ANALISIS SENSITIVITAS DAN KETIDAKPASTIAN DALAM PROGRAM LINIER

ANALISIS SENSITIVITAS DAN KETIDAKPASTIAN DALAM PROGRAM LINIER

TESIS

Oleh

SAPRIDA MONTARIA 077021073/MT

SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009

Saprida Montaria : Analisis Sensitivitas Dan Ketidakpastian Dalam Program Linier, 2009.

ANALISIS SENSITIVITAS DAN KETIDAKPASTIAN DALAM PROGRAM LINIER

TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara

Oleh

SAPRIDA MONTARIA 077021073/MT

SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009


Judul Tesis

: ANALISIS SENSITIVITAS DAN KETIDAKPASTIAN DALAM PROGRAM LINIER Nama Mahasiswa : Saprida Montaria Nomor Pokok : 077021073 Program Studi : Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) Ketua

(Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc) Anggota

Ketua Program Studi,

Direktur,

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa. B,M.Sc)

Tanggal lulus: 29 Mei 2009


Telah diuji pada Tanggal 29 Mei 2009

PANITIA PENGUJI TESIS Ketua

: Prof. Dr. Herman Mawengkang

Anggota

: 1. Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc 2. Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si 3. Drs. Marwan Harahap, M.Eng


ABSTRAK Program Linier (PL) merupakan salah satu alat analisis dalam operasi riset dan menajemen.Secara praktis model program selalu didasarkan pada data numerik yang merepresentasikan pendekatan kasar dari kuantitas yang sulit diestimasi. Oleh karena itu, kebanyakan kajian yang berbasis PL mengikutsertakan pemeriksaan post-optimalitas tentang bagaimana perubahan data dapat mengubah penyelesaian optimal yang telah diperoleh. Banyak para peneliti yang membahas tentang analisis sensitivitas dan telah banyak pula paket sofware yang dapat menyelesaikan PL mencakup hasil analisa yang demikian merupakan bagian dari laporan output baku. Analisis sensitivitas mempunyai kelemahan yang bertolak belakang dengan kebijaksanaan konvensional.tesis ini mengajukan model alternatif mengatasi kelemahan ini. Kata kunci : Philosofi Model; Programming; Stokhastik

i Saprida Montaria : Analisis Sensitivitas Dan Ketidakpastian Dalam Program Linier, 2009.

ABSTRACT Linear programming (LP) is one of the great successes to emerge from operations research and management science. It is well developed and widely used. LP problems in practice are often based on numerical data that represent rough approximations of quantities that are inherently difficult to estimate. Because of this, most LP-based studies include a postoptimality investigation of how a change in the data changes the solution. Researchers routinely undertake this type of sensitivity analysis (SA), and most commercial packages for solving linear programs include the results of such an analysis as part of the standard output report. SA has shortcoming that run contrary to conventional wisdom. Alternate models address these shortcomings. Keywords : Philosophy of modeling; Programming; Stochastic

ii Saprida Montaria : Analisis Sensitivitas Dan Ketidakpastian Dalam Program Linier, 2009.

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas anugerahNya dan berkatNya penulis dapat menyelesaikan penulisan tesis ini, yang berjudul ”ANALISIS SENSITIVITAS DAN KETIDAKPASTIAN DALAM PROGRAM LINIER”. Tesis Ini merupakan tugas akhir pada Sekolah Pascasarjana Program Studi Magister Matematika, Universitas Sumatera Utara. Dalam menyelesaikan pendidikan di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara ini, penulis banyak mendapatkan dukungan dari berbagai pihak, maka pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada: Kepala Bappeda Propinsi Sumatera Utara beserta stafnya yang telah memberikan beasiswa kepada penulis. Kepala Dinas Pendidikan Kota Medan yang telah memberi izin mengikuti perkuliahan Sekolah Pascasarjana di Universitas Sumatera Utara. Prof. dr. Chairuddin P. Lubis, DTM&H, Sp, A(K), selaku Rektor Universitas Sumatera Utara. Prof. Dr. Ir. T. Chairun Nisa B, M.Sc selaku Direktur Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara beserta stafnya yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara.

iii Saprida Montaria : Analisis Sensitivitas Dan Ketidakpastian Dalam Program Linier, 2009.

Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku Ketua Program Studi Magister Matematika Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara dan juga sebagai Ketua Komisi Pembimbing pada penulisan tesis ini dan berkat dorongan dan bantuan beliau sehingga penulisan tesis ini dapat diselesaikan dengan baik. Dr. Saib Suwilo, MSc, selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika yang telah memberikan bantuan dan motivasinya selama perkuliahan sehingga penulis dapat menyelesaikan perkuliahan ini. Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, MIKom, selaku Anggota Komisi Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan petunjuk sehingga tesis ini dapat terselesaikan dengan baik. Prof. Dr. Iryanto, M.Si, selaku pembanding atas saran dan bantuannya untuk kesempurnaan penulisan tesis ini serta bimbingan selama perkuliahan berlangsung. Drs. Marwan Harahap, M.Eng, selaku pembanding atas saran dan bantuannya untuk kesempurnaan penulisan tesis ini serta bimbingan selama perkuliahan berlangsung. Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan ilmu pengetahuan kepada penulis selama perkuliahan hingga selesai. Seluruh Staf Administrasi SPs USU dan Ibu Misiani, S.Si yang telah memberikan bantuan dan pelayanan yang baik kepada penulis.

iv Saprida Montaria : Analisis Sensitivitas Dan Ketidakpastian Dalam Program Linier, 2009.

Seluruh rekan-rekan seperjuangan, mahasiswa angkatan ketiga tahun 2007 Program Educator yang telah bersama selama perkuliahan atas kerjasama, kebersamaan dan saling pengertiannya selama ini dalam mengatasi berbagai masalah yang dihadapai selama perkuliahan tanpa mengenal lelah sehingga tugas-tugas bersama dapat diselesaikan dengan baik. Drs. H. Paimin, selaku Kepala Sekolah SMA Negeri 19 Medan yang telah memberikan kesempatan dan dorongan kepada penulis hingga penulisan tesis ini selesai tepat waktu. Drs. B. Sukatendel selaku Kepala Sekolah SMA Dharma Bakti Medan yang telah banyak memberikan bantuan serta dorongan kepada penulis. Penulis menyampaikan terima kasih yang tak terhingga kepada Ayahanda tercinta (Alm) S. Barus dan Ibunda (Alm) K br. Depari ; mertua f (Alm) T. Ginting Suka dan R. Br. Sitepu. Abang S. Tarigan dan kakak R br. Barus dan semua kakak-kakak dan abang-abang penulis atas semua dorongan dan doanya. Secara khusus penulis menyampaikan terima kasih kepada suami tercinta Saturnus Gura Ginting, SE yang telah memberikan motivasi dan doa selama penulis mengikuti perkuliahan serta dalam penyelesaian tesis ini dan kepada Ananda tersayang Sansa Desmonius Gura Ginting, semoga dapat bertumbuh dan berkembang dengan sehat dan sempurna serta diberkati Tuhan dan kelak menjadi anak yang berguna.

v Saprida Montaria : Analisis Sensitivitas Dan Ketidakpastian Dalam Program Linier, 2009.

Kepada semua pihak yang telah turut membantu penulisan tesis ini baik langsung maupun tidak langsung yang penulis dapatkan selama ini. Semoga tesis ini bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak yang membutuhkannya.

Medan,

Juni 2009

Penulis,

Saprida Montaria

vi Saprida Montaria : Analisis Sensitivitas Dan Ketidakpastian Dalam Program Linier, 2009.

RIWAYAT HIDUP

Saprida Montaria dilahirkan di Selangge-langge pada tanggal 1 Maret 1971 dan merupakan anak ketujuh dari delapan bersaudara dari Ayah (Alm) S Barus dan Ibu (Alm) K. Br. Depari. Menamatkan Sekolah Dasar Negeri 060971 Kemenangan Tani Medan pada tahun 1983, Sekolah Menengah Pertama pada SMP Negeri 1 Pancur Batu pada tahun 1986, Sekolah Menengah Atas pada SMA Negeri Pancur Batu pada tahun 1989. Pada tahun 1989 memasuki Perguruan Tinggi FMIPA Matematika USU Medan dan memperoleh gelar sarjana pada tahun 1998. Pada tahun 2000 mengikuti perkuliahan Akta IV di Unimed Medan. Pada tahun 2006 diangkat sebagai Calon Pegawai Negeri Sipil di SMA Negeri 19 Medan. Pada tahun 2008 menikah dan dikanurnia seorang putra. Pada tahun 2007 mengikuti program studi Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara.

vi Saprida Montaria : Analisis Sensitivitas Dan Ketidakpastian Dalam Program Linier, 2009.

DAFTAR ISI Halaman ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

ABSTRACT

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4 Kontribusi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.5 Metodologi Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

BAB 3 LANDASAN TEORI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.1 Program Stokastik

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.2 Program Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.2.1 Karakteristik Pemrograman Linier . . . . . . . . . .

12

3.2.2 Formulasi Permasalahan . . . . . . . . . . . . . . .

14

3.2.3 Dualitas

19

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii


3.2.4 Metode Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.3 Analisis Sensitivitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.3.1 Analisis Sensitivitas: Reduced Cost dan Penentuan Kelayakan Penambahan Produk Baru . . . . . . . . . .

25

3.3.2 Analisis Sensitivitas: Rentang Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

BAB 4 ANALISIS SENSITIVITAS DAN KETIDAKPASTIAN DALAM PROGRAM LINIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

4.1 Contoh Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

4.2 Ketidakpastian dalam Data PL . . . . . . . . . . . . . .

32

4.3 Model PL dengan Ketidakpastian . . . . . . . . . . . . .

35

4.4 Ulasan Tentang Perumusan dan Penyelesaian Persoalan

. .

40

. . . . . . . . . . . . . . . . .

43

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

4.5 Fungsi Tujuan Alternatif

viii Saprida Montaria : Analisis Sensitivitas Dan Ketidakpastian Dalam Program Linier, 2009.

DAFTAR TABEL

Nomor

Judul

Halaman

4.1

Biaya dan Sumber yang Dibutuhkan Perusahaan Dakota . . . .

28

4.2

Gambaran Tiga Kemungkinan Skenario Permintaan Dakota . .

33

4.3

Skenario Permintaan Dakota Anggap Sesuai Pada Solusi Optimal

33

4.4

Perbedaan Solusi Optimal dari (P.1), (P.2) dan (P.3)

. . . . .

41

4.5

Tiga Alternatif yang Menghasilkan Laba Berbeda pada Skenario Permintaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

ix Saprida Montaria : Analisis Sensitivitas Dan Ketidakpastian Dalam Program Linier, 2009.

DAFTAR GAMBAR

Nomor

Judul

Halaman

4.1

Model yang Merepresentasikan Keputusan Secara Simultan . .

30

4.2

Permintaan yang Tidak Pasti dengan Tiga Ketepatan Waktu Informasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Permintaan Diketahui Sebelum Keputusan, Terdiri Dari Tiga Model Deterministik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

4.4

Permintaan Diketahui Setelah Akuisisi dan Produksi . . . . .

37

4.5

Permintaan Diketahui Setelah Sumber Dibutuhkan Tetapi Sebelum Tingkat Produksi Ditentukan . . . . . . . . . . . . .

39

4.3

x Saprida Montaria : Analisis Sensitivitas Dan Ketidakpastian Dalam Program Linier, 2009.

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Program Linier (PL) adalah salah satu alat analisis dalam menyelesaikan problem operasional riset. Para peneliti mengatasi berbagai problema penting melalui PL. PL telah diterima dan digunakan secara luas karena beberapa alasan: Pertama, diajarkan di banyak lingkungan pendidikan. Mahasiswa dalam bidang studi teknik, bisnis dan matematika mempelajari mata kuliah ini sampai tingkat tertentu. Selain itu, software bermutu tinggi telah tersedia untuk membantu peneliti dalam melaksanakan penelitian berbasis PL dalam membangun model, memecahkan masalah dan menganalisis output (Higle dan Wallace, 2003). Dalam menganalisis output, peneliti menggunakan analisis sensitivitas untuk mengkaji bagaimana perubahan data mungkin mengubah penyelesaian PL, misalnya bagaimana perubahan biaya produksi atau permintaan bisa mempengaruhi jadwal produksi. Karena perencanaan dalam skala yang besar, kerapkali mengandalkan pada jumlah data yang banyak dan mewakili estimasi yang terbaik, kemampuan untuk melaksanakan analisis sensitivitas. Dengan demikian, elemen data yang tidak pasti sering dianalisis menggunakan analisis sensitivitas untuk menyelesaikan kembali pengaruh ketidakpastian. Penggunaan analisis sensitivitas untuk menghilangkan kekhawatiran tentang ketidakpastian menarik perhatian pada isu yang jarang muncul pada perkembangan model PL (Winston, 1995).

1 Saprida Montaria : Analisis Sensitivitas Dan Ketidakpastian Dalam Program Linier, 2009.

2

Walaupun model PL kerapkali mencakup periode waktu, biasanya periode tersebut adalah waktu saat keputusan berlaku (misalnya, tingkat produksi di bulan tertentu). Model PL umumnya tidak mencerminkan waktu pada saat keputusan diambil. Model PL juga tidak membedakan antara apa yang akan diketahui, dan apa yang akan tetap pasti saat keputusan tersebut diambil. Ketiadaan pembedaan ini bersumber dari sejarah penggunaan PL yang pada pokoknya untuk pemecahan masalah deterministik. Akan tetapi, dalam perencanaan ketidakpastian, penting merefleksikan dengan tepat cara keputusan dan informasi. Biasanya, model PL tidak menawarkan refleksi demikian. Akibatnya, hasil-hasil analisis sensitivitas bisa menyesatkan. Adapun pengertian analisis sensitivitas merupakan analisa yang berkaitan dengan perubahan diskrit parameter untuk melihat berapa besar perubahan dapat ditolerir sebelum solusi optimal mulai kehilangan optimalitasnya. Jika suatu perubahan kecil dalam parameter menyebabkan perubahan drastis dalam solusi, dikatakan bahwa solusi adalah sangat sensitif terhadap nilai parameter itu. Sebaliknya, jika perubahan parameter tidak mempunyai pengaruh besar terhadap solusi dikatakan solusi relatif insensitif terhadap nilai parameter tersebut. Analisa yang berkaitan dengan perubahan struktural. Masalah ini muncul bila persoalan Program Linier dirumuskan kembali dengan menambahkan atau menghilangkan kendala dan atau variabel untuk menunjukkan operasi model alternatif. Perubahan struktural ini dapat dimasukkan dalam analisa sensitivitas. Sementara itu, analisis sensitivitas selain digunakan untuk pengujian/ pengecekan, analisis ini lebih bermanfaat untuk menghindari pengulangan perhitungan dari awal, apabila terjadi perubahan-perubahan pada masalah PL Simplex. Pe-


3

rubahan yang dimaksud misalnya:

a. Perubahan nilai koefisien dalam fungsi tujuan, misalkan karena tuntutan keadaan keuntungan yang diharapkan dari sepatu karet tidak lagi Rp 300.000,tapi menjadi Rp 500.000,-/unit, dst. b. Perubahan pada kapasitas maksimal mesin, misalkan karena mesin kedua diperbaiki, diganti oli-nya, dan disetup ulang, maka bila sebelumnya hanya bisa menyala 15 jam, saat ini mampu menyala hingga 16 jam.

Jika hal tersebut terjadi, fungsi tujuan dan batasan akan berubah, dan apabila dilakukan perhitungan lagi dari awal tentunya akan memakan waktu yang cukup lama, disamping risiko kesalahan hitung yang mungkin muncul. Oleh karena itu analisis sensitivitas diperlukan untuk segera mungkin mendapatkan hasil optimal yang baru dari perubahan-perubahan tersebut. Data yang dipergunakan dalam PL di asumsikan tetap, walaupun sebenarnya beberapa data adalah berubah-ubah sifatnya. Untuk itu perlu diketahui seberapa sensitif solusi optimal terhadap perubahan data. Analisis sensitivitas dilakukan dengan asumsi bahwa semua data yang digunakan adalah tetap kecuali satu data tertentu. Biasanya kasus yang menarik perhatian adalah:

a. Bagaimana sensitif solusi optimal terhadap perubahan data. b. Bagaimana sensitif nilai dari fungsi tujuan terhadap perubahan data pada kendala.


4

1.2 Perumusan Masalah Namun persoalan PL tidak selesai sampai di sini. Pada kebanyakan kasus pemodelan matematika, mendapatkan solusi optimal hanyalah merupakan titik awal. Karena suatu model adalah suatu abstraksi dari situasi dunia nyata, tentunya masih banyak hal-hal yang perlu dianalisis. Sebagai contoh, dalam suatu pemodelan disadari adanya ketidakpastian dari beberapa data yang digunakan. Namun di dalam model PL diasumsikan datanya pasti. Sehingga perlu diketahui bagaimana sensitipnya solusi optimal terhadap perubahan data. Akankah nilai dari fungsi tujuan berubah secara drastis atau kurang atau lebih tetap sama? Untuk menjawab pertanyaan tersebut perlu dilakukan analisis pasca optimal yang juga disebut sebagai analisis sensitivitas.

1.3 Tujuan Penelitian Adapun tujuan dalam penelitian ini adalah untuk melihat sensitipnya solusi optimal terhadap perubahan data dengan melakukan analisis pasca optimal/analisis sensitivitas, sehingga fungsi tujuan tidak berubah secara drastis atau kurang lebih tetap sama.

1.4 Kontribusi Adapun kontribusi dalam penelitian ini adalah dapat membantu peneliti atau pembuat keputusan untuk melihat sensitivnya solusi optimal terhadap perubahan data dengan melakukan analisis pasca optimal/analisis sensitivitas.


5

1.5 Metodologi Penelitian Penelitian ini bersifat literatur dan dilakukan dengan mengumpulkan informasi dari referensi beberapa buku dan jurnal. Adapun langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:

a. Menjelaskan tentang program stokastik b. Menjelaskan tentang program linier c. Selanjutnya menjelaskan analisis sensitivitas dengan ketidakpastian data dalam program linier d. Memberikan satu contoh kasus dan penyelesaiannya e. Dan pengambilan kesimpulan.


BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Wang (2008) menguji ketidakpastian diasosiasikan dengan pembangunan ulang simulasi transportasi untuk studi epidemiologi di Amerika. Untuk membangun analisis ketidakpastian yang efesien, analisis sensitivitas diperkenalkan untuk mengidentifikasi variabel kritis yang tidak pasti dan diadopsi dalam analisis ketidakpastian menggunakan Simulasi Monte Carlo yang dikembangkan. Eriksson (2007) menyatakan bahwa metode untuk analisis sensitivitas dan analisis ketidakpastian tidak dapat diharapkan untuk menjadi persis sama untuk semua model. Ditentukan analisis sensitivitas yang cocok dan metode analisis ketidakpastian untuk model emisi lalu lintas jalan, metode yang juga dapat diterapkan untuk model lain yang memiliki struktur serupa. Diperiksa bagian sumber emisi dan menyarankan model yang ampuh menghasilkan alat-data. Dengan data yang dihasilkan, dapat diperiksa properti di model, dan menyarankan metode analisis sensitivitas dan ketidakpastian dan mendiskusikan properti metode ini. Direpresentasikan hasil dari aplikasi metode untuk data yang dihasilkan. Higle (2005) menyatakan bahwa Program Stokastik (PS) merupakan pendekatan untuk model keputusan skala besar berdasarkan ketidakpastian. Dalam makalah ini, diperkenalkan model program stokastik dan metodologi pada tingkat yang dimaksudkan untuk dapat diakses lebar. Higle dan Wallace (2003) menyatakan bahwa Program Linier (PL) adalah salah satu alat analisis dalam menyelesaikan problema operasional riset. Para


7

peneliti mengalamatkan berbagai problema penting melalui PL. Problema PL secara praktek didasarkan pada data numerik yang direpresentasikan melalui perkiraan jumlah yang sulit untuk diestimasi. Oleh sebab itu PL menggunakan analisis pasca optimal yang juga disebut sebagai analisis sensitivitas. Wallace (1998) menyatakan bahwa analisis sensitivitas, dikombinasikan dengan parametris optimasi, sering disajikan sebagai cara untuk memeriksa jika solusi program linier deterministik dapat diandalkan bahkan jika beberapa parameter tidak sepenuhnya diketahui tetapi diganti dengan dugaan yang terbaik, sering disebut rata-rata sampel. Merupakan kebiasaan untuk mengklaim jika lebih dari wilayah tertentu yang merupakan dasar yang optimal adalah besar, satu cukup aman dengan menggunakan solusi dari PL. Jika tidak, yang analisis parametris akan memberikan alternatif solusi yang dapat diuji. Dengan cara ini, analisis sensitivitas digunakan untuk memudahkan pengambilan keputusan berdasarkan ketidakpastian dengan rata-rata alat deterministik, disebut program linier parametris. Ide dasar dari stabilitas dengan sedikit optimalitas dari masalah optimisasi dimana parameter tidak pasti. Analisis sensitivitas telah diaplikasikan untuk mengidentifikasi titik kontrol yang kritis, input parameter yang penting validitas model simulasi (Frey dan Patil, 2002). Pada jangkaun pengertiannya, analisis sensitivitas berada pada lokal dan global. Objektif analisis sensitivitas lokal digunakan untuk menganalisis sistem respon disekitar titik yang dipilih. Sedangkan objektif analisis sensitivitas global digunakan untuk menemukan semua titik kritis sistem (Ionescu-Bujor dan Cacuci, 2004).


8

Terdapat beberapa metode analisis sensitivitas yang terkenal yang dapat diaplikasikan pada problema teknik, diantaranya adalah metode Brute-Force dan prosedur adjoin analisis sensitivitas. Berdasarkan kasus yang berbeda, ketidakpastian dapat diletakkan pada dua kategori yaitu stokastik yang tak pasti dan subjek yang tak pasti. Stokastik yang tak pasti disebut juga intrinsik yang tak pasti yaitu properti dari sistem yang disebabkan oleh pola tingkah laku sistem yang beraneka ragam, sedangkan subjek yang tak pasti (informasi yang tak pasti) disebabkan oleh ketidakmampuan untuk menyediakan input data yang tepat (Helton dan Davis, 2002; Ionescu Bujor dan Cacuci, 2004). Banyak metode analisis ketidakpastian yang berhubungan dengan fungsi kepadatan peluang dan atau momen statistika dapat diturunkan secara analitik berdasarkan propertis statistika dari input parameter dan hubungan antara input dan output parameter. Sayangnya, aplikasi metode analitik mengedepankan masalah dunia nyata karena tingkat kebutuhan seperti hubungan fungsional yang sederhana dan kebebasan variabel stokastik (Tung dan Yen, 2005). Pada umumnya dua metode secara luas diaplikasikan untuk menaksir ketidakpastian yaitu simulasi monte carlo dan metode momen pertama dan kedua.


BAB 3 LANDASAN TEORI

3.1 Program Stokastik Banyak persoalan keputusan yang dapat dimodelkan dengan menggunakan program matematika yang bertujuan menentukan nilai maksimum atau minimum. Keputusan yang dihasilkan akan bergantung kepada kendala yang dibatasi oleh sumber dana, persyaratan minimum dan lain-lain. Keputusan yang dinyatakan oleh variabel dapat berupa bilangan cacah atau nonnegatif. Tujuan dan kendala adalah fungsi dari variabel, dan persoalan data. Sebagai contoh dari persoalan data termasuk biaya perunit, rata-rata produksi, penjualan atau kapasitas. Andaikan keputusan dinyatakan oleh variabel (x1, x2, . . . , xn ). Sebagai contoh xi menyatakan produksi ke-i dari n produk. Bentuk umum program matematikanya adalah: min f (x1 , x2, x3 , . . . , xn ) kendala g1 (x1 , x2, x3, . . . , xn ) ≤ 0 g2 (x1 , x2, x3, . . . , xn ) ≤ 0 .. .

(3.1)

gm (x1, x2 , x3, . . . , xn ) ≤ 0 x1 , x2, x3, . . . , xn ∈ X dimana X adalah himpunan bilangan real non negatif. Stokastik programming adalah sebuah nama yang menyatakan program matematika yang dapat berupa linear, cacah, cacah campuran, non linear tetapi de9 Saprida Montaria : Analisis Sensitivitas Dan Ketidakpastian Dalam Program Linier, 2009.

10

ngan menampilkan elemen stokastik pada data. Oleh karena itu dapat dinyatakan bahwa: a. Pada program matematika deterministik, data (koefisien) adalah bilanganbilangan yang diketahui (tertentu). b. Pada program stokastik, data (koefisien) merupakan bilangan yang tidak diketahui (tidak pasti) yang disajikan sebagai distribusi peluang. Program stokastik merupakan program matematika dengan situasi (yang mengandung) ketidakpastian. Program stokastik adalah merupakan program matematika, dimana beberapa data yang termuat pada tujuan atau kendala mengandung ketidakpastian, ketidakpastian biasanya dicirikan oleh distribusi peluang pada parameter. Walaupun ketidakpastian didefinisikan dengan tepat tetapi pada prakteknya diberikan beberapa skenario (hasil yang mungkin dari data) yang spesifik dan distribusi peluang gabungan yang cepat. Hasil-hasil secara umum digambarkan pada elemen w ∈ W . Ketika beberapa data acak, maka penyelesaian dan nilai tujuan optimal untuk masalah optimisasi juga acak. Ada dua tipe permasalahan program stokastik, yaitu: 1. Recourse Models (Model Rekursif) 2. Probabilistically Constrained Models (model Kendala Berpeluang) Suatu cara logis yang diperlukan dalam persoalan adalah membuat sebuah keputusan sekarang dan meminimumkan biaya rata-rata harapan (yang digunakan) sebagai konsekwensi dari keputusan. Paradigma ini dikenal sebagai model Recourse. Andaikan x adalah vektor keputusan yang diambil, dan y(w) adalah


11

sebuah vektor keputusan yang menyatakan aksi terbaru atau konsekwensi dari x. Himpunan berbeda yang berisi y akan dipilih dari tiap-tiap hasil yang mungkin dari w. Formulasi dua tahapnya adalah min f1 (x) + nilai harapan [f2(y(w), w)] kendala g1 (x) ≤ 0, . . . , gm (x) ≤ 0 h1 (x, y(w)) ≤ 0, untuk setiap w ∈ W .. .

(3.2)

hk (x, y(w)) ≤ 0, untuk setiap w ∈ W x ∈ X, y(w) ∈ Y Himpunan kendala h1, h2 , . . . , hk , menggambarkan hubungan antara keputusan tahap pertama x dan keputusan tahap kedua y(w). Di catat bahwa dipersyaratkan (diharuskan) tiap-tiap kendala dipenuhi dengan peluang 1, atau untuk setiap w ∈ W yang mungkin. Fungsi f2 merupakan penyelesaian yang sering muncul dari persoalan matematika. Tidak dibutuhkan untuk membuat korelasi yang berubahubah (recourse) untuk keputusan tahap pertama, perlu untuk dibuat korelasi yang terbaik. Model Recourse dapat diperluas dengan banyak cara. Untuk persoalan tahap ganda, pengaruh keputusan sekarang akan ditunggu untuk beberapa ketidakpastian yang diselesaikan kembali (direalisasikan), sehingga pembuatan keputusan yang lain didasarkan pada apa yang terjadi. Tujuannya adalah untuk meminimumkan biaya yang diharapkan dari semua keputusan yang diambil. Pada beberapa kasus, dapat digunakan suatu metode yang lebih tepat untuk mencoba menentukan sebuah keputusan, yang mana keputusan tersebut dijamin oleh himpunan kendala yang akan dipenuhi oleh sebuah peluang tertentu. Model


12

umum dengan kendala berpeluang disebut sebagai probabilistically constrained models yang dirumuskan sebagai berikut: min f (x1 , x2, x3 , . . . , xn ) kendala Pr[g1(x1 , x2, x3, . . . , xn ) ≤ 0 gm (x1, x2 , x3, . . . , xn ) ≤ 0 ≥ α (3.3) h1 (x1 , x2, x3, . . . , xn ) ≤ 0 h2 (x1 , x2, x3, . . . , xn ) ≤ 0 x1 , x2, x3, . . . , xn ∈ X

3.2 Program Linier Pemrograman Linier disingkat PL merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. PL banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, social dan lain-lain. PL berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier.

3.2.1 Karakteristik Pemrograman Linier Adapun karakteristik Pemograman Linier adalah sebagai berikut (Siringoringo, 2005): Sifat linearitas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara. Secara statistik, kita dapat memeriksa kelinearan menggunakan grafik (diagram pencar) ataupun menggunakan uji hipotesa. Secara teknis, linearitas di-


13

tunjukkan oleh adanya sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian fungsi tujuan dan pembatas. Sifat proporsional dipenuhi jika kontribusi setiap variabel pada fungsi tujuan atau penggunaan sumber daya yang membatasi proporsional terhadap level nilai variabel. Jika harga per unit produk misalnya adalah sama berapapun jumlah yang dibeli, maka sifat proporsional dipenuhi. Atau dengan kata lain, jika pembelian dalam jumlah besar mendapatkan diskon, maka sifat proporsional tidak dipenuhi. Jika penggunaan sumber daya per unitnya tergantung dari jumlah yang diproduksi, maka sifat proporsionalitas tidak dipenuhi. Sifat additivitas mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang diantara berbagai aktivitas, sehingga tidak akan ditemukan bentuk perkalian silang pada model. Sifat additivitas berlaku baik bagi fungsi tujuan maupun pembatas (kendala). Sifat additivitas dipenuhi jika fungsi tujuan merupakan penambahan langsung kontribusi masing-masing variabel keputusan. Untuk fungsi kendala, sifat additivitas dipenuhi jika nilai kanan merupakan total penggunaaan masing-masing variabel keputusan. Jika dua variabel keputusan misalnya merepresentasikan dua produk substitusi, dimana peningkatan volume penjualan salah satu produk akan mengurangi volume penjualan produk lainnya dalam pasar yang sama, maka sifat additivitas tidak terpenuhi. Sifat divisibilitas berarti unit aktivitas dapat dibagi ke dalam sembarang level fraksional, sehingga nilai variabel keputusan non integer dimungkinkan. Sifat kepastian menunjukkan bahwa semua parameter model berupa konstanta. Artinya koefisien fungsi tujuan maupun fungsi pembatas merupakan suatu nilai pasti, bukan merupakan nilai dengan peluang tertentu.


14

Keempat asumsi (sifat) ini dalam dunia nyata tidak selalu dapat dipenuhi. Untuk meyakinkan dipenuhinya keempat asumsi ini, dalam pemrograman linier diperlukan analisis sensitivitas terhadap solusi optimal yang diperoleh.

3.2.2 Formulasi Permasalahan Urutan pertama dalam penyelesaian adalah mempelajari sistem relevan dan mengembangkan pernyataan permasalahan yang dipertimbangakan dengan jelas. Penggambaran sistem dalam pernyataan ini termasuk pernyataan tujuan, sumber daya yang membatasi, alternatif keputusan yang mungkin (kegiatan atau aktivitas), batasan waktu pengambilan keputusan, hubungan antara bagian yang dipelajari dan bagian lain dalam perusahaan, dan lain-lain. Penetapan tujuan yang tepat merupakan aspek yang sangat penting dalam formulasi masalah. Untuk membentuk tujuan optimalisasi, diperlukan identifikasi anggota manajemen yang benar-benar akan melakukan pengambilan keputusan dan mendiskusikan pemikiran mereka tentang tujuan yang ingin dicapai. Tahap berikutnya yang harus dilakukan setelah memahami permasalahan optimasi adalah membuat model yang sesuai untuk analisis. Pendekatan konvensional riset operasional untuk pemodelan adalah membangun model matematik yang menggambarkan inti permasalahan. Kasus dari bentuk cerita diterjemahkan ke model matematik. Model matematik merupakan representasi kuantitatif tujuan dan sumber daya yang membatasi sebagai fungsi variabel keputusan. Model matematika permasalahan optimal terdiri dari dua bagian. Bagian pertama memodelkan tujuan optimasi. Model matematik tujuan selalu menggunakan bentuk


15

persamaan. Bentuk persamaan digunakan karena kita ingin mendapatkan solusi optimum pada satu titik. Fungsi tujuan yang akan dioptimalkan hanya satu. Bukan berarti bahwa permasalahan optimasi hanya dihadapkan pada satu tujuan. Tujuan dari suatu usaha bisa lebih dari satu. Tetapi pada bagian ini kita hanya akan tertarik dengan permasalahan optimal dengan satu tujuan. Bagian kedua merupakan model matematik yang merepresentasikan sumber daya yang membatasi. Fungsi pembatas bisa berbentuk persamaan (=) atau pertidaksamaan (≤ atau ≥). Fungsi pembatas disebut juga sebagai konstrain. Konstanta (baik sebagai koefisien maupun nilai kanan) dalam fungsi pembatas maupun pada tujuan dikatakan sebagai parameter model. Model matematika mempunyai beberapa keuntungan dibandingakan pendeskripsian permasalahan secara verbal. Salah satu keuntungan yang paling jelas adalah model matematik menggambarkan permasalahan secara lebih ringkas. Hal ini cenderung membuat struktur keseluruhan permasalahan lebih mudah dipahami, dan membantu mengungkapkan relasi sebab akibat penting. Model matematik juga memfasilitasi yang berhubungan dengan permasalahan dan keseluruhannya dan mempertimbangkan semua keterhubungannya secara simultan. Terakhir, model matematik membentuk jembatan ke penggunaan teknik matematik dan komputer kemampuan tinggi untuk menganalisis permasalahan. Di sisi lain, model matematik mempunyai kelemahan. Tidak semua karakteristik sistem dapat dengan mudah dimodelkan menggunakan fungsi matematik. Meskipun dapat dimodelkan dengan fungsi matematik, kadang-kadang penyelesaiannya sulit diperoleh karena kompleksitas fungsi dan teknik yang dibutuhkan.


16

Bentuk umum pemrograman linier adalah sebagai berikut: Fungsi tujuan: Maksimumkan atau minimumkan z = c1 x1 + c2 x2 + · · · + cn xn Sumber daya yang membatasi: a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = / ≤ / ≥ b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2n xn = / ≤ / ≥ b2 .. . am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = / ≤ / ≥ bm x1 , x2, · · · , xn ≥ 0 Simbol x1, x2 , . . . , xn menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel keputusan oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol c1 , c2 , . . . , cn merupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya. Simbol a11, . . . , a1n , . . . , amn merupakan penggunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematiknya. Simbol b1 , b2, . . . , bm menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas. Pertidaksamaan terakhir (x1 , x2, . . . , xn ≥ 0) menunjukkan batasan non negatif. Membuat model matematik dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan matematik tapi juga menuntut seni permodelan. Menggunakan seni akan membuat permodelan lebih mudah dan menarik. Kasus pemrograman linier sangat beragam. Dalam setiap kasus, hal yang penting adalah memahami setiap kasus dan memahami konsep permodelannya.


17

Meskipun fungsi tujuan misalnya hanya mempunyai kemungkinan bentuk maksimisasi atau minimisasi, keputusan untuk memilih salah satunya bukan pekerjaan mudah. Tujuan pada suatu kasus bisa menjadi batasan pada kasus yang lain. Harus hati-hati dalam menentukan tujuan, koefisien fungsi tujuan, batasan dan koefisien pada fungsi pembatas. Problema program linier melibatkan optimisasi dari fungsi objektif linier, dengan subjeknya adalah persamaan linier dan kendala merupakan pertidaksamaan. Program linier mencoba mendapatkan keluaran terbaik (contoh : memaksimumkan laba, mengurangi biaya, dan lain-lain) dengan memberikan beberapa daftar kendala (contoh : hanya bekerja 30 jam/minggu, tidak melakukan hal yang illegal, dan lain-lain), menggunakan model matematika linier. Program linier adalah problema yang dapat diekspresikan dalam bentuk kanonik: max imize cT x subject to Ax ≤ b where x ≥ 0 x direpresentasikan vektor variabel, c dan b adalah koefisien vektor dan A adalah koefisien matriks. Ekspresi untuk memaksimumkan atau meminimumkan disebut fungsi objektif (cT x). Persamaan Ax ≤ b adalah fungsi kendala yang khususnya polyhedral konvex yang fungsi objektifnya dioptimisasi. Program linier dapat diaplikasikan utnuk bermacam-macam field. Lebih diperluas, program linier digunakan dalam situasi bisnis dan ekonomi, tetapi dapat juga dimanfaatkan untuk beberapa masalah teknik. Beberapa industri menggunakan model program linier dalam transportasi, energi, telekomunikasi dan


18

manufaktur. Dan dibuktikan juga pada problema dalam perencanaan, rute, jadwal, tugas dan desain. Problema dari sistem penyelesaian persamaan linier muncul setelah eliminasi Fourier-Motzkin. Program linier muncul sebagai model matematika yang dibangun selama Perang dunia Ke-II untuk merencanakan pengeluaran dan pendapatan dalam mengurangi biaya untuk tentara dan meningkatkan kerugian dari musuh. Ini tetap menjadi rahasia sampai tahun 1947. setelah perang berakhir banyak industri menemukan dan menggunkannya dalam perencanaan mereka. Penemu dari program linier adalah George B. Dantzig yang memperkenalkan metode simplex tahun 1947, John Von Neumann yang membangun teori dualitas dan Leonid Kantorovich, matematika Rusia yang menggunakan teknik yang sama pada bidang ekonomi sebelum Dantzig dan memenangkan penghargaan Nobel tahun 1975 dalam bidang ekonomi. Problema program linier pertama kali dapat dipecahkan pada polynomial oleh Leonid Khachiyan pada tahun 1979 tetapi teori dan praktis yang paling luas pada field muncul tahun 1984 ketika Narendra Karmarkar memperkenalkan metode titik interior yang baru untuk menyelesaikan problema program linier. Contoh Dantzig dalam menemukan tugas terbaik dari 70 orang pada 70 pekerjaan menunjukkan kegunaan dari program linier. Kekuatan perhitung mengharuskan pengujian semua permutasi untuk memilih tugas yang terbaik; jumlah konfigurasi yang mungkin melebihi jumlah partikel diseluruh bidang; kemudian menemukan solusi optimum dengan mengajukan problem ini dan pengaplikasian algoritma simplex.


19

Program linier merupakan salah satu teknik operasi riset yang digunakan paling luas dan diketahui dengan baik. Problema khusus dari program seperti aliran jaringan (network flow) dan aliran multicomodity dianggap cukup penting untuk dibangun dan diteliti algoritma yang khusus untuk solusinya. Terdapat sejumlah algoritma untuk problema optimisasi dalam penyelesaian program linier diantaranya adalah dualitas, dekomposisi, convexity dan generalisasinya. Demikian juga program linier ini juga sangat sering digunakan dalam microekonomi dan manajemen bisnis, yaitu memaksimumkan pendapatan atau meminimumkan biaya dari produksi. Contoh lainnya pada manajemen persediaan, portfolio, manajemen keuangan, sumberdaya manusia, dan merencanakan iklan perusahaan.

3.2.3 Dualitas Setiap program linier disukai sebagai problema primial, dapat dikonversi ke dalam problema dual yang menyediakan batas atas nilai optimal dari problema primal. Dalam bentuk matriks dapat diekspresikan sebagai berikut: maximize cT x subject to Ax ≤ b, x ≥ 0 problema dual yang tepat adalah: minimize bT x subject to AT y ≥ c, y ≥ 0 dimana y digunakan sebagai pengganti variabel vektor. Terdapat dua ide mendasar untuk teori dualitas. Salah satunya adalah dual dari program linier dual semula adalah program linier primal. Penambahannya


20

adalah setiap solusi yang layak untuk program linier memberikan batas pada nilai optimal dari fungsi objektif dualitas. Kelemahan teorema dualitas bahwa nilai fungsi objektif dari dual pada solusi yang layak lebih baik atau sama dengan nilai fungsi objektif dari primal untuk solusi yang layak. Teorema dualitas yang kuat pada saat primal mempunyai solusi optimal x∗ maka dual juga mempunyai solusi optimal y ∗ sehingga cT x∗ − bT y ∗ Program linier dapat juga tidak terbatas dan tidak layak. Teori dualitas mengatakan bahwa jika primal tidak terbatas maka dual tidak layak. Demikian juga jika dual tidak terbatas maka primal harus tidak layak. Atau mungkin juga untuk keduanya dual dan primal tidak layak.

3.2.4 Metode Simplex Karena kesulitan menggambarkan grafik berdimensi banyak maka penyelesaian masalah program linier yang melibatkan lebih dari dua variabel menjadi tidak praktis atau tidak mungkin. Dalam keadaan ini kebutuhan metode solusi yang lebih umum menjadi nyata. Metode umum ini dikenal dengan nama Algoritma Simplex yang dirancang untuk menyelesaikan seluruh masalah program linier, baik yang melibatkan dua variabel maupun lebih dua variabel. Penyelesaian masalah program linier menggunakan metode simplex ini melalui perhitungan ulang (iteration) dimana langkah langkah perhitungan yang sama diulang berkali-kali sebelum solusi optimum dicapai.


21

Dalam penyelesaian masalah program linier dengan grafik, telah dinyatakan bahwa solusi optimum selalu terletak pada titik pojok ruang solusi. Metode simplex didasarkan pada gagasan ini, dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Dimulai pada suatu titik pojok yang layak, biasanya titik asal (yang disebut sebagai solusi awal). 2. Bergerak dari suatu titik pojok layak ke titik pojok yang lain yang berdekatan, pergerakan ini akan menghasilkan nilai fungsi tujuan yang lebih baik (meningkat untuk masalah maksimasi dan menurun untuk masalah minimasi). Jika solusi yang lebih baik telah diperoleh, prosedur simplex dengan sendirinya akan menghilangkan semua solusi-solusi lain yang kurang baik. 3. Proses ini dilakukan berulang-ulang sampai suatu solusi yang lebih baik tak dapat ditemukan. Proses simplex kemudian berhenti dan solusi optimum diperoleh.

Mengubah bentuk baku model program linier ke dalam bentuk tabel akan memudahkan proses perhitungan simplex. Langkah-langkah perhitungan dalam algoritma simplex adalah:

1. Berdasar pada bentuk baku, tentukan solusi awal, dengan menetapkan (nm) variabel nonbasis sama dengan nol. Dimana n jumlah variabel dan m banyaknya kendala. 2. Pilih sebuah entering variabel diantara yang sedang menjadi variabel nonbasis, yang jika dinaikkan di atas nol dapat memperbaiki nilai fungsi tujuan.


22

Jika tak ada, berhenti berarti solusi sudah optimal. Jika tidak dilanjutkan ke langkah 1. 3. Pilih sebuah leaving variabel diantara yang sedang menjadi variabel basis yang harus menjadi nonbasis (nilainya menjadi nol) ketika entering variabel menjadi variabel basis. 4. Tentukan solusi yang baru dengan membuat entering variabel dan leaving variabel menjadi nonbasis. Kembali ke langkah 2.

3.3 Analisis Sensitivitas Seorang analis jarang dapat menentukan parameter model Program Linier seperti (m, n, Cj , aij , bi ) dengan pasti karena nilai parameter ini adalah fungsi dari beberapa uncontrolable variable. Sementara itu solusi optimal model Program Linier didasarkan pada parameter tersebut. Akibatnya analis perlu mengamati pengaruh perubahan parameter tersebut terhadap solusi optimal. Analisa perubahan parameter dan pengaruhnya terhadap solusi Program Linier disebut analisis pasca optimal. Istilah post optimality menunjukkan bahwa analisa ini terjadi setelah diperoleh solusi optimal, dengan mengasumsikan seperangkat nilai parameter yang digunakan dalam model atau analisis pasca optimal (disebut juga analisis pasca optimal atau analisis setelah optimal, atau analisis kepekaan dalam suasana ketidaktahuan) merupakan suatu usaha untuk mempelajari nilai-nilai dari peubah-peubah pengambilan keputusan dalam suatu model matematika jika satu atau beberapa atau semua parameter model tersebut berubah atau menjelaskan pengaruh perubahan data terhadap penyelesaian optimal yang sudah ada.


23

Dapat diketahui bahwa dunia nyata yang diabstraksikan dan disimplifikasikan ke dalam model PL, tidak sederhana seperti rumusan PL sederhana tersebut. Oleh karena itu dalam dunia pengelolaan dan kehidupan dunia nyata, selalu dihadapkan pada pertanyaanpertanyaan keragu-raguaan seperti apa yang akan terjadi, jika ini dan itu berubah? Persoalan peluang dan ketidakpastiaan pertanyaanpertanyaan tersebut harus dapat dijawab dalam rangka meyakinkan pendirian terhadap sesuatu yang akan diputuskan kelak. Dengan demikian hasil yang diharapkan tersebut adalah hasil yang memang paling mungkin dan paling mendekati, atau perkiraan yang paling tepat. Uji kepekaan hasil dan pasca optimal (sebut saja selanjutnya analisis postoptimal) yang dapat memberikan jawaban terhadap persoalan-persoalan tersebut diatas. Analisis postoptimal sangat berhubungan erat dengan atau mendekati apa yang disebut Program Parametrikal atau Analisis Parametrisasi. Perubahan atau variasi dalam suatu persoalan Program Linier yang biasanya dipelajari melalui analisis pasca optimal dapat dipisahkan ke dalam tiga kelompok umum, yaitu:

1. Analisa yang berkaitan dengan perubahan diskrit parameter untuk melihat berapa besar perubahan dapat ditolerir sebelum solusi optimal mulai kehilangan optimalitasnya, ini dinamakan Analisis Sensitivitas. Jika suatu perubahan kecil dalam parameter menyebabkan perubahan drastis dalam solusi, dikatakan bahwa solusi adalah sangat sensitif terhadap nilai parameter itu. Sebaliknya, jika perubahan parameter tidak mempunyai pengaruh besar terhadap solusi dikatakan solusi relatif insensitif terhadap nilai parameter tersebut.


24

2. Analisa yang berkaitan dengan perubahan struktural. Masalah ini muncul bila persoalan Program Linier dirumuskan kembali dengan menambahkan atau menghilangkan kendala dan atau variabel untuk menunjukkan operasi model alternatif. Perubahan struktural ini dapat dimasukkan dalam analisa sensitivitas. 3. Analisa yang berkaitan dengan perubahan kontinu parameter untuk menentukan urutan solusi dasar yang menjadi optimal jika perubahan ditambah lebih jauh, ini dinamakan program Parametric.

Diketahui Model Matematika Persoalan Program Linier adalah sebagai berikut: Menentukan nilai dari X1 , X2 , . . . , Xn sedemikian rupa sehingga: Z = C1 X1 + C2X2 + · · · + Cj Xj + · · · + Cn Xn =

n X

Cj Xj

j=1

(Optimal [maksimum/minimum]) Yang kemudian disebut sebagai Fungsi Tujuan (Objective Function) dengan pembatasan (Funsi Kendala/Syarat Ikatan) : a11X1 + a12X2 + · · · + a1n Xn ≤ atau ≥ b1 a21X1 + a22X2 + · · · + a2n Xn ≤ atau ≥ b2 .. . am1X1 + am2X2 + · · · + amn Xn ≤ atau ≥ bm atau

n P

aij Xj ≤ atau ≥ untuk bi untuk i = 1, 2, . . . , n dan X1 ≥ 0, X2 ≥

j=1

0, ..., Xn ≥ 0atauXj ≥ 0, dimana j = 1, 2, . . . , n (syarat non-negatif). Berdasarkan Model Matematika Persoalan Program Linier di atas analisis sensitivitas dapat dikelompokkan berdasarkan perubahan-perubahan parameter:


25

a. Perubahan koefisien fungsi tujuan (Cj ), b. Perubahan Koefisien teknologi (aij ) (koefisien inpu-output), c. Perubahan Nilai-Sebelah-Kanan (NSK) fungsi kendala) (bi), d. Adanya tambahan fungsi kendala baru (perubahan nilai m), e. Adanya tambahan perubahan (variabel) pengambilan keputusan (Xj ) (perubahan nilai n).

Analisis sensitivitas berkaitan dengan perubahan koefisien fungsi tujuan terhadap solusi optimal. Analisis ini terbagi dua yaitu pertama reduced cost dan kelayakan penambahan produk baru, yang kedua menjelaskan tentang perubahan koefisien fungsi tujuan agar solusi masih tetap optimal.

3.3.1 Analisis Sensitivitas: Reduced Cost dan Penentuan Kelayakan Penambahan Produk Baru Reduced cost adalah besarnya perubahan nilai optimal fungsi tujuan jika produk yang mestinya tidak diproduksi (T ) tetap diproduksi. Variabel yang tidak berada pada kolom product mix pada tabel optimal, disebut non-basic variabel. Dengan demikian, T merupakan non-basic variable. Reduce cost adalah perubahan dalam nilai optimal fungsi tujuan karena penambahan 1 unit non-basic variabel. Reduced cost ini dapat dilihat pada baris Cj − Zj kolom non-basic variabel. Dalam memutuskan apakah akan menambah produk baru ataukah tidak, perusahaan harus mempertimbangkan faktor biaya dan keuntungan dari adanya penambahan produk baru tersebut. Jika keuntungan


26

> biaya, sebaiknnya rencana penambahan produk baru diteruskan, dan apabila keuntungan < biaya sebaiknya dibatalkan. Untuk penentuan kelayakan penambahan produk baru, jika perusahaan merencanakan untuk meluncurkan produk baru yang diproses dengan menggunakan mesin yang sudah ada, apakah produk tersebut layak untuk diproduksi? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita perlu mengevaluasi kelayakan produk tersebut dengan mempertimbangkan cost and benefit dengan adanya penambahan produk baru tersebut. Apabila benefit lebih besar daripada cost yang dikeluarkan, maka produk layak untuk diproduksi. Demikian jika terjadi sebaliknya, maka produk baru tidak diproduksi.

3.3.2 Analisis Sensitivitas: Rentang Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan Koefisien fungsi tujuan mungkin saja berubah terlebih untuk kasus maksimisasi profit, dimana koefisien fungsi tujuan mencerminkan besarnya keuntungan per unit produk. Sehingga jika terjadi kenaikan biaya, sementara tingkat harga tetap akan mengakibatkan keuntungan per unit turun. Dengan kata lain, koefisien fungsi tujuan turun. Sebaliknya apabila terjadi kenaikan harga, sementara biaya tetap, maka akan mengakibatkan keuntungan per unit naik. Ini berarti koefisien fungsi tujuan naik. Dalam analisis sensitivitas, perlakuan antara basic variabel dan non basic variabel berbeda. Untuk non-basic variabel batas maksimum yang diperkenankan agar solusi masih tetap optimal tercermin pada baris Zj kolom non-basic variabel pada tabel optimal.


27

Sedangkan untuk mengetahui rentang perubahan koefisien fungsi tujuan untuk basic variabel kita bagi angka-angka pada baris Cj − Zj dengan angka-angka pada baris basic variabel yang sedang kita analisa. Hasil bagi positif terkecil menunjukkankan besarnya keuntungan per unit yang boleh dinaikkan dan hasil bagi negatif terkecil menunjukkan besarnya keuntungan per unit yang boleh diturunkan tanpa merubah solusi optimal.


BAB 4 ANALISIS SENSITIVITAS DAN KETIDAKPASTIAN DALAM PROGRAM LINIER

4.1 Contoh Data Contoh berikut mengacu pada Winston (1995) sebagai berikut: Perusahaan furniture Dakota memproduksi meja tulis, meja dan kursi. Meja tulis dijual dengan harga $60, meja dijual dengan harga $40 dan kursi dijual seharga $10. Produksi masing-masing jenis perabotan membutuhkan kayu dan dua jenis tenaga kerja ahli yaitu pekerja kayu dan pekerja akhir (Tabel 4.1) sebagai berikut:

Tabel 4.1 Biaya dan Sumber yang Dibutuhkan Perusahaan Dakota

Dapat ditentukan berapa jumlah masing-masing barang yang diproduksi dengan sejumlah cara. Metode yang paling mudah adalah analisis laba per-item. Meja tulis diproduksi dengan biaya $42,40 dan dijual seharga $60, untuk laba bersih $17,60. Meja diproduksi dengan biaya $27,80 dan dijual seharga $40, untuk laba bersih $12,20, sehingga meja tulis dan meja yang menguntungkan. Tanpa adanya kehadiran kendala untuk ketersediaan sumberdaya supaya memaksimalkan 28 Saprida Montaria : Analisis Sensitivitas Dan Ketidakpastian Dalam Program Linier, 2009.

29

laba Dakota harus memproduksi item ini sebanyak yang bisa dijual (150 meja tulis dan 125 kursi). Dilain pihak, kursi diproduksi dengan biaya $10,60 dan dijual seharga $10,00, untuk laba bersih $0,60. Berdasarkan informasi yang diberikan, untuk memaksimalkan laba Dakota harus berhenti memproduksi kursi. Untuk memproduksi 150 meja tulis dan 125 meja, Dakota membutuhkan:

a. 1.950 kaki papan kayu, b. 487,5 jam tenaga kerja untuk pekerja kayu, c. 850 jam tenaga kerja untuk pekerja akhir, dan diantisipasi laba $4.165 dari penjualan 150 meja tulis dan 125 meja.

Pada tahap ini, harus ditinjau metode analisis. Dalam kenyataannya Dakota harus mengatasi tiga isu yaitu:

a. Berapa banyak masing-masing sumberdaya yang dibutuhkan? b. Berapa banyak masing-masing item diproduksi? c. Berapa banyak masing-masing item dijual?

Model dibalik analisis ini tidak mempertimbangkan isu-isu ini secara terpisah. Diberikan data dalam Tabel 4.1, ditarik korespondensi antara ketiga isu ini dan memastikan bahwa hanya diproduksi item yang bisa dijual dan hanya dibutuhkan sumberdaya untuk memproduksinya (Gambar 4.1) sebagai berikut:


30

Gambar 4.1 Model yang Merepresentasikan Keputusan Secara Simultan

Model dan analisis mengeksploitasi kelebihan-kelebihan struktural yang memanfaatkan data deterministik dan menghindari kesalahan. Dalam kenyataannya, keputusan-keputusan terjadi secara berangkai seiring waktu.

yd = jumlah meja tulis yang diproduksi yt = jumlah meja yang diproduksi yc = jumlah kursi yang diproduksi xl = jumlah kaki papan kayu xf = jumlah jam tenaga kerja yang dibutuhkan untuk pekerja akhir xc = jumlah jam tenaga kerja yang dibutuhkan untuk pekerja kayu sd = jumlah meja tulis yang dijual st = jumlah meja yang dijual sc = jumlah kursi yang dijual

Dengan variabel-variabel, bisa dirumuskan persoalan Dakota dengan PL berikut:


31

Maksimum − 2xl − 5.2xc − 4xf + 60sd + 40st +10sc Kendala

− xl + 8yd + 6yt + yc ≤ 0, −xc + 2yd + 1.5yt + 0.5yc ≤ 0, −xf + 4yd + 2yt + 1.5yc ≤ 0, sd ≤ 150, sd − yd ≤ 0,

(P.0)

st ≤ 125, st − yt ≤ 0, sc ≤ 300, sc − yc ≤ 0, xl, xf , xc , yd , yt, yc , sd , st , sc ≥ 0 Jika dalam Tabel 4.1 berubah, maka struktur model tetap sama. Sebagai contoh, jika Dakota menaikkan harga jual kursi dari $10 menjadi $11, disini hanya perlu mengubah koefisien yang bersesuaian dalam fungsi tujuan. Pengamatan ini mendorong penyelidikan tentang penyesuaian yang diketahui sebagai analisis sensitivitas. Dengan mengetahui bahwa struktur masalah tidak berubah, dapat diselidiki bagaimana perubahan dalam masing-masing data yang dapat mengubah penyelesaian optimal. Jika tidak ada perubahan lain dalam kenaikan harga kursi dari $10 menjadi $11, tentu saja memproduksi kursi menjadi menguntungkan, dan sifat penyelesaian berubah secara berarti. Di lain pihak, jika harga kursi tetap $10, dan permintaan akan kursi turun dari 300 menjadi 200, tidak akan ada dampaknya pada penyelesaian, dan Dakota akan tetap tidak memproduksi kursi.


32

Peneliti menggunakan analisis sensitivitas untuk mengkaji kekuatan penyelesaian untuk model PL. Yaitu, jika dikhawatirkan akurasi data, maka dilakukan analisis sensitivitas untuk mengetahui bagaimana penyelesaian bisa berubah jika data berbeda. Perubahan dalam penyelesaian atau strukturnya akan mengindikasikan perlunya penyelidikan lebih lanjut. Bila tidak ada yang berubah, dianggap penyelesaian yang diajukan tepat untuk mengambil keputusan.

Akan tetapi, rasa

aman yang didapatkan dari analisis sensitivitas tidak mempunyai dasar yang jelas. Sekalipun penyelesaian dan strukturnya tampak stabil, namun penyelesaian yang diajukan mungkin tidak tepat dalam menghadapi ketidakpastian.

4.2 Ketidakpastian dalam Data PL Permintaan akan produk bisa tidak pasti, tetapi nilai rendah yang paling mungkin, dan nilai tinggi mungkin ada tersedia. Diasumsikan bahwa nilai rendah permintaan akan meja tulis, meja dan kursi (50, 20 dan 200) terjadi dengan probabilitas p1 = 0, 3, nilai paling mungkin (150, 110 dan 225) terjadi dengan probabilitas pm = 0, 4, dan nilai tinggi (250, 250 dan 500) akan terjadi dengan probabilitas ph = 0, 3. Skenario permintaan yang mungkin dan probabilitas yang bersesuaian membentuk distribusi yang dapat digunakan untuk memperkirakan permintaan masa mendatang. Skenario permintaan yang dipresentasikan dalam Tabel 4.1 adalah perkiraan nilai yag terkait dengan distribusi dalam Tabel 4.2 sebagai berikut:


33

Tabel 4.2 Gambaran Tiga Kemungkinan Skenario Permintaan Dakota

Analisis sensitivitas atas penyelesaian untuk (P.0) menunjukkan bahwa penyelesaian dengan memproduksi meja tulis dan meja sebanyak yang bisa dijual, tetapi tidak memproduksi kursi akan tetap sah untuk setiap himpunan permintaan (nonnegatif). Tabel 4.3 memperlihatkan respon optimal terhadap masing-masing skenario permintaan, sebagai berikut:

Tabel 4.3 Skenario Permintaan Dakota Anggap Sesuai Pada Solusi Optimal

Pada semua kasus, hanya diproduksi meja tulis dan meja, bukan kursi. Dibutuhkan sumberdaya untuk memenuhi jadwal produksi. Kauntitas produksi dan sumberdaya dalam kolom perkiraan nilai adalah perkiraan nilai kuantitas yang bersesuaian dalam kolom-kolom lainnya. (Ini merupakan sifat kesederhanaan, sebagai contoh: pada umumnya perkiraan nilai data tidak bersesuaian dengan perki-


34

raan nilai penyelesaian). Dengan stabilitas struktur penyelesaian dan hubungan antara berbagai penyelesaian, dapat dianggap bahwa penyelesaian dengan perkiraan permintaan adalah jawaban yang tepat untuk masalah Dakota. Akan tetapi, jika Dakota memproduksi 150 meja tulis dan 125 meja, untuk memenuhi penyelesaian permintaan rata-rata, perusahaan ini mempunyai 30% kesempatan memproduksi terlalu banyak meja tulis dan 70% kesempatan memproduksi terlalu banyak meja. Jika perusahaan ini memproduksi 150 meja tulis dan 125 meja dan skenario permintaan rendah (50 meja tulis dan 20 kursi) terjadi, laba Dakota akan jauh lebih rendah daripada $4.165. Biaya untuk sumberdaya pada level ini adalah $9.835. Dengan menjual 50 meja tulis dan 20 kursi akan menghasilkan pendapatan yang hanya $3.800 untuk kerugian bersih $6.035. Jika Dakota memproduksi 150 meja tulis dan 125 meja dan mengalami permintaan paling mungkin, maka laba bersihnya akan mencapai $3.565. Walaupun tidak rugi, nilai ini berada di bawah laba yang diproyeksikan $4.165 yang diajukan penyelesaian PL awal. Jika perusahaan mendasarkan produksinya pada data yang tidak pasti, seberapa besarkah kesalahan potensial yang dihadapi?

Analisis sensitivitas di-

maksud dapat menjawab. Dalam kenyataannya, kebingungan perspektif bekerja. Model PL memasukkan semacam visi yaitu untuk data tertentu, hal ini menyatakan apa yang harus dilakukan. Analisis kesalahan membutuhkan pandangan yang lebih luas, perbandingan cara dengan output mana yang terkait dalam satu kumpulan data akan tampil jika dihadapkan dengan sesuatu yang berbeda. Analisis sensitivitas tidak mengatasi isu ini.


35

4.3 Model PL dengan Ketidakpastian Bila dihadapkan dengan ketidakpastian dalam permintaan akan produk, dibutuhkan pendekatan yang lebih cermat terhadap pengembangan model. Dalam kasus ini, perlu ditangkap hubungan antara waktu saat mengambil keputusan dengan waktu saat mengetahui permintaan. Sehingga dapat disesuaikan keputusan yang diambil setelah permintaan diketahui dengan skenario permintaan spesifik, sesuatu yang tidak bisa dilakukan untuk keputusan sebelum mengetahui permintaan. Untuk menyediakan forum yang tepat dalam menilai perimbangan antara berbagai alternatif, dibutuhkan model yang menangkap fleksibilitas yang diupayakan. Logikanya ada tiga ketepatan waktu informasi yang mungkin perlu diperhatikan. (Gambar 4.2) berikut:

Gambar 4.2 Permintaan yang Tidak Pasti dengan Tiga Ketepatan Waktu Informasi

Sehingga akan ditentukan titik selama rangkaian keputusan permintaan diketahui. Dimungkinkan memperoleh informasi lengkap tentang permintaan sebelum mengambil keputusan. Pada ekstrim lainnya, dimungkinkan tidak mengetahui permintaan sampai setelah diperoleh sumberdaya dan produksi barang. Permintaan menentukan kuantitas penjualan aktual dan akibatnya menentukan pendapatan. Kemungkinannya adalah diperoleh sumberdaya walaupun tidak menge-


36

tahui permintaan dengan pasti, tetapi ditetapkan jadwal produksi hanya setelah diketahui permintaan dengan demikian harus disesuaikan produksi dengan permintaan tersebut. Kemungkinan-kemungkinan ini menghasilkan tiga jenis model yang berbeda. Pada kasus pertama, diketahui permintaan sejak awal dan bisa mendasarkan keputusan tentang mendapatkan sumberdaya, produksi dan penjualan pada apakah permintaan rendah, paling mungkin atau tinggi (Gambar 4.3) sebagai berikut:

Gambar 4.3 Permintaan Diketahui Sebelum Keputusan, Terdiri Dari Tiga Model Deterministik

Jika permintaan diketahui sejak awal, keputusan tidak terpapar pada ketidakpastian, dan tidak membutuhkan evaluasi skenario silang. Karena seluruh ketidakpastian diselesaikan sebelum diambil keputusan, disesuaikan setiap keputusan dengan skenario spesifik yang terealisasikan dan masalah jatuh ke dalam koleksi masalah-masalah deterministik, hanya asal yang tetap tidak pasti. Untuk merumuskan persoalan ini, dibutuhkan tiga himpunan variabel terpisah, satu untuk masing-masing skenario permintaan yang mungkin (rendah, paling mungkin, tinggi). Model PL untuk masalah ini akan dapat dipisahkan menurut skenario. Bekerja dari (P.0) dan dengan memisalkan Dds menyatakan permintaan akan meja tulis dengan skenario s (dengan Dts dan Dcs didefinisikan dengan cara serupa),


37

diperoleh: Maksimum

X

(−2xls − 5.2xcs − 4xf s + 60sts + 10scs )ps

{s∈{l,m,h}}

Kendala

− xls + 8yds + 6yts + ycs ≤ 0, s ∈ {l, m, h} −xcs + 2yds + 1.5yts + 0.5ycs ≤ 0, s ∈ {l, m, h} −xf s + 4yds + 2yts + 1.5ycs ≤ 0, s ∈ {l, m, h} sds ≤ Dds , s ∈ {l, m, h} sds − yds ≤ 0, s ∈ {l, m, h}

(P.1)

sts ≤ Dts , s ∈ {l, m, h} sts − yts ≤ 0, s ∈ {l, m, h} scs ≤ Dcs , s ∈ {l, m, h} scs − ycs ≤ 0, s ∈ {l, m, h} xls , xf s , xcs , yds , yts , ycs , sds , sts , scs ≥ 0, s ∈ {l, m, h} Seperti yang telah diinddikasikan, (P.1) dapat dipisahkan menurut skenario. Dapat dipertimbangkan masing-masing skenario permintaan secara terpisah, dan bisa diperoleh penyelesaian spesifik skenario secara terpisah. Hanya dalam menghitung nilai fungsi tujuan yang digabungkan. Pada ekstrim lainnya, ditentukan akuisisi maupun produksi sebelum diketahui permintaan (2 dalam Gambar 4.2) (Gambar 4.4) sebagai berikut:

Gambar 4.4 Permintaan Diketahui Setelah Akuisisi dan Produksi


38

Begitu diambil, keputusan tentang akuisisi dan produksi dimasukkan ke dalam ketidakpastian permintaan. Hanya tingkat pernjualan yang bereaksi terhadap tingkat akuisisi dan produksi serta cara ketidakpastian permintaan yang diselesaikan. Setiap model PL harus menangkap fakta bahwa keputusan awal haruslah dipertimbangkan bobotnya terhadap semua skenario permintaan yang mungkin. Untuk mewujudkannya, digunakan tiga himpunan variabel penjualan terpisah, dan hanya satu himpunan variabel akuisisi dan produksi. Seperti sebelumnya, bekerja dari (P.0) untuk mengembangkan model. Untuk menghubungkan Gambar 4.4 dan model PL, digunakan huruf tebal untuk mengidentifikasi keputusan yang diambil sebelum permintaan diketahui. Maksimum − 2xl − 5.2xc − 4xf +

X

(60sds + 40sts + 10scs )ps

{s∈{l,m,h}}

Kendala

− xl + 8yd + 6yt + yc ≤ 0 −xc + 2yd + 1.5yt + 0.5yc ≤ 0 −xf + 4yd + 2yt + 1.5yc ≤ 0 sds ≤ Dds , s ∈ {l, m, h}, −yd

sds ≤ 0, s ∈ {l, m, h}, sts ≤ Dts , s ∈ {l, m, h}

yt

sts ≤ 0, s ∈ {l, m, h} scs ≤ Dcs , s ∈ {l, m, h}

−yc

ycs ≤ 0, s ∈ {l, m, h}

xl , xf , xc , yd , yt, yc , sds , sts , scs ≥ 0


(P.2)

39

Berbeda dengan (P.1) dan (P.2) tidak dapat dipisahkan menurut skenario. Akuisisi dan produksi yang dinyatakan oleh x dan y, ditentukan sebelum permintaan diketahui dan tetap konstan atas semua skenario. Himpunan kedua dari kendala model dengan cara penjualan tergantung pada kombinasi produksi dan permintaan. Ketiadaan kemungkinan pemisahan timbul karena interaksi kedua jenis variabel dalam kendala ini. Terakhir, dalam kasus lainnya (3 dalam Gambar 4.2), ditentukan akuisisi sebelum diketahui permintaan dan produksi setelah ditentukan penjualan (Gambar 4.5) berikut:

Gambar 4.5 Permintaan Diketahui Setelah Sumber Dibutuhkan Tetapi Sebelum Tingkat Produksi Ditentukan

Karena bekerja dari (P.0) untuk mengembangkan model PL untuk persoalan ini, tentunya mempunyai himpunan tunggal variabel-variabel akuisisi, dan tiga himpunan variabel produksi dan penjualan:


40

Maksimum − 2xl − 5.2xc − 4xf +

X

(60sd + 40st + 10sc )ps

{s∈{l,m,h}}

Kendala − xl + 8yds + 6yts + ycs ≤ 0, s ∈ {l, m, h}, −xc + 2yds + 1.5yts + 0.5ycs ≤ 0, s ∈ {l, m, h}, −xf + 4yds + 2yts + 1.5ycs ≤ 0, s ∈ {l, m, h}, sds ≤ Dds , s ∈ {l, m, h}, sds − yds ≤ 0, s ∈ {l, m, h},

(P.3)

sts ≤ Dts , s ∈ {l, m, h} sts − yts ≤ 0, s ∈ {l, m, h} scs ≤ Dcs , s ∈ {l, m, h} scs − ycs ≤ 0, s ∈ {l, m, h} xl , xf , xc , yds , yts , ycs , sds , sts , scs ≥ 0 Sama halnya dengan (P.2) dan (P.3) tidak memiliki kemungkinan yang dapat dipisahkan. Pada umumnya, kemungkinan dapat dipisahkan tidak terjadi bila model PL mencakup ketidakpastian di tengah-tengah rangkaian keputusan.

4.4 Ulasan Tentang Perumusan dan Penyelesaian Persoalan Ketiga model PL, (P.1) sampai (P.3) bisa ditelusuri kembali sampai ke model awal (P.0), tetapi model-model tersebut berbeda. Model tersebut merupakan tiga model yang berbeda untuk persoalan, sedikit membutuhkan model seperti (P.1). Karena diketahui permintaan sebelum mengambil keputusan, tidak perlu menyelesaikan (P.1) yaitu bisa menunggu sampai diketahui permintaan dan menyelesaikan persoalan skenario yang tepat. Seperti yang dipresentasikan, output (P.1)


41

memberikan penyelesaian optimal dan nilai fungsi tujuan optimal untuk semua skenario permintaan yang mungkin. Untuk perencanaan, informasi ini mungkin membantu. Model kedua (P.2), memberikan mekanisme yang tepat untuk menentukan pendapatan yang diperkirakan bila harus ditentukan produksi sebelum diketahui permintaan. Model ini memperhitungkan kemungkinan bahwa produksi mungkin melebihi permintaan. Khususnya, bila tingkat produksi (yang pada gilirannya menentukan tingkat sumberdaya yang dibutuhkan), didasarkan pada model pendapatan yang bisa diharapkan dari menjualnya. Model ketiga (P.3), memisahkan akuisisi dari produksi. Bila disusun rencana produksi alternatif yang tergantung pada permintaan yang terwujud dari akuisisi tertentu, yaitu memodelkan kasus dimana perusahaan bisa menggunakan sumberdaya dengan berbagai cara untuk menciptakan produk untuk permintaan. Untuk melihat perbedaan antara ketiga model, dapat dibandingkan outputnya pada Tabel 4.4 berikut: Tabel 4.4 Perbedaan Solusi Optimal dari (P.1), (P.2) dan (P.3)


42

Walaupun output untuk (P.2) serupa secara struktural dengan output masingmasing persoalan skenario dalam (P.1), namun nilainya berbeda. Dalam (P.2) perusahaan memproduksi barang sebelum mengetahui permintaan. Berbeda dengan (P.1), tingkat produksi yang diajukan (P.2) tidak sesuai dengan salah satu skenario permintaan. Dalam (P.2), tingkat produksi ditetapkan dengan cara yang menyeimbangkan biaya total yang mungkin dari memproduksi barang yang tidak bisa dijual terhadap epndapatan nasional yang tersedia dari menjual barang dalam jumlah lebih besar. Tindakan penyeimbangan ini menggeser tingkat produksi menjauh dari setiap skenario. Tidak bisa diakui perlunya keseimbangan ini dengan analisis sensitivitas sederhana atas penyelesaian untuk (P.0). Yang lebih penting, struktur penyelesaian untuk (P.3), dimana keputusan produksi terlambat samapai setelah permintaan diketahui, berbeda nyata dari struktur penyelesaian untuk model lainnya. Inilah satu-satunya model yang mencakup produksi kursi dalam penyelesaian optimal dam kemudian hanya dalam skenario permintaan yang rendah. Penafsiran penyelesaian ini jelas. Walaupun kursi dengan sendirinya tidak menguntungkan, namun produksinya pada sebagian kasus menguntungkan. Penyelesaian untuk (P.3) mencakup akuisisi sumberdaya dalam junlah yang lebih besar daripada penyelesaian untuk (P.2). Bila permintaan cukup tinggi, semua sumberdaya ini mengalir ke produksi meja tulis dan kursi (barang yang menguntungkan). Akan tetapi bila permintaan rendah, produksi kursi memberi peluang kepada perusahaan untuk menutupi banyak biaya sumberdaya yang dibutuhkan. Kursi memberikan kepada perusahaan posisi jatuh kembali yang memungkinkan rencana akuisisi sumberdaya yang agresif. Dan hal ini tidak bisa merealisasikan keuntungan penyesuaian ini dengan analisis sensitivitas sederhana atas penyelesaian untuk (P.0).


43

Berbagai nilai fungsi tujuan juga berbeda. Telah diketahui dengan jelas bahwa dengan menyelesaikan PL dimana variabel-variabel acak di ruas kanan kendala diganti dengan perkiraan nilainya akan menghasilkan nilai fungsi tujuan optimistik, sebagaimana diindikasikan dalam (P.0) dibandingkan dengan yang lainnya. Tentu saja, dalam kasus ini (P.0) sama optimistiknya dengan (P.1), dimana pengambil keputusan mengetahui seluruh informasi sebelum mengambil keputusan (walaupun tidak selalu sedemikian halnya pada umumnya) bahwa nilai fungsi tujuan untuk (P.3) lebih besar dari nilai fungsi tujuan (P.2) tidak aneh; dengan memperlambat keputusan sampai diperoleh informasi biasanya menghasilkan keuntungan ekonomis. Untuk menentukan model yang tepat, harus diidentifikasikan titik dimana informasi tentang permintaan akan ada tersedia.

4.5 Fungsi Tujuan Alternatif Model PL mempunyai fungsi tujuan yang memaksimalkan perkiraan laba. Karena perkiraan nilai adalah fungsi linier, maka laba dan rugi bisa saling menghilangkan, andaikan dipunyai tiga alternatif yang menghasilkan distribusi laba sebagai fungsi dari permintaan. (Tabel 4.5) berikut: Dengan diketahuinya tujuan memaksimalkan perkiraan laba, tidak akan membedakan antara ketiga alternatif ini. Ketiadaan perbedaan ini tidak sesuai dengan sikap kebanyakan orang terhadap risiko, sebagian besar orang memiliki preferensi yang jelas diantara ketiga alternatif ini. Ahli ekonomi mengatasi masalah ini melalui teori utilitas. Dengan menggunakan fungsi utilitas yang melingkupi perimbangan antara perkiraan laba dan resiko untuk menuntun proses pengambilan keputusan. Pada umumnya, optimisasi perkiraan utilitas membu-


44

Tabel 4.5 Tiga Alternatif yang Menghasilkan Laba Berbeda pada Skenario Permintaan

tuhkan fungsi tujuan nonlinier, walaupun aproksimasi linier bertahap kerapkali bisa dikembangkan. Selain perubahan dalam kendala, ketidakpastian juga bisa menimbulkan perubahan dalam fungsi tujuan.


BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan Analisis sensitivitas paling tepat digunakan bila struktur dasar model tidak berubah oleh keberadaan ketidakpastian, misalnya bila semua ketidakpastian akan diselesaikan sebelum keputusan diambil. Saat keputusan hendak diambil, model deterministiklah yang kiranya tepat. Tetapi sepanjang data tidak pasti, tidak diketahui model deterministik mana yang akan tepat. Dalam situasi ini, analisis sensitivitas dapat membantu dalam memahami dampak ketidakpastian. Pada semua kasus lainnya kita tidak bisa mengandalkan analisis sensitivitas untuk memahami dampak ketidakpastian. Analisis sensitivitas gagal sebagai alat untuk mengukur dampak ketidakpastian karena tidak bisa menangkap kemungkinan respon terhadap informasi. Bila diperoleh informasi selama rangkaian keputusan, diperoleh kesempatan untuk beradaptasi terhadapnya. Adaptasi menyebabkan perubahan dalam model PL. Matriks kendala berubah secara berarti, yang mempengaruhi jumlah kendala maupun jumlah variabel. Karena analisis sensitivitas tergantung pada struktur kuat model PL. Analisis sensitivitas bukan alat yang tepat untuk mengidentifikasi dampak ketidakpastian dalam kasus ini.


46

5.2 Saran Diharapkan bagi pembuat keputusan yang ingin melihat sensitifnya solusi optimal terhadap perubahan data dengan melakukan analisis pasca optimal / analisis sensitivitas dalam PL.


DAFTAR PUSTAKA

Eriksson, O., 2007, Sensitivity and Uncertainty Analysis Methods, with Applications to a Road Traffic Emission Model, Thesis, Linkoping University Faculty of art and sciences. Frey, H.C., and Patil S.R., 2002, Identification and Review of Sensitivity Analysis Methods, Risk Anal., 22(3), 553-578. Helton, J.C., and Davis F.J., 2002, Illustration of Sampling-Based Methods for Uncertainty and Sensitivity Analysis, Risk Anal., 22(3), 591-622. Higle, J. L., 2005, Stochastic Programming: Optimization When Uncertainty Matters, INFORMS . New Orleans. Higle, J. L. and Wallace, S.W., 2003, Sensitivity Analysis and Uncertainty in Linear Programming, INFORMS, Vol. 33, No. 4, pp. 5360 Ionescu-Bujor, M., and Cacuci D.G., 2004, A Comparative Review of Sensitivity and Uncertainty Analysis of Large-Scale Systems-I: Deterministic Methods, Nucl. Sci. Eng., 147(3), 189-203. Land, A. H. and Doig, A. G., 1960, ”An Automated Method for Solving Discrete Programming Problems”, Econometrics 28: 497-520. Siringoringo, Hotniar., 2005, Seri Teknik Riset Operasional. Pemrograman Linear. Penerbit Graha Ilmu. Yogyakarta. Tung, Y.K., and Yen B.C., 2005, Hydrosystems Engineering Uncertainty Analysis, pp., McGraw-Hill, New York. Wallace, S. W., 1998, Decision Making Under Uncertainty: Is Sensitivity Analysis of any Use?, Operations Research, 48: 20-25. Wang, J., 2008, Sensitivity and Uncertainty Aalyses of Contaminant Fate and Transport in a Field-Scale Subsurface System, AThesis Presented to The Academic Faculty, Georgia Institute of Technology. Winston, W. L., 1995, Introduction to Mathematical Programming: Applications and Algorithms, 2nd ed. Duxbury Press, Belmont, CA.


ANALISIS SENSITIVITAS DAN KETIDAKPASTIAN DALAM PROGRAM LINIER

Recommend Documents