Analytische en andere soorten meetkunde van Mavo tot Maple Utrecht, 9 januari 2016 Wintersymposium KWG Jeroen Spandaw
[email protected]
Puzzel mavo 3
Puzzel mavo 3
Puzzel mavo 3 • Veronderstel: – zijde 1 – rechte hoeken – enzovoorts
• Relaties tussen x en y • Geven x = 2/3. • Analytische meetkunde zonder coördinaten!
Dudeney • Puzzel van 4 stukjes, • waarmee je een vierkant kunt leggen • en een gelijkzijdige driehoek. • Construeer!
Synthetisch versus Analytisch • Synthetisch: – samenvoegen – opbouw van start (gegevens) tot finish (conclusie) – axiomatisch
• Analytisch: – – – – –
uit elkaar halen van finish (conclusie) naar start (gegevens) coördinaten, vectoren algebraïsche (!) & analytische methoden (= limieten) R2, R3 en deelverzamelingen (bollen, torus, wilder)
Samenvatting • Synthetische oplossingen kunnen – mooi zijn – inzicht geven – lastig te vinden zijn
• Maar het tegendeel kan ook • Voor analytische oplossingen
Samenvatting • Synthetische oplossingen kunnen – mooi zijn – inzicht geven – lastig te vinden zijn
• Maar het tegendeel kan ook • Voor analytische oplossingen geldt hetzelfde. • Wees dus niet dogmatisch en geniet van alle soorten mooie wiskunde!
Maar ik moet wel toegeven dat • coördinatenmeetkunde flexibeler en daarom belangrijker is dan axiomatische meetkunde. • coördinatenmeetkunde heeft geleid tot: – differentiaalmeetkunde & relativiteitstheorie – algebraïsche meetkunde (verband met algebra) – analytische meetkunde (verbanden met analyse) – arithmetische meetkunde (verband met getaltheorie)
Rode Draad: Stelling van Pythagoras
• Gegeven: Rechthoekige driehoek in R2 • Lengtes zijden a, b, c ; c tegenover rechte hoek • Dan: a2 + b2 = c2
Euclides
Pythagoras volgens Euclides • • • •
Vierkanten op zijden Oppervlakten A, B, C C tegenover rechte hoek Dan: A + B = C.
Bewijs volgens Euclides • Hoogtelijn op zijde c deelt vierkant op c in twee rechthoeken. • Deze rechthoeken hebben oppervlakte A en B. • Gevolg: A + B = C.
Bewijs volgens Euclides • Bewijzen alleen de linkerkant, want rechts analoog.
Bewijs volgens Euclides • Bewijzen alleen de linkerkant, want rechts analoog. • Beide rechthoeken halveren door diagonaal • Voldoende te bewijzen: Rode driehoeken hebben gelijke oppervlakte.
Tussenstap 1 • Rode driehoek ACP heeft dezelfde oppervlakte als • blauwe driehoek ABP, • want BC // AP.
Tussenstap 2 • Rode driehoek ABP congruent met • blauwe driehoek AQC • wegens ZHZ. • Dus hebben ABP en AQC dezelfde oppervlakte.
Bewijs volgens Euclides • Rode driehoek ACQ heeft dezelfde oppervlakte als • blauwe driehoek ARQ, • want CR // AQ.
Bewijs volgens Euclides • Dus hebben de rode driehoeken inderdaad dezelfde oppervlakte
Bewijs volgens Euclides • Dus hebben de rode rechthoeken inderdaad dezelfde oppervlakte. • Q.E.D.
Terugblik Waar werd in dit bewijs gebruikt: 1) vierkant op b? 2) vierkant op c? 3) hoogtelijn op zijde c? 4) rechte hoek in C?
Legpuzzelbewijs van Pythagoras
Legpuzzelbewijs van Pythagoras • Waarom deed Euclides het niet zo? • Gemakkelijk te begrijpen zonder algebra! • Hoe kunnen leerlingen Pythagoras zelf ontdekken?
Brugklassers ontdekken Pythagoras • Scheef vierkant op ruitjespapier • Hoekpunten op rooster • Bereken de oppervlakte • Ze konden het allemaal! • Pythagoras = methode voor oppervlaktebepaling • Generaliseerbaar! • Rekenen → algebra
Stellingen 1) Analytische meetkunde kan mooie, betekenisvolle problemen opleveren in algebra, analyse & goniometrie. 2) Probleemoplossen overstijgt meetkunde: – strategie (keuze, vergelijk & mix van methoden) – controle, verificatie & interpretatie (goede spoor? speciale gevallen, symmetrie, dimensieanalyse, …)
Pythagoras in coördinaten • Afstand tussen (x1, y1) en (x2, y2) is per definitie gelijk aan (∆𝑥𝑥)2 +(∆𝑦𝑦)2 • Dus Pythagoras (over lengtes van zijden van rechthoekige driehoek) geldt vrijwel per definitie in R2. • Verdacht eenvoudig…
Verdienste synthetisch bewijs • Pythagoras volgt uit verzameling ‘redelijke’ meetkundige axioma’s • ‘Redelijk’: ze lijken “vlakke werkelijkheid” te modelleren. • Standaardmodel waarin al deze axioma’s gelden is R2 met standaarddefinities van ‘punt’, ‘lijn’, ‘ordening van 3 punten op een lijn’, ‘congruentie van lijnstukken’ en ‘congruentie van hoeken’.
Welke axioma’s voor Pythagoras? • Bron: Euclid and Beyond, Robin Hartshorne • Axioma’s voor Pythagoras: – 4 axioma’s over lijnen en punten (inclusief P.P.) – 4 axioma’s over ordening van punten op lijnen – 3 axioma’s over congruentie van lijnstukken – 3 axioma’s over congruentie van hoeken (waaronder het ZHZ-criterium!)
• Veel axioma’s: 4 + 4 + 3 + 3 = 14 stuks!
Welke axioma’s voor R2? • 14 axioma’s + volledigheidsaxioma van Dedekind karakteriseren R2 : • R2 met standaarddefinities is het enige vlak dat aan al die 15 axioma’s voldoet. • Dan geen wiskundig verschil tussen axiomatische meetkunde en meetkunde in R2, • maar wel een psychologisch verschil!
Welke structuur heeft R2?
Alleen begrip ‘afstand’ is nodig. Opgave: Alle andere begrippen (lijn, ordening, hoek) zijn daarvan afgeleid.
Vectormeetkunde in R2 en R3 • • • •
Lengte gedefinieerd via Pythagoras: |(a1, a2, a3)|2 := a2 := a2 := a12 + a22 + a32 Handig: dit uitbreiden naar inproduct (a1, a2, a3) ⋅ (b1, b2, b3) := a1b1 + a2b2 + a3b3 want dan heb je meteen ook hoeken: cos(∠(a, b)) := a ⋅ b / (a⋅b)
• Opgave: Deze definitie compatibel met onderbouwdefinitie van cosinus (SOLCALTOA)
Toepassing: Cosinusregel • • • • • • •
cos(γ) = a⋅ b / (a⋅ b) a=b+c c2 = (a – b) ⋅ (a – b) c2 = a2 – 2 a ⋅ b + b2 c2 = a2 – 2ab cos(γ) + b2 Speciaal geval: γ = 90° Pythagoras!
Vectormeetkunde zonder inproduct • • • •
Affiene meetkunde = vectoren zonder inproduct Dus geen begrip ‘lengte’ en geen ‘hoek’ Dus ook niet: ‘rechthoek’, ‘ruit’, ‘cirkel’ Maar wel: – ‘parallel’, ‘parallellogram’, ‘trapezium’ – ‘midden van lijnstuk’ – ‘verhouding van lengtes van parallelle lijnstukken’ – ‘verhouding van oppervlakten’
Toepassing: Zwaartepunt • Noem positievectoren van hoekpunten a, b, c • Positievector van midden M van AB is m = ½ (a + b)
Toepassing: Zwaartepunt • Noem positievectoren van hoekpunten a, b, c • Positievector van midden M van AB is m = ½ (a + b) • Neem Z op CM zodat CZ : ZM = 2 : 1. • Positievector van Z is z = (2/3)m + (1/3)c • z = (a + b + c) / 3.
Toepassing: Zwaartepunt • z = (a + b + c) / 3 • is symmetrisch in a, b, c • Dus Z ligt ook op zwaartelijnen door A en B • en verhoudingen 2 : 1. • Q.E.D.
2 affiene Sangaku’s
Meetkunde op boloppervlak
Pythagoras op de bol? • Pythagoras geldt niet op de bol! • Opgaven: – Geef een tegenvoorbeeld – Wat gaat fout in Euclides’ bewijs? – Wat gaat fout in legpuzzelbewijs? – Wat gaat fout in volgende bewijs?
Schalingsbewijs Pythagoras • • • •
A + B = C en A : B : C = a2 : b2 : c2, dus a2 + b2 = c2. Waar gaat dit bewijs fout op de bol?
Toegift: Sangaku • a2 + b2 = c2.
Oplossing met Pythagoras? Gegeven: • a22 + b22 = 1 • a2 + b12 = 1 • a12 + b2 = 1 Te bewijzen: • ab1 + a1b = a2b2 . Kunt u dat zonder Maple? Mijn bewijs in Appendix 1
Veel plezier!
Appendix 1 Bewijs: (1 – a22 – b22) ⋅ (a1b1 + ab) + (a2 + b12 – 1) ⋅ (a2b – a1b2) + (a12 + b2 – 1) ⋅ (ab2 – a2b1) = ab1 + a1b – a2b2. Dus: Als 1 = a22 + b22 = a2 + b12 = a12 + b2, dan ab1 + a1b = a2b2. Q.E.D.
Appendix 2 • Gedachtenexperiment over constructie in Geogebra geeft: • Alles is uit te drukken in ϕ! • Bij zijde 1 heeft onderste driehoek oppervlakte ½ sin(ϕ)cos(ϕ) = ¼ sin(2ϕ) • Andere blauwe driehoek heeft opp. ¼ sin(2ϕ + 120°) • Rode driehoek heeft opp. ¼ sin(120° – 2ϕ)
Appendix 2 • • • • •
Dus te bewijzen: sin(2ϕ) + sin(2ϕ + 120°) = sin(120° – 2ϕ) Symmetrischer: sin(2ϕ) + sin(2ϕ + 120°) + sin(2ϕ – 120°) = 0 Symmetrie vectorsom in Q.E.D.
• Bonus: Analoge formules voor 360°/n ; ook voor cos.
