Analýza signálů technikou Waveletů
Piechota, Hynek1 1
Ing., Katedra ATŘ-352, VŠB-TU Ostrava, 17. listopadu, Ostrava - Poruba, 708 33
[email protected], http://www.fs.vsb.cz
1 Abstrakt Teorie analýzy signálů představuje účinný prostředek ke zkoumání vlastností reálných systémů, protože signály zprostředkovaně obsahují informace o technickém stavu zařízení. Metod pro vyhodnocení těchto signálů je velké množství. Tento příspěvek se zaměřuje na metody analýzy signálů vycházející z transformace wavelet, které se uplatňují v případech, kdy nevystačíme s výsledky frekvenční analýzy signálů, ale potřebujeme frekvenční analýzu provádět i v závislosti na čase. Jsou převážně vhodné pro zkoumání neperiodických tj. nestacionárních signálů. Přitom jde o analýzu signálů či dvojrozměrných obrazů, jejich syntézu, kompresi a filtraci včetně odstraňování šumů ze signálů.
2 Transformace wavelet Transformace wavelet (dále WT) patří mezi časově frekvenční transformace. Spojitá wavelet transformace je definována rovnicí (1). Signál je při této transformaci rozložen do sady funkcí, tzv. waveletů. C (τ , s ) =
∞
ò f (t )ψ (τ , s, t )dt
(1)
−∞
τ
časové posunutí
s ψ (τ , s, t ) f (t )
měřítko
C (τ , s )
wavelet analyzovaný signál koeficienty transformace wavelet
Výpočet této transformace lze zjednodušeně popsat ve čtyřech krocích: 1.
Vybere se vhodný wavelet a nastaví se jako mateční.
2.
Wavelet se porovná s analyzovaným signálem. Vypočítá se koeficient waveletu (koeficient shody). Čím je koeficient větší, tím je větší shoda waveletu (při daném posunutí a měřítku) se signálem.
3.
Wavelet se posune vzhledem k signálu (časové posunutí) a opakuje se krok 2. Krok 3 se provádí pro všechna časová posunutí.
4.
Změní se měřítko waveletu (dojde k roztažení waveletu) a opakují se kroky 2 a 3.
Opakování se provádí pro všechna měřítka. Výše uvedený postup je znázorněn na obr. 1, obrázky byly převzaty z [Misiti 1996]. Koeficienty WT pro všechny celočíselné hodnoty měřítka a polohy tvoří funkci, kterou lze znázornit graficky. Na obrázku obr. 4 jsou zobrazeny koeficienty WT pro sinusový signál s malou nespojitostí z obr. 2. Osa x
reprezentuje časové posunutí waveletu k signálu, osa y pak měřítko resp. frekvenci matečního waveletu a barva vyjadřuje hodnotu WT v každém bodě. Z obrázku 4 lze například jednoznačně určit čas výskytu nespojitosti, kterou bychom z FFT spektra nezjistili, viz obr. 3.
2. krok výpočtu
3. krok výpočtu
4. krok výpočtu
Obr. 1 Postup výpočtu transformace wavelet
nespojitost
Obr. 2 Sinusový signál s malou nespojitostí
Obr. 3 FFT spektrum
Obr. 4 Koeficienty WT
Vedle spojité transformace wavelet (CWT), která se provádí na diskrétním souboru dat pro všechny celočíselné hodnoty měřítka a polohy existuje i diskrétní WT (DWT), u které se používají tzv. hlavní měřítka (mocniny dvou). Vedle těchto dvou typů WT existuje i třetí nazývaná rychlá WT (FWT), u níž se používají pyramidové algoritmy výpočtu WT. Tyto algoritmy provádějí rozklad signálu na složky o nízké frekvenci označované Ah (approximations) a složky o vyšší frekvenci, označované Dh (details). Pro rozklad se využívají konvoluční funkce, které vytvářejí výstupní vektor dat poloviční délky původního vektoru. Rozklad si lze také znázornit jako použití filtru horní propust pro získání koeficientů Dh a filtru dolní propust pro získání koeficientů Ah , viz obr. 5. Tento rozklad se dále aplikuje na vektor Ah (můžeme si jej představit jako „vyhlazený“ signál S), čímž opět získáváme složky o nízké a vysoké frekvenci. Počet těchto rozkladů udává celočíselná hodnota h nazývaná hladina rozkladu. Rozklad signálu S na hladině rozkladu h=3 je zobrazen na obr. 6.
Obr. 5 Rozklad signálu
Obr. 6 Rozklad signálu pro h=3
Výpočet inverzní WT je proveden otočením procedury. Získání původního signálu z vypočtených koeficientů WT lze popsat rovnicí (2).
S = A1 + D1 = A2 + D2 + D1 = A3 + D3 + D2 + D1
(2)
3 Detekce nespojitostí Oproti Fourierově transformaci umožňuje Wavelet transformace přesně detekovat okamžik změny v nespojitém signálu, je tedy vhodná pro případy, kdy nevystačíme s výsledky kmitočtové analýzy signálů, ale potřebujeme frekvenční analýzu provádět i v závislosti na čase. Na obrázcích obr. 2 až obr. 4 byla již v kapitole 2 ukázána možnost detekce nespojitosti pomocí vypočtených koeficientů WT. Detekci okamžiku nespojitosti můžeme detekovat také pomocí rozkladu signálu do složek ah a d h , podle příslušného algoritmu FWT. Obrázek obr. 7 ukazuje detekci okamžiku změny v nespojitém signálu. Pro analýzu signálu s byl použit wavelet db5 na hladině rozkladu h = 5 . Na obrázku je znázorněn rozklad do nízkofrekvenční složky a5 a složek vyšších frekvencí d1 až d5. Protože nespojitost obsahuje vyšší frekvenční složky, ukazuje složka d1 nejpřesněji nespojitost v signálu a to s dostatečnou přesností. Jak již bylo zmíněno dříve, pomocí Fourierovy analýzy by nebylo možné detekovat nespojitost u podobných signálů.
Obr. 7 Detekce nespojitosti v signálu
4 Filtrace a odstraňování šumu signálu Další výraznou vlastností wavelet transformace je možnost filtrace a odstranění šumu ze signálů. Šum je náhodný signál, který souvisí s chybou měření a vyhodnocování, jako je například šum A/D převodníku a zaokrouhlovací šum aritmetických operací, nebo dalšími zcela náhodnými jevy. Jeho odstranění je vhodné zejména z důvodu snížení množství dat potřebných k vyhodnocení, protože šum nenese informaci o chování a vlastnostech měřené soustavy. Odstraňování šumu bylo provedeno na záznamu vibrací převodového agregátu a to pro čtvrtý rychlostní stupeň s převodovým poměrem hnací/hnané 40/39. V záznamech se objevuje odezva záběru nejen zmíněného ozubeného kola s 40 zuby, ale také odezvy záběru dalších ozubených kol převodovky a šum měření.
Jak lze pomocí wavelet transformace odstranit ze signálu šum, ukazuje obr. 8. K analýze byl využit wavelet db3 (wavelet třídy Daubechies se třemi koeficienty) na hladině rozkladu h = 6.
Obr. 8 Odstraňování šumu ze signálu
Postup odstranění šumu ze signálu: •≡ vybere se vhodný matečný wavelet a hladina rozkladu h •≡ vypočítá se rozklad signálu na hladinách 0 až h – 1 •≡ pro hladiny detailů d1 až dh se stanoví práh omezení a aplikuje se proces odstranění podprahových hodnot detailních koeficientů •≡ provede se zpětná rekonstrukce, která je založena na použití původních aproximovaných koeficientů hladiny h a modifikovaných detailních koeficientů z hladin 0 až h – 1 signálu.
Na obr. 9 je zobrazen originální signál a signál bez šumu z obr. 8 ve zvětšeném měřítku. Z tohoto obrázku lze rozeznat, že došlo k odstranění vysokofrekvenčních složek, šumu.
Obr. 9 Originální signál (plná čára) a signál bez šumu (tečkovaná čára)
5 Závěr V příspěvku byly předvedeny možnosti využití Wavelet transformace ke zpracování signálů. Tato metoda je převážně vhodná pro zkoumání neperiodických tj. nestacionárních signálů. Přitom jde o analýzu signálů či dvojrozměrných obrazů, jejich syntézu, kompresi a filtraci včetně odstraňování šumů ze signálů. Wavelet transformace má dobré rozlišení jak pro vysokofrekvenční, tak i nízkofrekvenční části signálu. Svým určením je podobná Fourierově transformaci, která je však vhodnější pro periodické signály. Wavelet transformaci je vhodné aplikovat například při hledání bodu zlomu, nespojitosti či trendu signálu, který vykazuje jen malé změny. Oproti Fourierově transformaci umožňuje Wavelet transformace přesně detekovat okamžik změny trendu, popřípadě jeho časové derivace v nespojitém signálu, je tedy vhodná pro případy, kdy nevystačíme s výsledky kmitočtové analýzy signálů, ale potřebujeme frekvenční analýzu provádět i v závislosti na čase.
6 Literatura BURRUS, C. S., GOPINATH, R. A. & GUO, H. 1998. Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms: A Primer. Prentice Hall, 1998. 268 s. ISBN 0-13-489600-9. MISITI, M., MISITI, Y., OPPENHEIM, G. & POGGI, J-M. 1996. Wavelet Toolbox User’s Guide. The Math Works, Inc. 1996. 604 s. NEWLAND, D. E. 1994. An Introduction to Random Vibrations, Spectral & Wavelet Analysis. 3rd ed. Longman Scientific & Technical, 1994. 477 s. ISBN 0-582-21584-6. SMUTNÝ, J. 1998. Transformace wavelet a její využití při zpracování signálů. Automatizace, 1998, č. 10, s. 663-668. ISSN 0005-125X TŮMA, J. 1997. Zpracování signálů získaných z mechanických systémů užitím FFT. 1. vyd. Praha : Sdělovací technika, 1997. 174 s. ISBN 80-901936-1-7.
