel 4.2 dapat diketahui bahwa: 1. Peluang memperoleh anak yang terinfeksi P aa
1 4
2. Peluang memperoleh anak yang normal
P AA P Aa P AA P Aa 1 2 4 4 3 4
Terlihat bahwa bila kedua orang tua merupakan karier, maka peluang seorang anak akan terinfeksi yaitu 25%. Namun, jika hanya salah satu orang tua saja yang membawa gen resesif, anak tidak akan memiliki peluang untuk terinfeksi. Tabel 4.3. Perkawinan AA-aa Genotip a a
A Aa Aa
A Aa Aa
Pada Tabel 4.3 merupakan kondisi dimana salah satu orang tua saja yang membawa gen resesif. Terlihat bahwa tidak terdapat peluang anak yang memiliki genotip aa atau P aa 0 . Oleh karena itu, tidak terdapat peluang bagi anak untuk menderita penyakit akibat autosom resesif walaupun salah satu orang tuanya adalah penderita.
33
4.2
Penyajian dalam bentuk Matriks pada Pewarisan Autosom Pada pewarisan autosom, suatu individu mewarisi suagu gen dari tiap
pasangan gen induknya untuk membentuk pasangan sendiri. Jadi peluang yang mana diantara dua gen dari induk yang diteruskan kepada keturunannya. Distribusi peluang genotif sifat tertentu dalam generasi ke-n dapat diwakili oleh suatu vektor genotip an x n bn , untuk n=0,1,2,... cn
(4.1)
dimana:
an adalah peluang genotip AA pada generasi ke-n bn adalah peluang genotip Aa pada generasi ke-n cn adalah peluang genotip aa pada generasi ke-n (Wijayanti, 1997). Khusus untuk n=0, maka a0 , b0 , dan c0 mendefinisikan distribusi awal dari genotip tersebut. Hubungan an , bn , dan cn juga memenuhi hukum peluang, yaitu: an bn cn 1 , untuk n=0,1,2,...
(4.2)
Distribusi awal genotip akan mempengaruhi distribusi genotip satu generasi ke generasi yang lain. Distribusi genotip dari satu generasi ke generasi berikutnya dapat disajikan dalam bentuk persamaan berikut:
xn Mx n1 , untuk setiap bilangan asli n
(4.3)
dimana an x bn cn n
x
n 1
an 1 bn 1 , M adalah matriks yang sesuai (Mumu, 2013). cn 1
34
Karena Persamaan 4.3 berlaku untuk setiap bilangan asli n, maka diperoleh:
xn Mx n1 M 2 x n2 M 3 x n 3
xn M n x0
(4.4)
Untuk mendapatkan ekspresi yang eksplisit dari M n , dapat menggunakan Persamaan 4.4 untuk menemukan persamaan eksplisit dari x n . Untuk menemukan
M n pertama-tama dilakukan diagonalisasi pada M . Yaitu menentukan mantriks ivertible P dan matriks diagonal D sehingga
M PDP1 Dengan diagonalisasi, maka didapatkan
M n PDn P1 , untuk n=0,1,2,...
(4.5)
dengan 1 0 0 2 Dn 0 0
0 0 k
n
Dengan mencari nilai eigen dari matriks M maka dapat ditentukan matriks D n ,
P , dan P 1 . Sehingga dapat ditentukan matriks M n PDn P1 selanjutnya dapat ditentukan ekspresi eksplisit dari xn Mx n1 (Wijayanti, 1997).
35
4.3
Analisis Matriks dalam Pewarisan Gen Resesif pada Autosom Berdasarkan hasil pewarisan gen resesif pada autosom yaitu pada Tabel 4.2
akan disilangkan dengan genotip AA untuk memperoleh hasil keturunan yang dominan normal, dalam hal ini anak tidak membawa gen resesif (terinfeksi) dari kedua orang tuanya. Hasil persilangan antara genotip AA dengan genotip AA, Aa, dan aa yang terdapat pada Tabel 4.2 yaitu seperti pada Tabel 4.4. Tabel 4.4. Persilangan antara genotip AA dengan genotip AA, Aa, dan aa. Genotip AA
AA AA, AA, AA, AA
Aa AA, Aa, AA, Aa
aa Aa, Aa, Aa, Aa
Pada Tabel 4.4 dapat ditentukan peluang dari masing-masing genotip turunannya. Sehingga diperoleh ruang sampel dari masing masing persilngan antara dua genotip indukan sebagai berikut:
S1 AA, AA, AA, AA , untuk persilangan antara AA dan AA S2 AA, AA, Aa, Aa , untuk persilangan antara AA dan Aa S3 Aa, Aa, Aa, Aa , untuk persilangan antara AA dan aa. maka diperoleh peluang dari masing-masing persilangan sebagai berikut: P1 AA 4
n AA 1 4 1 n S 4
P1 Aa
P2 AA 2
n AA 1 1 2 n S 4 2
P2 Aa 2
0 0 4 1 1 4 2
P1 aa
0 0 4
P2 aa
0 0 4
36
P3 AA
n AA 0 0 n S 4
1 P3 Aa 4 1 4
P3 aa
0 0 4
Untuk lebih jelasnya peluang dari masing-masing hasil persilangan antara genotip indukan yang tertera pada Tabel 4.4 dapat dilihat pada Tabel 4.5.
Tabel 4.5. Peluang genotip turunan dari persilangan genotip induknya. Genotip Induk AA
Genotip Turunan
AA
Aa
aa
AA
1
1/2
0
Aa
0
1/2
1
aa
0
0
0
Tabel 4.5, menjelaskan hasil persilangan antara genotip AA dan AA menghasilkan genotip turunan yaitu AA, AA, AA, dan AA, sehingga peluang masing-masing dari genotip turunan diperoleh
P AA 1, P Aa 0, dan
P aa 0. Untuk persilangan antara genotip AA dan Aa menghasilkan genotip turunan yaitu AA, AA, Aa, dan Aa, sehingga peluang masing-masing dari genotip turunan diperoleh P AA 1 , P Aa 1 , dan P aa 0. Untuk persilangan 2 2 antara genotip AA dan aa menghasilkan genotip turunan yaitu Aa, Aa, Aa, dan Aa, sehingga peluang masing-masing dari genotip turunan
diperoleh
P AA 0, P Aa 1, dan P aa 0.
37
Dari Tabel 4.4, dapat ditentukan distribusi genotip setiap generasi dari distribusi genotip generasi terdahulu dengan menggunakan suatu persamaan baru. Dimana persamaan itu menyatakan bahwa semua turunan yang di hasilkan, yakni
an , bn , dan cn dari individu yang bergenotip AA, Aa, dan aa yang dapat dinyatakan dengan an1 , bn1 , dan cn 1 . Sedangkan koefisien-koefisien dari ketiga persamaan itu berasal dari probabilitas genotip yang mungkin dimiliki oleh individu tersebut dari hasil perkawinan, persamaan itu adalah: 1 an an 1 bn 1 2 1 bn bn 1 cn 1 2 cn 0
, untuk n=0,1,2,...
(4.6)
Pada Persamaan (4.6) memberikan informasi bahwa seluruh indukan dengan genotip AA akan mempunyai keturunan dengan genotip AA dalam program pengembangan ini, dan setengah dari keturunan dengan genotip Aa akan mempunyai genotip Aa. Sehingga dapat ditulis persamaan tersebut dalam bentuk matriks sebagai berikut:
xn Mx n1 , untuk n=0,1,2,...
(4.7)
dimana 1 an 1 x n 1 bn 1 , M 0 cn 1 0
0 1 1 2 0 0 1
2
38
Selanjutnya menentukan persamaan eksplisit dari x n , maka pertama-tama dilakukan diagonalisasi matrik M , untuk mencari persamaan eksplisit dari M n , dengan cara menetukan nilai eigen dan vektor eigen, yaitu: 1 0 I M 0 2 0 0
1 0 1 0 0 0 . 0 1 0 0 3 0 0 1 0
1 0 0 2 0 0
1 0 0 0 3 0
1
1 0 0 2 0 0
1 0 0 0 3 0
1
0 1 1 2 0 0 1
2
0 1 1 2 0 0 2
0 1 1 2 0 0 2
1 1 1 0 2 1 0 2 2 1 0 0 3 1 1 0 2 1 1 det I M det 0 2 2 1 0 0 3
det I M 1 1 2 1
2
0. 3
Sehingga diperoleh nilai eigen dari M adalah 1 1, 2 1 , dan 3 0 . 2
39
Selanjutnya menentukan vektor eigen yang bersesuaian. Untuk 1 1
I M X 0 1 1 1 0 2 x1 0 0 1 2 2 1 . x2 0 0 0 3 x3 0
0 1 0 2 x1 0 0 1 1 . x2 0 2 0 0 1 x3 0
1 x2 2 1 x2 2
0 x3
0
x3
0
Misal x1 t . Jadi x3 0, x2 0 dan x1 t , maka
t 1 1 p1 0 p1 t 0 , jadi p1 0 0 0 0
Untuk 2
1 2
I M X 0 1 1 1 0 2 x1 0 0 1 2 2 1 . x2 0 0 0 3 x3 0
40
1 1 0 x 0 2 2 1 0 0 1 . x2 0 0 1 x3 0 0 2 1 x1 2
1 x2 2
0 x3
0
1 x3 2
0
Misal x1 s . Jadi x3 0, x2 s dan x1 s , maka
s 1 1 p2 s p2 s 1 , jadi p2 1 0 0 0 Untuk 3 0
I M X 0 1 1 1 0 2 x1 0 0 2 1 2 1 . x2 0 0 0 3 x3 0 1 1 0 2 x1 0 0 1 1 . x2 0 2 0 0 0 x3 0
x1
1 x2 2 1 x2 2
0 x3
0
41
Misal x1 k . Jadi x3 k , x2 2k dan x1 k , maka
k 1 1 p3 2k p3 k 2 , jadi p3 2 . k 1 1 Dari hasil perhitungan diatas, diperoleh vektor eigen yang bersesuaian yaitu: 1 1 1 p1 0 , p2 1 , dan p3 2 0 0 1
Maka diperoleh matriks D dan P yaitu: 1 0 D 0 2 0 0
0 1 0 0 3 0
P p1
1 1 1 p3 0 1 2 . 0 0 1
p2
0 1
2
0
0 0 0
Selanjutnya dengan menerapkan Persamaan (4.5) , maka diperoleh
xn M n x0 PDn P1 x0 an 1 1 1 1 b 0 1 2 . 0 n cn 0 0 1 0 n 1 1 1 1 0 1 2 . 0 0 0 1 0
0 0 0
0 1
2
0 0
12 0
n
n
1 1 1 a0 . 0 1 2 . b0 0 0 1 c0 0 1 1 1 a 0 0 . 0 1 2 . b0 0 0 0 1 c0
42
1 1 1 1 0 1 2 . 0 0 0 1 0
0
12
n
0
0 1 1 1 a 0 0 . 0 1 2 . b0 0 0 0 1 c0
1 1 1 2 n 1 2 1 2 n a 0 n n 1 1 0 2 2 2 . b0 0 0 0 c0 a 1 1 2 n b 1 1 2 n 1 c 0 0 0 n n 1 1 2 b0 1 2 c0 0 a b 1 2 n b c 1 2 n 1 c 0 0 0 0 0 n n 1 1 2 b0 1 2 c0 0
a0 b0 c0 1 2 n b0 1 2 n 1 c0 n n 1 1 2 b0 1 2 c0 0 karena a0 b0 c0 1 , maka
an 1 1 2 b0 1 2 n
bn 1 2 b0 1 2 n
n 1
n 1
c0
c0 (4.8)
, untuk n=0,1,2,...
cn 0 Pada Persamaan (4.8) merupakan persamaan eksplisit ketiga genotip pada populasi generasi ke-n yang di tinjau genotip awal, karena
12
n
cenderung
mendekati nol untuk n menuju tak hingga n , maka limit dari Persamaan 4.8 adalah:
43
lim an lim 1 1 2 1 2 n
n
lim bn lim n
n
n
1
2
n
b0 1 2
1
n 1
n 1
c0 0
lim c0 lim 0 0 n
n
Sehingga diperoleh:
an 1 bn 0
cn 0
4.4
Analisis Numerik Untuk Persamaan (4.8) dapat diilustrasikan untuk n 1, 2,..., 20 , maka
genotip gen resesif pada warisan autosomal pada generasi ke-n dapat dilihat pada Tabel 4.6 dan Gambar 4.1. Tabel 4.6. Hasil Ilustrasi genotip an , bn , dan cn untuk n 1, 2,..., 20 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Genotip an bn -0,50000 -0,50000 0,25000 -0,25000 0,62500 -0,12500 0,81250 -0,06250 0,90625 -0,03125 0,95313 -0,01563 0,97656 -0,00781 0,98828 -0,00391 0,99414 -0,00195 0,99707 -0,00098
cn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
an 0,99854 0,99927 0,99963 0,99982 0,99991 0,99995 0,99998 0,99999 0,99999 1,00000
Genotip bn -0,00049 -0,00024 -0,00012 -0,00006 -0,00003 -0,00002 -0,00001 0,00000 0,00000 0,00000
cn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
44
Pada Tabel (4.6) dan Gambar (4.1) menunjukan bahwa untuk Persamaan (4.8) jika didekati dengan n 1, 2,..., 20 , untuk an akan menuju nilai satu dalam hal ini untuk keturunan sampai ke-n akan bergenotip AA (normal). Untuk bn akan menuju nilai nol dalam hal ini untuk keturunan sampai ke-n tidak akan menghasilkan genotip Aa (heterozigot), sedangkan untuk cn akan menuju nilai nol dalam hal ini untuk keturunan sampai ke-n tidak akan menghasilkan genotip aa (resesif).
Gambar 4.1. Grafik hasil Ilustrasi genotip an , bn , dan cn .
Jadi, dapat ditarik kesimpulan bahwa pewarisan gen tunggal khususnya gen resesif pada autosom untuk n menuju tak hingga, maka turunan pada generasi
ke-n adalah semuanya bergenotip AA. Dalam hal ini, dari hasil persilangan kedua orang tua yaitu ayah (normal) dan ibu (pembawa sifat sakit) untuk keturunan ke-n akan menghasilkan turunan yang bergenotip normal atau turunan dari kedua induknya tidak membawa genotip resesif (pembawa sifat sakit).
45
BAB V KESIMPULAN
4.1
Kesimpulan Dari pembahasan diatas, maka pengguanan matriks dalam menentukan
pewarisan gen tunggal khususnya pada gen resesif dapat disimpulkan sebagai berikut: 1.
Dalam
menentukan
pewarisan
sifat
pada
generasi
ke-n,
dapat
mengaplikasikan teori-teori tentang matriks yaitu penjumlahan matriks, invers matriks, nilai eigen dan vektor eigen, diagonalisasi matriks, serta limit fungsi untuk mengetahui generasi ke-n. 2.
Pewarisan gen tunggal khususnya pada gen resesif pada autosom untuk n menuju tak hingga, maka turunan pada generasi ke-n adalah semuanya bergenotip AA. Dalam hal ini, dari hasil persilangan kedua orang tua yaitu ayah (normal) dan ibu (pembawa sifat sakit) untuk keturunan ke-n akan menghasilkan turunan yang bergenotip normal atau turunan dari kedua induknya tidak membawa genotip resesif (pembawa sifat sakit).
4.2
Saran Dalam penelitian ini, membahas tentang pewarisan saifat pada gen resesif
pada autosom hanya mengambil dua sifat bawaan dari kedua induknya. Untuk penelitian selanjutnya dapat dilakukan untuk perkawinan tiga sifat misalnya pada perkawinan pria penderita dengan wanita penderita heterozogot.
46
DAFTAR PUSTAKA Anton, H. 2012. Dasar-dasar Aljabar Linear. Edisi 2. Binarupa Aksara.
Tanggerang Selatan:
Anton, H. dkk. 1991. Aljabar Linier Elementer. Edisi ketiga. Jakarta: Erlangga. Anton, H dan Rorres, C. 2004. Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi Edisi Kedelapan/ Jilid 1.Jakarta: Erlangga. Astari, R. W., 2007. Aplikasi Peluang Diskrit Dan Pohon Dalam Analisis Pewarisan Gen Tunggal. Intitut Teknologi Bandung:Bandung. Bain, Lee. 1991. Introduntion to Probability and Mathematical Statistic Edisis kedua. USA: Duxbury. Cullen, C, G. 1993. Aljabar Linear dengan Penerapannya. Terjemahan: Bambang Sumantri. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. Gere, J,M dan Weaver, W, Jr. 1987. Aljabar Matriks Untuk Para Insinyur. Terjemahan: G. Tejosutikno. Jakarta: Erlangga. Leon, Steven J. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Terjemahan: G. Tejosutikno. Jakarta: Erlangga. Mumu, J. 2013. Pewarisan Autosomal dengan Model Diagonalizable Matrix. AUNIPA Manokwari Papua: Papua. Nugroho, D.B. 2009. Diktat Kuliah (4 sks) MX 113 (MT 302): ALJABAR LINEAR. Salatiga: Universitas Kristen Satya Wacana. Purcell, E.J. & Varberg, D. 1999. Kalkulus Dan Geometri Analitis Edisi keempat./Jilid 1. Terjemahan: Nyoman Susila. Jakarta: Erlangga. Surya. 1984. Genetika Strata I. Yogyakarta: Gajah Mada University Press. Surya. 1991. Genetika Manusia. Yogyakarta: Gajah Mada University Press. Welsh, James R, dkk.1991. Dasar-dasar Genetika dan Pemuliaan Tanaman. Jakarta: Erlangga.
47
